Escola Secundária com 3º Ciclo do Ensino Básico Dr. Joaquim de Carvalho

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Correcção do 1º Teste de Avaliação (12º A+F, 4 Nov. 2005)

Grupo I

Versão 1 Versão2 1. (E) 1. (D) 2. (D) 2. (B) 3. (C) 3. (A) 4. (A) 4. (E) 5. (B) 5. (C) Grupo II

� 1.1.

Eixo dos xx: movimento uniforme: ⇒+= 25)( ttx === 5 d

d)(

t

xtv

xconstante 0

d

d)( ==⇒

t

vta x

x

Eixo dos yy: movimento uniformemente variado: ⇒−= 6)( 2ttty t

t

ytv y 26

d

d)( −==

===⇒ -2 d

d)(

t

vta

y

y constante

� 1.2.

(m) e 8e 12e )226(e )225()2( 2

yxyxrrrrrr

+=−×++×= ;

(m) e 2e )006(e )205()0( 2

xyxrrrrr

=−×++×= ;

Logo (m) e 8e 10e 2)e 18e 12()0()2( yxxyxrrrrrrrrrrr

+=−+=−=∆

A distância corresponde ao módulo do deslocamento: m 8,12810 22≈+=∆r

r

� 1.3.

)s (m e 4e 502

e 8e 101-

m yx

yx

t

rv

rrrrr

r+=

−

+=

∆

∆=

� 1.4. A “rapidez” de variação da posição corresponde ao módulo da velocidade.

Derivando o vector posição, obtém-se a velocidade: (SI) e )26(e 5 d

d)( yx t

t

rtv

rrr

r−+==

)s (m e 4e 5e )126(e 5)1( -1

yxyxvrrrrr

+=×−+= logo -122 s m 4,645)1( ≈+=v

r

)s (m e 2e 5e )426(e 5)4( -1

yxyxvrrrrr

−=×−+= logo -122 s m 4,5)2(5)4( ≈−+=v

r

No instante s 1=t a posição varia mais rapidamente (maior

módulo da velocidade). Para esboçar o módulo da velocidade em função do tempo introduz-se a seguinte função na calculadora:

22 )26(5)( ttv −+=r

em que Y)( =tvr

e X=t .

Rapidez versus Tempo

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5

Tempo / s

Mó

du

lo d

a v

elo

vc

ida

de

/ m

s-1

Correcção do 1º teste de Física – 12º A+F – 02/11/2005 Professor: Carlos Portela

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� 1.5. A “rapidez” de variação do módulo da velocidade corresponde ao valor algébrico da aceleração tangencial: é igual ao declive da tangente ao gráfico do módulo da velocidade em função do tempo.

Módulo da velocidade: (SI) 42461)26(5)( 222ttttv +−=−+=

r

Pode, portanto, a partir da função escrita na linha anterior, calcular o declive da tangente ao gráfico

nos instantes s 2=t e s 5=t :

Declive da tangente ao gráfico no instante

s 2=t : -2

t s m 74,0-s) 2( ≈=ta

Declive da tangente ao gráfico no instante

s 5=t : -2

t s m 25,1s) 5( ≈=ta

Qual o significado físico dos valores anteriores?

No instante s 2=t , o módulo da velocidade

diminui a um ritmo de m/s 74,0 em cada

segundo, enquanto no instante s 5=t , o módulo da velocidade aumenta a um ritmo de m/s 25,1 em cada

segundo. A variação do módulo da velocidade é, portanto, mais rápida no instante s 5=t .

Em alternativa, podem ser feitos os cálculos: ⇒+−

+−==

42461

412

d

)( d)(

2t

tt

t

t

tvta

r

-2

t s m 74,0-s) 2( ≈=ta e -2

t s m 25,1s) 5( ≈=ta

� 2.1.

Se conhecermos a aceleração, facilmente calculamos a resultante das forças: ∑ == amFFrrr

res .

Admitindo que o movimento do passageiro é uniforme conclui-se que -2

t s m 0)( =ta porque o módulo da

velocidade é constante.

O passageiro só tem aceleração normal que, em módulo, é dada pela seguinte expressão: Ra2

= ωn

A velocidade angular obtém-se a partir do período: 1-s rad 21,0

1530≈=

2=

2=

πππω

T.

Na posição mais alta, a cadeira fica um pouco abaixo da periferia da roda, logo m 5,105,112 ≈−=R .

Do que foi dito pode determinar-se o módulo da força resultante:

N 8,365,10)21,0(802

nres ≈××===2RmmaF ω

r

A força e a aceleração apresentam a mesma direcção e sentido, logo a força resultante tem direcção radial e sentido centrípeto (no ponto mais alto, tal significa direcção vertical e sentido para baixo).

� 2.2.

A balança dinamómetro responde à compressão que os pés do passageiro exercem sobre ela (supõe-se que o passageiro viaja em pé). Esta força tem a mesma intensidade da força que a balança exerce sobre o passageiro, ou seja, a reacção normal (lei da acção e reacção). Traçando o diagrama de forças e aplicando a segunda lei de Newton, tendo o cuidado de verificar que na posição mais alta o peso é centrípeto e a reacção normal é centrífuga:

N 747)46,08,9(80)( nnnn ≈−×=−=⇔=−⇔=∑ agmNmaNPmaF

Expressa em quilograma-força a balança marcaria kgf 768,9

747≈ .

