Título do Livro - csee.ipt.pt · vi Prefácio Resumo sobre o conteúdo e objectivo do livro....
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nomeadamente fotocópia, esta obra. As transgressões serão passíveis das penalizações previstas na
legislação em vigor.
Ficha técnica:
Título: título do livro
Autor: Nome do autor
Impressão e acabamentos: Departamento de Design e Artes Gráficas
Instituto Politécnico de Tomar.
Tomar, Mês de 2008.
ISBN 972-23-2345-X
Índice
Prefácio ...................................................................................................................................... v
Abreviaturas ........................................................................................................................... vii
Glossário de símbolos .............................................................................................................. ix
1 Escrever título do capítulo (nível 1) ..................................................................................... 1
1.1 Escrever título da secção (nível 2) ................................................................................................... 2
���������������� ������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������
1.2 Escrever título da secção (nível 2) ................................................................................................... 3
2 Escrever título do capítulo (nível 1) ..................................................................................... 4
2.1 Escrever título da secção (nível 2) ................................................................................................... 5
���������������� ������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������
2.2 Escrever título da secção (nível 2) ................................................................................................... 6
Anexo A
A.1 Título ................................................................................................................................... 8
Anexo B
B.1 Título .................................................................................................................................. 10
Bibliografia .............................................................................................................................. 12
vi Prefácio
Resumo sobre o conteúdo e objectivo do livro. Eventual descrição da forma como o livro está
organizado e agradecimentos.
Tomar, mês de ano
Nome(s) do(s) autor(es)
viii Abreviaturas
ANOVA do inglês “analysis of variance”
EQM erro quadrático médio
f.c. função característica
f.d.c. função distribuição cumulativa
f.d.p. função densidade de probabilidade
v.a. variável aleatória
…
Escrever título do capítulo
1.1 Escrever título da secção (nível 2)
1.1.1 Escrever título da subsecção (nível 3)
1.2 Escrever título da secção (nível 2)
����� ��
��
2 1 Título do Capítulo 1
1.1 Escrever título da secção (nível 2)
• Distribuição gama Dizemos que a v.a. X tem uma distribuição gama, com parâmetro de forma 0r > e taxa 0λ > , e
denotamos este facto por
( , )X gama r λ� , (1.1)
se a f.d.p. de X for dada por
1( ) e , ( 0)( )
rx r
Xf x x xr
λλ − −= >Γ
(1.2)
onde ( )rΓ é a função gama. Podemos recorrer à função gama incompleta
1
0
( , ) ez
r r xr z x dxλλ λ − −Γ = �
para representar a f.d.c. de X sob a forma
( , )( ) ( )
( )X
r xF x P X x
rλΓ= ≤ =
Γ
a qual, no caso de r ∈� , pode ser escrita como
1
0
( )( ) ( ) 1 e
!
jrx
Xj
xF x P X x
jλ λ−
−
=
= ≤ = − � .
A f.c. de X é dada por
( ) ( i )r rX t tϕ λ λ −= − , (1.3)
com 1/ 2i ( 1)= − e t ∈� (Grilo, 2005; Grilo e Coelho, 2007).
• Distribuição exponencial
Se em (1.1), (1.2) e (1.3) fizermos 1r = temos o caso particular de uma v.a. com distribuição
exponencial. Dizemos, então, que X tem distribuição exponencial com taxa 0λ > . Simbolicamente,
( )X exponencial λ� . (1.4)
É um resultado conhecido que, se ( ) ( 1,..., )iX exponencial i nλ =� forem n v.a.s independentes e
identicamente distribuídas (i.i.d.) então 1
( , )n
iiX gama n λ
=� � .
A distribuição exponencial é muito usada no estudo de filas de espera e de fiabilidade de sistemas
complexos (fiabilidade no instante t é a probabilidade do sistema ainda funcionar nesse instante). Esta
distribuição surge, frequentemente, associada a um processo de Poisson - processo que não tem
memória e que se refere à ocorrência de acontecimentos num intervalo de tempo ou numa região do
espaço (Pedrosa e Gama, 2004).
3 1 Título do Capítulo 1
1.1.1 Escrever título da subsecção (nível 3) As tabelas devem ser numeradas e ter um título no topo.
Na Tabela 1.1 temos a distribuição dos alunos por curso superior. E como podemos confirmar…
Tabela 1.1: distribuição dos alunos por curso superior.
