Tópicos que serão abordados:

Introdução à Função

Domínio, Imagem e Contradomínio

Tipos de Função: Par / Ímpar

Tipos de Função:

Função Inversa

Função Composta

Função do 1º Grau

Sobrejetora/ Injetora/ Bijetora

Crescente/ Decrescente

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Tipos de Função: Par / Ímpar

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Função Inversa

Função Composta

Função do 1º Grau

Sobrejetora/ Injetora/ Bijetora

Crescente/ Decrescente

Introdução à Função

Definição: Função é qualquer relação de A em B que associa a cadaelemento de A um único elemento de B.

Todos os elementos de A estão associados aos elementos de B

Os elementos de A estão associados a um único elemento de B

f: A B (f é uma função de A em B)

Exemplos

Não representa função:

Representa função:

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Tipos de Função: Par / Ímpar

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Função Inversa

Função Composta

Função do 1º Grau

Sobrejetora/ Injetora/ Bijetora

Crescente/ Decrescente

Domínio, Imagem e Contradomínio

FUNÇÃODomínio

Contradomínio

Na notação y = f(x) , entendemosque y é imagem de x pela funçãof, ou seja: y está associado a xatravés da função f.

1- Domínio é um sinônimo para conjunto de saída “A”.

Domínio, Imagem e Contradomínio

saída “A”.

2- Contradomínio é um sinônimo para o conjunto de chegada "B”.

3- Podemos ter elementos do Contradomínio que não são relacionados com algum elemento do Domínio e outros que são. Este subconjunto é chamado de Conjunto Imagem.

Estudo do domínio de uma função

Quando definimos uma função, o domínio, que é o conjunto de todos os valores possíveis de x, pode ser dado explícita ou implicitamente.

ExemplosExemplos

f(x) = Está explícito que x pode ser qualquer nº real. D = R

f(x) = D = { x R / x 2}

f(x) = D = { x R / x 2}

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Introdução à Função

Domínio, Imagem e Contradomínio

Tipos de Função: Sobrejetora/ Injetora/ Bijetora

Tipos de Função:

Função Inversa

Função Composta

Função do 1º Grau

Par / Ímpar

Crescente/ Decrescente

Tipos de função

Sobrejetora : É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio .

f é sobrejetora Im(f) = CD(f)

Injetora: Uma função f : A B é injetora se para cada elemento do conjunto Acorresponder a um elemento distinto do conjunto B.

f é injetora

Tipos de função

Bijetora : Uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora .

f é bijetora

f é sobrejetora f é injetora

Desta forma, relacionamos:

Tipos de função

Função Par

• Os números b e –b tem a mesma imagem.• O gráfico é simétrico em relação ao eixo-y.

• Representado por f(x) = f(-x) .

Função Ímpar

• Os números b e –b tem imagens opostas.• O gráfico é simétrico em relação a origem

do sistema cartesiano.

• Representado por f(x) = - f(-x) .

A única função par e ímpar ao mesmo tempo é a função nula f(x) = 0 .

Tipos de função

Nem par nem ímpar : Uma função y = f(x) não é par nem ímpar quando o gráfico não satisfaz a nenhuma das condições vistas.

Diz-se que ela não possui paridade.

Será que existe função que não seja par nem ímpar ???

A função f: R→ R tal que f(x) = x 2 - 1 é par , pois

f (x) = x 2 = (- x)2 = f(- x)

Exemplos

1-

Observe a sua representação no diagrama e no gráfico cartesiano:

Exemplos

2- Dada a função f: R→ R definida por y = x3 é uma função ímpar , pois

f( -x) = (-x) 3 = -x3 = - f ( x) .

No plano cartesiano:No plano cartesiano:

Tipos de função

I - Crescente : quando o valor de x aumenta e o valor da imagem de x aumenta.x2 > x1 → f(x2) > f(x1)

II - Decrescente : quando o valor de x aumenta e o valor da imagem de x diminui. x2 > x1 → g(x2) < g(x1)

III - Constante : quando os elementos do domínio possuem uma mesma imagem. III - Constante : quando os elementos do domínio possuem uma mesma imagem. f(x) = k

I II III

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Tipos de Função: Sobrejetora/ Injetora/ Bijetora

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Função Inversa

Função Composta

Função do 1º Grau

Par / Ímpar

Crescente/ Decrescente

Função Inversa

Dada uma função f : A B , se f é bijetora então para cada x tem-seum y correspondente, assim a inversa de f é a função f-1 que define que paracada y teremos um correspondente x. Define-se a função inversa f -1 como sendoa f : B A , tal que f -1 (y) = x .

• O domínio de f -1 é igual ao conjuntoimagem de f .

• O conjunto imagem de f -1 é igual aodomínio de f .

• Os gráficos de f e de f -1 são curvassimétricas em relação à reta y = x ouseja, à bissetriz do primeiro quadrante .

• Para obter a função inversa , bastapermutar as variáveis x e y .

