~. ." :. ~ ~-~:~.~.:. :: '_:_" r" ~ . . ' - . . .

. . --~~ .: :. < : . " . . . ,.

. . . + . - '

CJLtCJL .. . . ' ~ .

'.

'

- !-i."

,. '.

-'

i: . '

Clculo

'

, . . . '

.,

'

.\

~ ...

. . -~ .

.

~ ' .

'

TOM M.APOSTOL

CLCULO VOLUME2

Clculo com funes de vrias variveis e lgebra Linear, com aplicaes s

equaes diferenciais e s probabilidaddes

EDITORIAL REVERT, S. A. Barcelona- Bogot- Buenos Aires - Caracas -Mxico

Ttulo da obra Original: CALCULUS, Onc-Variable Calculus, With an introduction to Linear Algebra Second Edition. Volume 2

Ediiio original em lingua inglesa publicada por:. Blaisdell Publishing Company, Waltbam, Massachusetts, USA Copyright by Blaisdell Publishing Company

Tradup de: Joaquim Ferreira Marques Doutor em Cincias Exactas

Propiedad de: EDITORIAL REVERT, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 e-mail: reverte@rcverte.com www.reverte.com

Proibida a reproduo de toda ou parte desta obra, sob qualquer forma, sem auloriza~o por escrito do editor. Reservados todos os direitos Edio em portugus

EDITORIAL REVERT, S. A., 1996 Reimpresin: octubre de 2004

lmpreso en Espana~ Printed in Spain

ISBN:84-291-5016-I Tomo2 ISBN: 84-291-5014-5 Obra completa

Depsito Legal: B-44494-2004

lmpreso por Domingraf lmpressors Pol. lnd. Can Magarola 08100 Mollet del Vai ls (Barcelona)

., ...

,..,

a

Jane e Stephen

'" -

-:' '

'

"!

PREFCIO

Este livro a continuao do livro do autor Cdlculo, volume I, Segunda Edio. O presente volume foi escrito com a mesma ideia fundamental que norteou o primeiro. Uma adequada orientao para a. tcnica ligada a um rigoroso e profundo desenvol-vimento terico. Procurou-se fazer chegar ao estudante o esprito da materntica mo-derna sem exagerar o formalismo. Como no Volume I. incluem-se notas histricas para dar ao estudante uma ideia da evoluo do pensamento matemtico.

O segundo volume est dividido em trs partes, intituladas Anlise Linear. Anlise no Linear e Tpicos Especiais. Os dois ltimos captulos do Volume I repetem-se aqui, constituindo os dois primeiros captulos deste Volume, com a finalidade de que todo o material relativo lgebra Linear se apresenta de forma completa em cada um dos volumes.

A Parte I contm um introduo lgebra linear, incluindo transformaes li-neares, matrizcs, determinantes, valores prprios e formas quadrticas. Fazem-se algumas aplicaes Anlise, em particular ao estudo das equaes diferenciais li-neares. Com a ajuda do clculo matricial estudam-se os sistemas de equaes dife-renciais. Demonstram-se teoremas de existncia e unicidade por intermdio do mtodo de Picard das aproximaes sucessivas, que tambm se trata na teoria dos operadores de contraco.

Na Parte 2 estuda-se o clculo para funes de vrias variveis. O clculo diferen-cial unificado e simplificado com auxlio da lgebra linear. Incluem-se a generali-zao da regra de d~rivao de uma funo composta para campos vectoriais e esca-lares e aplicaes s equaes de derivadas parciais e a problemas de extremos. O clculo integral inclui os integrais de linha, integrais mltiplos, e integrais de sup_er-fcie, com aplicaes Anlise vectorial. Aqui a exposio segue mais ou menos a linha clssica e no inclui um desenvolvimento formal das formas diferenciais.

Os tpicos especiais tratados na Parte 3 so Prohabilidade.f e Anlise Numrica. A parte referente s Probabitidades est dividida em dois captulos, um que trata o

VII

VIII Prefcio

assunto considerando o conjunto fundamental (ou espao amostra) finito ou infinito numervel; o outro em que se consideram conjuntos fundamentais no numerveis, variveis aleatrias e funes de. repartio. Fazem-se algumas aplicaes no estudo de variveis aleatrias uni e bidimensionais.

O ltimo captulo contm uma introduo Anlise Numrica, dando-se particular nfase ao estudo de diferentes tipos de aproximao polinomial. Aqui, mais uma vez se procura a unificao das ideias pela notao e terminologia da lgebr-a linear. O livro termina co.m o estudo de frmulas de integrao aproximada, tais como a regra de Simpson, e com uma discusso da frmula de somao de Euler.

Contm este volume matria suficiente para um curso anual com trs-ou quatro tempos semanais. Pressupe a conhecimento do clculo para funes de uma varivel tal como se estuda na maior parte dos primeifos anos dos cursos de clcuio. O autor idealizou a matria exposta para um curso com quatro aulas semanais, duas de expo-sio por parte do professor e duas para questes postas aos alunos. desenvolvido ao longo de dez semanas para cada parte e omitindo as seces assinaladas com um as-terisco.

Este segundo volume foi planeado de maneira a poderem omitirse vrios captulos em cursos abreviados. Por exemplo, o ltimo captulo de cada uma das partes pode ser omitido, sem que tal origine descontinuidade na exposio.- A Parte I proporciona material para um curso combinado de lgebra linear e equaes diferenciais ordin-

.rias. Cada professor pode escolher os tpicos adequados s suas necessidades e pre-ferncias por consulta do diagrama da pgina seguinte que coindencia a interdepen-dncia lgica dos captulos.

Mais uma vez agradeo com prazer a colaborao de muitos amigos e colegas. Ao preparar a segunda edio recebi valiosa ajuda dos Professores Herbert S. Zuckcrman da Universidade de Washington e Basil Gordoh da Universidade da Califrnia, Los Angeles, tendo cada um deles sugerido vrias modificaes. Agradecimento so tam-bm devidos ao pessoal da B\aisde\1 Publishing Company pela sua assistncia e coo-perao.

Como noutras ocasies, para mim uma satisfao especial exprimir a minha gra-tido a minha esposa pela sua valiosa e variada colaborao. Em sinal de reconheci-mento dedico-lhe gostosamente este livro.

T. M.A. Pasadena. Califrnia

I ESPAOS

LINEARES

_I 2 15

TRANSFOR- INTRODUO MAOES ANLISE

LINEARES E NUMRICA MATRIZES

3 DETERMI-NANTES

8 10 13 6 CLCULO NTEGRAIS FUNOES DE EQUA0ES DIFERENCIAL DE CONJUNTO E DIFERENCIAl EM CAMPOS LINHA PROBABILIDADE LINEARES 4 ESCALARES E ELEMENTAR

VECTORIAIS

I r- VALORES -I PRPRIOSE 7 VECTORES

PRPRIOS 11 SISTEMAS DE NTEGRAI I EQUAOES ~LTIPLO plFERENCIAI 5

14 VALORES I FLCULO DA PRPRIOS DE h OPERADORES PROBABILI-QUE ACTUAM 9 12 DADES

~ EN ESPAOS APLICA0ES INTEGRAIS EUCLIDEANOS DO CLCULO DE DIFERENCIAL SUPERFICIE

!.I. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16.

1.17.

NDICE ANALTICO

PARTE I. ANALISE LINEAR

I. ESPAOS LINEARES Introduo 3 Definio de espao linar 3 Exemplos de espaos lineares 5 Consequncias elementares dos axiomas 6 Exerccios 8 Subespaos de um espao linear 9 Conjuntos dependentes e independentes num espao linear 10 Bases e dimenso 13 Componentes 15 Exerccios 15 Producto interno. espaos eUclidianos. Normas 16 Ortogonalidade num espao euclidiano 20

Exerccio~ 23 Construao de cnjuntos ortogonais. O mtodo de Gram-Schmidt Complementos ortogonais. Projecces 30 . A melhor aproximao de elementos de um espao euclidiano por elementos de um subespao de dimenso finita 32 Exerccios 34

2. TRANSFORMAOES LINEARES E MATRIZES

2.1. Transformaes lineares 35 2.2. Espao nulo e contradomnio 37 2.3. Nulidade e ordem 38

25

Xl

XII

2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. 2.19: 2.20. 2.21.

Exerccios 39 Operaes elgbricas relativas a transformaes lineares 41 Inversas 43 Transformaes lineares biunvocas 46 Exerccios 48 Transformaes lineares com valores determinados 50 Representao matricial das transformaes lineares 51 Construo de uma representao matricial. na. forma diagonal Exerccios 56 Espaos lineares de matrizes 58 Isomorfismo entre transformaes lineares de matrizes 59 Multiplicao de matrizes 61 Exerccios 64 Sistemas de equaes lineares 66 Tcnicas de clculo 68 Inversas de matrizes quadradas 73 Exerccios 76 Exerccios variados sobre matrices 77

3. DETERMINANTES

Introduo 79

ndice analtico

54

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12.

Justificao da escolha dos axiomas para a funo determinante 80

3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17.

Um conjunto de axiomas para a funo determinante 82 Clculo de determinantes 84 O teorema de unicidade 88 Exerccios 89 Producto de determinantes 91 Determinante da matriz inversa de uma matriz no singular 92 Determinantes e independncia de vectores 93 Determinante de uma ma triz diagonal por blocos 93 Exerccios 95 Frmulas para o desenvolvimento de determinantes. Menores e complementos algbricos 96 .Existncia da funo determinante 100 O determinante da matriz transposta 102 A matriz complementos algbricos 103 Regra de Cramer I OS Exerccios 106

4. VALORES PRPRIOS E VECTORES PRPRIOS

4.1. Transformaes lineares representadas por matrizes diagonais 109 4.2. Valores prprios e vectores prprios de urna transformao linear 110 4.3. Independncia linear de vectores prprios correspondentes

a valores prprios distintos 113 4.4. Exerccios 113 4,5. O caso de dimenso finita. Polinmios caractersticos 116

indice analtico

4.6. Clculo de valores prprios e vectores prprios no caso de dimenso finita 117

4.7. Trao de uma matriz 120 4.8. Exerccios 121 4.9. Matrizes representarido a mesma transformao linear.

Matrizes semelhantes 123 4.10. Exerccios 127

5.1. 5.2. 5.3.

5.4.

5.5. 5.6.

5.7.

5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15.

*5.16.

*5.17.

*5.18. 5.19. 5.20.

5. VALORES PRPRIOS DE OPERADORES. EM ESPAOS EUCLIDIANOS

Valores prpios e productos in~ernos 129 Transformaes hermticas e hemihermticas 130 Valores prprios e vectores prprios de operadores hermticos e hemi-hermticos . 132 Ortogonalidade de vector"es prprios correspondentes a valores prprios distintos 133 Exerccios 134 Existncia de um conjunto ortonormal de vectores prprios para operadores hermticos e hemi-hermticos em espaos de dimenso finita 135 Representao matricial de operadores hermticos e hemi-hermticos 137 Matrizes ht::nnliCas e hemi-hermticas. A associada de uma matriz 138 Diagonalizao de uma matriz hermtica ou hemi-hermtica 138 Matrizes unitrias. Matrizes ortogonais 139 Exerccios 140 Formas quadrticas 143 Reduo de uma forma quadrtica real forma diagonal 145 Aplicaes geometria analtica 14 7 Exerccios 151 Valores prprios de uma transformao simtrica obtidos como valores de sua forma quadrtica 152 Propriedades extremais dos valores prprios de uma transformao simtrica 154 O caso de dimenso finita 155 Transformaes unitrias 155 Exerccios 158

6. EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES

6.1. Introduo histrica 161 6.2. Reviso dos resultados j establecidos relativos s equaes diferenciais

lineares de primeira e de segunda ordem 162 6.3. Exerccios 164 6.4. Equaes diferenciais lineares de ordem n 165 6.5. O teorema de existncia e unicidade 166 6.6. A dimenso do espao sOluo de .uma equao linear homognea 167

XIII

XIV lndice analtico

6.7. A lgebra de operadores de coeficientes constantes 168 6.8. Determinao de uma base de solues para equaes lineares

com coeficientes constantes por factorizao de operadores 170 6.9. Exerccios 175 6.10. Relao entre as equaes homogneas e no homogneas 177 6.11. Determinao de uma soluo particular da equao no homognea.