Curso N.º alunos % Conservação e Restauro 7 3,6 Fotografia 6 3,1 Artes Plásticas e Pintura 16 8,3 Tecnologia e Artes Gráficas 31 16,1 Gestão do Território e do Património Cultural 14 7,3 Eng.ª Electrotécnica e Computadores 16 8,3 Eng.ª Informática 11 5,7 Eng.ª Química 11 5,7 Eng.ª do Ambiente 9 4,7 Eng.ª Civil 72 37,3 Total 193 100,0
1.2 Escrever título da secção (nível 2)
As figuras (gráficos, esquemas, imagens) devem ser numeradas e ter um título por baixo. Como
podemos ver na Figura 1.1, o planisfério apresenta…
Figura 1.1: Mapa-mundo.
…
Escrever título do capítulo
2.1 Escrever título da secção (nível 2)
2.1.1 Escrever título da subsecção (nível 3)
2.2 Escrever título da secção (nível 2)
����� ��
��
5 2 Título do Capítulo 2
2.1 Escrever título da secção (nível 2)
Exemplo de uma nota de rodapé1…
2.1.1 Escrever título da subsecção (nível 3)
Teorema do limite central (TLC)
Sejam 1,..., kX X variáveis aleatórias independentes com a mesma distribuição, que se admite ter
variância finita (quase todas as distribuições de interesse prático têm variância finita, pelo que esta
condição não é particularmente restritiva). Qualquer que seja a forma da distribuição destas variáveis,
se o valor n for suficientemente grande, a variável soma
1
n
kk
T X=
=�
segue aproximadamente uma distribuição normal. Esta distribuição é inteiramente especificada
através do valor esperado e da variância de T, que são dados por T Xnµ µ= e 2 2T Xnσ σ= onde Xµ e
2Xσ , representam o valor esperado e a variância das variáveis kX (Pestana e Velosa, 2002).
Deste teorema resulta imediatamente que, para uma qualquer população com variância finita, a
distribuição da média amostral calculada com base numa amostra aleatória simples tende para a
distribuição normal, à medida que a dimensão da amostra cresce. Na realidade, a média amostral
resulta de multiplicar a variável soma pelo coeficiente 1/n e, portanto, se a distribuição da soma se
aproxima de uma distribuição normal, o mesmo sucederá à distribuição da média amostral (Guimarães
e Cabral, 2007). Ou seja,
2 2
1
1( ; / )
n
k X Xk
X X N nn
µ µ σ σ=
= = =� �
pelo que
2( 0; 1)/
Z Z
XZ N
n
µ µ σσ
−= = =� .
1 Nota de rodapé 1…
12 Bibliografia
Alguns exemplos de referências bibliográficas:
Abramowitz, M., Stegun, I. A. (1974). Handbook of Mathematical Functions. (eds.). 9.ª ed., Dover,
New York.
Anderson, T. W. (1984). An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. 2.ª ed., J. Wiley & Sons,
New York.
Guimarães, Rui C. e Cabral, José A. S. (2007). Estatística. 2.ª Edição, McGraw-Hill.
Grilo, L. M. (2005). Desenvolvimento de distribuições quase-exactas para vários cenários de
utilização da estatística Λ de Wilks. Dissertação de Doutoramento, Universidade Técnica de Lisboa
(ISA), Lisboa.
Grilo, L. M. e Coelho, C. A. (2007). Development and Comparative Study of two Near-exact
Approximations to the Distribution of the Product of an Odd Number of Independent Beta Random
Variables. Journal of Statistical Planning and Inference, 137, 1560-1575.
Pedrosa, A. C. e Gama, S. M. A. (2004). Introdução Computacional à Probabilidade e Estatística. Porto Editora. Pestana, Dinis D. e Velosa, Sílvio F. (2002). Introdução à Probabilidade e à Estatística. Vol. I, edição da Fundação Calouste Gulbenkian. Rao, C. R. (1948). Tests of significance in multivariate analysis. Biometrika, 35, 58-79. Rao, C. R. (1951). An asymptotic expansion of the distribution of Wilks criterion. Bull. Internat. Statist. Instit., 33, 329-58. Reis, E., Melo, P., Andrade, R., Calapez, T. (1996). Estatística Aplicada. Vol. I e II, Edições Sílabo. Schatzoff, M. (1966). Exact distributions of Wilks’ likelihood ratio criterion. Biometrika, 53, 347-358. Sugiura, N. e Fujikoshi, Y. (1969). Asymptotic expansions of the non-null distributions of the likelihood ratio criteria for multivariate linear hypothesis and independence. Ann. Math. Statist., 40, 942-952. Wilks, S. S. (1932). Certain generalizations in the analysis of variance. Biometrika, 24, 471-494. Wilks, S. S. (1935). On the independence of k sets of normally distributed statistical variables. Econometrika, 3, 309-326.