Tipologia dos Pilares - lem.ep.usp.br · processo do “Pilar Padrão” acoplado a diagramas...
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Classificação dos Pilares quanto à Esbeltez
1λλ ≤ - Pilares Curtos – Os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados.
901 ≤< λλ , onde 351 ≥λ - Pilares Medianamente Esbeltos – Os efeitos de 2ª ordem são avaliados por processos simplificados baseados no “Pilar Padrão”.
14090 ≤< λ - Pilares Esbeltos – Os efeitos de 2ª ordem são avaliados utilizando-se o processo do “Pilar Padrão” acoplado a diagramas M-N-1/r para a curvatura crítica. Deve ser considerado o efeito da deformação lenta.
200140 ≤< λ - Pilares Muito Esbeltos – Os efeitos de 2ª ordem são avaliados pelo método geral. Deve ser considerado o efeito da deformação lenta. Tipologia dos Pilares
Cccc
Modelo Estrutural
O pilar de contraventamento é responsável pela resistência ao vento mais o efeito de 2ª ordem associado à carga vertical própria e dos pilares contraventados.
Cccc
Ccccc Pilares Contraventados:
a) As vigas podem ser supostas articuladas quando: h ≤ l /4 ccccc
ccccc
b) quando h > l /4:
Adotar a envoltória dos modelos a) e b) Os pilares centrais podem ter em geral sua força normal suposta centrada desde que hajam vigas passando pelo seu eixo nas duas direções, e Xe ≅ Xd.
Os pilares de extremidade podem em geral ter a sua força normal suposta excêntrica em apenas uma direção, desde que na outra Xe ≅ Xd.
Os pilares de canto apresentam a força normal excêntrica nas duas direções.
Efeitos das Imperfeições Locais
Nas estruturas reticuladas:
hea 03,0015,0min, += (h – dimensão do pilar na direção considerada, em metros) Em cada uma das duas direções, deve-se considerar:
min,ai ee ≥
Efeito de 2ª Ordem Local
Pilar Padrão
xseneyel
π⋅= 2
xeyee ll
ππ cos2' ⋅⋅=
xseneyr ee ll
ππ⋅⋅−=≅ 2
2'' )(1
22 )(1
emáx
er l
π⋅−= (em
2exl
= )
máx
e
re 1
10
2
2 ⋅=∴l
ddx
rdxd sc )( εεϕ +==
drsc εε +
=∴1
de sce εε +
⋅=∴10
2
2l
cccccc
Expressões da NBR 6118 para λ < 90
re e 1
10
2
2 ⋅=l
, onde o valor aproximado da curvatura 1/r é dado por:
hhr005,0
)5,0(005,01
≤+
=ν
(onde 00207,00035,0005,0 +≅ , sendo 0,0035 de εcu e 0,00207
de εyd.
cdc
sd
fAN
=ν
Exemplo 1- Determinar o momento máximo de 2ª ordem para o pilar abaixo:
fck = 25 MPa
90
9,5120,0346,346,3
<
===
máx
y
emáx h
λ
λl
∴Pilar medianamente esbelto, sendo possível utilizar as expressões da NBR 6118.
87,0
4,12500045,020,0
4,11000=
⋅⋅
⋅==
cdc
sd
fAN
ν
11 25,00182,0)5,087,0(20,0
005,0)5,0(
005,01 −− ≤=+
=+
= mmhr ν
mr
e ey 016,00182,0
1031
10
22
2 =⋅=⋅=∴l
M2dy = 1000.1,4.0,016 = 22,4kN.m na seção C.
Para a direção x, 352345,0346,3 <==λ , e assim, pode-
se desprezar o efeito de 2a ordem nessa direção.
