Testes e Exames de 2007:2008

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EXAME DE METODOS ESTATSTICOS / 9 de Fevereiro de 2010 / Duracao: 2.5 horas

NOME: CURSO:

1. Sabe-se que 20% dos habitantes de uma grande cidade sofrem de hipertensao. A percentagem de indivduoshipertensos que fumam e de 50%, enquanto que dos que nao sofrem de hipertensao apenas 30% saofumadores.

(a) Qual a probabilidade de um indivduo escolhido ao acaso, ser fumador?

(b) Qual a probabilidade de um indivduo fumador ser hipertenso?

(c) Os acontecimentos fumador e hipertenso sao independentes?

2. Tendo como base estudos previos sobre o efeito da poluicao por mercurio em diferentes especies de peixesnativos de agua doce, considera-se que a concentracao de mercurio na perca adulta, em g.g1, segue umadistribuicao normal de media 1.14 e desvio padrao 0.45.

(a) Qual a probabilidade da concentracao de mercurio numa perca adulta ser superior a 2.22?

(b) Calcule agora a probabilidade do valor da concentracao estar compreendido entre 0.24 e 2.04.


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(c) Escreva os comandos R para resolver as duas alneas anteriores.

3. As mensagens transmitidas por uma via de comunicacao podem ser perturbadas por rudos, com proba-

bilidade 0.05, independentemente umas das outras.

(a) Qual e a probabilidade de em 10 mensagens transmitidas, 2 sofrerem perturbacoes?

(b) Calcule a probabilidade de em 30 mensagens, 24 serem transmitidas sem perturbacoes.

(c) Em 100 mensagens qual e o numero esperado de mensagens perturbadas?

(d) Quantas vezes se devera transmitir uma mensagem para que, com probabilidade nao inferior a 0.999,pelo menos uma das transmissoes nao seja perturbada?


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XAME DE METODOS ESTATSTICOS / 9 de Fevereiro de 2010 / Duracao: 2.5 horas

NOME: CURSO:

4. Uma empresa fabrica folhas de plastico para uso industrial. Um novo tipo de plastico esta a ser produzidoe a empresa gostaria de poder afirmar que a resistencia media deste novo produto e 30.0. Considere aamostra de resistencias seguinte, extrada da linha de producao: 30.1, 32.7, 22.5, 27.5, 27.7, 29.8, 28.9,31.4, 31.2, 24.3, 26.4, 22.8, 29.1, 33.4, 32.5, 21.7. (

16

1xi = 452 e

16

1x2

i= 12984.54)

(a) Calcule a media, mediana, variancia e desvio padrao para estes dados.

(b) Escreva os comandos R para resolver a alnea anterior.

(c) Desenhe o diagrama caixa-dos-bigodes para estes dados.

(d) Construa um intervalo de confianca a 90% para a resistancia media.


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(e) Podemos afirmar que a resistencia media deste novo produto e diferente de 30.0?

5. Pensa-se que comer citrinos durante os meses de inverno reduz a probabilidade de contrair uma con-stipacao. Para testar esta teoria, 200 pessoas foram divididas aleatoriamente em dois grupos de tamanho100. Cada membro do grupo I comeu 3 laranjas por dia durante os meses de novembro ate Marco enquantoque as pessoas do grupo II seguiram uma dieta normal. No fim deste perodo, o numero de pessoas queteve pelo menos uma constipacao foi de 43 para o grupo I e 48 para o grupo II.

(a) Estime com 95% de confianca a probabilidade de uma pessoa que segue uma dieta normal ter pelomenos uma constipacao durante o inverno.

(b) Diga se podemos afirmar com 90% de confianca que a probabilidade de apanhar pelo menos umaconstipacao e diferente nos dois grupos.


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EXAME DE METODOS ESTATSTICOS / 29 de Janeiro de 2009 / Duracao: 2.5 horas

NOME: CURSO:

1. O numero de batimentos de asas por segundo em voo de uma especie de borboleta segue a seguinte funcao

de probabilidade:x 6 7 8 9 10f(x) 0.05 0.1 0.6 0.15

Determine:

(a)

(b) P(X 8) e P(X < 8).

(c) a media e variancia da variavel aleatoria em causa.

