Tópicos da Computação em Teoria dos Jogosrafael/publicacoes/ttjc/loadbalancing.pdf · Tópicos...
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Tópicos da Computação em Teoria dos Jogos Rafael C. S. Schouery Orlando Lee Flávio K. Miyazawa Eduardo C. Xavier Universidade Estadual de Campinas De 27 a 31 de Julho de 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Tpicos da Computao em Teoria dosJogos
Rafael C. S. Schouery Orlando Lee Flvio K. MiyazawaEduardo C. Xavier
Universidade Estadual de Campinas
De 27 a 31 de Julho de 2015
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Jogo de balanceamento de carga
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Jogo de balanceamento de carga
Dados: n tarefas m mquinas wi : peso da tarefa i sj : velocidade da mquina j
Cada jogador: Controla uma tarefa Escolhe em qual mquina aloca a tarefa Conjuntos de estratgias do jogador i Si = [m],
onde [m] = {1, . . . ,m}.
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Jogo de balanceamento de carga
Dados:
n tarefas m mquinas wi : peso da tarefa i sj : velocidade da mquina j
Cada jogador: Controla uma tarefa Escolhe em qual mquina aloca a tarefa Conjuntos de estratgias do jogador i Si = [m],
onde [m] = {1, . . . ,m}.
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Jogo de balanceamento de carga
Dados: n tarefas
m mquinas wi : peso da tarefa i sj : velocidade da mquina j
Cada jogador: Controla uma tarefa Escolhe em qual mquina aloca a tarefa Conjuntos de estratgias do jogador i Si = [m],
onde [m] = {1, . . . ,m}.
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Jogo de balanceamento de carga
Dados: n tarefas m mquinas
wi : peso da tarefa i sj : velocidade da mquina j
Cada jogador: Controla uma tarefa Escolhe em qual mquina aloca a tarefa Conjuntos de estratgias do jogador i Si = [m],
onde [m] = {1, . . . ,m}.
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Jogo de balanceamento de carga
Dados: n tarefas m mquinas wi : peso da tarefa i
sj : velocidade da mquina j
Cada jogador: Controla uma tarefa Escolhe em qual mquina aloca a tarefa Conjuntos de estratgias do jogador i Si = [m],
onde [m] = {1, . . . ,m}.
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Jogo de balanceamento de carga
Dados: n tarefas m mquinas wi : peso da tarefa i sj : velocidade da mquina j
Cada jogador: Controla uma tarefa Escolhe em qual mquina aloca a tarefa Conjuntos de estratgias do jogador i Si = [m],
onde [m] = {1, . . . ,m}.
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Dados: n tarefas m mquinas wi : peso da tarefa i sj : velocidade da mquina j
Cada jogador:
Controla uma tarefa Escolhe em qual mquina aloca a tarefa Conjuntos de estratgias do jogador i Si = [m],
onde [m] = {1, . . . ,m}.
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Jogo de balanceamento de carga
Dados: n tarefas m mquinas wi : peso da tarefa i sj : velocidade da mquina j
Cada jogador: Controla uma tarefa
Escolhe em qual mquina aloca a tarefa Conjuntos de estratgias do jogador i Si = [m],
onde [m] = {1, . . . ,m}.
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Dados: n tarefas m mquinas wi : peso da tarefa i sj : velocidade da mquina j
Cada jogador: Controla uma tarefa Escolhe em qual mquina aloca a tarefa
Conjuntos de estratgias do jogador i Si = [m],onde [m] = {1, . . . ,m}.
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Dados: n tarefas m mquinas wi : peso da tarefa i sj : velocidade da mquina j
Cada jogador: Controla uma tarefa Escolhe em qual mquina aloca a tarefa Conjuntos de estratgias do jogador i Si = [m],
onde [m] = {1, . . . ,m}.
