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Sum´ ario Introdu¸c˜ ao xiii Ao Estudante xvii Agradecimentos xix 1 Revis˜ ao e Pr´ e-requisitos (1) 1 1.1 Os n´ umeros que governam o mundo ..................................... 1 1.2 A reta numerada ................................................ 3 1.2.1 Rela¸c˜ ao de ordem; conjuntos e intervalos ............................... 4 1.2.2 Valor absoluto ............................................. 6 1.2.3 Distˆ ancia entre dois pontos ...................................... 8 1.3 Express˜ oes alg´ ebricas - Equa¸c˜ oes e inequa¸ oes ................................ 8 1.4 Para vocˆ e meditar: Onde est´ a o erro? .................................... 12 1.5 Exerc´ ıcios .................................................... 12 1.6 Problemas .................................................... 13 1.7 Projeto: N´ umeros alg´ ebricos e transcendentes ................................ 14 2 Revis˜ ao e Pr´ e-requisitos (2) 15 2.1 Coordenadas no plano ............................................. 15 2.1.1 Distˆ ancia entre dois pontos do plano ................................. 16 2.1.2 Exerc´ ıcios ................................................ 16 2.2 Gr´ aficos de equa¸ oes .............................................. 17 2.3 Retas ...................................................... 20 2.3.1 Retas paralelas e perpendiculares ................................... 22 2.4 Circunferˆ encias e elipses ............................................ 22 2.4.1 Circunferˆ encias ............................................. 22 2.4.2 Elipses .................................................. 23 2.5 Gr´ aficos de desigualdades ........................................... 24 2.6 Exerc´ ıcios .................................................... 25 2.7 Problemas .................................................... 26 2.8 Atividades de laborat´ orio ........................................... 28 2.9 Para vocˆ e meditar: O gr´ afico da equa¸c˜ ao y = mx ´ e sempre uma linha reta? ............... 28 2.10 Projetos ..................................................... 29 2.10.1 Melhor qualidade de grava¸c˜ ao .................................... 29 2.10.2 Custo m´ ınimo × aproveitamento m´ aximo .............................. 29 3 Alguns Problemas do C´ alculo 30 3.1 Introdu¸c˜ ao .................................................... 30 3.2 alculo de ´ areas ................................................ 31 3.2.1 Da antiguidade at´ e o s´ eculo XVII ................................... 31 3.2.2 Ap´ os o s´ eculo XVII .......................................... 31 3.3 Velocidade instantˆ anea ............................................. 32 3.4 Retas tangentes ................................................. 33 v

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Sumario

Introducao xiii

Ao Estudante xvii

Agradecimentos xix

1 Revisao e Pre-requisitos (1) 11.1 Os numeros que governam o mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 A reta numerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Relacao de ordem; conjuntos e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Distancia entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Expressoes algebricas - Equacoes e inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Para voce meditar: Onde esta o erro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Projeto: Numeros algebricos e transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Revisao e Pre-requisitos (2) 152.1 Coordenadas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Distancia entre dois pontos do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Graficos de equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Retas paralelas e perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Circunferencias e elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1 Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.2 Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Graficos de desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8 Atividades de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.9 Para voce meditar: O grafico da equacao y = mx e sempre uma linha reta? . . . . . . . . . . . . . . . 282.10 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.10.1 Melhor qualidade de gravacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.10.2 Custo mınimo × aproveitamento maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Alguns Problemas do Calculo 303.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Calculo de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1 Da antiguidade ate o seculo XVII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.2 Apos o seculo XVII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Velocidade instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Retas tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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vi Aprendendo Calculo com Maple

3.5 Determinacao de maximos e mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.8 Atividades de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.9 Para voce meditar: Enigmas, paradoxos e a incompletude dos

sistemas matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.9.1 Enigmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.9.2 Paradoxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.9.3 O teorema de Godel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Funcoes e Graficos 404.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1 O problema da caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 O conceito de funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Graficos de funcoes: Definicao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Operando com funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6 Um pouco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.7 Atividades de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.9 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.10 Para voce meditar: Circunferencias podem ser quadradas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.11 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.11.1 Melhor escolha (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.11.2 Contas a pagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.11.3 Melhor escolha (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Retas Tangentes 555.1 Conceituacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Declividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3 O problema da tangente a parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4 Uma nota historica: A falha logica no raciocınio de Fermat ou o porque de limites . . . . . . . . . . . 605.5 Atividades de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.7 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.8 Para voce meditar: Matematica, fısica, formula 1 e saber popular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.9 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.9.1 Programando o computador para tracar graficos de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.9.2 O refletor parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6 Limite de Funcoes 686.1 O conceito de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.1.1 Assıntotas ao grafico de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.1.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2.1 Limite de uma funcao em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2.2 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2.3 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2.4 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.3 Teoremas e propriedades operatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.4 Exemplos de aplicacoes dos teoremas no calculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.5 Atividades de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.7 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.8 Exercıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.9 Um pouco de historia: Cauchy, Weierstrass e a teoria dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

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W.Bianchini, A.R.Santos vii

6.10 Para voce meditar: Do nada a criacao do universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.11 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.11.1 O caso do povo contra a Novoleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.11.2 Sequencia de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.11.3 Definindo e estimando o numero π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7 Polinomios e Funcoes Racionais 98

7.1 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.2 Funcoes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.2.1 Comportamento no infinito de funcoes racionais - Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.3 Atividades de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.4 Para voce meditar: enesima diferenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.5 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.5.1 Assıntotas e outras funcoes limitantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.5.2 Interpolacao de Lagrange e ajuste de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8 Continuidade 110

8.1 Discussao informal e intuitiva sobre continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.2 Definicao de continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.3 Funcoes racionais e tipos de descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.4 Composicao de funcoes e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.4.1 Continuidade da funcao composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.5 Propriedades especiais das funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.6 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.7 Exercıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.8 Para voce meditar: O problema do andarilho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.9 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.9.1 Encontrando as raızes de uma equacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.9.2 Generalizando o metodo dos babilonios para estimar a raiz quadrada de um numero positivo . 122

9 A Derivada de uma Funcao 124

9.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.2 Calculando derivadas: alguns exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.2.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.3 Outras notacoes para a derivada de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.3.1 A notacao de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.3.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.4 Derivadas laterais e diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.4.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.5 Diferenciabilidade e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.5.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.6 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.6.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.6.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.7 Atividades de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.8 Exercıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.9 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.10 Para voce meditar: Um sofisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.11 Um pouco de historia: Curvas sem tangentes e movimentoBrowniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

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viii Aprendendo Calculo com Maple

10 Teoremas e Propriedades Operatorias 14210.1 Regras de derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

10.1.1 Derivada de uma funcao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14210.1.2 Derivada de uma constante vezes uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14210.1.3 Derivada da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14310.1.4 Derivada do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14410.1.5 Derivada do quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

10.2 Exercıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14810.4 Para voce meditar: Uma “demonstracao” mais simples da regra do quociente - o que esta faltando? . . 150

11 Velocidade, Aceleracao e Outras Taxas de Variacao 15111.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15111.2 Velocidade media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15111.3 Velocidade instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15211.4 Taxas de variacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11.4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15511.5 Aceleracao e outras taxas de variacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

11.5.1 Aceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15711.5.2 Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15711.5.3 Crescimento populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15711.5.4 Taxa de reacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15911.5.5 Aplicacoes a Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11.6 Atividades de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15911.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16011.8 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.9 Um pouco de historia: Velocidade instantanea, movimento contınuo e o princıpio da incerteza . . . . . 16311.10Para voce meditar: Calculando velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

12 Funcoes Trigonometricas e suas Derivadas 16512.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16512.2 Uma pequena revisao de trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

12.2.1 Razoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16512.2.2 O cırculo trigonometrico e a funcao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16612.2.3 As funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16712.2.4 Algumas propriedades das funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

12.3 Derivadas das funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012.3.1 A derivada da funcao seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012.3.2 O limite trigonometrico fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17112.3.3 A derivada da funcao cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17212.3.4 As derivadas das demais funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

12.4 Por que se usa radianos em Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17212.5 Atividades de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17312.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17312.7 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17312.8 Um pouco de historia: O problema da navegacao e as primeiras nocoes de trigonometria . . . . . . . . 174

12.8.1 O problema da navegacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17412.8.2 As primeiras nocoes de trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

12.9 Para voce meditar: Outra forma de definir as funcoes seno ecosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

13 Regra da Cadeia 17713.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17713.2 Derivadas de funcoes compostas: A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17813.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18013.4 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

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14 Derivacao Implıcita e Taxas Relacionadas 182

14.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

14.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

14.2 Derivacao implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

14.3 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

14.3.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

14.4 Atividades de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

14.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

14.6 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

14.7 Um pouco de historia: Um desafio a Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

14.8 Para voce meditar: Quando as contas nao fazem sentido! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

15 Maximos e Mınimos em Intervalos Fechados 191

15.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

15.2 Maximos e mınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

15.2.1 Maximos e mınimos locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

15.3 Determinacao dos pontos de maximo e mınimo de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

15.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

15.5 Problemas envolvendo maximos e mınimos em intervalos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

15.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

15.7 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

15.8 Para voce meditar: O feirante de Caruaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

16 Tracado de Graficos 202

16.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

16.2 Discussao geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

16.3 Derivadas e tracado de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

16.4 Derivada primeira e extremos locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

16.4.1 Teste da derivada primeira para determinacao de extremos locais . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

16.5 Derivada segunda e concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

16.5.1 Teste da derivada segunda para a determinacao de extremos locais . . . . . . . . . . . . . . . . 212

16.6 Tracado de graficos - Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

16.7 Atividades de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

16.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

16.9 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

16.10Para voce meditar: Interpretando graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

16.11Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

16.11.1 Determinando a janela adequada para o tracado de graficos em computador . . . . . . . . . . 219

16.11.2 Aproximando os zeros de uma funcao - Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

17 Teorema do Valor Medio 223

17.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

17.1.1 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

17.1.2 Teorema do valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

17.1.3 Consequencias do teorema do valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

17.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

17.3 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

17.4 Para voce meditar: O significado de c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

17.5 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

17.5.1 Estudando a queda dos corpos - Movimento uniformemente acelerado . . . . . . . . . . . . . . 231

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x Aprendendo Calculo com Maple

18 Problemas de Maximos e Mınimos em Intervalos Quaisquer 23418.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23418.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23418.3 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23818.4 Um pouco de historia: Princıpio do tempo mınimo de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24018.5 Para voce meditar: Como os gregos eram espertos, ou uma

demonstracao sem palavras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24018.6 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

18.6.1 Um problema de otimizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

19 Funcoes Inversas e suas Derivadas 24219.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24219.2 Funcoes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24319.3 Derivada da funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24519.4 As funcoes trigonometricas inversas e suas derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

19.4.1 As funcoes arcsen(x) e arccos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24719.4.2 As funcoes arctg(x) e arcsec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

19.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25019.6 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25119.7 Para voce meditar: Inversas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

20 Acrescimos, Diferenciais e Aproximacao pela Reta Tangente 25320.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25320.2 Aproximacao pela reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25320.3 Diferenciais e funcoes diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25520.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25720.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25720.6 Um pouco de historia: Os mitos leibnizianos e o comeco do calculo infinitesimal . . . . . . . . . . . . . 25720.7 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

20.7.1 O metodo de Euler e o para-quedista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25820.7.2 Aproximando funcoes por polinomios - O polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26120.7.3 Polinomios de Taylor - Aplicacoes a fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26520.7.4 Polinomios de Taylor - Um algoritmo para calcular o seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26620.7.5 Tangentes, orbitas e caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26720.7.6 Crescimento de populacoes - Gerenciando um pesque e pague . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

21 Introducao a Integral: Calculo de Areas e Integrais Definidas 27221.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27221.2 A notacao de somatorio: uma abreviacao para somas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27221.3 O calculo de areas como limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27321.4 A integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

21.4.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28021.4.2 Interpretacao geometrica da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28221.4.3 Propriedades da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

21.5 Valor medio de uma funcao e o teorema do valor medio paraintegrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28621.5.1 O teorema do valor medio para integrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

21.6 Atividades de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28821.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28821.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28921.9 Um pouco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29021.10Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

21.10.1 Somas de Riemann aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29021.10.2 Somas de Riemann e funcoes monotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29121.10.3 O Maple e o princıpio da inducao matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

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W.Bianchini, A.R.Santos xi

22 O Teorema Fundamental do Calculo e Integrais Indefinidas 29622.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29622.2 O teorema fundamental do calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29622.3 Integrais indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30122.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30322.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30422.6 Um pouco de historia: A integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30522.7 Para voce meditar: Uma conclusao intuitiva ou um erro teorico? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30622.8 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

22.8.1 Arquimedes e a quadratura da parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30722.8.2 Separacao de variaveis, velocidade de escape e buracos negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

23 Resolvendo Integrais pelo Metodo de Substituicao 31123.1 Integracao por substituicao em integrais indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31123.2 Integracao por substituicao em integrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31323.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31523.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31523.5 Para voce meditar: Resolvendo integrais com o auxılio do Maple ou por que devo aprender tecnicas de

integracao? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

24 Aplicacoes da Integral Definida 31724.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31724.2 Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31724.3 Area de regioes planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31924.4 Areas e calculo de probabilidades (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32224.5 Volume de um solido de revolucao: Metodo do disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32324.6 Volume de um anel de revolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32524.7 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32724.8 Area de uma superfıcie de revolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33024.9 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33124.10Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33324.11Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33524.12Um pouco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33724.13Para voce meditar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

24.13.1 Regioes ilimitadas tem, necessariamente, areas infinitas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33724.13.2 Volumes iguais? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33724.13.3 A raiz quadrada de 2 e igual a 1? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

24.14Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33824.14.1 Calculando a probabilidade de que uma equacao quadratica ter raızes reais . . . . . . . . . . . 33824.14.2 Volumes de solidos: Secoes retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33924.14.3 Volumes de solidos de revolucao: Metodo das cascas cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34024.14.4 Usando matematica para modelar um objeto real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

25 Logaritmo e Exponencial 34225.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34225.2 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34225.3 Logaritmo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34325.4 Exemplos de derivadas e integrais envolvendo logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34425.5 Funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34525.6 Funcao exponencial em uma base qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34525.7 Logaritmo em uma base qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34625.8 Derivadas e integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34725.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34825.10Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34925.11Um pouco de historia: O logaritmo de Napier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34925.12Para voce meditar: Onde esta o erro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

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xii Aprendendo Calculo com Maple

25.13Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35125.13.1 Juros simples e compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35125.13.2 O metodo do carbono 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35225.13.3 Com Kepler e o Maple rumo as estrelas (ou modelando um problema real) . . . . . . . . . . . . 35325.13.4 Escalas logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35525.13.5 Funcoes hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35625.13.6 As funcoes logaritmo e exponencial complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

25.14Atividades de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

26 Tecnicas de Integracao 35926.1 Integracao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

26.1.1 Substituicao por partes usando o Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36126.1.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

26.2 Integrais trigonometricas especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36326.3 Substituicao trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36526.4 Funcoes racionais e fracoes parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

26.4.1 Usando o Maple para decompor uma funcao racional em fracoes parciais . . . . . . . . . . . . . 37026.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37026.6 Para voce meditar: Como usar o Maple no calculo de integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37126.7 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

26.7.1 Integracao numerica: Regras do trapezio e Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

27 Regras de L’Hopital 37727.1 Formas indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37727.2 Primeira regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37827.3 Segunda regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37927.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

28 Integrais Improprias 38228.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38228.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38228.3 Limites de integracao infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38428.4 Integrandos infinitos em intervalos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38628.5 Teste da comparacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38728.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Apendice 391

A Funcoes Contınuas 391A.1 Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391A.2 Teorema dos valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

Respostas 395

Bibliografia 406

Indice Remissivo 408

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Introducao

Este livro, que compoe uma primeira disciplina de Calculo, e o resultado de nossos esforcos no sentido de retratar anossa visao do que e ensinar e aprender matematica: uma atividade criativa que nao pode e nao deve ser baseadaexclusivamente em aulas expositivas ou na resolucao de extensas listas de exercıcios. E uma tentativa, tambem, deenvolver o aluno no processo de “fazer matematica”, transformando-o de paciente em agente do processo educativo.A enfase esta na compreensao dos conceitos e nao somente no desenvolvimento de habilidades mecanicas.

No decorrer do texto, procuramos levar o estudante a trilhar o caminho e a sentir o prazer da descoberta e aentender que aprender matematica e muito mais do que decorar formulas e obter respostas para exercıcios-padrao.Tentamos apresentar a matematica como um assunto vivo em constante construcao, e nao simplesmente descreve-lacomo um corpo de conhecimento pronto e acabado.

O computador e usado como uma ferramenta para alcancar estes objetivos, e as atividades de laboratorio, projetose desafios sao uma forma de implementa-los na pratica.

Embora um enfoque computacional esteja presente em todo o texto e varias atividades sejam desenvolvidas como uso do computador, o conteudo e o de um curso tradicional de Calculo. As atividades e projetos sao associados aapresentacao expositiva dos conteudos e a exercıcios e problemas tradicionais. O formalismo tambem nao foi esquecido:ao lado de abordagens graficas visuais, enfatiza-se a necessidade do uso de provas e demonstracoes rigorosas.

Esta abordagem balanceada cria um texto ao mesmo tempo inovador e tradicional, permitindo sua utilizacaoem sala de aula da maneira que melhor se adapte ao estilo do professor, as necessidades e objetivos do curso e aosrecursos tecnologicos existentes. Aqueles que desejarem usa-lo em um curso tradicional poderao dar mais enfasee se concentrar no conteudo expositivo, nos exercıcios e problemas apresentados na sua versao texto; aqueles quedesejarem introduzir o computador como um auxiliar no ensino e dispuserem de recursos para aulas praticas delaboratorio poderao desenvolver as atividades sugeridas com este objetivo e fazer uso, em suas aulas expositivas, dasanimacoes e outras abordagens graficas e numericas presentes na versao eletronica, introduzindo, nestas aulas, umcomponente exploratorio, estimulando a interacao e participacao da turma.

Nos ultimos cinco anos, temos procurado introduzir aulas de laboratorio na proporcao de 3 para 1 (tres aulas deduas horas cada, em classe, e uma em laboratorio) nas disciplinas de Calculo I, na UFRJ. Nestas aulas utilizamos oprograma MAPLEV R5, mas as atividades sugeridas neste texto podem ser desenvolvidas a partir do uso de qualqueroutro sistema computacional algebrico, como por exemplo o MATHEMATICA.

Os professores que tem feito parte desta experiencia ou que ja tiveram oportunidade de observar os alunos nestasaulas sao testemunhas da mudanca que se opera tanto na atitude dos alunos, em geral passiva nas aulas tradicionais,quanto na maneira de encarar o aprender e o entender matematica.

Nossos objetivos ao escrever este livro foram:• Desenvolver a habilidade de ler e escrever matematica.• Desenvolver os conceitos de modo que os alunos possam aplica-los a problemas e situacoes que nunca tenham

visto antes.• Desenvolver habilidades na modelagem e resolucao de problemas.• Transformar o aluno de paciente em agente do processo educativo.• Mudar a concepcao de alunos e professores a respeito do que e “fazer matematica”.• Utilizar o computador como ferramenta e assistente na resolucao de problemas e, ao mesmo tempo, liberar alunos

e professores de calculos tediosos e cansativos.• Usar recursos graficos e de animacao na exploracao e aprofundamento dos conceitos apresentados.Para a consecucao destes objetivos, quatro caracterısticas basicas nortearam a composicao deste texto:(a) Abordagem dinamica dos conceitos. Aspectos dinamicos surgem quando os alunos sao levados a descrever como

padroes de mudancas em uma variavel estao relacionados a padroes de mudancas em outra variavel. Estes aspectossao mais facilmente explorados com auxılio do computador. Muitos problemas e exercıcios, neste texto, enfocam aforma de uma famılia de curvas dependendo de um parametro. A conexao entre taxa de variacao e o crescimento ou

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xiv Introducao

decrescimento de uma curva, bem como a ideia de limite e area sob curvas sao outros exemplos de aspectos dinamicosexplorados com o uso da maquina.

(b) Enfase na integracao dos aspectos numericos, graficos e analıticos. Muitos exercıcios e atividades enfocamesta integracao e enfatizam a importancia da abordagem e raciocınio grafico-geometrico, tao abandonado nos cursostradicionais. Funcoes sao abordadas quase sempre enfocando-se a relacao entre sua forma grafica e sua expressaoanalıtica. Transformacoes geometricas sao usadas para mostrar como graficos de funcoes complicadas podem serobtidos a partir de um grafico padrao simples e conhecido. Estes aspectos sao enfatizados, tambem, quando se faza correspondencia entre o grafico de uma funcao e o de sua derivada, ou entre o grafico de uma funcao e o de suaprimitiva, descrevendo-os qualitativamente. Alem disso, todo o texto e ilustrado com centenas de graficos geradosem computador. Nao ha figuras maravilhosas: estes graficos procuram explorar o significado geometrico existentepor detras de um calculo ou de uma expressao analıtica. Procuramos tambem, sempre que possıvel, apresentarinterpretacoes geometricas para formulas e demonstracoes.

(c) Enfase na resolucao de problemas. Os alunos, em geral, tem dificuldade nos problemas que envolvem a mo-delagem de uma situacao em vez da aplicacao pura e simples de uma formula. Procuramos apresentar uma ricavariedade de situacoes-problema nas quais o aluno possa entender a matematica como assunto util e de interesseatual. Por meio de certos problemas e projetos procuramos despertar a curiosidade e a compreensao do mundo e darealidade que nos cerca desenvolvendo, ao mesmo tempo, a capacidade de modelagem e clarificando a relacao ıntimamatematica-natureza. As solucoes de certos exemplos foram escritas de modo a enfatizar o problema da modelagem.Esta caracterıstica e especialmente enfatizada nos projetos e no desenvolvimento de topicos onde a habilidade naresolucao de problemas e essencial (taxas relacionadas e maximos e mınimos, por exemplo).

(d) Enfase na aprendizagem colaborativa e no desenvolvimento de projetos e nas atividades de laboratorio. Porprocurar desenvolver a habilidade de modelagem de situacoes reais e de tentar fugir do padrao usual de problemastıpicos que aparecem em grande parte dos textos de Calculo, a maioria dos projetos apresentados neste volume exigemum nıvel alto de deducao, analise e crıtica, destinando-se, tambem, ao desenvolvimento da habilidade de comunicacaooral e escrita. Por isso foram concebidos para serem estudados em grupo, de forma colaborativa. A especializacaodo mundo atual nao permite mais o trabalho isolado, e equipes interdisciplinares sao cada vez mais necessarias nodesenvolvimento de projetos. Neste sentido, a universidade que prepara profissionais para o mercado de trabalhocada vez mais exigente deve estimular o trabalho colaborativo e a discussao em grupo. Atividades desenvolvidasem grupo sao mais motivadoras e compensadoras, desenvolvendo a capacidade de comunicacao, essencial nos diasde hoje. O aluno tem a responsabilidade nao so com o seu aprendizado, mas, tambem com o aprendizado do seuparceiro. Experiencias que incorporam o raciocınio e a forma de pensar de outra pessoa a sua forma propria deraciocinar e pensar sao um ingrediente importante e essencial na escola moderna. Alem dos projetos, nestes objetivosse encaixam tambem as atividades de laboratorio. Dois alunos por computador e o numero ideal, em nosso entender.Estas atividades e projetos procuram desmistificar a crenca de que matematica se aprende melhor sozinho; por issorecomendamos que as mesmas facam parte da avaliacao final do aluno.

Apesar de revisoes dos pre-requisitos necessarios ao entendimento dos conceitos abordados estarem presentes emtodos os capıtulos onde se facam necessarias, os dois primeiros capıtulos sao destinados exclusivamente a uma revisaomais extensa dos pre-requisitos mais basicos, e por este motivo, a criterio do professor e das necessidades da turma,seu estudo pode ser omitido.

O Capıtulo 3 destina-se a motivar o estudo e fornecer uma visao geral dos problemas que motivaram o desenvolvi-mento do Calculo Diferencial e Integral a partir do seculo XVII. Os problemas que aparecem neste capıtulo sao aquelesque serao estudados (e resolvidos) no decorrer do texto.

Como o conceito de funcao e o ponto central e unificador de toda a analise matematica e da sua correta construcaoe compreensao depender o sucesso (ou fracasso) nas disciplinas de Calculo que fazem parte da grande maioria doscurrıculos de nossos cursos universitarios, a revisao deste conceito foi incluıda como parte integrante do corpo do texto,apos os capıtulos de revisao e motivacao.

Os capıtulos sao divididos em secoes de conteudo (parte expositiva da materia), exercıcios (aplicacoes diretasdos assuntos estudados), problemas (exercıcios cuja resolucao exige um grau mais alto de entendimento), desafios(opcionais; procuram enriquecer o entendimento, alargar horizontes e enfocar aspectos pouco explorados e ate mesmoesquecidos nos cursos tradicionais), um pouco de historia (visam situar o problema dentro do seu correto contextohistorico e social), projetos e atividades de laboratorio. A ordem dos capıtulos foi ditada por nossa experiencia e podeser alterada segundo criterios proprios de cada professor. Como ja enfatizamos, dependendo dos objetivos a seremalcancados, do estilo do professor, das necessidades da turma e dos recursos computacionais disponıveis, o estudoe desenvolvimento de alguns capıtulos e secoes (desafios, atividades de laboratorio e projetos) podem ser omitidos.Recomendamos, tambem, que os exercıcios, problemas e projetos (se for o caso) sejam selecionados pelo professor.

O sucesso do uso das novas tecnologias no ensino, no nosso entender, repousa no discernimento de onde, como e

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W. Bianchini, A.R.Santos xv

quando usar os recursos computacionais. Muitos topicos de Calculo podem ser explorados de maneira mais facil, maissimples e mais rapidamente usando-se a tradicional abordagem expositiva. Ja outros topicos que envolvem o estudodo movimento e da variacao clamam pelo uso da maquina. Muito se tem falado do uso do computador no ensino,em especial no ensino de matematica, mas muito pouco se tem feito para introduzi-lo, efetivamente, como ferramentaauxiliar em sala de aula. Esperamos que este livro possa contribuir de alguma forma nesta direcao.

Usando a versao eletronica

O CD que acompanha este livro contem a versao eletronica deste texto. Essa versao e um conjunto de hipertextos quefuncionam em conjunto com o programa MAPLE V R4 ou superior, mas pode ser transposta para a utilizacao comqualquer outro sistema computacional algebrico, como o MATHEMATICA, por exemplo.

Para aqueles que tem acesso ao MAPLE, a versao eletronica permite interacao total: e possıvel executar e controlaras animacoes; modificar os dados e parametros usados no tracado de graficos e nas solucoes de problemas; tracar graficosde funcoes e conferir a resposta dos exercıcios; desenvolver rotinas computacionais que executem tarefas repetitivasou algoritmos iterativos e muito mais, de acordo com a sua necessidade, habilidade para lidar com o programa,conhecimento matematico e imaginacao.

Para usar a versao eletronica com eficiencia, copie todos os arquivos do CD para o disco rıgido do seu computador.Tenha certeza de respeitar a mesma estrutura de diretorios encontrada no CD. Caso prefira, execute-a diretamente dodrive do CD-ROM. Neste caso, nao e possıvel salvar as alteracoes feitas nos arquivos. Por isso recomendamos que osarquivos de trabalho sejam copiados para o disco rıgido e alterados de acordo com o desenrolar do curso e a resolucaodos exercıcios e atividades propostas. O CD entao funcionara como um backup que sempre salvaguardara a formaoriginal dos arquivos.

Para inicializar o hipertexto, abra, dentro do Maple, o arquivo sumario.mws, e para acessar cada um dos capıtulos,simplesmente clique no item desejado.

Importante

Execute os comandos na ordem em que aparecerem. Os hipertextos funcionam como uma especie de rotina computa-cional; por isso, se os comandos forem executados fora da ordem em que aparecem, em vez dos resultados esperadospodem aparecer mensagens de erro na tela.

Na execucao de algumas tarefas e necessaria a leitura de um arquivo de dados. Essa leitura e feita usando ocomando read(‘D:diretorio/nome do arquivo‘), onde D indica a unidade de leitura (drive) do seu CDROM. Por isso,antes de executar um comando desse tipo, esteja certo de que o CD fornecido com esse texto se encontra corretamenteinserido na unidade D ou, se for o caso, modifique neste comando a letra D para faze-la corresponder a unidade deleitura correta que voce estiver usando.

O Capıtulo zero desta versao faz um resumo dos principais comandos do MAPLE utilizados nos hipertextos eensina, de forma resumida, como este programa funciona, mostrando ao mesmo tempo alguns dos seus recursos epotencialidades. Alem disso, no decorrer do texto e fornecida a sintaxe e a utilidade dos comandos novos que saoutilizados no texto e atividades de laboratorio. Caso estas explicacoes nao sejam suficientes, consulte o “HELP” doprograma. O modo de acessar o HELP e explicado no capıtulo zero, ja citado.

Se voce tiver alguma outra duvida sobre a utilizacao desta versao eletronica que nao consiga sanar, bem comocrıticas e sugestoes a esta obra, nao hesite em usar o endereco eletronico dado abaixo para nos escrever. Teremosprazer em ajuda-lo e em receber sua opiniao e/ou contribuicao para o aprimoramento de futuras versoes.

Angela Rocha dos [email protected]

Waldecir [email protected]

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Ao Estudante

O objeto matematico mais familiar a grande maioria das pessoas e o numero. Por esta razao, muitas pessoas pensamque gostar de matematica e gostar de numeros, mas o que a maioria desconhece e que muitos matematicos nao gostamde numeros muito mais que as outras pessoas. Os matematicos gostam de matematica porque gostam das coisas quea matematica permite fazer. Se voce e um daqueles que nao gosta de matematica provavelmente e porque ainda naodescobriu o que significa fazer matematica.

A matematica, mais do que qualquer outra ciencia, permite reconhecer e deduzir padroes e, a partir deles, fazerabstracoes. Alem de seu valor intrınseco, estas abstracoes podem ser usadas para descrever e tirar conclusoes a respeitoda natureza e do mundo ao nosso redor.

Num certo sentido, qualquer pessoa e um matematico em potencial, pois qualquer ser humano e capaz de reconhecerpadroes e lidar com conceitos abstratos. O que nos difere e nosso nıvel de habilidade (e paixao) ao lidar com estesconceitos. Apesar disto, todos nos podemos nos beneficiar em compartilhar ideias, duvidas, problemas e solucoes unscom os outros.

Os matematicos estao menos preocupados em obter as respostas corretas, assim num piscar de olhos, do que ementender e percorrer (ou redescobrir) o caminho que leva a solucao de um problema. Em geral, pensar sobre umproblema e tao interessante quanto achar a sua solucao, e fazer perguntas e tao importante quanto responde-las. Estelivro e cheio de perguntas, indagacoes e desafios que nem sempre vem acompanhados de respostas e as vezes sequer temuma unica resposta. Ele foi assim estruturado porque perguntar e a questao central ao se tentar entender matematica.Fazer e compreender matematica envolve ter duvidas, fazer perguntas e relaciona-las umas com as outras.

Quando voce estuda matematica e pensa sobre os problemas, muitas duvidas e questoes proprias surgem. Talvezalguem mais ja tenha pensado sobre elas e saiba responde-las. Talvez voce mesmo seja capaz de encontrar a solucao.Por isso, ler um livro de matematica e diferente de ler um jornal ou um romance, e estudar matematica e comoaprender a nadar: nao basta observar como um campeao olımpico atravessa facilmente uma piscina; voce sera incapazde sentir a dificuldade (e saborear a vitoria) antes de cair voce proprio na piscina!

Nao desanime se, no inıcio, voce afundar muitas vezes, isto e, se voce nao entender uma passagem ou tiver que le-lamais de uma vez. Pergunte, pergunte sempre! Estude com papel e lapis na mao. Eles serao uteis para fazer calculos,refazer passagens, esbocar diagramas e anotar suas duvidas.

Nao se limite a tentar fazer os exercıcios recomendados de cada capıtulo. Faca um plano de estudo: leia e tentecompreender cada secao e capıtulo do texto antes de tentar resolver os exercıcios. Esteja certo de compreender asdefinicoes e o correto significado dos termos.

A matematica se preocupa em provar as afirmacoes usando regras de logica e resultados ja provados e escreverestas provas de maneira que todos consigam entender. Um dos objetivos deste texto e ajuda-lo a pensar e a escreverlogicamente. Teoremas e demonstracoes geralmente sao motivo de medo e desgosto para os alunos de Calculo, pro-vavelmente porque estas provas estao associadas a uma linguagem densa e quase incompreensıvel, cheia de sımbolosestranhos e letras gregas.

Embora seja verdade que os matematicos comunicam suas descobertas e resultados numa linguagem desenvolvidaatraves dos seculos, que usa vocabulario e notacao proprios, e importante notar que mais do que a linguagem apropri-adamente empregada, uma prova matematica deve ser completa, compreensıvel a todos e logicamente deduzida, semapresentar “furos” ou raciocınios circulares no caminho que conduz a conclusao.

Em matematica, o mais importante e perguntar (e saber responder) “como e possıvel afirmar isto?” ou “comoposso ter certeza de que esta afirmacao e verdadeira?” e, entao, ser capaz de comunicar a resposta a estas perguntasnuma linguagem que seja clara e compreensıvel para os seus colegas, professores e ate para voce mesmo. Provar naoe persuadir nem intimidar. Alguma coisa nao esta provada em matematica simplesmente porque parece razoavel ouaceitavel: uma afirmacao so pode ser considerada verdadeira quando e deduzida usando-se as regras da logica, a partirde postulados ou axiomas e de outras afirmacoes ja provadas e, portanto, verdadeiras.

Este livro procura estimula-lo a usar recursos computacionais para auxilia-lo nas suas proprias conclusoes e ajuda-lo

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xviii Ao Estudante

a entender os conceitos, ideias e demonstracoes apresentados. Por isso, se tiver acesso a um computador e ao programaMAPLE V R4 ou superior, use e abuse da versao eletronica deste texto (consulte a secao usando a versao eletronica).Nesta versao e possıvel executar animacoes, visualizar graficos em escalas pequenas (ou grandes), experimentar mu-dancas de parametros, observar os resultados destas “experiencias matematicas” e concluir.

Ajuda-lo a trilhar o caminho da construcao do conhecimento cientıfico e tambem o objetivo das atividades delaboratorio que devem complementar e/ou preceder o estudo de cada capıtulo. Estude em grupo e compartilhe suasdeducoes e conclusoes com seus colegas e professores. Voce vera que, dessa maneira, o seu estudo rendera mais,tornando-se muito mais interessante e proveitoso.

As respostas dos exercıcios e problemas encontram-se no apendice B, no final deste volume. As vezes e possıvelexpressar a resposta de um exercıcio em diferentes formas. Assim, se a sua resposta diferir daquela apresentada pornos, nao considere, imediatamente, que a sua esta errada. Antes, tenha certeza de que nao existe alguma identidadealgebrica e trigonometrica que torne as duas respostas equivalentes.

Calculo e uma materia muito interessante e, desde o seculo XVII, tem-se revelado a principal ferramenta matematicanas aplicacoes cientıficas e tecnologicas. Esperamos que este o livro ajude a encontrar tanto sua beleza intrınseca comosua utilidade.

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Agradecimentos

No final da decada de 70, um grupo de jovens professores do Departamento de Metodos Matematicos do Institutode Matematica da Universidade Federal do Rio de Janeiro (IM-UFRJ), cheios de entusiasmos e zelo pela missao quelhes foi confiada de ensinar calculo para os alunos da maior universidade federal do nosso paıs, e sem saber muitobem como desempenhar esta missao com sucesso, resolveram conjugar esforcos e, com este fim, passaram a se reunirsemanalmente, para discutir, alem dos conteudos a serem ministrados nas aulas, abordagens inovadoras e metodospedagogicos adequados para a introducao dos novos conceitos e desenvolvimento das aulas.

A partir destas reunioes, foram elaborados os entao chamados “roteiros de Calculo” que, durante muitos anos,serviram como padrao e orientacao a alunos e professores que estudavam e ministravam disciplinas de Calculo nanossa e em outras universidades. Estes roteiros de estudo constituıram a grande experiencia didatica desenvolvida noIM-UFRJ e utilizada em nossas aulas por mais de duas decadas.

Embora com um novo enfoque computacional, muitos capıtulos deste livro foram inspirados em partes destesroteiros e segue a sua metodologia, tremendamente inovadora para a epoca e, atualmente, recomendada pelas comissoesde especialistas do MEC, que elaboraram as novas diretrizes curriculares, baseada na contextualizacao dos problemase no enfoque multidisciplinar dos conteudos programaticos.

Neste sentido, gostarıamos de dividir a autoria desta obra com os nossos colegas que faziam parte das equipes deCalculo do final dos anos 70 e inıcio dos anos 80. Em particular, gostarıamos de citar nominalmente, o professor Rolcide Almeida Cipolatti, que coordenou a primeira equipe de Calculo I de 1977, a qual deu partida ‘a elaboracao dosroteiros.

Aos professores Ricardo Silva Kubrusly, Eduardo San-Pedro Siqueira, Monica Moulin, Eliane Amiune Camargo,Ivone Alves Regal, Claudia De Segadas Viana, Bruno Alexandre da Costa,Victor Giraldo, Milton Flores,Elaine Ma-chtyngier e Jair Salvador do IM-UFRJ que vem utilizando este livro nas suas aulas e, consequentemente, ajudando-nos,durante os ultimos tres anos a aprimora-lo por meio de correcoes, crıticas e sugestoes, nosso muito obrigado.

Em particular, gostarıamos de agradecer aos professores Elaine Machtyngier e Jair Salvador pela elaboracao dosapendices A e B, respectivamente, deste volume bem como pela cuidadosa revisao.

Estendemos os agradecimentos a todos que direta ou indiretamente, tenham contribuıdo de alguma forma para arealizacao deste trabalho e que porventura nao tenham sido citados explicitamente. Em particular, aos nossos editoresque tornaram possıvel a execucao desta obra e aos nossos parentes e amigos que suportaram nosso mau humor,acompanhado de total falta de atencao e de tempo, durante a elaboracao deste texto.

Este trabalho faz parte do projeto Novas Tecnologias no Ensino desenvolvido no IM-UFRJ e foi realizado utili-zando recursos do laboratorio de computacao do Departamento de Metodos Matematicos do IM-UFRJ, apoiado pelaFundacao Universitaria Jose Bonifacio.

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Capıtulo 1

Revisao e Pre-requisitos (1)

1.1 Os numeros que governam o mundo

Os numeros representam um papel de vital importancia nao so na matematica como na ciencia de um modo geral ena nossa vida diaria. Vivemos cercados de numeros: horarios, tabelas, graficos, precos, juros, impostos, velocidades,distancias, temperaturas, etc.

A maior parte das quantidades que estudaremos neste curso (areas, volumes, taxas de variacao, velocidades...) emedida por meio de numeros reais, e nesse sentido podemos dizer que o Calculo se baseia no sistema dos numerosreais.

O conjunto de todos os numeros reais e denotado pelo sımbolo R. Presumimos que voce esteja familiarizado comas suas propriedades fundamentais.

O conjunto dos numeros reais contem alguns subconjuntos de fundamental importancia, que foram surgindo a partirdas necessidades do homem de resolver problemas praticos. Assim, o conjunto dos numeros naturais 1, 2, 3, ...,representado pelo sımbolo N, surgiu da necessidade da contagem, que se realiza por meio da operacao de “fazercorresponder” .

A ideia de “correspondencia” e uma das ideias basicas de toda a matematica. Contar significa estabelecer umacorrespondencia, um para um, entre cada item de uma colecao qualquer de objetos e a sucessao de numeros naturais.

A criacao de um sımbolo (0) para representar o nada, ou o numero de elementos de um conjunto vazio, e maisrecente (data talvez dos primeiros seculos da era crista) e surgiu devido as necessidades da numeracao escrita. Nonosso sistema de numeracao, onde o valor de cada algarismo depende da posicao que este algarismo ocupa (sistema denumeracao posicional), o algarismo zero representa um papel de fundamental importancia para “preencher ou indicarclasses vazias”. O sistema de numeracao posicional permite nao so escrever os numeros de maneira muito simples, mastambem efetuar as operacoes muito facilmente (tente fazer uma conta bem simples usando o sistema de numeracaoromana e sinta a dificuldade!!).

Na sucessao dos numeros naturais podemos passar de um numero para o seguinte juntando-lhe uma unidade.Assim, passamos do 1 para o 2, do 2 para o 3, e, dessa maneira, podemos ir tao longe quanto quisermos, isto e, dadoum numero n qualquer, por maior que ele seja, podemos sempre obter um numero n+ 1, maior do que ele. Este fatoexprime-se por qualquer dos seguintes enunciados:

(a) a sucessao dos naturais e ilimitada (nao ha um numero natural maior que todos os outros);

(b) dado um numero natural, por maior que ele seja, existe sempre outro maior do que ele;

(c) ha uma infinidade de numeros naturais.

(Na impossibilidade de listar todos os elementos do conjunto dos naturais, usamos as reticencias para evidenciar estapropriedade.)

Uma das deficiencias apresentadas pelo conjunto dos numeros naturais e a impossibilidade da subtracao. Paraentender esta impossibilidade, considere um movel que partindo de um ponto O, atinge um ponto P ao fim de 5segundos, movendo-se a uma velocidade de 1 m/s. Podemos concluir que o ponto P esta a uma distancia de 5 mdo ponto O. Suponhamos, agora, que o movel mude o sentido do movimento mas continue com a mesma velocidadepor mais 3 segundos. Ao fim destes 3 segundos ele estara a 2 m de distancia do ponto O. Poderıamos chegar aesta conclusao a partir dos dois resultados parciais que expressam as duas fases do movimento, isto e, subtraindo 3(distancia percorrida pelo movel na segunda fase) de 5 (distancia percorrida na primeira fase). Assim, a posicao finaldo movel poderia ser obtida por meio da operacao 5− 3 = 2.

Esta operacao nao e sempre possıvel no conjunto dos naturais. Vamos exemplificar. Suponhamos que o movel,partindo de O e movendo-se sempre com uma velocidade de 1 m/s, siga para a direita durante 5 segundos e retroceda,

1

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2 Cap. 1 Revisao e Pre-requisitos (1)

com a mesma velocidade, durante 8 segundos. Ao fim dos 13 segundos, ele estara numa posicao a 3 metros a esquerdado ponto O. Este resultado e impossıvel de se obter, como anteriormente por meio de uma subtracao, no conjunto dosnumeros naturais, pois nao existe nenhum numero natural que represente o resultado da operacao 5− 8.

Esta deficiencia dos naturais foi sanada ampliando-se esse conjunto e formando-se o conjunto dos numeros inteiros. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . ., denotado pelo sımbolo Z (da palavra alema Zahl, que significa numero).

Assim como os numeros naturais surgiram da necessidade de contar, os numeros racionais, que sao expressos pelarazao entre dois inteiros, surgiram da necessidade de medir.

Medir e comparar. Para isso e necessario estabelecer um padrao de comparacao para todas as grandezas da mesmaespecie, por exemplo, 1 cm para comprimento, 1 segundo para tempo, etc. Este padrao estabelece uma unidadede medida da grandeza (comprimentos, areas, tempo, etc.). Medir, portanto, e determinar quantas vezes a unidadeestabelecida cabe, por exemplo, no comprimento que se quer medir. O resultado desta comparacao, que e a medidada grandeza em relacao a unidade considerada, deve ser expresso por um numero.

Na figura superior ao lado, se considerarmos o segmento CD comoa unidade de medida, teremos que o segmento AB mede 4 unida-des. Tomando-se CE como unidade, a medida deste mesmo seg-mento sera 8 unidades. So em casos muito especiais a grandezaa ser medida contem um numero inteiro de vezes a unidade demedida. O caso mais frequente e o da figura inferior ao lado onde,tomando-se a medida u do segmento CD como unidade, a medidade AB e maior que 3u e menor que 4u. E claro que neste exem-plo, podemos subdividir a unidade em partes menores para quecada uma delas caiba um numero inteiro de vezes na grandeza amedir mas, o que se pode dizer da medida de AB em relacao a deCD? A dificuldade surge porque, neste caso, a medida m de ABnao e divisıvel pela medida u de CD. No conjunto dos numerosinteiros existe a impossibilidade da divisao, isto e, neste conjuntonem sempre e possıvel expressar o resultado de uma medicao oude uma razao.

E DC

BA

DC

BA

Para resolver este problema criou-se um novo conjunto de numeros, chamado conjunto dos numeros racionais,denotado pelo sımbolo Q (de quociente). Um numero racional p e, portanto, aquele que pode ser escrito na formap = m

n , onde m e n sao inteiros e n 6= 0. (Lembre-se que a divisao por zero nao tem sentido pois nao existe nenhumnumero que multiplicado por zero seja diferente de 0; portanto, expressoes do tipo 3

0 nao estao definidas e expressoesdo tipo 0

0 sao indeterminadas.)Parece que desta maneira resolvemos todos os nossos problemas de medicao. Doce engano! Existem alguns

numeros reais, tais como√

2 e π, que nao podem ser expressos como a razao entre inteiros. Isto quer dizer que em Qnao podemos medir a diagonal de um quadrado de lado 1 ou a area de um cırculo de raio 1. Este fato ja tinha sidopercebido pelos gregos na epoca de Pitagoras. Por esta razao, estes numeros sao chamados de irracionais. Podemosmostrar, com varios graus de dificuldade (veja projeto Numeros Algebricos e Transcendentes), que os numeros

√2,√

3,√

5, 2( 13 ), π, e, sen(10), log10(2) sao todos irracionais.

Todo numero real tem uma representacao decimal infinita. Se o numero e racional, entao a parte decimal e repetidaa partir de um certo ponto. Por exemplo,

2 = 2, 000..., 12 = 0, 5000..., 2

3 = 0, 6666...,

157495 = 0, 31711717..., 9

7 = 1, 285714285714... .

Se o numero e irracional, a parte decimal nao segue nenhum padrao, isto e, nao se repete nunca. Com o auxılio de umcomputador, podemos calcular a representacao decimal de

√2 e de π com muitas casas decimais para nos convencer

deste fato. Veja abaixo os valores destes numeros calculados com 9, 50 e 200 casas decimais, com auxılio do comandoevalf do Maple.

> evalf(Pi);

3.141592654

> evalf(Pi,50);

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

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W.Bianchini, A.R.Santos 3

> evalf(Pi,200);

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067

9821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303820

> evalf(sqrt(2));

1.414213562

> evalf(sqrt(2),50);

1.4142135623730950488016887242096980785696718753769

> evalf(sqrt(2),200);

1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572

7350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605715

Embora estes numeros sejam convincentes, eles nao bastam como uma prova matematica. A demonstracao deque√

2 e irracional e facil e esta indicada no projeto Numeros Algebricos e Transcendentes. Ja a prova de que π eirracional e muito difıcil e foge ao objetivo deste curso.

Os valores acima, obtidos truncando-se a representacao decimal de π e de√

2, respectivamente, num determinadoponto, sao aproximacoes racionais para estes numeros. Neste sentido, todo numero irracional pode ser aproximadopor um numero racional, e a aproximacao sera tanto melhor quanto mais casas decimais forem consideradas. Estapropriedade as vezes e expressa dizendo-se que o conjunto dos numeros racionais e denso no conjunto dos irracionais,isto e, qualquer que seja o numero irracional k, existe uma sequencia de numeros racionais r1, r2, r3, ..., rn, ... tal que,a medida que n cresce, o erro que cometemos ao aproximarmos k por rn e cada vez menor. Por exemplo, os termosda sequencia de racionais

1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, . . .

se aproximam cada vez mais do numero√

2 a medida que consideramos mais e mais termos na sequencia. Paraexprimir este fato usamos a notacao matematica lim

n→∞rn = k. Le-se: o limite de rn quando n tende a infinito (isto

e, cresce sem limite) e k. Podemos generalizar este fato dizendo que qualquer numero real pode ser aproximado poruma sequencia de racionais, isto e, os racionais sao densos nos reais.

E possıvel associar os numeros reais aos pontos de uma reta de tal modo que a cada numero real corresponda umunico ponto P da reta e, reciprocamente, a cada ponto P da reta corresponda um unico numero real. Isto sera feitona proxima secao.

Em 1872, Ricardo Dedekind usou o fato de os racionais serem densos nos reais para estabelecer a continuidadedos numeros reais, isto e, para formular de uma maneira matematicamente aceitavel a ideia intuitiva de que a retae, consequentemente, o conjunto dos numeros reais – pois estes dois conjuntos tem o mesmo numero de pontos (vejaproxima secao) – nao tem “furos” ou “buracos”.

1.2 A reta numerada

Como foi dito no final da secao anterior, e possıvel estabelecer uma correspondencia biunıvoca, ou um a um, entre oconjunto dos numeros reais e os pontos de uma reta, isto e, e possıvel associar um unico numero real a cada pontoP de uma reta e, reciprocamente, a cada ponto P de uma reta e possıvel associar um unico numero real da maneiradescrita a seguir.

Escolhemos um ponto arbitrario O da reta e uma conveniente unidade de medida. O ponto O sera chamado deorigem. A este ponto associamos o numero real 0 (zero). Cada numero real positivo x e representado pelo ponto dareta que esta a x unidades a direita da origem, e cada numero negativo −x e representado pelo ponto da reta queesta a x unidades a esquerda da origem. O numero associado ao ponto P e chamado coordenada de P ; a reta e entaochamada reta coordenada, reta real numerada ou simplesmente reta real, e a correspondencia assim estabelecida e ditaum sistema de coordenadas na reta.

No exemplo a seguir, a coordenada de P e −4, a coordenada de Q e −2 e assim por diante.

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4 Cap. 1 Revisao e Pre-requisitos (1)

0–2 3–4

OQ SP

Uma vez estabelecido um sistema de coordenadas, podemos identificar o ponto com sua coordenada e passar apensar em qualquer numero como um ponto da reta real.

1.2.1 Relacao de ordem; conjuntos e intervalos

Sejam a e b dois numeros reais quaisquer. Dizemos que a e menor que b e escrevemos a < b, quando b− a e positivo.Geometricamente, isto significa que o numero a esta a esquerda do numero b na reta numerada. Equivalentemente,dizemos que b e maior que a e escrevemos b > a. O sımbolo a ≤ b, le-se a e menor ou igual a b (ou b ≥ a, le-se b emaior ou igual a a), significa que ou a < b ou a = b (b > a ou b = a). Logo, tres possibilidades podem ocorrer:

a < b, a > b ou a = b

Neste sentido, dizemos que o conjunto dos numeros reais e ordenado. Se a, b e c sao numeros reais, podemos demonstrarque:

(i) Se a < b e b < c, entao a < c.

(ii) Se a < b, entao a+ c < b+ c.

(iii) Se a < b e c < d, entao a+ c < b+ d.

(iv) Se a < b e c > 0, entao a c < b c.

(v) Se a < b e c < 0, entao a c > b c.

(vi) Se 0 < a < b, entao 1b <

1a .

Regras analogas valem para a relacao maior que.

Cuidado! A regra (ii) diz que podemos adicionar qualquer numero a ambos os lados de uma desigualdade, e aregra (iii) diz que podemos adicionar desigualdades, mas devemos tomar cuidado com multiplicacoes. A regra (iv)diz que a desigualdade e mantida quando multiplicamos ambos os lados por um numero positivo, mas a desigualdademuda de sentido quando multiplicamos ambos os lados por um numero negativo (regra (v))! A regra (vi) diz aindaque se considerarmos recıprocos de numeros positivos a desigualdade tambem muda de sentido.

Conjuntos e intervalos

Na secao anterior usamos varias vezes a palavra conjunto para denotar uma colecao de numeros. Em matematica, umconjunto e uma colecao de objetos de qualquer especie, e esses objetos sao chamados elementos do conjunto. Conjuntossao denotados por letras maiusculas, e seus elementos, listados entre chaves e separados por vırgulas, sao denotadospor letras minusculas. Por exemplo, o conjunto A de todos os inteiros positivos menores ou iguais a 7 pode ser escritocomo:

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Podemos tambem denotar o conjunto A usando a propriedade que o define, do seguinte modo:

A = x ∈ Z; 0 < x ≤ 7

(le-se: A e o conjunto dos x em Z, tais que x e maior que zero e menor ou igual a 7).

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W.Bianchini, A.R.Santos 5

Se S e um conjunto, a notacao a ∈ S significa que a e um elemento de S e a /∈ S significa que a nao e um elementode S. Por exemplo, −3 ∈ Z, π /∈ Z.

Se S e T sao conjuntos quaisquer, entao sua uniao S ∪ T e o conjunto constituıdo de todos os elementos que estaoem S ou em T (ou em ambos S e T ).

A intersecao de S e T e o conjunto S ∩ T constituıdo de todos os elementos comuns a S e a T , isto e, de todos oselementos que estao em S e em T .

O conjunto vazio, denotado pelo sımbolo ∅, e o conjunto que nao contem nenhum elemento. O conjunto de todosos dias da semana que comecam por x e um exemplo de conjunto vazio.

Dizemos que um conjunto S e um subconjunto do conjunto T ou esta contido em T , e escrevemos S ⊂ T (ouequivalentemente T ⊃ S – le-se T contem S) quando todos os elementos de S tambem sao elementos de T . Todoconjunto e subconjunto de si mesmo. No caso de S ⊂ T e S 6= T , dizemos que S e um subconjunto proprio de T .

Intervalos

Em Calculo, lidamos comumente com certos conjuntos numericos chamados intervalos, que geometricamente cor-respondem a segmentos de reta (ou semi-retas). Por exemplo, se a < b, o intervalo aberto, denotado por (a, b), econstituıdo por todos os numeros reais que estao entre a e b. Usando a notacao de conjuntos, podemos escrever estadefinicao do seguinte modo:

(a, b) = x ∈ R; a< x< b

Note que, neste caso, os extremos – os numeros a e b – nao pertencem ao intervalo. Esta exclusao e indicada pelosparenteses e pelo cırculo vazio na figura a seguir, que ilustra geometricamente o intervalo (a, b).

ba

O intervalo fechado de a ate b e o conjunto

[a, b] = x ∈ R; a ≤ x ≤ b

Neste caso, os extremos pertencem ao intervalo. Isto e indicado pelos colchetes e pelo cırculo cheio no desenho a seguir.

ba

E tambem possıvel que um extremo esteja incluıdo num intervalo e o outro nao. Por exemplo, definimos o intervalo(a, b] assim:

(a, b] = x ∈ R; a < x ≤ b

e a sua representacao geometrica e mostrada a seguir.

ba

Neste caso, os intervalos sao ditos semi-abertos.Podemos tambem considerar intervalos infinitos tais como

(a, ∞) = x ∈ R; x > a

Este intervalo e representado geometricamente por uma semi-reta de origem em a, como mostra a figura:

a

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6 Cap. 1 Revisao e Pre-requisitos (1)

Note que o sımbolo∞ nao representa um numero: a notacao (a,∞) define o conjunto de todos os numeros maioresque a e o sımbolo ∞ indica somente que o intervalo se prolonga indefinidamente, a partir de a, na direcao positiva dareta numerada (para a direita do numero a).

Um resumo das situacoes que podem ocorrer e mostrado na tabela a seguir:

Notacao Definicao(a,b) x ∈ R; a < x < b[a,b] x ∈ R; a ≤ x ≤ b(a,b] x ∈ R; a< x ≤ b[a,b) x ∈ R; a ≤ x<b

(a, ∞) x ∈ R; x > a[a, ∞) x ∈ R; x ≥ a

( −∞, b) x ∈ R; x < b ( −∞, b] x ∈ R; x ≤ b

( −∞, ∞) R

• Faca uma representacao na reta real de cada um dos intervalos acima.

1.2.2 Valor absoluto

O valor absoluto ou modulo de um numero a, denotado por | a |, e a distancia de a a origem do sistema de coordenadas.Distancias sao sempre positivas ou nulas. Assim,

| a | ≥ 0 , qualquer que seja o numero real a.

Por exemplo,

| 3 | = 3, | −3 | = 3, | 0 | = 0,∣∣√2− 1

∣∣ =√

2− 1, | 3− π | = π − 3.

Em geral,

| a | =

a se a ≥ 0−a, se a < 0

(Note que, se a e negativo, −a e positivo e a definicao acima esta de acordo com a nossa observacao inicial de que| a | ≥ 0.)

Exemplo Expresse | 3x− 2 | sem usar o sımbolo de valor absoluto.

Solucao

| 3x− 2 | =

3x− 2 , se 3x− 2 ≥ 0−(3x− 2) , se 3x− 2 < 0

=

3x− 2 , se x ≥ 2

32− 3x , se x < 2

3

Cuidado! O sımbolo√x significa a raiz positiva de x. Assim,

√x = y significa que y2 = x e y ≥ 0. Consequen-

temente, a equacao√x2 = x, so e verdadeira quando x ≥ 0. Se x < 0, entao −x e positivo, e neste caso

√x2 = −x .

Resumindo:

√x2 =

x , se x ≥ 0−x , se x < 0

Usando a definicao de valor absoluto, tem-se√x2 = |x |, qualquer que seja x real.

As provas das seguintes desigualdades envolvendo valores absolutos sao deixadas como exercıcio.Sejam a e b numeros reais quaisquer e n um inteiro, entao:

(a) | a | = | −a |

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W.Bianchini, A.R.Santos 7

(b) | a b | = | a | | b|

(c)∣∣ ab

∣∣ = | a || b | , b 6= 0

(d) | an | = | a |n

(e) − | a | ≤ a ≤ | a |.

Seja a > 0. Entao,

(f) |x | = a se e somente se x = a ou x = −a

(g) |x | < a se e somente se −a < x < a

(h) |x | > a se e somente se x > a ou x < −a

A interpretacao geometrica dessas desigualdades torna seu significado auto-evidente. A desigualdade (g), porexemplo, diz que a distancia de x a origem e menor do que a se e somente se x esta entre a e −a. Veja a figura:

aa

| x |

x O a-a

Uma outra propriedade de valor absoluto, chamada Desigualdade Triangular , e usada frequentemente, nao so emCalculo, mas em matematica em geral.

Desigualdade Triangular

Se a e b sao numeros reais quaisquer, entao | a+ b | ≤ | a |+ | b |.

Observe que se a e b sao ambos positivos ou ambos negativos, entao os dois lados da desigualdade sao, na realidade,iguais. Se a e b tem sinais contrarios, o primeiro membro da desigualdade envolve uma subtracao e o segundo nao.Estas observacoes fazem com que a desigualdade acima pareca razoavel, mas, em matematica, nem tudo que parecerazoavel e verdade! Necessitamos provar cada afirmacao que fazemos. Portanto, vamos a prova.

Demonstracao

Como − | a | ≤ a ≤ | a | e − | b | ≤ b ≤ | b | , adicionando estas desigualdades temos

−(| a |+ | b |) ≤ a+ b ≤ | a |+ | b |Entao, pela propriedade (g) com x = a+ b e a = | a |+ | b | podemos concluir que

| a+ b | ≤ | a |+ | b |

que e o resultado que querıamos demonstrar.

Aplicacao

Se |x− 4 | < 0, 1 e | y − 7 | < 0, 2, use a desigualdade triangular para estimar | (x+ y)− 11 | .

Solucao

| (x+ y)− 11 | = | (x− 4) + (y − 7) | .Usando a desigualdade triangular com a = x− 4 e b = y − 7, temos que

|x+ y − 11 | = | (x− 4) + (y − 7) | ≤ |x− 4 |+ | y − 7 | < 0, 1 + 0, 2.

Logo,|x+ y − 11 | < 0, 3 .

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8 Cap. 1 Revisao e Pre-requisitos (1)

1.2.3 Distancia entre dois pontos

Podemos usar o conceito de valor absoluto para definir a distancia entre dois numeros reais quaisquer. Se a e b sao doisnumeros reais, a distancia entre eles e o valor absoluto da sua diferenca. Geometricamente, se a e b sao as coordenadasde dois pontos A e B da reta numerada, a distancia entre A e B, denotada por d(A, B), e o comprimento do segmentoAB e, portanto,

d(A, B) = d(B, A) = | b− a | = | a− b |

Note que a distancia entre o ponto O (origem) e qualquer ponto A da reta numerada e dada por d(A, O) =| a− 0 | = | a |, o que esta de acordo com a definicao dada anteriormente para valor absoluto.

Exercıcio Se A, B, C e D tem coordenadas −5, −3, 1 e 6, respectivamente, determine d(A, B), d(C, B), D(O, A),d(C, D).

O conceito de valor absoluto tem outras importantes aplicacoes alem da determinacao de distancias entre pontos.Em geral, usamos valor absoluto quando estamos interessados na magnitude, ou valor numerico, de um numero real,independentemente do seu sinal.

1.3 Expressoes algebricas - Equacoes e inequacoes

Em matematica, frequentemente usamos letras e outros sımbolos para representar numeros reais ou elementos ar-bitrarios de um conjunto qualquer.

Uma variavel e uma letra ou um sımbolo que representa um numero real cujo valor nao e especificado, por exemplo,x, y, t, ε e δ.

Uma constante e uma letra ou um sımbolo que representa um valor especificado, por exemplo, −2, 0,√

3, π.Uma expressao algebrica e uma combinacao de variaveis e constantes envolvendo adicao, subtracao, multiplicacao,

divisao, potencias e raızes, por exemplo, 3x+ 4 y t+ x2

2 .Para avaliarmos uma expressao algebrica substituımos cada uma das variaveis que aparecem na expressao por

numeros reais especificados.

Exemplo Avalie a expressao 3x2 + 4x− 5 para(a) x = 3 (b) x = −2, 6

Solucao (a) Usando lapis e papel:Para x = 5 tem-se 3x2 + 4x− 5 = (3) (32) + (4) (3)− 5 = 27 + 12− 5 = 34

(b) Usando o Maple:

> expressao:=3*x^2+4*x-5;

expressao := 3x2 + 4x− 5

> subs(x=-2.6,expressao);

4.88

Uma equacao e uma igualdade entre duas expressoes algebricas. Por exemplo, 2x− 3 = 7, 2x2 + 5x− 3 = 0 e2

x+1 = 7x+ 2 sao equacoes na variavel x.A solucao de uma equacao em x e um valor de x para o qual obtemos uma sentenca verdadeira.

Exemplo Mostre que x = −2 e uma solucao da equacao x3 − x+ 6 = 0.

Solucao Para x = −2, tem-se x3 − x+ 6 = (−2)3 − (−2) + 6 = −8 + 2 + 6 = 0. Logo, a sentenca x3 − x+ 6 = 0e verdadeira para x = −2. Isto implica que x = −2 e uma solucao desta equacao.

Resolver uma equacao em x significa determinar todos os valores para os quais a equacao e verdadeira. A tecnicapara resolver equacoes consiste em transformar a equacao dada numa outra, equivalente a ela, cuja solucao seja obvia.Por exemplo, a equacao 2 z − 4 = 0 e equivalente a 2 z = 4 que por sua vez e equivalente a z = 2.

Obtem-se equacoes equivalentes a uma equacao dada se uma ou mais das seguintes operacoes sao realizadas:

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W.Bianchini, A.R.Santos 9

Operacao Equacao Original Equacao Obtida

1 - Combinar termos semelhantes, 2x+ x = 39 3x = 1

3

reduzir fracoes ao mesmo denominador, x2 + 1

4 = 2 2 x+14 = 2

remover parenteses. 2(x+ 4) = −2 2x+ 8 = −22 - Realizar a mesma operacao emambos os termos da igualdade:(a) Adicionar x+ 3 = 7 (+(−3)) x = 4

(b) Subtrair 5x = 2x+ 4 −(+2x) 3x = 4

(c) Multiplicar ou dividir por 3x = 12 ÷(3) x = 4

constantes nao nulas 3x = 12 × 13 x = 4

Exemplo Resolva as seguintes equacoes:(a) 2 (2x− 3) + 3 (x+ 1) = 5x+ 2 (b) 5 y−2

8 = 2 + y4

Solucao (a) Com lapis e papel:2 (2x− 3) + 3 (x+ 1) = 5x+ 2

4x− 6 + 3x+ 3 = 5x+ 2

7x− 3 = 5x+ 2

2x = 5⇒ x =5

2

Verificando o resultado, para x = 52 tem-se que

2 (2x− 3) + 3 (x+ 1) = 4 +21

2=

29

2e 5x+ 2 =

25

2+ 2 =

29

2,

ou seja, a igualdade se verifica para este valor de x.Usando o comando solve, podemos resolver a equacao com a ajuda do Maple da seguinte maneira:

> solve( 2*(2*x-3)+3*(x+1)=5*x+2,x);

5

2

(b) Com lapis e papel:5 y − 2

8= 2 +

y

4

5 y − 2

8=

8 + y

4

5 y − 2 = 2 (8 + y)

5 y − 2 = 16 + 2 y

3 y = 18⇒ y = 6.

Verificando o resultado: 30−28 = 28

8 = 72 e igual a 2 + 6

4 = 72 .

Usando o Maple, temos:

> solve((5*y-2)/8=2+y/4,y);

6

Uma inequacao e uma desigualdade envolvendo variaveis, por exemplo, x2 − 3 < 2x+ 4. As inequacoes aparecemcom frequencia no Calculo.

Os valores da variavel que satisfazem a desigualdade sao as solucoes da inequacao. Resolver uma inequacao em xsignifica achar todos os valores de x para os quais a desigualdade e verdadeira. Como no caso de equacoes, o processopadrao para resolver desigualdades consiste em substituir a desigualdade original por uma cadeia de desigualdades

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10 Cap. 1 Revisao e Pre-requisitos (1)

equivalentes, terminando em uma cujas solucoes sejam obvias. Tal processo baseia-se nas propriedades das desigual-dades mencionadas na secao Relacao de Ordem. Por exemplo, adicionando a mesma quantidade a ambos os lados deuma inequacao, obtemos uma desigualdade equivalente. Podemos tambem multiplicar por constantes positivas, masa multiplicacao por constantes negativas inverte o sentido de uma desigualdade.

Exemplos (1) Resolva a inequacao 4x+ 3 > 2x− 5.

Solucao Aplicando as propriedades obtemos as seguintes desigualdades equivalentes:

4x+ 3 > 2x− 5⇒ 4x > 2x− 8⇒ 2x > −8⇒ x > −4

Logo, as solucoes sao todos os numeros reais maiores do que −4, isto e, a solucao da inequacao dada e o intervaloinfinito ( −4, ∞ ).

Este resultado poderia ser obtido com o comando solve do Maple, como se segue:

> solve(4*x+3>2*x-5,x);

RealRange(Open(−4), ∞)

(Esta notacao significa o intervalo aberto (−4, ∞)).

(2) Resolva a inequacao 4 ≤ 3x− 2 < 13.

Solucao A solucao, neste caso, e o conjunto de todos os valores de x que satisfazem ambas as desigualdades.Usando as propriedades das desigualdades obtemos a seguinte cadeia de desigualdades equivalentes:

4 ≤ 3x− 2 < 13⇒ 6 ≤ 3x < 15⇒ 2 ≤ x < 5

Logo a solucao e o intervalo [2, 5).

Usando o Maple para resolver esta inequacao, temos que:

> solve(4<=3*x-2,x);

RealRange(2, ∞)

> solve(3*x-2<13,x);

RealRange(−∞, Open(5))

Neste caso, a solucao da inequacao e a interseccao dos dois intervalos obtidos acima, isto e, a solucao e dada por(−∞, 5) ∩ [2, 5) = [2, 5).

(3) Resolva a inequacao 2x+ 1 ≤ 4x− 3 ≤ x+ 7.

Solucao Neste caso, e preciso resolver as desigualdades 2x+1 ≤ 4x−3 e 4x−3 ≤ x+7, separadamente. Assim,

(a) 2x+ 1 ≤ 4x− 3⇒ 4 ≤ 2x⇒ 2 ≤ x;

(b) 4x− 3 ≤ x+ 7⇒ 3x ≤ 10⇒ x ≤ 103 ;

Como x deve satisfazer ambas as desigualdades, temos que

2 ≤ x ≤ 10

3.

Consequentemente, a solucao da equacao e o intervalo [2, 103 ].

Como nas vezes anteriores, podemos usar o Maple para obter este mesmo resultado.

(4) Resolva a inequacao x2 − 5x+ 6 ≤ 0.

Solucao Primeiro fatoramos o lado esquerdo da desigualdade para obter:

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W.Bianchini, A.R.Santos 11

(x− 2) (x− 3) ≤ 0.

Os numeros 2 e 3 sao solucoes da equacao correspondente (x− 2) (x− 3) = 0. (Lembre-se de que o produto dedois numeros e nulo se e somente se um dos fatores for igual a zero.)

Estes numeros dividem a reta em tres intervalos ( −∞, 2), (2, 3) e ( 3, ∞). A tecnica de resolucao desta inequacaoconsiste em determinar o sinal dos fatores em cada um destes intervalos e entao obter o sinal do produto, como e feitona tabela a seguir.

Intervalo Sinal de (x− 2) Sinal de (x− 3) Sinal de (x− 2) (x− 3)x < 2 − − +

2 < x < 3 + − −x > 3 + + +

Da tabela acima podemos concluir que (x − 2) (x − 3) e negativo quando 2 < x < 3, consequentemente a solucaoda desigualdade e

x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 3 = [2, 3].

Note que os extremos do intervalo foram incluıdos porque procuramos os valores de x tais que o produto dos fatorese zero ou negativo. Graficamente, poderıamos resumir o resultado mostrado na tabela do seguinte modo:

+-+

32

(5) Resolva a inequacao 1+x1−x > 1.

Solucao

1 + x

1− x> 1⇒ 1 + x

1− x− 1 > 0⇒ 1 + x− 1 + x

1− x> 0⇒ 2x

1− x> 0 .

Da ultima desigualdade da cadeia acima podemos concluir que o numerador e zero quando x = 0 e o denominadore zero quando x = 1. Como no exemplo anterior, vamos determinar o sinal da fracao considerando, separadamente,os casos x < 0, 0 < x < 1 e x > 1, escrevendo os resultados obtidos numa tabela.

Intervalo Sinal de 2x Sinal de (1− x) Sinal de 2 x1−x

x < 0 − + −0 < x < 1 + + +x > 1 + − −

Da tabela acima concluımos que a solucao da inequacao dada e

x ∈ R; 0 < x < 1 = (0, 1).

Cuidado! Um outro metodo para resolver esta inequacao seria multiplicar ambos os membros da desigualdadepor 1 − x. Observe que e preciso considerar, separadamente, quando 1 − x > 0 e quando 1 − x < 0. (Lembre-se deque uma desigualdade troca de sentido quando multiplicamos ambos os membros por um numero negativo!)

Se 1− x > 0, obtem-se:

1 + x > 1− x⇒ 2x > 0⇒ x > 0.

Como 1− x > 0⇒ x < 1. Logo, 0 < x < 1.

Se 1− x < 0, obtem-se:

1 + x < 1− x⇒ 2x < 0⇒ x < 0 .

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12 Cap. 1 Revisao e Pre-requisitos (1)

Mas como 1 − x < 0 ⇒ x > 1 e as condicoes x > 1 e x < 0 sao incompatıveis, a inequacao nao tem solucao paraeste caso. Consequentemente, a solucao e dada pelo intervalo (0, 1), como anteriormente.

(6) Resolva a inequacao | 2x− 5 | < 3.

Solucao Pelas propriedades do valor absoluto, temos:

−3 < 2x− 5 < 3⇒ 2 < 2x < 8⇒ 1 < x < 4.

A solucao, portanto, e o intervalo (−1, 4).

(7) Resolva a inequacao | 3x+ 2 | ≥ 4.

Solucao A desigualdade acima e equivalente a 3x+ 2 ≥ 4 ou 3x+ 2 ≤ −4.No primeiro caso, obtemos:

3x+ 2 ≥ 4⇒ 3x ≥ 2⇒ x ≥ 2

3.

No segundo:3x+ 2 ≤ −4⇒ 3x ≤ −6⇒ x ≤ −2.

A solucao da inequacao e, portanto, o conjuntox ∈ R;x ≤ −2 ou x ≥ 2

3

= (−∞, −2] ∪

[2

3, ∞

)

1.4 Para voce meditar: Onde esta o erro?

A seguir “provamos” que 1 = 2.

Seja x = y. Entao,x2 = x y

x2 − y2 = x y − y2

(x+ y) (x− y) = y (x− y)

x+ y = y ⇒ 2 y = y ⇒ 2 = 1

• Onde esta o erro?

1.5 Exercıcios

1. Resolva as seguintes equacoes:

(a)√x2 − 2x+ 1 = x− 1

(b)∣∣x2 − 5x+ 6

∣∣ = |x− 3 | |x− 2 |(c)√x2 + 1 = x

(d) |x+ 1 | = | 1− x |(e)√x2 − 1 = x

2. Resolva as seguintes inequacoes:

(a) 5− 3x > 17 + x

(b) 3x− 7 < x+ 5

(c) 6x− 10 > 5x+ 3

(d) 5x− 3 < 17x+ 1

(e) −4x− 8 < 2x+ 6

(f) 3− 2x < 4− 3x

(g) x2 − 2x+ 2 > 0

(h) x2 + x+ 1 > 2

(i) (x− 4) (x+ 5) (x− 3) > 0

(j) 1x + 1

1−x > 0

(k) x−1x+1 > 0

(l) |3x+ 2| ≤ |2x− 1|+ |x+ 3|

3. (a) Descreva o seguinte conjunto com a notacao de intervalo

x ∈ R;√

(x+ 1)2 = x+ 1

(b) Mostre que qualquer que seja o numero real y, tem-se y2 − 2 y + 1 ≥ 0 .

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W.Bianchini, A.R.Santos 13

4. Na reta numerada, indique o conjunto solucao de:

(a) |x | < 2

(b) |x− 2 | < 12

(c) | 2x− 3 | ≤ 12

(d) | 3− 2x | ≤ 12

(e) |x− 2 | < 14 e x ≥ 2

5. (a) Localize√

2 na reta real.

(b) Localize√a na reta real, onde a e qualquer inteiro positivo.

Sugestao: Tente uma construcao geometrica.

6. Para que valores de a a fracao a|a| esta definida? Qual o valor desta fracao para a positivo? E para a negativo?

1.6 Problemas

1. (a) A formula para o perımetro de um retangulo e P = 2 (L+W ), onde L e o comprimento do retangulo e We a sua largura. Resolva esta equacao para W .

(b) A formula para a area de um trapezio e A = h B+b2 , onde h e a altura do trapezio, B e a base maior e b a

base menor. Resolva esta equacao para b.

2. A relacao entre as escalas de temperatura Celsius (C) e Fahrenheit (F) e dada por C = 5 (F−32)9 .

(a) Que intervalo na escala Celsius corresponde a variacao de 50 a 95 graus na escala Fahrenheit?

(b) Que intervalo na escala Fahrenheit corresponde a variacao de 20 a 30 graus na escala Celsius?

3. (a) Mostre que o numero a+b2 , chamado media aritmetica de a e b, e o ponto medio do intervalo a ≤ x ≤ b.

Sugestao: O ponto medio deste intervalo e a mais a metade do comprimento do intervalo.

(b) Se a e b sao numeros positivos, mostre que√a b ≤ a+b

2 . Se 0 < a < b, o numero√

ab chama-se mediageometrica de a e b.

4. Mostre as desigualdades abaixo, para todos a e b reais.

(a) | a | − | b | ≤ | a− b |

(b) | a | − | b | ≤ | a+ b |

5. (a) Suponha que |x− 2 | < 0, 01 e que | y − 3 | < 0, 04. Use a desigualdade triangular para mostrar que| (x+ y)− 5 | < 0, 05.

(b) Mostre que se |x+ 3 | < 12 , entao | 4x+ 13 | < 3.

(c) Prove que se |x− x0 | < ε2 e | y − y0 | < ε

2 , entao | (x+ y)− (x0 + y0) | < ε e | (x− y)− (x0 − y0) | < ε.

(d) Prove que se |x− x0 | < min

2 (| y0 |+ 1), 1

)e | y − y0 | <

ε

2 (|x0 |+ 1), entao | xy − x0 y0 | < ε.

(A notacao |x− x0 | < min

2 (| y0 |+ 1), 1

)significa que |x− x0 | <

ε

2 (| y0 |+ 1)e |x− x0 | < 1.)

(e) Prove que se y0 6= 0 e |y − y0| < min

(|y0|2,ε |y0|2

2

), entao y 6= 0 e

∣∣∣∣1y − 1

y0

∣∣∣∣ < ε .

(f) Substitua o ponto de interrogacao nas sentencas abaixo por uma expressao envolvendo ε, x0 e y0 de talmodo que a conclusao seja verdadeira:

Se y0 6= 0 e |y − y0| <? e |x− x0| <?, entao y 6= 0 e

∣∣∣∣xy − x0

y0

∣∣∣∣ < ε.

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14 Cap. 1 Revisao e Pre-requisitos (1)

1.7 Projeto: Numeros algebricos e transcendentes

Um numero algebrico e um numero real que satisfaz alguma equacao da forma

a0 + a1 x+ a2 x2 + ...+ an x

n = 0

onde a0, a1, ..., an sao inteiros.

1. Mostre que qualquer numero racional e algebrico.

2. Mostre que os numeros√

2,√

3,√

2 +√

3 sao algebricos.

3. Mostre que√

2 e irracional seguindo os seguintes passos:

(a) Seja n um inteiro positivo. Mostre que se n2 e par, entao n e par.

(b) Suponha que√

2 = pq , onde p e q sao inteiros, q 6= 0 e p

q e uma fracao irredutıvel, isto e, p e q nao temfatores comuns. Mostre que, sob estas hipoteses, p e q sao ambos pares.

(c) Conclua que√

2 e irracional.

(d) Mostre que√

3 e irracional.

(e) Mostre que√p e irracional para todo p primo.

4. Mostre que se x e y sao racionais, entao x + y e racional.

5. Mostre que se x e y sao racionais, entao xy e racional.

6. Mostre que a soma de um racional com um irracional e irracional.

7. Mostre que se x 6= 0 e racional e k e irracional, entao kx e irracional.

8. De exemplos de dois numeros irracionais cuja soma seja natural.

9. De exemplos de dois numeros irracionais cujo produto seja natural.

10. Mostre que os racionais sao contaveis, isto e, mostre que os racionais podem ser arranjados numa sequenciainfinita da forma r1, r2, r3,..., rn, ... de tal maneira que todo numero racional apareca na sequencia exatamenteuma vez.

11. Usando o fato de que qualquer numero real tem uma representacao decimal infinita, mostre que os irracionaisnao sao contaveis.

Os dois ultimos itens demonstram que existem muito mais irracionais do que racionais (os racionais sao contaveise os irracionais nao). Observe que podemos escrever o conjunto dos numeros reais como a uniao dos conjuntos dosnumeros racionais com o conjunto dos numeros irracionais. Deste modo, os numeros reais tambem nao sao contaveis.Alem disso, muitos numeros irracionais nao sao algebricos, isto e, nao sao raızes de uma equacao do tipo descritono inıcio deste projeto. Os numeros π e e sao exemplos de dois numeros irracionais transcendentes (a prova destefato e muito difıcil e pode ser encontrada em alguns livros de analise). Uma outra forma de decompor o conjunto Rdos numeros reais e escreve-lo como a uniao dos conjuntos dos numeros algebricos (A) e transcendentes (T ), isto e,R = A∪T . A primeira vista parece que os numeros transcendentes sao excecoes e que existem poucos destes numerosestranhos. Isto nao e verdade! E possıvel mostrar que existem muito mais numeros transcendentes do que numerosalgebricos. Na verdade o conjunto dos numeros algebricos e contavel e o dos numeros transcendentes nao. Isto nao emesmo surpreendente? A matematica as vezes nos surpreende e vai contra toda a nossa intuicao. Por isso, para cadanovo resultado ou afirmacao que fazemos, e necessaria uma prova rigorosa, baseada em deducoes logicas, a partir dealgumas afirmacoes auto-evidentes (postulados), consideradas como verdadeiras a priori e de resultados ja provadosanteriormente, portanto, irrefutaveis. Este e o sentido e o valor da prova matematica.

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Capıtulo 2

Revisao e Pre-requisitos (2)

2.1 Coordenadas no plano

Da mesma maneira que os pontos de uma reta podem ser associados a numeros reais, ditos suas coordenadas, ospontos do plano podem ser associados a pares de numeros reais.

Para isto, fixamos duas retas numeradas perpendiculares entre si que se interceptam na origem O de cada umadelas. Usualmente, uma delas e horizontal com a direcao positiva para a direita. Esta reta sera chamada eixo x oueixo das abscissas. A outra reta, vertical com a direcao positiva para cima, e chamada eixo y ou eixo das ordenadas.

1

P

P

x

y

–2

–1

0

1

2

3

–3 –2 –1 1 2 3

Podemos, agora, identificar qualquer ponto do plano comum unico par de numeros da seguinte maneira: a coordenadax ou abscissa de um ponto P e a coordenada no eixo x, do peda perpendicular a este eixo passando por P e a coordenada you ordenada de P e a coordenada no eixo y, do pe da perpen-dicular a este eixo passando por P. Se P tem coordenadas x ey escrevemos P(x, y). Veja o grafico ao lado.

Observe que a ordem na qual as coordenadas sao escritas eimportante. O ponto de coordenadas (1, 3) e P1, e este ponto ediferente do ponto P de coordenadas (3, 1) = (x, y) mostradosna figura acima. Neste sentido, as coordenadas de um ponto formam um par ordenado de numeros reais.

Pelo esquema fixado, todo ponto P determina um par ordenado de numeros reais, reciprocamente, todo parordenado de numeros reais (a, b) determina um unico ponto do plano. Temos, entao, uma correspondencia biunıvocaentre os pontos do plano e os pares ordenados de numeros reais. Uma correspondencia desse tipo e chamada sistemade coordenadas no plano.

O sistema de coordenadas que definimos e chamado sistema de coordenadas retangulares ou sistema de coordenadascartesianas em homenagem ao matematico e filosofo frances Rene Descartes (1596-1650), que assinava seu nome emlatim, Cartesius, e que foi o primeiro a definir um sistema de coordenadas no plano, estabelecendo as bases de um novoramo da Matematica chamado, hoje, Geometria Analıtica. Parte do merito da descoberta da Geometria Analıticadeve ser creditado, tambem, a um outro frances, Pierre Fermat (1601-1665) que estabeleceu os mesmos princıpios,mais ou menos na mesma epoca que Descartes.

O plano munido deste sistema de coordenadas, usualmentechamado plano coordenado ou plano cartesiano, e denotado pelosımbolo R2. O eixo das abscissas e o eixo das ordenadas, usual-mente colocados na posicao indicada na figura ao lado, dividem oplano em quatro regioes, denominadas quadrantes, que estao indi-cados pelos sımbolos i , ii, iii e iv, respectivamente. De acordo coma figura, o primeiro quadrante e o conjunto de todos os pontos (x,y) do plano para os quais x > 0 e y > 0; o segundo quadrante, oconjunto de todos os pontos x, y do plano para os quais x < 0 e y> 0 e assim por diante.

iv

ii i

iii

Como a correspondencia entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de numeros reais e biunıvoca, emgeral nos referimos a um ponto P como o ponto (1, 2) ou o ponto (x, y), quando na realidade queremos nos referir aoponto P cujas coordenadas sao (1, 2) ou (x, y). Assim, quando escrevemos P = (x, y) significa, sem ambiguidade, queestamos nos referindo ao ponto P cujas coordenadas sao dadas, de modo unico, pelo par ordenado (x, y) de numerosreais. Repare que a notacao usada para intervalo aberto (a, b) e a mesma usada para o ponto cujas coordenadas saoa e b. Dependendo do contexto onde estas notacoes forem usadas, voce devera ser capaz de fazer a distincao!

15

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16 Cap. 2 Revisao e Pre-requisitos (2)

2.1.1 Distancia entre dois pontos do plano

A distancia entre dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) no plano, representada por d(P1 P2), e definida pela formula

d(P1 P2) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

Esta formula e facilmente justificada pela Geometria Plana se observarmos que d(P1 P2) e a medida da hipotenusade um triangulo retangulo cujos catetos medem |x2 − x1 | e | y2 − y1 |, como mostra a figura abaixo.

x2x1

y1

y2

P1

P2

• Que teorema garante a validade dessa formula?

• O que acontece quando x1 = x2 ou quando y1 = y2?

Exemplo Determine a distancia entre os pontos (1,−2) e (6, 2).

Solucao d =√

(1− 6)2 + (−2− 2)2 =√

25 + 16 =√

41

O comando distance do pacote student do Maple calcula esta distancia automaticamente, como fazemos a seguir:

> with(student):

> distance([1,-2],[6,2]);

√41

2.1.2 Exercıcios

1. Quais os valores de t para que o ponto P de coordenadas ( 2 t+ 4, 3− 2 t) esteja:

(a) No primeiro quadrante

(b) No quarto quadrante

(c) Sobre o eixo x

(d) Sobre o eixo y

2. As duas retas tracadas abaixo representam a mesma funcao y = x4 . Por que as figuras tracadas “parecem”

diferentes? O que se pode concluir?

–0.4

–0.2

0.2

0.4

–2 –1 1 2x

–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x

3. A recıproca do Teorema de Pitagoras afirma que se a soma dos quadrados dos comprimentos de dois lados de umtriangulo e igual ao quadrado do comprimento do terceiro lado, entao o triangulo e retangulo. Use este teoremae a formula de distancia entre dois pontos para mostrar que os pontos (−3, 4), (1, 0) e (5, 4) determinam umtriangulo retangulo.

4. Um sistema de coordenadas nao ortogonalNum sistema de coordenadas qualquer, os eixos x e y formam um angulo, nao nulo, α 6= 900.

Page 33: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 17

(a) Como podemos definir as coordenadas de um ponto P nesse sistema?

(b) Se P1(x1, y1) e P2(x2, y2), qual a distancia P1P2 nesse novo sistema?

5. Um sistema de coordenadas tridimensionalSe tomarmos uma reta perpendicular aos eixos x e y na interseccao de ambos, poderemos definir um sistema decoordenadas no espaco. Nesse sistema, temos uma correspondencia biunıvoca entre os pontos do espaco e triplasordenadas de numeros reais. A projecao ortogonal de um ponto em um eixo e a coordenada deste ponto naqueleeixo. Assim, um ponto fica completamente determinado por suas tres coordenadas e escrevemos P (x, y, z).

(a) Seja P um ponto do plano xy. Sua projecao no eixo x e 2 e no eixo y e 3. Quais sao as suas coordenadas?

(b) Se P1 e um ponto qualquer no plano yz, escreva suas coordenadas como uma tripla ordenada de numerosreais.

(c) Sobre que eixo esta cada um dos pontos: A(0, 3, 0), B(−2, 0, 0) e C(0, 0, 5).

(d) Sobre que plano esta cada um dos pontos: R(4, 0, 2), S(3,−2, 0) e T (0, 1, 5).

(e) Se P ′ e a projecao do ponto P (2, 3, 4) no plano xy, quais sao as coordenadas de P ′?

(f) Qual a distancia do ponto (3, 2,−2) ao plano xy? E ao plano xz? E ao plano yz?

(g) Responda ao item anterior para o ponto (x, y, z), onde x, y e z sao numeros reais quaisquer.

(h) Qual a distancia do ponto P1(x1, y1, z1) ao ponto P2(x2, y2, z2)?

(i) Quais as coordenadas do ponto medio do segmento que liga os pontos P1 e P2?

2.2 Graficos de equacoes

A ideia basica da Geometria Analıtica e explorar a correspondencia entre pontos e suas coordenadas para estudarproblemas geometricos, especialmente as propriedades de curvas, com os instrumentos da Algebra. Dessa maneira,podemos usar o ferramental computacional da Algebra em problemas geometricos, e este foi o grande avanco naGeometria desde os tempos dos gregos. A seguir, damos alguns exemplos de como isto pode ser feito.

A equacao y = 2x−1 descreve uma relacao entre as variaveis x e y. Uma solucao desta equacao e um par ordenadode numeros reais que, quando substituıdo na equacao dada, produz uma sentenca verdadeira. Assim, os pares (0,−1),(1, 1) e ( 1

2 , 0) sao todos solucoes da equacao em questao. O grafico desta equacao e o conjunto de todos os pontos noplano coordenado que sao solucoes da mesma. Mais geralmente, uma equacao da forma f(x, y) = 0 determina umacurva no plano, cujo grafico e o conjunto de todos os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equacao dada.Reciprocamente, uma curva definida por alguma condicao geometrica pode, usualmente, ser descrita por uma equacaoda forma f(x, y) = 0.

Exemplo 1 Vamos esbocar o grafico de y = 2x− 1. Comecamos determinando pontos com coordenadas (x, y)que satisfazem a equacao dada. E conveniente fazer uma tabela com estes pares e marcar estes pontos no planocoordenado.

x y−2 −5−1 −30 −11 12 3

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

Como existem infinitas solucoes para a equacao dada, nao e possıvel completar a tabela e, consequentemente, ografico da equacao listando todas as solucoes. Em geral, os poucos pontos que calculamos nao seriam suficientes paraidentificar o grafico da equacao, entretanto, neste exemplo elementar, pelos pontos obtidos, podemos conjecturar queo grafico da equacao y = 2x− 1 e a reta que tracamos abaixo.

Page 34: texto completo em PDF

18 Cap. 2 Revisao e Pre-requisitos (2)

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

Na proxima secao provaremos que o nosso palpite esta correto e que o grafico de uma equacao do tipo Ax+B y+C =0 define uma reta no plano.

A tecnica de esbocar graficos marcando um numero suficiente de pontos ate que se obtenha um padrao e de tracaro grafico de acordo com este padrao carece de rigor e e muito imprecisa, podendo levar a conclusoes completamenteerroneas. O proximo exemplo ilustra os problemas que podem surgir.

Exemplo 2 Vamos esbocar o grafico da equacao q = 10p2+1 .

Como a relacao dada nao expressa y em termos de x, o que necessariamente nao precisa acontecer, devemos decidirse o primeiro numero do par ordenado, a abscissa do ponto, representara q ou p. Qualquer escolha estara correta,no entanto, como a equacao expressa q em termos de p, usualmente marcamos p no eixo horizontal. Construindo atabela terıamos:

p -3 -2 -1 0 1 2 3q 1 2 5 10 5 2 1

Marcando os pontos no plano coordenado e interligando-os com uma curva suave, terıamos varias possibilidades,como as mostradas abaixo:

2

4

6

8

10

–3 –2 –1 0 1 2 3–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

q

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4p

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

q

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4p

2

4

6

8

10

q

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4p

Para decidir quais dos graficos acima e o correto, precisaremos marcar muitos outros pontos! (E dessa maneiraque os computadores tracam graficos. Veja o projeto Programando o Computador para Tracar Graficos de Funcoes.)

Durante este curso aprenderemos tecnicas que permitirao tracar graficos com precisao sem necessidade de marcarmuitos pontos. Por ora, nas proximas secoes, vamos estudar algumas curvas especiais e seus graficos.

Exemplo 3 A seguir tracamos o grafico de y = x2. Esta curva e uma parabola. O ponto mais baixo (0, 0) echamado vertice da parabola. Neste exemplo, dizemos que a parabola tem a concavidade voltada para cima (veja ografico a esquerda). Se o grafico e invertido, como no caso da parabola y = −x2 (veja o grafico a direita), dizemos quea parabola tem a concavidade voltada para baixo.

Page 35: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 19

0

2

4

6

8

10

12

14

16

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

–16

–14

–12

–10

–8

–6

–4

–2

0

x

A figura seguinte mostra o grafico de algumas parabolas da forma y = ax2, para varios valores do parametro a.Em todos os casos o vertice e a origem.

a=–3

a=–1

a=1/2

a=1a=3

–100

–80

–60

–40

–20

0

20

40

60

80

100

y

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

Execute tambem, na versao eletronica, a animacao que mostra o efeito da variacao do valor de a no grafico dacurva y = ax2.

• O que acontece quando a e positivo e se aproxima de zero?

• E quando a e negativo e se aproxima de zero?

Para responder a estas perguntas execute, na versao eletronica, as animacoes correspondentes.Dos exemplos acima podemos concluir que, se a > 0, a parabola tem a concavidade voltada para cima, e se a <

0, para baixo. Repare ainda que se o ponto (x, y) pertence ao grafico da parabola, o ponto (−x, y) tambem pertence.Neste caso, dizemos que o grafico da parabola e simetrico em relacao ao eixo y ou que o eixo y e o eixo de simetria daparabola.

O grafico da equacao x = a y2 (veja abaixo) tambem representa uma parabola que pode ser obtida a partir daparabola y = a x2 por meio de uma reflexao em relacao a diagonal principal, isto e, em relacao a reta y = x. (Trocarx por y numa equacao qualquer resulta em refletir o seu grafico em relacao a reta y = x.)

–2

–1

1

2

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

a>0

–2

–1

1

2

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

a<0

Nestes exemplos, os graficos sao simetricos em relacao ao eixo x porque se (x, y) pertence ao grafico de x = a y2

entao o ponto (x,−y) tambem pertence.

Exemplo 4 Esboce a regiao limitada pela parabola x = y2 e pela reta y = x− 2.Para esbocar a regiao pedida, primeiro vamos achar os pontos de intersecao das curvas resolvendo o sistema

x = y2

x = y + 2

Resolver este sistema e equivalente a resolver a equacao y + 2 = y2 ou y2 − y − 2 = 0. Como y2 − y − 2 = 0 e equiva-lente a (y − 2) (y + 1) = 0, temos que y = 2 ou y = −1. Assim, os pontos de intersecao das curvas sao (4, 2) e (1,−1).Este sistema pode ser resolvido com a ajuda do Maple usando-se o comando solve, como e feito a seguir:

> solve(x=y^2,x=y+2,x,y);

Page 36: texto completo em PDF

20 Cap. 2 Revisao e Pre-requisitos (2)

y = −1, x = 1, y = 2, x = 4

Tracamos, entao, a reta que passa pelos pontos deintersecao (lembre-se de que dois pontos determinamuma unica reta!) e esbocamos a parabola com verticena origem, passando por estes mesmos pontos. Aregiao limitada por x = y2 e y = x − 2 significa aregiao finita cujas fronteiras sao estas curvas. Vejaao lado.

–4

–2

2

4

–2 –1 1 2 3 4 5 6x

2.3 Retas

Na secao anterior conjecturamos que a equacao y = 2x− 1 representava uma reta no plano coordenado. Vamos agoraprovar esta conjectura resolvendo o problema inverso, isto e, mostrando que a equacao de uma determinada reta e daforma Ax+B y + C = 0. Esta equacao deve ser satisfeita pelas coordenadas dos pontos da reta e por nenhum outroponto. Para achar esta equacao vamos usar o fato de que toda reta e determinada por dois pontos e que a ela estaassociado um numero que mede a sua inclinacao. Este numero e chamado declividade ou coeficiente angular da reta.

DefinicaoA declividade de uma reta nao-vertical que passa pelos pontos P0(x0, y0) e P1(x1, y1) e

m =y1 − y0

x1 − x0.

A declividade de uma reta vertical nao esta definida.

Geometricamente, podemos interpretar a declividade de uma reta como uma medida (tangente) do angulo que amesma faz com a direcao horizontal.

ω

xx1xo

y

y1

y0

Usando semelhanca de triangulos, e facil ver que a declividade de uma reta independe dos pontos escolhidos, istoe, quaisquer que sejam os pontos escolhidos sobre a reta, a relacao

m =y − y1

x− x1=y − y0

x− x0=y1 − y0

x1 − x0

e constante.

A declividade pode tambem ser interpretada como a taxa de variacao da variavel dependente y em relacao a variavelindependente x. Isto quer dizer que, se uma reta tem declividade m, a cada unidade de variacao em x, corresponde munidades de variacao em y. Pela observacao acima concluımos que, em uma reta, a taxa de variacao y1−y0

x1−x0= ∆ y

∆ x econstante e, alem disso, qualquer curva cuja taxa de variacao seja constante e uma reta.

Page 37: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 21

A figura ao lado mostra varias retas com declividades di-ferentes. Note que as retas com declividades positivas as-cendem para a direita. Se, por outro lado, m < 0, a retadescende para a direita. Se m = 0, a reta e paralela ao eixox. Note tambem que as retas mais inclinadas sao aquelaspara as quais o valor absoluto da declividade e maior.

m=–0.5

m=–2 m=3 m=2

m=1

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Estamos prontos, agora, para achar a equacao da reta, nao-vertical, que passa por um determinado ponto P1(x1, y1)e tem declividade m. Um ponto P (x, y) com x 6= x1 (pois a reta e nao vertical) pertence a esta reta se e somente sea razao y−y1

x−x1e igual a m, isto e, m = y−y1

x−x1. Temos, portanto, a equacao

y − y1 = m (x− x1).

Como esta equacao e satisfeita tambem pelo ponto (x1, y1), esta e a equacao da reta que procuramos, isto e, dareta que passa pelo ponto P1 e tem declividade m.

Exemplo 1 Determine a equacao da reta que passa pelo ponto (1,−7) e tem declividade − 12 .

Solucao Neste exemplo, m = − 12 , x1 = 1 e y1 = −7 e, portanto, a equacao e dada por y + 7 = −x−1

2 ou, equiva-lentemente, 2 y + 14 = −x+ 1 ou, ainda, x+ 2 y + 13 = 0 .

Suponha que uma reta nao-vertical tenha declividade m e intercepte o eixo y no ponto (0, b). Usando a formulaacima concluımos que a equacao desta reta e

y − b = m (x− 0)

ou, equivalentemente,

y = mx+ b.

Esta equacao e chamada equacao reduzida da reta. Aqui o numero b e chamado coeficiente linear da reta e e aordenada do ponto onde a reta corta o eixo y. Em particular, se a reta e horizontal, sua declividade e zero e suaequacao e dada por y = b.

• Qual a caracterıstica geometrica da famıliade retas obtida considerando-se varios valorespara b na equacao y = mx+ b? Para respon-der a esta pergunta, observe ao lado o graficode uma famılia de equacoes deste tipo e exe-cute, tambem, a animacao correspondente naversao eletronica.

–20

–10

0

10

20

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

Nao se define declividade para retas verticais, sua equacao e da forma x = a, onde a e a abscissa do ponto onde areta corta o eixo x. Para ver que esta equacao e valida, basta notar que a coordenada x de todos os pontos de umareta vertical e a.

Exemplo 2 Ache a equacao da reta que passa por dois pontos dados.

Solucao Sejam P1(x1, y1) e P2(x2, y2) os dois pontos dados da reta e P (x, y) outro ponto qualquer desta mesmareta. Da definicao de declividade, sabemos que

y − y1

x− x1=y1 − y2

x1 − x2

que e a equacao procurada.

Em todos os casos tratados acima, a equacao da reta pode ser colocada na forma Ax+B y + C = 0. De um modogeral, esta equacao, onde as constantes ou parametros A e B nao sao ambos nulos, representa a equacao de uma reta.Esta equacao e chamada equacao geral da reta.

Page 38: texto completo em PDF

22 Cap. 2 Revisao e Pre-requisitos (2)

Reciprocamente, toda equacao desta forma, onde A, B e C sao constantes e A e B nao sao ambas nulas, e aequacao de uma reta. Assim, se B = 0, entao A 6= 0 e a equacao pode ser escrita como x = −CA , que e a equacao de

uma reta vertical. Por outro lado, se B 6= 0, entao y = −AxB −CB , e esta e a equacao de uma reta com declividade

m = −AB que passa pelo ponto (0, −CB ).

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

y

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

Exemplo 3 Esboce o grafico da equacao 3x+ 5 y = 15.

Solucao Como a equacao dada e a equacao de uma reta, para tracaro seu grafico basta acharmos dois de seus pontos. Os mais faceis de acharsao aqueles onde a reta intercepta os eixos coordenados. Assim, substituindoy = 0 na equacao, obtemos 3x = 15, e daı x = 5. Logo, o ponto (5, 0) pertencea reta em questao. Da mesma forma, substituindo x = 0 na equacao temosque y = 3 e o ponto (0, 3) tambem pertence a reta. Veja o grafico desta retaesbocado ao lado.

2.3.1 Retas paralelas e perpendiculares

• Duas retas sao paralelas se e somente se seus coeficientes angulares sao iguais.

1m1

-m2

–3

–2

–1

0

1

2

3

1 2 3 4

• Duas retas com declividades m1 e m2 sao perpendiculares se e somente sem1m2 = −1.

A primeira afirmacao e obvia. A segunda nao e tao evidente, mas podeser estabelecida muito facilmente utilizando-se semelhanca de triangulos. Su-ponhamos que as retas sejam perpendiculares, como mostra a figura ao lado.Desenhamos um segmento de comprimento unitario a direita do ponto de in-tersecao e tracamos, a partir de sua extremidade direita, um segmento verticalque intercepta as duas retas. Os dois triangulos retangulos formados dessamaneira sao semelhantes e tem lados com os comprimentos indicados. A se-melhanca implica que m1

1 = − 1m2

, o que prova a relacao que queremos. Esteraciocınio pode ser facilmente invertido; portanto, se m1m2 = −1, entao as retas sao perpendiculares.

Exemplo 4 Ache a equacao da reta que passa pelo ponto (5, 2) e e paralela a reta 4x+ 6 y + 5 = 0.

Solucao A equacao da reta dada pode ser escrita como y = − 2 x3 −

56 . Logo, m = − 2

3 . Como retas paralelas tem

a mesma declividade, a equacao da reta procurada e y − 2 = − 2 (x−5)3 ou 2x+ 3 y = 16.

Exemplo 5 Mostre que as retas 2x+ 3 y = 1 e 6x− 4 y − 1 = 0 sao perpendiculares.

Solucao As equacoes dadas podem ser escritas como y = − 2 x3 + 1

3 e y = 3 x2 −

14 . Assim, seus coeficientes angu-

lares sao m1 = − 23 e m2 = 3

2 , respectivamente. Como m1m2 = −1, as retas sao perpendiculares.

2.4 Circunferencias e elipses

2.4.1 Circunferencias

A formula da distancia entre dois pontos e muitas vezes usada para achar a equacao de uma curva cuja definicaogeometrica depende de uma ou mais distancias. Uma das curvas mais simples desta especie e a circunferencia, quepode ser definida como o conjunto de todos os pontos que equidistam de um ponto fixo C. O ponto fixo e chamadocentro da circunferencia e a distancia de qualquer dos seus pontos ao centro e o raio dessa circunferencia. Se o centroe o ponto (c1, c2) e o raio e o numero positivo r, e se (x, y) e um ponto qualquer da circunferencia, entao a definicaoacima se traduz pela equacao √

(x− c1)2 + (y − c2)2 = r

ou, equivalentemente,(x− c1)2 + (y − c2)2 = r2.

Em particular, a equacaox2 + y2 = r2

e a equacao de uma circunferencia de centro em (0, 0) e raio r.

Page 39: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 23

Usamos abaixo o comando implicitplot do pacote plots e o comando distance do pacote student do Maplepara tracar o grafico da circunferencia de centro em (0, 0) e raio 1 e calcular a sua equacao.

> with(plots):

> with(student):

> implicitplot((distance([0,0],[x,y])=1),x=-2..2,y=-2..2);

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

–1–0.8 –0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

> distance([0,0],[x,y])=1;

√x2 + y2 = 1

> lhs(%)^2=rhs(%);

x2 + y2 = 1

Exemplo Mostre que a equacao x2 + y2 + 2x− 6 y + 7 = 0 representa uma circunferencia no plano e esboce o seugrafico.

Solucao Para achar o centro e o raio desta circunferencia, primeiro agrupamos os termos em x e em y e a seguircompletamos os quadrados como segue:

x2 + 2x+ 1 + y2 − 6 y + 9 = −7 + 1 + 9

(x+ 1)2 + (y − 3)2 = 3

Logo, esta equacao representa uma circunferencia de centro em (−1, 3) e raio√

3, cujo grafico esbocamos abaixo.

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

y

–2.5 –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5x

2.4.2 Elipses

A curva com equacao

x2

a2+y2

b2= 1,

onde a e b sao numeros positivos, e chamada de elipse.Observe que se o ponto (x, y) pertence ao grafico da elipse, o ponto (x,−y) tambem pertence, o mesmo acontecendo

com os pontos (−x,−y) e (−x, y). Assim, a elipse e simetrica com respeito a ambos os eixos coordenados. Para esbocaro seu grafico, vamos encontrar as intersecoes da elipse com os eixos. Para encontrar o ponto onde o grafico de umacurva corta o eixo x, basta fazer y = 0 na sua equacao e para encontrar o ponto onde o grafico de uma curva corta oeixo y, basta fazer x = 0. Desta maneira concluımos que os pontos (−a, 0) e (a, 0) sao os pontos onde a elipse cortao eixo x. Se a > b, a distancia entre estes pontos e chamada eixo maior da elipse. Da mesma forma, os pontos (0, −b)

Page 40: texto completo em PDF

24 Cap. 2 Revisao e Pre-requisitos (2)

e (0, b) sao os pontos de intersecao da elipse com o eixo y. A distancia entre estes pontos e chamada eixo menor da

elipse. Veja a seguir o grafico da elipse x2

16 + y2

9 = 1.

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

–4 –2 2 4x

2.5 Graficos de desigualdades

Vimos nos exemplos das secoes anteriores que todos os pontos do grafico de uma curva satisfazem a igualdadef(x, y) = 0 e que esta condicao e satisfeita somente pelos pontos do seu grafico.

Nesta secao estamos interessados em obter o grafico de regioes descritas por conjuntos de pontos ou desigualdades.Da mesma forma que anteriormente, estas regioes sao subconjuntos do plano onde a condicao dada e satisfeita portodos os seus pontos e por nenhum outro ponto. Os exemplos abaixo ilustram esta ideia.

Exemplo 1 Descreva e esboce as regioes definidas pelos seguintes conjuntos:

(a) (x, y) ∈ R2;x ≥ 0(b) (x, y) ∈ R2; y = 1

(c) (x, y) ∈ R2; | y | < 1(d) (x, y) ∈ R2; |x | ≤ 2 e | y | ≤ 1

Solucao(a) Os pontos do plano para os quais a abscissa e positiva ou nula estaotodos sobre o eixo y ou a sua direita. (Para esbocar esta regiao usamoso comando inequal do pacote plots do Maple.)A parte cinza do grafico ao lado representa a regiao do plano xy quesatisfaz a condicao x ≥ 0.E claro que, na impossibilidade de representar no papel ou na tela umaregiao infinita, essa regiao aparece “desenhada” dentro de um quadrado,no caso [−3, 3] × [−3, 3], que para nos passara a representar o planointeiro. Se assim nao fosse, toda a tinta fabricada na Terra nao seriasuficiente para pintar essa regiao!

–3

–2

–1

1

2

3

–3 –2 –1 1 2 3

(b) O conjunto de todos os pontos para os quais a ordenada e 1 e umareta horizontal uma unidade acima do eixo x.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

–3 –2 –1 1 2 3x

(c) Se | y | < 1, entao −1 < y < 1. Esta regiao consiste em todos ospontos do plano cuja ordenada esta entre −1 e 1, isto e, todos os pontosque estao entre as retas horizontais y = 1 e y = −1. Na figura, estas retassao indicadas por linhas pontilhadas para indicar que os seus pontos naopertencem ao conjunto em questao.

–3

–2

–1

1

2

3

–3 –2 –1 1 2 3

Page 41: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 25

(d) As desigualdades sao equivalentes a −2 ≤ x ≤ 2 e −1 ≤ y ≤ 1.Logo, o grafico deste conjunto consiste em todos os pontos (internos eda fronteira) da regiao retangular mostrada na figura ao lado.

–3

–2

–1

1

2

3

–3 –2 –1 1 2 3

Exemplo 2 Esboce o grafico da desigualdade x+ 2 y > 5.

Solucao Estamos interessados no grafico do conjunto

(x, y) ∈ R2; x+ 2 y > 5

–10

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

10

–20 –10 10 20

Resolvendo a inequacao para y, obtemos:

x+ 2 y > 5⇒ 2 y > 5− x⇒ y >5

2− x

2.

Compare esta desigualdade com a equacao y = 52 −

x2 , que representa uma

reta com declividade − 12 e intersecao com o eixo y no ponto (0, 5

2 ). O grafico dadesigualdade e o conjunto de todos os pontos cuja coordenada y e maior que ados pontos que estao sobre a reta y = −x2 + 5

2 . Assim, o grafico procurado e aregiao que esta acima da reta, como mostra a figura ao lado.

2.6 Exercıcios

1. (a) Mostre que o triangulo com vertices A(0, 2), B(−3, −1) e C(−4, 3) e isosceles.

(b) Mostre que os pontos (−2, 9), (4, 6), (1, 0) e (−5, 3) sao vertices de um quadrado.

(c) Prove que os pontos A(−1, 3), B(3, 11) e C(5, 15) sao colineares mostrando que AB + BC = AC .

2. (a) Sabe-se que y = 2x− b e positivo para x > 4 e negativo para x < 4. Quanto vale b?

(b) Se um conjunto de retas e descrito pelas equacoes y = mx + 1, y = mx + 2, y = mx + 3, etc. O que se podedizer a respeito dessas retas?

(c) Se duas retas sao descritas pelas equacoes y = x+ 3 e y =√

3x+ 2, qual o angulo que cada uma delas fazcom o eixo x?

3. Determine os valores da constante k para os quais a reta

(k − 3)x− (4− k2) y + k2 − 7 k + 6 = 0

(a) e paralela ao eixo x.

(b) e paralela ao eixo y.

(c) passa pela origem.

4. Ache a equacao da reta que:

(a) passa por (−2, 3) e tem declividade −4.

(b) passa por (−4, 2) e (3,−1).

(c) tem declividade 23 e coeficiente linear −4.

(d) passa por (2,−4) e e paralela ao eixo x.

(e) passa por (1, 6) e e paralela ao eixo y.

(f) passa por (4,−2) e e paralela a x+ 3 y = 7

(g) passa por (5, 3) e e perpendicular a y + 7 = 2x.

(h) passa por (−4, 3) e e paralela a reta determinada por (−2, 2) e (1, 0).

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26 Cap. 2 Revisao e Pre-requisitos (2)

5. (a) Mostre que as retas 2x− y = 4 e 6x− 2 y = 10 nao sao paralelas e ache o seu ponto de interseccao.

(b) Se A, B, C e C ′ sao constantes e A e B nao sao ambas nulas, mostre que as retas:

i. Ax+B y + C = 0 e Ax+B y + C ′ = 0 coincidem ou sao paralelas.

ii. Ax+B y + C = 0 e B x−Ay + C ′ = 0 sao perpendiculares.

6. (a) Mostre que o ponto medio do segmento de reta de extremidades P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e (x1+x2

2 , y1+y22 ).

(b) Ache o ponto medio do segmento de reta que une os pontos

i. (1,3) e (7,15)

ii. (−1, 6) e (8,−12).

7. (a) Mostre que as equacoes abaixo representam uma circunferencia. Ache o seu centro e o seu raio.

i. x2 + y2 − 4x+ 10 y + 13 = 0

ii. x2 + y2 + 6 y + 2 = 0

iii. x2 + y2 + x = 0

iv. 2x2 + 2 y2 − x+ y = 1.

(b) Sob que condicoes sobre os coeficientes a, b e c a equacao

x2 + y2 + a x+ b y + c = 0

representa uma circunferencia? Neste caso, ache o seu centro e o seu raio.

8. Nos itens abaixo, voce deve determinar a condicao representada por cada um dos graficos. Voce pode testar asua resposta usando a versao eletronica deste texto!

(a) Qual a condicao representada pela parte escura do grafico (1)?

(b) Qual a condicao representada pela reta do grafico (2)?

(c) Qual a condicao representada pela parte escura do grafico (3)?

–3

–2

–1

1

2

3

–3 –2 –1 1 2 3

(1)

–2

–1

0

1

2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

(2)

–4

–2

2

4

–4 –2 2 4

(3)

2.7 Problemas

1. Esboce o grafico dos conjuntos:

(a) W =(x, y) ∈ R2;x = 4(b) W = (x, y) ∈ R2; y = −3(c) W = (x, y) ∈ R2;x y = 0

(d) W = (x, y) ∈ R2; |x | < 2, | y | > 1(e) W = (x, y) ∈ R2;x y < 0(f) W = (x, y) ∈ R2; |x | > 1 e | y | ≤ 2

(g) O conjunto dos pontos equidistantes de (0, 1) e (1, 0).

(h) Escreva a condicao do item (g) na forma mais simples possıvel.

2. Esboce o grafico das condicoes dadas abaixo hachurando, quando for o caso, a regiao definida pela condicao:

(a) x2 + y2 = 1

(b) y = 2x2 − 1

(c) 3 y + x2 = 0

(d) y = 3x+ 1

(e) x = 2 e 0 ≤ y ≤ 2

(f) x = −3

(g) y = 2

(h) x2 + y2 < 1

(i) x2 + y2 > 1

(j) x2 + y2 ≤ 1

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W.Bianchini, A.R.Santos 27

3. Esboce a regiao limitada pelas curvas

(a) y = 3x e y = x2 (b) y = 4− x2 e x− 2 y = 2.

4. (a) Esboce o grafico da equacao y = |x|.(b) Esboce o grafico da equacao |x |+ | y | = 1.

5. Um raio luminoso se desloca segundo a reta x+ y = 1, acima do eixo x, e e refletido ao tocar esse eixo. Sabendoque o angulo de incidencia e igual ao angulo de reflexao, escreva a equacao da nova trajetoria.

6. Mostre que uma reta que passa pelos pontos (a, 0) e (0, b) pode ser escrita na forma

x

a+y

b= 1.

Esta e a chamada forma segmentaria da equacao da reta. Escreva nesta forma a equacao 4x+ 2 y = 6.

7. (a) Determine a equacao da reta tangente a circunferencia x2 + y2 = 25 no ponto (3, 4).

(b) Voce e capaz de determinar, por metodos geometricos, a equacao da reta tangente a parabola y = x2 noponto (1, 1)? (Veja Atividades de Laboratorio: Retas Tangentes - Atividade 2.)

8. Um carro parte do Rio de Janeiro as 14 horas e viaja a uma velocidade constante pela Rio – Sao Paulo. Elepassa por Itatiaia (a 150 km do Rio) as 15:50hs.

(a) Expresse a distancia percorrida em termos do tempo transcorrido.

(b) Esboce o grafico da equacao obtida em (a).

(c) Qual a declividade desta curva?

(d) O que representa esta declividade?

9. (a) Um sistema linear do tipo a1 x+ b1 y = c1a2 x+ b2 y = c2

pode ter uma, nenhuma ou uma infinidade de solucoes. Interprete geometricamente cada um desses casose deduza a condicao algebrica que garante a existencia de uma, nenhuma ou de infinitas solucoes para essesistema.

(b) Uma equacao da forma Ax+B y+C z+ D = 0, onde A, B e C nao sao simultaneamente nulos, representaum plano no espaco tridimensional. Interprete geometricamente todas as possıveis solucoes para sistemaslineares com duas equacoes e tres variaveis, em termos das posicoes relativas entre dois planos. (Veja asAtividades de Laboratorio - Atividade 3.)

10. A parabola pode ser definida como o lugar geometrico dos pontos cujas distancias a uma reta fixa r e a umponto fixo F sao iguais. O ponto F chama-se foco da parabola e a reta r a sua diretriz.

(a) Deduza a equacao da parabola no caso particular em que o foco e o ponto (0, 1) e a diretriz e a reta y = −1e trace o seu grafico.

(b) Deduza a equacao da parabola com foco em F = (α, 0), com o eixo x perpendicular a diretriz e o eixo ycoincidindo com a mediatriz do segmento FF ′, onde F ′ e a projecao ortogonal de F sobre a diretriz. Traceo seu grafico e responda as seguintes perguntas:

i. Em que semiplano esta contida esta parabola?

ii. Qual o seu eixo de simetria?

iii. Qual o seu vertice?

iv. Qual a equacao da reta diretriz?

Em todos os itens, estude os casos α > 0 e α < 0.

(c) Suponha agora que o foco da parabola seja o ponto F (0, α). Deduza a equacao da parabola no caso emque o eixo y e perpendicular a diretriz e o eixo x coincide com a mediatriz do segmento FF ′. Trace o seugrafico e responda as mesmas perguntas do item anterior.

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28 Cap. 2 Revisao e Pre-requisitos (2)

2.8 Atividades de laboratorio

Faca as atividades propostas no arquivo labrev2.mws da versao eletronica.

2.9 Para voce meditar: O grafico da equacao y = mx e sempre uma linhareta?

Sabemos que, num sistema de coordenadas cartesianas, podemos identificar qualquer ponto do plano com um par denumeros da seguinte maneira: dadas duas retas perpendiculares fixas e orientadas, ditas eixo x e eixo y, a coordenadax ou abscissa de um ponto P e a distancia desse ponto ao eixo y, e a coordenada y ou ordenada de P e a distanciadesse ponto ao eixo x. Isto e, se P tem coordenadas x e y, esses numeros representam as distancias de P em relacaoaos eixos y e x, respectivamente.

Sabemos, tambem, que o grafico de uma equacao y = f(x) e o conjunto de pontos no plano que satisfazem estarelacao, isto e, os pontos que pertencem ao grafico dessa equacao sao os pontos do plano da forma (x, f(x)).

–4

–2

2

4

–2 –1 1 2x

Assim, num sistema de coordenadas cartesianas, o grafico daequacao y = x e uma reta que pode ser definida como o lugargeometrico dos pontos que equidistam dos eixos. Do mesmomodo, o grafico da equacao y = 2x e a reta definida como o lu-gar geometrico dos pontos cuja distancia y ao eixo x e duas vezesa sua distancia ao eixo y. Repare que, nesse sistema, as distanciassao medidas a partir de retas paralelas aos eixos coordenados.

Veja a figura ao lado onde tracamos, em conjunto, os graficosdas funcoes y = x, y = 2x e a malha retangular usada nesse sistemade coordenadas para medir as distancias.

Vamos agora mudar o sistema de coordenadas. Em vez de duasretas perpendiculares vamos considerar um ponto e uma reta fixa. O ponto fixo sera chamado foco e a reta fixa diretrize o sistema de coordenadas sera chamado foco-diretriz.

• No sistema de coordenadas foco-diretriz, qual sera o graficoda equacao y = x, isto e, qual o lugar geometrico dos pon-tos cuja distancia ao foco e igual sua distancia a diretriz?(Lembre-se que enquanto no sistema de coordenadas cartesi-anas as distancias eram medidas por retas paralelas aos eixoscoordenados, nesse sistema as distancias serao medidas porretas paralelas a diretriz e as circunferencias concentricas aofoco.) –4

–2

2

4

–4 –2 2 4x

• Nesse mesmo sistema coordenado, identifique o lugar geometrico dos pontos cuja distancia ao foco e igual a kvezes a sua distancia a diretriz. Estude os casos para k = 1, k < 1 e k > 1.

Um outro sistema de coordenadas pode ser definido a partir de uma reta fixa (eixo) e de um ponto fixo (polo) sobreessa reta. A coordenada x de um ponto nesse sistema seria o angulo que o raio que une o ponto ao polo faz com oeixo, e a coordenada y a distancia do ponto ao polo. Esse sistema coordenado e dito Sistema de Coordenadas Polares.

• Como seria o aspecto da malha coordenada nesse novo sistema?

• Qual o grafico da equacao y = x nesse sistema, isto e, qual o lugar geometrico dos pontos cujo angulo que adirecao ponto-polo faz com o eixo e igual a distancia do ponto ao polo?

• Como voce definiria um sistema de coordenadas bifocal? Como seria a malha coordenada nesse sistema? Comovoce poderia interpretar geometricamente a relacao y = x? Qual seria o grafico desse lugar geometrico?

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W.Bianchini, A.R.Santos 29

2.10 Projetos

2.10.1 Melhor qualidade de gravacao

Os aparelhos comuns de videocassete tem tres velocidades de gravacao: SP (standard play), LP (long play) e EP (extralong play). Usando uma fita comum de vıdeo (T 120) e a velocidade SP, podemos gravar programas de 2 h de duracao.Esse tempo aumenta para 4 h e 6 h, respectivamente, se usarmos as velocidades LP e EP. O modo SP garante a melhorqualidade de gravacao. Quando os outros modos sao usados, as informacoes sao gravadas de modo mais condensadona fita, com a consequente perda de qualidade.

Suponha que se deseja gravar, em uma unica fita, um filme de 3 h de duracao, com a melhor qualidade possıvel.Isto quer dizer que, em algum momento, e necessario mudar a velocidade SP (maior qualidade) para a velocidade LP(maior tempo de gravacao). Se esse momento for corretamente calculado, a fita deve estar completamente preenchidaquando o filme terminar.

• A partir do inıcio da gravacao, decorrido quanto tempo se deve mudar para a velocidade LP?

• Supondo que a perda de qualidade entre os modos LP e EP e desprezıvel a olho nu, resolva o mesmo problemase mudarmos do modo SP para o modo EP.

2.10.2 Custo mınimo × aproveitamento maximo

Suponhamos que um agricultor queira adubar a sua plantacao e disponha de dois tipos de adubo. O primeiro contem3 g de fosforo, 1 g de nitrogenio e 8 g de potassio e custa R$10,00 por quilo. O segundo tipo contem 2 g de fosforo, 3g de nitrogenio e 2 g de potassio e custa R$8,00 por quilo. Sabe-se que 1 kg de adubo e suficiente para 10 m2 de terrae que o solo onde estao suas plantacoes necessita de pelo menos 3 g de fosforo, 1,5 g de nitrogenio e 4 g de potassiopara cada 10 m2.

• Quanto o agricultor deve comprar de cada adubo, para cada 10 m2 de terreno, de modo a obter um customınimo?

• Ha muitas situacoes em que essa mesma especie de analise e necessaria. Se voce ainda nao o fez, formule ummodelo matematico formal que descreva situacoes desse tipo e de exemplos de outros problemas onde esta analiseseja necessaria.

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Capıtulo 3

Alguns Problemas do Calculo

3.1 Introducao

As origens de alguns dos principais conceitos matematicos – aqueles que lidam com numeros, grandezas e formas –remontam as mais antigas civilizacoes.

As tentativas feitas por egıpcios, babilonios e gregos de resolver problemas praticos (Como reduzir as taxas cobradasaos agricultores do vale do Nilo tendo em vista a area alagada e tomada pelo rio a cada ano? Como calcular o volumede um silo de forma conica? Como dobrar o volume do pedestal da estatua em homenagem ao deus Apolo?) levou-osa resolucao de algumas equacoes, ao calculo de areas e volumes de figuras simples como retangulos, trapezios, cones,cilindros e ao desenvolvimento de um sistema de numeracao.

Embora egıpcios e babilonios tivessem conseguido resolver muitos problemas matematicos envolvendo inclusiveequacoes quadraticas e sistemas de equacoes e conhecessem muitos resultados de geometria, inclusive o famoso Teoremade Pitagoras, tanto egıpcios quanto babilonios resolviam os problemas propostos por meio de prescricoes – cadaproblema era resolvido em termos de casos particulares e sua solucao era uma especie de receita pratica, que naoespecificava nem a sua formula geral (se houvesse) nem o modo como a solucao tinha sido obtida.

Os resultados obtidos por egıpcios e babilonios foram assimilados pelos gregos, que tiveram o merito de contribuirpara o estabelecimento da matematica da forma como a entendemos hoje: como um sistema logico-dedutivo, comvalor intrınseco, independente de aplicacoes praticas ou de fenomenos naturais.

Na Grecia surgiu o primeiro livro de matematica – Os Elementos de Euclides –, que se constituiu na primeiratentativa de sistematizacao dos conhecimentos adquiridos ate entao e na construcao de uma teoria matematica baseadaem poucos postulados e numa cadeia de deducoes (teoremas) logicamente deduzidos e, portanto, irrefutaveis. Amatematica empırica de babilonios e egıpcios se contrapoe, entao, a matematica dedutiva da escola grega.

Eram esses os problemas e era esse o estagio de desenvolvimento da matematica desde a Grecia ate os seculos XVIe comeco do seculo XVII.

As grandes navegacoes do seculo XVI, o surgimento da industria e os interesses do grande comercio que surgiana epoca exigiam conhecimentos novos, principalmente os ligados aos movimentos dos corpos e particularmente aomovimento planetario.

O seculo XVII e o seculo mais importante e revolucionario de toda a matematica. De especial importancia nesteseculo e o surgimento, com Newton e Leibniz, do Calculo Diferencial e Integral, que desde entao passou a ser a principalferramenta de observacao e modelagem dos fenomenos da natureza.

Apos o estabelecimento dos fundamentos do Calculo, torna-se possıvel a analise de problemas fısicos de realimportancia, com precisao e rigor jamais experimentados. Sao estabelecidos os fundamentos da Mecanica dos Solidose dos Fluidos e tem inıcio o estudo das Equacoes Diferenciais e Integrais.

A seguir sao apresentados alguns problemas que confrontam a matematica anterior ao Calculo, em que se procu-ravam resolver certas equacoes e onde se estudavam figuras e solidos geometricos com lados retos e faces planas, coma matematica que se comecou a estudar a partir do seculo XVII.

Nestes problemas, as figuras passam a ter lados e faces curvos; passa-se a estudar grandezas que variam instanta-neamente com o tempo; ja nao se quer mais calcular a raiz de uma equacao, mas encontrar o valor maximo de umafuncao; passa-se da visao estatica da geometria euclidiana para o estudo do movimento e da variacao.

30

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W.Bianchini, A.R.Santos 31

3.2 Calculo de areas

3.2.1 Da antiguidade ate o seculo XVII

Ja eram bem conhecidas dos egıpcios (2000 a.C.) as formulas para se calcular areas de triangulos, retangulos, trapeziose ate mesmo a area aproximada do cırculo, onde o valor de π era substituıdo por 3 1

6 , uma aproximacao notavel paraa epoca. Figuras mais complexas eram decompostas em triangulos ou retangulos e sua area calculada como a somadas areas das regioes resultantes desta decomposicao. Por exemplo, conhecendo-se somente a formula para areas detriangulos, como e possıvel calcular a area da seguinte figura?

0

1

2

3

4

5

–1 1 2 3 4

Provavelmente, o metodo empregado por voce para resolver este problema e o mesmo utilizado por egıpcios egregos, apesar do tempo que nos separa destas civilizacoes e do grau de desenvolvimento da matematica desde entao.

3.2.2 Apos o seculo XVII

Apesar de varias formulas para o calculo de areas de figuras planas serem conhecidas desde a antiguidade, e ate mesmoproblemas do calculo de areas de regioes limitadas por segmentos de retas e algumas curvas, como a parabola, teremsido estudados e resolvidos, para casos particulares, ate o seculo XVII, quando foram estabelecidos os fundamentosdo Calculo Diferencial e Integral como uma teoria matematica digna de credito, nao se conhecia nenhuma formulaou metodo geral que se pudesse aplicar para resolver o problema de calcular areas de regioes limitadas por curvasquaisquer. Um exemplo desse tipo de problema e formulado abaixo.

Problema

Como calcular a area da regiao limitada pelas retas x = 1, x = 2, y = 0 e a parabola y = x2, mostrada na figuraabaixo.

0

2

4

6

8

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3x

Solucoes aproximadas deste problema podem ser obtidasdividindo-se o intervalo [0,1] em subintervalos e calculando-se asoma das areas de retangulos inscritos ou circunscritos a figura,como e mostrado nos seguintes graficos:

0

2

4

6

8

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3x

0

2

4

6

8

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3x

Observe a seguir, o que acontece quando aumentamos o numero de subdivisoes do intervalo.

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32 Cap. 3 Alguns Problemas do Calculo

0

2

4

6

8

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3x

0

2

4

6

8

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3x

• O que acontece quando o numero de retangulos aumenta? O que se pode concluir?• Como sera possıvel obter a medida exata da area?Para responder a essas perguntas, observe as figuras abaixo com os valores das areas correspondentes:

2.29182.27362.24032.1688

Nomes como Descartes, Fermat, Newton, Leibniz e outros estao ligados a problemas desse tipo. A passagem daconstrucao de solucoes aproximadas para o calculo da solucao exata e a base que fundamenta toda a matematicamoderna.

3.3 Velocidade instantanea

Um outro problema que muito contribuiu para o desenvolvimento do Calculo foi o da determinacao da velocidadeinstantanea. Suponha, por exemplo, que o grafico abaixo nos fornece para cada instante de tempo t, dado emsegundos, o espaco s percorrido por um carro de Formula 1, na reta dos boxes, a partir da largada.

E facil calcular a velocidade media desenvolvida pelo piloto deste automovel no perıodo de 1 ate 4 segundos aposa largada: basta dividir o espaco percorrido neste intervalo de tempo pelo tempo total decorrido, no caso 3 s. Istoequivale, no grafico dado, a calcular a declividade da reta secante a curva que une os pontos (1, d(1)) a (4, d(4)):

A

C

B0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

m.

1 2 3 4 5seg.

A velocidade media neste exemplo sera dada entao, pela medida do segmento CB dividida pela medida de BA. Nocaso, vm = 5.

Mas, como calcular a velocidade que o piloto alcancou exatamente 1 s apos a largada?Essa velocidade, que corresponde a leitura do velocımetro do carro em cada instante do percurso, e chamada de

velocidade instantanea.A ideia e encontrar um valor aproximado para a velocidade instantanea calculando-se a velocidade media em um

intervalo pequeno, isto e, no grafico acima, considerar o ponto B bem proximo do ponto A.Assim, no exemplo acima, a velocidade media desenvolvida pelo piloto do automovel para(a) t variando de 1 s a 2 s e de 3 m/s;

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W.Bianchini, A.R.Santos 33

(b) t variando de 1 s a 1,5 s e de 2,5 m/s;

(c) t variando de 1 s a 1,2 s e de 2,2 m/s;

(d) t variando de 1 s a 1,01 s e de 2,01 m/s;

O que voce pode concluir? E possıvel calcular o valor exato da velocidade para t=1 s?

O que acontece com a reta secante quando o intervalo de tempo se torna pequeno?

Para ajuda-lo nas suas conclusoes, observe a animacao a seguir.

2.2727

3.50005.

2.5000

2.3333 2.3000

2.3750

3. 2.7500

2.4286

2.2500

2.6000

Como no caso do calculo de areas, o problema fundamental esta em como obter o valor exato da velocidade apartir da construcao de solucoes aproximadas que parecem “melhorar” a cada passo. Neste caso especıfico, a solucaoesta intimamente ligada ao problema de determinar a declividade da reta tangente a uma curva, descrito na proximasecao. Voce e capaz de deduzir, a partir desse exemplo, qual o significado fısico da declividade da reta tangente a umacurva?

3.4 Retas tangentes

Na secao anterior, foi visto que a declividade da reta tangente a uma curva tem um importante significado fısico noestudo do movimento de corpos. Este fato motivou a necessidade de definir precisamente o que se entende por retatangente a uma dada curva e de determinar a sua equacao.

Desde que se saiba um pouco de geometria analıtica, o queja era bem conhecido no seculo XVII, pode-se determinar aequacao da reta tangente a uma circunferencia num pontodado e defini-la como a reta que intercepta a circunferenciaem um unico ponto, chamado ponto de tangencia. Veja afigura ao lado.

A circunferencia nao e a unica curva para a qual a reta tangente pode ser definida dessa maneira. A mesmadefinicao pode ser usada, por exemplo, no caso de elipses. Mas como se pode definir reta tangente a uma curvaqualquer em um ponto dado? A definicao empregada no caso da circunferencia pode ser generalizada para uma curvaqualquer? Considere, por exemplo, a parabola:

–80

–60

–40

–20

20

40

60

80

100

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

Embora a ideia geometrica de reta tangente seja bastante obvia, como ilustrado no grafico anterior, a definicaoempregada no caso de circunferencias e bastante especial e nao se aplica ao caso geral. No exemplo a seguir, a retavertical intercepta a parabola em apenas um ponto, mas certamente nao e tangente a parabola.

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34 Cap. 3 Alguns Problemas do Calculo

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2x

Poderıamos eliminar o caso acima definindo tangente como a reta que apenas “toca” na curva, sem corta-la. Mas,para muitas curvas simples, essa definicao ainda nao se aplica. Veja os graficos da funcao y = x3

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

10

–2 –1 1 2x

No primeiro caso, a tangente, como a entendemos geometricamente, corta a curva em um outro ponto, diferentedo ponto de tangencia, no segundo, a tangente corta a curva precisamente no ponto de tangencia.

Examine tambem o caso a seguir. A reta vertical e tangente a curva dada?

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

–1 0 1 2x

Mais um problema surge quando observamos o grafico da funcao y = |x|. Qualquer reta passando pela origem“encosta” no grafico dessa funcao nesse unico ponto. Essas retas sao tangentes ao grafico da funcao?

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Alem disso, como poderıamos definir reta tangente ao grafico de uma curva no caso em que essa curva e, ela propria,uma reta? Nesse caso, e razoavel e intuitivo esperar que a reta dada seja sua propria reta tangente em qualquer ponto.Veja a figura:

–2

–1

1

2

–2 –1 1 2x

Dos exemplos acima podemos concluir que precisamos de uma nova (e melhor!) definicao para reta tangente a umacurva em um ponto qualquer da mesma. Uma vez estabelecida essa definicao, devemos ser capazes de determinar a

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W.Bianchini, A.R.Santos 35

sua equacao. Existem, portanto, dois problemas a serem considerados:

• Como definir a reta tangente a uma curva por um ponto da mesma?

• Conhecendo-se o ponto de tangencia, como determinar a sua equacao?

3.5 Determinacao de maximos e mınimos

Problemas de determinacao de maximos e mınimos de funcoes, do tipo:

• Como determinar a velocidade inicial mınima para que um projetil possa escapar da atracao gravitacional daTerra?

• Como determinar o mınimo de material a ser gasto na fabricacao de uma lata cilındrica de volume fixo?

• Como determinar as dimensoes da haste retangular mais rıgida que se pode fabricar de um tronco cilındrico deraio dado?

que aparecem com frequencia na vida cotidiana, tambem desempenharam importante papel na historia da evolucaodo Calculo.

Embora aparentemente dissociados, esses problemas estao intimamente associados com o problema da reta tangente.

Em princıpio, conhecendo-se o grafico da funcao que modela o fenomeno que se quer estudar, e facil localizar,visualmente, os seus maximos e mınimos, como mostra o grafico a seguir, a esquerda. No entanto, o grafico de umafuncao pode nos reservar algumas surpresas! Observe o grafico, a direita:

Minimo

Maximo

–1.2

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

–3 –2 –1 1 2 3x

–40

–20

20

40

–6 –4 –2 2 4 6x

Aparentemente, a curva se comporta como a da funcao seno, tracada anteriormente. Observe, no entanto, osgraficos a seguir. Eles mostram o que acontece quando aumentamos a escala usada para o tracado do grafico nasproximidades de um de seus “extremos” (figura da esquerda) e perto do zero (figura da direita).

49.4

49.6

49.8

50

50.2

50.4

1.4 1.44 1.48 1.52 1.56 1.6 1.64 1.68x

16

18

20

22

24

y

0.30.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5x

Este exemplo mostra que nem sempre podemos confiar nos nossos olhos e que precisamos de algum criterio que nospermita identificar os pontos extremos de uma funcao. Adiante, neste texto, veremos que a reta tangente nos fornecemeios de localizar e determinar esses extremos. Por ora, observe a animacao a seguir e tente estabelecer um criteriogeometrico que ajude a determinar os extremos de uma funcao.

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36 Cap. 3 Alguns Problemas do Calculo

x

x

x

xx

xx

x

x

x

x

xx

x

x x

x

x

x

x

texto, analisaremos problemas

3.6 Comprimento de arco

Embora, desde a Antiguidade, ja fosse conhecida a medida do comprimento de um arco de circunferencia, por muitotempo pensou-se que o problema de se retificar certas curvas, isto e, de construir um segmento de reta de mesmocomprimento de uma dada curva, tal como um arco de parabola, era impossıvel de ser resolvido para curvas algebricas.

Foi por volta de 1650, usando tecnicas do Calculo Infinitesimal, que William Neil resolveu pela primeira vez oproblema de calcular o comprimento de um arco da parabola semicubica y2 = x3. William Neil tinha na epoca vinteanos, e dele, aparentemente, nunca mais se ouviu falar.

Novamente, um calculo aproximado para este problema pode ser feito tomando-se subdivisoes do arco da curva eligando-os por segmentos de reta, como no problema abaixo.

Problema: Calcular o comprimento do arco da parabola y = x2, para x no intervalo [0, 5].A ideia e aproximar o arco de parabola por segmentos de reta, como vemos a seguir.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

–4 –2 2 4x

Neste caso, um valor aproximado para o arco de parabola y = x2, para x variando no intervalo [−5, 5], pode sercalculado somando-se os comprimentos dos segmentos de reta que ligam os pontos A1, A2, A3, A4 e A5 que definema poligonal, dando o valor 30

√2 + 4

√5 = 51.370.

Aumentando-se o numero de subdivisoes do arco, tem-se:

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

–4 –2 2 4x

E da mesma forma como foi feito acima, o valor aproximado para o comprimento do arco e 51.39134193.

• O que e possıvel concluir quando o numero de subdivisoes do arco aumenta? (Observe a animacao na versaoeletronica para responder a essa pergunta.)

• Deduza uma formula que aproxima o comprimento de uma curva y = f(x) definida em um intervalo [0, 1],subdividindo-o em n intervalos de igual comprimento.

• Como voce pode melhorar essa aproximacao?

• Qual o valor exato para o comprimento desse arco?

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W.Bianchini, A.R.Santos 37

3.7 Conclusoes

Em todos os problemas apresentados, podem-se determinar solucoes aproximadas, tao aproximadas quanto se queira.Mas como e possıvel determinar a solucao exata?

A passagem fundamental esta no processo de limite ou convergencia dessas aproximacoes.E este conceito, nas suas duas principais formas denominadas diferenciacao e integracao, que estudaremos no

decorrer deste curso.

3.8 Atividades de laboratorio

Faca as atividades propostas no arquivo lab1 1.mws da versao eletronica.

3.9 Para voce meditar: Enigmas, paradoxos e a incompletude dossistemas matematicos

Na introducao deste capıtulo dissemos que os gregos tiveram o merito de assimilar os resultados obtidos por egıpciose babilonios e estabelecer os fundamentos da matematica como um sistema logico-dedutivo, baseado em poucasafirmacoes (postulados), consideradas a priori como verdadeiras e numa cadeia de teoremas logicamente deduzidos e,portanto, irrefutaveis. Mas como e possıvel chegar a uma conclusao logica a partir de uma afirmacao verdadeira?

Enigmas logicos aparecem em muitos livros e revistas como um desafio e uma forma de “medir” a inteligencia ou aperspicacia dos leitores e ilustram tambem como o raciocınio logico, base para o desenvolvimento de qualquer sistemamatematico, e usado para resolver problemas aparentemente misteriosos ou adivinhatorios, esclarecer controversias ouprovar a insolubilidade de determinados dilemas. Teste o seu raciocınio logico tentando solucionar os enigmas abaixo.

3.9.1 Enigmas

Enigma 1Desejando escolher um marido entre seus muitos pretendentes, uma princesa de um antigo reino resolveu propor-

lhes um problema. Colocou um retrato seu dentro de um cofre e o apresentou, junto com outros dois, aos candidatosa sua mao. Aquele que, dentre os tres cofres apresentados, escolhesse o que contivesse o retrato da princesa, teria odireito de desposa-la. Para ajudar o candidato a escolher sabiamente, pois desejava um marido inteligente, a princesacolocou na frente de cada cofre uma afirmacao e explicou aos pretendentes que, das tres, somente uma era verdadeira.

- A afirmacao do primeiro cofre era: O retrato esta nesse cofre.- A do segundo: O retrato nao esta neste cofre.- E a do terceiro: O retrato nao esta no primeiro cofre.

Baseando a sua resposta num raciocınio logico, voce e capaz de deduzir em qual dos cofres esta o retrato daprincesa?

Enigma 2Neste teste, cada cofre tem duas afirmacoes e nenhum deles contem mais do que uma afirmacao falsa.- As afirmacoes do primeiro cofre eram:

1. O retrato nao esta neste cofre.

2. O artista que pintou o retrato e de Veneza.

- As do segundo cofre:

1. O retrato nao esta no primeiro cofre.

2. O artista que pintou o retrato e de Florenca.

- As do terceiro:

1. O retrato nao esta neste cofre.

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38 Cap. 3 Alguns Problemas do Calculo

2. O retrato esta no segundo cofre.

• Em que cofre esta o retrato?

Enigma 3

Neste teste cada cofre foi feito por Belini ou Celini. Toda vez que Belini fazia um cofre inscrevia nele uma afirmacaoverdadeira, e toda vez que Celini fabricava um cofre colocava nele uma afirmacao falsa.

- No primeiro cofre estava escrito: O retrato esta neste cofre.

- No segundo cofre estava escrito: O retrato esta neste cofre.

- A afirmacao do terceiro cofre era: Pelo menos dois destes cofres foram feitos por Celini.

Em que cofre esta o retrato e qual o autor de cada cofre?

Enigma 4

Neste teste sao usados somente dois cofres, um deles contendo um retrato e o outro vazio. Novamente cada umdeles foi feito ou por Belini ou por Celini.

- No primeiro cofre estava escrito: O retrato nao esta neste cofre.

- No segundo cofre estava escrito: Exatamente um destes dois cofres foi feito por Belini.

• Em que cofre esta o retrato?

• Quais as chances do pretendente acertar na sorte?

Enigma 5

Este teste e semelhante ao anterior. Sao usados apenas dois cofres, num dos quais ha um retrato e as inscricoesem cada um deles sao as seguintes:

- No primeiro cofre estava escrito: O retrato nao esta neste cofre.

- No segundo cofre estava escrito: Exatamente uma dessas duas afirmacoes e verdadeira.

• Empregando, como das outras vezes, um raciocınio logico, a que conclusao voce pode chegar a respeito do cofreque contem o retrato?

• Se o retrato estiver no segundo cofre, havera alguma contradicao com as hipoteses do problema e a princesa teramentido?

• Sabendo que o retrato esta no segundo cofre, o que se pode afirmar a respeito da veracidade ou nao da afirmacaonele escrita? Qual a diferenca deste teste para o anterior?

• Se no enigma anterior o retrato estivesse no segundo cofre, a que conclusoes poderıamos chegar?

3.9.2 Paradoxos

Em geral, paradoxos, como os que aparecem no Enigma 5, sao baseados na questao de se estabelecer o valor verdadede afirmacoes que se referem ao seu proprio valor verdade, e este e um aspecto crucial da Logica Moderna.

Um outro exemplo de paradoxo desse tipo surge quando tentamos decidir se a sentenca seguinte e falsa ou verda-deira:

Esta sentenca e falsa.

Se esta sentenca for falsa, entao e verdadeira, e se ela for verdadeira, entao e falsa, e obtemos um paradoxo.Sentencas desse tipo, cujo valor verdade depende do seu proprio significado, sao ditas mal fundamentadas e conduzema paradoxos, nao a contradicoes. Contradicoes surgem quando conclusoes erradas sao deduzidas a partir de hipotesesfalsas. Este seria o caso se, num dos enigmas de 1 a 4 da secao anterior, o retrato nao estivesse no cofre que o raciocıniologico, corretamente empregado, nos houvesse indicado. Nesse caso, se as hipoteses, corretamente empregadas, noslevassem a uma conclusao falsa, a princesa teria mentido e essa seria a unica conclusao possıvel. No Enigma 5, aprincesa nao mentiu, pois nao fez nenhuma afirmacao a respeito da veracidade ou nao das sentencas escritas noscofres.

Um enigma bastante popular desse tipo e aquele que conta a historia de um juiz que decidiria se um condenado amorte seria enforcado ou decapitado. Para tomar essa decisao, o juiz pediria ao condenado para fazer uma afirmacao.Se essa afirmacao fosse verdadeira ele seria enforcado. Se fosse falsa, decapitado.

Se voce fosse o condenado, que afirmacao faria para impedir a execucao da pena de morte?

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W.Bianchini, A.R.Santos 39

3.9.3 O teorema de Godel

Em 1931, Kurt Godel provou que, para uma grande variedade de sistemas matematicos – sistemas que fossem “sufici-entemente grandes para lidar com o infinito” –, sempre existirao afirmacoes que nao poderao ser provadas nem negadasa partir dos axiomas usados para construir esse sistema. Consequentemente, nenhum sistema logico-dedutivo, ondecertas sentencas verdadeiras sao tomadas como axiomas e regras precisas de inferencia sao empregadas para provarou nao as demais, e adequado para provar todas as verdades matematicas. A sentenca que nao pode ser provada devefazer uma afirmacao sobre a sua propria nao-probabilidade. Se esta sentenca for tomada como um axioma para osistema em questao, mais afirmacoes poderao ser provadas nesse novo sistema ampliado, mas ainda assim existiraosentencas que nao poderao ser provadas nem negadas. Esse e o conteudo do famoso Teorema da Incompletude deGodel.

Considere o seguinte paradoxo:

Esta sentenca nao pode ser provada.

O paradoxo e: se a sentenca e falsa, entao e falso que ela nao pode ser provada, e consequentemente ela pode serprovada, mas se ela pode ser provada, entao ela e verdadeira. Assim, se ela e falsa, entao deve ser verdadeira. Poroutro lado, suponhamos que eu tenha provado a sentenca e portanto que ela seja verdadeira. Mas se a sentenca everdadeira, o que ela afirma e verdade, e entao ela nao pode ser provada, mas entao, como eu a provei?

Seguindo o raciocınio do paradoxo acima, o que e necessario fazer para concluir sobre a veracidade ou nao de umaafirmacao?

Um dos objetivos do ramo da matematica conhecido como Logica e estabelecer a nocao de prova ou demonstracaode uma afirmacao de maneira precisa. Quando provamos um teorema matematico estamos simplesmente empregandoalguns postulados, o nosso raciocınio, as leis da logica e resultados anteriormente provados para chegar a uma conclusaonova e verdadeira. Esta conclusao sera tomada e usada, desde entao, como um novo teorema para o sistema, a partirdo qual novos resultados poderao ser estabelecidos.

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Capıtulo 4

Funcoes e Graficos

4.1 Motivacao

Vimos no capıtulo anterior que problemas onde e necessaria a determinacao dos valores maximos e/ou mınimos de umafuncao aparecem comumente no nosso dia a dia e que, embora aparentemente dissociados, o problema de determinartais pontos extremos esta intimamente relacionado com o problema de determinar a inclinacao da reta tangente a umacurva em um dado ponto. Tentaremos analisar um problema desse tipo com os conhecimentos matematicos de quedispomos ate o momento.

4.1.1 O problema da caixa

x

x

x

x

x

x x

x

Considere uma folha de plastico quadrada de lado igual a 20 cm.Como se deve cortar os cantos desta folha de modo a formaruma caixa sem tampa que contenha o maior volume de aguapossıvel, quando completamente cheia?

Considerando a figura ao lado, o problema consiste em de-terminar o valor de x, a ser cortado, para obtermos tal caixa.

Observe que a medida que x varia o volume tambem varia,isto e, o volume da caixa depende da variavel x , que neste pro-blema representa o tamanho do corte que determinara a alturada caixa a ser montada. Dizemos, entao, que o volume e umafuncao de x. Neste caso, a expressao matematica que fornece o volume da caixa para cada valor particular de x e dadapor: V = x (20− 2x)2. Repare ainda que x so pode assumir valores entre 0 e 10. (Por que?)

Analise Numerica

Para determinar o valor de x, a ser cortado, a fim de que o valor do volume atinja o seu maximo, podemos fazer umatabela ou lista mostrando o valor do volume para varios valores de x. Como x varia entre 0 e 10, iremos formar umatabela com n+1 pontos, incluindo 0 e 10.[

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10V (x) 0 324. 512. 588. 576. 500. 384. 252. 128. 36. 0

]Pela analise da tabela, verificamos que o valor maximo do volume parece ocorrer para valores de x entre 2 e 4.

Podemos melhorar nossa tabela calculando o valor do volume para um maior numero de valores de x, melhorandoassim a precisao do resultado encontrado anteriormente:

[.5000000000,

40

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W.Bianchini, A.R.Santos 41

x V (x)0 0

.2500000000 95.06250000

.5000000000 180.5000000

.7500000000 256.68750001. 324.

1.250000000 382.81250001.500000000 433.50000001.750000000 476.4375000

2. 512.2.250000000 540.56250002.500000000 562.50000002.750000000 578.1875000

3. 588.

x V (x)3.250000000 592.31250003.500000000 591.50000003.750000000 585.9375000

4. 576.4.250000000 562.06250004.500000000 544.50000004.750000000 523.6875000

5. 500.5.250000000 473.81250005.500000000 445.50000005.750000000 415.4375000

6. 384.6.250000000 351.5625000

x V (x)6.500000000 318.50000006.750000000 285.1875000

7. 252.7.250000000 219.31250007.500000000 187.50000007.750000000 156.9375000

8. 128.8.250000000 101.06250008.500000000 76.500000008.750000000 54.68750000

9. 36.9.250000000 20.812500009.500000000 9.500000000

10. 0

O valor maximo para V parece ser, agora, 592,3125, e este maximo parece ocorrer para valores de x entre 3 e3,5.

Como poderıamos aumentar a precisao do resultado obtido acima? As listas apresentadas poderiam ser calculadasfacilmente sem o auxılio de um computador?

Mesmo para quem dispoe de um computador, este e um bom metodo para determinar o maximo de uma funcao?