Rapidez versus Tempo

y = -0,74x + 6,87

y = 1,249x + 0,158

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7Tempo / s

Mó

du

lo d

a v

elo

vcid

ad

e /

m s

-

1

peso

reacção normal

12 m

1,5 m

resFr

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� 2.3. O movimento só, aproximadamente, é circular e uniforme, uma vez que a cadeira no ponto mais baixo afasta-se da periferia da roda para fora e no ponto mais alto esse afastamento é para dentro: no ponto mais baixo a velocidade é ligeiramente maior visto o passageiro se encontrar um pouco mais afastado do centro da roda (o

raio do movimento é ligeiramente maior): Rv ω=

A relação entre as duas velocidade pode ser traduzida pelo seu quociente:

17,15.112

5,112

alto

baixo

alto

baixo

alto

baixo≈

−

+===

R

R

R

R

v

v

ω

ω

A velocidade no ponto mais baixo é cerca de 1,17 vezes maior do que no ponto mais alto.

� 2.4.

Opção I: no ponto P a resultante das forças deve ser centrípeta logo deve ter direcção

horizontal e apontar para a direita (A variação do módulo da velocidade resultante da variação do raio do movimento pode ser desprezada, dado que é um efeito pequeno e essa variação é lenta, considera-se, portanto que a aceleração tangencial é nula.)

� 3.1. A energia cinética mínima ocorre no ponto em que a velocidade for mínima, ou

seja, no ponto mais alto da trajectória: xxy vvvv 0min 0 ==⇒= uma vez

que x

v é constante (não há forças no eixo dos xx).

Cálculo do módulo da velocidade mínima: -1

min

2

212

21

c s m 10 5,025 =⇔××=⇔= vvmvE .

A partir de x

v0 e com o conhecimento do ângulo de lançamento pode determinar-se o módulo da velocidade

inicial: -1

0000 s m 5,12 cos37º 10 cos37º ≈⇔=⇔= vvvvx

� 3.2.

Escrever as equações paramétricas implica conhecer as condições iniciais: posição inicial ( 0x e 0y ) e

velocidade inicial (x

v0 e y

v0 ). Da observação da figura conclui-se que m 00 =x e m 20 =y .

A componente vertical da velocidade inicial obtém-se -1

00 s m 7,50,612,5sen37º ≈×== vvy

.

(SI) 55,72

100

22

21

00

00

−+=

+=⇔

−+=

+=

tty

tx

gttvyy

tvxx

y

x

� 3.3.1. Com a calculadora no modo paramétrico escrevem-se as equações paramétricas do movimento. De seguida

procura-se o máximo dessa função. Obtém-se m 8,4máx ≈y (altura máxima) para um valor de m 5,7=x .

� 3.3.1.

Ao atingir a altura máxima 0=y

v

Cálculo da componente vertical da velocidade (variável no tempo): tt

ytv

y105,70

d

d)( −+==

Igualando a zero obtém-se o tempo de subida: s 75,0 0105,7 0)( =⇔=−⇔= tttvy

(tempo

necessário para atingir o ponto mais alto da trajectória).

Calculando a altura neste instante: m 8,4)75,0(575,05,72)75,0( 2≈×−×+=y (altura máxima)

� 3.3.2.

Ao atingir o solo o valor da altura é nulo: 057,52 0)( 2=−+⇔= ttty

Com a calculadora determina-se os zeros desta equação do 2º grau, obtendo s 23,0 s 73,1 −≈∨≈ tt .

No contexto deste problema só nos interessa o instante posterior ao inicial, ou seja, s 73,1≈t .

0v

xv0

yv0

37º

Nr

Pr

resFr

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Trajectóriay = -0.05x2 + 0.75x + 2

x / m

y /

m

nar

tar

nagarrr

==

0t

rr=a

� 3.4.

� 4.1.

⇔

=−−

+=⇔

=−

=−⇔

=−

=−

BB

AA

MamamgMg

mamgT

MaTMg

mamgT

amTP

amPT

________________

)()(

________________

+

−=

⇔

−=+ gmM

mMagmMamM

� 4.2.

Consideremos, por exemplo, o primeiro valor da tabela: -2s m 0,471=a

O movimento do sistema é uniformemente acelerado: 00 2

212

21

00 atxattvxx ++=⇔++=

Substituindo os valores do deslocamento e do tempo: -22

21 s m 47,0 )52,2(5,1 ≈⇔×= aa

A aceleração foi correctamente calculada.

� 4.3. Como a diferença de massas é constante, a aceleração deveria ser inversamente proporcional à soma das massas. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o seu produto é constante.

constante)( constante

=+×⇔+

=⇔+

−= mMa

mMag

mM

mMa

(expectativa teórica) Verificando o acordo dos resultados experimentais (tabela à esquerda): Existe um acordo razoável uma vez que o produto da aceleração pela soma das massas é aproximadamente constante.

� 4.4. Utilizando a calculadora elabora-se duas listas uma com o inverso da massa e outra com a aceleração. Faz-se o gráfico da aceleração em função do inverso da massa. Determina-se a regressão linear que melhor se ajusta aos pontos recolhidos:

0027.0049,0 +≈ xy (em

unidades SI) Desprezando a ordenada na origem, ficaria:

+×≈

Mma

1049,0 (ver gráfico à direita)

Comparando com a expressão prevista para a aceleração

(ver questão 4.1.), conclui-se que: -2s m 8,9 005,0049,0 declive ≈⇔×≈⇔×= ggg(M-m)

Mm +

(g)

a

(m s-2

)

)( Mma +×

(g m s-2

)

105 0,471 50

155 0,323 50

205 0,237 49

305 0,167 51

)/(1 Mm +

(kg-1

)

a

(m s-2

)

9,52 0,471

6,45 0,323

4,88 0,237

3,28 0,167

garr

=

BPr

T ′r

APr

Tr

Atwood

y = 0.0492x + 0.0027

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

1/(m+M)

a