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Jogo de balanceamento de carga
As escolhas dos jogadores geram uma atribuio de tarefas smaquinas:
A : [n] [m]
A carga de uma mquina j :
j =i[n]
j=A(i)
wisj
O custo de A para um jogador i j tal que j = A(i)
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As escolhas dos jogadores geram uma atribuio de tarefas smaquinas:
A : [n] [m]
A carga de uma mquina j :
j =i[n]
j=A(i)
wisj
O custo de A para um jogador i j tal que j = A(i)
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As escolhas dos jogadores geram uma atribuio de tarefas smaquinas:
A : [n] [m]
A carga de uma mquina j :
j =i[n]
j=A(i)
wisj
O custo de A para um jogador i j tal que j = A(i)
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As escolhas dos jogadores geram uma atribuio de tarefas smaquinas:
A : [n] [m]
A carga de uma mquina j :
j =i[n]
j=A(i)
wisj
O custo de A para um jogador i j tal que j = A(i)
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As escolhas dos jogadores geram uma atribuio de tarefas smaquinas:
A : [n] [m]
A carga de uma mquina j :
j =i[n]
j=A(i)
wisj
O custo de A para um jogador i j tal que j = A(i)
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Jogo de balanceamento de carga
Jogo: n, m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm
um jogo finito, logo tem equilbrio (misto) de Nash
Primeiro, considere estratgias puras
Consideramos ainda dois casos: mquinas uniformes (s1 = = sm) mquinas relacionadas (podem diferir na velocidade)
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Jogo:
n, m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm
um jogo finito, logo tem equilbrio (misto) de Nash
Primeiro, considere estratgias puras
Consideramos ainda dois casos: mquinas uniformes (s1 = = sm) mquinas relacionadas (podem diferir na velocidade)
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Jogo: n
, m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm
um jogo finito, logo tem equilbrio (misto) de Nash
Primeiro, considere estratgias puras
Consideramos ainda dois casos: mquinas uniformes (s1 = = sm) mquinas relacionadas (podem diferir na velocidade)
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Jogo: n, m
, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm
um jogo finito, logo tem equilbrio (misto) de Nash
Primeiro, considere estratgias puras
Consideramos ainda dois casos: mquinas uniformes (s1 = = sm) mquinas relacionadas (podem diferir na velocidade)
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Jogo: n, m, w1, . . . , wn
, s1, . . . , sm
um jogo finito, logo tem equilbrio (misto) de Nash
Primeiro, considere estratgias puras
Consideramos ainda dois casos: mquinas uniformes (s1 = = sm) mquinas relacionadas (podem diferir na velocidade)
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Jogo: n, m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm
um jogo finito, logo tem equilbrio (misto) de Nash
Primeiro, considere estratgias puras
Consideramos ainda dois casos: mquinas uniformes (s1 = = sm) mquinas relacionadas (podem diferir na velocidade)
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Jogo: n, m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm
um jogo finito, logo tem equilbrio (misto) de Nash
Primeiro, considere estratgias puras
Consideramos ainda dois casos: mquinas uniformes (s1 = = sm) mquinas relacionadas (podem diferir na velocidade)
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Jogo: n, m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm
um jogo finito, logo tem equilbrio (misto) de Nash
Primeiro, considere estratgias puras
Consideramos ainda dois casos: mquinas uniformes (s1 = = sm) mquinas relacionadas (podem diferir na velocidade)
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Jogo: n, m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm
um jogo finito, logo tem equilbrio (misto) de Nash
Primeiro, considere estratgias puras
Consideramos ainda dois casos:
mquinas uniformes (s1 = = sm) mquinas relacionadas (podem diferir na velocidade)
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Jogo: n, m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm
um jogo finito, logo tem equilbrio (misto) de Nash
Primeiro, considere estratgias puras
Consideramos ainda dois casos: mquinas uniformes (s1 = = sm)
mquinas relacionadas (podem diferir na velocidade)
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Jogo: n, m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm
um jogo finito, logo tem equilbrio (misto) de Nash
Primeiro, considere estratgias puras
Consideramos ainda dois casos: mquinas uniformes (s1 = = sm) mquinas relacionadas (podem diferir na velocidade)
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Jogo Sequencial
2
4
1
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Jogo Sequencial
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Aplicao: Transferncia de Arquivos
Alice Bob Carlos
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3 4
Bob est transferindo a partir do serv. 2 e percebeque migrar para 3 melhor, mesmo compartilhando com Carlos
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Aplicao: Transferncia de Arquivos
Alice Bob Carlos
21
3 4
Aps Bob migrar, o servidor 3 fica mais carregado eCarlos percebe que melhor migrar para o 4
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Aplicao: Transferncia de Arquivos
Alice Bob Carlos
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Aps Bob migrar, o servidor 2 fica livre e Alice percebeque melhor migrar para o 2 (antes no era interessante)
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Aplicao: Transferncia de Arquivos
Alice Bob Carlos
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Configurao final emequilbrio
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O jogo tem equilbrio?
