Thiagopacifico Matbasica Completo 188

PROFESSOR THIAGO PACÍFICO

http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 1

ANÁLISE COMBINATÓRIA

FATORIAL

Define-se o fatorial de um número n ( n N – {1} ) como sendo:

n! = n.(n - 1).(n – 2). ... .3.2.1

Onde, n! lê-se: n fatorial ou fatorial de n. Assim, por exemplo:

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

ATENÇÃO:

0! = 1 e 1! = 1 Exemplo: Simplifique os fatoriais:

a) 909.10!8

!8.9.10

!8

!10

b) 3789.6.7!5!.8

!8.9!.5.6.7

!5!.8

!9!.7

c) nn)1n.(n)!2n(

)!2n).(1n.(n

)!2n(

!n 2

d) nn

1

n).1n(

1

)!1n.(n).1n(

)!1n(

)!1n(

)!1n(2

PRINCÍPIO FUDAMENTAL DE CONTAGEM

Exemplo: Para viajar de uma cidade A para uma cidade C, por uma rodovia, deve-se passar necessariamente por uma cidade B. Se há 3 rodovias ligando A a B e 4 rodovias ligando B a C, quantas opções diferentes há para se ir de A até C ?

Solução:

As possíveis trajetórias são:



1. 1 4 7. 2 6 2. 1 5 8. 2 7 3. 1 6 9. 3 4 4. 1 7 10. 3 5 5. 2 4 11. 3 6 6. 2 5 12. 3 7

Ou seja, 3 4 = 12 possibilidades

COMBINAÇÕES SIMPLES E ARRANJOS SIMPLES

Vamos agora apresentar duas situações que ocorrem frequentemente quando resolvemos problemas de

contagem: os arranjos simples e as combinações simples. Vamos introduzi-los a partir de um problema. Seja o conjunto E = {a, b, c}. Com os elementos de E vamos obter os seguintes agrupamentos:

Todos os subconjuntos de E com 2 elementos:

{a, b}, {a, c}, {b, c}

Todas as sequências com 2 elementos de E:

(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b) Observe que esses dois tipos de agrupamentos diferem num aspecto básico. No caso dos subconjuntos, não é levada em conta a ordem em que os elementos são escritos, isto

é, alterando-se a ordem dos elementos de um subconjunto, este não se altera. Assim: {a, b} = {b, a} ; {b, c} = {c, b}

Porém, no caso das sequências, a mudança da ordem dos elementos gera uma outra sequência. Assim: (a, b) (b, a) ; (b, c) (c, b)

Os agrupamentos do 1

o tipo, os subconjuntos, são chamados combinações simples, enquanto que

os dos 2o tipo, as sequências, são chamados arranjos simples. Nos dois casos, a palavra simples se refere ao fato

de que os agrupamentos são formados por elementos distintos.

Observação:

A diferenciação entre combinações e arranjos será de fundamental importância na resolução dos problemas

de contagem daqui em diante. Destaquemos mais uma vez que:

COMBINAÇÕES a ordem não importa

ARRANJOS a ordem importa

NÚMERO DE COMBINAÇÕES SIMPLES

)!pn(.!p

!n

C

pn

Lê-se: combinação de n elementos distintos tomados p a p.



NÚMERO DE ARRANJOS SIMPLES

)!pn(

!n

A

pn

Lê-se: arranjo de n elementos distintos tomados p a p.

PERMUTAÇÃO SIMPLES É um caso particular de arranjos simples. A permutação de n elementos distintos é o arranjo de n

elementos distintos tomados n a n.

Outras Notações:

pn, pnp

npn,

pn AACC

PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÕES

É o número de permutações de n objetos onde há a repetição de um ou mais elementos. Para ser mais

objetivo, o primeiro elemento repete-se 1 vezes, o segundo elemento repete-se 2 vezes, ..., o k-ésimo elemento

repete-se k vezes.

!k.....!2.!1

α,...,α,αn

ααα

n!P k2 1

Onde n = α1 + α2 + ... + αk

PERMUTAÇÃO CIRCULAR

É o caso em que deseja colocar elementos em torno de objetos circulares. È dado por:

P(n – 1) = (n – 1)!

