Testes de Hip oteses sobre a m edia: V ariasusada em Estat stica para este m e requer que a vari...

Testes de Hipoteses sobre a media: Varias

Amostras

Na aula de hoje veremos como comparar mais

de duas populacoes, baseados em dados forneci-

dos por amostras dessas populacoes.

A Analise de Variancia (ANOVA) e uma tecnica

usada em Estatıstica para este fim e requer

que a variavel sob analise tenha distribuicao

normal.

Uma versao nao parametrica para a compara-

cao de varias populacoes e o teste de Kruskal-

Wallis que tambem sera apresentado na aula

de hoje.

1

EXEMPLO 1: (ALCOOL E HABILIDADE DE

DIRIGIR)

Trinta e seis (36) pessoas participaram de um

experimento para descobrir os efeitos do alcool

na habilidade de dirigir. Elas foram aleato-

riamente associadas a uma de tres condicoes:

placebo, pouco alcool e muito alcool. A bebida

nao-alcoolica parecia e tinha o mesmo gosto

das demais. Os participantes foram pesados e

tomaram a quantidade apropriada de bebida.

Observe que temos uma situacao de amostras

independentes (interparticipantes), pois os gru-

pos sao diferentes. Uma hora apos beber, os

participantes dirigiram em um simulador du-

rante 10 minutos e o numero de erros que eles

cometeram foi automaticamente registrado por

um computador.

Os dados obtidos estao na tabela a seguir.

2

Placebo Pouco Alcool Muito Alcool5 5 8

10 7 107 9 83 8 95 2 117 5 15

11 6 72 6 113 4 85 4 86 8 176 10 11

x = 5,83 x = 6,17 x = 10,25s = 2,69 s = 2,33 s = 3,05

Ha diferenca significativa entre am medias dos

diferentes grupos (placebo, pouco alcool e mui-

to alcool)?

Em caso afirmativo, a diferenca esta presente

entre todos os grupos ou em apenas um em

relacao aos demais?

3

Analise Exploratoria dos dados: a seguir apre-

senta-se um box-plot(grafico caixa) dos resul-

tados para cada grupo.

4

Na ANOVA a um fator com amostras indepen-

dentes, os dados podem ser representados da

seguinte forma

cond. 1 cond. 2 ... cond. ay11 y12 ... y1ay21 y22 ... y2a

... ... ... ...yn11 yn22 ... ynaa

Como as amostras sao independentes, elas po-

dem ter tamanhos diferentes.

a representa o numero de condicoes diferentes.

nj representa o numero de observacoes sob a

j-esima condicao, j = 1,2, ..., a

yij representa a i-esima observacao sob a j-

esima condicao, i = 1,2, ..., nj e j = 1,2, ..., a.

5

O nome em Estatıstica para um experimento

com essa cofiguracao e experimento a um

fator completamente aleatorizado.

No Bioestat a funcao apropriada para esse caso

esta em

Estatısticas,

Analise da Variancia,

ANOVA:um criterio.

6

Um teste de hipoteses apropriado aqui e{H0 : µ1 = µ2 = ... = µaH1 : pelo menos uma das medias e diferente das demais

µj corresponde a media do j-esimo grupo. Neste

exemplo temos tres grupos tal que j = 1,2,3.

A tecnica que iremos trabalhar, Analise de Va-

riancia (ANOVA) requer que as amostras pro-

venham de populacoes normais com variancias

iguais.

O Bioestat tem testes que verificam a norma-

lidade.

A ANOVA busca por diferencas entre as medias

dos grupos. Quando as medias sao bem dife-

rentes, dizemos que existe um alto grau de

variacao entre condicoes.

Se nao existirem diferencas entre as medias dos

grupos, nao existira variacao entre as condicoes.

7

Variancia entre grupos: corresponde a variacao

devida as condicoes que definem os grupos.

Variancia intra-grupos: corresponde a variacao

dentro de cada grupo.

Na ANOVA a um fator com amostras inde-

pendentes a variacao total e decomposta em

duas parcelas correspondentes a variacao entre

grupos e a variacao intra-grupos.

