THÁRCIO DE LIMA DOMINGUES

A PROPOSTA DE ENSINO DO TEOREMA DE PITÁGORAS EM DIFERENTES METODOLOGIAS

Assis 2010

THÁRCIO DE LIMA DOMINGUES

A PROPOSTA DE ENSINO DO TEOREMA DE PITÁGORAS EM DIFERENTES METODOLOGIAS

Trabalho de conclusão de curso apresentado ao Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis, como requisito de curso de Licenciatura em Matemática.

Orientador: Rita de Cássia Cassiano Lopes Área de concentração: Ensino de Matemática

Assis 2010

FICHA CATALOGRÁFICA

DOMINGUES, Thárcio A proposta de ensino do teorema de Pitágoras em diferentes metodologias/Thárcio de Lima Domingues - Fundação Educacional do Município de Assis – Assis, 2010.

Orientadora: Rita de Cássia Cassiano Lopes Trabalho de Conclusão de Curso – Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis 1. História do teorema de Pitágoras. 2.Estudo de diferentes metodologias

CDD: 510 Biblioteca da FEMA

A PROPOSTA DE ENSINO DO TEOREMA DE PITÁGORAS EM DIFERENTES METODOLOGIAS

Thárcio de Lima Domingues

Trabalho de conclusão de curso apresentado ao Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis, como requisito de curso de licenciatura em matemática, analisado pela seguinte comissão examinadora:

Orientador: Rita de Cássia Cassiano Lopes

Analisador: Leonor Farcic Fic Menk

Assis 2010

DEDICATÓRIA

Aos meus pais Valdir Domingues e Maria Simone de Lima Domingues e a minha namorada Amanda da Silva Paião por representar meus maiores exemplos de vida e experiência de amor, amizade e lealdade e, sobretudo, pelo apoio e dedicação.

AGRADECIMENTOS

Agradeço principalmente a Deus, que além de tudo, me deu o “Dom da Vida!”.

A professora Rita de Cássia Cassiano Lopes pela orientação e pelo constante estimulo transmitido durante o trabalho.

Aos amigos de sala de aula, principalmente ao Marcio Hernani Barbosa da Silva, que me ajudou em momentos críticos e a todos que colaboraram direto ou indiretamente na execução deste trabalho.

Aos meus pais e a minha namorada que sempre estiveram do meu lado, me apoiando e me ajudando para o sucesso da minha formação.

O ser capaz mora perto da necessidade.

Pitágoras

Resumo

O presente trabalho tem como objetivo evidenciar proposta de abordagens do Teorema de

Pitágoras e suas aplicações utilizando diferentes metodologias. Em um primeiro momento

partimos para um levantamento do referencial teórico, logo em seguida, desenvolveram-se

algumas sugestões de propostas de metodologias que podem ser abordadas nos

procedimentos de ensino. Os Métodos utilizados são de suma relevância para o

desenvolvimento do ensino do teorema de Pitágoras, contribuindo na aprendizagem do

conteúdo proposto, tendo como público alvo os alunos do 9º ano do ensino fundamental,

mas não foi possível obter uma conclusão sólida de qual metodologia seria a mais adequada,

contudo apresentamos propostas, baseadas em experiências oriundas de educadores

renomados.

ABSTRACT

This paper aims to highlight proposed approaches of the Pythagorean Theorem and its

applications using different methodologies. At first we went to a survey of the theoretical,

shortly thereafter, developed some suggested proposals for methodologies that can be

addressed in the teaching procedures. The methods used are of paramount importance for

the development of the teaching of the Pythagorean theorem, contributing to the learning

content proposed, having as target students in 9th grade of elementary school, but could not

get a firm conclusion on which method would be more appropriate, however we present

proposals, based on experiences derived from renowned educators.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

FIGURA 1 - Imagem de Pitágoras...................................................................................15

FIGURA 2 - Modelo da corda de 13 nós empregada pelos antigos egípcios e a formação do triângulo de lados 3,4,5..............................................................................................19

FIGURA 3 - O Triângulo Retângulo...............................................................................20

FIGURA 4 - Quadrado com dois Triângulos Retângulos................................................21

FIGURA 5 - Saddo Almouloud.......................................................................................21

FIGURA 6 - Triângulo Retângulo...................................................................................28

FIGURA 7 - Quadrado....................................................................................................29

FIGURA 8 – Triângulo....................................................................................................30

FIGURA 9 - Triângulo Retângulo...................................................................................30

FIGURA 10 - Materiais para a construção de uma Pipa.................................................32

FIGURA 11 - Pipa 1........................................................................................................33

FIGURA 12 - Pipa 2........................................................................................................33

FIGURA 13 - Pipa 3........................................................................................................34

FIGURA 14 - Pipa 4........................................................................................................35

FIGURA 15 - AB .............................................................................................................36

FIGURA 16 - A Reta Perpendicular................................................................................37 FIGURA 17 - Triângulo Retângulo.................................................................................37

FIGURA 18 - Triângulo Retângulo com os valores de seus segmentos..........................38

FIGURA 19 - Triângulo Retângulo com os Ângulos......................................................38

FIGURA 20 - Triângulo Retângulo com os valores dos Ângulos...................................39