Seções a serem analisadas em um pilar
Seções de Topo e Pé Nd acompanhada dos momentos iniciais MTd e MPd, não se adotando valores menores que Nd.ea, onde ea = 0,015+0,03h. Seção Central Nd acompanhada do momento inicial Mcd = αc.Ma, não se adotando valores menores que Nd.ea, mais o momento de 2ª ordem M2 = Nd.e2. Os efeitos de 2ª ordem locais devem sempre ser considerados quando λ>λ1, onde:
ordem)1 de idade(excentric
9035 onde ,/5,1225
a1
11
1
hNM
he
he
d
cd
bb
⋅=
≤≤+
= λαα
λ
14,0 ,40,060,0 ≤≤+= ba
bb M
Mαα
Ma - Maior valor, em módulo, dos momentos das extremidades do pilar Mb - Positivo se tracionar a mesma face que Ma, e negativo caso contrário. αb = 1 caso Ma < Nd.ea , em módulo.
Exemplo 2
Ma = 100 kN.m Mb = -70 kN.m
mkNMcomo
c
bb
b
.4040,010040,014,0
32,0100
)70(40,060,0
=⋅==⇒≤≤
=−
⋅+=
αα
α
5,874,0
354,008,27
4,0167,05,1225
167,020,01
120040
1
1
=≥=⋅+
=∴
=⋅=
λ
he
19,5120,000,346,3 λλ <=⋅=
(não considerar efeito de 2ª ordem). Exemplo 3
Ma = 100 kN.m Mb = 70 kN.m
mkNM c
b
.8888,0100
88,01007040,060,0
=⋅=
=⋅+=α
8,3988,0
3588,0
6,2988,0
37,05,1225
37,020,01
120088
1
1
=≥=⋅+
=∴
=⋅=
λ
he
8,399,51 >=λ e 90<λ
re e 1
10
2
2 ⋅=∴l
e 22 eNM sdd ⋅=
Caso Geral de Dimensionamento para Seções Retangulares com Armaduras Simétricas Nas figuras apresentadas a seguir, têm-se:
≥ax
xx e
ee1
≥ay
yy e
ee1
Dimensões Mínimas e Disposições Construtivas
cmh 19≥ 4,1=fγ
cmhcm 1912 ≤≤ )05,095,1(4,1 bnf −=⋅γγ (b em cm)
Para λ< 90 26
ehl
≥
810 minhmm ≤≤ lφ
≤≤
min240
44
hcm
Scm l
φ
≥mmt 5
4/lφφ
≤
lφ12
20
minhcm
St
Travamento das Barras Longitudinais
Consideram-se travadas as barras que distam 20φt ou menos do canto do estribo ou de ponto de amarração intermediário.
Armadura Longitudinal Máxima e Mínima
cs
yd
d AAfN 0
0
00
815,0
4,0≤≤
(inclusive nas seções de emenda)
Exemplo 4
PavimentoadoscontraventPilares
mpisoaPisocmc
MPafMPaf
o
yk
ck
1
8,22
50025
==
==
P1 (25 x 40) P2
P3 (25 x 55) P4 (35 x 50)V3
(20
x 50
)
V4
(20
x 50
)
V1 (20 x 50)
V2 (20 x 50)
16,4 kN.m V3
19,5 kN.m
P1
20,6 kN.m
P3
N= 100 kN
N= 137 kN N= 225 kN
Pilar P4 (35 x 50)
kNN 240807,1.10.225 == • Excentricidades Acidentais
meme
ay
ax
026,0)35,0.03,0015,0(03,0)5,0.03,0015,0(
=+==+=
• Excentricidades de 2ª Ordem
=+−≤
65,235,050,08,28,2 m
ley
sdesprezadaserpodem
MM bBA
∴<
=∴=∴===
1max
1max 3510,;2,2646,3.35,065,2
λλ
λαλ
(Basta verificar, portanto as ações de topo e pé).