O mtodo de variao das constantes 178 6.12. No singularidade da matriz wronskiana de n solues independentes

de uma equao linear homogea 182 6.13. Mtodos especiais para determinao de soluoes particulares

de equaes no homogneas. Reduo a um sistema de equaes lineares de primeira ordem 184

6.14. O mtodo do anulador para determinao de uma soluo particular da equao no homognea 185

6.15. Exerccios 188 6.16. Exerccios variados sobre equaes diferenciais lineares 189 6.17. Equaes lineares de segunda .ordem com coeficientes analticos 191 6.18. A equao de Legendre 194 6.19. Os polinmios de Legendre 197 6.20. Frmula de Rodrigues para os polinmios de Legendre 199 6.21. Exerccios 200 6.22. O mtodo de Frobenius 204 6.23. A equao de Bessel 206 6.24. Exerccios 212

7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7.

7.8. 7.9. 7.10. 7.11. 7.12. 7.13. 7.14. 7.15. 7.16. 7.17. 7.18. 7.19.

7.20.

7. SISTEMAS DE EQUAOES DIFERENCIAIS Introduo 215 Conceitos do clculo para funes matriciais 218 Sries de matrizes. Normas de matrizes 218 Exerccios 220 A matriz exponencial 221 A equao diferencial verificada por e1A 222 Teorema da unicidade para a equao diferencial matricial F' (t) = AF(t) 223 Regra do producto de exponenciais de matrizes 224 Teoremas de existncia e unicidade para sistemas lineares homogneos O problema do clculo de etA 226 O teorema de Cayley-Hamilton 228 Exerccios 230 Mtodo de Putzer para o clculo de tfA 231 Outros mtodos para calcular e1A em casos particulares 235 Exerccios 238 Sistemas lineares no homogneas com coeficientes constantes 239 Exerccios 241 O sistema linear geral Y'(t) = P(t)Y(t) + Q(t) 244 Resoluo de sistemas lineares homogneos por intermdio de sries de potncias 248 Exerccios 249

225

ndice analtico

7 .21. Demostrao do teorema de existncia pelo mtodo das aproximaes sucessivas 258

7 .22. O mtodo das aproximaes sucessivas aplicado a sistemas no lineares de primeira ordem 255

7 .23. Demostrao de um teorema de existncia e unicidade para sistemas no lineares de primeira ordem 257

7'.24. Exerccios 259 *7.25. Aproximaes sucessivas e pontos fixos de operadores 261 *7.26. Espaos lineares normados 262 *7.27. Operadores de contraco . 263 . *7.28. Teorema do ponto fixo para operadores de contraco 264

~1 .29. Aplicaes do teorema do ponto fixo 266

8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 8.9. 8.10. 8.11. 8.12. 8.13. 8.14. 8.15.

8.16. 8.17. 8.18. 8.19. 8.20.

8.21. 8.22.

'8.23. 8.24.

PARTE 2. ANALISE NAO LINEAR

8. CALCULO DIFERENCIAL EM CAMPOS ESCALARES E VECTORIAIS

Funes de Rn em Rm. Campos vectoriais e escalares 273 Bolas abertas e coujontos abertos 274 Exerccios 276 Limites e continuidade 278 Exerccios 282 A derivada de um campo escalar relativamente a um vector 283 Derivadas direccionais e derivadas parciais 286 Derivadas parciais de ordem superior 287 Exerccios 287 Derivadas direccionais .e continuidade 288 A diferencial 290 Gradiente de um campo escalar 291 Uma condio suficiente de diferenciabilidade 293 Exerccios 295

Gener~lizao do regra de derivao .de funes compostas para derivadas de campos escalares 296 Aplicaes geomtricas. Conjuntos de nvel. Planos tangentes 298 Exerccios 301 Derivadas de campos vectoriais 303 A diferenciabilidade implica a continuidade 304 Generalizao da regra de d~rivao da funo composta para derivadas de campos vectoriais 305 Forma matricial da regra de derivao para a composio 306 Exerccios 309 Condies suficientes para a igualdade das derivadas parciais mistas Exerccios variados 315

9. APLICAES DO CALCULO DIFERENCIAL 9.1. Equaes de derivadas parciais 319

XV

311

XVI lndice ana/itico

9.2. Uma equao de derivadas parciais de primeira ordem com coeficientes constantes 320 Exerccios 322 9.3.

9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8. 9.9. 9.10. 9.11.

- A equao unidimensional das ondas 324

9.12.

9.13. 9.14. 9.15. 9.16. 9.17.

10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7. 10.8. 10.9. 10.10. 10.11. 10.12.

.10.13. 10.14. 10.15.

10.16. 10.17. 10.18. 10.19. 10.20. 10.21.

Exerccios 329 Derivadas de funes implcitas 331 Exemplos resolvidos 335 Exerccios 340 Mximos, mnimos e pontos sela 341 Frmula de Taylor de segunda ordem para campos escalares 346 A natureza do ponto de estacionaridade determinada pelos valores prprios da matriz Hessiana 348 Critrio das derivadas de segunda ordem para extremos de funes de duas variveis 351 Exerccios 351 Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange 353 EXerccios 357 Teorema do valor extremo para campos escalares continuas 358 O teorema da continuidade uniforme para campos escalares contnuos

10. INTEGRAIS DE LINHA

Introduo 363 Integrais de linha e linhas de integrao 363 Outras notaes para os integrais de linha 364 Propriedades fundamentais dos integrais de linha Exerccios 368 O conceito de trabalho como um integral de linha Integrais de linha relativos ao comprimento de arco Outras aplicaes dos integrais de linha 371 Exerccios 372

366

369 370

Conjuntos conexos abertos. Independncia da linha 374 O segundo teorema fundamental do clculo para as integrais de linha Aplicaes mecnica 376 Exerccios 378 O primeiro teorema fondamental do clculo para integrais de linha Condies necessrias e suficientes para que um campo de vectores seja um gradiente 381 Condies necessrias para que um campo vectorial seja um gradiente Mtod~s especiais de construo de funes potenciais . 384 Exerccios 387 Aplicaes s equaes diferenciais exactas de primeira ordem 389 Exerccios 392 Funes potenciais em conjuntos convexos 393

11. INTEGRAIS MLTIPLOS

11.1. Introduo 397

361

374

379

382

ndice ana/itico

11.2. 11.3. 11.4.

11.5. 11.6. 11.7. 11.8. 11.9. 11.10. 11.11. 11.12. 11.13. 11.14. 11.15. 11.16. 11.17. 11.18. 11.19. 11.20. 11.21.

11.22. *11.23. *11.24. *11.25. 11.26. 11.27. 11.28. 11.29.

11.30. 11.31. 11.32. 11.33. 11.34.

Parties de retngulos. Funes em escada 398 O integral duplo de uma funo em escada 399 A definio de integral duplo de uma funo definida e limitada num retngulo 401 Integrais duplos superior e inferior 402 Clculo de um integral duplo por integrao unidimensional repetida Interpretao geomtrica do integral duplo como um volume 404 Exemplos resolvidos 405 Exerccios 407 Integrabilidade de funes continuas 408 Integrabilidade de funes limitadas com descontinuidades 409 Integrais duplos estendidos a regies mais gerais 410 Aplicaes a reas e volumes 414 Exemplos resolvidos 415 Exerccios 417 Outras aplicaes dos integrais duplos 419 Dois teoremas de Pappus 422 Exerccios 424 Teorema de Green no plano 425 Algumas aplicaes do teorema de Green 429 Uma condio necessaria e suficiente para que um campo vectorial bidimensional seja um gradiente 430 Exerccios 433 Teorema de Green para regies multiplamente conexas 435 O nmero de giros 437 Exerccios 439 Mudana de variveis num integral duplo 441 Casos particulares da frmula de mudana de variaveis 445 Exerccios 449 Demonstrao da frmula de mudana de variveis num caso particular 450 Demonstrao da frmula de mudana de variveis no caso geral Extenses a um nmero superior de dimenses 455 Mudana de variveis num integral n-mltiplo 457 Exemplos resolvidos 459 Exerccios 463

12. INTEGRAIS DE SUPERF!CIE

12.1. Representao paramtrica de uma superfcie 467 12.2. O producto vectorial fundamental 471 12.3. O producto vectorial fundamental definido uma

normal superfcie 474 12.4. Exerccios 475 12.5. rea de uma superfcie na representao param~rica 475 12.6. Exerccios 481 12.7. Integrais de superfcie 481 12.8. Mudana de representao paramtrica 484 12.9. Outras notaes para os integrais ?e superfcie 486

XVII

403

453

XVIII

12.10. 12.11. 12.12. 12.13. 12.14. 12.15.

*12.16. *12.17.

12.18. 12.19. 12.20. 12.21.

lndice analtico

Exerccios 489 O teorema de Stokes 490 O rotacional e a divergncia de um campo vectorial 493 Exerccios 495 Outras propriedades do rotacional e da divergncia 496 Exerccios 500 . Reconstruo de um campo vectorial a partir do seu rotacional 502 Exerccios 506 Extenses do teorema de Stokes 507 O teorema da divergncia (teorema de Gauss) 511 Aplicaes do teorema da divergncia 515 Exerccios 517

PARTE 3. TEMAS ESPECIAIS

13. FUNES DE CONJUNTO E PROBABILIDADE ELEMENTAR 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. 13.7. 13.8. 13.9. 13.10. 13.11. 13.12. 13.13. 13.14. 13.15. 13.16. 13.17.

13.18. 13.19. 13.20. 13.21.

13.22. 13.23.

Introduo histrica 525 Funes de conjunto completamente aditivas 526 Medidas finitamente aditivas 528 Exerccios 529 A definio de probabilidade para conjuntos fundamentais finitos Terminologia peculiar da teoria das probabilidades 533 Exerccios 534 Exemplos resOlvidos 535 Exerccios 537 Alguns princpios bsicos de anlise combinatria 539 Exerccios 544 Probabilidade condicionada 545 Independncia aleatria 547 Exerccios 549 Experincias compostas 551 Esquema de Bernoulli 555 O nmero mais favorvel de ocorrncias do acontecimento favorvel .em n experincias dum esquema de Bernoulli 557 Exerccios 560 Conjuntos numerveis e no numerveis 562 Exerccios 566 Definio de probabilidade para conjuntos fundamentais infinitos numerveis 567 Exerccios 569 Exerccios variados sobre probabilidades 569

14. CALCULO DAS PROBABILIDADES

14.1. A d~finio de probabilidade para conjuntos fundamentais no numeraveis 573

530

14.2. Numerabilidade de conjuntos de pontos com probabilidade positiva 574

/ndice analitico

14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8. 14.9. 14.10. 14.11. 14.12, 14.13 .. 14.14. 14.15. 14.16. 14.17. 14.18. 14.19. 14.20. 14.21. 14.22. 14.23. 14.24. 14.25. 14.26. 14.27. 14.28. 14.29. 14.30. 14.31.

15.1. 15.2. 15.3. 15.4. 15.5. 15.6. 15.7. 15.8.

. 15.9. 15.10. 15.11.

15.12. 15.13. 15.14.

Variveis aleatrias 575 Exerccios 577 Funes de repartio 578 Discontinuidades das funes de repartio 582 Distribues discfetas. Funes de massa probabilstica 585 Exerccios 588 Distribuies continuas. Funes densidade 591 Distribuio uniforme num il.tervalo 592 Distribuio de Cauchy 597 -Exerccios 598 Distribuies exponenciais 599 Distribuies normais 602 Indicaes referentes a distribuies mais gerais 606 Exerccios 607 Distribuies de funes de variveis aleatrias 608 Exerccios 609 Distribuio de Variveis aleatrias bidimensionais 610 Distribuies discretas bidirnensionais 613 Distribuies bidimensionais continuas. Funes densidade 614

Exerccios 616 Distribuio de funes de duas variveis aleatrias 618 Exerccios 622 Esperana matemtica e varincia 625 Esperana matemtica de uma funo de urna varivel aleatria Exerccios 630 Desigualdade de Tchebycheff 632 Leis dos grandes nmeros 634 Teorema limite central do clculo das probabilidades 637 Exerccios 639

Bibliografia 641

15. INTRODUO A ANALISE NUMERICA Introduo histrica 643 Aproximao p'olinornial 644 Aproximao polinomial e espaos lineares normados Problemas fundamentais da aproximao polinorpial' Exerccios 650 Polinmios interpoladores 652 Pontos de interpolao igualmente separados Anlise do erro na interpolao polinomial Exerccios 659 Frmula de interpolao de Newton 662 Pontos de interpolao igualmente espaados. O operador das diferenas sucessivas 664 Polinmios factoriais 666 Exerccios 66 7

655. 656

Um problema de nmero relativo n~Jrma maximal

646 648

669

XIX

629

XX lndice analtico

15.15. Polinmios de Tchebycheff 670 15.16. Uma propriedade de mnimo dos polinmios de Tchebycheff 672 15.17. Aplicao formuia de erro na interpolao 674 15.18. Exerccios 675 15.19. Integrao aproximada. A regra trapezoidal 677 15.20. Regra de Simpson 680 15.21. Exerccios 685 15.22. A frmula de somao de Euler 688 15.23. Exerccios .694

Bibliografia 697

Solus dos exerccios 699

lndice alfabtico 745

: .. '-'

Clculo ,

.