FIGURA 21 – A fórmula do Teorema de Pitágoras........................................................39

FIGURA 22 – Movimentação no Cabri – Géomètre.......................................................40

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

LEM – Laboratório de ensino de Matemática

MD – Material Didático

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO............................................................................................................14 1.1.História............................................................................................................................14 1.2 Justificativa.....................................................................................................................16 1.3 Objetivos.........................................................................................................................18 1.3.1 Objetivos Gerais.........................................................................................................18 1.3.2 Objetivos Específicos................................................................................................18 1.4 Metodologia....................................................................................................................18 1.5 Estrutura do Trabalho....................................................................................................18 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...............................................................................19 2.1 Uma abordagem Tradicional............................................................................................19 2.2 O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM)..............................................................22 2.3 A informática Educacional...............................................................................................24 3. PROPOSTAS DE TRABALHO................................................................28 3.1 Proposta de ensino do Teorema de Pitágoras por meio de uma metodologia convencional...............................................................................................................28

3.2 A proposta do teorema de pitágoras por meio do Laboratório de Ensino de Matemática (LEM ).....................................................................................................31 3.3 A proposta de ensino do Teorema de Pitágoras por meio do software Cabri – Géométré.....................................................................................................................36 3 .4 Complementando as Propostas............................................................................40

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS.....................................................................41 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................43

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1. INTRODUÇÃO

O Teorema de Pitágoras conceitua que: “Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da

medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos”.

Os conceitos matemáticos, em muitos momentos, tornam-se um árduo caminho para o

entendimento de alunos nos primeiros anos escolares. Para tentar reduzir ou minimizar a

dificuldade que os alunos encontram, é possível trabalhar estes conceitos por meio de

diferentes metodologias, que não somente a do lápis e papel. Várias metodologias podem ser

definidas como diferenciais, para o aluno na aprendizagem de Matemática.

Com o surgimento da tecnologia e sua evolução, foi possível a criação de formas diferentes

para mostrar alguns conceitos matemáticos. Dentre essas tecnologias, o uso da Informática é

uma que se destaca. Podemos, por meio do computador, e mais especificamente, por meio

de softwares especializados proporcionar aos alunos uma forma diferente de aprendizado.

Em relação ao Teorema de Pitágoras, existem alguns softwares que podem facilitar o seu

entendimento.

Porém, não só o uso das ferramentas computacionais pode proporcionar a facilidade do

aprendizado. Outros métodos de ensino também podem ser propostos, como por exemplo, o

uso de Laboratórios de Ensino de Matemática. Esses laboratórios, utilizando-se de várias

opções, podem trazer o conceito matemático muito mais perto do aluno.

1.1 História

De acordo com as tradições contadas:

A pitanisa do oráculo de Delfos avisou aos pais de Pitágoras (senhor Mnésarcnos e sua mulher Parthénis), que o filho esperado por Parthénis seria um homem de extrema beleza, inteligência e bondade, e iria contribuir de forma única para o beneficio de todos os homens. Quando a criança nasceu em Samos, na Grécia, numa data que se situa mais ou menos em 580 a.c, os seus pais deram-lhe o nome de Pitágoras, em homenagem à pitanisa que havia previsto para ele uma vida diferente dos outros.

15

De todas as lendas obtidas sobre a vida de Pitágoras, a que as pessoas mais asseguram, foi à que ele não era um homem em comum, pois era chamado de um deus em forma de humano, por ensinar sua filosofia, a ciência e a arte, como cita o site (http://www.exatas.com/matematica/pitagoras.html)

FIGURA 1: Pitágoras – In:

http://2.bp.blogspot.com/_QuhOjQfm3tc/SYbzAoRrGMI/AAAAAAAAABk/FitBCJp6r5c/s400/060825_pitagoras.jpg

Na passagem pela sua adolescência, Pitágoras percebe que tudo o que os gregos sabiam

nada mais era o que se encontrava nos Templos Egípcios e na Mesopotâmia. Desejando

descobrir os segredos da Vida, se deslocou para o Oriente, assim escolhendo Esparta

(município da Grécia Antiga), situada as margens do rio Eurotas, como ponto de partida,

onde passou por 40 anos conhecendo lugares extraordinários.

Os historiadores afirmam que ele foi o primeiro homem a ser o “amigo da sabedoria”, por

causa de sua grande inteligência e bondade.

Com o passar dos anos, Pitágoras partiu para Crotona, (Magna Grécia, ao Sul da península

Itálica) em busca de novos conhecimentos, onde fundou a escola “Fraternidade Pitagórica”,

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na qual reuniu os conhecimentos matemáticos, música e astronomia com base na ciência e

da arte.

O amigo da sabedoria designava Deus pelo número 1 e a matéria pelo número 2, mostrando

o universo pelo número 12, resultante da multiplicação de 3 por 4, ou seja, ele concebia o

universo composto por três mundos particulares que, encaixando-se uns aos outros por meio

dos quatro princípios ou elementos da natureza, desenvolviam-se em 12 esferas

concêntricas.