SQTot︸︷︷︸variacao total

= SQentre︸︷︷︸variacao entre grupos

+ SQdentro︸︷︷︸variacao dentro dos grupos

Se a hipotese nula de que todas as medias sao iguais,isto e, de que nao ha variacao entre grupos, e ver-dadeira, segue que a variacao dentro dos grupos tendea ser igual a variacao total.

8

Notacao: SQTot: variacao total, SQentre: va-riacao entre grupos e SQdentro: variacao intragrupos.

QMTot =SQTotN − 1

: e uma media da variacao to-

tal.

N e o numero total de observacoes no pro-blema. No exemplo que estamos considerandoN = 3× 12 = 36.

QMentre =SQentre

a− 1: e uma media da variacao

entre grupos, chamada quadrado medio entregrupos.

a e o numero de grupos (condicoes) no pro-blema. No exemplo que estamos considerandoa = 3.

QMdentro =SQdentroN − a

: e uma media da variacao

intra grupos, chamada quadrado medio intragrupos.

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A estatıstica do teste realizado pela ANOVA

e dada pela razao dos quadrados medios entre

grupos e intra grupos, a saber,

F =QMentre

QMdentro.

Se a hipotese nula e verdadeira, e possıvel mos-

trar que a estatıstica F tem uma distribuicao F

de Snedecor com a− 1 e N − a graus de liber-

dade no numerador e denominador, respecti-

vamente.

Se a hipotese nula e verdadeira, espera-se que

a razao entre os quadrados medios entre e den-

tro dos grupos seja pequena. Em geral, re-

jeitaremos H0 quando os valores amostrais de

F forem grandes.

10

A Distribuicao F de Snedecor

A distribuicao F esta definida para valores po-

sitivos e apresenta assimetria positiva. A seguir

veja um grafico da densidade F com 4 e 2 graus

de liberdade.

11

Usando um nıvel de significancia α, a Regiao

Crıtica do teste da ANOVA sera a cauda su-

perior da distribuicao Fa−1,N−a de area α.

12

Na ANOVA e comum apresentar os resultados

usando uma tabela chamada tabela ANOVA.

Esta tabela contem as seguintes informacoes:

fontes de variacao, graus de liberdade, quadra-

dos medios e a razao F .

fonte devariacao SQ gl QM Fentregrupos SQentre a− 1 QMentre F = QMentre

QMdentro

dentro dosgrupos (residual) SQdentro N − a QMdentro

total SQTot N − 1

QMentre =SQentre

a− 1, QMDentro =

SQdentro

N − a

Se o valor de F for grande, H0 sera rejeitada.

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Uma outra medida que tambem decorre da

analise de variancia e a chamada porcenta-

gem da variacao total explicada pelo fator

sob consideracao.

Vimos que



+ SQdentro︸︷︷︸variacao dentro dos grupos

Essa equacao leva a seguinte definicao

R2 =SQentre

SQTot

Observe que R2 esta entre 0 e 1. Quanto

maior for o valor de R2, mais o fator explica a

variacao dos dados no problema.

14

O Bioestat tem a funcao ANOVA. No caso do

exemplo apresentado devemos escolher:

Estatısticas, Analise da Variancia, ANOVA: um

criterio.

O quadro a seguir mostra a saıda do Bioestat

para os dados do exemplo sob consideracao.

15

Do quadro anterior podemos ver que o p-valordo teste ANOVA e muito pequeno (menor que0,001), indicando que esses dados trazem evi-dencia muito forte contra a hipotese nula deque as medias sob as diferentes condicoes saoiguais. Observe que o valor da estatıstica deteste F tambem e grande.

Logo, devemos rejeitar H0 em favor da hipotesealternativa de que pelo menos uma das mediase diferente das demais.

Se a hipotese nula, medias iguais, for rejeitada,significa que ha evidencia de que existem dife-rencas nas medias de tratamento.

Observe que a hipotese alternativa e bastantevaga: pelo menos uma media e diferente dasdemais.

A diferenca existente nao e especificada porH1.

16

Dado que rejeitamos H0, sera importante saber,

por exemplo, se as medias sao duas a duas

diferentes entre si, ou se uma delas e diferente

das demais, ou outras possibilidades contem-

pladas por H1.

Existem varios testes de comparacao das me-

dias duas a duas, no caso de rejeicao de H0

na ANOVA. Vamos apresentar aqui o teste de

Tukey.