Exemplo: De quantas maneiras distintas 6 pessoas podem sentar–se em uma mesa redonda? Solução:

P(n – 1) = (n – 1)! P(6 – 1) = (6 – 1)! P5 = 5! P5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 P5 = 120

n!PAP nnnn



QUESTÕES

01. (FUNRIO) Quantos números inteiros positivos menores que 1000 (com algarismos distintos) podemos formar?

a) 504 b) 645 c) 648 d) 738 e) 845

02. (ESAF) Com um grupo de 15 pessoas, do qual fazem parte Lúcia e José, o número de comissões distintas que

se podem formar com 5 membros, incluindo, necessariamente, Lúcia e José, é: a) 3003 b) 792 c) 455 d) 286 e) 348

03. (ESAF) Com um grupo de 15 pessoas, do qual fazem parte Lúcia e José, o número de comissões distintas que se podem formar com 5 membros, incluindo, necessariamente, Lúcia e não incluindo José, é: a) 300 b) 715 c) 455 d) 286 e) 148

04. (FCC) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro algarismos distintos. Dentre eles,

quantos serão divisíveis por 5: a) 20 números b) 30 números c) 60 números d) 120 números e) 180 números

05. O número de triângulos que podemos obter à partir dos 8 pontos distintos distribuídos pela circunferência abaixo, é igual a: a) 56 b) 28 c) 14 d) 24 e) 48

06. (ESAF) Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta s, paralela a r. Quantos triângulos distintos existem com vértices em 3 desses pontos? a) 220 b) 230 c) 274 d) 286 e) 294

07. (FUNRIO) Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, sejam as afirmações:

I. O número total deles é 720. II. O número dos que terminam com a letra A é 25. III. O número dos que começam com EN é 24.



Então, apenas: a) afirmação I é verdadeira. b) afirmação II é verdadeira. c) afirmação III é verdadeira. d) as afirmações I e II são verdadeira. e) as afirmações I e III são verdadeira

08. (FCC) Quantos anagramas distintos da palavra ROTAS são possíveis obter, se as letras R e T devem permanecer juntas? a) 120 b) 60 c) 48 d) 24 e) 10

09. (FCC) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados de modo que o algarismo das unidades seja par e o algarismo das milhares seja ímpar? a) 27 b) 54 c) 108 d) 216 e) 432

10. (ESAF) De quantas maneiras Amanda, Bruno, Caio, Débora, Érica e Felipe, podem se organizar lado a lado

para tirar uma foto, sabendo que Caio e Débora namoram e ficarão necessariamente juntos? a) 120 b) 240 c) 360 d) 720 e) 1440

11. (ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a: a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48

12. (ESAF) Quantos números naturais de seis algarismos distintos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5 e 7 de modo que os algarismos pares nunca fiquem juntos? a) 720 b) 480 c) 240 d) 120 e) 60

13. (FCC) Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até uma outra cidade, C, havia duas rodovias e duas ferrovias. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovia e trem obrigatoriamente, mais em qualquer ordem, é: a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 24



14. (FCC) Desenho representa seis quarteirões retangulares e um dos possíveis percursos de A até B. O número total de percursos mínimos distintos, de A até B, ao longo das ruas, é: a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

15. Utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9 podemos formar números de 3 algarismos. Responda: a) quantos são no total? b) quantos possuem os algarismos distintos? c) quantos possuem pelo menos 2 algarismos iguais? d) quantos tem os algarismos distintos e são pares? e) quantos tem os algarismos distintos e são maiores que 600?