Com sua sabedoria e sua inteligência, aprendeu no Egito que os astros são corpos vivos que

se movimentavam no espaço, obedecendo a uma lei de harmonia universal, sendo assim,

desenvolvia suas figuras geométricas mais perfeitas.

Segundo o site, Pitágoras foi o inventor da palavra filósofo, porque certa vez, enquanto

assistia aos jogos olímpicos, o príncipe Leon perguntou a ele como ele se definia, e

Pitágoras respondeu:

“eu sou um Filósofo”, porque aqui nessa multidão reunida, alguns vieram em busca da fama, outros a procura de lucros, mas entre eles, alguns vieram observar e entender o que se passa aqui, eu chamo de filósofo, embora nenhum homem seja completamente sábio, o filósofo ama a sabedoria, como a chave para os segredos da natureza, (http://www.exatas.com/matematica/pitagoras.html#vida)

1.2 JUSTIFICATIVA

Segundo D Ambrósio (1989, p. 15):

As pessoas em geral, acham que a Matemática é um corpo de conceitos verdadeiros e estáticos, do qual não se duvida ou questiona, nem mesmo se preocupam como ela funciona, pois, acham que a Matemática é desenvolvida em cima de regras e não procuram solucionar um problema com soluções alternativas.

As dificuldades encontradas pelos alunos no processo de ensino e de aprendizagem da

Matemática são muitas e conhecidas. Muitas vezes, o aluno não consegue entender a

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matemática que a escola lhe ensina, e assim, é reprovado nesta disciplina ou mesmo que

aprovado, sente dificuldades em utilizar o conhecimento "adquirido".

Analisando os livros didáticos do 9º ano do ensino fundamental (antiga 8ª série), resolvemos

desenvolver uma investigação sobre o aprendizado do “Teorema de Pitágoras” para os

alunos. Muitas vezes o modo de ensinar do professor acaba desanimando, sendo cansativo,

tornando o aprendizado mais complicado para eles. São nesses momentos, que muitos

professores procuram desenvolver uma aula diferente, utilizando os meios eletrônicos e

atividades em laboratórios de ensino de matemática.

Por meio de conversas informais, com professores de matemática, pudemos perceber que

alguns deles julgam que o aluno aprenderá melhor quanto maior for o número de exercícios

por ele resolvido, sendo assim, ele passa a acreditar que na aula de matemática o seu papel é

passivo e desinteressante.

Existem várias metodologias diferentes que podem ser aplicadas no ensino da Matemática e

especialmente no ensino do Teorema de Pitágoras. A descoberta de novas tecnologias são

como tentar definir diferentes caminhos tecnológicos, para a construção do conhecimento no

ensino da matemática.

Visando contribuir para a melhoria das condições de aprendizado dos alunos em relação ao

teorema de Pitágoras, propomos a utilização de formas diversificadas de ensino, não apenas

os procedimentos tradicionais, de giz e lousa, mas também a utilização de laboratórios de

ensino de matemática e da informática.

Será que a metodologia do professor tradicional, aquela metodologia que o aluno aprende

praticando exercícios e copiando conteúdo do quadro negro em sala de aula é o melhor

método? Ou será que usar essas novas tecnologias que vêm surgindo, pode facilitar o aluno

a perceber com mais clareza o conteúdo?

Portanto, qual será a metodologia que podemos usar com mais ênfase entre nossos alunos, a

do professor tradicional, a das novas tecnologias ou a do uso de laboratórios de Ensino de

Matemática.

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1.3 OBJETIVOS 1.3.1 OBJETIVOS GERAIS

Propor diferentes possibilidades de ensino do Teorema de Pitágoras.

1.3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Promover uma discussão em relação às propostas apresentadas e a seus potenciais resultados.

1.4 METODOLOGIA A pesquisa foi desenvolvida de forma qualitativa, de caráter exploratório, com levantamento

de dados por meio de livros, revistas especializadas, textos de dissertações, teses e também

pesquisa eletrônica.

A pesquisa ainda contempla sugestões de ensino do Teorema de Pitágoras por meio de três

formas: a forma convencional, o uso de um Laboratório de Matemática e ainda a utilização

de um software chamado Cabri - Géomètre.

1.5 ESTRUTURA DO TRABALHO A estrutura desse trabalho apresenta além dessa introdução outros três tópicos. A revisão da

literatura, que comenta a análise das leituras feitas para a composição do referencial teórico;

na seqüência são apresentadas três propostas distintas de estudo do teorema de Pitágoras e

finalmente são feitas as considerações finais.

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2. REVISÃO DA LITERATURA 2.1 Uma abordagem Tradicional Segundo o trabalho de conclusão de curso de Renata Alves Costa (CEFET-MG p.2 – 4):

(...) o mais famoso tablete de argila, encontrado na Babilônia, contém seqüências de Números correspondentes às “ternas pitagóricas” – denominado Plimpton 322 – foi utilizado entre 1900 a 1600 antes de Cristo. No entanto, muitas vezes, os professores desconhecem estes fatos, e baseados nos livros didáticos, ensinam que Pitágoras foi quem descobriu a famosa relação: a² = b² + c², considerando um triângulo retângulo de hipotenusa “a” e de catetos “b” e “c”.