17

Comparacoes de pares de medias de trata-mento

Vamos ver a seguir o metodo de Tukey desig-nado para este tipo de comparacao:

{H0 : µi = µk, ∀i 6= kH1 : pelo menos um par de medias e desigual

.

Teste de Tukey (1953): Procedimento parao qual o nıvel de significancia global e exata-mente α, quando os tamanhos amostrais saoiguais e no maximo α, quando os tamanhossao desiguais.

Este procedimento tambem pode ser usadopara construir intervalos de confianca sobreas diferencas de todos os pares de medias.Para estes intervalos, o nıvel de confianca si-multaneo e 100(1−α)% para amostras de tama-nhos iguais e pelo menos 100(1 − α)% paraamostras de tamanhos desiguais.

18

O procedimento de Tukey usa a distribuicao

da estatıstica de variacao “studentizada”

q =ymax − ymin√QMdentro/n

,

com ymax e ymin a maior e a menor entre as

medias de tratamento.

Para tamanhos amostrais iguais, o teste de

Tukey declara que duas medias sao significa-

tivamente diferentes se o valor absoluto da

diferenca amostral excede

Tα = qα(a,N − a)

√QMdentro

n.

Valores de qα(a,N−a) sao tabulados em textos

especializados de Estatıstica e tambem estao

disponıveis em programas computacionais.

19

Atencao: E possıvel ocorrer a seguinte situacao:

(i) rejeita-se H0 via ANOVA.

(ii) nao sao encontradas diferencas significa-

tivas quando se comparam as medias duas a

duas.

Esta situacao tem uma explicacao, pois o teste

F e um teste simultaneo de todos as com-

paracoes possıveis e nao apenas das medias

duas a duas.

Se isso ococrrer significa que o contraste signi-

ficativo nao sera uma comparacao simples de

duas medias.

20

Rodando as comparacoes, via teste de Tukey,

dos pares de medias dos diferentes grupos para

o problema sob estudo no Bioestat obtemos o

seguinte quadro:

21

Pela saıda no Bioestat podemos concluir que a

media sob a condicao muito alcool e significati-

vamente diferente das outras duas medias, mas

as medias sob as condicoes placebo e pouco

alcool nao sao significativamente diferentes.

Na saıda do programa temos um resumo da

tabela ANOVA, as medias amostrais em cada

grupo e as linhas comparando os pares de me-

dias duas a duas.

ns representa nao significativo.

Assim, as medias sob placebo e pouco alcool

nao sao significativamente diferentes.

Observe tambem, pelo quadro anterior, que

R2 =145,167

145,167 + 241,583' 0,375 ou 37,5%.

22

EXEMPLO 2: Um laboratorio farmaceutico

deseja investigar a bioatividade de uma nova

droga. Um experimento a um fator comple-

tamente aleatorizado foi conduzido com tres

nıveis de dosagem da droga, e os resultados

obtidos estao na tabela a seguir.

20 g 30 g 40 g24 37 4228 44 4737 31 5230 35 38

(a) Ha evidencias para indicar que os nıveis

de dosagem afetam a bioatividade? Use α =

0,05.

(b) Se a sua resposta foi afirmativa, faca com-

paracoes entre os pares de media. Que con-

clusoes voce pode tirar?

24

Saıda do Bioestat:

FV gl SQ QM F p-valordose 2 450.7 225.33 7.036 0.0145 *Residuals 9 288.2 32.03

Concluımos, ao nıvel de significancia de 5% que haefeito de dosagem na bioatividade.

A porcentagem da variacao total explicada pela dosageme dada por 450,7

450,7+288,2' 0,61 ou 61%.

25

(b) Vamos usar o prodedimento de Tukey para

comparar as medias duas a duas.

Saıda do Bioestat:

diferenca p-valor30-20 7 0.240340-20 15 0.011440-30 8 0.1680

Observa-se que a diferenca existe entre a dosa-

gem menor e a dosagem maior.

Entre dosagens consecutivas, a diferenca nao

e significativa.

26

Alem disso, pelos efeitos estimados, concluımos

que maior e a dosagem, maior sera a bioativi-

dade.

27

Amostras relacionadas: experimento intrapar-

ticipantes: Como fica?

