BASE EXPERIMENTAL DAS CINCIAS NATURAIS

Resumo sobre Propagao de Incertezas e Construo de GrficosSegunda Edio 02.2008

2008

2 Edio Copyright 2008 por Fundao Universidade Federal do ABC

Daniel Zanetti de Florio e Herculano da Silva Martinho.Todos os direitos so reservados. Nenhuma parte desta publicao pode ser reproduzida, armazenada em um sistema de recuperao, ou transmitida, em nenhuma forma ou por qualquer meio, eletrnico, mecnico, reprogrfico, gravado ou outro qualquer, sem a permisso prvia da UFABC.

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Resumo sobre Propagao de Incertezas e Construo de Grficos

Algarismos Significativos e Incertezas

A Cincia, em busca de tornar inteligvel e conhecidas as regras e leis fundamentais da Natureza, sempre buscou eleger e quantificar quantidades, chamadas de grandezas, que representam numericamente uma certa caracterstica (volume, massa, comprimento, velocidade, tempo, etc). Os valores destas grandezas so sempre obtidos por comparao com um padro prestabelecido (comprimento, massa, tempo, etc) ou atravs de uma medio especfica em um equipamento que fornece uma leitura direta em um medidor (voltagem, corrente, resistncia, etc). Ainda, possvel obter o valor de uma dada grandeza desconhecida, atravs de operaes matemticas efetuadas sobre grandezas inicias que foram previamente medidas (por exemplo, a densidade obtida atravs de razo entre a massa e o volume de uma substncia). Um fato essencial que, independentemente da maneira como foi determinada, o valor de uma grandeza sempre conhecido de modo impreciso. Assim, to importante quanto realizar um experimento e obter o valor de uma grandeza, conhecer o erro envolvido nesta medio. prtica comum em qualquer rea da Cincia, escrever numericamente uma grandeza de modo a deixar claro qual a casa decimal onde se localiza o algarismo (dgito) incerto da medida. Os algarismos considerados corretos e a ltima casa decimal conhecida (algarismo duvidoso) so chamados algarismos significativos.

De modo prtico, dado o resultado de uma medio, os algarismos significativos so todos aqueles contados, da esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo diferente de zero. 3

Exemplo 1: O valor: 45,30 cm, tem quatro algarismos significativos; 0,0595 m, tem trs algarismos significativos e 0,0450 kg tem trs algarismos significativos. No laboratrio, quando voc utiliza, por exemplo, a balana digital para determinar a massa de um corpo, voc obtm uma leitura, por exemplo, 2,50 g. Qual a preciso desta medida? A preciso desta medida est relacionada com a incerteza (a qual, geralmente representada pela letra grega sigma, ) na medida dada pela balana utilizada. Geralmente a incerteza (tambm chamada de erro) de qualquer instrumento (balana, multmetro, etc.) depende do fundo de escala utilizado. Esta preciso (ou incerteza na medida) pode ser encontrada no manual do equipamento. Algumas instrumentos apresentam no prprio painel frontal a preciso de suas medidas em dgitos (por exemplo, no caso da balana digital: 0,01 g) ou em porcentagem (por exemplo: 5%). Suponha que no caso da balana digital do laboratrio a incerteza : 0,01 g, ou seja, a medida de 2,50 g apresenta incerteza de 0,01 g, a qual costuma-se escrever como: (2,50 0,01) g. Se no painel frontal do instrumento estivesse indicada a preciso de 10%, a incerteza na medida de 2,50 g seria: 2,50 g x 10% = 0,25 ou (2,50 0,25) g. Em outras medidas, geralmente no digitais, voc deve estimar a erro. Vamos supor que voc est efetuando a medio do comprimento de um barbante, utilizando para isso uma rgua graduada em milmetros. Voc observa que o segmento de reta tem um pouco mais de vinte e sete centmetros e cinco milmetros e menos que vinte e sete centmetros e seis milmetros. Ento, voc estima o valor desse "pouco" que ultrapassa vinte e sete centmetros e cinco milmetros, expressando o resultado da medio como: 27,55 cm. Ou seja, voc tem trs algarismos corretos (2, 7 e 5) e um duvidoso (5), porque este ltimo foi estimado por voc um outro observador poderia fazer uma estimativa diferente. Zeros esquerda do primeiro algarismo correto, antes ou depois da vrgula, no so significativos. Refletem apenas a utilizao da unidade, ou seus mltiplos e submltiplos. Note que se voc preferisse expressar o resultado 0,0595 m em centmetros, ao invs de metros, voc escreveria 5,95 cm. Nada se altera, voc continua com os mesmos trs algarismos significativos, mas ateno, zeros colocados direita do resultado da medio, so significativos. O resultado 0,0450 kg diferente de 0,045 kg, pois o primeiro tem trs algarismos significativos enquanto o segundo tem apenas dois. No primeiro caso, o zero o algarismo duvidoso, enquanto no segundo caso o algarismo duvidoso o cinco. Isso