Os antigos egípcios utilizavam uma corda com treze nós, igualmente espaçados, de modo a determinar um ângulo reto ou uma a perpendicular, com a sobreposição do primeiro e do décimo terceiro nós (fig. 2). Ao avaliarmos o emprego da corda de treze nós, fica claro que os egípcios também sabiam que um triângulo de lados 3, 4 e 5 possui um ângulo de 90°.

Figura 2: Modelo da corda de 13 nós empregada pelos antigos egípcios e a formação do

triângulo de lados 3, 4, 5 – In:

http://www.senept.cefetmg.br/galerias/Arquivos_senept/anais/terca_tema1/TerxaTema1Ar

tigo16.pdf

20

Outro aspecto a ser destacado é que, ao considerar um triângulo retângulo de hipotenusa “a” e catetos “b” e “c”, a relação a² = b² + c² tem centenas de demonstrações distintas. Desde a Antiguidade, várias pessoas se dedicaram a prová-la.

A definição de triângulos pode ser utilizada em muitos momentos, principalmente quando se

trata de triângulos retângulos (ângulo reto) como diz Diniz (2005 p.267):

O triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. Na figura abaixo BÂC é ângulo reto em A, costumamos dizer que o triângulo ABC é retângulo em A.

FIGURA 3: triângulo retângulo – In: http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u43.jhtm

Em todo triângulo retângulo, os lados que formam o ângulo reto, são denominados catetos, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e os ângulos agudos são os complementares, porque a soma das medidas dos ângulos de qualquer triângulo é 180º, daí a soma das medidas dos ângulos agudos do triângulo retângulo ser 90º.

Um dos teoremas mais conhecidos da matemática foi demonstrado na escola pitagórica, criada pelo matemático grego Pitágoras de Samos (século VI a.C.). Esse teorema estabelece uma relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo, mostrando que em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa, como mostra na figura acima, b e c são as medidas dos catetos e a é a medida da hipotenusa. Assim: b² + c² = a²

Em relação às aplicações do Teorema de Pitágoras, alguns autores desenvolvem suas

atividades usando o Teorema, como cita Diniz (2005 p. 268):

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Num quadrado ABCD, vamos estabelecer a relação que existe entre as medidas da diagonal d e do lado l.

No triângulo ABC, temos:

d² = l² + l²

d² = 2.l²

d = 2 .l²

Figura 4: Quadrado com dois triângulos, In: http://2.bp.blogspot.com/_11SNFMrVD4s/Sgl25Gdai4I/AAAAAAAAAA0/lda_D7UhPc

s/s320/Quadrado.png

A matemática despertou interesse em muitas pessoas do mundo, como diz o professor Dr.

Saddo Ag. Almouloud, numa entrevista a revista Educação Matemática da Sociedade

Brasileira (2003, p. 45 – 49):

Figura 5: Saddo Almouloud – In: http://www.forumafrica.com.br/reportagem_racismo.html

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A relação pitagórica despertou um interesse de muitos povos antigos, tais como babilônios, egípcios, gregos, hindus e chineses. Modernamente parece ter servido de inspiração para um problema que desafiaria matemáticos durante 358 anos.

As demonstrações do teorema de Pitágoras, conhecido como a 47ª proposição de Euclides e também como o “Teorema do carpinteiro“, podem ser classificadas, segundo Loomis, em quatro grandes grupos:

• Algébricas – baseadas nas relações métricas nos triângulos retângulos;

• Geométricas – baseadas em comparações de áreas;

• Vetoriais – baseadas em operações com vetores e empregando o conceito de direção;

• Dinâmicas – baseadas em massa e velocidade;

Como citou o autor, podemos perceber que os desafios matemáticos existem há muito

tempo, pois até mesmo antes de Cristo, vários autores demonstravam suas idéias e seus

conceitos matemáticos.

2.2 O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) Segundo Jesus(2010)

O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) é um local na escola apropriado para realizar as atividades de matemática com os alunos, preferencialmente não só para as aulas de matemáticas, mas também tirar dúvidas de alunos, para que os professores de matemática possam planejar suas atividades, exposições, inclusive produzir materiais instrucionais que possa facilitar o aprimoramento da prática pedagógica.(p.1)

O LEM em muitas escolas nem sempre são utilizados, às vezes nem existe, no entanto, pode

ser construído com muita facilidade, já que podemos construir um laboratório de ensino de

matemática utilizando materiais recicláveis, tornando-se de baixo custo.

Normalmente os professores se esforçam em divulgar o uso do material didático como apoio

nas aulas de Matemática, tentando aprimorar a metodologia na prática educativa do

professor, que é pouco usada e mesmo aqueles que os utilizam, muitas vezes o fazem sem

um estudo mais aprofundado, explorando as potencialidades desses materiais.

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Vários professores que querem realizar um trabalho com o uso de materiais manipuláveis

encontram dificuldades em fazê-lo, pois a maioria das escolas públicas não possui um

espaço próprio para organizar e guardar esses materiais. Os educadores não têm a sua

disposição um local apropriado para desenvolverem essas atividades pedagógicas, tornando

as aulas mais cansativas, pelo fato de não poderem elaborar e propiciar aulas mais

agradáveis e acessíveis no laboratório de ensino de matemática.