PARTE I ANLISE LINEAR

1 ESPAOS LINEARES

1.1. Introduo . No desenvolvimento da Matemtica encontramos muitos exemplos de objectos

matemticos que podem ser adicionados uns aos outros e multiplicados por nmeros reais. O primeiro exemplo de tais objectos so os prpriOs nmeros reais. Outros exem-plos so as funes reais. os nmeros complexos. as sries infinitas, os vectores num espao n dimensional e as funes vectoriais. Nestt: captulo vamos analisar um con-ceito matemtico geral, chamado espao linear, que inclui todos estes exemplos e mui-tos outros como casos particulares.

Em resumo, um espao linear um conjunto de elementos de natureza qualquer no qual se efectuam certas operaes (chamadas adio e multiplicao por nmeros). Ao definir-se um espao linear, no necessrio e.\peciftcar a natureza dos elementos nem dizer como se realizam entre eles as operaes acabadas de referir. Em vez disso, exige-se que as oper_aes gozem de certas propriedades que se tomam como axiomas do espao linear. Vamos precisamente, em seguida, faze:r uma descrio pormenori-zada desses axiomas.

1.2. Definio de espao linear S~ja V um conjunto no vazio de objectos, chamados elementos. O conjunto. V cha-

ma-se um espao linear se satisfaz aos dez axiomas que a seguir se enunciam, divididos em trs grupos.

Axiomas de fecho.

AXIOMA I. FECHO A RESPETTO DA ADIO. A todo o par de elementos x e)' de V corresponde um nico elemento de V. chqmado soma de x e y e representado p"or x + y.

4 Clculo

AXIOMA 2. FECHO A RESPEITO DA MULTIPLICAO POR NMEROS REAIS. A todo o x de V e todo o nmero real a corresponde um elemento de V, chamado o produto de a por x e representado por ax.

Axiomas parti a adio.

AXIOMA 3. PROPRIEDADE COMUTATIVA. Para todo o X e jJ de V. temse X+ y = y +X. AXIOMA 4. PROPRIEDADE ASSOCIATIVA. Para todo O X, y e Z de V, tem-se

x+(y+z)=(x+y)+z. AXIOMA 5. EXISTCNCJA DE ELEMENTO ZERO. Existe um elemento em V, representado

pelo smbolo O, tal que

x + O = x para todo o x de V.

AXIOMA 6. EXISTINCIA DE SIMTRICOS. Para todo o X de V, o elemento (- 1 )x tem a propriedade

x+(-!)x=O.

Axiomas pala a multiplicao por nmeros.

AXIOMA 7. PROPRIEDADE ASSOCIATIVA~ Para todo o X de V, e todo o par de nmeros reais a e h. tem-se

a(bx) = (ab)x.

AXIOMA 8. PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA PARA A ADIO EM V. Para todo o par x e y de V e todo o real a. tem-se

a(x + y) = ax + ay.

AXIOMA 9. PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA PARA A ADIO DE NMEROS. Para todo o x em V e todo o par de reaL'f a e b tem-se

(a+ b)x = ax + bx.

AXIOMA 10. EXISTINCIA DE ELEMENTO IDENTIDADE. Para todo x em V, tem-se lx= x.

Os espaos lineares. como foram definidos atrs, so muitas vezes chamados es-paos lineares reais, para fazer ressaltar o facto de que se multiplicam elementos de V por nmeros reais. Se nos Axiomas-2. 7, 8 e 9 substiuimos nmero real por nmero

Espaos lineares 5

complexo, a estrutura resultante chama-se lim espao /ineaJ' complexo. Por vezes um espao linear chama-se tambm espao vectorial linear. ou mais simpleSmente espao vectorial; os nmeros usados como multiplicadores diamam-se escalares. Um espao linear real admite os nmeros reais como escalares, um espao linear complexo admite os nmeros complexos como escalares. Embora se considerem aqui fundamental-mente exemplos de espaos vectoriais lineares reais, todos os teoremas so verdadei-ros igualmente para os espaos vectofiais complexos. Quando fazemos uso da expres-so espao linear, sem qualquer designao suplementar, deve subentender-se que o espao pode ser real ou complexo.

1.3. Exemplos de espaos lineares

Se especificamos qual o. conjuil.to V e dizemos como somar os seus elementos e como multiplic-los por nmeros, obtemos um exemplo concreto de um espao linear. O leitor pode facilmente verificar que cada um dos seguintes exemplos satisfaz a todos os axiomas para um espao linear real.

EXEMPLO I. Seja V= R o conjuntO dos. nmeros reais, e sejam x + y e ax a adio e multiplicao usuais de nmeros reais.

EXEMPLO 2. Seja V~ C o conjunto dos nmeros complexos, e seja x + y a adio ordinria de nmeros complexos e ax a multiplicao de nmeros complexos x pelo nmero real a. Embora os elementos de V sejam nmeros complexos, este um es-paO linear real porque os escalares so reais.

EXEMPLO 3. Seja V= Vn o espao vcctorial dos sistemas de n nmeros reais, com a adio e a multiplicao por escalares definida da maneira usual em funo das com-ponentes.

EXEMPLO 4. Seja V o conjunto de todos os vectores em V" ortogonais a um dado vector no nulo N. Se n = 2, este espao linear uma recta que passa por O, ad~intindo N como vector normal. Se n = 3, um plano que passa por O com N como vector normal.

Os exemplos que se seguem dizem-se espaos funcionaiS. Os elementos de V sO fun-es reais, com a adio de duas funes f c g definidas na forma usual:

(f+ g)(x) = f(x) + g(x)

para todo o real x pertencente interseco dos domnios de f e g. A multiplicao de uma funo f por um escalar real a define-se do modo seguinte: af a funo cujo valor para cada x no domnio de f e af(x). O elemento zero a funo cujos valores so sempre zero. O leitor verificar com facilidade que cada um dos conjuntos se-guintes ~ um espao funcionaL

; Clculo

EXEMPLO 5. O conjunto de todas as funes definidas num dado intervalo.

EXEMPLO 6. O conjunto de todos os polinmios. EXEMPLO 7. O conjunto de todos os polinmios de grau ;:i n, com n fixo. (Sempre

que se considera este conjunto subentende-se que o polinmio zero est tambm in-cluido). O conjunto de todos os polinmios de grau igual a n no um espao linear porque os axiomas de fecho nO so satisfeitos. Por exemplo, a soma de dois polin-mios de grau n no ter necessariamente grau n.

EXEMPLO 8. O conjunto de todas as funes contnuas num dado intervalo. Se o intervalo [a, bl representamos este espao linear por C(a, b).

EXEMPLO 9. O conjunto de todas as funes derivveis num dado ponto.

EXEMPLO 10. O conjunto de todas as funes integrveis num dado intervalo.

EXEMPLO 11. O conjunto de todas as funes f definidas no ponto I, comf(l)~ O: O nmerO O fundamental neste exemplo. Se substituirmos O por um nmero c no nulO, violamos os axiomas de fecho.

EXEMPLO 12. O conjunto de todas as solues de uma equao diferencial linear homognea y- + ay' + by =O, com a e b constantes. Aqui mais uma vez o O essencial. O conjunto de solues de uma equao diferencial no homognea no satisfaz aos axiomas de fecho.

Estes .exemplos e muitos outros mostram bem quanto o conceito de espao linear est estendido Algebra, Geometria e Anlise. Quando se deduz um teorema a partir dos axiomas de um espao linear, obtemos, de uma vez, um resultado vlido para cada exemplo concreto. Unificando diferentes exemplos desta maneira ganhainos um conhecimento mais aprofundado de cada um. Algumas vezes o conhecimento de um exemplo particular ajuda-nos a antecipar ou interpretar resultados vlidos para outros exemplos e pe em evidncia relaes que de outro modo poderiam passar desPer-ebidas.

IA. Consequnciils elementares dos axiomas Os teoremas que se seguem deduzem-se facilmente dos axiomas para um espao

linear.

TEOREMA 1.1. UNICIDADE DO ELEMENTO ZERO. Em qualquer espao linear existe um e um s elemento zero.

Demonstrao. o axioma 5 diz-nos que existe pelo menos um elemento zero. Supon-ham.os que existiam dois, por exemplo o, e o,. Tomando X~ o, 'e o~ o, no Axiom

Espaos lineares 7

5, obtemos O,+ O,= O,. Analogamente, tomando x =O, e O= O,, encontramos O,+ O,= O,. Mas O,+ O,= O,+ O,, devido propriedade comutativa, pelo que o,= o,.

TEOREMA 1.2. UNICIDADE DOS ELEMENTOS SIMETRICOS. Em qualquer espao linear todo o elemento Qdmite unicament um simtrico, isto , para todo o x existe um e um s y tal que x + y= O.

Demonstrao. O Axioma 6 di~-nos que cad x admitepelo menos um simtrico, a saber ( -l)x. Admitamos agora que x tinha dois simtricos, y, e y,. Ento x + y, =O e x + y, = O. Somando y, a ambos os membros da primeira igualdade e utilizando os Axiomas 5, 4 e 3, encontramos

y, + (x + y1) = y, +O= y,, e

Portanto y, = y,, pelo que x tem precisamente um simtrico, o elemento (- l)x. Notao. o simtrico de X representa-se por -X. A diferena y:....... X definida pela

soma y + ( -x). O teorema seguinte refere um certo nmero de propriedades que regemo.s c.lculos

algbricos elementares num espao linear.

TEOREMA i .3. Num dado espao linear, sejam x e Y elementos arbitrrios e a e b esca-lares arbiJrrios. Ento verificam-se as seguintes propriedades:

(a) Ox =O. (b)a0=0. (c) ( -a)x = - (ax) = a( -x). (d)Seax=O, entoou a=Ooux=D. (e) Se ax = ay e a >' O, ento x = y. (f) Seax = bx e x >'O, ento a= h. (g) -(x + y) = (-x) + (-y) = -x- y. (h) x + x = 2x, x + x + x = 3x, e em geral L;=l x = nx. Vamos demonstrar (a), (b) e (c), deixando as demonstraes das restantes ao cuidado

do leitor.

Demonstrao de (a). Seja z = Ox. Desejamos provar que z =O. Somando z a si prprio e aplicando o Axioma 9, verificamos que

.z + z = Ox + Ox = (O+ O)x = Ox = z. Adiconamos agora -z a ambos o"s membros e obtemos z = O.

8 Clculo

Demonstrao de (b). Seja z ~aO; adicionemos z a SI prprio e utilizemos o Axio-maS.

Demonstrao de (c). z ~ ( -a)x. Adicionando z a ax e utilizando o Axioma 9, veri-ficamos que

z + ax = ( -a)x + ax = (-a + a)x = Ox = O,

pelo que z o simtrico de ax, z ~ -(ax). Analogamente, se adicionamos a( -x) a ax eutilizamos o Axioma 8 e a propriedade (b), encontramos que a( -x) ~ -(ax).

1.5. Exerccios Nos Exerccios I a 28, determinar se cada um dos conjuntos dados um espao linear real,

com a adio e a multiplicao por escalares reais definidas da forma usual. Para os Exerccios em que assim no seja, dizer quais so o-s axiomas que no se verificam. As funes nos Exer-ccios I a 17 so reais. Nos Exerccios 3, 4 e 5 cada funo tem um domnio contendo O e I. Nos Exerccios 7 a 12, o domnio e o conjunto de todos os nmeros reais.

I. Todas as funes racionais. 2. Todas as funes racionais_f/g, com o-grau de f;;[: que o grau de g(incluindof = 0). 3. Todas as funesfcomf(O) ~/(1). 4. Todas as funes f com 2{(0) ~f'( I). 5. Todas as funesfcomf(l) ~ I + f(O). 6. Todas as funes em escada definidas em escada [0, I L 7. Todas as funes comf(x) ___.,O quando x- + oo~ 8. Todas as funes pares. 9. Todas as funes mpares.