Analise grafica

Outro modo de tentar calcular o valor maximo de V e fazer uma analise grafica onde se explicite visualmente a relacaoexistente entre as duas variaveis envolvidas no problema: V (volume da caixa) e x (tamanho do corte). Para isso,vamos usar as tabelas anteriores para tentar obter o grafico da equacao y = V (x).

0

100

200

300

400

500

600

2 4 6 8 10x

Volume x Corte

Verificamos, mais uma vez, que a medida que x varia os valores correspondentes para V crescem ate atingir um valormaximo e depois decrescem ate zero (veja o grafico abaixo a esquerda). O problema e como determinar exatamenteonde ocorre o valor maximo dessa ou de outra funcao qualquer. Esses pontos tem uma caracterıstica geometricaespecial: existe uma reta horizontal que e tangente ao grafico da funcao no seu ponto de maximo. Veja a direita:

619593593

593593593

Esta caracterıstica especial pode nos ajudar a determinar precisamente estes pontos. Como isso pode ser feito?

Conclusao

Para resolver problemas desse tipo, temos que:

1. Encontrar uma relacao entre as variaveis envolvidas, nesse caso

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42 Cap. 4 Funcoes e Graficos

VOLUME E CORTE

No caso do problema que estudamos no exemplo anterior, a relacao encontrada fornece o valor do volume dacaixa para cada tamanho x do corte. Neste caso, dizemos que o volume V e uma funcao do corte x.

2. Determinar os pontos onde existe uma reta tangente horizontal ao grafico da funcao encontrada no primeiropasso.

Este capıtulo e destinado ao estudo destas correspondencias especiais que relacionam as diversas variaveis que aparecemnum problema, isto e, ao estudo das funcoes e seus graficos.

Comecaremos este estudo com alguns exemplos.

4.2 Exemplos

Exemplo 1Um dos problemas encarado como um passatempo ate poucos anos atras e que se tornou de importancia crucial

atualmente e o de transmitir mensagens codificadas, ou, em termos tecnicos, criptografar mensagens. Este problemasurge e revela toda a sua importancia quando e necessario enviar dados sigilosos por meio de uma rede de computadores,saldos e senhas bancarias, informacoes pessoais, numero de cartao de credito, etc. E preciso criar, entao, meios segurosde transmitir esses dados de modo que somente pessoas autorizadas tenham acesso a eles.

O primeiro passo para que seja criado um codigo seguro e estabelecer, de alguma maneira predeterminada, umacorrespondencia entre letras e numeros. Existem muitas formas de se definir tal correspondencia, a mais simples dasquais e dada pela tabela:

letras a b c d e ... v x znumeros 1 2 3 4 5 ... 21 22 23

Essa tabela define uma correspondencia que associa a cada letra do nosso alfabeto um unico numero natural entre1 e 23.• Por essa correspondencia, qual letra esta associada ao numero 15?• Qual o numero correspondente a letra x?• Voce e capaz de estabelecer uma correspondencia diferente dessa que associe as letras do alfabeto aos numerosnaturais? E claro que, para transmissao de mensagens, nao se pode usar um codigo tao simples assim. O sigilo dosdados nao estaria garantido, porque seria muito facil descobrir a chave do codigo e entao decodificar a mensagem.Por isso, em geral, depois dessa primeira etapa, em que se faz corresponder letras a numeros de maneira simples,os numeros obtidos sao ainda operados algebricamente, usando-se regras conhecidas somente pelo receptor e pelotransmissor da mensagem.

Suponha que ao numero obtido, usando-se a tabela anterior, sejam somadas 4 unidades e o resultado multiplicadopor 3.• Apos esta segunda etapa, qual seria o novo numero associado a letra x?• Qual letra corresponderia ao numero 42?• Use o codigo estabelecido acima para “transmitir” a palavra mar.

Exemplo 2Considere uma caixa d’agua cubica com base de 4 m2 de area. Uma torneira aberta despeja agua a uma vazao de

12 m3/h. A que altura estara o nıvel de agua 1 hora depois? E depois de 2 horas? E depois de 3 horas?

Vamos raciocinar juntos:Em primeiro lugar, note que o volume, assim como a altura do nıvel da agua, varia com o tempo. Sabemos tambem

que o volume de agua na caixa d’agua em qualquer instante de tempo e igual a area da base da caixa vezes a alturado nıvel da agua. Assim, denotando-se por V (t) e h(t) o volume e a altura do nıvel da agua, respectivamente, numcerto instante de tempo t teremos:

V (t) = 4h(t)

Por outro lado, o volume de agua que entrou ate o instante t e igual a vazao vezes o tempo transcorrido (no nossocaso, t horas), isto e:

V (t) =t

2.

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W.Bianchini, A.R.Santos 43

Igualando as equacoes anteriores, obteremos:

h(t) =t

8.

Esta equacao fornece a altura do nıvel da agua em cada instante de tempo t. Portanto, para determinarmos a alturado nıvel da agua para t = 1h, t = 2h, t = 3h, ..., basta substituirmos t na equacao anterior pelo valor desejado.Dizemos que a altura do nıvel da agua depende ou e uma funcao do tempo. Essa dependencia pode ser expressa emnotacao funcional pela expressao h(t) = t

8 , que e chamada de representacao analıtica da funcao.

Usando o Maple teremos:

Definicao da funcao h(t):

> h:=t->t/8;

h := t→ 1

8t

Calculo da funcao para varios valores de t.

> h(1);h(2);h(3);h(a);h(qualquer_tempo);

1

8

1

4

3

8

1

8a

1

8qualquer tempo

Uma outra maneira de representar funcoes e usando uma tabela. Para esse exemplo, teremos:

t 1 2 3 4 5 ah 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 a/8

Podemos, tambem, representar funcoes graficamente. Uma representacao grafica para a funcao h, definida nesteexemplo, pode ser obtida por meio da tabela anterior, como vemos a seguir.

0

1

2

3

4

5

h(t)

1 2 3 4 5t

Repare que, como no caso de equacoes, o grafico de uma funcao e o conjunto de todos os pontos (x, y) do planocartesiano tais que y = h(x), isto e, a abscissa representa a variavel independente x , e a ordenada, o valor da funcaocalculada nesse ponto. A expressao, ou formula, y = h(x) como ja dissemos, e chamada de representacao analıtica dafuncao h.

O grafico anterior foi obtido calculando-se o valor de h(t) em alguns pontos particulares (por exemplo em t = 1, 2, 3, 4e 5 e ligando-se os pontos (1, h(1)), (2, h(2)), (3, h(3)), (4, h(4)) e (5, h(5)) por segmentos de reta. Esse metodo funcionasempre? (Veja no capıtulo Retas Tangentes o projeto Programando o Computador para Tracar Graficos de Funcoes)Por que e um otimo metodo nesse caso?

Exemplo 3

Determinar a area da regiao limitada pelas retas y = x, x = z e pelo eixo x, conforme mostrado na figura a seguira esquerda. Observe a animacao apresentada na versao eletronica deste texto para constatar que esta area dependeda escolha de z. Neste caso, como a figura a esquerda e um triangulo retangulo e isosceles (explique!), sua area e

dada pela formula A(z) = z2

2 (por que?) e temos a seguinte representacao grafica para A(z) a direita.

y=x

x=z0

2

4

6

8

1 2 3 4z

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44 Cap. 4 Funcoes e Graficos

4.3 O conceito de funcao

Para resolver os problemas propostos nos exemplos da secao anterior, foi preciso deduzir uma lei ou formula matematicaque determinasse precisamente a dependencia existente entre as variaveis envolvidas em cada caso. Essa lei oucorrespondencia e o que chamamos de funcao.

Resumindo:

Sejam D e I dois conjuntos quaisquer. Uma funcao f definida em D e uma regra ou lei de correspondencia que associaa cada elemento do conjunto D um unico elemento do conjunto I.

Em particular, se os conjuntos D e I forem conjuntos de numeros reais, a cada numero real x de D deve corres-ponder, pela f, um unico numero real y em I.

O conjunto D dos valores permitidos para x chama-se domınio da funcao e o conjunto dos valores correspondentesde y chama-se imagem da funcao. O conjunto imagem portanto, e um subconjunto de I. O conjunto I e denominadocontradomınio de f.

Costuma-se chamar x de variavel independente, porque ela e livre para assumir qualquer valor do domınio, echamar y de variavel dependente, porque seu valor depende da escolha de x.

Observe que na definicao de funcao exigimos que a cada elemento do domınio fosse associado um unico (um eapenas um) elemento da imagem. A razao dessa exigencia nao se deve a nenhuma restricao matematica. E umaconvencao que tem por origem as descricoes de fenomenos fısicos e biologicos que sao feitas por funcoes do tempo, ouseja, funcoes cuja variavel independente e o tempo. O tempo, como os fısicos o concebem, e uma grandeza monotonaestritamente crescente, isto e, que nao volta nunca para tras, portanto, as relacoes que descrevem fenomenos fısicosassociam a cada tempo um so evento, dando origem a definicao de funcao na forma como a entendemos hoje.

Exemplo 1 A correspondencia que associa a cada numero real x o seu quadrado x2 e uma funcao definida pelaequacao f(x) = x2. O domınio de f e o conjunto R de todos os numeros reais. A imagem de f consiste de todos osvalores de f(x), isto e, de todos os numeros que sao da forma x2. Como x2 ≥ 0, qualquer que seja o numero x, temosque a imagem de f e o conjunto y ∈ R; y ≥ 0 = [ 0,∞ ).

Exemplo 2 Se definirmos uma funcao por g(x) = x2 para 0 ≤ x ≤ 3, entao o domınio de g e o intervalo fechado[ 0, 3 ] e sua imagem e o intervalo [ 0, 9 ]. Essa funcao e diferente da funcao dada no exemplo anterior, porque seusdomınios e suas imagens sao diferentes.

Nos exemplos 1 e 2, o domınio da funcao foi dado explicitamente. Se uma funcao e dada por uma formula e seudomınio nao e indicado explicitamente, entende-se que o seu domınio e o maior possıvel, isto e, o conjunto de todosos numeros para os quais a formula faca sentido e defina um numero real.

Exemplo 3 Ache o domınio da funcao f(x) =1

x2 − x.

Solucao Como f(x) =1

x2 − x=

1

x (x− 1)e a divisao por zero nao faz sentido, vemos que f nao esta definida

quando x = 0 e x = 1. Consequentemente, o domınio de f e x ∈ R;x 6= 0, x 6= 1 ou, em notacao de intervalo,(−∞, 0 ) ∪ ( 0, 1 ) ∪ ( 1,∞ ).

Exemplo 4 Ache o domınio de h(x) =√

2− x− x2.

Solucao Como no conjunto dos numeros reais raızes quadradas de numeros negativos nao estao definidas, odomınio de h consiste de todos os valores de x para os quais 2− x− x2 ≥ 0. Resolvendo esta inequacao, temos que odomınio de h e

x ∈ R;−2 ≤ x ≤ 1 = [−2, 1 ].

Como vimos na secao anterior, podemos representar uma funcao por uma tabela, por uma expressao matematicado tipo y = f(x), ou por um grafico. Devido a importancia da representacao grafica de uma funcao, iremos estuda-lacom mais detalhes na proxima secao.

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W.Bianchini, A.R.Santos 45

4.4 Graficos de funcoes: Definicao e exemplos

Como ja vimos, o termo grafico em matematica geralmente e usado quando estamos descrevendo uma figura por meiode uma condicao que e satisfeita pelos pontos da figura e por nenhum outro ponto.

Uma das representacoes graficas mais comuns e importantes em matematica e o grafico de uma funcao.

Podemos representar graficamente uma funcao usando varios tipos de graficos: graficos de barras, correspondenciaou relacao entre conjuntos e graficos cartesianos.

Como ja vimos nos exemplos da secao anterior, o grafico cartesiano de uma funcao e o conjunto de todos os pontos(x, y) do plano que satisfazem a condicao y = f(x), ou seja, o grafico de uma funcao e o conjunto de todos os pontosdo plano da forma (x, f(x)), com x variando no domınio de f.

Os graficos cartesianos permitem visualizar “a forma” geometrica de uma funcao e suas principais caracterısticas.Alem disso, como a coordenada y de qualquer ponto (x, y) do grafico de uma funcao f e igual ao valor desta funcaocalculada em x, podemos obter o valor de f(x) por meio de seu grafico. Este valor e, simplesmente, a altura do graficocorrespondente ao ponto x.

Veja a seguir alguns exemplos de graficos de funcoes. Estes graficos foram obtidos usando-se o comando plot doMaple.

Exemplo 1 Grafico da funcao y = x2

> plot(x^2-1,x=-2..2);

–1

0

1

2

3

–2 –1 1 2x

Exemplo 2 Grafico da funcao y = x3 − 3x

> plot(x^3-3*x,x=-2..2);

–2

–1

1

2

–2 –1 1 2x

O grafico de uma funcao e, portanto, uma curva plana. A questao que surge agora e: Qualquer curva planarepresenta o grafico de alguma funcao? Para responder a esta pergunta, verifique quais das curvas a seguir representamgraficos de funcoes. (Lembre-se: uma funcao e uma correspondencia especial que a cada ponto do seu domınio associaum unico ponto na sua imagem.)

–2

–1

1

2

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

2

3

4

5

–2 –1 0 1 2x

–2

–1

0

1

2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

–2 –1 1 2x

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–2 –1 1 2x

As curvas anteriores que representam graficos de funcoes sao aquelas em que nenhuma reta vertical as interceptamem mais de um ponto. Isto porque se uma reta vertical x = a intercepta uma curva em um unico ponto ( a, b ), entaoha somente um valor definido para f(a), e este valor e b. Se, por outro lado, a reta x = a intercepta a curva emmais de um ponto, entao a curva nao pode representar uma funcao porque, neste caso, dois valores diferentes estariamassociados, pela funcao, a x = a. Agora responda: o grafico de uma funcao pode ser simetrico em relacao ao eixo x?E em relacao ao eixo y? O que representam os pontos onde o grafico de uma funcao corta o eixo x?

Exercıcio 1

Cada grafico a seguir, representa uma funcao y = f(x). O que se pode concluir em relacao ao numero de raızesreais da equacao f(x) = 0 ? Em cada caso, determine os valores de x para os quais y > 0 e os valores de x para osquais y < 0.

Page 62: texto completo em PDF

46 Cap. 4 Funcoes e Graficos

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

y

–2 –1 1 2x

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

–2 –1 1 2x

Exercıcio 2 Observe ao lado os graficos das funcoes y = 1 ey = x tracados em conjunto.

> plot([1,x],x=-2..2,color=[red,blue]);

• Determine, graficamente, o ponto de intersecao das duas retas.• Como se podem determinar analiticamente os pontos onde o

grafico dessas funcoes se interceptam? –2

–1

1

2

–2 –1 1 2x

Exercıcio 3 Na figura ao lado, estao representados em con-junto os graficos das funcoes y = 2 (x− 1)2 e y = x.

> plot([2*(x-1)^2,x],x=-2..4, color=[red,blue]);

• Quais sao os pontos de intersecao dessas curvas?

–2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

–2 –1 1 2 3 4x

Exemplo 3 Considere a funcao f definida por

f(x) =

1− x se x ≤ 1x2 se x > 1

Calcule f(0), f(1) e f(2) e esboce o grafico desta funcao.

Solucao Uma funcao e uma regra. Neste exemplo em particular, a regra e a seguinte: se x ≤ 1, entao o valorde f(x) e dado por 1 − x. Se, por outro lado, x > 1, entao o valor de f(x) e dado por x2. Assim, temos quef(0) = 1− 0 = 1, f(1) = 1− 1 = 0 (repare que 1 ≤ 1) e f(2) = 22 = 4.

Para tracar o grafico de f , observe que se x ≤ 1, entao f(x) =1− x. Assim, a parte do grafico de f que esta a esquerda da retavertical x = 1 coincide com a reta y = 1 − x, cuja declividadee −1 e a intersecao com o eixo y e o ponto (0, 1). Se x > 1,entao f(x) = x2 e a parte do grafico de f que esta a direita dareta x = 1 deve coincidir com o grafico de y = x2, que e umaparabola. O grafico desta funcao esta esbocado na figura ao lado.O disco solido indica que o ponto em questao faz parte do graficoda funcao e o cırculo vazio indica que o ponto nao faz parte dografico.

2

4

6

8

10

y

–4 –2 2 4x

Exercıcio 4 Ache uma formula para a funcao cujo grafico e dado a seguir.

0

1

2

3

4

1 2 3 4

Exemplo 4 Considere agora a funcao y = x2−1x−1 . Qual o seu domınio? Observe o grafico dessa funcao tracado

com a ajuda do Maple.

> plot((x^2-1)/(x-1),x=-3..3);

Page 63: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 47

–2

–1

0

1

2

3

4

–3 –2 –1 1 2 3x

Compare o domınio de y = x2−1x−1 com o de y = x+1. Este grafico esta correto? Esta funcao e igual a funcao

y = x+ 1? Por que?

DefinicaoDizemos que duas funcoes y = f(x) e y = g(x) sao iguais se elas tem o mesmo domınio e se f(x) = g(x) para

todos os valores de x do seu domınio comum.

Assim, no exemplo acima, as funcoes y = x2−1x−1 e y = x+ 1 nao sao iguais porque tem domınios diferentes. O ponto

x = 1 pertence ao domınio de y = x+ 1, mas nao pertence ao domınio de y = x2−1x−1 .

4.5 Operando com funcoes

Duas funcoes f e g podem ser combinadas para formar novas funcoes f + g, f − g, f g e fg , de uma maneira analoga

ao modo como somamos, subtraımos, multiplicamos e dividimos numeros reais.A soma f + g e definida pela equacao

(f + g)(x) = f(x) + g(x).

Repare que o lado direito desta equacao so faz sentido se f(x) e g(x) estao definidas, isto e, se x pertence tanto aodomınio de f quanto ao domınio de g. Assim, se o domınio de f e A e o domınio de g e B, o domınio de f + g e aintersecao destes domınios, isto e, A ∩B.

Note, ainda, que o sinal de + no lado esquerdo da equacao indica uma adicao de funcoes, mas o mesmo sinal dolado direito da equacao indica a adicao dos numeros reais f(x) e g(x).

Analogamente, define-se a diferenca f − g e o produto f g, e seus respectivos domınios sao tambem A ∩ B. Paradefinir o quociente f

g de duas funcoes, devemos lembrar que a divisao por zero nao faz sentido.Em resumo: Sejam f e g duas funcoes com domınios A e B, respectivamente. Entao, as funcoes f + g, f − g, f g

e fg sao definidas como se segue:

Funcao Domınio(f + g)(x) = f(x) + g(x) A ∩B(f − g)(x) = f(x)− g(x) A ∩B

(f g)(x) = f(x) g(x) A ∩Bf

g(x) =

f(x)

g(x)x ∈ A ∩B; g(x) 6= 0

Operar com funcoes tem muitas aplicacoes praticas. Por exemplo, se a funcao f(t) representa um registro de som,entao a funcao 2 f(t) efetivamente amplifica este som por um fator de 2. Este e o princıpio por detras do processo dedigitalizacao de sinais de vıdeo e de audio. Se f(x) representa um sinal de vıdeo e g(x) representa um outro, entaof(x) + g(x) representa os dois sinais sobrepostos. Combinando-se a operacao de adicionar funcoes com a operacao demultiplicar funcoes por constantes, podem-se obter alguns efeitos interessantes. A sequencia abaixo representa umasequencia de sinais de vıdeo que comeca com f(x) e entao muda suavemente para g(x).

f(x)0, 9 f(x) + 0, 1 g(x)0, 8 f(x) + 0, 2 g(x)

...0, 1 f(x) + 0, 9 g(x)g(x)

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48 Cap. 4 Funcoes e Graficos

Este efeito e frequentemente usado em televisao e cinema para fazer a transicao de uma cena para outra. Executena versao eletronica a animacao correspondente e observe o efeito produzido!

O produto e o quociente de funcoes sao uteis em diferentes contextos. Assim, se uma funcao f(t) descreve oconsumo de energia per capita em um determinado paıs em cada perıodo de tempo t, por exemplo, a cada mes, e afuncao p(t) fornece a populacao do paıs, entao a funcao produto E(t) = f(t) p(t) fornece o consumo total de energiadaquele paıs para cada perıodo de tempo t. Da mesma maneira, se a funcao f(t) fornece a producao total de um paısqualquer em um determinado perıodo de tempo t e, como antes, a funcao p(t) fornece a populacao deste paıs, entao

o quociente C(t) = f(t)p(t) fornece a producao per capita de alimentos. Se uma regiao retangular muda de tamanho e se

o seu comprimento e sua altura variam de acordo com as funcoes f(t) e g(t), respectivamente, em cada instante detempo t, entao a sua area e dada pelo produto A(t) = f(t) g(t).

Uma outra forma de combinarmos funcoes para obter uma nova funcao e por composicao, que estudaremos maistarde, no decorrer deste texto.

Exercıcio Em cada um dos itens abaixo ache f + g, f − g, f g e fg e seus respectivos domınios:

(a) f(x) = x3 + 2x2, g(x) = 3x2 − 1 (b) f(x) =√

1 + x, g(x) =√

1− x

4.6 Um pouco de historia

Em termos intuitivos, uma funcao e uma regra ou lei que nos diz como duas ou mais quantidades variam entre si.Ja no seculo XIII os filosofos escolasticos – que seguiam a escola de Aristoteles – discutiam a quantificacao de

formas variaveis. Entre tais formas, eles estudavam a velocidade de objetos moveis e a variacao da temperatura deponto para ponto de um solido aquecido.

No seculo XIV, Oresme – teologo e matematico frances – teve a brilhante ideia de tracar uma figura ou grafico dasgrandezas que variam. Esta foi, talvez, a primeira sugestao do que hoje e chamado de representacao grafica de umafuncao.

A ideia de Oresme foi aprofundada mais tarde, no seculo XVII, por Fermat e Descartes, que definiram um sistemade coordenadas no plano, estabeleceram a correspondencia entre uma equacao f(x, y) = 0 e a curva plana consistindode todos os pontos de coordenadas (x, y) que satisfazem a equacao dada e introduziram a nocao de variavel.

Em particular, Descartes verificou que uma relacao algebrica do segundo grau tinha como imagem grafica umacurva conica, isto e, uma elipse, uma hiperbole, uma parabola ou uma circunferencia.

Fermat tambem estudou as conicas e estabeleceu que as retas sao as curvas descritas por meio de uma relacaoalgebrica de primeiro grau.

O estudo desses dois genios contribuıram, significativamente, para estabelecer os fundamentos que permitiram,mais tarde, o desenvolvimento da teoria do Calculo Diferencial e Integral, por Newton e Leibniz.

4.7 Atividades de laboratorio

Usando um computador e o Maple, faca as atividades propostas no arquivo lab1.mws da versao eletronica deste texto.

4.8 Exercıcios

1. No exemplo 1 da secao Exemplos, estabelecemos uma correspondencia entre as letras do alfabeto e um subcon-junto dos numeros naturais. Essa correspondencia define uma funcao f ? Qualquer correspondencia define umafuncao? Voce e capaz de dar outros exemplos de funcoes definidas em conjuntos nao numericos? E de funcoesdefinidas em conjuntos nao numericos tomando valores em conjuntos numericos?

2. Nos exemplos 2 e 3 da secao Exemplos, determine o domınio e a imagem de cada funcao.

3. (a) Se f(x) = 2x2 + 3x− 4, ache f(0), f(2), f(√

2), f(1 +√

2), f(−x), 2 f(x) e f(2x).

(b) Se g(x) = x3 + 2x2 − 3, ache g(0), g(3), g(−x) e g(1 + h).

4. Em cada um dos itens abaixo ache f(2 + h), f(x+ h) e f(x+h)h

(a) f(x) = x− x2 (b) f(x) = xx+1

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W.Bianchini, A.R.Santos 49

5. O domınio de uma funcao f e 1, 2, 3, 4, 5, 6 e f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 0, f(4) = 1, f(5) = 2 e f(6) = 4.Qual e a imagem de f?

6. Ache o domınio e a imagem das seguintes funcoes:

(a) f(x) = 2x+ 7, −1 ≤ x ≤ 6

(b) f(x) = 6− 4x, −2 ≤ x ≤ 3

(c) g(x) = 23 x−5

(d) h(x) =√

2x− 5

(e) F (x) =√

1− x2

(f) h(x) = (7− 3x)14

(g) F (x) = 1−√x

7. Ache o domınio das seguintes funcoes:

(a) f(x) = x+2x2−1

(b) g(x) = (x2 − 6x)14

(c) f(x) = x4

x2+x−6

(d)√

x2−2 xx−1

(e) g(x) =√x2 − 2x− 8

(f) f(x) =√

xπ−x

(g)√t2 + 1

(h)√t− 1

8. (a) A expressao y = | x |x define y como funcao de x? Em caso afirmativo, qual o seu domınio e qual a sua

imagem?

(b) Idem para y = x2 + x+ 1?

(c) Esboce o grafico das funcoes dadas nos itens anteriores.

9. Sob que condicoes a expressao y2 + x2 = 1 define y como funcao de x?

4.9 Problemas propostos

1. Um industrial deve fabricar latas cilındricas tampadas com um volume fixo V . O material usado custa R$0,50o m2.

Determine o custo unitario das latas como funcao de seu raio.

2. De um pedaco de papelao quadrado com L cm de lado, deve-se construir uma caixa sem tampa de base quadrada.

Determine a area lateral da caixa como funcao de sua altura.

3. Um arame de comprimento L deve ser cortado em dois pedacos. Com um dos pedacos constroi-se um quadradoe com o outro um triangulo equilatero.

Determine a soma das areas dessas figuras como funcao do comprimento de um dos pedacos.

4. Na escala Fahrenheit, para medir temperaturas, a agua congela a 320 e ferve a 2120. Na escala centıgrada, aagua congela a zero grau e ferve a 1000. Ache uma lei matematica que possa ser usada para converter grauscentıgrados em Fahrenheit.

5. Um boemio perambulando pela calcada numa noite escura observa ao passar sob um poste iluminado que ocomprimento de sua sombra depende da sua posicao em relacao ao poste.

Sabendo que o comprimento do poste e a metros e a altura do boemio e de b metros, determine o comprimentoda sombra como funcao da posicao do boemio em relacao ao poste.

6. (a) Uma funcao f e dita crescente quando f(x) cresce a medida que x cresce, isto e, quando o grafico de fascende para a direita. Essa condicao deve valer para todo x no domınio de f. Quando essa condicao valesomente para os valores de x num determinado intervalo, diz-se que f e crescente naquele intervalo.

Como se pode exprimir essa condicao matematicamente? De exemplos de funcoes crescentes.

(b) Uma funcao f e dita decrescente, quando f(x) decresce a medida que x cresce, isto e, quando o grafico def descende para a direita. Essa condicao deve valer para todo x no domınio de f. Quando essa condicaovale somente para os valores de x num determinado intervalo, diz-se que f e decrescente naquele intervalo.

Como se pode exprimir essa condicao matematicamente? De exemplos de funcoes decrescentes.

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50 Cap. 4 Funcoes e Graficos

7. Uma funcao f e dita par se f(−x) = f(x) para todo x de seu domınio e e dita ımpar se f(−x) = −f(x) paratodo x de seu domınio. Nos dois casos, entende-se que −x esta no domınio de f toda vez que x esta. Determinese cada uma das funcoes a seguir, ou nenhuma da duas, e par ou ımpar.

(a) f(x) = x3

(b) f(x) = |x |(c) f(x) = x2 + 1

x

(d) f(x) = x (x+ 1)

(e) f(x) = x (x3 + x)

(f) Trace o grafico de cada uma das funcoes acima. Confira a sua resposta usando o comando plot do Maple.

(g) Qual o aspecto geometrico caracterıstico do grafico de uma funcao par? E de uma funcao ımpar?

(h) O que se pode afirmar a respeito da soma de funcoes pares? E de funcoes ımpares?

(i) O que se pode afirmar a respeito do produto de funcoes pares? E de funcoes ımpares? E do produto deuma funcao par por uma funcao ımpar?

8. A figura mostra a parte situada a direita do eixo y do grafico de uma funcao f .

–2

–1

0

1

2

3

4

1 2 3 4 5

Trace o grafico de f no intervalo [−5, 5 ] se

(a) f e uma funcao par.

(b) f e uma funcao ımpar. Nesse caso, quanto vale f(0)?

(Veja Atividades de laboratorio:Funcoes e Graficos- Atividade 3.)

9. A figura a seguir representa o grafico de uma funcao f , definida no intervalo [−4, 4], como a uniao dos segmentosde reta que ligam os pontos (−4,−1 ), (−3,−2 ), (−2,−2 ), (−1, 1/2 ), ( 0, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 0 ), ( 3,−1 ), ( 4, 0 ).

–2

–1

1

2

–4 –2 2 4

(a) Quais os valores de x para os quais f(x) = 0?

(b) Em cada um dos itens abaixo, esboce os graficos das funcoes definidas a partir de f , identificando, em cadacaso, a transformacao geometrica ocorrida no grafico de f . Voce e capaz de justificar analiticamente a suaresposta? (Veja Atividades de laboratorio: Funcoes e graficos - Atividade 1.)

i. f1(x) = −f(x)

ii. f2(x) = f(−x)

iii. f3(x) = −f(−x)

iv. f4(x) = 2 f(x)

v. f5(x) = f(x) + 1

vi. f6(x) = f(x+ 1)

vii. f7(x) = f(x− 1)

viii. f8(x) = | f(x) |ix. f9(x) = f(|x |)

10. Trace o grafico de cada uma das funcoes abaixo. Nao marque pontos! Comece com um grafico de uma funcaoque voce conheca e entao aplique, neste grafico padrao, as transformacoes apropriadas (translacoes, reflexoes,dilatacoes, etc.).

(a) y = −1x

(b) y = −x3

(c) y = 1 +√x

(d) y = (x− 1)3 + 2

(e) y = 2 + 1x+1

(f) y = 1x−3

(g) y = x2 + x+ 1

(h) y = |x2 − 2x |(i) y =

√x+ 2

(j) y = 1 + 2x+ x2

(k) y =√|x |

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W.Bianchini, A.R.Santos 51

11. O sımbolo [x ] e usado para indicar o maior inteiro que e menor ou igual a um numero real x. Por exemplo,[ 1 ] = 1, [ 2, 1 ] = 2, [π ] = 3 e [−1, 7 ] = −2. Esboce os graficos das funcoes abaixo no intervalo (−4, 4):

(a) y = [x ] (b) y = x− [x ]

12. Quando um foguete de provas e lancado, o propelente queima durante alguns segundos, acelerando o foguete paracima. Apos a queima total do combustıvel, o foguete ainda continua subindo durante um certo tempo, e entaoinicia-se o perıodo de queda livre de volta a Terra. Uma pequena carga explosiva arremessa um para-quedaslogo apos o foguete comecar a descer. O para-quedas diminui a velocidade de queda do foguete o suficiente paraevitar que ele se quebre ao aterrissar. O grafico abaixo, representa a velocidade desenvolvida pelo foguete apartir do seu lancamento. Use o grafico para responder as perguntas abaixo:

–20

0

20

40

60

2 4 6 8 10 12t

(a) Com que velocidade o foguete subia quando o motor parou?

(b) Durante quantos segundos o motor funcionou?

(c) Quando o foguete atingiu a sua maior altura? Qual era a sua velocidade nesse momento?

(d) Quando foi lancado o para-quedas?

(e) Com que velocidade o foguete estava caindo nessa ocasiao?

13. No capıtulo Alguns Problemas do Calculo, vimos que podemos aproximar a area da regiao limitada pelo eixo xpor duas retas verticais quaisquer e uma curva dada, aproximando-a pela soma das areas de retangulos inscritosou circunscritos. Determine a area aproximada da regiao limitada pela parabola y = x2, pelo eixo x e pelas retasx = 0 e x = 1 em funcao do

(a) numero de retangulos inscritos na regiao.

(b) numero de retangulos circunscritos a regiao.

Sugestao: Considere, em cada caso, n retangulos de base igual a 1n e use a notacao de somatorio para

expressar a soma das areas dos retangulos considerados.

(c) Repita esse exercıcio para a regiao limitada pela parabola y = x2, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = h.

(d) Uma reta que intercepta uma parabola em dois pontos define uma regiao do plano chamada de setorparabolico. Ha dois milenios, Arquimedes descobriu um metodo de achar a area de um setor parabolico.Mostre que o problema de achar a area de um setor parabolico e equivalente ao problema descrito nos itensanteriores, isto e, calcular a area da regiao limitada pela parabola, duas retas verticais e o eixo x. Veja afigura abaixo.

–1

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2x

14. No Capıtulo Alguns Problemas do Calculo, vimos que podemos aproximar o comprimento de um arco de curvapor segmentos de reta cujas extremidades sao pontos do arco em questao. Determine um valor aproximado parao comprimento do arco de parabola y = x2, definido no intervalo [ 0, 1 ], em funcao do numero de subdivisoesdo arco. Use, como no problema anterior, a notacao de somatorio.

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52 Cap. 4 Funcoes e Graficos

4.10 Para voce meditar: Circunferencias podem ser quadradas?

A distancia entre dois pontos do plano pode ser definida como uma funcao d que a cada par de pontos P1 e P2 associaum numero real positivo, com as seguintes propriedades:

1. 0 ≤ d(P1, P2) e d(P1, P2) = 0 se e somente se P1 = P2.

2. d(P1, P2) = d(P2, P1) (Simetria).

3. d(P1, P2) ≤ d(P1, P3) + d(P3, P2), onde P3 e um ponto do plano. (Desigualdade Triangular.)

Essas condicoes somente traduzem em linguagem matematica as propriedades que intuitivamente esperamos deuma funcao-distancia:

1. A distancia entre dois pontos deve ser sempre positiva e so deve se anular quando os pontos coincidirem.

2. A distancia medida de um ponto P1 ate um ponto P2 deve ser a mesma, quer essa medida seja feita de P1 a P2

ou de P2 a P1.

3. Essa propriedade nos diz simplesmente que, dados tres pontos no plano, qualquer lado do triangulo por elesformado e menor que a soma dos outros dois. Por isso essa desigualdade e chamada desigualdade triangular.Em que caso vale a igualdade?

Num sistema de coordenadas cartesianas, a funcao que usualmente empregamos para medir a distancia entre doispontos P1 e P2 de coordenadas (x1, y1) e (x2, y2), respectivamente, e dada pela formula

d(P1, P2) = d((x1, y1), (x2, y2)) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

que e uma decorrencia do teorema de Pitagoras da geometria euclidiana plana, e por isso e chamada de distanciaeuclidiana.

• Verifique que a funcao que define a distancia euclidiana no plano satisfaz as tres condicoes dadas acima, eportanto e uma boa funcao para medir distancias. Qual o seu domınio e qual a sua imagem?

Existem outras funcoes que satisfazem as propriedades acima e que, portanto, podem ser empregadas para medirdistancias no plano.

• Verifique que a funcao d1(P1, P2) = d1((x1, y1), (x2, y2)) = |x1 − x2|+ |y1 − y2| pode ser empregada para medirdistancias no plano.

Podemos definir uma circunferencia como o lugar geometrico dos pontos que equidistam de um ponto fixo C. Oponto fixo e chamado centro da circunferencia, e a distancia de qualquer dos seus pontos ao centro e o raio dessacircunferencia. Usando a distancia euclidiana, que e definida no Maple pelo comando distance do pacote student,e a propriedade geometrica que caracteriza esse lugar geometrico, tracamos o grafico da circunferencia de centro em(0, 0) e raio 1 e calculamos a sua equacao.

> distance([0,0],[x,y])=1; √x2 + y2 = 1

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

–1–0.8 –0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Page 69: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 53

− Usando a distancia d1 e a propriedade geometrica que caracteriza a circunferencia de centro em (0, 0) e raio1, trace o grafico e escreva a equacao dessa circunferencia. (Usando o Maple, utilize o comando abs para calcular adistancia d1.)− Voce e capaz de explicar por que a circunferencia agora e um “quadrado”?

4.11 Projetos

4.11.1 Melhor escolha (1)

Um provedor oferece aos seus associados 4 planos diferenciados de pagamento para acesso a Internet, de acordo coma tabela abaixo:

Assinatura Tempo de acesso incluıdo Taxa por horamensal (R$) (h) adicional (R$)

Plano Laranja 17,95 —– 0,73Plano Verde 27,95 15 0,53Plano Azul 49,95 60 0,35

Plano Vermelho 75,95 150 0,35

• Qual dos planos e o mais economico se voce pretende acessar a Internet durante cerca de 45 h por mes?

• Deduza, em cada caso, a tarifa paga em funcao das horas de acesso.

• Esboce os graficos das funcoes deduzidas no item anterior usando a mesma janela para os quatro planos.

• Note que a escolha do plano mais economico varia de acordo com o numero de horas de acesso a Internet. Decidapara quais faixas de uso cada um dos planos e o mais economico.

4.11.2 Contas a pagar

As companhias fornecedoras de luz, agua, telefone em geral fazem a cobranca pelo fornecimento residencial segundofaixas de consumo como descrito na tabela abaixo para o fornecimento de agua:

Faixa de consumo (m3) Tarifa (R$m3)0− 15 0,353

acima de 15 ate 25 0,696acima de 25 ate 40 1,153

Fonte: CEDAE - Fevereiro/96

• Que valor deve ser cobrado a uma famılia que consumiu 38 m3 de agua?

• Compare o seu resultado com o valor real cobrado pela CEDAE: R$37, 68.

• Sabendo que, alem do fornecimento de agua, a CEDAE cobra uma taxa fixa pelo tratamento do esgoto domiciliar,calcule qual a taxa de esgoto cobrada no caso acima.

• Explicite a tarifa cobrada em funcao da quantidade de agua consumida e esboce seu grafico.

O imposto de renda tambem e cobrado de acordo com a faixa de renda das pessoas fısicas com base na tabela aseguir:

Faixas de renda (R$) Alıquota (%) Parcela a deduzir (R$)Ate 8803,44 Isento —

Acima de 8803,44 ate 171666,30 15% 1320,52Acima de 17166,30 ate 158457,39 26,6% 3313,45

Acima de 158457,39 35% 16622,63Fonte: Receita Federal - Ano base 1995

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54 Cap. 4 Funcoes e Graficos

• Voce e capaz de explicar o que significa a parcela a deduzir nesta tabela?

• Calcule, explicitamente, o imposto cobrado em funcao da renda.

• Complete, com as parcelas a deduzir, a tabela anual do Imposto de Renda (1991).

Faixas de renda (*) Alıquota (%) Parcela a deduzir (*)Ate 328628,00 isento —–

Acima de 328628,00 ate 1095408,00 10% ..........Acima de 1095408,00 25% ..........

(*) Em unidades monetarias da epoca.

4.11.3 Melhor escolha (2)

Um produtor teatral precisa decidir se monta sua proxima peca num teatro da Zona Sul do Rio de Janeiro ou se optapor um teatro na Zona Norte. Para tomar tal decisao, ele levantou os seguintes dados:

Teatro Zona Sul Teatro Zona NorteInvestimento inicial

(cenarios, figurinos, ensaios,propaganda, administracao,etc.) R$129500,00 R$44000,00

Despesas Semanais(aluguel do teatro, salarios,aluguel

de luzes e som, pagamento deroyalties e comissoes, etc.) R$7025,00 R$1750,00

Capacidade do teatro 200 lugares 100 lugaresPreco do Ingresso R$15,00 R$10,00

A peca sera apresentada durante 6 dias na semana e estima-se que seja possıvel vender 75% dos ingressos em ambosos teatros.

Seja Y1 o lucro ou a perda da producao na Zona Sul e seja Y2 o lucro ou a perda da producao na Zona Norte.

• Expresse Y1 e Y2 como funcao do numero X de semanas em que a peca permanece em cartaz.

• Calcule, em cada caso, quantas semanas a peca devera permanecer em cartaz para que o produtor nao tenhaprejuızo.

• Refaca o calculo do item anterior se for possıvel vender 100% dos ingressos.

• Suponha que em ambas as producoes seja possıvel vender C % dos ingressos semanais. Em cada um dos casosestudados determine:

– o numero X de semanas, em que a peca devera permanecer em cartaz para que a producao nao de prejuızo,como funcao de C.

– o menor valor de C para que nao haja prejuızo.

Seja P1 o lucro ou prejuızo da producao na Zona Sul, X semanas apos a noite de estreia, expresso como umaporcentagem do investimento inicial. Seja P2 essa mesma porcentagem para a producao na Zona Norte.

• Expresse P1 e P2 em funcao de X (considere que 75% dos ingressos sao vendidos).

• Esboce os graficos de P1 e P2 na mesma janela.

• Discuta o que acontece com P1 e P2 quando X aumenta.

• P1 sera maior que P2 para algum valor de X ? O que se pode concluir daı?

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Capıtulo 5

Retas Tangentes

5.1 Conceituacao

No capıtulo Alguns Problemas do Calculo, vimos que a reta tangente tem um importante significado fısico e geometricoe que portanto, e necessario saber defini-la e determinar a sua equacao.

O problema que temos e o seguinte: considere uma funcao f e P0 = (x0, f(x0)) um ponto qualquer do seu grafico.Em primeiro lugar, desejamos definir sem ambiguidades o que entendemos por reta tangente ao grafico de f, passandopor P0.

Como ja discutimos, embora a ideia geometrica de reta tangente seja bastante intuitiva, existem dificuldadespara chegarmos a uma definicao conceitual. Procurando atingir este objetivo, vamos usar o Maple para observar ocomportamento da curva, nas proximidades do ponto de tangencia, numa escala microscopica. Nesse sentido, vamostracar varios graficos de uma mesma funcao dando zooms sucessivos em torno do ponto de tangencia, isto e, vamosusar o Maple como um microscopio para observar a regiao do grafico marcada pelo quadradinho, aumentando, a cadapasso, a potencia da lente usada.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x 2

3

4

5

6

–4 –3 –2 –1

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

–3 –2.6 –2.2 –2–1.8 –1.4 –1

3.6

3.8

4

4.2

4.4

–2.4 –2.2 –2 –1.8 –1.6

Os graficos a seguir mostram esta mesma tecnica usada com a funcao cubica f(x) = x3, nas proximidades do ponto(0, 0).

–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x

–0.2

–0.1

0

0.1

0.2

y

–0.2 –0.1 0.1 0.2x

Pela analise dos exemplos acima, parece razoavel, e vamos definir reta tangente a uma curva em um ponto dadocomo a reta que se confunde com a curva proximo ao ponto de tangencia. Levando em conta esta definicao, e possıvelgarantir a existencia da reta tangente em qualquer ponto de uma dada curva?

55

Page 72: texto completo em PDF

56 Cap. 5 Retas Tangentes

Para responder a esta pergunta, observe o que acontece com a funcao f(x) = |x |, para valores de x proximos dex0 = 0.

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

–0.1

0.1

0.2

0.3

–0.3 –0.2 –0.1 0.1 0.2 0.3x

Veja que por mais que aumentemos a escala usada para tracar este grafico, a figura continua sempre a mesma, istoe, sempre conseguiremos distinguir qualquer reta que passe pela origem do grafico da funcao modulo. Neste caso, e deacordo com a definicao a que chegamos acima, nao existe reta tangente a curva y = |x | no ponto (0, 0). O problemasurge porque, neste ponto, a curva forma um “bico”, o que torna impossıvel a existencia de uma reta que se confundacom o grafico da funcao neste ponto. De um modo geral, existe uma unica reta tangente a uma dada curva em todosos pontos onde esta curva e “suave”, ou seja, onde nao existam “bicos”.

5.2 Declividade

Uma vez que chegamos a uma definicao aceitavel de reta tangente, o problema que se poe agora e: conhecendo-se oponto de tangencia, P0 = (x0, y0), como determinar a equacao da reta tangente a curva nesse ponto?

Em primeiro lugar, qualquer que seja a equacao da reta tangente, ela deve conter o ponto P0. Veja o grafico aseguir.

–4

–2

2

4

x

Como qualquer reta nao-vertical passando por P0 tem uma equacao da forma y − y0 = m (x− x0), a equacao dareta tangente que passa por ( x0, f(x0)) e y− f(x0) = m (x− x0) onde m e a sua declividade. O problema, portanto,se resume em determinar o coeficiente angular dessa reta. Como nao temos dados para calcular tal coeficiente, a ideiae aproximar o seu valor pelo coeficiente angular de uma reta que podemos determinar e que esta proxima da retatangente. Neste caso, a reta secante que passa por P0 = (x0, f(x0)) e por P1 = (x0 + h, f(x0 + h)), um outro pontoqualquer da curva.

Observe a animacao a seguir para concluir que a medida que o ponto P1 se aproxima do ponto P0, a reta secanteque passa por estes dois pontos se aproxima da reta tangente.

–0.1

0

0.1

0.2

0.3

–0.3 –0.2 –0.1 0.1 0.2 0.3x

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W.Bianchini, A.R.Santos 57

Portanto, podemos aproximar a declividade da reta tangente pela declividade da reta secante, e esta aproximacaopode ser melhorada cada vez mais, bastando para isso considerarmos o ponto P1 cada vez mais proximo do ponto P0.

Repare que a declividade da reta secante que passa por P1 e por P0 e dada por

f(x0 + h)− f(x0)

h.

Logo, para h suficientemente pequeno (se h e pequeno, o ponto P1 estara bastante proximo de P0), podemos tomara razao acima como uma aproximacao para a declividade m da reta tangente ao grafico da funcao y = f(x) no pontoP0.

Essa ideia foi usada por Fermat em 1629, quando, desse modo, ele encontrou uma maneira de construir tangentesa uma parabola. Embora Fermat tenha deduzido o seu metodo para parabolas, ele pode ser aplicado a outras curvasplanas.

Para ilustrar como funciona o Metodo de Fermat, vamos executa-lo, passo a passo, com a ajuda do Maple, no casoparticular em que f(x) = −x2 + 5x e P0 e o ponto ( 1, 4 ).

1. Primeiro, defina a funcao y = f(x) e o ponto P0:

> f:=x -> -x^2 + 5*x;

f := x→ −x2 + 5x

> p[0] := [ x[0], f(x[0]) ];

p0 := [1, 4]

2. Determine um outro ponto qualquer do grafico. Chame este ponto, por exemplo de P1:

> x1:=x0+h;

x1 := 1 + h

> p1 := [ x[1], f(x[1]) ];

p1 := [1 + h, −(1 + h)2 + 5 + 5h]

3. Determine o coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos P0 e P1. Para isso, podemos usar ocomando slope do pacote student :

> m := slope( p[0], p[1] );

m := −−1 + (1 + h)2 − 5h

h

Repare que no quociente acima temos necessariamente h 6= 0. Esta restricao algebrica se traduz geometricamentepelo fato de serem necessarios dois pontos distintos para se determinar uma reta (se h = 0 o ponto P1 coincidiriacom o ponto P0!).

4. Agora, basta estudar o comportamento de m quando h tende a zero, isto e, quando o ponto P1 se aproximado ponto P0. Para isso definimos uma sequencia de valores positivos de h que se aproximam de zero (dessamaneira estamos escolhendo o ponto P1 a direita de P0 e fazendo este ponto se aproximar cada vez mais de P0)e calculamos, para cada h, os respectivos valores de m.

> valores_h := evalf([seq( 1/10^i, i=0..5)]);

valores h := [1., .1000000000, .01000000000, .001000000000, .0001000000000,

.00001000000000]

> seq( evalf (m), h=valores_h );

2.000000000, 2.900000000, 2.990000000, 2.999000000, 2.999900000, 3.000000000

A lista de valores acima sugere que quando h→ 0 o coeficiente angular m parece se aproximar de 3.

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58 Cap. 5 Retas Tangentes

5. Repita o procedimento acima para h negativo, isto e, tome agora pontos a esquerda de P0.

> valores_h := evalf([seq( -1/10^i,i=0..5)]);

valores h := [−1., −.1000000000, −.01000000000, −.001000000000, −.0001000000000,

−.00001000000000]

> seq( evalf (m), h=valores_h );

4.000000000, 3.100000000, 3.010000000, 3.001000000, 3.000100000, 3.000010000

Nesse caso e possıvel afirmar que a medida que h se aproxima de zero, quer por valores maiores que zero, quer porvalores menores que zero, os valores do quociente m, isto e, a declividade da reta secante a curva que passa por P1

e P0, se aproximam de 3. Alem disso, esses valores podem se aproximar arbitrariamente de 3, bastando para issoque escolhamos h suficientemente proximo de zero. Esta ultima afirmacao equivale a dizer que podemos tornar a retasecante arbitrariamente proxima da reta tangente, bastando para isso escolher o ponto P1 suficientemente proximodo ponto de tangencia P0. Para ilustrar essa situacao, tracamos abaixo o grafico da reta secante em conjunto com ografico da funcao, para valores de h cada vez mais proximos de zero.

0

2

4

6

8

1 2 3 4x

2

4

6

8

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x

No exemplo acima, vimos que a declividade da reta secante que passa pelos pontos P0 = (x0, f(x0)) e P1 =(x0 + h, f(x0 + h)) e dada por

f(x0 + h)− f(x0)

h,

para h 6= 0, ou equivalentemente,f(x)− f(x0)

x− x0,

onde x = x0 + h e x 6= x0. Quando o ponto P1 se aproxima do ponto P0, a declividade da secante se aproxima dadeclividade da reta tangente. E claro que, quando o ponto P1 se aproxima de P0, x se aproxima de x0. O problema

entao e descobrir o que acontece com o quociente f(x)−f(x0)x−x0

quando x se aproxima de x0. Na secao abaixo estudaremoseste problema para o caso de uma parabola geral.

5.3 O problema da tangente a parabola

Na secao anterior calculamos a inclinacao da reta tangente a parabola y = −x2 + 5x num ponto particular. Vamostentar resolver este problema no caso geral.

Considere a parabola y = a x2 + b x+ c e um ponto (x0, f(x0)) do seu grafico. Como vimos na secao anterior, umbom metodo para determinar a declividade da reta tangente a esta parabola no ponto dado e estudar o que acontececom a declividade das secantes que passam pelos pontos (x0, f(x0)) e (x, f(x)) a medida que x se aproxima de x0,isto e, precisamos estudar o comportamento do quociente

mx =f(x)− f(x0)

x− x0

quando x se aproxima de x0. Repare mais uma vez que este quociente nao esta definido em x = x0 e que, portanto, naoadianta substituirmos, na expressao acima, x por x0, porque isso resultaria numa expressao sem significado. Devemospensar que x chega muito perto de x0, mas permanece distinto dele.

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No exemplo particular da secao anterior, vimos que e facil usar o Maple para gerar uma sequencia de valores paraesse quociente e entao, a partir desses valores, tentar tirar conclusoes sobre o seu comportamento. Nesse caso geral,vamos tentar encontrar para esse problema uma solucao que se aplique quaisquer que sejam os valores de a, b e c doscoeficientes da parabola e qualquer que seja o ponto (x0, f(x0)) dado.

Assim, calculando e simplificando a razao acima, temos que

> mx:=(a*x^2+b*x+c-(a*x[0]^2+b*x0+c))/(x-x[0]);

mx :=a x2 + b x− a x0

2 − b x0x− x0

> mx:=collect(mx,[a,b]);

mx :=(x2 − x0

2) a

x− x0+ b

> mx:=simplify(mx);

mx := a x0 + b+ a x

> mx:=collect(mx,a);

mx := (x0 + x) a+ b

Repare que, conhecidos os valores de a, b e x0, a expressao acima depende somente de x, definindo mx como funcaode x. Vamos, entao, estudar o comportamento da funcao mx a medida que x se aproxima de x0. (Repare, mais umavez, que todos os calculos que foram feitos valem somente para x 6= x0 e que, portanto, esta funcao nao esta definidapara x = x0).

Primeiro definimos a funcao mx, como se segue:

> mx:=x->a*(x+x[0])+b;

mx := x→ a (x+ x0 ) + b

e a seguir, fazemos x se aproximar de x0:

> x_valores:=[seq(x[0]+h,h=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001> ])];

x valores := [x0 + .1, x0 + .01, x0 + .001, x0 + .0001, x0 + .00001]

Nesta primeira sequencia que geramos, x se aproxima de x0 pela direita, isto e, por valores maiores que x0. Observe,agora, o que acontece com os correspondentes valores de mx.

> map(mx,x_valores);

[a (2 x0 + .1) + b, a (2 x0 + .01) + b, a (2 x0 + .001) + b, a (2 x0 + .0001) + b,

a (2 x0 + .00001) + b]

Na sequencia a seguir, x se aproxima de x0 pela esquerda, isto e, por valores menores que x0.

> x_valores:=[seq(x[0]-h,h=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001> ])];

x valores := [x0 − .1, x0 − .01, x0 − .001, x0 − .0001, x0 − .00001]

Observe, novamente, o que acontece com os correspondentes valores de mx.

> map(mx,x_valores);

[a (2 x0 − .1) + b, a (2 x0 − .01) + b, a (2 x0 − .001) + b, a (2 x0 − .0001) + b,

a (2 x0 − .00001) + b]

Notamos que, a medida que x se aproxima de x0, quer pela direita, quer pela esquerda, os valores de mx seaproximam de 2 a x0 + b; mais do que isso, os valores de mx podem ficar tao proximos de 2 a x0 + b quanto quisermos,bastando para isso que x esteja suficientemente proximo de x0. (Veja este resultado animado graficamente na versaoeletronica.)

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60 Cap. 5 Retas Tangentes

Matematicamente, esse comportamento se traduz pela expressao,

limx→x0

mx = 2 ax 0 + b.

(Le-se: limite de mx quando x tende a x0 e 2 a x0 + b.)

Assim, para calcular a declividade da reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto (x0, f(x0)) do seu grafico,

basta estudar o comportamento do quociente mx = f(x)−f(x0)x−x0

quando x se aproxima de x0, ou, em linguagem ma-tematica, e preciso calcular o valor de

m = limx→x0

mx.

O valor desse limite que representa geometricamente a declividade da reta tangente a curva y = f(x) no ponto(x0, f(x0)), e usualmente denotado por f ′(x0) (le-se: f linha de x0) para enfatizar a sua dependencia da funcaof e do ponto x0 e define, como veremos adiante, a partir da funcao f , uma nova funcao, chamada derivada de f .Portanto, para calcularmos a declividade de retas tangentes a curvas e, consequentemente, estudarmos a derivada deuma funcao, e preciso conhecer um pouco mais sobre a teoria dos limites, o que faremos no proximo capıtulo.

Exercıcio

(a) Encontre a equacao da reta tangente a parabola y = x2 no ponto (a, f(a)). (Observe algumas destas retas tracadasno grafico a seguir.)

3.7

3.8

3.9

4

4.1

4.2

4.3

0.90.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1x

(b) Os graficos tracados no item anterior parecem sugerir que cada reta tangente intercepta o grafico da parabola emum unico ponto. Prove, analiticamente, este fato, isto e, mostre que a reta tangente a parabola y = x2, cujaequacao voce achou no item anterior, intercepta o grafico desta curva no ponto (a, a2), sendo este o unico pontode intersecao destas duas curvas.

Observacao: Neste sentido, a parabola e uma curva muito especial. Em geral, a reta tangente a uma curvaintercepta o seu grafico em mais de um ponto, como mostra o grafico seguinte.

xo

axo+b

2axo+b

mx=a(x+x0)+b

5.4 Uma nota historica: A falha logica no raciocınio de Fermat ou oporque de limites

Vamos calcular a declividade da reta tangente a curva y = x5 − 9x3 no ponto (1,−8), da mesma forma como Fermatfazia este calculo no inıcio do seculo XVII.

Em primeiro lugar, vamos definir a funcao f e calcular o quociente mx, como se segue:

> f:=x->x^5-9*x^3;

f := x→ x5 − 9x3

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mx =f(x+ h)− f(x)

h=

(1 + h)5 − 9 (1 + h)3 + 8

h

A seguir, Fermat simplificava a expressao acima:

> simplify(m[x]);

−22− 17h+ h2 + 5h3 + h4

Essa expressao fornece a inclinacao da reta que corta a curva nos pontos (1, f(1)) e (1+h, f(1+h)). Para Fermat,a declividade da reta tangente a curva y = f(x) era o resultado do calculo do valor dessa ultima expressao em h = 0.

Seguindo os passos de Fermat terıamos:

> subs(h=0,%);

−22

Esse processo pode ser generalizado para obter a declividade da reta tangente a curva y = f(x) em um ponto(x0, f(x0)) arbitrario. Seguindo os mesmos passos anteriores, temos:

> m:=(f(x[0]+h)-f(x[0]))/h;

m :=(x0 + h)5 − 9 (x0 + h)3 − x0

5 + 9x03

h> simplify(m);

5x04 + 10x0

3 h+ 10x02 h2 + 5x0 h

3 + h4 − 27x02 − 27x0 h− 9h2

> subs(h=0,%);

5x04 − 27x0

2

Durante toda a sua vida e por um seculo e meio apos a sua morte, o raciocınio de Fermat foi atacado por todosos matematicos por conter uma falha logica. A dificuldade era e continua sendo real. A falha do raciocınio de Fermatestava na substituicao de h por zero somente apos uma simplificacao do quociente das diferencas. Qualquer tentativade se fazer tal substituicao antes de se cancelar o h que aparece no denominador da fracao resulta numa expressaosem sentido matematico, do tipo 0

0 . Da maneira como Fermat fazia a conta, h valia zero quando ele queria que assimo fosse, mas nao era zero quando este valor atrapalhava a prova. Mais especificamente, a igualdade

(x+ h)5 − 9 (x+ h)3 − x5 + 9x3

h= 5x4 + 10x3 h+ 10x2 h2 + 5xh3 + h4 − 27x2 − 27xh− 9h2

so e verdadeira para valores de h 6= 0 . Fermat nao permitia que h fosse zero no lado esquerdo da igualdade, mas,ainda assim, substituıa h por zero no lado direito da mesma igualdade, o que consistia em uma clara contradicaomatematica no seu raciocınio!

Com o desenvolvimento da Teoria dos Limites, esse impasse logico foi superado. No entanto, isso so veio a acontecerno final do seculo XIX, quando a ideia de limite deixou de ser obscura e nebulosa e foi definida com rigor e precisaopelo matematico alemao Karl Weierstrass (1815-1897). (Veja o proximo capıtulo.)

Por enquanto, para entender como e poderosa a ideia de limite, tente calcular a declividade da reta tangente acurva y = sen(x) no ponto x = 1 da mesma maneira como Fermat o fazia e depois calcule esta mesma declividadeempregando o metodo de aproximacao do quociente de diferencas para pequenos valores de h que empregamos paracalculos semelhantes por todo este capıtulo. A que conclusoes voce pode chegar?

5.5 Atividades de laboratorio

Usando um computador e o Maple, faca as atividades propostas no arquivo Lab1 4.mws da versao eletronica destetexto.

5.6 Exercıcios

1. (a) Encontre a equacao da reta tangente a parabola y = 2x2 + 4x+ 5 no ponto (−1, 3).

(b) Encontre os pontos onde a inclinacao da reta tangente a parabola do item anterior e horizontal.

Page 78: texto completo em PDF

62 Cap. 5 Retas Tangentes

2. Nos itens abaixo, ache todos os pontos da curva y = f(x) nos quais a reta tangente e horizontal.

(a) f(x) = 10− x2

(b) f(x) = x2 − 2x+ 1

(c) f(x) = 2x2 − 3x+ 4

(d) f(x) = x− x2

10

(e) f(x) = 2x (x+ 3)

3. (a) Esboce varios graficos de parabolas para comprovar que o seu vertice e o unico ponto do grafico onde atangente e horizontal.

(b) Use o fato acima e a formula da declividade da tangente a uma funcao quadratica, encontrada neste capıtulo,para demonstrar que o vertice da parabola y = a x2 + b x+ c e o ponto de coordenadas (− b

2 a , −∆4 a ).

4. Ache a equacao da reta tangente a parabola y = 2x2 + 1 que e paralela a reta 8x+ y − 2 = 0.

5. Seja f(x) = ax 2 + bx + c. Usando a formula f ′(x0) = 2 a x0 + b, deduzida neste capıtulo, calcule f ′(x0) paracada uma das funcoes dadas abaixo:

(a) f(x) = 2

(b) f(x) = 4x− 5

(c) f(x) = 2x2 − 3x+ 4

(d) f(x) = (2x+ 1)2 − 4x

(e) f(x) = 2x (x+ 3)

(f) O valor encontrado nos itens (a) e (b) e coerente com o significado geometrico de f ′(x0)?

5.7 Problemas propostos

1. Ache as dimensoes de um retangulo de perımetro igual a 100 cm, de tal modo que a sua area seja maxima.

2. Dada uma curva no plano definida por uma funcao y = f(x) e um ponto (a, b) que nao pertence a esta curva,deve existir um ponto (x0, f(x0)) da curva que esta mais perto do ponto (a, b). Veja a animacao correspondenteao caso da curva y = x2 e do ponto (3, 0), na versao eletronica deste texto.

Intuitivamente, o segmento que une o ponto (a, b) ao ponto (x0, f(x0)) deve ser perpendicular ou normal aografico da curva neste ponto. Definimos reta normal ao grafico de uma curva em um ponto (x0, y0) como sendoa reta perpendicular a reta tangente a curva naquele ponto.

(a) Qual a declividade da reta normal a uma curva y = f(x) no ponto (x0, f(x0))?

(b) Escreva a equacao da reta tangente e da reta normal a curva y = x2 no ponto (1, 1).

(c) Escreva a equacao da reta normal a curva y = x2 no ponto generico (x0, f(x0)).

(d) Use o item anterior para determinar o ponto da curva y = x2 mais proximo do ponto (3, 0).

3. Considere a parabola y = ax 2 + bx + c e P (x0, y0) um de seus pontos. Podemos tracar a reta tangente a parabolaque passa por P da seguinte forma:Sejam P1 e P2 dois pontos da parabola com abscissas x0 − 1 e x0 + 1, respectivamente. A tangente procurada ea reta paralela a reta que passa por P1 e P2 e que contem P. Veja o grafico:

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

y

–4 –2 2 4x

Use a formula deduzida neste capıtulo para a declividade de tangentes a parabolas e demonstre que a construcaogeometrica anterior e correta.

4. No grafico seguinte, identifique:

(a) os pontos onde a declividade da reta tangente ao grafico e zero.

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W.Bianchini, A.R.Santos 63

(b) o ponto onde a reta tangente corta este grafico.

(c) os intervalos onde a declividade da reta tangente e positiva e os intervalos onde ela e negativa.

(d) O sinal da declividade da reta tangente nos fornece alguma informacao a respeito do comportamento dafuncao f? (Veja a resposta no capıtulo sobre derivadas.)

5. (a) Ache as equacoes das duas retas que passam pelo ponto (0,− 14 ) e que sao tangentes a parabola y = x2.

(b) Prove analiticamente que nao existe uma reta que passe pelo ponto ( 12 , 1) que seja tangente a parabola

y = x2.

6. O ponto P (4, 2) pertence ao grafico da curva y =√x.

(a) Se Q e o ponto (x,√x) e, portanto, tambem pertence ao grafico desta curva, ache a declividade da reta

secante a curva que passa por P e Q, para os seguintes valores de x (use o Maple ou uma calculadora):

i. 5

ii. 4,5

iii. 4,1

iv. 4,01

v. 4,001

vi. 3

vii. 3,5

viii. 3,9

ix. 3,99

x. 3,999

(b) Usando os resultados encontrados no item (a), deduza qual deve ser a declividade da reta tangente a curvay =√x no ponto P (4, 2).

(c) Usando o resultado obtido no item (b), ache a equacao da reta tangente a curva y =√

(x) no ponto P (2, 4).

7. O ponto P ( 12 , 2) pertence ao grafico da curva y = 1

x .

(a) Se Q e o ponto (x, 1x ) e, portanto, tambem pertence ao grafico desta curva, ache a declividade da reta

secante a curva que passa por P e Q, para os seguintes valores de x (use o Maple ou uma calculadora):

i. 2

ii. 1

iii. 0,8

iv. 0,6

v. 0,5

vi. 0,55

vii. 0,555

viii. 0,45

ix. 0,49

(b) Usando os resultados encontrados no item (a), deduza qual deve ser a declividade da reta tangente a curvay = 1

x no ponto P ( 12 , 2).

(c) Usando o resultado obtido no item (b), ache a equacao da reta tangente a curva y = 1x no ponto P ( 1

2 , 2).

5.8 Para voce meditar: Matematica, fısica, formula 1 e saber popular

E muito difıcil (e perigoso!) fazer curvas dirigindo um automovel em alta velocidade (pergunte ao seu professor defısica por que), por isso os pilotos de Formula 1 procuram encontrar um tracado otimo para cada circuito que consisteem suavizar as curvas, isto e, procurar guiar mantendo o carro o maior tempo possıvel em linha reta.

(a) O que esse percurso otimo tem a ver com retas tangentes e tracados de graficos?

(b) Por que um circuito de pista larga e curvas suaves e considerado de alta velocidade, enquanto um circuito derua, como o de Monaco, por exemplo, e de baixa velocidade?

O povo usa expressoes e adota procedimentos comprovados empiricamente atraves de muitas geracoes. Esse tipo deconhecimento e mais evidente entre, por exemplo, ındios e homens do campo, cuja cultura ainda nao foi “contaminada”pelo saber cientıfico do homem moderno. Esses procedimentos podem ser explicados ou desmistificados a luz da Ciencia.

(c) Explique matematica e fisicamente a expressao popular “sair pela tangente”.

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64 Cap. 5 Retas Tangentes

5.9 Projetos

5.9.1 Programando o computador para tracar graficos de funcoes

(a) Como o Maple traca graficos

Assim como a maioria dos alunos preguicosos e que nunca estudaram Calculo, o Maple traca graficos de funcoesligando pontos por segmentos de reta.

Como voce ja deve ter visto, o comando basico para o tracado de graficos e plot( express~ao, x=a..b), onde[a,b] e o intervalo de variacao de x. Veja a seguir como este comando funciona:

> f:=x->-x^2+5*x:

> plot(f(x),x=-2..6);

xo xo+1xo–1

Ao receber esse comando, o Maple gera uma lista de pontos da forma (x, f(x)) e os liga por segmentos de reta. Ocomputador, ao contrario da maioria dos alunos, obtem com esse metodo uma boa aproximacao do grafico da funcaodesejada porque escolhe um numero muito grande de pontos no intervalo [a, b].

O comando lprint mostra a lista de pontos usada pelo Maple para tracar o grafico acima.

> lprint(plot(f(x),x=-2..6));

PLOT(CURVES([[-2., -14.], [-1.825622766666667, -12.46101231950499],[-1.673898068333333, -11.17142508483673], [-1.503267776666667,-9.776152891697677], [-1.331506436666667, -8.430441574218097],[-1.160561448333334, -7.149710117024233], [-1.002073561666667,-6.014519231324652], [-.8379685350000001, -4.892033940650046],[-.6682508816666668, -3.787813649181611], [-.4990775150000002,-2.744465940978576], [-.3250619133333332, -1.730974814166593],[-.1717888766666666, -.8884558014797285], [.7602599999998461e-3,.3800722004731630e-2], [.1740178999999999, .8398072704795898],[.3409837400000000, 1.588648789055612], [.4926047183333333,2.220364183142404], [.6728967266666666, 2.911693628574618],[.8256277066666664, 3.446477423317673], [1.003290145000000,4.009859609945877], [1.160551506666666, 4.455877733707062],[1.333092145000000, 4.888326057939299], [1.497391635000000,5.244776466432026], [1.668820916666667, 5.559141331429160],[1.826246511666667, 5.796056236958666], [1.996051283333333,5.996035690970020], [2.172430718333333, 6.142698365708384],[2.325969535000000, 6.219713397251883], [2.491795663333333,6.249932688859860], [2.663110280000000, 6.223395036558322],[2.830708209999999, 6.140632079838596], [2.992867824999999,6.007081307079771], [3.172918429999999, 5.797180786566337],[3.334701906666666, 5.553272727007032], [3.507440300000000,5.235064041935910], [3.663966958333333, 4.895180919908249],[3.835091940000000, 4.467529511747035], [3.996107211666666,4.011663211198993], [4.164414565000000, 3.479724155815862],[4.328965766666666, 2.904884224361414], [4.501235625000000,2.245055973230862], [4.667151973333334, 1.553452324477437],[4.836825403333333, .7892470343360038], [5.005093851666667,-.2549520565813523e-1], [5.159715080000000, -.8240843067794081],[5.336928456666667, -1.798163068245117], [5.495430213333333,-2.722602162950178], [5.664426145000000, -3.763592827159563],[5.826176815000000, -4.813452204643543], [6.,-6.]],COLOUR(RGB,1.0,0,0)),AXESLABELS(x,‘‘),VIEW(-2. .. 6.,DEFAULT))

Page 81: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 65

Para tracar este grafico, o Maple usou 49 pontos!

Existe uma rotina interna que ajusta o numero de pontos necessarios para nos dar a ilusao de que o que vemosna tela e uma curva. Isto e feito usando um numero maior de pontos nas regioes onde o angulo entre os segmentosde reta que unem dois pontos consecutivos do grafico e muito agudo. Observe este fato no exemplo dado tracando acurva com o estilo point.

> plot(f(x),x=-2..6,style=point);

b c

a

–20

–10

0

10

20

y

–4 –2 2 4x

Observe tambem, nos exemplos abaixo, o efeito conseguido pelo uso da opcao adaptative=false. Essa opcaofaz com que a rotina interna para “suavizar” as curvas nao seja usada. Como padrao, o Maple usa a opcaoadaptative=true. Essa opcao tem prioridade sobre numpoints, isto e, se a opcao adaptative=false nao for especi-ficada, a opcao numpoints, que define o numero de pontos usados para tracar o grafico, nem sempre sera obedecida.Observe a diferenca nos seguintes exemplos.

> plot(f(x),x=-2..6,numpoints=5,adaptive=false);

–14

–12

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

x

> plot(f(x),x=-2..6,numpoints=5);

–14

–12

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

x

Na versao eletronica, mude o estilo do tracado do grafico acima para point e comprove que o Maple usou muitomais que os cinco pontos especificados para tracar esse grafico!

Observe tambem, nos exemplos a seguir, quantos pontos sao necessarios para obtermos uma “boa aproximacaovisual” para o grafico dessa funcao.

> plot(f(x),x=-2..6,numpoints=8,adaptive=false);

–14

–12

–10

–8

–6

–4

–2

2

4

6

x

> plot(f(x),x=-2..6,numpoints=20,adaptive=false);

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66 Cap. 5 Retas Tangentes

–14

–12

–10

–8

–6

–4

–2

2

4

6

x

Por que o metodo acima funciona?

(b) Escrevendo o nosso proprio programa para o tracado de graficos

Como vimos na secao anterior, o Maple e varios outros programas de computador tracam o grafico de uma funcaoy = f(x) num determinado intervalo [a, b], aproximando-o por segmentos de reta que unem dois pontos consecutivosdo grafico de f , isto e, dois pontos do tipo (xi, f(xi)), onde os xi’s formam uma subdivisao do intervalo [a, b] comx1 = a, xn = b e xi ∈ [ a, b ] para 1 ≤ i ≤ n. Vamos chamar uma aproximacao deste tipo de uma aproximacao poligonalpara o grafico de f . A esta altura, voce ja deve saber por que a medida que n cresce a aproximacao poligonal convergepara o grafico da funcao!

1. Usando o Maple, faca o seu proprio programa para tracar uma aproximacao poligonal para o grafico da funcaoy = x2 em [−4, 4], considerando uma subdivisao do intervalo com 3, 5, 9, 17 e 33 pontos, sucessivamente.Sugestao: Defina os pontos da subdivisao do intervalo, calcule o valor da funcao em cada um deles e use ocomando plot([p1,p2,..pn]) para ligar por segmentos de reta os pontos pi = [xi, f(xi)] assim obtidos.

2. Modifique o seu programa para tracar o grafico de uma funcao qualquer y = f(x), em um intervalo [a, b] viaaproximacao poligonal, com o numero de pontos na subdivisao de [a, b] determinado pelo usuario.

3. Teste o seu programa com as funcoes y = x3, y = sen(x) e y = 1x no intervalo [−1, 1].

4. Quantas subdivisoes foram necessarias, em cada caso, para se obter uma “boa aproximacao”? Que problemaacontece com a ultima dessas funcoes? Voce e capaz de resolve-lo?

5. Aponte algumas deficiencias desse metodo.

A ideia acima de aproximar curvas planas por segmentos de reta de comprimento cada vez menor e usada para definire calcular comprimentos de arcos de curvas. Um comprimento aproximado para este arco pode ser obtido somando-seos comprimentos de cada um dos segmentos de retas usados para aproximar o arco de curva. O comprimento dessessegmentos sao calculados a partir da formula para a distancia entre dois pontos quaisquer do plano.

1. Usando a tecnica descrita acima, calcule um valor aproximado para o comprimento do arco de parabola y = x2

para 0 ≤ x ≤ 1. Como essa aproximacao pode ser melhorada? Voce e capaz de chegar ao resultado com 4 casasdecimais exatas?

2. Deduza uma formula para aproximar o comprimento de uma curva y = f(x) em um intervalo [a, b] subdividindo-oem n subintervalos de igual comprimento.

3. Qual o valor exato para o comprimento de uma curva y = f(x) em um intervalo [a, b] qualquer? Se voce nao ecapaz de responder a esta pergunta, estude o capıtulo sobre limites.

5.9.2 O refletor parabolico

Quando a luz e refletida por um espelho plano, o angulo entre o raio incidente e o espelho e igual ao angulo entreo raio refletido e o espelho. Quando o espelho e curvo, a reta tangente determina como o raio e refletido. Proximoao ponto de reflexao, o espelho, embora curvo, se parece muito com uma reta que e, como ja vimos, a reta tangentea curva naquele ponto, e a luz e refletida de tal maneira que os angulos entre os raios incidente e refletido e a retatangente sao iguais. Esta e a chamada propriedade de reflexao das curvas. O objetivo desse projeto e determinar apropriedade de reflexao das parabolas.

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W.Bianchini, A.R.Santos 67

Seja p uma constante positiva e considere a parabola x2 = 4 py com vertice na origem e o foco no ponto (0, p),como e mostrado na figura abaixo. Seja (x0, y0) um ponto dessa parabola, diferente do vertice.

1. Mostre que a tangente em (x0, y0) tem coeficiente linear −y0.

2. Mostre que o triangulo com vertices (x0, y0), (0, y0) e (0, p) e isosceles. Sugestao: Use a formula de distanciaentre dois pontos do plano.

3. Suponha que uma fonte de luz seja colocada no focoe que cada raio de luz que deixa o foco seja refle-tido pela parabola de tal modo que forme angulosiguais com a reta tangente. Use o item anterior paramostrar que, apos a reflexao, cada raio aponta verti-calmente para cima e portanto e paralelo ao eixo daparabola. Esta e a chamada propriedade de reflexaodas parabolas. Veja figura ao lado. Para formar umaideia tridimensional da maneira como essa proprie-dade e usada na construcao de holofotes e farois deautomoveis, temos apenas de imaginar um espelhoconstruıdo prateando-se a parte interna da superfıcieobtida a partir da rotacao de uma parabola ao re-dor do seu eixo. A superfıcie obtida e chamada umparaboloide de revolucao e o foco da parabola seratambem o foco do paraboloide. Veja a figura ao lado.

–14

–12

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

x

–14

–12

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

x

Esse refletor parabolico pode ser usado ao contrario, isto e, para juntar raios fracos que chegam paralelos ao eixoe concentra-los no foco. Assim, por exemplo, se o espelho e apontado para o sol, todos os raios serao refletidos para omesmo ponto , o foco do paraboloide, e uma grande quantidade de calor pode ser aı produzida (a palavra latina focussignifica fogo). Esse e o princıpio basico das antenas de radar, radiotelescopios e telescopios opticos refletores. O grandetelescopio do Monte Palomar, na California, tem um refletor de vidro de 15 toneladas que mede aproximadamente 510cm de diametro e levou 11 anos para ser polido.

1. Um raio de luz penetra em uma parabola seguindo a direcao da reta x = x0 e e refletido no ponto P (x0, y0).Passa pelo foco (0, p) e e refletido pelo outro lado da parabola. Qual a direcao seguida pelo raio refletido?

2. Suponha que um raio de luz, paralelo ao eixo de uma parabola, e refletido pelo exterior da mesma. Qual adirecao seguida pelo raio refletido?

3. O grafico de y =a2

2xe uma hiperbole com focos (a, a) e (−a, −a). Mostre que se um raio de luz emana do

primeiro foco e e refletido pela hiperbole, entao o raio refletido segue a direcao de uma reta que passa pelosegundo foco.

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Capıtulo 6

Limite de Funcoes

6.1 O conceito de limite

No Cap. 5, determinamos a inclinacao da reta tangente a parabola y = f(x) = a x2 + b x+ c num ponto (x0, f(x0)).O metodo empregado consistiu em obter esta inclinacao a partir das declividades das retas secantes que passam pelospontos (x0, f(x0)) e (x0 + h, f(x0 + h)), tomando valores arbitrariamente pequenos para h, isto e, fazendo h tendera zero. Este metodo pode ser empregado para uma funcao f qualquer. De fato, para determinar a declividade da

reta tangente a uma curva qualquer y = f(x) basta estudar o comportamento do quociente f(x0+h)−f(x0)h , quando h

se aproxima de zero ou, usando notacao matematica, precisamos calcular o

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

Para que isso seja possıvel, e preciso aprofundar um pouco mais o estudo do conceito matematico de limite.Comecaremos este estudo de maneira intuitiva, por meio de alguns exemplos.

Exemplo 1

Vamos estudar o comportamento da funcao f definida por f(x) = x2 − x+ 2 para valores de x proximos de 2. Aprimeira tabela a seguir mostra os valores de f(x) quando x se aproxima de 2 por valores menores do que 2. Nestecaso, dizemos que x se aproxima de 2 pela esquerda. A segunda mostra os valores de f(x) quando x se aproxima de2 por valores maiores do que 2, isto e, quando x se aproxima de 2 pela direita. Veja este comportamento ilustrado nografico a direita:

x f(x)1.0 2.01.5 2.751.8 3.441.9 3.711.95 3.85251.99 3.97011.995 3.9850251.999 3.997001

x f(x)3.0 8.02.5 5.752.2 4.642.1 4.312.05 4.15252.01 4.03012.005 4.0150252.0001 4.003001

0

1

2

3

4

5

6

7

8

y

1 2 3 4x

Tanto as tabelas acima quanto o grafico da parabola mostram que a medida que x se aproxima de 2 quer peladireita, quer pela esquerda, f(x) se aproxima de 4, ou seja, podemos fazer f(x) ficar tao perto de 4 quanto quisermos,bastando para isso tomarmos x suficientemente proximo de 2. Para descrever este comportamento matematicamente,usamos a notacao

limx→2

(x2 − x+ 2) = 4

(Le-se: o limite de f(x), quando x tende a 2 e 4).

De um modo geral, dizer que

limx→x0

f(x) = L

68

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W.Bianchini, A.R.Santos 69

significa que, a medida que x se aproxima de x0, os valores de f(x) ficam proximos de L, e, mais do que isso, podemosmelhorar cada vez mais esta aproximacao, isto e, podemos tornar a diferenca entre f(x) e L, em valor absoluto, taopequena quanto quisermos, bastando para isso escolher x suficientemente proximo de x0.

• Usando as tabelas construıdas neste exemplo, verifique quao proximo x deve estar de 2, para que | f(x)−4 | < 0, 01.

Na definicao de limite, dizer que “x se aproxima de x0” significa que, para o calculo de limites, podemos tomarx bem pertinho de x0, sem que x seja igual a x0. De fato, para o calculo de limites nao interessa o valor da funcaono ponto x = x0, mas somente como a funcao f se comporta perto deste ponto. Este fato e ilustrado nos graficos aseguir. No primeiro deles, f nao esta definida em x = 1; no terceiro, f(1) 6= 2; nos dois casos temos que lim

x→1f(x) = 2.

–1

0

1

2

3

–2 –1 1 2x

–1

0

1

2

3

–2 –1 1 2x

–1

0

1

2

3

–2 –1 1 2x

–1

0

1

2

3

–2 –1 1 2x

Exemplo 2 Nesse exemplo estudaremos o comportamento da funcao f(x) = x3 para valores de x proximos de−2. Observe o grafico a seguir a esquerda. Para observar numericamente o comportamento dessa funcao, estude astabelas dadas a seguir. Na primeira, a funcao f e calculada para uma sequencia de valores de x se aproximando de−2, pela direita. Na segunda, calculamos f(x) quando x se aproxima de −2, pela esquerda.

x x3

−1.500000000 −3.375000000−1.750000000 −5.359375000−1.875000000 −6.591796875−1.937500000 −7.273193359−1.968750000 −7.630828857−1.984375000 −7.813961029−1.992187500 −7.906615734−1.996093750 −7.953216493−1.998046875 −7.976585381−1.999023438 −7.988286971

x x3

−2.500000000 −15.62500000−2.250000000 −11.39062500−2.125000000 −9.595703125−2.062500000 −8.773681641−2.031250000 −8.380889893−2.015625000 −8.188968658−2.007812500 −8.094116688−2.003906250 −8.046966612−2.001953125 −8.023460396−2.000976563 −8.011724473

–16

–14

–12

–10

–8

–6

–4

–2

0

O grafico e as tabelas acima sugerem que

limx→(−2)

x3 = −8.

Exercıcio 1 Considere a funcao f(x) = x3.

1. Usando o metodo descrito acima, tente achar um provavel valor para limx→2

x3.

2. Determine quao proximo x deve estar de 2 para que∣∣x3 − 8

∣∣ < .0001.

Exemplo 3 Vamos estudar agora o comportamento da funcao g, cuja definicao e graficos sao dados abaixo aesquerda, para valores de x proximos de 1. Observe, graficamente, o que ocorre com essa funcao nas proximidades doponto 1 no grafico a direita.

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70 Cap. 6 Limite de Funcoes

> g:=piecewise(x<1,x-2,x>=1,x+1);

g =

x− 2 , se x < 1x+ 1 , se x ≥ 1

–4

–3

–2

–1

1

2

3

x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

x

Observe separadamente o comportamento desta funcao quando x se aproxima de 1 pela esquerda (primeiro grafico)e pela direita (segundo grafico).

–4

–3

–2

–1

1

2

3

x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

x

Observe, agora, numericamente, esse comportamento. Na primeira tabela, x se aproxima de 1 pela direita. Nasegunda, pela esquerda.

x g(x)1.500000000 2.5000000001.250000000 2.2500000001.125000000 2.1250000001.062500000 2.0625000001.031250000 2.0312500001.015625000 2.0156250001.007812500 2.0078125001.003906250 2.0039062501.001953125 2.0019531251.000976563 2.000976563

x g(x).5000000000 −1.500000000.7500000000 −1.250000000.8750000000 −1.125000000.9375000000 −1.062500000.9687500000 −1.031250000.9843750000 −1.015625000.9921875000 −1.007812500.9960937500 −1.003906250.9980468750 −1.001953125.9990234375 −1.000976563

Notamos, nesse caso, que o comportamento de g(x) difere daquele dos exemplos anteriores, pois a funcao assume

diferentes valores quando x se aproxima de 1 pela direita ou pela esquerda. As tabelas acima sugerem que quando xse aproxima de 1 pela direita a funcao g(x) se aproxima de 2 e, quando x se aproxima de 1 pela esquerda, g(x) seaproxima de −1. A notacao matematica para essa situacao e

limx→1+

g(x) = 2 e limx→1−

g(x) = −1.

(Le-se: o limite de g(x) quando x tende a 1 pela direita e 2 e o limite de g(x) quando x tende a 1 pela esquerda e −1.)

Esses limites sao chamados, respectivamente, limite lateral a direita e limite lateral a esquerda. Quando, comonesse caso, os limites laterais sao diferentes, dizemos que a funcao nao tem limite no ponto x = x0.

Assim, o limite de uma funcao em um ponto x0 existe, quando os limites laterais existem e sao iguais.

• Confirme essa afirmacao para as funcoes estudadas nos exemplos anteriores.

Exercıcio 2 Estude o comportamento da funcao f(x) =|x |x

para valores de x proximos de zero, isto e, calcule

limx→0+

f(x) e limx→0−

f(x) e conclua se existe o limx→0

f(x). Como nos exemplos anteriores, faca uma analise grafica e

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W.Bianchini, A.R.Santos 71

numerica. Sugestao: Qual o valor de f(x) para x > 0? E para x < 0?

Exemplo 4 Uma aplicacaoRetornemos, agora, ao problema estudado no capıtulo anterior, de encontrar a inclinacao da reta tangente a

parabola y = f(x) = x2 no ponto x0 = 1. Como vimos, este problema e equivalente a estudar o comportamento da

funcao g(x) =f(x)− f(x0)

x− x0, quando x se aproxima de x0.

Como nos exemplos anteriores, faremos uma analise grafica e numerica. As tabelas a seguir mostram o com-portamento desta funcao quando x se aproxima de 1. A tabela da esquerda mostra o comportamento do quociente

g(x) =x2 − 1

x− 1quando x se aproxima de 1 pela esquerda, isto e, por valores menores que 1. A outra tabela mostra

este mesmo comportamento quando x se aproxima de 1 pela direita, ou seja, por valores maiores que 1. Nos dois

casos, a medida que x se aproxima de 1 os valores do quocientex2 − 1

x− 1se aproximam de 2. Observa-se este mesmo

comportamento no grafico da funcao g mostrado a seguir.

xx2 − 1

x− 1

.5000000000 1.500000000

.7500000000 1.750000000

.8750000000 1.875000000

.9375000000 1.937500000

.9687500000 1.968750000

.9843750000 1.984375000

.9921875000 1.992187500

.9960937500 1.996093750

.9980468750 1.998046875

.9990234375 1.999023438

xx2 − 1

x− 1

1.500000000 2.5000000001.250000000 2.2500000001.125000000 2.1250000001.062500000 2.0625000001.031250000 2.0312500001.015625000 2.0156250001.007812500 2.0078125001.003906250 2.0039062501.001953125 2.0019531251.000976563 2.000976563

–1

0

1

2

3

–2 –1 1 2x

As tabelas e o grafico sugerem que limx→1

g(x) = 2. Neste exemplo, este limite representa a declividade da reta

tangente a curva f(x) = x2 no ponto x0 = 1. Repare, uma vez mais, que ao estudarmos o limite de uma funcao numponto x0 estamos interessados em conhecer o que acontece com os valores dessa funcao nas proximidades do pontox0. Este comportamento independe do valor da funcao em x0, visto que esta funcao, como neste exemplo, nem aomenos precisa estar definida nesse ponto! O ponto (1, 2) aparece no grafico anterior marcado por um pequeno discopara enfatizar que o ponto x = 1 nao pertence ao domınio da funcao g. Para x 6= 1, temos que g(x) = x + 1, pois,nesse caso, podemos simplificar a expressao que define g e obter

x2 − 1

x− 1=

(x+ 1) (x− 1)

x− 1= x+ 1.

A notacao limx→1

g(x) = 2 significa que a medida que os valores de x se aproximam de 1 quer pela direita, quer

pela esquerda, os valores de g se aproximam de 2, e que podemos tornar a diferenca | g(x) − 2 | tao pequena quantoquisermos, bastando para isso escolhermos x suficientemente proximo de 1, sem nunca, no entanto, alcancar este valor.Repare a mensagem emitida pelo Maple quando tentamos calcular a funcao g no ponto x = 1.

> g(1);

Error, (in g) division by zero

Neste exemplo:- Quao proximo x deve estar de x0 para que a distancia de g(x) a 2 seja menor que 1/100?- Quao proximo x deve estar de x0 para que a distancia de g(x) a 2 seja menor que 1/1000?

No exemplo acima, vimos que embora g(x) nao esteja definida em x0 = 1, os valores de g(x) se aproximam de 2 amedida que x se aproxima de 1, e se quisermos tornar a diferenca entre g(x) e 2 menor que 1/10 basta tornarmos adiferenca entre x e x0 menor que 1/10; se quisermos que | g(x)− 2 | < 1

100 , basta fazermos |x− x0 | < 1100 . Experimente!

Exemplo 5 Limites infinitos

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72 Cap. 6 Limite de Funcoes

Considere agora a funcao y = f(x) = 1x2 . Pode-se concluir imediatamente que y sempre sera positivo e que y nao

esta definido quando x = 0. Mas o que acontece quando x se aproxima de zero?

Observe as tabelas a seguir. A da esquerda mostra o comportamento desta funcao para valores de x positivos e seaproximando de zero. A da direita, mostra o comportamento desta funcao para valores negativos de x se aproximandode zero. Neste caso, notamos que a medida que x se aproxima de zero quer pela direita, quer pela esquerda, os valorescorrespondentes de f(x) “explodem”, isto e, crescem, sem limite, em valor absoluto. Dizemos, entao, que quando xtende a zero a funcao tende a +∞. Em notacao matematica escrevemos lim

x→0f(x) =∞ ou f(x)→∞ quando x→ 0.

Observe esse comportamento no grafico a direita (veja o texto eletronico).

x1

x2

.5000000000 4.

.2500000000 16.

.1250000000 64..06250000000 256..03125000000 1024..01562500000 4096..007812500000 16384..003906250000 65536..001953125000 262144..0009765625000 .1048576 107

x1

x2

−.5000000000 4.−.2500000000 16.−.1250000000 64.−.06250000000 256.−.03125000000 1024.−.01562500000 4096.−.007812500000 16384.−.003906250000 65536.−.001953125000 262144.−.0009765625000 .1048576 107

0

20

40

60

80

100

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Note que, neste exemplo, a medida que x se aproxima de zero, os valores de f(x) nao se aproximam de nenhumnumero, portanto, o lim

x→0f(x) nao existe. A notacao lim

x→0f(x) =∞ serve, somente, para indicar que podemos tornar os

valores de f(x) arbitrariamente grandes, bastando para isso tomarmos x suficientemente proximo de zero. Na notacaousada acima para indicar este comportamento, nao estamos considerando ∞ como um numero, nem afirmando que olimite existe. Ela serve somente para indicar a maneira especial como a funcao se comporta perto do zero.• Voce e capaz de dar outros exemplos de funcoes que apresentem este mesmo comportamento?

• Considere a funcao g(x) = − 1x2 e analise o seu comportamento quando x se aproxima de zero. Voce podera verificar

que g(x) decresce sem limite, isto e, tende a −∞. Neste caso escrevemos limx→0

g(x) = −∞.

Nos dois casos acima, quando x se aproxima de zero o grafico da funcao se aproxima da reta x = 0. A reta x = 0e chamada de assıntota vertical ao grafico da funcao y = g(x).

Exemplo 6 Limites no infinito

Considerando novamente a funcao f(x) = 1x2 , vamos agora observar o que acontece com os seus valores quando x

cresce em valor absoluto e se torna muito grande.

As tabelas seguintes mostram os valores de f calculados para valores positivos de x, sucessivamente crescentes epara valores de x sucessivamente decrescentes, respectivamente:

x1

x2

1024. .9536743164 10−6

2048. .2384185791 10−6

4096. .5960464478 10−7

8192. .1490116119 10−7

16384. .3725290298 10−8

32768. .9313225746 10−9

65536. .2328306437 10−9

131072. .5820766091 10−10

262144. .1455191523 10−10

524288. .3637978807 10−11

.1048576 107 .9094947018 10−12

x1

x2

−1024. .9536743164 10−6

−2048. .2384185791 10−6

−4096. .5960464478 10−7

−8192. .1490116119 10−7

−16384. .3725290298 10−8

−32768. .9313225746 10−9

−65536. .2328306437 10−9

−131072. .5820766091 10−10

−262144. .1455191523 10−10

−524288. .3637978807 10−11

−.1048576 107 .9094947018 10−12

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Veja no texto eletronico a animacao grafica correspondente.

Nesse caso dizemos que o limite da funcao e zero quando x tende para +∞ ou −∞, isto e, quando x cresce semlimite (x→ +∞) ou quando x decresce sem limite (x→ −∞). Em notacao matematica escrevemos:

limx→∞

f(x) = 0 e limx→−∞

f(x) = 0

Novamente, os sımbolos +∞ e −∞ nao sao numeros. Estes sımbolos indicam somente que estamos considerandovalores de x cada vez maiores, em valor absoluto.

Observe tambem que, quando x cresce em valor absoluto, isto e, x → +∞ ou x → −∞, o grafico da funcao seaproxima da reta y = 0. Nesse caso, a reta y = 0 e chamada de assıntota horizontal ao grafico da funcao f .

6.1.1 Assıntotas ao grafico de uma funcao

Pelos dois exemplos anteriores, intuitivamente podemos concluir que uma reta e uma assıntota ao grafico de umafuncao quando, a medida que um ponto se move ao longo da curva, a distancia desse ponto a reta se aproxima de zeroindefinidamente, sem nunca chegar a zero.

As definicoes a seguir expressam as ideias de assıntotas verticais e horizontais ao grafico de uma funcao y = f(x)em termos matematicos mais precisos:

Assıntota vertical

Dizemos que uma reta x = a e uma assıntota vertical ao grafico de uma funcao y = f(x) se uma das condicoes severifica:

limx→a+

f(x) =∞, limx→a+

f(x) = −∞, limx→a−

f(x) =∞ ou limx→a−

f(x) = −∞.

Assıntota horizontal

Dizemos que uma reta y = a e uma assıntota horizontal ao grafico de uma funcao y = f(x) se

limx→∞

f(x) = a ou se limx→−∞

f(x) = a

. • Voce e capaz de definir uma condicao que permita determinar quando uma reta y = mx + b e uma assıntotainclinada ao grafico de uma funcao y = f(x)? (Veja Problema 9 da Secao Problemas Propostos.)

• E possıvel determinar uma condicao que permita afirmar quando uma funcao f(x) se aproxima de uma outra funcaoqualquer, nao necessariamente uma reta, quando x → +∞ ou quando x → −∞? (Veja projeto: Assıntotas e outrasfuncoes limitantes.)

6.1.2 Exercıcios

1. Para a funcao f cujo grafico e dado a seguir, estime o valor dos seguintes limites, caso existam:

(a) limx→1+

f(x)

(b) limx→1−

f(x)

(c) limx→1

f(x)

(d) limx→2+

f(x)

(e) limx→2−

f(x)

(f) limx→2

f(x)

(g) limx→0+

f(x)

(h) limx→0−

f(x)

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

2. Para a funcao f cujo grafico e dado a seguir, estime os seguintes limites, caso existam:

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74 Cap. 6 Limite de Funcoes

(a) limx→−π2 +

f(x)

(b) limx→−π2 −

f(x)

(c) limx→−π2

f(x)

(d) limx→π

2+f(x)

(e) limx→π

2−f(x)

(f) limx→π

2

f(x)

–6

–4

–2

0

2

4

6

y

–6 –4 –2 2 4 6x

Determine as equacoes das assıntotas verticais.

3. (a) Esboce o grafico da funcao g(x) =

2− x se x < −1x se −1 ≤ x < 14 se x = 14− x se x > 1

(b) Use o grafico esbocado no item anterior para estimar o valor dos seguintes limites, caso existam:

i. limx→−1−

g(x)

ii. limx→1−

g(x)

iii. limx→−1+

g(x)

iv. limx→1+

g(x)

v. limx→−1

g(x)

vi. limx→1

g(x)

4. Considere a funcao y = 1x .

(a) Qual o seu domınio?

(b) Quais suas assıntotas?

(c) Qual o comportamento da funcao quando x se aproxima de zero pela direita? E quando x se aproxima dezero pela esquerda?

(d) Esboce o grafico dessa funcao escolhendo uma janela adequada que mostre as suas principais caracterısticas.

5. Considere a funcao y = xx−1 .

(a) Qual o seu domınio?

(b) Quais suas assıntotas?

(c) Descreva o comportamento da funcao no ponto x = 1.

(d) Esboce o grafico dessa funcao escolhendo uma janela adequada que mostre as suas principais caracterısticas.

6. (a) Determine o domınio, a imagem e as assıntotas da funcao y = x+ 1x .

(b) Qual o comportamento desta funcao no ponto x = 0?

(c) Esboce o seu grafico.

6.2 Definicoes

Na secao anterior, “calculamos” intuitivamente limites de funcoes por meio da analise dos seus graficos e tambempela observacao de tabelas que listavam valores de pontos do tipo (x, f(x)). Essas pesquisas graficas e/ou numericassao uteis para obter informacoes preliminares e nos ajudar a prever um valor para o limite procurado. Embora, namaioria das vezes, sugiram o valor correto do limite (veja nas atividades de laboratorio alguns exemplos onde esteprocedimento conduz a conclusoes erradas), nao constituem uma demonstracao no sentido em que os matematicos aentendem.

Para obtermos uma demonstracao, no sentido matematico do termo, de uma afirmacao envolvendo limites, torna-senecessario definir com rigor e precisao o que significam expressoes do tipo “a medida que x se aproxima de x0, osvalores de f(x) se aproximam de L” ou “podemos tornar a diferenca entre f(x) e L, em valor absoluto, tao pequenaquanto quisermos, bastando para isso considerar x bastante proximo de x0, sem no entanto nunca atingir esse valor”.

Na verdade, o significado preciso de expressoes do tipo acima foi alvo de discussoes acaloradas e acirradas entreos matematicos durante seculos. Foi somente no final do seculo XIX que o matematico alemao Karl Weierstrass(1815-1897) formulou a definicao de limite que usamos nos dias de hoje e que apresentamos a seguir.

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W.Bianchini, A.R.Santos 75

6.2.1 Limite de uma funcao em um ponto

Na secao anterior, concluımos que, dada uma funcao y = f(x), dizemos que L e o limite de f(x) quando x se aproximade x0 ou quando x tende a x0, se pudermos tornar a diferenca entre f(x) e L tao pequena quanto quisermos, bastandopara isso considerar x suficientemente proximo de x0. Nesse caso, escrevemos

limx→x0

f(x) = L.

O ponto central nessa ideia e o de que podemos obter estimativas do valor-limite e que estas estimativas, paraqualquer proposito pratico, podem estar tao proximas quanto se queira do valor exato.

Para isso comecamos com uma funcao m(x) que nos da uma famılia de estimativas. Imagine, por exemplo, umafuncao m que, para cada valor de x, nos de uma estimativa para a declividade da reta tangente a curva y = f(x) noponto x0 = 0, 5. Neste caso,

m(x) =f(x)− f(0, 5)

x− 0, 5,

que e a declividade da reta secante que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x, f(x)).Existe um valor ideal que gostarıamos que x assumisse. Neste exemplo, a declividade exata da reta tangente seria

obtida quando o segundo ponto (x, f(x)), coincidisse com o primeiro (x0, f(x0)) e, consequentemente, a reta secantecoincidisse com a reta tangente. Este valor ideal, na realidade, e impossıvel de ser atingido. Verifique no exemplodado que a funcao m nao esta definida para x = 0, 5.

Na maioria das aplicacoes praticas, nao necessitamos da resposta exata, mas de uma resposta aproximada com umcerto erro permitido. A letra grega ε e, tradicionalmente, usada para denotar este erro permitido. Dependendo dasituacao, o erro ε pode ser grande ou muito, muito pequeno.

Para cada erro permitido, existe uma tolerancia, de tal maneira que se x dista do valor ideal x0 menos do que atolerancia, entao a estimativa esta dentro do padrao de erro tolerado, isto e, a diferenca entre o valor exato e o valoraproximado encontrado, em valor absoluto, e menor do que o erro permitido.

Colocando estas ideias em termos matematicos precisos, temos a definicao abaixo.Definicao A expressao

limx→x0

f(x) = L

significa que para todo erro permitido ε > 0, nao importa quao pequeno ele seja, existe uma tolerancia δ > 0, tal quese 0 < |x− x0 | < δ, entao | f(x)− L | < ε.

A figura a seguir ilustra essa definicao:

y = f(x)

L

L + ε

εL -

xo xo +δδxo -

Os pontos do grafico de y = f(x) que satisfazem a desigualdade | f(x)− L | < ε sao os pontos que estao entre asduas retas horizontais y = L − ε e y = L + ε (por que?). Este e o afastamento (erro) permitido do valor exato L.Da mesma forma, os pontos desse grafico que satisfazem a desigualdade |x− x0 | < δ sao aqueles que estao entre asretas verticais x = x0 − δ e x = x0 + δ. Esta e a faixa de tolerancia. Dessa maneira, a definicao de limite nos diz que:sendo dadas duas retas horizontais y = L − ε e y = L + ε (ε > 0), faixa de erro permitido, e possıvel escolher duasretas verticais x = x0 − δ e x = x0 + δ (δ > 0), faixa de tolerancia, de tal maneira que se x estiver dentro da faixa detolerancia, f(x) estara dentro da faixa de erro permitido. (Veja a animacao no texto eletronico.)

Repare ainda que nao importa quao proximas estejam as retas horizontais (isto e, quao pequeno seja ε, o erropermitido), sempre sera possıvel determinar duas retas verticais – faixa de tolerancia – tais que sempre que x estiverdentro da faixa de tolerancia, f(x) estara dentro da faixa de erro permitido. Observe a veracidade desta afirmacaoilustrada no diagrama a seguir. Execute a animacao correspondente no texto eletronico.

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76 Cap. 6 Limite de Funcoes

Esta claro, agora, para voce o significado geometrico da frase: podemos tornar a distancia | f(x)− L | tao pequenaquanto quisermos, bastando para isso considerar x suficientemente proximo de x0?

Repare, mais uma vez, que o valor do limite de uma funcao f(x) em um ponto x0 nao tem necessariamente relacaocom o valor desta funcao neste ponto. Este e um importante aspecto do estudo de limites. Uma funcao nao precisaestar necessariamente definida no ponto x0 para que exista o limite de f(x) em x0, basta apenas que a funcao f estejadefinida em alguma vizinhanca restrita de x0, isto e, em um conjunto obtido de um intervalo aberto contendo x0,excluindo-se esse ponto. Por exemplo, para estudar o lim

x→x0

f(x) basta que f esteja definida em intervalos abertos do

tipo (x0 − 0, 5, x0) e (x0, x0 + 0, 5) ou (x0 − 0, 1, x0) e (x0, x0 + 0.1) ou equivalentes.

Exemplo 1 Vamos usar a definicao acima para provar rigorosamente que limx→3

3x− 4 = 5.

Para isso e preciso descobrir um modo de achar um valor de δ (tolerancia) que torne verdadeira a implicacao existentena definicao de limite, qualquer que seja o valor de ε (erro permitido) dado. O metodo de achar δ depende da funcaof e dos valores de x0 e de L.

Dado ε > 0, deve-se achar δ > 0 tal que

| (3x− 4)− 5 | < ε se 0 < |x− 3 | < δ.

Ora,| (3x− 4)− 5 | = | 3x− 9 | = 3 |x− 3 | .

Assim, se tomarmos δ = ε3 , teremos que a desigualdade |x− 3| < ε

3 implicara que

| (3x− 4)− 5 | = |3x− 9| = 3 |x− 3 | < 3ε

3= ε,

como querıamos.Logo, qualquer que seja o numero ε > 0 dado a priori, basta escolher δ = ε

3 para obtermos as desigualdadesdesejadas. Este exemplo ilustra tambem o fato de que o numero δ e, em geral, escolhido em funcao do numero ε.

Exercıcio 1 Tendo em vista a relacao obtida acima para o valor de δ, calcule quao perto x deve estar de 3 paraque 3x− 4 diste de 5 menos do que 1

10000 .

Exemplo 2 Vamos provar que limx→2

3x2 + 5 = 17.

Para isso, dado ε > 0, precisamos achar δ > 0 tal que∣∣ (3x2 + 5)− 17

∣∣ < ε toda vez que tivermos 0 < |x− 2 | < δ.

Como∣∣ (3x2 + 5)− 17

∣∣ = 3∣∣x2 − 4

∣∣ = 3 |x+ 2 | |x− 2 |, a ideia e provar que 3 |x+ 2 | |x− 2 | pode tornar-setao pequeno quanto se queira, desde que se escolha |x− 2 | suficientemente pequeno.

Para isso, basta observar que se |x− 2 | e suficientemente pequeno, o valor de |x+ 2 | = | (x− 2) + 4 | ≤ |x− 2 |+4nao pode ser muito grande.

Assim, por exemplo, se |x− 2 | < 1, entao |x+ 2 | < 5, portanto,

|x− 2 | < 1⇒∣∣ (3x2 + 5)− 17

∣∣ < 15 |x− 2 | (∗)

Por sua vez, para tornarmos essa ultima expressao menor do que ε, basta escolhermos |x− 2 | < ε15 . Assim,

escolhendo δ como o menor dentre os dois numeros 1 e ε15 , teremos que,

se 0 < |x− 2 | < δ, entao∣∣ (3x2 + 5)− 17

∣∣ < 15 |x− 2 | < ε,

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W.Bianchini, A.R.Santos 77

como querıamos demonstrar. Note que a primeira desigualdade vale porque δ < 1 e portanto (*) e verdadeira e aultima desigualdade vale porque δ < ε

15 , portanto, |x− 2 | < ε15 .

Exercıcio 2 Tendo em vista a demonstracao anterior, calcule δ para que 3x2 + 5 diste de 17 menos do que 13000 .

Exercıcio 3 Considere f(x) = x3. Dado ε = .0001 determine 0 < δ que satisfaca a definicao de limite parax0 = 2, isto e, determine quao proximo x deve estar de 2 para que

∣∣x3 − 8∣∣ < 0, 0001

Exercıcio 4 Aplique a definicao de limite para mostrar que:

(a) limx→a

x2 = a2 (b) Se a > 0, limx→a

√x =√a. Sugestao: Use a identidade |

√x−√a| = |x−a|√

x+√a.

6.2.2 Limites laterais

Da mesma forma, podemos definir em termos matematicos precisos as nocoes de limites laterais a direita e a esquerda.

Definicao 1: Limite lateral a direita

Suponha uma funcao f definida no intervalo aberto (x0, a), a > x0. Dizemos que o numero L e o limite lateral adireita de f(x) no ponto x0 quando podemos fazer os valores de f(x) tao perto de L quanto quisermos, bastando paraisso escolher x, no intervalo (x0, a), suficientemente proximo de x0.

Em linguagem matematica, temos limx→x0

+f(x) = L se, dado qualquer numero ε > 0, nao importa quao pequeno

ele seja, e sempre possıvel achar um numero δ > 0 tal que | f(x)− L | < ε para todo x que satisfizer as desigualdadesx0 < x < x0 + δ.

Veja a animacao no texto eletronico que ilustra essa definicao.

Observamos, uma vez mais, que a funcao f(x) nao precisa estar definida em x0, mas apenas no intervalo (x0, a).

Definicao 2: Limite lateral a esquerda

Suponha uma funcao f definida no intervalo aberto (a, x0), a < x0. Dizemos que o numero L e o limite lateral aesquerda de f(x) no ponto x0 quando podemos tornar os valores de f(x) tao perto de L quanto quisermos, bastandopara isso escolher x, no intervalo (a, x0), suficientemente proximo de x0.

Em linguagem matematica, dizemos que limx→x−0

f(x) = L se, dado qualquer numero ε > 0, nao importa quao

pequeno ele seja, e sempre possıvel achar um numero δ > 0 tal que | f(x)− L | < ε para todo x que satisfizer asdesigualdades x0 − δ < x < x0.

Observe a animacao correspondente no texto eletronico.

Como no caso anterior, a funcao f(x) nao precisa estar definida em x0, mas apenas no intervalo (a, x0).

Repare que quando os dois limites laterais no ponto x0 existem e sao iguais, temos que dado qualquer numeroε > 0, nao importa quao pequeno ele seja, e sempre possıvel achar um numero δ > 0 tal que |f(x)− L| < ε paratodo x que satisfizer as desigualdades x0 < x < x0 + δ e x0 − δ < x < x0 simultaneamente, isto e, para todo x talque x0 − δ < x < x0 + δ. Esta ultima desigualdade e equivalente a |x− x0 | < δ, portanto, obtemos a definicao delimx→x0

f(x) = L. Por isso, a existencia e igualdade dos limites laterais e uma condicao necessaria e suficiente para a

existencia do limite no ponto. Veja a animacao no texto eletronico que ilustra essa afirmacao.

Como vimos na secao anterior, quando os limites laterais num ponto x0 qualquer sao diferentes, nao existe olimx→x0

f(x). Execute a animacao do texto eletronico para visualizar esta afirmacao.

Exercıcio 5 Se f(x) =

x+ 1 , se 2 ≤ x−x , se x < 2

, calcule f(2), limx→2+

f(x) e o limx→2−

f(x).

Exercıcio 6

(a) Calcule limx→0+

√x. (b) Existe o lim

x→0

√x? Justifique sua resposta.

6.2.3 Limites infinitos

Na secao anterior, vimos tambem que, dada uma funcao y = f(x), se f(x) cresce sem limite a medida que x se aproximade x0, dizemos que

limx→x0

f(x) = +∞.

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78 Cap. 6 Limite de Funcoes

De um modo mais geral, dado qualquer numero positivo N , tao grande quanto quisermos, sempre podemos acharum numero positivo δ, tal que, se

0 < |x− x0 | < δ, entao f(x) > N

Observamos novamente que a funcao nao precisa estar necessariamente definida no ponto x0, mas apenas em umintervalo aberto contendo x0.

Exercıcio 7 Calcule δ para que a funcao f(x) = 1x2 seja maior que 100000 toda vez que |x | < δ.

Exercıcio 8 Defina em termos matematicos precisos o que entendemos por limx→x0

f(x) = −∞.

Exercıcio 9 O que significam precisamente as expressoes: limx→x+

0

f(x) = −∞ e limx→x−0

f(x) = +∞. De exem-

plo de uma funcao que apresente esse comportamento no ponto x0 = 0 e de uma outra funcao que apresente estecomportamento em um ponto x0 qualquer.

6.2.4 Limites no infinito

Na secao anterior, vimos ainda alguns exemplos de funcoes y = f(x), que se aproximavam de um valor L a medidaque x crescia em valor absoluto. Em notacao matematica, escrevemos:

limx→∞

f(x) = L ou limx→−∞

f(x) = L.

Neste caso, a reta y = L e uma assıntota horizontal ao grafico da funcao f .De um modo mais geral, dado qualquer numero positivo ε, tao pequeno quanto quisermos, sempre podemos achar

um numero positivo N , tal que:

| f(x)− L | < ε sempre que |x | > N .

Exercıcio 10 Calcule N para que a funcao f(x) = 1x diste de zero menos que 1

1000 , isto e, diga quao grandedevemos considerar x para que

∣∣ 1x

∣∣ < 11000 .

6.3 Teoremas e propriedades operatorias

Nas secoes anteriores vimos que, para calcular limites, nao podemos nos basear, exclusivamente, em estimativasnumericas que apenas sugerem o valor do limite e podem por vezes ser enganosas (veja exemplos desta afirmacao nasatividades de laboratorio), nem em aplicacoes diretas da definicao de limite para tentar provar o que tais estimativassugerem, porque essas definicoes sao muito difıceis para serem aplicadas comumente.

Para calcular limites com facilidade, precisamos de regras ou leis que simplifiquem o processo de calculo de limites,tornando-o mais simples. Essas regras sao na realidade teoremas que sao demonstrados a partir das definicoes rigorosasde limite, dadas na secao anterior.

Uma vez demonstrados, podemos usar estes resultados apropriadamente para calcular limites, o que reduz essecalculo, como veremos a seguir, a manipulacoes algebricas, em geral simples.

Teorema 1: Unicidade do limite

Se limx→x0

f(x) = L1 e limx→x0

f(x) = L2, entao L1 = L2.

A ideia da demonstracao e supor que L1 6= L2 . Se a partir dessa hipotese chegarmos a uma conclusao absurda,teremos provado que nao e possıvel que L1 6= L2 e, portanto, L1 = L2.

DemonstracaoSe L1 6= L2, podemos considerar o numero positivo ε = |L1−L2|

2 . Como limx→x0

f(x) = L1, sabemos que existe um

numero δ1 tal que se 0 < |x− x0 | < δ1, entao | f(x)− L1 | < ε.Alem disso, como lim

x→x0

f(x) = L2, sabemos que existe, tambem, um numero δ2 tal que se 0 < |x− x0 | < δ2,

entao | f(x)− L2 | < ε. Seja δ = min(δ1, δ2), isto e, seja δ o menor dentre os numeros δ1 e δ2. Entao, |f(x)− L1| < εe |f(x)− L2| < ε, portanto,

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|L1 − L2| = |L1 − f(x) + f(x)− L2| ≤ |L1 − f(x)|+ |f(x)− L2| < ε+ ε = 2 ε.

Daı, temos

|L1 − L2 | < |L1 − L2 |

Como o numero |L1 − L2| nao pode ser estritamente menor do que ele mesmo, chegamos a um absurdo, portanto,a hipotese que fizemos (supor L1 6= L2) nao pode ser verdadeira. Assim, temos necessariamente que L1 = L2, o queprova a unicidade do limite.

Teorema 2: Limite da funcao identidade

Se f(x) = x, entao limx→x0

f(x) = x0.

Este teorema e inteiramente intuitivo e diz simplesmente que, a medida que x se aproxima de x0, f(x) = x seaproxima, como e obvio, do mesmo valor. Para demonstrar, rigorosamente, este teorema, basta tomar na definicao delimite δ = ε e a conclusao segue trivialmente.

Teorema 3: Limite da funcao constante

Se f(x) = c, onde c e uma constante qualquer, entao limx→x0

f(x) = c.

Este e outro resultado bastante intuitivo. Se a funcao, independente de qual seja o valor de x, sempre assume omesmo valor constante c, nao importa quao proximo x esteja de x0, o valor de f , e portanto o valor do limite, serasempre igual a c.

Usando a definicao formal de limite, precisamos mostrar que, para qualquer numero positivo escolhido ε, e paraqualquer valor de δ (nao importa quao proximo x esteja de x0), se |x− x0 | < δ, entao | f(x)− c | < ε.

Esta conclusao e verdadeira qualquer que seja o numero positivo ε, pois a diferenca f(x)− c sera sempre zero.

Teorema 4: Limite da soma

Se limx→x0

f(x) = L e limx→x0

g(x) = M , entao limx→x0

(f(x) + g(x)) = L+M .

Este teorema diz, simplesmente, que se f(x) esta perto de L e se g(x) esta perto de M quando x esta perto de x0,entao f(x) + g(x) esta perto de L+M quando x esta perto de x0.

DemonstracaoSeja ε > 0. Como lim

x→x0

f(x) = L, existe um δ1 tal que

(i) se 0 < |x− x0 | < δ1, entao | f(x)− L | < ε2 .

Alem disso, como limx→x0

g(x) = M , existe um δ2 tal que

(ii) se 0 < |x− x0 | < δ2, entao | g(x)−M | < ε2 .

Considere agora δ = min(δ1, δ2); entao, se 0 < |x− x0 | < δ, (i) e (ii) valem simultaneamente, e podemos concluirque

| (f(x) + g(x))− (L+M) | ≤ | f(x)− L |+ | g(x)−M | < ε

2+ε

2< ε,

que e o resultado desejado.

Teorema 5: Limite da diferenca

Se limx→x0

f(x) = L e limx→x0

g(x) = M , entao limx→x0

(f(x)− g(x)) = L−M .

Page 96: texto completo em PDF

80 Cap. 6 Limite de Funcoes

A demonstracao desse resultado e analoga a anterior. Tente demonstra-lo.

Teorema 6: Limite do produto

Se limx→x0

f(x) = L e limx→x0

g(x) = M , entao limx→x0

(f(x) g(x)) = LM .

Este teorema afirma, simplesmente, que podemos fazer o produto f(x) g(x) tao proximo de LM quanto quisermos,bastando para isso escolher x suficientemente proximo de x0.

A demonstracao e baseada na observacao de como os erros nas medidas do comprimento e da largura de umretangulo afetam a sua area. Suponha que queremos construir um retangulo cujo comprimento seja L e cuja larguraseja M . Consequentemente, sua area sera LM .

Se cometermos um erro ao medirmos o comprimento deste retangulo e um outro erro ao medirmos a sua largura,estes erros serao propagados para a area do retangulo. Veja a figura a seguir, onde o erro total cometido na medidada area esta representado por linhas mais claras pontilhadas.

LMM

L

Como a figura sugere, o erro na area pode ser dividido em tres partes. A primeira parte pode ser entendidacomo o produto do erro cometido no comprimento pela largura do retangulo original; a segunda e o produto do errocometido na largura pelo comprimento do retangulo original, finalmente, a terceira pode ser entendida como a area deum outro retangulo cujas medidas dos lados sao o erro cometido no comprimento e na largura do retangulo original,respectivamente. Como e possıvel controlar a area destes tres retangulos, controlando o tamanho do erro cometido namedida de L e M , podemos controlar o erro total cometido ao medirmos a area do retangulo original, isto e, o errototal cometido no produto LM .

DemonstracaoSeja ε > 0 . Sabemos que existem numeros positivos δ1, δ2 e δ3 tais que:(i) se 0 < |x− x0 | < δ1, entao |f(x)− L| < 1, o que implica |f(x)| < |L|+ 1.

(ii) se |x− x0 | < δ2, entao | g(x)−M | < ε

2 (|L|+ 1).

(iii) se 0 < |x− x0 | < δ3, entao | f(x)− L | < ε

2 (|M |+ 1).

Considere agora δ = min(δ1, δ2, δ3), entao, se 0 < |x− x0 | < δ, (i), (ii) e (iii) valem simultaneamente e podemosconcluir que

| (f(x) g(x))− (LM) | < | f(x) | | g(x)−M |+ (|M |+ 1) | f(x)− L |<

ε

2+ε

2< ε ,

o que demonstra o teorema.

Teorema 7: Limite do quociente

Se limx→x0

f(x) = L, limx→x0

g(x) = M e M 6= 0, entao limx→x0

(f(x)

g(x)) =

L

M.

Este teorema afirma que se f(x) esta proximo de L e g(x) esta proximo de M quando x esta proximo de x0, entao,

desde que M 6= 0, o quociente f(x)g(x) esta proximo de L

M quando x esta proximo de x0.

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W.Bianchini, A.R.Santos 81

Demonstracao

Tendo em vista o teorema anterior, comof(x)

g(x)= f(x)

1

g(x), basta provar que

limx→x0

1

g(x)=

1

M.

Para isso, devemos mostrar que qualquer que seja o numero positivo ε, existe um numero positivo δ, tal que

se 0 < |x− x0 | < δ, entao

∣∣∣∣ 1

g(x)− 1

M

∣∣∣∣ =| g(x)−M ||M | | g(x) |

< ε.

Como limx→x0

g(x) = M , sabemos que, desde que x esteja suficientemente proximo de x0, podemos tornar a diferenca

| g(x)−M | tao pequena quanto quisermos.A ideia, entao, e mostrar que |g(x)| nao pode ser muito grande desde que |g(x)−M | seja pequena.Sejam δ1 e δ2 numeros positivos tais que

(i) se 0 < |x− x0 | < δ1, entao | g(x)−M | < |M |2 .

Para esses valores de x, temos que |M |2 < |g(x)|, o que e equivalente a1

|g(x)|<

2

|M |, portanto,

∣∣∣∣ 1

g(x)− 1

M

∣∣∣∣ =

2 | g(x)−M |M2

.

(ii) se 0 < |x− x0 | < δ2, | g(x)−M | < ε |M |2

2.

Considere agora δ = min(δ1, δ2). Entao, se 0 < |x− x0 | < δ, (i ) e (ii) valem simultaneamente e podemos concluirque ∣∣∣∣ 1

g(x)− 1

M

∣∣∣∣ < 2 εM2

2M2= ε,

que e o resultado desejado.

Observe que este teorema nao afirma nada sobre o que acontece quando M = 0. De fato, se M = 0, qualquer coisapode acontecer, mesmo no mais simples dos casos.

Seja, por exemplo, f(x) = k x e g(x) = x, onde k e um numero qualquer. Entao f(x)g(x) = k x

x = k para x 6= 0 e, alem

disso, o limx→x0

f(x)

g(x)= k, qualquer que seja o valor de x0. Veja esse fato ilustrado no diagrama a seguir para k = 2 e

a = 0.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

O disco neste grafico ressalta o fato de que a funcao nao esta definida neste ponto; no entanto, seu limite neste eem todos os outros pontos e igual a k, que, nesse exemplo, foi tomado como sendo 2, mas poderia ser qualquer outronumero.

Ja estudamos uma situacao semelhante a esta quando tentamos calcular a declividade m da reta tangente aografico de uma funcao como o limite das declividades de retas secantes a curva y = f(x), isto e, quando calculamos

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0.

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82 Cap. 6 Limite de Funcoes

Nesse caso, quando x se aproxima de x0, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de zero. Esteteorema nao se aplica a essa situacao e nada podemos afirmar quanto ao valor de limites deste tipo.

Para buscar solucoes para situacoes como estas, basta observar que o numerador e o denominador desse quocientetem x− x0 como fator comum, e como estamos interessados no comportamento da funcao quando os valores de xse aproximam de x0, sem nunca chegar a atingir esse valor, podemos simplificar a expressao que define o quocientedividindo numerador e denominador pelo seu fator comum e, depois desta simplificacao, calcular o valor do limite.Repare, no exemplo abaixo, que o Maple faz essa simplificacao automaticamente quando traca o grafico de funcoesdefinidas por expressoes deste tipo.

> m:=x->(x^2-4)/(x-2);

m := x→ x2 − 4

x− 2> plot(m(x),x=-4..4);

–2

0

2

4

6

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

Exercıcio 1 Qual o limite da funcao acima quando x→ 2?Embora simplificacoes desse tipo sejam validas e empregadas normalmente para o calculo de limites, devemos

sempre lembrar que as funcoes y = x+ 2 e m = x2−4x−2 nao sao iguais, pois seus domınios sao diferentes, embora esse

fato nao seja mostrado no grafico acima.

Exercıcio 2 Se limx→x0

f(x) = L, limx→x0

g(x) = 0, o que se pode afirmar a respeito do limx→x0

(f(x)

g(x))? Nesse caso,

qual o comportamento da funcao quociente quando x→ x0?

Teorema 8: Limite da raiz

limx→a

√x =√a

Observando o grafico da funcao√x vemos que este teorema, geometricamente, e obvio.

Demonstracao Dado ε > 0, devemos encontrar um numero δ > 0, tal que, para todo x que satisfaca |x− a| < δ,tem-se |

√x−√a| < ε

Neste caso, o maior valor que podemos tomar para δ e a. Agora, como x > 0, tem-se√a <√x+√a. Assim,

∣∣√x−√a∣∣ =|x− a|√x+√a<|x− a|√

a

Como queremos que |x−a|√a< ε, tomando δ = mina,

√a ε, obtemos o resultado desejado.

O teorema acima pode ser generalizado para o que chamamos de passando o limite para dentro da raiz:

Teorema 9: Limite da raiz generalizado

Se limx→a g(x) = L e L > 0, entao

limx→a

√g(x) =

√L =

√limx→a

g(x)

Demonstracao: Pelo teorema anterior, para todo ε1 > 0, existe um δ1>0, tal que

se |y − L| < δ1, entao∣∣∣√y −√L∣∣∣ < ε1 (1)

Como limx→a g(x) = L, para todo δ1 > 0, existe um δ2 >0, tal que

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W.Bianchini, A.R.Santos 83

se 0 < |x− a| < δ2, entao |g(x)− L| < δ1 (2)

Assim, se 0 < |x− a| < δ2, substituindo y em (1) por g(x) obtemos o seguinte: para todo ε1 > 0 existe um δ1 >0, tal que

se |g(x)− L| < δ1 , entao∣∣∣√g(x)−

√L∣∣∣ < ε1 (3)

De (2) e (3) concluimos que para todo ε1 > 0 existe um δ2 > 0, tal que

se 0 < |x− a| < δ2, entao∣∣∣√g(x)−

√L∣∣∣ < ε1

o que prova o teorema.

Teorema 10: Teorema do sanduıche

Suponha que f(x) ≤ g(x) e que g(x) ≤ h(x) numa vizinhanca restrita de x0 e que limx→x0

f(x) = L = limx→x0

h(x).

Entao limx→x0

g(x) = L.

Este teorema e chamado Teorema do Sanduıche, ou do Confronto, porque diz, simplesmente, que se uma funcao,numa certa vizinhanca de x0 onde estamos interessados em estudar o seu comportamento, esta comprimida entreoutras duas que tendem ao mesmo limite L, entao o seu limite nesse ponto tambem deve ser L. Veja a ideia geometricailustrada a seguir:

–0.15

–0.1

–0.05

0

0.05

0.1

0.15

–0.4 –0.3 –0.2 –0.1 0.1 0.2 0.3 0.4x

DemonstracaoSeja ε > 0 e sejam δ1 e δ2 tais que :

(i) se 0 < |x− x0 | < δ1, entao | f(x)− L | < ε, isto e, L− ε < f(x) < L+ ε.

(ii) se 0 < |x− x0 | < δ2, entao |h(x)− L | < ε, isto e, L− ε < h(x) < L+ ε.

Dizer que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), numa vizinhanca restrita de x0, significa dizer que existe um numero p tal que

(iii) f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x pertencente ao intervalo (x0 − p, x0 + p).

Seja δ = min(δ1, δ2, p). Entao, se 0 < |x− x0| < δ, (i), (ii) e (iii) valem simultaneamente, e podemos concluirque

L− ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L+ ε.

Estas ultimas desigualdades sao equivalentes a afirmar que

| g(x)− L | < ε,

como querıamos demonstrar.

Os resultados enunciados a seguir, sao consequencia direta dos teoremas anteriores. Deixamos suas demonstracoescomo exercıcio para o leitor.

Corolario 1 Mostre que limx→a

xn = an.

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84 Cap. 6 Limite de Funcoes

Corolario 2 Se limx→a

f(x) = L e C e uma constante qualquer, entao

limx→a

C f(x) = C L .

Corolario 3 Sejam a0, a1, a2, . . . , an constantes quaisquer. Se f(x) = an xn + an−1 x

(n−1) + ...+ a1 x+ a0, entao

limx→a

f(x) = f(a) .

Corolario 4 Sejam a0, a1, a2, . . . , an e b0, b1, b2, . . . , bn constantes quaisquer. Considere

f(x) = an xn + an−1 x

(n−1) + ...+ a1 x+ a0,g(x) = bn x

n + bn−1 x(n−1) + ...+ b1 x+ b0 e

h(x) =f(x)

g(x).

Prove que se a pertence ao domınio de h, entao limx→a h(x) = h(a).

Os teoremas enunciados nesta secao transformam, na maioria dos casos, o calculo de limites em simples calculosalgebricos. Exemplos de aplicacao dos teoremas no calculo de limites sao mostrados na proxima secao.

6.4 Exemplos de aplicacoes dos teoremas no calculo de limites

Exemplo 1 Calcule limx→3

x2 + 4x+ 4.

Solucao Aplicando a regra da soma, temos:x=3)+limit(4,x=3);

limx→3

x2 + 4x+ 4 = ( limx→3

x2) + ( limx→3

4x) + ( limx→3

4)

Pela regra do produto e da multiplicacao por constante, temos que:

( limx→3

x2) + ( limx→3

4x) + ( limx→3

4) = ( limx→3

x) ( limx→3

x) + ( limx→3

4) ( limx→3

x) + 4

Logo, concluımos quelimx→3

x2 + 4x+ 4 = 32 + 4 (3) + 4 = 25,

o que transforma o calculo desse limite num simples calculo algebrico.

Exemplo 2 Calcule limx→3

2x+ 5

x2 + 4x+ 4.

Solucao No exemplo anterior, vimos que o limx→3

x2 + 4x+ 4 6= 0, portanto, podemos aplicar a regra do quociente

para afirmar que:

limx→3

2x+ 5

x2 + 4x+ 4=

limx→3

2x+ 5

limx→3

x2 + 4x+ 4=

2 (3) + 5

32 + 4 (3) + 4=

11

25.

Exemplo 3 Calcule limx→1

[(x2 − x)

13 + (x3 + x)

9].

Solucao

limx→1

[(x2 − x)

13 + (x3 + x)

9]

= limx→1

(x2 − x)13 + lim

x→1(x3 + x)

9=[

limx→1

(x2 − x)] 1

3

+[

limx→1

(x3 + x)]9

=[

limx→1

x2 − limx→1

x] 1

3

+[

limx→1

x3 + limx→1

x]9

= (12 − 1)13 + (13 + 1)

9= 29 = 512.

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W.Bianchini, A.R.Santos 85

Observacao Se f(x) = x2 + 4x + 4, entao f(3) = 25 e, no Exemplo 1, poderıamos ter obtido o valor corretode lim

x→3f(x) calculando, simplesmente, f(3). Esta mesma observacao vale para os Exemplos 2 e 3. As funcoes dos

Exemplos 1 e 2 sao polinomios e funcoes racionais (veja proximo capıtulo), respectivamente, e os Corolarios 3 e 4garantem que, se f(x) e um polinomio ou uma funcao racional e a pertence ao domınio de f , entao lim

x→af(x) = f(a).

Funcoes para as quais vale esta propriedade sao chamadas de funcoes contınuas e serao estudadas no Cap. 8.

Exemplo 4 Ache limx→1

x2 − 1

x− 1.

Solucao Seja f(x) = x2−1x−1 . Neste caso, nao podemos calcular o limite simplesmente substituindo x = 1 na

expressao que define f , pois f(1) nao esta definida. Nem podemos aplicar o teorema do quociente, porque o limite dodenominador e zero. A ideia e trabalhar algebricamente com a expressao dada, fazendo algum tipo de simplificacaoantes de tentar calcular o limite pedido. Assim,

x2 − 1

x− 1=

(x+ 1) (x− 1)

(x− 1).

O numerador e o denominador tem o fator comum x−1. Quando x se aproxima de 1, temos que x 6= 1, entao x−1 6= 0.Logo, podemos cancelar o fator comum e calcular o limite como fazemos a seguir.

limx→1

x2 − 1

x− 1= limx→1

(x+ 1) (x− 1)

(x− 1)= limx→1

(x+ 1) = 1 + 1 = 2 .

Exemplo 5 Ache o limx→1

g(x), onde g(x) =

x+ 1, se x 6= 1π, se x = 1

Solucao Neste exemplo g esta definida em x = 1 e g(1) = π, mas, para uma funcao qualquer, o valor do limiteem um ponto independe do valor da funcao neste ponto. Como g(x) = x+ 1 para x 6= 1,

limx→1

g(x) = limx→1

(x+ 1) = 2.

Note que as funcoes dos Exemplos 4 e 5 sao iguais, exceto quando x = 1, portanto, elas tendem para o mesmo limitequando x→ 1. Veja os graficos destas duas funcoes, mostrados a seguir.

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

Exemplo 6 Calcule limh→0

(3 + h)2 − 9

h.

Solucao Seja F (h) = (3+h)2−9h . Como no Exemplo 4, precisamos simplificar F (h) antes de calcular o limite.

Assim, temos

F (h) =(9 + 6h+ h2)− 9

h=

6h+ h2

h= 6 + h.

(Lembre-se de que quando h→ 0 estamos considerando h 6= 0, portanto os calculos algebricos acima estao corretos.)Em vista das igualdades acima, temos que

limh→0

(3 + h)2 − 9

h= limh→0

(6 + h) = 6.

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86 Cap. 6 Limite de Funcoes

Exemplo 7 Calcule limt→0

√t2 + 9− 3

t2.

Solucao Nao podemos aplicar o teorema do quociente imediatamente porque o limite do denominador e zero.Aqui, o algebrismo consiste em racionalizar o numerador para tentarmos algum tipo de simplificacao. Assim,

√t2 + 9− 3

t2=

√t2 + 9− 3

t2·√t2 + 9 + 3√t2 + 9 + 3

=(t2 + 9)− 9

t2 (√t2 + 9 + 3)

=1√

t2 + 9 + 3.

As igualdades acima permitem concluir que

limt→0

√t2 + 9− 3

t2= limt→0

1√t2 + 9 + 3

=1√

limt→0

(t2 + 9) + 3=

1

3 + 3=

1

6

Para calcular alguns limites, e preciso calcular, separadamente, os limites laterais a esquerda e a direita. Osteoremas da secao anterior para limites, valem, tambem para limites laterais. Os dois exemplos a seguir ilustram casosonde e necessario o calculo separado dos limites laterais.

Exemplo 8 Mostre que limx→0|x | = 0.

Solucao Como |x | = x, para x > 0, tem-se

limx→0+

|x | = limx→0+

x = 0.

Como, |x | = −x, entaolimx→0−

|x | = limx→0−

(−x) = 0.

Consequentemente, como os limites laterais existem e sao iguais, entao

limx→0|x | = 0.

Exemplo 9 Se f(x) =

√x− 4 se x > 4

8− x se x < 4. Determine, se existir, lim

x→4f(x).

Solucao Como f(x) =√x− 4, para x > 4 temos que

limx→4+

f(x) = limx→4+

√x− 4 =

√4− 4 = 0.

Como f(x) = 8− x, para x < 4 temos que

limx→4−

f(x) = limx→4+

(8− x) = 4.

Como os limites laterais sao diferentes, nao existe limx→4

f(x).

6.5 Atividades de laboratorio

Usando um computador e o Maple, faca as atividades propostas no arquivo lab2.mws da versao eletronica deste texto.

6.6 Exercıcios

1. Se limx→a

f(x) = 4, limx→a

g(x) = −2 e limx→a

h(x) = 0, calcule os seguintes limites:

(a) limx→a

(f(x)− g(x))

(b) limx→a

f(x)

g(x)

(c) limx→a

(g(x))2

(d) limx→a

h(x)

f(x)

(e) limx→a

1

(f(x) + g(x))2.

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W.Bianchini, A.R.Santos 87

2. (a) O que esta errado na identidadex2 + x− 6

x− 2= x+ 3?

(b) Tendo em vista o item anterior, explique por que a identidade

limx→2

x2 + x− 6

x− 2= limx→2

(x+ 3)

esta correta.

3. Se limx→a

(f(x) + g(x)) = 2 e limx→a

(f(x)− g(x)) = 1, calcule limx→a

(f(x) g(x)).

6.7 Problemas propostos

1. Nos itens a seguir, aplique as propriedades operatorias de limites para calcular os limites que existam:

(a) limx→0

5x4 − 4x3 + 2x− 14

(b) limx→−1

2x− x4

(c) limx→−1

(x2 − 2)5

(d) limx→1

x+ 1

x2 − 2x− 2

(e) limx→3

x2 − 9

x− 3

(f) limy→3

1y −

13

y − 3

(g) limt→−4

√t+ 8

25− t2

(h) limx→0

√x+ 4− 2

x

(i) limx→4

x− 4√x− 2

(j) limx→1

x2 + x− 2

x2 − 4x+ 3

(k) limx→2

(x− 2)2

x4 − 16

(l) limx→0

√1 + x−

√1− x

x

2. Calcule os seguintes limites:

(a) limx→0−

x

2− |x |(b) lim

x→0+

x

2− |x |

(c) Tendo em vista os dois itens anteriores, o que se pode afirmar a respeito do limx→0

x

2− |x |?

(d) limx→3−

√9− x2

(e) limx→2

2− x|x− 2 | (f) lim

x→0f(x), onde

f(x) = x2 se x ≤ 0f(x) = −x se x > 0

3. Para cada uma das seguintes funcoes, ache limx→3

f(x)− f(3)

x− 3.

(a) f(x) = 2x2

(b) f(x) = 3x2

(c) f(x) = x2

2

(d) f(x) = mx, (m = constante)

(e) f(x) = 2x2 + 3x+ 1

(f) f(x) = 1x , para x 6= 0

(g) f(x) = x3

(h) O que representa geometricamente esse limite?

4. Para as funcoes do problema anterior, ache limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0para um ponto x0 qualquer.

5. No capıtulo sobre retas tangentes, vimos, geometricamente, que nao existe reta tangente a curva y = |x | noponto x0 = 0. Usando a definicao de declividade de reta tangente e a teoria dos limites desenvolvida nessecapıtulo, prove analiticamente esta afirmacao.

6. (a) Um tanque contem 5000 litros de agua pura. Agua salobra contendo 30 g de sal por litro de agua e bombeadapara o tanque, a uma taxa de 25 l/min. Mostre que a concentracao de sal no tanque apos t minutos (em

g/l) e dada por C(t) =30 t

200 + t.

(b) O que acontece com a concentracao quando t→∞.

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88 Cap. 6 Limite de Funcoes

7. Ache limx→∞

f(x) se

4x− 1

x< f(x) <

4x2 + 3x

x2

para todo x > 5.

8. Suponha que | f(x) | ≤ g(x) para todo x. Se limx→a

g(x) = 0, calcule limx→a

f(x).

9. O grafico de uma funcao y = f(x) tem uma assıntota inclinada de equacao y = mx+ b se limx→∞

(f(x)−(mx +b)) =

0 ou se limx→−∞

(f(x)− (mx + b)) = 0. (Os valores de m e b podem ser diferentes em cada caso.)

(a) Prove que a reta y = x e uma assıntota ao grafico da funcao y = x+ 1x .

(b) O grafico da funcao f(x) = x( 13 ) (1−x)( 2

3 ) tem uma assıntota inclinada. Encontre a equacao dessa assıntota.

Sugestao No caso em que x→ +∞, m = limx→∞

f(x)

xe b = lim

x→∞(f(x)−mx ). Analogamente, se calcula m

e b no caso em que x→ −∞.

(c) Tendo em vista a definicao de assıntota inclinada, por que as expressoes acima para m e b sao validas?

10. Dizemos que uma funcao f(x) e limitada quando existe um numero M tal que | f(x) | ≤ M , para todo x nodomınio de f . Suponha que f e limitada. Mostre que:

(a) limx→0

x f(x) = 0

(b) limx→a

g(x) = 0, entao limx→a

g(x) f(x) = 0. De um contra-exemplo para mostrar que, se f nao e limitada, essa

conclusao nao vale.

(c) Mostre que se limx→a

f(x) = 0, entao limx→a

f(x) sen(x) = 0.

11. Suponha que limx→a

f(x) = f(a) > 0. Prove que existe uma vizinhanca de a na qual f(x) > 0, isto e, prove que

existe um δ > 0 tal que f(x) > 0 para todo x no intervalo (a− δ, a+ δ).

12. Considere a funcao f(x) definida por f(x) =

0, para x irracional1, para x racional

.

Explique por que qualquer que seja o numero real a, o limx→a

f(x) nao existe.

13. (a) Se limx→a

f(x) e limx→a

g(x) nao existem, pode existir o limx→a

(f(x) + g(x))? E o limx→a

(f(x) g(x))?

(b) Se limx→a

f(x) e limx→a

(f(x) + g(x)) existem, o que se pode afirmar a respeito do limx→a

g(x)?

(c) Se limx→a

f(x) existe e limx→a

g(x) nao existe, pode existir o limx→a

(f(x) + g(x))?

(d) Se limx→a

f(x) e limx→a

(f(x) g(x)) existem, temos necessariamente que o limx→a

g(x) existe?

6.8 Exercıcios adicionais

1. Calcule os limites abaixo:

Page 105: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 89

(a) limx→2

√2x2 + 3x+ 2

6− 4x

(b) limx→1

√x− 1

x− 1

(c) limx→0

1−√

1− xx

(d) limx→−2

4− x2

2 + x

(e) limx→1

√2x−

√x+ 1

x− 1

(f) limz→4

√2 z + 1− 3√z − 2−

√2

(g) limx→−1

x3 + 2x2 − 1

x2 − 2x− 3

(h) limr→ 1

2

4 r3 − 3 r + 1

4 r3 − 4 r2 + r

(i) limx→1

x√x− x+

√x− 1

x− 1(j) lim

x→∞[x3 − 5x2 + 7]

(k) limx→−∞

x

k, k 6= 0

(l) limx→∞

√x2 − 2x+ 2

x+ 1

(m) limx→−∞

√x2 − 2x+ 2

x+ 1

(n) limx→∞

(x2 + 1)( 13 )

x+ 1

(o) limx→−∞

(x2 + 1)( 13 )

x+ 1

(p) limy→∞

√y2 + 3 y + 2− y

(q) limz→∞

z −√z2 − 4

(r) limx→∞

√x+

√x+√x

x

(s) limx→∞

1x −

1x2

1x3 − 1

x4

(t) limu→−∞

(u3 + 2u− 1)5

(u2 + u− 6)4

(u) limt→∞

(t2 + 1)5 (√t− 1)3 (t2 + 1)

(2 t2 − 5)2

(v) limy→∞

[y

y + 1− 1

y2 − 1]

2. Calcule os seguintes limites, caso existam:

(a) limx→0

√x2 + a2 − a√x2 + b2 − b

, com a, b > 0

(b) limh→−4

√2 (h2 − 8) + h

h+ 4

(c) limx→∞

√x2 + 1−

√x√

x

(d) limx→1

(1

1− x− 3

1− x3)

3. Calcule os seguintes limites:

(a) limx→3+

x√x2 − 9

(b) limx→5

4

x− 5

(c) limx→3−

√x3 − 27

x2 − 9

(d) limx→−2

− 3

(x+ 2)2

(e) limx→0−

x+ 1x

1 + x2

4. Em cada um dos itens abaixo, calcule limx→a+

f(x) e limx→a−

f(x), caso estes limites existam.

(a) f(x) =

3x− 2 1 < x2 x = 14x+ 1 x < 1

, a = 1 (b) f(x) =

sen(x) π

4 < xcos(x) x < π

4

, a = π4

(c) f(x) = |x− 2 | (x−1x−2 ), a = 2

(d) Em quais dos itens anteriores existe o limx→a

f(x)? (Justifique a sua resposta.) Neste caso, qual o valor deste

limite?

5. Em cada um dos itens abaixo, determine as constantes a e b para que as afirmacoes sejam verdadeiras:

(a) limx→∞

(x2 + 1

x+ 1− (a x+ b)) = 0 (b) lim

x→−∞

a x3 + b x2 + x+ 1

3x2 − x+ 2= 1

6. Encontre as assıntotas horizontais e verticais ao grafico das funcoes abaixo:

(a) f(x) = x2

4−x2

(b) f(x) = 4 x2√x2−2

(c) h(x) = 2√x2−4

(d) f(x) = − 3 x√x2+7 x+10

(e) f(x) = 1x2+5 x+6

(f) f(x) = ( 12+x −

12 ) 1

x

7. Seja f(x) = (x−1)(2 x+2)x−1 .

Page 106: texto completo em PDF

90 Cap. 6 Limite de Funcoes

(a) Encontre o limx→1

f(x).

(b) Para cada um dos valores de ε dados abaixo, indique um valor de δ que satisfaca a definicao formal delimite:

i. ε = 1 ii. ε = 0, 4 iii. ε = 0, 1

8. Seja f(x) =

1, x ≤ 13, 1 < x < 25, 2 ≤ x

.

(a) Indique, se existir, o valor de limx→a

f(x), quando a = 1; a = 1,00001; a = 1,999998; a = 2.

(b) Nos pontos onde existir o limx→a

f(x), para qualquer ε > 0, indique um valor de δ > 0 que satisfaca a definicao

formal de limite.

9. Seja L = limx→1

f(x) e ε > 0. Em cada um dos itens abaixo, ache um δ tal que | f(x)− L | < ε, para todo x que

satisfaca 0 < |x− 1 | < δ.

(a) f(x) = x4 (b) f(x) = 1x (c) f(x) = x4 + 1

x

6.9 Um pouco de historia: Cauchy, Weierstrass e a teoria dos limites

Ao estabelecimento das bases do Calculo por Newton e Leibniz no seculo XVII, seguiu-se um perıodo de livre desen-volvimento do assunto no seculo XVIII.

Matematicos como os irmaos Bernoulli e Euler foram os primeiros a vislumbrar o poder do Calculo e exploraras consequencias dessa nova e maravilhosa teoria matematica sem, no entanto, grandes preocupacoes com o rigormatematico nas suas demonstracoes.

O seculo XIX, ao contrario, ficou conhecido como a Era do Rigor Matematico. Houve um movimento de retorno aosfundamentos de cada assunto para que os conceitos, agora, fossem baseados em definicoes cuidadosas e os resultadosobtidos provados rigorosamente.

A frente deste movimento estava o matematico frances Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), que era engenheiromilitar antes de se tornar professor de matematica em Paris.

Cauchy trabalhou com o conceito de limite, cuja ideia basica havia sido desenvolvida por Newton, tornando-a maisprecisa. Sua definicao de limite era mais ou menos assim:

Quando sucessivos valores atribuıdos a uma variavel se aproximam indefinidamente de um valor fixo e, no fim, diferem deste

valor fixo por um valor tao pequeno quanto se queira, este ultimo valor e chamado o limite de todos os outros.

Usando esta definicao em demonstracoes e exemplos, Cauchy geralmente usava desigualdades envolvendo epsilonse deltas analogas aquelas que usamos neste capıtulo. Uma tıpica prova de Cauchy comecava assim:

chame de ε e δ dois numeros muito pequenos ....

Ele usava a letra grega ε em razao da analogia com a palavra francesa erreur (erro).

Mais tarde, o matematico alemao Karl Weierstrass (1815-1897) estabeleceu a definicao de limite exatamente comoa que empregamos hoje.

6.10 Para voce meditar: Do nada a criacao do universo

Desde o primeiro grau sabemos que 0, 9999 · · · = 1, e nos livros didaticos, em geral, aparece a seguinte demonstracao:

Seja x = 0, 999 · · ·, entao 10x = 9, 999 · · ·.Daı temos que 10x− x = 9⇒ x = 1.

Page 107: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 91

Este mesmo raciocınio e empregado no segundo grau para deduzir a formula para a soma dos termos de uma PGinfinita de razao menor que 1 do modo descrito a seguir.

Seja S igual a soma dos termos de uma PG cujo termo geral e dado por an = ( 12 )n. Entao

S = 1 +1

2+

1

4+

1

8+ . . . .

Daı temos queS

2=

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . . .

Logo,

S − S

2= 1⇒ S = 2.

Vamos agora aplicar este mesmo raciocınio para calcular a soma dos termos da PG infinita, cujo termo geral edado por an = 2n. Seja, entao,

S = 1 + 2 + 4 + . . . .

Assim, temos que2S = 2 + 4 + 8 + . . .⇒ S − 2S = 1⇒ S = −1.

Ou seja, acabamos de “demonstrar” que 1 + 2 + 4 + . . . = −1Podemos chegar a outros absurdos semelhantes continuando a usar este mesmo raciocınio. Considere, por exemplo,

S = 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . .. Entao, temos que −S = −1 + 1− 1 + 1− . . ..Assim, obtemos que

S = 1 −1 +1 −1 . . .−(−S) = +1 −1 +1 −1 . . .

Daı vem que 2S = 1⇒ S = 12 .

Portanto, acabamos de provar que 0 + 0 + 0 + . . . =1

2, pois, agrupando convenientemente os termos da soma S,

podemos obter tambem queS = (1− 1) + (1− 1) + . . . = 0.

Esse resultado foi muito usado por teologos em meados do seculo XVII para provar que alguma coisa poderia sercriada a partir do nada e que portanto a criacao do Universo (a partir do nada) era uma possibilidade cientificamenteviavel!!!!

• Explique por que o raciocınio nos dois primeiros exemplos esta correto e por que nao pode ser empregado nosdois ultimos casos.Sugestao O sımbolo 0, 9999 · · · representa o limite da sequencia Sn =

∑ni=1 ai, onde ai = (9) (10)−i, para

i = 1, 2, 3 . . ., e a soma S = 1− 1 + 1− 1 + . . . representa o limn→∞

Sn, onde S1 = 1, S2 = 1− 1, S3 = 1− 1 + 1,

e assim por diante.

6.11 Projetos

6.11.1 O caso do povo contra a Novoleo

A Novoleo Ltda., companhia especializada no tratamento de resıduos poluentes, derramou, acidentalmente, umagrande quantidade do Agente Oleoso na Baıa Bonita.

Feitas medicoes apos o acidente, concluiu-se que a concentracao do Agente Oleoso nas aguas da baıa era de 10 ppm(partes por milhao).

Na baıa existem manguezais que, por sua flora e fauna caracterısticas, sao considerados zonas de protecao ambiental.Infelizmente, nao e possıvel remover por meios mecanicos o Agente Oleoso que polui os manguezais: corre-se o

risco de causar danos ainda maiores ao ecossistema local.Alem disso, a pesca na baıa constitui o unico meio de sobrevivencia para diversas colonias de pescadores que vivem

ao seu redor. Devido a contaminacao dos peixes pelo Agente Oleoso, a pesca na baıa foi proibida.

Page 108: texto completo em PDF

92 Cap. 6 Limite de Funcoes

Numa tentativa de ressarcir, em parte, os danos causados ao meio ambiente e o prejuızo sofrido pelos pescadores,moveu-se uma acao popular contra a Novoleo para o estabelecimento de uma multa a ser investida em Programas deDespoluicao da baıa e em auxılio as famılias desempregadas.

Apos uma cuidadosa analise da situacao, cientistas ambientalistas garantiram que a baıa tem uma capacidade dese autodepurar a uma taxa de 20% ao ano. Baseando-se nesta hipotese, estabeleceram, entao, o seguinte modelomatematico para a concentracao do Agente Oleoso ao longo do tempo:

p(1) = 10p(n+ 1) = 0, 8 p(n)

(Este e um exemplo de um sistema dinamico discreto.)

A partir deste modelo, os cientistas chegaram as seguintes previsoes:

Ano Poluente(ppm)

1 102 83 6, 44 5, 125 4, 10

Ano Poluente(ppm)

6 3, 287 2, 628 2, 099 1, 6810 1, 34

Ano Poluente(ppm)

11 1, 0712 0, 8613 0, 6514 0, 5515 0, 44

Ano Poluente(ppm)

16 0, 3517 0, 2818 0, 2319 0, 1820 0, 14

Veja estes dados mostrados no grafico a seguir.