O Material Didático (MD) pode ser muito eficiente para o ensino numa aula de matemática,

pois possibilita ao aluno aprender com seu próprio ritmo, ele poderá observar as

transformações de uma forma mais concreta.

De uma forma geral, a atuação do professor é determinante no sucesso ou no fracasso

escolar do aluno, não basta disponibilizar o LEM para os alunos usarem e não saber usar

corretamente os MDs nos momentos certos.

O laboratório de ensino de matemática, assim como a informática, é uma das metodologias

que o professor e os alunos podem utilizar, pois muitas vezes no desenvolvimento de uma

demonstração, podemos construir figuras geométricas ou até mesmo um raciocionio lógico,

como cita Lorenzato (2009, p.5)

(...) não faltam argumentos favoráveis para que as escolas possuam objetos e

imagens a serem utilizados nas aulas, como facilitadores de aprendizagem.

Justamente por isso, decore uma inescapável necessidade de as escolas possuírem

laboratórios de ensino dotados de materiais didáticos de diferentes tipos.

Como podemos perceber o LEM (Laboratório de Ensino de Matemática) é indispensável

para as escolas, pois são nessas aulas que os alunos conseguem enxergar e entender os

conceitos matemáticos de uma forma diferente. Mesmo que o laboratório não esteja em

condições favoráveis, o professor pode tornar o trabalho mais gratificante para o ensino e

aprendizagem do aluno.

24

2.3 A Informática Educacional

Em relação aos conteúdos matemáticos, atualmente podemos contar com uma série de

softwares: algébricos, geométricos, recreativos e vários outros. Dentre eles, destacamos o

software de geometria dinâmica, Cabri–Géomètre, pelo fato do governo do Estado de São

Paulo ter investido na instalação do mesmo na grande maioria das escolas de sua rede de

ensino, além de promover cursos de capacitações à seus professores, para que os mesmos

pudessem utiliza-lo em suas aulas.

(...) este software, cuja primeira versão data de 1988, foi desenvolvido por Yves Baulac, Franck Bellemain e Jean-Marie Laborde, no laboratório de Estruturas Discretas e de Didática do Instituto de Informática Aplicada da Universidade Joseph Fourier de Grenoble, França, com o apoio do Centro Nacional de Pesquisa Científica (CNRS), (Menk,2005, p.39)

Seu nome foi inspirado nas palavras de origem francesa “Cahier de Brouillon Interactif”

que significa “Caderno de Rascunho Interativo”.

Esse software apresenta uma forma interessante de trabalho, pois podemos utilizá-lo como

uma folha de caderno de desenho, para construir qualquer figura geométrica, podendo usar

diversas propriedades.

Além disso, o aspecto dinâmico do mesmo permite criar condições de observação, análise e

conclusão, que dificilmente seria possível por meio da forma estática de representação da

figura em uma folha de papel.

Sendo assim, o Cabri-Gèomètre II-Plus ajuda no desenvolvimento matemático. Muitas

dúvidas que existem em relação às propriedades, podem ser minimizadas ou eliminadas com

a ajuda do software.

Com o avanço das tecnologias e com a evolução da informática podemos observar que

muitos benefícios surgiram para somar no Ensino da Matemática. Na Educação Matemática

não foi diferente, a tecnologia informática facilitou a vida dos professores e dos alunos. Os

professores podem desenvolver suas atividades de uma forma diferente, na tentativa de

tornar mais atrativa as aulas, facilitando o aprendizado dos alunos.

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Segundo Jover (2008, p.6):

A Informática, desde o seu surgimento, trouxe muitas contribuições para o ser humano. Ela é uma tecnologia que se vale de: rapidez, baixo custo, melhor qualidade, menor intervenção manual humana, em parte com o objetivo de produção com maior eficácia. Esse conhecimento é considerado pré-requisito para muitas profissões: arrisca-se a perder muitas oportunidades de trabalho quem não conhece Informática.

Na Educação Matemática, esse fato também é verdadeiro. A tecnologia Informática facilita muito a vida do professor e dos alunos. Acredito que futuramente não será mais possível ser um professor de Matemática em Educação Básica sem o conhecimento da utilização do computador na educação.

As razões são as mais variadas. O computador, quando bem empregado, facilita o trabalho pedagógico, com recursos que o giz e o quadro-negro não disponibilizam. Por exemplo: geometria dinâmica, permitindo demonstrações geométricas utilizando animações e modelagem de situações-problema; estudos de funções, com suas diferentes representações, mediante softwares específicos; os objetos de aprendizagem na forma de animações onde o estudante interage com a ferramenta e constrói seu conhecimento; o hipertexto, com sua estrutura muito utilizada nos textos disponíveis em sítios da Internet.

Resumidamente podemos dizer que com o investimento na tecnologia, podemos melhorar o

conhecimento dos alunos e facilitar para o professor nos procedimentos de ensino.

Para Gravina e Santarosa (apud Jover, 2008, p.13) a tecnologia também foi uma

metodologia que veio para capacitar os professores e consequentemente seus alunos, pois

com a informática podemos demonstrar e mostrar coisas que fisicamente não conseguimos

enxergar.