10. Todas as funes limitadas. I I. Todas as funes crescentes. 12. Todas as funes peridicas de perodo 2n. 13. Todas as funesfntegraveis em [0, 1], com J~f(x)dx =O. 14. Todas as funes/integrveis em [0, 11, comJ~f(x)dr f:; O. 15. Todas as funes verificando f(x) ~ /(1 - x) para todo o x. 16. Todos os polinmios de Taylor de grau ~ n para um n dado (incluindo o polinmio zero). 17. Todas as solues da equao diferencial linear homognea de segunda ordemy- + P(x)y' +

Q(x)y =O, com P e Q funes dadas e contnuas para todo x. 18. Todas as sucesses reais limitadas. 19. Todas as sucesses reais convergentes. 20. Todas as sries reais convergentes. 21. Todas as sries reais absolutamente convergentes. 22. Todos os vectores (x, y, z) de V3 com z =O. 23. Todos os vectores (x, y. z) de V3 com- x =O ou y =O. 24. Todos os vectores (x, y. z) de V3 com y = 5x. 25. Todos os vectores (x. y, z) de V3 com 3x + 4y = 1, Z =O. 26. Todos os vectores (x, y, z) de V3 que so mltiplos escal:ires de (I, 2, 3). 27. Todo~ os vectores (x. y, z) de V3 cujas componentes satisfa!m a um sistema de trs equaes

lineares de forma:

Espaos lineares 9

28. Todos os vectores de V,1 que so combinaes lineares de dois vectores dados A e B. 29. Seja V= R+. o conjunto dos nmeros reais positivos. Defina-se a ~soma" de dois elementos

x e y em V como sendo o seu produto xy(no sentido usual) e defina-se"multiplicao" de um elemento x de V por um escalar c como sendo xc. Provar que -v e um espao linear real com I como elemento zero.

30. (a) Provar que o Axioma lO pode ser provado a partir dos outros axiomas. (b} Provar que o Axioma to no pode ser deduzido dos outros Axiomas se o Axioma 6

for substitudo pelo Axioma 6':1 "Para todo x em V existe um elemento y de V tal que X+ _V= ON. .

31. SejaS o conjunto de todos os pares ordenados (x 1, x 2 ) de Omeros reais. Em cada alnea determinar se sim ou no S um espao linear com as "operaes de adio e multipli-cao por escalares ddinidas como se indica. Se o conjunto no fr um espao linar. dizer quais os axiomas que no so verificados. (a) (x1 ,x2) + (y1 ,y2) ~ (x1 + y1 ,x2 + y2), (b) (x1 ,x2) + (y1 ,y2) ~ (x1 + y1 ,0), (c) (x1 ,x2) + (y.,y2) ~ (x1 ,x2 + y 2), (d) (x1 ,x2) + (y1 ,y2) ~ (lx1 +x2(,(y. + y2(),

32. Demonstrar as partes da d at h do Teorema 1.3.

1.6. Subespaos de um espao linear

a(x1 , x2) ~ (ax1 , O). a(x1 , x2) = (ax1 , ax2). a(x1 , x2) = (ax1 , ax2). a(x1 , x 2) ~ (lax1 (, (ax21).

Dado um espao linear V, seja S um conjunto no vazio de V. Se S tambm um eSpao linear. com as mesmas operaes de adio e multiplicao por escalares. ento S diz-se um subespao de V. O teorema que apresentamos a seguir d um cri-trio simples para determinar se sim ou no um subconjunto de um espao linear um subespao.

TEOREMA 1.4. Se S um subconjunto no vazio de um espao linear V, ento S um subespao se e s se S satisfaz aos axiomas de fecho.

Demonstrao. Se S um subespao, verificam-se todos os axiomas para um es-pao linear e por conseguinte, ~m particular, verificam-se os axiomas de fecho.

Demonstremos agora que st: S satisfaz aos axiomas de fecho, satisfaz igualmente aos outros. As propriedades comutativa e associativa para a adio (Axiomas 3 e 4) e os axiomas para a multiplicao por escalares (Axiomas 7 e lO) so automaticamente satisfeitos em S porque so vlidos para todos os elementos de V. Falta verificar os Axiomas 5 e 6, a existncia em S do elemento zero e a existncia do simtrico de cada elemento de S ..

Seja x um qualquer elemento de S. (S tem pelo menos um elemento visto que no vazio.) Pelo -Axioma 2, ax est em S para todo o escalar a. Fazendo a= O, re-sulta que Ox est em S. Mas Ox ~ O, pelo teorema 1.3(a), pelo que O E Se o Axio-ma 5 satisfeito. Fazendo a~ - I, vemos que (- I )x pertenece a S. Mas x + (- I )x ~ O visto que quer x, quer (-J)x esto em V, e consequentemente o Axioma 6 satis-feito em S. Deste modo S subespao de V

DEFINIO. S~ia S um subconjunto no vazio de um espao linear V. Um elemento x de V da forma

10 Clculo

onde x . X2, ... , xk. pertencem todos aS e c,, C2, , ckso escalares, diz-Se uma combina-o linear finita de elementos de S. O conjunto de todas as combinaes lineares finitas de elementos de S verificam os axiomas de fecho e por conseguinte um subespao de V. Chama-se este o subespao gerado por S. e representa-se por L(S). Se S vazio. defi-nimos L(S) como I OI, o conjunto constando unicamente do elemento :era.

Conjuntos distintos podem gerar o mesmo subespao. Por exemplo, o espao V, gerado por cada um dos seguintes conjuntos de vectores {i, jl, {i, j, i+jl. {0, i-i, }-j. i+jl. O espao de todos os polinmios np(t) de grau ;:;; n gerado pelo conjunto de n + I polinmios.

tambm gerado pelo conjunto \1, t/2, t'/3, ... , t!(n + I )I, e por li, (I + t), (I + t)', .. . , (I+ t}'>}. O espao de todos os polinmios gerado pelo conjunto infinito dos polin-mios li, t.t', ... }.

Um certo nmero de perguntas se podem pr ao chegarmos a este ponto. Por exemplo, que espaos podem ser gerados por um conjunto finito de elementos? Se um espao pode ser gerado por um conjunto finito de elementos, qual o nmero mnimo de elementos necessrios? Para analisar estas e outras questes, introdu-zimos os conceitos de dependncia e independncia linear, bases e dimenso. Estas noes j (oram referidas no captulo 12 quando do estudo do espao vectorial V,. Agora apenas as vamos generalizar aos espaos lineares de tipo qualquer.

1.7. Conjuntos dependentes e independentes num espao linear DEFINICO. Um conjunto S de elementos de um espao linear V diz-se dependente se

existe um conjunto finito de eli!menlos distintos de S; por exemplo X 1, X 2, ... , xk e um co-rrespondente conjunto de escalares C1 , c2 , . , ck. no conjuntamente todos nulos, tais que

k L CJXi =o. i=l

Uina eqao l C;X; =O com algum C; =I= O diz-se ser uma representao nao trivial de O. 1=1 .-

O conjunto S diz-se linetirmente independente se no e dependente, isto . quGi.'lquer que sejam os elementos distintos x 1 , x 2 , . , Xk de Se Os escalares C1 , c2 , , Ck,

k 1: c,x, =o implica i=l

-Embora a dependncia e irldependncia sejam propriedades dos conjuntos de el( _ mentos, aplicam-se habitualmente estas designaes aos prprios elementos dess1

Espaos lineares 11

mesmos conjuntos. Por exemplo, os elementos de um conjunto independente dizem-se linearmente independentes.

Se S um conjunto finito, a definio precedente concorda com a dada no Cap-tulo 12 para -o espao Vn Contudo, a presente definio no est rest_ringida a con-juntos finitos.

EXEMPLO l. Se um subconjunto T de um conjunto S dependente, ento S tam-bm dependente. Isto logicamente equivalente afirmao de que cada subcon-junto de um conjunto independente ' independente.

EXEMPLO 2. Se um elemento de S um mltiplo escalar do outro, ento S de-pendente.

EXEMPLO 3. Se O E S. ento S dependente.

EXEMPLO 4. O conjunto vazio independente. No Volume I foram discutidos muitos exemplos de conjunts dependentes e inde-

pendentes de vectores de Vn Os exemplos seguintes ilustram esses conceitos em es-paos funcionais. Em. cada caso o espao linear fundamentalmente V o conjunto de todas as funes reais definidas na recta real.

EXEMPLO 5. Sejam u,(l) = cos2 1, u2(1) = sen 2 1, u,(l) =I, para todo o nmero real t: A identidade de Pitgoras mostra que u, + u2 - u3 = O, pelo que as trs funes u,, U2, U3, so dependentes.

EXEMPLO 6. Seja u,(l) = 1' para k .~ O, I, 2, ... , e 1 real. O conjuntoS= {u,, u,, ... } independente. -Para demostrar isto, basta provar que para cada n. os n + I po1in-mios u0 , U 1, , u" so independentes. Uma relao da formaLc~k =O significa que

(1.1)

para todo o real I. Quando I= O; encontramos c0 =O. Derivando (1.1) e fazendo 1 =O, encontramos c, =O. Repetindo o processo, verificaffios que cada coeficiente ck zero.

EXEMPLO 7. Se- a 1, , a, so nmeros reais distintos, as n funes exponenciais

so independentes. Podemos demonstr-lo por induo relativamente a n. O resultado verifica-se trivialmente quando n= I. Admitamos por conseguinte que verdadeira para n- l funes exponenciais e consideremos os escalares c1,.c1,. , c, tais que

12 Clculo

(1.2)

Seja aMo maior-dos n nmeros a,; a,, ... , a . Multiplicando ambos os membros de (1.2) por e- 0 MX, obtemos

(1.3) L cke(a~;-a.I()X = o. k=l

Se k#: M. o nmero ak- aM negativo. Deste modo. quando x- + oo na equao ( 1.3), cada termo com k * M tende para zero e encontramos que eM~ O. Suprimindo o termo de ordem M em ( 1.2) e aplicando a hiptese de induo, encontramos que cada um dos n- 1 restantes coeficientes ck zero.

TEOREMA 1.5. Se S ~ lx,, x, . ... , xd um conjun(o independente formado por k ele-mentos de um espao linear V e se L(S) o subespao gerado por S, ento todo o conjunto de k + I elementos de L(S) dependente.

Demonstrao. A demonstrao faz-se por induo em k. que representa o nmero de elementos de S. Em primeiro lugar suponhamos k ~ I. Ento, por hiptese, S formado por um nico elemento x" com x, 1=0, visto que S independente. Consi-deremos agora dois quaisquer elementos distintos y, e y 2 em L(S). Ento cada um destes elementos um escalar multiplicado por X 1 seja y, = c,x 1 e y 2 = c2x" onde c, e Cz so ambos diferentes de o_ Multiplicando yl por Cz e Yz por CI e subtraindo, obtemos

Esta uma representao no trivial de O, pelo que y 1 e y 2 sero dependentes; est, pois, demonstrado o teorema quando k = l.

Admitamos agora que o teorema verdadeiro para k- 1 e provemos que ainda verdadeiro para k. Tomemos um conjunto de k + I elementos em L(S), digamos T = {_r" y 2 , ___ , J'k+l }_ Desejamos provar que T dependente. Visto que cada y,- est em L(S) podemos escrever

k (1.4) Yi = Laii.ii

j=l

para cada i= I, 2, ___ , k + I_ ExaminemOs todos os escalares a,-1 que multiplicam x, e para tal devdamos a demonstrao em duas partes conforme todos estes escalares so ou no nulos_

CASO I. a1, ~O para cada i~ I, 2, ... , k +I. Neste caso a soma em (1.4) no con-tm Xp pelo que cada y,- em T est no subespao linear gerado pelo conjunto s ;= lx,, ... , x,}. Mas S' independente e consta de k- I elementos. Pela hiptese

Espaos lineares 13

de induo, o teorema verdadeiro para k- I pelo que o conjunto T dependente. Est assim demonstrado o teorema no Caso I.

CASO -2. Nem todos os escalares G;1 so nulos. Admitamos que 0 11 *O. (Se-neces-srio, podemos numerar de novo os y de modo a que isso se verifique.) Fazendo;= I na equao (IA) c multiplicando ambos os membros por c;. com C;= a;Ja 11 , obtemos

k

c,y1 = anx1 +L c1a11x 1 i=2

Se a-esta subtrairmos, mem~ro a membro, a equao (1.4)-resulta

k c,y1 - y, = L(cia11 - a11)x1 ,

.i=2

para i= 2,; .. , k + i. Esta equao exprime cada um dos k elemen~os C;J'1 - Y; como uma COf!lbinao linear de k- 1 elementos independentes x2 ... ' Xk. Pela hiptese de indtio, os k elementos C;J1 - Y; devem ser dependentes. Consequente-mente para de-terminada escolha dos escalares 12 , , tk+l no simultneamente nulos, temos

k+l 2t,(c,y1 - y,) =O, i=2

donde resulta

Esta, porm, uma combinao linear no trivial de y 1, , Yk+l que representa o elemento zero, pelo que os elementos y~> ... , Yk+ 1 devem ser dependenteS, ficando assim completado a demonstrao.