0

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

De posse destes dados, os advogados da Novoleo Ltda., em defesa do seu cliente, alegaram junto ao tribunalque nao houve um dano real ao meio ambiente provocado pelo derramamento do Agente Oleoso na baıa, porque aofinal de algum tempo o nıvel de poluicao da baıa retornaria ao seu padrao inicial. Para fundamentar esta linha deargumentacao, usaram a formula

limn→∞

p(n) = 0,

explicando que esta formula traduzia em termos matematicos precisos o que aconteceria com a concentracao do AgenteOleoso ao longo do tempo. Alem disso, explicaram tambem que a formula acima significa, matematicamente, que aposum certo tempo a concentracao do Agente Oleoso ficara muito proxima de zero.

O promotor da acao achou que havia alguma coisa errada nesta historia, “matematicamente demonstrada, masnao sabia como contestar os argumentos matematicos apresentados. Felizmente, uma de suas assistentes, que tinhaestudado Calculo na UFRJ e se lembrava das aulas sobre limites, chamou atencao para o verdadeiro significadomatematico da expressao lim

n→∞p(n) = 0.

A assistente contra-argumentou que, embora depois de muitos anos a concentracao do Agente Oleoso realmente seaproximaria de zero, os peixes e o restante da fauna e da flora aquaticas estariam contaminados e improprios para oconsumo. Por este motivo a pesca na baıa seria proibida ate que a concentracao do Agente Oleoso fique abaixo de 2ppm. Para fundamentar seu raciocınio, apresentou o seguinte grafico, ilustrativo da situacao descrita:

Page 109: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 93

0

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Assim, pelos dados apresentados pelos ambientalistas e pelo grafico acima, ela concluiu que transcorreriam oitolongos anos ate que a baıa pudesse ser liberada para a pesca. Propos, entao, que fosse cobrada da Novoleo uma multade 10 milhoes de reais por cada ano em que a pesca estivesse proibida. Pelos dados apresentados, a multa total devidaseria de 80 milhoes de reais.

Alem disso, a assistente da promotoria afirmou que a interpretacao matematica dada pelos advogados da Novoleoestava correta mas era apenas uma pequena parte da historia. O significado mais preciso da expressao lim

n→∞p(n) = 0

e que para qualquer nıvel de concentracao C do Agente Oleoso havera um tempo T , que pode estar muito, muito longeno futuro, tal que para todo t ≥ T , isto e, para qualquer tempo posterior, teremos que | p(n) | < C. Dessa maneira,para que a pesca pudesse ser liberada, terıamos que ter C = 2 ppm, e, neste caso, T = 9 anos.

Sua explicacao foi ovacionada pela plateia. O promotor entao argumentou que, embora o nıvel de 2 ppm fosseadequado para a liberacao da pesca na baıa, a fauna e a flora, especialmente dos manguezais, so se recuperariamcompletamente quando o nıvel de concentracao do Agente Oleoso ficasse abaixo de 0,5 ppm e apresentou o grafico aseguir:

0

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

concluindo, entao, que este nıvel so seria atingido quando t ≥ 14.Tendo em vista os argumentos apresentados por ambas as partes, o juiz condenou a Novoleo a pagar uma multa

de 140 milhoes de reais (e sem desconto!).

1. Nos itens abaixo, determine quanto tempo deveremos esperar ate que a concentracao de poluentes fique abaixodo nıvel indicado.

(a) A concentracao atual e de 15 ppm e cai a uma taxa de 30% ao ano. O nıvel toleravel de poluicao e de 0,5ppm.

(b) A concentracao atual e de 15 ppm e cai a uma taxa de 10% ao ano. O nıvel toleravel de poluicao e de 0,1ppm.

2. No julgamento, apesar de todos os interessados terem concordado com a multa estipulada, muitos especialistasdiscordaram do nıvel aceitavel de poluicao. Para cada um dos especialistas consultados este nıvel seria de:

Para o Professor A. Sim Tabom: 12 ppmPara o Professor E. Justo: 3 ppmPara o Professor Q. Calamidade: 2 ppmPara o Professor Q. Horror: 1 ppm

Calcule a multa que a Novoleo deveria pagar levando em conta a opiniao de cada um dos professores consultados.

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94 Cap. 6 Limite de Funcoes

3. Ainda em relacao ao julgamento, os advogados da Novoleo apelaram da sentenca alegando que a baıa ja apre-sentava um certo nıvel de poluicao antes do derramamento do Agente Oleoso. Supondo que a concentracao deagentes poluidores na baıa e normalmente de 0,1 ppm, os ambientalistas obtiveram o seguinte modelo matematicopara prever a concentracao de poluentes ao longo do tempo

p(1) = 10p(n+ 1) = 0, 1 + 0, 8 (p(n)− 0, 1)

Este modelo, em vez de levar em conta a quantidade de poluicao da baıa, estima a diferenca entre o nıvel depoluicao atual e o nıvel de poluicao natural 0,1. Em outras palavras, se o nıvel aceitavel e C, a Novoleo seramultada por cada ano no qual | p(n) − 0, 1 | ≥ C. Levando em conta este modelo, nos itens abaixo, determinepor quantos anos a Novoleo devera ser multada se

(a) o nıvel tolerado e de 0,05 ppm (b) o nıvel tolerado e de 0,01 ppm

4. A Cia. Agua Pura vende agua mineral. A demanda por seu produto e tao grande que o gerente precisou adquirir10 milhoes de litros de agua de outro fornecedor. Infelizmente, a agua que ele comprou estava contaminada porcoliformes fecais com uma concentracao de 10 ppm. Agua se torna impropria para o consumo se a concentracaode coliformes fecais e superior a 2 ppm. Para nao ter prejuızo, o gerente resolveu diluir a agua adquirida comsua propria agua pura. Que quantidade de agua pura ele deve adicionar a agua contaminada para que a misturase torne propria para o consumo?

6.11.2 Sequencia de Fibonacci

Em 1202, o matematico italiano Leonardo Pisano (1170-1230), conhecido como Fibonacci (filho de Bonaccio), famosopor ter introduzido os algarismos arabicos na Europa, formulou e resolveu o problema descrito a seguir:

“Os coelhos se reproduzem rapidamente. Admitamos que um par de coelhos adultos produza um casal de coelhosjovens todo mes, e que os coelhos recem-nascidos se tornem adultos em dois meses e produzam, por sua vez, nessaepoca, um outro casal de coelhos. Comecando com um casal jovem, de que tamanho estara a colonia apos o primeiro,segundo, terceiro,... meses?”

No final do primeiro mes ha um par de coelhos, no final do segundo mes existe ainda um unico par, no final doterceiro mes existem 2 pares, e assim por diante.

Seja an o numero de casais de coelhos no final do enesimo mes. Entao, temos a seguinte sequencia: a1 = 1, a2 = 1,a3 = 2 ... Esta e a famosa sequencia de Fibonacci.

1. Liste os primeiros sete termos da sequencia de Fibonacci.

2. Como podemos relacionar an+2 a an e an+1, para n = 1; para n = 2; para n = 3?

3. Defina an+2 em termos de an e an+1.(Relacoes desse tipo, onde o valor de an e determinado em funcao dos termos precedentes, e chamada, emmatematica, formula de recursao.)

4. Use o comando abaixo, apos substituir os pontos de interrogacao pelo valor que voce achou para an+2, paraachar a solucao desse problema.

> rsolve(a(1)=1,a(2)=1,a(n+2)=??,a(n));

5. Quantos pares de coelhos existem ao final do decimo segundo mes?

6. Mostre que a soma dos n primeiros termos de uma sequencia de Fibonacci e dada pela formula: a1 + a2 + ... +an = an+2 − 1.

7. Considere agora a sequencia rk = ak+1

ak, onde os ak’s sao os termos da sequencia de Fibonacci descrita nos itens

anteriores. Esta sequencia representa a taxa de crescimento do numero de coelhos entre o k -esimo mes e o (k+1)-esimo mes. Calcule os primeiros oito termos dessa sequencia. O que esses numeros parecem sugerir quanto ataxa de crescimento de uma colonia de coelhos desse tipo ao longo do tempo?

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W.Bianchini, A.R.Santos 95

8. Mostre que rk = 1rk−1

+ 1.

9. Use a relacao anterior para provar que se limk→∞

rk = r, entao temos que r e a solucao da equacao b2 − b− 1 = 0,

que tem uma unica raiz positiva.Sugestao Seja ck = rk − r, entao lim

k→∞ck = 0. Escreva r em funcao de ck usando a relacao obtida no item

anterior.

10. Considere a sequencia das seguintes fracoes 1 , 11+1 ,

11+ 1

1+1

, 11+ 1

1+ 11+1

, etc. Mostre que esta sequencia e igual a

sequencia 1r1, 1r2, 1r3

, etc.

11. Divida um segmento de reta AB em um ponto C tal que ABAC = AC

CB . Esta divisao e chamada secao aurea ou

divisao em media e extrema razao. A razao ABAC e igual ao numero r.

Observacao Acima demonstramos que este numero e irracional e algebrico, isto e, e raiz de uma equacaoalgebrica de coeficientes racionais. Este numero desempenha um importante papel na geometria e na estetica.O retangulo de lados AB e AC chama-se retangulo aureo e tem a seguinte propriedade: se dele retirarmos umquadrado de lado AC, o retangulo restante sera semelhante ao retangulo original. Este tipo de retangulo temsido considerado por arquitetos e artistas como o retangulo de melhores proporcoes. Exemplos do uso desse tipode retangulo na arquitetura sao encontrados desde a antiguidade ate os nossos dias. Voce e capaz de encontraralguns desses exemplos?

12. Seja l10 o comprimento do lado do decagono regular inscrito em um cırculo de raio r. Prove que l10 divide r emmedia e extrema razao.

6.11.3 Definindo e estimando o numero π

Por meio de medicoes, desde a antiguidade ja era bem conhecido o fato de ser constante a razao Cd , onde C denota

o comprimento de uma circunferencia e d o seu diametro. Notaremos esta razao com a letra grega π. Desse modo, onumero π = C

d esta bem definido.

Os babilonios e antigos hebreus usavam o numero tres para estimar esta razao. No entanto, quando os gregos, daepoca de Arquimedes (240 a.C.), comecaram a construir maquinas com engrenagens circulares, surgiu a necessidadede se obter uma estimativa melhor para π.

O metodo usado por Arquimedes para resolver este problema, ilustrado na animacao seguinte, se baseia na ob-servacao de que os perımetros dos polıgonos regulares de mesmo numero de lados, inscritos e circunscritos a umacircunferencia de diametro unitario, podem ser usados como aproximacoes, por falta e por excesso, respectivamente,para o numero π. Esta aproximacao sera cada vez melhor a medida que aumentarmos o numero de lados dos polıgonosconsiderados para este calculo. Veja a animacao no texto eletronico.

O objetivo desse projeto e provar a existencia do numero π e usar a ideia de Arquimedes para estimar o seu valor.

E possıvel construir polıgonos regulares inscritos numa circunferencia qualquer, por um processo recursivo. Sejan um numero natural maior ou igual a 2. O polıgono de 2(n+1) lados e obtido a partir do polıgono de 2n lados poruma divisao ao meio dos angulos formados pelos raios que passam pelos seus vertices. Veja a figura a seguir, ondeconstruımos, por esse processo, um octogono regular a partir do quadrado, isto e, passamos do polıgono de 22 ladospara o polıgono de 23 lados.

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96 Cap. 6 Limite de Funcoes

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–1–0.8 –0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Observe que, a medida que n cresce, a diferenca entre o apotema dos polıgonos inscritos, assim construıdos, e oraio da circunferencia torna-se arbitrariamente pequena.

Do mesmo modo e possıvel obter um polıgono regular de 2(n+1) lados, circunscrito a uma circunferencia, a partir dopolıgono de 2n lados tomando-se como um novo ponto de tangencia a intersecao da bissetriz do angulo central formadopelos raios que passam pelos pontos de tangencia de dois lados adjacentes com a circunferencia, como e mostrado nafigura a seguir.

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

–1 –0.6 0.20.40.60.8 1 1.21.4

Sejam an o apotema do polıgono regular de 2n lados inscrito numa circunferencia de raio R e pn o seu perımetro,e seja Pn o perımetro do polıgono regular de 2n lados circunscrito a mesma circunferencia.

1. Prove que pn < pn+1 qualquer que seja n natural maior ou igual a 2.

2. Prove que Pn+1 < Pn qualquer que seja n natural maior ou igual a 2.

3. Use os dois itens anteriores para concluir que pn e uma sequencia crescente e Pn e decrescente.

4. Mostre, por semelhanca de triangulos, que pn < Pn qualquer que seja n natural maior ou igual a 2 (veja figuraa seguir). Daı, conclua que pn < P4.

–1.2

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

–1 –0.6 0.20.40.60.8 1

Como pn e uma sequencia crescente e limitada, existe um numero C tal que C = limn→∞

pn. Vamos definir o

comprimento da circunferencia como sendo este numero C. Assim, podemos tornar a diferenca entre pn e C taopequena quanto quisermos, bastando para isso escolher n suficientemente grande.

5. Mostre que Pn − pn = Pn (R−an)R , e daı, usando o fato de que Pn < P4 qualquer que seja n natural maior do que

2, conclua que podemos tornar a diferenca entre Pn e pn arbitrariamente pequena, bastando para isso considerarn suficientemente grande.

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W.Bianchini, A.R.Santos 97

6. Use o fato acima para mostrar que limn→∞

Pn = C.

7. Sejam duas circunferencias de raios a e b e comprimentos Ca e Cb, respectivamente. Usando semelhanca de

triangulos, prove que pna

a = pnb

b e Pna

a = Pnb

b , onde, como anteriormente, pna e pn

b ( Pna e Pn

b ) denotam osperımetros dos polıgonos regulares de 2n lados inscritos nas (circunscritos as) circunferencias de raios a e b,respectivamente.

8. Use os itens anteriores e a unicidade do limite para provar Ca

2 a = Cb

2 b .Com isto demonstramos que a razao entre o comprimento C de uma circunferencia de raio R qualquer e o seudiametro e constante. Chamando essa razao de π, temos que C = 2π R ou, equivalentemente, π = C

2R .

9. Considere a circunferencia de raio 12 . Deduza uma formula para pn e outra para Pn, em funcao do angulo central

da circunferencia formado pelos raios que ligam dois vertices consecutivos dos polıgonos e use-a para estimar ovalor de π com erro menor do que 0, 01.

Arquimedes calculou para π um valor entre 227 e 223

71 . Os hindus e arabes (450 d.C.) chegaram ao valor de 3,1416,e Vieta (1593), trabalhando com polıgonos de 393 lados, chegou a um valor entre 3,1415926537 e 3,1415926535.Resultados mais precisos foram obtidos nos seculos XVII e XVIII usando-se a teoria das series infinitas.

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Capıtulo 7

Polinomios e Funcoes Racionais

7.1 Polinomios

Ao iniciarmos nosso estudo sobre funcoes, consideramos o problema de construir uma caixa sem tampa a partir de umpedaco quadrado de plastico maleavel de lado igual a l cm. Naquela ocasiao, vimos que uma maneira de se fazer istoera cortando pequenos quadrados nos cantos da folha e, entao, dobrando na linha pontilhada.

O problema consistia em determinar o volume de agua que esta caixa pode conter, quando completamente cheia.Vimos que uma expressao matematica que fornece tal volume e dada por V(x) = x (20− 2x)2. Esta funcao e umexemplo do que, em matematica, chamamos de polinomio. Os polinomios aparecem na resolucao de muitos problemasna vida pratica, por isso e importante estuda-los com um pouco mais de cuidado. Este capıtulo e destinado a umestudo mais aprofundado de polinomios.

Um polinomio de grau n e uma funcao da forma

p(x) = an xn + an−1 x

(n−1) + . . .+ a2 x2 + a1 x+ a0

onde n e um numero natural, os coeficientes a0, a1, . . . , an sao numeros reais conhecidos e an 6= 0.A funcao linear afim y = a x+ b, cujo grafico e uma reta e a funcao quadratica y = a x2 + b x+ c, cujo grafico e

uma parabola, sao exemplos de polinomios de primeiro grau e de segundo grau, respectivamente. O polinomio de grauzero e uma funcao constante. Cada uma das parcelas ai x

i de um polinomio e chamada de monomio de grau i .

Exercıcio 1 Dado um polinomio p(x) = an xn+an−1 x

(n−1) + . . .+a2 x2 +a1 x+a0, qual o significado geometrico

da constante a0? O que se pode afirmar quando a0 = 0?

–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x

Os exemplos mais simples de polinomios sao as funcoespotencias da forma 1, x, x2, . . . , xn.

Ao lado estao tracados, em conjunto, os graficos das seguin-tes funcoes potencia de grau ımpar f(x) = x, g(x) = x3 eh(x) = x5, respectivamente.

Exercıcio 2

– Quais sao as principais caracterısticas dos graficos dessasfuncoes?

– Observando os graficos acima, o que voce pode concluir arespeito do lim

x→∞xn e do lim

x→−∞xn, se n e ımpar?

Exercıcio 3 Observe os graficos das funcoes y = x9 e y = x9 + 3x6 + 7x4 − x, tracados na mesma janela, para−3 ≤ x ≤ 3 e −100 ≤ x ≤ 100, respectivamente.

–30

–20

–10

10

20

30

40

y

–3 –2 –1 1 2 3x

–1e+18

–8e+17

–6e+17

–4e+17

–2e+17

2e+17

4e+17

6e+17

8e+17

1e+18

–100 –80 –60 –40 –20 20 40 60 80 100x

98

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W.Bianchini, A.R.Santos 99

– O que se pode afirmar em relacao ao comportamento dessas duas funcoes quando x cresce, em valor absoluto?Ou seja, o que se pode afirmar a respeito do limite dessas duas funcoes quando x→ +∞ e quando x→ −∞?

– Verifique que este fato pode ser generalizado, isto e, um polinomio de grau ımpar se comporta como o seumonomio de maior grau quando x cresce em valor absoluto. Para isso, trace na mesma janela varios graficos demonomios e polinomios de mesmo grau para grandes valores de x.

A ultima afirmacao do exercıcio anterior pode ser facilmente demonstrada. Para isso, basta observar que:

limx→∞

a0 + a1 x+ a2 x2 + . . .+ an x

n =(

limx→∞

xn) (

limx→∞

a0

xn+

a1

x(n−1)+

a2

x(n−2)+ an

)Como o ultimo limite e igual a an, o limite do polinomio e dominado pelo limite do monomio de maior grau.A mesma analise pode ser feita para polinomios de grau par.

–0.4

–0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

y

–2 –1 1 2x

Ao lado estao tracados em conjunto os graficos das seguintesfuncoes potencia de grau par f(x) = x2, g(x) = x4 e h(x) = x6,respectivamente.

Exercıcio 4

– Quais sao as principais caracterısticas dos graficos dessasfuncoes?

– Observando os graficos acima, o que voce pode concluir arespeito do lim

x→∞xn e do lim

x→(−∞)xn, se n e par?

Exercıcio 5 Examine abaixo os graficos das funcoes y = x10 e y = x10 + 3x7 + 7x4, tracados na mesma janela,para −1 ≤ x ≤ 1 e −100 ≤ x ≤ 100, respectivamente. No segundo grafico, e possıvel distinguir as duas funcoes?

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

0

2e+19

4e+19

6e+19

8e+19

1e+20

–100 –80 –60 –40 –20 20 40 60 80 100x

– O que se pode afirmar quanto ao comportamento dessas duas funcoes, a medida em que x cresce, em valorabsoluto? Ou seja, qual o limite dessas duas funcoes quando x→ +∞ e quando x→ −∞?

– Reforce a sua intuicao tracando, na mesma janela, varios graficos de monomios e polinomios de mesmo graupara valores grandes de x, para verificar que a afirmacao acima pode ser generalizada, isto e, um polinomio degrau par se comporta como o seu monomio de maior grau quando x cresce em valor absoluto.

– Demonstre esta afirmacao. (Esta demonstracao e a mesma que foi indicada para o caso n ımpar.)

7.2 Funcoes racionais

Os polinomios podem ser, evidentemente, multiplicados por constantes, somados, subtraıdos e multiplicados, e osresultados serao novamente polinomios. No entanto, se dividirmos polinomios nem sempre obteremos outro polinomio.Esse quociente e chamado de funcao racional, isto e, uma funcao racional f(x) e do tipo

f(x) =p(x)

q(x),

onde p(x) e q(x) sao polinomios. Se o denominador q(x) for uma constante nao nula, esse quociente sera ele proprioum polinomio. Assim, os polinomios estao incluıdos entre as funcoes racionais.

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100 Cap. 7 Polinomios e Funcoes Racionais

Evidentemente, nos pontos onde q(x) = 0 a funcao f nao esta definida, portanto, o maior domınio de uma funcaoracional e constituıdo pelo conjunto de todos os numeros reais excetuando-se esses pontos. Os zeros de q(x) saochamados de polos ou pontos singulares da funcao f .

Como os polinomios, as funcoes racionais apresentam um comportamento caracterıstico quando x cresce em valorabsoluto. Alem disso, e importante tambem estudar o comportamento dessas funcoes em torno dos seus pontossingulares, pois ao redor desses pontos podem ocorrer mudancas bruscas de sinal e crescimentos ilimitados. Sao essespontos que dao origem as assıntotas verticais ao grafico de uma funcao, caso essas assıntotas existam.

O objetivo desta secao e estudar o comportamento de uma funcao racional em torno de seus pontos singularese tambem o seu comportamento no infinito. Analisaremos, separadamente, os casos em que o grau do numerador emenor, igual e maior que o grau do denominador.

Exemplo 1 Ja estudamos o comportamento das funcoes y = 1x2 e y = 1

x . Observe abaixo os seus graficos:

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

y

–3 –2 –1 1 2 3x

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

y

–3 –2 –1 1 2 3x

Repare que, nos dois casos, o polo das duas funcoes e o ponto x = 0 e que os valores das duas funcoes se tornamilimitados quando x se aproxima de 0. (A reta y = 0 e uma assıntota vertical ao grafico das funcoes.) Alem disso, nosdois casos, lim

| x |→∞f(x) = 0 e, portanto, a reta x = 0 e uma assıntota horizontal ao grafico dessas funcoes.

Este comportamento e tıpico das funcoes racionais cujo grau do numerador e menor do que o grau do denominador.Para ilustrar esta afirmacao, examinemos um outro exemplo.

Exemplo 2 Considere a funcao f(x) =x

x2 − 1. O seu maior domınio e o conjunto do todos os reais, excetuando-se

os pontos −1 e 1, que sao os seus polos.

Para estudar o comportamento dessa funcao perto dos polos e suficiente calcular limx→1+

f(x), limx→1−

f(x), limx→−1+

f(x)

e limx→−1−

f(x).

Em todos esses casos, os valores da funcao crescem sem limite, em valor absoluto. Como ja vimos, este comporta-mento se traduz, matematicamente, dizendo que a funcao tende a + ∞ ou a −∞ e ocorre sempre que os valores dodenominador se aproximarem de zero e o limite do numerador existir e for diferente de zero. (Lembre-se de que nadase pode afirmar a priori se o limite do numerador tambem for igual a zero.) O sinal dependera do sinal da fracaoquando x se aproximar do polo pela esquerda ou pela direita.

No exemplo acima temos limx→1+

x

x2 − 1= +∞, porque a fracao assume valores positivos, cada vez maiores, a

medida que x se aproxima de 1 por valores maiores que 1 e, limx→1−

x

x2 − 1= −∞, porque a fracao e negativa e assume

valores cada vez maiores, em valor absoluto, quando x se aproxima de 1 por valores menores que 1. Observe as tabelasa seguir, onde se evidencia este comportamento numericamente. A primeira mostra o comportamento numerico dafuncao quando x se aproxima de 1, pela direita, e a segunda, quando x se aproxima de 1, pela esquerda.

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W.Bianchini, A.R.Santos 101

xx

x2 − 1

1.500000000 1.2000000001.250000000 2.2222222221.125000000 4.2352941181.062500000 8.2424242421.031250000 16.246153851.015625000 32.248062021.007812500 64.249027241.003906250 128.24951271.001953125 256.24975611.000976563 512.2498780

xx

x2 − 1

1.000488281 1024.2499391.000244141 2048.2499691.000122070 4096.2499851.000061035 8192.2499921.000030518 16384.25000.5000000000 −.6666666667.7500000000 −1.714285714.8750000000 −3.733333333.9375000000 −7.741935484.9687500000 −15.74603175

xx

x2 − 1

.9843750000 −31.74803150

.9921875000 −63.74901961

.9960937500 −127.7495108

.9980468750 −255.7497556

.9990234375 −511.7498779

.9995117188 −1023.749939

.9997558594 −2047.749969

.9998779297 −4095.749985

.9999389648 −8191.749992

.9999694824 −16383.75000

As retas x = 1 e x = −1 sao assıntotas verticais ao grafico dessa funcao. Da mesma forma lim

x→−1+f(x) = +∞ e

limx→−1−

f(x) = −∞.

Estudaremos, agora, o comportamento desta funcao quando x cresce em valor absoluto. Para isso precisamoscalcular os limites da funcao quando x tende a +∞ e quando x tende a −∞. Observe abaixo os graficos desta funcaoe da funcao f(x) = 1

x .

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

y

–3 –2 –1 1 2 3x

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

y

–3 –2 –1 1 2 3x

Compare o comportamento destas duas funcoes quando |x | → +∞. Perceba que estas duas funcoes se comportamda mesma maneira quando x→ +∞ ou quando x→ −∞.

Para comprovar algebricamente este fato, basta colocar em evidencia os termos de maior grau no numerador e nodenominador da fracao e simplificar. Assim, como

x

x2 − 1=

x2 ( 1x )

x2 (1− 1x2 )

=1

x (1− 1x2 )

,

tem-se

limx→∞

x

x2 − 1= limx→∞

1

x (1− 1x2 )

= 0.

pois limx→∞

1

x= 0 e lim

x→∞

1

1− 1x2

= 1, portanto, o limite do produto e zero. (Repare que esta operacao e possıvel porque

estamos estudando o comportamento da funcao para valores grandes de x, e, portanto, estamos considerando x 6= 0.)

Da mesma forma, limx→(−∞)

x

x2 − 1= 0.

A reta y = 0 e uma assıntota horizontal ao grafico dessa funcao.

Exercıcio 1 Estude o comportamento da funcao f(x) =1

x2 + 2x+ c, no infinito e proximo aos polos, para

c = −1, 0, 1, 2 e 3, respectivamente. Determine tambem suas assıntotas verticais e horizontais, caso existam. Confirasuas conclusoes tracando o grafico dessas funcoes com a ajuda do Maple.

Exemplo 3 Considere a funcao f(x) =2x+ 1

x− 3. O domınio de f e o conjunto de todos os numeros reais,

excetuando-se x = 3. Este ponto e o seu polo. Para determinar o comportamento desta funcao nas proximidades destepolo, e preciso calcular o lim

x→3+f(x) e o lim

x→3−f(x).

Para isto, observe que quando x se aproxima de 3, quer pela direita, quer pela esquerda, o numerador da fracao seaproxima de 7 e, portanto, e positivo nos dois casos. Mas, quando x se aproxima de 3 pela esquerda, o denominador

Page 118: texto completo em PDF

102 Cap. 7 Polinomios e Funcoes Racionais

assume valores negativos cada vez mais proximos de zero, de modo que o quociente e sempre negativo e cresce emvalor absoluto, ou seja, o quociente tende a −∞.

Por outro lado, quando x se aproxima de 3 pela direita, o quociente e um numero positivo que se aproxima dezero, de modo que a fracao e positiva e crescente, ou seja, tende a +∞.

Observe, mais uma vez, as tabelas a seguir, onde o comportamento desta funcao e evidenciado numericamente. Aprimeira tabela mostra o comportamento da funcao quando x→ 3+. A segunda, quando x→ 3−.

x2x+ 1

x− 3

2.500000000 −12.2.750000000 −26.2.875000000 −54.2.937500000 −110.2.968750000 −222.2.984375000 −446.2.992187500 −894.2.996093750 −1790.2.998046875 −3582.2.999023438 −7166.

x2x+ 1

x− 3

2.999511719 −14334.2.999755859 −28670.2.999877930 −57342.2.999938965 −114686.2.999969482 −229374.3.500000000 16.3.250000000 30.3.125000000 58.3.062500000 114.3.031250000 226.

x2x+ 1

x− 3

3.015625000 450.3.007812500 898.3.003906250 1794.3.001953125 3586.3.000976563 7170.3.000488281 14338.3.000244141 28674.3.000122070 57346.3.000061035 114690.3.000030518 229378.

Estes limites indicam que a reta x = 3 e uma assıntota vertical do grafico desta funcao.Alem disso,

lim| x |→∞

2x+ 1

x+ 3= lim| x |→∞

2 + 1x

1 + 3x

e, dessa ultima expressao, e facil concluir que este limite e 2. A reta y = 2 e, portanto, uma assıntota horizontal aografico dessa funcao.

O grafico dessa funcao evidencia o seu comportamento caracterıstico.

–20

–10

0

10

20

y

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

Exemplo 4 Analisemos agora a funcao y = x2−4x . Essa funcao nao esta definida para x = 0. O seu comportamento

na vizinhanca desse ponto e traduzido pelas expressoes limx→0−

f(x) =∞ e limx→0+

f(x) = −∞. A reta x = 0 e, portanto,

uma assıntota vertical ao grafico dessa funcao. Para analisar o comportamento destsa funcao quando |x | → ∞,observe que

x2 − 4

x= x− 4

x.

Como limx→∞

4

x= 0, concluımos que

limx→∞

x2 − 4

x= limx→∞

x− limx→∞

4

x= +∞

De maneira analoga, concluımos que limx→−∞

x2 − 4

x= −∞.

No entanto, a igualdade x2−4x = x− 4

x implica que o

lim| x |→∞

(x2 − 4

x− x)

= 0.

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W.Bianchini, A.R.Santos 103

Este limite indica que, a medida que x cresce em valor absoluto, os valores da funcao se aproximam cada vez maisda reta y = x, portanto, essa reta e uma assıntota inclinada ao grafico dessa funcao. (Veja Problema 9 do Cap. 6 .)Observe a seguir o comportamento dessa funcao evidenciado pelo seu grafico tracado em conjunto com o da funcaoy = x.

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

y

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

Este comportamento e tıpico das funcoes racionais cujo grau do numerador e maior do que o grau do denominador.Quando o grau do numerador e uma unidade maior que o grau do denominador, a funcao racional tem uma assıntotainclinada. Para determinar a equacao dessa assıntota basta dividir o numerador pelo denominador, como fizemos noexemplo anterior.

De um modo geral, dada uma funcao racional do tipo

f(x) =n(x)

d(x),

se o grau de n(x) for maior ou igual ao grau de d(x), podemos dividir o numerador pelo denominador para obtern(x) = d(x) q(x) + r(x), onde o grau do resto da divisao r(x) e menor que o grau do divisor d(x). Assim, podemosescrever

f(x) = q(x) +r(x)

d(x).

Esta forma de exprimir a funcao e ideal para estudarmos o seu comportamento no infinito. Como o grau de d(x)

e maior do que o grau de r(x), temos que lim| x |→∞

r(x)

d(x)= 0, o que nos leva a concluir que

lim| x |→∞

(f(x)− q(x)) = 0,

isto e, a funcao f se comporta como a funcao q para grandes valores de x, em valor absoluto. Dizemos, neste caso,que o grafico de f(x) e assintotico ao grafico de q(x). Em outras palavras, a medida que x cresce em valor absoluto,o grafico de y = f(x) se aproxima cada vez mais do grafico de y = g(x), sem nunca chegarem a se interceptar. Se ografico de q(x) for uma reta, dizemos que esta reta e uma assıntota ao grafico de f. (Veja Problema 9 do Cap. 6 eProjeto Assıntotas e Outras Funcoes Limitantes.)

Exercıcio 2Faca a mesma analise dos exemplos anteriores para as seguintes funcoes:

1. y = xx2−4

2. y = x2

x+1

3. y = x2+1x2−1

4. y = x3−1x

7.2.1 Comportamento no infinito de funcoes racionais - Conclusao

Os exemplos anteriores indicam que o comportamento de uma funcao racional f(x) = p(x)q(x) e determinado pelo com-

portamento do quociente dos monomios de mais alto grau do numerador p(x) e do denominador q(x). Este fato podeser justificado em cada caso particular, como voce viu nos exemplos acima, colocando-se em evidencia a parcela demaior grau do numerador e do denominador. Assim, deixamos para voce mostrar que, se p(x) = a0 +a1 x+ . . .+an x

n

e q(x) = b0 + b1 x+ . . .+ bm xm, tem-se:

1. Se n < m, entao, lim| x |→∞

p(x)

q(x)= 0 .

Page 120: texto completo em PDF

104 Cap. 7 Polinomios e Funcoes Racionais

2. Se n > m, entao, lim| x |→∞

p(x)

q(x)pode ser +∞ ou −∞, dependendo dos sinais de an e bm.

3. Se n = m, entao, lim| x |→∞

p(x)

q(x)=anbm

.

7.3 Atividades de laboratorio

Utilizando o Maple e um computador, faca as atividades propostas no arquivo lab3.mws da versao eletronica destetexto.

7.4 Para voce meditar: enesima diferenca

Considere o polinomio y = x2

2 − 3x+ 52 . Vamos calcular os seus valores para x = 0, 1, 2, 3 e 4 .

> f:=x->x^2/2-3*x+5/2;

f := x→ 1

2x2 − 3x+

5

2

> x[1]:=0;x[2]:=1;x[3]:=2;x[4]:=3;x[5]:=4;

x1 := 0

x2 := 1

x3 := 2

x4 := 3

x5 := 4

> for i from 1 to 5 do y[i]:=f(x[i]) od;

y1 :=5

2

y2 := 0

y3 :=−3

2

y4 := −2

y5 :=−3

2Vamos, agora, calcular as diferencas entre dois valores consecutivos de y.

> for i from 1 to 4 do dif[i]:=y[i+1]-y[i] od;

dif 1 :=−5

2

dif 2 :=−3

2

dif 3 :=−1

2

dif 4 :=1

2

E facil ver que os pontos (xi, dif i) estao alinhados.

> plot([[x[1],dif[1]],[x[2],dif[2]],[x[3],dif[3]],[x[4],> dif[4]]]);

Page 121: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 105

–2.5

–2

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

Isto indica que se formarmos as diferencas das diferencas obteremos constantes. De fato, temos:

> for i from 1 to 3 do dif2[i]:=dif[i+1]-dif[i] od;

dif2 1 := 1

dif2 2 := 1

dif2 3 := 1

A diferenca das diferencas e chamada segunda diferenca, e nesse exemplo e constante e igual a 1.A questao que surge e se isto ocorre por acaso ou se existe uma regra para as funcoes quadraticas que garanta que

a sequencia formada pelas segundas diferencas e uma constante.

1. Prove que, se os valores de x sao igualmente espacados, as primeiras diferencas definem uma funcao linear e assegundas diferencas permanecem constantes.

2. Mostre que, para a funcao cubica f(x) = x3, se os valores de x sao igualmente espacados, as primeiras diferencasdefinem uma funcao quadratica de x, as segundas, uma funcao linear de x e as terceiras diferencas sao constantes.

3. Esta propriedade pode ser generalizada para um polinomio de grau n?Mais tarde voltaremos a este problema para mostrar como ele esta relacionado com o problema das retas tangentesa uma curva.

7.5 Projetos

7.5.1 Assıntotas e outras funcoes limitantes

Vimos ao estudar as funcoes racionais, que quando o grau do numerador e maior que o grau do denominador, a funcao

f(x) = p(x)q(x) nao tem nenhuma assıntota horizontal, pois os valores da funcao crescem sem limite quando |x| → ∞.

No entanto, como vimos no Exemplo 4 , estas funcoes podem apresentar assıntotas inclinadas, isto e, pode existiruma reta y = ax + b tal que lim

| x |→∞(f(x)− (ax + b)) = 0. Isto significa que, a medida que os valores de x crescem, em

valor absoluto, os pontos do grafico da funcao f se aproximam cada vez mais do grafico da reta y = ax + b.A questao que se coloca agora e saber se existem outras funcoes g(x), nao-lineares, tais que lim

| x |→∞(f(x)− g(x)) =

0. Nesse caso dizemos que o grafico da funcao g(x) e assintotico ao grafico da funcao f , ou que g determina ocomportamento assintotico de f .

O objetivo desse projeto e estudar o comportamento assintotico das funcoes racionais determinando a equacao dafuncao limitante.

1. Seja f(x) = x3+5 x+8x+3 .

(a) Determine a assıntota vertical ao grafico dessa funcao.

(b) Existem assıntotas horizontais?

(c) Escreva f(x) na forma f(x) = s(x) + r(x)q(x) e trace os graficos de f(x) e s(x) na mesma janela para −10 ≤

x ≤ 10 e −10 ≤ y ≤ 100. O que voce pode observar?

(d) Prove que s(x) e uma assıntota inclinada ao grafico de f .

2. Seja f(x) = 2 x4+7 x+4x+3 .

Page 122: texto completo em PDF

106 Cap. 7 Polinomios e Funcoes Racionais

(a) Determine uma funcao g tal que lim| x |→∞

(f(x)− g(x)) = 0.

(b) Trace na mesma janela os graficos de g e de f .

3. Como e possıvel reconhecer e determinar o comportamento assintotico de uma funcao racional?

4. Use a sua conclusao para determinar a funcao limitante de f(x) = x3−x2+6 x−22 x−2 e trace o grafico de f e de sua

funcao limitante na mesma janela.

5. Determine uma funcao f(x) que seja assintotica a q(x) = x + 1 e que tenha uma assıntota vertical em x = 0.Trace o grafico dessas duas funcoes na mesma janela.

6. Determine uma funcao f(x) que seja assintotica a q(x) = x2 − 2x e tenha uma assıntota vertical em x = 2.Trace o grafico dessas duas funcoes na mesma janela.

7. Determine as condicoes sobre uma funcao racional que garantam

(a) a existencia de uma assıntota inclinada.

(b) a existencia de uma funcao assintotica nao-linear.

(c) De exemplos de cada um dos casos.

7.5.2 Interpolacao de Lagrange e ajuste de curvas

Nas atividades de laboratorio aprendemos como utilizar o Maple para encontrar a equacao do polinomio que passapor um certo conjunto de pontos. Como um polinomio de grau n tem n+ 1 coeficientes, e necessario conhecer, pelomenos, n+ 1 pontos desse polinomio para que possamos determinar a sua equacao, isto e, para determinar uma retaprecisamos conhecer dois de seus pontos, para determinar uma parabola da forma y = a x2 + b x+ c sao necessariostres pontos e assim por diante.

Nesse caso, para determinar os coeficientes do polinomio, precisamos resolver um sistema linear de n+ 1 equacoes eigual numero de incognitas. Se esse sistema for determinado, o problema esta resolvido. Entretanto, resolver sistemasde equacoes e um processo muito caro computacionalmente, em termos de dispendio de tempo e de memoria, por issooutras abordagens sao utilizadas.

O objetivo desse projeto e descrever a tecnica chamada de Interpolacao de Lagrange para resolver este problema.Esta tecnica foi desenvolvida por Joseph L. Lagrange (1736-1813), um dos primeiros matematicos a demonstrar oTeorema do Valor Medio e um dos fundadores do Calculo das Variacoes. A ideia e descrita a seguir.

Suponha que se deseja determinar o polinomio de grau n que passa por n+ 1 pontos (xi, yi) dados. Para cada umdos pontos xi e facil construir um polinomio pi tal que pi(xi) = yi e pi(xj) = 0 para todo j 6= i.

Esse polinomio sera da forma pi(x) =∏n+1j=1 A (x− xj), j 6= i onde a constante A e determinada pela condicao

pi(xi) = yi. O polinomio p =

n+1∑i=1

pi(x) sera o polinomio que procuramos. Os pontos usados nessa construcao sao

chamados de nos. O exemplo a seguir ilustra essa tecnica.

Problema : Determinar a parabola que passa pelos pontos (1, 0.346), (2, 0.974) e (3, 0.141).Primeiro vamos definir os valores dos pontos:

> valores_x:=[1,2,3]:

> valores_y:=[0.346,0.974,0.141]:

Qualquer polinomio com zeros nos pontos x = 2 e x = 3 e multiplo de (x− 2)(x− 3). Assim temos:

> p[1]:=x->A[1]*(x-2)*(x-3);

p1 := x→ A1 (x− 2) (x− 3)

Para determinar o valor de A, usamos a condicao p1(x1) = y1:

> A[1]:=solve(p[1](valores_x[1])=valores_y[1],A[1]);

A1 := .1730000000

Page 123: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 107

Procedendo da mesma maneira para os outros pontos, obtemos:

> p[2]:=x->A[2]*(x-1)*(x-3);

p2 := x→ A2 (x− 1) (x− 3)

> A[2]:=solve(p[2](valores_x[2])=valores_y[2],A[2]);

A2 := −.9740000000

> p[3]:=x->A[3]*(x-1)*(x-2);

p3 := x→ A3 (x− 1) (x− 2)

> A[3]:=solve(p[3](valores_x[3])=valores_y[3],A[3]);

A3 := .07050000000

A parabola que queremos e a soma dos tres polinomios obtidos acima:

> p[1]:=A[1]*(x-2)*(x-3);

p1 := .1730000000 (x− 2) (x− 3)

> p[2]:=A[2]*(x-1)*(x-3);

p2 := −.9740000000 (x− 1) (x− 3)

> p[3]:=A[3]*(x-1)*(x-2);

p3 := .07050000000 (x− 1) (x− 2)

> Lagrange:=expand(sum(p[i],i=1..3));

Lagrange := −.7305000000x2 + 2.819500000x− 1.743000000

Vamos verificar que este e o polinomio que queremos:

> f:=unapply(Lagrange,x);

f := x→ −.7305000000x2 + 2.819500000x− 1.743000000

> f(1);

.346000000

> f(2);

.974000000

> f(3);

.141000000

1. Usando a Interpolacao de Lagrange, ache a funcao polinomial de quarto grau determinada pelos pontos (−5, 1630),(−2, 15), (0, 3), (3, 630) e (6, 7215).

2. O Maple faz interpolacoes automaticamente com o comando interp(valores x, valores y,x). Use esse co-mando para conferir a resposta obtida para o item anterior.

Na verdade, as unicas funcoes cujos valores sabemos calcular por meio de um numero finito de operacoes elementares(adicoes, multiplicacoes e suas inversas) sao os polinomios, por isso eles sao usados, em geral, para aproximar outrasfuncoes, tais como funcoes trigonometricas e exponenciais, cujos valores nao podem ser calculados diretamente. Paraanalisar como esse metodo funciona, vamos comparar a funcao y = x

x2+1 com diferentes interpolacoes por polinomios.

Em primeiro lugar, vamos definir a funcao f :

> f:=x->x/(x^2+1);

f := x→ x

x2 + 1

A seguir, escolhemos os pontos que serao os nos da interpolacao e calculamos o valor de f nesses pontos:

> valores_x:=[0,2,4];

valores x := [0, 2, 4]

Page 124: texto completo em PDF

108 Cap. 7 Polinomios e Funcoes Racionais

> valores_y:=map(f,valores_x);

valores y := [0,2

5,

4

17]

> L2:=interp(valores_x,valores_y,x);

L2 := − 6

85x2 +

29

85x

Vamos agora comparar as duas funcoes tracando os seus graficos na mesma janela:

> plot([f(x),L2],x=-1..5);

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

–1 1 2 3 4 5x

Aumentando o numero de pontos havera mais valores onde a funcao f e a sua interpolacao polinomial coincidirao:

> valores_x:=[0,1,2,3,4];

valores x := [0, 1, 2, 3, 4]

> valores_y:=map(f,valores_x);

valores y := [0,1

2,

2

5,

3

10,

4

17]

> L4:=interp(valores_x,valores_y,x);

L4 := − 2

85x4 +

41

170x3 − 73

85x2 +

97

85x

> plot([f(x),L4],x=-1..5,y=-1..1,color=black);

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

–1 1 2 3 4 5x

Essa parece ser uma aproximacao melhor para a funcao f definida acima?

Aumentando o numero de pontos considerados na interpolacao, podemos melhorar a aproximacao produzida. Destavez, em vez de considerarmos os nos igualmente espacados, vamos aumentar o numero de nos, no intervalo onde afuncao muda mais rapidamente:

> valores_x:=[0,0.3,0.6,1,1.3,1.6,2,3,4];

valores x := [0, .3, .6, 1, 1.3, 1.6, 2, 3, 4]

> valores_y:=map(f,valores_x);

valores y := [0, .2752293578, .4411764706,1

2, .4832713755, .4494382022,

2

5,

3

10,

4

17]

> L8:=interp(valores_x,valores_y,x);

Page 125: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 109

L8 := .005211224118x8 − .07569373843x7 + .4527348679x6 − 1.438481276x5

+ 2.562033154x4 − 2.306532380x3 + .3346833462x2 + .9660448014x

Veja o resultado obtido, graficamente:

> plot([f(x),L3],x=-1..5,y=-1..1);

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

–1 1 2 3 4 5x

1. Tendo em vista que a funcao f , definida acima, tem uma assıntota horizontal, o que se pode esperar de umainterpolacao polinomial para essa funcao para grandes valores, positivos ou negativos, de x?

2. A ultima aproximacao obtida e consideravelmente melhor que a anterior? Para responder a essa pergunta tracevarios graficos da funcao y = |f(x)− Lk| para estimar o erro maximo que cometemos no caso de aproximarmosf por polinomios de grau 2, 4, 8 e 12, respectivamente, e conclua se L12 e uma aproximacao significativamentemelhor que L7 ou L4. Essa medida para o erro e chamada norma do supremo.

3. Por meio desse processo, sempre e possıvel obter uma boa aproximacao para qualquer funcao sobre um intervalofixado. Escolha criteriosamente os nos para obter uma aproximacao polinomial para a funcao y = cos(2π x),com erro menor que 0, 01, no intervalo [0, 5]. Use a norma do supremo para estimar o erro cometido.

Page 126: texto completo em PDF

Capıtulo 8

Continuidade

8.1 Discussao informal e intuitiva sobre continuidade

Considere os seguintes exemplos:

f(x) =1

2x3 +

1

2x2 + 5

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

–2 –1 0 1 2 3x

g(x) =

4− 1

2x2, para x ≤ 2

x+ 2, para x > 2

0

1

2

3

4

5

6

y

–2 –1 1 2 3 4x

A principal caracterıstica geometrica que distingue o primeiro grafico do segundo e que o primeiro tem um tracadocontınuo (com isso queremos dizer, intuitivamente, que podemos tracar este grafico “sem tirar o lapis do papel”),enquanto no segundo ha um salto, ou seja, ha uma “descontinuidade” ou “quebra” no tracado do grafico para x = 2.

O objetivo desta secao e definir, matematicamente, o que entendemos por continuidade.

Voltando aos exemplos acima, no primeiro grafico observamos que, para qualquer ponto x0 escolhido, quando x seaproxima de x0, quer pela direita, quer pela esquerda, os valores correspondentes da funcao f(x), se aproximam def(x0).

Como ja vimos, esta afirmacao se traduz matematicamente pela expressao limx→x0

f(x) = f(x0). Esta propriedade

nao vale qualquer que seja a funcao f . No segundo exemplo, quando x se aproxima de 2 pela esquerda, g(x) seaproxima de 2, que e igual ao valor da funcao g calculada no ponto x = 2. No entanto, quando x se aproxima de 2 porvalores maiores que 2 (pela direita), g(x) se aproxima de 4, que e diferente de g(2). Observe nos diagramas a seguir ailustracao destas afirmacoes.

–2

0

2

4

6

8

–2 –1 1 2

0

1

2

3

4

5

6

–2 –1 1 2 3 4

Execute as animacoes correspondentes na versao eletronica para outros pontos x0 e observe que a condicaolimx→x0

f(x) = f(x0) continua valendo, qualquer que seja x0 no primeiro caso, e que esta condicao falha somente

no ponto x0 = 2, no segundo.Assim, a caracterıstica geometrica de nao haver “quebras” ou “interrupcoes” em um determinado ponto (x0, f(x0))

no tracado da curva que representa o grafico de uma funcao f , isto e, o fato de o grafico de f ser representado poruma curva contınua em um certo intervalo (a,b), pode ser descrito afirmando-se que “quanto mais proximo x estiverde x0, mais proximo f(x) estara de f(x0)”, o que, como ja vimos, significa dizer em linguagem matematica quelimx→x0

f(x) = f(x0), qualquer que seja o ponto x0 no intervalo (a, b).

Estas observacoes conduzem, naturalmente a definicao a seguir.

110

Page 127: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 111

8.2 Definicao de continuidade

Dizemos que uma funcao f e contınua em um ponto x0 se:

(i) Existe f(x0)

(ii) Existe o limx→x0

f(x)

(iii) limx→x0

f(x) = f(x0)

A condicao (i) nos diz que o ponto x0 e um ponto do domınio de f. Portanto, podemos resumir a definicao decontinuidade dizendo que f e contınua em um ponto de seu domınio se lim

x→x0

f(x) = f(x0).

Esta definicao se refere a continuidade de uma funcao em um ponto, mas o conceito de continuidade comeca a ficarrealmente interessante quando estudamos as funcoes que sao contınuas em todos os pontos de algum intervalo. Assim,se f e contınua em x0, qualquer que seja o ponto x0 em um certo intervalo (a, b), dizemos que f e contınua em (a, b).Do mesmo modo podemos definir as funcoes que sao contınuas em toda a reta.

No caso de um intervalo fechado [a, b], dizemos que f e contınua em [a, b] se

(i) f e contınua em (a,b)

(ii) limx→a+

f(x) = f(a)

(iii) limx→b−

f(x) = f(b).

Da mesma maneira, a funcao f sera contınua na uniao de intervalos se as tres condicoes acima forem validas paracada um dos intervalos considerados.

Funcoes contınuas em intervalos sao usualmente consideradas como especialmente “bem comportadas”. Na rea-lidade, continuidade e a primeira condicao a ser exigida para que uma funcao seja considerada “razoavelmente bemcomportada”. Neste sentido, funcoes contınuas sao definidas, intuitivamente, como aquelas cujos graficos podem sertracados sem “tirarmos o lapis do papel”.

Examinando a funcao y = x sen( 1x ) ao lado, vemos que a des-

cricao intuitiva de continuidade e um pouco otimista (por que?)e que por isso devemos, alem de usar a nossa intuicao, por me-lhor que ela seja, sempre apoiar as nossas conclusoes em definicoesmatematicas precisas ou em resultados ja demonstrados a partirdessas definicoes.

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

–2 –1 1 2x

Existem muitos resultados importantes envolvendo funcoes que sao contınuas em intervalos. Estes teoremas, emgeral, sao muito mais difıceis de demonstrar rigorosamente (veja secao: Propriedades Especiais das Funcoes Contınuas)do que os resultados enunciados a seguir, que lidam com continuidade em um unico ponto.

A maioria destes ultimos resultados decorre, imediatamente, das regras operatorias envolvendo limites. No entanto,existe um teorema simples que faz a ligacao entre continuidade em um ponto e o comportamento da funcao num certointervalo. (Veja Propriedade da Manutencao do Sinal para Funcoes Contınuas.)

Exercıcio 1

1. Usando a definicao de funcao contınua e as propriedades operatorias de limite vistas no Cap. 6, prove que asoma e o produto de funcoes contınuas sao funcoes contınuas.

2. Se g(x0) 6= 0, prove que fg e contınua em x = x0 (veja proxima secao).

3. Decida se a funcao g definida como sendo 1 para os valores de x maiores ou iguais a zero e −1 para os valoresde x menores que zero e contınua em x = 0.

Exemplo 1 Polinomios Pelo Exercıcio 1, as funcoes polinomiais sao contınuas em toda reta real, isto e, estasfuncoes sao contınuas em qualquer ponto x ∈ R.

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112 Cap. 8 Continuidade

8.3 Funcoes racionais e tipos de descontinuidade

Se p(x) e q(x) sao polinomios, entao as regras para limite e a continuidade dos polinomios implicam que

limx→x0

p(x)

q(x)=

limx→x0

p(x)

limx→x0

q(x)=p(x0)

q(x0),

desde que q(x0) 6= 0.

Assim, toda funcao racional f(x) =p(x)

q(x)e contınua em todos os pontos de seu domınio, isto e, estas funcoes

sao contınuas em todos os pontos da reta, exceto em seus polos. Nestes casos, dizemos que a funcao racional nao econtınua ou e descontınua naquele ponto.

Existem diversos tipos de descontinuidades. Os exemplos a seguir abordam este problema.

Exemplo 1 Descontinuidade removıvel

Considere a funcao g(x) = x2−4x−2 . Abaixo, com a ajuda do Maple, tracamos o grafico desta funcao.

> g:=x->(x^2-4)/(x-2);

g := x→ x2 − 4

x− 2> plot(g(x),x=-2..4);

0

1

2

3

4

5

6

–2 –1 1 2 3 4x

Embora o ponto x = 2 seja um polo da funcao g, isto e, embora g nao esteja definida em x = 2, o grafico sugereque o lim

x→2g(x) = 4. Repare que o Maple ignora o fato de a funcao g nao estar definida em x = 2 e traca o seu grafico

como uma linha contınua.

6.

5.

4.

3.

2.

1.

4.3.2.1.0

6.

5.

4.

3.

2.

1.

4.3.2.1.0

6.

5.

4.

3.

2.

1.

4.3.2.1.0

6.

5.

4.

3.

2.

1.

4.3.2.1.0

6.

5.

4.

3.

2.

1.

4.3.2.1.0

6.

5.

4.

3.

2.

1.

4.3.2.1.0

O diagrama ao lado ressalta o fato de que, em-bora g nao esteja definida em x = 2, o limite nesseponto existe e e igual a 4.

Entender o que leva o Maple a ignorar que gnao esta definida em x = 2 e tracar o graficodessa funcao como uma linha contınua nos forneceuma pista bastante boa sobre o comportamentocaracterıstico desta funcao nas proximidades desteponto.

Observe que na fracao x2−4x−2 , x − 2 e um fator

tanto do denominador quanto do numerador, poisx2 − 4 = (x− 2) (x+ 2). Antes de tracar o graficodessa funcao, o Maple simplifica a expressao que adefine e obtem

x2 − 4

x− 2= x+ 2 .

Repare que a simplificacao acima e valida desde que x 6= 2. As funcoes x2−4x−2 e x+ 2 coincidem em todos os pontos

da reta real, exceto em x = 2, onde a primeira funcao nao esta definida.

O grafico de g(x) = x2−4x−2 , obtido com a ajuda do Maple, e as observacoes anteriores sugerem que existe uma funcao

contınua h, definida em toda a reta real, tal que h(x) = g(x) em todos os pontos do domınio de g, isto e, h coincidecom g em toda a reta, exceto no ponto x = 2. A funcao h pode ser definida da seguinte maneira:

h(x) =

g(x) = x+ 2 , se x 6= 24 = lim

x→2g(x) , se x = 2

Observe que o Maple tracou o grafico desta funcao h, e nao da funcao g original.

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W.Bianchini, A.R.Santos 113

Dizemos, nesse caso, que a funcao g tem uma descontinuidade removıvel em x = 2. Este tipo de descontinuidadeocorre quando existe o limite da funcao no ponto em questao, mas, ou a funcao nao esta definida, ou o seu valor ediferente do limite neste ponto. Podemos, entao, “remover” essa descontinuidade definindo, a partir de g, uma novafuncao cujo valor no ponto em questao seja igual ao limite da funcao nesse mesmo ponto, como fizemos.

Exemplo 2 Descontinuidade infinita

Considere agora a funcao p(x) = x2+1x−1 . Esta funcao se comporta, nas proximidades do polo, de uma maneira

completamente diferente da funcao g estudada no exemplo anterior. Observe o grafico de p, tracado com a ajuda doMaple.

> p:=x->(x^2+1)/(x-1);

p := x→ x2 + 1

x− 1> plot(p(x),x=-5..5,y=-5..10);

–4

–2

2

4

6

8

10

y

–4 –2 2 4x

Repare que neste exemplo o numerador e o denominador nao tem fatores comuns, mas, como o grau do numeradore maior que o grau do denominador, podemos efetuar a divisao e escrever p(x) na forma

p(x) = (x+ 1) +2

x− 1.

Assim, podemos ver claramente que quando x → 1+, p(x) → +∞, e quando x → 1−, p(x) → −∞. Neste casodizemos que p apresenta uma descontinuidade infinita em x = 1. Observe estas afirmacoes ilustradas nos diagramas aseguir.

–20

–10

0

10

20

–4 –2 2 4x

–20

–10

0

10

20

–4 –2 2 4x

ConclusoesConsidere uma funcao racional geral f(x) = p(x)

q(x) e um ponto x = x0 tal que q(x0) = 0.

Os exemplos anteriores nos ajudam a concluir que existem duas possibilidades a serem consideradas:

(i) Se p(x0) 6= 0, entao f tem uma descontinuidade infinita em x = x0.

(ii) Se p(x0) = 0, f pode ter uma descontinuidade removıvel em x = x0.

Alem destes tipos de descontinuidade, existe ainda um outro tipo, que e ilustrado no seguinte exemplo:

Exemplo 3 Descontinuidade essencial de salto

Considere a funcao f(x) =

4− x2 se x ≤ 2x− 1 se x > 2

.

Nesse caso, notamos que, embora a funcao seja definida no ponto 2, nao existe limx→2

f(x), pois limx→2−

f(x) = 0

e limx→2+

f(x) = 1. Veja os graficos a seguir, que evidenciam este fato. Observe que, nesse caso, como os limites

laterais existem, sao finitos mas diferentes, nao importa qual seja o valor de f(2), a funcao sempre apresentara umadescontinuidade nesse ponto. Por esse motivo, dizemos que a funcao f apresenta, nesse ponto, uma descontinuidadeessencial de salto. (Esta terminologia enfatiza o fato de o grafico da funcao apresentar neste um ponto um “salto” ou“pulo” finito.)

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114 Cap. 8 Continuidade

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2 3 4x

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2 3 4

Exemplo 4 Usando o Maple para estudar a continuidade de uma funcao

Neste exemplo, mostramos como usar o Maple para estudar a continuidade de uma funcao em um ponto.

Vamos verificar se a funcao f(x) =2x7 − 4x5 + 2

x3 − x2 + x− 1e contınua no ponto x = 1. Caso a funcao seja descontınua

nesse ponto, vamos classificar o tipo de descontinuidade e, se possıvel, definir uma funcao g , contınua em x = 1, quecoincida com f em todos os pontos exceto em x = 1. Comecamos por definir e tracar o grafico desta funcao com aajuda do Maple.

> f:=x->(2*x^7-4*x^5+2)/(x^3-x^2+x-1);

f := x→ 2x7 − 4x5 + 2

x3 − x2 + x− 1> plot(f(x),x=-2..2,y=-5..5);

–4

–2

0

2

4

y

–2 –1 1 2x

Chamando de p e q, respectivamente, o numerador e o denominador desta funcao e fatorando numerador e deno-minador, temos que

> p:=numer(f(x)):

> q:=denom(f(x)):

> factor(p);

2 (x− 1) (x3 + x2 + 1) (x3 − x− 1)

> factor(q);

(x− 1) (x2 + 1)

Assim o numerador p(x) = 2x7 − 4x5 + 2 = 2 (x − 1) (x3 − x − 1) (x3 + x2 + 1) e o denominador q(x) =x3 − x2 + x− 1 = (x− 1) (x2 + 1) apresentam (x− 1) como fator comum e, portanto, f(x) tem uma descontinuidaderemovıvel em x = 1 (como sugeria o grafico, tracado com a ajuda do Maple!).

Definamos, entao, a funcao g cancelando este fator comum e a seguir calculemos limx→1

g(x) e g(1).

> g:=normal(p/q);

g := 2x6 + x5 − x4 − x3 − x2 − x− 1

x2 + 1

> g:=unapply(g,x);

g := x→ 2x6 + x5 − x4 − x3 − x2 − x− 1

x2 + 1

> g(1);

−3

> limit(g(x),x=1);

−3

Como limx→1

g(x) = g(1), temos que g e contınua em x = 1 e, alem disso, g(x) = f(x) para todo x 6= 1.

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W.Bianchini, A.R.Santos 115

8.4 Composicao de funcoes e continuidade

Frequentemente nos deparamos com funcoes cujas expressoes nos parecem “complicadas”, mas que na verdade sao oque chamamos de composicao de funcoes. O problema abaixo ilustra, por meio de um exemplo simples, a composicaode funcoes.

ProblemaConsidere um quadrado cujo lado tem x cm de comprimento. Sua area A, entao, e uma funcao de x cuja expressao

analıtica e dada por A = A(x) = x2. Suponha, agora, que o comprimento do lado varie com o tempo t, dado emsegundos, e seja, portanto, uma funcao de t. Por exemplo, x = x(t) = 5 t+ 1. Assim, a area A do quadrado tambemvaria com o tempo, ou seja, A = A(x ) = A(x (t)) = (5 t+ 1)2.

A funcao A(x(t)) = (5 t+1)2 e o que chamamos de funcao composta formada pela composicao da funcao quadraticaA(x) = x2 com a funcao linear x(t) = 5 t+ 1.

DefinicaoDe um modo geral, dadas as funcoes y = f(x) e y = g(x), a funcao composta h = g f e definida por

h(x) = (g f)(x) = g(f(x)).

Repare que esta definicao so faz sentido se a imagem de f estiver contida no domınio de g.Repare tambem que, em geral, g f 6= f g, como acontece no exemplo abaixo.

Exemplo 1 Considere as funcoes g(x) = 3x2 + 2 e f(x) =√x. Entao:

(g f)(x) = g(f(x)) = g(√x) = 3(

√x)2 + 2 = 3x+ 2,

(f g)(x) = f(g(x)) = f(3x2 + 2) =√

3x2 + 2.

Claramente, g f 6= f g, neste caso.

Usando o Maple, podemos compor funcoes utilizando o sımbolo @ . Assim, podemos fazer as composicoes doexemplo anterior da seguinte maneira:

> f:=x->x^(1/2);

f := x→√x

> g:=x->3*x^2+2;

g := x→ 3x2 + 2

> (g@f)(x);

3x+ 2

> (f@g)(x);√

3x2 + 2.

Exercıcio 3 Determine o maior domınio onde as funcoes desse exemplo estao definidas.

8.4.1 Continuidade da funcao composta

A composta de duas funcoes contınuas e uma funcao contınua. Mais precisamente, se f e contınua em x0 e g e contınuaem f(x0), entao, g f e contınua em x0. Assim, podemos escrever

limx→x0

g(f(x)) = g(f(x0)) = g( limx→x0

f(x)).

A demonstracao deste fato decorre do uso apropriado da definicao de limite e e deixada como exercıcio (Veja ademonstracao do teorema 9 da secao 6.3).

Exercıcio 4 Seja f uma funcao contınua e n um inteiro positivo. Mostre que limx→a

f(x)( 1n ) =

(limx→a

f(x))( 1

n )

,

onde n e par se limx→a

f(x) > 0.

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116 Cap. 8 Continuidade

Exemplo 2 Considere as funcoes f(x) = x+| x |2 e g(x) =

x x < 0x2 x ≥ 0

. Vamos mostrar, usando o Maple, que a

funcao f o g e contınua em toda a reta real.

Primeiro definimos f e g e calculamos a composta f o g:

> f:=x->(x+abs(x))/2;

f := x→ 1

2x+

1

2|x|

> g:=x->piecewise(x<0,x,x>=0,x^2);

g := x→ piecewise(x < 0, x, 0 ≤ x, x2)

> (f@g)(x);

1

2(

x, x < 0x2, 0 ≤ x ) +

1

2(

−x, x ≤ 0x2, 0 < x

)

> simplify(%); 0, x ≤ 0x2, 0 < x

A seguir, tracamos o seu grafico:

> plot((f@g)(x),x=-2..2,axes=boxed);

0

1

2

3

4

–1 0 1 2x

Na realidade, se tivessemos observado que tanto f como g sao funcoes contınuas em toda a reta real, usando oresultado que enunciamos acima sobre continuidade da funcao composta poderıamos ter concluıdo de imediato, semprecisar calcular explicitamente f o g, que esta ultima funcao e contınua em toda a reta real. Para comprovarmosfacilmente que as funcoes f e g sao contınuas em toda a reta, basta observarmos seus graficos a seguir (o de f aesquerda e o de g a direita) e que estas funcoes sao contınuas em x = 0, sendo, portanto, contınuas em toda a reta.(Por que?)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

–1 0 1 2x

–2

–1

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2x

Exercıcio 5 Em cada um dos itens abaixo, determine para quais valores de x as funcoes compostas g f ef g sao contınuas:

(a) f(x) =x+ |x |

2e g(x) =

x x < 0x2 x ≥ 0

(b) f(x) =

1 |x | ≤ 10 |x | > 1

e g(x) =

2− x2 |x | ≤ 22 |x | > 2

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W.Bianchini, A.R.Santos 117

8.5 Propriedades especiais das funcoes contınuas

Apresentamos, a seguir, algumas propriedades especiais de funcoes contınuas que sao usadas frequentemente em calculo.Embora essas propriedades parecam obvias quando interpretadas geometricamente, suas demonstracoes rigorosas saomuito mais difıceis do que sua interpretacao geometrica leva a crer.

Bernard Bolzano (1781-1848), matematico alemao, foi um dos primeiros a reconhecer que essas propriedades sobrefuncoes contınuas, que parecem “obvias”, necessitavam de uma demonstracao matematica rigorosa. Suas observacoessobre continuidade foram publicadas em 1850 em um importante livro para a epoca, chamado Paradoxien des Unan-dlichen.

As demonstracoes das propriedades que enunciamos e exemplificamos a seguir se encontram no Apendice A.

Teorema de Bolzano Se f e uma funcao contınua sobre um intervalo fechado [a, b], e f(a) e f(b) tem sinais

contrarios, entao, existe pelo menos um ponto c ∈ (a, b), tal que f(c) = 0.

Essa propriedade foi demonstrada como um teorema e publicada por Bolzano em 1817 e e conhecida, agora, comoTeorema de Bolzano. Veja este teorema ilustrado no seguinte grafico:

f(a)

f(b)

bca

Essa propriedade e muito usada para garantir a existencia de raızes de uma equacao da forma f(x) = 0 em umdado intervalo. (Veja projeto Encontrando as raızes de uma equacao: Metodo da Bissecao)

A demonstracao do teorema de Bolzano e baseada em outra propriedade evidente, do ponto de vista geometrico,das funcoes contınuas:

Propriedade da manutencao do sinal para funcoes contınuas

Seja f uma funcao contınua em um ponto c e suponha que f(c) 6= 0. Entao, existe uma vizinhanca de c, isto e, umintervalo aberto I da forma (c− δ, c+ δ), com δ > 0, tal que f(x) tem o mesmo sinal de f(c), para todo ponto x ∈ I.

Veja a interpretacao geometrica dessa propriedade ilustrada a seguir:

δδ c+c-

f(c)

c

Esse teorema, ao contrario dos outros, e facilmente demonstrado usando-se a definicao formal de limites:Demonstracao Vamos supor, primeiramente, que f(c) > 0.Sabemos que, por hipotese, f e contınua em c. Queremos demonstrar que existe um intervalo I, do tipo (c−δ, c+δ),

com δ > 0 tal que f(x) > 0 qualquer que seja x pertencente a este intervalo. Esta ultima afirmacao e equivalente adizer que existe um numero δ > 0 tal que f(x) > 0 para todo x que satisfaca a desigualdade |x− c | < δ.

Como f e contınua em c, sabemos que limx→c

f(x) = f(c), ou seja, dado ε > 0, existe um δ > 0 tal que | f(x)− f(c) | <ε para todo x que satisfaca |x− c | < δ.

Seja ε = f(c) > 0. Entao, pela definicao de limite, sabemos que existe um δ > 0 tal que | f(x)− f(c) | < f(c) paratodo x no intervalo (c− δ, c+ δ).

Mas | f(x)− f(c) | < f(c) ⇒ 0 < f(x) < 2 f(c), isto e, existe um numero positivo δ tal que f(x) > 0 para todo xno intervalo (c− δ, c+ δ), como querıamos demonstrar.

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118 Cap. 8 Continuidade

No caso em que f(c) < 0, basta, na demonstracao acima, escolher ε = −f(c) > 0.

Uma consequencia imediata do teorema de Bolzano e o teorema do valor intermediario para funcoes contınuasenunciado a seguir.

Teorema do valor intermediario

Seja f uma funcao contınua definida em [a, b]. Escolha pontos arbitrarios m e n em [a, b], tal que f(m) < f(n).Entao, f assume todos os valores entre f(m) e f(n), isto e, se k e um numero tal que f(m) < k < f(n), entao, existepelo menos um numero c ∈ (m,n), tal que f(c) = k.

Vamos ilustrar algebricamente este teorema. Considere a funcao f(x) = x2 − 5 definida no intervalo [3, 4]. Comoesta funcao e contınua neste intervalo e alem disso f(3) = 4 e f(4) = 11, o teorema acima garante que, qualquer queseja o numero k, escolhido entre 4 e 11, existe um numero x, entre 3 e 4, tal que f(x) = k , isto e, a equacao x2 − 5 = ktem solucao, qualquer que seja o numero k entre 4 e 11.

Geometricamente, o Teorema do Valor Intermediario afirma que se f e contınua em algum intervalo fechadocontendo os pontos m e n e que se escolhemos um numero k, no eixo y, entre f(m) e f(n), a reta horizontal que passapor k deve cortar o grafico de f em algum ponto (c, f(c)) cuja coordenada c e um ponto entre m e n. Veja o graficoa seguir e, na versao eletronica, com a ajuda do Maple, veja a animacao que ilustra o significado geometrico desseteorema.

c

K

f(n)

f(m)

nm c

K

f(n)

f(m)

nm c

K

f(n)

f(m)

nm c

K

f(n)

f(m)

nm c

K

f(n)

f(m)

nm c

K

f(n)

f(m)

nm c

K

f(n)

f(m)

nm c

K

f(n)

f(m)

nm c

K

f(n)

f(m)

nm c

K

f(n)

f(m)

nm c

K

f(n)

f(m)

nm c

K

f(n)

f(m)

nm

Esta e uma outra maneira de dizer que o grafico de f nao tem “saltos” nem “buracos” e sugere, uma vez mais, anocao intuitiva de que o grafico de uma funcao contınua pode ser tracado sem “tirar o lapis do papel”.

h(a)= –1

ba

–2

0

2

4

6

8

–1 1 2 3 4x

Agora, considere a funcao h definida como

h(x) =

x2 − x+ 2 se 1 < x ≤ 4−1 se x = 1

.

Observe que h nao e contınua em a = 1 e que, qualquer queseja k ∈ (−1, 2), nao existe nenhum c ∈ (1, 4), tal que h(c) =k. A continuidade nos extremos do intervalo e uma condicaonecessaria para que valha o teorema do valor intermediario. Oexemplo acima mostra que esta condicao e essencial, tambem,para que o teorema de Bolzano seja valido.

Exercıcio 5 Considere a funcao f(x) = x2. Use o teorema acima para provar que existe um numero c entre 1 e2 tal que f(c) = 2, isto e, prove que existe um numero real c, entre 1 e 2, cujo quadrado e dois e, portanto, existe araiz quadrada de 2.

8.6 Problemas propostos

1. Tomando como base o grafico da funcao f , dado a seguir,

(a) determine os pontos de descontinuidade de f .

(b) para cada um dos pontos determinados no item anterior, classifique o tipo de descontinuidade apresentada.

Page 135: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 119

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

2. Uma peca de metal cilındrica deve ter uma secao reta com 30 cm de diametro, e o erro permitido na area destasecao nao deve ultrapassar 5 cm2. Quao cuidadosamente se deve medir o diametro para que a peca fabricadaesteja dentro das especificacoes tecnicas requeridas.

3. Em cada um dos itens abaixo, determine o maior domınio de continuidade da funcao f , isto e, determine o maiorconjunto possıvel onde a funcao seja contınua. Para cada ponto x0 onde a funcao f nao seja contınua, decida see possıvel atribuir um valor a f(x0) que torne a funcao contınua em x0.

(a) f(x) = 1−x1−x2

(b) f(x) = 1−x(2−x)2

(c) f(x) = x2+x−2x2+2 x−3

(d) f(x) =|x2−1|x2−1

(e) f(x) = x√4−x2

(f) f(x) =

−x , x < 0x2 , x > 0

(g) f(x) =

x+ 1 , x < 13− x , x > 1

4. (a) A funcao f(x) = [[ 1x ]], onde o [[x]] denota o maior inteiro menor ou igual a x, e contınua no ponto zero?

(b) Seja f(x) = 0 se x e um numero racional e f(x) = 1 se x e um numero irracional. Prove que f e descontınuapara todo numero real.

(c) Seja f(x) = 0 se x e um numero racional e f(x) = x2 se x e um numero irracional. Prove que f e contınuasomente no ponto zero.

(d) Para cada numero real a, defina uma funcao que seja contınua em a e descontınua em todos os outrospontos da reta.

(e) Mostre que se f e contınua em [a, b], e possıvel definir uma funcao g, contınua em toda a reta, tal queg(x) = f(x), para todo x no intervalo [a, b].

(f) De um exemplo de uma funcao f contınua em (a, b) que nao pode ser estendida continuamente a toda reta,isto e, de um exemplo que mostre que nem sempre e possıvel definir uma funcao g, contınua em toda a reta,que coincida com f no intervalo (a, b).

5. (a) Mostre que se f e uma funcao contınua em um intervalo (a, b), entao a funcao g = | f(x) | tambem e contınuaneste intervalo.

(b) De exemplo de uma funcao f descontınua em (a, b), mas tal que | f | seja contınua em todos os pontos desteintervalo.

6. (a) Seja f(x) = 1 + x2. Determine g tal que f(g(x)) = 1 + x2 − 2x3 + x4.

(b) Seja g(x) = 1 +√x . Determine f tal que f(g(x)) = 3 + 2

√x+ x.

7. (a) Se f(x) = x−3x+1 , calcule g(x) = f(f(x)). Encontre o domınio de f e o domınio de g.

(b) Seja h(x) = 1−x1+x . Calcule h(h(x)) e especifique seu domınio.

8. Considere a funcao f que a cada numero real x associa um par ordenado da forma (x, −x) e a funcao g que acada par ordenado da forma (x, −x) associa a sua coordenada que e positiva. Seja h(x) = g(f(x)).

(a) Determine o domınio e a imagem da funcao h.

(b) Determine uma expressao analıtica para a funcao h e esboce o seu grafico.

Page 136: texto completo em PDF

120 Cap. 8 Continuidade

9. Uma fabrica produz pecas especiais de metal. O processo de fabricacao e composto de duas etapas. Na primeiradelas um cronometro controla a quantidade de metal derretido que e vertido no molde. Depois que o metalesfria, a peca bruta e polida para se obter o acabamento final. Esse processo pode ser descrito por duas funcoes:

f(t) = 2, 41 t e g(m) = m

(1− 1

2m

). A funcao f(t) fornece a massa da peca bruta como uma funcao do tempo

em que o metal derretido e vertido no molde. A funcao g(m) fornece a massa da peca acabada em funcao damassa da peca bruta. O tempo e medido em minutos e a massa em quilogramas. Decida por quanto tempo ometal derretido deve ser vertido no molde, para que a peca acabada tenha uma massa de 1 kg, com erro maximode 2 g.

10. Aplique o Teorema do Valor Intermediario para provar que a equacao x3 − 4x+ 1 = 0 tem tres raızes reaisdistintas e localize os intervalos onde elas ocorrem.

11. (a) Aplique o Teorema do Valor Intermediario para mostrar que todo numero positivo a tem uma raiz quadrada.

(b) Aplique o Teorema do Valor Intermediario para mostrar que se n e um inteiro positivo e se a e um numeroreal positivo, entao existe exatamente um numero positivo b tal que bn = a. O numero b e a raiz de ordemn do numero positivo a.

(c) Use a teoria de limites e o Teorema do Valor Intermediario para provar que todo polinomio de grau ımpartem pelo menos uma raiz real.

12. Um ponto fixo de uma funcao f e um numero c do seu domınio tal que f(c) = c. (A funcao f nao muda o valordo ponto c, que permanece fixo, daı o nome ponto fixo.)

(a) Esboce o grafico de uma funcao contınua f cujo domınio e imagem seja o intervalo [0, 1]. Localize o seuponto fixo.

(b) Tente esbocar o grafico de uma funcao contınua f cujo domınio e a imagem seja o intervalo [0, 1], que naotenha nenhum ponto fixo. Qual e o obstaculo?

(c) Use o Teorema do Valor Intermediario para demonstrar que qualquer funcao contınua cujo domınio e aimagem seja o intervalo [0, 1] tem necessariamente um ponto fixo.

8.7 Exercıcios adicionais

1. Decida se as funcoes abaixo sao contınuas ou descontınuas em x = a. No caso de serem descontınuas, classifiqueas descontinuidades.

(a) f(x) =

5

x− 4, x 6= 4

1 , x = 4, a = 4

(b) g(x) =x2 + x+ 6

x+ 3, x 6= −3 , a = −3

(c) f(x) =

−1 , x < 00 , x = 0x , 0 < x

, a = 0

(d) h(x) =x− 3

|x− 3|, x 6= 3, a = 3

(e) f(y) =

√y + 5−√y

y, y > 0

1 , y = 0, a = 0

(f) f(x) = x+ 1− |x+ 1|, a = −1

(g) f(x) =

2x+ 3 , x ≤ 18− 3x , 1 < x < 2x+ 3 , 2 ≤ x

2. Determine α e β para que a funcao abaixo seja contınua em x = 1 e x = 4.

f(x) =

x , x ≤ 1αx+ β , 1 < x < 4−2x , 4 ≤ x

3. Determine se as funcoes a seguir sao contınuas ou descontınuas em cada um dos intervalos indicados :

(a) f(x) =

x+ 3 , x 6= 2 e x 6= −22 , x = 2 e x = −2

, (0, 4]; (−2, 2); (−∞, −2]; (2,+ ∞ ); (−4, 4).

Page 137: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 121

(b) f(x) =

1√

3 + 2x− x2, x 6= 3

0 , x = 3

, (−1, 3); [−1, 3]; [−1, 3); (−1, 3].

(c) f(x) =2

x+ 5, (3,7); [−6, 4]; ( −∞, 0); (−5,+∞).

(d) g(x) =

√9− x2

4− x, ( −∞, −3); (−3, 3); [−3, 3]; [−3, 3); [3, 4); (3, 4]; [4,+∞); (4,+∞).

4. Determine o maior domınio de continuidade das funcoes abaixo:

(a) g(x) =1

x− 1+

1

x+ 2+√

3x− 2.

(b) f(u) =1√

4u− 1−√

1− u2.

(c) h(z) =√z −√z2 − z − 2.

5. Suponha que g seja uma funcao contınua em [−2, 3], e que, alem disso, g(−2) = 12 , g(−1) = −1, g(0) = 2,

g(1) = 2, g(2) = −2 e g(3) = 4. Qual e o numero mınimo de zeros da funcao g no intervalo considerado?

8.8 Para voce meditar: O problema do andarilho

Uma trilha vai da base de uma montanha ate o topo. Um andarilho comeca a subir a trilha as 6 horas da manha echega ao topo as 6 horas da tarde do mesmo dia. Durante o percurso ele pode parar, voltar atras, correr, fazer o quequiser, desde que chegue ao topo as 6 horas da tarde do mesmo dia.

Na manha seguinte ele comeca a descer a trilha as 6 horas da manha do modo como ele quer e chega a baseexatamente as 6 horas da tarde do mesmo dia.

Prove que existe pelo menos um lugar na trilha pelo qual ele passa na mesma hora de cada dia.

8.9 Projetos

8.9.1 Encontrando as raızes de uma equacao

O problema de calcular as raızes de uma equacao sempre foi objeto de estudo da matematica ao longo dos seculos. Jaera conhecida, na antiga Babilonia, a formula para o calculo das raızes exatas de uma equacao geral do segundo grau.No seculo XVI, matematicos italianos descobriram formulas para o calculo de solucoes exatas de equacoes polinomiaisdo terceiro e do quarto grau. Essas formulas sao muito complicadas e por isso sao raramente usadas nos dias de hoje.No seculo XVII, um matematico noruegues, Niels Abel (1802-1829), que, apesar de sua curta vida, contribuiu comvarios resultados notaveis e importantes para o desenvolvimento da matematica, provou que nao existe uma formulageral para o calculo das raızes exatas de uma equacao polinomial de grau maior ou igual a 5. Nesses casos, e mesmoem casos mais simples, muitas vezes e necessario recorrer a metodos numericos para calcular aproximacoes para asraızes reais de uma dada equacao.

Existem varios metodos recursivos ou iterativos (do latim iterare = repetir, fazer de novo) para calcular apro-ximacoes numericas para as raızes reais de uma equacao.

Esses metodos consistem em, partindo de uma estimativa inicial, repetir o mesmo procedimento varias vezes,usando-se a cada vez como estimativa o resultado obtido na vez anterior, isto e, na ultima iteracao feita, ate sealcancar a precisao desejada. Abaixo descrevemos um desses metodos. Outros metodos deste tipo serao descritos nodecorrer desse texto.

Metodo da Bissecao

Este metodo consiste em encontrar por inspecao dois pontos x0 e x1 tais que f(x0) e f(x1) tenham sinais contrarios.Se f(x0) = 0 ou f(x1) = 0 voce encontrou a raiz procurada. Caso contrario, existe pelo menos uma raiz de f(x) = 0,entre x0 e x1.

1. Para que tipo de funcoes esta ultima afirmacao e verdadeira?

2. Que teorema garante este resultado?

Page 138: texto completo em PDF

122 Cap. 8 Continuidade

Seja x2 = x0+x1

2 . Somente tres casos podem acontecer: se f(x2) = 0, a raiz procurada e igual a x2; caso contrario, ouf(x2) e f(x1) tem sinais contrarios e a raiz esta entre x2 e x1, ou f(x2) e f(x0) tem sinais contrarios e a raiz estaentre x2 e x0. Em qualquer dos casos a raiz pertence a um intervalo cujo comprimento e a metade do comprimentodo intervalo anterior.

Repetindo-se o mesmo procedimento, encontra-se uma aproximacao para a raiz da equacao com a precisao desejada.

1. Por que este metodo e chamado metodo da bissecao?

2. Para que funcoes esse metodo funciona e que teorema garante a sua validade?

3. Como voce pode estimar o erro cometido na enesima aproximacao da raiz?

4. Quando devemos parar o procedimento acima?

5. Prove que a equacao x5 − 5x2 + 3 = 0 tem pelo menos uma raiz real no intervalo [−3, −2] e use o metodo acimapara calcular essa raiz com erro menor que 0,01.

6. Use o metodo acima para determinar aproximacoes para as raızes reais da equacao x3 − 2x2 + 4x+ 12 = 0 comerro menor que 0,001.

7. Uma arvore de 20 metros de altura esta a 4 metros de um muro de 2 metros de altura. Apos uma ventania, aarvore se quebra a uma altura de x metros. A arvore cai de tal maneira que, quando a sua extremidade tocao solo, do outro lado do muro, seu tronco apenas toca a parte superior do muro, sem derruba-lo. Determine ovalor de x.Sugestao: Com o auxılio de triangulos semelhantes e do Teorema de Pitagoras, mostre que x e a raiz de umaequacao do terceiro grau. Use o metodo acima para encontrar aproximacoes para as raızes da equacao que voceencontrou e decida qual dessas raızes e a solucao do problema.

8.9.2 Generalizando o metodo dos babilonios para estimar a raiz quadrada de umnumero positivo

Como consequencia do Teorema do Valor Intermediario, podemos demonstrar que, qualquer que seja o numero realpositivo a e n inteiro positivo, existe um numero real b tal que bn = a , isto e, existe um numero b que e a raiz enesimade a. (Veja Problema 7, na secao Problemas Propostos).

Os antigos babilonios desenvolveram um processo eficaz para gerar uma sequencia de aproximacoes cada vezmelhores para a raiz quadrada de qualquer numero positivo a que descrevemos a seguir.

Suponha que se conheca uma aproximacao inicial x0 para√a . Por exemplo, x = 3 e x = 4 sao, respectivamente,

aproximacoes por falta e por excesso para√

13.Se x0 > 0 e uma aproximacao por falta para

√a, entao e claro que x0 <

√a⇒ 1√

a< 1

x0e daı

√a < a

x0. Portanto,

podemos concluir que ax0

e uma aproximacao por excesso para√a. Consequentemente, vale a desigualdade x0 <

√a

< ax0

ou, equivalentemente,√a ∈ (x0,

ax0

).

Da mesma maneira, se x0 e uma aproximacao por excesso para√a, temos

√a < x0 ⇒ 1

x0< 1√

ae daı a

x0<√a.

Entao, ax0<√a < x0 ou, equivalentemente,

√a ∈ ( ax0

, x0). Logo, em qualquer dos dois casos√a estara sempre entre

x0 e ax0

.

Assim, usando a mesma ideia do Metodo da Bissecao, o ponto medio x1 =x+ a

x

2 do intervalo considerado deve seruma nova e melhor aproximacao para

√a. Repare que se x1 <

√a, temos, como anteriormente, que

√a ∈ (x1,

ax1

), e

se x1 >√a, vale que

√a ∈ ( ax1

, x1). Podemos, portanto, repetir esse procedimento tantas vezes quanto desejarmosde modo a melhorar, a cada passo, a precisao do resultado obtido.

1. A partir de uma estimativa inicial x0 e usando a formula iterativa

xn =xn−1 + a

xn−1

2,

deduzida pelos babilonios, calcule a raiz quadrada aproximada para√

13 com 11 casas decimais exatas.

2. O que acontece se iniciarmos o processo com uma estimativa inicial x0 negativa?

Page 139: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 123

3. Use a formula iterativa xn =xn−1+ a

(xn−1)2

2 para obter uma aproximacao de 12( 13 )com 8 casas decimais exatas.

4. Estude a eficiencia do algoritmo xn =xn−1+ a

(xn−1)(k−1)

2 para obter aproximacoes para a raiz k-esima (k > 3) deum numero positivo a. (Para justificar por que o algoritmo acima funciona para obter aproximacoes cada vezmelhores para as raızes quadraticas e cubicas de um numero positivo a e nao funciona para k > 3 veja o projetoTangentes, Orbitas e Caos do Cap. 20 .)

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Capıtulo 9

A Derivada de uma Funcao

9.1 Definicao

No Cap.5, motivados pela geometria, vimos que o coeficiente angular da reta tangente ao grafico de uma funcao f , emum ponto (x0, f(x0)), e obtido tomando-se o limite das declividades de uma sequencia de retas secantes que convergempara a tangente; mais precisamente, o coeficiente angular m da tangente e dado por

m = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

conforme mostra o diagrama a seguir:

Esta definicao do coeficiente angular da tangente ao grafico de uma funcao f , no ponto (x0, f(x0)), nos leva adefinicao de derivada de uma funcao em um ponto.

DefinicaoA derivada de uma funcao f em um ponto x0 do seu domınio, denotada por f ′(x0) (le-se f linha de x zero), e

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0,

se esse limite existir.Neste caso, dizemos que a funcao f e derivavel ou diferenciavel nesse ponto. Se f for derivavel em todos os pontos

do seu domınio, dizemos, simplesmente, que f e derivavel ou diferenciavel.

A razaof(x)− f(x0)

x− x0e chamada de razao incremental ou quociente de diferencas.

E importante notar que f ′(x0) e a declividade da reta tangente ao grafico de f no ponto (x0, f(x0)). Assim, afuncao f e derivavel em x0 se e somente se existe a reta tangente (nao-vertical) a curva y = f(x), no ponto (x0, f(x0)).

9.2 Calculando derivadas: alguns exemplos

Exemplo 1 Considere a funcao f(x) = 1x , x 6= 0. Para determinar a derivada dessa funcao, em um ponto x0 qualquer,

precisamos calcular limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0, isto e, estudar o comportamento da razao incremental

f(x)− f(x0)

x− x0, quando

124

Page 141: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 125

x se aproxima de x0. Neste exemplo particular

f(x)− f(x0)

x− x0=

1x −

1x0

x− x0.

Com a experiencia adquirida no estudo de limites, sabemos que o comportamento desta razao, quando x se aproximade x0, se torna claro apos algumas manipulacoes algebricas. Assim, simplificando a fracao, obtemos:

1x −

1x0

x− x0=

x0−xx x0

x− x0= − x− x0

(x− x0)xx0= − 1

xx0

A partir desta igualdade vemos imediatamente que

f ′(x0) = limx→x0

1x −

1x0

x− x0= limx→x0

− 1

xx0= − 1

x20

.

Examinando o grafico da funcao f (veja a seguir) podemos verificar que o resultado obtido e consistente com osignificado geometrico da derivada de uma funcao. Como x2

0 e sempre positivo, a derivada f ′(x0) = − 1x20

e sempre

negativa. Isso corresponde ao fato de que as retas tangentes ao grafico da funcao f descem em direcao a direita. (Porque?) Alem disso, quando x0 esta proximo de zero, − 1

x20

e um numero negativo de valor absoluto muito grande e,

portanto, a reta tangente e quase vertical; quando x0 cresce em valor absoluto, − 1x0

2 e quase zero e a reta tangente equase horizontal.

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

–3 –2 –1 1 2 3x

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

–3 –2 –1 1 2 3x

Na realidade, mais tarde, em vez de usarmos o grafico da funcao para verificar se a derivada foi calculada correta-mente, como foi feito neste exemplo, usaremos a derivada para nos ajudar a tracar graficos de funcoes.

Exemplo 2 Considere a funcao f(x) = x3. Como das vezes anteriores, para calcular a derivada desta funcao

no ponto x0 e preciso calcular o limx→x0

x3 − x30

x− x0. Este limite pode ser calculado facilmente simplificando-se a razao

incremental, como se segue:

x3 − x30

x− x0=

(x− x0) (x2 + xx0 + x20)

x− x0= x2 + xx0 + x2

0

Daı, concluımos imediatamente que

limx→x0

x3 − x30

x− x0= limx→x0

(x2 + xx0 + x02) = 3x0

2.

Exemplo 3 De um modo geral, o raciocınio empregado no exemplo anterior para calcular a derivada da funcaof(x) = x3 pode ser empregado no calculo das derivadas das funcoes f(x) = xn, onde n e um inteiro positivo em umponto x0 qualquer. Para isso e necessario calcular o

limx→x0

xn − xn0x− x0

.

Como (x − x0) e um fator do polinomio xn − xn0 , para calcular o limite acima basta, como no exemplo anterior,

simplificar o quocientexn−xn0x−x0

. Nesse caso geral, teremos:

xn − xn0x− x0

= x(n−1) + x0 x(n−2) + x0

2 x(n−3) + . . .+ x(n−2)0 x+ x

(n−1)0 .

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126 Cap. 9 A Derivada de uma Funcao

Desta ultima expressao, sem dificuldade, obtemos

limx→x0

xn − xn0x− x0

= nx(n−1)0 ,

qualquer que seja o ponto x0. Assim, se n e um inteiro positivo, f ′(x) = nx(n−1).

Exemplo 4 Vamos, agora, calcular a derivada da funcao f(x) =√x, em um ponto x0 > 0 qualquer. Para isso

temos que calcular

limx→x0

√x−√x0

x− x0.

Como (√x−√x0) (

√x+√x0) = x− x0, temos que

√x−√x0

x− x0=

(√x−√x0)

(√x−√x0) (

√x+√x0)

=1√

x+√x0.

Logo, limx→x0

√x−√x0

x− x0= limx→x0

1√x+√x0

=1

2√x0

.

Observe que este limite nao existe quando x0 = 0. Deste modo, o domınio de f ′ e o intervalo (0,+∞), que e menorque o domınio da funcao f .

9.2.1 Exercıcios

1. Seja f(x) = x2.

(a) Calcule a derivada de f nos pontos x = 1, x = 23 , x = −2.

(b) O que representa, geometricamente, o valor encontrado em cada um dos pontos dados no item anterior?

2. (a) Levando em conta a definicao geometrica da derivada de uma funcao, o que se pode concluir a respeito daderivada de uma funcao constante?

(b) Prove a sua conclusao, isto e, usando a definicao, mostre que se f(x) = c, c um numero real qualquer, entaof ′(x) = 0 para todo x.

(c) Qual o maior domınio da derivada calculada no item anterior?

(d) Os itens anteriores mostram que a reta tangente ao grafico de uma funcao constante coincide com o graficodesta funcao. De exemplo de uma funcao nao constante, cujo grafico coincida com a sua reta tangente emtodos os pontos de seu domınio. Neste caso, o que se pode afirmar a respeito da derivada desta funcao?(Veja o proximo exercıcio.)

3. (a) Se o grafico de y = f(x) e uma reta, qual a derivada de f?

(b) Qual a derivada da funcao f(x) = a x+ b? (Observacao: Voce nao precisa fazer nenhuma conta pararesponder as perguntas anteriores!)

(c) Se f(x) e a funcao definida no item anterior, prove, analiticamente, que f ′(x) = a.

(d) Qual o maior domınio da derivada calculada no item anterior?

4. (a) Qual a declividade da reta tangente ao grafico da funcao f(x) = x3 no ponto (2, 8).

(b) Seja g a reta tangente ao grafico de f no ponto (a, a3). Ache uma equacao desta reta.

(c) Se a 6= 0, mostre que f e g se interceptam em dois pontos.

5. Use a formula obtida no Exemplo 3 para calcular a derivada de:

(a) f(x) = x5 (b) f(x) = x100

6. Suponha que f(x) = x3. Calcule:

(a) f ′(9), f ′(25), f ′(36) (b) f ′(32), f ′(52), f ′(62) (c) f ′(a), f ′(a2), f ′(x2).

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W.Bianchini, A.R.Santos 127

7. Se f(x) e uma funcao diferenciavel e c um numero real qualquer, use o significado geometrico da derivada de umafuncao para obter uma formula para g′(x) em cada um dos seguintes itens: (Veja Atividades de Laboratorio.)

(a) g(x) = f(x) + c

(b) g(x) = f(x+ c)

(c) g(x) = c f(x)

(d) g(x) = f(c x)

(e) g(x) = c f(c x)

(f) Use a definicao de derivada para comprovar a sua intuicao geometrica.

(g) Use os resultados obtidos acima para calcular f ′(x), nos seguintes casos:

i. f(x) = (x+ 3)5

ii. f(x) = x5 + 100

iii. f(x) = 2 (x4 − 3)

iv. f(x+ 3) = x5

v. f(x+ 3) = (x+ 5)7

9.3 Outras notacoes para a derivada de uma funcao

Na definicao de derivada de uma funcao f em um ponto x0,

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

fazendo x− x0 = ∆x, ou seja, x = x0 + ∆x, o limite acima se transforma em

f ′(x0) = lim∆ x→0

[f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x

].

Quando nao estamos interessados em caracterizar um determinado ponto x0, escrevemos simplesmente para umponto x qualquer:

f ′(x) = lim∆ x→0

[f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

].

Esta notacao nos mostra claramente que a cada x associamos o valor f ′(x), obtendo assim uma nova funcao f ′, aderivada da funcao original f . O domınio de f ′ e o conjunto de todos os pontos x do domınio de f tais que este limiteexiste.

Outros sımbolos podem ser empregados para denotar a derivada de uma funcao.As vezes pode ser conveniente denotar f ′(x) por Dx(f(x)). O ındice x, em D, tem por objetivo designar a variavel

independente em relacao a qual estamos calculando a derivada da funcao f . Por exemplo, se a funcao f e umafuncao da variavel independente t, escreve-se f ′(t) = Dt(f(t)). Quando nao houver possibilidade de duvida em relacaoa esta variavel, isto e, quando a variavel independente for claramente explicitada, podemos escrever D(f(x)) ou,simplesmente, D(f) para designar a derivada da funcao f em relacao a sua variavel independente. Os sımbolos Dx, Dt

e D sao chamados operadores diferenciais, porque quando aplicados a uma funcao tem o efeito de uma operacao,cujo resultado e a derivada (ou diferencial) da funcao dada. Os sımbolos, acima, isoladamente, nao tem significadoalgum, no entanto quando aplicados a uma expressao obtem-se a sua derivada.

Veja os exemplos abaixo:(a) Dx(3x2 − 5x+ 4) = D (3x2 − 5x+ 4) = 6x− 5(b) D f(x) = f ′(x)(c) Dx(a x+ b) = a

O Maple usa o sımbolo D para calcular a funcao derivada de uma dada funcao f . Veja como isto pode ser feito nosexemplos abaixo:

> f:=x->3*x^2-5*x+4;

f := x→ 3x2 − 5x+ 4

> derivada:=D(f);

derivada := x→ 6x− 5

> D(f)(x);

6x− 5

> D(f)(2);

7

Page 144: texto completo em PDF

128 Cap. 9 A Derivada de uma Funcao

> g:=y->a*y+b;

g := y → a y + b

> D(g);

y → a

9.3.1 A notacao de Leibniz

Leibniz, ao desenvolver sua versao do calculo (por volta de 1675), denotou as derivadas pelo sımbolo dfdx , em vez de

f ′(x). Sua notacao provem da definicao de derivada e nos ajuda a ter em mente seu significado geometrico.

Para explicar a notacao de Leibniz, vamos comecar com uma funcao y = f(x) e escrever o quociente f(x)−f(x0)x−x0

. Estequociente, que representa, geometricamente, a declividade da reta secante a curva y = f(x), que passa pelos pontos(x0, f(x0)) e (x, f(x)), pode ser escrito na forma ∆ y

∆ x , onde ∆x = x− x0 e ∆ y = f(x)− f(x0). O denominador,portanto, e a diferenca de dois valores de x e o numerador, a diferenca correspondente nos valores de f . Por estemotivo e chamado de quociente de diferencas. Este fato e ilustrado no desenho:

x∆

y∆

f(x )ox o

f(x)

x

E importante ressaltar que, neste contexto, ∆ y nao e uma diferenca entre quaisquer dois valores da funcao f ,mas o incremento ocorrido nos valores da funcao f quando a variavel independente muda de x0 para x0 + ∆x, isto e,quando ha um incremento de valor ∆x na variavel independente. Por este motivo este quociente e tambem chamadode razao incremental e pode ser interpretado como a razao da variacao de y pela variacao de x ao longo da curvay = f(x). (Veja o capıtulo Velocidade, Aceleracao e Outras Taxas de Variacao.)

O limite deste quociente de diferencas quando ∆x tende a zero e, como ja vimos, a derivada da funcao f , isto e,se y = f(x),

f ′(x) = lim∆ x→0

∆ y

∆x.

Leibniz usou a notacaody

dx(leia-se: a derivada de y em relacao a x ou, simplesmente, dy dx) para denotar este

limite. Assim, usando a notacao de Leibniz, temos que

dy

dx= lim

∆ x→0

∆ y

∆x,

isto e,dy

dx= f ′(x).

Note quedy

dx, apesar da forma como e escrito, e um unico sımbolo individual, nao o quociente de duas quantidades,

dy e dx, que, ate agora, nao foram definidas. (Para entender como e possıvel definir dy e dx de tal modo que o sımbolodydx , usado para denotar a derivada de uma funcao y = f(x), seja realmente a razao entre duas quantidades. Veja oCap.19)

A notacao de Leibniz apresenta a vantagem de nos fazer lembrar, rapidamente, de todo o processo de se formar oquociente de diferencas ∆ y

∆ x e calcular o seu limite quando ∆x→ 0 (a passagem ao limite e simbolicamente expressapela substituicao da letra grega ∆ pela letra d).

Ha muitas variacoes sobre esta notacao, escolhidas de acordo com as conveniencias do contexto onde sao emprega-das. Por exemplo, se

y = 2x2 + x ⇒ dy

dx= 4x+ 1 ,

ou, ainda, se

f(x) = 2x2 + x ⇒ df

dx= 4x+ 1 , ou, ainda,

d (2x2 + x)

dx= 4x+ 1 .

Page 145: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 129

Todas estas sao maneiras aceitaveis de se dizer que a derivada da funcao definida por f(x) = 2x2 + x e uma outrafuncao dada por f ′(x) = 4x+ 1.

De maneira analoga, d (5 t2−4 t)dt = 10 t− 4, e se z = 12x2 − 4, entao dz

dx = 24x.

A notacao dydx

∣∣∣x=x0

expressa a derivada da funcao y = f(x) calculada no ponto x = x0, isto e, se

y = f(x)⇒ dy

dx

∣∣∣∣x=x0

= f ′(x0) .

A notacao de Leibniz e particularmente apropriada nas aplicacoes. Alem disso, certas regras fundamentais epropriedades operatorias sao mais faceis de lembrar e usar quando as derivadas sao escritas na notacao de Leibniz.(Veja o capıtulo Teoremas e Propriedades Operatorias.)

O Maple usa o comando diff(f,x) para calcular a derivada de uma funcao ou expressao algebrica em relacaoa variavel x. O programa usa tambem uma simbologia um pouco diferente para designar derivadas com a notacaode Leibniz arredondando a letra d. Voce vera posteriormente em Calculo II a utilizacao deste sımbolo para designar

derivadas parciais para funcoes de varias variaveis. Assim, para o Maple,df

dx=

∂xf . Veja os exemplos abaixo:

> diff(x^2,x);

2x

> f:=x->x^2;

f := x→ x2

> diff(f(x),x);

2x

> Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

∂∂x x

2 = 2x

9.3.2 Exercıcios

1. As afirmacoes abaixo foram escritas usando-se a notacao de Leibniz para derivadas. Interprete cada uma delas.

(a) d xn

dx = nx(n−1)

(b) Se z = 1y , entao dz

dy = − 1y2

(c) d [f(x)+c]dx = d f(x)

dx

2. Seja y = f(x) e z = y + c. Calcule dzdx .

9.4 Derivadas laterais e diferenciabilidade

Pela nossa experiencia no estudo de retas tangentes e facil concluir que existem funcoes que, em alguns pontos, naotem reta tangente; portanto, em tais pontos, f ′ nao esta definida. Consequentemente, em alguns casos o domınio def ′ e um conjunto menor que o domınio de f .

Vamos ilustrar esta afirmacao com alguns exemplos.

Exemplo 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

–2 –1 1 2x

Considere a funcao f(x) = |x |. Ja vimos, geometricamente,que nao existe reta tangente ao grafico dessa funcao no ponto(0, 0). Geometricamente tambem e facil ver que, para cada x >0, a inclinacao da reta tangente a esse grafico e 1 (por que?); eque, para cada x < 0, a inclinacao da tangente e −1 (por que?).

Na primeira secao deste capıtulo, definimos a derivada deuma funcao em um ponto x0 como a declividade da reta tan-gente ao seu grafico neste ponto. Vamos usar esta definicaopara mostrar, rigorosamente, que a funcao f(x) = |x | nao tem

Page 146: texto completo em PDF

130 Cap. 9 A Derivada de uma Funcao

derivada no ponto (0, 0), portanto, nao existe reta tangente ao grafico desta funcao neste ponto. Para isso vamos

calcular o limx→0

f(x)− f(x0)

x− x0, para x0 = 0. Neste caso particular,

limx→0

f(x)− f(x0)

x− x0= limx→0

|x |x.

Como, | x |x = 1, para x > 0, entao limx→0+

|x |x

= 1, e como | x |x = −1, para x < 1, temos que limx→0−

|x |x

= −1.

Como os limites laterais sao diferentes, podemos concluir que nao existe o limite procurado.Os dois limites laterais calculados no exemplo anterior sao chamados derivada lateral a direita e derivada

lateral a esquerda, respectivamente, da funcao f no ponto zero.A derivada desta funcao existe em qualquer outro ponto x0 6= 0. De fato,

f ′(x) =

1, x > 0−1, x < 0

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Repare que f ′(x) nao esta definida para x = 0 e, portanto, f nao e diferenciavel neste ponto.

Exemplo 2 Uma dificuldade semelhante aquela apresentada no exemplo anterior ocorre com a funcao

f(x) =

x2 , se x ≥ 0−x , se x < 0

.

No ponto x0 = 0, temos quef(x)− f(0)

x=

x2

xx > 0

−xx

x < 0, ou seja,

f(x)− f(0)

x=

x, x > 0−1, x < 0

. Consequentemente,

limx→0+

f(x)− f(0)

x= 0 e lim

x→0−

f(x)− f(0)

x= −1

Como as derivadas laterais sao diferentes, podemos concluir que nao existe f ′(0) = limx→0

f(x)− f(0)

x, isto e, f nao

e diferenciavel em zero. Novamente, podemos facilmente concluir que f ′(x) existe para qualquer outro ponto x0 6= 0.

Exercıcio Demonstre que f ′(x) =

2x, x > 0−1, x < 0

.

Os graficos de f e de f ′, respectivamente, sao mostrados a seguir.

–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x

–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x

Exemplo 3 Vamos examinar agora a funcao f(x) = x( 13 ) cujo grafico tracamos abaixo. Convem observar aqui que

o Maple define esta funcao apenas para valores positivos de x. Se quisermos considerar esta funcao definida em toda areta real usando o Maple, precisamos utilizar uma sub-rotina, chamada surd, que faz esta conversao automaticamenteda seguinte maneira:

Se x ≥ 0, entao surd(x, n) = x( 1n ). Se x < 0, entao surd(x, n) = −(−x( 1

n )).

Page 147: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 131

Abaixo, utilizamos este comando para tracar o grafico desta funcao no intervalo [−2, 2].

> f:=x->surd(x,3):

> plot(f(x),x=-2..2,y=-2..2);

–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x

Neste caso, para x0 = 0,f(x)− f(0)

x=x( 1

3 )

x=

1

x( 23 ).

A expressao acima se torna arbitrariamente grande quando x→ 0; portanto, a funcao f nao e diferenciavel no

zero, pois nao existe o limx→0

f(x)− f(0)

x.

Observe os diagramas a seguir e examine o comportamento das retas secantes a curva passando pela origem e porum ponto (x, f(x)) qualquer da curva a medida que x se aproxima de zero pela esquerda e pela direita, respectivamente.

Geometricamente, este comportamento significa que, embora f nao seja diferenciavel em (0, 0), o grafico de fapresenta uma reta tangente vertical neste ponto.

Exemplo 4 A situacao se torna um pouco pior quando examinamos a funcao y =√|x|, cujo grafico e seguinte:

5

10

15

20

25

30

–1000 –600 –200 0 200 400 600 800 1000x

Calculando o quociente de diferencas para x0 = 0, obtemos:

f(x)− f(0)

x=

√xx , x > 0√−xx , x < 0

=

1√x, x > 0

− 1√−x , x < 0

.

Neste caso, mais uma vez, como os limites laterais nao existem, f ′(0) = limx→0

f(x)− f(0)

xtambem nao existe e,

consequentemente, f nao e diferenciavel em x0 = 0. Alem disso,

limx→0+

f(x)− f(0)

x= limx→0+

1√x

= +∞,

pois os valores de 1√x

se tornam arbitrariamente grandes quando x se aproxima de zero pela direita e,

limx→0−

f(x)− f(0)

x= limx→0−

− 1√−x

= −∞,

Page 148: texto completo em PDF

132 Cap. 9 A Derivada de uma Funcao

pois, quando x se aproxima de zero pela esquerda, os valores de − 1√−x se tornam arbitrariamente grandes em valor

absoluto, mas sao sempre negativos.O diagrama a seguir ilustra estas afirmacoes.

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

–2 –1 1 2x

Estes dois ultimos exemplos motivam a definicao dada a seguir.

Definicao: Reta tangente vertical

A curva y = f(x) admite uma reta tangente vertical no ponto (x0, f(x0)) se f e contınua em x0 e f ′(x) tende a+∞ ou −∞ quando x → x+

0 e/ou quando x → x−0 . Se f ′(x) tender a +∞ por um lado e a −∞ por outro, dizemosque a funcao tem uma cuspide em x0.

(A exigencia de que f seja contınua em x = x0 implica que f(x0) deve ser definida neste ponto, pois nao teriasentido exigir uma reta (vertical ou nao) tangente a uma curva y = f(x) em um ponto x0 onde a funcao nao estivessedefinida.)

Desses exemplos podemos concluir que, graficamente, o domınio de f ′ e o conjunto de todos os pontos para osquais a funcao original f tem uma tangente nao-vertical. Portanto, a funcao f nao e diferenciavel nos pontos onde oseu grafico forma “bicos” ou muda abruptamente de direcao quer nos pontos onde a reta tangente e vertical quer nospontos onde ela nao e contınua. Nos exemplos dados, o domınio de f ′ esta contido (estritamente) no domınio de f .

Ate agora estudamos a diferenciabilidade de funcoes em determinados pontos. Como foi feito no estudo de conti-nuidade (Cap.8 ), podemos estender este conceito a todo um intervalo. As definicoes a seguir tem este objetivo.

Definicao: Diferenciabilidade em intervalos abertos

Dizemos que uma funcao e diferenciavel em um intervalo aberto (a, b) se o e para todo ponto x0 em (a, b).

Esta definicao e estendida, naturalmente, as funcoes definidas em intervalos do tipo (a,∞), (−∞, a) ou a toda reta.

Definicao: Diferenciabilidade em intervalos fechados

Uma funcao f e diferenciavel em um intervalo fechado [a, b] se e diferenciavel em (a, b) e se existem as derivadaslaterais a direita no ponto a e a esquerda no ponto b, isto e, se existem os limites

limh→0+

f(a+ h)− f(a)

he lim

h→0−

f(b+ h)− f(b)

h.

Se f esta definida em um intervalo [a, b], as derivadas laterais acima nos permitem, tambem, definir a declividade dareta tangente a curva y = f(x) nos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Assim, o coeficiente angular da reta tangente a curvano ponto (a, f(a)) e dado por

limh→0+

f(a+ h)− f(a)

h

e o coeficiente angular da reta tangente no ponto (b, f(b)) por

limh→0−

f(b+ h)− f(b)

h.

Veja os graficos a seguir, onde a funcao y = −x2 + 4 esta definida no intervalo fechado [a, b] = [−2, 2]. O primeiromostra a derivada lateral a direita em a = −2; o segundo, a derivada lateral a esquerda em b = 2.

Page 149: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 133

2

4

6

8

10

y

–2 –1 1 2x

2

4

6

8

10

y

–2 –1 1 2x

Utilizando-se as derivadas laterais em um dos extremos, define-se de maneira analoga a diferenciabilidade emintervalos da forma [a, b), [a,∞), (a, b] e (−∞, b].

Da mesma maneira, dizemos que uma curva y = f(x) tem uma reta tangente vertical no extremo de um intervalofechado onde estiver definida se f for contınua neste ponto e se as derivadas laterais (a esquerda ou a direita, conformeo caso) crescerem sem limite, em valor absoluto. Veja o grafico a seguir que exemplifica esta situacao para a funcaoy =√x cujo domınio e o intervalo [0,∞).

9.4.1 Exercıcios

1. (a) Calcule a derivada da funcao f(x) = [[x]], onde o sımbolo [[ . ]] denota o maior inteiro menor ou igual a x.

(b) Calcule limx→0+

f(x)− f(0)

xe limx→0−

f(x)− f(0)

x. O que significam estes limites?

(c) Qual o domınio de f ′.

2. Mostre que a funcao f(x) = −x( 13 ) apresenta uma reta tangente vertical em (0, 0).

9.5 Diferenciabilidade e continuidade

Na secao Derivadas Laterais e Diferenciabilidade, estudamos alguns exemplos de funcoes que sao contınuas mas naosao diferenciaveis. Quando estudamos funcoes contınuas, afirmamos que ser contınua seria a primeira propriedade queuma funcao “razoavelmente bem comportada” deveria satisfazer. De uma certa maneira, as funcoes diferenciaveis temum “comportamento melhor” do que aquelas que simplesmente sao contınuas. Neste sentido, ser diferenciavel e umacondicao mais forte que ser contınua. O teorema abaixo torna clara esta ultima afirmacao.

TeoremaSe f e uma funcao diferenciavel em um ponto x0, entao f e contınua em x0.

DemonstracaoPara mostrar que f e uma funcao contınua, precisamos provar que lim

x→x0

f(x) = f(x0). Isto e equivalente a mostrar

que limx→x0

(f(x)− f(x0)) = 0. Como x 6= x0 (por que?), temos que

limx→x0

(f(x)− f(x0)) = limx→x0

(f(x)− f(x0)) (x− x0)

(x− x0).

Como, por hipotese, f e diferenciavel em x0, existe o limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0, e este limite e igual a f ′(x0). Estes fatos

Page 150: texto completo em PDF

134 Cap. 9 A Derivada de uma Funcao

nos permitem afirmar que

limx→x0

((f(x)− f(x0)) (x− x0)

(x− x0)

)= limx→x0

(f(x)− f(x0)

x− x0

). limx→x0

(x− x0) = f ′(x0).0 = 0,

o que demonstra o teorema.

E muito importante lembrar que a recıproca do teorema acima nao vale. Uma funcao diferenciavel e contınua, masuma funcao contınua nao precisa ser, necessariamente, diferenciavel (se voce se lembrar da funcao f(x) = |x |, jamaisesquecera qual dessas duas afirmacoes e a verdadeira e qual e a falsa).

–1.5

–1

–0.5

0.5

1

1.5

–20 –10 10 20x

As funcoes contınuas, examinadas na secao Derivadas La-terais e Diferenciabilidade, sao diferenciaveis, exceto em umponto. E facil dar exemplos de funcoes contınuas que nao saodiferenciaveis em varios pontos, ate mesmo em um numero in-finito de pontos (veja figura ao lado).

Existem exemplos muito piores do que esse. Existem funcoesque sao contınuas em todos os pontos da reta mas nao sao di-ferenciaveis em nenhum!

Em 1872, o matematico alemao Weierstrass chocou a comu-nidade matematica com um exemplo deste tipo, apresentando a seguinte funcao:

f(x) =

∞∑n=0

(1

2)n cos(13n π x)

Evidentemente, num curso de Calculo I nao e possıvel demonstrar esta afirmacao mas voce pode ter uma ideiageometrica desta funcao observando o grafico abaixo para n = 15 e deduzindo como seria uma funcao deste tipo. Paramaiores detalhes, veja [4].

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

2

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

9.5.1 Exercıcios

Exercıcio 1

1. De exemplo de uma funcao f : R→ R contınua em toda a reta e que nao tenha derivada em x = 2.

2. A figura a seguir mostra o grafico da derivada de uma funcao f . Sabendo que f e contınua em x = 1, trace umesboco do seu grafico.

–6

–4

–2

2

x

9.6 Derivadas de ordem superior

Vimos nas secoes anteriores que, por meio do processo de derivacao, e possıvel obter, a partir de uma dada funcao f ,uma outra funcao f ′, a derivada de f , cujo domınio pode ser consideravelmente menor do que o domınio da funcao f

Page 151: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 135

original. E claro que a nocao de derivabilidade e o processo de derivacao podem ser aplicados a esta nova funcao f ′,definindo-se, assim, uma outra funcao (f ′)′, cujo domınio consiste de todos os pontos x0 tais que f ′ e derivavel em x0.A funcao (f ′)′ e denotada, simplesmente por f ′′ (le-se: f duas linhas) e chamada a derivada segunda de f . Se f ′′(x0)existe, entao dizemos que f e duas vezes derivavel (diferenciavel) em x0, e o numero f ′′(x0) e a derivada segunda def calculada no ponto x = x0.

Da mesma maneira podemos definir a derivada terceira de f como f ′′′ = (f ′′)′, e assim por diante. De umamaneira geral, se k e um inteiro positivo, entao f (k) denota a derivada de ordem k de f , que e obtida derivando-se f ,sucessivamente, k vezes. As varias funcoes para k ≥ 2 sao, usualmente, chamadas derivadas de ordem superior de f .As vezes, e conveniente pensar na funcao original como a derivada de ordem zero e escrever f = f (0).

Muitas notacoes podem ser empregadas para as derivadas de ordem superior de uma funcao. Usando a notacao deoperadores escrevemos

f ′′(x) = Dx(f ′(x)) = Dx(Dx(f(x))) = Dx2 (f(x))

e, de maneira geral,

f (k)(x) = Dxk f(x).

Quando nao houver possibilidade de duvidas a respeito da variavel independente, podemos escrever, simplesmente,f ′′ = D2 f e f (k) = Dk f .

Usando a notacao de Leibniz escreve-se f ′′(x) =d 2 f(x)

dx 2 e, de maneira geral,

f (k)(x) =dk f(x)

dxk

De maneira analoga, o Maple denota estas derivadas usando a seguinte notacao:

f ′′(x) =∂2

∂x2f(x) , f ′′′(x) =

∂3

∂x3f(x) . . .

Os exemplos a seguir mostram como as derivadas de ordem superior estao relacionadas com a funcao original.

9.6.1 Exemplos

Exemplo 1 Seja f(x) = x2. Entao, e facil verificar que f ′(x) = 2x, f ′′(x) = 2 e f (k)(x) = 0, para k ≥ 3.

Observando os graficos destas funcoes, tracados a seguir, tente relacionar as principais caracterısticas da funcaooriginal com o comportamento das suas duas primeiras derivadas.

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2x

f

–4

–2

2

4

–2 –1 1 2x

Derivada de f

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

–2 –1 0 1 2x

Derivada Segunda de f

Exemplo 2

Um exemplo mais ilustrativo e dado pela funcao f(x) =

x2 , x > 0−x2 , x ≤ 0

. E facil ver que f ′(x) =

2x , x > 0−2x , x < 0

.

Alem disso, f ′(0) = limx→0

f(x)− f(0)

x= limx→0

f(x)

x.

Como

limx→0+

f(x)

x= limx→0+

x2

x= 0 e lim

x→0−

f(x)

x= limx→0−

−x2

x= 0,

entao f ′(0) = 0. Resumindo, f ′(x) = 2 |x |. Veja os graficos de f e f ′, a seguir.

Page 152: texto completo em PDF

136 Cap. 9 A Derivada de uma Funcao

–4

–2

2

4

–2 –1 1 2x

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2x

Neste caso, f ′′(x) =

2 , x > 0−2 , x < 0

e, como ja vimos, nao existe f ′′(0). Veja, abaixo, o grafico de f ′′.

–2

–1

1

2

–2 –1 1 2x

Repare que mesmo funcoes aparentemente “suaves”, como a analisada neste exemplo, revelam um certo tipo deirregularidade quando se examina a sua segunda derivada. Portanto, exigir que uma funcao seja duas vezes derivavel(diferenciavel) e mais restritivo do que exigir, simplesmente, que ela seja derivavel. De um modo geral, quando dizemosque uma funcao e “bem comportada” estamos afirmando que tal funcao e pelo menos duas vezes derivavel em todosos pontos do seu domınio.

Exemplo 3 Derivando funcoes com o auxılio do Maple

Veja como e possıvel usar o Maple para calcular as tres primeiras derivadas da funcao f(x) = x4. Primeiro,definimos a funcao f

> f:=x->x^4;

f := x→ x4

e a seguir calculamos as suas derivadas:

> Diff(f,x)=diff(f(x),x);

∂∂x f = 4x3

> Diff(f,x,x)=diff(f(x),x,x);

∂2

∂x2 f = 12x2

> Diff(f,x,x,x)=diff(f(x),x,x,x);

∂3

∂x3 f = 24x

ou, equivalentemente:

> Diff(f,x$3)=diff(f(x),x$3);

∂3

∂x3 f = 24x

Observe agora como podemos definir as tres primeiras funcoes derivadas de f usando o Maple:

> D(f);

x→ 4x3

> D(D(f));

x→ 12x2

> (D@@2)(f);

x→ 12x2

> (D@@2)(f)(x);

12x2

Page 153: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 137

9.6.2 Exercıcios

1. Ache f ′′(x) se:

(a) f(x) = x3

(b) f(x) = x5

(c) f ′(x) = x4

(d) f(x+ 3) = x5

2. Seja f(x) =

x3 , x ≥ 0−x3 , x < 0

. Calcule f ′(x) e f ′′(x). Existe f ′′′(x), para todo x?

9.7 Atividades de laboratorio

Usando um computador e o Maple, faca as atividades propostas no arquivo labder.mws da versao eletronica destetexto.

9.8 Exercıcios adicionais

1. Considere o grafico da funcao y = f(x):

x5x4x3x2x1

(a) Se f ′(x1) = a, quanto vale f ′(x2)?

(b) Existe f ′(x3)? Justifique geometricamente sua resposta.

(c) Qual o sinal de f ′(x4) e de f ′(x5)? Justifique geometricamente sua resposta.

2. Nos exercıcios abaixo, supondo-se conhecido o valor de f ′(x0), calcule f ′(−x0) se:

(a) f e uma funcao ımpar, isto e, f(x) = −f(−x) em todos os pontos do seu domınio.

(b) f e uma funcao par, isto e, f(x) = f(−x) em todos os pontos do seu domınio.

(c) Prove que, se f e uma funcao ımpar, entao f ′(x) e par.

(d) Prove que, se f e uma funcao par, entao f ′(x) e ımpar.

(e) Se f e par, o que se pode afirmar a respeito de f ′′ ? E se f e ımpar?

(f) Ilustre estes fatos usando funcoes polinomiais.

3. Em cada um dos itens a seguir, encontre a inclinacao da reta tangente ao grafico de y = f(x) no ponto (x1, y1).Escreva a equacao da reta tangente ao grafico da funcao nesse ponto. Ache os pontos onde o grafico tem umatangente horizontal.

(a) y = 9− x2(b) y = x2

4(c) y =

√x+ 1

4. (a) Mostre que os graficos das equacoes y = 3x2 e y = 2x3 + 1 tem a mesma tangente no ponto (1, 3).

(b) Encontre as equacoes das retas que passam pelo ponto (3,−2) e sao tangentes a curva y = x2 − 7.

(c) Ache duas retas que passam pelo ponto (2, 8) que sejam tangentes a curva y = x3 .

5. Em cada um dos itens abaixo, encontre os valores de α e β para que exista f ′(1).

(a) f(x) =

x2 , x < 1αx+ β , x ≥ 1

(b) f(x) =

αx2 + β , x ≤ 1

1| x | , x > 1

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138 Cap. 9 A Derivada de uma Funcao

6. Em cada um dos itens abaixo:

(a) Determine se f e contınua em x1.

(b) Encontre as derivadas laterais de f no ponto x1, se existirem.

(c) Decida se f e diferenciavel em x1.

i. f(x) =

√1− x , x < 1

(1− x)2 , x ≥ 1, x1 = 1

ii. f(x) = 1 + |x+ 2 |, x1 = 2

iii. f(x) =

1

(x+1)2 , x 6= −11 , x = −1

, x1 = −1

iv. f(x) =

x2−1| 1−x | , x 6= 12 , x = 1

, x1 = 1

v. f(x) =

√x , x ≤ 25

x2

500 + 7520 , x ≥ 25

10x+ 75 , x > 50

, x1 = 25 e x1 = 50

7. Seja f(x) =

xn , x ≥ 00 , x ≤ 0

. Prove que f (n) existe para todo n e para todo x 6= 0 (ache uma formula para estas

derivadas).

9.9 Problemas propostos

1. Com os conhecimentos obtidos nesse capıtulo, voce e capaz de resolver completamente o problema da caixa,proposto na secao Motivacao do Cap.4 ? Isto e, qual o tamanho do corte que se deve fazer nos cantos de umafolha de plastico quadrada de 20 cm de lado, de modo a formar uma caixa sem tampa que contenha o maiorvolume de agua possıvel quando completamente cheia?Sugestao: Nessa mesma secao do Cap. 4 vimos que, para resolver esse problema, era necessario encontrar ovalor do corte x, entre 0 e 10, para o qual a funcao V = x (20− 2x)2 atinge o seu valor maximo. Caracterizegeometricamente esses pontos. Use a definicao de derivada e a caracterizacao geometrica desses pontos pararesolver esse problema.

2. Suponha que a reta L e tangente a curva y = f(x) no ponto (1, 1) como indicado na figura.

y=f(x)

L

Sabendo que a reta L corta o eixo x no ponto (3, 0), ache f(1) e f ′(1).

3. A curva a seguir representa a derivada de uma funcao y = f(x).

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 4 5 6 7x

(a) Esboce a curva y = f(x) a partir do ponto x = π, onde a funcao vale zero.

(b) Qual o angulo de intersecao da curva y = f(x) com o eixo y?

(c) Qual o angulo de intersecao da curva com o eixo x, em x = π?

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W.Bianchini, A.R.Santos 139

4. (a) Ache a equacao da reta tangente a curva y = x4 − 2x2 − x no ponto (1,−2).

(b) Verifique que a reta obtida no item anterior tangencia a curva em outro ponto e ache este ponto.

5. (a) Determine o valor de k, sabendo que a reta 3x− 4 y = 0 e tangente a curva y = x3 + k, definida para x >0.

(b) Ache uma equacao da reta que passa pelo ponto (1, 5) e e tangente a curva y = x3.

(c) Ache duas retas passando pelo ponto (2, 8) que sejam tangentes a curva y = x3.

(d) Determine as constantes a, b, c e d para que a curvay = a x3 + b x2 + c x+ d tenha tangentes horizontais nos pontos (0, 1) e (1, 0).

(e) Prove que a curva y = x5 + 2x nao tem tangentes horizontais. Qual e o menor coeficiente angular que umareta tangente a esta curva pode ter?

(f) Ache a declividade maxima do grafico dey = −x3 + 3x2 + 9x− 27.

(g) Seja f(x) = x3 − x2 − 4x+ 4. O ponto (a,b) pertence ao grafico de f e a reta tangente ao grafico de f em(a,b) passa pelo ponto (0,−8) que nao esta no grafico de f . Ache o valor de a e b.

6. (a) Considere a funcao g(x) =

x sen( 1

x ) , x 6= 00 , x = 0

.

Observe que | g(x) | ≤ x, para todo x. Esta funcao e dife-renciavel no zero?

–0.4

–0.2

0.2

0.4

–0.4 –0.2 0.2 0.4x

(b) A seguir tracamos o grafico de uma funcao g(x) =

x2 sen( 1

x ) , x 6= 00 , x = 0

. Observe que | g(x) | ≤ x2, para

todo x.

–0.2

–0.1

0.1

0.2

–0.4 –0.2 0.2 0.4x

i. Prove que g′(0) = 0 e que o mesmo acontece para toda funcao com a propriedade acima.

ii. Verifique que g′(x) nao tem limite quando x tende a zero.(Os dois exercıcios acima mostram que quando calculamos a derivada g′(x) de uma funcao g em umponto qualquer x, o calculo de g′(x0) so e possıvel se a derivada g′ for contınua em x0).

iii. As funcoes f(x) = x |x|, g(x) = x2 |x|, h(x) = x3 |x| possuem derivada no ponto zero? Em caso afir-mativo, quanto vale a derivada neste ponto?

7. Utilize o grafico de dydx = f ′(x) = (x− 1) (x− 2)2 (x− 3)3 a seguir para esbocar o grafico de y = f(x).

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

1 2 3 4 5x

8. (a) Seja P um ponto da curva y = x3 e suponha que a reta tangente a curva em P intercepta-a novamente emQ. Mostre que a inclinacao da reta tangente em Q e quatro vezes a inclinacao da reta tangente em P .

(b) Encontre os pontos P e Q na parabola y = 1− x2, tais que o triangulo ABC formado pelo eixo x e pelasretas tangentes ao grafico em P e Q seja equilatero.

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140 Cap. 9 A Derivada de uma Funcao

(c) Considere a parabola y = x2 e um ponto x0 6= 0 no eixo das abscissas. Por x0, traca-se uma paralela aoeixo das ordenadas que ao interceptar a parabola, determina Q0. Por Q0 traca-se a reta normal a parabolacuja intersecao com o eixo das ordenadas determina P0. Este procedimento define uma funcao f que a cadax0 6= 0 associa P0 = f(x0). Determine, se existir, a posicao limite de P0 quando x0 → 0 tende a zero.

9.10 Para voce meditar: Um sofisma

Sabemos (secao Diferenciabilidade e Continuidade) que se uma funcao y = f(x) e diferenciavel em um ponto x0,entao e necessariamente contınua neste ponto. No entanto, a interpretacao geometrica de derivada parece nos levarao paradoxo descrito a seguir. O grafico a seguir mostra uma funcao contınua com a sua reta tangente no ponto deabscissa x0.

x o

0

10

20

30

1 2 3 4 5 6 7 8

Nao existe nenhuma duvida quanto ao fato de a curva ser diferenciavel em x0. Considere, agora, uma nova funcaof(x) obtida a partir da funcao anterior “cortando-se” a curva dada no ponto x0 e transladando-se para cima “a parteda direita do seu grafico”.

0

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5 6 7 8x

“Por construcao, vemos que, no ponto de abscissa x0, a declividade da tangente ao arco de curva a esquerda(derivada lateral a esquerda) e igual a declividade da tangente ao arco de curva a direita (derivada lateral a direita).Portanto, o caso acima e um exemplo de uma funcao derivavel em x0 e, evidentemente, descontınua neste ponto, oque contradiz o teorema citado!”

- Mostre onde esta o erro no raciocınio acima, reafirmando, assim, a veracidade do teorema.

9.11 Um pouco de historia: Curvas sem tangentes e movimentoBrowniano

Vimos, na secao Diferenciabilidade e Continuidade, que existem curvas contınuas sem derivada em nenhum ponto, ouseja, funcoes contınuas cujos graficos nao tem tangente em nenhum ponto. Varios matematicos, dentre eles Bolzano(1781-1849) e Weierstrass (1815-1897), construıram funcoes deste tipo. O exemplo que atraiu mais atencao foi o queWeierstrass apresentou a Academia de Berlim em 1872. Embora a ideia geometrica da construcao de tais funcoespossa parecer simples (trata-se de obter, por um processo de limite, uma funcao cujo grafico seja composto somentepor pontos angulosos!), a construcao analıtica de uma funcao com esta propriedade e um processo muito delicado, quenao cabe fazer num curso de Calculo.

A ideia de curva contınua sem tangente nao condiz com a nossa intuicao geometrica. Seria de esperar que taiscurvas nao passassem de exemplos matematicos, sem aplicacoes no mundo fısico. No entanto, acontece o contrario!Existe na natureza um tipo importante de movimento, chamado movimento Browniano, cuja trajetoria e uma curvacontınua sem tangente.

Em 1827, um botanico escoces chamado Robert Brown (1773-1858), investigando o processo de polinizacao numacerta especie de flor, observou no microscopio um rapido movimento desordenado de partıculas em suspensao nummeio fluido.

Os fısicos so comecaram a estudar este movimento muito mais tarde, sem resultados significativos, ate que, em1905, Albert Einstein, num estudo memoravel sobre o efeito fotoeletrico, lancou a ideia deste movimento ser devido a

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W.Bianchini, A.R.Santos 141

agitacao termica das partıculas.Nesta epoca, as ideias de atomos e moleculas eram mais usadas pelos fısicos como um meio de explicar determinados

fenomenos e muito pouco como partıculas com existencia real. Einstein procurou deduzir consequencias que pudessemser verificadas experimentalmente, o que confirmaria a existencia dessas partıculas atomicas.

Procedendo deste modo e considerando que partıculas em suspensao num fluido sofrem o impacto de inumerasmoleculas a sua volta, Einstein foi levado a prever um movimento desordenado das partıculas, o chamado movimentoBrowniano. E curioso notar que Einstein descobriu esse fenomeno num estudo puramente teorico, so vindo a conheceros estudos anteriores sobre este movimento depois de ter terminado suas investigacoes.

Na decada de 1920, o matematico americano Norbert Wiener (1894-1964) iniciou uma teoria matematica sobre omovimento Browniano, dando uma interpretacao precisa de “movimento ao acaso” de uma partıcula. Neste trabalho,ele demonstrou que a trajetoria de uma partıcula em suspensao num fluido e uma curva contınua sem tangente emnenhum ponto. Isto acontece porque a partıcula, a cada instante, esta recebendo o impacto desordenado das moleculasdo fluido, de maneira que, em seu movimento, muda continuamente de direcao, nao possuindo velocidade instantaneadefinida em nenhum ponto.

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Capıtulo 10

Teoremas e Propriedades Operatorias

Como vimos no capıtulo anterior, mesmo que nossa habilidade no calculo de limites seja bastante boa, utilizar direta-mente a definicao para calcular derivadas de funcoes e uma tarefa um tanto quanto trabalhosa, que pode se transformarnum processo penoso e cansativo. Para evitar este tipo de transtorno, precisamos estabelecer regras gerais que permi-tam, a partir de umas poucas derivadas conhecidas, derivar qualquer funcao que possa ser obtida, a partir daquelasoutras, por meio de operacoes elementares, isto e, adicao, multiplicacao por constante, multiplicacao e divisao. Este eo objetivo das regras que iremos ver a seguir, que, uma vez demonstradas, transformam o processo de derivar funcoesem simples manipulacoes algebricas, o que torna esta tarefa menos penosa e ate mesmo facil e agradavel.

10.1 Regras de derivacao

10.1.1 Derivada de uma funcao constante

Teorema 1Se f(x) = c, para todo x do seu domınio, entao f e derivavel e f ′(x) = 0 para todo x do domınio de f .

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

–4 –2 0 2 4x

Esta primeira regra de derivacao diz que a derivada de uma funcaoconstante e identicamente igual a zero. Este resultado se torna obviose lembrarmos que a derivada de uma funcao pode ser interpretadacomo a declividade da reta tangente ao seu grafico em cada ponto.O grafico de uma funcao constante e uma reta horizontal, que e suapropria tangente, cujo coeficiente angular e igual a zero em qualquerum de seus pontos. Veja ao lado a figura, onde tomamos a funcao

f(x) = c = 2. Observe que o quociente f(x)−f(x0)x−x0

= c−cx−x0

= 0, parax 6= x0. Como a razao incremental acima e zero, concluımos que:

f ′(x) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0= 0.

10.1.2 Derivada de uma constante vezes uma funcao

Seja f uma funcao derivavel e c uma constante qualquer. Defina g como o produto de c por f , isto e,

g(x) = (cf)(x) = cf(x).

Podemos, agora, enunciar a segunda regra de derivacao, dada pelo teorema a seguir.

Teorema 2Seja g = c f . Se f e uma funcao derivavel, entao g e derivavel e

g′(x) = cf ′(x).

Demonstracao

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x=c f(x+ ∆x)− c f(x)

∆x= c

((f(x+ ∆x)− f(x))

∆x

).

142

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W.Bianchini, A.R.Santos 143

Assim, como por hipotese f e derivavel, segue que lim∆ x→0

g(x+ ∆x)− g(x)

∆xexiste e, portanto, g e derivavel. Alem

disso, usando a definicao de derivada e os calculos acima,

g′(x) = lim∆ x→0

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x= lim

∆ x→0

(c f)(x+ ∆x)− (c f)(x)

∆x

= lim∆ x→0

c f(x+ ∆x)− c f(x)

∆x= c ( lim

∆ x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x) = c f ′(x)

Simbolicamente, escrevemos simplesmente(cf)′ = c f ′.

Exemplo A funcao g(x ) = 5x pode ser vista como o produto da constante 5 pela funcao f (x ) = x. Assim, aderivada g′(x) = (5x)′ = 5 (x)′ = 5.

10.1.3 Derivada da soma

Teorema 3 A regra da somaSeja h a funcao definida como a soma de duas funcoes derivaveis f e g, isto e,

h(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x).

Entao h e derivavel eh′(x) = (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).

Demonstracao Como h(x) = f(x) + g(x), entao:

h(x+ ∆x)− h(x)

∆x=

(f + g) (x+ ∆x)− f + g(x)

∆x= (

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x+g(x+ ∆x)− g(x)

∆x)

Assim, como f e g, por hipotese, sao derivaveis, existe o limite de cada uma das parcelas do lado direito daexpressao acima. Logo, pela linearidade do limite (o limite da soma e igual a soma dos limites), a funcao h e derivavele segue, imediatamente, que:

h′(x) = (f + g)′(x) lim∆ x→0

(f + g)(x+ ∆x)− (f + g)(x)

∆x= lim

∆ x→0

(f(x+ ∆x)− f(x)

∆x+g(x+ ∆x)− g(x)

∆x

)= ( lim

∆ x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x) + ( lim

∆ x→0

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x) = f ′(x) + g′(x)

Quando nao ha duvida sobre a variavel que estamos considerando nas derivadas, simplesmente escrevemos

(f + g)′ = f ′ + g′

ou seja, a derivada da soma de duas funcoes e a soma das derivadas.Usando a notacao de Leibniz, podemos escrever esta regra como

d (f + g)

dx=

df

dx+

dg

dx

Observacao Podemos aplicar a regra da soma, repetidamente, para achar a derivada da soma de tres ou maisfuncoes derivaveis. Por exemplo,

(f + g + h)′ = (f + g)′ + h′ = f ′ + g′ + h′.

As duas regras anteriores tem como consequencia imediata os corolarios a seguir:

Corolario 1 Derivada de uma combinacao linearSe f e g sao duas funcoes derivaveis e a e b sao dois numeros reais fixos, entao a funcao h = af + bg e derivavel e

h′ = (a f + b g)′ = a f ′ + b g′

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144 Cap. 10 Teoremas e Propriedades Operatorias

Observacao Se a e b sao dois numeros reais quaisquer, a expressao a f + b g e denominada uma combinacaolinear de f e g .

Corolario 2 Derivada de um polinomioPara n inteiro positivo, ja vimos que (xn)′ = nxn−1. Aplicando este resultado e as regras obtidas acima ao

polinomio

p(x) = a0 + a1 x+ a2 x2 + . . .+ an x

n,

obtemos imediatamente que

p′(x) = a1 + 2 a2 x+ . . .+ nan x(n−1)

Com este resultado fica muito facil determinar a equacao de uma reta tangente ao grafico de um polinomio.

Exercıcio 1 Determine a equacao da reta tangente ao grafico de y = 5x3 − 3x2 + 10 no ponto (1, 12).

10.1.4 Derivada do produto

Seria natural pensarmos, tendo em vista a regra da soma para derivadas, que a derivada do produto de duas funcoesderivaveis seria o produto das suas derivadas. Sera esta afirmacao verdadeira? Considere, por exemplo, a funcaof(x) = x2 = xx. Se, por um lado, (x2)′ = 2x, por outro x′ = 1. O que nos leva, no caso da afirmacao acima serverdadeira, a concluir que 2x = 1!

O exemplo acima nos mostra que, de um modo geral, a derivada de um produto nao e o produto das derivadas.Para descobrir qual e a regra que nos fornece a derivada que estamos procurando calcular, e preciso observar, com umpouco mais de atencao, a razao incremental da definicao de derivada para o produto de duas funcoes

(f g)(x+ ∆x)− (f g)(x)

∆x=f(x+ ∆x) g(x+ ∆x)− f(x) g(x)

∆x

e, a partir desta observacao, tentar, de alguma maneira, relacionar esta expressao com as derivadas de f e g. Ainterpretacao geometrica do numerador como areas de retangulos nos da uma pista de como isto pode ser feito:

III II

I

∆g(x+ x)

g(x)

∆f(x+ x)f(x)

A area do retangulo maior, formado pelos quatro menores, representa o produto f(x + ∆x) g(x + ∆x), e a areado retangulo escuro, o produto de f(x) g(x). A diferenca entre esses dois fatores e a soma das areas dos retangulos I,II e III, isto e,

(f(x+ ∆x)− f(x)) g(x) + (f(x+ ∆x)− f(x)) (g(x+ ∆x)− g(x)) + f(x) (g(x+ ∆x)− g(x)).

Assim, podemos escrever a razao incremental da derivada f g como:

f(x+ ∆x) g(x+ ∆x)− f(x) g(x)

∆x=

(f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

)g(x) + f(x)

(g(x+ ∆x)− g(x)

∆x

)+

(f(x+ ∆x)− f(x)) (g(x+ ∆x)− g(x))

∆x

Como f e g sao derivaveis, existe o limite das duas primeiras parcelas do lado direito da expressao acima. Alemdisso, como g e derivavel, entao e contınua (veja Diferenciabilidade e continuidade) e, portanto, lim

∆ x→0g(x + ∆x) =

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W.Bianchini, A.R.Santos 145

g(x). Logo, supondo f e g derivaveis, podemos concluir que o limite da terceira parcela da expressao anterior tambemexiste, pois

lim∆ x→0

(f(x+ ∆x)− f(x)) (g(x+ ∆x)− g(x))

∆x=

(lim

∆ x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

)lim

∆ x→0(g(x+∆x)−g(x)) = f ′(x) 0 = 0

Daı, concluımos que

lim∆ x→0

h(x+ ∆x)− h(x)

∆x= lim

∆ x→0

f(x+ ∆x) g(x+ ∆x)− f(x) g(x)

∆x

existe e, portanto, h e derivavel. Calculando este limite, temos que:

h′(x) = (f g)′(x) = lim∆ x→0

(f g)(x+ ∆x)− (f g)(x)

∆x

=

(lim

∆ x→0

(f(x+ ∆x)− f(x)]

∆x

)g(x) + f(x)

(lim

∆ x→0

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x

)+ lim

∆ x→0

(f(x+ ∆x)− f(x)) (g(x+ ∆x)− g(x))

∆x

Como vimos, o limite da terceira parcela desta ultima expressao e zero, e daı temos a formula

h′(x) = (f g)′(x) = f ′(x) g(x) + f(x) g′(x).

Se nao houver possibilidade de duvidas sobre qual e a variavel independente, podemos escrever simplesmente

(f g)′ = f ′ g + f g′.

Demonstramos, portanto, o seguinte teorema:

Teorema 4 Regra do produtoSe f e g sao duas funcoes derivaveis, entao h = f g e derivavel e

(f g)′(x) = f ′(x) g(x) + f(x) g′(x).

Usando a notacao de Leibniz, este resultado pode ser escrito da seguinte maneira

d (fg)

dx=

(df

dx

)g + f

(dg

dx

)Observacao Podemos aplicar a regra do produto, repetidamente, para achar a derivada do produto de tres ou

mais funcoes derivaveis. Por exemplo,

(f g h)′ = (f g)′ h+ (f g)h′ = (f ′ g + f g′)h+ f g h′ = f ′ g h+ f g′ h+ f g h′.

Exemplo Calcule a derivada de f(x) = (20x5 − 3x4 + x3 + 4x2) (x7 − 8x5).

Solucao Podemos, primeiro, efetuar a multiplicacao e depois derivar ou usar a regra do produto.Usando a regra do produto, temos:

f ′(x) = ((20x5 − 3x4 + x3 + 4x2) (x7 − 8x5))′

= (20x5 − 3x4 + x3 + 4x2)′ (x7 − 8x5) + (20x5 − 3x4 + x3 + 4x2) (x7 − 8x5)′

= (100x4 − 12x3 + 3x2 + 8x) (x7 − 8x5) + (20x5 − 3x4 + x3 + 4x2) (7x6 − 40x4)

A regra do produto pode ser aplicada para determinarmos a derivada da potencia de uma funcao. Este resultadoe estabelecido no corolario a seguir.

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146 Cap. 10 Teoremas e Propriedades Operatorias

Corolario 3 Regra da potencia generalizada (para n inteiro positivo)Seja n um inteiro positivo, se f e uma funcao diferenciavel, entao

(fn)′(x) = n fn−1(x) f ′(x),

onde, como usualmente, por fn estamos denotando o produto de n fatores iguais a f.

Para demonstrar este corolario basta aplicar a regra da derivada, deduzida nesta secao, ao produto de n fatoresiguais a f.

Exemplo Seja g(x) = (x3−17x+ 35)2. Vamos aplicar as regras de derivacao ja estabelecidas para calcular g′(x).

Como g(x) = (f(x))n, onde f(x) = x3 − 17x + 35, pelo Corolario 3 , temos que g′(x) = 2 (x3 − 17x + 35) f ′(x).Pelas regras da soma, da potencia e da multiplicacao por constante, sabemos que f ′(x) = 3x2 − 17.

Assim, g′(x) = 2(x3 − 17x+ 35) (3x2 − 17).

Exercıcio 2

1. Mostre que e obtido o mesmo resultado se efetuarmos primeiro a operacao (x3 − 17x+ 35)2 e depois derivarmosa expressao resultante.

2. Derive a funcao g(x) = (x4 − 2x3 + 18x2 + 14)100.

10.1.5 Derivada do quociente

Da mesma forma que na regra do produto, a derivada do quociente de duas funcoes nao e o quociente das derivadas.(Voce consegue dar um exemplo que mostre a veracidade desta afirmacao?) A regra do quociente e estabelecida noteorema abaixo:

Teorema Regra do quociente

Se f e g sao duas funcoes derivaveis e g(x) 6= 0, entao h(x) = (f

g)(x) =

f(x)

g(x)e derivavel e

h′(x) =f ′(x) g(x)− f(x) g′(x)

(g(x))2

DemonstracaoO numerador da razao incremental apresenta a mesma dificuldade que apareceu no estudo da regra do produto. A

solucao e fazer o que fizemos naquele caso, ou seja, somar e subtrair determinados termos. Assim,

f(x+∆ x)g(x+∆ x) −

f(x)g(x)

∆x=

f(x+ ∆x) g(x)− f(x) g(x+ ∆x)

∆x (g(x+ ∆x) g(x))

=f(x+ ∆x) g(x)− f(x) g(x) + f(x) g(x)− f(x) g(x+ ∆x)

∆x (g(x+ ∆x) g(x))

=

(f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

) (g(x)

g(x+ ∆x) g(x)

)−(

f(x)

g(x+ ∆x) g(x)

) (g(x+ ∆x)− g(x)

∆x

)

Por hipotese f e g sao derivaveis e, observando que g e contınua (por que?), temos tambem que lim∆ x→0

g(x+∆x) =

g(x). Logo o limite lim∆ x→0

f(x+∆ x)g(x+∆ x) −

f(x)g(x)

∆xexiste e, consequentemente, h e derivavel e

h′(x) = lim∆ x→0

f(x+∆ x)g(x+∆ x) −

f(x)g(x)

∆x= lim

∆ x→0

f(x+ ∆x) g(x)− f(x) g(x+ ∆x)

∆x (g(x+ ∆x) g(x))

Page 163: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 147

= lim∆ x→0

f(x+ ∆x) g(x)− f(x) g(x) + f(x) g(x)− f(x) g(x+ ∆x)

∆x (g(x+ ∆x) g(x))

=( lim∆ x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x) g(x)− f(x) ( lim

∆ x→0

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x)

( lim∆ x→0

g(x+ ∆x)) g(x)

=f ′(x) g(x)− f(x) g′(x)

(g(x))2

Usando a notacao de Leibniz, podemos escrever esta regra como:

d

d x

(f

g

)=

(d fd x

)g − f

(d gd,x

)g2

.

Exemplo Calcule a derivada de f(x) = 2−x2

3+x3 .

Solucao

f ′(x) =(2− x2)′ (3 + x3)− (2− x2) (3 + x3)′

(3 + x3)2=−2 (3 + x2)− (2− x2) 3x3

(3 + x3)2.

Em particular, a regra do quociente nos permite obter os dois resultados expressos nos corolarios abaixo.

Corolario 4 Derivada da recıproca de uma funcaoSe f e uma funcao diferenciavel em x e f(x) 6= 0, entao, a funcao g = 1

f e diferenciavel e

g′ =

(1

f

)′= − f

f2.

Exercıcio Calcule a derivada das seguintes funcoes:

(a) f(x) =1√x

(b) f(x) =1

x2

Corolario 5 Regra da potencia para n inteiro qualquer

Se n e um numero inteiro, entao (xn)′ = nx(n−1).

Ja vimos, como consequencia direta da definicao de derivada, que se n e um inteiro positivo entao (xn)′ = nx(n−1).- Utilizando o corolario anterior, prove que esta regra vale para n inteiro negativo.- Se n = 0, como e possıvel interpretar este corolario?

10.2 Exercıcios adicionais

1. Calcule as derivadas das seguintes funcoes:

(a) f(x) = (2x2 + 1) ( 1x2 + 4x+ 8)

(b) f(x) = (x3 + x2)5

(x4 − 99)

(c) g(x) = 17 x+27

(d) g(x) = 2√x+x4

(x+1) x3

(e) f(x) = [x3+1x3+3 ] (x2 − 2x−1 + 1)

(f) g(x) = 1+6 x+x−12

7 x−2

(g) y = x3 (x2 + 1) (x+ 1)

(h) y = (x5 + 1x ) (x5 + 1)

(i) f(s) =√

3 (s3 − s2)

(j) h(y) =√y−y−

12

y2

Page 164: texto completo em PDF

148 Cap. 10 Teoremas e Propriedades Operatorias

2. Ache uma funcao de x cuja derivada seja a funcao dada a seguir:

(a) f(x) = 3x2

(b) f(x) = 4x3 + 3x2

(c) f(x) = 3x2 + 2x− 5

(d) f(x) = − 1x2

(e) f(x) = an xn + an−1 x

(n−1) + . . .+ a0

(f) Nos itens anteriores, ache outra funcao de x cuja derivada seja a funcao dada.