08,1
4,125000.50,0.35,0
4,1.2408==dν
4,0;08,035,0026,0.08,1)
35,0;065,05,003,0.08,1)
===
===
ωµ
ωµ
dy
dx
bCaso
aCaso
peso próprio do pilar
50 cm
35 c
m
X
Y
Nd
X
Y
0,03
X
Y
0,026
a)
b)
Nd
X
Y
Nd
υµ xDiagrama hd .10,0'=
( )facecmcmAtot /2,78,284,1.500
15,1.25.50.35.40,0 22=
=∴
50.35.8.15,0
4,0
00
00
≤≤
s
yd
d AfN
2
2 140117
cmAcm
cms ≤≤
8,438
35010 =<< lφ
×≤
35240
ls
=≥ mmt 5
420φ
cmcm
cmst
=≤
35242.12
20
A
A
AA
10
15,510 φ 20
Pilar P3 (25 x 55)
kNN 146607,1.10.137 ==
0141,01466
6,20.6,20 ==∴= xx emkNM
• Excentricidades Acidentais
mkNMmemkNMme
ayay
axax
.9,46032,0)55,0.03,0015,0(
.7,33023,0)25,0.03,0015,0(==+===+=
• Excentricidades de 2ª Ordem
+−≤
25,050,08,28,2 m
lex
( )
1max
1
1
max
353515,261
5,12.092,025
092,025,0
023,0
.7,33.7,33
.6,206,20.11
.6,20
.6,20
3,3546,3.25,055,2
λλ
λ
α
λ
≅
=≥=+
=
==
=∴
=≥==
=→<==
==
poisdesprezadoserPode
he
mkNMmkNMM
mkNMMMComo
mkNMMqueMenormkNM
cm
caxc
c
baxA
B
axA
(Basta verificar, portanto as ações de topo e pé).
6,1746,3.55,08,2
min ==λ
25 cm
55 c
m
X
Y
20,6 kN.m
20,6 kN.m
84,0
4,125000.55,0.25,0
4,1.1466==dν
20,0;07,025,0023,0.84,0) === ωµ dxaCaso
υµ xDiagrama
hd .10,0'=
23,114,1.500
15,1.25.55.25.20,0 cmAtot =
=∴
)bCaso
15,0049,0
55,0032,0.84,0
047,025,0
0141,0.84,0≅
==
==ω
µ
µ
dy
dx
A A
0,0141
X
Y
0,023
X
Y
0,0141
X
Y
0,032
a)
b)
υµ xDiagrama hd .10,0'=
=
=<<=
2
2
1,75,43
4,1.146615,0
11055.25.08,05,555.25.04,0
cm
cmAs
166 φ
Pilar P1 (25 x 40)
kNN 107007,1.10.100 ==
015,0.4,16018,0.5,19
=∴==∴=
yy
xx
emkNMemkNM
• Excentricidades Acidentais
mkNMmemkNMme
ayay
axax
.9,28027,0)40,0.03,0015,0(.61,24023,0)25,0.03,0015,0(
==+===+=
A A
25,5
25 cm
40 c
m
X
Y
• Excentricidades de 2ª Ordem
+−≤
25,050,08,28,2 m
lex
( )
1max
1
1
caxc
c
baxA
B
axA
max
poisdesprezadoserPode
353515,261
5,12.092,025
092,025,0023,0
he
m.kN6,24MMM
m.kN5,195,19.1M1MMComo
m.kN5,19MMqueMenorm.kN5,19M
cm3,3546,3.25,055,2
λ≅λ
=≤=+
=λ
==
=∴
≥==
=α→<−=
=
==λ
(Basta verificar, portanto as ações de topo e pé).