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significa que houve maior exatido, preciso, de medio no processo onde se obteve o resultado 0,0450 kg. Vamos supor que voc fez trs medies de massa de um mesmo corpo em uma balana de leitura digital que apresenta o resultado em gramas, obtendo os seguintes valores: 5202 g; 5202 g e 5203 g. Voc obteve resultados com quatro algarismos significativos. Para apresentar o resultado da medio, voc resolveu fazer a mdia entre as trs leituras obtidas, utilizando trs casas decimais para o clculo: 5202 g + 5202 g + 5203 g = 15607g : 3 = 5202,333 g Ora, se voc apresentar como resultado da medio o valor 5202,333g, sem qualquer informao adicional, voc o estar falseando, pois este exibe sete algarismos significativos. Nesse caso, o resultado apresentado no resultante apenas do processo de medio, mas foi influenciado pelo clculo com trs casas decimais. Voc passar a informao de que a medio foi realizada com exatido muito superior ao que de fato ocorreu no processo de medio. O correto dar o resultado com no mximo a mesma quantidade de algarismos significativos da medio realizada com o menor nmero de algarismos significativos ou calcular o desvio padro dessa mdia, como veremos mais adiante. O contrrio tambm pode ocorrer. Pegando o mesmo exemplo, digamos que voc tenha decidido apresentar o resultado da medio em quilogramas, ou seja, 5,202 kg. Ento, voc resolve arredondar o valor obtido para 5,2 kg. Esse resultado apresenta apenas dois algarismos significativos e expressa uma exatido inferior quela obtida pelo processo de medio. Assim, a maneira correta de apresentar esse resultado 5,202 kg, portanto com os mesmos 4 significativos originais1. Um algarismo chamado significativo quando ele transmite alguma informao. Se um algarismo tem a mesma probabilidade de estar correto que qualquer outro algarismo, este algarismo no ter nenhum significado, ou seja, no contm nenhuma informao precisa. A regra bsica para algarismos significativos consiste em considerar 2 algarismos para a incerteza (), quando o primeiro algarismo da incerteza for igual a 1 ou 2. Nos demais casos, ou seja, quando o primeiro algarismo de for 3, ter somente 1 algarismo significativo. Os algarismos significativos da grandeza, tambm chamada de valor ou medida, dependendo do caso, sero aqueles correspondentes aos algarismos da incerteza,

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assim se uma incerteza apresenta 4 algarismos (dgitos) significativos a grandeza correspondente somente poder apresentar 4 algarismos significativos. Isto fica mais claro quando esta regra demonstrada a partir de alguns exemplos. Exemplo 2: Os resultados abaixo esquerda foram obtidos em clculos. Eles so corretamente reescritos direita utilizando apenas algarismos significativos:

A = (9,035 0,010) B = (7,285 0,021) C = (1,165 0,030) D = (4,475 0,045)

A = (9,035 0,010) B = (7,285 0,021) C = (1,17 0,03) D = (4,48 0,05)

Exemplo 3: A Tabela 1 mostra alguns exemplos de grandezas fsicas medidas experimentalmente, ilustrando a regra acima2.

Tabela 1: Valores experimentais de algumas grandezas.