3. Calcule as quatro primeiras derivadas de:

(a) y = 8x− 3

(b) f(x) = 8x2 − 11x+ 2

(c) g(x) = 8x3 + 7x2 − x+ 9

(d) h(x) = x4 − 13x3 + 5x2 + 3x− 2

(e) y(x) = x( 52 )

4. Calcule a derivada indicada em cada caso:

(a) y′′ se y = x1−x

(b) y′′ se y = x2 − 1x2

(c) ∂2

∂x21−x1+x

(d)d2 (x3+ 1

x3)

dx2

(e) d500 f(x)dx500 , onde f(x) = x131 − 3x79 + 4

5. Determine uma formula geral para y(n), em cada caso:

(a) y = 11−x (b) y = 1

1+3 x(c) y = x

1+x

6. Ache todas as derivadas nao nulas de f(x) = x6 − 2x4 + 3x3 − x+ 2

10.3 Problemas

1. Se f(x) = x−1x+1 , para x 6= −1, calcule f ′(1) e f ′′(1).

2. Sejam f e g duas funcoes diferenciaveis cujos valores e os de suas derivadas nos pontos x = 1 e x = 2 sao dadosna tabela abaixo.

x f(x) g(x) f ′(x) g′(x)1 3 2 5 42 2 π 6 7

Determine o valor da derivada de:

(a) f + g em x = 2

(b) f g em x = 1 e em x = 2

(c) fg em x = 1

(d) gf em x = 2

(e) 4 f em x = 1

(f) g2 em x = 2

3. Sejam f e g as funcoes cujos graficos sao mostrados abaixo e seja u(x) = f(x) g(x) e v(x) = f(x)g(x) .

(a) Calcule u′(1) (b) Calcule v′(6)

f

g

0

1

2

3

4

–2 2 4 6x

Page 165: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 149

4. (a) Se f + g e derivavel em x0, f e g sao necessariamente derivaveis em x0?

(b) Se f g e f sao derivaveis em x0, que condicoes f deve satisfazer para que se possa garantir que g sejadiferenciavel em x0?

5. Sejam g e h funcoes diferenciaveis, definidas em toda a reta e que satisfazem as seguintes propriedades:

(i) g(x)2 + h(x)2 = 1 (ii) g′(x) = h(x)2 (iii) h(x) > 0, em todo o seu domınio.

Prove que h′(x) = −g(x)h(x).

6. Mostre que as tangentes as curvas y = x2+45x2 e y = x2−4

x2+1 em x = 3 sao perpendiculares entre si.

7. (a) Esboce o grafico da funcao g(x) =∣∣x2 − 4

∣∣− ∣∣x2 − 9∣∣.

(b) Calcule g′(x) e explicite o seu domınio.

8. A seguir tracamos, em conjunto, o grafico da funcao y = xn

1+x2 e da sua derivada, para n = 0, 1, 2 e 3.

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–4 –2 2 4x

n=0

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–4 –2 2 4x

n=1

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

–4 –2 2 4x

n=2

–4

–2

0

2

4

–4 –2 2 4x

n=3

(a) Identifique, em cada caso, qual o grafico da funcao e qual o grafico da sua derivada.

(b) Mostre que, para n = 0 e n = 2, existe um unico ponto no grafico da curva y = f(x) onde a reta tangentee horizontal.

(c) Mostre que, para n = 1, ha dois pontos no grafico da curva y = f(x) em que a reta tangente e horizontal.

(d) Mostre que, para 3 ≤ n, (0, 0) e o unico ponto no grafico da curva y = xn

1+x2 em que a reta tangente ehorizontal.

(e) Parece haver dois pontos no grafico da curva y = x3

1+x2 em que a reta tangente tem coeficiente angular iguala 1. Determine estes pontos.

(f) Seja y = x3

1+x2 . Parece haver tres pontos no grafico da curva y = f ′(x) em que a reta tangente e horizontal.Determine estes pontos.

9. (a) Se f(x) = 1x , obtenha uma formula para f (n)(x), onde n e um inteiro positivo. Quanto vale f (n)(1) ?

(b) Se f(x) =√x, obtenha uma formula para f (n)(x), onde n e um inteiro positivo.

(c) Se f(x) e um polinomio de grau n, mostre que, se n < k, f (k)(x) = 0.

10. (a) Se f(x) = 1x2+x , tente achar uma formula para f (n)(x).

(Voce deve se convencer de que, desta maneira, os calculos sao por demais trabalhosos, tornando esta tarefaquase impossıvel! )

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150 Cap. 10 Teoremas e Propriedades Operatorias

(b) Use a identidade 1x (x+1) = 1

x−1

x+1 para calcular as derivadas mais facilmente e, entao, achar uma expressao

para f (n)(x).Observacao: Este metodo de dividir uma fracao em fracoes mais simples e denominado decomposicao emfracoes parciais e sera visto em detalhes no capıtulo Tecnicas de Integracao.

11. (a) Obtenha um polinomio f(x) de grau 2, tal que f(0) = 5, f ′(0) = 3, f ′′(0) = −4.

(b) Obtenha um polinomio f(x) de grau 2, tal que f(1) = 5, f ′(1) = 3, f ′′(1) = −4.

12. Sabendo que (1 + x)n e um polinomio de grau n, isto e,

(1 + x)n = a0 + a1 x+ a2 x2 + . . .+ an x

n

prove a formula do Binomio de Newton.Sugestao: Derive sucessivamente ambos os membros da equacao acima e calcule o valor dos coeficientes fazendox = 0, em cada uma das expressoes encontradas.

13. Seja P (x) = (x− r) (x− s).

(a) Mostre que se r 6= s, entao P (r) = P (s) = 0, mas P ′(r) 6= 0 e P ′(s) 6= 0.

(b) Mostre que se r = s , entao P (r) = 0 e P ′(r) = 0

Observacao: Os numeros r e s, solucoes da equacao P (x) = 0, sao chamados raızes do polinomio P . Se r = s,entao r e uma raiz dupla. O problema acima mostra que r e uma raiz dupla se, e somente se, P (r) = 0 eP ′(r) = 0. Assim, em um ponto que e raiz dupla, o grafico de P e tangente ao eixo dos x (Por que?).

14. Considere o polinomio P (x) = (x− r1) (x− r2) . . . (x− rm), onde r1, r2...rm sao numeros reais chamados raızesde P .

(a) Mostre que se nao ha raızes iguais, entao P (rj) = 0, mas P ′(rj) 6= 0, para cada j.

(b) Mostre que se rj = rk e k 6= j, entao P ′(rj) = 0 e (x− rj) e um fator tanto de P quanto de P ′.

10.4 Para voce meditar: Uma “demonstracao” mais simples da regrado quociente - o que esta faltando?

Usando a regra do produto, “demonstramos” a seguir a regra do quociente:

Sejam f e g duas funcoes diferenciaveis e seja h =f

g, definida nos pontos onde g 6= 0. Entao f = h g e, aplicando

a regra do produto a funcao f, temos que:f ′ = h′ g + h g′

Daı, obtemos:

h′ =f ′ − h g′

g.

Substituindo o valor de h nesta ultima expressao, vem que

h′ =f ′ − f

g g′

g=f ′

g− f g′

g2=f ′ g − f g′

g2

o que demonstra a regra do quociente.

Voce e capaz de descobrir o “erro” nesta demonstracao? Em outras palavras, se todos os algebrismos aplicados na“demonstracao” estao corretos, voce e capaz de explicar por que este raciocınio nao demonstra a regra do quociente?

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Capıtulo 11

Velocidade, Aceleracao e Outras Taxas deVariacao

11.1 Introducao

Ate aqui entendemos a derivada de uma funcao como a inclinacao da reta tangente ao seu grafico. Veremos a seguirque o conceito de derivada esta relacionado a muitas outras interpretacoes. Dentre estas, talvez a mais importanteseja o problema de calcular a velocidade de um objeto movel. Os conceitos de velocidade e de aceleracao, definidoscomo taxas de variacao instantanea, desempenharam um papel de primordial importancia no desenvolvimento doCalculo feito por Newton, em seus esforcos para descobrir os princıpios da Dinamica e compreender os movimentosdos planetas. As ideias a serem discutidas nesta secao mostram que a interpretacao da derivada como taxa da variacaoentre duas quantidades, ou melhor, como uma razao de variacao entre a variavel dependente e a variavel independentee importante em varios ramos da Ciencia, incluindo as Ciencias Biologicas e Sociais e a Economia.

11.2 Velocidade media

Suponha que voce faca uma viagem de carro do Rio a Sao Paulo pela Via Dutra. Quando parte do Rio voce zera ohodometro e comeca a cronometrar o tempo. Considere s a distancia percorrida pelo carro, dada em km, como umafuncao do tempo decorrido t, dado em horas. Veja a tabela que indica, para algumas localizacoes do carro durante opercurso, o tempo transcorrido e a distancia percorrida.

Percurso Rio B. do Piraı Resende Taubate Ap. do Norte S. Bernardo SPt 0 1.5 2 2.7 3 4 5s(t) 0 100 150 240 280 350 420

A partir dos dados desta tabela e possıvel calcular a velocidade media desta viagem. Como sabemos, a velocidade

media e definida como:

velocidade media =distancia percorridatempo transcorrido

Neste caso, portanto, a velocidade media desenvolvida pelo automovel no percurso completo do Rio a S. Paulo foide 420

5 = 84 km/h.

Facamos uma analise da viagem estudando o grafico da distancia como funcao do tempo:

0

100

200

300

400

1 2 3 4 5

151

Page 168: texto completo em PDF

152 Cap. 11 Velocidade, Aceleracao e Outras Taxas de Variacao

Podemos calcular, facilmente, a velocidade media, vm, entre cada cidade do percurso assinalada na tabela. Assim,

a velocidade media desenvolvida por este automovel no trecho Rio–Barra do Piraı foi de100

1, 5= 66, 67; no trecho Barra

do Piraı-Resende,150− 100

2− 1, 5= 100; no trecho Resende–Taubate,

240− 150

2, 7− 2= 128, 6, e assim por diante.

Note que estas velocidades medias correspondem as declividades das retas que ligam os pontos cujas coordenadasfornecem, respectivamente, o tempo transcorrido e a distancia percorrida pelo automovel, para cada cidade assinaladano percurso. Por exemplo, no percurso do Rio (que corresponde no grafico ao ponto (0, 0) = (0, s(0))) a Barra do Piraı(ponto (1.5, 100) = (1, 5; s(1.5)), no grafico) a velocidade media desenvolvida pelo automovel foi de 66,7 km/h pois,

distancia percorrida

tempo transcorrido=s(1, 5)− s(0)

1, 5=

100

1, 5= 66, 67.

Geometricamente, este valor representa a inclinacao da reta que liga os pontos (0, 0) a (1.5, 100). De modo geral, avelocidade media, desenvolvida pelo automovel no percurso Rio de Janeiro, ponto (t0, s(t0)), a cada uma das cidadesdestacadas na tabela, ponto (t, s(t)), e dada pela formula

vm =s(t)− s(t0)

t− t0=

∆ s

∆ t.

A velocidade media nos fornece uma medida da velocidade desenvolvida pelo automovel durante todo o trajeto, ouparte dele, mas a questao que se coloca agora e como determinar a velocidade que o velocımetro do automovel indicavano exato instante em que passava por um determinado ponto do percurso, por exemplo, pelo km 78 da rodovia.

A leitura do velocımetro mede o que chamamos de velocidade instantanea, ou, simplesmente, velocidade do au-tomovel, e e este conceito que abordaremos no exemplo estudado na proxima secao.

11.3 Velocidade instantanea

Suponha que uma bola e lancada verticalmente para cima. Sua distancia ao solo em cada instante t (em segundos) econhecida e dada por s(t) = −t2 + 4 t metros .

> s:=t->-t^2+4*t;

s := t→ −t2 + 4 t

> plot(s(x),x=0..5,s=0..5);

0

1

2

3

4

5

s

1 2 3 4 5x

O problema que queremos resolver e o de determinar a velocidade da bola em cada instante de tempo t, isto e,determinar a velocidade instantanea da bola para cada t fixado, por exemplo em t0 = 1 segundo.

Ja que nao sabemos, ate o momento, como calcular velocidades instantaneas e nem mesmo como definir matema-ticamente este conceito, vamos tentar, pelo menos, obter uma resposta aproximada para este problema.

Parece razoavel tomar como aproximacao para a velocidade da bola no instante t0 = 1, a velocidade media calculadasobre um intervalo de tempo ∆ t = t− t0, com t proximo de t0. Por exemplo, para t = 2 segundos, temos ∆ t = 1 e

vm =s(1 + ∆ t)− s(1)

∆ t= s(2)− s(1).

Calculando este valor, obtemos:

> s(2)-s(1);

1

Para t = 1, 5 segundos, temos ∆ t = 0, 5 e

vm =s(1 + ∆ t)− s(1)

∆ t=s(1, 5)− s(1)

0, 5.

Calculando este novo valor, obtemos:

Page 169: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 153

> (s(1.5)-s(1))/0.5;

1.500000000

Para t = 1, 01 segundos, temos ∆ t = 0, 1 e

vm =s(1 + ∆ t)− s(1)

∆ t=s(1, 1)− s(1)

0, 1

e daı, obtemos:

> (s(1.1)-s(1))/0.1;

1.9

Prosseguindo com este raciocınio, tomando valores de t cada vez mais proximos de 1, isto e, fazendo ∆ t seaproximar cada vez mais de zero, obteremos uma sequencia de valores para vm que parece convergir para dois, comomostra a tabela a seguir:

t vm1.500000000 1.5000000001.250000000 1.7500000001.125000000 1.8750000001.062500000 1.9375000001.031250000 1.9687500001.015625000 1.9843750001.007812500 1.9921875001.003906250 1.9960937501.001953125 1.9980468751.000976563 1.999023438

Para obter aproximacoes cada vez melhores para a velocidade instantanea em t = 1, basta calcularmos a velocidade

media sobre intervalos de tempo progressivamente mais curtos. Estas observacoes indicam que e possıvel definir avelocidade em t = 1 como o limite destas velocidades medias. Assim, temos:

v(1) = limt→1

s(t)− s(1)

t− 1

e este limite e precisamente a derivada da funcao s(t) calculada em t = 1. Assim, podemos escrever, simplesmente:

v(t) = s′(t) = lim∆ t→0

∆ s

∆ t.

Portanto, no problema que estamos estudando, a velocidade da bola em t = 1 s e dada por

v(1) = s′(1) = Dt (−t2 + 4 t)∣∣t=1

= −2 t+ 4|t=1 = 2 m/s ,

ou, usando o Maple:

> v:=D(s);

v := t→ −2 t+ 4

> v(1);

2

De um modo geral, a velocidade instantanea em um ponto t0 qualquer e definida por:

v(t0) = lim∆ t→0

s(t0 + ∆ t)− s(t0)

∆ t= limt→t0

s(t)− s(t0)

t− t0= s′(t0).

Como vimos no paragrafo anterior, conhecendo-se a funcao s(t), que fornece, para cada instante de tempo t, adistancia percorrida por uma partıcula em movimento, a velocidade media desta partıcula, calculada em um intervalode tempo ∆ t = t− t0, coincide com a inclinacao da reta secante ao grafico da funcao s(t) que passa pelos pontos(t0, s(t0)) e (t, s(t)). Sabemos que, a medida que estes dois pontos se aproximam um do outro, isto e, quando

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154 Cap. 11 Velocidade, Aceleracao e Outras Taxas de Variacao

∆ t→ 0, a inclinacao da reta secante ao grafico de s(t) se aproxima da inclinacao da reta tangente a curva em t = t0.Assim, o valor da velocidade instantanea coincide com o coeficiente angular da reta tangente ao grafico de s(t) noinstante t = t0.

Resumindo, se a funcao s(t) fornece, para cada instante de tempo t0, a distancia percorrida por uma partıculaem movimento, a sua derivada s′(t0) fornece a velocidade da partıcula neste instante, e esta velocidade pode serinterpretada, geometricamente, como a inclinacao da reta tangente ao grafico da funcao s no ponto t0.

Tornando a observar o grafico da funcao s(t), vemos que, em determinados pontos, por exemplo, em t0 = 3, ainclinacao da reta tangente a curva e negativa. Isto indica que a velocidade da bola, neste instante, tambem e negativa.• Como e possıvel interpretar, fisicamente, este resultado?

Exemplo Considere uma bola lancada do solo, cuja altura em cada instante t (segundos) e dada por s(t) =−4 t2 + 20 t (metros).

(a) Qual a velocidade da bola no instante do lancamento?

(b) Em que instante sua velocidade e igual a zero?

(c) Em que intervalos de tempo a velocidade da bola e positiva? Em que intervalos e negativa?

(d) Qual a altura maxima atingida pela bola?

(e) Estude geometricamente o movimento da bola.

Solucao Vamos resolver este problema usando o Maple para efetuar os calculos necessarios.(a) Primeiro, definimos a funcao s, que fornece a altura da bola para cada instante de tempo t:

> s:=t->-4*t^2+20*t;

s := t→ −4 t2 + 20 t

A velocidade da bola e dada pela derivada de s:

> v:=unapply(diff(s(t),t),t);

v := t→ −8 t+ 20

No instante do lancamento, temos t = 0. Consequentemente, a velocidade da bola neste instante sera dada por:

> v(0);

20

(b) Para calcular o instante em que a velocidade e zero, precisamos resolver a equacao v(t) = 0. Assim

> fsolve(v(t)=0,t);t = 2.500000000

(c) Calcular os intervalos de tempo onde a velocidade e positiva e onde ela e negativa e equivalente a resolveras desigualdades v(t) > 0 e v(t) < 0, para t variando no intervalo onde s(t) – a funcao deslocamento – e positiva.Resolvendo estas desigualdades, temos:

> solve(v(t)>0);

RealRange(−∞, Open(5

2))

> solve(v(t)<0);

RealRange(Open(5

2), ∞)

Como s(t) > 0, para t em (0, 5), temos que v(t) > 0 para t em [0, 2.5) e v(t) < 0 para t em (2.5, 5).

(d) A bola atingira a altura maxima quando a velocidade for zero, ou seja, para t = 2.5. Ate este instante abola estara subindo (velocidade positiva). A partir deste instante ela comeca a cair (velocidade negativa). A alturamaxima sera, portanto, dada por

> s(2.5));

25

(e) Os graficos fornecem, respectivamente, a posicao e a velocidade da partıcula para cada instante de tempo t edescrevem, geometricamente, o seu movimento.

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W.Bianchini, A.R.Santos 155

0

2468

10121416182022242628

y

1 2 3 4 5x

pos. x tempo

–20

–10

0

10

20

1 2 3 4 5x

vel. x tempo

11.4 Taxas de variacao

A velocidade media e a velocidade instantanea sao exemplos dos conceitos de taxa de variacao media e taxa de variacaoinstantanea, respectivamente, que sao basicos para todas as ciencias.

Nas aplicacoes, encaramos o quociente s(t)−s(t0)t−t0 como uma taxa de variacao media da funcao s(t) quando t varia

num intervalo do tipo [t0, t]. Tomando o limite desta razao quando ∆ t = t− t0 tende a zero, encontramos a taxa devariacao da funcao s(t), no instante t0. Quando s e uma funcao que fornece a posicao de um objeto movel, para cadainstante de tempo t, a diferenca s(t)− s(t0) e uma mudanca de posicao. Dividindo esta diferenca pelo tempo t− t0,gasto para atingir a nova posicao, temos a velocidade media deste objeto (razao entre variacao do espaco percorridoe o tempo transcorrido), calculada sobre o intervalo [t0, t] ou, em outras palavras, a taxa de variacao media de ssobre este intervalo. Nessa terminologia, a velocidade instantanea e, simplesmente, a taxa de variacao instantanea daposicao em relacao ao tempo. (Quando o tempo e a variavel independente, omitimos, frequentemente, a frase “comrelacao ao tempo” e falamos somente “taxa de variacao”.)

De um modo geral, se f e uma funcao da variavel independente x, entao

lim∆ x→0

f(a+ ∆x)− f(a)

∆x= lim

∆ x→0

∆ f

∆x

e chamado de taxa de variacao instantanea de y = f(x) em relacao a x, calculada no ponto x = a. Como o limiteacima e a derivada da funcao f no ponto a, esta derivada pode ser interpretada como a taxa de variacao instantaneada funcao em relacao a sua variavel, neste ponto. Intuitivamente, esta e a variacao em y, que seria produzida por umacrescimo de uma unidade em x se a derivada de f permanecesse constante.

f ’(a)

x = 1∆

0

1

2

3

4

5

y

1 2 3 4 5x

A notacao de Leibniz (Veja Cap.9 ) e particularmente apropriada nessas aplicacoes. Por exemplo, se s(t) e a funcaoque fornece a posicao de um movel no instante t, entao, na notacao de Leibniz, a velocidade no instante t (a derivadada funcao posicao) e representada por ds

dt . Esta notacao tem a vantagem de exibir as unidades apropriadamente: se s

e dado em metros e t em segundos, a velocidade dsdt e dada em metros/segundo, como e sugerido pela notacao.

11.4.1 Exemplos

Exemplo 1Um tanque cilındrico contem inicialmente 400 litros de agua. Suponha que uma torneira existente na base do

tanque seja aberta no instante t = 0. Suponha ainda que o volume V de agua no tanque, apos t minutos, seja dadopor V (t) = (1

4 )(40− t)2 litros. Sabendo que este tanque leva 40 minutos para esvaziar completamente apos a torneiraser aberta, calcule:

1. A taxa media de escoamento da agua do tanque durante os 10 minutos entre os instantes t = 10 e t = 20 minutos.

2. A taxa instantanea segundo a qual a agua esta escoando do tanque nos instantes t = 10 e t = 20.

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156 Cap. 11 Velocidade, Aceleracao e Outras Taxas de Variacao

Veja a animacao no texto eletronico que ilustra esquematicamente este problema.

Solucao O volume da agua contida no tanque em qualquer instante de tempo t e dado por:

> v:=t->1/4*(40-t)^2;

V := t→ 1

4(40− t)2

Observe o grafico desta funcao:

> plot(V(t),t=0..45);

0

100

200

300

400

10 20 30 40t

Para achar a taxa media de escoamento da agua do tanque durante o intervalo de tempo dado, precisamos calcular

a razao V (20)−V (10)10 . Assim, temos:

> Vm:=(v(20)-v(10))/10;

Vm :=−25

2= −12.5

A taxa negativa significa que o volume d’agua no tanque esta diminuindo, ou seja, a agua esta escoando a umavelocidade media de 12, 5 l/min. A taxa de variacao instantanea nos instantes t = 10 e t = 20 sera dada por V ′(10) eV ′(20), respectivamente. Usando o Maple para fazer estes calculos, teremos:

> Diff(‘V(t)‘,t)=D(V)(t);

∂∂t V (t) = −20 +

1

2t

> Diff(‘V(10)‘,t)=D(V)(10);

∂∂t V (10 ) = −15

> Diff(‘V(20)‘,t)=D(V)(20);

∂∂t V (20 ) = −10

Exemplo 2

1. Determine a taxa de variacao media do volume de uma esfera em relacao ao seu raio r, quando o raio varia entre2 e 4 metros.

2. Mostre que a taxa de variacao instantanea do volume da esfera em relacao ao seu raio e igual a area da superfıcieda esfera.

Solucao (a) O volume de uma esfera de raio r (metros) e dado por V (r) = 4π r3

3 (metros cubicos). Assim a

taxa media de variacao do volume da esfera, quando o raio r varia de 2 a 4 metros e dada pelo quociente V (4)−V (2)2 .

Utilizando o Maple para efetuar estes calculos, teremos:

> V:=r->4/3*Pi*r^3;

V := r → 4π r3

3

> taxa_media:=(V(4)-V(2))/2;

taxa media :=112

(b) A taxa de variacao instantanea do volume da esfera em relacao ao seu raio sera dada pela derivada da funcaoV (r) e, portanto, sera igual a

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W.Bianchini, A.R.Santos 157

> taxa_instantanea:=diff(V(r),r);

taxa instantanea := 4π r2,

que e a area da superfıcie desta esfera.

11.5 Aceleracao e outras taxas de variacao

11.5.1 Aceleracao

A velocidade e importante para estudar o movimento de um movel ao longo de uma reta, mas a maneira como avelocidade varia tambem e muito importante.

Em fısica, a aceleracao e definida como a taxa de variacao da velocidade em relacao ao tempo, isto e, se a velocidadeno instante t e dada por v(t), entao a aceleracao neste instante sera v′(t).

No caso de um objeto em queda livre, veremos que a velocidade e um polinomio do primeiro grau, v(t) = a+ b t.

Neste caso, a aceleracao e v′(t) = limt→t0

v(t)− v(t0)

t− t0= b.

11.5.2 Densidade

Em fısica, definimos densidade linear de uma barra, haste ou fio como sendo a sua massa por unidade de comprimento.Alem disso, uma barra, haste ou fio de um material qualquer e dito nao-homogeneo quando algumas de suas partessao mais pesadas por unidade de comprimento do que outras.

Suponha que uma haste reta, nao-homogenea, de comprimento L, esteja disposta ao longo do eixo dos x de talmaneira que uma de suas extremidades coincida com a origem e todos os seus pontos possam ser identificados comum numero do intervalo [0, L]. Como e possıvel encontrar a densidade linear da haste em um ponto c qualquer damesma? E facil obter uma resposta aproximada para este problema: poderıamos cortar um pequeno pedaco da haste,por exemplo o pedaco de c ate c+ h, com h > 0, pesar este pedaco e dividir a massa por h (comprimento do pedaco).Quanto menor for o comprimento do pedaco, melhor sera a aproximacao para a densidade no ponto c. Vamos chamarde M(x ) a massa do pedaco da haste entre 0 e qualquer um de seus pontos x. Entao, M(c+ h)−M(c) e a massa do

pedaco compreendido entre c e c + h, e conforme explicamos acima, M(c+h)−M(c)h e uma aproximacao da densidade

desta haste em c. Esta aproximacao melhora a medida que h se torna pequeno. Assim, a densidade em c pode serobtida fazendo-se na razao acima h→ 0, isto e, se M(x ) e a funcao que fornece a massa da haste em cada pedaco dotipo [0, x], a densidade desta haste no ponto c e definida como:

Densidade em c = M ′(c) = limh→0

M(c+ h)−M(c)

h.

Exemplo Uma haste esta situada entre os pontos x = 0 e x = 1 do eixo das abscissas e a sua massa em cadapedaco do tipo [0, x] e dada por M(x) = 5x− 2x2.

(a) Ache a densidade da haste em qualquer um dos seus pontos x.(b) Qual das suas extremidades e mais densa: x = 0 ou x = 1?

Solucao

(a) A densidade em qualquer ponto x da haste e dada por m′(x) = 5− 4x.

(b) A densidade em x = 0 e em x = 1 e dada, respectivamente, por M ′(0) e M ′(1). Como M ′(0) = 5 e M ′(1) = 1,concluımos que a densidade em x = 0 e maior que a densidade no ponto x = 1.

11.5.3 Crescimento populacional

Uma funcao que fornece o numero de objetos em alguma colecao sobre um certo intervalo de tempo e chamada umafuncao de populacao. As funcoes que fornecem o numero de habitantes da Terra, o numero de bacterias numa coloniaou o numero de reais em uma conta bancaria, num determinado instante de tempo, sao exemplos de funcoes destetipo.

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158 Cap. 11 Velocidade, Aceleracao e Outras Taxas de Variacao

A taxa de variacao de funcoes de populacao e geralmente dada como um aumento ou decrescimo percentual naunidade de tempo. Por exemplo, tomando-se como base os dados do censo de 1991, sabemos que a populacao doBrasil esta aumentando a uma taxa de 1,7% ao ano; tomando-se por base a meia-vida do radio radioativo, podemosafirmar que a quantidade de radio numa determinada amostra decresce a uma taxa de 35% por milenio e que umadeterminada quantia aplicada em caderneta de poupanca rende 6% de juros reais ao ano.

Estas taxas sao dadas em percentual em lugar de valores absolutos, porque, ao menos em curto prazo, taxaspercentuais sao mais constantes que taxas absolutas. Esta afirmacao e particularmente verdadeira no caso de amostrasradiativas. Na realidade, a lei do decaimento radiativo estabelece que o decrescimo percentual no numero de atomos

de um determinado elemento radiativo presentes em uma amostra e realmente uma constante dada por A(t0)−A(t0+h)A(t0) ,

onde A(t) e a funcao que fornece o numero de atomos presentes na amostra no instante t. A razao acima dependesomente de h, portanto, podemos escrever

A(t0)−A(t0 + h)

A(t0)= f(h).

Como A(t0+h)−A(t0)h = − f(h)A(t0)

h , fazendo h tender a zero, obtemos a seguinte relacao entre a funcao A(t) e a suaderivada:

A′(t0) = limh→0

A(t0 + h)−A(t0)

h= −k A(t0),

onde k e uma constante dada por k = limh→0

f(h)

h.

O projeto O Metodo de Euler e o Para-quedista (Cap.19) estabelece um metodo de “reconstruirmos” a funcao A(t)a partir da relacao acima. Posteriormente, neste texto, aprenderemos como obter, analiticamente, a funcao A(t) apartir desta relacao.

Para obter a relacao acima, consideramos intervalos de tempo suficientemente pequenos, isto e, tomamos o limitequando t → 0. Ha uma objecao seria a este raciocınio. Para um intervalo de tempo suficientemente pequeno, avariacao da populacao e um ou zero, e o seu grafico e parecido com a figura:

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

As retas tangentes a este grafico sao todas ou horizontais ou verticais. Considerar que a funcao A(t), neste caso,e derivavel exige uma hipotese simplificadora: o grafico verdadeiro e substituıdo por uma curva suave.

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5x

Repare, ainda, que esta e uma hipotese bastante razoavel considerando que, em comparacao ao grande numero deatomos presentes em qualquer amostra, a variacao de um atomo e praticamente desprezıvel.

Com algumas outras hipoteses simplificadoras, a mesma especie de lei se aplica ao crescimento de populacoes, comoa de pessoas ou de bacterias, isto e, podemos considerar que o crescimento (ou decrescimento) de uma populacao eproporcional ao seu tamanho naquele instante. Chamando de P (t) o numero de indivıduos ou bacterias que compoema populacao em estudo, teremos que

P ′(t) = k P (t),

onde k representa a taxa de crescimento vegetativo da populacao, isto e, a diferenca entre a taxa de natalidade e a demortalidade daquela populacao, podendo, portanto, ser positivo ou negativo.

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W.Bianchini, A.R.Santos 159

11.5.4 Taxa de reacao

Uma reacao quımica, chamada produto, resulta da formacao de uma ou mais substancias iniciais, chamadas reagentes.Por exemplo, a equacao 2H2 + O2 −→ 2H2O indica que duas moleculas de hidrogenio e uma molecula de oxigenioformam uma molecula de agua.

Considere a reacao A + B −→ C, onde A e B sao os reagentes e C e o produto. A concentracao de um reagenteA e o numero de moles (6, 022 × 1023 moleculas) por litro e e denotada por [A]. A concentracao varia durante umareacao. Desse modo [A], [B] e [C] sao todas funcoes do tempo t. A taxa media de reacao do produto C no intervalot1 ≤ t ≤ t2 e dada por

∆ [C]

∆ t=

[C](t2)− [C](t1)

t2 − t1.

Em Quımica, porem, estamos mais interessados na taxa de reacao instantanea, d [C]d t , que e obtida tomando-se o

limite da taxa media de reacao quando o intervalo de tempo ∆ t se aproxima de zero, isto e

d [C]

d t= lim

∆ t→0

∆ [C]

∆ t].

Como a concentracao do produto aumenta a medida que a reacao prossegue, a derivada d [C]d t e positiva. A

concentracao dos reagentes, entretanto, decresce durante a reacao, e como [A] e [B] decrescem a mesma taxa em que

[C] aumenta, temos que d [C]d t =

(−d [A]

d t

)+(−d [B]

d t

).

Geralmente, se temos uma reacao da forma

aA+ bB −→ cC + dD,

entao

−1

a

d [A]

d t− 1

b

d [B]

d t= −1

c

d [C]

d t− 1

d

d [D]

d t.

Existem tecnicas que permitem, a partir da taxa de reacao, determinar uma formula explıcita para a concentracaocomo funcao do tempo. O projeto O Metodo de Euler e o Para-quedista (Cap.19) mostra como isto pode ser feitonumerica e graficamente.

11.5.5 Aplicacoes a Economia

Em Economia, a taxa de variacao de uma quantidade Q com relacao a uma conveniente variavel independente echamada, usualmente, “Q marginal”. Assim, temos custo marginal, receita marginal, lucro marginal, etc. Considere,por exemplo, uma operacao de venda em que as quantidades a serem medidas sao o numero x de itens vendidos, ocusto de sua producao C(x), a receita obtida com a venda R(x) e o lucro lıquido (L(x)) resultante. Entao as derivadasC ′(x), R′(x) e L′(x) sao chamadas, respectivamente custo marginal, receita marginal e lucro marginal. Em muitoscasos, x e um numero grande, e assim 1 e pequeno comparado com x, daı, C ′(x) = dC

dx e aproximadamente igual aC(x+ 1)− C(x). Por esta razao, muitos economistas descrevem o custo marginal como “o custo de produzir umapeca a mais”. Esta mesma observacao vale para a receita e o lucro marginais.

Enquanto R′ for maior que C ′, o lucro pode ser aumentado pela producao (e venda) de mais itens, pois R′ > C ′

significa, simplesmente, que um pequeno aumento no numero de itens produzidos e vendidos causa um aumento maiorna receita do que nos custos. Se R′ < C ′, menos itens deveriam ser produzidos. Quando R′ = C ′, podemos teresperanca de que o lucro esteja maximizado.

A objecao ao fato de tomarmos derivadas, que foi levantada na discussao do aumento populacional, se aplica aquiainda mais fortemente. Sua refutacao e a mesma: o processo exige uma hipotese simplificadora, que e razoavel se umagrande quantidade de itens e fabricada e vendida.

11.6 Atividades de laboratorio

Usando um computador e o Maple, faca as atividades propostas no arquivo labtaxa.mws da versao eletronica destetexto.

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160 Cap. 11 Velocidade, Aceleracao e Outras Taxas de Variacao

11.7 Exercıcios

1. Considere o grafico da funcao k:

B

A

F

E

D

C0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5x

(a) Entre quais pares de pontos consecutivos a taxa media de variacao de k e maior?

(b) Entre quais pares de pontos consecutivos a taxa media de variacao de k e negativa?

(c) Entre quais pares de pontos consecutivos a taxa media de variacao de k e proxima de zero?

(d) Entre quais pares de pontos consecutivos as taxas medias de variacao de k sao proximas?

2. Um boemio, perambulando pela calcada numa noite escura, observa ao passar sob um poste iluminado que ocomprimento de sua sombra varia com sua posicao em relacao ao poste. Suponha que o poste tenha 9 metrosde altura e o boemio 1,80 metros. Considere ainda que o boemio caminhe a uma velocidade de 1 m/s. Pede-se:

(a) a velocidade com que sua sombra cresce;

(b) a velocidade com que a sombra de sua cabeca se afasta do poste;

(c) a velocidade com que a sombra de sua cabeca se afasta da lampada do poste.

3. Prove que a taxa de variacao do volume de um cubo em relacao ao comprimento de sua aresta e igual a metadeda area da superfıcie do cubo.

4. Considere um cilindro cuja altura e sempre igual ao dobro do seu raio. Mostre que a taxa de variacao de seuvolume em relacao ao raio e igual a area de sua superfıcie total.

5. Uma bola e lancada num instante t = 0 (s) de cima de um edifıcio de altura 60 metros. Sua altura do chao em

cada instante e dada por s(t) = − t2

3 + 8 t3 + 60. Calcule a velocidade de impacto quando a bola toca o chao.

6. Uma pedra e lancada em um lago, gerando uma onda circular que se propaga a partir do ponto de impacto a 3m/s. A que taxa m2/s a area do cırculo esta aumentando 20 segundos apos o lancamento?

7. Uma bola de neve com raio de 6 metros comeca a degelar e seu raio decresce numa taxa constante. Ela demora3 horas para derreter totalmente.

Calcule a taxa de variacao do volume da bola depois de 2 horas.

8. Uma bola de bilhar e atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distancia da bola de sua posicaoinicial apos t segundos, entao, s = 100 t2 + 100 t.

Com que velocidade a bola atingira a tabela, a partir da posicao inicial que esta a 39 cm?

9. Se a agua de uma piscina esta sendo escoada e V litros e o volume de agua na piscina t minutos apos oescoamento ter comecado, onde V = 250(40− t)2, encontre com que rapidez a agua flui da piscina 5 minutosapos ter comecado o escoamento?

10. Se um cilindro reto de base circular tem altura de 10 cm, encontre a razao de variacao instantanea do volumeem relacao ao raio de sua base quando o raio e 5 cm.

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W.Bianchini, A.R.Santos 161

11.8 Problemas propostos

1. A figura a seguir mostra o grafico de tres funcoes posicao s(t), de tres funcoes velocidade v(t) e de tres funcoesaceleracao a(t), mas a velocidade em uma coluna nao corresponde necessariamente a funcao posicao da mesmacoluna, o mesmo acontecendo para as funcoes aceleracao. Para cada funcao posicao no primeiro grupo, escolhaa velocidade e a aceleracao que lhe corresponde no segundo e terceiro grupos, respectivamente.

Funcao Posicao

(i) (ii)

,

(iii)

Funcao Velocidade

(I) (II)

,

(III)

Funcao Aceleracao

(a) (b)

,

(c)

2. A posicao de uma partıcula se deslocando durante 10 minutos em linha reta e dada em cada instante pors(t) = t3 − 14 t2 + 50 t. Analise graficamente o movimento da partıcula respondendo as seguintes questoes:

(a) A partıcula esta se afastando ou se aproximando do seu ponto de partida para t entre 3 e 6? E entre t =1 e t = 2? Por que?

(b) Para quais valores de t a velocidade da partıcula e zero? A que distancia do ponto de partida isto ocorre?

(c) Para quais valores de t a velocidade e positiva e para quais ela e negativa?

(d) O grafico da velocidade mostra que a partıcula esta se aproximando ou se distanciando do ponto de partidapara t > 8? Que propriedade geometrica do grafico evidencia esta questao?

(e) Para que valores de t a partıcula atinge a maior velocidade? E a menor?

3. A populacao de uma cidade t anos apos 1980 e dada por P (t) = 20 + 2 t− 0, 1 t2 + 0, 012 t3 (milhares).

(a) O grafico de P (t) mostra que a populacao cresceu na decada de 1980? Explique sua resposta.

(b) O grafico da derivada P ′(t) confirma a resposta dada em (a)? Explique por que.

(c) Observando o grafico de P ′(t), em que ano se deu a menor taxa de crescimento da populacao durante adecada de 1980?

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162 Cap. 11 Velocidade, Aceleracao e Outras Taxas de Variacao

(d) Que pontos do grafico de P ′(t) correspondem ao(s) instante(s) em que a taxa instantanea de variacao de Pe igual a sua taxa media de variacao durante a decada de 1980?

4. Uma funcao custo C(x) e conhecida para um determinado produto. Em cada um dos itens abaixo, ache a funcaocusto marginal e compare o custo marginal da producao de 100 itens desse produto com o custo marginal daproducao de 101 itens.

(a) C(x) = 420 + 1, 5x+ 0, 002x2

(b) C(x) = 1200 + x10 + x2

10000

(c) C(x) = 2500 + 2√x

5. A figura a seguir fornece o grafico do custo C(x) de producao de x itens (pontilhado) e o grafico da receita R(x)da venda de x itens.

(a) Em que intervalo a operacao da lucro?

(b) Quando o lucro e maximo? (Primeiro procure o lucro maximodiretamente no grafico, depois use a condicao R′ = C ′).

(c) Construa o grafico do lucro lıquido. (Note que L(x) = r(x) −C(x).)

(d) Esboce o grafico do lucro marginal.–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y

–3 –2 –1 1 2 3 4x

6. Se uma molecula do produto C e formada de uma molecula do reagente A e uma molecula do reagente B, e aconcentracao inicial de A e B e dada por [A] = [B] = a moles/l, entao [C] = a2 k t

a k t+1 , onde k e uma constante.

(a) Ache a taxa de reacao em um instante t.

(b) Se [C] = x, mostre que d xd t = k (a− x)

2.

7. Se R denota a reacao de um corpo a qualquer estımulo de magnitude x, a sensitividade S e definida como a taxade variacao da reacao em relacao a x. Por exemplo, quando uma fonte luminosa aumenta de intensidade, o olhohumano reage decrescendo o raio R da pupila. A formula experimental

R =40 + 24x0,4

1 + 4x0,4

descreve a dependencia de R em relacao a x, onde R e medido em mm2 e x pela unidade apropriada de brilho.

(a) Ache a sensitividade.

(b) O que acontece com os valores de R e de S para valores pequenos de x?

8. Investigando a queda dos corpos, Galileu Galilei descobriu, experimentalmente, que este movimento era gover-nado pela lei s = c t2, onde s era o espaco percorrido pelo objeto em queda em t segundos. Em 1604, no augeda sua carreira cientıfica, Galileu conjecturou que no movimento retilıneo acelerado a velocidade aumentavaproporcionalmente a distancia percorrida pelo movel.

(a) Prove que Galileu estava errado: se um corpo percorre uma distancia s(t) em t segundos e s′(t) e propor-cional a s, entao s nao pode ser uma funcao da forma s(t) = c t2.

(b) Se s e da forma s(t) = a t2

2 , prove que:

i. s′′(t) = a (a aceleracao e constante).

ii. s′(t) =√

2 a s(t)

(c) Se um objeto se move de tal maneira que sua velocidade v esta relacionada com a sua posicao s pela equacaov =√

2 g s+ c, onde g e c sao constantes, mostre que a sua aceleracao e constante.

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W.Bianchini, A.R.Santos 163

11.9 Um pouco de historia: Velocidade instantanea, movimento contınuoe o princıpio da incerteza

A velocidade instantanea e um conceito teorico, uma abstracao que nao corresponde precisamente ao que se passano mundo real. Quando medimos velocidades, realmente calculamos velocidades medias considerando intervalos detempo muito pequenos. Tal procedimento nao fornece uma resposta exata, mas esta resposta pode estar tao proxima

do valor-limite quanto queiramos (lembre-se de que a velocidade s′(t) nao e s(t)−s(t0)t−t0 para nenhum valor de t, mas

este quociente se aproxima de s′(t) a medida que t se aproxima de t0.Por outro lado, quando descrevemos um movimento por meio de funcoes derivaveis e, portanto, contınuas, estamos

criando uma idealizacao da situacao fısica. A ideia do movimento contınuo nao e tao simples como pode parecer aprimeira vista. A ideia de velocidade, como vimos acima, esta necessariamente ligada a consideracao do que se passacom a partıcula em um certo intervalo de tempo, por menor que ele seja. Por outro lado, quando consideramos aposicao de uma partıcula, temos de imagina-la num determinado instante de tempo, portanto, sem se mover! Assim,se determinarmos a posicao perdemos o controle sobre a velocidade; esta, por sua vez, so pode ser determinada numintervalo de tempo ∆ t, quando nao sabemos a posicao exata da partıcula. Tais fatos nos conduzem a uma contradicao,pois o movimento de uma partıcula e determinado por sua posicao e sua velocidade, em cada instante de tempo t.

Os gregos, no seculo V a.C., ja haviam sentido a dificuldade em conceber o movimento contınuo, como ficouevidente no famoso paradoxo de Zenao que “prova” a impossibilidade do movimento. Zenao argumentava que parair de uma posicao A para outra posicao B, o movel tem que passar por uma posicao intermediaria C e, antes desta,por uma posicao intermediaria entre A e C, e assim por diante. Como o movel tem de passar por uma infinidade deposicoes intermediarias num tempo finito, ele nunca chega a se mover!

Um outro aspecto vulneravel da Mecanica e o proprio conceito de partıcula: um ponto dotado de massa! No estudodo movimento planetario, que florescia no seculo XVII, todos os astros, incluindo o Sol, sao considerados partıculas,e esta simplificacao e factıvel devido as dimensoes destes planetas serem muito pequenas, quando comparadas as suasdistancias relativas. No entanto, no estudo do movimento de um corpo qualquer, que em geral tem dimensoes naodesprezıveis, o que significa a ordenada s = s(t) da sua trajetoria? Poderıamos considera-la como a funcao que descrevea trajetoria do centro de massa do corpo? Neste ultimo caso, nao poderıamos assegurar nem a derivabilidade de s(t)e sequer a sua continuidade!

No inıcio do seculo XX, os fısicos descobriram que as ideias de ponto material, velocidade instantanea e movimentocontınuo, que tinham sido tao bem sucedidas para descrever o fenomeno do movimento em Mecanica Classica, eraminsuficientes para a descricao dos movimentos no domınio atomico e subatomico.

Em 1926, Werner Heisenberg (1901-1976), um dos fundadores da Mecanica Quantica, formulou um dos princıpiosbasicos deste novo ramo da Ciencia, o chamado princıpio da incerteza, segundo o qual nao e possıvel determinar,simultaneamente, a posicao e a velocidade de uma partıcula. Quanto maior for a precisao usada para se especificar asua posicao, maior sera o grau de incerteza do seu momento, definido como o produto da sua massa pela sua velocidade.Esta e uma exigencia intrınseca da natureza, nao importando a precisao das medicoes realizadas.

11.10 Para voce meditar: Calculando velocidades

Problema 1

Um certo helicoptero, em condicoes atmosfericas favoraveis (sem vento), desenvolve uma velocidade de cruzeirode 100 km/h. Numa certa viagem, de uma cidade A a uma cidade B, localizada 100 km ao norte de A, o pilotodo helicoptero enfrenta um vento contrario que sopra a uma velocidade de 50 km/h. Sua velocidade de cruzeiro,em relacao ao solo, se reduz, portanto, a 50 km/h. Ao atingir a cidade B, o piloto da a volta e regressa ao pontode partida. Agora o vento de 50 km/h sopra a seu favor e o helicoptero desenvolve uma velocidade de 150 km/hem relacao ao solo.

1. Qual a velocidade media desenvolvida pelo helicoptero em todo o percurso (ida e volta)?Atencao: A resposta nao e 100 km/h!

2. Use um argumento vetorial para mostrar que um vento soprando em qualquer direcao sempre aumentara otempo total de um percurso de ida e volta.

Problema 2

Numa prova contra-relogio entre duas cidades A e C, distantes 10 km uma da outra, um ciclista queria fazeruma media de 40 km por hora. Uma povoacao B fica situada exatamente a meia distancia entre A e C, no topo

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164 Cap. 11 Velocidade, Aceleracao e Outras Taxas de Variacao

de uma longa subida que comeca em A. Quando o ciclista, depois da escalada, atingiu B, calculou que a suavelocidade media nao tinha ido alem de 20 km/h.

• A que velocidade o ciclista deve descer de B para C, se ainda quiser atingir a velocidade media global de 40km por hora?

Problema 3

Voce esta dirigindo por uma auto-estrada e a cada cinco minutos calcula a velocidade media da sua viagemdividindo a distancia percorrida desde o comeco da viagem pelo tempo em que voce esta dirigindo. Se avelocidade marcada no seu velocımetro aumenta, isto significa que a velocidade media da sua viagem tambemesta aumentando? Um possıvel grafico da distancia percorrida (em km) pelo tempo transcorrido (em minutos)e dado a seguir.

0

10

20

30

40

d

10 20 30 40 50 60t

Problema 4

Imagine uma rodovia onde o limite de velocidade e especificado para cada ponto do percurso. Em outras palavras,ha uma certa funcao L tal que, a x quilometros do comeco da rodovia, o limite de velocidade e dado por L(x).Dois carros A e B estao viajando nesta rodovia. A posicao do carro A no tempo t e dada por a(t) e a posicaodo carro B, por b(t).

1. Escreva a equacao matematica que expressa o fato do carro A viajar sempre no limite de velocidadepermitido.Atencao: A resposta nao e a′(t) = L(t)!

2. Suponha que A viaje sempre no limite de velocidade permitido e que a posicao do carro B no instante t sejasempre igual a posicao do carro A no instante t− 1. Mostre que B tambem viaja no limite de velocidadepermitido durante todo o percurso.

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Capıtulo 12

Funcoes Trigonometricas e suas Derivadas

12.1 Motivacao

Um agrimensor quer medir a distancia entre dois pontos opostosde um lago, como na figura ao lado. Ele nao pode medir ABdiretamente, mas pode medir CB e o angulo θ. Como e possıveldeterminar, a partir desses dados, a medida de AB?

Este problema e equivalente ao de determinar os catetos deum triangulo retangulo, conhecidos um dos seus angulos agudos ea hipotenusa.

θ

B

C

A

O problema da “resolucao de triangulos”, que consiste em determinar os seis elementos de um triangulo (3 ladose 3 angulos) quando se conhece 3 deles, motivou, ha mais de dois mil anos, o desenvolvimento da Trigonometria (dogrego trıgono = triangulo + metron = medida).

12.2 Uma pequena revisao de trigonometria

12.2.1 Razoes trigonometricas

A ideia central da Trigonometria, como ja vimos, e associar a cada angulo θ de um triangulo retangulo certos numeros,ditos cosseno de θ (cos θ) e seno de θ (sen θ), cuja definicao e baseada na semelhanca de triangulos.

θ

C1B1A1

C

B

A

O

Os triangulos OAA1, OBB1, OCC 1 sao semelhantes (por que?), portanto, valem as relacoes:

(1)AA1

OA=BB1

OB=C C1

OC

(2)OA1

OA=

OB1

OB=

OC 1

OC

Agora, se definirmos

(3) cos θ =OA1

OA

(4) sen θ =AA1

OA

as relacoes (1) e (2) garantem que as definicoes acima nao dependem do triangulo retangulo particular usado paradefini-las.

165

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166 Cap. 12 Funcoes Trigonometricas e suas Derivadas

Pelo Teorema de Pitagoras conclui-se imediatamente que

(5) cos2 θ + sen2 θ = 1 ,

que e a relacao trigonometrica fundamental.• Como e possıvel dessa maneira definir o seno e o cosseno de um angulo obtuso?

12.2.2 O cırculo trigonometrico e a funcao de Euler

Em Calculo, a unidade utilizada para medir angulos e o radiano. Veremos mais adiante a vantagem de se consideraresta unidade de medida.

Um radiano e o angulo que, colocado no centro de uma circunferencia de raio r, subtende um arco cujo comprimentoe igual a r. Um angulo central de θ radianos, subtende um arco cujo comprimento e θ vezes o raio r, isto e, S = r θ.

r

S = r

rd=1θ

θ

r

S = r

rdθ

Como o comprimento de uma circunferencia de raio r e igual a 2π r, entao, 360 graus correspondem a 2π radianos.Assim, 1 radiano e equivalente a 180

π = 57, 296 graus e 1 grau a π180 = 0, 0175 radianos.

Com o surgimento e o desenvolvimento do Calculo Diferencial e Integral foi necessario considerar, em aplicacoesfısicas importantes, as funcoes seno, cosseno e as outras funcoes trigonometricas correlatas, definidas para todo numeroreal t.

A transicao da definicao de seno e cosseno de um angulo para a definicao de seno e cosseno de um numero real efeita por meio do cırculo trigonometrico e de uma funcao E, dita funcao de Euler, que definiremos a seguir.

Definicao: Cırculo trigonometricoO cırculo trigonometrico S1 e definido como sendo uma circunferencia de centro na origem e raio igual a uma unidadede comprimento, orientada no sentido anti-horario.

Um angulo θ > 0 e marcado no cırculo trigonometricomedindo-se sobre a circunferencia, a partir do ponto (1, 0), umarco de comprimento θ, percorrendo-se a circunferencia no sentidopositivo (anti-horario), e um angulo θ < 0 e marcado medindo-sena circunferencia, a partir do ponto (1, 0), um arco de compri-mento | θ |, percorrendo-se a circunferencia no sentido negativo(horario).Repare, ainda, que neste caso a medida do angulo θ, dada emradianos, coincide com a medida do arco por ele subtendido.

1rdθ-

rdθ

E possıvel associar a todo numero real θ um ponto Pθ sobre S1 da seguinte maneira:

1. Seja um numero θ > 0. Considere um ponto Pθ sobre S1 de tal maneira que, percorrendo-se S1 no sentidoanti-horario, o comprimento total do arco P0 Pθ seja igual a θ.

2. Seja um numero θ < 0. Considere um ponto Pθ sobre S1 de tal maneira que, percorrendo-se S1 no sentidohorario, o comprimento total do arco P0 Pθ seja igual a | θ|.

Estas regras definem uma funcao E : R → S1, que a cada numero real θ associa um ponto Pθ = E(θ) sobre S1.Esta funcao e chamada funcao de Euler.

Note que Pθ+2π = Pθ para todo numero real θ, porque adicionar 2π a qualquer numero θ significa, simplesmente,que a partir do ponto Pθ damos uma volta completa no cırculo trigonometrico, terminando no mesmo ponto quecomecamos. Analogamente, Pθ−2π = Pθ e Pθ+2 k π = Pθ, qualquer que seja o numero inteiro k.

Esta observacao mostra que a funcao de Euler e periodica de perıodo 2π, isto e, E(θ) = E(θ + 2 k π).

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W.Bianchini, A.R.Santos 167

12.2.3 As funcoes trigonometricas

Usando a funcao de Euler, podemos estender o domınio das funcoes trigonometricas a toda reta real. Para isso,considere um numero real t. Como ja vimos, no cırculo unitario existe um ponto Pt de coordenadas (x, y) que e aimagem de t pela funcao de Euler. As funcoes trigonometricas sao definidas a partir das coordenadas de Pt como

sen t = y; cos t = x; tg t = yx , para x 6= 0

cotg t = xy , para y 6= 0; sec t = 1

x , para x 6= 0 e cossec t = 1y , para y 6= 0.

Observacao: Repare que, para 0 ≤ t ≤ π2 , a

definicao das funcoes trigonometricas coincide comas mesmas definicoes obtidas para um angulo θ =Pt OP0 a partir do triangulo retangulo, como mos-tra a figura ao lado.

O

Pt=(x,y)

θcos

θsen

P0

θ

Em particular, como na circunferencia unitaria a medida do angulo em radianos foi definida como o comprimentodo arco subtendido por este angulo, quando escrevemos, por exemplo, sen(t), e indiferente considerarmos t como um

numero real qualquer ou como o angulo θ = Pt OP0, cuja medida em radianos e igual a t.

12.2.4 Algumas propriedades das funcoes trigonometricas

Evidentemente, as funcoes trigonometricas sao periodicas. Alem disso, usando as definicoes dadas acima, podemosdeduzir, facilmente, a maioria das formulas que usualmente aparece em trigonometria. Por exemplo, como (x, y) e umponto sobre o cırculo unitario, deduzimos, imediatamente, que x2 + y2 = 1 e, portanto, provamos o teorema a seguir.

Teorema 1 Relacao trigonometrica fundamental

Para todo numero real t, vale a relacao

sen2 t+ cos2 t = 1

Observando que P0 = (1, 0), Pπ2

= (0, 1), Pπ = (−1, 0), P 3π2

= (0,−1) e P2π = (1, 0), segue, imediatamente, que

0 π/2 π 3π/2 2πsen 0 1 0 -1 0cos 1 0 -1 0 1

Podemos concluir, tambem, que a funcao sen(x ) e crescente nos intervalos (0, π2 ) e ( 3π2 , 2π) e e decrescente em

(π2 ,3π2 ), enquanto o cosseno e decrescente em (0, π) e crescente em (π, 2π). E facil concluir tambem que −1 ≤

sen(x) ≤ 1 e −1 ≤ cos(x) ≤ 1, qualquer que seja o numero real x (por que?).

A partir destas informacoes podemos ter uma ideia dos graficos destas funcoes no intervalo [0, 2π]:

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 4 5 6x

Seno

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 4 5 6x

Cosseno

Alem disso, como estas funcoes sao periodicas de perıodo 2π, estes ciclos se repetem por toda a reta. Os graficosdas demais funcoes trigonometricas podem ser vistos a seguir.

Page 184: texto completo em PDF

168 Cap. 12 Funcoes Trigonometricas e suas Derivadas

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

1 2 3 4 5 6x

Tangente

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

1 2 3 4 5 6x

Cossecante

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

1 2 3 4 5 6x

Secante

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

1 2 3 4 5 6x

Cotangente

Outras propriedades das funcoes trigonometricas sao enunciadas nos teoremas a seguir e podem ser facilmentedemonstradas.

Teorema 2Para todo numero real t, temos

sen(−t) = −sen(t), cos(−t) = cos(t), tg(−t) = −tg(t),

cotg(−t) = −cotg(t), sec(−t) = sec(t), cossec(−t) = −cossec(t).

Demonstracao Como os pontos Pt e P−t sao simetricos em relacao ao eixo x, se Pt = (x, y) temos P−t = (x, −y).Aplicando-se as definicoes das funcoes trigonometricas ao ponto (x,−y), seguem as relacoes acima.

Teorema 3Seja P = (x, y) um ponto qualquer da circunferencia de centro na origem e raio r e seja Pt o ponto sobre a

circunferencia unitaria determinado pela sua intersecao com o segmento OP. Entao,

x = r cos(t) e y = r sen(t).

Alem disso

sen(t) = yr , cos(t) = x

r e tg(t) = yx para x 6= 0,

cotg(t) = xy para y 6= 0, sec(t) = r

x para x 6= 0 e cossec(t) = ry para y 6= 0

Demonstracao Use as definicoes de seno e cosseno e a semelhanca de triangulos conforme sugere a figura:

(x,y)

1 rθ

Teorema 4 Lei dos Cossenos

Na figura ao lado, se o angulo ACB e igual a θ, entao

c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(θ)

b

a

c

AC

B

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W.Bianchini, A.R.Santos 169

Demonstracao Pelo teorema anterior, B = (a cos(θ), a sen(θ)). Como A = (b, 0), a formula de distancia entredois pontos implica que

c2 = (a cos(θ)− b)2 + (a sen(θ)− 0)2 = a2 cos(θ)− 2 a b cos(θ) + b2 + a2 sen2 θ

= a2 (cos2 θ + sen2 θ) + b2 − 2 a b cos(θ) = a2 + b2 − 2 a b cos(θ),

o que prova o teorema.

Teorema 5 Cosseno da diferencaPara todo θ e φ, temos que

cos(θ − φ) = cos(θ) cos(φ) + sen(θ) sen(φ)

Demonstracao Sem perda de generalidade, podemos su-por 0 ≤ φ ≤ θ < 2π. Assim, se na figura ao lado conside-rarmos a circunferencia unitaria, o angulo P1 OP0 igual aφ e o angulo P2 OP0 igual a θ, e claro que o angulo P2 OP1

e igual a θ − φ. A lei dos cossenos implica que

(1) c2 = 12 + 12 − 2 cos(θ − φ) = 2− 2 cos(θ − φ).

Como, P2 = (cos(θ), sen(θ)) e P1 = (cos(φ), sen(φ)), aformula da distancia entre dois pontos implica que

θ φ

θ−φ

c

P1

P2

P0O

(2) c2 = (cos(θ)− cos(φ))2 + (sen(θ)− sen(φ))2

= cos2 θ − 2 cos θ cosφ+ cos2 θ + sen2 θ − 2 sen(θ) sen(φ) + sen2 θ

= (cos2 θ + sen2 θ) + (cos2 φ+ sen2 φ)− 2 (cos(θ) cos(φ) + sen(θ) sen(φ)) .

Igualando (1) e (2) obtemos o resultado desejado.

Corolario 1Para todo θ valem as igualdades

cos(π2 − θ) = sen(θ) e sen(π2 − θ) = cos(θ).

Demonstracao Decorrencia imediata do Teorema 5.

Observacao O nome cosseno e uma alusao a este corolario. A palavra cosseno vem do latim complementi sinuse significa seno do complemento.

Teorema 6 Cosseno da somaPara todo θ e φ vale a igualdade

cos(θ + φ) = cos(θ) cos(φ)− sen(θ) sen(φ).

Demonstracao Decorre imediatamente do teorema anterior, substituindo-se φ por −φ.

Teorema 7 Seno da somaPara todo θ e φ, temos que

sen(θ + φ) = sen(θ) cos(φ) + cos(θ) sen(φ).

Demonstracao Pelo Corolario 1 sabemos que

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170 Cap. 12 Funcoes Trigonometricas e suas Derivadas

sen(θ + φ) = cos(π

2− (θ + φ)) = cos([

π

2− θ]− φ) = cos(

π

2− θ) cos(φ) + sen(

π

2− θ) sen(φ)

= sen(θ) cos(φ) + cos(θ) sen(φ)

o que demonstra o teorema.

Teorema 8 Continuidade das funcoes seno e cosseno

As funcoes f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) sao contınuas em toda a reta.

Demonstracao Faremos a demonstracao para a funcao seno; a demonstracao para o cosseno e analoga e e deixadacomo exercıcio (veja Problemas Propostos 2 ).

Em primeiro lugar, vamos provar que as funcoes sen(x) e cos(x)sao contınuas no zero. Para isto, basta observar a figura a o ladoe lembrar como estas funcoes foram definidas. Veja que quandoθ → 0, quer pela direita, quer pela esquerda, o ponto (x, y) seaproxima do ponto (1, 0). Como x = cos(θ) e y = sen(θ), temosque lim

θ→0sen(θ) = 0 = sen(0) e lim

θ→0cos(θ) = 1 = cos(0), o que

prova que estas funcoes sao contınuas no zero.

(x,y)

θcos

θsen

1

rdθ

Devemos mostrar, agora, que limx→x0

sen(x) = sen(x0), qualquer que seja o numero real x0. Tomando-se x = x0 + h

de modo que h = x− x0, temos que h→ 0 quando x→ x0. Assim, limx→x0

sen(x) = limh→0

sen(x0 + h), e precisamos

mostrar somente que este ultimo limite e igual a sen(x0).Aplicando a formula do seno de uma soma, temos que

limh→0

sen(x0 + h) = limh→0

(sen(x0) cos(x0) + cos(x0) sen(h)) = sen(x0) ( limh→0

cos(h)) + cos(x0) ( limh→0

sen(h)).

Como as funcoes seno e cosseno sao contınuas no zero (primeira parte da demonstracao), temos que limh→0

cos(h) = 1

e limh→0

sen(h) = 0 e, portanto,

limh→0

sen(x0 + h) = sen(x0) ,

o que prova a continuidade da funcao sen(x ) em toda a reta.

12.3 Derivadas das funcoes trigonometricas

12.3.1 A derivada da funcao seno

Aplicando a definicao de derivada a funcao sen(x), obtemos

sen′(x) = lim∆ x→0

sen(x+ ∆x)− sen(x)

∆x

e daı, como sen(x+ ∆x) = sen(x) cos(∆x) + sen(∆x) cos(x), temos que

sen′(x) = lim∆ x→0

sen(x) cos(∆x) + sen(∆x) cos(x)− sen(x)

∆x

= sen(x) ( lim∆ x→0

cos(∆x)− 1

∆x) + cos(x) ( lim

∆ x→0

sen(∆x)

∆x) .

Na proxima secao, vamos mostrar que

(1) lim∆ x→0

cos(∆x)− 1

∆x= 0

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W.Bianchini, A.R.Santos 171

e que

(2) lim∆ x→0

sen(∆x)

∆x= 1.

Uma vez demonstrados estes fatos, segue, imediatamente, que

sen′(x) = cos(x).

Observacao Examinando cuidadosamente os limites que aparecem em (1) e (2), veremos que ambos tem umacuriosa forma. Como cos(0) = 1, o limite dado em (1) pode ser escrito como

lim∆ x→0

cos(0 + ∆x)− cos(0)

∆x,

e este limite, por definicao, e igual a cos′(0).Da mesma forma, como sen(0) = 0 , o segundo limite pode ser escrito como

lim∆ x→0

sen(0 + ∆x)− sen(0)

∆x

e, usando a definicao de derivada uma vez mais, concluımos que este limite e igual a sen′(0).Assim, se provarmos que cos′(0) = 0 e sen′(0) = 1, teremos mostrado que sen′(x) = cos(x), o que e feito na proxima

secao.

12.3.2 O limite trigonometrico fundamental

O limite

limx→0

sen(x)

x= 1

que aparece durante os calculos feitos no processo de derivacao de funcoes trigonometricas tem consideravel importanciano Calculo Diferencial.

Na demonstracao consideraremos apenas valores positivos para x, pois, se substituirmos x por −x na expressaosen(x)x , o valor da razao permanece inalterado. Isto implica que, se lim

x→0+

sen(x)

x= L, entao lim

x→0−

sen(x)

x= L. A

demonstracao e baseada na seguinte figura:

x

R

S

P0 Q

Dessa figura podemos concluir que, para 0 < x < π2 ,

a area do ∆OPS ≤ a area do setor circular OQS ≤ a area do ∆OQR,

ou sejacos(x) sen(x)

2≤ x

2≤ tg(x)

2.

Da primeira desigualdade, concluımos quesen(x)

x≤ 1

cos(x)

Da segunda,

cos(x) ≤ sen(x)

x

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172 Cap. 12 Funcoes Trigonometricas e suas Derivadas

Assim, como limx→0

cos(x) = 1 e limx→0

1

cos(x)= 1 (por que?), o teorema do sanduıche garante que, quando x→ 0, a

razao sen(x)x → 1.

Uma vez estabelecido que limx→0

sen(x)

x= 1, e facil provar que

limx→0

cos(x)− 1

x= 0.

Assim,

limx→0

cos(x)− 1

x= lim

x→0

(cos(x)− 1

x

) (cos(x) + 1

cos(x) + 1

)= limx→0

cos2 (x)− 1

x (cos(x) + 1)

= limx→0

(−sen2 x

x

) (1

cos(x) + 1

)= limx→0−sen(x) lim

x→0

sen(x)

xlimx→0

1

cos(x) + 1

= 0 .1 .1

2= 0

12.3.3 A derivada da funcao cosseno

Da mesma forma que foi feito para a funcao seno, aplicando-se a definicao de derivada a funcao cosseno obtemos:

cos′(x) = lim∆ x→0

cos(x+ ∆x)− cos(x)

∆x= lim

∆ x→0

cos(x) cos(∆x)− sen(x) sen(∆x)− cos(x)

∆x

= cos(x) lim∆ x→0

cos(∆x)− 1

∆x− sen(x) lim

∆ x→0

sen(∆x)

∆x= −sen(x) .

12.3.4 As derivadas das demais funcoes trigonometricas

A partir das formulas sen′(x) = cos(x) e cos′(x) = −sen(x) e aplicando-se as regras de derivacao, facilmente podemosobter as derivadas das demais funcoes trigonometricas, como e proposto no exercıcio:

ExercıcioProve que

1. tg′(x) = sec2 x

2. cotg′(x) = −cossec2 x

3. sec′(x) = sec(x) tg(x)

4. cossec′(x) = −cossec(x) cotg(x)

Observacao No Maple, os comandos usados para as funcoes trigonometricas seno, cosseno, tangente, cotangente,secante e cossecante sao, respectivamente:

sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)

12.4 Por que se usa radianos em Calculo

Ja vimos na revisao de trigonometria que a um angulo de α graus corresponde um angulo de x = απ180 radianos. Assim,

sen(α) = sen(απ180 ) .

Use a relacao acima para calcular o valor de limα→0

sen(α)

αe limα→0

cos(α)− 1

αe use estes limites para provar que a

derivada de sen(α), com α dado em graus, e

sen′(α) = sen′(απ

180

)=

π

180cos(

απ

180) =

π

180cos(α)

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W.Bianchini, A.R.Santos 173

Veja que aparece o fator π180 = 0,01745329252 multiplicando a derivada do seno, o que causa um certo transtorno

nas operacoes. Isto nao acontece quando trabalhamos com radianos, o que simplifica muitos calculos. Alem disso, nasaplicacoes e mais conveniente entendermos as funcoes trigonometricas com domınio em toda a reta e nao como umamedida de angulos.

12.5 Atividades de laboratorio

Usando um computador e o Maple, faca as atividades propostas no arquivo labtrig.mws da versao eletronica destetexto.

12.6 Exercıcios

1. Calcule os seguintes limites:

(a) limx→0

sen(3x)

x

(b) limx→0

sen2 x

x

(c) limx→0

1− cos(x)

sen(x)

(d) limx→0

sen(2x)

x+ x cos(x)

(e) limx→0

sen(12x)

sen(3x)

(f) limx→0

x− sen(x)

x+ sen(x)

(g) limx→0

sen(x) sen(2x)

x sen(3x)

(h) limx→0

tg(x)

sen(2x)

(i) limx→0

x

cos(x)

(j) limx→0

1− 2 cos(x) + cos(2x)

x

(k) limx→0

6x− sen(2x)

2x+ 3 sen(4x)

(l) limx→0

2 sen2 x− 6x3

x2

(m) limx→π

2−

cos(π2 x)

sen(x)− 1

2. Calcule os limites laterais, caso existam, de f(x) =

sen(x) x > π

4cos(x) x < π

4

, quando x→ π4 . Existe o lim

x→(π4 )f(x)?

3. Calcule as derivadas das funcoes abaixo:(a) f(x) = sen(x) cos(x)

(b) g(x) = 1sen(x) cos(x)

(c) y = sec(x) + tg(x) sen(x)− cossec(x)

(d) h(x) = cos2 x− sen2 x(e) f(x) = 4 x−x4

sen(x3+2)

4. (a) Raciocinando geometricamente, faca uma previsao plausıvel para ddx sen(a x). Voce e capaz de provar que a

sua resposta esta correta. (Veja: Atividades de Laboratorio)

(b) Usando o resultado do item anterior, determine o angulo com que a curva y = sen(3 x)3 corta o eixo x.

12.7 Problemas propostos

1. Usando o processo abaixo, mostre que a area do cırculo de raio r e π r2.

(a) Mostre que a area do polıgono de n lados inscrito no cırculo e 12 [n r2 sen( 2π

n )].

(b) Calcule a area do cırculo fazendo n→∞ na expressao encontrada no item anterior. Por que este limite eigual a area do cırculo?

2. Mostre que a funcao g(x) = cos(x) e contınua em todo o conjunto dos numeros reais.

3. Determine o domınio maximo de continuidade da funcao f(x) = sen(√x3 − 9x)

4. Decida se f(x) =

sen(x)x , se x 6= 0

0 , se x = 0e contınua em x = 0. Caso esta funcao seja descontınua, classifique a

descontinuidade em removıvel ou essencial.

5. (a) Mostre que a funcao f(x) =

x sen( 1

x ) , se x 6= 00 , se x = 0

nao e derivavel em x = 0.

Sugestao: Mostre que existem valores arbitrariamente pequenos de h tais que f(h)−f(0)h = 1 e f(h)−f(0)

h = −1.

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174 Cap. 12 Funcoes Trigonometricas e suas Derivadas

(b) Seja f(x) =

x2 sen( 1

x ) , se x 6= 00 , se x = 0

. Aplique a definicao de derivada para mostrar que f e derivavel em

x = 0 e que f ′(0) = 0.

6. Seja f(x) =∣∣ sen(x)− 1

2

∣∣. Calcule o valor maximo atingido por f .

7. Seja f(x) = x+ sen(x).

(a) Encontre os pontos onde f ′ = 0.

(b) Mostre que em todos os outros pontos f ′ > 0.

(c) Esboce o grafico de f .

8. Uma partıcula se move sobre o eixo x de tal maneira que sua velocidade em qualquer instante de tempo t e dadapor v(t) = sen(2 t). Em t = 0, a partıcula esta na origem.

(a) Para 0 ≤ t ≤ π, ache todos os valores de t para os quais a partıcula se move para a direita.

(b) Voce e capaz de achar a funcao que fornece a posicao da partıcula em qualquer instante de tempo t?

(c) Se voce resolveu o item (b), ache a velocidade media da partıcula no intervalo 0 ≤ t ≤ π2 .

(d) Ache a aceleracao da partıcula em t = π2 .

9. Um semicırculo com diametro PQ e colocado sobrea base de um triangulo isosceles, formando a figuramostrada ao lado. Se A(θ) e a area do semicırculo e

B(θ) e a area do triangulo, ache limθ→0+

A(θ)

B(θ). R

QP

θ

10. Um objeto com peso W e puxado sobre um plano horizontal por uma forca que age ao longo de uma cordaamarrada ao objeto. Se a corda faz um angulo θ com o plano, entao a magnitude da forca e dada por F =

µWµsen(θ)+cos(θ) , onde µ e uma constante chamada coeficiente de atrito.

(a) Ache a taxa de variacao de F em relacao a θ.

(b) Quando esta taxa de variacao e nula?

(c) Se W = 50 e µ = 0, 6, com a ajuda do Maple trace o grafico de F como uma funcao de θ e use este graficopara localizar os valores de θ para os quais dF

dθ = 0. Este valor esta de acordo com a resposta que voceencontrou no item anterior?

12.8 Um pouco de historia: O problema da navegacao e as primeirasnocoes de trigonometria

12.8.1 O problema da navegacao

Na Antiguidade, o transporte e a comunicacao por via terrestre envolviam enormes dificuldades, pois as vias de acessoentre as localidades eram penosamente construıdas, em geral usando mao de obra escrava. Para percorrer grandesdistancias, era bem mais facil, portanto, estabelecer rotas marıtimas que costeassem ilhas e continentes. A partir danecessidade de se navegar em alto-mar, surgiu o problema basico da navegacao: o de se determinar a posicao de umnavio em alto-mar.

Os navegantes gregos, que por volta do seculo V a.C. ja tinham absorvido boa parte dos conhecimentos astronomicosdos babilonios, foram os primeiros a formular o conceito de latitude.

Para os navegantes no hemisferio norte, a latitude de um lugar e o angulo formado pela Estrela Polar e o horizontenaquele ponto. A latitude de uma pessoa no polo norte e de 900, pois nesse ponto a Estrela Polar esta diretamente sobrea sua cabeca (na realidade, existe um pequeno desvio angular, pois a Estrela Polar nao se encontra exatamente sobreo polo norte). Navegando para o norte, a cada noite um observador veria essa estrela colocar-se cada vez mais altono ceu. Navegando para o sul, aconteceria o contrario. Medindo a elevacao angular da Estrela Polar, um marinheiropoderia obter uma medida acurada da distancia para o sul ou para o norte. No hemisferio sul, a determinacao da

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W.Bianchini, A.R.Santos 175

latitude de um lugar pode ser feita, da mesma maneira, medindo-se a elevacao angular da estrela chamada SigmaOitante, que representa o Distrito Federal na bandeira brasileira.

No entanto, para determinarmos a posicao de um ponto no globo terrestre e necessaria alem da latitude, quedetermina a posicao Norte-Sul desse ponto, a determinacao da sua longitude, que indica a direcao Leste-Oeste.

Os alexandrinos sabiam que um navegador poderia medir a longitude transportando um relogio preciso a bordo deseu navio. O relogio, acertado para a hora local de Alexandria, indicaria ao navegador a hora naquela cidade, durantetoda a sua viagem. Como a Terra descreve uma rotacao completa (3600) em 24h, a cada hora gira 150. Assim, onavegador poderia determinar sua longitude em qualquer lugar do planeta, simplesmente pela leitura das horas dorelogio quando o sol incidisse diretamente sobre a sua cabeca. Sua longitude em relacao a Alexandria seria o produtode 150 pela diferenca em horas entre o meio-dia e o tempo local de Alexandria, fornecido pelo relogio.

Infelizmente, nao havia relogios portateis, a disposicao dos alexandrinos, que fossem suficientemente precisos paramanter um registro contınuo das horas durante uma longa viagem. As dificuldades praticas para a determinacao dalongitute eram tao grandes que este dado deixou de ser levado em consideracao na pratica da navegacao durante umgrande perıodo.

12.8.2 As primeiras nocoes de trigonometria

Tentando resolver o problema da navegacao, os gregos se interessaram, tambem, em determinar o raio da Terra e adistancia da Terra a Lua. Este ultimo problema implicou o surgimento das primeiras nocoes de Trigonometria.

O primeiro calculo da circunferencia da Terra foi realizado por Eratostenes (250 a.C.), o bibliotecario de Alexandria.Seus calculos dependiam do angulo formado pela sombra do sol e pela vertical em dois pontos: um ao norte e outroao sul. Eratostenes sabia que Alexandria, ponto A na figura seguinte, ficava a 800 km da cidade hoje chamada deAssua, ponto B; portanto, esta era a medida do arco AB na figura. Ele tambem sabia que em Assua no dia 21 dejunho, solstıcio de verao no hemisferio norte, ao meio dia, o sol incidia diretamente sobre as suas cabecas, junto aprimeira catarata do Nilo. Portanto, neste momento, seus raios formavam um angulo de zero grau com a vertical,nao produzindo sombra. No mesmo instante, os raios do sol formavam um angulo de 7 1

2 graus com a vertical emAlexandria.

Devido a grande distancia, os raios do sol ao atingirem a Terra,podem ser considerados paralelos, portanto, os angulos AOB eDAS sao iguais, conforme mostra a figura ao lado. S’

S

BO

D

A

Sol

Como o angulo formado no centro da Terra pelas linhas que partiam de Assua e de Alexandria era igual a 7 12 graus,

calcular o raio da Terra era equivalente a resolver a seguinte proporcao7 1

2

360 = 800x , uma vez que 3600 correspondem a

circunferencia inteira da Terra.

O calculo feito por Eratostenes para a circunferencia da Terra (38.400 km) foi um resultado fantastico se conside-rarmos que, na epoca de Colombo, os mais reputados geografos acreditavam que o valor correto para a circunferenciada Terra era cerca de 27200 km. De fato, se Colombo conhecesse uma estimativa melhor (cerca de 39840 km), talveznunca tivesse se arriscado a viajar para a India!

O raio da Terra pode ser estimado dividindo-se o comprimento da sua circunferencia por 2π (aproximadamenteigual a 6,28).

Hiparco adotava para o raio da Terra o valor de 8.800 km (o raio terrestre e cerca de 6.378 km). De posse dessevalor, ele tentou achar a distancia da Terra a Lua da maneira descrita a seguir.

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176 Cap. 12 Funcoes Trigonometricas e suas Derivadas

Suponhamos que a Lua seja observada de dois pontos situa-dos no equador, quando ela estiver diretamente sobre um dessespontos, conforme mostra a figura ao lado.

No mesmo instante, um observador em C ve a Lua nascer nohorizonte. Conhecendo a localizacao dos pontos C e E, Hiparcoestimou a medida do angulo A. Como a distancia AC era igual aoraio da Terra, o problema de Hiparco era o seguinte: conhecidosum dos lados (8.800 km) de um triangulo retangulo e um de seusangulos (A), determinar a hipotenusa AB.

C

A ELua

B

Tal problema pode ser resolvido se observarmos que em triangulos retangulos semelhantes as razoes, constantes, en-tre as medidas dos seus lados podem ser associadas aos seus angulos. Estas razoes sao chamadas razoes trigonometricas.Hiparco organizou diversas tabelas relacionando as razoes trigonometricas com angulos.

As relacoes trigonometricas num triangulo retangulo constituıram um avanco no estudo das relacoes metricasnos triangulos porque estabelecem formulas que relacionam entre si medidas de segmentos, enquanto que as razoestrigonometricas relacionam medidas de angulos com medidas de segmentos (lados dos triangulos).

12.9 Para voce meditar: Outra forma de definir as funcoes seno ecosseno

Se f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x), entao temos que as seguintes condicoes se verificam

(a) f ′ = g, (b) g′ = −f , (c) f(0) = 0, (d) g(0) = 1.

• E possıvel que haja um outro par de funcoes satisfazendo estas mesmas condicoes?Sugestao Suponha que F (x) e G(x) sao um par qualquer de funcoes com as mesmas propriedades. Mostre que aderivada da funcao H definida por H(x) = (F (x) − f(x))2 + (G(x) − g(x))2 e igual a zero e daı deduza que tipo defuncao e H.

A resposta a esse problema tem um significado notavel: tudo que e conhecido sobre as funcoes seno e cosseno oumesmo tudo que venha a ser conhecido sobre elas esta implicitamente contido nas condicoes (a)-(d). Isto e, o seno eo cosseno sao completamente caracterizados pelas condicoes

sen′ = cos, cos′ = −sen, sen(0) = 0, cos(0) = 1.

1. Use as propriedades acima para mostrar que sen2 x+ cos2 x = 1. (Na realidade voce ja demonstrou esta igualdadeno item anterior!)

2. Prove que as funcoes seno e cosseno satisfazem a seguinte equacao funcional y′′ + y = 0.

3. Seja h(x) = a sen(x) + b cos(x), onde a e b sao constantes quaisquer. Prove que a funcao h tambem satisfaz aequacao dada no item anterior.

4. Voce e capaz de provar alguma outra propriedade das funcoes seno e cosseno utilizando somente as propriedadesde (a)-(d)? Voltaremos a este problema mais tarde.

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Capıtulo 13

Regra da Cadeia

13.1 Motivacao

A area A de um quadrado cujo lado mede x cm de comprimento e dada por A = x2. Podemos encontrar a taxa devariacao da area em relacao a variacao do lado:

dA

dx= 2x cm2/cm

Suponha, agora, que o comprimento do lado aumente com o tempo, segundo a lei x = 5 t+ 2, onde t e dado emsegundos. Entao, a area do quadrado em um determinado instante t e dada por:

A = (5 t+ 2)2 = 25 t2 + 20 t+ 4

A area, portanto, e uma funcao do tempo t, e podemos calcular a taxa de variacao da area em relacao a variacaodo tempo

dA

dt= 50 t+ 20 cm2/s

Note a diferenca entre as duas taxas de variacao calculadas acima. Quando t = 10, x = 52 e

dA

dt= 520 cm2/s

edA

dx= 104 cm2/cm

Observe que neste exemplo a area A e uma funcao de x, isto e, A = A(x ) e x e uma funcao do tempo t, ou seja,x = x(t). Temos, portanto, uma composicao de duas funcoes, e a area pode ser entendida como uma funcao do tempo:A(x (t)).

Repare, ainda, que podemos reescrever dAdt , assim:

dA

dt= 2(5 t+ 2) 5

Observe que 2(5t + 2) = 2x =dA

dxe que

dx

dt= 5. Logo, temos:

dA

dt=

dA

dx

dx

dt.

Esta formulacao para dAdt e conhecida como regra da cadeia para funcoes compostas e nos fornece uma regra

pratica para resolver problemas do tipo descrito acima, isto e, calcular a derivada de uma funcao obtida por composicaode outras funcoes.

Usando a notacao “linha” para derivadas, esta regra pode ser enunciada como:

(A x)′(t) = (A(x(t)))′(t) = A′(x(t))x′(t)

177

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178 Cap. 13 Regra da Cadeia

13.2 Derivadas de funcoes compostas: A Regra da Cadeia

Teorema Regra da cadeia

Se uma funcao f e derivavel em x0 e g e derivavel em f(x0)), entao, a composta h = g f e derivavel em x0 e

h′(x0) = (g f)′(x0) = g′(f(x0)) f ′(x0).

Note que, embora a derivada de h = g f seja o produto das derivadas de g e f , estas derivadas sao calculadas empontos diferentes. A derivada g′ e calculada no ponto f(x0) e a derivada f ′ e calculada em x0.

Exemplo 1Seja y = g(u) = u3 + 1, u = f(x) = 4x+ 5, e h funcao composta h(x) = g(f(x)) = (4x+ 5)3 + 1. A derivada de h

calculada no ponto x = 1 sera:

h′(1) = g′(f(1)) f ′(1) = g′(9) f ′(1) = (243) (4) = 972

Uma outra maneira de chegarmos a este resultado seria calcular h′(x) num ponto x qualquer, como abaixo

h′(x) = g′(f(x)) f ′(x) = 3 (4x+ 5)2

4

e, entao calcular o valor desta nova funcao no ponto x = 1. Assim, obtemos, como anteriormente

h′(1) = 3. (92). 4 = 972

Demonstracao da regra da cadeiaSupondo f(x) 6= f(x0), temos que

g(f(x))− g(f(x0))

x− x0=

(g(f(x))− g(f(x0))

f(x)− f(x0)

) (f(x)− f(x0)

x− x0

).

Como por hipotese f e g sao derivaveis, e portanto contınuas, quando x→ x0, f(x)→ f(x0) e a igualdade acima

implica na existencia de limx→x0

g(f(x))− g(f(x0))

x− x0. Portanto h e derivavel. Alem disso,

(g f)′(x0) = lim

x→x0

g(f(x))− g(f(x0))

x− x0= limx→x0

g(f(x))− g(f(x0))

f(x)− f(x0)

f(x)− f(x0)

x− x0

= limx→x0

g(f(x))− g(f(x0))

f(x)− f(x0)limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

= g′(f(x0)) f ′(x0)

Note que, na demonstracao dada acima, foi necessario supor f(x) 6= f(x0) pelo menos para valores de x proximosde x0. Porem, pode acontecer que f(x) = f(x0), para algum x, ou mesmo para todos os valores de x proximos de x0.Por exemplo, ao calcularmos a derivada de f(g(x)) = sen(x2) no ponto x0 escrevemos

limx→x0

sen(x2)− sen(x02)

x− x0= limx→x0

[(sen(x2)− sen(x0

2)

x2 − x02

) (x2 − x0

2

x− x0

)].

Neste caso, nao podemos garantir que x2 6= x02 quando x 6= x0, pois (−x0)2 = x0

2. No entanto, tomando x bemproximo de x0, que e o que nos interessa para o calculo do limite, evitamos a possibilidade de termos x = x0. Estemesmo raciocınio vale no caso geral, quando temos que

limx→x0

g(f(x))− g(f(x0))

x− x0= limx→x0

[g(f(x))− g(f(x0))

f(x)− f(x0)

f(x)− f(x0)

x− x0

],

desde que possamos garantir que para valores de x bem proximos de x0 se tenha f(x) 6= f(x0).Resta observar o que acontece quando temos f(x) = f(x0), para valores de x arbitrariamente proximos de x0.

Ora, neste caso, devemos ter, obrigatoriamente, f ′(x0) = 0. Isto acontece porque a razaof(x)− f(x0)

x− x0sera zero para

valores de x arbitrariamente proximos de x0, de forma que o unico valor possıvel para o limite e zero.

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W.Bianchini, A.R.Santos 179

Neste caso, repare que a regra acima permanece valida, pois, para calcular a derivada de g(f(x)) em x0, podemosutilizar o fato de que g(f(x)) = g(f(x0)), quando f(x) = f(x0).

Assim, podemos escrever:

g(f(x))− g(f(x0))

x− x0=

[g(f(x))− g(f(x0))

f(x)− f(x0)

] [f(x)− f(x0)

x− x0

]f(x) 6= f(x0)

0 f(x) = f(x0)

Tomando o limite na expressao acima, vemos que

limx→x0

g(f(x))− g(f(x0))

x− x0= 0

pois, se f(x) 6= f(x0), a expressao

(g(f(x))− g(f(x0))

f(x)− f(x0)

) (f(x)− f(x0)

x− x0)

)tende a

g′(f(x0)) f ′(x0) = g′(f(x0) 0 = 0

e quando f(x) = f(x0), tem-se, obviamente, o valor zero.

Exemplo 2 Derive (a) sen(x2) (b) sen2 x.

Solucao(a) Se y = sen(x2), entao y = g(u), onde g(u) = senu e u(x) = x2. Assim, a regra da cadeia nos diz que

y′(x) = g′(u)u′(x), ou, usando a notacao de Leibniz, dydx = dg

dududx . Logo, como g′(u) = cos(u) e u′(x) = 2x, temos que

y′(x) =dy

dx= 2x cos(x2).

(b) Se y = sen2 x, entao y = g(u), onde g(u) = u2 e u = senx. Assim, pela regra da cadeia, temos quey′(x) = g′(u)u′(x) ou dy

dx = dgdu

dudx . Como g′(u) = 2u e u′(x) = cosx, obtemos

y′(x) =dy

dx= 2 senx cosx.

Podemos usar as identidades trigonometricas para escrever a resposta acima como sen 2x ou podemos, simples-mente, deixa-la na forma anterior.

No Exemplo 2, combinamos a regra da cadeia com as regras de derivacao de funcoes trigonometricas. Em geral,se y = senu e u e uma funcao (derivavel) de x, entao, usando a regra da cadeia, podemos escrever

dy

dx=dy

du

du

dx= cosu

du

dx= u′ cosu.

De maneira analoga, podemos combinar a regra da cadeia com as formulas de derivacao das demais funcoes trigo-nometricas.

Exemplo 3 Se f(x) = sen(cos(tg x)), entao

f ′(x) = cos(cos(tg x))d

dxcos(tg x) = cos(cos(tg x)) [−sen(tg x)]

d

dx(tg x)

= −cos(cos(tg x)) sen(tg x) sec2 x .

Note que, neste exemplo, a regra da cadeia foi usada duas vezes.

Corolario: Generalizacao da regra da potencia

Seja y = xr, onde r = pq , com p e q numeros inteiros nao-nulos, entao y′ = rx (r−1).

Demonstracao Note que y = x( pq ) ⇔ yq = xp. Repare que, no lado esquerdo da igualdade, temos uma funcaog(y) = yq, onde y = f (x ) = xr. Como p e q sao numeros inteiros, podemos usar a regra da potencia para derivarambos os lados desta igualdade e usar a regra da cadeia no seu lado esquerdo para obter

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180 Cap. 13 Regra da Cadeia

qy(q−1)y′ = p x(p−1)

isto e,

y′ =p

qx(p−1) y(1−q) =

p

qx(p−1) (x( pq ))(1−q) =

p

qx( pq−1)

Logo y′ = rx (r−1)

Observacao Usando o corolario acima e a regra da cadeia podemos encontrar uma regra para derivar funcoesdo tipo y = (f(x))r, onde r = p

q , sendo p e q inteiros nao-nulos. Neste caso, temos a composicao de y = ur com u =

f(x ). Aplicando a regra da cadeia em conjunto com o item anterior, obtemos

y′ = r (f(x))(r−1) f ′(x).

Exemplo 4 Calcule a derivada de y = (3x2 +√

5x3 − x2)23 .

Solucao Chamando 3x2 +√

5x3 − x2 = u, temos a composta de y = u23 com u = 3x2 +

√5x3 − x2. Aplicando

o corolario obtemos:

y′ =2

3(3x2 +

√5x3 − x2)

− 13

(6x+

15x2 − 2x

2√

5x3 − x2

).

13.3 Exercıcios

1. Nos itens abaixo, determine f g e g f . Determine, tambem, em cada caso, o domınio das funcoes compostase calcule (f g)′ e (g f)′.

(a) f(x) = 1− x2 e g(x) = 2x+ 3

(b) f(x) = x3 − 4 e g(x) = (x+ 4)( 13 )

(c) f(x) = −17 e g(x) = |x |

(d) f(x) = x( 13 ) e g(x) =

√cos(x) + 1

(e) f(x) = x2+1x2−1 e g(x) = sen(x)

2. Nos itens abaixo, determine uma funcao f(x) = xk e uma funcao g tais que f(g(x)) = h(x) e calcule h′(x).

(a) h(x) = (2 + 3x)2

(b) h(x) =√

2x− x2

(c) h(x) = (5− x2)( 32 )

(d) h(x) = 1x+1

(e) h(x) = 1√x+10

3. Encontre as funcoes f e g , tais que, (f g)(x) = h(x) e calcule h′(x):

(a) h(x ) = cos (tan x )

(b) h(x ) = sen2 (3x)

(c) h(x ) = (√x)3 +

√x+ 5

(d) h(x ) = cos2 x− 5 cosx+ 10

4. Determine a derivada das funcoes abaixo:

(a) f(x) = sen(2x3 + 5x2 − 10)

(b) y = x2 cos(3x2 − 2x)

(c) y = tan(sen(3x+ 1))

(d) y =√

sen2 x+ 5

(e) y = sen(x3 − 2x) sec(x− 1)

(f) y = sen(5 x)cos(2 x)

(g) y = x2

sec(3 x)

(h) y = ( 3 x2−22 x3−3 )5

(i) y =√

7√

7− x(j) y =

√7 +√

7− x

13.4 Problemas propostos

1. Se f(x) =x− 3

x+ 1, calcule g(x) = f(f(x)). Encontre o domınio de f e o domınio de g e calcule g′(x).

2. Se f e g sao as funcoes cujos graficos sao mostrados a seguir, sejam u(x) = f(g(x)), v(x) = g(f(x)) e w(x) =g(g(x)). Ache o valor de cada uma das derivadas abaixo, caso existam:

(a) u′(1) (b) v′(1) (c) w′(1)

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W.Bianchini, A.R.Santos 181

g

f

0

1

2

3

4

5

6

2 4 6

3. O raio de um balao esferico, que esta sendo inflado, e dado por r(t) = 3√t+ 8, onde t e dado em segundos e

esta variando no intervalo [0, 10]. Determine:

(a) O raio do balao no inıcio do processo.

(b) O volume do balao como uma funcao do tempo. Especifique o domınio dessa funcao.

Sugestao: O volume de uma esfera de raio r e dado por 4π r3

3 .

(c) A taxa de variacao do volume em relacao ao tempo.

4. Uma partıcula move-se ao longo de uma reta, onde sua posicao em cada instante t (segundos) e dada por s(t) =4 sen(3 t2) (metros). Pede-se:

(a) Qual a velocidade instantanea da partıcula quando t = 1 s?

(b) A velocidade e a aceleracao instantanea quando t =√π s?

5. A frequencia de vibracao da corda de um violino e dada por f = 12L

√Tρ , onde L e o comprimento da corda, T

a sua tensao e ρ sua densidade linear. Ache a taxa de variacao da frequencia em relacao,

(a) ao comprimento L (considere T e ρ constantes).

(b) a tensao T (considere L e ρ constantes).

(c) a densidade linear ρ (considere L e T constantes).

6. Uma massa atada a uma mola oscila verticalmente e tem a sua posicao y determinada em qualquer instante detempo t pela funcao y(t) = A senwt, onde A e a amplitude de suas oscilacoes e w e uma constante. Este movi-mento e chamado movimento harmonico simples (veja Funcoes Trigonometricas: Atividades de Laboratorio).

(a) Determine a velocidade e a aceleracao da massa como funcao do tempo.

(b) Mostre que a aceleracao e proporcional ao deslocamento y.

(c) Mostre que a velocidade e maxima quando a aceleracao e zero.

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Capıtulo 14

Derivacao Implıcita e Taxas Relacionadas

14.1 Introducao

A maioria das funcoes com as quais trabalhamos ate agora e da forma y = f(x), em que y e dado diretamente ou,explicitamente, por meio de uma expressao definida em termos de x. No entanto, na resolucao de problemas praticos,frequentemente a relacao entre y e x e determinada por uma equacao da forma F (x, y) = 0, que nao esta resolvidapara y.

Pode ser que nao exista nenhum ponto (x, y) do plano que satisfaca a equacao F (x, y) = 0. Neste caso, estaequacao representa um conjunto vazio. Caso contrario, uma equacao do tipo acima representa uma curva no planoque pode ser o grafico de uma ou de varias funcoes da forma y = f(x). Isto acontece porque uma equacao em duasvariaveis x e y pode ter uma ou mais solucoes para y em termos de x ou para x em termos de y. Dizemos, entao, queestas solucoes sao funcoes definidas implicitamente pela equacao F(x, y) = 0.

14.1.1 Exemplos

Exemplo 1 Uma hiperbole equilatera pode ser representada pela equacao xy = 1, obtida usando-se o comandoimplicitplot do pacote plots do Maple.

> implicitplot(x*y=1,x=-5..5,y=-5..5);

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

Esta equacao simples determina uma funcao implıcita de x, que pode ser expressa explicitamente como y = 1x .

Exemplo 2 A circunferencia de centro na origem e raio 1 e representada no plano xy pela equacao x2 + y2 = 1.Tal equacao define implicitamente 4 funcoes contınuas: duas funcoes de y em relacao a x, a saber

y =√

1− x2 e y = −√

1− x2, para x em [−1, 1]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

x

e duas funcoes de x em relacao a y, a saber

x =√

1− y2 e x = −√

1− y2, para y em [−1, 1],

182

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W.Bianchini, A.R.Santos 183

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

–1–0.8 –0.4x

Os graficos das duas primeiras se sobrepoem para formar a circunferencia unitaria, o mesmo acontecendo com ografico das duas ultimas funcoes.

Exemplo 3 A equacao x3 + y3 − 4 xy = 0 representa uma curva chamada de folium de Descartes. Com a ajudado Maple podemos tracar seu grafico.

> plots[implicitplot](x^3+y^3-4*x*y=0,x=-2..3,y=-2..3,> numpoints=2000);

–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x

Embora o problema de resolver explicitamente esta equacao em termos de y seja muito complicado, podemos notarque existem retas verticais que interceptam o grafico acima em 3 pontos. Isso indica que podem existir 3 funcoesdefinidas implicitamente por esta equacao. O mesmo vale para determinadas retas horizontais. Por exemplo, fazendox = 1 na expressao x3 + y3 − 4 xy = 0 e resolvendo a equacao resultante para y, obtemos:

> s:=subs(x=1,x^3+y^3-4*x*y=0);s := 1 + y3 − 4 y = 0

> s1:=fsolve(s,y);

s1 := −2.114907541, .2541016884, 1.860805853

Neste caso particular, para x = 1 existem tres valores correspondentes para y, o que mostra que a equacao dadadefine, pelo menos, tres funcoes implıcitas de x.

Exemplo 4 Nem toda equacao F(x, y) = 0 define implicitamente y como funcao de x ou x como funcao de y.Por exemplo, a equacao x2 + y2 + 4 = 0 nao define funcao alguma, pois esta equacao nao tem solucao real (x, y). Elarepresenta apenas o conjunto vazio.

14.2 Derivacao implıcita

Nem todas as funcoes definidas implicitamente sao derivaveis em todos os pontos do seu domınio. As funcoes queaparecem no Exemplo 2 nao sao derivaveis nos pontos extremos dos intervalos onde elas estao definidas. Exatamentenestes pontos, as retas tangentes as curvas sao verticais. Em um curso de Calculo avancado se estudam condicoes quegarantem quando uma funcao definida implicitamente e derivavel. Aqui, procederemos como se as funcoes definidasimplicitamente fossem derivaveis em quase todos os pontos de seu domınio.

Admitindo que a funcao y = f(x ), definida implicitamente pela equacao F(x, y) = 0, seja derivavel, podemoscalcular a derivada dy

dx sem ser necessario primeiro resolver a equacao F(x, y) = 0, para y. O processo consiste em,utilizando a regra da cadeia, derivar ambos os lados desta equacao, considerando x como a variavel independente, ey, sempre que esta variavel aparecer, como uma funcao de x. Resolvemos, entao, a equacao resultante em relacao aderivada f ′(x). Este processo e chamado de derivacao implıcita.

Exemplo 1 Supondo que a funcao y = f(x), definida implicitamente pela equacao x2 + y2 = 1, seja derivavel,

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184 Cap. 14 Derivacao Implıcita e Taxas Relacionadas

podemos usar a regra da cadeia para obter f ′(x). Assim, substituindo y por f(x) na equacao dada, obtemos

x2 + (f(x))2 = 1.

Derivando ambos os lados da equacao acima em relacao a x, obtemos:

2x+ 2 f(x) f ′(x) = 0

que e equivalente a

2x+ 2 ydy

dx= 0.

Para completar o processo, resolvemos esta ultima equacao considerando dydx como a incognita. Neste exemplo, temos

quedy

dx= −x

y

Parece estranho vermos uma derivada de y com respeito a x contendo em sua expressao tanto x como y, mas estaformula pode ser tao util quanto qualquer outra. Podemos, por exemplo, usa-la para calcular o coeficiente angular dareta tangente ao cırculo x2 + y2 = 1 no ponto ( 3

5 , −45 ) e obter

dy

dx

∣∣∣∣(x, y)=( 3

5 ,−45 )

= −xy

∣∣∣∣(x, y)=( 3

5 ,−45 )

= − 3

−4=

3

4.

Lembramos que o resultado obtido e valido qualquer que seja a funcao y = f(x) definida implicitamente pelaequacao x2 + y2 = 1. Neste exemplo especıfico, e facil concluir que existem duas funcoes contınuas definidas a partirda equacao dada: y =

√1− x2 e y = −

√1− x2. No primeiro caso,

dy

dx= − x√

1− x2= −x

y;

no segundo,dy

dx=

x√1− x2

= −xy.

o que confirma o resultado encontrado pelo processo de derivacao implıcita.

Exemplo 2 Vamos agora determinar a equacao da reta tangente ao grafico do folium de Descartes

x3 + y3 = 4 xy

no ponto (2, 2). Supondo que y = y(x ), podemos usar a regra da cadeia para derivar ambos os lados da equacaoacima. Assim, temos que

3x2 + 3 y2 y′ = 4 y + 4x y′

Resolvendo esta equacao para y′, vem que

y′ =4 y − 3x2

3 y2 − 4x.

Calculando o valor da expressao acima no ponto (2, 2), obtemos que y′ = −1. Este resultado fornece a declividadeda reta tangente a curva no ponto dado. Logo, a equacao da reta tangente a curva x3 + y3 = 4 xy no ponto (2, 2) edada por y − 2 = −(x− 2), ou x+ y − 4 = 0.

Observacao Voce pode conferir os calculos feitos acima atraves do comando implicitdiff do Maple, usado paracalcular derivadas implıcitas, como fazemos a seguir:

> dydx:=implicitdiff(x^3+y^3=4*x*y,y,x);

dydx :=3x2 − 4 y

−3 y2 + 4x> subs(x=2,y=2,dydx);

−1

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W.Bianchini, A.R.Santos 185

Exemplo 3O metodo descrito nesta secao tambem se aplica ao calculo de derivadas de ordem superior de funcoes definidas

implicitamente. Para ilustrar o procedimento adotado nestes casos, vamos calcular a derivada segunda da funcaoy = y(x), definida implicitamente pela equacao x2 − xy + y2 = 16 . Derivando esta equacao implicitamente com res-peito a x, obtemos:

2x− y − x (dy

dx) + 2 y (

dy

dx) = 0 ,

que e equivalente ady

dx=y − 2x

2 y − x.

Para obter a derivada segunda de y em relacao a x, isto e d2 yd x2 , derivamos, outra vez, a expressao obtida acima,

implicitamente, com relacao a x. Para isso, aplicamos a regra do quociente como se segue:

d2 x

dx2=

(dydx − 2) (2 y − x)− (y − 2x) (2 (dy

dx )− 1)

(2 y − x)2=

3x (dydx )− 3 y

(2 y − x)2.

Para finalizar, substituımos nesta ultima expressao o valor encontrado no primeiro passo, para dydx . Assim,

d2 x

dx2=

3x [y−2 x2 y−x ]− 3 y

(2 y − x)2= −6 (x2 − xy + y2)

(2 y − x)3.

Observando que x2 − xy + y2 = 16, podemos simplificar ainda mais a expressao acima e concluir, finalmente, que

d2 x

dx2= − 96

(2 y − x)3.

O resultado obtido acima pode ser conferido com a ajuda do Maple:

> implicitdiff(x^2-x*y+y^2=16,y,x,x);

6x2 − x y + y2

x3 − 6x2 y + 12x y2 − 8 y3.

Como 2x3 − 6x2 y + 12x y2 − 8 y3 = (x− 2 y)3 e x2 − xy + y2 = 16, este resultado confere com aquele que obtive-mos acima.

14.3 Taxas relacionadas

14.3.1 Motivacao

Um radar da polıcia rodoviaria esta colocado atras de uma arvore que fica a 12 metros de uma rodovia, que segue emlinha reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto da rodovia mais proximo do radar da polıcia esta um telefonede emergencia. O policial mira o canhao do radar no telefone de emergencia. Um carro passa pelo telefone e, naquelemomento, o radar indica que a distancia entre o policial e o carro esta aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limitede velocidade naquele trecho da rodovia e de 80 km/h. O policial deve ou nao multar o motorista?

z y

x=12 metros

telefone

radar

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186 Cap. 14 Derivacao Implıcita e Taxas Relacionadas

Neste problema, as distancias z do policial ao automovel e y do automovel em relacao ao ponto da rodovia maisproximo da arvore variam com o tempo. O radar marca a velocidade do automovel em relacao ao policial, isto e, dz

dt

quando y = 16 m. Para saber se o motorista deve ou nao ser multado, precisamos determinar dydt , isto e, a velocidade

desenvolvida pelo automovel no trecho reto da rodovia, na hora da leitura do radar (quando ele passa pelo telefone).Pela geometria do problema, usando o teorema de Pitagoras, sabemos que as distancias x, y e z estao relacionadas

pela equacao

(1) z2 = 122 + y2.

A partir desta equacao, o processo de derivacao implıcita nos permite encontrar a relacao entre a taxa de variacaode z e a taxa de variacao de y e entao resolver o problema proposto.

Este problema e um exemplo tıpico de uma das aplicacoes elementares do Calculo: a solucao de problemas de taxasrelacionadas. O metodo de resolucao e descrito a seguir.

Derivando implicitamente a equacao (1) obtemos

2 zdz

dt= 2 y

dy

dt

e daı,dy

dt=z

y

dz

dt,

que e a relacao que procuravamos.Quando y = 16 m = 0, 016 km, a leitura do radar nos diz que dz

dt = 70 km/h, e, usando outra vez o teorema dePitagoras, podemos deduzir que, neste momento, z = 20 m = 0, 02 km. Usando estes dados, a relacao acima nospermite concluir que, quando o automovel passa pelo telefone, sua velocidade na estrada e de

> 70*0.02/0.016.;

87.50000000

que ultrapassa o limite de velocidade permitido. Logo, o motorista deve ser multado.Os exemplos a seguir ilustram este metodo aplicado a outras situacoes.

Exemplo Considere um balao meteorologico a ser lancado de um ponto a 100 metros de distancia de uma camarade televisao montada no nıvel do chao. A medida que o balao sobe, aumenta a distancia entre a camara e o balao e oangulo que a camara faz com o chao. (Veja animacao no texto eletronico.)

Se o balao esta subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se:

(a) Quando o balao estiver a 75 m de altura, qual a velocidade com que o balao se afasta da camara?

(b) Decorridos 5 segundos apos o lancamento, com que velocidade a camara estara girando para filmar a subida dobalao?

Vamos denotar por h a altura que o balao esta do solo, por d a distancia do balao a camera e por w o angulo quea camara faz com o solo.

100 metros

w

d h

Todas estas variaveis sao funcoes do tempo decorrido, isto e, h = h(t), d = d(t) e w = w(t).Para resolver o item (a), podemos usar o teorema de Pitagoras a fim de obter uma equacao que relacione as

variaveis d e h. Assim, temos que

(1) h2 + 1002 = d2.

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W.Bianchini, A.R.Santos 187

Derivando esta equacao, implicitamente, com relacao ao tempo, obtemos:

(2) 2hh′ = 2dd′

Conhecemos h′ (velocidade com que o balao esta subindo) e queremos determinar d′ (velocidade com que o balaose afasta da camara) no instante em que h = 75, isto e, quando o balao esta a 75 metros de altura. Pela equacao (1)sabemos que d =

√h2 + 1002. Fazendo h = 75 nesta ultima expressao, obtemos que, neste instante, d =

√752 + 1002

= 125. Substituindo estes valores na equacao (1) temos que

(75)(6) = 125d′ ⇒ d′ =75 6

125=

18

5.

Para resolver o item (b), conhecendo dhdt = 6 m/s, precisamos determinar dw

dt , quando t = 5 s. Para isto, comofizemos ao resolver o item (a), e necessario obter uma expressao que relacione as funcoes h e w e depois derivar aexpressao obtida implicitamente para obter uma relacao entre as taxas de variacao citadas.

Novamente, observando o diagrama tracado na figura anterior, podemos concluir que

tg(w) =h

100.

Derivando implicitamente esta equacao, obtemos:

(3) (sec2 w)

(dw

dt

)=

1

100

dh

dt.

Precisamos agora determinar sec2 w quando t = 5s. Nesse instante, temos que h = 30 m, e daı, usando novamenteo teorema de Pitagoras, obtemos

d =√

1002 + 302 = 10√

109.

Como sec(w) = d100 , temos que sec2 w = ( 10

√109

100 )2 = 109100 .

De (3) obtemosdw

dt=

1

100 sec2 w

dh

dt.

Assim, substituindo os valores obtidos para sec2 w e dhdt nesta ultima expressao, temos que

dw

dt=

6

109.

Esta razao representa a velocidade angular com que a camara gira ao acompanhar a ascensao do balao, expressaem radianos por segundo.

Metodo de resolucao esquematizado

Os exemplos anteriores ilustram os passos que devemos seguir para resolver problemas de taxa relacionada queenvolvem uma situacao geometrica:

1. Trace um diagrama e defina as diversas grandezas envolvidas no problema, incluindo as variaveis dependentes ea variavel independente. Explicite claramente quais sao os dados do problema e qual a taxa de variacao que sequer calcular.

2. Use o seu diagrama para determinar uma equacao que relacione as variaveis envolvidas no problema.

3. Derive, implicitamente, esta equacao em relacao a variavel independente.

4. Na equacao obtida apos o processo de derivacao, substitua os valores numericos dados e resolva a equacaoresultante em relacao a incognita do problema.

14.4 Atividades de laboratorio

Usando um computador e o Maple, faca as atividades propostas no arquivo labimpli.mws da versao eletronica destetexto.

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188 Cap. 14 Derivacao Implıcita e Taxas Relacionadas

14.5 Exercıcios

1. Determine dydx , por derivacao implıcita:

(a) xy = 10

(b) 3x2 − 4 y2 = 5

(c)√x+√y =√

2

(d) x2 (x− y) = y2 (x+ y)

(e) 3x3 + 5 y3 = 15

(f) x2 + xy + y2 = 9

2. Supondo que y seja definido implicitamente pelas equacoes dadas, determine dydx e d2 y

d x2 .

(a) x2 + y2 = 4

(b) 1x + 1

y = 1

(c) sen(y) = x y

(d) x2 + xy + y2 = 3(e) y3 + x2 + x = 5

3. Determine a equacao da reta tangente ao grafico da curva definida pela equacao dada, no ponto P :

(a) Folium de Descartes: x3 + y3 = 2 xy ; P = (1, 1)

(b) Cardioide: x2 + y2 + x =√x2 + y2 ; P = ( 4

25 ,325 )

y

–2 x

(c) Lemniscata de Bernoulli: (x2 + y2)2 = x2 − y2 ; P = ( 2√

35 ,

√3

5 )

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

(d) Astroide: x( 23 ) + y( 2

3 ) = 1 ; P = (√

24 , −

√2

4 )

(e) x3 + 4 y2 = 6 xy ; P = (2, 1)

(f) 4 x2 y3 = 5x+ y2; P = (−1, 3)

(g) x2 y3 = 2 y + x; P = (−1, 1)

4. Encontre os pontos da curva em que a reta tangente e horizontal e os pontos em que ela e vertical:

(a) x4 + y4 + 2 = 4 xy3(b) (x2 + y2)

2= x2 − y2 (c) x3 + y3 = 2 xy

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W.Bianchini, A.R.Santos 189

14.6 Problemas propostos

1. Use derivacao implıcita para mostrar que qualquer reta tangente em um ponto P (x, y) de uma circunferencia decentro em C(x0, y0) e perpendicular ao raio OP .

2. A luz de um farol giratorio deve acompanhar um navio que se move paralelamente a costa. Sua posicao,considerada a partir do ponto em que ele e perpendicular a costa, e dada por s(t) = t2. Sabendo-se que adistancia do navio a costa e de 2 km, calcule a velocidade angular do farol apos o inıcio do seu movimento.

3. Uma lampada colocada num poste esta a 5 m de altura. Se um homem de 2 m de altura caminha afastando-sedo poste a razao de 5 m/s, com que rapidez se alonga sua sombra?

4. Um ponto se move ao longo da parte superior da parabola y =√x, de modo que sua abscissa cresce na razao

constante de 3 m/s. A projecao de P sobre o eixo x e M . Com que velocidade varia a area do triangulo OMP ,onde O e a origem, quando a abscissa de P e igual a 4 m.

5. Enche-se de gas um balao esferico a razao de 4 m3/min. Com que velocidade cresce o raio do balao no instanteem que mede 1 m?

6. Um bote esta sendo puxado para o cais por meio de uma corda com uma extremidade amarrada ao bote e aoutra passando por uma roldana fixada no cais, 1,5 m acima do nıvel do bote. Se a corda e puxada a razao de0,5 m/s, com que velocidade o bote se aproxima do cais no instante em que ele esta a 3 m da roldana?

7. Acumula-se areia em um monte de forma conica, a razao de 0,5 m3. O raio da base do monte e sempre igual ametade da sua altura. Com que velocidade cresce a sua altura quando ela esta a 2 m?

8. Uma fonte luminosa aproxima-se perpendicularmente de uma parede com velocidade constante de 2 m/s, pro-jetando uma imagem circular sobre esta. Sabendo-se que a abertura do facho de luz e de π

2 radianos, calcule avelocidade com que a area iluminada sobre a parede esta diminuindo quando a distancia da fonte a parede e de1 m.

9. Um balao eleva-se verticalmente do solo a razao de 3 m/s. Quando o balao esta a 48 metros do solo passaexatamente sob ele um automovel viajando a velocidade de 20 m/s. Quatro segundos apos este instante, comque velocidade varia a distancia entre eles?

10. Um quadro de 1 metro de altura e colocado em uma parede de tal forma que sua base esteja no mesmo nıvel dosolhos de um observador que esta se aproximando da parede a uma velocidade de 2 m/s. Com que velocidade amedida do angulo de visao do quadro estara variando quando o observador estiver a 2 metros da parede?

14.7 Um pouco de historia: Um desafio a Fermat

Descartes suspeitou que o sucesso do metodo das secantes utilizado por Fermat para determinar a equacao da tangentea uma curva dependia da existencia de uma relacao explıcita entre y e x, da forma y = f(x) e, entao, desafiou-o aencontrar tangentes a curva x3 + y3 = nx y, com n = 1, 2, . . .. Por isso, esta curva ficou conhecida como o Foliumde Descartes. Neste caso, nao e possıvel explicitar y como funcao de x, portanto, para resolver o problema e precisoempregar o processo de diferenciacao implıcita, como foi feito neste capıtulo.

Fermat aceitou o desafio proposto por Descartes e nao encontrou dificuldades em resolver este problema.

Usando a ideia de que a reta tangente a uma curva qualquer, num ponto (x, y), poder ser obtida como o limite deretas secantes que passam pelos pontos (x, y) e (x + h, y + k), quando h e k tendem a zero, Fermat calculou o valorda expressao F (x, y) = 0 no ponto (x+ h, y+ k) e “passou o limite”, desprezando todos os termos contendo potenciasde h e k ou seus produtos (repare que se h e k sao numeros pequenos, para n ≥ 2, hn, kn e hk sao desprezıveis emrelacao a unidade). A declividade da reta tangente seria dada, entao, pela razao k

h .

Embora o metodo por ele empregado fosse mais complicado do que aquele que empregamos hoje e envolvesse umconceito nebuloso de limites, funcionava em problemas do tipo daquele proposto por Descartes.

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190 Cap. 14 Derivacao Implıcita e Taxas Relacionadas

14.8 Para voce meditar: Quando as contas nao fazem sentido!

Existe esta “curva”?Considere a seguinte equacao x (x+ 6) + y2 − 4 y + 14 = 0. Considerando que esta equacao define implicitamente ycomo funcao de x e usando o Maple para calcular a derivada dessa funcao, obtemos:

> Diff(y,x)=implicitdiff(x*(x+6)+y^2-4*y+14=0,y,x);

∂∂x y = −x+ 3

y − 2

(a) Explique por que a expressao acima e completamente sem sentido.Sugestao: Que curva plana e definida pela equacao x (x+ 6) + y2 − 4 y + 14 = 0?

Derivando equacoes ou qual o sentido da derivacao implıcita?Considere a equacao cubica x3 = 3x+ 8. Derivando ambos os membros desta equacao em relacao a x, obtemos3x2 = 3. Esta ultima equacao admite duas solucoes, x = 1 e x = −1, mas nenhum destes valores e solucao da equacaooriginal.

(a) O que esta errado? Afinal, em varios exemplos deste capıtulo derivamos ambos os membros de uma equacao.Este procedimento e correto ou nao? Por que o processo de derivacao implıcita e valido para calcular a derivadade uma funcao definida por uma expressao do tipo f(x, y) = 0 e nao pode ser aplicado no contexto do exemploacima?

Se dydx

∣∣∣(x0, y0)

= 0 a tangente a curva f(x, y) = 0 e horizontal?

O problema a ser estudado aqui e o de calcular os pontos no grafico da equacao x3 + y3 = 3x y − 1 nos quais a retatangente a curva seja horizontal. Para resolver este problema e preciso encontrar os pontos onde dy

dx = 0. Usando oprocesso de derivacao implıcita, temos

> Diff(y,x)=implicitdiff(x^3+y^3 = 3*x*y-1,y,x);

∂∂x y =

x2 − y−y2 + x

Desta ultima expressao resulta que dydx = 0 se e somente se y = x2 e x 6= y2.

(a) O ponto (1, 1) pertence a curva dada e satisfaz a relacao y = x2. Neste ponto a tangente ao grafico da curva ehorizontal?

(b) Mostre que nao ha pontos no grafico da curva x3 + y3 = 3x y − 1 onde a reta tangente seja horizontal.Sugestao: Use o comando implicitplot do Maple para tracar o grafico desta equacao.

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Capıtulo 15

Maximos e Mınimos em IntervalosFechados

15.1 Motivacao

Na Secao 4.1.1, estudamos o problema da caixa, onde querıamos montar uma caixa recortando retangulos nos quatrocantos de uma lamina de plastico e dobrando para cima as bordas obtidas. O problema era determinar o tamanho docorte a ser feito nos cantos da folha de plastico, a fim de obter a caixa de volume maximo. O volume da caixa e umafuncao do tamanho do corte, que representamos por x, e e dado por V = x (20− 2x)2, onde 0 ≤ x ≤ 10.

O problema da caixa e um exemplo tıpico de problemas de determinacao de maximos e mınimos de funcoesdefinidas em intervalos fechados. Para estudar e resolver problemas desse tipo precisamos de algumas definicoes e doestabelecimento de criterios que permitam determinar facilmente estes pontos.

15.2 Maximos e mınimos absolutos

Definicao 1

Seja f uma funcao definida no intervalo fechado [a, b]. Um ponto c pertencente ao intervalo [a, b] e chamado pontode maximo absoluto de f ou, simplesmente, ponto de maximo se f(x) ≤ f(c) para todo x em [a, b]. O valor f(c)e chamado de valor maximo absoluto de f neste intervalo ou, simplesmente, valor maximo de f .

Um ponto d de [a, b] e chamado ponto de mınimo absoluto de f ou, simplesmente, ponto de mınimo de fse f(d) ≤ f(x) para todo x em [a, b]. O valor f(d) e chamado valor mınimo absoluto de f neste intervalo ou,simplesmente, valor mınimo de f .

Assim, se f(c) e o maximo e f(d) e o mınimo de f em [a, b], teremos

f(d) ≤ f(x) ≤ f(c),

para todo x em [a, b]. Os valores maximo e mınimo de f sao chamados valores extremos de f .

valor minimo

valor maximo

–30

–20

–10

10

20

30

40

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

O teorema abaixo garante que toda funcao contınua em um intervalo fechado tem sempre um maximo e um mınimoabsolutos.

Teorema dos valores extremosSeja f uma funcao contınua definida em um intervalo fechado [a, b]. Entao existem numeros c e d no intervalo

[a, b], tais que, f(c) e o valor maximo e f(d) e o valor mınimo de f em [a, b].

A demonstracao deste teorema podera ser encontrada no apendice deste volume.

191

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192 Cap. 15 Maximos e Mınimos em Intervalos Fechados

Os exemplos abaixo mostram que se f nao e contınua ou se o intervalo nao e fechado, f pode nao atingir valoresmaximo e mınimo.

Exemplo 1 Seja f(x) = x2 definida no intervalo [0, 1), isto e, seu domınio e um intervalo semi-aberto a direita.Observando o grafico de f vemos, claramente, que esta funcao atinge o mınimo em x = 0 porem nao atinge um valormaximo. O candidato a ponto de maximo seria x = 1, porem este ponto nao pertence ao domınio de f . Como f ecrescente neste intervalo, qualquer que seja o valor de f(x1) com x1 < 1, existira sempre um x2, tal que x1 < x2 < 1e f(x1) < f(x2).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x

Exemplo 2 A funcao f definida no intervalo [0, 2] por

f(x) =

1

x−1 x 6= 11 x = 1

nao e contınua no ponto x = 1. Seu limite lateral a esquerda limx→1−

1

x− 1= −∞ e seu limite lateral a direita

limx→1+

1

x− 1= +∞. Portanto, esta funcao nao atinge valor maximo nem mınimo em [0, 2].

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x

Exercıcio Esboce o grafico de uma funcao definida em [0, 1] que seja descontınua e tenha um maximo e ummınimo absolutos.

15.2.1 Maximos e mınimos locais

Vimos que o teorema dos valores extremos garante a existencia de maximos e mınimos de uma funcao contınua em umintervalo fechado [a, b]. A questao natural que se coloca agora e saber onde, exatamente, se localizam estes maximose mınimos?Antes de tentar responder a esta pergunta, vamos examinar alguns exemplos.

Exemplo 3 Considere a funcao f(x) = x3, que e contınua e crescente no intervalo [−1, 1]. Neste intervalo, o valormınimo desta funcao e −1 e o valor maximo e 1. Estes valores ocorrem nos pontos x = −1 e x = 1, respectivamente,que sao os extremos do intervalo considerado.

Exemplo 4 Considere a funcao f(x) = −x2 no intervalo [−2, 2]. Esta funcao e contınua neste intervalo e, portanto,o teorema dos valores extremos garante a existencia de um maximo e de um mınimo globais.

Neste caso, o maximo global da funcao f(x) = −x2 e zero e ocorre em x = 0. O valor mınimo e −1 e ocorre emx = −1 e x = 1.

Exemplo 5 Vamos examinar agora a funcao f(x) = x3 − 4x2 − x+ 10 definida em [−2, 5]. Veja o seu graficotracado a seguir, a esquerda.

Page 209: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 193

Os valores maximos e mınimos desta funcao ocorrem em 5 e −2, respectivamente, que sao os extremos do intervalo.No entanto, existe um ponto no interior deste intervalo onde a funcao atinge um maximo para valores de x, por exemplo,entre −1 e 1. Da mesma forma, existe um ponto onde f atinge um mınimo se considerarmos valores de x entre, porexemplo, 0 e 4. O grafico seguinte, a direita, da mesma funcao tracado no intervalo [−1, 3.5], ilustra esta afirmacao.

–10

0

10

20

30

–2 –1 1 2 3 4 5x

–2

0

2

4

6

8

10

–1 1 2 3x

Estes pontos sao ditos maximos e mınimos locais, ou, genericamente, extremos locais de f, e sao caracterizadosna definicao a seguir.

Definicao 2Dizemos que um ponto c e um ponto de maximo local ou relativo de f se f(x) ≤ f(c) para todo x suficientemente

proximo de c. Mais precisamente, se esta desigualdade for verdadeira para todo x que esteja no domınio de f, em algumintervalo aberto contendo c. Analogamente, dizemos que d e um ponto de mınimo local ou relativo de f se f(d) ≤ f(x),para todo x suficientemente proximo de d.

A questao que se coloca agora e descobrir algum criterio quenos permita identificar com precisao os extremos relativos de umafuncao. A reta tangente nos da uma pista para localiza-los. Ob-serve o diagrama ao lado e conclua o que e possıvel afirmar arespeito destes pontos.

A primeira vista, parece ser possıvel afirmar que, nestes pon-tos, a reta tangente e horizontal e, portanto, a derivada da funcaoe zero. No entanto, os exemplos a seguir mostram que extremosrelativos podem ocorrer em pontos onde a funcao sequer e de-rivavel e que existem pontos, onde a derivada e zero, que nao saonem maximo e nem mınimo locais.

Exemplo 6 Examine a funcao f(x) = 3− |x− 2 | definida em [1, 4].

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3 3.23.43.63.8 4x

O ponto x = 2 e um ponto de maximo relativo desta funcao (na realidade este ponto e um maximo global paraesta funcao no intervalo considerado) e f nao e derivavel neste ponto.

Exemplo 7 Em x = 0, a reta tangente ao grafico da funcao f(x) = x3 e horizontal e, portanto, a derivada destafuncao e zero neste ponto (prove analiticamente este fato!). No entanto, o ponto x = 0 nao e nem ponto de maximo enem ponto de mınimo local para esta funcao.

O teorema a seguir esclarece estes fatos.

Teorema Caracterizacao dos maximos e mınimos locaisSeja f uma funcao definida em um intervalo aberto (a, b) e derivavel em um ponto c de (a, b). Se f ′(c) 6= 0 entao

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194 Cap. 15 Maximos e Mınimos em Intervalos Fechados

f(c) nao e maximo nem mınimo local de f .

DemonstracaoSe f ′(c) 6= 0, entao f ′(c) > 0 ou f ′(c) < 0. Vamos supor, primeiro, que f ′(c) > 0. Entao, para x suficientemente

proximo de c, temosf(x)− f(c)

x− c> 0.

Logo, se x < c , tem-se x − c < 0, o que implica f(x) < f(c). Agora, se x > c, tem-se x − c > 0, o que implicaf(x) > f(c). Assim, c nao e extremo relativo de f .

Supondo, agora, f ′(c) < 0, tem-se (−f)′(c) > 0. Logo, pelo caso anterior, c nao e extremo relativo de (−f) eassim, obviamente, c nao e ponto de maximo nem mınimo relativo de f . (Por que?)

Observe que o teorema e equivalente a dizer que se f e derivavel em (a,b) e c e um ponto de maximo ou mınimo localde f , entao, f ′(c) = 0.

Atencao!!! Cuidado!!! Esta condicao e necessaria mas nao suficiente. Como o Exemplo 7 mostrou, nem sempre everdade que se f ′(c) = 0, entao f(c) e um extremo local.

15.3 Determinacao dos pontos de maximo e mınimo de uma funcao

Dos exemplos, definicoes e teoremas estudados na secao anterior podemos concluir que:

Toda funcao contınua definida em um intervalo fechado [a, b] possui um maximo e um mınimo global.

O maximo e o mınimo para estas funcoes so podem ocorrer

nas extremidades a e b do intervalo

nos pontos onde a derivada f ′ se anula ou

nos pontos onde a derivada f ′ nao existe

Definicao 3 Ponto crıtico

Um ponto c no domınio de f e dito um ponto crıtico de f se f ′(c) = 0 ou se f ′(c) nao existe.Assim, para localizar os pontos extremos de uma funcao contınua f definida em [a, b], proceda da seguinte maneira:

1. Determine os pontos crıticos de f .

2. Calcule os valores de f em cada um dos seus pontos crıticos.

3. Calcule f(a) e f(b).

4. Compare todos os valores e verifique qual o maior e qual o menor.

5. Conclua: o maior dentre estes valores sera o maximo absoluto de f e o menor sera o mınimo absoluto def .

15.4 Exemplos

Os exemplos a seguir ilustram o procedimento descrito acima e mostram como podemos usar o Maple para efetuar oscalculos necessarios.

Exemplo 1 Determine os valores maximos e mınimos de f(x) = x3 − 3x2 − 9x+ 3, nos intervalos

(a) [-4, 6] (b) [-4, 2] (c) [-2, 4]

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W.Bianchini, A.R.Santos 195

Solucao Primeiro definimos a funcao f e calculamos a sua derivada:

> f:=x->x^3-3*x^2-9*x+3;

f := x→ x3 − 3x2 − 9x+ 3

> Diff(f(x),x):%=diff(f(x),x);

∂∂x (x3 − 3x2 − 9x+ 3) = 3x2 − 6x− 9

Observe que a funcao f e contınua e derivavel em todos os pontos da reta. Assim, os candidatos a extremos destafuncao sao os extremos do intervalo e os pontos onde a derivada se anula. Para determinar estes ultimos pontos, bastaresolver a equacao f ′(x) = 0:

> solve(diff(f(x),x)=0,x);

−1, 3

Nestes pontos crıticos os valores de f sao, respectivamente,

> f(-1);f(3);

8 − 24

Para responder ao item (a) e preciso comparar os valores obtidos acima com os valores de f nas extremidades −4e 6 do intervalo considerado. Temos

> f(-4);f(6);

−73 57

Comparando os valores obtidos, concluımos que o maior e 57 e o menor e −73, isto e, os pontos de maximo e demınimo desta funcao ocorrem nos extremos do intervalo considerado. Assim, o valor maximo de f e 57 e ocorre emx = 6, que e o ponto de maximo absoluto da funcao neste intervalo; o valor mınimo de f e −73 e ocorre em x = −4,que e o ponto de mınimo absoluto de f em [−4, 6].

Como o ponto crıtico 3 nao pertence ao intervalo [−4, 2], para responder ao item (b) basta comparar os valores def no ponto crıtico −1 e nos extremos −4 e 2 do intervalo.

> f(2);

−19

Logo, o valor mınimo desta funcao, em [−4, 2], e −73. Este valor ocorre em x = −4, que e o seu ponto de mınimo.Da mesma forma, o valor maximo de f , neste intervalo, e 8. Este valor ocorre em x = −1, que e o seu ponto demaximo.

Para responder ao ıtem (c) vamos calcular os valores de f nas extremidades do intervalo [−2, 4] e compara-los comos valores de f(−1) e f(3) obtidos acima. Temos

> f(-2);f(4);

1 − 17

Assim, concluımos que −1 e o ponto de maximo e 3 e o ponto de mınimo de f , em [−2, 4].

• Quais os valores maximo e mınimo de f neste intervalo?Observe o grafico de f :

> plot(x^3-3*x^2-9*x+3,x=-4..6);

–60

–40

–20

0

20

40

x

Exemplo 2 Determine os pontos de maximo e de mınimo de g(x) =√|x | no intervalo [−2, 1].

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196 Cap. 15 Maximos e Mınimos em Intervalos Fechados

Solucao Como no exemplo anterior, vamos definir a funcao e achar a sua derivada com o auxılio do Maple.

> g:=x->sqrt(abs(x));

g := x→√|x|

> diff(g(x),x);

1

2

abs(1, x)√|x|

Na derivada acima, a expressao abs(1,x) e a notacao usada pelo Maple para a derivada de |x |, isto e, para a funcaoque vale 1 para x > 0 e −1 para x < 0. Claramente, vemos que a derivada de g nao existe no zero e que esta derivadanao se anula em nenhum ponto. Portanto, o seu unico ponto crıtico e o zero. Comparando os valores de g em −2, 1(extremos do intervalo) e 0 (ponto crıtico), concluımos que −2 e o ponto de maximo de g e 0 e o ponto de mınimo. Alista de valores de g e o grafico da funcao comprovam estas conclusoes.

> g(-2);g(1);g(0);

√2 1 0

> plot(g(x),x=-2..1,y=0..sqrt(2),axesfont=[TIMES,ROMAN,8]);

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y

–2 –1.8 –1.4 –1 –0.8 –0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Exemplo 3 Determine os pontos de maximo e mınimo de

h(x) =

x2 + 2 x ≤ 14− x2 x > 1

no intervalo [−1, 2].

Solucao Observando o grafico desta funcao concluımos que o pontox = 1 e um ponto crıtico para a funcao h, pois neste ponto a derivadanao existe. 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

–1 –0.6 0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2x

De fato, as derivadas laterais em x = 1 sao diferentes. Calcule-as e comprove esta afirmacao! Assim, paradeterminar os extremos desta funcao, precisamos comparar os valores de h em x = 1 com os valores que ela assumenas extremidades do intervalo, como fazemos com a ajuda do Maple:

> h:=x->piecewise(x<=1,x^2+2,x>1,4-x^2):

> h(-1);h(1);h(2);

3 3 0

Podemos concluir, portanto, que h tem dois pontos de maximo e um de mınimo que sao, respectivamente, −1, 1 e2.

15.5 Problemas envolvendo maximos e mınimos em intervalos fechados

Problema 1Um fio com 4 m de comprimento e cortado em dois pedacos. Com um deles formaremos um cırculo e com o outro

um quadrado.(a) Como devemos cortar o fio para que a soma das areas limitadas pelo cırculo e pelo quadrado seja maxima?(b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das areas seja mınima?(Os dois casos extremos sao admitidos, ou seja, e permitido formar com o fio apenas um quadrado ou apenas um

cırculo.)

Solucao Dividimos o fio em um ponto qualquer. Seja x o comprimento de um dos pedacos. Obviamente, ocomprimento do outro pedaco sera 4 − x. Alem disso, pela geometria do problema, os valores possıveis para x estaocompreendidos no intervalo [0, 4].

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W.Bianchini, A.R.Santos 197

Formando um cırculo com o pedaco de comprimento x, temos que 2π r = x, ou seja, r = x2π . Assim, a area do

cırculo sera dada por

C(x) = π r2 =π x2

4π2=x2

e a area do quadrado, por Q(x) = (4−x4 )2. A area total sera, portanto, dada por

A(x) = C(x) +Q(x) =x2

4π+

(4− x)2

16.

Esta funcao e uma parabola, sendo, consequentemente, derivavel em qualquer ponto x do intervalo [0, 4]. Assim, ospontos extremos de A(x) estarao entre aqueles onde sua derivada se anula ou nas extremidades do intervalo. Abaixoderivamos a funcao A(x), calculamos as raızes s da equacao A′(x) = 0 e comparamos os valores de A(s), A(0) e A(4).

> A:=x->x^2/(4*Pi)+(4-x)^2/16:

> diff(A(x),x);

1

2

x

π− 1

2+

1

8x

> s:=solve(%);

s := 4π

4 + π> A(s);A(0);A(4);

(4 + π)2+

1

16(4− 4

π

4 + π)2

1

4

π> simplify(A(s));

4

4 + π

Observando estes valores, podemos concluir que o maximo ocorre no ponto x = 4 e o mınimo no ponto x = 4π4+π .

Assim, para que a area A(x) seja maxima nao cortamos o fio e formamos apenas um cırculo. Para que a area A(x)seja mınima devemos cortar o fio no ponto x = 4π

4+π . O cırculo tera um raio r igual a 24+π e o quadrado tera um lado

de comprimento 44+π .

Problema 2Considere as parabolas y = x2 − 4 e y = −x2 + 4. Determine as dimensoes de um retangulo cujos vertices inferiores

estao sobre a parabola y = x2 − 4 e os superiores sobre a parabola y = −x2 + 4, de tal forma que a area desse retanguloseja maxima.

Solucao Observe no diagrama que o valor da area depende da posicao dos vertices do retangulo.

y

x

–4

–2

0

2

4

–2 –1 1 2

x

Devemos determinar as dimensoes que fornecera a area maxima. Pela simetria da figura anterior, superior a direita,temos que a area A(x) e dada por A(x) = 4x y = −4x3 + 16x, para x variando no intervalo [0, 2]. Como A(x) econtınua nesse intervalo, o teorema dos valores extremos garante que esta funcao tem um maximo absoluto em [0, 2].

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198 Cap. 15 Maximos e Mınimos em Intervalos Fechados

Alem disso, este maximo ocorre em um dos extremos do intervalo ou num ponto crıtico da funcao. Como a derivadada funcao A(x) e um polinomio do segundo grau, os unicos pontos crıticos de A sao os pontos onde a sua derivadase anula. Determinar estes pontos crıticos, portanto, e equivalente a resolver a equacao A′(x) = 0. Vamos, uma vezmais, usar o Maple para fazer as contas:

> A:=x->-4*x^3+16*x:

> crt:=solve(diff(A(x),x)=0,x);

crt := 2

3

√3, −2

3

√3

O ponto crıtico que nos interessa e o ponto x = 2√

33 , pois o outro nao pertence ao intervalo [0, 2]. Comparando os

valores da funcao A neste ponto e nos pontos 0 e 2 (extremidades do intervalo), obtemos:

> A(0);A(2);A(2/3*sqrt(3));

0 064

9

√3

Portanto, o ponto de maximo para esta funcao ocorre em x = 2√

33 ; consequentemente, o retangulo de area maxima

tera base de comprimento igual a 4√

33 e altura 16

3 .

Problema 3

Encontre as dimensoes do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular retocom raio 7/2 cm e altura 6 cm.

Solucao Veja a figura ao lado, onde representamos um cortetransversal do cilindro e esquematizamos o problema proposto.O volume do cilindro e dado por V = π r2 h. Para expressar ovolume em termos de uma unica variavel, precisamos de outraequacao envolvendo r e h.

Usando semelhanca de triangulos, temos 672

= 6−hr , ou seja,

h = 6− 12 r7 . Logo,

V (r) = π r2 (6− 12 r

7) = 6π r2 − 12π r3

7.

1

7/2

r6-h

Esta funcao e contınua em [0, 7/2], logo tem um valor maximo absoluto neste intervalo. Vamos, entao, derivar afuncao V para encontrar os seus pontos crıticos:

V := r → 6π r2 − 12π r3

7> diff(V(r),r);

12π r − 36

7π r2

Como esta derivada esta definida em toda a reta, os unicos pontos crıticos de V sao os pontos onde a derivada seanula. Resolvendo a equacao V ′(x) = 0, obtemos

> pontos_criticos:=solve(diff(V(r),r)=0);

pontos criticos := 0, 7

3

Comparando os valores de V nos pontos crıticos e nos extremos do intervalo, temos

> V(0);V(7/2);V(7/3);

0 098

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W.Bianchini, A.R.Santos 199

Logo, o valor maximo de V sera V ( 73 ) = 98π

9 , que e atingido em r = 73 . Como h = 6− 12 r

7 , o cilindro de volumemaximo tera raio r = 7

3 e altura h = 2 cm.

15.6 Exercıcios

1. Em cada um dos itens abaixo, decida se a funcao dada atinge um valor maximo ou um valor mınimo ou ambos,no intervalo indicado. Se necessario, esboce um grafico da funcao.(a) f(x) = 1− x em [-1,1)

(b) f(x) = |x | em (-1, 1)

(c) f(x) = 1√x

em (0,1]

(d) f(x) = x3 + 1 em [-1,1]

(e) f(x) = 1x2+1 em (−∞,∞)

(f) f(x) = 1x (1−x) em [2, 3]

(g) f(x) = 1x (1−x) em (0, 1).

2. Em cada um dos itens abaixo, determine os valores maximo e mınimo atingidos pela funcao dada, no intervalofechado indicado.

(a) f(x) = 3x− 2 em [−2, 3]

(b) f(x) = 4− x2 em [1, 3]

(c) g(x) = (x− 1)2 em [−1, 4]

(d) h(x) = x3 − 3x em [−3, 5]

(e) f(x) = x+ 1x em [2, 6]

(f) g(x) = | 2x− 3 | em [1, 2]

(g) f(x) = xx+1 em [0, 3]

(h) f(x) = x√

1− x2 em [−1, 1]

3. (a) Seja f(x) = Ax+B. Explique por que os valores maximo e mınimo de f , em um intervalo [a, b] qualquer,devem ocorrer necessariamente nos pontos extremos do intervalo.

(b) Prove que toda funcao quadratica f(x) = a x2 + b x+ c, onde a 6= 0, tem exatamente um ponto crıtico emtoda a reta.

(c) Explique por que a funcao polinomial cubica pode ter dois, um ou nenhum ponto crıtico em toda a reta.De exemplos que ilustrem cada um dos casos.

(d) Se f tem um valor mınimo em x = c, mostre que a funcao g(x) = −f(x) tem um valor maximo nestemesmo ponto.

15.7 Problemas propostos

1. Prove que o retangulo de area maxima e perımetro dado e o quadrado.

2. Um retangulo de lados paralelos aos eixos coordenados e localizado no primeiro quadrante tem um vertice naorigem, um vertice sobre o eixo x, um vertice sobre o eixo y e o quarto vertice sobre a reta 2x+ y = 100. Quala area maxima de tal retangulo?

3. Um campo retangular vai ser fechado com uma cerca e depois dividido ao meio por outra cerca. Se a cerca quepassa pela metade custa R$ 10,00 por metro e a outra R$ 25,00 por metro, encontre as dimensoes do campo demaior area possıvel que pode ser fechado com um custo de R$4.800,00.

4. Os pontos A e B sao opostos um ao outro nas margens de um rio que mede 3 km de largura. O ponto C estana mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma companhia telefonica deseja estender um cabo deA ate C. Se o custo por km do cabo e 25% mais caro sob a agua do que em terra, qual o tracado do cabo maisbarato para a companhia?

5. Uma companhia de aviacao freta um aviao de 50 lugares de acordo com as seguintes condicoes especificadas nocontrato de afretamento:

(a) Cada passageiro pagara 600 reais se todos os 50 lugares forem vendidos.

(b) Cada passageiro pagara um adicional de 30 reais por lugar nao vendido.

Quantos lugares a companhia deve vender para obter renda maxima?

6. Seja f(x) = x2, para x pertencente ao intervalo [0, 1]. Determine a reta r tangente ao grafico de f(x), tal que otriangulo determinado por r, a reta x = 1 e a reta y = 0 tenha a maior area possıvel.

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200 Cap. 15 Maximos e Mınimos em Intervalos Fechados

7. Num certo paıs, endividado ate o pescoco, descobriu-se que a solucao de todos os problemas estava na criacaode um combustıvel para substituir as importacoes de petroleo. Apos muitas pesquisas foi criado o Tomatoleo,uma mistura de extrato de tomate e gasolina. O litro de extrato de tomate (ET) custa R$ 0,30 e o de gasolina(GS) custa R$ 0,50. Porem, um litro de Tomatoleo, com x litros de ET, da para um carro medio percorrer 10

1+xquilometros. Determine a quantidade de ET que minimiza o custo por quilometro.

8. Dada a funcao f(x) = 1 +√

18− 2x2, para x ∈ [−3, 3] e o ponto P = (2, 1). Determine a maior e a menordistancias de P aos pontos do grafico de f .

9. Com a finalidade de evitar a construcao de predios muito altos em terrenos pequenos, foi criada na cidade doSonho Dourado a seguinte lei: “E obrigatoria a existencia de uma area livre em torno da area construıda, comlargura mınima de 50 cm por metro de altura da construcao, medidos a partir dos limites do terreno”. Assim,em Sonho Dourado, um predio de 20 m de altura devera ser construıdo em centro de terreno a uma distanciade, pelo menos, 0, 5× 20 = 10 m dos limites do terreno. Supondo que voce

(a) more em Sonho Dourado.

(b) tenha um terreno de 30 m por 30 m.

(c) deseja construir um predio em forma de paralelepıpedo que tenha volume maximo.

(d) seja um cidadao respeitador das leis.

Pergunta-se: Quais deveriam ser as dimensoes do predio a ser construıdo?

10. Determine as dimensoes do cilindro de area maxima inscrito em um cone circular reto dado.

11. Determine o retangulo de maior area inscrito na regiao acima da parabola y = x2 e abaixo da parabola y = −2x2 + 3,cujos lados sao paralelos aos eixos coordenados.

12. Em um terreno com a forma de um semicırculo de 25 m de raio, deseja-se construir uma piscina com a formade um triangulo retangulo com hipotenusa igual ao diametro do cırculo e um vertice no semicırculo. Calcule asdimensoes da piscina de area maxima.

13. Uma janela normanda tem a forma de um retangulo encimado por um semicırculo. Se o perımetro da janela e2 m, encontre as dimensoes da janela para que penetre o maximo de luz possıvel.

14. Sabendo que a resistencia de uma viga retangular e proporcional ao produto da largura pelo quadrado da alturade sua secao transversal, quais serao as dimensoes da viga a ser cortada de um toro cilındrico de raio r paraassegurar a maior resistencia possıvel?

15. Um segmento de reta, de comprimento fixo L, une o vertice de um retangulo ao ponto medio do lado oposto.Qual a maior area possıvel de tal retangulo?

16. Uma tipografia dispoe de 8 impressoras, cada uma das quais pode imprimir 3.600 copias por hora. Custa R$5,00 para preparar cada impressora para a operacao e 10 + 6n reais para fazer funcionar n impressoras duranteuma hora. Quantas impressoras devem ser utilizadas para imprimir 50.000 copias de um cartaz de forma a obterum lucro maximo?

17. Um fazendeiro deseja contratar trabalhadores para colher 900 alqueires de graos. Cada trabalhador pode colher5 alqueires por hora e recebe em pagamento R$ 1,00 por alqueire. O fazendeiro deve ainda pagar um capataz aR$ 10,00 por hora para supervisionar a colheita e tem ainda uma despesa adicional de R$ 8,00 com refeicoes portrabalhador. Quantos trabalhadores deve contratar de modo a minimizar o custo total? De quanto sera entao ocusto do alqueire colhido?

18. Uma companhia tem fabricas localizadas (em um sistema de coordenadas adequadamente escolhido) nos pontosA(0, 1), B(0,−1) e C(3, 0). A companhia planeja construir uma central de distribuicao eletrica no ponto P (x, 0).Qual o valor de x que minimiza o custo de distribuicao da energia eletrica produzida?

19. Um gramado circular de 20 m de raio e circundado por um passeio, e uma lampada e colocada no cimo deum poste fincado no centro do gramado. A que altura deve ser colocada a lampada para que o passeio recebailuminacao maxima?Observacao: a intensidade de iluminacao de uma superfıcie e dada por I = k sen(θ)

D2 onde D e a distancia da fontede luz a superfıcie, θ e o angulo segundo o qual a luz atinge a superfıcie e k e uma constante positiva.

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W.Bianchini, A.R.Santos 201

20. Cinco placas de metal retangulares medem 210 cm por 336 cm cada. Cortam-se pedacos quadrados iguais decada um de seus cantos, e as abas resultantes devem ser dobradas para cima e soldadas, de modo a formar cincocaixas sem tampa. Os vinte pequenos quadrados retirados sao reunidos em grupos de quatro e soldados paraformar cinco quadrados maiores, que por sua vez sao soldados de modo a formar uma caixa cubica sem tampa,de modo que nenhum material e desperdicado. Qual o tamanho do corte para que o volume total das seis caixasassim formadas seja o maior possıvel?

21. Deve-se construir uma pista de corrida em forma de dois trechos retilıneos, paralelos e de igual comprimento,unidos por dois semicırculos nas extremidades. O comprimento da pista (uma volta completa) deve ser de 5 km.Quais sao as dimensoes da pista que maximizarao a area retangular interna?

22. Um objeto e arrastado num plano horizontal por uma forca que age ao longo de uma corda atada a ele. Se acorda faz um angulo θ com o plano, entao a magnitude da forca e dada por

F =µW

µ sen θ + cos θ,

onde µ e uma constante positiva chamada coeficiente de friccao e 0 ≤ θ ≤ π2 . Mostre que F e minimizada

quando tg θ = µ

15.8 Para voce meditar: O feirante de Caruaru

Um vendedor foi a feira de Caruaru com sua balanca de dois pratos defeituosa, pois tinha um braco mais curto doque o outro. Para compensar isto, ao atender os fregueses passou a usar, sucessivamente, os dois lados para pesar amercadoria. Por exemplo, se alguem desejava dois quilos de acucar, o vendedor lhe dava um quilo com excesso (pesadousando-se um dos pratos da balanca) e um quilo com falta (pesado usando-se o outro lado).• Quem ganha com este processo?Sugestao: Use a Lei das alavancas para obter uma relacao entre o peso da mercadoria e o tamanho dos bracos dabalanca.

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Capıtulo 16

Tracado de Graficos

16.1 Introducao

Em capıtulos anteriores, tivemos a oportunidade de observar a utilidade da representacao grafica de uma funcao: umgrafico, adequadamente tracado, pode e deve mostrar caracterısticas importantes do comportamento da funcao, daıa necessidade de sabermos esbocar graficos de funcoes de uma maneira precisa. Ja vimos tambem que um programade computador, como o Maple, traca graficos de quaisquer funcoes em questoes de segundos. Por que, entao, nospreocuparmos em aprender tecnicas para tracar graficos?

Esta secao tem como objetivo mostrar que o computador e o Maple, quando corretamente utilizados, podem nosfornecer todas as informacoes importantes a respeito de uma funcao, mas para isso e preciso entender e utilizar oconceito de derivada para tracar o grafico de funcoes. Nos exemplos estudados a seguir, mostraremos como o potenciale as facilidades computacionais do Maple podem ser usados para entender os conceitos matematicos utilizados naconstrucao do grafico de uma funcao e como e possıvel utilizar estes conceitos matematicos, em conjunto com o Maple,para obter uma representacao grafica adequada da funcao em exame.

Nesta secao faremos uma discussao puramente geometrica dos varios conceitos matematicos envolvidos no tracadodo grafico de uma funcao. As demonstracoes das conclusoes a que chegarmos neste capıtulo serao apresentadas noscapıtulos a seguir.

16.2 Discussao geometrica

Como o grafico de uma funcao e o conjunto de pontos do plano da forma (x, f(x)), a primeira ideia que surge aotentarmos tracar um grafico e marcar alguns destes pontos no sistema de eixos coordenados e liga-los por segmentosde reta. Este metodo, alem de primitivo, pode levar a uma serie de equıvocos. Vejamos alguns exemplos do que podeacontecer:

Exemplo 1 Considere a funcao f(x) = x4 − 5x2 + 4. Veja a seguir a figura obtida unindo, por seguimentos, ospontos (−2, 0), (−1, 0), (0, 4), (1, 0) e (2, 0), que fazem parte do grafico desta funcao.

0

1

2

3

4

–2 –1 0 1 2

Sera esta uma representacao adequada para o grafico da funcao f(x) = x4 − 5x2 + 4?

A segunda ideia que temos, como dignos representantes de uma especie racional, habitantes do planeta Terra, empleno seculo XXI, e lancar mao de um computador e usar um programa que nos salve. Mesmo usando um programacomo o Maple, podemos ser levados a erros. Veja o resultado que obtivemos usando este recurso computacional:

202

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W.Bianchini, A.R.Santos 203

0

100

200

300

400

500

–4 –2 2 4x

O grafico parece indicar que a funcao assume somente valores positivos. No entanto, por simples inspecao consta-tamos que, para alguns valores de x, a funcao deve assumir valores negativos. Usando o Maple para calcular os valoresdesta funcao em alguns pontos obtemos:

> f1:= x ->x^4-5*x^2+4;

> valores_f:=[f1(-2),f1(-1.5),f1(-1),f1(-0.5),f1(0),f1(0.5),f1(1),f1(1.> 5),f1(2)];

valores f := [0, −2.1875, 0, 2.8125, 4, 2.8125, 0, −2.1875, 0]

o que mostra que nossa conjectura era verdadeira. O comportamento desta funcao e melhor representado pelo graficoa seguir, onde os intervalos de variacao de x e de y foram escolhidos criteriosamente.