Com o uso de tecnologia, a informática deve propiciar novas possibilidades para o aprendizado e não apenas a fazer o que se fazia antes sem os recursos de Informática (como por exemplo, memorização do conhecimento e resolução de problemas seguindo o modelo)

(...) só existe aprendizagem quando o conhecimento advém da experiência, que pode ser física ou do tipo lógico-matemático. A resolução de problemas com discussão de conjeturas e métodos, para que os alunos se tornem conscientes de suas concepções e dificuldades.

(...) a Informática na Educação Matemática permite aproximar o concreto e o formal, pois criam-se na tela do computador objetos concreto-abstratos: concretos porque existem na tela do computador e podem ser manipulados; abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir de construções mentais.

(...) o professor precisa planejar as atividades de forma a permitir a liberdade de ação por parte do aluno. A Informática na Educação envolve a necessidade de construção de softwares, reformas curriculares e preparo dos professores, entretanto é um projeto altamente viável.

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De acordo com as citações acima, podemos observar que com o surgimento dos

computadores, a Educação Matemática evoluiu, pois muitos conteúdos puderam ser

observados de uma forma diferente, tornando a tecnologia informática um meio de ensino e

aprendizado.

A tecnologia hoje em dia participa constantemente no ensino da matemática, com isso

devemos priorizar a formação dos professores, para que eles se formem mais capacitados e

que tornem suas aulas mais produtivas, mas infelizmente muitas vezes isso não ocorre,

como afirmam Martins, Pittelkow e Oliveira, (2006, apud Jover, 2008)

(...) na formação dos professores a informática nas práticas educativas não tem sido priorizada, transparecendo a idéia de que os equipamentos sozinhos podem melhorar a qualidade das práticas educativas. (p.13):

Conforme Melo e Santos (2006 apud Jover 2008 p.14):

(...) a capacitação docente deve oferecer experiências inovadoras que considerem os alunos como futuros cidadãos na sociedade. Nesse sentido, defendem a reformulação dos currículos e a apropriação de recursos tecnológicos abrangendo as faces multiculturais da aprendizagem. Com relação à capacitação no uso da Informática na Educação, a formação não deve seguir o padrão de “Curso Básico de Computação” (ou seja, com a mera utilização de apostilas, tutoriais e modelos), mas sim com a visão de que o computador é uma ferramenta que pode promover a construção do conhecimento.

Concluem que a Informática na Educação deve promover a noção de cidadania, incentivar um papel de sujeito ativo na sociedade, e visando a compreensão do real papel da tecnologia.

Segundo Correa. C. D. e S (2006, apud Jover 2008 p.14):

(...) a questão das dificuldades de uso do computador na educação com a questão natural do medo do desconhecido, inerente ao ser humano, haja vista a necessidade de superação dos obstáculos para dar-se a adaptação a um meio que, em princípio, lhe pareça hostil.

Vê-se que a formação de professores, no século XXI, necessariamente deverá incluir conhecimentos das tecnologias, tanto para uso de softwares educativos como para utilização da informação no ensino. Em resumo, os professores não podem ignorar a tecnologia, sob pena de perderem o contato com seus próprios alunos e de tornarem pouco eficientes no seu trabalho de educadores.

27

Com o surgimento dessas novas tecnologias, podemos observar que muitos professores

ainda não estão capacitados para trabalhar com os computadores, principalmente com

softwares voltados para a matemática, como dizem Borba e Penteado.

Entre as várias considerações a respeito, pode-se citar que a chegada de “uma mídia qualitativamente diferente, como a informática, contribua para modificar as práticas do ensino tradicional vigente”.(BORBA e PENTEADO, 2001, apud MENK, 2005 p.51)

Estes autores argumentam ainda que: [...] sem uma discussão sobre como os professores podem utilizar a informática, e o que isso demanda para seu trabalho, os computadores estarão fadados a ficarem empoeirados em uma sala da escola. (p.51)

28

3. PROPOSTAS DE TRABALHO

3.1. PROPOSTA DE ENSINO DO TEOREMA DE PITÁGORAS POR

MEIO DE UMA METODOLOGIA CONVENCIONAL

Esta proposta pode ser desenvolvida com um grupo de alunos do 9º ano do Ensino

Fundamental, ou seja, antiga 8ª série.

Considerando que essa atividade está baseada numa estratégia de ensino tradicional, supõe-

se que o professor inicie sua aula, anotando, no quadro negro, (ou lousa) o conteúdo teórico,

o qual deva ser copiado pelos alunos, no seu caderno, e na seqüência sejam apresentados

alguns exercícios de aplicação do mesmo.

Desse modo, acreditamos que essa aula, poderia conter, por exemplo, o texto e os exercícios

relacionados abaixo.

O teorema de Pitágoras:

O teorema de Pitágoras é um dos mais conhecidos da matemática. Ele foi demonstrado por

Pitágoras, um filósofo importante para o avanço do ensino da matemática e esse teorema

estabelece uma relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo. “Em todo

triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da

medida da hipotenusa”.