16. (FCC) Chamam-se “palídromos” os números inteiros que não se alteram quando é invertida a ordem de seus algarismos (por exemplo: 383, 4.224, 74.847). O número total de palíndromos de cinco algarismos é: a) 900 b) 1.000 c) 1.900 d) 2.500 e) 5.000

17. (ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A

promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 400

18. (FCC) A construtora Alfa possui 8 engenheiros e 6 arquitetos, dos quais serão escolhidos 3 engenheiros e 3

arquitetos para projetar o empreendimento Beta. Quantas equipes diferentes poderão ser formadas para esse empreendimento? a) 20 b) 56 c) 76 d) 1120 e) 224

19. (FCC) De um grupo de 8 candidatos serão escolhido 3 para ser o gerente, o caixa e o vendedor de uma loja. De quantas maneiras pode ser feita essa escolha? a) 24 b) 56 c) 336



d) 1444 e) 120

20. (ESAF) Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis

são 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é: a) 8 b) 28 c) 40 d) 60 e) 84

21. (ESAF) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos,

que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a: a) 120 b) 1220 c) 870 d) 760 e) 1120

22. (FCC) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra VOLUME de tal sorte que as vogais

apareçam em ordem alfabética? (exemplo: V E O L U M) a) 6 b) 20 c) 120 d) 240 e) 720

23. (FCC)Numa reunião de 8 países (EUA, Canadá, Inglaterra, Alemanha, Japão, Rússia, Itália e França), deseja-

se acomodar os 8 representantes de governo em torno de uma mesa em forma de octógono regular (figura abaixo). De quantos modos posso dispô-los se os representantes dos EUA, Canadá e Inglaterra devem sentar-se sempre juntos? a) 720 b) 120 c) 4320 d) 5040

24. (FCC)Quando Ribamar vai de casa (esquina 1) até a academia (esquina 2), ele percorre exatos 9 quarteirões.

Na figura ao lado está representa apenas uma das várias possibilidades de caminhos que ele pode escolher. Determine Quantos caminhos diferentes, sem voltar, ele pode escolher para ir de casa até a academia. a) 20 b) 81

c) 63

d) 256

e) 126

11

22

11

22



25. (ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, a) 1112 e 1152. b) 1152 e 1100. c) 1152 e 1152. d) 384 e 1112. e) 112 e 384.

26. (ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos - entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas

Ana e Beatriz -, compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a: a) 1920 b) 1152 c) 960 d) 540 e) 860

27. (FCC) Formados e colocados em ordem crescente todos os números de 4 algarismos obtidos com os

algarismos 1, 3, 5 e 7 (sem repetir), que lugar ocupa o número 5731? a) 18º lugar b) 17º lugar c) 16º lugar d) 15º lugar e) 14º lugar

28. (ESAF) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é,

sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens? a) 72 b) 360 c) 216 d) 720 e) 12

29. (ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo

plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a: a) 24 b) 28 c) 15 d) 16 e) 32

Para formar-se um anagrama, permitam-se as letras de uma palavra, obtendo-se ou não uma outra palavra conhecida. Por exemplo, VROAL é um anagrama da palavra VALOR. Com base nessas informações, julgue os próximos itens, relacionados aos anagramas que podem ser obtidos a partir da palavra VALOR. 30. (CESPE) O número de anagramas distintos é inferior a 100.

31. (CESPE) O número de anagramas distintos que começam com VL é igual a 6.



32. (CESPE) O número de anagramas distintos que começam e terminam com vogal é superior a 15. 33. (CESPE) O número de anagramas distintos que começam com vogal e terminam com consoante é superior a

44.

Considere que em um escritório trabalham 11 pessoas: 3 possuem nível superior, 6 têm nível médio e 2 são de nível fundamental. Será formada, com esses empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar um trabalho de pesquisa. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes, acerca dessa equipe.