> plot(x^4-5*x^2+4,x=-5..5,y=-3..6);

–2

2

4

6

y

–4 –2 2 4x

Este exemplo nos leva a pensar que o problema de tracar adequadamente graficos de funcoes estara resolvido sedesenvolvermos uma grande habilidade com os comandos do Maple na manipulacao de graficos, em particular naescolha da melhor “janela” para o tracado do grafico em questao. O proximo exemplo nos mostra que a questao naoe tao simples quanto parece.

Exemplo 2 Vamos tentar achar a melhor “janela” para obter, com a ajuda do Maple, uma representacao graficaadequada para a funcao g(x) = 1

x12 − 2 ( 1000x )6. Veja a seguir o resultado de nossas tentativas. Observe em cada caso

a “janela” escolhida para o tracado do grafico, isto e, os intervalos de variacao de x e de y.

> g:=x->1/x^12-2*(1000/x)^6;

g := x→ 1

x12− 2000000000000000000

x6

> plot(g(x),x=-10..10,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);

Page 220: texto completo em PDF

204 Cap. 16 Tracado de Graficos

–5e+32

–4e+32

–3e+32

–2e+32

–1e+32

x

> plot(g(x),x=-1..1,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);

0

2e+40

4e+40

6e+40

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

> plot(g(x),x=-0.01..0.01,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);

2e+64

4e+64

6e+64

8e+64

–0.01 –0.008 –0.006 –0.004 –0.002 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

x

> plot(g(x),x=-0.00001..0.00001,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);

2e+100

4e+100

6e+100

8e+100

–1e–05 –8e–06 –6e–06 –4e–06 –2e–06 2e–06 4e–06 6e–06 8e–06 1e–05

x

> plot(g(x),x=-0.001..0.001,y=-4^100..4^100,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);

Page 221: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 205

–1.6e+60

–1.4e+60

–1.2e+60

–1e+60

–8e+59

–6e+59

–4e+59

–2e+59

0

2e+59

4e+59

6e+59

8e+59

1e+60

1.2e+60

1.4e+60

1.6e+60

y

–0.001 –0.0008 –0.0006 –0.0004 –0.0002 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001

x

Os graficos obtidos nao nos fornecem nenhuma informacao a respeito do comportamento desta funcao, por issonao sao uma representacao grafica adequada para a mesma. Usando a versao eletronica deste texto, tente obter umarepresentacao melhor para o grafico desta funcao! Este exemplo nos faz concluir que para tracar o grafico de algumasfuncoes teremos que ter muita habilidade (ou sorte) no uso do Maple para conseguirmos alguma coisa razoavel. Tantahabilidade que talvez seja mais facil (e util) aprender calculo!

Os exemplos seguintes ilustram que, alem do problema da escolha da melhor “janela”, outras duvidas podem surgirao tentarmos tracar graficos de funcoes.

Exemplo 3

> plot(x^3,x=-20..20,axesfont=[TIMES,ROMAN,6]);

–8000

–6000

–4000

–2000

0

2000

4000

6000

8000

–20 –10 10 20

x

Sera que a concavidade deste grafico se mantem para valores grandes de x? Vamos tentar responder a esta questaocom a ajuda do Maple, tracando este mesmo grafico no intervalo (−∞,+∞). Veja o resultado obtido!

> plot(x^3,x=-infinity..infinity);

-infinity

infinity

-infinity infinityx

Sera esta uma representacao adequada para a funcao f(x) = x3?

Vamos repetir o mesmo procedimento para a funcao f(x) = x2. Veja o grafico obtido:

> plot(x^2,x=-infinity..infinity);

Page 222: texto completo em PDF

206 Cap. 16 Tracado de Graficos

0

infinity

-infinity infinityx

Estranho, nao? Estivemos sempre errados ou e o Maple que nao serve para tracar graficos de funcoes?

16.3 Derivadas e tracado de graficos

No Cap.5 vimos que a reta tangente e aquela que aproxima a curva proximo ao ponto de tangencia. Programas decomputador como o Maple utilizam esta propriedade para tracar o grafico de uma funcao (Veja no mesmo capıtulo oprojeto Programando o Computador para Tracar Graficos de Funcoes). Vimos tambem que a derivada de uma funcaonum dado ponto e definida, geometricamente, como a inclinacao da reta tangente a curva naquele ponto, portanto, aderivada de uma funcao deve, de alguma maneira, fornecer informacoes a respeito do grafico da funcao. Vamos agoratentar estabelecer a relacao que existe entre o grafico de uma funcao f e sua derivada.

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

–4 –2 0 2 4x

Considere a funcao f(x) = x2 + 3. Sabemos que o graficodesta funcao e uma parabola, portanto, a figura ao lado e umarepresentacao adequada para esta funcao. Alem disso, podemosobservar que esta funcao e decrescente para valores de x < 0 ee crescente para valores de x > 0. Nao custa lembrar que, emmatematica, dizemos que uma funcao e crescente num certo in-tervalo do eixo x se, quaisquer que sejam os pontos x1 e x2

desse intervalo, tais que x1 < x2, tivermos necessariamentef(x1) < f(x2). Geometricamente, isto significa que o graficoda funcao e ascendente quando o percorremos da esquerda paraa direita. Analogamente, a funcao e dita decrescente em umcerto intervalo (isto e, o seu grafico e descendente quando per-corrido da esquerda para a direita) se, quaisquer que sejam x1 e x2 no intervalo considerado, tais que x1 < x2, tivermosnecessariamente f(x1) > f(x2).

Para esbocarmos o grafico de uma funcao qualquer, e importante conhecermos os intervalos onde ela e crescentee aqueles em que e decrescente. A derivada nos fornece uma importante informacao a esse respeito. Observe nodiagrama a seguir, as inclinacoes das retas tangentes ao grafico da funcao, em varios de seus pontos.

x

x

xx

x

xx

x

x

Se lembrarmos que o coeficiente angular de uma reta e positivo se ela aponta para cima, a direita, e negativo, se elaaponta para baixo, a direita, e facil concluir que existe uma relacao entre os intervalos de crescimento e decrescimento

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W.Bianchini, A.R.Santos 207

de uma funcao e o sinal de sua derivada. Veja a seguir, o grafico da funcao e de sua derivada, tracados na mesmajanela.

–8

–6

–4

–20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

E geometricamente facil perceber que nos intervalos onde a derivada e positiva a funcao e crescente, e onde aderivada e negativa a funcao e decrescente. A demonstracao desta afirmacao, no entanto, depende de um dos teoremasmais importantes de Calculo, chamado Teorema do Valor Medio. Este teorema e a demonstracao da afirmacao acimaserao vistos na proxima secao. Por ora, vamos nos deixar guiar por nossa intuicao geometrica e considerar verdadeiraa afirmacao feita. Assim, o problema de determinar os intervalos onde uma funcao e crescente e os intervalos ondeela e decrescente se reduz a determinar os valores de x para os quais a derivada da funcao e positiva, isto e, resolveruma inequacao da forma f ′(x) > 0, e os intervalos onde ela e negativa, isto e, determinar os valores de x para os quaisf ′(x) < 0.

Podemos usar o Maple para determinar tais intervalos usando o comando solve:

> df:=x->diff(x^2+3,x);

df := x→ diff(x2 + 3, x)

> df(x);

2x

> solve(df(x)>=0,x);0 ≤ x

Podemos, agora, usar o comando signum, que fornece o sinal de uma funcao qualquer, para obter o sinal da derivadade f (que chamamos de df).

> plot(signum(df(x)),x=-5..5);

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–4 –2 2 4x

O grafico indica que a derivada de f e positiva para x > 0 e negativa para x < 0. Portanto, a funcao e decrescentepara x < 0 e crescente para 0 < x.

16.4 Derivada primeira e extremos locais

Vamos aplicar as conclusoes obtidas na secao anterior para estudar o comportamento da funcao f(x) = sen(x). Emque intervalos esta funcao e crescente? Em que intervalos e decrescente?

Observe o diagrama a seguir. Neste diagrama, o grafico da funcao seno e tracado em linha cheia, e o da suaderivada, a funcao cosseno, em linha pontilhada. Estes graficos estao de acordo com as conclusoes a que chegamos?

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208 Cap. 16 Tracado de Graficos

Este diagrama nos ajuda a deduzir outras informacoes importantes a respeito da relacao entre os graficos da funcaoe da sua derivada.

E claro que uma curva suave so pode mudar de crescente para decrescente passando por um pico, onde o coeficienteangular da reta tangente, isto e, a sua derivada e zero. Analogamente, ela so pode mudar de decrescente para crescentepassando por uma depressao, onde o coeficiente angular da reta tangente tambem e zero. Na versao eletronica, executea animacao correspondente, desta vez quadro a quadro, para visualizar geometricamente esta afirmacao.

Como foi visto no capıtulo anterior, nos pontos de picos ou de depressao ocorrem, respectivamente, um valormaximo ou um valor mınimo (relativos) da funcao. Vimos tambem que estes valores devem ocorrer nos pontos onde aderivada se anula ou nos pontos onde a derivada nao existe. Vimos ainda que existem pontos onde a derivada e zeroou onde ela nao existe que nao sao nem maximo local, nem mınimo local para a funcao dada. Os exemplos a seguirilustram os problemas que podem ocorrer.

Exemplo 1 f(x) = x3 + 1

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

Neste exemplo, em x = 0 o grafico nao tem pico nem depressao,mas simplesmente se achata, momentaneamente, entre dois inter-valos, em cada um dos quais a derivada e positiva.

Exemplo 2 f(x) = 1− |x|

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Neste outro exemplo, em x = 0 ocorre um maximo local (que etambem um maximo global) da funcao. Neste ponto a derivadanao existe (por que?), mas a funcao passa de crescente a decres-cente, isto e, a sua derivada e positiva a esquerda de zero e enegativa a direita.

Estas observacoes nos permitem deduzir um criterio que leva em conta o sinal da derivada na vizinhanca de umponto crıtico para determinacao dos pontos de maximo e de mınimo locais de uma funcao, criterio que e enunciado aseguir.

16.4.1 Teste da derivada primeira para determinacao de extremos locais

Seja c um ponto crıtico de uma funcao f pertencente ao interior de um intervalo I onde f esta definida. Suponha quef seja contınua e derivavel em I, exceto eventualmente em c. Entao:

1. Se f ′(x) < 0 a esquerda de c e f ′(x) > 0 a direita de c, entao f(c) sera um mınimo local de f em I.

2. Se f ′(x) > 0 a esquerda de c e f ′(x) < 0 a direita de c, entao f(c) sera um maximo local de f em I.

3. Se f ′(x) < 0 tanto a esquerda como a direita de c ou se f ′(x) > 0 tanto a direita como a esquerda de c, entaof(c) nao sera maximo nem mınimo local de f.

DemonstracaoDemonstraremos apenas o item (1). Os outros itens sao demonstrados de maneira analoga.

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W.Bianchini, A.R.Santos 209

Para demonstrar que f(c) e um mınimo local de f , e preciso provar que f(c) ≤ f(x), qualquer que seja x numavizinhanca de c, isto e, para todo x num intervalo aberto (a, b) que contem c.

Suponhamos que as hipoteses do teorema se verifiquem, isto e, que f seja contınua em I, que c seja um ponto crıticode f e que f seja derivavel em I exceto, eventualmente, em x = c. Suponhamos tambem que f ′(x) < 0 a esquerda dec e que f ′(x) > 0 a direita de c. Isto quer dizer que existem dois intervalos (a, c) e (c, b), ambos contidos em I, taisque f ′(x) < 0 em (a, c), o que implica que f e decrescente em (a, c] e f ′(x) > 0 em (c, b) e, consequentemente, f seracrescente em (c, b] (note que ainda precisamos provar estas duas afirmacoes!).

Consideremos um ponto x pertencente ao intervalo (a, b). Entao, ou x < c e, portanto, x estara em (a, c), oux = c, ou x > c e, entao, estara em (c, b). Se x ∈ (a, c), como f e decrescente em (a, c], teremos que f(c) < f(x). Sex ∈ (c, b), como f e crescente em (c, b], teremos que f(c) < f(x). No caso restante, f(c) = f(x). Assim, teremos quef(c) ≤ f(x) para todo x em (a, b) e, portanto, f(c) e um mınimo local de f .

Em resumoO teste acima afirma que, se c e um ponto crıtico de f , f(c) sera um extremo local de f se a derivada primeira

mudar de sinal em uma vizinhanca de c. Se o sinal de f ′ mudar de positivo para negativo, isto e, se a funcao f crescera esquerda de c e decrescer a sua direita, f(c) sera um maximo local. Se o sinal de f ′ mudar de negativo para positivo(a funcao decresce a esquerda de c e cresce a sua direita), f(c) sera um mınimo local. O intervalo I, onde f estadefinida, pode ser toda a reta.

Exemplo 3 Voltemos ao estudo da funcao f(x) = x4 − 5x2 + 4, apresentada no Exemplo 1, tentando, desta vez,pensar um pouco antes de tentar tracar cegamente o seu grafico.

Uma informacao importante a respeito de uma funcao e que, portanto, deve ser claramente mostrada no seu grafico,sao os seus zeros, isto e, as raızes da equacao f(x) = 0. Geometricamente, os zeros de uma funcao correspondem aospontos onde o grafico intercepta o eixo x. O comando solve do Maple pode nos ajudar a determinar tais pontos:

> solve(x^4-5*x^2+4=0,x);x = 1, x = 2, x = −2, x = −1

A seguir, vamos calcular a derivada desta funcao, pois, como ja vimos, a derivada fornece informacoes a respeitodos intervalos de crescimento e decrescimento da funcao dada.

> diff(x^4-5*x^2+4,x);df1:=unapply(%,x);

4x3 − 10x

df1 := x→ 4x3 − 10x

Esta funcao e contınua e derivavel em toda a reta e, portanto, os seus unicos pontos crıticos sao aqueles ondef ′(x) = 0. Usando o comando solve para calcula-los, obtemos:

> solve(df1(x)=0);

x = 0, x =1

2

√10, x = −1

2

√10

Calculando os valores da funcao f nestes pontos, obtemos os seguintes pontos que pertencem ao grafico de f

P1 = (−1

2

√10,−9

4) P2 = (0, 4) P3 = (

1

2

√10,−9

4)

Vamos agora, com a ajuda do Maple, determinar o sinal da derivada de f e usar o teste da derivada primeira paraclassificar os seus pontos crıticos.

> plot(signum(df1(x)),x=-2..2);

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–2 –1 1 2x

O grafico indica que f ′(x) < 0 em (−∞, −√

102 ) e em (0,

√102 ), portanto f e decrescente nestes intervalos e f ′(x) > 0

em (−√

102 , 0) e em (

√102 , ∞), sendo f crescente nestes intervalos.

• Voce e capaz de determinar analiticamente o sinal de f ′(x)?

Page 226: texto completo em PDF

210 Cap. 16 Tracado de Graficos

Pelo teste da derivada primeira podemos concluir que os pontos P1 e P3 sao pontos de mınimo locais e que P2 eum ponto de maximo local. Marcando estes pontos em um sistema coordenado e fazendo uso das informacoes acima,obtemos o seguinte grafico para a funcao f :

> plot(x^4-5*x^2+4,x=-2..2);

–2

–1

1

2

3

4

–2 –1 1 2x

No entanto, sem contrariar nenhuma das informacoes que ja conhecemos a respeito do comportamento desta funcao,o seu grafico pode ser qualquer um dos dois tracados a seguir:

–2

–1

0

1

2

3

4

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

–2

2

4

6

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

Para que possamos afirmar com seguranca qual dos graficos e o correto, necessitamos de informacoes adicionais arespeito da concavidade da funcao, isto e, precisamos saber o sentido em que o grafico se curva. Quando o grafico,percorrido da esquerda para a direita, se curva para cima, dizemos que a funcao e convexa (ou concava para cima);quando o grafico se curva para baixo dizemos que a funcao e concava (ou concava para baixo).

16.5 Derivada segunda e concavidade

No exemplo anterior, observamos que as duas alternativas apresentadas para o grafico da funcao em estudo diferiampela tipo de concavidade da funcao para x < −2 e para x > 2. O estudo da concavidade e feito por meio da derivadasegunda da funcao. Observe os diagramas a seguir. O primeiro deles mostra o grafico da funcao f(x) = x2, quee concava para cima, tracado em conjunto com o de sua derivada. O segundo diagrama traca o grafico da funcaof(x) = −x2, que e concavo para baixo, juntamente com o grafico da sua derivada. O que e possıvel concluir a partirdestes dois exemplos?

35.25.25.

25.25.25.

25.25.25.

10.10.10.

10.10.10.

10.10.10.

Eles nos permitem concluir que, nos intervalos onde a derivada primeira e crescente, a funcao e concava para cima,e nos intervalos onde a derivada primeira e decrescente, a funcao tem sua concavidade voltada para baixo. Mas,para saber em que intervalos a derivada primeira e crescente e onde e decrescente precisamos estudar o sinal da suaderivada, isto e, precisamos estudar o sinal da derivada segunda de f .

Assim, se a derivada segunda e positiva, a derivada primeira e crescente e a funcao e concava para cima. Istosignifica que, quando nos movemos ao longo da curva, a tangente ao grafico da funcao gira no sentido anti-horario ea curva esta acima da sua reta tangente, exceto no ponto de tangencia.

Analogamente, se a derivada segunda e negativa, a derivada primeira e decrescente e a funcao e concava parabaixo, e a tangente gira no sentido horario quando nos movemos sobre a curva da esquerda para a direita. Neste caso,

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W.Bianchini, A.R.Santos 211

o grafico da funcao fica abaixo da sua reta tangente, exceto no ponto de tangencia. Execute as animacoes da versaoeletronica deste texto para comprovar visualmente a veracidade destas afirmacoes.

Os graficos seguintes mostram a funcao e suas derivadas primeira e segunda. Comprove a influencia do sinal daderivada segunda na concavidade do grafico da funcao.

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

–16

–14

–12

–10

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

x

Exemplo 1 Voltemos a examinar a funcao f(x) = x4 − 5x2 + 4.

Calculemos sua derivada segunda e estudemos o seu sinal:

> diff(x^4-5*x^2+4,x,x);

12x2 − 10

Repare que a derivada segunda da funcao f e uma funcao do segundo grau cujas raızes sao:

> solve(diff(x^4-5*x^2+4,x,x)=0,x);

x =1

6

√30, x = −1

6

√30

Portanto, esta funcao sera negativa para valores de x entre −√

306 e

√306 e sera positiva para x >

√306 e x < −

√306 .

Assim, a funcao f e concava para cima para x < −√

306 e x >

√306 e e concava para baixo para x entre −

√306 e

√306 .

Como f(−√

306 ) = f(

√306 ) = 19

36 , temos que nos pontos (−√

306 ,

1936 ) e (

√306 , 19

36 ) a concavidade troca de sentido. Veja

o grafico da funcao f , tracado em conjunto com o grafico da sua derivada segunda.

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

y

x

Como a curva examinada neste exemplo, a maioria das funcoes sao concavas para cima em alguns intervalos econcavas para baixo em outros. Um ponto no qual o sentido da concavidade muda chama-se um ponto de inflexao.Assim, temos a seguinte definicao:

Definicao: Ponto de inflexao

Um ponto x0 e chamado ponto de inflexao de uma funcao f, se f e contınua em x0 e se o grafico de f muda deconcavidade em P = (x0, f(x0)).

E usual chamarmos o ponto P = (x0, f(x0)) tambem de ponto de inflexao.

No exemplo acima, os pontos x1 = (−√

306 e x2 = (

√306 sao os pontos de inflexao da funcao f .

Se f ′′(x) e contınua e tem sinais opostos em cada lado de P = (x0, f(x0)), deve se anular em x0. Assim, a buscade pontos de inflexao se reduz, basicamente, a uma questao de resolver a equacao f ′′(x) = 0 e conferir o sentido daconcavidade em ambos os lados de cada raiz. Note que pontos de inflexao podem ocorrer, tambem, nos pontos ondea derivada segunda nao esteja definida, como mostra o grafico a seguir. Neste caso, na busca por pontos de inflexaodevemos examinar tambem os pontos onde a derivada segunda nao existe.

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212 Cap. 16 Tracado de Graficos

0

1

2

3

4

1 2 3 4x

16.5.1 Teste da derivada segunda para a determinacao de extremos locais

A derivada segunda nos fornece, tambem, um criterio para a determinacao dos maximos e mınimos locais de umafuncao. Como vimos neste capıtulo, os maximos e mınimos locais de uma funcao derivavel f so podem ocorrer emum ponto crıtico c onde f ′(c) = 0, de modo que a tangente a curva y = f(x) no ponto (c, f(c)) seja horizontal. Noentanto, como vimos, esta condicao e necessaria mas nao suficiente: existem pontos onde a derivada e zero que naosao nem maximos nem mınimos locais. Um exemplo deste tipo de comportamento ocorre na funcao f(x) = x3. Noponto x = 0 a derivada desta funcao e zero (a reta tangente ao grafico e horizontal), mas este ponto nao e um extremolocal.

Vimos que o teste da derivada primeira fornece um bom criterio para decidir se um ponto crıtico e um maximoou um mınimo local. Este teste se baseia na observacao de que, em curvas suaves, um pico (maximo local) ou umadepressao (mınimo local) so pode ocorrer se a funcao passar, naquele ponto, de crescente para decrescente ou dedecrescente para crescente, respectivamente.

Suponhamos agora que num ponto c, onde f ′(c) = 0, o grafico de y = f(x) se encurve para cima numa vizinhancade c, isto e, em algum intervalo aberto contendo o ponto crıtico x = c. Neste caso, e claro que f(c) e um mınimo local.Analogamente, f(c) deve ser um valor maximo local de f se f ′(c) = 0 e se o grafico de f se encurvar para baixo numavizinhanca de c, como mostram as figuras:

f(c)

c

f(c)

c

Como o sinal de f ′′(x) nos diz se o grafico esta se encurvando para cima ou para baixo, o criterio a seguir, baseadoneste sinal e conhecido como teste da derivada segunda, nos permite decidir quando um ponto crıtico e um extremode f .

Teste da derivada segundaConsidere uma funcao f duas vezes derivavel em um intervalo aberto I contendo o ponto crıtico c, i.e., f ′(c) = 0.

1. Se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I, entao f(c) e um ponto de mınimo de f em I.

2. Se f ′′(x) < 0 para todo x ∈ I, entao f(c) e um ponto de maximo de f em I.

Demonstracao Demonstraremos apenas a parte (1), a parte (2) e analoga.Se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I, entao f ′ e uma funcao crescente em I. Desde que f ′(c) = 0, se tomarmos

x < c⇒ f ′(x) < f ′(c) = 0

e se tomarmosx > c⇒ f ′(x) > f ′(c) = 0

Pelo teste da derivada primeira, concluımos que c e um ponto de mınimo de f em I.O criterio a seguir mostra que, para decidir se um ponto crıtico e de maximo ou mınimo local, basta calcular o

valor da derivada segunda neste ponto.

Page 229: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 213

Teste da derivada segunda para extremos locaisSuponhamos que a funcao f seja duas vezes derivavel em um intervalo aberto I contendo o ponto crıtico c, i.e.,

f ′(c) = 0.

1. Se f ′′(c) > 0, entao f(c) e um mınimo local de f em I.

2. Se f ′′(c) < 0, entao f(c) e um maximo local de f em I.

DemonstracaoDemonstraremos apenas a parte (1). A parte (2) se demonstra analogamente.Pela definicao de derivada, temos que

f ′′(c) = limx→c

f ′(x)− f ′(c)x− c

= limx→c

f ′(x)

x− c.

Se f ′′(c) > 0, pela definicao de limite, existe um δ > 0, tal quef ′(x)

x− c> 0, para todo x que satisfaz 0 < |x− c| < δ.

Logo, f ′(x) e x− c tem o mesmo sinal. Assim, f ′(x) < 0 para todo x ∈ (c− δ, c) e f ′(x) > 0 para todo x ∈ (c, c+ δ).Logo, pelo teste da derivada primeira f(c) e um valor mınimo local de f .

Exemplo 2 Considere a funcao f(x) = x3 − 3x2 + 3. Temos que f ′(x) = 3x (x− 2) e f ′′(x) = 6(x− 1). Entao,f tem dois pontos crıticos, x = 0 e x = 2. Como f”(0) < 0, o teste da derivada segunda implica que f(0) = 3 e ummaximo local de f , e como f”(2) > 0, temos que f(2) = −1 e um mınimo local.

Observacao O teste da derivada segunda nada nos diz sobre o que acontece quando f ′′(c) = 0. Na realidade, sef ′(c) = 0 e f ′′(c) = 0, qualquer coisa pode acontecer. Considere, por exemplo, as funcoes y = x4, y = −x4 e y = x3.Nos tres casos temos que f ′(0) = 0 e f ′′(0) = 0, e, como mostram os seus graficos, o ponto (0, 0) e, respectivamente,mınimo local, maximo local e ponto de inflexao.

O teste da derivada segunda e muito util na resolucao de problemas de maximos e mınimos, como veremos noCap.18.

16.6 Tracado de graficos - Resumo

A experiencia acumulada no estudo dos exemplos apresentados neste capıtulo sugere algumas regras informais queserao uteis no esboco do grafico de uma funcao f . Se possıvel, devemos:

1. Determinar o domınio e as intersecoes do grafico da funcao com os eixos coordenados.

2. Procurar por simetrias e periodicidade.(Este estudo pode simplificar consideravelmente o nosso trabalho. Por exemplo, se a funcao f for par, isto e,se f(x) = f(−x), o seu grafico e simetrico em relacao ao eixo y. Assim, se conhecermos o grafico da funcaopara x > 0, para obter o grafico completo basta refletir a parte conhecida em relacao ao eixo y, o que reduz ametade o trabalho de tracar o grafico desta funcao. Se a funcao for periodica de perıodo p e conhecermos o seugrafico em um intervalo de comprimento p, podemos obter o grafico inteiro por meio de translacoes do pedacoconhecido.)

3. Determinar os pontos crıticos e os valores crıticos de f .

4. Determinar o sinal de f ′(x) entre os pontos crıticos e, a partir daı, os intervalos onde f e crescente e os intervalosonde e decrescente.

5. Determinar os maximos e os mınimos locais de f .

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214 Cap. 16 Tracado de Graficos

6. Determinar os pontos crıticos de f ′ e os valores de f , nestes pontos.

7. Determinar o sinal de f ′′(x) entre os pontos crıticos de f ′ e, a partir daı, os intervalos onde f e concava paracima e os intervalos onde e concava para baixo.

8. Determinar os pontos de inflexao de f .

9. Determinar as assıntotas horizontais ao grafico de f . Para isso e preciso estudar o comportamento de f quandox→ +∞ e quando x→ −∞.

10. Determinar as assıntotas verticais ao grafico de f .

11. Esbocar o grafico de f .

Exemplo Vamos esbocar o grafico da funcao f(x) = 1x2−1 . O domınio desta funcao e R\−1, 1 e esta funcao nunca

se anula. Sua derivada e dada por

> df:=normal(diff(1/(x^2-1),x));

df := −2x

(x2 − 1)2

cujo domınio e o mesmo da funcao original. Seus pontos crıticos, portanto, serao as raızes da equacao f ′(x) = 0. Nestecaso, x = 0. Como o denominador da derivada e sempre positivo, esta derivada sera positiva quando x < 0 e negativaquando x > 0. Assim, a funcao e crescente em (−∞, 0) e decrescente em (0, ∞). Logo, o ponto (0,−1) e um pontode maximo local. A derivada segunda e dada por:

> df2:=normal(diff(1/(x^2-1),x,x));

df2 := 23x2 + 1

(x2 − 1)3

cujo domınio e o mesmo da funcao original. Pela expressao acima para a derivada segunda podemos concluir que estaderivada nunca se anula e, portanto, nao existem pontos de inflexao. Como o numerador e sempre positivo, o seusinal depende do sinal do denominador, que sera positivo nos pontos onde x2 − 1 > 0, isto e, para x > 1 e x < −1, enegativo quando x2 − 1 < 0, isto e para x ∈ (−1, 1).

Assim, temos que a funcao f e concava para cima em (−∞, −1) e (1, ∞) e e concava para baixo em (−1, 1). Seu

comportamento no infinito e determinado por limx→∞

1

x2 − 1= 0 e lim

x→−∞

1

x2 − 1= 0. Estes limites mostram que a

reta y = 0 e uma assıntota horizontal ao grafico da funcao. Vamos agora estudar o comportamento desta funcao navizinhanca dos pontos −1 e 1, onde ela nao esta definida. Temos que

limx→−1−

1

x2 − 1= +∞ e lim

x→−1+

1

x2 − 1= −∞

limx→1−

1

x2 − 1= −∞ e lim

x→1+

1

x2 − 1= +∞

Estes limites indicam que as retas x = 1 e x = −1 saoassıntotas verticais ao grafico da funcao. Reunindo todas as in-formacoes obtidas acima, podemos tracar com seguranca o graficoda funcao.Repare que o grafico esta de acordo com todas as conclusoes ob-tidas anteriormente.

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

16.7 Atividades de laboratorio

Utilizando um computador e o Maple, faca as atividades propostas no arquivo labgraf.mws da versao eletronica destetexto.

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W.Bianchini, A.R.Santos 215

16.8 Exercıcios

1. A seguir tracamos o grafico da derivada primeira f ′ de uma funcao f definida no intervalo [−4, 6] . Determineos valores de x para os quais f e crescente, decrescente, concava para cima e concava para baixo.

–2

–1

0

1

2

–4 –2 2 4 6x

2. Determine os intervalos onde as funcoes sao crescentes e onde sao decrescentes, bem como os intervalos onde aconcavidade e voltada para cima e onde e voltada para baixo. Determine e classifique os extremos da funcao eos seus pontos de inflexao.

(a) f(x) = x3 + 9x

(b) f(x) = x2 − 3x+ 2

(c) f(x) = x4 − 8x3 + 24x2

(d) f(x) =x

x2 − 1

(e) f(x) =1

x2 + 1

3. Esboce o grafico das seguintes funcoes:

(a) f(x) = 3x5 − 25x3

(b) f(x) =x2 − 1

x2 + 1

(c) f(x) =x2 − 2x+ 1

x− 2(d) f(x) = x+ sen(x)

(e) f(x) =x

x2 − 4

(f) f(x) =x2

√x2 − 4

(g) g(x) =3x+ 4

x2 − 4

(h) f(x) =x3 − 4x

x3 − x

(i) f(x) = x( 13 ) + 2x( 4

3 )

(j) f(x) =√

8 + x−√

8− x

(k) f(x) =

x2 − 4 x ≤ 3x2 − 9x+ 20

x2 − 7x+ 123 < x < 4

2x− 14

x− 6x ≥ 4

4. (a) Esboce o grafico de uma funcao h com as seguintes caracterısticas:

i. h(−2) = 8, h(0) = 4, h(2) = 0

ii. h′(x) > 0 para |x | > 2

iii. h′(2) = h′(−2) = 0

iv. h′(x) < 0 para |x | < 2 e x 6= 1

v. h′′(x) < 0 para x < 0 e h′′(x) > 0, para x > 0 e x 6= 1

vi. limx→∞

h(x) = +∞ e limx→(−∞)

h(x) = −∞

vii. limx→1−

h(x) = 3 e limx→1+

h(x) = 4.

(b) Em quantos pontos a funcao h(x) se anula? Justifique sua resposta.

5. Esboce o grafico de uma funcao que satisfaca todas as condicoes enumeradas:

(a) f ′(−1) = f ′(2) = 0, f(−1) = f(2) = −1 e f(−3) = 4

(b) f ′(x) = 0 se x < −3; f ′(x) < 0 em (−3,−1) e (0, 2); f ′(x) > 0 em (−1, 0) e (2,∞)

(c) f ′′(x) > 0 em (−3, 0) e (0, 5); f ′′(x) < 0 em (5,∞)

6. Esboce o grafico de uma funcao f que satisfaca todas as condicoes enumeradas:

(a) f ′(2) = 0, f(2) = −1 e f(0) = 0

(b) f ′(x) < 0 se 0 < x < 2; f ′(x) > 0 se x > 2

(c) f ′′(x) < 0 se 0 ≤ x < 1 ou x > 4; f ′′(x) > 0 se 1 < x < 4

(d) limx→∞

f(x) = 1

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216 Cap. 16 Tracado de Graficos

(e) f(−x) = f(x) para todo x

7. Esboce o grafico de uma funcao f que satisfaca todas as condicoes enumeradas:

(a) f ′(2) = 0, f ′(0) = 1

(b) f ′(x) > 0 se 0 < x < 2; f ′(x) < 0 se x > 2

(c) f ′′(x) < 0 se 0 ≤ x < 4; f ′′(x) > 0 se x > 4

(d) limx→∞

f(x) = 0

(e) f(−x) = −f(x) para todo x

8. (a) Para que valores de a e b a funcao f(x) = x3 +a x2 + b x+2 tem um maximo local em x = −3 e um mınimolocal em x = −1?

(b) Se f(x) = ax 3 + bx 2, determine a e b para que o grafico de f tenha um ponto de inflexao em (1, 2).

(c) Se f(x) = ax 3 + bx 2 + cx , determine a, b e c de maneira que o grafico de f tenha um ponto de inflexao em(1, 2) e tal que a inclinacao da tangente neste ponto seja igual a −2.

9. A seguir, tracamos na mesma janela o grafico da funcao f , da sua derivada f ′ e da sua derivada segunda derivadaf ′′. Identifique cada um dos graficos, justificando a sua resposta.

10. Estabeleca a correspondencia entre as funcoes (de (a) a (d)) com o grafico da respectiva derivada (de (i) a (iv)).Justifique suas escolhas.

(a) (b) (c) (d)

(i) (ii) (iii) (iv)

11. Estabeleca a correspondencia entre as funcoes (graficos de (a) a (f)) e suas respectivas derivadas segundas(graficos de (i) a (vi)). Justifique suas escolhas.

(a) (b) (c) (d)

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(i) (ii) (iii) (iv)

16.9 Problemas propostos

1. A funcao f(x) = x3 + x− 1, sendo um polinomio de terceiro grau, corta o eixo x (por que?) e portanto tem pelomenos uma raiz real. Examinando f ′(x), mostre que esta funcao tem somente uma raiz. Mostre analogamenteque f(x) = 2x5 + 5x3 + 3x− 17 tem uma e somente uma raiz real.

2. Considere a funcao y = xm (1− x)n, onde m e n sao inteiros positivos, e mostre que:

(a) se m e par, y tem um mınimo em x = 0.

(b) se n e par, y tem um mınimo em x = 1.

(c) y tem um maximo em x = mm+n independente da paridade de m e n.

3. De uma expressao analıtica para uma funcao f que apresente um maximo local em x = −2 e um mınimo localem x = 1.

4. (a) Prove que a desigualdade (1 + x)n> 1 + nx e verdadeira para x > 0 e n > 1.

Sugestao: Mostre que a funcao f(x) = (1 + x)n − (1 + nx) e crescente em [0,∞).

(b) Prove que, para x > 0, as desigualdades abaixo sao verdadeiras:

i. senx > x− x3

6 ii. cosx > 1− x2

2 .

(c) Mostre que o grafico de uma funcao quadratica y = a x2 + b x+ c nao tem ponto de inflexao.

(d) De uma condicao para que o grafico desta funcao seja

i. concavo para cima ii. concavo para baixo.

(e) Mostre que um polinomio cubico y = a x3 + b x2 + c x+ d tem um unico ponto de inflexao e tres formaspossıveis, conforme seja 3 a c < b2, b2 = 3 a c ou b2 < 3 a c. Esboce estas possıveis formas.

(f) Prove que um polinomio de quarto grau ou nao tem pontos de inflexao ou tem exatamente dois pontos deinflexao.

(g) Mostre que a funcao y = x2 + ax tem um mınimo mas nao um maximo, para qualquer valor da constante

a. Esboce o grafico desta famılia de funcoes.

5. Suponha que todas as funcoes a seguir sejam duas vezes diferenciaveis.

(a) Se f e uma funcao positiva e concava para cima em um intervalo I, mostre que a funcao g(x) = (f(x))2 econcava para cima em I.

(b) Se f e g sao funcoes crescentes, positivas e concavas para cima, mostre que a funcao produto f g e concavapara cima.

(c) Suponha que as funcoes f e g sejam concavas para cima no intervalo (−∞,∞). Que condicoes sobre fgarantem que a funcao composta h = f(g(x)) e concava para cima?

6. Prove que a funcao f(x) = x101 + x51 + x+ 1 nao tem maximo nem mınimo local.

7. Suponha que a pressao p (em atmosferas), o volume V (em centımetros cubicos) e a temperatura T (em kelvins)de n moles de dioxido de carbono (CO2) verifiquem a equacao de Van Der Waals

(p+n2 a

V 2) (V − nb) = nRT ,

onde a, b e R sao constantes determinadas empiricamente. Realizou-se o seguinte experimento para determinaros valores das constantes: comprimiu-se um mol de CO2 a temperatura constante de 304 K. Os dados pressao-volume (pV ) foram entao anotados e verificou-se que o grafico da pressao como funcao do volume apresentavaum ponto de inflexao horizontal em V = 128, 1 e p = 72, 8. Com estes dados calcule a, b e R.

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218 Cap. 16 Tracado de Graficos

16.10 Para voce meditar: Interpretando graficos

1. Considere a funcao f(x) = 6 x3−41 x2−24 x+41(2 x+3) (7−x) . Com a ajuda do Maple, tracamos o grafico desta funcao no intervalo

[−1000, 1000].

> plot((6*x^3-41*x^2-24*x+41)/((2*x+3)*(7-x)),x=-1000..1000,y=-1000..1000);

–1000

–800

–600

–400

–200

0

200

400

600

800

1000

y

–1000 –600 –200 200 400 600 800 1000x

Evidentemente, esta nao e uma representacao grafica adequada para a funcao considerada; no entanto, estaimagem sugere uma caracterıstica especial e importante do grafico desta funcao. Que caracterıstica e esta?

2. Considere a funcao f(x) = x3−6 x2−12 x+49(x−2) (x−7) . Dividindo o numerador pelo denominador obtemos:

x+ 3− 9

5

1

x− 2+

14

5

1

x− 7

Esta expressao indica que, para valores grandes de x, a funcao dada deve se comportar como a reta y = x+ 3.De fato, calculando os limites

limx→−∞

[x3 − 6x2 − 12x+ 49

(x− 2) (x− 7)− (x+ 3)]

limx→∞

[x3 − 6x2 − 12x+ 49

(x− 2) (x− 7)− (x+ 3)]

podemos provar que esta reta e uma assıntota inclinada ao grafico da funcao dada. Calcule estes limites eexplique como eles provam que a reta y = x+ 3 e realmente uma assıntota inclinada ao grafico da funcao.

3. A seguir tracamos o grafico desta funcao

–10

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

10

12

14

y

–10 –8 –6 –4 2 4 6 8 10 12 14x

A imagem parece indicar que o grafico da funcao intercepta a sua assıntota em algum ponto entre −10 e −5. Defato, resolvendo a equacao f(x) = x+ 3, concluımos que as duas curvas se interceptam em x = −7.

(a) Use o comando solve para resolver a equacao acima e comprovar a afirmacao feita.(Contrariando a opiniao popular, voce esta vendo que e possıvel o grafico de uma funcao interceptar ografico da sua assıntota.)

(b) Explique por que a intersecao de f(x) com a sua assıntota y = x+ 3 em x = −7 implica, necessariamente,a existencia de um ponto de inflexao de f , para x < −7. Determine este ponto e esboce “a mao” o graficode f .

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16.11 Projetos

16.11.1 Determinando a janela adequada para o tracado de graficos em computador

Observe o grafico da funcao y = (x (x− 1) (2x− 1))2, tracado com a ajuda do Maple.

> plot((x*(x-1)*(2*x-1))^2,x=-1..2,y=-1..6);

–1

1

2

3

4

5

6

y

–1 –0.6 –0.2 0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2x

1. Determine os extremos locais desta funcao e trace o seu grafico numa janela onde estes extremos sejam claramentevisıveis.

2. Idem para f(x) = (x (9 x−5) (x−1)6 )4.

3. Considere a funcao y = 10000x3 − a x2 + b x+ c, onde os coeficientes a, b e c sao definidos por a = 30011 + 2n,b = 30022 + 4n e c = 10010 + 2n e n e um numero qualquer entre 0 e 9, gerado pela linha de comando abaixo:

> c1:=rand(1..9):n:=c1();

(a) Execute este comando e calcule os valores de a, b e c, executando as linhas de comando abaixo.

> a:=30011+2*n;

> b:=30022+4*n;

> c:= 10010+2*n;

(b) Ache os pontos de maximo e mınimo locais e o ponto de inflexao de f .

(c) Faca um grafico de f que exiba claramente estes pontos.(Se nao for possıvel obter este grafico no computador, trace-o manualmente.)

(d) Idem para a funcao

y = x7 + 5x6 − 11x5 − 21x4 + 31x3 − 57x2 − (101 + 2n)x+ (89− 3n)

4. Considere a funcao f(x) = (x (1− x) (2x− 1) (4− 9x))2. Afirmamos que f tem pelo menos quatro mınimoslocais, tres maximos locais e seis pontos de inflexao em [0, 1]. Faca um grafico de f , em uma escala adequada,onde aparecam claramente todos estes pontos.

5. Ache os extremos locais da funcao f(x) = 1x12 − 2

(1000x

)6. Trace um grafico desta funcao, em uma “janela”

adequada, onde estes pontos aparecam claramente.

16.11.2 Aproximando os zeros de uma funcao - Metodo de Newton

Vimos que, para funcoes suaves, a reta tangente e aquela que se confunde com a curva perto do ponto de tangencia.Entao, o seguinte raciocınio, devido a Isaac Newton, parece ser valido:

Suponha que voce, de alguma maneira (experimentos numericos, deducao fısica, inspiracao divina ou outro meioqualquer), saiba que o zero da funcao y = f(x) esta perto do ponto x = a. Como a equacao da reta tangente a curvay = f(x) nesse ponto e dada por y = D(f(a)) (x− a) + f(a), onde por D(f(a)) estamos denotando a derivada dafuncao f calculada em x = a, e um exercıcio de algebra elementar calcular o ponto b onde esta reta intercepta o eixox. Entao, como a curva e suave, o seu grafico e o grafico da sua reta tangente no ponto (a, f(a)) estao proximos,portanto, o ponto b deve estar bastante proximo do zero procurado da funcao.

Embora esta explicacao esteja repleta de expressoes que pecam por falta de precisao e rigor matematicos, vamostentar esclarecer o metodo com um exemplo numerico.

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220 Cap. 16 Tracado de Graficos

Considere o polinomio y = x5 + 9x4 − 19x3 − 241x2 − 150x+ 200 . Tracemos o seu grafico com a ajuda do Maple:

> plot(x^5+9*x^4-19*x^3-241*x^2-150*x+200,x=-10..10);

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

Para tentar localizar os seus zeros, que parecem estar todos localizados nesse intervalo, vamos tracar um outrografico, restringindo agora a variacao de y:

> plot(x^5+9*x^4-19*x^3-241*x^2-150*x+200,x=-10..10,y=-10..10);

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

y

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

Embora este grafico pareca nos dar menos informacoes que o anterior, ele nos permite afirmar que, aparentemente,o ponto x = 1 esta proximo de um dos zeros dessa funcao (os outros zeros devem estar proximos de 5, −1, −5 e −8).No entanto, calculando o valor da funcao nesse ponto, vemos que x = 1 nao e um zero para essa funcao:

> f:=x->x^5+9*x^4-19*x^3-241*x^2-150*x+200;

f := x→ x5 + 9x4 − 19x3 − 241x2 − 150x+ 200

> f(1);

−200

Vamos agora tracar o grafico dessa funcao e da sua reta tangente no ponto (1,−200) na mesma janela:

> m:=D(f);

m := x→ 5x4 + 36x3 − 57x2 − 482x− 150

> x0:=1;

x0 := 1

> m(x0);

−648

> T0:=x->m(x0)*(x-x0)+f(x0);

T0 := x→ m(x0 ) (x− x0 ) + f(x0 )

> plot([f(x),T0(x)],x=-1..3,y=-300..50);

–300

–250

–200

–150

–100

–50

0

50

y

x

Por este grafico podemos ver claramente que a intersecao da reta tangente com o eixo x e uma aproximacao melhorque x = 1 para este zero da funcao. De fato:

> x1:=solve(T0(x)=0,x);x1:=evalf(%);

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W.Bianchini, A.R.Santos 221

x1 :=56

81

x1 := .6913580247

Calculando o valor da funcao em x1 podemos constatar que, de fato, este valor e uma aproximacao melhor para ozero da funcao:

> y1:=f(x1);

y1 := −22.9604001

Para conseguir uma aproximacao ainda melhor, podemos repetir todo o processo considerando, agora, o ponto(x1, f(x1)) como o novo ponto de tangencia. A equacao da nova tangente sera dada por:

> T1:=x->m(x1)*(x-x1)+f(x1);

T1 := x→ m(x1 ) (x− x1 ) + f(x1 )

Vamos, novamente, tracar o grafico da funcao e dessa nova reta tangente para comprovar o aumento da precisao.

> plot([f(x),T1],x=0.5..0.75,-25..2);

–24

–22

–20

–18

–16

–14

–12

–10

–8

–6

–4

–20

2 x

Nesse ponto, a reta tangente e o grafico da funcao estao tao proximos que nao e mais possıvel distingui-los. A novaaproximacao para o zero da funcao sera dada por:

> x2:=solve(T1(x)=0,x);

x2 := .6452009558

Calculando o valor da funcao nesse ponto, obtemos:

> f(x2);

−.5363646

Repetindo o processo mais uma vez, teremos:

> T2:=x->m(x2)*(x-x2)+f(x2);

T2 := x→ m(x2 ) (x− x2 ) + f(x2 )

> x3:=solve(T2(x)=0,x);

x3 := .6440698133

> f(x3);

−.0003232

Note que x3 ja deve ser uma razoavel aproximacao para o zero da funcao.

1. Trace na mesma janela os graficos de f e de T3 para ilustrar essa ultima afirmacao.

2. Claramente podemos repetir este processo quantas vezes quisermos. O que aconteceria se tivessemos iniciado oprocesso acima com um valor diferente de x = 1, para construir a primeira tangente?

3. Vamos automatizar o procedimento acima:

(a) Sejam x0, x1, . . . , xn as primeiras n aproximacoes para a raiz da equacao f(x) = 0, dadas pelo Metodo deNewton. Supondo x0 conhecido, deduza uma formula para obter x1.

(b) Como e possıvel obter x2 a partir de x1?

(c) Supondo xk a k-esima aproximacao para a raiz da equacao conhecida, deduza uma formula que permitaobter a proxima aproximacao, isto e, xk+1.

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222 Cap. 16 Tracado de Graficos

(d) Usando a estrutura for ... from ... to ... do ... od; do Maple, implemente um algoritmo nocomputador para calcular as primeiras n aproximacoes da raiz da equacao f(x) = 0 a partir de uma primeiraaproximacao inicial x0 e do numero n de iteracoes.

(e) Quando devemos parar o processo acima?(Para responder a essa pergunta, note que a sequencia formada por x1, x2, x3, . . ., e uma sequencia conver-gente e, portanto, deve satisfazer o criterio de convergencia de Cauchy, isto e, podemos tornar a diferenca(em valor absoluto) entre os termos da sequencia tao pequena quanto quisermos, a partir de um certo n,desde que este n seja suficientemente grande. Se isto acontecer, a diferenca, em valor absoluto, entre ostermos da sequencia e o seu limite sera da mesma ordem de grandeza.)

(f) O que acontece se a inclinacao da reta tangente for muito pequena, em valor absoluto, isto e, se a declividadeda tangente for por exemplo 0, 001, isso afetara os calculos?

(g) Suponha que, por sorte, nossa primeira aproximacao x0 venha a ser a raiz da equacao f(x) = 0, que estamosprocurando. O que podemos dizer sobre x1, x2, . . .?

4. Use o seu algoritmo para achar aproximacoes para os outros zeros da funcao estudada no exemplo desse projetoexplicitando a precisao do resultado obtido.

5. Aplicando o Metodo de Newton a equacao x2 − a = 0, mostre que aproximacoes numericas para a raiz quadrada

de um numero positivo a qualquer podem ser encontradas por iteracoes sucessivas da expressao xn+1 = a+xn2

2 xn.

6. Mostre que esta formula e a mesma usada pelos babilonios para estimar a raiz quadrada de um numero positivo.(Veja: projeto Generalizando o metodo dos babilonios para estimar a raiz quadrada de um numero positivo.)

7. Usando o Metodo de Newton, calcule√

10 com duas decimais exatas.

8. Aplique o Metodo de Newton para encontrar uma formula que forneca aproximacoes sucessivas para a raizenesima de um numero a. Use a sua formula para calcular a raiz cubica de tres com duas casas decimais exatas.

9. Mostre que x3 + 3x2 − 6 = 0 tem somente uma raiz real e calcule-a com duas casas decimais de precisao.

10. A equacao x2 + 1 = 0 nao tem solucoes reais. Tente achar uma solucao pelo Metodo de Newton e descreva o queacontece. Use a estimativa inicial x0 = 2.

11. O Metodo de Newton nao se restringe a solucao de equacoes polinomiais. Ele pode ser aplicado tambem aqualquer equacao contendo funcoes cujas derivadas possam ser calculadas. Por exemplo, ache uma aproximacaopara o recıproco de um numero positivo C, definindo a funcao f(x) = 1

x − C e aplicando o Metodo de Newtondescrito acima.Observacao: O Metodo de Newton aplicado a essa funcao nos permite calcular o inverso de um numero semefetuar nenhuma divisao! Este metodo e util porque, na maioria dos computadores de alta velocidade, a operacaode divisao consome mais tempo do que varias multiplicacoes e adicoes juntas.

12. Use o Metodo de Newton para achar aproximacoes para todas as raızes reais da equacao x2 = cosx.

13. Um grande problema de Arquimedes consistiu em utilizar um plano para cortar uma esfera em duas partes comvolumes em uma dada razao prefixada. Arquimedes mostrou que o volume de uma parte altura h de uma esfera

de raio r e dado por V = π h2 (3 r−h)3 .

(a) Se um plano a distancia x do centro de uma esfera de raio 1 corta a esfera em duas partes, uma com odobro do volume da outra, mostre que x e a raiz da equacao 3x3 − 9x+ 2 = 0.

(b) Aplique o Metodo de Newton para achar uma aproximacao para x com quatro decimais exatas.

14. Em alguns casos, a sequencia das aproximacoes produzida pelo Metodo de Newton pode deixar de convergirpara a raiz procurada. Os exemplos a seguir ilustram os problemas que podem surgir:

(a) Mostre que o metodo de Newton aplicado a funcao y = x( 13 ) leva a x1 = 2x0 e e, portanto, inutil para

calcular x tal que f(x) = 0. Esboce um grafico para ilustrar essa situacao.

(b) Considere a funcao y = f(x) definida por f(x) =

√x− a x ≥ a−√a− x x ≤ a .

Mostre que, para todo numero positivo r, se x1 = a+ r, entao x2 = a− r, e se x1 = a− r, entao x2 = a+ r.Esboce um grafico que ilustre essa situacao.

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Capıtulo 17

Teorema do Valor Medio

17.1 Introducao

Vimos no Cap.16 como podemos utilizar a derivada para tracar graficos de funcoes. Muito embora o apelo graficoapresentado naquele capıtulo relacionando funcoes crescentes e decrescentes com o sinal da derivada fosse muitosugestivo, nao pode ser entendido como uma prova das afirmacoes feitas. Para uma demonstracao rigorosa da relacaoexistente entre o crescimento ou decrescimento de uma funcao e o sinal da sua derivada precisamos de um resultadoconhecido como teorema do valor medio. O teorema do valor medio e um dos resultados mais importantes do calculodiferencial e e usado, principalmente, na demonstracao de outros teoremas.

O teorema do valor medio e a traducao matematica para um fato que aparece de forma corriqueira em muitassituacoes de nossa vida. Por exemplo, se a media de velocidade em uma viagem de carro de uma cidade a outra e de80 km/h, entao em algum momento da viagem o velocımetro do carro deve ter marcado 80 km.

Vamos traduzir a afirmacao acima em termos matematicos. Seja s(t) a posicao do carro, em cada instante detempo t. Se a viagem comeca em t = a (horas) e termina em t = b (horas), a velocidade media e dada por

vm =s(b)− s(a)

b− a.

A afirmacao de que, em algum momento da viagem, a velocidade instantanea deve ser igual a velocidade mediasignifica que para algum instante de tempo c entre a e b tem-se

vm =s(b)− s(a)

b− a= v(c) = s′(c).

O teorema do valor medio estabelece as condicoes mınimas que uma funcao s deve satisfazer para que a igualdadeacima seja verdadeira.

Antes de provar o teorema do valor medio, enunciaremos um de seus casos particulares, que ficou conhecido comoteorema de Rolle, em homenagem a Michel Rolle (1652-1719), que o demonstrou em 1690.

17.1.1 Teorema de Rolle

Considere uma funcao f satisfazendo as seguintes condicoes:(1) f e contınua no intervalo fechado [a, b](2) f e derivavel no intervalo aberto (a, b)(3) f(a) = f(b)Entao, existe um numero c em (a, b), tal que, f ′(c) = 0.

c

f(a)=f(b)

ba

Demonstracao Como f e contınua em [a, b], pelo teorema dos valores extremos f assume um valor maximo eum valor mınimo em [a, b]. Sejam m e n os pontos de [a, b] onde estes valores sao atingidos, isto e, sejam m e n taisque f(n) ≤ f(x) ≤ f(m), para todo x em [a, b].

Existem dois casos a serem considerados:(i) A funcao f e constante em [a, b].

Neste caso, f(x) = f(a) = f(b) para todo x de [a, b]. Assim, f ′(x) = 0 para todo x de (a, b).(ii) f(x) 6= f(a) = f(b) para algum x no intervalo aberto (a, b).

Neste caso, ou m ou n e diferente das extremidades a e b do intervalo considerado. Sem perda de generalidade,

223

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224 Cap. 17 Teorema do Valor Medio

suponhamos que seja m este ponto. Como m e um ponto de maximo e esta no intervalo aberto (a, b) onde f ederivavel, tem-se f ′(m) = 0. Logo, o ponto c = m satisfaz a conclusao do teorema.

Observacao As hipoteses do teorema de Rolle sao essenciais para que a conclusao se verifique, isto e, se umadas condicoes do teorema nao for verificada, podera nao existir o ponto c que satisfaz f ′(c) = 0. Os exemplos a seguirilustram como este teorema pode ser aplicado e mostram como o teorema falha, caso qualquer uma de suas hipotesesnao se verifique.

Exemplo 1

Considere a funcao f(x) =

(x− 1)2 , 1 ≤ x < 1, 5(x− 2)2 , 1, 5 ≤ 2

.

Esta funcao e contınua no intervalo [1, 2], f(1) = f(2) = 0mas nao e derivavel em (1, 2). Repare que nao existe nenhumponto da curva y = f(x) no qual a reta tangente a esta curvaseja zero. Em outras palavras, nao existe c em (1, 2) tal quef ′(c) = 0. O teorema de Rolle nao pode ser aplicado a este casoporque a funcao dada nao e derivavel no intervalo (1, 2). 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x

Exemplo 2

Seja f(x) =

x2 , x 6= 01 , x = 0

definida no intervalo [−1, 1]. Temos

que f(−1) = f(1) = 1, mas f nao e contınua no zero. Nao existec em (−1, 1) tal que f ′(c) = 0. O teorema de Rolle falha nestecaso porque f nao e contınua em [−1, 1].

Exemplo 3

Determine um ponto c que satisfaca o teorema de Rolle para as seguintes funcoes:

(a) f(x) = 2 +√x−√x3 definida em [0, 1].

(b) f(x) = 2 + senx definida em [0, 2π].

Solucao

(a) A funcao f e contınua em [0, 1] e derivavel em (0, 1).Mesmo que ela nao seja derivavel no zero, isto nao importa: oteorema exige apenas que f seja derivavel em (0, 1). Tambemtemos que f(0) = f(1) = 2, de modo que todas as condicoes doteorema de Rolle sao satisfeitas. Assim, existe um ponto c em

(0, 1), tal que f ′(c) = 0. Como f ′(x) = 12√x− 3

√x

2 = (1−3 x)2√x

,

esta derivada sera zero para x = 13 . Logo, no ponto c = 1

3 a retatangente a curva e horizontal.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

(b) Neste caso f e contınua e derivavel em [0, 2π] e f(0) = f(2π) = 2. Assim, pelo teorema de Rolle, existe umponto c em (0, 2π)), tal que f ′(c) = 0. De fato, usando o Maple para resolver esta ultima equacao, obtemos

> f:=x->2+sin(x):

> solve(diff(f(x),x)=0,x);

1

Portanto, c = π2 . Veja o grafico a seguir.

> plot([f(x),f(Pi/2),[[Pi/2,0],[Pi/2,f(Pi/2)]]],x=0..2*Pi,color=[red,blue]);

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W.Bianchini, A.R.Santos 225

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1 2 3 4 5 6x

Observe que, neste exemplo, existe um outro ponto c em (0, 2π), a saber, c = 3π2 , no qual a reta tangente ao

grafico da funcao tambem e horizontal. Isto nao contradiz o teorema de Rolle. Este teorema garante a existencia depelo menos um ponto no intervalo considerado, tal que f ′(c) = 0. Como vimos no exemplo acima, pode existir maisde um ponto com esta propriedade.

17.1.2 Teorema do valor medio

Considere uma funcao f satisfazendo as condicoes:(1) f e contınua no intervalo fechado [a, b](2) f e derivavel no intervalo aberto (a, b)

Entao, existe um numero c em (a, b), tal que f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Geometricamente, o teorema do valor medio diz que se f e umafuncao “suave” que liga os pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)),existe um ponto c, entre a e b, tal que a reta tangente ao graficode f em c e paralela a reta secante que passa por A e por B.

B

A

bca

Demonstracao A demonstracao e feita usando-se o teorema de Rolle. Para isso, considere a funcao d(x) =

f(x)− g(x), onde g(x) e a reta que une os pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)), isto e, g(x) = f(a) + f(b)−f(a)b−a (x− a).

Repare que a funcao d(x) assim definida, mede, para cada x, a distancia vertical entre os pontos (x, f(x)), dografico de f , e (x, g(x)), na reta suporte do segmento AB.

A funcao d(x) satisfaz as hipoteses do teorema de Rolle, isto e, d e contınua em [a, b], diferenciavel em (a, b), poisf e g o sao, e, alem disso, d(a) = d(b) = 0. Assim, existe um ponto c ∈ (a, b) onde d′(c) = 0.

Note no diagrama a seguir que a reta tangente ao grafico de f e paralela ao segmento AB exatamente no pontoem que a diferenca d(x) atinge o seu maior valor.

Logo, 0 = d′(c) = f ′(c)− g′(c) = f ′(c)− f(b)−f(a)b−a , ou seja, f ′(c) = f(b)−f(a)

b−a .

17.1.3 Consequencias do teorema do valor medio

A primeira consequencia e a recıproca do fato trivial de que a derivada de uma funcao constante e igual a zero, ou seja,se a derivada de uma funcao e zero, a funcao e constante. A princıpio nada nos assegura que este fato seja verdadeiro.

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226 Cap. 17 Teorema do Valor Medio

Sera que nao poderia existir uma funcao desconhecida, estranha e nao constante, cuja derivada fosse zero?Usando o teorema do valor medio podemos provar que tal funcao estranha nao existe. Isto e feito no Corolario 1

a seguir. Nesse corolario e nos seguintes, consideramos f e g contınuas no intervalo fechado [a, b] e derivaveis em (a,b).

Corolario 1 (Funcoes com derivada zero)Se f ′(x) = 0 em (a, b), entao f e uma funcao constante em [a, b], isto e, existe um numero real k, tal que f(x) = k,

qualquer que seja o ponto x de [a, b].

DemonstracaoSeja x ∈ (a, b]. Apliquemos o teorema do valor medio em [a, x ]. Entao existe c ∈ (a, x), tal que

f(x)− f(a) = f ′(c) (x− a).

Como f ′(x) = 0 em (a, b), tem-se f ′(c) = 0. Assim, f(x) = f(a), para todo x em (a, b]. Porem, obviamente, estaigualdade vale para todo x em [a, b]. Assim, f e constante em [a, b].

Corolario 2 (Funcoes com derivadas iguais)Suponha que f ′(x) = g′(x) para todo x no intervalo (a, b). Entao, f e g diferem por uma constante, isto e, existe

um numero real k, tal quef(x) = g(x) + k,

para todo x em [a, b].

DemonstracaoConsidere a funcao h(x) = f(x) − g(x). Entao, h′(x) = f ′(x) − g′(x) = 0, para todo x em (a, b). Logo, pelo

Corolario 1, h(x) = k para todo x em [a, b] e alguma constante k real, ou seja,

f(x)− g(x) = k, que e equivalente a f(x) = g(x) + k.

Interpretacao geometrica

Como as duas funcoes f e g diferem por uma constante, o graficode f pode ser obtido a partir do grafico de g, ou vice-versa, por umatranslacao vertical. Alem disso, como estas funcoes tem a mesma de-rivada em cada ponto x de [a, b], seus graficos tem retas tangentesparalelas nos correspondentes pontos (x, f(x)) e (x, g(x)). Por isso es-tes graficos sao ditos paralelos.

–2

0

2

4

6

y

–2 –1 1 2x

Exemplo 1 Se f ′(x) = 3 senx e f(0) = 2, determine a funcao f .

Solucao Observe que a derivada da funcao g(x) = −3 cosx e igual a 3 senx = f ′(x). Assim, f e g diferem poruma constante, isto e, f(x) = g(x) + k = −3 cosx+ k, onde k e um numero real qualquer.

Como f(0) = 2, temos que f(0) = −3 + k = 2, ou seja, k = 5. Assim,

f(x) = −3 cosx+ 5.

Exemplo 2 Suponha que f ′(x) = k em um intervalo [a, b], com k real. Prove que f e uma reta.

Solucao Seja g(x) = k x+ b. Entao, g′(x) = k. Logo, f e g diferem por uma constante, ou seja, f(x) = g(x) + c,onde c e real. Assim,

f(x) = k x+ b+ c = k x+ d,

onde d = b+ c. Logo, f e uma reta.

Corolario 3 (Funcoes crescentes e decrescentes)(i) Se f ′(x) > 0 para todo x em [a, b], entao f e uma funcao crescente em [a, b].

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W.Bianchini, A.R.Santos 227

(ii) Se f ′(x) < 0 para todo x em [a, b], entao f e uma funcao decrescente em [a, b].

DemonstracaoVamos demonstrar o primeiro item; a demonstracao do segundo e analoga.Sejam m e n pontos de [a, b], tais que m < n. Aplicamos o teorema do valor medio no intervalo [m, n]. Como este

intervalo esta contido em [a, b], as hipoteses do teorema do valor medio continuam validas em [m, n]. Assim, existeum ponto c em (m, n), tal que

f(n)− f(m) = f ′(c) (n−m).

Como, por hipotese, f ′(c) > 0 e (n−m) > 0, segue que

f(n)− f(m) > 0, isto e, f(m) < f(n).

Como m e n sao pontos quaisquer em [a, b], segue que f e uma funcao crescente em [a, b].

Corolario 4 (Teorema do valor medio generalizado)Sejam f e g contınuas em [a, b] e derivaveis em (a, b) e suponha, alem disso, que g′(x) 6= 0 para a < x < b. Entao,

existe pelo menos um c entre a e b, tal quef ′(c)

g′(c)=f(b)− f(a)

g(b)− g(a).

DemonstracaoRepare que se g(a) = g(b), pelo teorema de Rolle g′(x) se anula em algum ponto entre a e b, o que contradiz

a hipotese. Portanto, g(a) 6= g(b), e o segundo membro da igualdade acima faz sentido. Para provar o corolario,considere a funcao

F (x) = (f(b)− f(a)) (g(x)− g(a))− (f(x)− f(a)) (g(b)− g(a)).

E facil ver que esta funcao satisfaz as hipoteses do teorema de Rolle. Logo, existe um ponto c, entre a e b, tal queF ′(c) = 0. Esta ultima afirmacao e equivalente a

(f(b)− f(a)) g′(c)− f ′(c) (g(b)− g(a)) = 0 ,

que, por sua vez, e equivalente a afirmacao que se quer provar.Repare que se g(x) = x, este corolario se reduz ao teorema do valor medio e, portanto, e uma generalizacao deste

teorema.

17.2 Exercıcios

1. (a) Nos itens a seguir, mostre que a funcao dada satisfaz as hipoteses do teorema de Rolle no intervalo [a, b]indicado e ache todos os numeros c em (a, b) que verificam a conclusao do teorema:

i. f(x) = x2 − 2x em [0, 2]

ii. f(x) = 9x2 − x4 em [−3, 3]iii. f(x) = 1−x2

1+x2 em [−1, 1]

(b) Nos itens a seguir, mostre que a funcao dada nao satisfaz a conclusao do teorema de Rolle no intervaloindicado. Explicite que hipotese do teorema nao e satisfeita.

i. f(x) = 1− |x | em [−1, 1]

ii. f(x) = 1− (2− x)23 em [1, 3]

iii. f(x) = x4 + x2 em [0, 1]

2. (a) Em cada um dos itens a seguir, decida se o teorema do valor medio se aplica. Em caso afirmativo, ache

um numero c em (a, b), tal que f ′(c) = f(b)−f(a)b−a . Esboce um grafico mostrando a tangente passando por

(c, f(c)) e a reta passando pelos pontos extremos do grafico em [a, b], indicado em cada caso.

i. f(x) = 1x em [1, 2]

ii. f(x) = 1x em [−1, 2]

iii. f(x) = x3 em [0, 1]

iv. f(x) = x3 em [−1, 0]

v. g(x) = sen (x) em [0, π2 ]

vi. h(x) = tg(x) em [π4 ,3π4 ]

vii. f(x) =√

1− x2 em [−1, 0]

viii. f(t) = t2 (t− 1) em [0, 1]

ix. f(x) = x23 em [−1, 27]

x. f(x) =

1 0 < x0 x < 0

em [−1, 1]

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228 Cap. 17 Teorema do Valor Medio

(b) Como vimos no item (ix) acima, o teorema do valor medio nao se aplica a funcao f(x) = x23 no intervalo

[−1, 27]. No entanto, mostre que existe um numero c em (−1, 27), tal que f ′(c) = f(27)−f(−1)27−(−1) .

(c) Explique por que o teorema do valor medio nao se aplica a funcao f(x) = |x |, no intervalo [−1, 2].

3. Para as funcoes dadas em cada um dos itens a seguir, determine os intervalos abertos em que cada uma delas ecrescente ou decrescente. Com base nas respostas encontradas, faca a correspondencia de cada funcao com umdos graficos dados.

(a) f(x) = 4− x2

(b) f(x) = x2 − 2x+ 1

(c) f(x) = x2 − 4x+ 1

(d) f(x) = x3

4 − 3x

(e) f(x) = x3

3 −x2

2 − 2x+ 1

(f) f(x) = 2x− x2

6 −x3

9

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

(1)

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

(2)

–4

–2

0

2

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

(3)

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

(4)

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

(5)

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

(6)

4. (a) Use o teorema de Rolle para mostrar que a equacao 265 x

5 − x4 + 2x3 − 2x2 − x = 0 tem pelo menos umaraiz real no intervalo (0, 1).

(b) Se f(x) e um polinomio de grau 3, use o teorema de Rolle para provar que f tem no maximo tres zerosreais. Generalize este resultado para polinomios de grau n.

(c) Nos itens seguintes, mostre que a equacao dada tem exatamente uma solucao no intervalo indicado.

i. x5 + 2x− 3 = 0 em [0, 1]

ii. x10 = 1000 em [1, 2]

iii. x4 − 3x = 20 em [2, 3]

5. (a) Nos itens seguintes, determine a funcao f que satisfaz as condicoes dadas:

i. f ′(x) = 4x ; f(0) = 5

ii. f ′(x) =√

(x); f(0) = 4

iii. f ′(x) = 2√x

; f(0) = 3

iv. f ′′(x) = 0; f(0) = 12 e f ′(0) = 1

3

(b) Em cada um dos itens, ache todas as funcoes f , tais que:

i. f ′(x) = senx ii. f ′′(x) = x3 iii. f ′′′(x) = x+ x2

17.3 Problemas propostos

1. (a) Seja f(x) = x2. Neste caso, mostre que para qualquer intervalo [a, b] o ponto c dado pelo teorema do valormedio e em realidade o ponto medio c = a+b

2 , do intervalo [a, b].

(b) Mostre que o resultado acima vale para qualquer polinomio do segundo grau f(x) = c2 x2 + c1 x+ c0.

(c) Ache uma funcao f para a qual o “ponto de valor medio” c nao e o ponto medio de [a, b].

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W.Bianchini, A.R.Santos 229

2. (a) Prove que a funcao f(x) = (1 + x)32 − 3 x

2 − 1 e crescente em (0, ∞). Conclua entao que (1 + x)32 > 1 + 3 x

2para todo x > 0.

(b) Mostre que√x < 1 + x

2 se x > 0.

3. Mostre que (tg2 x) = (sec2 x) no intervalo aberto (−π2 ,π2 ). Conclua que existe uma constante C tal que

tg2 x = sec2 x+ C para todo x em (−π2 ,π2 ). Calcule C.

4. (a) Suponha que haja n pontos distintos em [a, b] nos quais a funcao derivavel f se anule. Prove que f ′ devese anular em pelo menos n− 1 pontos de [a, b].

(b) Suponha que a funcao f seja derivavel em [−1, 1] e tal que f(−1) = −1 e f(2) = 5. Prove que existe umponto no grafico de f em que a reta tangente e paralela a reta de equacao y = 2x.

5. Suponha que as funcoes f e g sejam contınuas em [a, b] e diferenciaveis em (a, b). Suponha tambem que f(a) =g(a) e que f ′(x) < g′(x) para a < x < b. Prove que f(b) < g(b).Sugestao: Aplique o teorema do valor medio a funcao h = f − g.

6. Usando o teorema de Rolle, prove que, qualquer que seja o valor de m, a funcao fm(x) = x3 − 3x+m nao podeter duas raızes reais em [0, 1]. Para entender geometricamente o que acontece, trace na mesma janela os graficosde f0 e f1 e conclua como seria o grafico de fm, para m qualquer.

7. Seja f(x) = 1x e g(x) =

1x , se x > 01 + 1

x , se x < 0Mostre que f ′(x) = g′(x) para todo x nos seus domınios. E

possıvel concluir que f − g e constante?

8. (a) Se f e um polinomio de grau menor ou igual a um, sabemos que f ′′(x) = 0 para todo x. Demonstrea recıproca desta afirmacao, isto e, se f e uma funcao qualquer, tal que f ′′(x) = 0 para todo x, entaof(x) = a1 x+ a0, onde a1 = f ′(0) e a0 = f(0).

(b) Se f e um polinomio de grau menor ou igual a dois, sabemos que f ′′′(x) = 0 para todo x. Demonstre arecıproca desta afirmacao, isto e, se f e uma funcao qualquer, tal que f ′′′(x) = 0 para todo x, entao f e um

polinomio de grau menor ou igual a dois. De fato, f(x) = f(0) + f ′(0)x+ x2

2 f ′′(x).

(c) Suponha que fn(x ) = 0, para todo x. Caracterize f e demonstre a sua resposta.

9. (a) Suponha que f(1) = 1, f ′(1) = 3, f ′′(1) = 6 e f ′′′(x) = 0 para todo x. Demonstre que, para todo x,f ′′(x) = 6, f ′(x) = 6x− 3 e que f(x) = 3x2 − 3x+ 1.

(b) Suponha que c e uma constante e que f(c) = a0, f ′(c) = a1, f ′′(c) = a2 e f ′′′(x) = 0 para todo x.Demonstre que f(x) = a2

2 (x− c)2 + a1(x− c) + a0.

(c) Suponha que c e uma constante e que f(c) = a0, f ′(c) = a1, ..., f (n)(c) = an e f (n+1)(x) = 0, para todo x.

Demonstre que f(x) = f(c) + (x− c) f ′(c) + (x−c)22 f ′′(c) + . . .+ (x−c)n

n! f (n)(c), onde n! =

n∏k=1

k.

10. As duas horas da tarde, o velocımetro de um carro marca 30 km/h. As duas horas e dez minutos, marca 50km/h. Mostre que, em algum instante entre duas e duas e dez, a aceleracao deste carro foi exatamente igual a120 km/h2.

11. Dois corredores comecam uma disputa ao mesmo tempo e terminam empatados. Prove que, em algum instantedurante a corrida, eles correram com a mesma velocidade.Sugestao: Considere a funcao f(t) = g(t) − h(t), onde g e h sao as funcoes que fornecem as posicoes dos doiscorredores para qualquer instante de tempo t.

12. Uma funcao f , nao necessariamente derivavel, definida em um intervalo I, e chamada convexa em I se

f(x2)− f(x1)

x2 − x1≤ f(x3)− f(x2)

x3 − x2,

sempre que x1 < x2 < x3 forem tres pontos de I. Veja a figura a seguir a esquerda e interprete geometricamentea definicao dada.

(a) Demonstre que se f ′ existe em I e e crescente, entao f e convexa.

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230 Cap. 17 Teorema do Valor Medio

(b) Demonstre que se f ′′ e maior ou igual a zero em todo o intervalo I, entao f e convexa em I.

(c) Mostre que se x1 < x2 < x3, as duas condicoes abaixo sao equivalentes:

y2 − y1

x2 − x1≤ y3 − y2

x3 − x2⇔ y2 ≤ y1 +

y3 − y1

x3 − x1(x2 − x1)

(Esta ultima condicao fornece uma outra definicao geometrica alternativa para convexidade: entre dois pontosquaisquer x1 e x2 de I, o grafico de f fica abaixo da reta que passa por P1 = (x1, f(x1)) e P3 = (x3, f(x3)), comomostra a figura a seguir a direita.

P3P2

P1

x3x2x1

P3P2

P1

x3x2x1

17.4 Para voce meditar: O significado de c

Em muitas situacoes fısicas, os fenomenos observaveis sao apresentados em tabelas, que relacionam a velocidade deum automovel com a distancia percorrida ate que o mesmo pare, apos acionados os freios.

velocidade (km/h) 40 60 80 100 120distancia (m) 8 18 32 50 72

Fonte: Revista Quatro Rodas - Automovel Fiat Uno

A partir de tabelas deste tipo, tentamos deduzir a lei ou funcao matematica que melhor se ajusta aos dadosapresentados. Muitas vezes, precisamos fazer uma estimativa de um valor da variavel dependente (neste exemplo, adistancia percorrida pelo automovel) correspondente a um valor da variavel independente (neste caso a velocidade doautomovel), que nao faz parte da tabela. Por exemplo, qual a distancia percorrida por um automovel que viaja a 70km/h, antes que este pare completamente?

Em geral, para obter uma resposta aproximada para esta pergunta usamos interpolacao linear, isto e, aproximamoso grafico da funcao que modela o problema por segmentos de reta que ligam os pontos da tabela e estimamos o valorpedido como se a funcao procurada variasse linearmente entre os pontos dados.

No exemplo apresentado, a equacao da reta que liga os pontos (60, 18) e (80, 32) e

> f:=unapply(interp([60,80],[18,32],x),x);

f := x→ 7

10x− 24

Usando esta equacao para calcular uma estimativa para o valor pedido, temos:

> f(70.);

25.00000000

Como as grandezas anteriores claramente nao estao relacionadas por uma linha reta, o valor calculado envolve umerro que, a priori, nada garante que seja pequeno.

1. Explique como o teorema do valor medio esta relacionado com o erro maximo cometido ao usarmos interpolacaolinear para estimarmos os valores correspondentes a pontos que nao estao explicitados na tabela.

2. Observando os valores apresentados na tabela dada, voce e capaz de deduzir a lei que governa o fenomeno?(Use a tecnica da enesima diferenca – secao Para meditar, do Cap.7 – para tentar chegar a uma conclusao, e ocomando interp do Maple para conferir a sua resposta.)

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W.Bianchini, A.R.Santos 231

3. Faca um grafico da interpolacao linear e da funcao deduzida no ıtem acima para tentar concluir se 25 m e uma“boa” resposta para a indagacao feita. Esta estimativa e por falta ou por excesso?

4. Use a funcao deduzida acima e o teorema do valor medio para, usando interpolacao linear, estimar o erro maximocometido ao calcularmos a distancia que um automovel percorre antes de parar completamente, apos acionadosos freios.

17.5 Projetos

17.5.1 Estudando a queda dos corpos - Movimento uniformemente acelerado

Suponha que uma partıcula esteja se movendo, de acordo com uma determinada lei, ao longo de uma reta. Se voceimaginar que o movimento se da ao longo do eixo y, entao o movimento pode ser descrito por uma funcao s, isto e,para cada tempo t do intervalo I, s(t) fornece a posicao da partıcula neste instante.

Na figura a seguir, a partıcula se move durante o intervalo de tempo [t1, t4]. Alem disso, o movimento comeca emt = t1 quando a partıcula esta no ponto y = 1; no intervalo de tempo [t1, t2], a partıcula se move do ponto y = 1 ateo ponto y = 4; no intervalo [t2, t3], a partıcula retrocede e muda da posicao y = 4 para y = −1; e no intervalo [t3, t4],a partıcula avanca de y = −1 ate y = 6.

6

–1

4

1

t3t4t2t1

A figura mostra o movimento restrito a um intervalo de tempo I = [t1, t4] finito. Mais geralmente, a funcao spode ser definida num intervalo de tempo da forma I = [ t1, ∞) ou mesmo I = R = (−∞, ∞). Mas, na maioria dasvezes, na Terra, os movimentos comecam em algum instante de tempo t0 e terminam quando a partıcula se choca comalguma coisa, ou por alguma outra razao, cessa de se movimentar de acordo com a lei dada.

Como ja vimos no Cap.11, desde que a funcao s seja derivavel – o que ela usualmente e –, a velocidade da partıcula,em cada instante de tempo t, e dada pela derivada de s, isto e, v(t) = s′(t). Desde que a funcao v seja derivavel,o que ela usualmente e, a aceleracao da partıcula e dada, em cada instante de tempo t, pela derivada de v, isto e,a(t) = v′(t) ou a(t) = s′′(t). (Observe que para movimentos no plano ou no espaco a velocidade e a aceleracao em umdado instante devem ser entendidas como quantidades vetoriais, isto e, como grandezas que tem, tambem, sentido edirecao. Somente para movimentos retilıneos podem ser descritos como fizemos acima, pois sobre uma reta a direcaoesta definida e o sentido e determinado pelo sinal da velocidade.)

Ha ainda uma quarta funcao associada ao movimento da partıcula, que denotaremos por F . Essa funcao Frepresenta, em cada instante de tempo t, a resultante das forcas F (t) que agem sobre o corpo no instante t.

O objetivo deste projeto e descrever por meio de equacoes matematicas o movimento de uma partıcula em quedalivre. Antes de podermos trabalhar matematicamente com este problema, precisamos estabelecer as hipoteses fısicasa serem consideradas.

A Segunda Lei de Newton afirma que a aceleracao de um corpo em movimento e proporcional a forca dividida pelamassa do corpo, isto e,

a(t) = k1 F (t)m (k1= constante). (1)

Para um corpo caindo em queda livre (ou um projetil lancado verticalmente para cima), a forca e a resultante dopeso (que atua para baixo) e da resistencia do ar (que atua no sentido contrario ao do movimento). Se a velocidadedo corpo nao e muito grande, a resistencia do ar pode ser desprezada. Assim, temos que

F (t) = P (t) < 0 (2)

(o peso e negativo porque “puxa” o objeto para baixo).“Obviamente” o peso nao varia somente porque o tempo esta passando, mas na realidade depende de y, isto e,

da altitude do corpo no qual a gravidade esta agindo: quanto maior a altitude, menor a forca com que a Terra atrai

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232 Cap. 17 Teorema do Valor Medio

o corpo. Por outro lado se a altitude nao e muito grande, o peso pode ser considerado constante. Para todos osfins praticos, podemos considerar o peso de um objeto caindo em queda livre, proximo a superfıcie da Terra, comoconstante. Assim, temos

F (t) = k2 < 0 (k2 = constante). (3)

Como ja vimos que o peso e a resultante das forcas que atuam sobre a partıcula de (1) e (3), temos que

a(t) = k3m < 0 para todo t, onde k3 = k1 k2.

Esta ultima equacao diz que para cada corpo caindo em queda livre existe uma constante que e igual a suaaceleracao, independentemente do tempo que dure o movimento.

Permanece, entretanto, uma questao fundamental: existe uma constante que descreve a aceleracao de todos oscorpos em queda livre, caso contrario, a constante de aceleracao depende de qual propriedade do corpo?

Por muito tempo pensou-se que esta constante dependia da massa m do corpo, isto e, a lei que governa a queda decorpos pesados (balas de canhao, por exemplo) deveria ser diferente da lei que governa a queda de corpos leves (porexemplo, bolas de pingue-pongue).

De fato, ate a epoca de Galileu pensava-se que corpos pesados caıssem mais depressa. A historia conta que paraprovar a falsidade desta hipotese Galileu apelou para a forca bruta: deixou cair do alto da Torre de Pisa duas bolasde ferro de tamanhos diferentes, provando, assim, que elas chegavam ao chao ao mesmo tempo.

Esta constante, que independe da massa do corpo e que fornece a aceleracao de qualquer objeto em queda livre, echamada aceleracao da gravidade e e denotada, usualmente, pela letra g. Se a distancia e medida em metros (m) e otempo em segundos (s), numericamente, temos que g e aproximadamente igual a 10 m/s2.

Os resultados desta discussao podem ser resumidos da seguinte maneira:

Se a resistencia do ar puder ser desprezada e se considerarmos desprezıvel a variacao do peso devido a altitude, aaceleracao de um corpo em queda livre e dada pela equacao

a(t) = −g,

onde g e uma constante e vale aproximadamente 10 m/s2.

A discussao precedente serviu para tentarmos mostrar por que a afirmacao acima, sob certas hipotese razoaveis, euma boa traducao matematica para o problema em questao. Nos nao provamos que esta afirmacao e sempre corretaou para que valores limites ela vale. Esta nao e uma questao matematica, mas algo com que os fısicos se preocupame tentam corroborar por meio de experimentos.

A questao matematica que queremos resolver e a de encontrar funcoes que satisfacam a equacao

a(t) = f ′′(t) = −g

Esta equacao e um exemplo do que em matematica chamamos de equacao diferencial ordinaria, porque estabeleceuma relacao entre a funcao e suas derivadas. Para resolver esta equacao e necessario encontrar a funcao f que satisfacaa relacao dada.

Esta questao e adequadamente formulada no problema a seguir.

ProblemaAche a funcao s que satisfaz as seguintes propriedades:(a) s′′(t) = −g para todo t.(b) s′(0) e um dado numero v0.(c) s(0) e um dado numero s0.Este problema pode ser interpretado em termos fısicos da seguinte maneira:

Conhecendo-se a aceleracao da gravidade g, a velocidade inicial v0 e a posicao inicial s0, determine a lei que governao movimento de queda livre de um corpo, no vacuo.

Problemas envolvendo equacoes diferenciais onde sao conhecidos os valores da funcao e suas derivadas em umdeterminado ponto sao conhecidos como problemas de valor inicial.

Este problema pode ser generalizado como se segue:

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W.Bianchini, A.R.Santos 233

Se I e um intervalo de tempo qualquer (finito ou infinito) e t0 e um ponto qualquer de I, determine a funcao s quesatisfaz as seguintes condicoes:

(a) s′′(t) = −g para todo t.(b) s′t0 = v0.(c) st0 = s0.A solucao deste ultimo problema e exatamente igual a do anterior.

1. Tendo em vista a discussao acima e usando o que vimos ate agora sobre derivadas de funcoes, resolva o problemaproposto, isto e, determine a lei que governa a queda livre dos corpos.

2. Se voce resolveu corretamente o item acima, em algum momento da deducao deve ter usado uma consequenciaimportante do teorema do valor medio. Especifique que resultado foi e onde ele foi usado.

3. Em cada um dos itens a seguir ache a funcao desconhecida que satisfaz as condicoes dadas. Em todos os itens,exceto em um deles, as condicoes dadas sao suficientes para determinar a funcao. Nesse unico item, entretanto,ha infinitas possibilidades. Neste caso, tente determinar que tipo de funcoes satisfazem as condicoes dadas.

(a) f ′(t) = 3 t+ 4, f(0) = 4

(b) f ′(x) = x3 − 7x+ 5, f(0) = −1

(c) f ′′(t) = −1, f ′(0) = 2, f(0) = 3

(d) f ′′(x) = 3x2, f ′(1) = 0

4. Para resolver os itens a seguir, nao aplique formulas. Escreva as equacoes que modelam o problema e resolva osistema resultante.

(a) Um projetil e lancado verticalmente para cima, da superfıcie da Terra, num tempo t = 0, com velocidadeinicial de 3 m/s. Quando ele atingira o solo novamente? Para que intervalo de tempo o movimento edescrito pela condicao a(t) = −g?

(b) Um projetil e lancado verticalmente para cima e atinge o solo 10 segundos mais tarde. Qual era a suavelocidade inicial?

(c) Uma bola de bilhar e deixada cair do alto de um edifıcio e atinge o solo 10 segundos mais tarde. Qual e aaltura do edifıcio?

(d) Queda livre perto da superfıcie da Lua funciona da mesma maneira que queda livre perto da superfıcieda Terra, exceto pela aceleracao da gravidade −gL, que e diferente por causa da massa menor da Lua.Suponha que voce esta na Lua e deixa cair uma bola de bilhar, descobrindo, entao, que a bola cai 1 m, noprimeiro segundo. O que voce pode concluir a respeito de gL?

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Capıtulo 18

Problemas de Maximos e Mınimos emIntervalos Quaisquer

18.1 Introducao

No Cap.15 estudamos o problema de determinar maximos e mınimos globais para funcoes contınuas definidas emintervalos fechados. Visto que o teorema dos valores extremos para funcoes contınuas garante, para estas funcoes, aexistencia de extremos globais, e como tais extremos so podem ocorrer nos pontos crıticos da funcao ou nas extre-midades do intervalo onde esta funcao esta definida, o criterio empregado foi o de comparar os valores da funcao fcalculados nos extremos do intervalo com os valores de f nos seus pontos crıticos. No entanto, em varios problemas afuncao f que descreve a grandeza a ser maximizada e definida em um intervalo aberto (a, b) e ate mesmo em um in-tervalo nao limitado, por exemplo, (0,∞). Neste caso, nao podemos empregar a tecnica descrita acima. Nao podemosnem sequer garantir, a priori, a existencia de maximos e mınimos globais. O teste da derivada segunda e util nestescasos.

Suponhamos que queiramos maximizar, ou minimizar, uma funcao derivavel f num intervalo aberto I, e consta-temos que f tem apenas um ponto crıtico em I, isto e, um numero c para o qual f ′(c) = 0. Se f ′′(x) tiver o mesmosinal em todos os pontos de I, o teste da derivada segunda nos diz que o ponto c e um extremo absoluto de f em I.Este extremo sera um mınimo se f ′′(c) > 0 e, um maximo se f ′′(c) < 0.

Os exemplos a seguir ilustram o uso deste teste.

18.2 Exemplos

Exemplo 1 Um fabricante de latas cilındricas de conservas recebe um pedido muito grande de latas com determinadovolume V0. Quais as dimensoes que minimizarao a area lateral da superfıcie de uma lata como esta e, portanto, aquantidade de metal necessario para fabrica-la?

Solucao Sendo r e h, respectivamente, o raio da base e a altura de uma lata cilındrica, seu volume sera dado por

(1) V0 = π r2 h

e a area lateral por

(2) A = 2π r2 + 2π r h.

Queremos minimizar A, que e uma funcao de duas variaveis relacionadas pela equacao (1). Resolvendo (1) para he substituindo em (2),

> h:=solve(V[0]=Pi*r^2*h,h);

h =V0

π r2

> subs(h=V[0]/(Pi*r^2),A=2*Pi*r^2+2*Pi*r*h);

A = 2π r2 + 2V0

r,

onde r pertence ao intervalo (0,∞). Como sabemos, os extremos desta funcao, caso existam, estarao localizados emum de seus pontos crıticos. Assim, derivamos a equacao acima e resolvemos a equacao resultante ao igualarmos estaderivada a zero:

234

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W.Bianchini, A.R.Santos 235

> diff(2*Pi*r^2+2*V[0]/r,r);

A′ := 4π r − 2V0

r2

Mas, 4π r − 2V0

r2 = 0 se r = ( V0

2π )13 . A derivada segunda desta funcao e dada por

> diff(2*Pi*r^2+2*V[0]/r,r,r);

A′′ = 4π + 4V0

r3

que e sempre positiva, pois r e positivo.Assim, a funcao A(r) e concava para cima em todo o seu domınio, e o ponto crıtico 4π + 4V0

r3 e um mınimo absolutopara esta funcao. Veja o grafico de A para V0 = 500 ml

0

200

400

600

800

1000

y

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20r

As dimensoes da lata de custo mınimo podem ser obtidas, a partir da equacao (1), calculando-se o valor de h,correspondente ao valor de r, onde a funcao A atinge o seu mınimo. Assim,

h =V0

π r2= 2 (

V0

2π)

13 .

Note que h = 2 r.Do ponto de vista de diminuir custos de materia-prima, esse resultado revela que a “melhor” proporcao para uma

lata cilındrica e aquela em que a altura e igual ao diametro da base. Esta e a proporcao usada em latas de leite em po,salsichas, extrato de tomate, etc. Voce e capaz de explicar por que esta nao e a proporcao empregada na fabricacaode latas de oleo de cozinha?

Exemplo 2 Determine a razao entre a altura e o diametro da base do cilindro de volume maximo que pode serinscrito numa esfera de raio R.

Solucao As figuras mostram um cilindro inscrito numa esfera juntamente com um corte transversal do mesmo:

x

Ry

O volume do cilindro sera dado, entao, por V = 2π x2 y. Alem disso, pelo teorema de Pitagoras podemos concluirque as variaveis x e y estao relacionadas pela equacao x2 + y2 = R2.

Podemos perceber, tambem, que V e pequeno quando x esta perto de zero ou quando x esta perto de R, portanto,entre estes extremos existe uma posicao de volume maximo. Para acha-la, substituımos o valor de x2 na equacao quedefine V e obtemos a equacao V = 2π y (R2 − y2). Derivando esta equacao em relacao a y, temos

> diff(2*Pi*y*(R^2-y^2),y);

V ′ = 2π (R2 − y2)− 4π y2

> simplify(%);

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236 Cap. 18 Problemas de Maximos e Mınimos em Intervalos Quaisquer

V ′ = 2π R2 − 6π y2

Resolvendo a equacao V ′(y) = 0, obtemos

> solve(diff(2*Pi*y*(R^2-y^2),y)=0,y);

y =1

3

√3R, y = −1

3

√3R

Aplicando o teste da derivada segunda, comprovamos que o ponto y =√

3R3 e realmente um ponto de maximo para

a funcao, pois

> derivada_segunda=diff(2*Pi*y*(R^2-y^2),y,y);

derivada segunda = −12π y

e esta derivada e negativa para valores positivos de y. Substituindo o valor positivo encontrado para y na igualdade

x2 + y2 = R2, obtemos x =√

2R√3

. Concluımos entao que a razao entre a altura e o diametro da base do cilindro de

maior volume inscrito numa esfera de raio R ey

x=

√2

2

Exemplo 3 Determinar o comprimento da maior vara que pode ser transportada horizontalmente atraves daquina de um corredor de 2 m de largura para outro de 4 m de largura, conforme e esquematizado no desenho a seguir.

Solucao

Conforme mostra a figura, o comprimento desejado e o compri-mento mınimo L = L1 + L2 da vara. Pelos dois triangulos seme-lhantes da figura, vemos que

4

L1= sen(θ) e

2

L2= cos(θ)

de modo que

L1 = 4 csc(θ) e L2 = 2 sec(θ) .θ

θ

L2

L1

Portanto, o comprimento L = L1 + L2 da vara e uma funcao de θ, dada por

L(θ) = 4 csc(θ) + 2 sec(θ) ,

onde θ varia no intervalo aberto (0, π2 ). Note que L→∞ quando θ → 0 pela direita ou quando θ → π2 pela esquerda.

(Por que?) Calculando a derivada de L(θ) e igualando a expressao resultante a zero, temos

> diff(4*csc(theta)+2*sec(theta),theta);

−4 csc(θ) cot(θ) + 2 sec(θ) tan(θ)

> solve(-4*csc(theta)*cot(theta)+2*sec(theta)*tan(theta)=0,theta);

arctan(21/3), arctan(−1

221/3 +

1

2I√

3 21/3), arctan(−1

221/3 − 1

2I√

3 21/3)

Logo, θ = arctg(213 ) e a raiz que nos interessa. Este valor e aproximadamente igual a

> evalf(arctan(2^(1/3)));

.8999083481

Vamos agora calcular a derivada segunda da funcao L, para comprovar que o ponto que achamos e, de fato, o mınimoda funcao L.

> derivada_segunda:=diff(4*csc(theta)+2*sec(theta),theta,theta);

derivada segunda :=

4 csc(θ) cot(θ)2 − 4 csc(θ) (−1− cot(θ)2) + 2 sec(θ) tan(θ)2 + 2 sec(θ) (1 + tan(θ)2)> evalf(subs(theta=0.9,derivada_segunda));

Page 253: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 237

24.97376536

Como a derivada segunda no ponto crıtico e positiva e este e o unico ponto crıtico da funcao (as demais raızes daequacao L′(θ) = 0 sao complexas), vemos que o mınimo absoluto de L e, portanto, o comprimento maximo da vara, ecerca de

> evalf(4*csc(0.9)+2*sec(0.9));

8.323876472

ou seja, aproximadamente 8,32 metros.

Exemplo 4 Reflexao da luz

Um raio de luz parte de um ponto A, atinge um ponto P sobreum espelho plano, sendo entao refletido e passando por um pontoB, como mostra a figura ao lado. Medidas acuradas mostram queo raio incidente e o raio refletido formam angulos iguais com oespelho, isto e α = β. Suponha que o raio de luz siga o caminhomais curto de A a B, passando pelo ponto P no espelho. Provea lei de reflexao, mostrando que o caminho APB e mais curtoquando α = β.

βα

c-xx

b

a

B

A

P

c

Solucao Repare que o ponto P pode assumir varias posicoes no espelho e cada uma destas posicoes e determinadapor um valor de x. Vamos considerar, portanto, o comprimento L do caminho percorrido pelo raio de luz como umafuncao de x. A partir da figura, podemos concluir que

L =√a2 + x2 +

√b2 + (c− x)2.

Derivando esta funcao, temos

> L:=x->sqrt(a^2+x^2)+sqrt(b^2+(c-x)^2):

> diff(L(x),x);

L′(x) =x√

a2 + x2+

1

2

−2 c+ 2x√b2 + c2 − 2 c x+ x2

Minimizamos L ao igualar esta derivada a zero, obtendo:

x√a2 + x2

=c− x√

b2 + c2 − 2 c x+ x2

e daı, podemos concluir que cos(α) = cos(β). Como α e β estao no primeiro quadrante, segue que α = β.

Para verificar que realmente minimizamos L, basta calcular a derivada segunda de L e observar que esta derivadae sempre positiva para qualquer valor de x. De fato,

d2 L

dx 2 =a2

(a2 + x2)( 32 )

+b2

(b2 + (c− x)2)( 32 ).

Exemplo 5 Refracao da luz

O raio de luz refletido que acabamos de discutir no exemplo anterior mantem a velocidade constante quandoatravessa um unico meio. No entanto, em meios diferentes (ar, agua, vidro) a luz tem velocidades diferentes. Se umraio de luz passa do ar para a agua, e refratado passando a ter uma direcao mais proxima da perpendicular a interface.Veja a figura a seguir:

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238 Cap. 18 Problemas de Maximos e Mınimos em Intervalos Quaisquer

′β

α

β

α

Agua

Ar

va

vw

c-xx

b

a

B

A

P

c

O percurso APB, nitidamente, nao e mais o caminho mais curto de A ate B. Em 1621, o cientista holandes Snell

descobriu, empiricamente, que o caminho real do raio de luz e o que satisfaz a relacao sen(α)sen(β) = constante, onde esta

constante e independente das posicoes de A e de B. Esse fato e chamado lei de refracao de Snell.Prove a lei de Snell, partindo do pressuposto de que o raio percorre um caminho de A a B de modo a minimizar o

tempo total de percurso.

Solucao Se a velocidade da luz no ar e va e na agua e vw, entao o tempo total de percurso T e a soma do tempoque a luz gasta atravessando o ar com o tempo gasto para atravessar a agua e e dado por

T =

√a2 + x2

va+

√b2 + (c− x)2

vw.

Calculando a derivada dessa funcao e observando o seu significado geometrico em termos da figura, obtemos:

> T:=x->sqrt(a^2+x^2)/v[a]+sqrt(b^2+(c-x)^2)/v[w];

T := x→√a2 + x2

va+

√b2 + (c− x)2

vw> diff(T(x),x)=sen(alpha)/v[a]-sen(beta)/v[w];

T ′(x) =x√

a2 + x2 va+

1

2

−2 c+ 2x√b2 + c2 − 2 c x+ x2 vw

=sen(α)

va− sen(β)

vw

Para conseguir o tempo mınimo de percurso, igualamos essa derivada a zero, obtendo

sen(α)

va=

sen(β)

vwou

sen(α)

sen(β)=vavw

= constante

Esta e a forma mais reveladora da lei de Snell, porque nos da o significado fısico da constante que aparece naequacao. Esta constante e a razao entre a velocidade da luz no ar e a velocidade (menor) da luz na agua. Essaconstante chama-se ındice de refracao da agua. Se, nesse exemplo, a agua for substituıda por qualquer outro meiotranslucido, tal com alcool, glicerina ou vidro, entao a constante tera um valor numerico diferente que sera dado peloındice de refracao do meio em questao.

Como no exemplo anterior, podemos verificar que a resposta obtida realmente minimiza T , calculando a segundaderivada e observando que esta e positiva. De fato,

d2 T

dx 2 =a2

va (a2 + x2)( 32 )

+b2

vw (b2 + (c− x)2)( 32 )> 0 .

18.3 Problemas propostos

1. Determine a constante a de modo que a funcao f(x) = x2 + ax , para x 6= 0, tenha um mınimo relativo em x = 2.

2. Uma grande vara deve passar por um canto retangular de um corredor, seguindo de uma parte de largura a paraoutra de largura b. Se o comprimento da vara e L, qual a largura mınima b para que a manobra seja possıvel?

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W.Bianchini, A.R.Santos 239

3. Uma caixa retangular com base quadrada deve ser feita de madeira compensada. Sendo dado o seu volume, achea forma (razao entre a altura e o lado da base) que minimiza a quantidade de madeira compensada necessaria.Resolva este problema supondo, agora, que a caixa e aberta em cima.

4. Ache o raio do cilindro de volume maximo que pode ser inscrito num cone de altura H e raio da base R.

5. Ache a altura do cone de maximo volume que pode ser inscrito numa esfera de raio R.

6. Um tanque cilındrico sem tampa deve ter um volume especificado. Se o custo do material usado para a base etres vezes maior que o custo daquele usado para a lateral encurvada, ache a razao entre a altura e o diametroda base para a qual o custo total e mınimo.

7. (a) Calcule as coordenadas do ponto do grafico da funcao y =√x mais proximo do ponto ( 3

2 , 0).Sugestao: Minimize o quadrado da distancia do ponto dado ao ponto (x,

√x).

(b) Generalize o item anterior: ache o ponto sobre o grafico de y =√x que esta mais proximo do ponto (a, 0)

para a > 0, qualquer.

(c) Determine o ponto da parabola y = x2 mais proximo do ponto (6, 3).

8. (a) Suponha que f seja uma funcao derivavel definida em toda a reta e que o grafico de f contenha um pontoQ(x, y) que esta mais perto do ponto P (x0, y0) que nao esta no grafico. Mostre que f ′(x) = −x−x0

y−y0 , em Q.Conclua que o segmento PQ e perpendicular a reta tangente a curva em Q.

(b) Use o resultado acima para mostrar que a distancia mınima do ponto (x0, y0) a um ponto da reta

Ax+B y + C = 0 e |Ax0+B y0+C|√A2+B2

.

9. Duas discotecas, uma delas quatro vezes mais barulhenta do que a outra, estao situadas em extremidadesopostas de um quarteirao de 1.000 m de comprimento. Qual e o ponto menos barulhento entre as discotecas?A intensidade do ruıdo em um ponto distante da fonte e diretamente proporcional ao ruıdo e inversamenteproporcional ao quadrado da distancia a fonte.

10. (a) Um triangulo isosceles esta circunscrito a um cırculo de raio R. Se x e a altura do triangulo, mostre quesua area e mınima quando x = 3R.Sugestao: Minimize A2.

(b) Se a figura descrita em (a) for girada ao redor da altura do triangulo, o resultado e um cone inscrito numaesfera de raio R. Mostre que o volume do cone e mınimo quando x = 4R e que esse volume e o dobro dovolume da esfera.

11. (a) Um silo tem parede cilındrica, piso plano circular e teto hemisferico. Para um dado volume, ache a razaoentre a altura total e o diametro da base que minimiza a area da superfıcie total.

(b) No item anterior, se o custo de construcao por metro quadrado do teto hemisferico e o dobro do custo daparede e do piso, ache a razao entre a altura total e o diametro da base que minimiza o custo total deconstrucao.

12. Qual o menor valor da constante a para o qual a desigualdade 2√

2 ≤ a x+ 1x seja valida para todos os numeros

positivos x?

13. Um espiao e deixado por um submarino para ser embarcado em um bote a 2 km de um ponto P numa praiareta com direcao norte-sul. Ele precisa chegar a uma casa na praia a 6 km ao norte de P. Remando, ele percorre3 km/h andando, 5 km/h. Sua intencao e remar em direcao a um certo ponto ao norte de P e depois andar oresto do caminho.

(a) A que distancia ao norte de P ele deve desembarcar para chegar a casa no menor tempo possıvel?

(b) Qual a duracao da viagem?

(c) Quanto tempo a mais ele gastara se remar diretamente a P e depois andar ate a casa?

(d) Mostre que a resposta do item (a) deste problema nao se altera se a casa estiver a 8 km ao norte de P.

(e) Se o bote do espiao estiver munido de um pequeno motor que desenvolva uma velocidade de 5 km/h, entao,utilizando apenas o nosso bom senso, e obvio que a rota mais rapida sera a que for percorrida exclusivamentede bote. Qual a menor velocidade em que tal rota continua sendo a mais rapida?

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240 Cap. 18 Problemas de Maximos e Mınimos em Intervalos Quaisquer

18.4 Um pouco de historia: Princıpio do tempo mınimo de Fermat

As ideias do Exemplo 5 foram descobertas em 1657 pelo grande matematico frances Pierre Fermat, e por essa razaoa afirmacao de que um raio de luz atravessa um sistema otico percorrendo o caminho que minimiza o tempo total depercurso chama-se princıpio do tempo mınimo de Fermat. E importante ressaltar que quando um raio de luz percorreum unico meio uniforme, “caminho mais curto” e equivalente a “tempo mınimo”, e assim o Exemplo 4 recai tambemneste mesmo princıpio.

Durante os dois seculos seguintes, as ideias de Fermat estimularam um amplo desenvolvimento da teoria geral demaximos e mınimos, levando primeiro a criacao por Euler (1701-1783) do Calculo Variacional – um ramo da matematicaque procura achar os extremos de funcoes em um contexto mais geral do que aquele estudado no Calculo Diferencial– e depois, ao princıpio da mınima acao, de Hamilton (1805-1865), que se tornou um dos princıpios unificadores maisprofundos da Fısica. Euler expressou seu entusiasmo com as seguintes palavras memoraveis: “Como a estrutura domundo e a mais perfeita e foi estabelecida pelo mais sabio Criador, tudo que ocorre nesse mundo obedece a algumprincıpio de maximo ou mınimo.”

18.5 Para voce meditar: Como os gregos eram espertos, ou umademonstracao sem palavras

A lei de reflexao discutida no Exemplo 4 ja era conhecida pelos gregos da Antiguidade. No entanto, o fato de que umraio de luz refletido segue o caminho mais curto foi descoberto muito mais tarde por Heron de Alexandria, no seculoI d.C. A demonstracao geometrica de Heron e simples, porem engenhosa. O desenho a seguir ilustra o argumentoempregado por ele.

• Demonstre a lei da reflexao usando a figura abaixo para justificar seu raciocınio. Nesta figura B′ e a imagemespecular de B.

γ

βα

B’

B

A

P’ P

18.6 Projetos

18.6.1 Um problema de otimizacao

Otimizar e uma das mais importantes aplicacoes de derivada. Os problemas aplicados que usualmente sao estudadosnum curso de Calculo sao, necessariamente, muito simples para que a aplicacao dos conceitos matematicos nao sejasobrepujada por calculos longos e cansativos. O objetivo deste projeto e apresentar um problema um pouco mais real.Nele, voce e o gerente de planejamento de uma companhia eletrica, e a voce e designada a seguinte tarefa:

A Companhia deve estender um cabo de alta tensao partindo de uma usina localizada dentro de uma reserva florestalate uma fabrica em construcao. A fabrica esta a 2, 3 km ao norte e a 5, 2 km a leste da usina, junto a uma area depropriedade particular de 1, 3 km de largura (direcao leste-oeste) entre a usina e a fabrica. O cabo de alta tensao devepassar pela propriedade particular. Veja o mapa:

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W.Bianchini, A.R.Santos 241

x

w

2,3 km

1,3 km3,9 km

fab

usina

particular

O custo de instalacao do cabo e de R$0,75 por metro atraves da reserva florestal e R$2,25 por metro na propriedadeparticular.

Sua tarefa e achar o tamanho (diametro) otimo do cabo, determinar a rota de menor custo e, finalmente, determinaro custo total mınimo do projeto.

Etapa I: Minimizar o custo por metro relacionado ao tamanho do cabo.O custo por metro de aquisicao do cabo, Ca, e diretamente proporcional a espessura do fio, isto e, varia de acordo

com a quantidade de cobre usada por unidade de area da sua secao reta A. O departamento de compras providenciouas seguintes cifras:

Ca (R$) A (mcm2)0,25 167

(a) Usando os dados da tabela, ache uma equacao para Ca.

De acordo com a teoria da eletricidade, a resistencia do material do cabo causa uma perda de potencia resultanteda dissipacao de energia em forma de calor. O custo por metro desta perda, Cp, e inversamente proporcional aarea da secao reta, A, do fio. Depois de alguns testes o departamento de engenharia chegou aos seguintes dados:

Cp (R$) A (mcm2)0,2385 105

(b) Usando estes dados, ache uma equacao para Cp.

(c) Defina o custo por metro de cabo adquirido, como funcao da sua secao reta A. Ache a secao reta Amin, emmcm2, que minimiza o custo. Determine este custo mınimo C(Amin)

Etapa II: Determinar o caminho de custo mınimo e o seu comprimento

O custo total de instalacao do cabo, Ci, e dado por Ci = 0, 75w + 2, 25x, onde w e a distancia percorrida nareserva florestal e x a distancia atraves da propriedade particular.

(d) Usando os dados fornecidos, expresse w como uma funcao de x.

(e) Minimize Ci em relacao a x, especificando o intervalo de variacao de x.

(f) Com o valor de x, que fornece o menor custo de instalacao, ache w e o comprimento total L = w + x do cabo.

Etapa III: Calcular o custo total do projeto

(g) Combine os resultados das Etapas I e II e ache o custo total mınimo do projeto.

Etapa Final: Relatorio

(h) Envie um relatorio com as suas conclusoes e o custo mınimo estimado do projeto ao diretor da companhia.Observacao: Um relatorio mınimo deve incluir respostas justificadas as questoes propostas e um grafico mos-trando o percurso mınimo que voce encontrou.

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Capıtulo 19

Funcoes Inversas e suas Derivadas

19.1 Motivacao

Muitas obras de arte expostas em museus precisam ser protegidaspor medidas de seguranca especiais para impedir atos de vanda-lismo. Suponha que se deseja colocar uma corda de isolamentoparalela a parede onde um quadro famoso esta exposto. Calculeo angulo α de visao de um observador junto a corda em funcao dadistancia x da corda a parede. Considere que a altura media (a)dos visitantes e de 1,70 m, a distancia da base do quadro ao solo(b) e de 2,70 m e que a altura do quadro (c) e de 3 m, conformemostra o esquema ao lado.

α

x

c

b

a

Este calculo e importante para se determinar a distancia da corda de isolamento que permita um angulo maximode visao ao observador.

De acordo com o nosso conhecimento de funcoes trigonometricas, as grandezas estao relacionadas pelo seguintesistemas de equacoes

tg(α+ β) =c+ d

x

tg(β) =d

x

Para resolver o problema proposto, e necessario determinar o valor de um angulo sabendo-se o valor do seu senoou do seu cosseno ou a da sua tangente, isto e, conhecendo-se x encontrar α, tal que, por exemplo, sen(α) = x. Istoequivale a achar uma funcao g tal que g(x) = α.

Em muitas situacoes praticas, como a do problema anterior, e preciso refazer uma sequencia de passos desfazendoo que foi feito em cada etapa, na ordem inversa. A seguir sao dados outros exemplos em que este procedimento eusado:

1. Qual o numero que multiplicado por cinco e somado com tres e igual a 18?

2. Qual o numero positivo que elevado ao quadrado e igual a 4?

3. Se um trem se movimenta com velocidade constante v em um trecho reto de uma estrada de ferro, sua posicaoem cada instante de tempo t e dada pela equacao s = v t+ s0, onde s0 representa a posicao do trem no momentoem que se iniciou a contagem do tempo. Voce e capaz de achar a expressao que define t como uma funcao des? (Para o chefe da estacao, as duas informacoes sao importantes, a primeira para que ele possa programar aspartidas dos trens que saem de sua estacao em sentido contrario, e a segunda para informar a hora de embarqueaos que desejam viajar.)

O problema acima e equivalente a: sendo dada uma funcao arbitraria y = f(x), determinar x como funcao de y,isto e, a partir da funcao y = f(x), determinar x = g(y). Neste caso, dizemos que f e g sao funcoes inversas. Osexemplos estudados na proxima secao determinam as condicoes necessarias a resolucao de problemas deste tipo.

242

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W.Bianchini, A.R.Santos 243

19.2 Funcoes inversas

Considere as funcoes s(x) = x2 e f(x) = x3 e seus respectivos graficos:

0

20

40

60

80

100

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x–30

–20

–10

0

10

20

30

y

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

A funcao f(x) = x3 goza das seguintes propriedades:

1. Cada reta horizontal corta o grafico de f no maximo uma vez (veja o grafico a esquerda, a seguir).

2. Para cada numero y no conjunto imagem de f , a equacao y = f(x) = x3 tem exatamente uma solucao (veja ografico a direita). Por exemplo, tomando-se y = −8, temos −8 = x3 ⇔ x = −2, e mais geralmente, y = x3 ⇔x = y

13 .

–30

–20

–10

0

10

20

30

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10

–30

–20

–10

0

10

20

30

y

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

3. Se voce refletir o grafico de f em relacao a diagonal principal, o novo conjunto obtido e o grafico de uma funcao.Em verdade, e o grafico da funcao g(x) = x

13 .

–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x

Neste caso, dizemos que x = (f−1)(y) = g(y). As funcoes f e g sao ditas inversas.

Alem disso, como g deve “desfazer ou anular” o efeito de f , temos tambem que

(f g)(y) = y, qualquer que seja y no domınio de g e(g f)(x) = x, qualquer que seja x no domınio de f .

Vamos examinar agora a funcao s(x) = x2. Esta funcao nao goza de nenhuma das propriedades enunciadas acimapara a funcao f , a saber:

1. Retas horizontais cortam duas vezes o grafico de s.

2. Para y > 0, a equacao y = x2 tem duas solucoes: x =√y e x = −√y. Veja as figuras:

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244 Cap. 19 Funcoes Inversas e suas Derivadas

0

2468

1012141618202224262830

y

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x 0

2

4

6

8

10

y

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

3. Se voce refletir o grafico de s em relacao a diagonal principal, o novo conjunto de pontos obtido nao e o graficode nenhuma funcao, pois retas verticais interceptam este grafico duas vezes.

–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x

As observacoes anteriores permitem concluir que esta funcao nao e invertıvel.

Se voce raciocinar um pouco chegara a conclusao de que as tres condicoes enunciadas sao equivalentes. Neste caso,dizemos que a funcao e biunıvoca .

Definicao 1

Uma funcao f e dita biunıvoca quando uma reta horizontal cortar o seu grafico em apenas um ponto, ou, equiva-lentemente, quando a equacao y = f(x) tiver uma unica solucao.

Esta condicao pode ser expressa em termos algebricos da seguinte maneira:

Definicao 1’

Sejam x1 e x2 no domınio de f , tais que x1 6= x2. Dizemos que f e biunıvoca se f(x1) 6= f(x2).

Assim, se uma funcao f e biunıvoca, a equacao y = f(x) pode ser resolvida para x, ou seja, e possıvel determinara funcao g tal que x = g(y). Neste caso, f e invertıvel e g e a funcao inversa de f .

Definicao 2

Uma funcao f , biunıvoca, e tambem invertıvel e sua inversa e uma funcao g calculada da seguinte maneira:

x = g(y)⇔ y = f(x) .

Repare que o domınio de g e a imagem de f e a imagem de g e o domınio de f .

Para a funcao f(x) = x3, temos y = f(x) ⇔ y = x3 ⇔ x = y13 . Assim, a inversa da funcao f(x) = x3 e a funcao

g(x) = x13 . Como seria de se esperar, o procedimento inverso de “elevar ao cubo” e “extrair a raiz cubica”.

Se f e g sao funcoes inversas, a definicao acima nos diz que o ponto (x, y) esta no grafico de f se, e somente se, oponto (y, x) esta no grafico de g. Vamos interpretar geometricamente esta informacao:

A reta y = x e formada pelos pontos que tem abscissa igual a ordenada. Assim, dado um ponto qualquer (x, y) doplano, o ponto (y, x) e o seu simetrico, isto e, a sua imagem espelhada em relacao a esta reta. Em outras palavras, areta y = x e a mediatriz do segmento que liga (x, y) a (y, x). (Veja o grafico a esquerda.) Assim, podemos obter ografico de uma funcao a partir do grafico da sua inversa e vice-versa, refletindo cada um dos pontos de um dos graficosem relacao a reta y = x (observe o grafico a seguir, a direita).

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W.Bianchini, A.R.Santos 245

(y,x)

(x,y)

0

1

2

3

1 2 3x–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x

Como vimos, a funcao s(x) = x2, definida em toda a reta nao e biunıvoca, portanto, nao tem inversa. No entanto,se restringirmos o domınio dessa funcao ao intervalo [0,+∞), esta nova funcao e biunıvoca e a reflexao do seu graficoem relacao a reta y = x da origem ao grafico de uma outra funcao que sera a sua inversa. Esta inversa e a raizquadrada positiva, porque se x ≥ 0,

y = x2 ⇔ x =√y.

Assim, a funcao g(x) =√x e a inversa de f(x) = x2, com domınio restrito a [0,+∞), como mostra o grafico:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x

Este mesmo raciocınio pode ser empregado para achar inversas das demais funcoes potencias positivas, restritasao intervalo [0,+∞).

19.3 Derivada da funcao inversa

O objetivo desta secao e deduzir uma maneira de calcular a derivada da inversa de uma funcao derivavel f . Para issovamos raciocinar geometricamente. Considere um ponto (x1, y1) do grafico de f−1. O ponto correspondente no graficode f e o ponto (y1, x1). E inteiramente razoavel supor que, se o grafico de f tem uma tangente, nao-vertical, no ponto(y1, x1), entao o grafico obtido pela reflexao deste ultimo em torno da reta y = x tem uma tangente, nao-vertical, em(x1, y1), e a tangente do grafico refletido e a reflexao da tangente ao grafico original, como ilustra a figura a esquerda.A declividade da reta original e dada por m1 = d−b

c−a . A declividade da reta refletida e m2 = c−ad−b . Consequentemente,

m2 = 1m1

, se m1 6= 0. Veja o grafico a direita.

(y1,x1)

(x1,y1)

x1

(c,d)

(a,b)

(d,c)

(b,a)

Vamos retornar agora a funcao f e a sua inversa f−1. Suponha que f tenha uma reta tangente com declividadem2 6= 0 em (y1, x1). Entao, a declividade da reta tangente a f−1, em (x1, y1) e 1

m2. Mas, m2 = f ′(y1) e y1 = f−1(x1).

Consequentemente,

m2 = f ′(f−1(x1))⇒ m1 =1

f ′(f−1(x1)).

Mas m1 e precisamente o valor da derivada de f−1 em x = x1. Assim, obtemos a formula:

(∗) (f−1)′(x1) =1

f ′(f−1(x1))

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246 Cap. 19 Funcoes Inversas e suas Derivadas

e esta formula vale qualquer que seja o ponto x = x1 do domınio de f−1, tal que o denominador da fracao acima sejadiferente de zero. Uma vez que se saiba isto, a formula acima pode ser deduzida como uma aplicacao simples da regrada cadeia. Como f e f−1 sao funcoes inversas, temos f(f−1(x)) = x. Usando a regra da cadeia para derivar estaequacao, obtemos f ′(f−1(x)) [Df−1(x)] = 1, e daı segue a formula (*). Esta segunda maneira de deduzir a formula(*) e mais facil de usar que a propria formula. Vamos exemplificar com alguns casos que ja conhecemos.

Exemplo 1 A funcao raiz cubicaA funcao raiz cubica f(x) = x( 1

3 ) satisfaz a equacao

(1) (f(x))3 = (x13 )

3= x.

(Repare que com isto estamos afirmando que f e a funcao inversa de g(x) = x3.)Derivando a equacao (1), obtemos

3 f2 f ′ = 1

e daı vem que

f ′(x) =1

3 f2(x)=

1

3x23

=x−

23

3.

Exemplo 2 A funcao raiz enesimaA funcao f(x) = x

1n , para 0 < x <∞, satisfaz a equacao

[f(x)]n = x, para 0 < x <∞ ,

pois f e definida como sendo a inversa de g(y) = yn, 0 < y < ∞. Supondo que f tem derivada, podemos derivarambos os lados da equacao e obter

n [f(x)](n−1) f ′(x) = 1 , para 0 < x <∞ ,

logo,

f ′(x) =1

n [f(x)](n−1)=

1

nx(n−1n )

=x( 1

n−1)

npara 0 < x <∞

Quando n e ımpar, o mesmo raciocınio se aplica para −∞ < x <∞ e nao somente para 0 < x <∞.A formula deduzida acima conduz diretamente a formula analoga para a derivada de x(mn ). Usando a notacao de

Leibniz, temos

d(x(mn ))

dx=m

nx(mn −1).

Os exemplos acima sugerem que as derivadas das funcoes inversas podem ser facilmente calculadas, mas em cadacaso foi necessario supor, de partida, que a derivada existia. Esta hipotese e justificada pelo teorema a seguir, quemostra que, em todos os casos razoaveis, a funcao inversa realmente possui derivada.

Teorema da funcao inversaSuponha que o domınio de g e um intervalo aberto I e que(i) g′(y) > 0 para todos os pontos y em I ou(ii) g′(y) < 0 para todos os pontos y em I.Entao, g e biunıvoca (o que implica que g tem uma inversa), e a sua inversa f tem derivada em todos os pontos do

seu domınio. Alem disso,

f ′(x) =1

g′(f(x)).

Observacao: A demonstracao desse teorema e complicada, mas, como ja vimos antes, geometricamente e facilobservar que o resultado e verdadeiro. Se g′(y) > 0 ou (g′(y) < 0), para todos os y em I a funcao g e crescente (ou

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W.Bianchini, A.R.Santos 247

decrescente) e possui uma tangente nao horizontal em todos os pontos deste intervalo, cuja inclinacao e dada por g′.O grafico refletido tera, portanto, uma tangente nao-vertical, e a inclinacao desta tangente fornece o valor de f ′.

Para calcular a derivada da inversa de uma funcao, procedemos como nos exemplos dados, simplificando, no passofinal, a expressao g′(f(x)). Os detalhes desta simplificacao dependem da funcao que esta sendo derivada.

19.4 As funcoes trigonometricas inversas e suas derivadas

Nenhuma funcao trigonometrica e invertıvel, pois, como estas funcoes sao periodicas, retas horizontais cortarao seugrafico um numero infinito de vezes. Assim, dado um numero entre [−1, 1], a equacao x = sen(θ) tem uma infinidadede solucoes. Veja esta afirmacao ilustrada no grafico da funcao seno.

> plot([sin(x),0.5],x=-30..30);

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–30 –20 –10 10 20 30x

No entanto, como no caso da funcao f(x) = x2, podemos restringir o domınio das funcoes trigonometricas de talmodo que elas sejam invertıveis em algum intervalo.

19.4.1 As funcoes arcsen(x) e arccos(x)

Define-se o valor principal da funcao seno como sendo a restricao do seno ao intervalo [−π2 ,π2 ]. Continuamos

denotando esta funcao por seno (sen).

A funcao valor principal do seno tem uma inversa (por que?) que vamos chamar de arco seno (arcsen). Assim,

y = arcsen(x)⇔ x = sen(y).

• Qual o domınio da funcao arco seno? Qual a sua imagem?• Qual o valor de arcsen( 1

2 )? E de arcsen(−1)?

Repare abaixo o grafico da funcao arcsen(x), obtido a partir de uma reflexao em relacao a diagonal principal dografico da funcao y = sen(x), definida no intervalo [−π2 ,

π2 ].

> plot(arcsin(x),x=-1..1,scaling=constrained);

–1.5

–1

–0.5

0.5

1

1.5

–1 –0.5 0.5 1x

De maneira analoga, definimos o valor principal do coseno como sendo a restricao do cosseno ao intervalo [0, π], aqual continuamos chamando de coseno. Esta funcao e invertıvel e sua inversa denotada por arccos(x ) .

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248 Cap. 19 Funcoes Inversas e suas Derivadas

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

Cos(x)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

arccos(x)

Vamos agora calcular as derivadas das funcoes arcsen e arccos.Pelo teorema da funcao inversa,

arcsen′(x) =1

cos(arcsen(x))para todo x em (−1, 1).

Seja arcsen(x) = θ. Sabemos que

cos(θ) = ±√

1− sen2 θ = ±√

1− [sen(arcsen(x))]2 = ±√

1− x2.

Como para −π2 < θ < π2 , cos(θ) > 0, tem-se

arcsen′(x) =1√

1− x2para x ∈ (−1, 1).

Note que, para x ∈ (−1, 1), arcsen′(x) e sempre positiva, como o grafico dessa funcao mostrava que deveria ser.Nos pontos extremos deste grafico as tangentes sao verticais.

De maneira semelhante prova-se que arccos′(x) = − 1√1−x2

, para x ∈ (−1, 1). Esta derivada e negativa, como o

grafico do arco cosseno indicava.

19.4.2 As funcoes arctg(x) e arcsec(x)

Define-se o valor principal da funcao tangente como sendo a restricao da tangente ao intervalo (−π2 ,π2 ).

Continuamos denotando esta funcao por tangente (tg).

A funcao valor principal da tangente tem uma inversa (por que?) que vamos chamar de arco tangente (arctg) .Assim

y = arctg(x)⇔ x = tg(y)

• Qual o domınio da funcao arco tangente? Qual a sua imagem?• Qual o valor de arctg(1)? E de arctg(−1)?

Observe os graficos das funcoes tg(x) e arctg(x).

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

–1.5 –1 –0.5 0.5 1 1.5x

Tg(x)

–1.2

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

–3 –2 –1 1 2 3x

arctg(x)

• Quais sao as assıntotas horizontais ao grafico dessa funcao?Da mesma forma que nos casos anteriores, vamos calcular a derivada da funcao arctg. Pelo teorema da funcao

inversa,

arctg′(x) =1

[sec(arctg(x))]2para todo x real.

Page 265: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 249

Seja θ = arctg(x). Como sec2 θ = 1 + tg2 θ,

[sec(arctg(x))]2 = 1 + [tg(arctg(x))]2 = 1 + x2

Logo,

arctg′(x) =1

1 + x2para todo x real.

Para a funcao secante, a situacao e um pouco pior. Examine o grafico desta funcao:

–4

–2

0

2

4

y

–6 –4 –2 2 4 6x

Em primeiro lugar, e preciso escolher um intervalo apropriado onde esta funcao tenha inversa e, portanto, sejapossıvel aplicar o teorema da funcao inversa para calcular a sua derivada. O grafico da secante consiste de variaspartes as quais o teorema se aplica, por exemplo, uma para 0 < θ < π

2 e outra para π2 < θ < π. Consideraremos o

primeiro intervalo e definiremos uma nova funcao g como a restricao da secante ao intervalo (0, π2 ), isto e,

g(θ) = sec(θ), para 0 < θ <π

2.

Como g′(θ) = sec(θ) tg(θ), temos que para 0 < θ < π2 , g′(θ) > 0, e o teorema da funcao inversa garante que a funcao

inversa de g, que designaremos por arcsec(x ), tem derivada e que

arcsec′(x) =1

sec(arcsec(x)) tg(arcsec(x)).

Ja sabemos que sec(θ) = x. Precisamos simplificar o fator tg(arcsec(x)). Para isso, como das outras vezes, vamoschamar arcsec(x) = θ. Usando a igualdade sec2 θ = tg2 θ + 1, temos que tg(arcsec(x)) = ±

√x2 − 1. Como 0 < θ < π

2 ,vemos que tg(θ) = tg(arcsec(x)) > 0. Portanto, podemos abandonar o radical negativo. Assim,

arcsec′(x) =1

x√x2 − 1

, para 1 < x <∞.

Refazendo os calculos acima, considerando agora g(θ) = sec(θ) para π2 < θ < π, obtemos

arcsec′(x) =1

(−x)√x2 − 1

, para −∞ < x < −1.

Combinando estes dois resultados, obtemos uma funcao cujo domınio consiste nos dois intervalos (−∞, −1) e(1, ∞). Veja o seu grafico:

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

Observe que o termo 1√x2−1

nao esta definido para |x | ≤ 1. Para x = 1 e x = −1, o grafico da funcao arcsec(x )

apresenta uma tangente vertical e, portanto, a derivada nao existe nestes pontos. Para x < −1 e x > 1, podemoscombinar os dois resultados obtidos acima e escrever que

arcsec′(x) =1

|x |√x2 − 1

.

Page 266: texto completo em PDF

250 Cap. 19 Funcoes Inversas e suas Derivadas

Exemplo 3 Retornando ao problema da corda de isolamento de um quadro, tınhamos que

tg(α+ β) =c+ d

x

e

tg(β) =d

x.

Assim, α, que e o angulo que queremos tornar maximo, pode ser expresso como

α = arctg(c+ d

x)− arctg(

d

x).

Substituindo os valores de c e d, derivando esta funcao e igualando o resultado a zero, obtemos:

> f:=x->arctan(4/x)-arctan(1/x):

> g:=diff(f(x),x);

g := − 4

x2 (1 +16

x2)

+1

x2 (1 +1

x2)

> g1:=simplify(g);

g1 := −3x2 − 4

(x2 + 16) (x2 + 1)

> solve(g1=0,x);

2, −2.

Como x e a distancia da parede ao observador, podemos desprezar a raiz negativa. Vamos agora usar o testeda derivada primeira para comprovar que este e o ponto de maximo procurado. Como o denominador da expressao

− 3 (x2−4)(x2+16) (x2+1) e sempre positivo, o sinal da derivada depende do termo −3x2 + 12. Como −3x2 + 12 > 0 para

x < −2 e −3x2 + 12 < 0 para x > 2, concluımos, imediatamente, que no ponto x = 2 o angulo α atinge o seu maximoabsoluto. Devemos, portanto, colocar a corda de isolamento a dois metros da parede onde o quadro esta pendurado.

19.5 Exercıcios

1. Considere a funcao dada pela tabela:

x -1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0f(x) 0,1 0,12 0,15 0,2 0,25 0,31 0,39 0,5 0,6 0,7 1

(a) Determine o domınio e a imagem de f .

(b) Construa a tabela da funcao g inversa de f.

2. (a) Mostre que f(x) = 3x− 5 e invertıvel e ache sua inversa g. Calcule f(g(x)) e g(f(x)).

(b) Calcule a funcao g(x) inversa de f(x) = 2 x+1x+1 . Verifique que f(g(x)) = g(f(x)) = x.

(c) De um modo geral, se a, b, c, d sao constantes tais que ad − bc 6= 0 e f(x) = ax+bcx+d , existe uma funcao

g(x) = αx+βγ x+δ tal que f(g(x)) = g(f(x)) = x. Calcule as constantes α, β, γ, δ em funcao de a, b, c, d. Por

que a condicao ad − bc 6= 0 e necessaria? Qual a relacao existente entre f e g?

3. Ache expressoes algebricas para as seguintes funcoes, especificando o seu domınio:

(a) sen(arctg(x )) (b) tg(arcsen(x )) (c) cos(arctg(x ))

Page 267: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 251

19.6 Problemas propostos

1. Prove que cada uma das funcoes dadas abaixo e invertıvel no intervalo considerado. Deduza a formula para aderivada da sua inversa e esboce o grafico desta inversa especificando o seu domınio.

(a) g(θ) = cotg(θ), 0 < θ < π. (b) g(θ) = cossec(θ) 0 < | θ | < π2 .

2. Determine a equacao da reta tangente ao grafico de uma funcao f no ponto (2, f(2)), sabendo que f(2) = 7 eD(f−1)(7) = 8.

3. Seja f(x) =√x3 + 3 para 0 < x < ∞. Usando o teorema da funcao inversa, mostre que f e invertıvel e calcule

(f−1)′)(2). Encontre a equacao da reta tangente ao grafico de f−1 no ponto (2, 1).

4. Seja a funcao f(x) = x5 + x3 + 3x.

(a) Em que conjunto a funcao admite inversa? Justifique.

(b) Determine (f−1)′(5).

5. Use o teorema da funcao inversa para mostrar que f(x) = (x5 + 7)13 , x > 0 e invertıvel e calcule (f−1)′(2).

Encontre uma equacao da reta tangente ao grafico de f−1 no ponto (2, 1).

6. Seja f(x) = arctg(x3

3 − x), x > 1.

(a) Usando o teorema da funcao inversa, mostre que f e invertıvel e calcule D(f−1)(0).

(b) Encontre uma equacao da reta tangente ao grafico de f−1 no ponto (0, f−1(0)).

7. Use o teorema da funcao inversa para mostrar que f(x) = arctg(x2 − 1), x > 0 e invertıvel e calcule D(f−1)(π4 ).

19.7 Para voce meditar: Inversas?

Vimos que se f e g sao funcoes inversas, entao f(g(x)) = x e g(f(x)) = x. Observe os graficos das funcoes sen(arcsen(x ))e arcsen(sen(x )):> plot(sin(arcsin(x)),x=-10..10);

–10

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

10

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

> plot(arcsin(sin(x)),x=-10..10);

–1.5

–1

–0.5

0.5

1

1.5

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

1. Observando os graficos acima, e possıvel concluir que se g e f sao funcoes inversas tem-se que f(g(x)) = x eg(f(x)) = x?

2. Para que valores de x valem essas identidades?

3. Qual o domınio da funcao arcsen(sen(x))?

4. Em que intervalo essa funcao coincide com a funcao h(x) = x?

5. Em que intervalos a funcao y = sen(x) e invertıvel?

6. Trace os graficos de arcsen(sen(x)) e sen(arcsen(x)) e explique a diferenca para o exemplo anterior.

7. Faca essa mesma analise para os pares de funcoes abaixo:

(a) arccos(x) e cos(x) (b) arctg(x) e tg(x) (c) x2 e√x .

Page 268: texto completo em PDF

252 Cap. 19 Funcoes Inversas e suas Derivadas

8. Para que valores de x e possıvel calcular arcsen(sen(x)).

9. Explique por que arcsen(sen(π3 )) = arcsen(sen(2π3 )).

10. O que se pode afirmar a respeito do valor de arcsen(sen(x+ 2π))?

11. Calcule essa funcao nos seguintes casos:

(a) para x em [−π2 ,π2 ] . (b) para x em [π2 ,

3π2 ] .

(c) para x em [(2 k − 12 )π, (2 k + 1

2 )π] onde k e um inteiro qualquer.

(d) para x em [(2 k + 12 )π, (2 k + 3

2 )π] onde k e um inteiro qualquer.

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Capıtulo 20

Acrescimos, Diferenciais e Aproximacaopela Reta Tangente

20.1 Introducao

Como ja vimos, a derivada f ′(x) de uma funcao y = f(x) pode ser definida como

f ′(x) = lim∆ x→0

∆ y

∆x,

onde ∆x e uma variacao nao-nula na variavel independente x, e ∆ y = f(x+ ∆x)− f(x) e a variacao correspondenteem y. No Cap.9 , introduzimos a notacao de Leibniz dy

dx para a derivada da funcao y = f(x) e enfatizamos que esta

notacao era apenas um sımbolo e nao uma fracao. No entanto, e verdade que dydx parece uma fracao, e em alguns

contextos funciona como tal.O exemplo mais importante disto se da na regra da cadeia, que, usando-se a notacao de Leibniz, pode ser enunciada

da seguinte maneira:dy

dt=

dy dx

dx dt.

Neste caso, a formula correta para a derivada de uma funcao composta y(x(t)) parece ser obtida cancelando-se dxcomo se as derivadas dy

dx e dxdt fossem de fato fracoes.

O objetivo deste capıtulo e dar significado aos termos dy e dx, de tal modo que o seu quociente seja a derivadaf ′(x). Para isso e preciso estabelecer a relacao entre o acrescimo ou incremento ∆ y e a derivada (taxa de variacao) dafuncao f . Neste capıtulo, daremos uma resposta aproximada para esta questao. A resposta exata para esta perguntae dada pelo teorema do valor medio.

20.2 Aproximacao pela reta tangente

Seja f uma funcao derivavel definida num intervalo fechado [a, b]. O problema que se coloca e como estimar, demaneira rapida e simples, a variacao ocorrida em y = f(x), quando x varia de um certo valor original x0 para umnovo valor x0 + ∆x. O valor exato desta variacao, como sabemos, e o incremento correspondente em y, dado por∆ y = f(x0 + ∆x)− f(x0), como mostra a figura abaixo.

x∆

y∆

xo x

Nem sempre e possıvel calcular exatamente este valor. Por exemplo, seja f(x) =√

1 + x. Para calcular a variacaoocorrida em y = f(x), quando x varia de zero a 0,05, seria necessario conhecermos o valor exato de

√1, 05. Como

e sempre facil calcular valores de funcoes cujos graficos sao retas (para isto basta saber somar e multiplicar), a ideia

253

Page 270: texto completo em PDF

254 Cap. 20 Acrescimos, Diferenciais e Aproximacao pela Reta Tangente

e comparar a variacao efetiva ∆ y com a alteracao que ocorreria no valor de y se a funcao f continuasse a variar ataxa fixa f ′(x0), enquanto a variavel independente passasse de x0 para x0 + ∆x, isto e, aproximar a variacao ocorridanos valores de y pela variacao correspondente ocorrida sobre a reta tangente a curva y = f(x ). Esta variacao, quenotaremos por dy, e chamada de diferencial de y. (Veja a figura abaixo.)

y+dy

dy

x∆

y∆

y

xo

y∆y+

x

A diferencial de y e, portanto, a variacao ocorrida na altura de um ponto que se move ao longo da reta tangente acurva y = f(x), quando x varia de x0 a x0 + ∆x, e e dada por dy = f ′(x)∆x. Quando ∆x e pequeno, a diferencialdy e uma “boa” aproximacao para o incremento ∆ y. Na figura acima, o erro que cometemos ao aproximarmos ∆ ypor dy e a diferenca entre ∆ y e dy. Observe, no diagrama abaixo, como este erro diminui a medida que ∆x tende azero.

Assim, quando ∆x e pequeno, temos que ∆ y ≈ dy . Lembrando que ∆ y = f(x0 + ∆x) − f(x0) e dy = f ′(x0) ∆x,tem-se que f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f ′(x0) ∆x. Como ∆x = x− x0, tem-se ainda que

f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x− x0), (20.1)

e esta aproximacao sera tanto melhor quanto mais perto x estiver de x0. Repare que o lado direito da expressao acimarepresenta a equacao da reta tangente a curva y = f(x) no ponto (x0, f(x0)). Por isso, dizemos que a reta tangente euma boa aproximacao da funcao f para valores proximos ao ponto de tangencia, ou que esta e a aproximacao linearda funcao f na vizinhanca do ponto x = x0.

Vamos usar o resultado obtido acima para calcular um valor aproximado para√

25, 4. Para isso consideraremosf(x) =

√x e x0 = 25 (porque 25 e o ponto mais proximo de 25,4 no qual sabemos calcular o valor exato de f(x)).

Neste caso, ∆x = 0, 4, f ′(x0) = 12√

25e a formula acima fornece

√25, 4 = f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f ′(x0) ∆x =

√25 +

0, 4

2√

25= 5, 04.

O valor de√

25, 4 com 9 casas decimais, fornecido pelo Maple e

> sqrt(25.4);

5.039841267

Consequentemente, o erro E da nossa aproximacao e dado por

> E=abs(sqrt(25.4)-5.04);

E = .000158733

que nao e de todo mal. Lembre-se de que a aproximacao acima so deve ser “boa” quando ∆x for muito pequeno e∆x = 0, 4 nao e muito pequeno. Se usarmos ∆x = 0, 1, obteremos

√25, 1 ≈ 5, 01, e o erro neste caso sera dado por

Page 271: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 255

> E=abs(sqrt(25.1)-5.01);

E = .9980 10−5

Define-se o erro absoluto em um valor medido ou aproximado como a diferenca entre o valor aproximado e o valorverdadeiro. O erro relativo ou medio e a razao entre o erro absoluto e o valor verdadeiro. Assim, nos dois exemplosanteriores os respectivos erros relativos de

∆x

x=

0, 4

5= 0, 08 = 8%

e de∆x

x=

0, 1

5= 0, 02 = 2%

em x conduzem a um erro relativo no valor estimado de

> E[r]=abs(sqrt(25.4)-5.04)/sqrt(25.4);

Er = .00003149563480

e de

> E[r]=abs(sqrt(25.1)-5.01)/sqrt(25.1);

Er = .1992019936 10−5

isto e, 0,003% e 0,0001%, respectivamente.E natural perguntar por que a aproximacao

dy = f ′(x0) ∆x

e tao boa, como ficou mostrado nos exemplos acima.Como vimos no diagrama anterior, quanto menor for ∆x, mais proximos da reta tangente estarao os pontos

correspondentes na curva y = f(x). A diferenca entre as alturas de dois desses pontos para uma determinada escolhade ∆x e dada por ∆ y − dy e concluımos que ∆ y − dy tende para zero quando ∆x e pequeno. Na realidade, adiferenca ∆ y − dy e pequena, mesmo em comparacao com ∆x. Para mostrar esta afirmacao, basta observar que

∆ y − dy

∆x=f(x+ ∆x)− f(x)

∆x− f ′(x) = E(∆x) ,

portanto, lembrando a definicao de derivada, podemos concluir que o erro relativo e uma funcao de ∆x que se aproximade zero quando ∆x tende a zero. Assim, quando ∆x tende a zero, o erro na aproximacao ∆ y ≈ dy nao e simplesmentepequeno, mas duplamente pequeno, pois ∆ y − dy = E(∆x) ∆x e um multiplo pequeno de um numero pequeno, istoe, muito, muito pequeno.

20.3 Diferenciais e funcoes diferenciaveis

Costuma-se definir dx = ∆x escrevendo-se, entao, a formula 20.1 como:

f(x0 + dx) ≈ f(x0) + f ′(x0) dx .

Neste caso, dx e uma variavel independente, chamada diferencial de x. Definem-se, assim, as diferenciais de x e de ycomo

dx = ∆x

edy = f ′(x) ∆x = f ′(x) dx.

Alem disso, dizemos que uma funcao e diferenciavel em x0 quando existe uma funcao linear K e uma funcao E,definida na vizinhanca de x0, tais que

∆ f = K(∆x) + ∆xE(∆x)

onde

lim∆ x→0

E(∆x)

∆x= 0 .

Page 272: texto completo em PDF

256 Cap. 20 Acrescimos, Diferenciais e Aproximacao pela Reta Tangente

Como neste contexto as funcoes lineares K sao da forma K(∆x) = m∆x, onde m e uma constante, pelo que vimosneste capıtulo m = f ′(x0), e a igualdade acima significa dizer que a funcao f pode ser aproximada, localmente, pelareta tangente. Por causa desta propriedade, estas funcoes sao ditas localmente lineares. No caso em estudo, dizer queuma funcao e diferenciavel e equivalente a dizer que a funcao e derivavel.

Da definicao de diferenciais, decorre, imediatamente, que

dy

dx= f ′(x)

dx

dx= f ′(x).

Note que a expressao acima mostra que a derivada de uma funcao, de acordo com a notacao de Leibniz queutilizamos ate agora, e realmente a razao entre duas quantidades: as diferenciais dy e dx.

Na realidade, Leibniz concebeu a notacao diferencial visualizando incrementos “infinitesimais” dx e dy, cuja razaodydx seria o coeficiente angular da reta tangente a curva y = f(x), como mostra a figura a esquerda.

A chave da descoberta de Leibniz na decada de 1670 foi o seu entendimento de que, se dy e dx forem suficientementepequenos (infinitesimais), entao o segmento da curva y = f(x) e o segmento de reta que une os pontos (x, y) e(x+ dx, y + dy) serao virtualmente indistinguıveis, como mostra a ampliacao a direita.

dy

dx

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

0.92 0.96 11.02 1.06 1.1 1.14 1.18x

A notacao diferencial nos fornece uma forma conveniente de escrever formulas para derivadas. Por exemplo, asregras da soma, do produto e do quociente de duas funcoes u e v podem ser escritas, respectivamente, como:

d(u+ v) = du+ dv

d(uv) = u dv + v du

d(u

v) =

v du − u dv

v2.

Alem disso, se u = f(x) e v = g(u), como dv = g′(u) du e du = f ′(x) dx, obtem-se

dv = g′(u)f ′(x)dx = g′(f(x))f ′(x)dx.

Assim, a regra da cadeia pode ser obtida como se fosse o resultado de manipulacoes puramente algebricas da notacaopara diferenciais.

O metodo das diferenciais e util, em particular, na derivacao implıcita. Suponha, por exemplo, que y seja umafuncao derivavel de x, que satisfaca a relacao x2 y3−2x y+5 = 0. Podemos usar diferenciais para achar uma expressaopara dy

dx . Assim, calculando a diferencial de cada termo da equacao e usando as regras de derivacao, temos

2x y3 dx + x2 3 y2 dy − 2 ydx − 2 xdy = 0

e daı

(3x2 y2 − 2x) dy = (2 y − 2x y3) dx

o que conduz ao resultado

dy

dx=

2 y − 2 xy3

3x2 y2 − 2x.

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W.Bianchini, A.R.Santos 257

20.4 Exercıcios

1. Nos itens abaixo, determine a aproximacao linear para a funcao dada na vizinhanca de um ponto x0 = 0:

(a) f(x) =√

1 + x

(b) f(x) = (1 + x)2(c) f(x) =

1

1 + x

(d) f(x) =1√

1 + x

(e) f(x) = (1− x)3

(f) f(x) = sen(x)

(g) f(x) = cos(x)

2. Uma formula de aproximacao padrao usada em fısica e dada por sen(x) ≈ x. Esta aproximacao vale quandox ≈ 0. Explique como esta formula esta relacionada com as ideias discutidas nesta secao.

3. Uma outra formula padrao de aproximacao e dada por (1 + nx)n ≈ 1 + nx e vale para pequenos valores de x.Explique a validade desta formula tendo em vista a teoria que desenvolvemos acima.

4. Usando uma aproximacao linear, estime o valor dos seguintes numeros:

(a)√

36, 7

(b) 15( 14 )

(c)√

103

(d) cos(430)

(e) sen(0, 5432)

(f) sen(880)

20.5 Problemas

1. Mede-se o raio de uma bola esferica, obtendo-se 10 cm, com erro maximo de 110 cm. Qual e o erro maximo

resultante no calculo do volume desta bola? Com que precisao se deve medir o raio da bola para assegurar umerro maximo de 1 cm3 no calculo do volume?

2. A lei da gravitacao de Newton afirma que a forca F de atracao entre duas partıculas de massas m1 e m2 e dadapor F = gm1m2

s2 , onde g e uma constante e s e a distancia entre as partıculas. Se s = 20 cm, use diferenciaispara obter uma aproximacao da variacao em s que aumente F em 10%.

3. A Lei de Boyle afirma que, entre a pressao p e o volume v de um gas confinado, existe a relacao p v = c, onde ce uma constante. Mostre que entre dp e dv existe a relacao pdv + vdp= 0.

4. O raio equatorial da Terra e de aproximadamente 6378 km. Imagine um fio firmemente enrolado ao longo doequador terrestre. De quanto se deve aumentar o fio para que ele possa dar a volta a Terra, fixado no topo depostes de 10 metros de altura acima do solo?

20.6 Um pouco de historia: Os mitos leibnizianos e o comeco do calculoinfinitesimal

O conceito moderno de limite so apareceu no comeco do seculo XIX, e assim nenhuma definicao de derivada parecidacom a equacao

dy

dx= lim

∆ x→0

∆ y

∆x

era possıvel para Leibniz e seus sucessores.A maior parte do pensamento matematico produtivo desse perıodo estava baseada numa outra forma da nocao

de “infinitamente pequeno”. Leibniz entendia a equacao acima como o quociente de duas quantidades infinitesimais,denotadas por dy e dx e chamadas de diferenciais. Na imaginacao de Leibniz um infinitesimo era uma especie particularde numero que nao era nulo e ainda assim era menor do que qualquer outro numero. Uma versao geometrica dessasideias era aquela em que uma curva era pensada como um conjunto infinito de segmentos de reta infinitamentepequenos. A reta tangente a uma curva era, portanto, uma reta que continha um desses minusculos segmentos. TalvezLeibniz tenha introduzido as diferenciais dx e dy para denotar correspondentes variacoes infinitesimais nas variaveisx e y. Para se ter uma ideia de como essas diferenciais eram usadas, suponha que essas variaveis estejam ligadas pelaequacao y = x2. Leibniz substituiria x e y por x + dx e y + dy para obter

y + dy = (x+ dx )2 = x2 + 2 xdx + dx 2.

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258 Cap. 20 Acrescimos, Diferenciais e Aproximacao pela Reta Tangente

Como y = x2, obteriady = 2 xdx + dx 2.

Neste estagio Leibniz descartava o termo dx 2, e justificava este passo argumentando que o quadrado de um numeroinfinitamente pequeno e “infinitamente infinitamente pequeno” ou um “infinitesimo de ordem superior”, e portantointeiramente desprezıvel. Assim, chegava a formula que conhecemos hoje

dy = 2 xdx ,

que, apos divisao por dx, toma a forma fracionaria

dy

dx= 2x .

Para Leibniz, a derivada era um quociente genuıno, um quociente de infinitesimos, e sua forma de calculo veio aser largamente conhecida como “calculo infinitesimal”.

As ideias de Leibniz funcionaram efetivamente, quase como por milagre, e dominaram o desenvolvimento do Calculoe das Ciencias Fısicas por quase 150 anos. No entanto, essas ideias eram falhas, ja que os infinitesimos, no sentidodescrito acima, claramente nao existem, pois nao existe um numero positivo que seja menor que todos os outrosnumeros positivos. Por todo esse perıodo de tempo, o enorme sucesso do Calculo como instrumento de resolucao deproblemas era obvio para todos, embora ninguem fosse capaz de dar uma explicacao logicamente aceitavel do que era oCalculo. Essa explicacao so foi dada no comeco do seculo XX, pela teoria classica dos limites. Embora os argumentosusados por matematicos como Leibniz, os Bernoulli, Euler, Lagrange e outros nao fossem rigorosos do ponto de vistamoderno, esses pioneiros tiveram profundos sentimentos intuitivos sobre o que era razoavel e correto nos problemasque estudavam e raramente se perdiam nas suas conclusoes. As diferenciais de Leibniz foram eliminadas do Calculopela teoria dos limites; contudo, permanecem como uma parte da historia do desenvolvimento da matematica.

20.7 Projetos

20.7.1 O metodo de Euler e o para-quedista

Como sabemos, a derivada de uma funcao f num ponto x0 determina a declividade da reta tangente a curva y = f(x)no ponto (x0, y0). Nesta secao usamos a reta tangente para estimar valores de f em pontos proximos ao ponto detangencia: para pontos proximos de x0, a diferencial dy e uma boa aproximacao para o valor exato ∆ y e para estimarf(a+ ∆x) por f(a) + f ′(a) ∆x. Esta tecnica e especialmente util quando os valores de f sao difıceis de calcular.A linearidade local das funcoes diferenciaveis tem outra importante aplicacao na resolucao dos problemas de valorinicial. Resolver um problema de valor inicial e encontrar a funcao f ou “reconstruir” o seu grafico conhecendo-se asua derivada f ′(x) e um ponto, o valor inicial, do seu grafico.