2. Um dos objectivos de uma disciplina de musica e o de um estudante ser capaz de distinguir a musicade Bach, Beethoven, Mozart e Brahms. Numa das partes do exame final, o professor toca 30 segmentosmusicais curtos e pede ao aluno que identifique o compositor de cada um deles. O aluno e aprovadonesta parte do exame se identificar correctamente pelo menos 50% dos segmentos. Um dos alunos resolveresponder aleatoriamente. Seja X o numero de segmentos identificados correctamente.

(a) Determine a funcao de probabilidade de X.

(b) Determine a probabilidade aproximada desse aluno ser aprovado nessa parte do exame.


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3. Um teste para cancro tem baixas taxas de falsos positivos e falsos negativos, dado que o teste da positivoem 5% dos pacientes sem cancro e da negativo em 5% dos pacientes com cancro. Suponha que 4% dapopulacao tem a doenca.

(a) Diga quais as taxas de falsos positivos e falsos negativos.

(b) Qual a probabilidade de uma pessoa para a qual o teste deu positivo tenha de facto a doenca.

(c) Um novo teste para a deteccao desta doenca deu 8 negativos em 100 pessoas com cancro. Diga, com95% de confianca se a partir desta amostra se pode concluir que a taxa de falsos negativos no novo teste

e diferente da do anterior.


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XAME DE METODOS ESTATSTICOS / 29 de Janeiro de 2009 / Duracao: 2.5 horas

NOME: CURSO:

4. Em condicoes normais, um certo farmaco tem um pH normalmente distribudo com media 9 e variancia0.25. Caso o pH seja ou muito alto ou muito baixo, o farmaco nao e aceitavel pois pode causar efeitossecundarios graves ou ser ineficaz. Assim, se uma amostra do farmaco estiver abaixo dos 15% ou acimados 85%da distribuicao, ele e considerado inaceitavel. Determine:

(a) a probabilidade de um farmaco escolhido aleatoriamente ter um pH inferior a 9.5.

(b) o valor de a tal que a probabilidade do pH ser inferior a a e 0.15.

(c) em que intervalo deve estar o pH de uma amostra para que o f armaco seja aceitavel.

(d) Calcule a probabilidade de que numa amostra de 20 farmacos, a media do pH seja inferior a 9.5.


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5. Os dados seguintes, obtidos numa amostra aleatoria de tamanho 20, dizem respeito ao aumento percentualde alcool no sangue apos a ingestao de 4 cervejas: 37.5, 37.6, 38.2, 38.9, 39.1, 39.2, 39.5, 40.1, 40.5, 40.6,41.2, 41.4, 41.7, 42.0, 42.2, 43.1, 43.2, 43.3, 44.0, 44.9 (

20

i=1xi = 818.2

20

i=1x2

i= 33560.66).

(a) Determine a media, a mediana e o coeficiente de variacao dos dados da amostra.

(b) Faca o diagrama caixa-de-bigodes.

(c) Escreva os comandos em R que permitem resolver as duas alneas anteriores.

(d) Construa um intervalo de confianca a 95% para a media do aumento percentual de alcool no sangueapos a ingestao de 4 cervejas.


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EXAME DE METODOS ESTATSTICOS / 17 de Fevereiro de 2009 / Duracao: 2.5 horas

NOME: CURSO:

1. Numa certa populacao, a probabilidade de que um indivduo escolhido ao acaso tenha sido exposto aum dado alergenio e tido uma reaccao alergica e 0.60. A probabilidade de que um indivduo exposto aoalergenio tenha uma reaccao alergica e 0.8.(a) (1 valor) Qual a probabilidade de que um indivduo exposto ao alergenio nao tenha uma reaccaoalergica?

(b) (1.5 valores) Qual a probabilidade de que um indivduo escolhido ao acaso da populacao tenha sidoexposto ao alergenio?

(c) (1.5 valores) Numa amostra de 20 indivduos escolhidos ao acaso dessa populacao, qual a probabilidadede que 8 nao tenham sido expostos ao alergenio?

2. Uma garagem de pronto socorro esta aberta de segunda a sexta-feira. Admite-se que o numero de clientesque, por dia, recorre a esta garagem segue uma lei de Poisson de parametro 6.(a) Qual e a probabilidade de, numa segunda-feira, o numero de clientes ser superior a 1?

(b) Qual o numero esperado de clientes por semana?


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(c) Qual e a probabilidade de que numa semana pelo menos 35 clientes tenham recorrido a esta garagem?