Figura 6: Triângulo retângulo – In:

http://www.tosabendomais.com.br/userfiles/image/FORMULAS%2015(1).jpg

29

No triângulo retângulo, representado na figura acima, b e c são as medidas dos catetos e a é

a medida da hipotenusa.

Desse modo, temos: a ² = b ² + c ²

Na figura abaixo, se traçarmos a diagonal (d) do quadrado com lados de medida (l),

obteremos dois triângulos congruentes.

Figura 7: Quadrado – In:

http://www.tosabendomais.com.br/userfiles/image/FORMULAS%2012.jpg

Logo:

d.d = l.l + l.l

d² = l² + l²

d² = 2 .l²

Sendo assim, l é a medida dos catetos e d é a medida da hipotenusa de cada um dos

triângulos retângulos.

30

Exercícios:

Nas figuras abaixo, calcule o valor de x usando o teorema de Pitágoras:

(a)

Figura 8: Triângulo

(b)

Figura 9: Triângulo Retângulo

31

Resolução esperada pelo professor

(a)

a² = b² + c²

10² = x² + 6²

100 = x² + 36

100 – 36 = x²

64 = x²

x = 64

x = 8 cm

(b)

a² = b² + c²

(4,5)² = x² + (7,5)²

20,25 = x² + 56,25

x² = 56,25 – 20,25

x = 36

x = 6 cm

3.2 A PROPOSTA DE ENSINO DO TEOREMA DE PITÁGORAS POR MEIO DO LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA (LEM).

Da mesma forma que propomos trabalhar o Teorema de Pitágoras por meio do método

convencional, proporemos agora o ensino do Teorema, fazendo uso do material didático

pertencente ao Laboratório de Ensino de Matemática para a construção da forma esquelética

de uma pipa.

32

Caso a escola não possua um LEM, a sala de aula pode se adaptar provisoriamente de modo

a permitir a realização da atividade.

Inicialmente os alunos devem ser separados em grupos. Em seguida são distribuidos um

carretel de linha de costura, três varetas de bambu de quarenta centímetros cada e uma fita

métrica e um trasferidor a cada grupo.

Figura 10: Materias para construção de uma Pipa

Primeiro passo: Selecionar uma vareta e medir oito centímetros de cima para baixo,

encontrando um ponto. Nesse ponto, posicionar e amarrar uma outra vareta no sentido

horizontal e cortar a vareta vertical, de modo que esse ponto seja o ponto médio da vareta

vertical.

33

Figura 11: Pipa 1

Segundo passo: Descer a linha, utilizada para amarrar as varetas, quinze centímetros para

baixo em relação ao primeiro ponto encontrado, marcando outro ponto e repetir o processo

realizado no passo anterior.

Figura 12: Pipa 2

34

Terceiro passo: Passar a linha em volta toda da pipa, formando uma figura geométrica.

Figura 13: Pipa 3

Quarto passo: Medir todos os ângulos e segmentos, encontrados no “esqueleto” da pipa e

registrar as medidas.

Após a construção do “esqueleto” da pipa, inicia-se a exploração da figura obtida: pode-se

trabalhar a questão das medidas dos lados dos triângulos retângulos, e as dos ângulos; bem

as congruências das figuras encontradas.

Na sequência, os alunos fazendo uso das medidas obtidas para os catetos e a hiponetusa de

cada triângulo, devem verificar a validade do Teorema de Pitágoras, ou seja, as medidas

encontradas, devem obedecer a relação a² = b² + c² .

Para finalizar a aula, propoe-se a resolução do exercício indicado abaixo e pede-se que os

alunos comparem as respostas encontradas, com as medições realizadas.

35

Exercício:

Calcule quanto iremos gastar de linha para contornar a pipa, ou seja, seu perímetro?

Figura 14: Pipa 4

Resolução esperada

a² = b² + c²

x² = 8² + 20²

x² = 64 + 400

x = 464

x ≅ 21,5 cm n ≅ 21,5 cm

a² = b² + c²

w² =17² + 20²

w² = 289 + 400

w = √689

w ≅ 26 cm z ≅ 26 cm

36

P = x + y + w + z + m + n

P = 21,5 + 15 + 26 + 26 + 15 + 21,5

P = 125 cm

3.3 A PROPOSTA DE ENSINO DO TEOREMA DE PITÁGORAS POR

MEIO DO SOFTWARE CABRI – GÉOMÈTRE

Uma outra proposta de ensino do Teorema de Pitágoras é utilizar um meio eletrônico, no

caso um computador, e um software educativo que trabalhe a geometria dinâmica. O

software sugerido é o Cabri–Géomètre II- Plus. (Essa atividade tem como suporte, uma

atividade proposta por Baldim(2004, p.165-166)

Primeiro passo: Construir AB (Janela 3)

Figura 15: AB

37

Segundo passo: Construir uma perpendicular a AB passando pelo vértice A (janela 5)

Figura 16: A reta perpendicular

Terceiro passo: Marque um ponto qualquer C, sobre a perpendicular (janela 2) e em seguida,

construa um triângulo retângulo CAB (janela 3) clicando sobre os pontos C, A e B, nessa

ordem.