O objetivo deste projeto e usar a reta tangente e a linearidade local das funcoes diferenciaveis para resolverproblemas deste tipo.

Vamos primeiro esclarecer o que entendemos por reconstruir f . Em vez de procurarmos uma expressao analıtica(formula) para f , construiremos uma tabela, que fara corresponder a cada valor de x escolhido o respectivo valor def(x). Estas tabelas podem conter quantos pontos quisermos. A escolha do numero de pontos dependera da precisaoexigida para o resultado, do equipamento e tempo disponıveis e da natureza matematica do problema.

Assim, antes de comecar nossos calculos, devemos decidir qual sera o tamanho da tabela a ser construıda. Usu-almente consideramos os valores de x, que vao constituir o total de entradas da tabela, igualmente espacados. Nestecaso, o domınio da funcao (intervalo onde o problema sera resolvido) e o numero de entradas escolhido determinam ovalor de ∆x (distancia entre dois valores consecutivos de x na tabela). A tabela e construıda da maneira descrita aseguir.

A partir do ponto inicial (x0, y0) e conhecendo-se o valor f ′(x0), e possıvel usar a reta tangente para calcular umvalor aproximado de y1 = f(x1), onde x1 = x0 + ∆x e o proximo valor de x para o qual se quer calcular o valor dafuncao, isto e, a proxima entrada da tabela. Como a equacao da reta tangente a curva y = f(x) no ponto (x0, y0) edada por

f(x)− f(x0) = f ′(x0) (x− x0),

um valor aproximado para y1 = f(x1) sera dado por

y1 = f ′(x0) (x1 − x0) + f(x0) = f ′(x0) ∆x+ y0.

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W.Bianchini, A.R.Santos 259

Tendo-se calculado o valor de f(x1) = y1, o par (x1, f(x1)) sera o proximo valor da tabela. Repete-se, entao, o mesmoprocesso tomando-se agora o ponto (x1, f(x1)) como o valor inicial. A partir deste ponto e conhecendo-se o valor def ′(x1) e possıvel usar a reta tangente, como anteriormente, para calcular um novo par (x2, f(x2)), ou seja,

f(x2) = y2 = f ′(x1) ∆x+ f(x1)

que sera acrescentado a nossa tabela. Usamos este novo par (x2, f(x2)) como o novo valor inicial e repetimos todo oprocesso ate preenchermos toda a tabela.

Este metodo de gerar novos valores de f numa tabela seguindo a direcao da reta tangente e conhecido como ometodo de Euler. A figura a seguir ilustra a construcao dos primeiros tres pontos de uma tabela gerada pelo metodode Euler.

m2=Df(x2)

m1=Df(x1)

mo=Df(xo)

(x3,y3)

(x2,y2)

(x1,y1)

(xo,yo)

No grafico a seguir, tracamos a funcao y = x+sen(2x)

2solucao do problema de valor inicial

f ′(x) = 1 + cos(2x)

f(0) = 0

e a solucao aproximada obtida pelo metodo de Euler com o tamanho da tabela determinado pelas seguintes condicoes:

(i) Intervalo onde vai ser determinada a solucao do problema: de x = 0 ate x = 3.

(ii) Numero de entradas na tabela: 51 (50 valores calculados + o ponto inicial).

(iii) Tamanho do passo: ∆x = 3−050 = 0, 06.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3

Vamos resolver o problema de valor inicial f ′(x) = x2 − f(x)2, f(0) = 1 no intervalo [0, 5; 1], passo a passo. Para isso,arbitramos o valor do passo: ∆x = 0, 1. A tabela a ser construıda tera, portanto, 6 entradas: 1 valor inicial + 5valores a serem estimados.

Temos entao que:

> Df:=x->x^2-(f(x))^2;

Df := x→ x2 − f(x)2

> x[0]:=0.5;

x0 := .5

> f(x[0]):=1.0;

f(.5) := 1.0

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260 Cap. 20 Acrescimos, Diferenciais e Aproximacao pela Reta Tangente

> dx:=0.1;

dx := .1

Vamos agora calcular as proximas entradas da tabela:

> x[1]:=x[0]+dx;

x1 := .6

> f(x[1]):=f(x[0])+Df(x[0])*dx;

f(.6) := .925

> x[2]:=x[1]+dx;

x2 := .7

> f(x[2]):=f(x[1])+Df(x[1])*dx;

f(.7) := .8754375

> x[3]:=x[2]+dx;

x3 := .8

> f(x[3]):=f(x[2])+Df(x[2])*dx;

f(.8) := .8477984184

> x[4]:=x[3]+dx;

x4 := .9

> f(x[4]):=f(x[3])+Df(x[3])*dx;

f(.9) := .8399222026

> x[5]:=x[4]+dx;

x5 := 1.0

> f(x[5]):=f(x[4])+Df(x[4])*dx;

f(1.0) := .8503752720

A nossa tabela esta pronta. Basta imprimir os seus valores desta forma:

> tabela:=[seq([x[i],f(x[i])],i=0..5)];

tabela := [[.5, 1.0], [.6, .925], [.7, .8754375], [.8, .8477984184], [.9, .8399222026],

[1.0, .8503752720]]ou desta outra:

> array(1..6,1..2,tabela); .5 1.0.6 .925.7 .8754375.8 .8477984184.9 .83992220261.0 .8503752720

Podemos inclusive tracar o “grafico” da solucao aproximada assim obtida ligando por segmentos de reta os pontoscalculados:

> plot(tabela);

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

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W.Bianchini, A.R.Santos 261

Para “suavizar” esta curva basta aumentarmos o numero de pontos usados na construcao da tabela. Evidentemente,da maneira como calculamos os pontos da tabela, um aumento no numero de pontos ou no tamanho do intervaloconsiderado acarretara um aumento consideravel de trabalho (pelo menos de digitacao de comandos!). Por isso erecomendavel que automatizemos o procedimento, usando a estrutura for .. from .. to .. do ..od: Porexemplo, para estender a solucao do problema ao intervalo [0, 5; 2, 5], o que, com o passo fixado em 0,1, gerara umatabela com 21 entradas, basta calcularmos os valores (xi, f(xi)) da seguinte maneira:

> for i from 0 to 19 do

> x[i+1]:=x[i]+dx;

> f(x[i+1]):=f(x[i])+dx*Df(x[i]);

> od:

> Novatabela:=[seq([x[i],f(x[i])],i=0..20)]:

> array(1..21,1..2,Novatabela);

.5 1.0

.6 .925

.7 .8754375

.8 .8477984184

.9 .83992220261.0 .85037527201.1 .87806146171.2 .92196226871.3 .98096082621.4 1.0537324121.5 1.138697212

1.6 1.2340340781.7 1.3377500671.8 1.4477925431.9 1.5621822182.0 1.6791408902.1 1.7971894772.2 1.9152004752.3 2.0324011892.4 2.1483357302.5 2.262801089

> plot(Novatabela);

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

Ao dar entrada nos valores iniciais nao esqueca de escreve-los na forma decimal (ponto flutuante). O Maple calculade formas diferentes f(1) e f(1.0).

Use o Metodo de Euler para resolver os problemas abaixo:

1. Uma cultura de Paramecium caudatum cresce de acordo com a lei P ′(t) = (1, 2875 − 0, 0061P )P , onde P (t) eo numero de bacterias presentes na colonia em cada instante de tempo t(horas). Sabendo que inicialmente acolonia era composta de 8 bacterias, construa uma tabela com valores estimados de t e P no intervalo [0, 8] efaca um grafico correspondente aos pontos calculados.

2. Um para-quedista pula de um aviao voando a 500 m de altitude e cai livremente durante 5 s (durante estetempo supoe-se desprezıvel a resistencia do ar. Quando seu para-quedas abre, a resistencia do ar e proporcionala velocidade da queda. A partir deste momento, a velocidade da queda e governada pela lei v′(t) = g − 2, 1v(t),onde g e a aceleracao da gravidade. Estime a velocidade de queda do para-quedista quando ele atinge o solo.

20.7.2 Aproximando funcoes por polinomios - O polinomio de Taylor

No Exercıcio 1 deste capıtulo, vimos que a funcao y = x e uma aproximacao linear para a funcao y = sen(x) e queesta e uma boa aproximacao para valores de x proximos de zero. Este fato pode ser visualizado tracando-se na mesmajanela os graficos destas duas funcoes:

> plot([sin(x),x],x=-2*Pi..2*Pi,y=-1..1,color=[red,blue]);

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262 Cap. 20 Acrescimos, Diferenciais e Aproximacao pela Reta Tangente

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

–6 –4 –2 2 4 6x

Na realidade, podemos provar que sen(x) ≤ x para x ≥ 0. Para isso observe que a funcao f(x) = x− sen(x) seanula para x = 0 e e nao decrescente para x ≥ 0, pois a sua derivada f ′(x) = 1 − cos(x) e sempre maior ou igual azero.

1. Usando um raciocınio analogo, mostre que, para x ≥ 0 valem as seguintes desigualdades:

(a) sen(x) + x3

6 − x ≥ 0 (b) −sen(x) + x5

120 −x3

6 + x ≥ 0

Veja estas desigualdades ilustradas no grafico:

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

2. Combine as partes (a) e (b) do item anterior para mostrar que, para x ≥ 0,

x− x3

6≤ sen(x) ≤ x− x3

6+

x5

120.

3. Use a estimativa obtida para mostrar que sen(1) = 201240 com um erro maximo de 1

240 .

4. Observando os graficos tracados, tente determinar para que valores de x o polinomio x− x3

3 fornece uma “boa”

aproximacao para sen(x ). Idem para o polinomio x− x3

3 + x5

120 .

Estimativas deste tipo, envolvendo polinomios, permitem que se calcule valores aproximados para funcoes tri-gonometricas ou exponenciais utilizando-se apenas as quatro operacoes basicas – adicao, subtracao, multiplicacao edivisao. Como, na verdade, estas sao as unicas operacoes que sabemos efetuar, qualquer calculo algebrico deve, emultima analise, se reduzir a estas operacoes. Por isso, estimativas obtidas via polinomios sao frequentemente utiliza-das em calculadoras, computadores e rotinas computacionais para obter valores aproximados de varias funcoes. Porexemplo, quando apertamos a tecla sen na calculadora ou quando utilizamos o comando sin(x) do Maple para calcularo valor da funcao seno no ponto x = 1, o calculo e feito utilizando aproximacoes por polinomios. Note tambem queaproximacoes sao necessarias, pois numeros da forma π ou

√10 nao nos dizem nada, a menos que saibamos calcular

uma estimativa para eles. Por exemplo, nao e claro, a priori, que π <√

10, mas esta desigualdade se torna obviacalculando-se aproximacoes decimais para estes numeros, como e feito a seguir com a ajuda do Maple.

> evalf(Pi);

3.141592654

> sqrt(10.);

3.162277660

O objetivo deste projeto e construir polinomios que fornecam aproximacoes para uma dada funcao. Alem disso, ometodo empregado permitira obter estas aproximacoes com uma precisao prefixada.

Como foi visto neste capıtulo, a reta tangente a curva y = f(x), cuja equacao e dada por T (x) = f ′(x0) (x −x0) + f(x0), se aproxima da curva na vizinhanca do ponto de tangencia (x0, f(x0)). Alem disso, da equacao da reta

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W.Bianchini, A.R.Santos 263

tangente, podemos concluir imediatamente que T (x0) = f(x0) e que T ′(x0) = f ′(x0), isto e, a reta tangente coincidecom a funcao no ponto de tangencia e a inclinacao (derivada) desta reta coincide com a inclinacao (derivada) da curvanaquele ponto. Assim, existe um polinomio de grau um, a saber T1(x ) = C0 − C1 (x− x0), tal que T1(x0) = C0 =f(x0) e T ′1(x0) = C1= f ′(x0), que aproxima a curva para valores de x, proximos ao ponto de tangencia. Veja estaafirmacao ilustrada no grafico:

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4x

Sera possıvel construir polinomios de grau maior do que um que, de alguma maneira, generalize as propriedadesda reta tangente e, portanto, forneca aproximacoes melhores para a funcao y = f(x )? O exemplo estudado no inıciodeste projeto indica que a resposta a esta pergunta e afirmativa. Considere, portanto, um polinomio de grau n,

Tn(x) = C0 + C1 (x− x0) + C2 (x− x0)2 + . . .+ Cn (x− x0)n

A questao que se coloca e como escolher os coeficientes desse polinomio de forma a garantir que Tn(x) esteja proximode f(x). Sabemos responder a esta pergunta quando n = 1. Neste caso, o polinomio T1(x) deve coincidir com areta tangente a curva y = f(x) e, entao, C0 = f(x0) e C1 = f ′(x0). Como queremos estender as propriedades da retatangente a polinomios de grau maior que um, e razoavel supor que, para aproximar a curva na vizinhanca de umponto x0, o polinomio que buscamos deve coincidir com a funcao y = f(x) no ponto x0, e todas as suas derivadas, atea ordem n, calculadas no ponto x = x0, devem coincidir com as derivadas de f , ate a ordem n, respectivamente, nesteponto.

1. Determine as constantes C0, C1, C2 de tal modo que o polinomio de grau dois

T2(x) = C0 + C1 (x− x0) + C2 (x− x0)2,

verifique as seguintes propriedades:

(a) T2(x0) = f(x0) (b) T2′(x0) = f ′(x0) (c) T2

′′(x0) = f ′′(x0).

2. Aplique o resultado obtido para calcular o polinomio de grau dois associado a funcao cosseno e use o Maple paratracar na mesma janela os graficos de cos(x ) e de T2(x), no caso em que x0 = 0.

3. Para que valores de x voce acha que este polinomio fornece “boas” aproximacoes da funcao cosseno?

4. Seguindo o raciocınio anterior construa Tn(x) impondo que dk Tndxk

(x0) = dk fdxk

(x0), para k = 0, 1, 2, . . . n. Ospolinomios desta forma sao chamados de polinomios de Taylor de grau n para f em torno de x0.

5. Determine os polinomios de Taylor de grau 3, 4 e 5, em torno do zero, para as funcoes y = sen(x) e y = cos(x).

6. Use o Maple para tracar, em cada caso, os graficos das funcoes dadas e de seus polinomios de Taylor na mesmajanela. O que voce pode observar?

7. Se f(x) = a0 + a1 x+ a2 + x2 + . . .+ an xn, qual o seu polinomio de Taylor em torno de x0 = 0? E em torno de

x0 = 1?

A questao agora e saber quao bons sao estes polinomios para aproximar funcoes. Para responder a esta pergunta enecessario calcular o erro que cometemos ao aproximarmos o valor de uma funcao usando o seu polinomio de Taylor,isto e, precisamos calcular ou pelo menos estimar o valor de Rn(x) = f(x)− Tn(x). No caso mais simples (n = 0),e facil estimar este valor. O polinomio de Taylor de grau zero, T0(x) e dado por T0(x) = f(x0). Assim, temos queR0(x) = f(x)− f(x0) e daı, aplicando-se o teorema do valor medio a funcao f(x), obtemos R0(x) = (x − x0) f ′(c)para c entre x e x0.

Mesmo nao conhecendo o valor de c, sabemos que |R0 | ≤ |x− x0 | M , onde M e tal que |f ′(x)| ≤M no intervalo (x,x0). Repare que, se f fosse constante, sua derivada seria zero e a aproximacao, perfeita. A derivada da funcao f mede,

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264 Cap. 20 Acrescimos, Diferenciais e Aproximacao pela Reta Tangente

de uma certa maneira, quanto f se afasta da horizontal, por isso e razoavel esperar que a exatidao da aproximacaoseja controlada pelo maximo de f ′ no intervalo considerado. Neste caso,

f(x) = Tn(x) +Rn(x) = f(x0) + f ′(c)(x− x0)

para algum c entre x e x0.Consideremos agora o caso em que n = 1. Temos que T1(x) = f(x0) + f ′(x0) (x− x0) e, portanto,

R1(x) = f(x)− f(x0)− f ′(x0) (x− x0).

Esta ultima expressao para R1(x) permite concluir que R1(x0) = 0, R′1(x) = f ′(x)− f ′(x0). Daı, temos que R′′1 (x) =f ′′(x). Pelo teorema do valor medio, aplicado a funcao f ′′ no intervalo (x, x0), sabemos que existe c entre x e x0 tal

que f ′′(c) = f ′(x)−f ′(x0)x−x0

. Assim R′1(x) = f ′′(c) (x−x0). Daı, podemos concluir que R1(x) = f ′′(c) (x−x0)2

2 +C. Como,

R1(x0) = 0, temos que C = 0, e finalmente obtemos R1(x) = f ′′(c) (x−x0)2

2 .Como no caso anterior,

f(x) = f(x0) + f ′(x0) (x− x0) + f ′′(c)(x− x0)2

2

para algum c entre x e x0.Repare, tambem, que o erro cometido ao aproximarmos os valores da funcao f pela sua reta tangente depende

do maximo de f ′′ no intervalo considerado.(Explique!) Se f ′ fosse constante, o grafico de f seria uma linha reta e aaproximacao pela reta tangente seria otima. Quando f ′ varia, f ′′ mede o quanto f se desvia de sua reta tangente,portanto, e razoavel esperar que a precisao da aproximacao seja controlada pelo maximo de f ′′.

1. Generalize este resultado, isto e, mostre que f(x) = Tn(x) +Rn(x) onde

Rn(x) = fn+1(c)(x− x0)(n+1)

(n+ 1)!

para algum c entre x e x0. Rn(x) e chamado resto de Lagrange do polinomio de Taylor de grau n. Determine,tambem, condicoes sobre f que garantam a validade dos calculos feitos.

2. Use o resultado acima para provar que, para f(x) = sen(x), o polinomio de Taylor de grau 5 difere do valorexato de sen(x ) por no maximo 0,00002, para todo x no intervalo [−0.5, 0.5].

3. Como voce justificaria a formula 11+x ≈ 1 + x+ x2 . . . xn para |x | < 1?

4. O comando do Maple taylor(f(x),x,n+1) calcula o polinomio de Taylor de grau n da funcao f :

> taylor(sin(x),x,6);

x− 1

6x3 +

1

120x5 + O(x6)

O termo “O( x6)” representa o resto. Use o comando convert para remover este termo e converter o resultadoanterior em um polinomio.

> convert(%,polynom);

x− 1

6x3 +

1

120x5

Para visualizar a convergencia do metodo de aproximacao, descrito neste projeto, trace um grafico na janela[−8, 8]× [−3, 3] que mostre, em conjunto, as funcoes sen(x ), T3(x), T5(x) e T17(x).

5. Observando o grafico tracado no item anterior, indique um intervalo no qual o grafico de T5(x) pareca coincidircom o grafico de sen(x ) e um intervalo onde o grafico de T17(x) pareca coincidir com o grafico de sen(x ). Usea formula do erro de Lagrange para estimar o erro cometido ao aproximarmos os valores de sen(x ) por T5(x) eT17(x), respectivamente, em cada um dos intervalos que voce achou.

6. Como Tn(x) e um polinomio e −1 ≤ sen(x) ≤ 1, Tn(x) pode ser uma boa aproximacao para sen(x ) para todosos valores de x?

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W.Bianchini, A.R.Santos 265

7. Por que nao se pode usar o polinomio de Taylor para aproximar a funcao f(x) = arcsen(sen(x)) no intervalo[−π, π]?

8. Ache o polinomio de Taylor que aproxima a funcao f(x) = sen(x) + sen(4 x)4 no intervalo [−3, 3] com erro maximo

nao superior a 0,5. Trace na mesma janela o grafico desta funcao e do polinomio de Taylor que voce calculoupara visualizar a aproximacao obtida.

20.7.3 Polinomios de Taylor - Aplicacoes a fısica

Polinomios de Taylor (veja o projeto Aproximando funcoes por polinomios) sao usados com frequencia em Fısica.Com o objetivo de compreender melhor o fenomeno descrito por uma dada funcao, os fısicos em geral simplificam estafuncao considerando apenas os dois ou tres primeiros termos de sua formula de Taylor. Em outras palavras, os fısicosusam o polinomio de Taylor para aproximar a funcao que modela o fenomeno e, em alguns casos, podem ainda estimara precisao desta aproximacao. O objetivo deste projeto e estudar alguns modelos fısicos que exemplificam como estetipo de aproximacao ajuda a compreender o fenomeno estudado.

Radiacao de um corpo escuro

Todo objeto emite radiacao quando aquecido. Um corpo escuro e um sistema que absorve toda a radiacao que incidesobre ele. A lei de Rayleigh-Jeans, do final do seculo XIX, expressa a densidade de energia de radiacao de um corpoescuro, de comprimento de onda λ, por f(λ) = 8π k T

λ4 , onde λ e medido em metros, T e a temperatura dada emgraus Kelvin e k e a constante de Boltzmann. A lei de Rayleigh-Jeans concorda com medidas experimentais paracomprimentos de onda longos, mas discorda drasticamente para comprimentos de onda curtos. Neste caso, a lei preveque f(λ)→∞ quando λ→ 0+. No entanto, experimentalmente, verifica-se que f(λ)→ 0. Este fato e conhecido comocatastrofe ultravioleta. Em 1900, Max Planck formulou um modelo mais fiel para a radiacao de um corpo escuro,

conhecido hoje como lei de Planck. Por esta lei temos que f(λ) =8π h c

λ5 e( h cλ k T ) − 1

, onde h e a constante de Planck e c

e a velocidade da luz.

1. Trace, na mesma janela, os graficos das funcoes f dadas pelas duas leis e comente as semelhancas e diferencas.Para isso, use T = 5700 K (temperatura do sol), h = 6.6262×10−34 J, c = 2.99792×108 m/s e k = 1.3807×10−23

J/K

2. Usando o polinomio de Taylor, mostre que para comprimentos de onda longos, a lei de Planck fornece, aproxi-madamente, os mesmos valores obtidos pela lei de Rayleigh-Jeans.

Resistividade

A resistividade r de um fio condutor e o recıproco da sua condutividade e e medida em ohm por metros (Ω.m). Aresistividade de um determinado metal depende de sua temperatura de acordo com a lei r(t) = r20 e

(α (t−20)), onde te a temperatura em graus Celsius e r20 e a resistividade do material a 200 C. Existem tabelas que listam os valoresde α, denominado coeficiente de temperatura, e de r20, para diversos metais. Exceto em temperaturas muito baixas,a resistividade varia quase linearmente com a temperatura, sendo comum aproximar-se a expressao para r(t) porpolinomios de grau um ou dois em torno de r = 20.

1. Encontre expressoes para estas aproximacoes linear e quadratica.

2. Para o cobre, as tabelas fornecem α = .00390 C e r20 = 1.7 10(−8) Ωm. Faca os graficos da resistividade do cobree de suas aproximacoes linear e quadratica para temperaturas entre −250 e 1000 graus Celsius.

3. Para que valores de t a aproximacao linear concorda com a expressao exponencial com erro inferior a 1%?

Velocidade de propagacao de ondas

Se uma onda, de comprimento L, se propaga na agua com velocidade v ao longo de uma regiao com profundidade d,

entao v2 = g L2π tgh( 2π d

L ), onde tgh(x) = ex−e−xex+e−x e g e a aceleracao da gravidade.

1. Se a regiao e profunda, mostre que v ≈√

g L2π .

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266 Cap. 20 Acrescimos, Diferenciais e Aproximacao pela Reta Tangente

2. Se a regiao e rasa, use o polinomio de Taylor em torno do zero para aproximar a funcao tgh(x) e mostreque v ≈

√g d, ou seja, em aguas rasas a velocidade de propagacao da onda tende a ser independente do seu

comprimento.

3. Mostre que, se L > 10 d, entao√g d aproxima a velocidade de propagacao da onda com erro de 0, 014 g L.

20.7.4 Polinomios de Taylor - Um algoritmo para calcular o seno

A expansao da funcao f(x) = sen(x) pela formula de Taylor permite calcular o valor do seno de um numero realqualquer utilizando-se apenas as quatro operacoes basicas. No entanto, a formula de Taylor em torno de x0, so e umaboa aproximacao para a funcao f numa vizinhanca desse ponto. Por outro lado, sabemos que esta aproximacao seracada vez melhor a medida que considerarmos mais e mais termos na expansao.

1. Comprove, numericamente, a afirmacao acima construindo os polinomios de Taylor de graus 1, 3, 5, 7 e 9 dafuncao seno em torno de x0 = 0.

2. Calcule sen( π12 ) usando o Maple e usando as aproximacoes polinomiais que voce construiu. O que voce podeobservar?

3. Faca o mesmo para calcular sen( 49π12 ). O que aconteceu?

Embora exista a alternativa de trocarmos o ponto x0 em torno do qual a formula esteja sendo calculada, no caso doseno, em termos computacionais, e mais conveniente fazer a expansao em torno de x0 = 0 e explorar a periodicidadedesta funcao.

Siga o roteiro dado a seguir para reproduzir a sequencia de procedimentos efetuados quando o comando sin (.) doMaple e utilizado.

Suponha que queremos calcular sen(x ):

1. Ache x* em [0, 2π], tal que sen(x ) = sen(x*), caso isto nao se verifique inicialmente.

2. Determine y* em [0, π2 ], tal que | sen(x∗) | = sen(y∗). Crie um marcador m para guardar a informacao do sinalde sen(x*) do seguinte modo: m = 1 se x ∈ [0, π] e m = −1 se x ∈ [π, 2π].

3. Se y ∈ [0, π4 ], considere a formula de Taylor para a funcao seno em torno de x0 = 0. Se y∗ ∈ (π4 ,π2 ], considere a

formula de Taylor para a funcao cosseno em torno de x0 = 0 e utilize a identidade cos(z ) = sen(y*) se z = π2 -y*

(Repare que, neste caso, z ∈ [0, π4 ).) Qual a vantagem de trabalhar com valores entre 0 e π4 ?

4. Use a formula do resto de Lagrange para determinar o grau do polinomio necessario para calcular sen(x ) comerro menor do que 10−8, isto e, com oito dıgitos corretos.

5. Observe que as formulas de Taylor para as funcoes seno e cosseno envolvem termos da forma xn

n! . Use a relacaoxn

n! = x(n−2)

(n−2)!x2

(n−1)n para calcular os termos dos polinomios de maneira eficiente. Por exemplo:

sen 0, 8 ≈ 0, 83

3!+

0, 85

5!− 0, 87

7!

e podemos aproveitar cada termo para calcular o termo seguinte. Assim, 0,83

3! = 0, 8( 0,82

2 ); 0,85

5! = 0,83

3!0,82

(4) (5) , e

assim por diante.

6. Organize as ideias acima na forma de uma sequencia de procedimentos encadeados tambem chamada de algoritmopara o calculo eficiente de sen(x ), onde x e um numero real qualquer, com precisao de p dıgitos corretos.

7. Faca alguns testes com diferentes valores de x, comparando os valores obtidos pelo seu algoritmo com aquelesfornecidos usando-se a funcao sin(.) do Maple.

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W.Bianchini, A.R.Santos 267

20.7.5 Tangentes, orbitas e caos

Escolha um numero x0 qualquer e calcule o seu cosseno. Calcule o cosseno do resultado obtido. Repita esse proce-dimento um grande numero de vezes. Para isso utilize, em sequencia, os comandos abaixo, repetindo o ultimo umgrande numero de vezes:

> xo:=2.;

> cos(xo);

> cos(%);

O procedimento descrito acima e ilustrado na animacao (veja versao eletronica) e no grafico:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2x

1. O que voce pode concluir? Que equacao voce resolveu?

2. Teste o metodo descrito no item anterior para calcular as raızes reais de x2 = x, tomando como valor inicialx0 = 1

2 e x0 = 2.

Observe as animacoes (versao eletronica) e os graficos a seguir para ajuda-lo a tirar conclusoes.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2x

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

y

1 2 3 4x

Definicao Dizemos que um numero p e um ponto fixo da funcao y = f(x), quando f(p) = p.

1. Qual o ponto fixo da funcao y = cos(x).

2. Que equacao voce resolveu para achar este valor? Como e possıvel encontrar graficamente este valor?

3. Sabemos que zero e um ponto fixo da funcao sen(x ). Use o metodo descrito acima para tentar resolver a equacaosen(x) = x tomando como valor inicial x0 = 0, 5.

4. Qual o ponto fixo da funcao f(x) = ecos(x)?

5. Escolha varios valores iniciais x0 e estude o comportamento da sequencia de valores f(x0), f(f(x0)), f(f(f(x0))),...onde f(x) = ecos(x).

6. O metodo descrito acima funciona para calcular pontos fixos de qualquer funcao?

Entender o comportamento e predizer o que acontece com repetidas iteracoes de uma funcao e o objetivo desteprojeto.

Seja f uma funcao contınua e x0 um numero real qualquer, tomado como valor inicial. A orbita de x0 e umasequencia sn definida, a partir da funcao f , da seguinte maneira:

s0 = x0, s1 = f(x0), s2 = f(x1) = f(f(x0)) = f2 (x0)s3 = (x2) = f(f(f(x0))) = f3 (x0), . . ., sn = f(xn−1) = fn (x0).

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268 Cap. 20 Acrescimos, Diferenciais e Aproximacao pela Reta Tangente

1. Prove que se limn→∞

sn = l, entao l e um ponto fixo de f .

O nosso objetivo agora e determinar condicoes sobre f que garantam a convergencia da sequencia sn. Deste modopoderemos saber que equacoes podem ou nao ser resolvidas usando-se o metodo do ponto fixo, descrito acima.

1. O grafico abaixo mostra que a equacao e−x = x tem uma unica raiz. Use a tecnica de zooms sucessivos paraencontrar um valor aproximado para esta raiz. Observe que, usando esta tecnica (zooms sucessivos), e possıvelobservar como a funcao f(x) = e−x se comporta localmente.

–2

0

2

4

6

–2 –1 1 2x

2. Use zooms sucessivos para determinar o comportamento local das funcoes dos exemplos dados neste projeto.

3. Que tipo de funcoes se comportam localmente como uma reta?

4. Levando em conta o comportamento local dessas funcoes, uma boa pista para determinar as condicoes de con-vergencia da sequencia sn deve ser obtida a partir do estudo do que acontece com esta sequencia quandof(x) = mx + b. (Por que?) Assim, vamos tentar comecar a tirar conclusoes estudando os pontos fixos e aconvergencia das orbitas para funcoes deste tipo. Quais os pontos fixos da funcao f(x) = mx + b?

5. Use as animacoes acima para conjecturar em que casos a sequencia sn converge para o ponto fixo de f . Estudeos casos em que m > 1, m < 1 e m 6= 0, m = 1, m = −1. O que voce pode concluir? O que acontece quandom = 0?

6. Suponha que p seja o ponto fixo da funcao f(x) = mx + b, isto e, f(p) = mp + b = p. Se sn e a enesima iteracaona orbita do valor inicial x0, prove que sn − p = mn (x0 − p).Sugestao: Use inducao sobre n (veja projeto O maple e o princıpio da inducao matematica).

7. Use o resultado do item anterior para provar a conjectura feita para a convergencia da sequencia sn, quandof(x) = mx + b.

8. Generalize suas conclusoes para o caso de funcoes localmente lineares e aplique essas conclusoes para explicar oque acontece quando aplicamos este metodo a funcao y = ecos(x).

9. Explique por que e possıvel usar a funcao f(x) =x+R

x

2 para calcular uma aproximacao numerica para a raizquadrada de um numero positivo R.

10. Use a funcao anterior para calcular uma aproximacao numerica para√

2 com seis casas decimais exatas.

11. Que criterio voce usou para garantir a precisao do resultado?

12. Mostre que o ponto fixo da funcao f(x) =x+ a

x(k−1)

2e a raiz k-esima do numero positivo a. Explore o que

acontece com as orbitas desta funcao para valores de k = 3, 4, 5 e 6.

13. Tente explicar por que o metodo do ponto fixo aplicado a funcao f = sen(x) converge muito lentamente e por

que este mesmo metodo, quando aplicado a funcao f =x+R

x

2 , converge muito rapidamente para√R.

14. Explore os pontos fixos da funcao f(x) =(k − 1) (k + R

k(k−1) )

k. Por que as iteracoes dessa funcao funcionam tao

bem para estimar o valor da k-esima raiz do numero positivo R?

15. Quais sao os pontos fixos da funcao f(x) = x2

2 − 1? Tente obter aproximacoes para estes pontos fixos comolimite das orbitas tomando diferentes valores para x0. O que voce pode observar? Mude a expressao da funcao

de iteracao para tentar achar todos os pontos fixos de f(x) = x2

2 − 1.

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W.Bianchini, A.R.Santos 269

16. Descubra que funcoes devem ser iteradas para obtermos, por esse metodo, as raızes da equacao x2 = 2x.

17. Encontre aproximacoes para as tres raızes reais da equacao x10 = 2x.

18. Considere a funcao f(x) = 2x2 − 1. As solucoes da equacao f(x) = x sao x = 1 e x = −0, 5. Como f(0, 5) = −0, 5,a orbita cujo valor inicial e x0 = 0, 5 conduz diretamente (apos a primeira iteracao) ao ponto fixo x = −0, 5. Con-sidere valores bem proximo de x0 = 0, 5, por exemplo x0 = 0, 51, e examine o que acontece com a orbita de fpara este valor inicial. Examine tambem o comportamento das orbitas desta funcao para valores iniciais muitoproximos do outro ponto fixo de f .

O comportamento das orbitas desta funcao nos fornece um exemplo do que, em matematica, e chamado umcomportamento caotico. A sensibilidade dos sistemas caoticos aos dados iniciais foi descrita por James Gleick noseu livro Chaos: Making a New Science (1987) como o “efeito borboleta”, que serve para ilustrar a ideia do quaosensıvel e o tempo do nosso planeta as condicoes iniciais que “o simples bater de asas de uma borboleta, hoje,em Pequim, pode se transformar numa tempestade nos proximos meses em Nova York”. E muito difıcil paranos sequer imaginarmos um sistema que tenha um comportamento tao fragil e tao sensıvel aos dados iniciais.Felizmente, ou infelizmente, estamos nos conscientizando cada vez mais de que o comportamento caotico e umadescricao melhor do nosso mundo do que os sistemas bem comportados aos quais estamos acostumados.

19. Considere a funcao f(x) = a x2 − 1. Voce e capaz de determinar quais valores de a determinam funcoes quegeram sequencias convergentes, quais geram ciclos e quais geram sequencias caoticas?

20. Mostramos que o ponto fixo da funcao f(x) =x+ a

x(k−1)

2e a raiz k-esima do numero positivo a. Apesar disto,

vimos que para k > 3 nao e possıvel usar esta funcao para obter aproximacoes para esta raiz. Estude ocomportamento das orbitas desta funcao para k = 4 e k = 6.

20.7.6 Crescimento de populacoes - Gerenciando um pesque e pague

A proposta de utilizar a matematica para descrever o crescimento de uma populacao comecou com o economista inglesT. R. Malthus (1798). Malthus, em seu modelo, considerava que o crescimento de uma populacao era proporcional apopulacao presente em cada instante; desta forma, a populacao humana cresceria sem limite (por que?).

Este modelo propunha um crescimento de vida otimo, sem fome, sem guerra, epidemias ou qualquer outracatastrofe, onde todos os indivıduos seriam identicos, com o mesmo comportamento. O objetivo principal de Malthusao formular este modelo foi o de chocar a opiniao publica da epoca, uma vez que estabelecia um crescimento emprogressao geometrica para a populacao, enquanto que a alimentacao crescia em progressao aritmetica.

Os modelos matematicos para descrever o crescimento de uma populacao passaram por varias modificacoes aposMalthus. Um dos modelos mais importantes e conhecidos e o do sociologo belga P. F. Verhulst (1838), que supoe quequalquer populacao e predisposta a sofrer inibicoes naturais em seu crescimento, devendo tender a um valor-limiteconstante com o transcorrer do tempo.

Este modelo e mais significativo e realista do ponto de vista biologico. Sabemos que nenhuma populacao cresceindefinidamente. Existem limitacoes estabelecidas pela disponibilidade de alimentos, por falta de espaco, por condicoesfısicas intoleraveis ou por uma serie de fatores que agem como mecanismos de controle. Todos estes elementos inibidoresfazem com que uma populacao tenda a um maximo sustentavel (ponto de equilıbrio) quando o tempo aumenta.

O objetivo deste projeto e aplicar o metodo do ponto fixo, introduzido no projeto Tangentes, Orbitas e Caos, paradeterminar pontos de equilıbrio para populacoes cujo crescimento e regido pelo modelo de Verhulst, tambem conhecidocomo lei logıstica para o crescimento populacional.

O modelo de Verhulst propoe que a taxa de crescimento relativo da populacao em cada instante seja uma funcaoda populacao, decrescendo linearmente quando a populacao aumenta. Seja P (t) o numero de indivıduos presentes napopulacao em cada instante de tempo t. A hipotese acima pode ser expressa, matematicamente, pela equacao

[dPdt ]

P= α− β P ,

ou, equivalentemente,dP

dt= (α− β P )P,

com α e β, positivos.

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270 Cap. 20 Acrescimos, Diferenciais e Aproximacao pela Reta Tangente

Considerando a populacao inicial, P (0) = P0, conhecida, o objetivo e prever o que acontece com P (t) quandot cresce. A funcao f(P ) = dP

dt e uma parabola cuja concavidade e voltada para baixo, que e zero quando P = 0 eP = α

β .Portanto, intuitivamente, e facil prever que a partir de uma populacao inicial P0 6= 0 e P0 <αβ , a populacao

P cresce ate estabilizar, quando a sua taxa de crescimento dpdt for zero, em algum valor proximo de P = α

β , que e acapacidade limite do meio ambiente.

Os parametros α e β devem refletir o fato de que, para populacoes pequenas, o crescimento e quase ilimitado,enquanto que a competicao entre os membros de uma populacao grande forcara uma diminuicao gradual da taxa decrescimento ate que a capacidade limite do meio ambiente seja atingida e o crescimento da populacao se estabilize.

Vamos modificar um pouco o nosso modelo e considerar dPdt = f(P ) = r P − r P 2

L , onde r e uma constante positiva,que reflete a taxa otima (sem restricoes ambientais) de crescimento para a populacao P, e L e a capacidade limitede um determinado meio ambiente. A variavel P, restrita ao intervalo [0, L], representa a fracao da populacao limiteatingida a cada perıodo de tempo t. Assim, temos que P1 = P0 + f(P0), P2 = P1 + f(P1) e, de uma maneira geral,Pn+1 = Pn+f(Pn). Raciocinando como anteriormente, a populacao estara estabilizada quando a taxa de crescimento,f(Pn), for igual a zero. Isto implica que Pn+1 = Pn. Mas, entao, teremos que Pn = Pn + f(Pn) e calcular o limiteatingido por uma determinada populacao se reduz a encontrar os pontos fixos da funcao G(P ) = P + f(P ).

Vamos, por exemplo, examinar o crescimento de uma populacao de coelhos com uma taxa de crescimento irrestritade 80% ao ano, em uma reserva florestal com capacidade limite de 10.000. Para simplificar os calculos, faremos 10.000coelhos igual a 1 unidade. Como vimos, o problema de determinar o comportamento da populacao de coelhos aolongo do tempo se reduz a calcular os pontos fixos da equacao G(P ) = 1, 8P − 0, 8P 2, isto e, resolver a equacaoP = 1, 8P − 0, 8P 2. Este processo pode ser visualizado na animacao (versao eletronica) e no grafico a seguir, ondecada passo representa a fracao da capacidade limite atingida pela populacao em cada perıodo de tempo fixado, nesteexemplo, um ano.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2x

Vemos claramente neste exemplo que nao importa qual seja a populacao inicial de coelhos: com o passar dotempo esta populacao crescera ate atingir a capacidade limite do meio ambiente (aqui 1 = 10.000), estabilizando nestepatamar. (Nos graficos, este e o ponto de intersecao da parabola G(P ) = 1, 8P − 0, 8P 2 com a reta y = P .)

Suponhamos agora que queiramos liberar a caca de coelhos nesta reserva florestal. Precisamos estudar como a cacaafetara o crescimento desta populacao, isto e, o que acontecera a longo prazo com a populacao levando-se em contavarios nıveis possıveis de caca.

1. Pense um pouco e explique por que, se permitirmos que K coelhos sejam cacados por ano, a funcao G(P ), quepermite determinar o comportamento da populacao com o passar do tempo sera dada por G(P ) = 1, 8P −0, 8P 2 −K.

Observe o diagrama e repare o que acontece com o numero limite de coelhos a medida que o valor de K aumenta.

2. O que acontecera, a longo prazo, com a populacao de coelhos se for permitida a caca de 2.500 coelhos por ano?

3. Se voce fosse definir a polıtica a ser seguida, qual o numero maximo de coelhos que permitiria fossem cacados porano? Se esse nıvel for mantido ao longo do tempo, qual sera a populacao limite de coelhos na reserva? Justifiquea sua resposta.

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W.Bianchini, A.R.Santos 271

4. Voce pretende construir na sua fazenda serrana um lago com capacidade de sustento para 20.000 trutas e permitira pesca no sistema pesque e pague. Para iniciar a sua criacao voce coloca no lago 5.000 trutas. Antes que sepermita a pesca, e necessario que a populacao de trutas do lago esteja proxima a populacao limite. Supondo que,inicialmente, nenhuma pesca seja permitida, e que a populacao de trutas, em ambiente favoravel (sem limitacoes),cresca a uma taxa de 70% a cada ano, desenvolva um sistema que modele o crescimento da populacao de trutasao longo do tempo. Quanto tempo levara para que a populacao do lago atinja o limite de 20.000 trutas?

5. Um dos seus socios esta impaciente e nao quer esperar ate que a populacao de trutas atinja o limite ambiental eentao sugere que se de uma maozinha a mae natureza, colocando-se no lago, por algum tempo, uma populacaoadicional de 5.000 trutas por ano. Se isto for feito, quanto tempo passara ate que a populacao de trutas atinjao seu valor-limite? Se a pesca nunca for permitida e se este numero adicional de trutas continuar a ser colocadono lago a cada ano, o que acontecera, a longo prazo, com a populacao de trutas do lago? Faz sentido que estelimite seja diferente da capacidade original do lago?

6. Apos muitas discussoes, voces colocaram no lago 10.000 trutas e abriram o pesque e pague imediatamente. Vocesesperam que os visitantes pesquem 2.500 trutas por ano. Qual sera o efeito deste nıvel de pesca na populacao dolago a longo prazo? Mantidas estas condicoes, podera a populacao de trutas sobreviver a um desastre ecologicoque mate 50% dos peixes existentes no lago?

7. As condicoes se mostram favoraveis por dois anos e o seu pesque e pague se torna um sucesso. Como resultadodo aumento de visitantes, sao pescadas agora 4.000 trutas por ano. Se a pesca for mantida a esta taxa e nenhumareposicao for feita, quanto tempo a populacao de trutas do lago podera sobreviver?

8. Seu socio percebe que as trutas correm o perigo de se extinguir e decide estabelecer um numero maximo de trutasa serem pescadas por ano. Qual o numero maximo de trutas que podem ser pescadas por ano a fim de garantira sobrevivencia da populacao do lago? Neste caso, qual sera a populacao de equilıbrio para este sistema?

9. Se nenhuma catastrofe ambiental ocorrer nos proximos anos, para que possa ser permitida a pesca de 4.500 trutaspor ano, quantas trutas voces precisarao colocar no lago, por ano, para manter a estabilidade da populacao?

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Capıtulo 21

Introducao a Integral: Calculo de Areas eIntegrais Definidas

21.1 Introducao

Os dois conceitos principais do calculo sao desenvolvidos a partir de ideias geometricas relativas a curvas. A derivadaprovem da construcao das tangentes a uma dada curva. O assunto deste e dos proximos capıtulos, a integral, temorigem no calculo de area de uma regiao curva.

Como vimos no inıcio deste livro, o problema de calcular areas ja despertava, por suas aplicacoes praticas, grandeinteresse nos gregos da Antiguidade. Apesar de varias formulas para o calculo de areas de figuras planas seremconhecidas desde esta epoca, e ate mesmo problemas do calculo de areas de regioes limitadas por segmentos de retase algumas curvas, como a parabola, terem sido estudados e resolvidos, para casos particulares, ate o seculo XVII,quando foram estabelecidos os fundamentos do Calculo Diferencial e Integral como uma teoria matematica digna decredito, nao se conhecia nenhuma formula ou metodo geral que se pudesse aplicar para resolver o problema de calcularareas de regioes limitadas por curvas quaisquer.

Nos meados do seculo XVII, varios estudiosos europeus, entre eles Fermat e Pascal, passaram a usar nos seustrabalhos o metodo da exaustao, empregado por Arquimedes no calculo de areas de segmentos parabolicos (veja oprojeto Arquimedes e a Quadratura da Parabola). Mais tarde, Newton e Leibniz mostraram como este metodo estavarelacionado com o Calculo Diferencial. Este importante resultado e denominado teorema fundamental do calculo e eum dos resultados mais importantes de toda a matematica.

Como vimos, a derivada tem aplicacoes que transcendem a sua origem geometrica. Nos proximos capıtulos, veremosque o mesmo acontece com a integral.

A fim de tornar clara a discussao sobre areas, vamos introduzir na proxima secao uma notacao matematica padraousada para abreviar somas que envolvem um numero muito grande de parcelas.

21.2 A notacao de somatorio: uma abreviacao para somas

As somas dos n primeiros termos de uma uma progressao geometrica (PG) de razao r, bem como de uma progressaoaritmetica (PA) de razao d, podem ser escritas, respectivamente, como:

Sn = a+ ar + ar2 + ar3 + . . .+ ar (n−1)

Tn = a+ (a+ d) + (a+ 2 d) + . . .+ (a+ (n− 1) d).

Existe uma notacao abreviada para escrever somas desse tipo que, alem de tornar mais facil escreve-las, facilitaenormemente varias manipulacoes algebricas. Considere, por exemplo, a soma Sn = a1 + a2 + a3 +.... + an. Podemosescreve-la usando a notacao abaixo:

Sn =

n∑i=1

ai

(Le-se: somatorio de ai para i variando de 1 ate n.) Essa notacao significa que devemos substituir todos os valoresinteiros de i, de 1 ate n, na expressao envolvendo i, no caso ai, que segue o sinal de somatorio (Σ) e entao adicionaros resultados.

272

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W.Bianchini, A.R.Santos 273

Note que a formula depois do sinal de somatorio fornece o i-esimo termo da soma; para i = 1 temos o primeiro, parai = 2 o segundo, e assim por diante. Assim, as somas das progressoes geometrica e aritmetica podem ser reescritascomo

Sn =

n∑i=1

ar (i−1) e Tn =

n−1∑i=0

(a+ id)

Uma soma infinita de termos pode ser representada assim:

a1 + a2 + a3 + . . . =

∞∑i=1

Logo, a soma dos termos de uma PG infinita de razao r e assim representada:

a+ ar + ar2 + ar3 + . . .+ ar (n−1) + . . . =

∞∑i=1

ar (i−1)

Exemplo 1 Considere a soma Rn = 12 + 22 + 32 + . . .+ n2. Usando a notacao de somatorio, podemos escrever

Rn =

n∑i=1

i2.

Exemplo 2 Considere a soma

5∑i=2

(i2 − 1). Escrevendo por extenso essa soma, obtemos:

5∑i=2

(i2 − 1) = 22 − 1 + 32 − 1 + 42 − 1 + 52 − 1 = 22 + 32 + 42 + 52 − 4 = 50.

Exercıcios

1. Converta cada uma das somas indicadas em notacao de somatorio:

(a) 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 + (n+ 1)2

(b) 32 + 42 + . . .+ k2

(c) k2 + (k + 1)2 + (k + 2)2 + . . .+ (n− 1)2

(d) 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1− . . .

2. Escreva por extenso cada uma das somas abaixo :

(a)

5∑i=3

(bi + 2 ci) (b)

n∑i=m

i7

3. Com a expressao 0, 99999 . . . queremos representar a soma 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + . . .. Escreva essa soma usandoa notacao de somatorio.

4. E verdade que:

(a)

n∑i=1

kai = k (

n∑i=1

ai)? (b)

n∑i=1

(hi

n)2 h

n=h3

n3

n∑i=1

i2? Justifique sua resposta.

21.3 O calculo de areas como limites

Em geral, a definicao formal de conceitos intuitivos pode apresentar grandes dificuldades. Por exemplo, tivemos grandesdificuldades ao tentarmos formalizar uma definicao para o conceito, geometricamente intuitivo, de reta tangente. Aformalizacao do conceito de area apresenta dificuldades semelhantes.

Em geometria elementar, sao deduzidas formulas para areas de muitas figuras planas, mas se pararmos para pensarum pouco chegaremos a conclusao de que uma definicao matematicamente aceitavel de area raramente nos e fornecida.

A area de uma regiao e definida, as vezes, como o numero de quadrados de lados de comprimento um que “cabem”numa dada regiao. Desse modo, obtivemos formulas para areas de figuras planas tais como quadrados, retangulos,

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274 Cap. 21 Introducao a Integral: Calculo de Areas e Integrais Definidas

triangulos, trapezios, etc. Basta, no entanto, que a regiao seja um pouco mais complicada para que esta definicaose mostre inadequada. Como poderıamos calcular, por exemplo, o numero de quadrados de lado 1, ou 1

2 , ou 14 , que

cabem em um cırculo unitario?Neste capıtulo, tentaremos definir areas de regioes com fronteiras curvas. A maior parte do nosso trabalho se

concentrara num caso particular desse problema geral. Mais especificamente, tentaremos achar a area de uma regiaolimitada pelo grafico de uma funcao y = f(x), pelo eixo x e entre duas retas verticais x = a e x = b, como mostra afigura para a funcao y = x2.

0

2

4

6

8

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3x

O conhecimento de um metodo de resolucao deste problema particular e suficiente para tratar regioes mais com-plicadas. O calculo da area de uma regiao cuja fronteira seja uma curva pode, com frequencia, ser reduzido a esteproblema mais simples.

No Cap. 3 vimos que solucoes aproximadas deste problema podem ser obtidas dividindo-se o intervalo [0, 1] emsubintervalos e calculando-se a soma das areas de retangulos inscritos ou circunscritos a figura, como e mostrado aseguir.

0

2

4

6

8

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3x

0

2

4

6

8

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3x

A medida que aumentamos o numero de subdivisoes do intervalo e, consequentemente, o numero de retangulosconsiderados, a soma das areas desses retangulos se aproxima cada vez mais da area da regiao dada. Veja esta afirmacaoilustrada na figura seguinte a esquerda, onde consideramos retangulos inscritos. Observe, tambem, a figura a direita,considerando retangulos circunscritos. (Execute na versao eletronica as animacoes correspondentes.)

2.087962964

x

2.209490741

x

2.040000000

x

2.198347107

x

1.968750000

x

2.227040816

x

2.185000000

x

2.168724280

x

1.851851852

x

2.148437500

x

2.122448981

x

2.218934911

x

2.502057613

x

2.523437500

x

2.551020409

x

2.449704142

x

2.587962964

x

2.640000000

x

2.718750000

x

2.441326531

x

2.459490741

x

2.471074380

x

2.485000000

x

2.851851852

x

No primeiro caso, a estimativa obtida para a area da regiao e menor do que o seu valor exato; no segundo, maior.Assim, podemos afirmar que o valor exato da area esta entre os dois valores obtidos usando-se as aproximacoes acima.Desta maneira, o erro cometido e menor do que a diferenca entre estes dois valores.

Vamos provar que, a medida que aumenta o numero n de retangulos considerados nestes calculos, o erro diminui,e tanto a soma das areas dos retangulos inscritos quanto a soma das areas dos retangulos circunscritos se aproximamde um mesmo valor. Definiremos, entao, a area da regiao dada como sendo igual ao valor deste limite unico.

Vamos executar passo a passo o procedimento descrito acima para entender como o metodo funciona e obter umvalor aproximado para a area da regiao limitada pela funcao f(x) = x2, pelas retas x = 1 e x = 2 e pelo eixo x.

Page 291: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 275

Primeiro dividimos o intervalo [1, 2] em n partes. Assim, temos que

1= x0 < x1 < x2 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = 2 .

Em matematica, uma divisao deste tipo e chamada de particao do intervalo [1, 2]. No nosso caso, vamos consideraruma particao ou divisao do intervalo dado em n partes iguais. Deste modo, os comprimentos dos subintervalos daforma [xi−1, xi], para 1 ≤ i ≤ n, sao iguais e a particao do intervalo e dita regular. Usaremos o sımbolo ∆x paradenotar este comprimento, isto e,

∆x = x1 − x0 = x2 − x1 = x3 − x2 = . . . = xi − xi−1 = . . . = xn − xn−1 =2− 1

n=

1

n.

A soma das areas dos retangulos inscritos, chamada soma inferior, sera dada por:

SI = f(c0) ∆x+ f(c1) ∆x+ . . .+ f(cn−1) ∆x =

n−1∑i=0

f(ci) ∆x,

onde f(ci) e o menor valor da funcao f em cada subintervalo [xi−1, xi]. No exemplo que estamos estudando, estevalor ocorre em xi, extremo inferior de cada subintervalo, portanto, a soma inferior sera dada por

SI = f(x0) ∆x+ f(x1) ∆x+ . . .+ f(xn−1) ∆x =

n−1∑i=0

f(xi) ∆x.

A soma das areas dos retangulos circunscritos, chamada soma superior, sera obtida calculando-se:

SS = f(w1) ∆x+ . . .+ f(wn) ∆x =

n∑i=1

f(wi) ∆x

onde f(wi) e o maior valor da funcao f no intervalo [xi−1, xi]. No nosso exemplo, este valor extremo ocorre em xi,que e o extremo superior de cada um dos subintervalos considerados. Neste caso particular, portanto, a soma superiorsera dada por

SS = f(x1) ∆x+ . . .+ f(xn) ∆x =

n∑i=1

f(xi) ∆x.

Assim,SI ≤ area da figura ≤ SS .

Para obtermos estimativas para a area da figura dada nossa tarefa se reduz agora, a calcular os valores de SI eSS. Do modo como foi definida a particao, temos que:

x1 = 1 +1

n; x2 = x1 +

1

n= 1 +

2

n; x3 = 1 +

3

n; ...; xn = 1 +

n

n= 2 .

Lembrando que neste exemplo particular f(x) = x2, o valor da soma inferior sera dado por:

SI :=

n−1∑i=0

(1 +i

n)2

n.

Veja o diagrama a seguir, onde foram construıdos retangulos inscritos para n = 3, 5, 8, 11, 14 e 17, sucessivamente.Lembre-se de que o valor de n define o numero de subintervalos e, consequentemente, de retangulos determinados pelaparticao.

Page 292: texto completo em PDF

276 Cap. 21 Introducao a Integral: Calculo de Areas e Integrais Definidas

Raciocinando da mesma maneira, para a soma superior obtemos a seguinte expressao

SS :=

n∑i=1

(1 +i

n)2

n

que fornece o valor da soma das areas de n retangulos circunscritos a figura.

Nesse ponto, vamos usar o Maple para mostrar que a medida que n cresce, a diferenca entre SS e SI tende a zero,e a soma das areas, quer dos retangulos inscritos, quer dos retangulos circunscritos, converge para o mesmo limite.

Para isso, primeiro definimos a funcao f e o valor de ∆x

> f:=x->x^2;

f := x→ x2

> Delta_x:=1/n;

Delta x :=1

n

A seguir, usamos o comando sum para calcular o valor de SI e de SS e o comando simplify para simplificar asexpressoes obtidas

> SI:=Sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,> i=0..n-1)=sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i> =0..n-1);

SI :=

n−1∑i=0

(1 +i

n)2

n=

7

3− 3

2

1

n+

1

6

1

n2

> simplify(SI);

1

n3

n−1∑i=0

(n+ i)2 =1

6

14n2 − 9n+ 1

n2

> SS:=Sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,> i=1..n)=sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=1> ..n);

SS :=

n∑i=1

(1 +i

n)2

n=n+ 1

n+

(n+ 1)2

n2− n+ 1

n2+

1

3

(n+ 1)3

n3− 1

2

(n+ 1)2

n3+

1

6

n+ 1

n3− 1

n

> simplify(SS);

1

n3

n∑i=1

(n+ i)2 =1

6

14n2 + 9n+ 1

n2

• Voce e capaz de provar que as formulas obtidas acima para SI e SS sao verdadeiras? (Veja o projeto O maple e oprincıpio da inducao matematica.)

Calculando a diferenca SS − SI,

> Erro:=SS-SI;

Erro :=n+ 1

n+

(n+ 1)2

n2− n+ 1

n2+

1

3

(n+ 1)3

n3− 1

2

(n+ 1)2

n3+

1

6

n+ 1

n3+

1

2

1

n− 7

3− 1

6

1

n2

> simplify(Erro);

31

n

verificamos facilmente que esta expressao tende a zero quando n→∞ e, consequentemente, SI e SS convergem para

o mesmo valor, neste caso 73 . (Examine as expressoes de SI e SS e comprove que realmente lim

n→∞SI = lim

n→∞SS =

7

3.)

Page 293: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 277

No exemplo estudado, a funcao f e crescente e, geometricamente, podemos ver que o valor da diferenca SS − SIe dada por

(f(x1)− f(x0) + f(x2)− f(x1) + . . .+ f(xn−1) + f(xn))∆x =f(2)− f(1)

n.

Esta ultima expressao torna facil verificar que, para funcoes crescentes (ou decrescentes!), quando n → ∞, o errocometido na aproximacao por somas superiores ou inferiores realmente tende a zero (Veja problema 1).

2.331018519 2.331632654

2.328125000 2.330000000

2.332304526

2.324074074

2.3326446282.332500000

2.332031250

Podemos repetir o processo acima, considerando retanguloscuja altura seja o valor da funcao em qualquer ponto do subin-tervalo [xi−1, xi], por exemplo, o ponto medio de cada subin-tervalo. (Veja a figura abaixo.)

A soma das areas dos retangulos assim construıdos convergepara o mesmo limite anterior, como mostramos a seguir.

Considere a soma, SM, das areas dos retangulos cujas alturassao o valor da funcao f , calculada no ponto medio de cadasubintervalo [xi−1, xi], isto e, no ponto 1 + i∆ x

2 . Com a ajudado Maple, obtemos

SM :=

n−1∑i=0

(1 +i

n+

1

2

1

n)2

n=

7

3− 1

12

1

n2

(Para provar a formula acima veja o projeto O Maple e o princıpio da inducao matematica.)

Calculando o limite desta expressao quando n→∞, temos

limn→∞

7

3− 1

12

1

n2=

7

3.

Destes calculos, podemos concluir que, a medida que n aumenta, quaisquer das somas acima tende a um mesmonumero, que sera o valor da area da regiao considerada.

Note que a particao do intervalo [1, 2] considerada tem a propriedade de que a medida que n cresce o valor de∆x tende a zero. Esta propriedade e fundamental para que as somas SS, SI e SM convirjam para a area da regiao.Considere, por exemplo, a seguinte particao em 20 partes (n = 20) do intervalo [ 1, 2 ]:

> particao:=[seq(2-1/i,i=1..n)];

particao := [1,3

2,

5

3,

7

4,

9

5,

11

6,

13

7,

15

8,

17

9,

19

10,

21

11,

23

12,

25

13,

27

14,

29

15,

31

16,

33

17,

35

18,

37

19,

39

20, 2]

O diagrama ilustra o que pode acontecer para varias particoes deste tipo (n = 3, 5, 8 e 11, respectivamente):

1.367606481

1.558049983 1.658122331

1.106481481

4.

3.

2.

1.

2.1.51..50

4.

3.

2.

1.

2.1.51..50

4.

3.

2.

1.

2.1.51..50

4.

3.

2.

1.

2.1.51..50

Observe que, neste caso, mesmo considerando valores de n cada vez maiores, a soma das areas dos retangulosinscritos, jamais se aproximara da area da regiao em questao. Como mostra este exemplo, o importante nao e adivisao em partes iguais, mas o fato de o comprimento de cada um dos subintervalos [xi, xi+1] tender a zero a medidaque se aumenta o numero de divisoes do intervalo.

Page 294: texto completo em PDF

278 Cap. 21 Introducao a Integral: Calculo de Areas e Integrais Definidas

Chegamos, assim, a seguinte definicao:

Definicao

Considere a regiao limitada pelo grafico de uma funcao contınua e positiva y = f(x), pelas retas verticais x = a ex = b e pelo eixo x. Considere uma particao do intervalo [a, b]

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b

tal que, para todo i, ∆xi → 0 quando n → ∞, onde ∆xi = xi − xi−1 e o comprimento de cada subintervalo daparticao. Entao, a area da regiao e dada por

limn→∞

n−1∑i=0

f(ci) ∆x

onde ci e um ponto qualquer do subintervalo [xi−1, xi].

Vamos ilustrar esta definicao com outro exemplo. Considere a funcao g(x) = sen(x), para x no intervalo [0, π] .Queremos calcular a area hachurada mostrada na figura:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

Primeiro dividimos o intervalo [0, π] em n partes iguais. Neste caso, ∆x = πn . Considerando retangulos cujas

alturas sao iguais ao valor da funcao na extremidade xi−1 de cada subintervalo [xi−1, xi], obtemos as seguintesaproximacoes para a area quando dividimos o intervalo [0, π] em 3, 4, 5, 6, 7 e 8 partes, respectivamente:

1.9337655981.8961188981.813799365

1.966316679 1.9742316031.954097234

Considerando retangulos cujas alturas sao o valor da funcao na extremidade xi de cada subintervalo [xi−1, xi],obtemos as aproximacoes mostradas na figura a seguir, a esquerda. Da mesma maneira, tomando retangulos cujasalturas sao o valor da funcao no ponto medio de cada subintervalo [xi, xi+1], obtemos as aproximacoes mostradas nafigura a direita.

Page 295: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 279

1.9742316031.9663166791.954097234

1.8961188981.813799365 1.933765598

2.012909086

2.052344307

2.016884178

2.094395102

2.023030320

2.033281478

As estimativas observadas nas figuras parecem indicar que a area procurada deve ser igual a 2. Vamos usar oMaple para calcular as somas que aparecem nos tres casos considerados e calcular o seu limite quando o numerode retangulos cresce sem limite (tende a infinito). Seja SN1 a soma das areas dos retangulos cujas alturas sao asextremidades inferiores dos subintervalos. Assim,

SN1 :=

π

(n−1∑i=0

sen(i π

n)

)n

Simplificando a soma acima, obtem-se:

π

(n−1∑i=0

sen(i π

n)

)n

= −sen(

π

n)

n (cos(π

n)− 1)

Calculando o limite desta expressao quando n→∞, tem-se que

limn→∞

n−1∑i=0

sen(i π

n)π

n= 2

Da mesma maneira, considerando-se retangulos cujas alturas sao o valor da funcao na extremidade xi1 de cadasubintervalo [xi−1, xi], obtem-se:

π

(n∑i=1

sen(i π

n)

)n

= −π sen(

π

n)

n (cos(π

n)− 1)

e

limn→∞

π

(n∑i=1

sen(i π

n)

)n

= 2

Considerando retangulos cujas alturas sao o valor da funcao no ponto medio de cada subintervalo [xi−1, xi], temostambem

π

n−1∑i=0

sen

(i+1

2)π

n

n= −

π sen(π

n)

n (cos(π

n)− 1)

e

limn→∞

π

n−1∑i=0

sen

(i+1

2)π

n

n= 2

Page 296: texto completo em PDF

280 Cap. 21 Introducao a Integral: Calculo de Areas e Integrais Definidas

O valor do limite sera o mesmo para qualquer soma do tipo∑i

f(ci) ∆xi escolhida, onde ci ∈ [xi−1, xi]. Este

limite unico e, por definicao, a area da regiao R limitada pelo grafico de uma funcao f contınua e positiva, pelo eixox e pelas retas x = a e x = b.

21.4 A integral definida

21.4.1 Definicao

Vimos na secao anterior como calcular a area A de uma regiao limitada por uma funcao positiva, pelas retas x = a,x = b e pelo eixo x. O que fizemos foi dividir o intervalo fechado [a, b] em n partes iguais e aproximar o valor da area

por somas do tipo

n∑i=1

f(ci) ∆x. Vimos que, a medida que n cresce, o valor da soma se aproxima do valor de A. Esta

definicao para areas de regioes motiva a extensao deste procedimento a outras funcoes que nao sejam necessariamentepositivas. Deste modo, vamos definir o que chamamos de integral de uma funcao f , onde f e uma funcao qualquerdefinida em um intervalo fechado [a, b]. Para isso, considere uma divisao do intervalo [a, b], em n partes

a = x0 < x1 < x2 < ... < xi−1 < ... < xn−1 < xn = b .

Esta divisao, como ja vimos, define uma particao do intervalo a, b], que chamaremos de P . Seja ∆xi = xi − xi−1,tal que, para todo i, ∆xi → 0 quando n → +∞. Formemos a soma

Sn =

n∑i=1

f(ci) ∆xi,

onde ci e um ponto qualquer do subintervalo [xi−1, xi]. Esta soma e chamada soma de Riemann para f associada aparticao P . (O nome soma de Riemann foi dado em homenagem ao matematico alemao Bernhard Riemann (1826-1866), que, em seus trabalhos, estabeleceu o conceito de integral em bases matematicas rigorosas.)

Se existir o limite

I = limn→∞

Sn = limn→∞

n∑i=1

f(ci) ∆xi = lim∆ xi→0

n∑i=1

f(ci) ∆xi

para toda soma de Riemann associada a particao P de [a, b], dizemos que a funcao f e integravel em [a, b] e que a

integral definida de f , de a ate b, denotada por

∫ b

a

f(x) dx, e este limite, isto e,

I =

∫ b

a

f(x) dx = limn→∞

Sn = lim∆ xi→0

n∑i=1

f(ci) ∆xi .

O maior dos numeros ∆xi e chamado norma da particao P e denotado por ||P ||. Usando esta notacao e a definicaorigorosa de limite, a igualdade acima significa que para todo ε > 0 existe um δ > 0, tal que se P e uma particao de[a, b] sendo ||P || < δ, entao ∣∣∣∣∣

(n∑i=1

f(ci) ∆xi

)− I

∣∣∣∣∣ < ε

para qualquer escolha dos numeros ci nos subintervalos [xi−1, xi].A notacao para integrais foi introduzida pelo matematico alemao G. W. Leibniz (1646-1716). O sımbolo

∫e

uma estilizacao da letra S da palavra Summa e e chamado sinal de integral. Os numeros a e b sao chamados,respectivamente, limite inferior e limite superior da integral. A funcao f e chamada de integrando, e o sımbolo dxindica que a funcao esta sendo integrada com respeito a variavel independente x, que neste contexto nao deve serconfundido com a diferencial de x. A variavel x na integral e o que chamamos de uma variavel muda. Ela pode sersubstituıda por qualquer outra letra sem afetar o valor da integral. Assim, se f e integravel em [a, b], podemos escrever∫ b

a

f(y) dy =

∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(z) dz . . . etc.

Na definicao de integral, temos que a < b, mas e conveniente tambem definirmos integral no caso em que b < a.Neste caso, definimos

Page 297: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 281

∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx,

desde que esta ultima integral exista.

Alem disso, se f(a) existe, entao

∫ a

a

f(x) dx = 0.

Na definicao de integral nao impomos restricoes sobre a funcao f , apenas sobre a particao do intervalo [a, b]. Istonos leva a questao de saber quais funcoes sao integraveis. O exemplo a seguir mostra que existem funcoes que nao osao.

Exemplo 1 Considere a funcao f definida em [0, 1] por:

f(x) =

0 , para x racional1 , para x irracional

.

Qualquer que seja a particao do intervalo [0, 1], os subintervalos associados a essa particao sempre conterao pontos

racionais e irracionais. Se considerarmos duas somas de Riemann, uma do tipo

n∑x=1

f(ci) ∆x, onde cada ci seja racional

e outra onde cada ci seja irracional, teremos, para a primeira delas, o valor zero; para a outra, o valor 1, o que mostraque o limite depende da soma particular considerada, portanto, f nao e integravel.

Exemplo 2 Considere a funcao f definida em [0, 1] por

f(x) =

1

x, se x 6= 0

1 , se x = 0

.

Temos que limx→0+

f(x) =∞. Entao, no primeiro subintervalo [0, x1] de qualquer particao P de [0, 1] podemos

achar um numero ci tal que f(ci) ∆xi supera qualquer numero dado M . Assim, para qualquer particao P podemosencontrar uma soma de Riemann arbitrariamente grande. Logo, qualquer que seja o numero real I, existem somasde Riemann Rp associadas a qualquer particao P do intervalo [0, 1] tais que |Rp − I | e arbitrariamente grande. Istoimplica que f nao e integravel. Por argumentos analogos, podemos mostrar que qualquer funcao que se torne ilimitadaem qualquer ponto de um intervalo [a, b] nao e integravel. Assim:

Se f e integravel em [a, b], entao e limitada em [a, b], isto e, existe um numero real M tal que | f(x) | ≤M para todox em [a, b].

Observacoes

1. Repare que | f(x) | ≤M significa, geometricamente, que o grafico de f esta entre as duas retas horizontais y = Me y = −M . Em particular, se f tem uma descontinuidade infinita em algum ponto do intervalo [a, b], entao fnao e limitada e, portanto, nao e integravel, como foi mostrado no Exemplo 2.

2. Um conjunto bastante amplo de funcoes que sao integraveis e o conjunto das funcoes contınuas, isto e, se f euma funcao contınua em [a, b], entao f e integravel em [a, b].

3. Se f e descontınua em [a, b], entao∫ baf(x) dx pode existir, ou nao. Se f tem somente um numero finito de

descontinuidades no intervalo [a, b] e todas elas sao descontinuidades de salto, entao f e dita contınua por partese e integravel em [a, b]. (Veja Problema 5.)

4. Repare ainda que se f e integravel em [a, b], entao o limite das somas de Riemann existe qualquer que seja aescolha dos pontos ci em cada subintervalo [xi−1, xi]. Este fato permite que particularizemos a escolha dos ci,se isto for conveniente. Por exemplo, podemos escolher ci sempre como o extremo direito, ou como o extremoesquerdo, ou como o ponto medio de cada subintervalo, ou como o numero onde ocorre o maximo ou o mınimoda funcao em cada intervalo [xi−1, xi]. Alem disso, como o limite independe da particao considerada (desde quesua norma seja suficientemente pequena), a definicao de integral pode ser simplificada pela utilizacao de somas

Page 298: texto completo em PDF

282 Cap. 21 Introducao a Integral: Calculo de Areas e Integrais Definidas

de Riemann associadas a particoes regulares, isto e, constituıdas de subintervalos de mesmo comprimento. Nestecaso,

||P || = ∆x =b− an

,

e quando n→∞, ∆x→ 0. A integral de f e dada por

I =

∫ b

a

f(x) dx = limn→∞

n∑i=1

f(ci) ∆x = lim||P ||→0

n∑i=1

f(ci) ∆x .

Em particular, como toda funcao contınua em [a, b] e integravel em [a, b], esta observacao se aplica a funcoescontınuas.

21.4.2 Interpretacao geometrica da integral definida

Como aplicacao imediata da definicao de integral, quando f e uma funcao contınua, positiva, definida em [a, b], a∫ baf(x) dx nos fornece o valor da area da regiao limitada pelo grafico de f , pelas retas x = a, x = b e pelo eixo x. Se a

funcao f for uma funcao contınua que assume valores positivos e negativos no intervalo [a, b], entao o valor da integralsera a diferenca entre o valor da area da regiao que esta acima do eixo x e o valor da area da regiao que esta abaixo doeixo x. Este fato torna-se claro observando-se a figura a seguir e lembrando que, por definicao, a integral e o limite desomas de Riemann. As parcelas f(ci) ∆x que correspondem aos retangulos que estao abaixo do eixo x sao negativas,e seus valores absolutos fornecem o valor das areas de cada um destes retangulos.

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–3 –2 –1 1 2 3x

21.4.3 Propriedades da integral definida

A partir da definicao de integrais como limite de somas de Riemann podemos demonstrar algumas de suas propriedadesfundamentais.

Propriedade 1Se f e uma funcao constante definida por f(x) = k para todo x em [a, b], entao f e integravel e∫ b

a

k dx = k (b− a) .

Demonstracao Seja P uma particao de [a, b]. Entao, para toda soma de Riemann de f ,

n∑i=1

f(ci) ∆xi =

n∑i=1

k∆xi = k (

n∑n=1

∆xi) = k (b− a) ,

pois a soma dos comprimentos de todos os subintervalos da particao e o comprimento do intervalo [a,b], independentedo valor de n. Consequentemente,

lim∆ xi→0

n∑i=1

f(ci) ∆xi = k (b− a) ,

isto e, ∫ b

a

k dx = k (b− a) .

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W.Bianchini, A.R.Santos 283

Esta igualdade esta de acordo com a discussao de area feita anteriormente, pois se k > 0, entao o grafico de f euma reta horizontal k unidades acima do eixo dos x, e a regiao limitada por esta reta, pelo eixo x e pelas retas x =a e x = b e um retangulo de lados k e (b − a). Logo, sua area e dada por k (b− a). No caso especial em que k = 1,

temos que∫ ba

1 dx = b− a, que e igual ao comprimento do intervalo [a, b].

Propriedade 2Se f e integravel em [a, b] e k e um numero real arbitrario, entao kf e integravel em [a, b] e∫ b

a

k f(x) dx = k

∫ b

a

f(x) dx .

Demonstracao Se k = 0, o resultado se verifica trivialmente. Suponhamos, entao, que k 6= 0. Como f e

integravel, temos que existe um numero I tal que I =∫ baf(x) dx.

Seja P uma particao de [a, b]. Entao, toda soma de Riemann para a funcao k f tem a forma

n∑i=1

k f(ci) ∆xi, onde,

para cada i, ci esta no subintervalo [xi−1, xi]. Seja ε > 0 dado. Devemos mostrar que existe um δ > 0 tal que, se

||P || < δ, entao | (∑i k f(ci) ∆xi)− k I | < ε, para todo ci em [xi−1, xi].

Se observarmos que ∣∣∣∣∣(∑

i

k f(ci) ∆xi

)− k I

∣∣∣∣∣ = | k |

∣∣∣∣∣(∑

i

f(ci

)∆xi)− I

∣∣∣∣∣ ,a conclusao se verifica imediatamente, pois, como f e integravel, tem-se que, qualquer que seja ε1 > 0, existe um δ >

0 tal que, se ||P || < δ, entao | (∑i

f(ci) ∆xi)− I | < ε1.

Assim, basta escolhermos ε1 = ε|k| para obter o resultado desejado.

Costuma-se enunciar a conclusao desta propriedade dizendo-se que constantes “podem ser retiradas do sinal deintegral”.

Propriedade 3Se f e g sao integraveis em [a, b], entao f + g e integravel em [a, b] e∫ b

a

(f(x) + g(x)) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx .

Demonstracao Por hipotese, existem numeros reais I1 e I2, tais que∫ baf(x) dx = I1 e

∫ bag(x) dx = I2.

Seja P uma particao de [a, b] e seja Rp uma soma de Riemann arbitraria para f + g associada a particao P , isto e,

Rp =

n∑i=1

(f(ci) + g(ci)) ∆xi = (

n∑i=1

f(ci) ∆xi) + (

n∑i=1

g(ci) ∆xi) ,

onde ci esta em [xi−1, xi] para cada i.Seja ε > 0. Devemos mostrar que existe um δ > 0 tal que, se ||P || < δ, entao |Rp − (I1 + I2)| < ε .Por hipotese (f e g integraveis), sabemos que qualquer que seja ε1> 0, existem δ1 e δ2 positivos tais que, se ||P ||

< δ1 e ||P || < δ2, entao ∣∣∣∣∣(∑

i

f(ci) ∆xi

)− I1

∣∣∣∣∣ < ε1 e

∣∣∣∣∣(∑

i

g(ci) ∆xi

)− I2

∣∣∣∣∣ < ε1 ,

Seja ε1 = ε2 e seja δ o menor dos numeros δ1 e δ2. Assim, se ||P || < δ, as duas desigualdades acima se verificam, e

daı, como

|Rp − (I1 + I2)| =

∣∣∣∣∣(∑

i

f(ci) ∆xi

)− I1 +

(∑i

g(ci) ∆xi

)− I2

∣∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∣(∑

i

f(ci) ∆xi

)− I1

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣(∑

i

g(ci) ∆xi

)− I2

∣∣∣∣∣

Page 300: texto completo em PDF

284 Cap. 21 Introducao a Integral: Calculo de Areas e Integrais Definidas

tem-se |Rp − (I1 + I2)| < ε2 + ε

2 = ε, que e o resultado que querıamos demonstrar.

Observacoes

1. Vale um resultado analogo para diferencas, isto e, se f e g sao integraveis em [a, b], tem-se∫ b

a

(f(x)− g(x)) dx =

∫ b

a

f(x) dx−∫ b

a

g(x) dx

2. A Propriedade 3 pode ser estendida a uma soma finita de funcoes. Especificamente, se f1, f2, . . . , fn sao in-tegraveis em [a, b], sua soma g = f1 + f2 + . . .+ fn tambem o e e∫ b

a

g(x) dx =

∫ b

a

f1(x) dx+

∫ b

a

f2(x) dx+ ...+

∫ b

a

fn(x) dx .

3. Se f e g sao funcoes integraveis em [a, b] e se k1 e k2 sao reais arbitrarios, pelas Propriedades 2 e 3 temos que∫ b

a

(k1 f(x) + k2 g(x)) dx = k1

∫ b

a

f(x) dx+ k2

∫ b

a

g(x) dx .

Alem disso, se k1, k2,..., kn sao reais arbitrarios e se f1, f2, . . . , fn sao funcoes integraveis em [a, b], o resultadoanalogo vale para a funcao g = k1 f1 + k2 f2 + . . .+ kn fn.

Como ja vimos, se f e contınua e positiva em [a, b], entao∫ baf(x) dx e a area sob o grafico de f limitada pelas

retas x = a e x = b. De modo analogo, se a < c < b, entao as integrais∫ caf(x) dx e

∫ bcf(x) dx sao as areas sob o

grafico de f de a ate c e de c ate b, respectivamente. Segue, imediatamente, que∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx .

A proxima propriedade mostra que esta igualdade tambem e verdadeira sob hipoteses mais gerais.

Propriedade 4Se a < c < b e f e integravel tanto em [a, c], como em [c, b], entao f e integravel em [a, b] e∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx .

Demonstracao Por hipotese, existem numeros reais I1 e I2 tais que∫ caf(x) dx = I1 e

∫ bcf(x) dx = I2.

Sejam P1 uma particao de [a, c], P2 uma particao de [c, b] e P uma particao de [a, b]. Denotaremos por RP1 , RP2 eRP as somas de Riemann arbitrarias associadas a P1, P2 e P , respectivamente. Devemos mostrar que dado um ε > 0,existe um δ > 0 tal que, se ||P || < δ, entao |RP − (I1 + I2)| < ε.

As hipoteses sobre f implicam que, dado ε1 = ε4 , existem numeros positivos δ1 e δ2 tais que, se ||P1|| < δ1 e ||P2||δ2,

entao

|RP1 − I1| <ε

4e |RP2 − I2| <

ε

4.

Seja δ o menor dos numeros δ1 e δ2. Entao ambas as desigualdades sao verdadeiras, desde que tenhamos ||P || <δ. Alem disso, como f e integravel tanto em [a, c] como em [c, b], e limitada em ambos os intervalos e, assim, existeum numero M tal que | f(x) | ≤M para todo x em [a, b].

Suponhamos agora que alem da exigencia anterior feita sobre δ, tenhamos tambem que δ < ε4M .

Seja P uma particao de [a, b], tal que ||P || < δ, como escolhido acima. Se as subdivisoes que determinam P saoa = x0, x1, x2,..., xn = b, entao existe um unico intervalo semi-aberto da forma (xk−1, xk] que contem c.

Se RP =

n∑i=1

f(wi) ∆xi, podemos escrever

RP =

(k−1∑i=1

f(wi) ∆xi

)+ f(wk) ∆xk +

(n∑

i=k+1

f(wi) ∆xi

).

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W.Bianchini, A.R.Santos 285

Seja P1 a particao de [a, c] determinada por a, x1, x2, . . . xk−1, c e P2 a particao de [c, b] determinada porc, xk, . . . , xn−1, b. Consideremos agora as somas de Riemann

RP1=

(k−1∑i=1

f(wi) ∆xi

)+ f(c) (c− xk−1) e RP2

= f(c) (c− xk) +

(n∑

i=k+1

f(wi) ∆xi

).

Entao, como ||P || < δ, temos

(∗) |RP − (RP1 +RP2) | = |f(wk)− f(c)| ∆xk ≤ |f(wk)|+ |f(c)|∆xk ≤(M +M) ε

4M=ε

2

e

(∗∗) |RP1+RP2

− (I1 − I2)| ≤ |RP1− I1| − |RP2−I2 | <

ε

2.

Agora, desde que

|RP − (I1 + I2)| = |RP − (RP1 +RP2) + (RP1 +RP2)− (I1 + I2)|≤ |RP − (RP1 +RP2)|+ |RP1 +RP2 − (I1 + I2)|

as desigualdades (*) e (**) implicam que

|RP − (I1 + I2)| < ε2 + ε

2 = ε

para toda soma de Riemann RP , o que completa a demonstracao.

Esta propriedade pode ser generalizada para o caso em que c nao esta necessariamente entre a e b. (Veja Problema8.)

Propriedade 5

Se f e integravel em [a, b] e f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b], entao

0 ≤∫ b

a

f(x) dx

Demonstracao Seja I =∫ baf(x) dx e suponhamos por absurdo que I < 0.

Seja P uma particao de [a, b] e seja RP =

n∑i=1

f(ci) ∆xi uma soma de Riemann qualquer, associada a P . Como,

por hipotese, f(ci) ≥ 0, para todo ci no intervalo [xi−1, xi], temos que RP ≥ 0.

Seja ε = − I2 > 0, entao, como f e integravel em [a, b], desde que ||P || seja suficientemente pequena, temos que

|RP − I | < ε = − I2 . Daı, RP < I − I2 = I

2 < 0, o que e uma contradicao. Portanto, a suposicao I < 0 e falsa, e temosque I ≥ 0.

Uma consequencia imediata desta propriedade e expressa na propriedade a seguir, cuja demonstracao e deixada acargo do leitor. (Veja Problema 9.)

Propriedade 6

Se f e g sao integraveis em [a, b] e g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], entao

∫ b

a

g(x) dx ≤∫ b

a

f(x) dx .

Page 302: texto completo em PDF

286 Cap. 21 Introducao a Integral: Calculo de Areas e Integrais Definidas

21.5 Valor medio de uma funcao e o teorema do valor medio paraintegrais definidas

A media aritmetica de n numeros a1, a2, ... , an e definida por:

am =(a1 + a2 + . . .+ an)

n=

1

n

n∑i=1

ai

Agora, pense no seguinte problema:

Suponha que voce tenha uma barra de ferro de comprimento L e conhece a temperatura T (x), que varia em cadaponto x da barra. Como calcular a temperatura media Tm da barra?

A dificuldade, neste caso, e que existem infinitos pontos na barra a serem considerados. A ideia e estabelecer umsistema de coordenadas na barra, de tal modo que as suas extremidades coincidam com os pontos 0 e L deste sistema,e aproximar a temperatura media pela media das temperaturas de n pontos da barra, a saber,

0 = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = L

tomados como referencia, isto e,

Tm ≈1

n

n∑i=1

T (xi)

Claramente, a medida que aumentamos o numero n de pontos considerados neste calculo, o valor do lado direitoda expressao anterior se aproximara cada vez mais da temperatura media Tm da barra.

Observe, agora, que a soma anterior e muito parecida com a soma de Riemann para a funcao T (x). Para transformaresta expressao na soma de Riemann para a funcao T , basta multiplicar e dividir, a soma obtida por ∆x = L

n . Assim,temos

1

n

1

∆x

(n∑i=1

T (xi)

)∆x =

1

n

n

L

(n∑i=1

T (xi)

)∆x =

1

L

n∑i=1

T (xi) ∆x

Agora sim! O ultimo somatorio e a soma de Riemann para a funcao T no intervalo [0, L]. Assim,

Tm =1

Llimn→∞

n∑i=1

T (xi) ∆x =1

L

∫ L

0

T (x) dx

De um modo geral, define-se o valor medio de uma funcao y = f(x), contınua em um intervalo [a, b], como

fm =1

b− a

∫ b

a

f(x) dx

ou ∫ b

a

f(x) dx = fm (b− a) .

Se f(x) ≥ 0 em [a, b], esta ultima igualdade significa, geometricamente, que a area sob o grafico de f , desde a ateb, e igual a area de um retangulo de altura fm e base b-a.

Exemplo

Se a temperatura de uma barra de comprimento 3 cm e dada por T (x) = x, em cada ponto x da barra, calcule asua temperatura media.

Solucao

Tm =1

3

∫ 3

0

x dx =3

2

No grafico a seguir a area hachurada tem o mesmo valor da area do retangulo escuro.

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W.Bianchini, A.R.Santos 287

Tm

0

1

2

3

4

1 2 3x

Note que o valor Tm e atingido em algum ponto c de [a, b]. Neste exemplo, precisamente em c = 32 . O teorema do

valor medio para integrais definidas, que veremos a seguir, garante que, se f e contınua, isto e sempre verdade.

21.5.1 O teorema do valor medio para integrais definidas

TeoremaSe f e contınua em um intervalo fechado [a, b], entao existe um numero c no intervalo aberto (a, b), tal que∫ b

a

f(x) dx = f(c)(b− a).

Observacoes Se f(x) ≥ 0 em [a, b], o teorema admite uma interpretacao geometrica interessante. Neste caso,

como ja vimos, S =∫ baf(x) dx e a area limitada pelo grafico de f , o eixo x e as retas x = a e x = b. O teorema garante

a existencia de um numero c, abscissa de um ponto P do grafico de f , tal que a area da regiao retangular limitadapela reta horizontal que passa por P , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, dada pela expressao, f(c) (b− a), eigual a S. Veja as figuras.

3.6

3.7

3.8

3.9

4

4.1

4.2

4.3

4.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2z

O numero c nao e necessariamente unico. Por exemplo, se f e uma funcao constante, todos os numeros c dointervalo [a, b] satisfazem a conclusao do teorema. O teorema garante a existencia de pelo menos um numero c em[a, b] com a propriedade enunciada.

Demonstracao Sejam m = f(d) o mınimo de f em [a, b] e M = f(e) o maximo de f em [a, b]. Pela Propriedade6, ∫ b

a

mdx ≤∫ b

a

f(x) dx e

∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

M dx,

isto e,

m ≤ 1

b− a

∫ b

a

f(x) dx e1

b− a

∫ b

a

f(x) dx ≤M .

Como f e contınua e y = 1b−a

∫ baf(x) dx e um numero entre m e M , pelo teorema do valor intermediario existe um

numero c entre a e b, tal que

f(c) =1

b− a

∫ b

a

f(x) dx

Exemplo Seja v(t) a velocidade de um objeto em cada instante t num intervalo de tempo [a, b]. Entao, avelocidade media do objeto e dada por

vm =1

b− a

∫ b

a

v(t) dt

Page 304: texto completo em PDF

288 Cap. 21 Introducao a Integral: Calculo de Areas e Integrais Definidas

O teorema do valor medio para integrais definidas nos diz que a velocidade media vm e atingida pelo objeto em alguminstante c de [a, b], isto e, vm = v(c).

O teorema do valor medio para integrais definidas pode ser usado na demonstracao de varios outros teoremasrelevantes. Um dos mais importantes e o teorema fundamental do calculo, que sera visto no proximo capıtulo.

21.6 Atividades de laboratorio

Usando um computador e o Maple, faca as atividades propostas no arquivo labint.mws da versao eletronica destetexto.

21.7 Exercıcios

1. (a) Mostre a identidade

n∑i=1

i =n(n+ 1)

2

Sugestao: Some as equacoes

n∑i=1

i = 1 + 2 + . . .+ n e

n∑i=1

i = n+ (n− 1) + (n− 2) + . . .+ 1.

(b) Escreva as n equacoes que se obtem substituindo os valores de k = 1, 2, 3, . . . , n na identidade (k+1)3−k3 =3 k2 + 3 k + 1. Adicione essas equacoes e use sua soma para deduzir, da identidade dada em (a), a formula

n∑i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6.

2. Para cada uma das funcoes abaixo

(a) calcule aproximadamente a area da figura limitada pela curva y = f(x), as retas x = a, x = b e o eixo x,utilizando os comandos leftbox e rightbox do Maple.

(b) calcule aproximadamente o valor destas areas com os comandos leftsum e rightsum.

(c) monte uma tabela com os valores obtidos para varias particoes do intervalo.

(d) use o comando limit para calcular exatamente o valor da area.

(e) compare os resultados obtidos.

i. f(x) =√x para x ∈ [0, 1] ii. f(x) = sen(x) para x ∈ [0, 2π]

iii. f(x) =√

4− x2 para x ∈ [−2, 2].

3. Use a definicao para calcular cada uma das integrais abaixo. Use primeiro o seu raciocınio e a interpretacaogeometrica da integral; depois, se ainda for necessario use os comandos leftsum e rightsum do Maple paraajuda-lo nos calculos.

(a)∫ 5

−23 dx

(b)∫ 4

−12x dx

(c)∫ 2

−2x3 dx

(d)∫ π

2

−π2sen(x) dx

(e)∫ 2π

0cos(x) dx

(f)∫ π

0cos(x) dx

(g)∫ 2

04x2 + 1 dx

4. Interprete geometricamente e calcule a integral∫ 2

−2

√4− x2 dx.

5. O grafico da equacao x2

a2 + y2

b2 = 1 para 0 < b < a e uma elipse. Esboce este grafico e use o valor da integral∫ a−a√a2 − x2 dx para achar a area limitada por uma elipse.

6. Sabendo-se que o valor medio de y = f(x) no intervalo [0, 7] e igual a 4, qual o valor de∫ 7

0f(t) dt?

7. Ache o valor medio de f(x) =√

1− x2 no intervalo [0, 1].

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W.Bianchini, A.R.Santos 289

21.8 Problemas

1. Mostre que se f e uma funcao contınua e monotona em um intervalo [a, b], o erro na aproximacao da∫ baf(x) dx

pela soma de Riemann inferior ou superior com n subintervalos e limitado por

| f(b)− f(a) | (b− a)

n

2. Para cada integral dada abaixo, seja∫ baf(x) dx = L. Levando-se em conta a definicao de integral, dada neste

capıtulo, a igualdade acima significa que para todo ε > 0, existe um inteiro positivo N tal que∣∣∣∣∣(

n∑k=1

f(ck) ∆xk

)− L

∣∣∣∣∣ < ε

para todo n > N. Seja ∆xk = b−an e ε = 0, 01. Considere ck como sendo a extremidade direita do k -esimo subin-

tervalo da particao do intervalo [a, b] considerada. Ache o menor valor de n para o qual | (∑nk=1 f(ck) ∆xk)− L | <

ε, para n > N.

(a)

∫ 3

1

x2 + 1 dx (b)

∫ π6

0

cos(x) dx (c)

∫ 1,75

0,5

sen(x2) dx

3. (a) Mostre que∫ π

2

0sen2 x dx =

∫ π2

0cos2 x dx.

Sugestao: Mostre que as duas areas em questao sao congruentes usando uma reflexao em torno da retax = π

4 .

(b) Mostre que∫ π

2

01− sen2 x dx = π

2 −∫ π

2

0sen2 x dx.

Sugestao: Use a interpretacao geometrica das duas integrais e use uma reflexao em torno da reta y = 12

para mostrar que as duas areas em questao sao iguais.

(c) Use as partes (a) e (b) para mostrar que∫ π

2

0sen2 x dx =

∫ π2

0cos2 x dx = π

4 .

(d) Calcule∫ π

0sen2 x dx e

∫ 2π

0cos2 x dx.

4. Obtenha uma formula para∫ x

0| t | dt, valida para

(a) x ≥ 0 (b) x ≤ 0

(c) qualquer que seja x, positivo, negativo ou nulo.

(d) Esboce um grafico que represente geometricamente esta questao.

5. Considere a funcao sn(t) (sinal de t) definida por sn(t) =

−1 , se t < 00 , se t = 01 , se 0 < t

.

E claro que a funcao sn(t) nao e contınua em zero, mas∫ basn(t) dt pode ser definida da mesma maneira que

para funcoes contınuas. Por exemplo,∫ 1

0sn(t) dt e a area limitada pelo grafico da funcao, pelo eixo x e pelas

retas t = 0 e t = 1 (um quadrado de lado 1). Assim,∫ 1

0sn(t) dt = 1. Da mesma maneira,

∫ 0

−1sn(t) dt = −1;∫ 3

0sn(t) dt = 3;

∫ 3

−3sn(t) dt = 0 e assim por diante. Obtenha uma formula valida para

∫ x0sn(t) dt quando

(a) x ≥ 0 (b) x ≤ 0

(c) qualquer que seja x, positivo, negativo ou nulo.

6. Explique por que

(a)∫ 1

−1x273 dx = 0 (b) 0 <

∫ 3

11t dt <

1412

7. (a) De exemplo de uma funcao contınua no intervalo (0, 1), tal que∫ 1

0f(x) dx nao exista.

(b) De exemplo de uma funcao que nao seja contınua em [0, 1], tal que exista∫ 1

0f(x) dx .

Page 306: texto completo em PDF

290 Cap. 21 Introducao a Integral: Calculo de Areas e Integrais Definidas

8. Mostre que se f e integravel em um intervalo fechado e se a, b e c sao tres numeros quaisquer deste intervalo,

entao∫ baf(x) dx =

∫ caf(x) dx+

∫ bcf(x) dx.

9. (a) Se f(x) ≤M para todo x em [a, b], prove que∫ baf(x) dx ≤M (b− a). Ilustre o resultado graficamente.

(b) Se m ≤ f(x) para todo x em [a, b], prove que m (b− a) ≤∫ baf(x) dx. Ilustre o resultado graficamente.

(c) Mostre que se f e g sao integraveis em [a, b] e g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], entao∫ bag(x) dx ≤

∫ baf(x) dx.

(d) Seja f integravel em [a, b]. Mostre que∣∣∣ ∫ ba f(x) dx

∣∣∣ ≤ ∫ ba |f(x)| dx

10. Seja f(x) = 1 + x4. Ache o valor medio de f no intervalo de 0 ate 0,001, com dez casas decimais exatas.Sugestao: A resposta deve ser dada rapidamente. Se voce nao consegue perceber como isto pode ser feito, calculea resposta usando forca bruta. O numero obtido sugere como os calculos poderiam ter sido evitados.

11. Se f(x) = k para todo x em [a, b], prove que todo numero c em [a, b] satisfaz a conclusao do teorema do valormedio para integrais definidas. Interprete este resultado geometricamente.

12. Se f(x) = x e 0 < a < b, determine (sem integrar) um numero c em (a, b) tal que∫ baf(x) dx = f(c) (b− a).

21.9 Um pouco de historia

Parece que o primeiro a calcular a area exata de uma figura li-mitada por curvas foi Hipocrates de Chios, o mais famoso ma-tematico grego do seculo V a.C.. Ele calculou a area da figuraem forma de lua crescente (ou minguante), na figura ao lado. Estafigura, construıda por dois cırculos (o cırculo centrado em (0, 0)e raio unitario e o cırculo centrado em (0,−1) e passando pelospontos (1, 0) e (−1, 0)) recebeu o nome de lunula de Hipocrates,em homenagem aquele que descobriu que a sua area e igual a areado quadrado cujo lado e o raio do cırculo.

–2

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

x

O problema da quadratura de um cırculo, isto e, de achar um quadrado de area equivalente a de um cırculo de raiodado, e um dos problemas classicos da Geometria a que muitos matematicos dedicaram atencao, desde a Antiguidade.Hipocrates “quadrou a lunula”, embora fosse incapaz de resolver o problema da quadratura do cırculo.

Os geometras, desde o tempo de Euclides, entendem que resolver um problema e construir a sua solucao utilizandosomente uma regua nao graduada e um compasso. Hoje, sabemos que o problema da quadratura do cırculo e impossıvelde resolver utilizando-se apenas regua e compasso.

A primeira vista parece que o problema de calcular areas e um assunto de interesse apenas para geometras, semaplicacoes na vida pratica fora da Matematica. Isto nao e verdade. No transcorrer dos proximos capıtulos, veremosque muitos conceitos importantes de Fısica, tais como trabalho, energia e o problema de engenharia de achar a forcatotal que age sobre uma barragem em virtude da pressao de agua no reservatorio, por exemplo, dependem das mesmasideias utilizadas neste capıtulo para o calculo de areas.

21.10 Projetos

21.10.1 Somas de Riemann aleatorias

Uma soma de Riemann de uma funcao f definida em um intervalo [a, b] tem a forma geral

S = f(c1) (x2 − x1) + f(c2) (x3 − x2) + . . .+ f(cn−1) (xn − xn−1) ,

onde a = x1 < x2 < .... < xn = b e uma particao do intervalo [a, b] e cada ci e tal que xi−1 ≤ ci ≤ xi.O objetivo deste projeto e calcular somas de Riemann para a funcao f(x) = x3 + 3x2 + 2x − 5, definidas por

meio de uma particao do intervalo [0, 1] em 15 partes, geradas aleatoriamente. Para obter numeros aleatorios, vamosutilizar o comando rand() do Maple. Cada vez que este comando e executado, um numero entre 1 e 1012 e escolhidoao acaso. Assim, a linha de comando abaixo gera uma sequencia de 31 = 2.15 + 1 numeros aleatorios entre 1 e 1012.Execute-o varias vezes!

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W.Bianchini, A.R.Santos 291

> numeros:=[seq(rand(),k=1..31)]; k:=’k’:

numeros := [97396414947, 780422731613, 987785640265, 674198272844,

134050365811, 754869582636, 140810856859, 347877704841, 433599229456,

898724880795, 485531802023, 255050614524, 952922474293, 642065329619,

154912668026, 856069438450, 681407641506, 962917791070, 874166946435,

905950292905, 549552888716, 84125842236, 67060541266, 621757734462,

223575905687, 273574099511, 410424381304, 659501247275, 887974857856,

234450269247, 606386273485]

Como queremos pontos pertencentes ao intervalo [0, 1], vamos converter os pontos gerados pelo comando acimapara este intervalo, por uma mudanca de escala:

> pts:=map(x->evalf(x/10^12),numeros);

pts := [.09739641495, .7804227316, .9877856403, .6741982728, .1340503658,

.7548695826, .1408108569, .3478777048, .4335992295, .8987248808,

.4855318020, .2550506145, .9529224743, .6420653296, .1549126680,

.8560694385, .6814076415, .9629177911, .8741669464, .9059502929,

.5495528887, .08412584224, .06706054127, .6217577345, .2235759057,

.2735740995, .4104243813, .6595012473, .8879748579, .2344502692,

.6063862735]

Para formar os pontos da particao, precisamos colocar esta ultima sequencia em ordem crescente. Isto e feitoutilizando-se o comando sort:

> part:=sort(pts);

part := [.06706054127, .08412584224, .09739641495, .1340503658, .1408108569,

.1549126680, .2235759057, .2344502692, .2550506145, .2735740995,

.3478777048, .4104243813, .4335992295, .4855318020, .5495528887,

.6063862735, .6217577345, .6420653296, .6595012473, .6741982728,

.6814076415, .7548695826, .7804227316, .8560694385, .8741669464,

.8879748579, .8987248808, .9059502929, .9529224743, .9629177911,

.9877856403]

Podemos agora calcular a soma de Riemann associada a esta particao do intervalo [0, 1], como se segue.

> f:=x->x^3+3*x^2+2*x-5;

f := x→ x3 + 3x2 + 2x− 5

> S:=sum(f(part[2*j])*(part[2*j+1]-part[2*j-1]),j=1..15);

S := −2.403062293

1. Repita este processo mais cinco vezes e guarde os resultados. Calcule a media das suas 6 tentativas e descrevacomo este processo forma uma soma de Riemann geral e como por meio dele se chega a uma aproximacao dovalor da integral da funcao no intervalo [0, 1]. Ilustre geometricamente.

2. Explique como e possıvel melhorar a precisao do resultado e aplique as suas conclusoes para melhorar o resultadoobtido acima.

3. Ache por este processo uma aproximacao para a integral da funcao f(x) = x3 + x+ 2 no intervalo [0, 1].

21.10.2 Somas de Riemann e funcoes monotonas

O objetivo deste projeto e calcular integrais de funcoes monotonas por meio de somas de Riemann com um erromaximo prefixado.

1. Considere a funcao f(x) = x3 + x+ 2.

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292 Cap. 21 Introducao a Integral: Calculo de Areas e Integrais Definidas

(a) Mostre que f e monotona no intervalo [0, 2].

(b) Use os comandos leftbox e rightbox do pacote student para ilustrar como podemos aproximar a integralda funcao dada no intervalo [0, 2] por meio da soma das areas de retangulos inscritos ou circunscritos naregiao delimitada pela funcao, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 2.

(c) Determine o menor valor de n (numeros de retangulos) que garanta uma estimativa para a integral dafuncao com erro maximo de 0,1.(Veja Problemas 1 e 2.)

(d) Use o comando sum para obter uma estimativa a maior e uma estimativa a menor para a area da regiaolimitada por y = f(x), y = 0, x = 0 e x = 2.

(e) Use o comando sum para obter estas mesmas estimativas como funcao do numero n de retangulos usados.

(f) Use o comando limit(...,n=infinity) e a expressao que voce encontrou no item anterior para obter ovalor exato da area da regiao.

2. Considere a funcao g(x) = cos(x2 ).

(a) Mostre que g e monotona em [0, 1].

(b) Obtenha uma expressao geral para uma subestimativa para a area limitada pela curva y = g(x), pelo eixox e pelas retas x = 0 e x = 1.

(c) Calcule o erro maximo que se comete ao aproximar a area da regiao descrita acima pela soma das areas de10 retangulos inscritos na regiao.

(d) Obtenha o valor exato desta area.

(e) Use as conclusoes obtidas nos itens anteriores e a funcao f(x) =√

1− x2, definida em [a, b] = [0, 1] , paraobter aproximacoes de π

4 com erro menor que 110 .

3. Nem todas as funcoes sao monotonas, entretanto, as ideias estudadas aqui podem ser estendidas a funcoes quenao sao monotonas. Descreva como e possıvel estender as ideias estudadas neste capıtulo a funcoes contınuas

mais gerais a fim de garantir que as aproximacoes de∫ baf(x) dx, obtidas por meio de somas de Riemann, tenham

uma precisao fixada.

4. As somas de Riemann obtidas considerando-se o ponto medio de cada subintervalo de uma particao P do intervalo[a, b] tambem fornecem uma aproximacao para a area da regiao delimitada por uma funcao f , positiva, definidaem [a, b], pelo eixo x e pelas retas x = a e x= b. Para funcoes monotonas, a aproximacao obtida utilizando-se oponto medio de cada subintervalo pode conduzir a subestimativas ou a superestimativas.

(a) De exemplos de funcoes para as quais a aproximacao obtida considerando-se o ponto medio de cada subin-tervalo fornece uma subestimativa para a area de uma regiao delimitada pela funcao dada, pelo eixo x epor duas retas verticais.

(b) De exemplos de funcoes para as quais a aproximacao obtida considerando-se o ponto medio de cada subin-tervalo fornece uma superestimativa para a area da regiao descrita acima.

5. Podemos obter aproximacoes para regioes do tipo descrito nos itens anteriores considerando o extremo inferiore o extremo superior de cada subintervalo considerado em uma particao do intervalo [a, b]. A media aritmeticadas aproximacoes assim obtidas e conhecida como regra do trapezio para o calculo destas areas.

(a) Explique o porque deste nome e estabeleca um criterio geometrico que permita afirmar quando a regra dotrapezio fornece uma subestimativa para a area da regiao e quando esta regra fornece uma superestimativa.

21.10.3 O Maple e o princıpio da inducao matematica

O princıpio da inducao e uma das mais importantes (e uteis) tecnicas de demonstracao em matematica. Este princıpio,em geral, e usado quando precisamos demonstrar que uma determinada formula vale para todos os numeros naturais.Por exemplo, podemos observar que 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16. A partir destes dados, poderıamosconjecturar que a soma dos primeiros n numeros ımpares e igual a n2, isto e, 1 + 3 + ...+ ( 2n− 1) = n2. O princıpioda inducao matematica afirma que uma formula, P (n), e verdadeira para todo numero natural n se

1. P (1) e verdadeira.

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W.Bianchini, A.R.Santos 293

2. considerando P (k) verdadeira, conseguirmos mostrar que P (k + 1) e verdadeira.

Estas duas condicoes garantem que P (n) e verdadeira para todo n. De fato, se P (1) e verdade, entao (usando(2) no caso particular em que k =1), segue que P (2) e verdade. Agora, como P (2) e verdade (usando (2) no casoparticular em que k =2), segue que P (3) e verdade, assim por diante.

Desta maneira, fica claro que qualquer que seja o numero n, ele sera alcancado por um numero suficiente de passos,como descrito acima.

Para ilustrar o raciocınio que se esconde por tras do princıpio da inducao, imagine uma linha infinita de pessoasnumeradas da seguinte maneira P (1), P (2), P (3), . . .. Um segredo e contado a primeira pessoa da fila (P (1) conheceo segredo) e cada pessoa tem a instrucao de contar o segredo para a pessoa que a segue na fila, aquela com o numeroseguinte ao seu proprio (se P (k) conhece o segredo, P (k + 1) conhece o segredo). Entao, esta claro que cada pessoada fila acabara conhecendo o segredo!

Para provar a conjectura feita acima, isto e,

n∑i=1

(2 i− 1) = n2, precisamos, portanto,

1. provar que esta formula vale para n = 1. (O que e obvio, pois 1 = 1.)

2. supondo que esta formula valha para n = k, mostrar que ela e verdadeira para n = k + 1.

O objetivo deste projeto e mostrar como usar o Maple para obter formulas do tipo anterior e ainda verificar avalidade de P (1) e fazer as contas necessarias para estabelecer que a validade de P (k) implica na validade de P (k + 1).

Vamos realizar esta tarefa com a ajuda do Maple. O comando sum e a sua forma inerteQTRMaple InputSum podem ser usados para obter as formulas a serem provadas. Assim,

> Sum(2*i-1,i=1..n)=sum(2*i-1,i=1..n);n∑i=1

(2 i− 1) = (n+ 1)2 − 2n− 1

> simplify(%);

n∑i=1

(2 i− 1) = n2

Agora, podemos construir a funcao que a cada n associa esta soma:

> P:=n->Sum(2*i-1,i=1..n)=sum(2*i-1,i=1..n);

P := n→n∑i=1

(2 i− 1) =

n∑i=1

(2 i− 1)

Deste modo, podemos calcular o valor de P (n), qualquer que seja o numero natural n, simplesmente calculando ovalor da funcao P , neste ponto:

> P(3);

3∑i=1

(2 i− 1) = 9

> P(7);

7∑i=1

(2 i− 1) = 49

Assim, fica claro que P (1) e verdade, pois

> P(1);

1∑i=1

(2 i− 1) = 1

> value(%);

1 = 1

Suponhamos agora que P (k) seja verdade para algum inteiro positivo k. Vamos considerar, portanto, que

Page 310: texto completo em PDF

294 Cap. 21 Introducao a Integral: Calculo de Areas e Integrais Definidas

> P(k);

k∑i=1

(2 i− 1) = (k + 1)2 − 2 k − 1

> simplify(P(k));

k∑i=1

(2 i− 1) = k2

seja verdadeira. Precisamos provar que P (k + 1) e verdadeira. Para isto, vamos somar (2k+1) (o proximo numeroımpar) a ambos os lados desta equacao, o que nao altera a igualdade. Assim, temos:

> lhs(P(k))+(2*k+1)= rhs(P(k))+(2*k+1);

(

k∑i=1

(2 i− 1)) + 2 k + 1 = (k + 1)2

E obvio que o lado esquerdo da equacao acima e a soma 1 + 3 + 5 + . . .+ (2 k − 1) + (2 k + 1) =

k+1∑i=1

(2 i− 1).

Assim, mostramos que a validade da formula para n = k, isto e,

k∑i=1

(2 i− 1) = k2 implica a validade da formula

para n = k+1, isto e,

k+1∑i=1

(2 i− 1) = (k + 1)2 e, portanto, a formula e valida para todo inteiro positivo.

Num exemplo mais complicado, poderıamos usar o Maple para mostrar que o lado direito da ultima equacaoobtida e igual a P (k+1) e assim estabelecer que a validade de P (k) (se a formula e valida para os primeiros k numerosımpares) implica a validade de P (k + 1) (a formula sera valida para os primeiros k + 1 numeros ımpares). Para isto,basta calcular

> P(k+1);

k+1∑i=1

(2 i− 1) = (k + 2)2 − 2 k − 3

simplificar a expressao resultante e comparar com o resultado obtido anteriormente.

> simplify(%);

k+1∑i=1

(2 i− 1) = k2 + 2 k + 1

> factor(%);

k+1∑i=1

(2 i− 1) = (k + 1)2

1. Use o Maple e obtenha formulas, validas para os primeiros n inteiros positivos, para as somas indicadas abaixoe verifique, usando inducao matematica, que estas formulas sao validas para todos os inteiros positivos:

(a)∑

i3 (b)∑

i4 (c)∑

1i (i+1) (d)

∑1

i (i+1) (i+2)

2. Vamos usar inducao para “provar” que 1+ 2 + 3 + ...+ n = n2+n+12 .

Seja P (n) = n2+n+12 . Supondo valida esta afirmacao para n = k, vamos mostrar que a mesma e valida para n

= k+1.

Assim, temos: 1 + 2 + 3 ...+ k = k2+k+12 .

Somando k + 1 a ambos os membros desta igualdade, vem que:

1 + 2 + 3 + ...k + (k + 1) =k2 + k + 1

2+ (k + 1) =

k2 + k + 1

2+

2 k + 2

2=k2 + 3 k + 3

2

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W.Bianchini, A.R.Santos 295

=[k2 + 2 k + 1] + (k + 1) + 1

2=

(k + 1)2 + (k + 1) + 1

2

e, portanto, P (k + 1) e verdade. Assim, como a validade de P (k) implica a validade de P (k + 1), temos que P (n)e verdadeira para todos os numeros naturais.

• Evidentemente, como a soma dos n primeiros numeros naturais nao e dada por n2+n+12 (qual a formula

verdadeira?), existe uma falha na demonstracao acima. Que falha e esta?

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Capıtulo 22

O Teorema Fundamental do Calculo eIntegrais Indefinidas

22.1 Introducao

Calcular integrais usando somas de Riemann, tal qual vimos no capıtulo anterior, e um trabalho penoso e por vezesmuito difıcil (ou quase impossıvel). Felizmente, existe um metodo muito eficiente e poderoso que permite calcularintegrais de uma maneira muito mais simples. Este metodo, desenvolvido separadamente por Newton e Leibniz, mostraque se uma determinada quantidade pode ser calculada por exaustao (somas de Riemann, por exemplo), entao podeser calculada muito mais facilmente com o uso de antiderivacao, entendida como o processo de achar uma funcaoconhecendo-se a sua derivada. Este importante resultado e denominado teorema fundamental do calculo e e um dosmais importantes de toda a matematica. Este teorema relaciona derivadas e integrais e mostra que elas sao, de umacerta maneira, “operacoes inversas”.

Este fato e evidenciado pela seguinte situacao fısica. Considere uma partıcula deslocando-se em linha reta, comvelocidade conhecida v(t) ≥ 0, em cada instante t, com t variando em um intervalo de tempo [a, b]. Se s(t) fornecea posicao da partıcula em cada instante t, o espaco total percorrido pela partıcula em um intervalo de tempo [a, b] edado por s(b)− s(a).

Considere agora uma particao P do intervalo [a, b] em n subintervalos iguais. O espaco percorrido pela partıculaem cada subintervalo de tempo [ ti−1, ti], de comprimento ∆ t, da particao P , pode ser aproximado por v(ci) ∆ t, ondeci e um ponto do subintervalo considerado. Assim, o espaco total percorrido pela partıcula no intervalo de tempo [a,

b], pode ser aproximado pela soma

n∑i=1

v(ci) ∆ t. Esta aproximacao sera cada vez melhor a medida que ∆ t for cada

vez menor. Assim, temos que o valor exato do espaco percorrido sera dado pelo limite da soma acima, ou seja,

s(b)− s(a) = limn→∞

n∑i=1

v(ci) ∆ t =

∫ b

a

v(t) dt =

∫ b

a

s′(t) dt .

Este resultado e o chamado teorema fundamental do calculo .

22.2 O teorema fundamental do calculo

A abordagem de Newton do problema do calculo de areas parece, a primeira vista, paradoxal e consiste em substituiro problema do calculo da area de uma regiao fixa (figura a esquerda) pelo calculo da area de uma regiao variavel,produzida quando a extremidade direita do intervalo e considerada movel, de modo que a area seja uma funcao de x,como e ilustrado no diagrama da figura a direita.

296

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W.Bianchini, A.R.Santos 297

0

2

4

6

8

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3x

4.

2.

2.1.0

4.

2.

2.1.0

4.

2.

2.1.0

4.

2.

2.1.0

4.

2.

2.1.0

4.

2.

2.1.0

E facil descobrir qual e a funcao que nos da a area da regiao variavel, como mostra a primeira parte da demonstracaodo teorema fundamental do calculo enunciado a seguir.

Teorema fundamental do calculoSeja f uma funcao contınua definida no intervalo fechado [a, b].

1. Se a funcao A e definida em [a, b] por

A(x) =

∫ x

a

f(t) dt ,

entao, A′(x) = f(x) para todo x em [a, b]. Uma funcao com tal propriedade e chamada de primitiva ou antide-rivada de f.

2. Se F e uma primitiva de f em [a, b], entao∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a) .

Antes de demonstrarmos o teorema, vamos salientar alguns aspectos geometricos da formula do item 2. Se f e positivaem [a, b], entao a funcao A definida em 1 representa a area sob o grafico de f desde t = a ate t = x (figura seguinte aesquerda).

E claro que A cresce com x. Se ∆x > 0, a diferenca ∆A = A(x+ ∆x)−A(x) e a area sob o grafico de f de x atex+ ∆x, que corresponde a area da faixa mostrada na figura seguinte a direita.

x ba x∆x+x ba

Mostraremos queA(x+ ∆x)−A(x)

∆x= f(c),

onde c esta entre x e x+ ∆x. Intuitivamente percebemos que se ∆x tende a zero, entao c→ x e f(c)→ f(x), que eo resultado que queremos provar. Este resultado nos diz, simplesmente, que a taxa de variacao da area A em relacaoa x e igual ao comprimento do lado esquerdo da regiao.

Demonstracao

1. Seja ∆x > 0. Se x e x+ ∆x pertencem a [a, b], entao, pela definicao da funcao A(x) e pelas propriedades dasintegrais definidas, temos que

A(x+ ∆x)−A(x) =

∫ x+∆ x

a

f(t) dt−∫ x

a

f(t) dt =

∫ x

a

f(t) dt+

∫ x+∆ x

x

f(t) dt−∫ x

a

f(t) dt

=

∫ x+∆ x

x

f(t) dt

Page 314: texto completo em PDF

298 Cap. 22 O Teorema Fundamental do Calculo e Integrais Indefinidas

Assim, podemos escreverA(x+ ∆x)−A(x)

∆x= (

1

∆x)(

∫ x+∆ x

x

f(t) dt) .

Como f e contınua, pelo teorema do valor medio para integrais sabemos que existe um numero c (que dependede ∆x) no intervalo (x, x+ ∆x), tal que ∫ x+∆ x

x

f(t) dt = f(c) ∆x

e, portanto,A(x+ ∆x)−A(x)

∆x= f(c) .

Como x < c < x+ ∆x, segue que lim∆ x→0+

f(c) = limc→x+

f(c) = f(x) e daı, pela igualdade anterior,

lim∆ x→0+

A(x+ ∆x)−A(x)

∆x= f(x) .

Se ∆x < 0, demonstra-se, analogamente, que lim∆ x→0−

A(x+ ∆x)−A(x)

∆x= f(x) .

Os limites laterais acima implicam que

dA

dx= lim

∆ x→0

A(x+ ∆x)−A(x)

∆x= f(x),

o que querıamos demonstrar.

2. Seja A(x) =

∫ x

a

f(t) dt como definida em 1. Entao, A(a) = 0 e A(b) =

∫ b

a

f(t) dt.

Pela parte 1, A′(x) = f(x). Por hipotese, temos tambem que F ′(x) = f(x). Logo, pelo corolario 2 do teorema dovalor medio, as funcoes A e F diferem por uma constante, isto e,

A(x) = F (x) + C .

Para x = a, temos 0 = A(a) = F (a) + C, isto e, C = −F (a).Assim, A(x) = F (x)− F (a). Logo, para x = b,

A(b) =

∫ b

a

f(t) dt = F (b)− F (a)

e o teorema esta demonstrado.

Observacoes

1. A igualdade A′(x) = f(x) que aparece na parte 1 do teorema fundamental do calculo pode ser reescrita como

d

dx

∫ x

a

f(t) dt = f(x)

e nos mostra que a derivada desta funcao e, simplesmente, o valor do integrando calculado no limite superior daintegral. Temos tambem que ∫ x

a

f(t) dt =

∫ x

a

d

dtF (t) dt,

e por sua vez ∫ x

a

d

dtF (t) dt = F (x)− F (a).

Neste sentido, diz-se que as operacoes de derivacao e integracao sao inversas uma da outra.

Page 315: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 299

2. Usa-se a notacao F (x)|ba para representar a diferenca F (b)− F (a). Assim, escrevemos∫ b

a

f(x) dx = F (x)|ba = F (b)− F (a) .

3. Qualquer primitiva de f(x) servira para o calculo da∫ baf(x) dx. A veracidade desta afirmacao e facilmente

comprovada se lembrarmos que quaisquer duas primitivas de f diferem por uma constante. Assim, se F e umaprimitiva de f , entao qualquer outra primitiva desta funcao e obtida adicionando-se uma conveniente constanteC a funcao F para obter F + C. Deste modo, como

(F (x) + C)|ba = (F (b) + C)− (F (a) + C) = F (b)− F (a) ,

a constante arbitraria C nao tem efeito sobre o resultado, portanto, podemos sempre escolher C = 0 quandoestamos achando primitivas com o proposito de calcular integrais definidas.

4. Este teorema torna o difıcil problema de calcular integrais definidas por meio do calculo do limite de somas num

problema muito mais facil de encontrar primitivas. Portanto, para achar o valor de∫ baf(x) dx nao precisamos

mais calcular limites de somas de Riemann; simplesmente achamos, da maneira que for possıvel (por inspecao,por algum calculo inteligente, por inspiracao divina, procurando numa tabela, usando o Maple), uma primitivaF da funcao que queremos integrar e calculamos o numero F (b)− F (a).

5. A tarefa de encontrar primitivas de funcoes nao e trivial e, em alguns casos, e impossıvel determinar primitivasem termos de funcoes elementares – polinomios, senos e cossenos, logaritmos e exponenciais, ou combinacoes ecomposicoes destas funcoes. No entanto, a funcao A(x) definida no teorema fundamental do calculo existe sempreque o integrando for uma funcao contınua no intervalo [a, x], mesmo que nao saibamos calcula-la explicitamente,e e contınua, pois e derivavel. Neste sentido, por exemplo, o problema de se achar uma formula explıcita para aintegral ∫ x

a

sen(x2) dx

esta fora do nosso alcance. Entretanto, se em vez de procurarmos uma formula explıcita para esta integralquisermos apenas uma funcao bem definida, a expressao F (x) =

∫ xa

sen(x2) dx servira como uma boa definicaopara a funcao procurada. (Veja o Exemplo 5.)

Exemplo 1 Se n e um inteiro positivo, calcule uma primitiva de xn e use este resultado para calcular∫ 2

−1x5 dx.

Solucao Comod

dx

(x(n+1)

n+ 1

)= xn, temos que

x6

6e a primitiva procurada. Assim, pelo teorema fundamental do

calculo obtemos: ∫ 2

−1

x5 dx =x6

6

∣∣∣∣2−1

=26

6− (−1)6

6=

63

6.

Exemplo 2 Calcule

∫ 2

−1

∣∣x2 − x∣∣ dx .

Solucao Como x2 − x ≤ 0 em (0, 1) e x2 − x ≥ 0 em (−1, 0) e (1, 2), usando as propriedades da integral definida,temos ∫ 2

−1

∣∣x2 − x∣∣ dx =

∫ 0

−1

x2 − x dx+

∫ 1

0

x− x2 dx+

∫ 2

1

x2 − x dx

=

[x3

3− x2

2

]0

−1

+

[x2

2− x3

3

]1

0

+

[x3

3− x2

2

]2

1

= −((−1)3

3− (−1)2

2) + (

1

2− 1

3) + [

23

3− 22

2− (

1

3− 1

2)] =

11

6.

Exemplo 3 Considere a funcao f(x) = 2x3 + 2x2 − 4x .

Page 316: texto completo em PDF

300 Cap. 22 O Teorema Fundamental do Calculo e Integrais Indefinidas

(a) Calcule∫ 1

−2f(x) dx.

(b) Ache a area da regiao limitada pelo grafico de f e o eixo x.

Solucao (a) Como a funcao F (x) = x4

2 + 2 x3

3 − 2x2 e uma primitiva def(x) = 2x3 + 2x2 − 4x, tem-se que∫ 1

−2

2x3 + 2x2 − 4x dx =x4

2+

2x3

3− 2x2

∣∣∣∣1−2

=1

2+

2

3− 2− (

(−2)4

2+

2 (−2)3

3− 2 (−2)2) =

9

2.

(b) Observe o seguinte grafico da funcao f :

R2

R1

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

y

–3 –2 –1 1 2 3x

A regiao limitada pelo grafico de f e o eixo x e composta de duas regioes R1 e R2. A area de R1 e dada por∫ 0

−2

2x3 + 2x2 − 4x dx =x4

2+

2x3

3− 2x2

∣∣∣∣0−2

= −(

(−2)4

2+

2 (−2)3

3− 2 (−2)2

)=

16

3.

No intervalo (0, 1) a funcao e negativa, de modo que, para obter a area (positiva) da regiao R2, devemos mudar osinal da integral de f neste intervalo. Assim, a area de R2 sera dada por

−∫ 1

0

2x3 + 2x2 − 4x dx = −[x4

2+

2x3

3− 2x2

]1

0

= −(1

2+

2

3− 2) =

5

6.

Logo, a area R da regiao pedida sera

R = R1 + R2 =16

3+

5

6=

37

6.

Este raciocınio e equivalente a integrarmos o valor absoluto de f no intervalo considerado, pois∫ 1

−2

| f(x) | dx =

∫ 0

−2

f(x) dx−∫ 1

0

f(x) dx ,

e esta soma fornece a area que queremos calcular. Esta conclusao e ilustrada pelo grafico de y = | f(x) |, mostrado aseguir. Compare este grafico com o de y = f(x) tracado anteriormente.

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

y

–3 –2 –1 1 2 3x

Exemplo 4 Calculedy

dx, se

(a) y = f(x) =

∫ x

0

t3 sen(t) dt (b) y = h(x) =

∫ x2

0

t3 sen(t) dt

Solucao (a) A primeira parte do teorema fundamental do calculo afirma que a derivada de uma integral emrelacao ao seu limite superior e igual ao valor do integrando naquele limite. Assim, se y(x) =

∫ x0t3 sen(t) dt, temos,

imediatamente, que dydx = x3 sen(x).

Page 317: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 301

(b) Este caso e um pouco mais complicado, pois o limite superior da integral e uma funcao da variavel em relacaoa qual desejamos derivar a funcao dada. Neste caso, seja u = g(x) = x2. Assim, se

F (u) =

∫ u

0

t3sen(t) dt

entao, h(x) = (F g)(x). Pela regra da cadeia,

dh

dx=dF

du

du

dx= u3sen(u)2x = x6sen(x2) 2x = 2x7sen(x2)

Exemplo 5 A integral S(x) =∫ x

0sen(π t2

2

)dt e chamada funcao de Fresnel e apareceu pela primeira vez no

trabalho do fısico frances Augustin Fresnel (1788-1827), famoso por suas contribuicoes em otica sobre a difracao deondas de luz.

(a) Para que valores de x esta funcao tem maximos locais.

(b) Em que intervalos esta funcao e concava para cima?

Solucao (a) A primeira parte do teorema fundamental do Calculo nos mostra que

S′(x) = sen

(π x2

2

).

A partir desta informacao, podemos aplicar os metodos do calculo diferencial para analisar esta funcao. Como S′ e

contınua em toda a reta, os pontos crıticos de S so poderao ocorrer onde S′(x) = 0, ou seja, onde sen(π x2

2

)= 0. Daı,

decorre que x = ±√

2 k, para k = 0, 1, 2 . . ..Para decidir quais destes pontos sao maximos locais, vamos aplicar o teste da derivada segunda. Assim, como

S′′(x) = π x cos(π x2

2

), temos que, para valores ımpares de k, S′′(

√2 k) sera negativa e, portanto, os pontos x =

√2 k

(k ımpar) serao maximos locais da funcao S.A analise e analoga para o caso em que x = −

√2 k. O ponto (0, 0) e um ponto de inflexao da funcao S. (Confira!)

O item (b) e deixado como exercıcio para o leitor.Veja abaixo, a esquerda, o grafico desta funcao tracado com a ajuda do Maple e abaixo a direita um detalhe do

mesmo (para x variando de 0 ate 2,5) tracado em conjunto com a sua derivada. Observe que as conclusoes obtidasacima coincidem com os graficos apresentados.

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4x

22.3 Integrais indefinidas

Uma integral como

∫ b

a

f(x) dx e chamada integral definida de f. Uma funcao F , tal que F ′(x) = f(x), e uma primitiva

de f(x), assim como F (x) +C, onde C e uma constante real qualquer. A medida que variamos C, obtemos o conjuntode todas as primitivas de f . Podemos representar este conjunto por∫

f(x) dx = F (x) + C.

Page 318: texto completo em PDF

302 Cap. 22 O Teorema Fundamental do Calculo e Integrais Indefinidas

A integral que aparece nesta expressao e chamada integral indefinida de f e e usada para especificar a primitivamais geral de f . Assim, ∫

f(x) dx = F (x) + C se e somente se F ′(x) = f(x)

e podemos escrever que

d

dx

∫f(x) dx =

d

dx(F (x) + C) = f(x) e

∫f(x) dx =

∫d

dxF (x) dx = F (x) + C .

A constante C e chamada de constante de integracao. Para cada valor de C temos uma primitiva de f . Veja afigura a seguir, onde tracamos o grafico de varias primitivas da funcao f(x) = (x− 2)2, obtidas pela variacao do valorda constante C.

c =3

c = 2

c = 1

c = 0

c = –1

c = –2

–4

–2

0

2

4

y

1 2 3 4x

Em geral, nao se explicita o domınio de F . Supoe-se sempre escolhido um intervalo em que f seja integravel. Talcomo no caso de integrais definidas, aqui tambem e irrelevante o sımbolo adotado para a variavel de integracao, porexemplo,

∫f(t) dt,

∫f(u) du, etc. originam sempre a mesma funcao F . Como a integral indefinida de f e uma primitiva

desta funcao, o teorema fundamental do calculo nos da a seguinte relacao entre integrais definidas e indefinidas:

∫ b

a

f(x) dx =

[∫f(x) dx

]ba

Assim, conhecida a integral indefinida de uma funcao f , podemos calcular qualquer integral definida desta mesmafuncao. Alem disso, a partir das propriedades operatorias de derivacao, podemos estabelecer algumas regras basicaspara as integrais indefinidas. Por exemplo, a propriedade operatoria para derivar somas de funcoes pode ser traduzidaem termos de integrais indefinidas como∫

(f(x) + g(x)) dx =

∫f(x) dx+

∫g(x) dx.

Da mesma forma, se C e uma constante arbitraria,∫C f(x) dx = C

∫f(x) dx.

Assim, tal como no caso de integrais definidas, toda regra de derivacao pode ser transformada em uma regra deintegracao. Por exemplo, como

d

dx

(√x2 + 5

)=

x√x2 + 5

⇒∫

x√x2 + 5

dx =√x2 + 5 + C.

Esta observacao nos permite construir uma tabela de integrais “invertendo” uma tabela de derivadas, como e feito nosexemplos a seguir.

Exemplo 1 A regra da potencia para integrais definidas e dada por∫xn dx =

x(n+1)

n+ 1+ C, para todo racional n 6= −1.

Exemplo 2 Da mesma maneira, valem as regras

Page 319: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 303

∫sen(x) dx = −cos(x) + C∫cos(x) dx = sen(x) + C∫sec2(x) dx = tg(x) + C

∫cossec2(x) dx = −cotg(x) + C∫

1

1 + x2dx = arctg(x) + C∫

1√1− x2

dx = arcsen(x) + C

Como ja dissemos, a tarefa de encontrar primitivas e, portanto, de calcular integrais indefinidas, nao e trivial. Nosproximos capıtulos, desenvolveremos metodos que serao uteis no calculo de integrais indefinidas.

22.4 Exercıcios

1. Calcule as integrais abaixo usando o teorema fundamental do calculo:

(a)

∫ 3

1

x2 dx

(b)

∫ π

0

sen(x) dx

(c)

∫ π

0

cos(x) dx

(d)

∫ 1

0

5x3 − 4x2 + 2 dx

(e)

∫ π4

0

sec2 x dx

2. Use o teorema fundamental do calculo e as propriedades de integral para calcular as integrais abaixo:

(a)

∫ 1

−1

5x5 + 3x3 + sen(2x) dx

(b)

∫ π

0

sen(x) cos(x) dx

(c)

∫ 9

1

√3x− 2 dx

(d)

∫ 4

2

√3x− 1√

xdx

(e)

∫ π

0

cos(5x) dx

(f)

∫ 3

1

5

x4− 2

x3dx

(g)

∫ 2

1

x3 + x4

xdx

(h)

∫ π

0

2x cos(x2) dx

3. Usando as propriedades das integrais definidas e o teorema fundamental do calculo, prove que a integral de umpolinomio de grau n e dada por: ∫ b

a

n∑i=0

ci xi dx =

n∑i=0

(cii+ 1

)x(i+1)

∣∣∣∣ba

4. Seja f(x) =

x+ 1 x < 0cos(x) x ≥ 0

. Calcule

∫ 1

−1

f(x) dx.

5. Em cada um dos itens abaixo, determine um numero c que satisfaca a conclusao do teorema do valor medio paraintegrais definidas:

(a)

∫ 4

0

√x+ 1 dx

(b)

∫ 1

−1

(2x+ 1)2 dx

(c)

∫ 2

−1

3x3 + 2 dx

(d)

∫ 9

1

3

x2dx

6. (a) Se f(x) = x2 + 1, determine a area da regiao sob o grafico de f de −1 a 2.

(b) Se f(x) = x3, determine a area da regiao sob o grafico de f de 1 a 3.

7. Use integracao para calcular a area do triangulo delimitado pela reta y = 2x, pelo eixo x e pela reta x = 3.Confira sua resposta usando geometria.

8. Use uma integral definida para provar que a area de um triangulo retangulo de base b e altura a e dada por ab2 .

9. Cada uma das curvas a seguir tem um arco acima do eixo x. Calcule a area da regiao sob o arco.

(a) y = −x3 + 4x(b) y = x3 − 9x

(c) y = 2x2 − x3

(d) y = x4 − 6x2 + 8 .

Page 320: texto completo em PDF

304 Cap. 22 O Teorema Fundamental do Calculo e Integrais Indefinidas

10. Ache a formula geral para F (x) =∫ x

0t2 + 2 t+ 5 dt. Idem para

∫ xat5 − 2 t3 + 1 dt.

11. Ache a primeira e a segunda derivada de cada uma das funcoes dadas abaixo:

(a) f(x) =

∫ x

5

t2 dt

(b) g(x) =

∫ x

π

t3 + 1 dt

(c) h(x) =

∫ x

−4

√1 + t8 dt

(d) g(x) =

∫ 3

x

(1 + t3)100 dt

(e) f(x) =

∫ 5

x

1

tdt, para x > 0.

22.5 Problemas

1. Ache a area sob o grafico de y = x√x2+1

desde x = 1 ate x = 2.

(A menos que voce consiga se lembrar de alguma funcao cuja derivada seja x√x2+1

, voce nao tera como resolver este

problema. O radical no denominador sugere que, de alguma forma, voce deve tentar usar a formula (√f)′ = f ′

2√f

).

2. Calcule

∫ 1

−1

t√t2 + 1

dt. Sugestao: Esboce o grafico desta funcao e explique por que o valor desta integral pode

ser determinado sem ser necessario fazer nenhum calculo!

3. Calcule

∫ π2

−π2sen(x) (cos(x) + 3x2 − x sen(x)) dx.

(Se voce achou este problema difıcil, use o Maple para tracar o grafico do integrando e conclua por que nao enecessario nenhum calculo para resolver esta integral!)

4. (a) Se f(x) e uma funcao ımpar, isto e, f(−x) = −f(x), mostre, geometrica e analiticamente, que∫ a−a f(x) dx =

0.

(b) Se f(x) e uma funcao par, isto e f(−x) = f(x), mostre, geometrica e analiticamente, que∫ a−a f(x) dx =

2∫ a

0f(x) dx

5. O grafico de y = x2, x ≥ 0, pode ser considerado como sendo o grafico de x =√y, y ≥ 0. Mostre, por geometria,

que isto implica a validade da equacao∫ a

0x2 dx+

∫ a20

√y dy = a3, a > 0. Confira este resultado calculando as

integrais.

6. Para calcular a integral∫ 1

−11x2 dx, um aluno de Calculo I raciocinou da seguinte maneira:

Seja F (x) = − 1x . Como F ′(x) = 1

x2 , temos que∫ 1

−1

1

x2dx = F (1)− F (−1) = −1− (− 1

−1) = −2.

O resultado acima representa, geometricamente, a area sob o grafico da curva y = 1x2 , de x = −1 ate x = 1 que,

evidentemente, nao pode ser negativa. Qual a falha no raciocınio deste aluno?

7. (a) Seja um ponto P que se move com velocidade contınua v numa reta coordenada. Mostre que a velocidademedia deste ponto, no intervalo [a, b], e igual a media de v em [a, b].

(b) Se f tem derivada contınua em [a, b], mostre que a taxa media de variacao de f(x) em relacao a x em [a, b]e igual ao valor medio de f ′ em [a, b].

8. Uma pedra cai de um edifıcio de 40 metros de altura. Ache a velocidade media da pedra se ela demora 18segundos para atingir o solo.

9. A temperatura media da praia de Copacabana em um dia de verao das 8 da manha as 6 da tarde e dada,aproximadamente, por T (t) = 25 + 16 sen(π t10 ). Considerando t = 0 as oito da manha, calcule a temperaturamedia da areia no perıodo de 10 horas discriminado acima.

10. Os itens abaixo se referem a funcao F (x) =∫ x

01

1+t4 dt, qualquer que seja x real.

(a) Ache F (0) e F ′(1).

(b) Justifique por que F (3)− F (1) < 1.

Page 321: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 305

(c) Justifique por que F (x) + F (−x) = 0, qualquer que seja o numero real x.

(d) Mostre que F e invertıvel em toda a reta e calcule (dF−1

dx )(1).

11. (a) Ache a area A, como uma funcao de k, da regiao no primeiro quadrante limitada pelo eixo y, pela reta y =k, k > 0, e pelo grafico da funcao y = x3.

(b) Qual o valor de A quando k = 1?

(c) Se a reta y = k esta se movendo para cima a uma taxa constante de 110 unidades de comprimento por

segundo, qual a taxa de variacao de A quando k = 1?

12. Seja g(x) =∫ x

4f(t) dt, onde f e a funcao cujo grafico e mostrado a seguir.

(a) Calcule g(4), g(−4), g(−3), g(0) e g(2).

(b) Em que intervalos g e crescente?

(c) Em que ponto g atinge o seu valor maximo?

(d) Esboce o grafico de g.

(e) Use o grafico obtido no item anterior para esbocar o grafico de g′. Compare o grafico assim obtido com ografico de g.

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–4 –2 2 4

13. Suponha que g′(x) < 0 para todo x ≥ 0 e seja F (x) =∫ x

0t g′(t) dt, para todo x ≥ 0. Justifique a veracidade ou

a falsidade das afirmacoes:

(a) F e negativa para todo x ≥ 0.

(b) F e contınua para todo x ≥ 0.

(c) F ′(x) existe para todo x > 0.

(d) F e uma funcao crescente.

14. Seja f(x) uma funcao duas vezes diferenciavel, tal que f ′′ e contınua em toda a reta. Sabendo que f(0) = −4,

f(1) = 3, f ′(0) = 5, f ′(1) = 2, f ′′(0) = 3 e f ′′(1) = 1, calcule∫ 1

0f ′′(x) dx e

∫ 1

0f ′(x) dx.

15. Mostre qued

dx

(∫ u2(x)

u1(x)

f(t) dt

)= f(u2(x))

(d u2

dx

)− f(u1(x))

(d u1

dx

). Use este resultado para calcular

d

dx

(∫ x3

x2

1

tdt

).

22.6 Um pouco de historia: A integral de Lebesgue

O metodo de calcular areas e volumes de figuras geometricas complicadas por meio de areas e volumes de figuras maissimples, ja era usado por Arquimedes (287-212 a.C.). Tal ideia foi o germe do que se convencionou chamar de calculoinfinitesimal. Embora esta ideia seja tao antiga, sua formalizacao matematica, denominada teoria da integracao, teveseu apogeu no seculo atual. Podemos afirmar que o conceito de integral aparece, de fato, em forma embrionaria,nos trabalhos de Arquimedes, ao utilizar o Metodo da Exaustao criado por Eudoxo (408-355 a.C.), no calculo decomprimento de curvas, de areas e de volumes de figuras geometricas. Um dos resultados obtidos por Arquimedescom o emprego deste metodo e descrito no projeto Arquimedes e a quadratura da parabola.

Ainda que os conceitos de derivada como coeficiente angular da tangente e da integral definida como area sobuma curva fossem familiares a muitos pensadores desde a Antiguidade, dizemos que Newton e Leibniz lancaram asbases do calculo diferencial e integral porque eles, trabalhando quase ao mesmo tempo e independentemente um dooutro, foram os principais descobridores do teorema fundamental do calculo e aqueles que primeiro compreenderam

Page 322: texto completo em PDF

306 Cap. 22 O Teorema Fundamental do Calculo e Integrais Indefinidas

a sua importancia, comecando a construir a necessaria teoria para o estabelecimento destas nocoes em bases solidas,aplicando os seus resultados, com sucesso espetacular, a problemas de mecanica e geometria.

Entretanto, Newton e Leibniz nao possuıam com clareza a nocao de limite, deixando duvidosos e obscuros variospontos de seus trabalhos, com a introducao do conceito de infinitesimo.

Posteriormente, com os trabalhos de Cauchy (1789-1857) e Riemann (1826-1866), o conceito de integral foi estabe-lecido em bases matematicas rigorosas, tornando-se para a epoca um instrumento poderoso na resolucao de inumerosproblemas.

Durante muito tempo foi desenvolvida uma teoria de integracao baseada nas ideias de Riemann. Esta teoria, entre-tanto, contem certos inconvenientes que a tornam inadequada ao estudo de varios problemas da analise matematica.Na secao Para voce meditar, deste capıtulo, focalizamos um desses inconvenientes.

Como a nocao de integral de Riemann apresenta certas deficiencias que a tornam ineficaz para a resolucao de umgrande numero de problemas, fez-se necessaria a reformulacao de tal conceito, com o objetivo de se obter uma integralsem as deficiencias da integral de Riemann e a contendo como um caso particular. Dito de outro modo, dever-se-iaobter uma integral tal que a nova classe de funcoes integraveis contivesse a classe de funcoes integraveis a Riemann(onde as duas integrais deveriam coincidir) e na qual os inconvenientes da integral de Riemann desaparecessem ou,pelo menos, fossem minimizados.

O passo decisivo no sentido de se obter uma definicao de integral que eliminasse as deficiencias existentes naintegral de Riemann foi dado por Henri Lebesgue (1875-1941), quando em 1902 publicou sua famosa tese de dou-toramento, intitulada “Integrale, longuer, aire”, que atualmente esta contida no livro Lecons sur l’Integration et laRecherche des Fonctions Primitives. O conceito de integral originalmente proposto por Lebesgue baseia-se na nocaode medida de conjuntos, e as suas ideias se afastaram tanto dos canones da epoca que foram, a princıpio, refutadas eseveramente criticadas. Todavia, a originalidade de suas ideias encontrou crescente reconhecimento, vindo a completardefinitivamente certas lacunas inerentes a integral de Riemann.

A integral de Lebesgue foi a primeira tentativa frutıfera de organizacao matematica da nocao de integral. Nestesentido, costuma-se dizer que a teoria de integracao foi criada no seculo XX.

22.7 Para voce meditar: Uma conclusao intuitiva ou um erro teorico?

Dizemos que uma funcao u :(a, b)→ R e uma funcao escada quando existe uma particao do intervalo (a, b) tal que ue constante em cada subintervalo desta particao. No capıtulo anterior, utilizamos areas de retangulos inscritos (oucircunscritos) a uma regiao para obter aproximacoes para areas sob graficos de funcoes f positivas. Observe o graficoa seguir e conclua que, se mi e o menor valor da funcao f em cada subintervalo da particao, a area dos retangulosinscritos e a area sob o grafico de uma funcao escada que assume o valor mi em cada subintervalo considerado.

0

1

2

3

4

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x

No capıtulo anterior concluımos, tambem, que o valor exato da area sob uma curva poderia ser obtido tomando-seo limite das areas desses retangulos. Seguindo o mesmo raciocınio, podemos observar que a medida que o numerode intervalos considerados na particao aumenta, a sequencia de funcoes escadas un associadas, da maneira descritaacima, a cada subintervalo das particoes, converge para a funcao f , isto e, lim

n→∞un = f , e desse modo,

limn→∞

∫ b

a

un(x) dx =

∫ b

a

limn→∞

un(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx .

Estas afirmacoes sao ilustradas no diagrama:

Page 323: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 307

Considere agora a sequencia de funcoes gn definidas por

gn(x) =

2n2 x, 0 ≤ x ≤ 1

2n

2n− 2n2 x, 12n ≤ x ≤

1n

0, 1n ≤ x ≤ 1

Observe os graficos de g1(x) e g2(x):

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

E facil ver que, a medida que n cresce, para cada x fixado, a sequencia gn(x) converge para zero. Assim, podemos

dizer que limn→∞

gn(x) = 0. No entanto, para cada n, temos que∫ 1

0gn(x) dx = 1

2 (por que?) e, portanto,

limn→∞

∫ 1

0

gn(x) dx =1

26= 0 =

∫ 1

0

limn→∞

gn(x) dx

• E agora, sera que a nossa definicao de area sob uma curva esta errada, pois nao e verdade que limn→∞

∫ b

a

un(x) dx =∫ b

a

limn→∞

un(x) dx?

• Se a conclusao no primeiro exemplo apresentado acima e correta, qual a diferenca entre os dois exemplos dados?Por que no primeiro caso vale a igualdade

limn→∞

∫ b

a

un(x) dx =

∫ b

a

limn→∞

un(x) dx

e no segundo este resultado nao se aplica?(Sugestao: O cerne deste problema esta na definicao de convergencia para sequencia de funcoes. O modo como assequencias acima convergem para a funcao limite e diferente nos dois casos apresentados. Tente entender onde estaesta diferenca!)

22.8 Projetos

22.8.1 Arquimedes e a quadratura da parabola

Vamos examinar o procedimento utilizado por Arquimedes para calcular a area de um segmento parabolico, isto e, aarea da regiao limitada por uma parabola e pela reta AB, como mostra a figura a esquerda.

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308 Cap. 22 O Teorema Fundamental do Calculo e Integrais Indefinidas

Para calcular a area desta regiao, Arquimedes utilizou triangulos da maneira descrita a seguir. Sua primeiraaproximacao foi o triangulo ABC, onde o vertice C e escolhido como o ponto em que a tangente a parabola e paralelaa reta AB. (Veja figura a direita.)

B

A

0

2

4

6

8

–3 –2 –1 1 2 3x

C

B

A

0

2

4

6

8

–3 –2 –1 1 2 3x

Sua segunda aproximacao foi obtida juntando-se ao triangulo ABC os dois triangulos ACD e BCE, onde o verticeD e o ponto em que a tangente e paralela a reta AC e o vertice E e o ponto em que a tangente e paralela a reta BC,continuando com este processo, ate “exaurir” a area do segmento parabolico.

Desta maneira, Arquimedes calculou a area do segmento parabolico e mostrou que existe uma relacao entre estaarea e a area do primeiro triangulo utilizado para este calculo.

O objetivo deste projeto e utilizar conhecimentos de calculo, para descobrir no procedimento descrito acima arelacao existente entre as areas do segmento parabolico e do primeiro triangulo utilizado por Arquimedes em um casoparticular.

1. Considere a reta y = mx+ b e a parabola y = x2. Determine o ponto P no arco AOB da parabola que maximizea area do triangulo APB, onde A e B sao os pontos de intersecao da reta e da parabola e O e a origem do sistemade coordenadas.

2. Relacione a area deste triangulo otimo com a area da regiao delimitada pela reta e pela parabola.

3. Usando o teorema do valor medio, mostre que no ponto P a reta tangente a parabola e paralela a reta AB.

4. Use os itens anteriores para concluir qual a relacao estabelecida por Arquimedes no seu trabalho sobre a qua-dratura da parabola.

22.8.2 Separacao de variaveis, velocidade de escape e buracos negros

Grande parte da inspiracao original para o desenvolvimento do Calculo veio da Fısica, mais especificamente, daMecanica, e estas ciencias continuam ligadas ate hoje. A Mecanica e baseada em certos princıpios basicos que foramformulados por Newton. O enunciado destes princıpios requer o conceito de derivada, e suas inumeras aplicacoesdependem do conceito de integral aplicado a resolucao de equacoes diferenciais: equacoes que envolvem uma funcao esuas derivadas.

Resolver uma equacao diferencial significa encontrar uma funcao incognita a partir de informacoes dadas a respeitode sua taxa de variacao. Essas equacoes aparecem tao frequentemente em problemas fısicos, biologicos e quımicos queseu estudo, hoje, constitui-se num dos principais ramos da Matematica.

No projeto Estudando a queda dos corpos - Movimento uniformemente acelerado, vimos como a partir de leis fısicas(no caso a segunda Lei de Newton) foi possıvel obter uma equacao diferencial que modela a queda livre de corpose entao deduzir varias formulas para este movimento que usamos desde o segundo grau, sem uma justificativa maisprofunda.

Nos exemplos estudados naquele projeto, tratamos a aceleracao da gravidade como se fora uma constante e vimosque esta hipotese e razoavel para corpos que se movem proximos a superfıcie da Terra. No entanto, para estudar omovimento de um corpo que se move para fora da Terra, no espaco, devemos levar em conta que a forca da gravidadevaria inversamente com o quadrado da distancia do corpo a Terra.

Esta lei, conhecida como lei da gravitacao de Newton, em homenagem ao grande matematico e fısico que aestabeleceu, afirma que duas partıculas quaisquer de materia no universo se atraem com uma forca proporcional asuas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distancia entre elas. O objetivo deste projeto e utilizar estalei e nossos conhecimentos sobre integrais para estabelecer a velocidade necessaria para que um foguete escape daatracao gravitacional da Terra.

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W.Bianchini, A.R.Santos 309

Equacoes diferenciais e separacao de variaveis

Vimos que a equacao∫f(x) dx = F (x) e equivalente a F ′(x) = f(x). Esta afirmacao pode ser interpretada de duas

maneiras.

(a) Podemos pensar no sımbolo∫. dx operando sobre a funcao f(x) para produzir sua primitiva. Dessa maneira,

o sinal de integral e o sımbolo dx sao, juntos, parte de um mesmo sımbolo. O sinal de integral especifica aoperacao, e o unico papel de dx e assinalar qual e a variavel de integracao.

(b) Uma segunda interpretacao para a equivalencia acima e baseada na notacao e no conceito de diferencial deuma funcao introduzido no Cap.20. Usando diferenciais, a igualdade F ′(x) = f(x) pode ser escrita comodF (x) = f(x) dx , onde f(x) dx e encarada como a diferencial da funcao F (x). Segundo este ponto de vista,o sinal de integral pode ser entendido como um operador que age sobre a diferencial de uma funcao, ou seja,sobre f(x) dx , retornando, como resultado, a propria funcao. Assim, o sımbolo de integral significa a operacaoque e a inversa da diferenciacao.

Esta segunda interpretacao e particularmente conveniente para a resolucao de certas equacoes diferenciais simples.Como dissemos na introducao, uma equacao diferencial e uma equacao que envolve uma funcao (a incognita do

problema) e suas derivadas. A ordem de uma equacao diferencial e a ordem da maior derivada que ocorre na equacao.Ao integrarmos uma funcao qualquer, estamos resolvendo uma equacao diferencial de primeira ordem. Assim, usandonotacao diferencial, a equacao dy

dx = 3x2 e equivalente a dy = 3x2 dx . Para resolver esta equacao diferencial, bastaintegrarmos ∫

dy =

∫3x2 dx⇒ y = x3 + C.

Esta solucao e chamada solucao geral da equacao diferencial dada, e escolhas diferentes para a constante deintegracao C fornecem solucoes particulares.