3. A duracao de pequenos anuncios (entre 5 a 12 segundos) numa cadeia de televisao pode ser consideradacomo variavel aleatoria com distribuicao uniforme.

(a) (0.5 valores) Qual a probabilidade de um pequeno anuncio ter duracao superior a 7 segundos?

(b) (0.5 valores) Calcule a media e o desvio padrao da duracao dos anuncios.

(c) (1 valor) Se num intervalo forem exibidos 15 anuncios, qual a probabilidade da duracao total dosanuncios ser superior a 2 minutos?


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XAME DE METODOS ESTATSTICOS / 17 de Fevereiro de 2009 / Duracao: 2.5 horas

NOME: CURSO:

4. Suponha que o peso de um polvo adulto, nas costas da Mauritania, segue uma lei normal de media 2700ge desvio padrao 760g. Um grupo de pescadores pescou 15 destes polvos ao largo da Maurit ania.(a) (1 valor) Determine a probabilidade de um destes polvos pesar mais de 3950g.

(b) (1 valor) Qual a probabilidade de, entre os 15 polvos pescados, somente um pesar mais de 3950g?

(c) (1 valor) Supondo que os pescadores tem um lucro de 2 euros por quilo, calcule o valor esperado do

lucro nesses 15 polvos.

5. (2 valores) Uma equipa de investigacao em cancro da mama obteve os dados seguintes em duas amostras

de pacientes sobre o tamanho do tumor:Tipo de tumor n x sA 21 3.85cm 1.95cmB 16 2.80cm 1.70cm

Diga, com 95% de confianca, se se pode concluir que os dois tipos de tumor tem em media tamanhosdiferentes.


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6. Numa experiencia sobre aprendizagem, 20 ratazanas devem passar atraves de um labirinto. Cada ratazanapassa pelo labirinto no inicio da experiencia e o tempo de passagem e anotado. Depois de serem ensinadasa percorrer o labirinto, cada uma delas volta a fazer a prova e o tempo anotado. As diferencas entre otempo inicial e o final, em segundos, e ja ordenadas sao: 3.2, 3.5, 3.6, 3.7, 4.0, 4.1, 4.2, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5,4.6, 4.7, 4.9, 4.9, 5.0, 5.1, 5.2, 5.5, 5.6 (NOTA:

20

i=1xi = 84.25 e

20

i=1x2

i= 406.26).

(a) (2 valores) Construa um diagrama caixa-dos-bigodes para estes dados.

(b) (2 valores) Diga se, a um nvel de significancia de 5%, podemos concluir que a aprendizagem tevealgum efeito.


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Metodos Estatsticos-1o

Teste 21 Novembro de 2007 8:30-10:00

Devera responder a esta prova apresentando justificacoes sucintas. E permitido o uso de tabelas emaquina de calcular. Nao se esqueca de desligar o seu telemovel.

Nome:

Curso:

1(a) 1(b) 1(c) 2 3(a) 3(b) 4(a) 4(b) FINAL

1. (3 valores) Uma empresa levou a cabo um estudo para testar um novo medicamento contra aenxaqueca. Nesse estudo foi dado a 100 pessoas o novo medicamento e a 100 outras foi dadoum placebo. Cada participante foi instrudo para tomar o medicamento assim que os primeiros

sintomas de enxaqueca se fizessem sentir e depois comunicar se ao fim de 45 minutos a dor decabeca tinha passado ou nao. A tabela seguinte mostra os resultados desse estudo:

a dor de cabeca passou a dor de cabeca nao passou

toma de medicamento 82 18toma de placebo 44 56

Escolhe-se um participante do estudo ao acaso. Qual e a probabilidade de

(a) nao lhe ter passado a dor de cabeca?

(b) ter tomado o medicamento e continuar com dor de cabeca?

(c) ficar sem dor de cabeca ao fim de 45 minutos, sabendo que tomou o placebo?

2. (2 valores) Suponha que um leitor de CDs esta em modo aleatorio e toca 13 musicas de um

CD de forma aleatoria, podendo repetir musicas. Suponha que so gosta de 6 musicas desse CD.Calcule a probabilidade de a sexta musica tocada ser a terceira do seu agrado.


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3. (2 valores) Uma garagem de pronto socorro esta aberta de segunda a sexta-feira. Admite-seque o numero de clientes que, por dia, recorre a esta garagem segue uma lei de Poisson deparametro 5.