Grandeza (smbolo) Velocidade da luz (c) nmero de Avogadro (NA) Massa do eltron (me) carga do eltron (e) Constante de Boltzmann (KB) constante de Stefan-Boltzmann (B) Constante de Planck (h)

Valor determinado experimentalmente (2,997925 0,000003) x 108 m/s (6,02252 0,00028) x 1023 (9,1091 0,0004) x 10-31 Kg (1,60210 0,00007) x 10-19 C (1,38054 0,00018) x 10-23 J/K (5,6697 0,0029) x 10-8 W/m2K4 (6,6256 0,0005) x 10-34 Js

Na tabela 1 o valor apresentado para a velocidade da luz (c) possui 6 algarismos significativos, ou seja, at o dgito 2, anterior ao dgito 5, o valor exato. O dgito 5, por sua vez, apresenta uma incerteza de valor igual a 3, ou seja, o ltimo dgito (5) do valor apresentado para a velocidade da luz incerto e pode variar entre 2 e 8 (5 3 = 2 e 5 + 3 = 8). Ou seja, se voc medisse c e encontrasse o valor de (2,997924 0,000004) ou (2,997927 0,000002) poderia dizer que estes valores esto corretos por concordarem com a tabela 1.

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Mdia de n medidas de uma mesma grandezaEm cincia experimental, um problema importante o de calcular a mdia de um conjunto de medidas A1; A2; ...; An e seus desvios padres A1; A2; ...; An. No caso mais simples, os desvios padres (incertezas em cada medida) so todos iguais, isto : A1 = A2 = ... = An = e podemos definir a mdia de n medidas de uma mesma grandeza como:

1 n < x >= Ai n i =1e o desvio padro como:

=

i =1

n

( Ai < x > )2n 1

Para maiores detalhes consulte o texto Clculo de Mdias no site da disciplina BC0001 Base Experimental das Cincias Naturais.

Essas funes (mdia e desvio padro), geralmente, j esto implementadas em calculadoras e programas de computador como o Microsoft Excel e o BrOffice.org Calc disponvel nos computadores da UFABC.

A utilizao dessas funes no BrOffice.org Calc bastante simples. Suponha que voc tenha entrado com os seguintes dados A1=2; A2=4; A3=6; A4=8; A5=10; e uma planilha do BrOffice.org Calc (Figura 1):

O clculo da mdia segue o princpio da probabilidade mxima que no ser tratada neste texto. Leia o item Observaes Importantes para outras informaes.

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Figura 1: Planilha do BrOffice.org Calc.

Voc pode calcular a mdia desses dados inserindo a funo MDIA abaixo dos dados da seguinte forma: escreva em qualquer clula vazia a expresso =MDIA(A1:A5), como na Figura 2, isso informa ao BrOffice.org Calc para calcular a mdia dos valores presentes nas clulas A1, A2, A3, A4 e A5.

Figura 2: BrOffice.org Calc executando a funo mdia.

Analogamente, para o clculo do desvio padro a funo : DESVPAD, Figura 3.

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Figura 3: BrOffice.org Calc executando a funo desvio padro.

Propagao de errosA seguir ser considerado o problema de uma grandeza W que calculada como funo de outras grandezas x, y, z,... . Se os desvios padres das grandezas x, y, z,... so: x, y, z,... pode ser mostrado que o desvio padro da grandeza W :

W

W W W 2 2 2 = x + y y + z z ... x 2 2

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Exemplo 1: Essa expresso til quando queremos calcular o desvio padro de determinada grandeza sabendo os valores e incertezas das grandezas utilizadas no clculo como quando queremos determinar a fora peso (P) de uma corpo de massa (m) sob a acelerao da gravidade terrestre (g). P = mg. Suponha que voc tenha determinado a massa desse corpo na balana do laboratrio, obtendo o valor m = 10,00 g e a incerteza da balana 5% do valor da medida, ento a incerteza no valor de m igual a 0,5 g, ou seja, m = (10,0 0,5) g. Suponha que o valor da acelerao da gravidade no laboratrio seja g = (9,78 0,03) m/s2. simples determinar a fora peso, basta multiplicar a massa pela acelerao da gravidade, logo: P = 97,8 N. Mas a incerteza nessa medida?veja o Projeto Final de autoria de: Hermes D. Martins, Jos N. de Freitas, Lucas M. Dias, Orlando S. K. Fang, Paulo A. D. Arashiro, Rodrigo Scatolin, Sergio P. B. da Costa, Stphanie P. Fatecha e Prof. Daniel Z. de

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Para o clculo da incerteza nessa determinao utilizaremos a expresso acima e substituindo o nome das variveis, temos:

P P 2 2 P = m + g g m 2

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a derivada da funo peso (P) em relao a varivel massa (m) :

dP =g dme em relao a g :

dP =m dgsubstituindo, vemos que a expresso para o desvio padro na fora peso :2 2 P = g 2 m + m2 g =

(9,78)2 (0,5)2 + (10,0)2 (0,03)2

P = 4,9 5ou seja, o valor da fora peso no experimento : P = (98 5) N. A Tabela 4 mostra alguns exemplos de W para diversas funes W(x, y, z,...). Deve ser observada a grande simplificao que se obtm na expresso para o erro em certos casos.