De um modo geral, se uma equacao diferencial pode ser escrita na forma

g(y) dy = f(x) dx ,

com as variaveis x e y “separadas” em diferentes membros da igualdade acima, podemos integrar ambos os lados daidentidade para obter a solucao da equacao.

Velocidade de escape

Suponha que um foguete seja lancado para cima com velocidade inicial v0 e depois disso se mova sem nenhum gastoposterior de energia. Para valores grandes de v0, este foguete sobe bastante antes de atingir o repouso e iniciar suaqueda de volta a Terra. O problema que propomos e o de calcular a menor velocidade v0 para que o foguete jamaisatinja o repouso e, por causa disso, escape da atracao gravitacional da Terra.

De acordo com a lei da gravitacao de Newton, a forca F que atrai o foguete para a Terra e dada por F = −G(Mms2 ),

onde G e uma constante positiva, M e m sao as massas da Terra e do foguete, respectivamente, e s e a distancia dofoguete ao centro da Terra (neste caso toda a massa da Terra esta concentrada no seu centro). Como pela segunda leido movimento de Newton, F = ma, temos que

(∗) m(d2 s

dt2 ) = −g(Mm

s2)⇒ d2 s

dt2 = −GMs2

.

Esta equacao nos diz que o movimento do foguete nao depende da sua massa. Alem disso, podemos determinar o

valor da constante G se lembrarmos que, quando s = R (raio da Terra), a aceleracao d2 sdt2

e igual a −g (aceleracao agravidade).

Entao, temos que GM = gR2, e como d2 sdt2

= dvdt , podemos escrever (*) como

(∗∗) dv

dt= −gR2

s2.

Como, pela regra da cadeia, dvdt = (dv

ds )(dsdt ) = (dv

ds )(v), a equacao (**) se transforma em

vdv

ds= −gR2

s2.

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310 Cap. 22 O Teorema Fundamental do Calculo e Integrais Indefinidas

1. Separe as variaveis e integre para obter a solucao geral desta equacao diferencial.

2. Use a condicao inicial v = v0, quando s = R, para determinar, dentre todas as solucoes possıveis da equacao, asolucao particular que nos interessa, isto e, determine o valor da constante de integracao a fim de que a solucaoencontrada satisfaca os dados iniciais do problema em estudo.

3. Examinando a solucao encontrada, determine a velocidade de escape da Terra. (Lembre-se de que a velocidadedo foguete deve ser sempre positiva, pois se a velocidade se anular, o foguete para e, entao, cai de volta a Terra.)

4. Estime o valor da velocidade de escape usando para g o valor de 9,8 m/s2 e para R, 6, 37× 106 m.

5. Como vimos nesta discussao, a lei da gravitacao de Newton implica que a gravidade na superfıcie de um planetaou qualquer outro corpo celeste e diretamente proporcional a massa do planeta e inversamente proporcional aoquadrado do seu raio.

(a) Se gL denota a aceleracao devida a gravidade da Lua, use o fato de que a Lua tem, aproximadamente, 311

do raio e 181 da massa da Terra para mostrar que gL e aproximadamente igual a g

6 .

(b) Calcule a velocidade de escape para a Lua.

(c) Explique por que se o raio de um corpo diminui e sua massa se mantem constante a velocidade de escapepara este corpo cresce.

Buracos negros

A maioria das estrelas normais e mantida em seu estado gasoso em virtude da pressao de radiacao de dentro, que egerada pela queima de combustıvel nuclear. Quando o combustıvel nuclear se distribui, a estrela sofre um colapsogravitacional, transformando-se numa esfera muito menor com, essencialmente, a mesma massa.

A materia comprimida e degenerada dessas estrelas que caıram em colapso pode alcancar dois tipos de equilıbrio,dependendo da massa da estrela. As estrelas anas brancas sao as que se formam quando a massa e menor que cercade 1,3 massas solares, e estrelas de neutrons aparecem quando a massa esta entre 1,3 e 2 massas solares. Para estrelasmais pesadas, o equilıbrio nao e possıvel e o colapso continua ate que a velocidade de escape na superfıcie atinja avelocidade da luz. Estrelas em colapso deste tipo sao completamente invisıveis, pois nao emitem nenhuma radiacao.Estes sao os chamados buracos negros.• Se o sol pudesse ser concentrado numa esfera menor com a mesma massa, qual seria um valor aproximado do seu raiopara que a velocidade de escape em sua superfıcie fosse igual a velocidade da luz (aproximadamente 300.000 km/s)?

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Capıtulo 23

Resolvendo Integrais pelo Metodo deSubstituicao

23.1 Integracao por substituicao em integrais indefinidas

O teorema fundamental do calculo permite que se resolva rapidamente a integral∫ b

a

f(x) dx,

desde que se conheca uma primitiva F para a funcao f .Como vimos no capıtulo anterior, em alguns casos achar uma primitiva e bastante facil: basta olharmos uma tabela

de derivadas ao contrario. Assim, concluımos imediatamente que∫cos(x) dx = sen(x) + C , visto que

d

dx(sen(x) + C) = cos(x) .

Embora a integral∫

cos(2x) dx seja semelhante a anterior, neste caso existe uma pequena diferenca. Como

d

dx(sen(2x) + C) = 2 cos(2x) ,

a primitiva procurada sera dada porsen(2x)

2+ C ,

e assim, ∫cos(2x) dx =

sen(2x)

2+ C .

Repare que para obter este resultado nao foi suficiente usar uma tabela de derivadas ao contrario. Para resolveresta ultima integral foi necessario perceber que sen(2x) difere da derivada de cos(2x) apenas por um fator constante,reduzindo a tarefa de achar uma primitiva para esta ultima funcao a uma pequena manipulacao algebrica.

No entanto, a tarefa de achar primitivas e, portanto, de integrar uma funcao nem sempre e tao simples como oexemplo acima parece indicar. Ao contrario, na maioria dos casos e impossıvel determinar rapidamente, com umasimples olhada, a primitiva de uma funcao, o que nos leva a estudar metodos gerais de integracao.

Estes metodos, em geral, se originam das regras de derivacao. A regra da cadeia para a derivada de funcoescompostas da origem ao metodo de integracao chamado de integracao por substituicao ou de mudanca de variavel,que e um dos metodos de integracao mais poderosos.

Na introducao desta secao, foi possıvel concluir que∫cos(2x) dx =

sen(2x)

2+ C ,

porque percebemos que, de alguma maneira, a integral∫

cos(2x) dx estava relacionada com a integral conhecida∫cos(x) dx = sen(x) + C.

Da mesma forma, parece razoavel supor que a integral∫cos(3x+ 1) dx

311

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312 Cap. 23 Resolvendo Integrais pelo Metodo de Substituicao

tambem esteja relacionada com a integral da funcao cosseno. Para ver como isto acontece, fazemos

u = 3x+ 1 .

Deste modo,cos(3x+ 1) = cos(u) ,

como querıamos.Repare que se u = 3x + 1, entao a diferencial de u e du = 3 dx. Note que se o termo dx que aparece na notacao

de integral pudesse ser interpretado como uma diferencial, terıamos

u = 3x+ 1⇔ du = 3 dx .

Assim, formalmente, sem justificar nossos calculos, poderıamos escrever∫cos(3x+ 1) dx =

1

3

∫3 cos(3x+ 1) dx =

1

3

∫cos(u) du =

sen(u)

3+ C =

sen(3x+ 1)

3+ C .

Derivando a funcao sen(3 x+1)3 + C, podemos verificar, facilmente, que o resultado encontrado acima e correto.

As manipulacoes algebricas feitas no exemplo estudado sao justificadas pela regra da cadeia. Este metodo podeser interpretado como o inverso desta regra e e um caso especial da formula mais geral∫

f(g(x)) g′(x) dx =

∫f(u) du ,

onde u = g(x) e du = g′(x)dx, como explicamos a seguir.Recorde que se F e g sao funcoes conhecidas, pela regra da cadeia a derivada da composta F g e

(F g)′(x) = F ′(g(x)) g′(x) .

Assim, podemos escrever ∫F ′(g(x)) g′(x) dx = (F o g)(x) + C = F (g(x)) + C .

Se F for uma primitiva de f , isto e, F ′ = f , teremos

(F g)′(x) = f(g(x)) g′(x)) ,

isto e, ∫f(g(x)) g′(x) dx = F (g(x)) + C .

Por outro lado, ∫f(u) du = F (u) + C ,

assim, chamando u = g(x) e comparando as duas igualdades acima, conclui-se que du = g′(x)dx.Este metodo chama-se integracao por substituicao porque depende de uma substituicao ou mudanca de variavel

para simplificar a integral. O ponto essencial a ser lembrado quando utilizamos este metodo e que a substituicaou = g(x) implica que du = g′(x) dx.

Exemplo 1 Calcule∫

2x cos(x2) dx.

Solucao Fazendo u = x2 ⇒ du = 2x dx e desse modo a integral acima se reduz a∫

cos(u) du. Consequentemente,∫2x cos(x2) dx =

∫cos(u) du = sen(u) + C = sen(x2) + C .

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W.Bianchini, A.R.Santos 313

Exemplo 2 Calcule as seguintes integrais

(a)

∫x3√x4 + 2 dx

Solucao Observe que (x4 + 2)′ = 4x3. Isto sugere a substituicao u = x4 + 2. Neste caso, du = 4x3 dx ⇒ x3 dx = du4 .

Assim, ∫x3√x4 + 2 dx =

1

4

∫u( 1

2 ) du =1

4

u( 32 )

32

+ C =1

6(x4 + 2)( 3

2 ) + C .

(b)

∫x2 + 1

(x3 + 3x)2dx

Solucao Aqui, fazemos a substituicao u = x3 + 3x, obtendo du = (3x2 + 3) dx , o que acarreta (x2 + 1) dx = du3 .

Assim, ∫x2 + 1

(x3 + 3x)2dx =

∫du

3u2= −1

3

1

u+ C = −1

3

1

x3 + 3x+ C .

(c)

∫sen(x) cos(x) dx

Solucao Nesta integral, tanto podemos fazer a substituicao u = sen(x) como u = cos(x). Optando pela primeira,temos que du = cos(x) dx . Assim,∫

sen(x) cos(x) dx =

∫u du =

u2

2+ C =

sen2 x

2+ C

Exercıcio Resolva esta mesma integral usando a segunda opcao e tente chegar ao mesmo resultado.

Como os exemplos acima mostram, e difıcil, de fato impossıvel, dar uma regra geral dizendo, em cada caso, quesubstituicoes devem ser feitas, isto e, como escolher a funcao u de maneira a obter a melhor simplificacao. O sucessodeste metodo depende de se ter uma integral em que uma parte do integrando seja a derivada de uma outra parte,a menos de um fator constante (fatores constantes podem ser “ajustados”, como foi feito nos exemplos anteriores).Para resolver uma integral por este metodo, voce deve, portanto, procurar partes do integrando que sao derivadas deoutras partes, como no primeiro exemplo, onde 2x e a derivada de x2.

23.2 Integracao por substituicao em integrais definidas

Vejamos agora o que acontece quando empregamos o metodo da substituicao para calcular integrais definidas. Vamos

examinar um exemplo bem simples e interpreta-lo geometricamente. Calcular a integral∫ 4

3(x− 2)2 dx e equivalente a

encontrar a area sob o grafico da funcao y = (x− 2)2, limitada pelas retas x = 3 e x = 4 (figura a seguir a esquerda).Esta area e igual a area sob a curva y = x2 e entre as retas x=1 e x=2 (figura a seguir a direita).

0

1

2

3

4

5

6

y

1 2 3 4 5 6x

0

1

2

3

4

5

6

y

1 2 3 4 5 6x

Isto e verdade porque o grafico da funcao y = (x− 2)2 pode ser obtido a partir do grafico da funcao y = x2 pormeio de uma translacao, 2 unidades para direita. Neste caso, temos que∫ 4

3

(x− 2)2 dx =

∫ 2

1

u2 du (∗)

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314 Cap. 23 Resolvendo Integrais pelo Metodo de Substituicao

Esta identidade pode ser obtida aplicando-se o metodo da substituicao para resolver a primeira integral. Assim,seja u = x− 2. Entao, du = dx, e, desse modo, temos que

∫(x− 2)2 dx =

∫u2 du.

Esta substituicao, porem, nao resolve inteiramente o problema proposto. Para calcularmos a integral definida e,portanto, a area da regiao representada por esta integral e necessario calcularmos os novos limites de integracao.

Os limites de integracao na primeira integral significam que queremos calcular a area sob o grafico da curvay = f(x), para x variando entre as retas x = 3 e x = 4. Mas, como u = x− 2 quando x varia de 3 ate 4, u varia de 1ate 2, e daı, segue (*).

Neste ponto, observando que uma primitiva da funcao u2 e u3

3 , podemos aplicar o teorema fundamental do calculopara resolver a integral transformada e entao obter a area procurada, como a seguir:∫ 4

3

(x− 2)2 dx =

∫ 2

1

u2 du =u3

3

∣∣∣∣21

=23

3− 13

3=

7

3.

Um caminho alternativo para resolver este problema e usar o metodo da substituicao para integrais indefinidas,como foi descrito na secao anterior, com o objetivo de encontrar uma primitiva da funcao que se quer integrar e, entao,usar a primitiva encontrada e o teorema fundamental do calculo para resolver o problema proposto.

Assim, como vimos acima, fazendo a substituicao u = x− 2 na integral∫

(x− 2)2 dx obtemos a identidade∫

(x−2)2 dx =

∫u2 du. Esta ultima integral e facil de calcular. De fato,∫

u2 du =u3

3+ C , mas

u3

3+ C =

(x− 2)3

3+ C .

Assim, ∫(x− 2)2 dx =

(x− 2)3

3+ C,

que e a primitiva que procuravamos.

Para calcular a integral definida∫ 4

3(x− 2)2 dx basta, agora, usar esta primitiva e o teorema fundamental do calculo

para obter ∫ 4

3

(x− 2)2 dx =(x− 2)3

3

∣∣∣∣43

=(4− 2)3

3− (3− 2)3

3=

8

3− 1

3=

7

3,

como antes.Para aplicar o metodo da substituicao para calcular integrais definidas temos, portanto, dois caminhos:

1. Podemos, fazendo uma substituicao adequada, encontrar o novo integrando e os novos limites de integracao(estes novos limites vao depender da substituicao empregada) e, entao, resolver o problema encontrando umaprimitiva para o novo integrando e aplicando o teorema fundamental do calculo tendo em vista os novos limitesde integracao.

2. Usar o metodo da substituicao para encontrar uma primitiva da funcao original, isto e, resolver a integralindefinida voltando, apos a integracao, a variavel original do problema e, entao, usar a primitiva encontrada e oteorema fundamental do calculo para resolver a integral definida.

Ilustramos estes dois caminhos no exemplo a seguir.

Exemplo Calcule a integral

∫ 4

1

x√x2 + 1 dx .

Solucao Para resolver esta integral, devemos fazer a substituicao u = x2 + 1, obtendo du = 2x dx .Pelo primeiro caminho, como u = u(x) = x2 + 1, entao, para x = 1 temos u = 2 e para x = 4, u = 17. Assim,

∫ 4

1

x√x2 + 1 dx =

1

2

∫ 17

2

√u du =

1

2

(2u

32

3

)∣∣∣∣∣17

2

=1

3[17( 3

2 ) − 2( 32 )] ,

pois a funcao 2u32

3 e uma primitiva de√u.

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W.Bianchini, A.R.Santos 315

Pelo segundo caminho, temos:∫x√x2 + 1 dx =

1

2

∫ √u du =

1

3u( 3

2 ) + C =1

3(x2 + 1)( 3

2 ) + C .

Assim, ∫ 4

1

x√x2 + 1 dx =

1

3(x2 + 1)

32

∣∣∣41

=1

3[17( 3

2 ) − 2( 32 )] .

23.3 Exercıcios

Resolva as seguintes integrais por substituicao e verifique a sua resposta usando o MapleV e a sub-rotina changevar:

(a)

∫sen(x) cos3 x dx

(b)

∫cos(√x)√

xdx

(c)

∫x√x2 + 1 dx

(d)

∫ √1 +√x√

xdx

(e)

∫x2

√x3 + 1

dx

(f)

∫ 12

0

2x√1− x2

dx

(g)

∫8x3 cos(x4 + 1) dx

(h)

∫ 3

0

x√27− 3x2

dx

(i)

∫ 3

0

(x+ 1)( 12 ) dx

(j)

∫(3x+ 2)5 dx

(l)

∫x2√

1 + x dx

(m)

∫4x2√

(3− 4x3)4dx

(n)

∫2 + 3x√

1 + 4x+ 3x2dx

(o)

∫ √x2 + x4 dx

23.4 Problemas

1. Explique o aparente paradoxo:

Usando a linearidade da integral, temos que∫x+ 1 dx = x2

2 + x+C. Resolvendo esta mesma integral usando a

substituicao u = x+ 1, obtemos∫x+ 1 dx =

∫u du = u2

2 + C = (x+1)2

2 + C.

2. (a) Mostre que se m 6= n, entao,∫ π

0cos(mx ) cos(nx ) dx =

∫ π0

sen(mx ) sen(nx ) dx = 0, porem se m = n, entao,cada integral e igual a π

2 .

(b) Mostre que

i. Se n−m e ımpar, entao∫ π

0cos(mx ) sen(nx ) dx = 2n

n2−m2 .

ii. Se n−m e par, entao∫ π

0cos(mx ) sen(nx ) dx = 0 .

Sugestao: Use as identidadessen(a+ b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) e cos(a+ b) = cos(a) cos(b)− sen(a) sen(b)

3. Ache a integral F (x) de√x tal que F (9) = 9.

4. (a) Se f e contınua e∫ 4

0f(x) dx = 10, calcule

∫ 2

0f(2x) dx.

(b) Se f e contınua e∫ 9

0f(x) dx = 16, calcule

∫ 3

0x f(x2) dx.

(c) Se f e contınua, mostre que∫ baf(−x) dx =

∫ −a−b f(x) dx.

(d) Sabendo que f e contınua em toda a reta e

∫ 2

1

f(x− c) dx = 5, onde c e uma constante, calcule

∫ 2−c

1−cf(x) dx.

5. Calcule

∫ 12

0

√x√

1− xdx. Sugestao: Faca a substituicao

√x = sen(y) e use identidades trigonometricas para

resolver a integral resultante.

6. Considere a integral definida I =

∫ π

0

x f(sen(x)) dx, onde f e uma funcao contınua definida no intervalo [0, 1].

Use a substituicao x = π − y para mostrar queI = π

2

∫ π0f(sen(x)) dx.

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316 Cap. 23 Resolvendo Integrais pelo Metodo de Substituicao

23.5 Para voce meditar: Resolvendo integrais com o auxılio do Mapleou por que devo aprender tecnicas de integracao?

Voce pode verificar os resultados das integrais dos exemplos e exercıcios apresentados neste capıtulo usando o comandoint(f(x),x) do Maple. Por exemplo:

> Int(x^3*sqrt(x^4+2),x)=int(x^3*sqrt(x^4+2),x)+C;∫x3√x4 + 2 dx =

1

6(x4 + 2)3/2 + C.

Entao voce deve estar se perguntando: Por que devo aprender metodos de integracao para resolver integrais taocomplicadas, se elas podem ser resolvidas sem nenhum esforco com o auxılio do Maple?

Primeiro porque conhecer metodos gerais de integracao para um aluno de Calculo e como aprender tabuada noprimeiro ano do primario. E util e economiza tempo. As maquinas devem ser utilizadas rotineiramente para ganhartempo e facilitar as contas, nao o contrario. Ja imaginou se nao tivessemos aprendido tabuada e, desse modo, fossenecessario recorrer a maquinas para calcular, por exemplo, 9× 7? Que absurdo, nao?

Da mesma maneira, se voce conhece um metodo que permita resolver uma integral rapidamente, sem ser necessarioutilizar uma maquina, voce ganha tempo. E claro que, se a integral e muito complicada, voce pode e deve utilizar osrecursos existentes.

Embora muitos sistemas de computacao algebrica, tais como o Maple, venham sendo cada vez mais usados nocalculo de integrais, eles nao fazem milagres e nem substituem, gracas a Deus, a inteligencia e a criatividade dohomem. Neste texto veremos exemplos de algumas integrais que o Maple nao e capaz de resolver.

No entanto, podemos usar o Maple, inteligentemente, para executarmos passo a passo o metodo da substituicao.Isto e possıvel porque o Maple possui uma sub-rotina, changevar(u = g(x), Int(f(x),x),u), que permite que secalculem integrais usando uma substituicao de variaveis indicada por nos. Esta sub-rotina pertence ao pacote student.Portanto, antes de utiliza-la, voce precisa, primeiro, usar o comando with(student), como fazemos a seguir.

> with(student):

> changevar(u=x^4+2,Int(x^3*sqrt(x^4+2),x),u);∫1

4

√u du

> value(%);

1

6u3/2

> subs(u=x^4+2,%);

1

6(x4 + 2)3/2

Nos capıtulos seguintes veremos que existem integrais perfeitamente resolvıveis por substituicao, mas que o Maplee outros sistemas de computacao algebrica semelhantes nao conseguem resolver. No entanto, se usarmos a sub-rotinaacima, dizendo ao programa que substituicao deve ser feita, a cada passo, “ensinamos” ao computador como calculara integral em questao. Voce poderia se imaginar como um professor de Calculo do seu computador? Que bom quepodemos pensar criativamente!

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Capıtulo 24

Aplicacoes da Integral Definida

24.1 Introducao

As integrais surgiram no estudo das areas, mas, assim como as derivadas, revelaram possuir muitas outras aplicacoes.Mostraremos neste e nos proximos capıtulos como as integrais aparecem no calculo de posicoes, areas, volumes,comprimento de arco, massa, probabilidade, momentos, centros de gravidade e trabalho.

O raciocınio empregado em cada um dos casos e sempre o mesmo e segue os seguintes passos:

1. A quantidade em estudo e aproximada por uma soma, que e identificada como sendo a soma de Riemann deuma funcao.

2. A solucao exata para o problema e obtida pela passagem ao limite.

3. O limite das somas de Riemann e identificado a integral de uma funcao.

24.2 Distancia

O problema e deduzir a mudanca de posicao de uma partıcula que se desloca ao longo de uma linha reta comvelocidade v(t) conhecida para todos os instantes t de um certo intervalo de tempo [a, b]. Se conseguirmos, de algummodo, determinar a posicao s(t) da partıcula para qualquer instante de tempo t do intervalo [a, b], a mudanca deposicao da partıcula em relacao ao instante inicial t = a, sera dada por s(b)− s(a).

Existem duas maneiras de abordarmos este problema. A primeira delas foi utilizada na motivacao do teoremafundamental do calculo e consiste em considerar a velocidade da partıcula constante em cada subintervalo de umaparticao do intervalo [a, b]. Assim, seja τi um ponto qualquer de cada subintervalo [ti−1, ti] da particao considerada.Em cada um desses subintervalos, considerando a velocidade da partıcula igual a v(τi), podemos aproximar a mudancade posicao da partıcula por

v(τi) (ti − ti−1) = v(τi) ∆ ti .

Dessa maneira, a mudanca total de posicao sera aproximadamente igual a

n∑i=1

v(τi) ∆ ti .

A medida que o comprimento ∆ ti de cada subintervalo se torna menor, esta soma se aproxima, cada vez mais, dovalor exato da mudanca de posicao da partıcula. Como

lim∆ ti→0

n∑i=1

v(τi) ∆ ti =

∫ b

a

v(t) dt ,

temos que a mudanca de posicao da partıcula de t = a ate t = b e dada pela integral∫ b

a

v(t) dt .

Podemos obter este mesmo resultado aplicando, diretamente, o teorema fundamental do calculo a funcao v(t) =s′(t). Desse modo,

s(b)− s(a) =

∫ b

a

s′(t) dt =

∫ b

a

v(t) dt,

317

Page 334: texto completo em PDF

318 Cap. 24 Aplicacoes da Integral Definida

como antes.

E importante observar que quando v < 0, a partıcula se move para a esquerda e a funcao posicao, s(t), decresce.

A integral∫ bav(t) dt fornece, portanto, a variacao lıquida de posicao da partıcula. A distancia total percorrida pela

partıcula neste intervalo de tempo sera dada por∫ ba| v(t) | dt.

Da mesma maneira, conhecendo-se a aceleracao da partıcula para todos os instantes t do intervalo [a, b], podemosdeterminar a sua velocidade. Como a aceleracao da partıcula e a taxa de variacao da sua velocidade em relacao aotempo, isto e, a(t) = v′(t), aplicando, novamente, o teorema fundamental do calculo, a velocidade da partıcula emqualquer instante de tempo t sera dada por

v(t)− v(a) =

∫ t

a

v′(u) du =

∫ t

a

a(u) du

ou, equivalentemente,

v(t) = v0 +

∫ t

a

a(u) du,

onde v0 e a velocidade da partıcula no instante inicial t = a. Repare que, como no caso anterior, a integral∫ ba| a(t) | dt

fornece a variacao total de velocidade da partıcula no intervalo [a, b].

Exemplo

1. Sabendo que uma partıcula, com velocidade inicial v0 e posicao inicial s0, se desloca com aceleracao a constante,determine a sua velocidade e posicao em qualquer instante de tempo.

Solucao A velocidade da partıcula, em qualquer instante de tempo t, sera dada por

v(t) = v(0) +

∫ t

0

a dt .

Assim, v(t) = v0 + a t em qualquer instante de tempo t. Do mesmo modo, a sua posicao e dada por

s(T )− s(0) =

∫ T

0

v0 + a t dt = v0 T +a T 2

2,

para qualquer instante de tempo T , ou equivalentemente,

s(T ) = s0 + v0 T +a T 2

2.

2. Uma partıcula se desloca em linha reta com velocidade dada por v(t) = t2. Qual o deslocamento total dapartıcula entre t = 1 e t = 2?

Solucao Como a velocidade e positiva, o deslocamento total da partıcula sera dado por

s(2)− s(1) =

∫ 2

1

t2 dt .

Como a funcao F (t) = t3

3 e uma primitiva de f(t) = t2, o teorema fundamental do calculo garante que

∫ 2

1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣21

=23

3− 13

3=

7

3.

Page 335: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 319

24.3 Area de regioes planas

Na introducao do estudo de integral, vimos como e possıvel calcular a area sob o grafico de uma funcao contınua epositiva f , definida em um intervalo [a, b]. A solucao deste problema motivou a definicao de integral como limite desomas de Riemann.

Vamos abordar agora o problema da determinacao de areas de regioes planas mais gerais, limitadas lateralmentepelas retas verticais x = a e x = b, superiormente por uma funcao contınua f e inferiormente por outra funcao contınuag, definidas em um intervalo [a, b] e tais que g(x) ≤ f(x) em [a, b] . As ilustracoes mostram regioes deste tipo.

0

x

0

x

Como g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], entao, f(x)− g(x) ≥ 0 em [a, b]. Assim,

∫ b

a

(f(x)− g(x)) dx ≥ 0.

Vamos provar que a integral acima fornece a area A, da regiao hachurada. Para isso vamos construir somas deRiemann para a funcao h(x) = f(x)− g(x).

Considere uma particao a = x0 < x1< ... < xi−1< xi < ... < xn = b do intervalo [a, b], em n subintervalos iguaisde comprimento ∆x. Seja ci um ponto qualquer de cada subintervalo [ xi−1, xi]. Denotando-se por ∆Ai a area daregiao entre os graficos de f e g, sobre o i-esimo intervalo [xi−1, xi], entao ∆Ai e aproximadamente igual a area deum retangulo de altura f(ci)− g(ci) e base ∆x, ou seja,

∆Ai = (f(ci)− g(ci)) ∆x,

como mostra a figura:

iC

–3

–2

–1

0

1

2

3

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x

Somando as areas dos n retangulos assim construıdos sobre o intervalo [a, b], temos uma aproximacao para a areaA dada por:

n∑i=1

∆Ai =

n∑i=1

(f(ci)− g(ci)) ∆x.

A medida que se aumenta o numero de pontos considerados na particao do intervalo [a, b] esta aproximacao se tornacada vez melhor. Veja esta afirmacao ilustrada no diagrama:

Page 336: texto completo em PDF

320 Cap. 24 Aplicacoes da Integral Definida

x

x x

xx

x

Desse modo,

A = limn→∞

n∑i=1

∆Ai = limn→∞

n∑i=1

(f(ci)− g(ci)) ∆x.

Note que a soma

n∑i=1

(f(ci)− g(ci)) ∆x e uma soma de Riemann para a funcao h(x) = f(x)− g(x), de modo que:

limn→∞

n∑i=1

(f(ci)− g(ci)) ∆x = limn→∞

n∑i=1

h(ci) ∆x =

∫ b

a

h(x) dx =

∫ b

a

f(x)− g(x) dx,

como querıamos mostrar.

Exemplo 1 Nos exemplos a seguir, calcule a area da regiao limitada pelas curvas dadas

(a) y = x2

4 , x = 0 e y = 4 (situada no primeiro quadrante). Estaregiao e mostrada na primeira figura ao lado.Solucao A area da regiao hachurada e dada pela integral∫ 4

0

4− x2

4dx = 4x− x3

12

∣∣∣∣40

=32

3.

Note que a integral acima pode ser escrita como:∫ 4

0

4− x2

4dx =

∫ 4

0

4 dx−∫ 4

0

x2

4dx.

0

2

4

2 4x

Geometricamente, a primeira integral calcula a area do quadradode lado igual a 4 e a segunda integral calcula a area da regiao

sob grafico da funcao x2

4 , no intervalo [0, 4], ou seja, a area daregiao hachurada e a area do quadrado de lado 4 menos a areahachurada da figura ao lado.

0

2

4

2 4x

(b) y = x2 e y = 2x.Esta regiao corresponde a parte hachurada da figura ao lado.

A area desta regiao e dada pela integral∫ 2

02x− x2 dx, pois os

pontos de intersecao das curvas y = x2 e y = 2x sao x = 0 e

x = 2. Alem disso, como a funcao F (x) = x2 − x3

3 e uma primi-tiva da funcao f(x) = 2x− x2, o teorema fundamental do calculogarante que∫ 2

0

2x− x2 dx = x2 − x3

3

∣∣∣∣20

= 22 − 23

3=

4

3.

0

2

4

1 2x

Page 337: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 321

(c) y = x2 − 1 e y = x+ 5. Veja esta regiao no grafico ao lado.Para calcular a area da regiao hachurada e necessario determinaros pontos de intersecao das curvas y = x2 + 1 e y = x+ 5. Paraisto basta resolver a equacao x2 + 1 = x+ 5. Usando o comandosolve do Maple, obtemos

> f:=x->x+5:g:=x->x^2-1:

> solve(f(x)=g(x),x);x = −2, x = 3

0

2

4

6

8

–2 –1 1 2 3x

A area da regiao hachurada e dada, portanto, pela integral:∫ 3

−2

x+ 6− x2 dx =x2

2+ 6x− x3

3

∣∣∣∣3−2

=125

6.

Exemplo 2 Calcule a area da regiao limitada pelas curvas y2 = 2x e x− y = 4.

Esta regiao e esbocada na figura ao lado.Observe que a curva dada pela equacao y2 = 2x define, implicita-mente, duas funcoes de x, a saber: f1(x) =

√2x e f2(x) = −

√2x.

Na ilustracao, o grafico da funcao f1 e a parte da parabola y2 = x,situada acima do eixo x, e f2 e a parte situada abaixo. O pontode intersecao da funcao f2 com a reta y = x− 4 e o ponto (2,−2),e o ponto de intersecao da funcao f1 com a mesma reta e o ponto(8, 4). –3

–2

–1

0

1

2

3

4

2 4 6 8x

Assim, a area da regiao hachurada e dada por:∫ 2

0

√2x− (−

√2x) dx+

∫ 8

2

√2x− (x− 4) dx = (2

√2x

32 )∣∣∣20

+ (√

2x32 − x2

2 + 4x)∣∣∣82

= 18

Outro modo de calcular esta area e integrar em relacao a variavely, isto e, pensar em y como a variavel independente, como eilustrado no grafico ao lado.Neste caso, a area da regiao hachurada pode ser calculada pormeio de uma unica integral, a saber:∫ 4

−2

y + 4− y2

2dy = y2

2 + 4 y + y3

6

∣∣∣4−2

= 18.–2

2

4

6

8

–2 –1 1 2 3 4y

Em resumo, Para achar a area de uma regiao por integracao, devemos:

1. Esbocar a regiao cuja area se quer determinar.

2. Achar os pontos de intersecao das curvas que delimitam a regiao.

3. Decidir se, para integrar, e mais facil considerar faixas verticais ou horizontais, isto e, se e mais facil considerara regiao limitada por curvas do tipo y = f(x) ou do tipo x = g(y).

4. Expressar a area da regiao como uma integral definida, onde os limites de integracao e o integrando sao encon-trados examinando-se o esboco feito.

5. Resolver a integral resultante.

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322 Cap. 24 Aplicacoes da Integral Definida

24.4 Areas e calculo de probabilidades (opcional)

Em matematica, a palavra probabilidade significa uma medidanumerica da possibilidade de um certo evento acontecer. Consi-dere, por exemplo, o alvo desenhado ao lado. Um ponto destealvo e escolhido ao acaso quando alguem, com os olhos vendados,lanca um dardo contra ele. Admitindo-se que e tao provavel queo dardo atinja um determinado ponto como um outro qualquer,a probabilidade de que o ponto escolhido esteja na mosca (regiaocentral mais escura) deve expressar a razao entre o numero depontos existentes na area central e o numero total dos pontos doalvo.

E intuitivamente claro que esta probabilidade e igual a razao entre a area da regiao central e a area total do alvo.Dessa maneira, se os discos acima tem raios 1/2, 2 e 4, respectivamente, a probabilidade de que um ponto, escolhidoao acaso, esteja na regiao central e de 1

15 . Do mesmo modo, a probabilidade de que o dardo, lancado por alguem deolhos vendados, atinja a coroa externa mais escura e de 1

4 .

Esta probabilidade, em termos estatısticos, significa que, se for feito um grande numero de lancamentos ao acaso, arazao entre o numero de lancamentos que atingem o aro externo e o numero de lancamentos totais e de 1 para 4, e estarazao teorica se aproxima cada vez mais da razao experimental a medida que aumentamos o numero de lancamentos.

Uma aplicacao da integral definida no calculo de probabilidades aparece no celebre problema da agulha de Buffon,inventado pelo cientista frances Buffon, no inıcio do seculo XVIII. Este problema consiste em calcular a probabilidadede que uma agulha de L cm de comprimento, lancada ao acaso num assoalho feito de tabuas corridas de L cm delargura, caia atravessando uma das juncoes.

A posicao em que a agulha cai no chao pode ser descrita porduas variaveis, x e θ, onde x e a distancia do ponto medio Oda agulha a juncao mais proxima e θ e o menor angulo que areta horizontal que passa pelo ponto medio da agulha faz com elapropria. Veja a figura ao lado, onde a agulha esta representada

pelo segmento de reta inclinado e m = L cos(θ)2 .

θ

m

xO

Repare que um lancamento da agulha corresponde a uma escolha aleatoria das variaveis x e θ nos intervalos[0, L2 ] e [0, π2 ], respectivamente, que, por sua vez, corresponde a uma escolha ao acaso de um ponto no retangulo

[0, L2 ]× [0, π2 ].

Alem disso, a queda da agulha atravessando uma juncao das

tabuas corresponde a desigualdade x < L cos(θ)2 . Esta desigual-

dade e descrita pela regiao hachurada sob o grafico da funcao

x = L cos(θ)2 , como mostrado na figura ao lado, no caso particular

em que L = 4. Portanto, a probabilidade de a agulha cair atra-vessando uma juncao das tabuas e igual a razao entre a area daregiao hachurada e a area do retangulo.

0

1

2

1 2theta

Usando integral definida para calcular a area sob o grafico da curva, temos que a probabilidade que queremoscalcular e dada por

π

2

∫ π2

0

cos(θ) dθ =2

π.

Essa expressao pode ser usada para estimar, empiricamente, o valor do numero π. Se realizarmos, de fato, oexperimento de lancar um numero grande de vezes uma agulha sobre um piso de tabuas cuja largura e igual aocomprimento da agulha e contarmos cuidadosamente o numero k de vezes em que a agulha cai atravessando umajuncao, a probabilidade acima devera ser, aproximadamente, igual a razao k

n , onde n e o numero de lancamentos

efetuados. Esta aproximacao melhora a medida que o numero de lancamentos cresce. Assim, limn→∞

k

n=

2

π. Este limite

significa que o numero π pode ser aproximado pela razao 2nk , para grandes valores de n. Este metodo, alem de tedioso,

Page 339: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 323

nao permite grande precisao pelos erros inerentes em todas as medicoes.Outro exemplo do uso de integrais para o calculo de probabilidades pode ser encontrado no Projeto Calculando a

probabilidade de que uma equacao quadratica tenha raızes reais.

24.5 Volume de um solido de revolucao: Metodo do disco

Um solido de revolucao e obtido fazendo-se girar uma superfıcie plana em torno de um eixo. Esferas, cones, bolasde futebol e pneus sao solidos de revolucao. O volume da esfera ja era conhecido desde o seculo III A.C., quandoArquimedes empregou uma forma primitiva, bonita e engenhosa de integracao para calcula-lo. (Veja a secao Um poucode Historia.)

Vamos considerar solidos de revolucao obtidos girando-se, em torno do eixo x, a regiao limitada por uma funcaof contınua, positiva e definida em um intervalo fechado [a, b]. Por exemplo, vamos considerar a regiao limitada pelacurva y = f(x) = (2− x)3 + 2, pelo eixo x e pelas retas x = a = 1 e x = b = 3, como e mostrado na figura a seguir aesquerda. Girando-se esta regiao em torno do eixo x, obtemos o solido mostrado a direita.

0

1

2

3

4

1 2 3 4x

–3

–2

–1

1

2

3

1.52

2.53

–3–2

01

23

Neste caso, o eixo x e dito eixo de revolucao. O problema que se coloca e como calcular o volume de um solidodeste tipo?

Se a curva y = f(x) fosse uma reta, o solido resultante seria um cilindro do qual conhecemos o volume. Veja afigura a seguir, onde a geratriz do cilindro e a reta y = 3.

–3

–2

–1

1

2

3

1.52

2.53

–3–2

01

23

Para calcular o volume de um solido de revolucao mais geral, isto e, de um solido obtido pela rotacao de uma curvay = f(x) em torno do eixo x, como descrevemos anteriormente, a ideia e dividir este solido por planos perpendicularesao eixo x, em fatias muito finas, como e mostrado na figura a seguir a esquerda, e, depois, aproximar o volume decada pequena fatia pelo volume de um cilindro. Veja a figura a direita, onde aproximamos uma dessas fatias por umcilindro.

–3

–2

0

1

2

3

1.52

2.53

–2

2

–3

–2

1

2

3

1.52

2.53

–2

0

2

Para “fatiar” o solido de revolucao, dividimos o intervalo [a, b] em n partes iguais, isto e, consideramos a seguinteparticao do intervalo [a, b]:

a = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xi ≤ xi+1 ≤ . . . xn = b ,

onde |xi+1 − xi| = b−an = ∆x. Assim, cada ponto xi desta particao e da forma xi = a + i∆x. Logo, a i-esima fatia

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324 Cap. 24 Aplicacoes da Integral Definida

pode ser aproximada por um cilindro de altura ∆x e raio f(ci), onde ci e um ponto qualquer no intervalo [xi−1, xi].(Repare que, para esta aproximacao, estamos considerando a funcao f constante e igual a f(ci), em cada subintervaloda particao.) O volume do i-esimo cilindro e, portanto, π f(ci)

2 ∆x. Entao, uma aproximacao para o volume total dosolido, denotado por V , pode ser obtida pela soma dos volumes dos n cilindros considerados, isto e,

V ≈n∑i=1

π f(ci)2 ∆x.

Execute, na versao eletronica, a animacao que mostra que, a me-dida que aumentamos o numero n de cilindros considerados nesteprocesso, a soma dos volumes dos n cilindros se aproxima, cadavez mais, do volume que queremos calcular. Execute-a passo apasso para melhor visualizar esta afirmacao! A seguir mostramosa aproximacao obtida quando consideramos cinco subintervalosna particao, o que corresponde a construcao de cinco cilindros damaneira descrita anteriormente.

–3

–2

0

1

2

3

1.52

2.53

–2

2

A soma acima fornece, portanto, o volume de uma sequencia de n cilindros. A medida que a espessura dessescilindros tende para zero, a soma se aproxima cada vez mais do volume do solido em questao. Podemos concluir,portanto, que o volume do solido e dado por

limn→∞

n∑i=1

π f(ci)2 ∆x = lim

∆ x→0

∑i

π f(ci)2 ∆x .

Como ja vimos em outros exemplos, tentar calcular somas deste tipo “no braco” nao e uma tarefa nem muitofacil, nem muito eficiente, mesmo fazendo uso de um programa de computador do tipo do Maple. Podemos fazer algomelhor que isso! Se estudarmos com afinco os capıtulos anteriores, podemos observar, sem dificuldade, que a soma∑ni=1 π f(ci)

2 ∆x e uma soma de Riemann para a funcao y = π f(x)2, portanto, o limite acima nada mais e do que aintegral desta funcao, isto e,

V = limn→∞

n−1∑i=0

π f(ci)2 ∆x =

∫ 3

1

π f(x)2 dx

e, gracas ao teorema fundamental do calculo, podemos calcular esta integral sem necessidade de usar limites denenhuma especie. Podemos, agora, com a ajuda do Maple e usando a igualdade acima, verificar, facilmente, que ovolume do solido obtido no caso que estamos estudando e dado por

V =

∫ 3

1

π ((2− x)3 + 2)2 dx = 26, 03033913

Resolva voce esta integral e comprove o resultado acima por seus proprios meios!Conclusao Para uma funcao qualquer f , contınua e positiva em [a, b], o volume do solido de revolucao obtido

ao girarmos a regiao limitada pelo grafico de f , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b em torno do eixo x e dado por

limn→∞

n∑i=1

π f(ci)2 ∆x =

∫ b

a

π f(x)2 dx.

Um resultado semelhante poderia ser obtido considerando-se uma funcao x = g(y) contınua, definida em um inter-valo [c, d]: girando-se a regiao limitada por g, pelo eixo y e pelas retas y = c e y = d em torno do eixo y, o volume V,do solido de revolucao obtido, e dado por

V =

∫ d

c

π g(y)2 dy

Exemplo 1Se f(x) = x2 + 1, determine o volume do solido gerado pela revolucao, em torno do eixo x, da regiao sob o grafico

de f , de −1 a 1.

Solucao A figura a seguir ilustra o solido obtido e uma fatia cilındrica tıpica.

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W.Bianchini, A.R.Santos 325

–2

–1

1

2

–1–0.5

0.51

–2

1

2

Como o raio de cada fatia cilındrica e dado por f(xi) = xi2 + 1 para algum ponto do subintervalo considerado,

temos que seu volume sera dado por π (xi2 + 1)2 ∆x. Assim, o volume do solido sera

V =

∫ 1

−1

π (x2 + 1)2 dx = π

∫ 1

−1

x4 + 2x2 + 1 dx = π

[x5

5+

2x3

3+ x

]1

−1

=56π

15

Exemplo 2 Calcule o volume do solido gerado pela revolucao da regiao limitada por y = x3, y = 1, y = 8 e o eixoy, em torno deste eixo.

Solucao A figura a seguir ilustra o solido e uma fatia cilındrica tıpica.

–2

2

3

4

5

6

7

8

–2–112

Como o raio da fatia cilındrica tıpica, neste caso, e dado por f(yi) = yi13 para algum ponto do subintervalo consi-

derado, temos que seu volume sera dado por π (yi13 )2 ∆ y. Assim, o volume do solido sera

∫ 8

1π (y

13 )

2dy. Resolvendo

esta integral temos que

V = π

∫ 8

1

y2/3 dy = π 35 y

53

∣∣∣81

= π (24

582/3 − 3

5).

24.6 Volume de um anel de revolucao

Considere uma regiao do plano limitada acima pela curva y = f(x) e abaixo pela curva y = g(x), onde f e g sao duasfuncoes contınuas e positivas (veja figura a seguir a esquerda). Ao girarmos esta regiao em torno do eixo x, obtemosum solido de revolucao, chamado anel de revolucao (figura a direita).

0

1

2

3

4

1 2 3 4

x

–3

–2

–1

1

2

3

1

2

3

O volume do anel sera dado, entao, pela diferenca entre o volume do solido obtido ao girarmos a regiao limitadapela curva y = f(x), definida no intervalo [a, b], pelas retas x = a e x = b, e pelo eixo x (figura a seguir a esquerda), eo volume do solido de revolucao obtido ao girarmos, em torno do mesmo eixo, a regiao limitada pela curva y = g(x),pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b (figura a direita).

Page 342: texto completo em PDF

326 Cap. 24 Aplicacoes da Integral Definida

–3

–2

–1

1

2

3

1

2

3

–3

–2

–1

1

2

3

1

2

3

Assim, o volume do anel de revolucao e dado por∫ b

a

π f(x)2 dx−∫ b

a

π g(x)2 dx =

∫ b

a

π (f(x)2 − g(x)2) dx.

Exemplo 1 Determine o volume do solido de revolucao obtido pela revolucao, em torno do eixo x, da regiaolimitada pelos graficos de x2 = y − 2, 2 y − x− 2 = 0, x = 0 e x = 1.

Solucao Como a rotacao e feita em torno do eixo x, e necessario exprimir y como uma funcao de x. Assim, aprimeira equacao dada e equivalente a y = x2 + 2 e a segunda, a y = x

2 + 1. Um esboco da regiao limitada pelo graficodessas funcoes e pelas retas dadas e mostrado na figura a seguir a esquerda. O solido obtido pela revolucao destaregiao em torno do eixo x e mostrado na figura a esquerda.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x

–3

–2

0

1

2

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

2

O volume deste solido sera dado por

V =

∫ 1

0

π [(x2 + 2)2 − (x

2+ 1)2] dx = π

∫ 1

0

[x4 +15x2

4− x+ 3] dx.

Como F (x) = x5

5 + 5 x3

4 −x2

2 + 3x e uma primitiva da funcao f(x) = x4 + 15 x2

4 − x+ 3, a integral acima e igual aF (1)− F (0) = 79π

20 .

Exemplo 2 Determine o volume do solido gerado pela revolucao da mesma regiao descrita no Exemplo 1 emtorno da reta y = 3.

Solucao Girar a regiao dada em torno da reta y = 3, e equivalente a girar a regiao limitada pelas funcoesy = x2 + 2− 3 = x2 − 1 e y = x

2 + 1− 3= x2 − 2 em torno do eixo x, isto e, a transladar verticalmente toda a regiao,

tres unidades para baixo, de modo que a reta y = 3 passe a coincidir com o eixo x. Veja os graficos:

0

0.20.40.60.8

11.21.41.61.8

22.22.42.62.8

3

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x

–3–2.8–2.6–2.4–2.2

–2–1.8–1.6–1.4–1.2

–1–0.8–0.6–0.4–0.2

0

y

x

Raciocinando como no item anterior, temos que o volume do solido gerado pela revolucao desta nova regiao emtorno do eixo x e dado por

V = π

∫ 1

0

[(x

2− 2)2 − (x2 − 1)2] dx = π

∫ 10

0

[3− 2x+9x2

4− x4] dx =

51π

20

Page 343: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 327

Exemplo 3 Determine o volume do solido de revolucao obtido pela rotacao da regiao do primeiro quadrante,

limitada pelos graficos de y = x3

8 e y = 2x, em torno do eixo y.Solucao : A figura seguinte, a esquerda, mostra a regiao a ser girada em torno do eixo y e a figura a direita, o

solido de revolucao obtido.

0

2

4

6

8

y

1 2 3 4 5x

–5

5 1

2

3

4

5

–8–6–4–22468

Como devemos integrar em relacao a y, expressamos as equacoes dadas como funcoes do tipo x = g(y). Assim

temos, respectivamente, que x = 2 y13 e x = y

2 .Os pontos de intersecao destas duas curvas sao y = 0 e y = 8. Daı, o volume do solido resultante da rotacao desta

regiao em torno do eixo y sera dado por

V = π

∫ 8

0

[4 y23 − y2

4] dy =

512π

15

24.7 Comprimento de arco

O problema da retificacao de arcos

Um arco e a parte de uma curva que esta entre dois pontos, A e B, especificados. Fisicamente, e facil calcular ocomprimento de um arco de uma determinada curva. Esticamos um pedaco de barbante, ajustando-o a curva de Aate B; “endireitamos”, isto e, retificamos o fio, e medimos o seu comprimento com uma regua (daı o termo retificarum arco).

Matematicamente, o problema e um pouco mais complicado: na realidade, e possıvel dar exemplo de uma curvacontınua, que nao tem comprimento definido! Esse fato, bastante surpreendente, sugere que a teoria necessaria aocalculo de comprimentos de arcos e mais complicada do que parece.

Embora, desde a Antiguidade ja fosse conhecido o comprimento de um arco de circunferencia, ate meados doseculo XVII pensava-se que o problema de retificacao de curvas algebricas era impossıvel de ser resolvido. Em 1650,William Neil, usando tecnicas do calculo diferencial e integral, calculou pela primeira vez o comprimento de um arcoda parabola semicubica y2 = x3.

O metodo empregado no calculo de comprimentos de arcos consiste em um procedimento de aproximacao e passagemao limite, que se presta a um tratamento matematico, como e descrito na proxima secao.

Calculando comprimentos de arcos

Dizemos que uma curva no plano xy, descrita pelo grafico de uma funcao y = f(x), e suave ou lisa quando f temderivada contınua em todos os pontos. De um modo intuitivo, isto significa que uma pequena variacao em x produzuma pequena variacao no coeficiente angular f ′(x), da tangente ao grafico de f . Assim, nao ha bicos no grafico deuma funcao suave.

O problema que se coloca e como calcular o comprimento de arco entre dois pontos A e B de uma curva lisa.Obviamente, se a curva dada fosse um segmento de reta, o comprimento seria dado pela distancia entre as suas

extremidades. (Se f e suave em um intervalo fechado [a,b], os pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)) sao chamadosextremidades do arco AB.)

A ideia, entao, e dividir a curva em pequenos segmentos de reta e aproximar o comprimento do arco em questaopela soma do comprimento de cada um destes pequenos segmentos de reta. Isto e, aproximamos o comprimento doarco pelo comprimento de uma poligonal de n lados, cujos vertices estao sobre o arco dado.

Para diminuir o erro cometido nesta aproximacao, basta dividir o arco em um numero maior de segmentos. Ouseja, a medida que n cresce, o comprimento da poligonal se aproxima cada vez mais do comprimento do arco emquestao.

Page 344: texto completo em PDF

328 Cap. 24 Aplicacoes da Integral Definida

Para precisar matematicamente esta ideia, vamos considerar umaparticao regular do intervalo [a, b], ou seja, vamos dividir o intervalo[a, b] em n partes iguais, a saber, a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b,onde cada subintervalo [xi−1, xi] tem o mesmo comprimento, dado por∆x = xi − xi−1.A cada ponto da subdivisao do intervalo [a, b] corresponde um ponto[xi, f(xi)] sobre a curva y = f(x). Estes pontos serao os vertices dapoligonal. Observe o grafico ao lado, onde dividimos o intervalo [a, b]em cinco partes iguais e construımos a poligonal correspondente. 0

2

4

6

8

10

12

y

1 2 3 4 5x

Veja agora, no diagrama a seguir, como a medida que n cresce, a poligonal de n lados se aproxima da curva e comoo comprimento desta poligonal se aproxima de um limite. Este limite e o comprimento do arco em questao.

22.47158240

24.51856939

11.62591907

24.38854155

10.

5.0

10.

5.0

10.

5.0

10.

5.0

10.

5.0

10.

5.0

10.

5.0

10.

5.0

10.

5.0

23.91378736

23.49181175

24.62364094

24.25799919

24.11035914

A partir desta ideia geometrica, e facil obter, analiticamente, uma formula que forneca o comprimento da poligonalconsiderada. O comprimento de cada segmento de reta desta poligonal e dado por

distancia(Pi−1, Pi) =√

(xi − xi−1)2 + (f(xi)− f(xi−1))2 (∗)

Como, por hipotese, f e uma funcao contınua, pelo teorema do valor medio aplicado ao subintervalo [xi−1, xi],existe um ponto ci neste intervalo, tal que,

f(xi)− f(xi−1) = f ′(ci)(xi − xi−1) = f ′(ci)∆x .

Substituindo este valor em (*), temos

distancia(Pi−1Pi) =

√(∆x)

2+ [(f ′(ci)) ∆x]

2=√

1 + (f ′(ci))2 ∆x.

A soma do comprimento de todos os segmentos de reta que compoem a poligonal nos dara o comprimento totaldela. Assim, o comprimento da poligonal sera dado por

n∑i=1

√1 + (f ′(ci))

2∆x

Se, a medida que aumentarmos o numero n de lados da poligonal, esta soma se aproximar de um limite, o arco seradito retificavel e o comprimento L do arco da curva considerada sera dado por

limn→∞

n∑i=1

√1 + (f ′(ci))

2∆x .

Lembrando a definicao da integral definida, concluımos que:

L = limn→∞

n∑i=1

√1 + (f ′(ci))

2∆x =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))

2dx .

Assim, se f e uma funcao suave no intervalo [a, b], a formula acima fornece o comprimento do arco do grafico def do ponto A = (a, f(a)) ate o ponto B = (b, f(b)).

Page 345: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 329

No caso de um arco de curva suave dado como grafico de x = g(y), para y variando no intervalo [c, d], comecandocom uma particao do intervalo [c, d] e usando argumentos analogos aos empregados no caso anterior, podemos deduzira formula

L =

∫ d

c

√1 + (g′(y))

2dy.

A maioria dos matematicos lembra das formulas sem necessidade de memoriza-las, mas raciocinando de tal formaque seja rapido e facil deduzi-las, sem perigo de errar.

No caso de comprimentos de arcos, se usarmos a notacao de Leibniz para derivadas, existe uma abordagem intuitivaque torna estas formulas muito mais facil de entender e de memorizar.

Vamos denotar por s o comprimento de arco variavel de A ateum ponto qualquer na curva. Se denotarmos por ds um pequenoacrescimo no comprimento s, isto e, se entendermos esta grandezacomo a diferencial da funcao comprimento de arco, ds pode sertomado tao pequeno que esta parte da curva se confunde com ahipotenusa de um pequeno triangulo retangulo de catetos dx edy, que correspondem as mudancas ocorridas nas variaveis x e y,quando o comprimento do arco cresce de s para s + ds (veja afigura ao lado).

dy

ds

dx

Aplicando o teorema de Pitagoras a este pequeno triangulo, temos que ds2 = dx 2 + dy2 e, desta equacao simples,podemos deduzir todas as formulas de comprimento de arco. Assim,

ds =

√dx 2 + dy2 =

√1 + (

dy

dx)2 dx

Podemos entender, tambem, o comprimento total do arco AB como a soma (ou integral) de todos os elementos dearco ds, quando ds percorre a curva desde A ate B. Desse modo, temos que

comprimento do arco AB =

∫ B

A

ds =

∫ b

a

√1 + (

dy

dx)2 dx.

Da mesma maneira, tratando x como funcao de y obtemos

ds =

√dx 2 + dy2 =

√(dx

dy)2 + 1 dy .

Nesse caso, a integral para o comprimento do arco AB e dada por:

∫ B

A

ds =

∫ d

c

√(dx

dy)2 + 1 dy.

E muito facil esquecer formulas, mas e quase impossıvel esquecer um conjunto de ideias, quando verdadeiramentecompreendidas!

Exemplo Calcule o comprimento de arco da parabola semi-cubica y = x32 no intervalo [0,5].

Solucao: Como√

1 + (dydx )2 =

√1 +

(3 x

12

2

)2

=√

4+9 x2 , temos que o comprimento em questao sera dado por

l =

∫ 5

0

√4 + 9x

2dx =

1

18

∫ 44

4

√u du =

335

27

Page 346: texto completo em PDF

330 Cap. 24 Aplicacoes da Integral Definida

24.8 Area de uma superfıcie de revolucao

Vamos considerar uma curva suave que esteja acima do eixo x. A rotacao desta curva ao redor do eixo x gera umasuperfıcie de revolucao. Veja o grafico a seguir que mostra a superfıcie obtida pela rotacao da curva y = 1

x2 em tornodo eixo x, para x variando no intervalo [1, 3].

–1

–0.8

–0.6

–0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

–1

1

De um modo geral, uma superfıcie de revolucao e a superfıcie obtida fazendo-se um arco de curva girar em tornode uma reta situada no mesmo plano que ele. Nosso problema e o de calcular a area de tal superfıcie.

Podemos obter uma aproximacao para esta area considerando a superfıcie gerada pela revolucao, em torno do eixox, de uma das poligonais usadas para aproximar o comprimento do arco, descrito pela curva geratriz da superfıcieoriginal. Em cada um dos subintervalos considerados esta rotacao gerara um tronco de cone, como e ilustrado abaixo.

–1

–0.8

–0.6

–0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

–1

1

Desse modo, se conhecermos a area lateral de um tronco de cone, poderemos calcular de um modo razoavelmentesimples a area da superfıcie de revolucao.

A area lateral S de um tronco de cone com raio medio rm = r1+r22 , onde r1 e r2 sao, respectivamente, os raios

da base menor e da base maior do tronco, e geratriz (altura inclinada) L e dada pela formula S = 2π rm L. (VejaProblema 10 ).

Assim, podemos calcular uma aproximacao para a area da superfıcie de revolucao gerada pela rotacao, em torno doeixo x, do arco suave y = f(x), com x variando no intervalo [a, b], dividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos iguaisde comprimento ∆x e, tal como no estudo que fizemos para o comprimento do arco, aproximar o arco subtendido pelospontos Pi = (xi, f(xi)) e Pi−1 = (xi−1, f(xi−1)) pelo comprimento do segmento retilıneo que une estes dois pontos,ou seja,

arco(Pi−1 Pi) ≈ |Pi−1 Pi | =√

1 + (f ′ (ci))2 ∆x ,

para algum ponto ci, no i-esimo subintervalo [xi−1, xi] da particao considerada.

Repare que o tronco de cone obtido pela revolucao deste segmento de reta em torno do eixo x tem geratriz

Li = |Pi−1 Pi| e raio medio rmi = f(xi−1)+f(xi)2 . Como a funcao f e contınua e rmi esta entre dois valores desta funcao

(f(xi−1) e f(xi)), o teorema do valor intermediario para funcoes contınuas garante que existe um ponto di no intervalo[xi−1, xi], tal que rmi = f(di). Pela formula estabelecida para a area de troncos de cones, temos que a area destetronco de cone e dada por

2π rmi Li = 2π f(di)√

1 + (f ′ (ci))2 ∆x.

Somando-se as areas desses cones obtemos a area da superfıcie aproximadora

A =

n∑i=1

2π f(di)√

1 + (f ′ (ci))2 ∆x .

Se ci e di fossem o mesmo ponto do intervalo [xi−1, xi], entao esta soma seria a soma de Riemann para a integral

Page 347: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 331

∫ b

a

2π f(x)√

1 + (f ′(x))2 dx .

Intuitivamente, e claro, que embora os numeros ci e di nao sejam iguais, quando ∆x tende a zero, a diferenca entreci e di tambem tende a zero, portanto, a soma aproximadora tende para a integral acima, quando ∆x tende a zero.(Veja Problema 11.)

Tendo em vista o exposto acima, define-se a area A da superfıcie gerada pela revolucao em torno do eixo x, doarco suave y = f(x), para x em [a,b], pela formula

A = limn→∞

n∑i=1

2π f(di)√

1 + (f(ci))2 ∆x =

∫ b

a

2π f(x)√

1 + (f ′(x))2 dx,

desde que o limite acima exista.

Escrevendo-se y em vez de f(x) e ds em vez de√

1 + ( dfdx )2 d x podemos abreviar a formula acima por

A =

∫ b

a

2π y ds.

Esta ultima formula e facil de guardar, se pensarmos em 2π y ds como a area de um tronco de cone estreito, obtidopela revolucao do pequeno arco ds em torno do eixo x. Nesse caso, y = f(x) e o raio medio desse tronco estreito.

Uma formula semelhante pode ser obtida se girarmos a curva y = f(x), em torno do eixo y. Neste caso, temos que

A =

∫ d

c

2π y

√1 + ((f−1)

′(y))

2dy

(Veja Problema 12.)

Exemplo: Um paraboloide de revolucao e a superfıcie obtida aogirarmos um ramo de parabola em torno de seu eixo. Ache aarea do paboloide de revolucao obtido pela rotacao do arco daparabola y = x2, para x em [0,

√2], em torno do eixo y. Veja ao

lado o grafico desta superfıcie.0.5

1

1.5

2

–1

0.51

–1

0.51

Solucao Usando a ultima formula dada, tem-se

A = 2π

∫ √2

0

x√

1 + (2x)2 dx =π

4

∫ 8

0

√1 + u du =

13π

3.

24.9 Trabalho

Quando a bateria do carro descarrega e voce precisa empurra-lo para que o motor “pegue no tranco”, voce estarealizando um trabalho, e o efeito deste trabalho e fazer o carro funcionar e se movimentar. Nosso objetivo nesta secaoe mostrar o papel da integral no estudo do conceito de trabalho. Quando voce empurra o carro para ele “pegar notranco”, o motor vai ser acionado dependendo da forca F que voce esta aplicando e da distancia d, durante a qual aforca F e aplicada. Assim, forca e distancia sao os ingredientes na definicao de trabalho.

DefinicaoQuando uma forca constante de modulo F move um objeto de uma distancia d, entao definimos o trabalho W

realizado pela forca F sobre o objeto como sendo

W = F d.

Exemplo 1 Se voce aplica uma forca constante F = 50 N (newtons) para empurrar um carro por uma distanciade 10 metros, o trabalho realizado sera

Page 348: texto completo em PDF

332 Cap. 24 Aplicacoes da Integral Definida

W = 50 N . 10 m = 500 (N.m) (newtons-metros).

Agora, se uma forca variavel F (x) movimenta uma partıcula ao longo do eixo x de um ponto a ate outro ponto b,qual o trabalho exercido pela forca F (x)?

A ideia e fazer uma particao do intervalo [a, b] em n subintervalos suficientemente pequenos nos quais a forca F naovarie muito e possamos aproxima-la por uma constante. Assim, podemos usar a definicao acima em cada subintervalopara obter um valor aproximado do trabalho realizado em cada subintervalo. O trabalho realizado ao longo do intervalo[a, b] sera aproximado pela soma de Riemann dos valores obtidos em cada subintervalo. Tomando-se o limite da somade Riemann iremos obter uma integral para o trabalho realizado ao longo de [a, b].

Para isto, considere uma particao x0 = a < x1 < ...< xi−1 < xi < ... < xn = b do intervalo [a, b]. Assim, o trabalhoWi realizado no subintervalo [xi−1, xi] e aproximado por

Wi ≈ F(ci) ∆xi

onde ∆xi = xi − xi−1 e ci e um ponto qualquer do subintervalo [xi−1, xi]. Somando-se estas aproximacoes, obtem-sea seguinte soma de Riemann, que aproxima o trabalho W realizado ao longo de [a, b]:

W =

n∑i=1

Wi ≈n∑i=1

F(ci) ∆xi

Tomando-se o limite quando n→∞, com a condicao de que ∆xi → 0, obtem-se a integral

W = lim|∆ xi|→0

n∑i=1

F(ci) ∆xi =

∫ b

a

F(x) dx

Exemplo 2 Suponha que voce deseja tirar agua de uma cisterna com 12 metros de profundidade. O balde pesa2 kg, tem capacidade para 10 litros d’agua, e a corda pesa 0,10 kg/m. Acontece que o balde tem um furo no fundo,de modo que ele chega na boca da cisterna com apenas metade de sua capacidade. Suponha que voce puxe o baldecom velocidade constante e que a agua saia pelo buraco tambem com razao constante. Determine o trabalho realizadopara puxar o balde ate a boca da cisterna. Considere que a agua pesa 1 kg por litro.

Solucao Considere um sistema de coordenadas com x = 0 na boca da cisterna e x = 12 no nıvel d’agua. A forcatotal F (x) que e exigida para puxar o balde, Fb(x), a agua, Fa(x), e a corda, Fc(x), e dada por:

F(x) = Fa(x) + Fb(x) + Fc(x)

- A forca produzida pelo balde e uma constante, uma vez que o peso em qualquer profundidade e constante e iguala 2 kg. Assim, Fb(x) = 2.

- A forca produzida pela corda varia com a profundidade. Quando a corda esta esticada x metros, o peso dela serade 0,10 kg/m vezes xm = 0, 1x kg, isto e, Fc(x) = 0, 1x kg .

- Ja que o balde tem um furo vazando agua, o peso da agua varia com a profundidade x. Quando o balde comecaa subir, ele contem 10 litros d’agua pesando 10 kg, e quando chega ao topo ele contem apenas 5 litros d’agua pesando5 kg. Supondo que o balde sobe a uma velocidade constante v m/s e a agua vaza tambem a uma razao constante zkg/s, o tempo t que ele leva para chegar ate a boca da cisterna percorrendo 12 m e o mesmo tempo para ele ficar com5 kg de agua, o que nos da:

t =5

z=

12

vi. e.,

z

v=

12

5.

Agora, o peso da agua restante apos um tempo t e p = 10− z t e o comprimento da corda e x = 12− v t . Resolvendoesta equacao para t, substituindo na equacao do peso e usando o fato de que v

z = 125 , obtemos

p = 10− z (12− x)

v= 5 +

5x

12.

Assim,

Fa(x) = 5 +5x

12.

Logo, a forca exigida para puxar o balde, a corda e a agua a uma profundidade de x metros e

F(x) = 5 +5x

12+ 2 + 0, 1x = 7 + 0, 52x

Page 349: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 333

Assim, o trabalho realizado para puxar o balde e

W =

∫ 12

0

7 + 0, 52x dx = 121, 44 m-kg

Exemplo 3 Um reservatorio de alcool tem a forma de um cone circular reto invertido com 10 metros de altura e 8metros de diametro no topo. Ele contem alcool ate a altura de 8 metros. Encontre o trabalho realizado para bombearo alcool para o topo do tanque. (A densidade do alcool e aproximadamente de 1000 kg/m3.)

Solucao Veja a figura a seguir onde colocamos o eixo x apontando para baixo e a origem no topo. O alcoolvai de uma profundidade de 2 ate 10 metros. Considerando uma particao 2 = x0 < x1 < x2 < ... < xn = 10 dointervalo [2, 10] em n partes iguais, tem-se uma divisao do reservatorio conico em n partes na forma de um tronco decone com altura ∆x = 8

n . Escolhendo em cada subintervalo [xi−1, xi] um ponto ci, podemos aproximar o volume doi-esimo tronco de cone pelo volume de um cilindro de raio f(ci) e altura ∆x, onde f e a funcao geratriz do cone, isto

e, f(x) = 2 (10−x)5 .

X

Y

z

2

4

6

8

10

X

Y

Assim,

Vi = π f(ci)2 ∆x =

π 4 (10− ci)2

25∆x

e sua massa e

mi = densidade.volume ≈ 1000π 4 (10− ci)2

25∆x = 160π (10− ci)2 ∆x.

Assim, o trabalho exigido para bombear este elemento ate o topo sera igual a Wi = Fi ci = mi g ci, que e aproxima-damente igual a

Wi = [9, 8] 160π (10− ci)2 ci ∆x = 1570π (10− ci)2 ci ∆x.

Logo, o trabalho realizado e dado por

W = lim|∆ x|→0

n∑i=1

1570π (10− ci)2 ci ∆x =

∫ 10

2

1570π (10− x)2 x dx =1570π 2048

3.

24.10 Exercıcios

1. Calcule a area da regiao limitada pelas curvas:

(a) y = x2 e y = −x2 + 4x

(b) y2 = 2x− 2 e y = x− 5

(c) y = sen(x) e y = cos(x) , para x em [−π2 ,π2 ]

(d) y = 2 sen(x) e y = −3 sen(x), para x em [0, 2π]

(e) y = 1√1−x2

e y = 0, para x em [−1/2, 1/2]

(f) y = x4 − 2x2 e y = 2x2

(g) y = f(x) = x3 − 3x + 3, y = 0, x = a e x = b, onde a e o ponto de maximo local de f e b e o ponto demınimo local.

(h) x2 − y2 = a2 e x = 2 a

(i) y = |x+ 1 |+ |x |, y = 0, x = −2 e x = 3

(j) y = x2 e x2 = 18− y

Page 350: texto completo em PDF

334 Cap. 24 Aplicacoes da Integral Definida

(k) y = x3, y = 2x e y = x

2. A area da regiao delimitada pelas curvas x = y2 e x = 4 e dividida em duas partes iguais pela reta x = a.Determine a.

3. Calcule c > 0, de modo que a area limitada por y = x2 − c e y = c− x2 seja igual a 9.

4. Cada uma das integrais abaixo representa a area de uma regiao R. Faca um esboco da regiao e calcule a suaarea.

(a)

∫ 1

0

4x+ 1 dx

(b)

∫ 1

0

4− x2 dx

(c)

∫ 0

−4

x+ 6− (−x2

) dx+

∫ 2

0

x+ 6− x3 dx

(d)

∫ 1

0

x− x3 dx

(e)

∫ 2

−2

y2 − (2 y2 − 4) dy

5. Nos itens abaixo, esboce a regiao limitada pelos graficos das equacoes dadas e determine a area dessa regiao pordois processos: (i) integrando em relacao a x e (ii) integrando em relacao a y.

(a) y = −x2 e y = x2 − 8

(b) y2 = 4− x e x+ 2 y − 1 = 0

(c) 2 y2 = x+ 4 e x = y2

6. Prove que o volume de uma esfera de raio R e igual a 4π R3

3 .

7. Ao girarmos o segmento de reta y = ax, a > 0, com x no intervalo [h,H], em torno do eixo x, obtemos umtronco de cone. Calcule seu volume.

8. Determine o volume do elipsoide gerado pela rotacao da elipse x2

a2 + y2

b2 = 1 em torno do eixo x.

9. Calcule o volume do solido gerado pela rotacao da curva y =√x em torno do eixo y, para y entre 0 e 1.

10. Determine o volume do solido gerado pela revolucao da regiao limitada pelos graficos de y = x2 e y = 4 em torno:

(a) da reta y = 4 (b) da reta y = 5 (c) da reta x = 2Sugestao: O volume nao se altera se as regioes sao transladadas.

11. Cada uma das integrais abaixo representa o volume de um solido de revolucao. Descreva o solido correspondenteem cada caso.

(a)

∫ 4

0

π x2 dx

(b)

∫ 4

0

π y dy

(c)π b2

a2

∫ a

−aa2 − x2 dx

(d) π

∫ 1

0

x4 − x6 dx

12. Calcule o volume do solido obtido ao girarmos a regiao plana limitada por y =√

4− x2, y = 2√

2x e y = −2√

2xem torno do eixo x.

13. Um torneiro vazou uma esfera solida de metal de raio 5 cm com uma broca de 6 cm de diametro, passando ofuro pelo centro da esfera. Determine o volume do solido que restou.

14. Num copo cilındrico de raio 2 e altura 8 cheio de agua, coloca-se um paraboloide de revolucao voltado para cimacom o vertice centrado no fundo do copo. Calcule o volume de agua entre o copo e o paraboloide. (O paraboloidede revolucao e obtido ao girarmos uma parabola em torno de seu eixo de simetria.)

15. (a) Para cada x pertencente ao intervalo [0, 1], seja Tx o triangulo cujos vertices sao (0, 0), (1, 0) e (x, 1). Quevalor (ou valores) de x fornece o solido de volume maximo, quando Tx e girado em torno do eixo x?

(b) Suponha que o triangulo Tx seja girado em torno do eixo y. Que valores de x fornecem o solido de volumemaximo?

16. Considere as elipses de equacao x2

a2 + y2

b2 = 1, que tem a soma dos dois semi-eixos igual a 2, isto e, (a + b) = 2.Qual dessas elipses giradas em torno do eixo x fornecera um elipsoide de volume maximo?

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W.Bianchini, A.R.Santos 335

17. Mostre graficamente que a circunferencia de raio 1 pode ser aproximada por uma poligonal e calcule, desse modo,uma aproximacao para o valor de π. Compare a aproximacao que voce achou com o resultado obtido usando aformula do comprimento de arco.

18. Em cada caso, estabeleca a integral que fornece o comprimento do arco indicado. No estagio em que estamos,voce e capaz de calcula-las?

(a) y =√x para x no intervalo [1, 4]

(b) y = x2 para x no intervalo [0, 1](c) y = x3 para x no intervalo [0, 1](d) a parte de y = −x2 + 4x− 3 acima do eixox.

19. Ache a area da superfıcie gerada pela revolucao da curva dada em torno do eixo indicado:

(a) y =√x, para x em [0, 1], em torno do eixo x

(b) y = x3, para x em [1, 2], em torno do eixo x

(c) y = x5

5 + 112 x3 , para x em [1, 2], em torno do eixo y.

20. Voce pode obter uma esfera de raio r fazendo girar o grafico de f(x) =√r2 − x2, para x variando no intervalo

[−r, r], em torno do eixo x. Calcule a area desta esfera.

21. (a) Calcule o comprimento de arco total da astroide x( 23 ) + y( 2

3 ) = 1.

(b) Determine a area da superfıcie gerada pela revolucao da astroide do item anterior em torno do eixo y.

24.11 Problemas

1. Uma partıcula se move ao longo do eixo x de tal maneira que sua velocidade em qualquer instante de tempo te dada por v(t) = sen(2 t). Em t = 0, a partıcula esta na origem.

(a) No intervalo de tempo [0, π], ache todos os valores de t para os quais a partıcula esta se deslocando para aesquerda.

(b) Determine a posicao da partıcula em qualquer instante de tempo t.

(c) Determine o valor medio da funcao posicao encontrada em (b), no intervalo [0, π2 ].

2. Uma partıcula se desloca ao longo do eixo x com aceleracao dada por a(t) = 2 t− 10 + 12t para t ≥ 1.

(a) Sabendo que v(1) = 9, determine a velocidade da partıcula para t ≥ 1.

(b) Para que valores de t, no intervalo [1, 3], a velocidade atinge seu valor maximo? Justifique a sua resposta.

(c) Sabendo que s(1) = −16, determine a posicao s(t) da partıcula para t ≥ 1.

3. Uma partıcula se move ao longo do eixo x de tal maneira que a sua aceleracao em qualquer instante de tempot > 0 e dada por a(t) = 1

8 −1t2 . Quando t = 1, sua velocidade e igual a 9

16 m/s e sua posicao em relacao a origeme 25

48 m.

(a) Ache a velocidade da partıcula como funcao do tempo.

(b) Ache a distancia da partıcula a origem em t = 2.

4. Seja R a regiao limitada pelo grafico de (x− 4)2 + y2 = 9.

(a) Exprima a area A de R como uma integral.

(b) Determine A sem integrar.

5. Se A e a area da regiao limitada pelos graficos de 2x+ 3 y = 6, x = 0 e y = 0, exprima o valor de A como umaintegral. Determine o valor de A sem integrar.

6. Calcule os valores de m para os quais a reta y = mx e a curva y = xx2+1 delimitam uma regiao fechada. Calcule

a area de tal regiao.

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336 Cap. 24 Aplicacoes da Integral Definida

7. Calcule a area acima do eixo x, limitada pela curva y = 1x2 e pelas retas x = 1 e x = b, onde b e um numero

qualquer maior que um. O que acontece com essa area quando b→∞?

8. Resolva o problema anterior para a regiao limitada pelas mesmas retas e pela curva y = 1xp , onde p e um numero

positivo maior que um. O que acontece quando p e um numero positivo menor que um?

9. Se lim∆ x→0

∑i

π xi4 ∆x representa o limite de uma soma de Riemann para uma funcao f no intervalo [0, 1], resolva

os itens abaixo:

(a) Determine o valor do limite.

(b) Interprete o limite como a area de uma regiao do plano xy.

(c) Interprete o limite como o volume de um solido de revolucao.

10. Mostre por cada um dos metodos a seguir que a area de um cone circular reto cuja geratriz tem comprimento le cuja base tem raio r e π r l.

(a) Corte o cone ao longo de uma das suas geratrizes e “desenrole-o”. Sua superfıcie forma, entao, uma fracaode um cırculo de raio l, cuja area voce pode calcular facilmente.

(b) Imagine que o cone e constituıdo por n triangulos de altura l e base 2π rn (esta hipotese se torna cada vez

melhor a medida que n cresce). Deduza a partir deste raciocınio a formula para a area da superfıcie docone.

(c) Da formula obtida para a area da superfıcie do cone, deduza uma formula para a area de um tronco decone reto com raios r1(base menor) e r2(base maior) e geratriz (altura inclinada) L. (A area de um troncode cone pode ser obtida como a diferenca das areas de dois cones, um com base r2 e geratriz L2, e o outrocom base r1 e geratriz L1 = L2 − L.)

11. Este problema se destina a formalizar as ideias intuitivas empregadas para estabelecer a formula para a area deuma superfıcie de revolucao.

(a) Suponha que∣∣∣ dfdx

∣∣∣ ≤M em [a, b]. Mostre a partir do teorema do valor medio que

|f(x1)− f(x2)| ≤M |x1 − x2| ,

se x1 e x2 estao em [a, b].

(b) Suponha que xi−1 ≤ ci ≤ xi. Mostre que

| f(xi) + f(xi−1)− 2 f(ci)| ≤ 2M |xi − xi−1 | ,

isto e, que f(xi) + f(xi−1) nao pode diferir de 2 f(ci) por mais do que 2M(xi − xi−1).

(c) Mostre que se todos os intervalos na particao a = x0 < ... < xn = b tem comprimentos menores ou iguaisa ∆x, entao cada termo da soma

(∗)∑i

π (f(xi) + f(xi−1))√

1 + (f ′(ci))2 ∆xi

difere do termo correspondente da soma∑i

2π f(ci)√

1 + (f ′(ci))2 ∆xi

por nao mais que 2πM ∆x√

1 +M2 ∆xi.

(d) Mostre que a diferenca entre as duas somas anteriores e menor ou igual a

2πM ∆x√

1 +M2 (b− a)

e, portanto, e desprezıvel quando ∆x e pequeno. Assim, tanto (*) quanto (**) tendem para o mesmo limitequando ∆x tende para zero.

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W.Bianchini, A.R.Santos 337

12. Prove a formula A =∫ dc

2π x√

1 + ( dfdx )2 dx para a area de uma superfıcie de revolucao obtida pela rotacao da

curva suave y = f(x), em torno do eixo y, para x em [a, b].

13. Resolva o Exemplo 3 com o reservatorio tendo a forma de uma esfera com 5 metros de raio e estando totalmentecheio.

24.12 Um pouco de historia

No seculo III a.C., Arquimedes considerou a esfera como um solido de revolucao ao estabelecer a sua famosa formula

V = 4π r3

3 para o volume de uma esfera de raio r.Para chegar a este resultado, Arquimedes utilizou troncos de cones, do modo como foi feito nesta secao para o

calculo de areas de superfıcies de revolucao, e nao cilindros, como fizemos para o calculo de volumes.Alem de descobrir o volume de uma esfera, Arquimedes encontrou tambem a area de sua superfıcie, relacionando

estas duas quantidades de uma forma brilhante. Sua ideia foi dividir a esfera solida em um grande numero de pequenas“piramides” da maneira descrita a seguir.

Imagine a superfıcie da esfera dividida em muitos pequenos “triangulos”. Como nao ha linhas retas na superfıcieesferica, estas pequenas figuras nao sao triangulos de verdade, no entanto, se elas forem suficientemente pequenas,cada figura esta em um plano aproximador e pode ser considerada, aproximadamente, como triangulos. Suponha quecada “triangulo” seja usado como base de uma piramide de altura r (raio da esfera) e com vertice no centro da esfera.Se Ak e a area da base de uma destas pequenas “piramides” e Vk o seu volume, sabemos que Vk = Ak r

3 para todo k(este fato foi descoberto por Democrito, em V a.C.). Assim,

n∑k=1

Vk =

n∑k=1

Ak r

3= (

r

3) (

n∑k=1

Ak) .

Como todas as piramides preenchem a esfera solida, esta formula nos diz que o volume da esfera e a sua area estaorelacionados pela equacao

V =Ar

3.

Ao descobrir o volume da esfera, Arquimedes, usando esta formula, concluiu tambem que

4π r3

3=Ar

3.

Logo, A = 4π r2 e a area da esfera de raio r.

24.13 Para voce meditar

24.13.1 Regioes ilimitadas tem, necessariamente, areas infinitas?

O teorema fundamental do calculo nao se aplica ao calculo de integrais definidas em intervalos onde o integrando naoseja uma funcao contınua. Em especial, nao e possıvel aplicar este teorema para o calculo de integrais em intervalosonde o integrando se torna ilimitado. Um exemplo deste tipo de situacao foi explorado no Problema 7 do Cap. 22.

Naquele problema, ao aplicar o teorema fundamental do calculo para resolver a integral∫ 1

−11x2 dx, obtivemos para ela

um valor negativo, o que e, evidentemente, um absurdo, visto ser o integrando sempre positivo. No entanto, usandoum processo de limite, e possıvel calcular esta integral de uma maneira bastante facil e intuitiva. Sua tarefa e descobrircomo isto e possıvel. (O Problema 7, deste capıtulo fornece uma pista de como isto pode ser feito.)

Use suas conclusoes para calcular a integral acima. Interprete o resultado obtido como a area de uma regiao doplano. Voce e capaz de achar um exemplo de uma regiao ilimitada cuja area seja finita?

24.13.2 Volumes iguais?

Sejam T e T ′ triangulos com um dos seus lados sobre o eixo x. Se T e T ′ tem a mesma area, os solidos obtidos quandoestes triangulos sao girados em torno do eixo x terao o mesmo volume?

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338 Cap. 24 Aplicacoes da Integral Definida

24.13.3 A raiz quadrada de 2 e igual a 1?

Qualquer que seja o arco de curva definido pelo grafico de uma funcao suave y = f(x), desde o ponto A = (a, f(a)) ateo ponto B = (b, f(b)), existe uma sequencia de funcoes escada (veja no Cap.22, secao Para voce meditar) que convergepara o arco em questao. Execute a animacao do texto eletronico ou examine os graficos a seguir que ilustram passo apasso esta ideia para a funcao y = x.

1.

1.0

1.

1.0

1.

1.0

1.

1.0

1.

1.0

1.

1.0

Em cada passo, a soma dos comprimentos dos n segmentos de reta que compoem a funcao degrau e igual a 1,pois esta soma e igual ao comprimento do intervalo [0, 1]. Como esta sequencia de funcoes converge para a diagonaldo quadrado de lado 1, temos que

√2 = 1, pois, no limite, a soma dos n segmentos de reta, que e sempre constante

e igual a 1, deve convergir para a diagonal do quadrado unitario. Se temos certeza que√

2 6= 1, onde esta o erro doraciocınio acima?

24.14 Projetos

24.14.1 Calculando a probabilidade de que uma equacao quadratica ter raızes reais

O objetivo deste projeto e calcular a probabilidade P de que uma equacao quadratica do tipo x2 + b x+ c = 0, ondeb e c sao constantes aleatorias reais, tenha raızes reais.

Para isso siga os seguintes passos:

1. Determine a condicao algebrica sobre os coeficientes c e b para que a equacao acima tenha raızes reais.

2. Determine, graficamente, a regiao do plano bc que satisfaz a condicao anterior, isto e, marque no eixo das abscissasos valores de b e, no das ordenadas, os valores de c e determine a regiao que satisfaz a condicao imposta.

3. Reduza o problema dado ao problema mais simples de calcular a probabilidade P (N) de os valores de b e de c,escolhidos aleatoriamente num retangulo do tipo [−N,N ], caırem na regiao que satisfaz a condicao imposta noprimeiro item.

4. Resolver o problema proposto originalmente e equivalente a permitir que, no valor calculado no item anterior,N aumente sem limite. Calcule P e interprete em termos estatısticos o resultado encontrado.

5. Os comandos a seguir calculam as raızes da equacao x2 + b x+ c = 0 , onde os coeficientes b e c sao numerosno intervalo [−1, 1], gerados aleatoriamente. Execute estes comandos um grande numero de vezes, por exemplo100 vezes, e verifique, experimentalmente, que a probabilidade P (N) (N = 1) que voce encontrou esta correta.Repita esta tarefa para valores sucessivamente maiores de N e verifique, tambem, que a medida que o valor deN aumenta, P (N) se aproxima cada vez mais de P .

> N:=1:

> n1:=rand():n2:=rand(1..2):n3:=rand():> b:=N*evalf(n1()*(-1)^(n2())/10^12);

> c:=N*evalf(n3()*(-1)^(n2())/10^12)

> ;

> solve(x^2+b*x+c,x);

b := −.009104967988

Page 355: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 339

c := .4668664455

.004552483994− .6832610924 I, .004552483994 + .6832610924 I

6. A equacao quadratica mais geral a x2 + b x+ c = 0 pode ser reduzida ao caso anterior dividindo-se ambos osmembros por a 6= 0. No entanto, neste caso, a probabilidade das raızes desta equacao serem reais diminuibastante. Comprove experimentalmente esta afirmacao executando os comandos abaixo um grande numero devezes e justifique este fato, mesmo que intuitivamente.

> N:=1:

> n1:=rand():n2:=rand(-1..0):n3:=rand():n4:=rand():> b:=N*evalf(n1()*(-1)^(n2())/10^12);c:=N*evalf(n3()*(-1)^(n2())/10^12)> ;a:=N*evalf(n4()*(-1)^(n2())/10^12);

> solve(x^2+b/a*x+c/a,x);

b := .1079981641

c := .5820868907

a := −.2641263567

−1.294094224, 1.702982475

24.14.2 Volumes de solidos: Secoes retas

Suponha que um solido qualquer esteja situado entre dois planos perpendiculares ao eixo x, um em x = a e outro emx = b. Se um plano perpendicular ao eixo x intercepta o solido, a regiao comum ao plano e ao solido e chamada secaoreta ou secao transversa do solido.

Todas as secoes transversas de solidos de revolucao obtidas pela intersecao de planos perpendiculares ao eixo derevolucao com o solido sao circunferencias. A figura a esquerda ilustra esta afirmacao no caso do solido ser um conede revolucao. Esta propriedade foi usada neste capıtulo ao obtermos uma formula para o calculo do volume de solidosde revolucao. Quando todas as secoes retas de um solido forem iguais, o solido sera considerado um cilindro. A figuraa seguir a direita mostra um cilindro onde todas as secoes retas sao parabolas identicas.

–15

–10

–5

5

10

15

2 4 6 8 10 12 14

10

100

200

300

400

500

0.2 0.4 0.6 0.8 1

–10

510

Se estamos interessados apenas na parte do grafico limitada pelos planos que passam pelos pontos de coordenadasx = a e x = b (na figura da direita, a = 0 e b = 1), entao as secoes transversas, limitadas por estes planos, saochamadas bases do cilindro e a distancia entre as bases e a sua altura.

O objetivo deste projeto e estabelecer uma formula para calcular volumes de cilindros e de solidos mais gerais, istoe, de solidos tais que a area das secoes retas seja dada por uma funcao A(x), onde A e uma funcao contınua em [a, b].

1. Estabeleca uma formula para calcular volumes de cilindros sendo conhecidas a area da sua base e a altura. Comocaso especial, mostre que o volume de um cilindro circular reto com raio da base r e altura h e π r2 h.

2. Utilizando a ideia de dividir o solido em fatias finas e aproximar o seu volume somando os volumes de cada umadessas fatias, estabeleca uma formula para calcular o volume de um solido cuja area de cada secao reta seja dadapor A(x), onde A e uma funcao contınua em [a, b].

3. O cone mais geral e gerado por todas as retas que passam por um ponto dado V (o vertice) e por uma regiaoplana dada (a base). Imagine um eixo vertical com origem em V e a base B de um cone contida no plano y = h.Mostre que a area da secao reta passando por y0 e (y0h )2A, onde A e a area da base dada B. Use este resultado

e a formula que voce obteve no item anterior para mostrar que o volume de um cone e Ah3 .

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340 Cap. 24 Aplicacoes da Integral Definida

4. Determine, por integracao, o volume de uma piramide reta se a sua altura e h e a base, um retangulo de ladosa e 2a.

5. Mostre que a formula obtida para calcular volumes de solidos de revolucao pelo metodo do disco e um casoparticular do metodo das secoes retas, onde cada secao reta e um disco cujo raio e conhecido.

6. Demonstre o teorema de Cavalieri : “Se dois solidos tem alturas iguais e se todas as secoes transversas por planosparalelos as suas bases e a mesma distancia delas tem areas iguais, entao os solidos tem o mesmo volume.”

24.14.3 Volumes de solidos de revolucao: Metodo das cascas cilındricas

O metodo das secoes retas (projeto anterior) e geral e se aplica, teoricamente, a qualquer problema de calculo de

volume de solidos, isto e, e sempre verdade que V =∫ ba

A(x) dx. No entanto, na pratica, esta formula nao e muito util.Considere, por exemplo, o solido gerado pela revolucao da regiao limitada pelo grafico da funcao y = cos(x) e pelas

retas x = 0 e x = π2 , em torno do eixo y. O volume de tal solido sera dado por

∫ 1

0A(y) dy =

∫ 1

0π [arccos(y)]2 dy. Esta

ultima integral e bastante difıcil de calcular.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–1

–0.5

0.5

1

–1

–0.5

0.5

1

O objetivo deste projeto e ilustrar um outro metodo, util emmuitas situacoes, para calcular volumes de solidos de revolucao.Em vez de aproximarmos o solido por discos finos, a ideia eaproxima-lo por cascas cilındricas finas, por este motivo estemetodo e chamado metodo das cascas cilındricas.

Uma casca cilındrica e a regiao obtida ao girarmos em tornodo eixo y um retangulo com base sobre o eixo x. Veja a figurasuperior ao lado

Como dissemos acima, a ideia e aproximar o volume dosolido que queremos calcular pela soma do volume de cascascilındricas muito finas.

Assim, podemos aproximar o volume de um solido geradopela revolucao em torno do eixo y, de uma regiao limitada pelografico da funcao y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x= b, pela soma dos volumes de i cascas cilındricas concentricas,cujas espessuras recobrem o intervalo [a, b], de tal modo que aaltura da i-esima casca seja dada por f(xi). A medida que aespessura de cada casca se aproxima de zero, a soma de seusvolumes se aproxima cada vez mais do volume do solido, damesma forma como as camadas concentricas de uma cebolapreenchem o seu volume. Veja a figura inferior ao lado, ondeesta ideia e ilustrada.

1. Mostre que a area de um anel circular de raios r1 e r2 e dada por

π (r22 − r1

2) = π (r2 − r1) (r2 + r1) = 2π rm ∆ r,

onde rm e o raio medio do anel e ∆ r a sua espessura.

2. Mostre que o volume de uma casca cilındrica de raios r1 e r2 e altura h e dada por

π h (r2 − r1) (r2 + r1) = 2π h rm ∆ r.

3. Seja A o conjunto (x, y); a ≤ x ≤ b e g(x) ≤ y ≤ f(x), onde a ≥ 0 e g ≤ f no intervalo [a, b]. Um solidode revolucao e gerado fazendo-se A girar em torno do eixo y. Mostre que o volume do solido e dado por∫ ba

2π x (f(x)− g(x)) dx.

4. Use a formula acima para determinar o volume do solido gerado pela revolucao da regiao limitada pelos graficosde y = 4− x2 e y = 0 em torno do eixo y.

5. Um anel esferico e o solido que permanece apos a perfuracao de um buraco atraves de uma esfera solida. Se aesfera tem raio a e o anel altura h, prove o fato notavel de que o volume do anel depende de h, mas nao de a.

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W.Bianchini, A.R.Santos 341

24.14.4 Usando matematica para modelar um objeto real

Muitos objetos com que lidamos na vida cotidiana sao exemplos de solidos de revolucao. Uma forma de pudim eexemplo de um desses objetos. O objetivo deste projeto e descrever um objeto real, no caso uma forma de pudim,como um solido de revolucao e obter o seu volume pelos metodos tratados neste capıtulo. Para isso, siga os seguintespassos:

1. Aproxime a secao reta da forma por uma funcao conhecida.

2. Seja f uma funcao positiva, definida num intervalo [a,b]. Sabemos que, no plano yz, onde z e o eixo verticale y o horizontal, a regiao limitada pelo grafico da funcao z = f(y) e pelo eixo y, ao ser girada em torno doeixo z, gera um solido de revolucao. A superfıcie deste solido pode ser descrita em funcao dos parametros y edo angulo de giro t. Mostre que as coordenadas de um ponto generico desta superfıcie podem ser dadas por(y sen(t), y cos(t), f(y)).

3. Use a funcao obtida no primeiro item e o comando plot3d do Maple para visualizar a sua forma de pudim. Paraisso, no comando abaixo substitua f(y) pela funcao que voce definiu no primeiro item e as constantes a e b pelocorreto intervalo de variacao de y.

> plot3d([y*sin(t),y*cos(t),f(y)],t=0..2*Pi,y=a..b);

4. Calcule o volume da sua forma pelos metodos estudados nesta secao.

5. Meca o diametro, o diametro do canudo central e a profundidade de uma forma de pudim. Ajuste o seu modeloteorico as dimensoes verdadeiras (faca uma reducao em escala, se necessario) e calcule o volume da sua formateorica depois do ajuste feito. Verifique a validade do modelo teorico: descubra qual a capacidade da forma real(em litros, por exemplo) e compare o resultado teorico com o volume real.

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Capıtulo 25

Logaritmo e Exponencial

25.1 Introducao

No inıcio do seculo XVII, a ciencia na Europa deixava de ser especulativa e se baseava cada vez mais em experienciasconcretas. O progresso nos diversos campos do conhecimento exigia uma teoria digna de credito, e para isso medicoesmais acuradas e operacoes algebricas mais sofisticadas eram necessarias.

Uma das grandes dificuldades dessa epoca residia no fato de que todas as contas eram feitas manualmente. Somargrandes quantidades e principalmente multiplicar numeros gigantescos nao eram tarefas faceis. A multiplicacao dedois numeros de cinco algarismos, por exemplo, envolve 25 multiplicacoes e uma adicao!

Um dos metodos utilizados para efetuar grandes multiplicacoes era o uso de tabuas de funcoes trigonometricas,conhecidas desde os tempos de Ptolomeu (seculo II d.C.), operadas da maneira descrita abaixo.

Para multiplicar dois numeros a e b, primeiramente mudava-se a posicao relativa das vırgulas e os sinais ate queos numeros a e b ficassem entre 0 e 1, entao, procurava-se na tabua angulos α e β tais que sen(α) = a e cos(β) = b.Aplicando-se a formula

sen(α+ β) + sen(α− β)

2= sen(α) cos(β)

obtinham-se, por meio da tabua trigonometrica, os valores de sen(α+ β) e de sen(α− β) e daı o produto desejado.Uma outra ideia seria a de fazer uma tabua de multiplicacoes, so que tal tabua para numeros naturais de 1 a

10.000.000, exigiria meio trilhao de multiplicacoes, o que para ser efetuado tomaria muito tempo. (Cerca de 600.000mil anos a base de 1/2 minuto por conta, sem dormir e sem comer, sem ir ao banheiro e sem namorar.)

Usando a ideia basica das tabuas trigonometricas de transformar multiplicacoes em somas, Napier construiu, em1614, a primeira tabua de logaritmos, que listava os logaritmos dos numeros maiores do que 1 numa enorme tabela.O sucesso do projeto de Napier foi de grande ajuda para pessoas como Johann Kepler, cujas analises de observacoesastronomicas exigiam calculos laboriosos.

Os logaritmos gozam da seguinte propriedade operatoria:

log(a b) = log a+ log b

o que possibilitava que grandes multiplicacoes fossem efetuadas com esforco mınimo e, ainda, removia muitas dasdificuldades do processo trigonometrico, possibilitando, por exemplo, a multiplicacao de tres ou mais fatores semmuito trabalho.

Essas tabelas deram origem as famosas reguas de calculo que eram usadas por engenheiros, fısicos e economistas ateo inıcio da decada de 70, quando a popularizacao dos computadores e das maquinas de calcular tornou completamenteobsoletas tanto as ditas reguas como as famigeradas tabelas (gracas ao bom e misericordioso Deus!).

Hoje em dia os logaritmos nao sao mais utilizados explicitamente para calculos corriqueiros e nao tem mais sentidoaprender ou ensinar o uso das tais tabuas. A funcao logaritmo, que estudaremos a seguir, continua, no entanto,mantendo sua importancia teorica no estudo das funcoes reais e das equacoes diferenciais.

25.2 Motivacao

Suponha que f seja uma funcao tal que f ′(x) = 1x para todo x > 0 e f(1) = 0. Vamos mostrar que f(xy) = f(x)+f(y).

Para isso, considere a funcao g definida por g(x) = f(xy). Entao,

g′(x) = f ′(xy)y =y

xy=

1

x.

342

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W.Bianchini, A.R.Santos 343

Consequentemente, como f e g tem a mesma derivada, diferem por uma constante, isto e,

g(x) = f(x) + C.

Como f(1) = 0, entao C = g(1) = f(y). Logo,

g(x) = f(xy) = f(x) + f(y).

Assim, a funcao que transforma produtos em somas (logaritmo), que desde o seculo XVII os matematicos procuravamdefinir, deve ser aquela cuja derivada seja igual a 1

x e tal que f(1) = 0. A funcao L(x), definida por L(x) =∫ x

11t dt,

satisfaz estas duas propriedades, portanto e razoavel definirmos a funcao ln(x ) (logaritmo natural ou neperiano de x )como

ln(x) =

∫ x

1

1

tdt

e, a partir daı, deduzir as suas propriedades. Isto e feito nas secoes a seguir.

25.3 Logaritmo natural

Definicao

Define-se o logaritmo natural de um numero positivo x como

ln(x) =

∫ x

1

1

tdt.

Geometricamente, isto significa que quando x > 1 o logaritmo natural de x e igual ao valor da area da regiao planalimitada pela curva y = 1

t , pelo eixo das abscissas e pelas retas t = 1 e t = x (veja a figura seguinte, a esquerda).

Quando 0 < x < 1, como∫ x

11t dt = −

∫ 1

x1t dt, temos que ln(x) = −A(x), onde A(x) e a area da regiao limitada

pelo grafico da curva y = 1t , pelo eixo das abscissas e pelas retas t = x e t = 1 (veja figura a direita).

1 x x1

Consequencias da definicao de logaritmo

Pelo teorema fundamental do calculo temos, imediatamente, que

ln′(x) =1

x.

Alem disso, a funcao logaritmo natural e uma funcao crescente, pois ln′(x) = 1x > 0, para x > 0. Temos, tambem, que

ln′′(x) = − 1x2 < 0 para todo x > 0. Portanto, o grafico de ln(x) e concavo para baixo. Deixamos como exercıcio a

demonstracao de que limx→0+

ln(x) = −∞ e limx→∞

ln(x) =∞. (Veja Exercıcio 4.)

Com estas informacoes e possıvel esbocar o grafico de y = ln(x).

–2

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

x

Page 360: texto completo em PDF

344 Cap. 25 Logaritmo e Exponencial

Principais propriedades

Se a e b sao numeros reais positivos e r e um numero racional, entao:

1. ln(ab) = ln(a) + ln(b)

2. ln(br) = r ln(b)

3. ln(ab ) = ln(a)− ln(b)

Demonstracao

1. Observe que ln′(xb) =1

xb(xb)′ =

1

x= ln′(x). Portanto, ln(xb) = ln(x) + C.

Para x = 1, temos ln(b) = C. Assim, ln(ab) = ln(a) + ln(b).

2. Como

ln′(xr) =1

xrr x(r−1) =

r

x= (r ln(x))′ ,

segue queln(xr) = r ln(x) + C.

Mas, para x = 1, temos C = 0. Assim,ln(br) = r ln(b).

3. A demonstracao da terceira propriedade e consequencia direta das duas primeiras, bastando para isso observarque ln(ab ) = ln(a b(−1)).

25.4 Exemplos de derivadas e integrais envolvendo logaritmos

A funcao logaritmo natural f(x) = ln(|x |) e definida para todo x 6= 0. Se x > 0, entao |x | = x e tem-se f ′(x) = 1x .

Se x < 0, entao |x | = −x e, neste caso, f ′(x) = −x′−x = 1

x . Logo,

(ln(|x |))′ =1

x

para todo x 6= 0.Quando se tem uma composta y = ln(|u |), onde u = u(x), isto e, y = ln(|u(x) |), entao, usando a regra da cadeia

tem-se

y′ = (ln(|u(x) |)′ =u′(x)

u(x),

desde que u = u(x) seja derivavel e diferente de zero. Assim,∫u′(x)

u(x)dx = ln(|u(x) |) + C

ou, simplesmente, ∫1

udu = ln(|u |) + C, pois, du = u′(x) dx

.

Exemplo Calcule

∫1

2x− 3dx.

Solucao Se u = 2x− 3⇒ du = 2dx Assim,∫1

2x− 3dx =

1

2

∫1

udu =

1

2ln(|u |) + C =

1

2ln(| 2x− 3 |) + C .

Aqui, subentende-se que estamos calculando a integral para os valores de x para os quais a funcao f(x) = 12 x−3 esta

definida, isto e, para x 6= 32 . Assim,∫

1

2x− 3dx =

1

2ln(2x− 3) + C , se x >

3

2e

∫1

2x− 3dx =

1

2ln(3− 2x) + C , se x <

3

2.

Page 361: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 345

25.5 Funcao exponencial

Definicao

Define-se a funcao exponencial y = exp(x) como sendo a inversa da funcao logaritmo, isto e,

y = exp(x)⇔ x = ln(y)

Da definicao acima podemos concluir que o domınio da funcao exponencial e toda a reta real e a imagem e ointervalo aberto (0,+∞).

Alem disso, como a exponencial e a inversa do logaritmo, seu grafico e obtido pela reflexao do grafico do logaritmoem torno da reta y = x.

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

y

–3 –2 –1 1 2 3 4 5x

Principais propriedades

1. exp(x) exp(y) = exp(x + y)

2. (expx)r = exp(rx), para todo numero racional r

3. exp(−x) = 1exp x

Demonstracao

1. Usando a primeira propriedade de logaritmo, tem-se

ln(exp(x) exp(y)) = ln(exp(x)) + ln(exp(y)) = x + y.

Assim, pela definicao de exponencial, obtemos

exp(x + y) = exp(x)exp(y).

2. Pela segunda propriedade de logaritmo,

ln (expx)r = r ln(exp(x)) = rx.

Logo, pela definicao de exponencial vem que

(expx)r = exp(rx).

3. A propriedade (3) decorre imediatamente de (1). Se y = −x, tem-se exp(x) exp(−x) = exp(0) = 1, o que implica

exp(−x) =1

expx.

25.6 Funcao exponencial em uma base qualquer

Definicao

Considere um numero real a > 0 e a 6= 1. Definimos a funcao exponencial de um numero real qualquer x na basea como sendo:

y = ax = exp (x ln(a))

Page 362: texto completo em PDF

346 Cap. 25 Logaritmo e Exponencial

Principais propriedades

Para a > 0 e b e c reais quaisquer, tem-se:

(a) ln(ab) = b ln(a)

(b) ab ac = a(b+c)

(c) (ab)c = abc

Demonstracao A propriedade (a) decorre imediatamente da definicao da funcao exp(x ). A propriedade (b) tambem

decorre imediatamente da definicao de exp(x ) e de sua primeira propriedade

ab ac = exp(b ln(a)) exp(c ln(a)) = exp((b+ c) ln(a)) = a(b+c).

A propriedade (c) e uma extensao da propriedade (2) da funcao exp(x ) e decorre da definicao e da propriedade(a), acima. Assim,

(ab)c = exp(c ln(ab)) = exp(cb ln(a)) = abc .

O numero e

Note que a definicao de exponencial em uma base a qualquer se torna mais simples se escolhermos uma base a, talque ln(a) = 1.

Definimos o numero e como sendo o numero tal que ln(e) = 1. Evidentemente, como a funcao logaritmo e contınuae injetora, tal numero existe. Assim,

exp(ln(e)) = e ou exp(1) = e

eex = exp(x),

ou seja, a funcao definida anteriormente como y = exp (x ) e a funcao exponencial na base e.

Exercıcio Mostre que o numero e pode ser obtido como

e = limh→0

(1 + h)( 1h ).

Sugestao:1

t= (ln(t))′ = lim

h→0

ln(t+ h)− ln(t)

h

Use propriedades de logaritmo para mostrar que

e1t = lim

h→0(1 +

1

th)( 1

h ).

25.7 Logaritmo em uma base qualquer

DefinicaoConsidere um numero real a > 0 e a 6= 1. Define-se a funcao logaritmo em uma base a como sendo a inversa da

funcao exponencial na base a, isto e,y = loga(x)⇔ ay = x.

Observe que loge(x) = y ⇔ ey = x, e como eln(x) = x, tem-se

loge(x) = ln(x).

Principais propriedades

As propriedades de logaritmos em uma base a sao as mesmas do logaritmo natural e sao facilmente dedutıveis daspropriedades de exponencial em uma base qualquer a.

Page 363: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 347

(a) loga(x y) = loga(x) + loga(y)

(b) loga(xy) = y loga(x)

(c) loga(xy ) = loga(x)− loga(y)

Mudanca de base

Se a > 0 e a 6= 1, o problema que temos e como obter loga(x) conhecendo-se o logaritmo natural ln(x ). Observeque x = aloga(x) = e(loga(x) ln(a)). Assim, ln(x) = loga(x) ln(a), e, portanto, tem-se a formula de mudanca da base epara a base a

loga(x) =ln(x)

ln(a).

Agora, para x = e, tem-se

loga(e) =ln(e)

ln(a)=

1

ln(a).

Assim,

ln(x) = loga(x) ln(a) =1

loga(e)loga(x),

e temos a formula de mudanca da base a para a base e.

25.8 Derivadas e integrais

Derivada e integral de exp(x) = ex

Pelo teorema da funcao inversa temos

(ex)′ =1

ln(y)= y = ex.

Assim, ∫ex dx = ex + C

Exemplo 1 Calcule a derivada de y = ex2

.

Solucao Se u = x2, pela regra da cadeia sabemos que

dy

dx=

dy

du

du

dx= eu 2x = ex

2

2x.

Exemplo 2 Calcule∫x ex

2

dx

Solucao Se u = x2 ⇒ dudx = 2 xdx . Assim,

∫x ex

2

dx =1

2

∫eu du =

1

2eu + C =

1

2ex

2

+ C.

Derivada e integral de ax

Da definicao de exponencial em uma base a qualquer e da regra da cadeia, temos

(ax)′ = (e(x ln(a)))′ = e(x ln(a))(x ln(a))′ = ax ln(a) ,

isto e,d(ax)

dx= ax ln(a). Logo,

∫ax dx =

ax

ln(a)+ C.

Derivada e integral de xb

Page 364: texto completo em PDF

348 Cap. 25 Logaritmo e Exponencial

Considere a funcao y = f(x) = xb, definida para x > 0 e b um numero real nao nulo. Entao,

(xb)′ = (e(b ln(x)))′ = e(b ln(x)) b

x= xb

b

x= b x(b−1).

Assim, finalmente, provamos a formula

d(xn)

dx= nx(n−1)

para qualquer numero real n e, consequentemente,∫xn dx =

x(n+1)

n+ 1+ C

para qualquer numero real n 6= −1.

Derivada de loga(x)

Da formula de mudanca de base temos

(loga(x))′ =

(ln(x)

ln(a)

)′=

1

x ln(a)=

1

xloga(e).

25.9 Exercıcios

1. Calcule as derivadas das funcoes abaixo:

(a) y = ln(x2 + 1)

(b) y = sen(ln(x))

(c) y = xln(x)

(d) y = ln(√x3 + 2x)

(e) ln2 (sen(x))

(f) y = e(4 x+5)

(g) y = x e(x2+1)

(h) y = sen(x)

(i) y = ecos(x)

(j) y =√e√x

(k) y = (sen(e(−x)))2

(l) y = cos(esen(x))

(m) y = lnex + e(−x)

(n) y = 2(x2)

(o) y = πsen(x)

(p) y = 5π

(q) y = log10(3x+ 2)

(r) y = xx

(s) y = sen(x)cos(x)

2. Nos exercıcios abaixo, encontre dydx , por derivacao implıcita:

(a) x2 ey + ex = y(b) ex + ey = exy

(c) ex − ey = x y(d) x ey + y ex = x y

(e) xln(y) = yex

3. Calcule as integrais abaixo:

(a)

∫x2 e(x3) dx

(b)

∫sen(x) ecos(x) dx

(c)

∫1 + e

√x

√x

dx

(d)

∫x e(2−x2) dx

(e)

∫ex

1 + exdx

(f)

∫1

x ln(x)dx

(g)

∫3

2 + 3√xdx

(h)

∫ln(x)

xdx

(i)

∫ 5

1

ln(x)

xdx

(j)

∫ −1

−2

ln |x |x

dx

(k)

∫x

2 + 3x2dx

(l)

∫[ln(x)]2

xdx

(m)

∫2x+ 1

x2 + xdx

(n)

∫cos(3x)

1 + sen(3x)dx

4. Prove que limx→∞

ln(x) =∞ e limx→0+

ln(x) = −∞.

Sugestao: Considere x grande e n o maior inteiro, tal que x > 2n. Aplique logaritmo nesta desigualdade.

5. Mostre que limx→∞

ln(x)

xn= 0, para todo inteiro positivo n.

Sugestao: ln(x) =∫ x

11t dt ≤

∫ x1

1

t12dt = 2 (x

12 − 1)

Page 365: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 349

6. Calcule o volume do solido de revolucao obtido girando-se a regiao limitada por y = ex + e−x, x = 0 e x = 2em torno do eixo x.

7. Mostre que e = limn→∞

(1 +1

n)n.

25.10 Problemas propostos

1. (a) Esboce o grafico da funcao f(x) = x2 e(−x).

(b) Esboce o grafico de f(x) = e(− x22 ).

(c) Esboce o grafico de f(x) = ln(x)x .

(d) Qual dos dois e maior eπ ou πe? Sugestao: Utilize o grafico obtido no item anterior.

2. Determine os pontos do grafico de y = x2 + 4 ln(x), em que a tangente e paralela a reta y − 6x+ 3 = 0.

3. Determine a area da regiao limitada pelos graficos das equacoes dadas:

(a) xy =1 , y = 0, x = 1 e x = e.

(b) y = e−2 x, y = −e−x, x = 0 e x = 2.

4. Nos itens abaixo, calcule dydx .

(a) x ln(y)− y ln(x) = 1.

(b) y3 + x2 ln(y) = 5x+ 3

(c) x ey + 2x− ln(y + 1) = 3

(d) y = (2x+ 1)( 23 ) (4x− 1)2 (3x+ 5)4

(e) y = (2 x−3)2√x+1 (7 x+2)3

5. Um numero primo e um inteiro positivo que admite como fatores apenas 1 e ele mesmo. Os primeiros primos sao2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, .... Denotamos por π(n) o numero de primos que sao menores ou iguais a n. Por exemplo,π(15) = 6 , pois existem 6 primos menores que 15.

(a) Calcule π(25) e π(100). Use o Crivo de Eratostenes.

Desde que Euclides provou que o conjunto dos numeros primos era infinito (voce conhece a demonstracaodesse fato?), os matematicos tentam achar uma formula algebrica simples que forneca todos os numeros primos.Embora essas tentativas, ate hoje, tenham sido malsucedidas, elas levaram, no decorrer dos seculos, a formulacaode varias conjecturas a respeito desses numeros. Em 1792, o matematico Gauss, quando tinha apenas 15 anos,formulou uma dessas conjecturas que foi provada cem anos depois por Hadamard e de la Vallee Poussin e ficouconhecida como teorema do numero primo.

Observando tabelas de numeros primos e tabelas de logaritmos, Gauss conjecturou que o numero de primosmenores ou iguais a n e aproximadamente igual a n

ln(n) , quando n e grande. Em outras palavras, ele achou que

a razao π(n) ln(n)n se aproximava de 1 a medida que os valores de n cresciam.

(b) Confirme a validade deste resultado calculando a razao entre π(n) e nln(n) para n = 102, n = 103, n = 104,

n = 105, n = 106 e n = 107. Use os seguintes valores: π(1000) = 168, π(104) = 1229, π(105) = 9592,π(106) = 78498 e π(107) = 664579.

(c) Use o teorema do numero primo para estimar a quantidade de numeros primos menores ou iguais a umbilhao.

25.11 Um pouco de historia: O logaritmo de Napier

Considere um ponto P que se move ao longo de um segmento de reta AB de comprimento 107, enquanto um outroponto Q se move ao longo de uma semi-reta infinita. A velocidade de P e sempre igual a distancia de P a B (emoutras palavras, se P (t) e a posicao de P no tempo t, entao P ′(t) = 107 − P (t)) e Q se move com velocidade constanteQ′(t) = 107. A distancia percorrida por Q apos transcorrido um tempo t e definida como o logaritmo neperiano dadistancia de P a B no mesmo tempo t. Consequentemente,

107 t = Log Neperiano(107 − P(t)) .

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350 Cap. 25 Logaritmo e Exponencial

Essa foi a definicao de logaritmo dada por Napier (1550-1617) em seu trabalho de 1614, Mirifici LogarithmonumCanonis Description (Uma Descricao da Maravilhosa Lei dos Logaritmos). Note que este trabalho foi feito antes dainvencao do uso dos expoentes! O numero 107 foi escolhido porque a tabela de Napier (construıda com o proposito desimplificar calculos astronomicos) listava logaritmos de senos de angulos para os quais a precisao de sete casas decimais

era suficiente. Com isso, Napier quis evitar o uso de fracoes. Podemos mostrar que Log Neperiano(x) = 107 ln( 107

x ).Tente demonstrar este fato!

25.12 Para voce meditar: Onde esta o erro?

Problema 1

Um professor propos que seus alunos calculassem os valores de x e de y, solucoes reais do seguinte sistema de equacoesenvolvendo logaritmos:

log10(x y) = 3

log10(xy ) = 1

Um aluno apresentou a seguinte solucao:

Aplicando as propriedades dos logaritmos as duas equacoes anteriores, obtemos as seguintes equacoes equivalentesas duas dadas:

log10(x) + log10(y) = 3

log10(x)− log10(y) = 1

o que implica que 2 log10(x) = 4. Assim, log10(x) = 2. Aplicando a definicao de logaritmos a esta igualdade, tem-seque x = 100. Substituindo o valor encontrado para x na equacao log10(x) + log10(y) = 3, obtem-se 2 + log10(y) = 3.

Novamente aplicando as propriedades dos logaritmos, podemos concluir, sem dificuldade, que y = 10. Portanto, osvalores de x e de y que satisfazem o problema proposto sao, respectivamente, 100 e 10.

Um segundo aluno resolveu o mesmo problema da seguinte maneira:

Aplicando a definicao de logaritmo as duas equacoes propostas, tem-se

x y = 1000 ex

y= 10

Da segunda equacao obtemos x = 10 y. Substituindo este valor na primeira equacao, temos 10 y2 = 1000, portanto,y = 10 e y = −10. Como x = 10 y, temos tambem que x = 100 e x = −100.

As solucoes do problema proposto sao, portanto, x = 100, y = 10 e x = −100, y = −10.

Se verificarmos as solucoes apresentadas, constatamos que, de fato, os pares x = 100, y = 10 e x = −100, y =−10 sao realmente solucoes do problema apresentado.• Qual foi o erro cometido pelo primeiro aluno?

Problema 2

Pediram que um estudante de engenharia calculasse a derivada de ln(sen(x)), no ponto x = 5π3 . Ele, como um bom

aluno, aplicou a regra da cadeia e obteve D(ln(sen(x))) = cos(x)sen(x) . Substituiu, entao, x por 5π

3 e calculou o resultado

com o seu computador Pentium III, com 554 Mb de memoria ram, HD de 20 Gb, placa de vıdeo com 64 Mb dememoria, “freios ABS”, “airbag” e, com a ajuda do Maple VR5, obteve o seguinte resultado,

> f:=x->cos(x)/sin(x);

f := x→ cos(x)

sen(x)

Page 367: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 351

> f(5*Pi/3);

−1

3

√3

• A resposta acima esta correta?

25.13 Projetos

25.13.1 Juros simples e compostos

Um capital inicial C0 empregado a uma taxa de juros de r por cento ao ano, transforma-se, ao final de um ano, emum capital C1 dado por

C1 = C0 + rC 0 = C0(1 + r) .

Ao final de outro ano obtem-se

C2 = C1 + rC 1 = C1(1 + r) = C0(1 + r)2.

Dessa forma, a formula geral para n anos sera dada por

Cn = C0(1 + r)n

Investidores inteligentes, como nos, aplicam o seu capital exigindo que os juros sejam capitalizados, isto e, in-corporados ao capital ao fim de um perıodo de tempo predeterminado e entao novamente aplicada a taxa de jurocontratada.

A formula deduzida acima so serve para um numero inteiro de anos, de modo que nao nos fornece o capitalresultante ao final de um mes, por exemplo. O capital empregado a mesma taxa r de juros devera render, ao final deum mes, rC0

12 , de modo que decorrido um mes o capital C0 se transforma em C1 = C0(1 + r12 ). Assim, reinvestindo o

capital resultante a cada mes, ao final de um ano obteremos um capital C12 = C0(1 + r12 )12, maior que aquele obtido

atraves dos juros simples, calculado anteriormente.A equacao C = C0(1 + r)n fornece, portanto, o capital C resultante de um investimento inicial de C0 reais, empre-

gado a juros de r% em cada perıodo de tempo contratado, transcorridos n desses perıodos. Portanto, C e um valora ser atingido no futuro e C0 e o valor presente.

1. Usando essa equacao, calcule o capital resultante de um investimento aplicado a uma taxa nominal de 12% aoano, capitalizada de 4 em 4 meses, ao final de 5 anos.

2. Nas mesmas condicoes do item anterior, calcule qual a quantia que deve ser empregada hoje para que ao finalde 5 anos seja obtido um capital igual a dez vezes o capital inicial.

3. Calcule o capital resultante, ao final de 5 anos, de um investimento contratado a uma taxa nominal de 10%, aser capitalizada de 4 em 4 meses, se no primeiro mes do contrato aplica-se um capital inicial de R$ 1.000,00 e acada 12 meses decorridos acrescentam-se mais R$ 1.000,00 a este investimento.

4. Suponha que, por trinta anos, ao final de cada mes, voce deposite R$ 500,00 a uma taxa de juro nominal de 12%ao ano, capitalizada mensalmente. Use o computador e a equacao anterior para calcular a quantia que voce terapoupado ao final dos 30 anos (360 meses).

5. Qual o valor justo (o valor presente) de uma das 12 prestacoes iguais de um financiamento de R$ 1.000,00 obtidoa uma taxa nominal de 12% ao ano, capitalizado mensalmente?

Qual deve ser a prestacao mensal cobrada por um financiamento de 4 anos, de um automovel no valor de R$12.000,00, se a taxa de juros contratada for de 12% ao ano?

6. O valor das prestacoes de qualquer financiamento e composto por duas parcelas. Uma dessas parcelas correspondeaos juros devidos e a outra a amortizacao do debito. Em cada uma das tres primeiras prestacoes do financiamentodescrito no item anterior, calcule a parcela correspondente ao valor de juros pagos e a parcela que correspondeao valor do debito amortizado.

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352 Cap. 25 Logaritmo e Exponencial

7. Uma loja de variedades anunciou nos jornais de 23/08/98, o console de videogame Sega Saturn por R$399,00a vista ou em 12 prestacoes de R$49,99. Qual a taxa de juros mensal cobrada nesse financiamento? (Voce,certamente ficara feliz em saber que a taxa publicada no anuncio era correta !) Tendo em vista os juros mediosconseguidos nos investimentos, voce acha essa taxa razoavel?

Juros compostos e o numero e

Um investidor mais exigente desejara que os juros sejam capitalizados a cada instante. Este tipo de transacao em queos juros sao capitalizados continuamente e o que se chama de juros compostos.

Se tomarmos uma fracao 1n do ano, empregando-se o capital com juros capitalizados, ao final de um ano teremos

um capital total de C0 = (1 + rn )n . Para, a partir dessa formula, obter uma outra que nos forneca o capital resultante

de um investimento empregado a juros compostos e necessario tomar sucessivamente fracoes cada vez menores do ano.Assim, dizemos que o capital resultante de uma aplicacao feita a juros compostos sera dado por

limn→∞

C0 (1 +r

n)n.

O numero e e em geral definido como

e = limn→∞

(1 +1

n)n.

Levando-se em conta a definicao acima, temos que um capital empregado a uma taxa de r por cento ao ano, ajuros compostos a cada instante, sera transformado depois de t anos em

limn→∞

C0 (1 +rt

n)n = C0 e

rt .

• Usando a definicao acima, calcule uma aproximacao para o numero e com 6 casas decimais.

25.13.2 O metodo do carbono 14

Um dos metodos mais apurados para datar achados arqueologicos e o metodo do carbono 14 (14C), descoberto em1949. O metodo e bem simples. A atmosfera terrestre e continuamente bombardeada por raios cosmicos. Estes raioscosmicos produzem neutrons que, combinados com nitrogenio, produzem 14C. O 14C e incorporado pelo dioxido decarbono e se encontra na atmosfera para ser absorvido pelas plantas. A quantidade de atomos de 14C presente nostecidos de animais provem da ingestao de vegetais. Em qualquer tecido vivo, a quantidade de ingestao de 14C eigual a quantidade de 14C desintegrado (o 14C e uma molecula instavel, que se desintegra espontaneamente numataxa proporcional ao numero de moleculas presentes na amostra). Quando um organismo morre, cessa de ingerir 14C,portanto, sua concentracao nos tecidos diminui devido a desintegracao.

Em fısica, e uma suposicao fundamental que a taxa de bombardeamento da atmosfera terrestre por raios cosmicostem sido sempre constante. Isto implica que se a taxa de desintegracao de 14C numa amostra de madeira viva, porexemplo, fosse medida ha 10.000 anos, o resultado teria que ser igual a taxa de desintegracao, em uma amostraequivalente, medida hoje. Essa suposicao nos permite determinar a idade de uma amostra de carvao natural.

Seja N (t) a quantidade de 14C presente numa amostra no instante t e N0 a quantidade de 14C presente no instantet = 0, quando a amostra foi formada, isto e, imediatamente antes de ser queimada. Se k e a constante de desintegracaoradiativa de 14C, temos que

N(t) = N0 e−kt .

A taxa atual R(t) de desintegracao de 14C, que e proporcional a quantidade de 14C presente na amostra, e dadapor R(t) = KN(t) = KN0 e

−kt e a taxa original e R(0) = KN0. Assim,

R(t)

R0= e−kt ⇒ t =

ln( R0

R(t) )

k.

A constante k pode ser determinada conhecendo-se a meia-vida do 14C, isto e, o tempo que uma amostra leva paraficar reduzida a metade de sua quantidade inicial.

(a) Calcule k sabendo que a ”meia-vida”do 14C e de 5.568 anos.

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W.Bianchini, A.R.Santos 353

Se medirmos a taxa atual R(t) e observarmos que R0 e igual a taxa de desintegracao de 14C numa quantidadeequivalente de madeira viva, podemos calcular a idade aproximada t do carvao. Os dois problemas abaixo saoilustracoes reais desse metodo.

(b) O carvao das famosas cavernas Lascaux, na Franca, produziu uma media de 0,97 desintegracoes por minuto, porgrama de material. Uma quantidade de madeira viva equivalente produziu 6,68 desintegracoes por minuto porgrama. Estime a idade do carvao e, entao, a provavel data das famosas pinturas da caverna.

(c) Nas escavacoes em 1950 em Nippon, uma cidade da Babilonia, o carvao de um telhado de madeira produziuuma media de 4,09 desintegracoes por minuto por grama. A madeira viva numa amostra equivalente produziu6,68 desintegracoes. Supondo que o carvao foi formado durante o reinado de Hamurabi, faca uma estimativa daepoca em que ele reinou na Babilonia.

25.13.3 Com Kepler e o Maple rumo as estrelas (ou modelando um problema real)

No processo perpetuo de entender, explicar e prever resultados de fenomenos que ocorrem na natureza, o homem elevado a construcao de modelos empıricos, onde leis matematicas sao obtidas pela analise de tabelas constituıdas pordados experimentais. Nesse processo, o emprego de graficos em escalas semilogarıtmicas e logarıtmicas desempenhaum papel de primordial importancia, como e ilustrado no exemplo abaixo.

O problema

Em 1601, com a inesperada morte de Tycho Brahe, o astronomo alemao e escritor de ficcao cientıfica JohannKepler se tornou diretor do Observatorio de Praga. Kepler, antes disso, fora assistente de Brahe e ajudara a coletardados referentes a 13 anos de observacoes relativas aos movimentos do planeta Marte. Em 1609, Kepler formulou suasprimeiras duas leis:

1. Cada planeta se move sobre uma elipse com o Sol em um dos focos.

2. Para cada planeta, a reta que liga o Sol ao planeta varre areas iguais em tempos iguais.

Kepler levou mais uma decada verificando essas duas leis e formulando a terceira lei, que relaciona perıodos orbitaiscom distancias medias do Sol. Como todas as suas leis, essa tambem foi baseada em dados experimentais observados.Publicada em 1619, foi dedicada a James I, rei da Inglaterra.

• Usando os dados experimentais (listados abaixo), deduza a terceira lei de Kepler.

Planeta T = Perıodo (dias) R = Distancia Media do Sol (km ×106)

Mercurio 88 57,9Venus 225 108,2Terra 365 149,6Marte 687 227,9Jupiter 4.329 778,3Saturno 10.753 1427Urano 30.660 2870Netuno 60.150 4497Plutao 90.670 5907

No esforco de encontrar uma lei matematica que descreva, apropriadamente, a relacao existente entre T e R, istoe, encontrar T como funcao de R, a primeira tentativa a ser feita e tracar um grafico unindo os pontos da tabela dada,como e feito a seguir:

> plot([[57.9,88],[108.2,225],[149.6,365],[227.9,687],[> 778.3,4329],[142> 7,10753],[2870,30660],[4497,60150],[5907,90670]],labels=[‘R‘,‘T‘]);

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354 Cap. 25 Logaritmo e Exponencial

0

20000

40000

60000

80000

T

1000 2000 3000 4000 5000 6000R

Nossa tarefa agora e tentar descobrir se este e o grafico de uma funcao exponencial do tipo T = C eR ou de umafuncao potencia do tipo T = C Rn. No primeiro caso, aplicando-se logaritmo a ambos os membros da equacao obtemos

> log(T)=log(C*exp(R));

ln(T ) = ln(C eR)

> expand(%);

ln(T ) = ln(C) +R

Chamando t = ln(T ) e de A o numero ln(C), obtemos da expressao acima

> subs(ln(T)=t,ln(C)=A,%);t = A+R

Assim, podemos concluir que a funcao procurada e do tipo exponencial, se for uma linha reta o grafico em escalasemilogarıtmica, onde o eixo das ordenadas e graduado em valores logarıtmicos, isto e, no eixo vertical sao marcadosos valores de t = ln(T ) obtidos com os dados fornecidos.

Usando o Maple com os dados do exemplo acima, obtemos:> with(plots):logplot([[57.9,88],[108.2,225],[149.6,365],> [227.9,687],[7> 78.3,4329],[1427,10753],[2870,30660],[4497,60150],[5907,90670]],labels> =[‘R‘,‘ln(T)‘]);

.1e3

.1e4

.1e5

1e+05

ln(T)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000R

Deste grafico, concluımos, imediatamente, que a funcao que relaciona o perıodo orbital com a distancia ao Solnao pode ser do tipo exponencial. Tentemos agora usar o mesmo raciocınio para descobrir se a funcao que queremosdeterminar e do tipo T = C Rn.

> log(T)=log(C*R^n);

ln(T ) = ln(C Rn)

> expand(%);

ln(T ) = ln(C) + n ln(R)

Chamando de t = ln(T ), r = ln(R) e de c o numero ln(C), obtemos da expressao acima:

> subs(ln(T)=t,ln(C)=c,ln(R)=r,%);t = c+ n r

Assim, se a funcao que procuramos for do tipo potencia, sua representacao num grafico tracado usando-se escalalogarıtmica sera uma linha reta. Neste grafico, tanto o eixo das ordenadas como o eixo das abscissas sao graduadosem valores logarıtmicos, isto e, no eixo das ordenadas sao marcados os valores de t = ln(T ) e no eixo das abscissas osvalores de r = ln(R).

Usando-se o Maple com os dados do exemplo anterior, obtemos:> loglogplot([[57.9,88],[108.2,225],[149.6,365],[227.9,> 687],[778.3,4329> ],[1427,10753],[2870,30660],[4497,60150],[5907,90670]],labels=[‘r‘,‘t‘> ]);

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W.Bianchini, A.R.Santos 355

.1e3

.1e4

.1e5

1e+05

t

.1e3 .1e4r

Este grafico nos mostra que a funcao que procuramos e do tipo T = C Rn. Resta-nos agora determinar C e n.Como a equacao desta reta e dada por t = c+ n r, sabemos que n e a declividade da reta e c o seu coeficiente linear.Como c = ln(C), temos que C = ec. Com a ajuda do Maple, podemos calcular n e C, como e feito a seguir.

> n:=evalf(slope([log(108.2),log(225)],[log(149.6),log(365)]));

n := 1.49327560

> c:=solve(log(225)=c+n*log(108.2),c);

c := −1.578374683

> C:=evalf(exp(c));

C := .2063101452

Logo, a funcao que procuramos sera T = 0, 2R( 32 ).

Existe um modelo teorico, baseado em leis fısicas do movimento, para descrever os movimentos planetarios. Essemodelo usa equacoes diferenciais ordinarias e esta fora do alcance desse curso. De acordo com esse modelo teorico,

o valor de T (perıodo orbital) para cada planeta e dado por T = 2π R32√

γ M, onde γ = 6,67 . 10−11 m3

kg s2 e a constante de

gravitacao universal e M = 1, 993× 1030 kg, a massa do sol.Como o valor de 2π√

γ M= 0, 1999 em dias por (km 106)

23 , temos que T = 0, 1999R

32 .

• Os valores teoricos concordam com os valores empıricos que calculamos no item anterior?

Efeito estufa: Prevendo o fim do mundo

A queima de combustıveis fosseis adiciona dioxido de carbono a atmosfera que circunda a Terra. Esse dioxido decarbono pode ser parcialmente removido por reacoes biologicas, no entanto, a concentracao de dioxido de carbono estaaumentando gradualmente. Esse aumento conduz a uma elevacao na temperatura media da Terra. A tabela abaixomostra o aumento da temperatura sobre aquela registrada em 1860.

Ano 1880 1896 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980Aumento 0,01 0,02 0,03 0,04 0,06 0,08 0,1 0,13 0,18 0,24 0,32

Se a temperatura media da Terra aumentar cerca de 70 C em relacao ao valor medio registrado em 1860, istopodera causar um dramatico efeito sobre as calotas polares, sobre a temperatura do verao, do inverno, etc. Se as capaspolares derreterem, havera um volumoso aumento na quantidade de agua dos oceanos e muita terra sera submersa. AGra-Bretanha, por exemplo, desaparecera, exceto o topo das montanhas mais altas.• Usando os dados fornecidos e o metodo descrito na secao anterior, modele este fenomeno e use o seu modelo paraprever quando a temperatura media da Terra sera 70 C superior a media registrada em 1860, se as mesmas condicoesforem mantidas.

25.13.4 Escalas logarıtmicas

A escala Ritcher

A tabela abaixo fornece a intensidade dos ultimos terremotos acontecidos neste planeta e as suas respectivas intensi-dades medidas de acordo com a escala Ritcher.

Localizacao Chile Alasca Peru Ira Mexico Armenia S. FranciscoData 1960 1964 1970 1990 1985 1989 1989

Intensidade 8.4 8.5 7.7 7.3 8.1 6.9 7.1

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356 Cap. 25 Logaritmo e Exponencial

A escala Ritcher, chamada assim em homenagem ao sismologo americano Charles F. Ritcher, baseia a medida damagnitude de um terremoto numa escala logarıtmica de base 10. A intensidade M de um terremoto, medida nessaescala, e um numero que varia de zero ate 8,9, para o maior terremoto conhecido. Empiricamente, estima-se o valor de

M pela formula M =2 log10( EE0

)

3 , onde E e a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 = 7× 10−3 kw/h.

1. Calcule aproximadamente quantas vezes a intensidade do terremoto que atingiu a Cidade do Mexico em 1985foi maior que a intensidade do terremoto que atingiu a cidade de Sao Franscisco em 1989. Conclua, entao, qualo significado fısico da variacao de um ponto nessa escala de medida.

2. Quanta energia e liberada num terremoto de grandeza 6?

3. Uma cidade com 300.000 habitantes utiliza cerca de 3 × 105 kw/h de energia eletrica por dia. Se a energia deum terremoto pudesse ser de alguma forma transformada em energia eletrica, quantos dias de fornecimento deenergia eletrica para essa cidade seriam produzidos pelo terremoto do item anterior?

O pH de solucoes

Em quımica, o pH de solucoes e uma medida da sua acidez ou alcalinidade. Um valor de pH igual a 7 indica que asolucao e neutra (nem acida, nem alcalina). Um pH abaixo de 7 indica acidez; acima de 7, alcalinidade. A medida dopH obedece tambem a uma escala logarıtmica onde a variacao de uma unidade de pH representa um aumento de 10vezes na acidez ou alcalinidade da substancia.

1. Qual a base dos logaritmos usados na elaboracao da escala de pH?

2. A maioria dos alimentos que consumimos tendem a ser mais acidos que basicos (alcalinos). Observando a tabelaabaixo, calcule, aproximadamente, quantas vezes o suco de limao e mais acido do que o leite.

Substancia Suco de Suco de Agua da Leite Leite delimao tomate torneira magnesia

pH 2,1 4,1 5,8 6,6 10

3. Faca uma pesquisa para descobrir o pH do suco de laranja e o pH do suco de acerola e em seguida determinarquantas vezes o suco de acerola e mais acido que o suco de laranja.

4. Descubra outros problemas onde as funcoes logarıtmicas e exponenciais sao utilizadas.

25.13.5 Funcoes hiperbolicas

A equacao x y = 1 pode ser obtida a partir da equacao da hiperbole x2 − y2 = 2 por meio de uma rotacao, no sentidonegativo, de um angulo α = π

4 , isto e, a primeira equacao pode ser obtida da ultima, fazendo-se a seguinte mudancade coordenadas x = X cos(α)− Y sen(α) e y = X sen(α) + Y cos(α).

1. Ache as equacoes parametricas da hiperbole XY = 1 tomando como parametro ψ = ln(X).

2. Use as equacoes deduzidas acima e a mudanca de coordenadas indicada para obter uma parametrizacao para ahiperbole x2 − y2 = 2.

Essa parametrizacao, que fornece as coordenadas de um ponto que se desloca sobre a hiperbole x2 − y2 = 2, motivoua definicao das chamadas funcoes hiperbolicas. O seno e o cosseno hiperbolicos sao definidos, respectivamente, por

senh(x) =ex − e−x

2e cosh(x) =

ex + e−x

2.

Essas funcoes satisfazem muitas identidades que sao semelhantes as identidades satisfeitas pelas funcoes trigo-nometricas. No entanto, elas nao sao periodicas.

Prove que:

1. cosh(0) = 1 e senh(0) = 0.

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W.Bianchini, A.R.Santos 357

2. cosh(−x) = cosh(x) e senh(−x) = −senh(x).

3. A partir das igualdades obtidas no item anterior, o que se pode afirmar a respeito das funcoes senh(x) e cosh(x)?

4. (cosh2)(x)− (senh2)(x) = 1.

5. Esboce os graficos das funcoes senh(x) e cosh(x).

6. Por analogia com as funcoes trigonometricas, defina tgh(x) e esboce o seu grafico.

25.13.6 As funcoes logaritmo e exponencial complexas

Os numeros complexos surgiram na matematica a fim de tornar possıvel a solucao de equacoes do segundo grau dotipo x2 + 1 = 0, que nao possuem raızes reais. Definindo-se i2 = −1, essa equacao passa a ter raızes +i e −i.

(a) Ache as raızes de x2 − 2x+ 5 = 0.

O teorema fundamental da algebra, demonstrado inicialmente por Euler e D’Alembert e posteriormente, em suaforma final, por Gauss, garante que dado qualquer polinomio

P(z) = a0 + a1 z + . . .+ an zn

existem numeros complexos r1, r2, . . . , rn, tais que

P(z) = a0 (z − r1) (z − r2) . . . (z − rn .

Isto implica que os numeros complexos r1, r2, . . . , rn sao raızes da equacao algebrica P(z) = 0 .Assim, os numeros complexos, que foram introduzidos na matematica para resolver o problema de achar as raızes

de uma equacao do segundo grau, resolveram o problema de extracao de raızes de um polinomio de grau qualquer.

(b) Ache as raızes de x3 − 3x2 + 7x− 6 = 0.

(c) O que se pode afirmar em relacao ao numero de raızes reais de uma equacao de grau ımpar?

A necessidade do uso dos numeros complexos se evidencia em varios ramos da matematica tais como: algebra,analise, equacoes diferenciais, topologia e em aplicacoes da fısica-matematica.

O objetivo desse projeto e estender o domınio de definicao das funcoes exponencial e logaritmo aos numeroscomplexos, permitindo, entre outras consequencias, o calculo de logaritmos de numeros negativos.

Sabemos que todo numero complexo e expresso na forma z = a+ b i, onde a e b sao reais (a e chamado partereal do complexo z e b, parte imaginaria). Note que qualquer numero real pode ser interpretado como um numerocomplexo com b = 0. Nesse sentido, o conjunto dos numeros reais esta contido no conjunto dos numeros complexos.

O modulo de um numero complexo z e definido por | z | =√a2 + b2 e o seu conjugado, z*, por a− b i.

(d) Mostre que o modulo de um numero complexo z e igual ao modulo do seu conjugado.

Dados dois numeros complexos z = a+ b i e w = c+ d i, definimos a adicao entre eles como o numero complexoz + w = a+ c+ (b+ d) i e a multiplicacao como o complexo z w = ac − bd + (ad + bc) i.

(e) Prove que a multiplicacao entre complexos e comutativa, associativa e distributiva em relacao a adicao e que onumero complexo 1 e o seu elemento neutro.

(f) Dado um numero complexo z 6= 0, prove que seu inverso multiplicativo, z−1, e dado por z−1 = z∗| z |2 .

(g) Qual o inverso de um numero complexo de modulo 1?

Podemos interpretar geometricamente um numero complexo z = a+ b i como o vetor (a, b) de origem em (0, 0) eextremidade final no ponto (a, b) do plano cartesiano.

(h) De uma possıvel interpretacao geometrica para | z | , z* , |z − w|, z + w.

(i) O que significa, geometricamente, a desigualdade |z + w| ≤ |z|+ |w|?

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358 Cap. 25 Logaritmo e Exponencial

(j) Como se pode descrever geometricamente o conjunto de todos os numeros complexos z, tais que | z | = 1?

No Cap.12, definimos a funcao E como E(t) = (cos(t), sen(t)). No contexto dos numeros complexos, esta definicao eequivalente a E(t) = cos(t) + i sen(t).

(l) Mostre que se z 6= 0 e um numero complexo, entao z = | z | E(t), onde t e o arco que vai de (1, 0) ate a intersecaode S1 com a semi-reta 0z. Esta forma e chamada de forma polar do numero complexo z.

(m) Use as identidades trigonometricas cos(s+ t) = cos(s) cos(t)− sen(s) sen(t) esen(s+ t) = cos(s) cos(t) + sen(s) sen(t) para provar que E(s)E(t) = E(s+ t), quaisquer que sejam os numerosreais s e t.

(n) Se w 6= 0 e z 6= 0, com z = | z | E(t) e w = |w|E(s), temos que zw = | z| |w|E(s)E(t) = | z| |w| E(s + t). Useessa identidade para dar uma possıvel interpretacao geometrica para o produto de dois numeros complexos.

A identidade E(s+ t) = E(s)E(t) mostra que a funcao E(t) satisfaz a propriedade fundamental da funcao expo-nencial, o que levou Euler as seguintes definicoes para a funcao exponencial com domınio no conjunto dos numeroscomplexos: ei t = E(t), isto e, ei t = cos(t) + i sen(t) e ez = e(a+b i) = (ea)(cos(b) + i sen(b)).

Dessa definicao resulta imediatamente que todo numero complexo w 6= 0 e da forma w = ez, para algum z.

(o) Mostre que se o numero complexo w e dado na sua forma polar w = |w | ei θ, entao z = ln(|w|) + i θ. Este e ounico valor possıvel para z?

Esta propriedade serviu de base para estender a nocao de logaritmo aos numeros negativos e complexos. Eulerdefiniu o logaritmo de um numero complexo w 6= 0, como o numero z tal que ez = w.

Temos entao que log(w) = log(|w |) + (2 k π + θ) i para qualquer inteiro k, o que mostra que o logaritmo de umnumero complexo tem uma infinidade de valores.

(p) Calcule log(−1).

(r) Se x > 0, calcule log(−x). Existe algum valor de k para o qual log(−x) seja um numero real?

(s) Se x > 0, para que valores de k log(x) e real?

Se interpretarmos a expressao log(w) como o conjunto de todos os numeros complexos z, tais que ez = w, entao,nesse contexto, continua valida a propriedade

log(w u) = log(w) + log(u).

25.14 Atividades de laboratorio

Faca as atividades propostas no arquivo lablog.mws da versao eletronica deste texto.

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Capıtulo 26

Tecnicas de Integracao

Voce ja deve ter percebido que resolver integrais ou achar primitivas de uma funcao qualquer nao e muito simples,por isso e necessario desenvolver algumas tecnicas ou metodos gerais que facilitem esta tarefa. Mesmo programas decomputador como o Maple nao fazem milagres! Veja, por exemplo, o que acontece quando tentamos usar o Maplepara resolver a integral

∫(1 + ln(x))

√1 + (x ln(x))2 dx.

> int((1+log(x))*sqrt(1+(x*log(x))^2),x);∫(1 + ln(x))

√1 + x2 ln(x)2 dx

O Maple nao encontrou a primitiva!! No entanto, esta integral pode ser resolvida se usarmos o metodo de subs-tituicao de variaveis que aprendemos em capıtulos anteriores. De fato, a substituicao u = x ln(x) transforma estaintegral em

∫ √1 + u2 du, cuja primitiva aprenderemos a calcular, neste capıtulo, usando uma tecnica geral chamada

substituicao trigonometrica. Portanto, mesmo tendo a nossa disposicao um computador com um fabuloso programacomputacional algebrico, ainda assim precisamos estudar e aprender matematica porque, felizmente, so os homens (emulheres) conseguem pensar e criar.

As proximas secoes se destinam ao estudo de metodos gerais que se apliquem a resolucao de tipos especiais deintegrais.

26.1 Integracao por partes

O metodo de substituicao de variaveis se aplica a resolucao de uma integral cujo integrando envolve, essencialmente,a derivada de uma composicao de funcoes. Essa tecnica de integracao estabelece, de uma certa maneira, uma regrada cadeia para integrais.

Outra importante tecnica de integracao e conhecida como integracao por partes. Esta tecnica e aplicada naresolucao de uma integral que envolve o produto de duas funcoes e e uma consequencia simples da regra do produtopara derivadas. O exemplo a seguir ilustra o emprego e a necessidade desta tecnica.

Sabemos qued

dx(x sen(x) + cos(x)) = x cos(x).

Consequentemente, ∫x cos(x) dx = x sen(x) + cos(x) + C .

Assim, trabalhando de tras para a frente resolvemos facilmente um problema de integracao que envolve o produto deduas funcoes. No entanto, com as tecnicas que temos disponıveis ate agora para resolver integrais nao conseguirıamosuma resposta para este problema se o tivessemos proposto na ordem direta. Para resolver integrais deste tipo preci-samos de uma especie de regra do produto para integrais. Motivados pelo exemplo acima, vamos tentar estabeleceresta regra trabalhando de tras para a frente.

A regra para a derivada do produto estabelece que

(u v)′ = u′ v + u v′,

onde u = u(x) e v = v(x) sao funcoes derivaveis. A formula acima equivale a

u v′ = (u v)′ − u′ v.

359

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360 Cap. 26 Tecnicas de Integracao

Integrando esta igualdade, obtemos ∫u v′ dx = uv −

∫v u′ dx.

Como u = u(x)⇒ du = u′(x)dx e v = v(x)⇒ dv = v′(x)dx, a igualdade acima pode ser escrita como∫u dv = uv −

∫v du.

Esta e a formula para a integracao por partes. Para aplicar esta formula na resolucao de uma determinada integral,devemos fatorar o integrando em duas partes u e dv (daı o nome do metodo), levando em consideracao dois princıpios:

1. A primitiva v =∫dv deve ser facil de determinar.

2. A nova integral∫vdu deve ser mais facil de calcular que a integral original.

Observe que no caso de integral definida a formula acima e equivalente a∫ b

a

u dv = u(b) v(b)− u(a) v(a)−∫ b

a

v du.

Exemplo 1 Calcule

∫x ex dx.

Faca u = x e dv = ex dx . Assim, du = dx e v =∫ex dx = ex. Substituindo estes resultados na formula de integracao

por partes, obtemos ∫x ex dx = x ex −

∫ex dx = xex − ex + C.

Observe que se tivessemos escolhido u = ex e dv = x dx , terıamos du = ex dx e v = x2

2 . Neste caso, aplicando a formulade integracao por partes transformarıamos a integral original em outra mais difıcil de ser calculada, como se segue∫

x ex dx =x2 ex

2−∫x2 ex

2dx.

Portanto, esta segunda escolha e inadequada para resolver a integral proposta.

Exemplo 2 Calcule

∫x2 ex dx.

Faca u = x2 e dv = ex dx. Entao, du = 2x dx e v = ex. Substituindo estes resultados na formula de integracao porpartes, obtemos ∫

x2 ex dx = x2 ex − 2

∫x ex dx = x2 ex − 2 ex (x− 1) + C = ex (x2 − 2x+ 2) + C.

Exemplo 3 Calcule

∫ln(x) dx.

Para esta integral, faca u = ln(x) e dv = dx . Assim, du = dxx e v = x. Substituindo estes resultados na formula de

integracao por partes, obtemos:∫ln(x) dx = x ln(x)−

∫x

xdx = x ln(x)− x+ C = x (ln(x)− 1) + C.

Exemplo 4 Calcule

∫x sen(x) dx.

Faca u = x e dv = sen(x) dx. Entao, du = dx e v = −cos(x). Assim,∫x sen(x) dx = −xcos(x)−

∫−cos(x) dx = −xcos(x) + sen(x) + C.

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W.Bianchini, A.R.Santos 361

Exemplo 5 Calcule

∫arctg(x) dx.

Faca u = arctg(x ) e dv = dx. Entao, du =1

1 + x2dx e v = x. Logo,∫

arctg(x) dx = x arctg(x)−∫

x

1 + x2dx .

Esta ultima integral pode ser resolvida por substituicao de variaveis, fazendo-se t = 1+x2, o que implica que dt = 2x dx .Assim ∫

x

1 + x2dx =

1

2

∫1

tdt =

1

2ln(t) + C =

1

2ln(1 + x2) + C .

Logo, ∫arctg(x) dx = x arctg(x)− 1

2ln(1 + x2) + C .

Exemplo 6 Ao aplicar o metodo de integracao por partes, pode acontecer de retornarmos a integral original.

Vamos mostrar como solucionar este problema resolvendo a integral

∫ex sen(x) dx.

Fazendo u = ex e dv = sen(x) dx , temos que du = ex dx e v = −cos(x). Assim, a formula de integracao por partesfornece ∫

ex sen(x) dx = −ex cos(x) +

∫ex cos(x) dx.

Repetindo o mesmo processo para resolver a nova integral, fazemos agora u = ex e dv = cos(x) dx. Tem-se, entao, quedu = ex dx e v = sen(x), e a formula de integracao por partes, aplicada a ultima integral da expressao acima, resultaem ∫

ex sen(x) dx = −ex cos(x) +

∫ex cos(x) dx = −ex cos(x) + ex sen(x)−

∫ex sen(x) dx.

Fazendo I =∫ex sen(x) dx, a igualdade acima nos diz que

I = −ex cos(x) + ex sen(x)− I

que e equivalente a

2 I = −ex cos(x) + ex sen(x) + C ou I =−ex cos(x) + ex sen(x)

2+ C ,

isto e, ∫ex sen(x) dx =

−ex cos(x) + ex sen(x)

2+ C .

26.1.1 Substituicao por partes usando o Maple

O maple possui uma sub-rotina, intparts(Int(f(x),x),u) do pacote student, que permite a voce praticar o metodode integracao por partes. Vamos ilustrar como isto e possıvel com alguns exemplos.

Exemplo 1 Vamos resolver as integrais∫x ex dx e

∫ 3

−2x ex dx com a ajuda do comando intparts do Maple.

(Nao esqueca que antes de usar este comando temos que avisar o Maple que ele faz parte do pacote student. Estae a funcao da linha de comando with(student).)