1.8. Bases e dimenso DEFINIO. Um conjunto finito S"de elementos num espaO linear_ V chama-se uma base

finita de V se S independente e gera V. O espao V diz-se de dimenso finita se tm uma base finita. ou se V forf!1ado unicamente por O. Caso contrrio V diz-se de dimenso infinita.

TEOREMA 1.6. Se V e um espao linear de dimenso finita,' ento cada base finita de V tem o mesmo nmero de elementos.

Demonstrao. Sejam S e T duas bases finitas de V. Suponhamos que S formado por k elementos e T formada por m elementos. Uma vez que S independente a gera V, o teorema 1.5 diz-nos que cada conjunto de k + I elementos de V dependente. Por

' conseguinte, todo o conjunto de mais do que k elementos de V dependente. Visto

' I

14 Clculo

que T um conjunto independente. devemos ter m s k. O mesmo raciocnio com S e T permutados mostra que k:::; m. Portanto k = m.

DEFINIO. Se um espao linear V tem uma base com n elementos, o inteiro n chama-se dimenso de V, e escreve-se n = dim V. Se V= 10} diz-se que V tem dimenso O.

EXEMPLO 1. O espao V n tem dimenso n. Urna base deste espao o conjunto dos n vectores coordenados unitrios.

EXEMPLO 2. O espao de todos os polinmios p(t) de grau ,;; n tem dimenso n + I. Uma base o conjunto de n + I polinmios\1, I, I', ... , l"l. Todo o polinmio de grau;;::: n uma combinao linear desses n + I polinmios.

EXEMPLO 3. O espao das solues da equao diferencial y"- 2r- 3r ~ O tem dimenso 2. Uma base consiste das duas funes u1(x) =e-x, u2(.~) = e'x. Toda a so-luo uma combinao linear destas duas.

EXEMPLO 4. O espao de todos os polinmios p(l) de dimenso infinita. O con-junto infinito li, I, t', ... \gera este espao e nenhum conjuntofinilo de polinmios gera .o espao.

TEOREMA 1.7 Seja V um espao linear de dimenso finita com dim V= n. Ento verifi-ca-se que:

(a) Todo o conjunto de elementos independientes de V um subconjunto de alguma base de V.

(b) Todo o conjunto de n elementos independentes uma base para V.

DemOnstrao. Para demonstrar (a), designamos por S = {x 1, , xk} qualquer con-junto independente de elementos de V. Se L(S) ~ V, ento S uma base. Caso con-trrio, existe algum elemento y em V, o qual no pertencer a L(S). Juntemos este ele-mento aS e consideremos o novo conjuntoS'= {x1, , xk>y}. Se este conjunto fosse dependente existiriam escalares c10 ..:..... ck+., no todos nulos, tais que

I c,x, + cHY = O . i=l

Mas ck + 1 * O visto x 1, , x k serem independentes. Consequentemente. podemos resolver esta equao em relao a y, chegando concluso de que y E L(S), o que contradiz o facto de que y no pertence a L(S). Portanto, o conjuntos independente e contm k + I elementos. Se L(S) ~ V, ento S uma base e, visto ser S um sul>-conjunto de S , a alnea (a) est demonstrada. Se S no uma base, podemos racio-cinar de novo com s' como o flZemos com S, obtendo um novo conjuntos- o qual conter k + 2 elementos e ser independente. Se S- uma base, ento a alnea (a) est demonstrada. Caso contrrio, repete-se o processo. Devemos assim chegar a uma base ao fim de um nmero finito de etapas, doutro. modo obteramos eventualmente um conjunto independente com n + I elementos, contradizendo o teorema 1.5. Por isso, a alnea (a) do teorema 1.7 est demonstrada.

Espaos lineares 15

Para demonstrar a alnea (b), designemos por S qualquer conjunto independente formado por n elementos. Devido alnea (a), S um subconjunto de certa base, por exemplo B. Mas pelo teorema 1.6, a base B tem precisamente n elementos, e assim

s~ B.

1.9. Cnrnp(_mcntes Seja V um espao linear de dimenso n e consideremos uffia base cujos elementos

e., ... , en se tomam segundo determinada ordem. Representamos uma tal base orde-nada por um n-sfstema {e,, ... , en). Se x E V, podemos exprimir x como uma combi-naOIIinear destes elementos da base:

(1.5) n

x=:ciei. i=l

Os coeficientes nesta igualdade determinam um n-sistema de nmeros (c" c2, , cn) o qual fia univocamente determinado para x. Com efeito, se tivessemos outra repre-sentao dex como combinao linear de e1, , e"' por exemplo x = 2 '!= 1 d;e1, ento subtraindo membro a membro de (1.5), encontramos 27~ 1 (c,- d,)e,~O. Mas porque os elementos de base so independentes. a igualdade anterior implica c;= d; para todo o i~ 1, 2, ... , n, pelo que ser (c,, c,, ... , c.)= (d,, d,, ... , d.).

Os elementos do n-sistema ordenado (c,," c,, ... , cJ definidos por (1.5) dizem-se as componentes de X relativamente buse ordenada (e~" e2, , e,n)-

1.1 O. Exerccios Em cada um dos Exerccios I a 10, S o conjunto de todos os vectores (x, y, z) de V3 cujas

componentes satisfazem condio dada. Determinar-se S um subespao de V3 Se S for um subespao, calcular dim S. 1. X= 0, 2. X+ y = 0. J. X+ y + Z = 0: 4. X =y. 5. x = y =z.

6. X= J OU X =_z. 7.x2 -y2 =0. 8. X+ y = 1. 9. y = 2x e z = 3x.

10. X + y + Z = 0 e X - y - Z = 0.

Seja P, o espao linear de todos os polinmios de grau -;;;,- n, com n fixo. Em cada um aos Exerccios 11 a 20, representeS o conjunto de todos os polinmios f em P, satisfazendo s condies dadas. Determinar se sim ou no S um subespao de P,. Se S for um subespao, calcular dim S.

11. J(O) ~O. 12.['(0) =0. 13. J"(O) ~O. 14.[(0) +['(O) ~o. 15.[(0) =[(1).

16. [(O) ~ [(2). 17.f par. 18. f mpar. 19. f tem grau,; k, com k < n, ou f= O. 7.0.ftem grau k, com k < n, ou f~ O.

16 Clculo

21. No espao linear de todos os polinmios reais p{t), descrever o subespao gerado por cada um dos seguintes subconjuntos de polinmios e determinar a dimenso-desse sUbespao. (a) {I, 12 , t4); (b) {t, 13, t 5); (c) {1, 12}; (d) {I + t, (I + 1)2}.

22. Neste Exerccio, L(S) repfescnta o subespao gerado por um subconjunto S de um espao linear V. Provar cada uma das proposies seguintes de (a) a (f). (a) S c;;L(S). (h) Se S T s; V e se T um subespao de V, ento L(S) T. Esta propriedade enuncia-se

dizendo que L(S) o menor subespao de V que contm S. (c) Um subconjuntoS de V um subespao de V se e s se L(S) =S. (d) Se S ; T ; V, ento L(S) c;;L(n. (e) Se Se T so subespaos de V, ento tambm o S n T. (f) Se Se Tso subconjuntos de V, ento L(S n 7) c;;L(S) nL(n. (g) Dar um exemplo no qual L(S n 7) * L(S) n L(7).

23. Seja V o espao linear de todas as funes reais definidas na recta real. Determinar se cada um dos seguintes subconjuntos de V C -dependente ou independente. Calcular a dimenso do subespao gerado por cada conjunto.

(a) {I, e"", e'"), a T' h. (f) {cos x, sen xl. (b) (e"", xe""). (g) {cos' x, sen' xl. (c) (I, e"", xe""). (h) {I, cos 2x, sen' xl. (d) (e"", xe"", x2e""). (i) {sen x .. sen 2xl. (e) kT, e-.T, ch x\. (j) {ex cos x, e-x.sen x}.

24. seja V um espao linear de dimenso finita e S um subespao de V. Demonstrar cada uma das seguintes proposies. (a) S tem dimenso finita e dim S :5 dim V. (b) dim S = dim V se e s se S = V. (c) Toda a base de S parte de uma base de V. (d) Uma base de V no contm necessariamente uma base de S.

1.11. ProdUto interno, espaos euclidianos. Normas Na geometria euclidiana, aqu.elas propriedades que contam com a possibilidade de

medio de comprimento de segmentos de recta e ngulos definidos por rectas cha-mam-se propriedades mtricas. No nosso estudo de Vn, definimos comprimento e ngu-los a partir do produto escalar. Desejamos agora generalizar aquelas noes a espaos lineares mais gerais. Introduziremos em primeiro lugar uma generalizao do produto escalar que designaremos agora por produto interno e definiremos comprimentos e ngulos em funo do produto interno.

O produto escalar x y de dois vectores x = (x 1, x 2 , , Xn) e y = {y~" )-'2 , , Yn) em Vn foi definido, no Capitulo 12, pela frmula (1.6).

(1.6) n

x. y = LxiYi i=l

Num espao linear qualquer, escrevemos (x, y), em vez de x y, para o produto interno e definimos este axiomaticamente, em vez de o fazermos por uma frmula especfica, isto , estabelecemos um certo nmero de propriedades que pretendemos que o pro-duto interno possua e consideramo-las como axiomas.

Espaos lineares 17

DEFINIO. Define-se mim espao linear real V um produto interno se a cada par de elementos x e y em V corresponde um nico nmero real (x, y) satisfazendo aos seguintes axiomas. quaisquer que sejlim x. y e z de V e qualquer que seja o escalar real~-

(I) (x,y) ~ (y, x) (comutatividade, ou simetria). (2) (x, y + z) ~ (x, y) + (x, z) (distributividade, ou linearidade). (3) c(x, y) ~(ex, y) (associatividade. ou homogeneidade). (4) (x, x) >o se x * O (positividade). Um espao linear dotado com a operao produto interno diz-se um espao eucli-

diano real.

Nota. Fazendo c= O em (3), encontramos (0, y) =O para todo o y. Num espao linear complexo, um produto interno (x, y) um nmero complexo

satisfazendo aos mesmos axiomas que_ os do produto interno real, excepto o axioma de simetria que substituido pela relao

(!') (x, y) = (y, x), (simetra hermticat)

onde (y, x) representa o complexo conjugado de (y, x). No axioma da homogeneidade, o factor escalar c pode ser qualquer nmero complexo. Do axioma da homogeneidade e (I ) obtemos a relao

(3') (x, cy) = (cy, x) = c(y, x) = c(x, y).

Um espao linear complexo dotado de produto interno chama-se um espao eucli-diano complexo. (Algumas vezes tambm se usa a designao espao unitrio). Um exemplo o espao vectorial complexo V ,(C) j referido na Seco 12.16 do Volume I.

Embora o nosso interesse resida fundamentalmente nos exemplos de espaos eucli-dianos reais, os teoremas que se apresentam a seguir so vlidos igualmente para espaos euclidianos complexos. Quando usarmos a expresso espao euclidiano, sem fazer qualquer referncia complementar, subentender-se- que o espao pode ser real ou complexo.

O leitor verificar que cada um dos exemplos seguintes satisfaz a todos os axiomas do produto interno.

EXEMPLO I. Em v. seja (x, y) ~ x y, o produto escalar usual de x por y.

EXEMPLO 2. Se x ~ (x,, x,) e y ~ (y,, y,) so dois vectores quaisquer de V,, definir (x, y) pela frmula

(x, y) = 2x,y1 + x1y 2 + x,y1 + x,y,.

(t) Em honra de Charles Hermite (1822-1901). um matemtico francs que contribuiu muito para o de-senvolvimento da lgebra e anlise.

18 C/cu/c

Este exemplo mostra que _pode estar definido mais do que Um produto interno num dado espao linear.

EXEMPLO 3. Represente C(a. h) o espao linear de todas as funes reais contnuas definidas num intervalo la, hl. Definamos o produto interno de duas funes f e g pela frmula

(f, g) =I: /(t)g(t) dt. Esta frmula anloga Equao (1.6) que define o _produto escalar de dois vectores de v . Os valores das funes f(t) e g(t) desempenham o papel das componentes x; e Yi e a integrao substitui a somao.

EXEMPLO 4. No espao C( a, b), definimos

(f, g) = J: w(t)f(t)g(t) dt, com w uma funo positiva dada em C( a, b). A funo w diz-se a funo peso. No exem-plo 3 temos w(t) = I para todo o t.