(a) Qual e a probabilidade de, numa segunda-feira, o numero de clientes ser superior a 1?

(b) Qual o numero esperado de clientes por semana?

4. (3 valores) A altura dos indivduos adultos de uma certa regiao segue uma distribuicao normalde media 1.75 m e desvio padrao 4.55 cm.

(a) Determine a probabilidade de um indivduo dessa populacao medir pelo menos 1.73 m.

(b) Determine a probabilidade de 8 entre 20 adultos dessa regiao, medirem no maximo 1.73 m.


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Teste de Metodos Estatsticos/EstatsticaData: 19 de Dezembro de 2007 Duracao: 1.5 horas

NOME: CURSO:

1. O pH de uma solucao e medido oito vezes por uma dada tecnica, tendo-se obtido os seguintes valores:7.15, 7.20, 7.18, 7.19, 7.21, 7.20, 7.16 e 7.18;

8

i=1 xi = 57.47 e

8

i=1 x2

i = 412.8531. (a) Calcule a media,variancia e desvio padrao da amostra. (b) Escreva os comandos em R para resolver a alnea anterior.

(a) x = 7, 18375, s2 = 4, 2679 104, s = 2, 0659 102

(b) x = c(1.15,7.20,7.18,7.19,7.21,7.20,7.16,7.18)

mean(x)

var(x)

sd(x)

2. Duas empresas A e B produzem fios de metal. Uma amostra de 6 fios de cada marca apresentou osseguintes resultados quanto a resistencia: A (0.140, 0.138, 0.143, 0.142, 0.144, 0.137);

6

i=1 xi = 0.844 e

6

i=1 x2

i = 0.118762. B (0.135, 0.140, 0.136, 0.142, 0.138, 0.140); 6

i=1 yi = 0.831 e 6

i=1 y2

i = 0.115129.

(a) Construa um IC a 90% para a diferenca entre as resistencias medias e diga se ha diferencas entreas duas marcas. (b) Podemos tambem analisar as diferencas usando diagramas tipo caixa-dos-bigodes.Escreva os comando em R para a construcao dos diagramas caixa-dos-bigodes para estas duas amostras.

(a) Como as amostras sao pequenas vamos assumir que as populacoes seguem uma distribuicao normal.Vamos ainda assumir que as variancias das duas populacoes sao iguais.xA = 0, 140667 ; s

2A = 7, 867 106

xB = 0, 1385 ; s2

B = 7, 1 106

s2p = 7, 486 106

t0 = 1, 8125 ; IC = (-0,00066, 0,0051). Com 90% de confianca nao podemos concluir que ha diferencasentre as marcas dado que o valor 0 se encontra dentro do IC.

(b) XA= c(0.140,0.138,0.143,0.142,0.144,0.137)

XB= c(0.135,0.140,0.136,0.142,0.138,0.140)

boxplot(XA,XB, horizontal=T) ou boxplot(XA,XB)


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3. Foram retiradas 100 amostras da agua de um lago e medida a concentracao de calcio, em miligramaspor litro. Obteve-se o seguinte intervalo de confianca a 95% para a concentracao media de calcio:0.49 0.82. (a) Um intervalo de confianca a 99%, obtido da mesma amostra, seria mais pre-ciso ou menos preciso? (b) Qual o valor da media e variancia da amostra? (c) Que tamanho de amostraseria necessario para obter um IC com precisao dupla?

(a) Seria menos preciso porque com mais confianca a amplitude aumenta e logo o intervalo torna-se menospreciso. Quanto menor for a amplitude do intervalo mais preciso ele sera.

(b) A media da amostra e o centro do IC, logo x = (0.49+0.82)/2 = 0.655. Em relacao a variancia, nestecaso nao sabemos se a populacao e normal. No entanto, como a amostra e grande, pode-se usar o TLC eentao o IC seria aproximadamente X z0

Sn

. Fazendo por exemplo X+ 1.96 S100

= 0.82 vem s2 = 0.7087

(c) A precisao do intervalo dado e (0.82 0.49)/2 = 0.165. Para uma nova amostra de tamanho nqueremos que 1.96Sn

n= 0.165

2em que Sn e o d.p. dessa amostra. Vamos usar o d.p. que ja conhecemos (da

amostra de tamanho 100) para obter um valor aproximado. Vem entao n 400.