Florio, intitulado O Pndulo Simples, apresentado no II Simpsio da Disciplina BC0001 Base Experimental das Cincias Naturais na UFABC em maio de 2007.

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Tabela. 4: Exemplos de W para diversas funes W(x, y, z,...).2 W = + W

Funo W(x, y, z,...)

W=

1 x

W =2

xx2

ou

WW

=

xx2

W

W = x2 y

x2 2 2 = 2x y x + 2 y y 22 2 2

(

)

W 1 y = 4 x + ou W x 4 y 2 2 W = x2 + y + z2

W = x y z W = log xx y

W = (log e)2

xx2 2

W = xy ou W =

W x y = + W x y

W = xm

W = mx m 1 x

ou

W

= mx m 1 x

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Construo de Grficos e Ajuste de FunesDesde os tempos primitivos o homem utiliza-se de meios grficos para representar suas idias, seu dia-a-dia, e sua histria. Basta para isso lembrarmos dos desenhos ruprestes descobertos em cavernas pr-histricas. A representao grfica desempenhou um papel fundamental para o desenvolvimento da Cincia, visto que permitiu uma descrio quantitativa (atribuio de valores numricos e busca de inter-correlaes entre eles) dos fenmenos naturais. Ao olhar todo o conjunto de dados numricos coletados, usualmente disposto numa tabela, muitas das caractersticas importantes do conjunto de dados ficam pouco evidentes. Deste modo, representar graficamente os resultados de um experimento uma maneira de resumi-los, salientado propriedades e caractersticas. Por exemplo, vamos considerar a tabela 5, que contm resultados de exames de sade para um grupo de 40 homens (dados extrados do apndice B da ref. 4). Apesar de relevantes para cada individuo que participou da pesquisa cientfica que originou estes dados, ao olhar diretamente para a tabela pouco ou quase nada se aprende sobre o comportamento da populao de homens. O que se busca sempre obter correlaes entre os diversos dados obtidos. Uma pergunta bvia seria: qual a relao entre o ndice de massa corprea (IMC) e o peso dos indivduos? Para obter essa resposta de extrema utilidade construir um grfico que relacione estas duas grandezas. Neste grfico iremos colocar no eixo horizontal (abscissas) os valores de peso e no eixo vertical (ordenadas) os valores de IMC. Porm, estes valores no podem ser colocados de qualquer maneira. Lembre-se que o objetivo do grfico fornecer uma visualizao da correlao entre as grandezas. Para tanto necessria a escolha de uma escala adequada para facilitar este objetivo. Um bom grfico contm todos os pontos experimentais e permite a obteno de todos os valores numricos da tabela original por inspeo visual.

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Tabela 5: Resultados de exames de sade obtidos de um grupo de 40 homens (ref. 4, apndice B).Idade (anos) 58 22 32 31 28 46 41 56 20 54 17 73 52 25 29 17 41 52 32 20 20 29 18 26 33 55 53 28 28 37 40 33 26 53 36 34 42 18 44 20 Altura (m) 1,80 1,68 1,82 1,74 1,72 1,76 1,69 1,71 1,73 1,67 1,60 1,73 1,86 1,72 1,73 1,80 1,56 1,94 1,68 1,77 1,66 1,78 1,60 1,74 1,73 1,76 1,76 1,73 1,83 1,68 1,84 1,85 1,73 1,74 1,79 1,62 1,81 1,67 1,73 1,68 Peso (Kg) 76,1 64,9 80,7 79,1 68,7 75,1 60,8 90,7 78,8 62,6 70,3 84,0 86,0 68,1 94,2 106,7 79,5 99,3 74,7 61,8 73,9 73,1 68,3 64,8 92,1 87,2 77,8 72,9 78,7 76,4 96,0 89,1 78,0 96,5 61,7 53,8 85,1 74,1 76,5 68,0 Taxa Pulsao bat/min 68 64 88 72 64 72 60 88 76 60 96 72 56 64 60 64 84 76 84 88 72 56 68 64 60 68 60 60 56 84 72 84 88 56 64 56 56 60 64 72 Presso sistlica mmHg 125 107 126 110 110 107 113 126 137 110 109 153 112 119 113 125 131 121 132 112 121 116 95 110 110 125 124 131 109 112 127 132 116 125 112 125 120 118 115 115 Presso diastlica mmHg 78 54 81 68 66 83 71 72 85 71 65 87 77 81 82 76 80 75 81 44 65 64 58 70 66 82 79 69 64 79 72 74 81 84 77 77 83 68 75 65 Colesterol mg 522 127 740 49 230 316 590 466 121 578 78 265 250 265 273 272 972 75 138 139 638 613 762 303 690 31 189 957 339 416 120 702 1252 288 176 277 649 113 656 172 IMC 23,5 23,0 24,3 26,0 23,3 24,3 21,3 31,1 26,2 22,5 27,5 27,9 24,9 23,1 31,6 32,8 32,8 26,5 26,4 19,7 26,8 23,1 26,8 21,4 30,6 28,1 25,2 24,4 23,6 27,1 28,4 25,9 26,0 31,7 19,3 20,5 26,1 26,7 25,4 24,0