EXEMPLO 5. Nb espao linear dos polinmios reais, definimos

u. g) = r .-'j(i)g(t) dt. Em virtude do factor exponencial, este integral imprprio convci"ge para todo o par de polinmiosfe g.

TEOREMA 1.8. I'lum espao euclidiano V, todo o produto interno verifica a desiguq/dade de Cauchy:Schwarz:

j(x,y)j' ~ (x, x)(y,y) quaisquer que sejam x e y em V.

Alm disso. o sinal de igualdade verifica-se se e s se x e y so dependentes.

Demonstrao. Se acontece que ou x = O ou y = O' a demonstrao trivial, pelo que supomos que ambos X e y so no nulos. Seja z = ax + by, com a e b escalares a serem especificados mais adiante. Temos a desigualdade (z, z) i: O para todo o par a e b. Quando explicitamos esta desigualdade em funo de x e y com uma escolhe. adequada de a e b, obtemos a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Para exprimir (z, z) em funo de x e y servimo-nos das propriedades ( !'), (2) e (3.) e conclumos que

r Espaos lineares

(z, z) = (ax + by, ax + by) = (ax, ax) + (ax, by) + (by, ax) + (by, by) = a(x, x) + ah(x,y) + b(y, x) + bh(y,y);?: O.

fomando a= (r, y) e suprimindo na desigualdade o factor positivo (y, y) resulta'

(y,y)(x, x) + h(x,y) + b(y, x) + bh;?: O.

19

Faamos agora b = - (x, y). Ento b = - (y, x) e a ltima desigualdade simplifica-se, tomando a forma

(y, y)(x, x) :?: (x, y)(y, x) = i(x, y)l'.

o que prova a desigualdade de Cauchy-Schwarz. O sinal de igualdade vlido atravs da demonstrao, se e s se:::= O.lsto verifica-se, em particular, se e s se x e y so dependentes.

EXEMPLO. Aplicando a teorema 1.8 ao espao C( a, b) com o produto interno (f, g) = J;;f(t)g(t)dt, encontramos para a desigualdade de Cauchy-Schwarz

(J: f(t)g(t) dt)' :o;; ({' f'(t) ar)(J: g'(t) ar). O produto interno pode ser usado para introduzir o conceito mtrico de compri-

mento em qualquer espao euclidiano.

DEFtNtO. Num espao euclidiano V. o nmero no negativo 11 xll definido pela igual-dade

llx !I = (x, x)li chama-se a norma do elemento x.

Exprimindo a desigualdade de Cauchy-Schwarz em .termos de no~mas escreve-se

l(x,y)l :o;; llxll llyll-

Visto ser possvel definir um produto interno de diferentes maneiras, a norma de um elemento depender da escolha do produto inerno. Esta falta de unicidade era de esperar. Tal facto anlogo ao de podermos atribuir diferentes nmeros medida do comprimento de. dado segmento de recta, dependendo da escolha da unidade de medida. O teorema seguinte define propriedades fundameiltais das normas que no dependem da escolha do produto interno.

20 Clculo

TEOREMA 1.9. Num espao euclidiano, toda a norma goza das seguintes propriedades para todos os elementos x e y, e todo o escalar c:

(a) 11 xll ~O se x ~ O. (blllxii>O se x*O. (c) llcx~~kl~xll

(positividade). (homogeneidade). (desigualdade triangular). (d) llx + Yll ,; llxll +li .vil

O sinal de igualdade verifica-se em (d) se x = O. se y =O. ou se y =ex para algum c> O.

Demonstrao. As propriedades (a), (b) c (c) deduzem-se imediatamente dos axio-mas do produto interno. Para demonstrar (d), observemos que

llx + yll' = (x + y, x + y) = (x, x) + (y,y) + (x,y) + (y, x) = llxll' + llyll' + (x,y) + (x,y).

A soma (x, y) + (x, y) real. A desigualdade de Cauchy-Schwarz mostra quel(x, _v)l ;" ~ xll ~Y~ e l(x, y)l o llxl[ll.vll. pelo que se tem

llx + yll' :S: Jlxll' + llyll' + 211xll llyll = (llxll + llyll)'. o que demonstra (d). Cuandoy ~ex, com c> O, temos

Jlx + yll = llx + cxJI = (I +c) llxJI = JlxJI + llcxJI = Jlxll + llyll. DEFINIO. Num espao euclidiano real V, o ngulo definido por dois elementos no

nulos x e y define-se como sendo o nmero O do intervalo O ::;; O :s: n dado por

(1.1) cosO = (x, y) . llxJIJiyJI

Nota: A desigualdade de Cauchy-Schwarz mostra que o valor do quociente-no segundo membro de ( 1.7) pertence ao interValo [-I, li, pelo que existe um e um s 8 no intervalo lO, nl cujo cosseno igual ao valor daquele quociente.

1.12. Ortogonalidade num espao euclidiano DEFINIO. Num espao euclidiano V. dois elementos x e y dizem-se. ortogonais se o

correspondente produto interno for zero. Um subconjunto S de V diz-se um subconjunto ortogonal se (x, y) ~O para cada par de elementos distintos x e y de S. Um conjunto ortogonal diz-se ortonormado se cada um dos seus elementos tem norma l.

Espaos lineares 21

O element zero ortogonal a todo o elemento de V; o nico elemento ortogonal a si prprio. O teorema seguinte mostra uma relao entre oitogonalidade e de-pendncia.

TEOREMA 1.10. Num espao euclidiano V. todo o conjunto ortogonal de elementos no nulos independente. Em particular, num espao euclidiano de dimenso finita com dim V= n, todo o conjUnto ortogonal formado por n elementos no nulos define uma base de V.

Demonstrao. Seja S um conjunto ortogonal de elementos no nulos de V, e su-ponhamos .que certa combinao linear finita de elementos de S igual a zero, qu~r dizer

k

:2cixi=O, i=l

onde cada xiES: Multiplicando escalarmente ambos os membros por x, e tendo pre-sente que (x,, x;) =O se i =F I, encontramos que c,(x1, x 1) =O. Mas (x 1, x,-) *O visto que X 1 *O, donde resulta c1 =O. Repetindo o raciocnio com x 1 substituido por x_;. enContramos cada c1= O, o que prova que S independente. Se dim V= n e se S formado por n elementos, o teorema 1.7(b) mostra que S uma base de V.

EXEMPLO. No espao linear real C(O, 2") com o produto interno (f, g) = (i."f(x)g(x) dx, seja S o conjunto de funes trigonomtricas (u 0 , u 1, ) definido da seguinte maneira

u0 (x) = I, u2n_1(x) = cos nx, para n = 1,2, ....

Se rn * n, temos as relaes de .ortogonalidade

"'" J, u,(x)um(x) dx = O, e portanto S um conjunto ortogonal. Visto que nenhum elemento de S o elemento zero, S independente. A norma de cada elemento de S calcula-se facilmente. Temos (u0 , u0 ) = f~ n dx = 2n e, para n ~ I, temos

f. ,, 2 (uz.11 _ 1 , U 271 _ 1) = 0 ~os nx dx = 7T, . . f." 2 (u 211 , u211 ) = 0 sen nx dx = 7T. Por conseguinte, 11 u,l = ..(hr e 11 u,ll = .,;;; para n f; I. Dividindo cada u, pela respectiva norma, obtemos um conjunto ortonormado {~0 , rp,, ~, ... } com 1{1, = u,~lu,,ll. Ento resulta

22

. I

Espaos lineares 23

" (1.12) (x, y) = ~ (x, e,)(y, e,) (frmula de Parseval) i=l

Em particular. qua_ndo x = y, tem-se

" (1.13) llxll' = ~ l(x, e,)l'. . i=l

Demonstrao. Multiplicando internamente ambos os membros da equao ( 1.11) por y e aplicando a propriedade linearidade do produto interno, obtemos (1.12). Quando x ~ y, a equao (1.12) reduz-se a (1.13).

Nota: A frmula ( 1.12) tem a designao que se indica, em honra de M. A. Parseval (aproximadamente 1776-1836) que obteve este tipo de frmula num es-pao funcional especial. A equao (1.13) uma generalizao do teorema de Pitgoras.

1.13. Exerccios I. Sejam X = (x I, ... t X n) e y = (yl, ... , J'n) vectores arbitr~rios de vn. Para cada alnea. deter-

minar se {x, y), definido pela frmula que se indica, um produto interno para V". Caso (x, y) no seja um produto interno, dizer quais os axiomas que no so verificados.

(a) (x, y) ~i x,ly;l. i=l

(b) (x, y) ~ /,~ x;y;\ (c) (x,y) = ix,iy,.

i=l ;=1

(d) (x,y) ~ C~1 x1y1)"'. (e) (x,y) =i (x; + y;)2 - ix;- iY1

i=l i=l i=l

2. Suponhamos que retemos os trs primeiros axiomas para o produto interno real (simetri~ linearidades e homogeneidade), mas que substitumos o quatro axioma por um novo axio-ma (4'): (x, x) =O se e s se x = O. Provar que ser para todo o x * O ou .(x, x) >O, ou

(x, x) < O. I Sugesto: Supor (x, x) >O para certo x =F O e (y, y)

24 Clculo

8. No espao linear real C( I, e), definir um produto interno por

([,g) = J: (log x)f(x)g(x) dx. (a) Sef(x)= ,;;, calcular li/li. (b) Determinar um polinmio linear g(x) =a+ bx que seja ortogonal r uno constante J(x) =L

9. No espao" linear real C(- I, I) seja (f, g) = f~J(t)g(t) dt. Considerar as trs funes u,, u,, u, dadas por

u1 (t) = I , u2(t) = I, u3(t) = I + /. Provar que duas delas so ortogonais, duas definen um ngulo de n/3 e duas outras definem um ngulo de lf/6.

lO. No espao linear Pnde todos os polinmios reais de grau:$ n, definir

(a) Provar que (f, g) um produto interno para P11 (b) Calcular (f, g) quando f(t) = te g(t) = at + b. {c) Sef(t) = t, determinar todos os polinmios lineares g ortogonais a f

li. No espao linear d~ todos os polinmios reais, definir (f, g) = ~00e-f(t)g(t)dt. (a) Provar que este integral imprOprio converge absolutamente para quaisquer polinmios

Jeg. (b) Se xn(l) = tn para n =O, 1, 2, ... , provar que (xn, x,;) = (m + n)! (c) Calcular (f, g) quando J(t) ~ (t + I)' e g(t) = t' + I. (d) Determinar todos os polinmios lineares g(l) =a+ bt ortogonais af(t) = 1 + t.

12. No espao linear de todos os polinmios reais, determinar se sim ou no (f, g) um pro-duto interno quando {f. g) definido pela frmula indicada. Caso {f. g) no seja um produ-t~ interno, indicar quais os axiomas que no so verificados. Em (c), f' e g representam derivadas.

(a) (f,g) = f(l)g(l). (c) (f,g) = J:f'(t)g'(i)dt.

(b) (f,g) = lf:!(t)g(t)dti. (d) (f,g) = (f:f(t)dt)(f>(t)dt).

13. V formado por todas as sucesses infinitas {x nl de nmeros reais para as quais as sries ! x~ convergem. Se x = {xnl e y = tyn} so dois elementos de V, define-se

ro

(x,y) = IxnYn R=l

(a) Provar que esta srie converge absolutamente: !Sugesto. Utilizar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para estimar a soma I!' ... 1 lx,.y,.l.l.

Espaos .lineares

(b) Provar que V um espao linear com (x, y) como produto interno. (c) Calcular(x,y)sex.~ I/ney.~ 1/(n+ l)paran;,l. (d) Calcular (x, y) se X 11 = 211 e Yn = 1/n! para n ~ I.

25

\4. Seja V o conjunto de todas as funes reais f contnuas em [0, +co) e tais que o integral -~"'eJ'(t)dt converge. Definir if, g) ~ J,"'ef(t)g(t)dt. (a) Provar que o integral para (f, g) converge absolutamente para cada par de funes f e g

em V.

!Sugesto: Utilizar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para estimar o integral ~e-1/(t)g(t)l dtl.

(b) Provar que V um espao linear com ({. g) como produto interno. (c) Calcular (f, g) se/(1) ~ e- e g(l) ~ t", com n ~O, I, 2, .

15. Num espao euclidiano complexo, provar que o produto interno tem as seguintes proprie-dades para todos os elementos x, vez e todos os complexos a c h. (a) (ax, by) ~ ab(x, y) - (b) (x. ay + bz) ~ (x, y) + b(x, z) .