4. De 100 indivduos com cancro do pulmao escolhidos aleatoriamente, 67 morreram num perodo de 5 anosdesde a deteccao. Estime a probabilidade de uma pessoa com cancro do pulmao morrer num perodo de5 anos e diga, com 95% de confianca, qual o erro maximo dessa estimativa.

P = 0.67IC aproximado para p com 95% de confianca: P 1.96

P(1 P)/100. Com 95% de confianca o erro

maximo dessa estimativa e 1.96P(1 P)/100 = 0.0922


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Exame de Metodos EstatsticosData: 25 de Janeiro de 2008 Duracao: 2H30M

NOME: CURSO:

1. Classificaram-se 100 administradores de empresas segundo o genero e o facto de serem filhos unicos ounao, conforme apresentado na tabela seguinte.

e filho unico nao e filho unicoFeminino 11 19Masculino 17 53

Escolhe-se um administrador participante do estudo ao acaso. Qual e a probabilidade de

(a) ser uma mulher?Se F designa o acontecimento ser uma mulher, P(F) = 30/100 = 0.3

(b) nao ter irmaos e ser do sexo masculino?Se N designa o acontecimento nao ter irmaos e M o acontecimento ser do sexo masculino,

P(N

M) = 17/100 = 0.17(c) nao ter irmaos, sabendo que e do sexo masculino?

P(N|M) =P(N

M)

P(M)= 17/100

70/100= 0.243

2. A frequencia de gemeos nas populacoes europeias e de cerca de 12 em cada 1000 nascimentos. Qual aprobabilidade de que nao haja gemeos em 200 nascimentos:

(a) Usando a distribuicao binomial;Se X designa a variavel aleatoria numero de nascimentos com gemeos em 200 nascimentos,X Bi(200, 0.012). P(X = 0) = (1 0.012)200 0.0894

(b) Usando a distribuicao de Poisson.Como 0.012 < 0.1, X segue uma distribuicao aproximadamente Poisson(2.4); logo, P(X = 0) e2.4 0.0907.

3. 5 rapazes e 10 raparigas sao colocados em fila numa ordem aleatoria; isto e, cada uma das 15! permutacoese igualmente provavel.

(a) Qual a probabilidade de que a pessoa na 4a posicao seja um rapaz ?Seja Ri o acontecimento rapaz na posicao i, i = 1, 2, . . . , 15. Como estamos a assumir que as15! permutacoes sao igualmente provaveis, podemos aplicar a definicao classica de probabilidade:P(R4) =

5.14!15!

= 13

(b) Qual a probabilidade de que um dado rapaz esteja na 3a posi cao ?Seja A o acontecimento um dado rapaz na 3a posicao; P(A) = 14!

15!= 1

15

(c) Sabendo que na 4a posicao esta um rapaz, qual a probabilidade de que na ultima posicao tambemesteja um rapaz ?

P(R15|R4) =P(R15

R4)

P(R4)=

A52.13!

5.14!= 4

14= 0.2857.

4. O comprimento das folhas de uma certa especie de planta segue uma distribuicao normal de media 50mm. Sabe-se que em 99% dos casos o comprimento das folhas esta entre 32 e 68 mm.

(a) Mostre que o desvio padrao dessa distribuicao e aproximadamente 6.99 mm.

Seja X a v.a. comprimento das folhas de uma certa especie de planta; X N(50, 2

).P(32 X 68) = P(18 U 18

) = 2.P(U 18

)1 = 0.99. Daqui vem que P(U 18

) = 0.995;

logo, 18

= 2.575 ou seja = 6.99.


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(b) Determine a probabilidade de que o comprimento de uma folha escolhida ao acaso seja superior a 60mm.P(X > 60) = P(U > 6050

6.99) = P(U > 1.43) = 1 P(U 1.43) = 1 0.9236 = 0.0764.

(c) Escreva os comandos R para obter uma amostra aleatoria de tamanho 100 desta populacao.amostra=rnorm(100,mean=50, sd=6.99)

(d) Determine a probabilidade de que em 100 folhas escolhidas ao acaso, pelo menos 10 tenham compri-mento superior a 60 mm.Seja Y a v.a. numero de folhas com comprimento superior a 60 mm em 100; Y Bi(100, 0.0764).