13

35

30 26

IMC

25

2078

15 50 60 70 80 90 100 110

Peso (Kg)

Figura 4: Grfico de IMC vs Peso.

35

26 28

IMC21

78

49

56

63

70

77

84

91

98

105

Peso (Kg)

Figura 5. Grfico de IMC vs Peso com escolha infeliz de escala.

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Na fig. 4 temos um exemplo de um grfico de IMC vs Peso construdo de maneira adequada. Todos os pontos experimentais esto presentes e pela leitura das escalas dos eixos pode-se encontrar qualquer valor da tabela 5. Por exemplo, o 33o dado experimental (indicado em linha cinza na tabela), corresponde ao ponto representado pelo crculo cinza no grfico. V-se que este ponto possui coordenadas (78; 26). Outro elemento importante: devem sempre ser colocadas as unidades corretas. sempre aconselhvel usar valores mltiplos de 2,3, 5 ou 10 nas escalas. Um mal exemplo de escolha de escalas est na fig. 5. Neste caso o espaamento entre as escalas maiores de 7 unidades, impossibilitando a leitura de quase todos os pontos. Este tipo de erro cometido com freqncia por quem confia cegamente na primeira escala sugerida pelo software de anlise de dados que usa, ou por quem fazendo o grfico mo esquece de arredondar a escala calculada para valores mais adequados. Existem vrios softwares teis para confeco de grficos. Um de grande uso no meio cientfico o Microcal Origin. Os softwares MS-Excell e BROffice tambm possuem ferramentas adequadas para plotar dados. O site do desenvolvedor do BrOffice (http://www.broffice.org), bem como outros muitos sites especializados de Instituies de pesquisa e universidades, possuem bons tutoriais para criao de grficos. Uma vez feito o grfico hora de buscar informaes mais detalhadas respeito do fenmeno que se quer estudar. Observando a fig. 4, percebe-se que apesar do grande espalhamento dos dados, h uma tendncia destes seguirem uma linha reta. Um grande nmero de fenmenos na natureza tambm segue este tipo de comportamento, que chamamos de linear. Uma relao linear entre duas grandezas Y e X dada pela equao Y = a+bX, onde a e b so parmetros ajustveis da equao. Visualmente, pode-se imaginar um grande nmero de retas passando pelos pontos (vide Fig. 6). Qual delas deve-se usar? H alguma que descreve melhor os dados? Como obt-la? O fato que existe uma nica reta em especial que localiza-se no grfico em uma regio tal que se somarmos as distncias quadrticas de todos os pontos esta reta teremos a menor soma possvel (o termo tcnico empregado encontrar o mnimo quadrado). Este tipo de soma tediosa e trabalhosa, e feita com o auxlio de mtodos computacionais. Estes mtodos testam todas as possveis retas e do como resultado aquela que minimiza as distncias quadrticas.

15

35

30

IMC

25

20

15 50 60 70 80 90 100 110

Peso (Kg)

Figura 6. Vrias possveis retas que podem passar pelos pontos experimentais da tabela 5.