16. Provar que as identidades seguintes so vlidas em todo o espao euclidiano. (a) llx + yll' ~ llxll' + llyll' + (x,y) + (y, x). (b) llx + yll 2 - llx- yll' ~ 2(x,y) + 2(y,x)_ (c) llx + yll'+ llx- yll' ~ 2 llxll2 + 2 llyll'-

17. Provar que o espao de todas as funes complexas contnuas num intervalo la, bl se transforma num espao unitrio se definirmos um produto interno pela frmula

([,g) ~ J: w(t)f(t)g(t) dt, com w uma funo positiva dada, contnua em \a, h].

1.14 Construo de conjuntos ortogonais. O mtodo de Gram-Schmidt Todo o espao linear de dimenso finita possui uma base finita. Se o espao eucli-

diano, podemos sempre construir uma base ortogonal. Este resultado ser deduzido como uma consecuncia de um teorema geral, cuja demonstrao ensina a construir conjuntos ortogonais. em qualquer espao euclidiano, com dimenso finita ou infinita. A proceso de construo chama-se o mtodo de ortogonalizao de Gram-Schmidt, em honra de J. p_ Gram ( 1850-1916) e E. Schmidt ( 1845-1921 )_

TEOREMA l.IJ TEOREMA DE ORTOGONALIZAO. Seja x 1 X 2, .. uma sucesso fiiita ou infinita de elementos de um espao euclidiano V. e seja L(x 1, x 2) o subespao ge.rado pelos primeiros k daqueles elementos. Existe uma sucesso correspondente de ele-mentos Yi. y2 , de V, a qual goza das .\eguintes propriedades para todo o inteiro k:

(a) O elemento Yk ortogonal a todo o elemento do subespaO L(y1 , y 2 , Yk-~). (b) O subespao gerado por y 1 Yt. o mesmo que o gerado por x 1 x 2 . x/.::

L(y,,. __ ,y.) = L(x,, __ ., x,). (c) A suces5o _)'1 y 2 , nica. a menos defactores e."icalares. isto . sey;.y; ....

outra sucesso de elementos de V satisfazendo s propriedades (a) e (b), ento para cada k existe um escalar ck tal que Yi = CJ..:Yk

26 Clculo

Demonstrao. Construamos os elementos y,, y 2 , :, por induo. Para iniciar o Processo, fazemos y 1 = x 1 Suponhamos agor que construmos Y~> . _., y, de maneira que (a) e (b) sejam satisfeitas quando k ~r. Definamos y,+, pela igualdade

(1.14) ' Yr+l =. Xr+l - .L aiyi . i=l

com os escalares a 1, ,a, a determinar. Paraj::; r, o produto internodey,+ comyi dado por

' (yH1,y;) = (x,+,,y;)- l;a;(y,,y1) = (x,+1 ,y1)- a;(y,,y;), i=l

visto que {y;, Yj) ~O se i* j. Se Yj* O, podemos fazer y,+, ortogonal a Yj tomando

(1.15)

Se Yj = O, entO Yr+ 1 ortogonal a y1 para qualquer escolha de a1, e neste caso escol-hemos a1 =O. Assim, o elemento Yr+ 1 fica bem definido e ortogonal a cada um dos elementos precedentes y,, ... , y,., portanto ortogon'.l a todo o elemento do sub-espao

L(y,, ... , y,) . Isto prova (a) quando k ~ r+ I.

Para demonstrar (b) quando k~ r+ I, devemos provar que L(y,, ... ,yn,)~ L(x,, ... , x,+,), dado que L(y,, ... , y,) ~ L(x,, ... , x,). Os r primeiros elementos y, ... , y, esto em

L(x,, ... , x,)

e por isso esto no subespao mais amplo L(x,, ... , x,+ 1). O novo elemento Yr+t dado por (1.14) a diferena de dois elementos de L(x,, x,, ... , x,+ ,), pelo que tam-bm est em L(x 1 , x,+ 1). Isto prova que

A equao (1.14) mostra que x

I~' '' Espaos lineares 27

Finalmente demonstramos (c) por induo a respeito de k. O caso k ~ I trivial. Deste modo, supomos que (c) verdadeira para k = r e consideremos o elefOento y~ + 1. Em virtude de (b), este elemento pertence a

pelo que podemos escrever Hl

y;+; = 2 CiJ'i = z, + Cr+tYr+l, i=l

com z, E L(y,, ... , y,). Desejamos provar que z, ~ O. Pela propriedade (a), quer y~+, quer c,+.Yr+ 1 so ortogonais a zr Deste modo, a sua diferena, z,, ortogonal a z,, isto , z, ortogonal a si pi-prio; pelo -que z,= O. Est, pois, completada a demonstrao do teorema de ortogonalizao.

Na construo precedente, sUponhamos que s~ tem Yr+ = O para algum r. Ento (1.14) mostra que x,+ 1 uma combinao linear de y 1, , Yn e por isso de x~' ... , x,.. pelo que os elementos x~" ... , x,+ 1 so dependentes. Por outras palavras, se os primei-ros k elementos X 1, , xk so independentes, ento os elementos correspondentes y,, ... , Yk so no nulos. Neste caso, aos coeficientes a1 em ( 1.14) so dados por ( 1.15),

_e as frmulas definindo {y., ... , Yk) escrevem-se

(1.16) y, = x,' para r = 1, 2, ... , k - 1.

Estas frmulas descrevem o mtodo de Gram-Schmidt para a construo de um con-junto ortogonal de elementos no nulos y., ... , Yh os quais geram o mesmo Sub-espao que um dado conjunto independente x 1, , xk. Em particular, se x~" ... , XJ.:. uma base de um espao euclidiano de dimenso finita, ento y 1, , Y.t.. uma base ortogonal para o mesmo espao. Podemos ainda converter esta numa base ortonorma-da pela normalizao de cada uma dos seus elementOSJ"'f, isto , pela diviso de cada um pela respectiva norma. Por conseguinte, como um corolrio do Teorema 1.13 podemos enunciar

TEOREMA 1.14. Todo o espao euclidiano de dimenso finita possui uma baseortonor-mada.

Se x e y so elementos de um espao euclidiano, com y =1= O, o elernerito

(x, y) --y (y, y)

diz-se a projeco de x sobre y. No mtodo de Gram-Schmidt (1.16), construi mos o ele-mento Yr+ subtraindo de x,+ a projeco de x,+ sobre Cada um do's anteriores

28 Clculo

elementos y,, ... , y,. A figura LI mostra. essa construo geomtrica no espao vecto-rial V,.

c-~ - (y, y,)

FIG. LI. O mtodo de Gram-Schmidt em V3 . Um conjunto ortogonal \y,, )'1 , J'1 f foi construido a partir de um conjunto independente dado {X 10 X 2 , x 3 1.

EXEMPLO I. Em V.; determinar uma base ortonormada para o subespao gerado pelostrsveetoresx,=(l, -I, I, ~I),x,=(S, I, I, l),ex,=(-3, -3, I, -3).

Resoluo. Aplicando o mtodo de Gram-Schmidt, obtemos

y, = x, = (1, -1, 1,--1},

y, = x2 - (x,, y,) y 1 = x,- y1 = (4, 2, O, 2), . ~.~ . .

(x;,,y,) (x,,y,) . . + (O O O O) Ya = Xa - --- Yt - --- Y2 = Xa - Y1 Y2 = , (y,' y,) (y,' y,) Visto que y3 =O, os trs vectores x 1, x2 , x 3 devem ser dependentes. Mas uma vez que y, e y2 so no nulos, os vectores x 1 e x 2 so independentes. Por conseguinte L(x 1, x,, x,) um subespao de. dimenso 2. O conjunto !y, y,} uma base ortogonal para este subespao. Dividindo cada um dos y, e y2 pela correspondente norma, obtemos uma base ortonormada formada pelos dois vectores

..1'!._ = !(1, -1, 1, -1) llY.Il .

e h 1 .

- = R. (2, 1, o, 1). lly,ll v6

EXEMPLO 2. Polinmios de Legendre. No espao linear de todos os polinmios, com o produto interno (x, y) = J~, x(l) y(t) dt, consideremos a sucesso infinita x 0 , x,, x,,

Espaos lineares 29

... onde xn(t) = tn. Quando se aplica o teorema de ortogonalizao a esta sucesso, obtm-se outra sucesso de polinmios y 0 , Y~> y 2 , , pela primeira vez encontrados pelo matemtico francs A.M. Legendre (1752-1833) nos seus trabalhos sobre a teo~ ria do potencial. Os primeiros desses polinmios calculam-se facilmente pelo mtodo de Gram-Schmidt. Em primeiro lugar temos y,(t) = x,(t) = I. Uma vez que

(y,,y.) = t dt = 2 e (x,, Yol = {l t dt = O, L, encontramos

( ) ( ) . (x,, Yol ( ) ( ) y1 t = X 1 t -~ Yo t = x1 t = t. (Yo Yo) Utilizamos depois as relaeS

{l 2 (x2, y0 ) = L, t dt = i, {1 3 (x 2 , y 1) = L, t dt = O, {l 2 (y, , y,) = L, t dt = i.

para obtermos

y,(t) = x,(t)- (x2, Yo) Y0(t)- (x2, y,) Y1(t) = 12 - t. (Yo, Yo) (y,, y,) . . Analogamente, encontramos

y,(t) = 13 - it, Voltaremos a cncC?ntrar estes polinmios no Captulo 6, no estudo complementar de equaes diferenciais e provaremos que

I d" ( ) n. ( 2 1)" Yn t = (2n)! dt" t -

Os polinmios Pn dados por

p (t) _ (2n)! (t) __ 1_ d" (t2 _ 1 n fi - zn(n !)2 y7l - znn! dtn )

designam-se por polinmios de Legendre. Os polinmios na correspondente sucesso ortonormada

30 Clculo

1.15. Complementos ortogonais. Projeces. Seja V um espao euclidiano e S um subespao de dimenso finita. Pretendemos

analisar o seguinte tipo de problema de aproximao. Dado um elemento x de V. deter-minar um elemento de S cuja distncia a x seja to pequena quanto possvel. A distncia entre os dois elementos x e y define-se pela norma 11 x- y~.

Antes d~ analisar este problema na sua forma geral, consideremos um caso particu-lar, representado na figura 1.2. Aqui V o espao vectorial V, e S um subespao a duas dimenses, um plano passando pela origem. Dado x em V, o problema consiste em encontrar. no plano S. o pontos o mais prximo possvel de x.

Se x E S, ento.evidentemente que a soluo s= x. Se x no pertence aS, ento o ponto s mais prximo define-se pelo p da perpendicular tirada de x para o plano S. Este exemplo simples sugere uma maneira de abordar o problema geral de aproxima-o e d origem a discusso que se segue.

DEFINIO. Seja S um subconjunto de um espao euclidiano V. Um elemento de V diz-se ser ortogonal a S se for ortogonal a todo o elemento de S. O conjunto de todos os ele-mentos ortogonais aS representa-se po,.,rSl:e diz-se .. S perpendicular".

. um exerccio simples a verificao de que;S+ um subespao de V, quer S o seja ou no. Na .hiptese em que S um subespao, ento S chama-se o cOmplemento or-togonal de S.

EXEMPLO. Se S um plano passando pela origem, como se indica na figura 1.2, ento SL uma recta passando pela origem e perpendicular a este plano. Este exem-plo constitui tambm uma interpretao geomtrica para o teorema que enunciamos a seguir.

FIG. 1.2. Interpretao geomtrica do teorema da decomposio ortogonal em .v!.

Espaos lineares 31

TEOREMA I. 15. TEOREMA DA DECOMPOSIO ORTOGONAL. Se V um espao eucli-diano e S um subespao de V com dimenso finita, ento todo o elemento x de V pode ser representado, de uma nica maneira. como a soma de dois elementos, um pertenecente~a S e outro a S1.. isto . tem-se

(1.17) x = s +si, onde sES and

Alm disso, a norma de x dada pela frmula de Pitdgoras

(1.18) llxll' = Jlsll' + Jlsl.JI'.

Demonstrao. Em pnmciro lugar provamos que possvel a decomposio orto-gonal (1.17). Visto que S tem dimenso finita, admite uma base ortonormada, por exemplo le1, e2, , er~l. Dado x. definimos os elementos se sJ. do modo seguinte:

n

(1.19) s = I (x, e,) e,, sl. = x- s. i=l

Observa-se que cada termo (x, e;)e; a projeco de x sobre e;. O elementos a soma das projeces de x sobre cada um dos elementos da base. Visto ser _s uma combina-o linear de elementos da base, s est em S. A definio de sl. mostra que (1.17) verdadeira. Para provar que s.L ~st em Sl., .consideramos o produto interno de sl com qualquer elemento da base ei. Temos

(sl., e1) = (x- s, e,)= (x, e,)- (s, e1).