Como 0.0764 < 0.1, podemos aproximar pela distribuicao de Poisson(7.64). Logo vem, P(Y 10) =1 P(Y 9) 1 0.7649+0.75312

= 0.241.

(e) Calcule a probabilidade da media do comprimento das 100 folhas diferir da media da populacao emmais de 1mm.X N(50, 6.99

2

100); 2.P(X > 51) = 2.P(U > 1.43) = 0.1528.

5. Os dados seguintes (em graus centgrados) representam 24 medicoes independentes da temperatura defundicao do chumbo: 330, 328.6, 342.4, 334, 337.5, 341, 343.3, 329.5, 322, 331, 340.4, 326.5, 327.3, 340,331, 332.3, 345, 342, 329.7, 325.8, 322.6, 333, 341, 340;

24i=1 xi = 8015.9 e

24i=1 x

2i = 2678391.

(a) Assumindo que os dados sao provenientes de uma populacao com distribuicao normal, determine um

intervalo de confianca a 95% para a temperatura media de fundicao do chumbo.X to

Sn

; s2 = 123

(2678391 8015.92/24) = 48.426; S = 6.9589; t0 = 2.0687; x = 333.996

IC: ]331.057, 336.934[

(b) Diga, aproximadamente, qual o tamanho da amostra necessario para determinarmos a temperaturamedia de fundicao do chumbo com um erro maximo de 0.5oC, com 95% de confianca.A amplitude do IC da alnea anterior e 5.877. Como queremos agora amplitude 1, tera de ser umaamostra bastante maior. Assim, vamos usar t0 1.96 (a t-student tende para a normal) e vamosusar o estimador para S da amostra anterior. Vem entao:t0

Snn

= 0.5 sse n 744.

(c) Construa um histograma para estes dados e determine o valor da moda.A formula de Sturges sugere que se use aproximadamente 6 classes. Assim, se usarmos classes deamplitude 5 e a primeira classe a comecar em 320, a estimativa para a moda sera de 342.5, depoisde desenhado o histograma.

(d) Escreva os comandos R para construir o histograma e o diagrama caixa-dos-bigodes para estes dados.amostra=c(330, 328.6, 342.4, ...,341, 340)hist(amostra)boxplot(amostra)


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Exame de Metodos Estatsticos & EstatsticaData: 16 de Fevereiro de 2008 Duracao: 2h30m

NOME: CURSO:

1. Um lote de 400 embalagens de um certo reagente, das quais m estao deterioradas, e avaliado porum inspector, que examina uma amostra de n embalagens escolhidas ao acaso e com reposicao. Senenhuma das n embalagens estiver deteriorada, o lote e aceite. Caso contrario, o lote sera submetidoa nova inspeccao.

(a) Para m = 40 e n = 10, qual e a probabilidade do lote ser aceite?

(b) Que dimensao deve ter a amostra para que a probabilidade de aceitacao seja cerca de 0.2, comm = 40?

(c) Supondo agora m = 60, determine a probabilidade aproximada do lote ser aceite, com base numaamostra de 36 embalagens, usando a distribuicao normal.


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2. Uma mensagem e codificada utilizando um codigo binario. A probabilidade de se transmitir o smboloa e 0.55 e de se transmitir o smbolo b e 0.45. No canal a probabilidade de a ser transformado em b e0.2; o smbolo b e transformado em a com probabilidade 0.1. Supondo que se recebeu um b,

(a) qual e a probabilidade de ter sido enviado um a?

(b) qual e a probabilidade de ter sido enviado um b?

3. Suponha que as quantidades de defeitos de solda e de acabamento dos monitores de um certo tiposao variaveis aleatorias independentes, com distribuicoes de Poisson com medias respectivamente 1.2e 0.8. Calcule a probabilidade de que um monitor qualquer:

(a) nao seja perfeito;

(b) tenha no maximo um defeito de cada tipo.


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Exame de Metodos EstatsticosData: 25 de Janeiro de 2008 Duracao: 2H30M

NOME: CURSO:

4. Uma amostra de 10 peixes capturados num lago forneceu os seguintes valores quanto a concentracaode PCB: 11.5, 10.8, 11.6, 9.4, 12.4, 11.4, 12.2, 11, 10.6, 10.8;

10

i=1xi = 111.7 e

10

i=1x2

i= 1254.37.