34. (CESPE) Se essa equipe for formada somente escolhendo os empregados entre os de nível médio e

fundamental, então essa equipe poderá ser formada de mais de 60 maneiras distintas. 35. (CESPE) Se essa equipe incluir todos os empregados de nível fundamental, então essa equipe poderá ser

formada de mais de 40 maneiras distintas. 36. (CESPE) Formando-se a equipe com dois empregados de nível médio e dois de nível superior, então essa

equipe poderá ser formada de, no máximo, 40 maneiras distintas. Em um concurso público promovido pela prefeitura de uma capital brasileira, foram aprovados 11 candidatos, dos quais 5 são naturais do Espírito Santo, 4 de Minas Gerais e 2 de São Paulo. Entre estes, três serão relacionados para atendimento exclusivo ao prefeito e seu secretariado. Acerca da situação hipotética acima, é correto afirmar que o número de maneiras distintas de selecionar os três servidores que irão atender ao prefeito e a seu secretariado de forma que

37. (CESPE) Os dois servidores paulistas estejam entre eles é igual a 11. 38. (CESPE) Todos sejam naturais do Espírito Santo é igual a 10. 39. (CESPE) Nenhum deles seja do Espírito Santo é igual a 20. 40. (CESPE) Um seja capixaba, um mineiro e um paulista é igual a 30.



41. (ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões? a) 3003 b) 2980 c) 2800 d) 3006 e) 3005

Para uma investigação a ser feita pela Polícia Federal, será necessária uma equipe com 5 agentes. Para formar essa equipe, a coordenação da operação dispõe de 29 agentes, sendo 9 da superintendência regional de Minas Gerais, 8 da regional de São Paulo e 12 da regional do Rio de Janeiro. Em uma equipe, todos os agentes terão atribuições semelhantes, de modo que a ordem de escolha dos agentes não será relevante. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes. 42. (CESPE-PF) Poderão ser formadas, no máximo, 19 x 14 x 13 x 7 x 5 x 3 equipes distintas.

43. (CESPE-PF) Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio de Janeiro, o número máximo de equipes distintas que a coordenação dessa operação poderá formar é inferior a 19 x 17 x 11 x 7.

44. (CESPE-PF) Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio de Janeiro, 1 agente da

regional de São Paulo e 2 agentes da regional de Minas Gerais, então a coordenação da operação poderá formar, no máximo, 12 x 11 x 9 x 8 x 4 equipes distintas.

45. (ESAF/MPOG) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um programa de reabilitação para 10 pacientes.

Para obter melhores resultados neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. Assim, o número de diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas três diferentes salas, é igual a: a) 2.440 b) 5.600 c) 4.200 d) 24.000 e) 42.000

46. (ESAF/MTE) O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6

mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher? a) 192 b) 36 c) 96 d) 48 e) 60

Julgue os próximos itens, relativos à análise combinatória.

47. (CESPE) Considere que um operador de computadores precise organizar uma biblioteca de programas de

acordo com as tarefas que esses programas executa. Há 4 programas que executam a tarefa I, há 5 programas que executam a tarefa II e há 3 programas que executam a tarefa III. O operador deve colocar



programas que realizam as mesmas tarefas em uma mesma prateleira. Nessas condições, é correto afirmar que o número de maneiras de organizar esses programas é inferior a 10

5.

48. (CESPE) Em um restaurante que ofereça um cardápio no qual uma refeição consiste em uma salada — entre

salada verde, salpicão e mista —, um prato principal — cujas opções são bife com fritas, peixe com purê, frango com arroz ou massa italiana — e uma sobremesa — doce de leite ou pudim —, a quantidade n de refeições possíveis de serem escolhidas por um cliente será

a) n 9.

b) 10 n 14.

c) 15 n 19.

d) 20 n 24.

e) n 25. 49. (CESPE) Se, no departamento de recursos humanos de uma empresa em que trabalhem 5 homens e 4

mulheres, for preciso formar, com essa equipe, comissões de 4 pessoas com pelo menos 2 homens, a quantidade de comissões diferentes que poderão ser formadas será a) superior ou igual a 200. b) superior ou igual a 170 e inferior a 200. c) superior ou igual a 140 e inferior a 170. d) superior ou igual a 110 e inferior a 140. e) inferior a 110.

A Polícia Federal brasileira identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai.

Internet: <www.estadao.com.br> (com adaptações).

Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item. 50. (CESPE) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com exceção daquelas da

fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha.

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D D B C A A E C C B E B B D * A A D C B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

E C A E C A A E D E C E E C E E E C C E

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

A E E E C C E D E E

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