Mas de (1.19) resulta que (s, e)~ (x, e), pelo que si ortogonal a ej, o que significa que sl. ortogonal a todo elemento de S, ou seja que sl. E Sl..,

Demonstremos agora que a decomposio (1.17) nica. Admitamos a existncia de duas representaes para x, por exemplo

(1.20) x = s + sl. e X = t + ll.,

onde s e t pertencem a S e sl. e tl. pertencem a Sl.., Desejamos provar que s = 1 e sl. :;::: tl.. De {1.20), temos s- t = tl.- sl., .pelo que necessitamos unicamente demons-trar que s- 1 =O. -Mas s- tESe tJ..- sl. E Sl. e assim temos que s- t simultanea-mente ortogonal e igual a t.J- - s_L. Porque o elemento zero o nico elemento orto-gonal a si prprio, deve ser s - t = O e portanto a decomposio nica.

Finalmente, provarl.!mos que a norma de x dada pela frmula de Pitagoras. Temos

llxll' = (x, x) = (s +si, s + sl.) = (s, s) + (sl., si),

sendo os restantes termos nulos uma vez que s e sl. so ortogonais e portanto est demonstrado ( 1.18).

32 G_lculo

DEFINIO. Seja S um subespao de dimenso finita de um espao euclidiano V. e seja {e,, ... e.} ma base ortonormada para S. Se x E V, o elementos definido por

fl

s = 2 (x, e;)e, i=l

diz-se a projeco de x sobre o subespao S.

Demonstramos seguidamente que a projeco de x sobreS a soluo do problema de aproximao abor~ado no incio desta Seco.

1.16. A melhor aproximao de elementos de um espao euclidiano por elementos de um subespao de dimenso finita

TEOREMA 1.16. TEOREMA DE APROXIMAO." Se S um subespao de dimenso finita de um esptio euclidiano V e x um elemento qualquer de V. ento a projeco de x sobre S est mais prxima de x do que qualquer outro elemento de S. isto . se s a pro-jeco de x sobre S. tem-se

llx - sll :S: llx - til

para todo o I E S. verificando-se o sinal de igualdade se e s se t = s.

Demonstrao. Considerando o teorema 1.15 podemos escrever x = s + sl_, com sE Se s.L E S.l_ Ento, para qualquer t en} S, tem-se

x - I = (x - s) + (s - t).

Porque s - t E S e x - s = sl. E S J. esta uma decomposio ortogonal de x - t, pelo que a sua norma dada pela frmula de Pitgoras

llx- til'= llx- sll' + lls-:- tii'-Mas lls- tU';;:; O, pelo que se ter 11x -111' 2: 11x- sll'; verificando-se a igualdade se e s se s = t, o que completa a demonstrao.

EX~MPLO I. Aproximao de funes conttiuas em !0, 2nl por polinmios trigonom-tricos. Seja V= C(O, 2n), o espao linear de todas as funes reais contnuas no inter-valo 10, 2n] e definamos um produto inlerno pela equao (f, g) = fi"f(x)g(x)dx. Na Seco 1.12 vimos um conjunto ortogonal de funes trigonomtricas cp0 , cp 1, cp2 , , onde

(1.21) 1 'l'o(x) = ..;z;,, cos kx

Espaos lineares 33

Os 2n + I elementos

34 Clculo

1.17. Exerccios -1. Para cada alnea determinar uma base ortonormada para o subespao de V1 ge~ado pelos

vectores indicados. (a) x 1 ~ (1,1,1), x, ~ (1,0,1), x3 ~ (3,2,3).

(b)x1 ~(l,l,l), x,~(-1,1,-l), x3 ~(l,O,l). , 2. Para cada alnea determinar uma base ortonormada para o subespao de V_. gerado pelos

vectores indicados. (a) x 1 ~ (1,1,0,0), x, ~ (0,1,1,0), x3 ~ (0,0,1,1), x, ~ (1,0,0,1).

(b)x1 ~(l,l,O,l), x2 ~(1,0,2,!), x3 ~(1,2,-2,1). 3. No espao linear real C(O, n), com o produto interno (x, y) = J,;- x (t)y(t)dt. seja x Jt) = cos nt

para n =O, I, 2, .... Provar que as funeS.}\1, }'1, y2, ... , dadas por

1 y,(t) ~ v; e (2 Yn(t) = \)-; COS nt para n ~I,

formam um conjunto ortonormado gerando o mesmo subespao que x0 , X 1, x 2 , 4. No espao linear de todos os polinmios reais, com produto interno (x,y) = f x(t)y(t)dt, seja

x n(t) = t" para n =O, I, 2, .... Provar que as funes

y,(t) ~ 1, y,(t) ~ v3 (2t - 1), 1,

2 TRANSFORMAES LINEARES E MATRIZES

2.1. Transformaes lineares

Um dos ltimos objectivos da Anlise um amplo estudo de funes cujos domnio e contradomnio so subconjuntos de espaos lineares. Tais funes chamam-se transformaes, aplicaes ou operadores. Este captulo trata dos exemplos mais sim-ples. chamados transformaes lineares, as quais aparecem em todos os ramos da Ma-temtica. As propriedades de transformaes mais gerais obtm-se frequentemente aproximando-as por transformaes lineares.

Em primeiro lugar vamos introduzir algumas notaes e terminologia re~ativas a funes quaisquer. Sejam V e W dois conjuntos. O smbolo

T:v~w

ser usado para indicr que T uma funo cujo domnio V e cujos.valoreli esto em W. Para cada x de V, o elemento T(x) em W chama-se a imagem de x por meio de aplicao T, e dizemos que T aplica x em T(x). Se A um subconjunto qualquer de V, o conjunto de todas as imagens T(x), para x em A,-chama-se a imagem de A por meio da aplicao T e representa-se por T(A ). A imagem do domnio V, T( V), o contra-domnio de T.

Suponhamos agora que V e W sO espaos lineares admitindo o mesmo conjunto de escalares e definamos uma transformao linear do modo segUinte:

DEF!NIAO. Se V e W so espoos lineares, uma funo T: V- W diz-se wna tran

36 Clculo

Estas propriedades significam que T preserva a adio e a multiplicao por escalares. As duas propriedades podem combinar-se numa nica frmula que estabelece que

T(ax + by) = aT(x) + hT(y) para todo o par (x, y) em V e quaisquer que sejam os escalares a e b. Por induo, temos tambm a relao mais geral

para n elementos quaisquer x" ... , Xn de V e n escalares quaisquer a., ... , an. O leitor comprovar com facilidade que os exemplos seguintes so transforma-

es lineares.

EXEMPLO I. A transformao identidade. A transformao T: V~ V, onde T(x) = x para todo o x em V, chama-se a transformao identidade e representa-se por I ou por I v.

EXEMPLO 2. A transformao zero. A transformao T: V~ V que aplica cada ele-mento de V em O chama-se a transformao zero e representa-se por O.

EXEMPLO 3: Multiplicao por um escalar fixo c. Aqu tem-se T: V~ V, onde T(x) = ex, para todo o x de V. Quando c= I, cai-se na transformao identidade. Quando c= O, a transformao zero.

EXEMPLO 4. Equaes lineares. Sejam V= Vn e W= Vm Dados mn nmeros reais ~ik onde i= I, 2, ... , m e k = I, 2, ... , n, defina.mos T: Vn-+ V m do modo seguinie: T aplica cada vector x = (x" ... , Xn) de v. no vector y = (y,, y,, ... , Ym) de V m segundo s equaes

n

Yi = Lai~k p.ara i= 1, 2, ... , m. k=l

EXEMPLO 5. Produto interno com um elemento fixo. Seja V um espao euclidiano. Para um elemento fixo z .de V, definamos T: v:.. R do modo seguinte: Se x E V, ento T(x) = (x, z), o produto interno de x com z.

EXEMPLO 6. Projeco sobre um subespao. Seja V um espao euclidiano e S um su-bespao de V com dimenso finita. Dfina-se T: V~ S do modo seguinte: Se x E V, ento T(x) a projeco de x sobre S.

EXEMPLO 7. O operador derivao. Seja V o espao linear de todas as funes reais f derivveis num intervalo aberto (a, b). A transformao linear que aplica cada fun o f de V na sua derivada r chama-se o operador derivao e representa-se por D. Assim temos D: V~ W, onde D (f)= r para todo o f em V. O espao W formado por todas as derivadas f'.

,. I f Transformaes lineares e matrizes 37

EXEMPW 8. O operador ilitegrao. Seja V o espao linear de todas as funes reais contnuas num intervalo (a, b]. Se f E V, defina-se g ~ T(.f) como sendo aquela funo de V definida por

g(x) = r f(t) dt Esta transformao T chama-se o operador integrao.

2.2. Espao nulo e contradomnio

Nesta Seco, T representa uma transformao linear de um espao linear V em um espao linear W.

TEOREMA 2.1. 0 conjunto T( V) (o contradomnio de D um subespao de W. Alm disso, T aplica o elemento zero de V no elemento zero de W.

Demonstrao: Para demonstrar que T( V) um subespao de W, necessitamos ve-rificar unicamente os axiomas de fecho. Tomemos dois quaisquer elementos de T( V), por exemplo T(x) e T(y). Ento T(x) + T(y) ~ T(x + y), pelo que T(x) + T(y) est em T( V). Tambm, para qualquer escalar c temos cT(x) ~ T(cx), pelo que cT(x) est em T( V). Deste modo, T( V) um subespao de W. Fazendo c~ O na relao T(cx) ~ cT(x), verificamos que T(O) ~O.

DEFINIO. O conjunto de todos os elementos de V que T aplica em O chama-se o e.\pao nulo de Te representa-se por N(n. Assim tem-se

N(D = {x I x E V e T(x) = O). O espao nulo designa-se tambm por ncleo de T

TEOREMA 2.2. O espao nulo de T um subespao de V.

Demonstrao. Se x e y esto em N( 1). o mesmo se verifica com x + y e ex qualquer que seja c, j que

T(x + y) = T(x) + T(y) = O e T(cx) = cT(x) = O. Os exemplos apresentados a seguir referem-se aoS espaos nulos das transforma-

es lineares dadas na Seco 2. L

EXEMPLO I. A transformao identidade. O espao nulo {0}, o subespao consis-tindo unicamente do elemento zero.

EXEMPLO 2. A transformao zero. Visto cada elemento de V ser aplicado no ele-mento zero, o espao nulo o prprio V.

38 Clculo

EXEMPLO 3. Multiplicao por um escalar fixo c. Se c* O, o espao nulo contm unicamente O. Se c= O, o espao nulo V.

EXEMPLO 4. Equaes lineares. O espao nulo consiste de todos os vectores (xl' ... , Xn) de Vn para OS quais

para i = 1, 2, ... , m.

EXEMPLO 5. Produto interno com um elemento fixo z. O espao nulo consiste d todos os elementos de V ortogonais a z.

EXEMPLO 6. Projeco sobre um subespao S. Se x E V, tem-se a nica decomposi-o ortogonal x = s + s~ (pelo teorema (1.15). Visto ser T(x) = s, tem-se T(x) =O se e s se x = sl., e assim o espao nulo Sl-. o complemento ortogonal de S.

EXEMPLO 7. Operador derivao. O espao nulo formado por todas as funes que so constantes num dado intervalo.

EXEMPLO 8. Operador integrao. O espao nulo contm unicamente a funo zero.

2.3. Nulidade e ordem

Nesta Seco T rt:presenta ainda uma transformao linear de um espao linear V num espao linear W. Interessa-nos estabelecer uma relao entre a diinenso de V, do espao nulo N(T) e do contradomnio T(V). Se V tem dimenso finita, ento o espao nulo tambm tem dimenso finita, porque um subespao de V. A dimenso de N(1) chama-se a nulidade de T (dimenso do ncleo de 7). No teorema que se segue prova-se que a contradomnio tambm tem dimenso finita; a essa dimenso d-se o nome de ordem de T.

TEOREMA 2.3 TEOREMA DE NULIDADE MAIS ORDEM. Se V de dimenso finita. ento T( V) tambm de dimenso finita e tem-se

(2.1) dim N( T) + dim T( V)= dim V.

Por outras Palavras. a nulidade n1~is a ordem de uma trnsformao linear igual di-menso do seu domnio.

Demonstrao. Sejam n = dim V e e1, e1 , , ek uma base para N(n. onde k = dim N(n;;;; n. Pelo teorema 1.7, estes elementos formam uma parte de uma certa base de V, por exemplo a base

(2.2)

lr .. r .. transformaes lineares e matrizes 39 com k + r:-= n. Pretendemos provar que os r elementos

(2.3)

formam uma base para T( V), o que prova que dim T( V)~ r. Uma v