Em Estatıstica o nome usado para esse tipo

de situacao e Experimento a um fator em

Blocos Completos Aleatorizados.

No Bioestat usa-se a seguinte funcao para esse

caso: Estatisticas, Analise da Variancia, ANO-

VA:dois criterios.

Suponha agora que no experimento do exem-

plo anterior participam apenas 12 pessoas e

que em intervalos de tempo espacados elas se-

jam submetidas, em ordem aleatoria, a cada

uma das condicoes: placebo, pouco alcool e

muito alcool. Ou seja, agora sao as mesmas

pessoas que sao observadas sob cada condicao.

28

Nesse caso as amostras nao sao independentes

e alem da variacao entre grupos e dentro do

grupos, passamos a poder medir uma variacao

inerente a cada participante (variacao de linha,

tambem chamada variacao devido aos blocos).

Observe que agora as amostras sob cada con-

dicao terao tamanhos iguais.

Na ANOVA a um fator com amostras rela-

cionadas(medidas repetidas), os dados podem

ser representados da seguinte forma


... ... ... ...yn1 yn2 ... yna

Como as amostras sao as mesmas, elas tem

tamanhos iguais.

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... ... ... ...yn1 yn2 ... yna

a representa o numero de condicoes diferentes.

n representa o numero de observacoes sob cada

condicao.

N = an e o numero total de observacoes.

yij representa a i-esima observacao sob a j-

esima condicao, i = 1,2, ..., n e j = 1,2, ..., a.

30

Na ANOVA a um fator com amostras rela-

cionadas a variacao total e decomposta em

tres parcelas correspondentes a variacao entre

grupos, a variacao inerente a cada participante

(variacao dos blocos) e a variacao residual.



+ SQBl︸︷︷︸variacao do indivıduo

+ SQres︸︷︷︸variacao residual

Notacao: SQTot: variacao total, SQentre: variacao entre grupos,SQBl - variacao nos blocos (individual) e SQdentro: variacao residual(dentro de cada grupo).

QMTot =SQTot

N − 1: e uma media da variacao total.

N e o numero total de observacoes no problema.

QMentre =SQentre

a− 1: e uma media da variacao entre grupos, chamada

quadrado medio entre grupos.

a e o numero de grupos (condicoes) no problema.

QMBl =SQBl

n− 1: e uma media da variacao dos blocos, chamada

quadrado medio dos blocos.

n e o numero de observacoes (igual) sob cada condicao.

QMdentro =SQdentro

(a− 1)(n− 1): e uma media da variacao residual, chamada

quadrado medio residual ou intra grupos.

31

A estatıstica do teste realizado pela ANOVA

nesse caso e dada pela razao dos quadrados

medios entre grupos e residual, a saber,

F =QMentre

QMdentro.

Se a hipotese nula e verdadeira, e possıvel mos-

trar que a estatıstica F tem uma distribuicao

F de Snedecor com a−1 e (a−1)(n−1) graus

de liberdade no numerador e denominador, re-

spectivamente.

Se a hipotese nula e verdadeira, espera-se que

a razao entre os quadrados medios entre e den-

tro dos grupos seja pequena. Em geral, re-

jeitaremos H0 quando os valores amostrais de

F forem grandes.

32

A tabvela ANOVA correspondente a esse caso

e dada por

fonte devariacao SQ gl QM F

entregrupos SQentre a− 1 QMentre F = QMentre

QMdentro

blocos(individual) SQBl n− 1 QMBl

dentro dosgrupos

(residual) SQdentro (a− 1)(n− 1) QMdentro

total SQTot N − 1

QMentre =SQentre

a− 1, QMDentro =

SQdentro

(a− 1)(n− 1)

Se o valor de F for grande, H0 sera rejeitada.

O Bioestat tem essa funcao.

Estatısticas, Analise da Variancia, ANOVA: dois criterios.

33


para os dados do exemplo sob consideracao.

Podemos perceber que o teste ANOVA rejeita

H0, pois o p-valor e muito pequeno. Logo,

faz sentido realizar as comparacoes de medias

duas a duas.

34


usando o procedimento de Tukey.