Suponha que a amostra e proveniente de uma populacao normal de media .

(a) Represente os dados num diagrama de caixa-e-bigodes.

(b) Escreva os comandos R para realizar a alnea anterior.

(c) Obtenha uma estimativa da concentracao media de PCB. O estimador correspondente e centrado?

(d) Construa um intervalo de confianca a 95% para .


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5. Dois catalisadores estao a ser analisados para determinar como afectam a producao media dum processoqumico. O catalisador 1 esta actualmente em uso e o catalisador 2 e uma alternativa possvel. Umavez que o catalisador 2 e mais barato, deveria ser adoptado, desde que nao alterasse a producao media.E feito um teste numa fabrica piloto com 8 catalisadores do tipo 1 e 8 do tipo 2, tendo-se observadopara o catalisador tipo 1:

8

i=1xi = 738.04 e

8

i=1x2

i= 68104.6102 e para o catalisador tipo 2:

8

i=1yi = 741.864 e

8

i=1yi = 741.864. Suponha que as producoes seguem distribuicoes normais.

(a) Teste a hipotese da igualdade das variancias, para um nvel de 5%.

(b) Construa um intervalo de confianca a 95% para a diferenca entre as medias de producao. Quecatalisador escolheria?


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EXAME DE METODOS ESTATSTICOS / 8 de Fevereiro de 2011 / Duracao: 2h30m

NOME: CURSO:

1. Um detector de mentiras indica como culpado 90% dos suspeitos culpados. Por outro lado os suspeitosinocentes sao indicados como culpados 1% das vezes. Suponha que na populacao dos suspeitos apenas5% sao de facto culpados de algum tipo de crime.

(a) (1.5 valores) Calcule a probabilidade de que o detector indique que um suspeito e culpado.

(b) (1 valor) Se o detector indica que um suspeito e culpado, qual a probabilidade de que seja inocente?

(c) (1 valor) Calcule a probabilidade de que o detector erre.

2. Um alergologista afirma que 50% dos seus pacientes sao alergicos a algum tipo de gramneas. Calcule aprobabilidade de,

(a) (1.5 valores) em 15 pacientes ao acaso, exactamente 7 serem alergicos;


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(b) (1 valor) no maximo 20 pacientes serem alergicos numa amostra de 36;

(c) (1 valor) pelo menos 15 pacientes serem alergicos numa amostra de 36.

3. Um determinado tipo de planta tem uma altura media de 20.5cm. Pretende-se determinar se a qualidadedo solo tem influencia na altura. Numa amostra de 101 plantas cultivadas num solo enriquecido, registou-se uma altura media de 24.7 cm e um desvio padrao de 2.5 cm.

(a) (2.5 valores) Para um nvel de 0.05, pode-se concluir que, quando cultivada num solo enriquecido, aaltura media da planta e diferente?

(b) (1.5 valores) Calcule um intervalo com 99% de confianca para a variancia da populacao.


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EXAME DE METODOS ESTATSTICOS / 8 de Fevereiro de 2011 / Duracao: 2h30m

NOME: CURSO:

4. Entre os diabeticos de uma certa populacao, o nvel de glicose (mg/dL) no sangue em jejum, X, temaproximadamente distribuicao normal com media 105 e desvio padrao 8.2.

(a) (1 valor) Determine P(X 110).

(b) (1 valor) Qual a percentagem de diabeticos que tem nveis entre 95 e 115?

(c) (1 valor) Determine c tal que 25% dos diabeticos tem o nvel de glicose no sangue maior do que c.

(d) (1.5 valores) Escreva os comandos R para resolver as 3 alneas anteriores.


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5. Uma propriedade importante das fibras e a absorcao de agua. Numa amostra aleatoria de 20 pecas de fibrade algodao, os valores de absorcao de agua registados foram: 18.04, 18.71, 18.92, 19.25, 19.29, 19.44, 19.77,20.17, 20.33, 20.50, 20.72, 21.12, 21.41, 21.77, 21.81, 22.11, 22.43, 22.85, 23.00, 23.71 (

20

1xi = 415.35 e

20

1x2

i= 8673.907).

(a) (1 valor) Calcule o valor da media, mediana e desvio padrao.

(b) (2 valores) Desenhe o diagrama caixa-dos-bigodes para estes dados.

Testes e Exames de 2007:2008

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