Este mtodo chamado de regresso linear. Os programas comuns de confeco de grficos e anlise de dados (BrOffice.org Calc, MS-Excel, Origin, etc) j possuem rotinas prontas para este procedimento. fundamental que o aluno se familiarize o mais rpido possvel com estes programas, bem como com as ferramentas de anlise de dados. No MSExcel (e de modo parecido no BrOffice.org Calc) esta ferramenta localiza-se na aba Ferramentas Anlise de dados Regresso (vide fig. 7). Ao selecionar Regresso, abre-se uma nova janela (vide fig.9) e deve-se selecionar as colunas adequadas para X e Y. Na fig. 8 observa-se o resultado da regresso linear. Os parmetros mais importantes so os coeficientes (cinza), os erros ou desvio-padres (amarelo) e o R2 (laranja). Desta regresso, ve-se que o parmetro a (interseco) vale a = 8 2 . A inclinao da reta (varivel X1) vale b = 0,23 0,03 . Logo, a Lei que governa o comportamento do IMC em funo do peso para homens deve ser escrita como

IMC = 8 + 0,23Peso um bom exerccio para o aluno repetir os passos para regresso usando outros pares presentes na tabela 5 (como presso sistlica vs presso diastlica)

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Figura 7. Ferramenta de anlise de dados do MS-Excel.

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Figura 8. Sada de dados da regresso linear.

Na grande maioria dos casos, a relao entre duas grandezas medidas no linear. Considere por exemplo, a evoluo do ndice Dow Jones (IDJ), da Bolsa de Nova Iorque, em funo do tempo, apresentado na Fig. 9a).

12000

10000

10000

8000

IDJ6000 4000 1000 2000

a)0 1980 1985 1990 1995 2000 1980 1985 1990 1995

b)2000

T(anos)Figura 9.a) Indice Dow Jones em funo do tempo. b) Grfico linearizado

Claramente percebe-se que a relao entre o IDJ e T no linear. Uma maneira simples de encontrar qual a relao funcional entre dois dois parmetros colocar os

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dados numa escala logartmica. Na fig. 9b) tem-se um exemplo de grfico monolog, onde o eixo das ordenadas foi colocado em escala log. Nesta escala percebe-se uma dependncia linear entre as grandezas, ou sejalog(IDJ ) = a + bT De outro modo, invertendo a funo logartmica, IDJ = 10(a+bT ) . Neste caso especfico, a regresso linear forneceu

a = 106 4

e

b = 0,055 0.002 . Ento

IDJ = 10(106+0,055T ) . Existem situaes onde necessrio tomar a escala log nos dois eixos (grficos dilog) bem como realizar alguma operao matemtica mais complexa nas grandezas

(elevar ao quadrado, tirar raiz, inverter, etc) para obter uma relao linearizada. Como exerccio, descreva quais os passos para linearizar o grfico de Y vs X para os casos a) Y = A + BX 3 ; b) Y = A X ; Y = A + Be X / C .

Observaes ImportantesAlgumas observaes importante foram deixadas para o final do texto para no interromper a seqncia de idias. Por simplicidade vrios conceitos estticos foram omitidos, os principais so:

Distribuio Gaussiana Princpio da Probabilidade Mxima Ajuste de Funes Critrio do 2-reduzido

Todas as incertezas consideradas neste texto so incertezas (erros) estatsticos, existem outros tipos de incertezas como a incerteza sistemtica, maiores informaes sobre o assunto podem ser encontradas nas referncias bibliogrficas. A regra aqui apresentada para o nmero de algarismos significativos geralmente seguida em publicaes cientficas. Entretanto, o leitor no ter nenhuma dificuldade em encontrar exemplos onde ela no seguida.

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Referncias1. P. R. Bevington, "Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences", McGraw-Hill Book Company (1969). 2. N.C. Barford, "Experimental Measurements: Precision, Error and Truth". 3. C. E. Hennies, W. O. N. Guimares, e J. A. Roversi, Problemas Experimentais em Fsica, vols. I e II, 4a edio, ed. UNICAMP (1993). 4. M. F. Triola, Introduo Estatstica, Rio de Janeiro, LTC (2005).Conceitos Bsicos Sobre Medio - Ipem-sp. Disponvel em: http://www.ipem.sp.gov.br/5mt/medir.asp?vpro=significa Acesso em: 28 mai. 2007. 2 N. Ueta, J. H. Vuolo, M. H. Tabacniks, J. M. de V. Martins, Apostila de Laboratrio de Fsica III, IFUSP (1991) 76.1

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