2,2446,3.40,08,2
min ==λ
19,5 kN.m
19,5 kN.m
0,018
X
Y
0,018
X
Y
0,027
a)
b)
0,015 0,023
X
Y
0,015
84,0
4,125000.40,0.25,0
4,1.1070==dν
)aCaso
24,0;032,040,0023,0.84,0
077,025,0023,0.84,0
===
==
ωµ
µ
dy
dx
)bCaso
24,0;057,040,0
027,0.84,0
06,025,0
018,0.84,0
===
==
ωµ
µ
dy
dx
υµ xDiagrama
hd .10,0'=
1669,94,1.500
15,1.25.40.25.24,0 2 φ→=
=∴ cmAtot
=
=
2
20
0
min 2,55,43
4,1.107015,0
440.254,0
cm
cmAs
18
φ 5,0 c/19
21
6φ 16
A A
Exemplo 5: (idem ao anterior exceto piso a piso = 5,6m) Pilar P1 (25 x 40)
kNN 107007,1.10.100 ==
memkNMmemkNM
xy
xx
015,0.4,16018,0.5,19
=∴==∴=
• Excentricidades Acidentais
mkNMmemkNMme
ayay
axax
.9,28027,0)40,0.03,0015,0(.61,24023,0)25,0.03,0015,0(
==+===+=
• Excentricidades de 2ª Ordem
=+−≤
mm
lex 35,525,050,06,56,5
( )
90
353515,261
5,12.092,025
092,025,0023,0
he
m.kN6,24MMM
m.kN5,195,19.1M1MMComo
m.kN5,19MMqueMenorm.kN5,19M
3,7446,3.25,035,5
max1
1
1
caxc
c
baxA
B
axA
max
<λ<λ
=≤=+
=λ
==
=∴
≥==
=α→<−=
=
==λ
me x 043,0
5,0
4,125000.4,0.25,0
4,1.1070.25,0
005,01035,5 2
2 =
+
==
25 cm
40 c
m
X
Y
19,5 kN.m
19,5 kN.m
Na direção y
=+−≤
mm
ley 5,54,050,06,56,5
6,4746,3.40,05,5
==yλ
( )
m028,0)5,0084,0(
1.4,0
005,0.105,5e
90
353584,251
5,12.0675,025
0675,040,0027,0
he
m.kN9,28MMM
m.kN4,164,16.1M
1MMComom.kN4,16M
MqueMenorm.kN4,16M
2
y2
y1
1
1
caxc
c
bayA
B
ayA
=+
=
<λ<λ
=≤=+
=λ
==
=∴
≥==
=α→<−=
=
Seção de Topo e pé
0,018
X
Y
0,018
X
Y
0,027
a)
b)
0,015 0,023
X
Y
0,015
16,4 kN.m
16,4 kN.m
Seção Central A condição a) é mais desfavorável
84,0=dν
74,0;09,025,0023,0.84,0
022,025,0
066,0.84,0
===
==
ωµ
µ
dy
dx
υµ xDiagrama
hd .10,0'=
20104,304,1.500
15,1.25.40.25.74,0 2 φ→=
=∴ cmAtot
20
02 8040.25.82,5 cmAcm s =<<
A A
0,023
X
Y
0,023
X
Y
0,055
a)
b)
0,027 0,066
X
Y
0,027
10φ 20
φ 5,0 c/20
9
21
Exemplo 6 - idem ao anterior, exceto:
memkNMmemkNM
xy
xx
037,0.40028,0.30
=∴==∴=
Pilar P1 (25 x 40)
kNN 107007,1.10.100 == • Na direção X
}
( )ordem2temnão74
5,874,0
354,015,26
4,05,12.092,025
092,025,0023,0
he
m.kN6,24MMM
m.kN1230.4,0M4,02,0)1(4,06,0
m.kN30Mm.kN30M
74
a1x
1
1
caxc
c
bb
B
A
x
λ<=λ
=≤=+
=λ
==
=∴
≥==
=α=−+=α−=
==λ
• Na direção Y
}
( )ordem2temnão4,47
5,874,0
354,084,25
4,05,12.0675,025
0675,040,0027,0
he
m.kN9,28MMM
m.kN1640.4,0M4,02,0)1(4,06,0
m.kN40Mm.kN40M
6,47
a1x
1
1
caxc
c
bb
B
A
x
λ<=λ
=≤=+
=λ
==
=∴
≥==
=α=−+=α−=
==λ
25 cm
40 c
m
X
Y
30 kN.m
30 kN.m
40 kN.m
40 kN.m
Seção de Topo e pé Como ex>eax e ey > eay, só existe 1 caso
84,0=dν
37,0;078,040,0
037,0.84,0
094,025,0
028,0.84,0
===
==
ωµ
µ
dy
dx
υµ xDiagrama
hd .10,0'=
1682,154,1.500
15,1.25.40.25.37,0 2 φ→=
=∴ cmAtot
8φ 16
φ 5,0 c/1912
21
A A
0,028
X
Y
0,037