Exemplos

1- Dada a função y = 2x + 3 , qual será a sua função inversa?3x – 5

3xy – 2x = 3 + 5yInicialmente:y = 2x + 3 → multiplicando cruzado.

y( 3x - 5) = 2x + 3

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

3xy - 5y = 2x + 3 3xy – 2x = 3 + 5y →

Colocando x em evidência no 1º membro da igualdade, temos:

x( 3y – 2) = 3 + 5y →

Por fim, trocando o x pelo y e o y pelo x, teremos:

→ x = 3 + 5y3y - 2

f -1 = 3 +5x3x – 2

y = 2x + 3 → multiplicando cruzado. 3x – 5

Exemplos

2- Ache a inversa de f (x) = .

Resolvendo: y = Resolvendo: y =

Para x como uma função de y. Os cálculos são:

Temos então que:

f -1 =

Exemplos

3- A função f: R R , definida por f(x) = x2 . Calcule a inversa. →

Somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Note que f(x) = x2, definida em R - conjunto dos números reais - não inversa. Note que f(x) = x , definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora , pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, f(3) = f(-3) = 9 .

Observe ainda que a função dada não é sobrejetora , pois o conjuntoimagem da função f(x) = x2 é o conjunto R + dos números reais nãonegativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que éigual a R.

Por este motivo, a função não é bijetora e, em conseqüência, não é inversível .

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Função Composta

Função do 1º Grau

Par / Ímpar

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Função Composta

A função obtida substituindo-se a variável independente x , por uma função.

Considerando três conjuntos distintos A, B e C. Entre eles existem as seguintesfunções: f: A→ B e g: B→C. Irá existir outra função h: A→ C, assim a funçãoh(x) = g(f(x)) é chamada função composta.h(x) = g(f(x)) é chamada função composta.

Simbologia : gof (x) = g(f(x)) ou fog (x) = f(g(x)).

Exemplos

1- Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, determinar gof(x) e fog(x).

Teremos: gof(x) = g(f(x))Substituindo o valor de f(x), calculamos:Substituindo o valor de f(x), calculamos:

g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15

Desta forma, g(f(x)) = 10x + 15

Agora, para fog(x) = f(g(x)), substituimos o valor de g(x). Assim:f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3

Com isso, f(g(x)) = 10x + 3

Observe que fog gof .

Exemplos

2- Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 – x, calcule a função f(x).

Como fog(x) = 2x + 1, temos: f(g(x)) = 2x + 1Como fog(x) = 2x + 1, temos: f(g(x)) = 2x + 1Substituindo g(x) pelo seu valor, fica:

f(2 - x) = 2x + 1Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 - u.

Substituindo, fica:f(u) = 2(2 - u) + 1 \ f(u) = 5 - 2u

Portanto, f(x) = 5 - 2x

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Função Inversa

Função Composta

Função do 1º Grau

Par / Ímpar

Crescente/ Decrescente

Função do 1º Grau

Definição: f(x)=ax+b , com a є R, b є R e a≠0, definida para todo x real.Se b≠0 – função afim;Se b=0 – função linear.

Propriedades

f é crescente (a > 0) f é decrescente (a < 0)

Função do 1º Grau

Zeros da Função

Zero ou Raiz da função f(x) = ax + b é o valor de x que anula a função.

f(x) = 0f(x) = 0

f(x) = ax +b

ax +b = 0 → ax = -b

x = -b/a

→

Função do 1º Grau

Estudo do sinal

f(x) = 0 x = →

f(x) > 0 x > →f(x) > 0 x > →

→f(x) < 0 x <

f(x) = 0 x = →

f(x) > 0 x < →

f(x) < 0 x > →

Exemplos

1- Estudar a variação do sinal da função f(x) = 2x – 1.

Sinal do coeficiente a: a = 2 > 0 Zero da função: 2x – 1 = 0 2x = 1 → x = →Zero da função: 2x – 1 = 0 2x = 1 → x = →

-

+ f(x) = 0 x = →

f(x) > 0 x > →

f(x) < 0 x < →

Função do 1º Grau

Inequações do 1º Grau

ax + b ≥ 0, ax + b > 0, ax +b ≤ 0 ou ax + b < 0 ; com a, b є R e a ≠ 0

Exemplos

2- Resolver o sistema de inequação 2x – 1 ≥ 0.- x - 3 < 0

• 2x – 1 ≥ 0 2x ≥ 1 → x ≥ →

• - x - 3 < 0 x > - 3→

Assim: S = {x є R / x ≥ }

1/2

- 3

1/2

Exemplos

Estudando os sinais das funções: f(x) = 2x + 3 g(x)= -5x +1

2x + 3 = 0 - 5x + 1 = 0

1- Resolver a inequação (2x + 3).(-5x +1) ≥ 0

2x + 3 = 0 - 5x + 1 = 02x = -3 5x = 1x = - 3/ 2 x = 1/5

+

-+

-

- 3/ 2 1/5

-

-

+ +

++

- -+

1/5- 3/ 2

Assim: S = {x є R / -3/2 ≥ x ≥ 1/5}

f(x)

g(x)

f(x).g(x)

Como f(x).g(x)≥0

Obrigada pela Atenção!