> with(student):

Fazendo u = x, no comando intparts), temos

> I1:=intparts(Int(x*exp(x),x),x);

I1 := x ex −∫ex dx

Page 378: texto completo em PDF

362 Cap. 26 Tecnicas de Integracao

Neste ponto voce deve decidir se a sua escolha da funcao u foi adequada. A resposta neste caso e sim, pois estaultima integral tem uma primitiva imediata. Se quiser, voce pode continuar a usar o Maple para acabar de calcularesta integral

> I2:=value(I1);

I2 := x ex − ex

Usando agora o teorema fundamental do calculo, podemos resolver a integral definida∫ 3

−2x ex dx calculando

I2(b)− I2(a), onde I2 = x ex − ex e a primitiva de f(x) = x ex, encontrada acima. Assim, temos

> subs(x=3,I2)-subs(x=-2,I2);

2 e3 + 3 e−2

Exemplo 2 Calcule

∫x ln(x) dx

A escolha u = x nos conduz a

> J1:=intparts(Int(x*ln(x),x),x);

J1 := x (x ln(x)− x)−∫x ln(x)− x dx

Por outro lado, fazendo u = ln(x ), obtemos

> J2:=intparts(Int(x*ln(x),x),ln(x));

J2 :=1

2ln(x)x2 −

∫1

2x dx

Observe que a segunda escolha e mais adequada para resolver a integral dada.

Exemplo 3 Calcule

∫x2 sen(x) dx

Neste caso, ha varias escolhas possıveis. Vamos tentar todas e observar os resultados.

1. Fazendo u = x2, obtemos

> A1:=intparts(Int(x^2*sin(x),x),x^2);

A1 := −cos(x)x2 −∫− 2x cos(x) dx

2. Escolhendo, agora, u = x, temos

> A2:=intparts(Int(x^2*sen(x),x),x);

A2 := x (sen(x)− x cos(x))−∫

sen(x)− x cos(x) dx

3. Ou, ainda, escolhendo u = sen(x ), temos

> A3:=intparts(Int(x^2*sen(x),x),sen(x));

A3 :=1

3sen(x)x3 −

∫1

3cos(x)x3 dx

Dos resultados obtidos, podemos concluir que a primeira escolha e a mais adequada para se calcular a integral acima

26.1.2 Exercıcios

1. Calcule as integrais a seguir:

Page 379: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 363

(a)∫

sen2 x dx

(b)∫

sen3 x dx

(c)∫x cos(a x) dx

(d)∫x2 ex dx

(e)∫

cos4 x dx

(f)∫e(3 x) cos(2x) dx

(g)∫x3 e(x2) dx

(h)∫x2 sen(x) dx

(i)∫ √

x ln(x) dx

(j)∫x√

1 + x dx

(k)∫x sec2 x dx

2. (a) Verifique a veracidade da formula∫

lnn x dx = x lnx x−n∫

ln(n−1) x dx . Formulas deste tipo sao chamadasformulas de reducao. Aplicando esta formula n− 1 vezes, e possıvel calcular a integral da esquerda.

(b) Aplique a formula obtida no item anterior para calcular∫

ln3 x dx.

(c) Deduza uma formula de reducao para

i.∫xn sen(x) dx ii.

∫xn ex dx iii.

∫xn lnn x dx

3. Calcule∫

sen(ln(x)) dx. (Decida qual e o procedimento mais promissor e prossiga com fe!)

26.2 Integrais trigonometricas especiais

Nesta secao estudaremos certas integrais em que o integrando e potencia de uma funcao trigonometrica ou o produtode duas dessas potencias, exemplificando cada um dos casos abordados.

1. Potencias pares de seno e coseno

Exemplo 1 Para calcular as integrais ∫sen2 x dx e

∫cos2 x dx

podemos proceder de duas maneiras:

(a) Usando integracao por partes.

(b) Utilizando as identidades trigonometricas sen2 x = 12 (1− cos(2x)) e cos2 x = 1

2 (1 + cos(2x)).

Vamos resolver a primeira integral utilizando integracao por partes:∫sen2 x dx =

∫sen(x) sen(x) dx.

Fazendo u = sen(x ) e dv = sen(x) dx , temos que du = cos(x) dx e v = −cos(x). Assim,

∫sen2 x dx =

∫sen(x) sen(x) dx = −sen(x) cos(x)−

∫−cos(x) cos(x) dx

= −sen(x) cos(x) +

∫1− sen2 x dx = −sen(x) cos(x) + x−

∫sen2 x dx .

Essa igualdade resulta em:∫sen2 x dx =

1

2(−sen(x) cos(x) + x) + C =

x

2− sen(2x)

4+ C.

Resolvendo a segunda integral utilizando a identidade trigonometrica indicada, temos∫cos2 x dx =

∫1 + cos(2x)

2dx =

x

2+

sen(2x)

4+ C.

Exemplo 2 Vamos calcular a integral∫

sen4 x cos2 x dx.

Page 380: texto completo em PDF

364 Cap. 26 Tecnicas de Integracao

Para resolver esta integral, vamos utilizar a identidade sen2 x+ cos2 x = 1, para escrever o integrando so emtermos de senos ou so em termos de cossenos. Assim,∫

sen4 x cos2 x dx =

∫sen4 x (1− sen2 x) dx =

∫sen4 x− sen6 x dx.

A integral de sen4 x pode ser calculada, como anteriormente, usando-se a identidade trigonometrica sen2 x = 12

(1− cos(2x)) e observando que sen4 x = (sen2 x)2; a integral∫

sen6 x dx pode ser resolvida por partes, observando-se que sen6 x = sen5 x sen(x).

2. Potencias ımpares de seno ou coseno

Integrais do tipo

∫sen5 x cos2 x dx sao resolvidas por substituicao. Para isto, basta observar que∫

sen5 x cos2 x dx =

∫sen4 x sen(x) cos2 x dx.

Agora, fazendo u = cos(x), entao du = −sen(x)dx. Assim, temos

∫sen5 x cos2 x dx =

∫sen4 x sen(x) cos2 x dx = −

∫(1− u2)2 u2 du = −

∫u2 − 2u4 + u6 du

= −(u3

3− 2u5

5+u7

7) + C = −cos3 x

3+

2 cos5 x

5− cos7 x

7+ C.

3. Potencias inteiras de tangente

Vamos calcular

∫tg(x) dx.

A substituicao u = cos(x) e du = −sen(x)dx, resulta em∫tg(x) dx =

∫sen(x)

cos(x)dx = −

∫1

udu = −ln(|u |) + C = −ln(| cos(x) |) + C = ln(| sec(x) |) + C.

Da mesma forma e possıvel obter os seguintes resultados:

(a)

∫cotg(x) dx = ln(| sen(x) |) + C

(b)

∫tg2 x dx =

∫sec2 x− 1 dx = tg(x)− x + C

(c)

∫tg3 x dx =

∫tg2 x tg(x) dx =

∫(sec2 x− 1) tg(x) dx =

∫sec2 x tg(x) dx−

∫tg(x) dx

A primeira integral pode ser resolvida fazendo-se u = tg(x)⇒ du = sec2 x dx , e assim,∫tg3 x dx =

tg2 x

2− ln(| sec(x) |) + C.

4. Potencias inteiras de secante

Exemplo 1 Calcular

∫sec(x) dx.

Esta integral pode ser resolvida usando-se integracao por partes. Porem, um metodo mais rapido e obtidomultiplicando-se e dividindo-se o integrando por sec(x) + tg(x) e fazendo a substituicao u = sec(x ) + tg(x ) ⇒du = sec(x ) tg(x) + sec2 (x) dx. Assim,∫

sec(x) dx =

∫sec(x) (sec(x) + tg(x))

sec(x) + tg(x)dx =

∫1

udu = ln(|u |) + C = ln(| sec(x) + tg(x) |) + C.

Page 381: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 365

Exemplo 2 Calcular

∫sec3 x dx.

Como u = sec(x)⇒ du = sec(x) tg(x), e dv = sec2 x dx⇒ v = tg(x), a formula de integracao por partes resultaem∫

sec3 x dx =

∫sec2 x sec(x) dx = sec(x) tg(x)−

∫tg2 x sec(x) dx = sec(x) tg(x)−

∫(sec2 x− 1) sec(x) dx

= sec(x)tg(x)−∫

sec3 x dx+

∫sec(x) dx

Assim,

2

∫sec3 x dx = sec(x) tg(x) +

∫sec(x) dx , ou seja,

∫sec3 x dx =

1

2(sec(x) tg(x) + ln(| sec(x) + tg(x) |) + C.

26.3 Substituicao trigonometrica

O metodo da substituicao trigonometrica pode ser empregado na resolucao de integrais cujos integrandos envolvemexpressoes do tipo √

a2 − x2 ,√a2 + x2 e

√x2 − a2 .

A tabela abaixo mostra as substituicoes trigonometricas indicadas em cada caso. Na primeira coluna indicamos otipo de integrando, na segunda, a substituicao a fazer; e, na terceira, a identidade trigonometrica a ser usada.

√a2 + x2 ↔ x = a sen θ ↔ cos2 θ = 1− sen2 θ

√a2 + x2 ↔ x = a tg θ ↔ sec2 θ = 1 + tg2 θ

√x2 − a2 ↔ x = a secθ ↔ tg2 θ = sec2 θ − 1

A seguir, exemplificamos cada um dos casos indicados.

Exemplo 1 Calcular

∫ √9− x2 dx.

A substituicao indicada e x = 3 sen θ, o que implica dx = 3 cos θ dθ e daı∫ √9− x2 dx = 9

∫ √1− sen2 θ cos(θ) dθ = 9

∫ √cos2 θ cos(θ) dθ = 9

∫|cos(θ)| cos(θ) dθ.

Observe que θ = arcsen (x3 ), para θ no intervalo [−π2 ,π2 ]. Como neste intervalo cos(θ) ≥ 0, temos∫ √

9− x2 dx = 9

∫cos2 θ dθ = 9

∫1 + cos(2 θ)

2dθ = 9

2+

sen(2 θ)

4

)+ C

= 9

(arcsen(x3 )

2+

2 sen(θ) cos(θ)

4

)+ C =

9

2

(arcsen(

x

3) +

x√

9− x2

9+ C

)

=9

2arcsen(

x

3) +

1

2x√

9− x2 + C.

Exemplo 2 Calcular

∫ √4 + x2 dx.

Page 382: texto completo em PDF

366 Cap. 26 Tecnicas de Integracao

A substituicao indicada neste caso e x = 2 tg θ ⇒ dx = 2 sec2 θ dθ. Daı, obtemos

∫ √4 + x2 dx =

∫ √4 + 4 tg2 θ 2 sec2 θ dθ = 4

∫ √sec2 θ sec2 θ dθ = 4

∫| sec θ | sec2 θ dθ

= 4

∫sec3 θ dθ = 2(sec θ tg θ + ln(| sec θ + tg θ |) + C.

Observe que a identidade inversa θ = arctg(x2 ) so e valida quando o angulo θ estiver no intervalo [−π2 ,π2 ]. Neste

intervalo, sec θ > 0. Por esta razao, na penultima igualdade acima vale a substituicao | sec θ | = sec θ.

Para terminar a resolucao da integral proposta, devemos retornar a variavel x. Para isto usamos a identidadetrigonometrica tg2 θ = sec2 θ − 1. Assim, temos:∫ √

4 + x2 dx = 2

(√1 + (

x

2)2x

2+ ln

∣∣∣∣√1 + (x

2)2 +

x

2

∣∣∣∣)+ C = 2

(x

4

√4 + x2 + ln

∣∣∣∣∣√

4 + x2

2+x

2

∣∣∣∣∣)

+ C.

Exemplo 3 Calcular

∫1

x√x2 − 1

dx.

A substituicao x = sec θ implica que dx = sec θ tg θ dθ. Daı, temos∫1

x√x2 − 1

dx =

∫sec θ tg θ

sec θ√

sec2 θ − 1dθ =

∫tg θ

|tg θ|dθ.

Como a identidade θ = arcsec x so e valida para θ em [0, π2 )∪ (π2 , π], tg θ > 0 em (0, π2 ) e tg θ < 0 em (π2 , π), a ultimaintegral acima se transforma em

∫tg θ

| tg θ |dθ =

dθ = θ + C , se θ ∈ (0, π2 )

−∫

dθ = −θ + C , se θ ∈ (π2 , π).

Logo, ∫1

x√x2 − 1

dx =

arcsec(x) + C , se x > 1−arcsec(x) + C , se x < −1

Existem casos em que e necessaria alguma manipulacao algebrica antes de tentarmos aplicar um dos casos desubstituicao trigonometrica. O exemplo abaixo ilustra esta situacao.

Exemplo 4 Calcular

∫1√

x2 + x− 2dx.

Completando o quadrado no radicando, temos∫1√

x2 + x− 2dx =

∫1√

(x+ 12 )2 − ( 3

2 )2dx.

A substituicao x+ 12 = 3 sec θ

2 ⇒ dx = 32 sec θ tg θ dθ e conduz a∫

1√x2 + x− 2

dx =

∫1√

(x+ 12 )2 − ( 3

2 )2dx =

∫sec θ tg θ√sec2 θ − 1

dθ = ±∫

sec θ dθ

= ln | sec θ + tg θ |+ C = ln

(∣∣∣∣∣ 2x+ 1

3+

2√x2 + x− 2

3

∣∣∣∣∣)

+ C.

Page 383: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 367

26.4 Funcoes racionais e fracoes parciais

Recordemos que uma funcao racional e da forma

P (x) =N(x)

Q(x),

onde N(x) e Q(x) sao polinomios.Nesta secao vamos descrever um metodo usado para integrar funcoes racionais, que consiste em escrever estas

funcoes como a soma de funcoes racionais mais simples, cujas integrais sejam calculadas facilmente. Para exemplificar,vamos examinar a funcao P (x) = x+5

x2+x−2 . O problema e calcular a∫

x+5x2+x−2 dx.

Repare que2

x− 1− 1

x+ 2=

2 (x+ 2)− (x− 1)

(x− 1) (x+ 2)=

x+ 5

x2 + x− 2.

Esta identidade permite concluir que∫x+ 5

x2 + x+−2dx =

∫2

x− 1dx−

∫1

x+ 2dx = 2 ln(|x− 1 |)− ln(|x+ 2 |) + C.

Esta conclusao nao seria tao simples se nao soubessemos de antemao que

2

x− 1− 1

x+ 2=

x+ 5

x2 + x− 2.

O problema de integrar a funcao x+5x2+x−2 se resume, entao, ao problema de decompor esta fracao em parcelas mais

simples. Este metodo e chamado de decomposicao em fracoes parciais. As regras que permitem chegar a decomposicoesdeste tipo sao enumeradas a seguir.

Considere a funcao P (x) =N(x)

Q(x). Se o grau de N(x) for maior ou igual do que o grau de Q(x), podemos efetuar

a divisao e escrever P (x) na forma

P (x) =N(x)

Q(x)= D(x) +

R(x)

Q(x),

onde D(x) e um polinomio, o grau de R(x) e menor do que o grau de Q(x) e R(x) e Q(x) nao tem fatores comuns.Tendo em vista esta observacao, o problema de calcular integrais de funcoes racionais se reduz ao de examinar o

caso das funcoes onde o grau do numerador e estritamente menor do que o grau do denominador. Estas funcoes saoditas funcoes racionais proprias.

Nossa tarefa, portanto, e decompor a fracaoR(x)

Q(x), onde o grau de R(x) e estritamente menor do que o grau de

Q(x), numa soma de fracoes mais simples, isto e,

R(x)

Q(x)=R1(x)

Q1(x)+R2(x)

Q2(x)+ . . .+

Rn(x)

Qn(x)

esperando que cada uma dessas parcelas possa ser integrada sem muita dificuldade.Em cursos de algebra, mostra-se que toda funcao racional pode ser decomposta na forma acima e que

1. Se Q(x) = (x− r1) (x− r2) ... (x− rn−1) (x− rn), entao

R(x)

Q(x)=

A1

x− r1+

A2

x− r2+ . . .+

Anx− rn

,

onde A1, A2, ... An sao constantes a serem determinadas.

2. Se Q(x ) = (x− r)m, entaoR(x)

Q(x)=

A1

x− r+

A2

(x− r)2+ . . .+

Am(x− r)m

,

onde A1, A2, ... An sao constantes a serem determinadas.

Page 384: texto completo em PDF

368 Cap. 26 Tecnicas de Integracao

3. Se Q(x) = (a x2 + b x+ c)k, sendo a x2 + b x+ c irredutıvel, isto e, sem raızes reais, entao

Q(x)

R(x)=

A1 x+B1

a x2 + b x+ c+

A2 x+B2

(a x2 + b x+ c)2+ . . .+

Ak x+Bk(a x2 + b x+ c)k

,

onde Ai e Bi para i = 1...k sao constantes a serem determinadas.

4. Se Q(x) = (x− r1) (x− r2) ... (x− rn) (x− r)m (a x2 + b x+ c)k, entao

R(x)

Q(x)=

A1

x− r1+

A2

x− r2+ . . .+

Anx− rn

+B1

x− r+

B2

(x− r)2+ . . .+

Bm(x− r)m

+A1 x+B1

a x2 + b x+ c+

A2 x+B2

(a x2 + b x+ c)2+ . . .+

Ak x+Bk(a x2 + b x+ c)k

,

onde Ai e Bi para i = 1...k sao constantes a serem determinadas.

Vejamos alguns exemplos para ilustar este metodo.

Exemplo 1 Calcule a integral

∫1

x2 − 1dx.

Como x2 − 1 = (x− 1) (x+ 1), temos1

(x− 1) (x+ 1)=

A

x− 1+

B

x+ 1=

A (x+ 1) +B (x− 1)

(x− 1) (x+ 1). Assim,

1 = A (x+ 1) +B (x− 1) = (A+B)x +A−B. Como dois polinomios sao iguais quando os coeficientes dos termos demesmo grau sao iguais, temos que

A+B = 0A−B = 1

.

Resolvendo este sistema, obtemos A = 12 e B = − 1

2 .Portanto,∫

1

x2 − 1dx =

1

2

∫1

x− 1dx− 1

2

∫1

x+ 1dx =

1

2ln |x− 1 | − 1

2ln |x+ 1 |+ C =

1

2ln(

∣∣∣∣ x− 1

x+ 1

∣∣∣∣) + C.

Exemplo 2 Calcule

∫1

x (x+ 3)dx.

Como1

x (x+ 3)=A

x+

B

x+ 3, operando algebricamente como no exemplo anterior, obtemos 1 = A(x + 3) +Bx.

Logo, A+B = 1

3A = 1.

Resolvendo este sistema, concluımos que A = 13 e B = − 1

3 . Portanto,∫1

x (x+ 3)dx =

1

3

∫1

xdx− 1

3

∫1

x+ 3dx =

1

3(ln |x | − ln |x+ 3 |) + C =

1

3ln

∣∣∣∣ x

x+ 3

∣∣∣∣+ C.

Exemplo 3 Resolva a integral

∫x2 + x+ 1

x2 − 1dx.

Neste caso, como o grau do numerador e igual ao do denominador, primeiro efetuamos a divisao indicada. Faremosisto com o auxılio do Maple. Obtemos o quociente da divisao com o comando

> quo(x^2+x+1,x^2-1,x,’r’);

1

e o resto dessa maneira

> r;

Page 385: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 369

x+ 2

Assim,x2 + x+ 1

x2 − 1= 1 +

x+ 2

x2 − 1= 1 +

x+ 2

(x− 1) (x+ 1).

Logo, ∫x2 + x+ 1

x2 − 1dx = x+

∫x+ 2

(x− 1) (x+ 1)dx.

Por decomposicao em fracoes parciais, podemos escrever que

x+ 2

(x− 1) (x+ 1)=

A

x− 1+

B

x+ 1⇒ x + 2 = A(x + 1) +B(x− 1) .

Assim,

A+B = 1A−B = 2

⇒ A = 32 e B = − 1

2 . Logo,

∫x2 + x+ 1

x2 − 1dx = x+

∫x+ 2

(x− 1) (x+ 1)dx = x+

3

2

∫1

x− 1dx− 1

2

∫1

x+ 1dx

= x +3

2ln |x− 1 | − 1

2ln |x+ 1 |+ C.

Exemplo 4 Calcule a integral

∫x

(x− 1) (x2 + 1)dx.

Usando decomposicao em fracoes parciais, obtemos

x

(x− 1) (x2 + 1)=

A

x− 1+B x+ C

x2 + 1⇒ x = A (x2 + 1) + (B x+ C) (x− 1) .

Comparando os dois polinomios, podemos concluir que A+B = 0C −B = 1A− C = 0

.

Resolvendo este sistema, concluımos que A = 12 , B = − 1

2 e C = 12 . Assim,

∫x

(x− 1) (x2 + 1)dx =

1

2

∫1

x− 1dx+

1

2

(∫− x

x2 + 1dx+

∫1

x2 + 1dx

)=

1

2ln |x− 1 | − 1

4ln(x2 + 1) + arctg(x) + C.

Exemplo 5 Este exemplo ilustra um caso onde o metodo de decomposicao em fracoes parciais nao pode ser

usado. Considere a integral

∫x

2x2 + 4x+ 3dx.

O polinomio Q(x) = 2x2 + 4x+ 3 e irredutıvel e o metodo nao funciona porque nao leva a nenhuma decomposicaoda fracao dada. (Experimente!)

Neste caso, podemos completar o quadrado que aparece no denominador e tentar algum tipo de substituicao, comoe feito a seguir:

Q(x) = 2x2 + 4x+ 3 = 2 (x2 + 2x+ 32 ) = 2 (x2 + 2x+ 1− 1 + 3

2 ) = 2 ((x+ 1)2 + 12 ) = (

√2 (x+ 1))2 + 1 .

A substituicao u =√

2 (x+ 1), du =√

2 dx permite, entao, escrever∫x

2x2 + 4x+ 3dx =

1√2

∫ u√2− 1

u2 + 1du =

1

2

∫u

u2 + 1du− 1√

2

∫1

u2 + 1du

=1

4ln(u2 + 1)− 1√

2arctg(u) + C

=1

4ln(2x2 + 4x+ 3)− 1√

2arctg(

√2 (x+ 1)) + C.

Page 386: texto completo em PDF

370 Cap. 26 Tecnicas de Integracao

26.4.1 Usando o Maple para decompor uma funcao racional em fracoes parciais

O Maple tem uma sub-rotina para converter uma funcao racional propria em fracoes parciais. Isto pode ser feito como comando convert junto com a opcao parfrac. O exemplo abaixo ilustra o procedimento a ser seguido.

> p:=x->(x^2-2*x-3)/((x-1)*(x^2+2*x+2));

p := x→ x2 − 2x− 3

(x− 1) (x2 + 2x+ 2)> f:=convert(p(x),parfrac,x);

f := −4

5

1

x− 1+

1

5

7 + 9x

x2 + 2x+ 2.

Assim, ∫x2 − 2x− 3

(x− 1) (x2 + 2x+ 2)dx =

∫− 4

5 (x− 1)+

(7 + 9x)

5 (x2 + 2x+ 2)dx .

Resolvendo esta ultima integral, obtemos

> Int(f,x):%=int(f,x)+c;∫− 4

5

1

x− 1+

1

5

7 + 9x

x2 + 2x+ 2dx = −4

5ln| (x− 1) |+ 9

10ln(x2 + 2x+ 2)− 2

5arctg(1 + x) + C.

Derivando a resposta obtida, podemos verificar a correcao do resultado.> diff(-4/5*ln(x-1)+9/10*ln(x^2+2*x+2)-2/5*arctan(1+x)+c,> x);

−4

5

1

x− 1+

9

10

2x+ 2

x2 + 2x+ 2− 2

5

1

1 + (1 + x)2.

Simplificando esta ultima expressao, obtemos a funcao inicial.

> normal(%);

x2 − 2x− 3

(x− 1) (x2 + 2x+ 2)

e assim, comprovamos que a funcao

F (x) = −4 ln(x− 1)

5+

9 ln(x2 + 2x+ 2)

10− 2 arctg(1 + x)

5+ C

e, realmente, uma primitiva da funcaox2 − 2x− 3

(x− 1) (x2 + 2x+ 2).

26.5 Exercıcios

1. Calcule as integrais abaixo:

(a)

∫cos3 5x dx

(b)

∫x2√

4− x2 dx

(c)

∫1

(a2 + x2)3dx

(d)

∫1

x2√

1 + x2dx

(e)

∫ √x2 − a2

xdx

(f)

∫sen3 x dx

(g)

∫cos4 x dx

(h)

∫e(3 x) cos(2x) dx

(i)

∫1

(x− 2) (x− 3)dx

(j)

∫2x− 3

(x− 1)(x− 7)dx

(k)

∫x+ 1

(x− 1)2 (x− 2)dx

(l)

∫x2 + x+ 2

x2 − 1dx

(m)

∫x3

x2 + 5x− 6dx

(n)

∫x5 + x4 − 8

x3 − 4xdx

(o)

∫x5

x3 − 1dx

(p)

∫1

x2 + 2x+ 2dx

(q)

∫x2 − 2x− 3

(x− 1)(x2 + 2x+ 2)dx

(r)

∫x

(x− 1)(x2 + 1)dx

Page 387: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 371

26.6 Para voce meditar: Como usar o Maple no calculo de integrais

O programa Maple e uma otima ferramenta para calcular integrais. Porem, como vimos no inıcio deste capıtulo, nemo melhor programa de computador consegue calcular certas integrais. Esta e uma das razoes pela qual o aluno deve ternocao das tecnicas de integracao para reconhecer determinados tipos de integrais e decidir o caminho a seguir, mesmoque as contas sejam difıceis ou cansativas quando feitas “no braco”. Este conhecimento permite que examinemoscom espırito crıtico a plausibilidade das respostas obtidas, quer com a ajuda do Maple, quer com a ajuda de outroprograma computacional algebrico qualquer.

Vamos ilustrar com alguns exemplos como podemos fazer um bom uso dos recursos do Maple no calculo de integrais.

Exemplo 1 Calcule∫

sen(5x) sen(7x) dx.

Sem a ajuda do Maple terıamos que integrar por partes ou utilizar alguma formula trigonometrica para simplificaro integrando. Voce pode tentar fazer isto, se quiser, para ver a dificuldade. Utilizando o Maple, temos:

> Int(sin(5*x)*sin(7*x),x):%=int(sin(5*x)*sin(7*x),x)+C;∫sen(5x) sen(7x) dx =

1

4sen(2x)− 1

24sen(12x) + C.

Como saber se a resposta obtida esta correta? A primeira vista, parece difıcil concluir que a derivada do resultadoobtido e o integrando. No entanto, uma vez mais podemos usar o Maple para executar esta tarefa para nos. Assim,

> diff(rhs(%),x);

1

2cos(2x)− 1

2cos(12x).

Esta funcao nao se parece com o integrando acima. Ainda utilizando o Maple, podemos verificar se existe algumaidentidade trigonometrica que converta o integrando na expressao obtida acima. Para isso, usamos o programa parasimplificar o integrando, levando em conta as identidades trigonometricas conhecidas. Isto e feito com o comandoabaixo.

> sin(5*x)*sin(7*x)=combine(sin(5*x)*sin(7*x),trig);

sen(5x) sen(7x) =1

2cos(2x)− 1

2cos(12x).

Dessa maneira, mostramos que a integral em questao foi calculada corretamente.

Exemplo 2 Calcule

∫x7 sen(5x) dx.

> Int(x^7*sin(5*x),x):%=value(%)+C;∫x7 sen(5x) dx = −1

5x7 cos(5x) +

7

25x6 sen(5x) +

42

125x5 cos(5x)− 42

125x4 sen(5x)

− 168

625x3 cos(5x) +

504

3125x2 sen(5x)− 1008

78125sen(5x) +

1008

15625x cos(5x) + C.

Mais uma vez, podemos utilizar o Maple para verificar a resposta obtida.

> diff(rhs(%),x);

x7 sin(5x)

Exemplo 3 Calcule

∫1√

a2 − x2dx.

> Int(1/sqrt(a^2-x^2),x):%=value(%)+C;∫1√

a2 − x2dx = −I ln(I x+

√a2 − x2) + C.

O que ha de errado com esta resposta estranha? Frequentemente, o Maple nos da respostas que a primeira vista nosparecem estranhas, mas se analisarmos com cuidado descobriremos o “erro”. Na maior parte das vezes, o que para nosparece obvio nao e corretamente especificado no comando que fornecemos ao programa, daı a resposta aparentementesem sentido. No caso, nao especificamos quais valores a constante a poderia assumir. Antes de tentar utilizar o

Page 388: texto completo em PDF

372 Cap. 26 Tecnicas de Integracao

Maple para calcular esta integral, devemos informar ao programa que estamos considerando a > 0. Isto pode ser feitousando-se o comando assume.

> assume(a>0);

Agora, vamos tentar, outra vez, calcular esta integral:

> Int(1/sqrt(a^2-x^2),x):%=value(%)+c;∫1√

a˜2 − x2dx = arcsen(

x

a˜) + c.

A funcao obtida dessa vez e realmente uma primitiva de 1√a2−x2

. (Com o til depois da constante a, o Maple nos

informa que esta constante esta restrita a assumir determinados valores, no caso o resultado so e valido para valorespositivos de a.)

Exemplo 4 Vamos retornar ao exemplo com o qual iniciamos este capıtulo, isto e, vamos tentar encontrar umaprimitiva para a funcao (1 + ln(x))

√1 + (x ln(x))2.

Como vimos, nao chegamos a nenhum resultado pratico quando tentamos utilizar o Maple nesta tarefa, pois elenao consegue encontrar uma primitiva para esta funcao.

> int((1+ln(x))*sqrt(1+(x*ln(x))^2),x);∫(1 + ln(x))

√1 + x2 ln(x)2 dx.

No entanto, se soubermos indicar ao programa o que deve ser feito, podemos “ensina-lo” a calcular esta integral.Vamos, portanto, orienta-lo a fazer a substituicao u = x ln(x), como se segue:

> with(student);> changevar(x*log(x)=u,> Int((1+ln(x))*sqrt(1+(x*ln(x))^2),x), u);∫ √

1 + u2 du

Esta integral pode agora ser resolvida por substituicao trigonometrica, ou seja,∫ √1 + u2 dx =

u√

1 + u2

2+

ln(√

1 + u2 + u)

2+ C

(confira!). Podemos tambem usar o comando int para resolver esta ultima integral:

> int(sqrt(1+u^2),u);

1

2u√

1 + u2 +1

2arcsenh(u).

Usando o comando convert(express~ao,ln) para obter uma outra expressao para a funcao arcsenh(u) em termosde funcoes logarıtmicas, podemos provar que os dois resultados acima sao equivalentes!

> convert(arcsinh(u),ln);

ln(√

1 + u2 + u).

Usando o comando subs, para voltar a variavel x, obtemos> resposta:=subs(u=x*log(x),u^2=(x*log(x))^2> ,u/2*sqrt(1+u^2)+ln(sqrt(1+u^2)+u)/2+C);

resposta :=1

2x ln(x)

√1 + x2 ln(x)2 +

1

2ln(√

1 + x2 ln(x)2 + x ln(x)) + C.

Finalmente, derivando esta resposta para conferir o resultado, vem que

> diff(resposta,x);

1

2ln(x)

√1 + x2 ln(x)2 +

1

2

√1 + x2 ln(x)2 +

1

4

x ln(x) (2x ln(x)2 + 2x ln(x))√1 + x2 ln(x)2

+1

2

1

2

2x ln(x)2 + 2x ln(x)√1 + x2 ln(x)2

+ ln(x) + 1√1 + x2 ln(x)2 + x ln(x)

Page 389: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 373

> simplify(%);

x2 ln(x)3 + x2 ln(x)2 + ln(x) + 1√1 + x2 ln(x)2

.

Fatorando o numerador desta expressao, temos finalmente

> primitiva:=factor(x^2*(log(x))^3+x^2*(log(x))^2+log(x)+1)/sqrt(1+(x*l> og(x))^2);

primitiva := (ln(x) + 1)√

1 + x2 ln(x)2.

Desse modo, concluımos que

∫(1 + ln(x))

√1 + (x ln(x))2 dx =

x ln(x)√

(1 + x2 ln(x)2)

2

+ln(√

(1 + x2 ln(x)2)) + x ln(x)

2+ C

e, dessa maneira, “ensinamos” o Maple a calcular esta integral!

26.7 Projetos

26.7.1 Integracao numerica: Regras do trapezio e Simpson

O inıcio do desenvolvimento do que hoje chamamos de Calculo Diferencial e Integral se deu quando os trabalhos deNewton e Leibniz levaram a demonstracao do teorema fundamental do calculo, que estabeleceu a relacao existente entre

derivadas e integrais. A partir de entao o problema de calcular uma integral, por exemplo∫ baf(x) dx, foi reduzido ao de

determinar uma antiderivada ou primitiva da funcao f . Alem disso, sabemos tambem que se f for contınua em [a, b],esta primitiva existe e e contınua. No entanto, como vimos neste capıtulo, calcular primitivas em termos de funcoeselementares (combinacoes de somas, diferencas, produtos, quocientes, raızes e composicoes de polinomios, funcoestrigonometricas, exponenciais ou logaritmos) nao e uma tarefa facil, pelo contrario, existem funcoes razoavelmente

simples com primitivas que nao sao funcoes elementares! Por exemplo, sabe-se que a funcao ex2

nao tem primitivaelementar. Veja como o Maple determina a primitiva desta funcao.

> int(exp(x^2),x);

−1

2I√π erf(I x).

A funcao erf(x ), definida simplesmente como erf(x) = ( 2√π

)∫ x

0e(−t2) dt, e muito usada em estatıstica, na teoria de

probabilidade. Existem muitas outras funcoes que nao tem primitiva em termos de funcoes elementares, mas todos queusam calculo como uma ferramenta aplicada a ciencia ou a engenharia se defrontam, ocasionalmente, com o problemade avaliar integrais deste tipo.

O objetivo deste projeto e descrever dois metodos para calcular o valor numerico de uma integral do tipo∫ baf(x) dx,

com o grau de precisao que for necessario. Estes metodos sao baseados em procedimentos simples que podem seraplicados independentemente de podermos encontrar ou nao uma primitiva de f . As formulas aplicadas em cada casousam somente aritmetica e o calculo de valores da funcao f num numero finito de pontos do intervalo [a, b]. Estasformulas sao mais eficientes do que as somas de Riemann, utilizadas na definicao de integral, no sentido de que daoresultados mais precisos com menos trabalho computacional.

A regra do trapezio

Considere uma particao regular do intervalo [a, b] definida pelos pontos a = x0 < x1<... < xn = b. A ideia e aproximara area entre f(x) e o eixo x, para xk−1 ≤ x ≤ xk, pelo trapezio cuja aresta superior e o segmento que une os pontos(xk−1, f(xk−1)) e (xk, f(xk)), como mostra a figura:

Page 390: texto completo em PDF

374 Cap. 26 Tecnicas de Integracao

x[k]x[k–1]

A area deste trapezio e dada por(f(xk−1) + f(xk)) (xk − xk−1)

2. Como a particao e regular, temos que

(xk − xk−1) =b− an

= ∆x.

Somando-se as areas dos n trapezios considerados na aproximacao, teremos que a integral∫ baf(x) dx e aproxima-

damente igual a

(f(x0)

2+ f(x1) + f(x2) + . . .+ f(xn−1) +

f(xn)

2)∆x.

Repare que cada um dos valores f(xi), exceto o primeiro e o ultimo, aparece na soma duas vezes, e isso explica adiferenca entre os seus coeficientes que aparecem na formula.

A regra do trapezio pode entao ser enunciada da seguinte maneira:

Se f e contınua em [a, b] e se existe uma particao regular de [a, b] determinada pelos pontos a = x0 < x1<... xn = b,

entao∫ baf(x) dx e aproximadamente igual a

(b− a) (f(x0) + 2 f(x1) + 2 f(x2) + . . .+ 2 f(xn−1) + f(xn))

2n.

Podemos chegar a esta mesma formula se considerarmos a media aritmetica entre as somas de Riemann, onde f ecalculada no extremo esquerdo e no extremo direito, respectivamente, de cada subintervalo da particao. (Veja projetoSomas de Riemann e funcoes monotonas.)

Prova-se que o erro maximo cometido ao usarmos a regra acima para aproximar a integral∫ baf(x) dx e dado por

M (b−a)3

12n2 , onde M e um numero real positivo tal que | f ′′(x) | ≤ M para todo x em [a, b].

1. Aproxime∫ 1

0

√1− x3 dx pela regra do trapezio, dividindo o intervalo [1, 2] em 4 partes iguais. Estime o erro

maximo cometido.

2. Calcule um valor aproximado para ln(2) com erro menor do que um centesimo.

Regra de Simpson

A ideia basica da regra de Simpson e aproximar cada pedaco do grafico de f por uma parte de parabola que se “ajusta”a curva, em lugar de aproximar estes pequenos pedacos por segmentos de reta, como foi feito na regra do trapezio.

Novamente, considere uma particao regular do intervalo [a, b] em n partes iguais, onde n e um numero par.Considere os tres primeiros pontos da particao, a saber: a = x0, x1 e x2 e os correspondentes pontos sobre a curvay = f(x). Se estes tres pontos nao forem colineares, existira uma unica parabola, da forma y = a x2 + b x+ c, passandopor estes pontos. Veja o desenho.

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4x

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W.Bianchini, A.R.Santos 375

Esta parabola pode ser escrita na forma P (x) = a (x− x1)2 + b (x− x1) + c. Para que esta parabola passe pelostres pontos dados, tres condicoes sao necessarias:

(a) Em x = x0, tem-se a (x0 − x1)2 + b (x0 − x1) + c = f(x0).

(b) Em x = x1, c = f(x1).

(c) Em x = x2, a (x2 − x1)2 + b (x2 − x1) + c = f(x2).

Como a particao e regular, x2 − x1 = x1 − x0 = ∆x, e de (b) temos que c = f(x1). Assim,

−b∆x+ a (∆x)2 = f(x0)− f(x1)

b∆x+ a (∆x)2 = f(x2)− f(x1) .

Daı vem que 2 a (∆x)2 = f(x0)− 2 f(x1) + f(x2). Considerando que a parabola cuja equacao queremos achar e umaboa aproximacao para a curva y = f(x), no intervalo [x0, x1], temos que a integral

∫ x1

x0f(x) dx e aproximadamente

igual a ∫ x1

x0

[a (x− x1)2 + b (x− x1) + c]2 dx .

Calculando esta integral e expressando o resultado em termos de ∆x, obtemos

2 c∆x+2 a (∆x)2

3.

Substituindo nesta expressao os valores anteriormente achados para a e c, temos

2 y1 ∆x+(y0 − 2 y1 + y2) ∆x

3=

(y0 + 4 y1 + y2) ∆x

3,

onde yi = f(xi).O mesmo procedimento pode ser aplicado em cada um dos subintervalos da particao considerada. Somando todos

os resultados parciais, chegamos a formula

1

3(y0 + 4 y1 + 2 y2 + . . .+ 4 yn−1 + yn)∆x

para calcular o valor aproximado da integral∫ baf(x) dx. Esta formula e chamada regra de Simpson. Observe que na

regra de Simpson y0 e yn tem coeficiente 1; os yi, para i par, tem coeficiente 2; e os yi, para i ımpar, tem coeficiente4.

Pode-se provar que o erro maximo cometido ao aproximarmos uma integral pela regra de Simpson e dado por

M (b− a) (∆x)4

180,

onde M e o valor maximo da derivada quarta de f em [a, b].

1. O valor exato de∫ π

0

√sen(x) dx nao e conhecido. Ache um valor aproximado usando a regra de Simpson com

n = 4. Estime o erro cometido.

2. O valor exato de∫ 5

1ex

x dx nao e conhecido. Ache um valor aproximado usando a regra de Simpson com n = 4.Estime o erro cometido.

3. Ache um valor aproximado para ln(2) aplicando a regra de Simpson com n = 4. Estime o erro cometido.

4. Use a formula π4 =

∫ 1

01

1+x2 dx e a regra de Simpson com n = 4 para estimar um valor para π. Estime o errocometido.

5. As tabelas abaixo indicam a relacao entre duas variaveis x e y. Admitindo que y = f(x) e que f seja contınua,

aproxime∫ 4

2f(x) dx por meio da

(a) Regra do trapezio (b) Regra de Simpson

Page 392: texto completo em PDF

376 Cap. 26 Tecnicas de Integracao

i.x 2 2,25 2,5 2,75 3 3,25 3,5 3,75 4y 4,21 3,76 3,21 3,58 3,94 4,15 4,69 5,44 7,52

ii.x 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4y 12,1 11,4 9,7 8,4 6,3 6,2 5,8 5,4 5,1 5,9 5,6

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Capıtulo 27

Regras de L’Hopital

27.1 Formas indeterminadas

Suponha que desejamos tracar o grafico da funcao F (x) =2x − 1

x. Embora F nao esteja definida em x = 0, para

tracar o seu grafico precisamos conhecer o comportamento da funcao nas proximidades deste ponto, isto e, precisamoscalcular os limites

limx→0+

2x − 1

xe lim

x→0−

2x − 1

x(*)

Como, nestes dois casos, o limite do denominador e zero, a regra do quociente para limites nao se aplica. Embora oslimites acima existam, o seu valor nao e obvio, pois tanto o numerador quanto o denominador da fracao se aproximamde zero quando x→ 0.

Quando limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0, diz-se que o quocientef(x)

g(x)tem a forma indeterminada

0

0, em x = a.

Formas indeterminadas deste tipo apareceram no comeco de nossos estudos de derivada, mais precisamente, a razaoincremental que aparece na definicao de derivada

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a

tem a forma indeterminada0

0, em x = a.

Quando f e uma funcao racional, a tecnica para resolver limites deste tipo e cancelar o fator comum, quandopossıvel. Assim, por exemplo,

limx→1

x2 − 1

x− 1= limx→1

(x+ 1) = 2.

Outro exemplo de um limite do tipo0

0apareceu no estudo das funcoes trigonometricas, quando precisamos calcular

limx→0

sen(x)

x. Na ocasiao, tivemos que utilizar um argumento geometrico para concluir que este limite e igual a 1.

Para os limites que apareceram em (*), nenhuma destas tecnicas funciona.

Uma outra situacao na qual o valor do limite nao e obvio ocorre quando tentamos avaliar limx→∞

ln(x)

x. Este

limite aparece quando precisamos encontrar as assıntotas horizontais ao grafico da funcao y = ln(x)x . Neste caso,

tanto o numerador quanto o denominador tendem a ∞, quando x → ∞. Se o numerador cresce mais rapido que odenominador, o limite e infinito. Se, ao contrario, e o denominador que cresce mais rapido, o limite e zero. Se amboscrescem a mesma taxa, o limite pode ser qualquer numero positivo.

Assim, se limx→a

f(x) = limx→a

g(x) =∞, diz-se que limx→a

f(x)

g(x)e uma forma indeterminada do tipo ∞∞ . Podemos ter

tambem, formas indeterminadas do tipo ∞−∞ , −∞∞ e −∞−∞ , dependendo dos sinais dos limites de f e de g.

Outra forma indeterminada aparece quando estudamos funcoes da forma h(x) = f(x) − g(x). Neste caso, selimx→a

f(x) = limx→a

g(x) =∞, diz-se que limx→a

h(x) tem a forma indeterminada ∞−∞.

Alem destas, outras formas indeterminadas podem aparecer no calculo de limites do tipo limx→a

f(x)g(x). Neste caso,

dependendo dos limites de f e de g, quando x→ a podemos ter indeterminacoes do tipo 1∞, 00 e ∞0.Resumindo, sao 7 os tipos de formas indeterminadas, a saber :

377

Page 394: texto completo em PDF

378 Cap. 27 Regras de L’Hopital

0

0

∞∞

∞−∞ 1∞ 00 ∞0 e 0∞

Nesta secao introduziremos um metodo sistematico e facil para calcular certos limites envolvendo formas indeter-minadas. Este metodo, chamado Regra de L’Hopital, apareceu por volta de 1696 e tem esse nome em homenagem aonobre frances, Marques de L’Hopital (1661-1704), a quem foi atribuıda a sua descoberta, mas na verdade, dizem asmas lınguas, o trabalho e do matematico suıco John Bernoulli (1667-1748), que o Marques havia contratado como seuprofessor de matematica.

A seguir, veremos as varias formas e as aplicacoes do que se convencionou chamar de Regras de L’Hopital.

27.2 Primeira regra de L’Hopital

Sejam f e g funcoes derivaveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um ponto a de I. Suponha que, paratodo x 6= a em I, g′(x) 6= 0. Se

limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0

e

limx→a

f ′(x)

g′(x)= L , entao lim

x→a

f(x)

g(x)= L .

As figuras a seguir ajudam a visualizar o porque de esta regra ser verdadeira. A primeira figura mostra os graficosde duas funcoes derivaveis f e g que se aproximam de zero quando x → a. Na figura da direita, temos um zoomnas proximidades do ponto (a, 0) dos graficos destas funcoes. Como as funcoes sao localmente lineares, pois saoderivaveis (veja Cap.20 ), nas proximidades deste ponto seus graficos sao quase retas. Se os graficos destas funcoesfossem realmente retas, entao a razao entre as funcoes seria dada por

m1 (x− a)

m2 (x− a)=m1

m2,

que e a razao entre suas derivadas. Esta interpretacao geometrica sugere que

limx→a

f(x)

g(x)= limx→a

f ′(x)

g′(x).

–14

–12

–10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

a

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

a

Demonstracao Na demonstracao da regra de L’Hopital utilizaremos o teorema do valor medio de Cauchy. Comoas hipoteses nao garantem que f e g sejam definidas em x = a, consideraremos duas novas funcoes F e G que estendemas funcoes f e g e sao contınuas em x = a, a saber:

f(x) =f(x) x 6= a0 x = a

G(x) =g(x) x 6= a0 x = a

Vamos demonstrar a regra quando x→ 0+. Para isso, considere x > a em I. Assim, as funcoes F e G sao contınuasno intervalo fechado [a, x] e derivaveis em (a, x]. Logo, aplicando o teorema do valor medio de Cauchy no intervalo[a, x], tem-se

F (x)− F (a)

G(x)−G(a)=F ′(c)

G′(c),

Page 395: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 379

onde c e algum numero tal que a < c < x. Pelas definicoes dadas para F e G, temos

f(x)

g(x)=f ′(c)

g′(c).

Como a < c < x entao, quando x→ a, tambem c→ a. Como por hipotese limc→a

f ′(c)

g′(c)= L, entao

limx→a+

f(x)

g(x)= limx→a+

f ′(c)

g′(c)= limc→a+

f ′(c)

g′(c)= L.

A demonstracao para o caso em que x→ a− e analoga e e deixada como exercıcio.

Observacao A regra tambem e valida se a ou L forem substituıdos por +∞ ou por −∞. Deixamos como exercıciosua demonstracao.

Exemplo 1 Calcule limx→0

sen(x2)

x.

Solucao Neste caso aparece a forma indeterminada 00 . Como

limx→0

(sen(x2))′

x′= limx→0

cos(x2) 2x = 0,

a primeira regra de L’Hopital garante que limx→0

sen(x2)

x= 0 .

Exemplo 2 Calcule limx→0

ex − e−x

sen(x).

Solucao Novamente, aparece a forma indeterminada 00 e, como

limx→0

(ex − e−x)′

(sen(x))′= limx→0

ex + e−x

cos(x)= 2,

a primeira regra de L’Hopital garante que limx→0

ex − e−x

sen(x)= 2.

27.3 Segunda regra de L’Hopital

Sejam f e g funcoes derivaveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um ponto a de I. Suponha que, paratodo x 6= a em I, g′(x) 6= 0. Se lim

x→af(x) = ±∞, lim

x→ag(x) = ±∞ e

limx→a

f ′(x)

g′(x)= L , entao lim

x→a

f(x)

g(x)= L .

Observacao Os numeros a e L podem ser ∞ ou −∞.

A demonstracao desta regra nao sera apresentada neste texto, mas pode ser encontrada em livros de Calculoavancado.

Exemplo 1 Calcule limx→0+

x ln(x).

Solucao Neste exemplo aparece uma indeterminacao do tipo 0× (−∞). Para podermos aplicar uma das regrasde L’Hopital, devemos transforma-la em uma das indeterminacoes

(00

)ou(∞∞).

Para isso, observe que

limx→0+

x ln(x) = limx→0+

ln(x)1x

=−∞∞

.

Page 396: texto completo em PDF

380 Cap. 27 Regras de L’Hopital

Podemos agora aplicar a segunda regra de L’Hopital e obter

limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1

x (− 1x2 )

= limx→0+

(−x) = 0.

Exemplo 2 Calcule

(a) limx→∞

ex

x(b) lim

x→∞

x

ex

Solucao (a) limx→∞

ex

x=(∞∞

). Assim, pela segunda regra de L’Hopital,

limx→∞

(ex)′

(x)′= limx→∞

ex =∞ ⇒ limx→∞

ex

x=∞ .

(b) limx→∞

x

ex=(∞∞

). Logo, pela segunda regra de L’Hopital,

limx→∞

(x)′

(ex)′= limx→∞

1

ex= 0⇒ lim

x→∞

x

ex= 0 .

Exemplo 3 Calcule limx→0+

xx.

Solucao limx→0+

xx = [00]. No caso de formas indeterminadas envolvendo potencias, utilizamos a definicao destas

funcoes para obter a igualdade xx = e(x ln(x)). Observando, agora, que a exponencial e uma funcao contınua, podemosescrever

limx→0+

xx = e

(limx→0+

x ln(x))

= e0 = 1 .

Exemplo 4 Calcule limx→0

(1

x2− 1

x2 cos(x)

).

Solucao limx→0

1

x2− 1

x2 cos(x)= (∞−∞). Para aplicar uma das regras de L’Hopital precisamos transformar a

indeterminacao (∞−∞) em uma das duas formas 00 ou ∞∞ . Em geral, isto e feito efetuando-se a operacao algebrica

indicada. Assim,

1

x2− 1

x2 cos(x)=

cos(x)− 1

x2 cos(x).

Como o limite do lado direito da ultima expressao recai numa indeterminacao do tipo 00 , podemos aplicar a primeira

regra de L’Hopital e obter

limx→0

(cos(x)− 1)′

(x2 cos(x))′= limx→0

−sen(x)

2x cos(x)− x2 sen(x)=

(0

0

).

Neste caso, podemos aplicar novamente a primeira regra de L’Hopital. Assim,

limx→0

−sen(x)

2x cos(x)− x2 sen(x)= limx→0

(−sen(x))′

(2x cos(x) + x2 sen(x))′= limx→0

−cos(x)

2 cos(x) + 2x sen(x) + x2 cos(x)= −1

2.

Portanto,

limx→0

(1

x2− 1

x2 cos(x)

)= −1

2.

Page 397: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 381

27.4 Exercıcios

1. Calcule os limites abaixo:

(a) limx→a

x− ax3 − a3

(b) limx→n

ln( xn )

n− x

(c) limx→3

x2 − 6x+ 9

x2 − 5x+ 6

(d) limx→0

arcsen(x)

x

(e) limx→0

2x − 3x

x

(f) limx→∞

arctg( 2x )

1x

(g) limx→0

ln(x)

cotg(x)

(h) limx→∞

x3

ex

(i) limx→0

1

sen(x)− 1

x

(j) limx→(π2 )

tg(x)cotg(x)

(k) limx→0

(x+ 1)cotg(x)

(l) limx→0

arcsen(x) cossec(x)

(m) limx→0

1

x− 1

ln(1 + x)

(n) limx→∞

x( 1x )

(o) limx→0

sen(x)( 1ln(x)

)

2. Calcule limx→∞

√x2 − 1

x. Voce pode verificar que, neste caso, as regras de L’Hopital de pouco adiantam.

3. Seja f(x) =

sen(x)x , se x 6= 0

1 , se x = 0. Calcule f ′(0) e f ′′(0).

4. Sejam f(x) = x2 sen(1

x) e g(x) = x. Verifique que

(a) limx→0

f(x) = limx→0

g(x) = 0.(b) lim

x→0

f(x)

g(x)= 0.

(c) limx→0

f ′(x)

g′(x)nao existe. (Releia novamente a primeira regra de L’Hopital e mostre o que este exercıcio

esclarece naquela regra!)

5. Suponha que a temperatura de uma longa e fina barra de metal colocada ao longo do eixo x seja dada inicialmente

por

C2 a , se |x | ≤ a0 , se |x | > a

. Pode-se mostrar que se a difusividade termica da barra e k, entao a temperatura da

barra num ponto x dela mesma, em qualquer instante de tempo t posterior, e dada por

T (x, t) =C

a√

4π kt

∫ a

0

e−(x−u)2

4 kt du.

Para encontrar a distribuicao de temperatura na barra resultante de uma fonte de calor inicial concentrada naorigem, e preciso calcular lim

a→0T (x, t). Use a regra de L’Hopital para calcular este limite.

Page 398: texto completo em PDF

Capıtulo 28

Integrais Improprias

28.1 Introducao

A existencia da integral definida∫ baf(x) dx, onde f e contınua no intervalo fechado [a, b], e garantida pelo teorema

fundamental do calculo. Entretanto, determinadas aplicacoes do Calculo nos levam a formulacoes de integrais em que:

1. ou o intervalo de integracao nao e limitado;

2. ou o integrando tem uma descontinuidade infinita em algum ponto do intervalo [a, b].

Nosso objetivo neste capıtulo e definir e calcular integrais deste tipo, chamadas integrais improprias.

28.2 Exemplos

A integral

∫ ∞0

e−x2

dx e um exemplo do caso 1, acima.

Podemos interpretar, geometricamente, esta integral como a area da regiao nao-limitada abaixo da curva y = e−x2

,acima do eixo x e a direita do eixo y.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x

Como esta regiao e ilimitada, poderıamos esperar que a sua area tambem o fosse. No entanto, o grafico pareceindicar que a partir de x = 2 a area sob a curva e muito pequena e diminui cada vez mais a medida que x aumenta.

Dessa maneira e possıvel esperar que, a partir de x = 2, os acrescimos a area representada pela integral

∫ 2

0

e−x2

dx

sejam tao pequenos que a area total da regiao nao ultrapasse um determinado valor. De fato, avaliando a integral∫ b

0

e−x2

dx, para b = 2, temos

> evalf(int(exp(-x^2),x=0..2));

.8820813910

Continuando a calcular o valor desta integral para valores de b sucessivamente maiores, obtemos

> evalf(int(exp(-x^2),x=0..5));

.8862269255

> evalf(int(exp(-x^2),x=0..6));

.8862269255

> evalf(int(exp(-x^2),x=0..10));

382

Page 399: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 383

.8862269255

> evalf(int(exp(-x^2),x=0..15));

.8862269255

Repare que a partir de b = 5 o valor da integral, calculado com 10 dıgitos, se estabiliza e parece convergirpara um determinado valor. Como o integrando e estritamente positivo, o valor da integral deve crescer a medidaque aumentamos o intervalo de integracao. No entanto, o valor desta integral jamais ultrapassa um determinadolimite. Esta afirmacao pode ser visualizada no diagrama abaixo. Neste diagrama tracamos o grafico da funcao areaA(x) =

∫ x0e−t

2

dt para valores de x cada vez maiores.

.8

.6

.4

.2

6.5.4.3.2.1.0

.8

.6

.4

.2

5.4.3.2.1.0

.8

.6

.4

.2

4.3.2.1.0

.8

.6

.4

.2

3.2.1.0

.8

.6

.4

.2

2.1.0

.6

.4

.2.1

1..8.6.4.20

De acordo com o diagrama, o grafico da primitiva

∫ x

0

e−t2

dt parece ter uma assıntota horizontal. Se usarmos o

Maple para calcular o limite, obteremos> Limit(Int(exp(-t^2),t=0..x),x=infinity):> %=limit(int(exp(-t^2),t=0..x),x=infinity);

limx→∞

∫ x

0

e−t2

dt =1

2

√π.

Definimos, entao, a area da regiao ilimitada como sendo igual a este valor-limite.

Um exemplo do caso 2 e dado pela integral

∫ 1

0

1√xdx, que tambem pode ser interpretada como a area da regiao

ilimitada sob a curva y = 1√x

, de x = 0 a x = 1.

0

2

0.5 1 1.5x

Como no Exemplo 1, calculemos o valor da integral

∫ 1

a

1√xdx para varios valores de a, cada vez mais proximos

de zero:

> F:=a->int(1/sqrt(x),x=a..1):

> F(0.1);

1.367544468

> F(0.01);

1.800000000

> F(0.00001);

Page 400: texto completo em PDF

384 Cap. 28 Integrais Improprias

1.993675445

> F(0.10^15);

1.999999937

> F(0.1^16);

1.999999980

> F(0.1^17);

1.999999994

> F(0.1^18);

1.999999998

> F(0.1^19);

1.999999999

> F(0.1^20);

2.000000000

Estes valores parecem indicar que a primitiva F (x) =

∫ 1

x

1√tdt se aproxima de 2, quando x se aproxima de 0. De

fato, usando o Maple para calcular limx→0+

∫ 1

x

1√tdt, obtemos

> Limit(Int(1/sqrt(t),t=x..1),x=0,right)=limit(F(a),a=0);

limx→0+

∫ 1

x

1√tdt = 2.

Assim, dizemos que a area da regiao ilimitada estudada neste exemplo e igual a 2.

Tendo em vista estes dois exemplos, podemos concluir que podemos definir integrais sobre intervalos nao limitadoscomo o limite de integrais sobre intervalos limitados (como foi feito no exemplo 1) e como o limite de integrais defuncoes contınuas, no caso de o integrando apresentar descontinuidades infinitas no intervalo de integracao, como foifeito no segundo exemplo. Estas definicoes serao formalizadas nas proximas secoes.

28.3 Limites de integracao infinitos

Integral impropria sobre [a,∞)

Seja f uma funcao contınua no intervalo [a,∞). Definimos

∫ ∞a

f(x) dx = limb→∞

∫ b

a

f(x) dx,

se este limite existir. Neste caso, dizemos que a integral converge ou e convergente. Se o limite nao existe, dizemosque a integral diverge ou e divergente. Se a funcao f e positiva e a integral converge, ela representa a area sob o graficode f no intervalo [a,∞).

Exemplo Estude a convergencia das seguintes integrais improprias.

(a)

∫ ∞0

e(−x) dx (b)

∫ ∞1

1

xdx (c)

∫ ∞0

sen(x) dx (d)

∫ ∞1

1

(x+ 1)3dx.

Solucao

(a)

∫ ∞0

e(−x) dx = limb→∞

∫ b

0

e(−x) dx = limb→∞

−e−x∣∣b0

= limb→∞

1− e(−b) = 1.

Page 401: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 385

Logo, a integral e convergente. Como o integrando e sempre po-sitivo, o valor desta integral representa a area da regiao ilimitadasob o grafico da funcao e−x para x > 0. 0

1

2 4x

(b)

∫ ∞1

1

xdx = lim

b→∞[ln(x)]

bx=1 = lim

b→∞ln(b) = + ∞. Logo, a integral e divergente.

(c)

∫ ∞0

sen(x) dx = limb→0

[−cos(x)]bx=0 = lim

b→∞(1− sen(b)). Como este limite nao existe, a integral e divergente.

(d)

∫ ∞1

1

(x+ 1)3dx = lim

b→0

[− 1

2 (x+ 1)2

]bx=1

= limb→∞

(− 1

2 (b+ 1)2+

1

8

)=

1

8.

Logo, a integral e convergente e representa a area da regiao ilimi-tada mostrada ao lado.

0

2

2 4x

Integral impropria sobre (−∞, b]

Seja f contınua no intervalo (−∞, b]. Definimos∫ b

−∞f(x) dx = lim

a→−∞

∫ b

a

f(x) dx

se este limite existe. Neste caso dizemos que a integral converge ou e convergente. Se o limite nao existe, dizemos quea integral diverge ou e divergente. Se f e positiva no intervalo (−∞, b], podemos interpretar esta integral como a areade uma regiao, como foi feito nos casos anteriores.

ExemploEstude a convergencia das seguintes integrais improprias:

(a)

∫ 2

−∞

8

(4− x)2dx (b)

∫ −1

−∞

1

xdx

Solucao (a)∫ 2

−∞

8

(4− x)2dx = lim

a→−∞

∫ 2

a

8

(4− x)2dx = lim

a→−∞

[− 8

4− x

]2

a

= lima→−∞

4− 8

4− a= 4.

Logo, a integral e convergente e seu valor representa a area daregiao ilimitada mostrada ao lado.

0

2

–6 –4 –2 2x

(b)

∫ −1

−∞

1

xdx = lim

a→(−∞)−ln(|a|) = −∞. Logo, a integral diverge.

Page 402: texto completo em PDF

386 Cap. 28 Integrais Improprias

Integral impropria sobre (−∞, ∞)

Seja f uma funcao contınua na reta,isto e, em (−∞,∞). Definimos∫ ∞−∞

f(x) dx =

∫ c

−∞f(x) dx+

∫ ∞c

f(x) dx

para qualquer escolha conveniente de c, desde que ambas as integrais improprias a direita sejam convergentes.

Observacao A integral∫∞−∞ f(x) dx nao e necessariamente igual a lim

c→∞

∫ c

−cf(x) dx (veja Exemplo (b) e Exercıcio

3, deste capıtulo).

ExemploEstude a convergencia das seguintes integrais improprias:

(a)

∫ ∞−∞

[arctg(x)]2

1 + x2dx (b)

∫ ∞−∞

x dx

Solucao (a) ∫ ∞−∞

[arctg(x)]2

1 + x2dx =

∫ 0

−∞

[arctg(x)]2

1 + x2dx+

∫ ∞0

[arctg(x)]2

1 + x2dx

= lima→−∞

∫ 0

a

[arctg(x)]2

1 + x2dx+ lim

b→∞

∫ b

0

[arctg(x)]2

1 + x2dx

= lima→−∞

− [arctg(a)]3

3+ limb→∞

[arctg(b)]3

3

=π3

24+π3

24=π3

12.

(b) Observe que limx→∞

(x2

2− c2

2

)= ∞, para qualquer escolha de c. Logo, a integral e divergente. Repare, porem,

que limc→∞

∫ c

−cx dx = 0.

28.4 Integrandos infinitos em intervalos finitos

1. Se f e contınua em (a, b] e

∣∣∣∣ limx→a+

f(x)

∣∣∣∣ =∞, define-se

∫ b

a

f(x) dx = limt→a+

∫ b

t

f(x) dx.

2. Se f e contınua em [a, b) e

∣∣∣∣ limx→b−

f(x)

∣∣∣∣ =∞, define-se

∫ b

a

f(x) dx = limt→b−

∫ t

a

f(x) dx.

Em ambos os casos, se o limite existe, diz-se que a integral converge ou e convergente. Se o limite nao existe,diz-se que a integral diverge ou e divergente.

3. Se f e contınua em [a, b], exceto em um ponto c de (a, b), e se um ou ambos os limites laterais sao infinitos,define-se ∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx,

desde que ambas as integrais improprias a direita sejam convergentes.

Page 403: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 387

Exemplo Estude a convergencia das seguintes integrais improprias:

(a)

∫ 4

0

1√xdx (b)

∫ 4

−2

1

xdx (c)

∫ √2

−√

2

1√2− x2

dx (d)

∫ √2

−√

2

1

2− x2dx.

Solucao (a) lima→0+

∫ 4

a

1√xdx = lim

a→0+(4− 2

√a) = 4. Logo∫ 4

0

1√xdx = 4. Neste caso, como o integrando e positivo, este va-

lor representa a area da regiao ilimitada sob o grafico de y = 1√x

,

no intervalo [0, 4].0

2

4

2 4x

(b)

∫ 4

−2

1

xdx =

∫ 0

−2

1

xdx+

∫ 4

0

1

xdx, se estas integrais forem convergentes.

A segunda integral ∫ 4

0

1

xdx = lim

a→0+

∫ 4

a

1

xdx = lim

a→0+(ln(4)− ln(a)) = +∞

Logo, a

∫ 4

−2

1

xdx e divergente.

(c)

∫ √2

−√

2

1√2− x2

dx =

∫ 0

−√

2

1√2− x2

dx +

∫ √2

0

1√2− x2

dx.

A integral ∫ √2

0

1√2− x2

dx = limb→√

2−

∫ b

0

1√2− x2

dx = limb→√

2−

(arcsen(

b√

2

2)

)=π

2.

Da mesma maneira, ∫ 0

−√

2

1√2− x2

dx =π

2e, portanto,

∫ √2

−√

2

1√2− x2

dx = π

(d)

∫ √2

−√

2

1

2− x2dx =

∫ 0

−√

2

1

2− x2dx +

∫ √2

0

1

2− x2dx.

A integral ∫ √2

0

1

2− x2dx = lim

b→√

2−

∫ b

0

1

2− x2dx = lim

b→√

2−

√2 ln( b+

√2√

2−b )

4= +∞ .

Portanto a integral

∫ √2

−√

2

1

2− x2dx e divergente.

28.5 Teste da comparacao

Algumas vezes e impossıvel calcular o valor exato de uma integral impropria, mas, mesmo assim, e importante decidirse tal integral e convergente ou divergente. O teorema a seguir e util em tais casos.

Teorema: Teste da comparacaoSuponha que f e g sejam funcoes contınuas tais que f(x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo x ≥ a, onde a e um numero real.

(a) Se

∫ ∞a

f(x) dx e convergente, entao

∫ ∞a

g(x) dx tambem e convergente.

Page 404: texto completo em PDF

388 Cap. 28 Integrais Improprias

(b) Se

∫ ∞a

g(x) dx e divergente, entao

∫ ∞a

f(x) dx tambem e divergente.

Um teorema analogo pode ser enunciado para integrais improprias do segundo tipo.Nao faremos a demonstracao deste teorema, porem este resultado e geometricamente intuitivo. Como para x ≥ a,

f e g sao positivas, as integrais

∫ ∞a

f(x) dx e

∫ ∞a

g(x) dx representam areas. Assim, se a area sob a curva y = f(x)

e finita, entao a area sob a curva y = g(x), que esta abaixo da outra, pois f(x) ≥ g(x) para x ≥ a, tambem deveser finita. Por outro lado, se a area sob a curva y = g(x) e infinita, o mesmo deve acontecer com a area sob a curvay = f(x).

a

Exemplo Mostre que

∫ ∞0

e−x2

dx e convergente.

Solucao Nao podemos calcular este limite diretamente, pois nao existe uma funcao elementar que seja a primitiva

da funcao y = e−x2

. Por isso vamos aplicar o teste da comparacao para mostrar que

∫ ∞0

e−x2

dx e convergente.

Para x ≥ 1, temos que x2 ≥ x⇒ −x2 ≤ −x⇒ e−x2 ≤ e−x. Assim, temos que∫ ∞

1

e−x2

dx ≤∫ ∞

1

e−x dx. (∗)

A integral

∫ ∞1

e−x dx e facil de calcular. De fato,

∫ ∞1

e−x dx = limt→∞

∫ t

1

e−x dx = limt→∞

[−e−x

]t1

= limt→∞

(−e−t + e−1) = e−1. (∗∗)

Tendo em vista (*) e (**), o teste da comparacao garante que

∫ ∞1

e−x2

dx converge. Mas,

∫ ∞0

e−x2

dx =

∫ 1

0

e−x2

dx+

∫ ∞1

e−x2

dx = A1 +A2,

onde A1 e A2 sao as areas das regioes assinaladas na figura:

A2

A1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3x

Como A1 e a area de uma regiao finita e, como mostramos acima, A2 e convergente, podemos concluir que∫ ∞0

e−x2

dx converge.

Page 405: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 389

28.6 Exercıcios

1. Estude a convergencia das seguintes integrais:

(a)

∫ ∞0

10 e(−10 x) dx

(b)

∫ 1

0

ln(x) dx

(c)

∫ 2 a

0

1

(x− a)2dx

(d)

∫ π2

0

tg(x) dx

(e)

∫ ∞0

e(−√x)

√x

dx

(f)

∫ ∞1

2(−x) dx

(g)

∫ ∞−∞

e(−|x|) dx

(h)

∫ ∞e

1

x ln2 xdx

(i)

∫ 5

1

x√5− x

dx

(j)

∫ 1

0

x ln(x) dx

(k)

∫ 4

0

1

(x− 3)2dx

2. A trombeta de Gabriel e a superfıcie de revolucao obtida aogirarmos a curva y = 1

x , 1 ≤ x, em torno do eixo x, conformemostra a figura ao lado.

(a) Mostre que a area sob a curva y = 1x , 1 ≤ x, e infinita.

(b) Mostre que o volume do solido de revolucao delimitadopela trombeta de Gabriel e finito.

–1

0

0.5

1

1.52

2.53

–1

0.5

1

(c) Mostre que a area da superfıcie (veja o Cap.24.12 ) da trombeta de Gabriel e infinita. Sugestao: Comparecom a parte (a).Moral da historia: Para pintar a trombeta de Gabriel, primeiro encha-a de tinta, depois balance e jogue atinta fora!!!

3. Mostre que

∫ ∞−∞

1 + x

1 + x2dx diverge, mas que lim

c→∞

∫ c

−c

1 + x

1 + x2dx = π.

4. A regiao plana limitada acima pelo grafico def(x) =

√x e−

x4 , x ≥ 0 e abaixo pelo eixo x (veja o

grafico ao lado) e girada em torno do eixo x, obtendo-se umsolido de revolucao. Calcule o volume deste solido.

0

0.5

2 4 6 8 10x

5. Use o teste da comparacao para decidir se as seguintes integrais sao convergentes ou divergentes:

(a)

∫ ∞1

sen2 x

xdx

(b)

∫ ∞1

dx

x+ e2 x

(c)

∫ ∞1

1√x3 + 1

dx

(d)

∫ π2

0

dx

x senx

(e)

∫ 1

0

e−x√xdx

6. Calcule a integral

∫ ∞0

1√x (1 + x)

dx.

Observacao: Repare que o intervalo de integracao e ilimitado e que o integrando se torna ilimitado em x = 0.

7. Ache os valores de p para os quais as integrais abaixo convergem:

(a)∫ 1

01xp dx (b)

∫ 1

0xp lnx dx.

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390 Cap. 28 Integrais Improprias

8. Se f(t) e contınua para t ≥ 0, a transformada de Laplace de f e a funcao F definida por

F (s) =

∫ ∞0

f(t) e−st dt.

O domınio de F e o conjunto de todos os numeros s para os quais a integral converge.

(a) Ache a transformada de Laplace de f(t) = 1; f(t) = et e f(t) = t.

(b) Mostre que se 0 ≤ f(t) ≤ M eat, para t ≥ 0, onde M e a sao constantes, entao a transformada de LaplaceF (s) existe para s > a.

(c) Suponha que 0 ≤ f(t) ≤M eat e 0 ≤ f ′(t) ≤ K eat para todo t ≥ 0 onde f ′ e contınua. Se a transformadade Laplace de f(t) e F (s) e a transformada de Laplace de f ′(t) e G(s), mostre que

G(s) = s F (s)− f(0), s > a.

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Apendice A

Funcoes Contınuas

Elaine Machtyngier

A.1 Teorema de Bolzano

Se f e uma funcao contınua sobre um intervalo fechado [a, b], e f(a) e f(b) tem sinais contrarios, entao existe pelomenos um ponto c ∈ (a, b), tal que f(c) = 0.

A ideia da demonstracao analıtica do teorema nos parece muito simples. Consideremos o conjunto A, que contemtodos os numeros x de [a, b] tais que f e negativa em [a, x]. Como f e negativa em a e positiva em b, pela continuidadeda funcao o conjunto A contem alguns pontos maiores do que a.

Suponhamos agora que c e o menor numero que e maior que todos os elementos de A: evidentementea < c < b. A ideia e mostrar que f(c) = 0. Para isso basta provarmos que as possibilidades f(c) < 0 e f(c) > 0 levama contradicao.

Se f(c) < 0, pela continuidade da funcao, existe um intervalo aberto I, pequeno, contendo c, tal que ∀x ∈ I, f(x) <0. Em particular esta desigualdade vale para algum x maior do que c; mas como I ⊂ A, isto contradiz o fato de que ce maior do que qualquer elemento de A. Portanto, como a possibilidade f(c) < 0 conduz a uma contradicao, podemoselimina-la.

A unica possibilidade que resta e se f(c) > 0, novamente pela continuidade da funcao, existe um intervalo abertoI, pequeno, contendo c, tal que ∀x ∈ I, f(x) > 0, em particular para algum x menor do que c. Isto significa que estenumero nao esta em A, e assim poderıamos ter escolhido um numero menor do que c que ainda seria maior do quetodos os elementos de A. Novamente temos uma contradicao. Logo, f(c) > 0 tambem pode ser eliminada. Portanto,f(c) = 0 e a demonstracao esta terminada.

A demonstracao feita acima so foi possıvel por termos escolhido c como sendo o menor numero que e maiorque todos os elementos de A. E claro que sempre podemos escolher um numero c maior que todos os elementos deA. Basta fazer, por exemplo, c = b, mas nao e tao claro que podemos escolher o menor de todos. De fato, suponhamosque A seja o conjunto de todos os numeros racionais x ≥ 0 tais que x2 < 2. Como o numero

√2 nao e racional, nao

existe o menor numero racional maior que todos os elementos de A: para qualquer y tal que y2 > 2, racional, queescolhermos, sempre poderemos encontrar outro menor. Entretanto, sabemos que

√2 e o numero real que procuramos,

ou seja, neste exemplo verificamos que o conjunto dos numeros reais satisfaz uma nova propriedade que enunciaremos,rigorosamente, a seguir.

Definicao A.1.1 Seja A um conjunto de numeros reais. Se existe um numero x tal que x ≥ a para todo a ∈ A,dizemos que A e limitado superiormente, e chamamos x de cota superior de A.

Cotas inferiores sao definidas de modo analogo, ou seja:

Definicao A.1.2 Um conjunto A de numeros reais e limitado inferiormente se existe um numero x tal que x ≤ apara todo a ∈ A, e chamamos x de cota inferior de A.

Se A e limitado superior e inferiormente, dizemos que A e limitado.Os conjuntos R dos numeros reais, Z dos numeros inteiros e N dos numeros naturais sao exemplos de conjuntos que

nao sao limitados superiormente (nem inferiormente nos dois primeiros casos). Um exemplo de um conjunto limitadosuperiormente e:

A = a | 2 ≤ a < 5 .

Para demonstrar que A e limitado superiormente basta exibir uma cota superior de A; por exemplo, 273 e uma cotasuperior de A, e igualmente 7, 6 1

2 , 516 e 5. Evidentemente, 5 e a cota superior mınima de A. Mesmo que a expressao

que acabamos de introduzir seja compreendida por si mesma, vamos dar uma definicao explıcita.

391

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392 Ap. A Funcoes Contınuas

Definicao A.1.3 Seja A limitado superiormente. Suponhamos que x tenha as seguintes propriedades:(a) x e uma cota superior de A;(b) se y e uma cota superior de A, entao x ≤ y.Nestas condicoes, x e uma cota superior mınima de A e e chamado supremo de A. Usamos a abreviacao “sup” paradesignar o supremo de um conjunto.

Observacao A.1.1 Se x = supA e y = supA, entao x = y. De fato: x ≤ y, pois y e uma cota superior e x = supA,e y ≤ x, pois x e uma cota superior e y = supA, logo x = y.

De modo analogo, definimos:

Definicao A.1.4 Um numero x e uma cota inferior maxima de A se:(a) x e uma cota inferior de A;(b) se y e uma cota inferior de A, entao x ≥ y.A cota inferior maxima de A e tambem chamada ınfimo de A. Usamos a abreviacao “inf” para designar o ınfimo deum conjunto.

Exemplos(a) Seja A o conjunto de todos os numeros da forma 1/n, com n = 1, 2, 3, . . .. A e limitado e supA = 1 e infA = 0.Note que, neste caso, o sup pertence ao conjunto, enquanto o inf nao pertence. De modo geral, o sup (ou o inf) deum conjunto pode ou nao pertencer ao conjunto.(b) Seja A o conjunto de todos os numeros reais nao negativos. A e limitado inferiormente, porem nao o e superior-mente e infA = 0.

Naturalmente surge a questao: quais sao os conjuntos que tem uma cota superior mınima ou uma cota inferiormaxima? Consideraremos apenas o problema das cotas superiores mınimas, ja que com ele as questoes relativas acotas inferiores maximas serao resolvidas facilmente por analogia.

Sabemos que se A nao e limitado superiormente, entao A nao tem cota superior e portanto nao tem cota superiormınima. Alem disso, nao podemos afirmar que todos os conjuntos que tem uma cota superior terao uma cota superiormınima, basta olharmos por exemplo o conjunto A dos numeros racionais positivos x, tais que x2 > 2 discutidoanteriomente. Porem, existe a cota superior mınima deste conjunto se a procuramos no conjunto dos numeros reais.

Propriedade da cota superior mınima Se A e um conjunto nao-vazio de numeros reais, limitado superiormente,entao A tem uma cota superior mınima.Demonstracao Seja A1 o seguinte conjunto de numeros reais: a1 ∈ A1 ⇔ ∃x ∈ A tal que a1 < x. Seja A2 o conjuntode todos os reais que nao estao em A1. E claro que nenhum elemento de A1 e cota superior de A, enquanto que todoelemento de A2 o e. Para mostrarmos a existencia do supremo, basta verificarmos que A2 possui um mınimo.

Inicialmente observamos que todo numero real esta em A1 ou em A2 e nenhum numero real esta simultaneamenteem A1 e em A2. Alem disso:(a) como A 6= ∅,∃x ∈ A, assim ∀a ∈ R tal que a < x, a ∈ A1 =⇒ A1 6= ∅.(b) como A e limitado superiormente, ∃ y ∈ R tal que x ≤ y,∀x ∈ A =⇒ A2 6= ∅.(c) Se a1 ∈ A1 ⇒ ∃x ∈ A tal que a1 < x e x ≤ a2,∀a2 ∈ A2. Assim, a1 < a2 para todo a1 ∈ A1, a2 ∈ A2.

Portanto, como nao existem “lacunas” ou “buracos” no conjunto dos numeros reais, ∃ γ ∈ R tal que a1 ≤ γ ≤ a2

para todo a1 ∈ A1, a2 ∈ A2. Assim, ou A1 possui maximo, ou A2 possui mınimo.Se a1 ∈ A1 ⇒ ∃x ∈ A tal que a1 < x, consideremos a′1 ∈ R tal que a1 < a′1 < x. Sendo a′1 < x, a′1 ∈ A1, de

modo que a1 nao e o maior numero de A1. Como A1 nao possui maximo, temos que A2 possui mınimo e a prova dapropriedade esta encerrada.

Agora podemos dar uma versao rigorosa da demonstracao do Teorema de Bolzano que desenvolvemos no inıcio dasecao.

Considere o conjunto A = x ∈ R | a ≤ x < b e f(x) ≤ 0 em [a, x]. Como a ∈ A⇒ A 6= ∅ e sendo f contınua em[a, b] com f(a) < 0,∃ δ > 0 tal que A contem todos os x ∈ [a, b] que satisfazem a ≤ x < a+ δ.

Alem disso, A e limitado superiormente, pois b e uma cota superior de A. Tambem, sendo f contınua em [a, b] comf(b) > 0,∃ δ > 0 tal que todos os x que satisfazem b− δ < x ≤ b sao cotas superiores de A.

Pela propriedade demonstrada acima, concluımos que A tem uma cota superior mınima c e que a < c < b.Queremos mostrar que f(c) = 0.

Se f(c) < 0⇒ ∃ δ > 0 tal que f(x) < 0,∀x ∈ (c− δ, c+ δ) e assim existiria x1 ∈ (c, c+ δ), c < x1 tal que f(x1) < 0,mas isto contraria o fato de c ser o supremo de A. Logo, a hipotese de que f(c) < 0 e falsa.

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W.Bianchini, A.R.Santos 393

Se f(c) > 0⇒ ∃ δ > 0 tal que f(x) > 0,∀x ∈ (c− δ, c+ δ). Como c e o supA, sabemos que ∃x0 ∈ A que satisfazc− δ < x0 < c, e isto significa que f e negativa em [a, x0], o que e impossıvel, pois f(x0) > 0. Deste modo, a hipotesef(c) > 0 tambem nos leva a uma contradicao. Portanto, a unica alternativa possıvel e f(c) = 0.

Exercıcios

(1) Demonstre que existe algum x que satisfaz as igualdades abaixo:

(a) x5 + 5x4 + 2x+ 1 = 0 (b) x179 +163

1 + x2 + sen2x= 119 (c) senx = x− 1.

(2) Encontrar a cota superior mınima e a cota inferior maxima dos seguintes conjuntos, caso existam:

(a)

1

n| n ∈ N

.

(b)

1

n| n ∈ Z e n 6= 0

.

(c) x | x = 0 ou x = 1/n para algum n ∈ N.

(d)x | 0 ≤ x ≤

√2 e x e racional

.

(e)x | x2 + x+ 1 ≥ 0

.

(f)x | x2 + x− 1 < 0

.

(g)x | x < 0 e x2 + x− 1 < 0

.

(h)

1

n+ (−1)n | n ∈ N

.

(3) Seja f uma funcao contınua em [a, b] com f(a) < 0 < f(b).(a) A demonstracao do teorema de Bolzano estabeleceu que existe um x mınimo em [a, b] com f(x) = 0. Demonstrarque existe em [a, b] um x maximo com f(x) = 0.(b) Na demonstracao do teorema de Bolzano consideramos o conjunto A = x ∈ R | a ≤ x < b e f(x) ≤ 0 em [a, x].Faca uma outra demonstracao do teorema utilizando o conjunto B = x ∈ R | a ≤ x < b e f(x) ≤ 0. De um exemplono qual os conjuntos A e B nao coincidam.

(4) Suponha que f e contınua em [a, b] e que f(a) = f(b) = 0. Suponha tambem que f(x0) > 0 para algum x0 ∈ [a, b].Demonstrar que existem numeros c e d com a ≤ c < x0 < d ≤ b e tais que f(c) = f(d) = 0, mas f(x) > 0 para todox ∈ (c, d). Sugestao: utilize o problema anterior.

A.2 Teorema dos valores extremos

Seja f uma funcao contınua definida em um intervalo fechado [a, b]. Entao existem numeros c e d no intervalo [a, b]tais que f(c) e o valor maximo e f(d) e o valor mınimo de f em [a, b].

Para demonstrarmos este teorema necessitamos definir alguns conceitos de forma rigorosa.

Definicao A.2.1 Dizemos que um ponto x ∈ R e um ponto de acumulacao do conjunto A ⊂ R se para todo ε > 0existe um ponto a ∈ A tal que |x− a| < ε, x 6= a.

Princıpio do ponto de acumulacaoSe um intervalo finito contem uma infinidade de numeros, estes possuem ao menos um ponto de acumulacao.Demonstracao Inicialmente consideremos o intervalo de 0 ate 1. Dividiremos este intervalo em 10 partes iguaispor meio dos pontos 0,1, 0,2, ..., 0,9. Pelo menos um destes subintervalos deve conter uma infinidade de pontos.Suponhamos que o intervalo que comeca com o numero 0, a1 seja aquele (ou um daqueles, se houver varios) que tem apropriedade mencionada. Subdividiremos, agora, este intervalo em 10 partes iguais empregando os pontos de subdivisao0, a11, 0, a12, ..., 0, a19. Novamente sera verdade que, no mınimo, um desses subintervalos deve conter uma infinidadede pontos; admitamos que seja o subintervalo que comeca com o numero 0, a1a2. Mais uma vez o subdividiremosem dez partes – notando que uma dessas partes deve conter uma infinidade de pontos – e continuaremos o processo.Consideremos, agora, o numero decimal

c = 0, a1a2a3a4 . . .

E claro que este representa um ponto de acumulacao para o nosso conjunto de numeros. Cada intervalo, por menorque seja, em cujo interior estiver situado o ponto c, contera subintervalos do nosso sistema de subdivisao com um certograu de precisao em diante, e estes subintervalos contem uma infinidade de numeros do conjunto.

Se o intervalo considerado fosse desde a ate a + h, nada de essencial seria alterado no raciocınio. O ponto deacumulacao seria representado por um numero da forma a+ h× 0, a1 a2 a3 a4 . . ..

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394 Ap. A Funcoes Contınuas

Demonstracao do teorema dos valores extremosVamos provar que existe c ∈ [a, b] tal que f(c) e o valor maximo da funcao. A demonstracao da existencia de umnumero d ∈ [a, b] tal que f(d) e o valor mınimo da funcao e feita por analogia.

Seja A = y ∈ R | y = f(x) para algum x ∈ [a, b]. Suponhamos que A nao seja limitado superiormente. Destaforma, existe uma sequencia de numeros x1, x2, x3, ..., xn, ..., no intervalo [a, b], para a qual f(xn) cresce alem dequalquer limite. Tal sequencia tem ao menos um ponto de acumulacao x no intervalo considerado. Desta forma,∃ δ > 0 tal que |x − xn| < δ e |f(x) − f(xn)| > 1, e a funcao e descontınua no ponto x, o que contradiz a hipotese.Assim, existe uma cota superior mınima M para o conjunto A. Ou ha um ponto x tal que f(x) = M , e a prova doTeorema estaria terminada, ou existe uma sequencia de numeros x1, x2, x3, ..., xn, . . . no intervalo [a, b] para a qual

limn→∞

f(xn) = M

De acordo com o princıpio do ponto de acumulacao formulado acima, podemos escolher uma subsequencia denumeros xn que convirja para c ∈ [a, b]. Chamemos tal subsequencia c1, c2, c3, ..., cn, ..., de modo que

limn→∞

cn = c.

E certo quelimn→∞

f(cn) = M.

Como a funcao e contınua no intervalo [a, b], e, em particular, no ponto c, temos que

limn→∞

f(cn) = f(c).

Logo, f(c) = M . M e, portanto, o valor da funcao no ponto c, que esta no interior ou sobre os extremos do intervalo[a, b], como querıamos demonstrar.

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Respostas

Jair Salvador

Secao 1.5

1 (a) [1,+∞) (b) (−∞,+∞) (c) nao existe x real que satisfaz a equacao (d) x = 0 (e) nao existe x real que satisfaza equacao

2 (a) (−∞,−3) (b) (−∞, 6) (c) (13, 6) (d) (− 13 ,+∞) (e) (− 7

3 ,+∞) (f) (−∞, 1) (g)(−∞,+∞) (h) (−∞, −1−√

52 )∪

(−1+√

52 ,+∞) (i) (−5, 3) ∪ (4,+∞) (j) (0, 1) (k) (−∞,−1) ∪ (1,+∞) (l) (−∞,+∞)

3 (a) [−1,+∞) (b) 0 ≤ (y − 1)2 = y2 − 2 y + 1

4 (a) (−2, 2) (b) ( 32 ,

52 ) (c)

[54 ,

74

](d)

[54 ,

74

](e)

[2, 9

4

)6 a 6= 0; 1; −1

Secao 1.6

1 (a) W = P2 − L (b) b = 2A

h −B2 (a) 10 a 35 (b) 68 a 86

3 (a) ponto medio : a + b−a2 = a+b

2 (b) 0 ≤ (a − b)2 = a2 − 2 a b + b2 ⇒ 2 a b ≤ a2 + b2 ⇒ 4 a b ≤ a2 + b2 + 2 a b =

(a+ b)2 ⇒√

4 a b ≤√

(a+ b)2 ⇒√a b ≤ a+b

2

4 |a+ b| ≤ |a|+ |b| ⇒ |a| = |a− b+ b| ≤ |a− b|+ |b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b| (b) |a| = |a+ b− b| ≤ |a+ b| + |−b| =|a+ b|+ |b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a+ b|5 (a) |x+ y − 5| = |x− 2|+ |y − 3| ≤ .01 + .04 = .05 (b) |4x+ 13| = |4 (x+ 3) + 1| ≤ |4 (x+ 3)| + 1 = 4 |x+ 3| +1 < 4 1

2 + 1 = 3 ⇒ |4x+ 13| < 3 (c) |x+ y − x0 + y0| = |x− x0 + y − y0| ≤ |x− x0| + |y − y0| < ε2 + ε

2 = ε e|x− y − x0 − y0| = |x− x0 − y − y0| ≤ |x− x0| + |y − y0| < ε

2 + ε2 = ε (d) se |x− x0| < 1 e |x| − |x0| ≤ |x− x0| ⇒

|x| < 1 + |x0| ⇒ |x y − x0 y0| = |x (y − y0) + y0 (x− x0)| ≤ |x| |y − y0| + |y0| |x− x0| < (1+|x0|) ε2 (|x0|+1) + |y0| ε

2 (|y0|+1) <ε2 + ε

2

= ε (e) como |y0| − |y| < |y − y0| e |y − y0| < |y0|2 ⇒ |y0| − |y0|2 < |y|, i.e, |y0|2 < |y| . Entao se y 6= 0, 1

|y| <2|y0| ⇒∣∣∣ 1y − 1

y0

∣∣∣ = |y0−y||y| |y0| <

2|y0|

1|y0|

ε |y0|22 = ε (f) |x− x0| < min

2 ( 1|y0|

+1), 1

)e |y − y0| < min( |y0|2 , ε |y0|2

4 (|y0|+1) )

Secao 2.1.2

1 (a) (−2, 32 ) (b) ( 3

2 ,+∞) (c) t = 32 (d) t = −2

2 as escalas usadas nos eixos x e y sao diferentes

3 d2(A,B) = (1 + 3)2 + (0 − 4)2 = 32, d2(A,C) = (5 + 3)2 + (4 − 4)2 = 64 e d2(B,C) = (5 − 1)2 + (4 − 0)2 = 32 ⇒d2(A,C) = d2(A,B) + d2(B,C), logo A, B e C determinam um triangulo retangulo

5 (a) (2, 3) (b) P1 = (0, y, z) (c) A(0, 3, 0) pertence ao eixo y, B(−2, 0, 0) ao eixo x e C(0, 0, 5) ao eixo z (d) R(4, 0, 2)pertence ao plano xz, S(3,−2, 0) ao plano xy e T (0, 1, 5) ao plano yz (e) P ′(2, 3, 0) (f) 2, 2 e 3 , respectivamente; (g)

|z|, |y| e |x|, respectivamente; (h)

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2+ (z2 − z1)

2; (i) (x1+x2

2 , y1+y22 , z1+z2

2 )

Secao 2.6

1 (a) d2(A,B) = (−3−0)2+(−1−2)2 = 18, d2(A,C) = (−4−0)2+(3−2)2 = 17 e d2(B,C) = (−4+3)2+(3+1)2 = 17,como d(A,C) = d(B,C), o triangulo de vertices A, B e C e isosceles (b) d2(A,B) = d2(B,C) = d2(A,D) = d2(C,D)e d2(A,C) = d2(A,B) + d2(B,C) e d2(B,D) = d2(B,C) + d2(C,D)⇒ A,B,C e D sao vertices de um quadrado (c)AB +BC = (4, 8) + (2, 4) = (6, 8) = AC ⇒ A,B e C sao colineares

2 (a) b = 8 (b) sao paralelas (c) π4 ; π

3

3 (a) k = 3 (b) k = 2 e k = −2 (c) k = 1 e k = 6

4 (a) y = −4x− 5 (b) 7y + 3x = 2 (c) 3y − 2x + 12 = 0 (d) y = −4 (e) x = 1 (f) 3y + x + 2 = 0 (g) 2y + x = 11(h) 3y + 2x = 1

5 (a) m1 = 2 6= m2 = 3, P (1,−2) (b) i. Se B 6= 0, as retas y = −AxB −CB e y = −AxB −

C1

B sao paralelas e sao

coincidentes se C = C1; se B = 0 as retas x = −CA e x = −C1

A sao paralelas e sao coincidentes se C = C1 ii. Se A 6= 0

395

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396 Respostas

e B 6= 0, entao as retas y = −AxB −CB e y = B x

A −C1

A sao perpendiculares; se A = 0 e B 6= 0 ⇒ as retas y = −CB e

x = −C1

B sao perpendiculares; se B = 0 e A 6= 0 ⇒ as retas x = −CA e y = C1

A sao perpendiculares6 (b) i. (4, 9) ii. ( 7

2 , −3)

7 (a) i. (x− 2)2 + (y + 5)2 = 16, C(2,−5) e R = 4 ii. x2 + (y + 3)2 = 7, C(0,−7) e R =√

7 iii. (x+ 12 )2 + y2 = 1

4 ,

C(− 12 , 0) e R = 1

2 i v. (x− 14 )2 + (y + 1

4 )2 = 58 , C( 1

4 ,−14 ) e R =

√58 (b) Se 4 c < a2 + b2 ⇒ (x + a

2 )2 + (y + b2 )2 =

a2+b2

4 − c, C(−a2 ,−b2 ) e R =

√a2+b2−4 c

2

8 (a) (x, y) ∈ R2 : y < x e 0 ≤ y (b) (x, y) ∈ R2 : x = 1; (c) (x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2Secao 2.71

(a)

–2

–1

0

1

2

3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

(b)

–3.8

–3.6

–3.4

–3.2

–3

–2.8

–2.6

–2.4

–2.2

–2

–2 –1 0 1 2

(c)

–2

–1

1

2

–2 –1 1 2

5 y = x− 16 i. coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (a, 0) e (0, b) e dado por m = − b

a , entao, a equacao da reta e

y = − b (x−a)a , e assim, y + b

ax = b, i.e, yb + x

a = 1 ii. x32

+ y3 = 1

7 (a) 4y + 3x = 258 (a) S(t) = 900

11 t (c) m = 90011 (d) a velocidade

9 (a) se a1 b2 6= a2 b1, o sistema admite uma unica solucao, logo, as retas sao concorrentes. Se a1 b2 = a2 b1, c1 b2 = c2 b1e a1 c2 = a2 c1, o sistema admite infinitas solucoes, logo, as retas sao coincidentes. Se a1 b2 = a2 b1 e c1 b2 6= c2 b1 oua1 c2 6= a2 c1, o sistema nao admite solucao, logo as retas sao paralelas distintas; (b) se os planos sao concorrentes, i.e,a intersecao e uma reta, o sistema admite infinitas solucoes; se os planos sao coincidentes, o sistema admite infinitassolucoes; se os planos sao paralelos distintos, o sistema nao admite solucao.Secao 4.82 (a) H(t) = t

2 ; domınio: [0, 16] imagem: [0, 2] (b) A(z) = z2

2 ; domınio: [0,+∞); imagem: [0,+∞)

3 (a) −4; 10; 3√

2; 5 + 7√

2; 2x2 − 3x− 4; 4x2 + 6x− 8; 8x2 + 6x− 4 (b) −3; 42; −x3 + 2x2 − 3; h3 + 5h2 + 7h

4 (a) −h2 − 3h− 2; x+ h− x2 − 2xh− h2; x+h−x2−2 xh−h2

h (b) 2+h3+h ; x+h

x+h+1 ; x+h(x+h+1)h

5 0, 1, 2, 46 (a) [−1, 6], [5, 19] (b) [−2, 3], [−6, 14] (c) R\5/3, R\0 (d) [5/2,+∞), [0,+∞) (e) [−1, 1], [0, 1] (f) (−∞, 7/3],[0,+∞) (g) [0,+∞), (−∞, 1]7 (a) R \ −1, 1 (b) (−∞, 0] ∪ [6,+∞) (c) R \ −3, 2 (d) [0, 1) ∪ [2,+∞) (e) (−∞,−2] ∪ [4,+∞) (f) [0, π) (g) R(h) [1,+∞)8 (a) sim, domınio: R \ 0, imagem: −1, 1 (b) sim, domınio: R; imagem: [3/4,+∞) (c)

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–3 –2 –1 1 2 3x

(a)

1

2

3

4

5

6

7

–3 –2 –1 0 1 2x

(b)

Secao 4.91 C(r) = 0, 5( 2V

r + 2π r2)2 A(h) = (L− 2h)2 + 4h (L− 2h)

3 A(x) = (L−x)2

16 +√

3 x2

36

4 F (C) = 32 + 1, 8C5 S(x) = b

a−bx7 funcoes pares (b) e (e); funcao ımpar: (a); nenhuma das duas: (c) e (d) (g) o grafico de uma funcao par e simetricoem relacao ao eixo y e de uma funcao ımpar e simetrico em relacao a origem (h) a soma de funcoes pares e uma funcaopar e a soma de funcoes ımpares e uma funcao ımpar (i) o produto de funcoes pares e uma funcao par; o produto defuncoes ımpares e uma funcao par; o produto de uma funcao par por uma funcao ımpar e uma funcao ımpar.

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W. Bianchini, A.R.Santos 397

2.00

1.80

1.60

1.40

1.20

1.00

.80

.60

.40

.20

2.1.0–1.–2.

8.

6.

4.

2.

0

–2.

–4.

–6.

–8.

2.1.0–1.–2. x

(b)

x

(a)

–4

–2

0

2

4

y

–2 –1 1 2x

(c)

20.

18.

16.

14.

12.

10.

8.

6.

4.

2.

2.1.0–1.–2.

6.

5.

4.

3.

2.

1.

0 2.1.0–1.–2.–3.

x

(e)

x

(d)

8 (a)> plot([[-5,0],[-4,-2],[-3,4],[-1,1],> [0,2],[1,1],[3,4],[4,-2],[5,0]]);

–2

–1

0

1

2

3

4

–4 –2 2 4

12 (a) v = 60 (b) t = 2 (c) t = 65/9; v = 0 (d) t = 10; v = −20

13 (a)

n∑k=1

(k − 1)2

n3=

1

6

1− 3n+ 2n2

n2(b)

n∑k=1

k2

n3=

1

6

2n2 + 3n+ 1

n2(c)

h (

n∑k=1

(k − 1)2)

n3=

1

6

h (1− 3n+ 2n2)

n2;

h (

n∑k=1

k2)

n3=

1

6

h (n+ 1) (2n+ 1)

n2

Secao 5.61 (a) y = 3 (b) P (−1, 3)2 (a) P (0, 10) (b) P (1, 0) (c) P (3/4, 23/8) (d) P (5, 5/2) (e) (−3/2,−9/2)

3 f ′(x) = 2ax+ b, f ′(x) = 0⇒ x = − b2 a e f(− b

2 a ) = −b2+4 a c4 a ⇒ o vertice da parabola e V (− b

2 a ,−∆4 a )

4 y = −8x− 75 (a) 0 (b) 4 (c) 4x0 − 3 (d) 8x0 (e) 4x0 + 6 (f) sim, pois representa o coeficiente angular da reta tangente a curvadada; neste caso, a curva e a propria reta.Secao 5.71 Quadrado de lado 25 cm2 (a) − 1

f ′x0(b) y = − 1

2x+ 32 , y = 2x− 1 (c) y = (− 1

2 x0)x+ 1

2 + x02 (d) P (1, 1)

4 (a) x = a e x = c (b) x = b; (c) positiva para x < a e para x > c (a funcao e crescente); negativa para a < x < c(a funcao e decrescente)5 (a) 4y + 4x+ 1 = 0 e 4y − 4x+ 1 = 06 (a) i. 0,236067, ii. 0,242640; iii. 0,248456; iv. 0,249843; v. 0,249984; vi. 0,267949; vii. 0,258342; viii. 0,251582; ix.0,250156; x. 0,250016 (b) 0,25 (c) y = 1

4x+ 17 (a) i. −1; ii. −2; iii. −2, 5; iv. −3, 333333; vi. −3, 636363; vii. −3, 603603; viii. −4, 444444; ix. −4, 081632 (b) −4(c) y = −4x+ 4Secao 6.1.21 (a) 0 (b) 0 (c) 0 (d) 3/4 (e) 3/4 (f) 3/4 (g) −∞ (h) +∞2 (a) −∞ (b) −∞ (c) −∞ (d) −∞ (e) +∞ (f) +∞3 (b) i. 3; ii. 1; iii. −1; iv. 3; v. nao existe; vi. nao existe.4 (a) R \ 0 ( b) a reta y = 0 e uma assıntota horizontal e x = 0 e uma assıntota vertical (c) quando x se aproximade zero pela direita, a funcao cresce ilimitadamente, e quando x se aproxima de zero pela esquerda, a funcao decresceilimitadamente.5 (a) R\1 (b) y = 1 e uma assıntota horizontal e x = 1 e uma assıntota vertical (c) quando x se aproxima de 1 peladireita, a funcao cresce ilimitadamente, e quando x se aproxima de 1 pela esquerda, a funcao decresce ilimitadamente.6 (a) domınio: R \ 0; imagem: R \ (−2, 2); x = 0 e uma assıntota vertical e y = x e uma assıntota inclinada. (b)quando x se aproxima de zero pela direita, a funcao cresce sem limite, e quando x se aproxima de zero pela esquerda,a funcao decresce sem limite.Secao 6.6

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398 Respostas

1 (a) 6 (b) −2 (c) 4 (d) 0 (e) 1/42 (a) a funcao nao esta definida para x = 2, logo nao podemos dividir o numerador e o denominador por x− 2 (b)no limite, x se aproxima de 2 sem assumir o valor 2, entao podemos dividir por x− 2, que esta proximo de zero, mase diferente de zero.3 ) 3/4Secao 6.71 (a) −14 (b) −3 (c) −1 (d) −2/3 (e) 6 (f) −1/9 (g) 2/3 (h) 1/4 (i) 4 (j) −3/2 (k) 0 (m) 12 (a) 0 (b) 0 (c) 0 (d) 0 (e) se x→ 2 pela esquerda, 1; se x→ 2 pela direita, −1 (f) 03 (a) 12 (b) 18 (c) 3 (d) m(e) 15 (f) −1/9 (g) 27 (h) representa o coeficiente angular da reta tangente ao graficoda funcao f no ponto (3, f(3))4 (a) 4 x0 (b) 6 x0 (c) x0 (d) m (e) 4 x0 + 3 (f) −1/x0

2 (g) 3x02

6 (a) C(t) = quantidade de sal no instante tvolume no instante t = [30] 25 t

5000+25 t = 30 t200+t (b) C(t)→ 30

7 48 09 (a) limx→∞ x+ 1

x − x = 0 , logo a reta y = x e uma assıntota ao grafico de y = x+ 1x (b) y = x− 2

3Secao 6.8

1 (a) −2 (b) 1/2 (c) 1/2 (d) 4 (e)√

2/4 (f) 2√

23 (g) 1/4 (h) 3 (i) 1 (j) +∞ (k) −∞, se k > 0 e +∞, se k < 0 (l)

1 (m) −1 (n) 0 (o) 0 (p) 3/2 (q) 0 (r) 0 (s) +∞ (t) −∞ (u) +∞ (v) 12 (a) b/a (b) −1 (c) +∞ (d) −1

3 (a) +∞ (b) +∞ (c) 3√

22 (d) −∞ (e) −∞

4 (a) limx→1+ f(x) = 1; limx→1− f(x) = 5 (b) limx→(π4 )+ f(x) =√

22 , limx→(π4 )− f(x) =

√2

2 (c) limx→2+ f(x) = 1,

limx→2− f(x) = −1 (d) no item b, pois os limites laterais sao iguais a√

22

5 (a) a = 1 e b = −1 (b) a = 0 e b = 36 (a) y = −1, x = −2 e x = 2 (b) x = −

√2 e x =

√2 (c) y = 0, x = −2 e x = 2 (d) y = −3 e y = 3, x = −5 e

x = −2 (e) y = 0, x = −2 e x = −3 (f) y = 0 e x = −27 (a) 4 (b) i. 1/2; ii. 0,2; iii. 0,058 (a) nao existe; 3; 3; nao existe (b) a = 1, 00001, δ < 0, 00001; a = 1, 999998, δ < 0, 0000029 (a) δ = min1, ε15 (b) δ = min 1

2 ,ε2

Secao 8.61 (a) −1 , 0 e 2 (b) descontinuidade essencial de salto em x = −1 ,descontinuidade infinita em x = 0 e descontinuidaderemovıvel em x = 23 (a) R − −1, 1, f(1) = 1/2 , desc. inf. em x = −1 (b) R \ 2 , desc. inf. em x = 2 (c) R \ −3, 1, f(1) = 3/4,desc. inf. em x = −3; (d) R \ −1, 1 desc. essencial de salto (e) (−2, 2) (f) R \ 0, f(0) = 0 desc. removıvel (g)R \ 1, f(1) = 2 desc. removıvel.6 (a) g(x) = x2 − x (b) f(x) = x2 + 27 (a) domınio de f : R−−1, g(x) = −x−3

x−1 domınio de g: R\−1, 1 (b) domınio de h: R\−1, g(x) = h(h(x)) = x, domınio de g : R \ 1Secao 8.71 (a) desc. inf. em x = 4 (b) desc. inf. em x = −3 (c) desc. essencial de salto em x = 0 (d) desc. essencial de saltoem x = 3 (e) desc. inf. em y = 0 (f) desc. removıvel em x = −1, f(−1) = 0 (g) desc. essencial de salto em x = 22 α = −3 e β = 43 (a) desc. em (0, 4] , −∞,−2] e (−4, 4) e cont. em (−2, 2), (2,+∞) (b)cont. em (−1, 3) e desc. em [−1, 3], [−1, 3)e (−1, 3] (c) cont. em (−5,+∞) e (3, 7) , desc. em (−∞, 0) e [−6, 4] (d) cont. em (−3, 3), [−3, 3], [−3, 3), (4,+∞) edesc. em (−∞,−3), [3, 4), (3, 4] e (4,+∞)4 (a) [2/3,+∞) exceto em x = 1 (b) (1/4, 1] (c) [2,+∞)5 4Secao 9.2.11 (a) 2, 4/3, −4 (b) representa o coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f no ponto dado2 (a) 0 (c) R (d) f(x) = mx+ k, onde m e k sao constantes e m diferente de zero3 (a) o coeficiente angular da reta (b) a (d) R4 (a) 12 (b) g(x) = 3 a2 x− 2 a3 (c) x = a e x = −2a5 (a) 5x4 (b) 100x99

6 (a) 243; 1875; 3888 (b) 243; 1875; 3888 (c) 3a2; 3a4; 3x4

7 (a) f ′(x) (b) f ′(x + c) (c) cf ′(x) (d) cf ′(cx) (e) c2f ′(cx) (g) i. 5(x + 3)4; ii. 5x4; iii. 8x3; iv. 5(x − 3)4; vi.7(x+ 2)6

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W. Bianchini, A.R.Santos 399

Secao 9.6.21 (a) 6x; (b) 20x3 (c) 4x3 (d) 20(x− 3)3

2 f ′(x) =

3x2, se x ≥ 0−3x2, se x < 0.

; f ′′(x) =

6x, se x ≥ 0−6x, se x < 0

; f ′′′(x) =

6, se x > 0−6, se x > 0

; f ′′′(0) nao existe.

Secao 9.81) (a) a (b) nao, as inclinacoes das retas tangentes a direita de x3 e a esquerda de x3 sao diferentes (c) f ′(x4) < 0 (ainclinacao da reta tangente e negativa) e f ′(x5) > 0 (a inclinacao da reta tangente e positiva)3 (a) y = −2x1x+ x1

2 + 9 (b) 2y = x1x− 12x1

2 (c) y = x+x1+22√x1+1

, nao existe reta tangente horizontal

4 (a) f ′(1) = g′(1) = 6 (b) y = 2x − 8, P (1,−6); y = 10x − 32, P (5, 18) (c) y = 12x − 16, P (2, 8) e y = 3x + 2,P (−1,−1)5 (a) α = 2 e β = −1 (b) α = −1/2; e β = 3/2Secao 9.91 x = 10/3 cm2 f(1) = 1 e f ′(1) = −1/24 (a) y = −x− 1 (b) P (−1, 0)5 (a) k = 1/4 (b) y = 3x+ 2 (c) y = 12x− 16 e y = 3x+ 2 (d) a = 2, b = −3, c = 0, d = 1Secao 10.2

1 (a) 2 (12 x5+16 x4+2 x3−1)x3 (b) 5 (x3 + x2)4 (3x2 + 2x) (x4 − 99) + 4x3 (x3 + x2)5 (c) − 7

(7 x+27)2 (d) − 7 x+5−x( 72)

x( 72) (x+1)2

(e)

2 x9+8 x6+3 x4+3(x3+3)2 x2 (f) − 1 (38 x( 3

2)+21 x−2)

2 x( 32) (7 x−2)2

(g) 6x5 + 5x4 + 4x3 + 3x2 (h) 10 x11+5 x6+4 x5−1x2 (i)

√3 (3 s2 − 2 s) (j) − 1

2

3 y−5

y(72)

2 (a) x3 + C (b) x4 + x3 + C (c) x3 + x2 − 5x + C (d) 1/x + C (e) an x(n+1)

n+1 + an−1 xn

n +...+ a0 x + C, onde C euma constante qualquer3 (a) y′ = 8, y′′ = y′′′ = y′′′′ = 0 (b) f ′ = 16x− 11, f ′′ = 16, f ′′′ = f ′′′′ = 0 (c) g′ = 24x2 + 14x− 1, g′′ = 48x+ 14,

g′′′ = 48, g′′′′ = 0 (d) h′ = 4x3 − 39x2 + 10x + 3, h′′ = 12x2 − 78x + 10, h′′′ = 24x − 78, h′′′′ = 24 (e) y′ = 5 x( 32)

2 ,

y′′ = 15√x

4 , y′′′ = 158√x

, y′′′′ = − 1516 x√x

4 (a) y′′ = −21−x3 (b) y′′ = 2− 6

x4 (c) 41+x3 (d) 6x+ 12

x5 (e) 0

5 (a) y[n](x) = n!(1−x)(n+1) (b) y[n](x) = (−1)n 3n n!

(1+3 x)(n+1) (c) y[n](x) = (−1)n n!(1+x)(n+1)

6 f ′(x) = 6x5−8x3 +9x2−1, f ′′(x) = 30x4−24x2 +18, f ′′′(x) = 120x3−48x, f [4](x) = 360x2−48, f [5](x) = 720x,f [6](x) = 720Secao 10.31 1/2, −1/22 (a) 13 (b) 22, 14 + 6 π (c) −1/2 (d) ( 7 - 3 π )/2 (e) 20 (f) 14 π3 (a) 0 (b) −16/311 (a) f(x) = −2x2 + 3x+ 5 (b) f(x) = −2x2 + 7xSecao 11.71 (a) CD; (b) AB e DE; (c) DE; (d) CD e EF2 (a) 0,25 m/s (b) 1,25 m/s ;3 V ′(a) = 3 a2 = A/24 V ′(r) = 6π r2 = At5 S′(18) = −28/3 m/s6 A′(20) = 360πm2s7 V ′(2) = −32πm3/h8 S′(3/10) = 160 cm/s9 V ′(5) = −17500 l/min10 V ′(5) = 100πcm3/cmSecao 12.61 (a) 3 (b) 0 (c) 0 (d) 1 (e) 4 (f) 0 (g) 2/3 (h) 1/2 (i) 0 (j) 0 (k) 2/7 (l) 2 (m) +∞2 limx→(π4 )− f(x) =

√2

2 , limx→(π4 )+ f(x) =√

22 , limx→(π4 ) f(x) =

√2

2

3 (a) cos2x − sen2x (b) sec2x − cossec2x (c) secx tgx + sec2x senx + tgx cosx + cossecx cotgx (d) −2sen(2x) (e)(4− 4x3) sen (x3 + 2)− 3x2 (4x− x4) cos(x3 + 2)/sen2 (x3 + 2)Secao 12.7

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400 Respostas

2 limh→0 cos(x+ h) = cosx, para todo x real, logo g(x) = cosx e contınua para todo o conjunto dos numeros reais

3 [−3, 0] ∪ [3,+∞]

4 descontinuidade removıvel em x = 0

7 (a) x = (2k + 1)π, para k ∈ Z (b) f ′(x) = 1 + cosx > 0, para x diferente de (2k + 1)π

8 (a) [0, π/2] (b) S(t) = −1/2cos(2t) + 1/2 (c) 2/π (d) −2

Secao 13.3

1 (a) (f g)(x) = −4x2 − 12x − 8, domınio: R, (f g)′(x) = −8x − 12, (g f)(x) = 5 − 2x2, domınio: R,(g f)(x) = −4x (b) (f g)(x) = x, domınio: R, (f g)′(x) = 1, (g f)(x) = x, domınio: R, (g f)′(x) = 1(c) (f g)(x) = −17, domınio: R, (f g)′(x) = 0, (g f)(x) = 17, domınio: R, (g f)′(x) = 0 (d) (f g)(x) =

(cos(x) + 1)(1/6), domınio: R, (f g)′(x) = −sen(x) (cos(x) + 1)(−5/6)/6; (g f)(x) =√

cos(x(1/3)) + 1, domınio:

R, (g f)′(x) = −x(−2/3) sen(x(1/3))/(6√

cos(x(1/3)) + 1) (e) (f g)(x) = (cos2 x− 2)/cos2 x, domınio: todo x realdiferente de (2 k + 1)π/2, (f g)′(x) = −4 sen x/cos3 x; (g f)(x) = sen((x2 + 1)/(x2 − 1)), domınio: R \ −1, 1,(g f)′(x) = −4x cos((x2 + 1)(x2 − 1))/(x4 − 2x+ 1)

2 (a) f(x) = x2, g(x) = 2 + 3x, h′(x) = 6(2 + 3x) (b) f(x) =√x, g(x) = 2x − x2, h′(x) = (1− x)/

√2x− x2

(c) f(x) = x(2/3), g(x) = 5 − x2, h′(x) = −3x√

5− x2 (d) f(x) = x(−1), g(x) = x + 1, h′(x) = −1/(x+ 1)2 (e)f(x) = x(−1/2), g(x) = x+ 10, h′(x) = −(x+ 10)(−3/2)/2

3 (a) f(x) = cosx, g(x) = tg x, h′(x) = −sec2 x sen(tg x) (b) f(x) = x2, g(x) = sen(3x), h′(x) = 3sen(6x) (c)f(x) = x3+x+5, g(x) =

√x, h′(x) = 3

√x/2+1/(2

√x) (d) f(x) = x2−5x+10, g(x) = cosx, h′(x) = −sen(2x)+5senx

4 (a) f ′(x) = (6x2 + 10x) cos(2x3 + 5x2 − 10) (b) y′ = 2xcos(3x2 − 2x) − (6x3 − 2x2)sen(3x2 − 2x) (c) y′ =3 cos(3x+ 1) sec2(sen(3x+ 1)) (d) y′ = sen x cos x√

sen2 x+5(e) y′ = (3x2 − 2) cos(x3 − 2x) sec(x− 1) + sen (x3 − 2x) sec(x−

1) tg(x− 1) (f) y′ = 5 cos(5 x) cos(2 x)+2 sen 5 x sen 2 xcos2 2 x (g) y′ = 2x cos(3x)− 3x2 sen 3x (h) y′ = − 30 (3 x2−4)4 (x4−2 x2+3 x)

(2 x3−3)6

(i) y′ = −√

7 (7− x)(−3/4)/4 (j) y′ = −1/(4√

7 +√

7− x√

7− x)

Secao 13.4

1 domınio de f : R \ −1, domınio de g: R \ −1, 1, g(x) = −x+3x−1 , g′(x) = 4

(x−1)2

2 (a) u′(1) = 3/4 (b) nao existe; (c) w′(1) = −9/4

3 (a) r = 6√

2 (b) V (t) = 36π (t+ 8)( 32 ) (c) V ′(t) = 54π

√t+ 8

4 (a) S(1) = 24cos(3) m/s (b) S′(√π) = −24

√π m/s (c) S′′(

√π) = −24 m/s2

5 (a) f ′(L) = −√T/ρ/(2L2) (b) f ′(T ) = 1/(4L

√ρ T ) (c) f ′(ρ) = −

√T/ρ

4Lρ

6 (a) y′(t) = V (t) = Awcos(wt), A(t) = −Aw2sen(wt) (b) A(t) = −w2y(t) (c) V (t) e maxima quando V ′(t) = 0,isto e, quando A(t) = 0

Secao 14.5

1 (a) − yx (b) 3 x4 y (c) −

√y√x

(d) 3 x2−2 x y−y23 y2+2 x y+x2 (e) − 3 x2

5 y2 (f) − 2 x+yx+2 y

2 (a) y′ = −xy , y′′ = − 4y3 (b) y′ = − y

2

x2 , y′′ = 2 y3+2 x y2

x4 (c) y′ = yx−cos(y) , y′′ = y (−y sen y−2 cos y+2 x)

(x−cos y)3 (d) y′ = − 2 x+yx+2 y ,

y′′ = − 18(x+2 y)3 (e) y′ = − 2 x+1

3 y2 , y′′ = − 2 x2+2 x+329 y5

3 (a) y = −x+ 2 (b) 9y = 13x− 1 (c) 11y = −2x+ 3√

3 (d) y = x−√

2/2 (e) 2y = 3x− 4 (f) 14y = −39x+ 3 (g)y = 3x+ 4

4 (a) reta tangente horizontal nos pontos: (−1,−1) e (1, 1), e vertical nos pontos: ((− 113 )( 1

4 ),−3 ( 113 )( 1

4 )) e

(( 113 )( 1

4 ), 3 ( 113 )( 1

4 )) (b) reta tangente horizontal nos pontos: (√

64 ,−

√2

4 ), (−√

64 ,√

24 ) e (−

√6

4 ,−√

24 ) e vertical nos pontos:

(1, 0) e (−1, 0) (c) reta tangente horizontal no ponto ( 2( 43)

3 , 2( 53)

3 ) e vertical no ponto ( 2( 53)

3 , 2( 43)

3 )

Secao 14.6

2 θ′(t) = 4 tt4+4 rad/s

3 s′(t) = 103 m/s

4 A′(t) = 92m2/s

5 r′(t) = 1π m/min

6 x′(t) = −√

33 m/s

7 h′(t) = 12π m/min

8 A′(t) = −4πm2/s

9 z′(t) = 17, 8 m/s

10 θ′(t) = 25 rad/s

Secao 15.6

Page 417: texto completo em PDF

W. Bianchini, A.R.Santos 401

1 (a) valor maximo: f(−1) = 2 (b) valor mınimo: f(0) = 0 (c) valor mınimo: f(1) = 1 (d) valor maximo: f(1) = 2e valor mınimo: f(−1) = 0 (e) valor maximo: f(0) = 1 (f) valor maximo: f(3) = −1/6 e valor mınimo: f(2) = −1/2(g) valor mınimo: f(1/2) = 42 (a) valor maximo: f(3) = 7 e valor mınimo: f(−2) = −8 (b) valor maximo: f(1) = 3 e valor mınimo: f(3) = −5(c) valor maximo: g(4) = 9 e valor mınimo: g(1) = 0 (d) valor maximo: h(5) = 110 e valor mınimo: h(−3) = −18(e) valor maximo: f(6) = 37/6 e valor mınimo: f(2) = 5/2 (f) valor maximo: g(1) = g(2) = 1 e valor mınimo:g(3/2) = 0 (g) valor maximo: f(3) = 3/4 e valor mınimo: f(0) = 0 (h) valor maximo: f(

√2/2) = 1/2 e valor

mınimo: f(−√

2/2) = −1/23 (a) Porque f e contınua e crescente ou decrescente em [a, b] (b) f ′(x) = 2ax + b, logo x = −b/2a e o unico pontocrıtico de f (c) Porque f ′ e uma funcao polinomial de grau 2 que pode ter nenhuma, uma ou duas raızes. Ex:f(x) = x3 + x, f(x) = x3/3− x2 + x, f(x) = x3/3− 2x2 + 3x+ 2Secao 15.72 A(25) = 12503 Dois retangulos de 24 m por 40 m4 O cabo tera 5 km sob a agua e 2 km sobre a terra5 35 lugares6 y = 4 x

3 −49

7 O novo combustıvel se mostra antieconomico8 A maior distancia e

√26 e a menor distancia e 1

9 As dimensoes do predio sao: 20 m por 20 m por 10 m10 r = R/2 e h = H/2, onde R e o raio e H e a altura do cone

11 Retangulo de base b = 2√

33 e altura h = 2

12 As dimensoes da piscina sao: 50 m por 50√

2 m por 50√

2 m13 Retangulo de dimensoes: base b = 4

4+π m e altura h = 24+π m

14 Largura x =√

33 r e altura y =

√6

3 r15 A = L2

18 x =√

33

19) h = 10√

2 m20 x = 60 cm21 Dimensoes do retangulo: 5

4 km por 52π km

Secao 16.81 (a)[1, 3] (b) [−4, 1] e [4, 6] (c) [−2, 2] (d) [−4,−2], [2, 3] e [4, 6]2 (a) crescente em (−∞,∞) concavo para cima para x > 0 e concavo para baixo para x < 0; (0, 0) e um ponto deinflexao (b) crescente para x > 3/2 e decrescente para x < 3/2; f(3/2) = 29/4: mınimo relativo; concavo para cimapara todo x real (c) crescente para x > 0 e decrescente para x < 0; f(0) = 0: mınimo relativo ; concavo para cimapara todo x real (d) decrescente para todo x real exceto para x = −1 e x = 1; concavo para cima em (−∞,−1) e (0, 1)e concavo para baixo em (−1, 0) e (1,+∞); (0, 0) e um ponto de inflexao (e) crescente para x < 0 e decrescente para

x > 0; f(0) = 1: maximo relativo; concavo para cima em (−∞,−√

33 ) e (

√3

3 ,+∞); concavo para baixo em (−√

33 ,√

33 );

pontos de inflexao: (−√

34 ,

34 ) e (

√3

3 ,34 )

3 (a) domınio: R crescente em (−∞,−√

5) e (√

5,+∞) e decrescente em (−√

5,√

5); maximo relativo em x = −√

5

e mınimo relativo em x =√

5; concavo para baixo em (−∞,−√

102 ) e (0,

√102 ) e concavo para cima em (−

√102 , 0) e

(√

102 ,+∞); pontos de inflexao em x = 0, x = −

√102 e x =

√102 (b) domınio: R; crescente para x > 0 e decrescente

para x < 0; (0,−1): ponto de mınimo relativo; concavo para cima em (−√

33 ,√

33 ) e concavo para baixo para x <

√3

3 e

para x >√

33 ; pontos de inflexao: (−

√3

3 ,−38 ) e (−

√3

3 ,−38 ); y = 1: assıntota horizontal (c) domınio: R \ 2; crescente

para x < 1 e para x > 3 e decrescente em (1, 2) e (2, 3); f(1) = 0: valor maximo relativo e f(3) = 4: valor mınimorelativo; concavo para cima para x > 2 e concavo para baixo para x < 2; assıntota vertical: x = 2 (e) domınio:R \ −2, 2; decrescente para todo x, exceto em x = −2 e x = 2; concavo para baixo em (−∞,−2) e (0, 2) e concavopara cima em (−2, 0) e (2,+∞); (0,0): ponto de inflexao, assıntota vertical: x = 2 e x = −2, assıntota horizontal:y = 0 (f) domınio: R \ [−2, 2]; crescente em (−2

√2,−2) e (2

√2,+∞) e decrescente em (−∞, 2

√2) e (2, 2

√2); ponto

de mınimo relativo: (−2√

2, 4) e (−2√

2, 4); concavo para cima para x < −2 e para x > 2; assıntota vertical: x = −2 ex = 2 (g) domınio: R \ −2, 2; decrescente para todo x real, exceto para x = −2 e x = 2 (h) domınio: R \ −1, 0, 1;crescente para x > 0 e x 6= 1 e decrescente para x < 0 e x 6= −1; concavo para cima em (−1, 0) e (0, 1) e concavo parabaixo para x < −1 e para x > 1; assıntotas verticais: x = 1 e x = −1; assıntota horizontal: y = 1 (i) domınio: R;

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402 Respostas

crescente para x > −1/8 e decrescente para x < −1/8; (−1/8,−3/8): ponto de mınimo relativo; concavo para cimapara x > 1/4 ∪ (infty, 0) e concavo para baixo para x ∈ (0, 1/4); ponto de inflexao em x = 1/4 e x = 0 (j) domınio:[−8, 8]; crescente em [−8, 8]; concavo para cima em (0, 8) e concavo para baixo em (−8, 0); ponto de inflexao: (0, 0)

8 (a) a = 6 e b = 9 (b) a = −1 e b = 3 (c) a = 4, b = −12 e c = 10

Secao 17.3

1 (a) i. f e contınua em [0, 2], diferenciavel em (0, 2) e f(0) = f(2) = 0, x = 1, ii. f e contınua em [−3, 3], diferenciavel

em (−3, 3) e f(−3) = f(3) = 0, x = 0, x = − 3√

22 e x = 3

√2

2 , iii. f e contınua em [−1, 1], diferenciavel em (−1, 1) ef(−1) = f(1) = 0, x = 0 (b) i. f nao e diferenciavel em x = 0, ii. f nao e diferenciavel em x = 2, iii. f(1) 6= f(0)

2 (a) i. sim, c =√

2, ii. nao, f e descontınua em x = 0, iii. sim, c =√

33 , iv. sim, c = −

√3

3 , v. sim, c = arccos( 2π ), vi.

nao, h e descontınua em x = π2 , vii. sim, c = −

√2

2 , viii. sim, c =√

33 , ix. o teorema do valor medio nao se aplica, pois

f nao e diferenciavel em x = 0 x. nao, f e descontınua em x = 0 (b) para c = 34327 ⇒ f ′(c) = f(27)−f(−1)

27−(−1) = 27 (c) f

nao e diferenciavel em x = 0

3 (a) crescente em (−∞, 0) e decrescente em (0,+∞), corresponde ao grafico (2) (b) crescente em (1,+∞) e decrescenteem (−∞, 1), corresponde ao grafico (6) (c) crescente em (2,+∞) e decrescente em (−∞, 2), corresponde ao grafico (1)(d) crescente em (−∞,−2) e (2,+∞) e decrescente em (−2, 2), corresponde ao grafico (5) (e) crescente em (−∞,−1)e (2,+∞) e decrescente em (−1, 2), corresponde ao grafico (4) (f) crescente em (−3, 2) e decrescente em (−∞,−3) e(2,+∞), corresponde ao grafico (3)

5 (a) i. 2x2 + 5, ii. 2 x( 32)

3 + 4, iii. 4√x + 3, iv. 1

3x+ 12 (b) i . −cosx+ c ii. x5

20 + ax+ b, iii. x4

24 + x5

60 + a x2

2 + b x+ c,onde a, b e c sao constantes quaisquer.

Secao 18.3

1 a = 16

2 b(arccos( aL )( 13 )) = (L− a( 1

3 ) L( 23 ))(

√1− ( aL )( 2

3 ))

3 (a) 1 (b) 12

4 r = 2R3

5 h = 4R3

6 3/2

7 (a) (1, 1) (b) P (a− 12 ,√a− 1

2 ) (c) P (2, 4)

11 (a) 12 (b) 3

2

12 a = 2

13 (a) 32 km (b) 26

15 h (c) 215 h (d) 3

2 km (e) 15√

1013 km/h

Secao 19.5

2 (a) f ′(x) = 3 > 0, logo, f e contınua e crescente para todo x real, e portanto f e invertıvel. g(x) = x+53 , f(g(x)) = x

e g(f(x)) = x (b) g(x) = 1−xx−2 (c) α = −d, β = b, γ = c e δ = −a. Se ad = bc, y e uma funcao constante e portanto

nao e invertıvel.

3 (a) x√1+x2

, domınio: R (b) x√1−x2

, domınio: (−1, 1) (c) 1√1+x2

, domınio: RSecao 19.6

2 y = 18x+ 27

4

3 f ′(x) = 3 x2

2√x3+3

> 0, para 0 < x < +∞, logo, f e contınua e crescente neste intervalo, e portanto, f e invertıvel;

(f (−1))′(2) = 43 ; 3y = 4x− 5

4 (a) R , pois f ′(x) > 0 para todo x real, logo f e invertıvel para todo x; f (−1)(5) = 1

5 f ′(x) = 5 x4 (x5+7)(−23)

3 > 0, para x > 0, logo f e invertıvel e (f (−1))′(2) = 125 ; 5y = 12x− 19

6 (a) f ′(x) = x2−1

( x3

3 −x)2+1> 0, para x > 1, logo f e invertıvel e (f (−1))′(0) = 1

2 (b) y = 12x+

√3

7 f ′(x) = 2 x(x2−1)2+1 > 0, para x > 0, logo f e invertıvel e (f (−1))′(π4 ) =

√2

2

Secao 20.4

1. (a) 1 + 12x (b) 1 + 2x (c) 1

x+1 (d) 1− x2 (e) 1 + 3x

(f) x (g) 1

2 f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x − x0), onde f(x) = senx e x0 = 0 ⇒ f(x) ≈ x. Para x proximo de zero, a funcaof(x) = senx pode ser aproximada pela reta tangente g(x) = x no ponto (0, 0)

3. Seja f(x) = (1 + x)n, entao f(0) = 1, f ′(x) = n(1 + x)(n−1) e f ′(0) = n ⇒ f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x − x0), eportanto, f(x) ≈ 1 + nx

Page 419: texto completo em PDF

W. Bianchini, A.R.Santos 403

4 (a) f(x) =√x, x0 = 36 e ∆x = 0, 7, entao

√36, 7 ≈ 6, 058333 (b) f(x) = x( 1

4 ), x0 = 16 e ∆x = −1, entao

15( 14 ) ≈ 1, 96875 (c) f(x) =

√x, x0 = 100, ∆x = 3, entao

√103 ≈ 10, 15 (d) f(x) = cosx, x0 = π

4 e ∆x = − π90 , entao

cos(430) ≈ 0, 73178 (e) f(x) = senx, x0 = π6 = 0, 5235, ∆x = 0, 0196, entao sen(0, 5432) ≈ 0, 51697 (f) f(x) = senx,

x0 = π2 e ∆x = π

90 , entao sen(880) ≈ 1

Secao 20.5

1 V = 4π r3

3 , ∆r = 0, 1 cm, dV = 40, 40133π, dV = 4π 102 ∆ r ≤ 1, ∆ r ≤ 0, 000795

2 dS = −2

3. PV = C, logo d(PV ) = d(C), e assim P dV + V dP = 0

Secao 21.2

1. (a)∑n+1i=1 i2 (b)

∑ki=3 i

2 (c)∑n−1i=k i2 (d)

∑∞i=0 (−1)i

2 (a) b3 + 2 c3 + b4 + 2 c4 + b5 + 2 c5; (b) m7 + (m+ 1)7 + (m+ 2)7+ ... + n7

3∑∞i=1 9 × 10(−i)

Secao 21.8

4 (a) x2

2 (b) −x2

2 (c) sng (x) x2

2

5 (a) x (b) x (c) x

Secao 22.4

1 (a) 263 (b) 2 (c) 0 (d) 23

12 (e) 1

2 (a) 0 (b) 0 (c) 2489 (d) 16

√3

3 − 4− 4√

3√

23 + 2

√2 (e) 0 (f) 58

81 (g) 7312 (h) sen(π2)

4 12 + sen(1)

5 (a) 169 (b) − 1

2 +√

216 (c) 10( 1

3)

2 (d) 3

6 (a) 6 (b) 20

7 9: corresponde a area de um triangulo de base 3 e a altura 6 .

8∫ b

0a xb dx = a b

2

9 (a) 4 (b) 814 (c) 4

3 (d) 48√

25

10 (a) x3

3 + x2 + 5x (b) x6

6 −x4

2 + x− a6

6 + a4

2 − a11 (a) f ′(x) = x2, f ′′(x) = 2x (b) g′(x) = x3 + 1, g′′(x) = 3x2 (c) h′(x) =

√1 + x8, h′′(x) = 4 x7

√1+x8

(d)

g′(x) = −(1 + x3)100, g′′(x) = −300x2 (1 + x3)99 (e) f ′(x) = − 1x , f ′′(x) = 1

x2

Secao 22.5

1√

5−√

2

2 0 (funcao ımpar)

3 0 (funcao ımpar)

5 Geometricamente,∫ a

0x2 dx +

∫ a20

√y dy = a3 representa a area de um retangulo de base a e altura a2

∫ a0x2 dx +∫ a2

0

√y dy = a3

3 + 2 a3

3 = a5

3 + 23a

3

6 f(x) e descontınua em x = 0, pois limx→0 f(x) =∞, logo, nao podemos usar o teorema fundamental do calculo

7 Seja s(t) o espaco percorrido pelo ponto P, no instante t, logo, a velocidade media e dada por: vm = s(b)−s(a)b−a e o

valor medio de v no intervalo [a, b] e dado por: vm = 1b−a∫ bav(t) dt = s(b)−s(a)

b−a9 25 + 32

π

10 (a) F (0) = 0, F ′(1) = 1/2 (c) F (x) e uma funcao par (d) F ′(x) = 11+x4 > 0, para todo x real, logo, F (x) e

contınua e crescente e portanto, F (x) e invertıvel para todo x real e (F (−1))′(1) = 1/F ′(0) = 1

11 (a) A = 34k

( 43 ) (b) A = 3

4 (c) 110 u.a./s

12 (a) g(4) = 0, g(−4) = 0, g(−3) = 12 , g(0) = 3, g(2) = 3/2 (b) [−4, 0] (c) x = 0

(d) g(x) =

12x

2 + 4x+ 8, se x < −3x+ 7

2 , se −3 ≤ x ≤ −13− 1

2x2, se −1 < x ≤ 1

72 − x, se 1 < x ≤ 312x

2 − 4x+ 8, se 3 < x ≤ 4

> g:=x->piecewise(x<-3,x^2/2+4*x+8,> x<-1,x+7/2,> x<1,3-x^2/2,x<3,7/2-x,x<4,x^2/2-4*x+8);

> plot(g(x),x=-4..4,y=0..3);

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404 Respostas

0

0.20.40.60.8

11.21.41.61.8

22.22.42.62.8

3

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

> plot(D(g)(x),x=-4..4);

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

14 −3 e 7

15 ddx (

∫ x3

x21t dt ) = 1

x

Secao 23.3

(a) − 14cos4(x) + C (b) 2 sen(

√x) + C (c) (x2+1)(

32)

3 + C (d) 4 (1+√x)(

32)

3 + C (e) 2√x3+13 + C (f) 2−

√3

(g) 2 sen(x4 + 1) + C (h)√

3 (i) 143 (j) (3 x+2)6

18 + C (l) 2 (x+1)(72)

7 − 4 (x+1)(52)

5 + 2 (x+1)(32)

3 +C (m) −1(3−4 x3) 3 + C (n)

√1 + 4x+ 3x2 + C (o) |x| (x

2+1)(32)

3 x + CSecao 23.4

1 x2

2 + x+ C e (x+1)2

2 + C diferem apenas de uma constante

2 (a) sem 6= n, entao∫ π

0cos(mx) cos(nx) dx = sen((n−m)π)

2 (n−m) + sen((n+m)π)2 (n+m) = 0 e

∫ π0

sen(mx) sen(nx) dx = sen((n−m)π)2 (n−m) −

sen((n+m)π)2 (n+m) = 0; se m = n, entao

∫ π0

cos(mx) cos(nx) dx = 12

∫ π0

1 + cos(2nx) dx = 12 (π + sen(2nπ)

2n ) = π2 e∫ π

0sen(mx) sen(nx) dx = 1

2

∫ π0

1− cos(2nx) dx = 12 (π − sen(2nπ)

2n ) = π2 (b) i. se n−m e ımpar, entao∫ π

0cos(mx) sen(nx) dx = 1

2

∫ π0

sen((n+m)x)+sen((n−m)x) dx = −cos((n+m)π)2 (n+m) + −cos((n−m)π)

2 (n−m) + 12 (n+m) + 1

2 (n−m) =2n

n2−m2 , pois se n−m e ımpar, n+m tambem e ımpar e cos((n−m)π) = cos((n+m)π) = 0; ii. se n−m e par, entao∫ π0

cos(mx) cos(nx) dx = 12

∫ π0

sen((n+m)x) sen((n−m)x) dx = − cos((n+m)π)2 (n+m) + −cos((n−m)π)

2 (n−m) + 12 (n+m) + 1

2 (n−m) = 0,

pois se n−m e par, n+m tambem e par e cos((n−m)π) = cos((n+m)π) = 1

3 23x

( 32 ) − 9

4 (a) 5 (faca a seguinte mudanca de variavel: u = 2x) (b) 8 (faca a seguinte mudanca de variavel: u = x2) (c)∫ baf(x) dx =

∫ −b−a −f(u) du =

∫ −a−b f(u) du (faca a mudanca de variavel u = −x) logo,

∫ baf(x) dx =

∫ −a−b f(x) dx (d) 5

6 − 12 + π

4

Secao 24.101 (a) 8/3 (b) 18 (c) 2

√2 (d) 20 (e) π/3 (f) 128/15 (g) 6 (h) 2 a2

√3− ln(2 +

√3) (i) 15 (j) 72

2 a = 2 2( 13 )

3 c = 9/44 (a) 3 (b) 11/3 (c) 22 (d) 1/4 (e) 32/35 (a) 64/3 (b) 32/3 (c) 32/3

7 V = π a2 (H3−h3)3 u.v.

8 V = 4π b2 a3 u. v.

9 V = π5 u.v.

10 (a) 512/15 π (b) 832π/15 (c) 128π/311 (a) 64π/3 (b) 8π (c) 4π a b2/3 (d) 2π/3512 32π/913 104π/314 16π

Page 421: texto completo em PDF

W. Bianchini, A.R.Santos 405

16 a = 2/3 e b = 4/3

18 (a)∫ 2

1

√1 + 4 y2 dy (b)

∫ 1

0

√1 + 4x2 dx (c)

∫ 1

0

√1 + 9x4 dx (d)

∫ 3

1

√1 + (4− 2x)2 dx

19 (a) 5√

5−16 π (b) 2π ( 145

√145

54 − 5√

1027 )

20 4π r2

21 (a) 6 (b) 12π/5

Secao 24.11

1 (a) [π2 , π] (b) s(t) = 1−cos(2 t)2 (c) 2/π

2 (a) v(t) = t2 − 10 t+ 12 ln(t) + 18 (b) t = 2. A funcao v(t) e contınua no intervalo fechado [1, 3] e, pelo teoremado valor extremo, v(t) assume um valor maximo neste intervalo. Este maximo ocorre em x = 2, que e um pontocrıtico de v(t) no intervalo [1, 3], e o maior valor dentre os valores v(1), v(2) e v(3) e v(2) = 2 + 12 ln(2) (c)

s(t) = t3

3 − 5 t2 + 12 t ln(t)− 12t+ 23

3 (a) v(t) = t8 + 1

t −916 (b) s(2) = 7

48 + ln(2)

4 (a) A = 2∫ 7

1

√9− (x− 4)2 dx (b) A = 9π u.a.

5 A =∫ 3

02− 2 x

3 dx = 3: area de um triangulo retangulo de base 3 e altura 2

7 A(b) = 1− 1b , limb→∞ 1− 1

b = 1

8 A(b) =1− 1

b(p−1)

p−1 , limb→∞ A(b) = 1p−1 , se p > 1; se 0 < p < 1, A(b) = b(1−p)−1

1−p , limb→∞ A(b) =∞9 (a) π/5 (b) area da regiao limitada pela curva y = f(x) = π x4, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 1 (c) volumedo solido de revolucao obtido pela rotacao, em torno do eixo x, da regiao limitada pela curva y = f(x) = x2, pelo eixox e pelas retas x = 0 e x = 1

Secao 25.9

1 (a) 2 xx2+1 (b) cos(ln(x))

x (c) 1 + ln(x) (d) 3 x2+22 (x3+2 x) (e) 2 cotg(x) ln(sen(x)) (f) 4 e(4 x+5) (g) (2x2 + 1) e(x2+1) (h)

cos x (i) −sen(x) ecos(x) (j)√e√x

4√x

(k) −2 e(−x)sen(e(−x)) cos(e(−x)) (l) −cos(x) sen(esen(x)) esen(x) (m) 1− e(−x) (n)

2x ln(2) 2(x2) (o) ln(π) cos(x)πsen(x) (p) 0 (q) 3ln(10) (3 x+2) (r) xx (1 + ln(x)) (s) sen(x)cos(x) (−sen(x)ln(sen(x)) +

cos(x) cot(x))

2 (a) − 2 x ey+ex

x2ey−1 (b) ex−y e(x y)x e(x y)−ey (c) ex−y

ey+x (d) − y ex+ey−yex+x ey−x (e) y (y ex−ln(y))

x−y ex

3 (a) e(x3)/3 + C (b) −ecos(x) + C (c) 2 (√x+ e

√x) + C (d) −e(2−x2)/2 + C (e) ln(1 + ex) + C (f) ln(ln(x)) + C

(g) 2 (2 + 3√x− 2 ln(2 + 3

√x))/3 + C (h) 1/2 ln2x+ C (i) 1/2 ln2 ( 5 ) (j) − 1

2 ln2(2) (k) 16 ln(2 + 3x2) + C (l)

13 ln3x+ C (m) ln(x2 + x) + C (n) 1

3 ln(1 + sen(3x)) + C

6 ( e4

2 −e(−4)

2 + 4)π

Secao 25.10

2 (1, 1) e (2, 4 + 4ln(2))

3 (a) 1 (b) − e(−4)

2 − e(−2) + 32

4 (a) y (x ln(y)−y)x (x−y ln(x)) (b) −y (2 x ln(y)−5)

3 y3+x2 (c) −y ey+ey+2 y+2

x y ey+x ey−1 (d) 4 (4x− 1) (3x+ 5)3

(120x2 + 113x+ 16) (2x+ 1)(− 13 )/3 (e) − (2 x−3) (42 x2−131 x−148)

2(7 x+2)4 (x+1)(32)

Secao 26.1.2

1 (a) 12x−

sen(2x)4 + C (b) 1/3cos3 x − cosx + C (c) cos(a x)+a x sen(x)

a2 + C (d) ex (x2 − 2x + 2) + C (e) 8 x3 +

sen(2 x)4 + cos(2 x) sen(2 x)

16 + C (f) e(3 x) (3 cos(2 x)+2 sen(2 x))13 + C (g) e(x

2) (x2−1)2 + C (h) (2− x2) cos(x) + 2x sen(x) + C

(i) 2x( 32 ) (ln(x)− 2

3 )/3 + C (j) 2 (1+x)(52)

5 − 2 (1+x)(32)

3 + C (k) x tg(x) + ln(cos(x)) + C

2 (b) xln3(x)− 3xln2(x) + 6xln(x)− 6x+C (c) i. −xn cos(x) + n∫x(n−1) cos(x) dx; ii. xn ex − n

∫x(n−1) ex dx; iii.

x(n+1)

n+1 lnnx− nn+1

∫xn ln(n−1) x dx

3 12 (xsen(ln(x))− cos(ln(x))) + C

Secao 26.5

1 (a) 15 sen(5x) − 1

15 sen3(5x) + C (b) −x (4−x2)(32)

4 + x√

4−x2

2 + 2 arcsen(x2 ) + C (c) x4 a2 (x2+a2)2 + 3 x

8 a4 (x2+a2) +

38 a5 arctg(xa ) + C (d) −

√1+x2

x + C (e)√x2 − a2 − a arcsec(xa ) + C, se a ≤ x e −

√x2 − a2 + a arcsec(xa ) + C, se

x ≤ −a (f) 13cos3 x − cosx + C (g) 8 x

3 + sen(2 x)4 + cos(2 x) sen(2 x)

16 + C (h) e(3 x)

13 (3 cos(2x) + 2 sen(2x)) + C (i)

−ln(x− 2) + ln(x− 3) + C (j) ln(x−1)6 + 11 ln(x−7)

6 + C (k) 2x−1−3ln(x−1)+3ln(x−2) + C (l) x+2 ln(x−1)−ln(x+1)

+ C (m) x2

2 − 5x+ 2167 ln(x+ 6) + 1

7 ln(x− 1) + C (n) x3

3 + x2

2 + 4x+ 2 ln(x) + 5 ln(x− 2)− 3 ln(x+ 2) + C (o)

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406 Respostas

x3

3 + ln(x3−1)3 + C (p) arctg(x+ 1) + C (q) − 4

5 ln(x− 1)− 910 ln(x2 + 2x+ 2)− 2

5arctg(x+ 1) +C (r) 12 ln(x− 1) -

14 ln(x2 + 1) + 1

2 arctg(x) + CSecao 27.41 (a) 1

3 a2 (b) −1/n (c) 0 (d) 1 (e) ln(2)− ln(3) (f) 2 (g) 0 (h) 0 (i) 0; (j) 1 (k) e (l) 1 (m) − 12 (n) 1 (o) e

2 13 0− 1/36 3/2

5 C√4π k t

e(− x−µ2

4 k t )

Secao 28.61 (a) 1 (b) −1 (c) − 2

a (d) +∞ (e) 2 (f) 12 ln(2) (g) 2 (h) 1 (i) 44

3 ; (j) − 14 ( k) +∞. As integrais (d) e (k) divergem

e as outras convergem2 (a)

∫∞1

1x dx = + ∞, logo a area sob a curva y = 1

x , 1 ≤ x, e infinita (b) V = π∫∞

11x2 dx = π, logo, o volume do

solido de revolucao e finito.4 V =

∫∞0π x e(− x2 ) dx = 4π u. v.

5. (a) divergente (b) convergente (c) convergente (d) divergente (e) convergente6 π7 (a) p < 1 (b) −1 < p8 (a) 1

s , 0 < s; 1s−1 , 1 < s; 1

s2 , 0 < s (b) A existencia de F (s) =∫∞

0f(t) e(−s t) dt depende da convergencia de∫∞

0M e((a−s) t) dt

∫∞0M e((a−s) t) dt = limb→∞

∫ b0M e((a−s) t) dt = limb→∞

M (e((a−s) b)−1)a−s = M

s−a , se a < s. Logo,

a Transformada de Laplace existe para s > a (c) se F (s) =∫∞

0f(t) e(−s t) dt mostrar que G(s) = sF (s) − f(0).∫

D(f(t)) e(−s t) dt = f(t)e(−s t) + s∫f(t) e(−s t) dt (usando integracao por partes) logo,∫∞

0D(f(t)) e(−s t) dt = limb→∞ f(b) e(−s b) − f(0) + s

∫∞0f(t) e(−s t) dt = −f(0) + sF (s)

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Bibliografia

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407

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Indice Remissivo

aceleracao, 157anel de revolucao, 325antiderivada, 297area, 31, 278, 319assıntota

horizontal, 73inclinada, 103, 105vertical, 73

circunferencia, 22coeficiente

angular, 20linear, 21

comprimento de arco, 36, 327concavidade, 210constante de integracao, 302continuidade, 110

de funcao composta, 115coordenada de um ponto na reta, 3coordenadas

cartesianas, 15no plano, 15retangulares, 15sistema de, 3

crescimento populacional, 157

declividade, 20, 56densidade, 157derivacao implıcita, 183derivada, 124

de funcao inversa, 245do logaritmo, 343, 344lateral

a direita, 130a esquerda, 130

derivadas de ordem superior, 134descontinuidade

essencial de salto, 113infinita, 113removıvel, 112

desigualdade triangular, 7diferenciais, 255distancia entre dois pontos, 8, 16

erroabsoluto, 255

relativo, 255exponencial, 345

derivada e integral, 347em base qualquer, 345propriedades da, 345

expressao algebrica, 8extremos locais, 193, 208, 212

formas indeterminadas, 377funcao

arco cossecante, 251arco cosseno, 247arco cotangente, 251arco secante, 249arco seno, 247arco tangente, 248biunıvoca, 244contınua, 111definicao de, 44derivavel, 124diferenciavel, 124, 255domınio da, 44exponencial, 345hiperbolica, 356imagem da, 44inversa, 244logarıtmica, 343racional, 99, 112, 367trigonometrica, 167

graficode desigualdade, 24de equacao, 17de funcao, 45de funcao inversa, 244

inducao matematica, 292inequacao, 9integracao

de funcoes trigonometricas especiais, 363–364numerica, 373numerica

regra de Simpson, 374regra do trapezio, 373

por fracoes parciais, 367, 370por partes, 359, 361

408

Page 425: texto completo em PDF

W.Bianchini, A.R.Santos 409

por substituicao, 311, 313, 316por substituicao trigonometrica, 365

integralde Lebesgue, 305de Riemann, 306definida, 280do logaritmo, 344impropria

em intervalos finitos, 386em intervalos infinitos, 384–386

indefinida, 302interpolacao de Lagrange, 106intervalo, 5

aberto, 5fechado, 5

limite, 68, 75inferior de integracao, 280lateral

a direita, 77a esquerda, 77

propriedades operatorias, 78–82superior de integracao, 280

limitesinfinitos, 71, 77no infinito, 72, 78

logaritmo, 343em base qualquer, 346mudanca de base, 347propriedades do, 344

maximos e mınimos, 35metodo

de Euler, 258de Newton, 219

modulo, 6metodo

da bissecao, 121do carbono 14, 352

numero e, 346numero π, 95

particao, 275polinomio, 98polinomio de Taylor, 261ponto

crıtico, 194de acumulacao, 393de inflexao, 211de mınimo

local(relativo), 193de mınimo

absoluto, 191de maximo

absoluto, 191local(relativo), 193

primitiva, 297propriedades

da exponencial, 345da integral definida, 285da integral definida, 282do logaritmo, 344

refletor parabolico, 66regra

da cadeia, 178de L’Hopital

primeira, 378segunda, 379

de Simpson, 374do trapezio, 373

relacao de ordem, 4reta

real, 3tangente, 33tangente vertical, 132

solido de revolucao, 323sequencia de Fibonacci, 94soma de Riemann, 280, 290, 291somatorio, 272superfıcie de revolucao, 330

taxa de variacao, 155taxas relacionadas, 185teorema

da funcao inversa, 246de Bolzano, 117, 391de Rolle, 223do sanduıche, 83do valor intermediario, 118do valor medio

generalizado, 227para derivada, 225para integral, 287

dos valores extremos, 191, 393fundamental do calculo, 296, 297

testeda derivada segunda, 212

valormınimo

absoluto, 191maximo

absoluto, 191valor absoluto, 6valor medio

de uma funcao, 286teorema do, 287

valores extremos, 191velocidade

instantanea, 32, 152media, 32, 151

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410 Indice Remissivo

volumede um anel, 325metodo das cascas, 340metodo do disco, 323secoes retas, 339