35

Cuidado: toda vez que as medidas forem repeti-

das para as mesmas unidades amostrais e fun-

damental rodar a ANOVA a dois criterios, pois

caso contrario a variacao dentro dos grupos

podera ficar inflacionada acarretando na nao

rejeicao de H0 um maior numero de vezes por

conta da variacao residual inflacionada, ou seja,

aumentando a chance de cometer o erro tipo

II.

Se as amostras forem relacionadas, ou seja, se

for um experimento intra-participantes, rode o

a ANOVA a dois criterios.

36

Vamos agora apresentar um metodo nao-para-

metrico para a analise de variancia (ANOVA):

O teste de Kruskal-Wallis

Em situacoes nas quais a suposicao de nor-

malidade nao e justificada, existe um procedi-

mento alternativo ao teste F da ANOVA que

nao depende desta suposicao. Um procedi-

mento desse tipo foi desenvolvido por Kruskal

e Wallis em 1952.

Neste teste, H0 corresponde a hipotese de que

os a tratamentos (grupos ou condicoes) sao

identicos versus a alternativa de que algum

tratamento (grupo ou condicao) gera observa-

coes que sao maiores que as outras geradas pe-

los outros tratamentos (grupos ou condicoes).

37

Como este procedimento e designado para ser

sensıvel para testar diferencas em medias, al-

gumas vezes e conveniente pensar no teste de

Kruskal-Wallis como um teste para a igualdade

de medias de tratamento (grupo ou condicao).

Este teste e uma alternativa nao-parametrica

a ANOVA usual.

Passos no teste Kruskal-Wallis

P1) Designe postos rij as observacoes yij em

ordem crescente das observacoes. Em caso

de empate, designe as observacoes empatadas

a media dos postos correspondentes caso nao

houvesse empate.

yij representa a i-esima observacao do j-esimo

grupo.

38

P2) Calcule a soma dos postos para cada trata-mento (grupo ou condicao), a saber, ri. =ni∑j=1

rij, i = 1,2, ..., a.

P3) Calcule a estatıstica de teste H dada por

H = 1S2

{N

a∑i=1

(Ri. − R..)2

}= 1

S2

[a∑

i=1

R2i.

ni−N(N + 1)2

4

]

com ni o numero de observacoes no i-esimotratamento (grupo), N o numero total de replicacoes,e

S2 = 1N−1

a∑i=1

n∑j=1

(Rij−R..)2 =1

N − 1

a∑i=1

ni∑j=1

R2ij −

N(N + 1)2

4

.Observe que S2 e a variancia amostral dos pos-tos. Se nao existem empates,

S2 = N(N+1)/12 e a estatıstica de teste sim-plifica para

H =12

N(N + 1)

a∑i=1

R2i.

ni− 3(N + 1).

39

Quando o numero de empates e moderado,

havera pouca diferenca entre as duas expres-

soes para H e a forma mais simples pode ser

usada. Se os ni’s sao razoavelmente grandes,

digamos ni ≥ 5, ∀ i, a distribuicao de H e

aproximadamente uma Qui-quadrado com a−1

graus de liberdade sob H0.

Portanto, a regiao crıtica do teste a um nıvel

α de significancia, sera dada por

H ≥ χ2(1−α),a−1.

O p-valor tambem pode ser usado.

:) Calma: o Bioestat contem esse teste e

voce nao precisara se preocupar em designar

postos e calcular a estatıstica H.

40

Vamos rodar o teste proposto por Kruskal-

Wallis no Bioestat.

Estatısticas seguido de Analise da Variancia

seguido de Kruskal-Wallis.

Indique as colunas contendo os dados e exe-

cute para obter

Como podemos ver o p-valor e pequeno, in-

dicando que os dados trazem evidencia muito

forte contra H0.

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Novamente, como H0 e rejeitada, faz sentido

em comparar os pares de medias duas a duas.

No Bioestat ha dois testes disponıveis: Dunn

e Student-Newman-Keuls.

Rodando o procedimento porposto por Dunn

obtem-se

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Referencias bibliograficas:

(1) Busssab e Morettin - Estatıstica Basica.

Editora Saraiva

(2) Triola. Introducao a Estatıstica. LTC.

(3) Dancey e Reidy - Estatıstica sem Matematica

para Psicologia - Penso

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