Figura 17: Triângulo Retângulo

38

Quarto passo: Utilizando a ferramenta “Distância e Comprimento”( janela 9 ), meça as

distâncias entre vértices do triângulo CAB. Dê um clique duplo sobre as medidas e escreva,

“ a =”, “b =” e “c =”, de modo que a, b e c, correspondam respectivamente às medidas

relativas aos lados opostos aos ângulos A, B e C.

Figura 18: Triângulo Retângulo com os valores de seus segmento Quinto passo: Marque os ângulos internos do triângulo (janela 10)

Figura 19: Triângulo Retângulo com os ângulos

39

Sexto passo: Meça as ângulos (janela 9 )

Figura 20: Triângulo Retângulo com os valores dos ângulos

Sétimo passo: Use as caixas de comentário e edite as expressões ( janela 10) nos espaços

convenientes da área de trabalho: a² = b² + c²

Figura 21: A fórmula do teorema de Pitágoras

40

Oitavo Passo: Com auxílio do ponteiro “arraste” os vértices e a perpendicular. Observe o

que acontece.

Figura 22: Movimentação no Cabri –Géomètrè II- Plus

Resposta esperada pelo professor: Ao realizar essa atividade supoe-se que o professor espere que os alunos observem que

mesmo que as medidas dos lados modifiquem, a relação estabelecida pelo Teorema de

Pitágoras continua válida, ou seja, qualquer que seja o triângulo retângulo, o quadrado da

medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados da medida dos catetos.

3 .4 COMPLEMENTANDO AS PROPOSTAS

Finalizando esse capítulo, gostaríamos de comentar que a aplicação dessas propostas poderia

ser realizada sempre com o mesmo grupo, em momentos distintos, ou com grupos diversos.

Em qualquer situação seria interessante fazer uma comparação de resultados no sentido de

avaliar os procedimentos, e uma investigação junto aos alunos, para saber que procedimento

eles gostaram mais.

41

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

De acordo com as metodologias propostas, não pôde-se obter uma conclusão definitiva

referente ao mais benéfico, pois não foi realizada a efetiva aplicação, entretanto, todos os

métodos são considerados bastante eficientes.

A proposta de ensino por meio do método convencional é muito importante, pois as

atividades de Matemática desenvolvidas em salas de aula, fazem com que os alunos

exercitem seus raciocínios e possam pratica-los para melhor fixação.

Por outro lado, a metodologia que propõe o uso do software, pode ser eficaz no momento

em que permite ao aluno a visualização do Teorema de uma forma diferente. Neste contexto,

com a manipulação do Cabri e suas ferramentas, é apresentado ao aluno uma outra

perspectiva de entendimento, pois permite a interação, ainda que virtual, com os objetos do

estudo, dentre eles: ângulos, retas, medidas, figuras geométricas. E a característica de

dinamismo do software, também pode proporcionar ao aluno diferentes visões de um

mesmo conceito.

Por fim, propusemos uma Metodologia que utiliza materiais didáticos pertencentes a um

Laboratório de Ensino de Matemática (LEM). Essa Metodologia proporciona aos alunos a

manipulação de objetos, com a finalidade de observar o Teorema, utilizando para isso o

lúdico, recurso tão interessante e importante no ensino da Matemática. Na proposta

apresentada foi construída uma pipa, objeto de brincadeiras infantis, que imaginamos poder

criar especial interesse por parte do aluno, visto tratar-se de um brinquedo da referida faixa

etária. No entanto, poderiam ser construídos quaisquer outros objetos de brincadeiras

infantis, voltados para meninos e/ou meninas, desde que tenham a finalidade maior, que é de

utilizá-los para ilustrar e despertar maior interesse junto aos alunos. É sabido também, que

as formas de aprendizagem que se valem de objetos manipuláveis, desenhos, figuras, trazem

muitos benefícios à aprendizagem e entendimento de diversos conteúdos, possibilitando

assim uma maior fixação do conceito que foi exposto.

No entanto, as propostas apresentadas não foram aplicadas no âmbito desta pesquisa, porém,

podem servir como instrumentos para futuros estudos e abordagens, bem como efetivas

42

aplicações, com o objetivo de perceber suas respectivas importâncias e características no

apoio ao ensino do Teorema de Pitágoras.

Com isso, diante das propostas metodológicas apresentadas nesta pesquisa, sugestões e

alguns comentários, objetivamos incitar a discussão acerca das mesmas e seus potenciais

resultados.

43

5. REFÊRENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

ALMOULOUD. S.A. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática. O teorema

de Pitágoras: uma abordagem enfatizando o caráter necessário/suficiente. p.(45 a 47)

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Federal de Educação Tecnológica de Minas gerais. Disponível em:

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AZEVEDO, C. M. M. Geometria com Dobraduras: uma maneira lúdica de fixar os

conteúdos matemáticos. Disponível em:

<www.sbemrn.com.br/site/II%20erem/minicurso/doc/mc12.pdf> - Acessado em: 5 de

março de 2010.

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Matemática e Professores do Ensino Fundamental e Médio. Editora da Universidade

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Atual, 1992. (Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula; v. 3).

EVES, H. Introdução à História da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues.

Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 1995.

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