Proposio: O jogo de balanceamento de cargas dado por n,m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm com estratgias puras tem pelo menosum equilbrio
Dada uma atribuio A : [n] [m], considere o vetor com acarga de cada mquina, em ordem decrescente
10 8 7 7 4
Vetores encontrados:
(10, 8, 7, 7, 4) (10, 8, 7, 6, 5) (10, 7, 7, 6, 6)
Migrao vai para vetor lexicograficamente menorProcesso termina e num equilbrio
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O jogo tem equilbrio?Proposio: O jogo de balanceamento de cargas dado por n,m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm com estratgias puras tem pelo menosum equilbrio
Dada uma atribuio A : [n] [m], considere o vetor com acarga de cada mquina, em ordem decrescente
10 8 7 7 4
Vetores encontrados:
(10, 8, 7, 7, 4) (10, 8, 7, 6, 5) (10, 7, 7, 6, 6)
Migrao vai para vetor lexicograficamente menorProcesso termina e num equilbrio
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O jogo tem equilbrio?Proposio: O jogo de balanceamento de cargas dado por n,m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm com estratgias puras tem pelo menosum equilbrio
Dada uma atribuio A : [n] [m], considere o vetor com acarga de cada mquina, em ordem decrescente
10 8 7 7 4
Vetores encontrados:
(10, 8, 7, 7, 4) (10, 8, 7, 6, 5) (10, 7, 7, 6, 6)
Migrao vai para vetor lexicograficamente menorProcesso termina e num equilbrio
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O jogo tem equilbrio?Proposio: O jogo de balanceamento de cargas dado por n,m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm com estratgias puras tem pelo menosum equilbrio
Dada uma atribuio A : [n] [m], considere o vetor com acarga de cada mquina, em ordem decrescente
10 8 7 7 4
Vetores encontrados:
(10, 8, 7, 7, 4) (10, 8, 7, 6, 5) (10, 7, 7, 6, 6)
Migrao vai para vetor lexicograficamente menorProcesso termina e num equilbrio
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O jogo tem equilbrio?Proposio: O jogo de balanceamento de cargas dado por n,m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm com estratgias puras tem pelo menosum equilbrio
Dada uma atribuio A : [n] [m], considere o vetor com acarga de cada mquina, em ordem decrescente
10 8 7 7 4
Vetores encontrados: (10, 8, 7, 7, 4)
(10, 8, 7, 6, 5) (10, 7, 7, 6, 6)
Migrao vai para vetor lexicograficamente menorProcesso termina e num equilbrio
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O jogo tem equilbrio?Proposio: O jogo de balanceamento de cargas dado por n,m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm com estratgias puras tem pelo menosum equilbrio
Dada uma atribuio A : [n] [m], considere o vetor com acarga de cada mquina, em ordem decrescente
10 8 7 7 4
Vetores encontrados: (10, 8, 7, 7, 4)
(10, 8, 7, 6, 5) (10, 7, 7, 6, 6)
Migrao vai para vetor lexicograficamente menorProcesso termina e num equilbrio
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O jogo tem equilbrio?Proposio: O jogo de balanceamento de cargas dado por n,m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm com estratgias puras tem pelo menosum equilbrio
Dada uma atribuio A : [n] [m], considere o vetor com acarga de cada mquina, em ordem decrescente
10 8 5 7 6
Vetores encontrados: (10, 8, 7, 7, 4)
(10, 8, 7, 6, 5) (10, 7, 7, 6, 6)
Migrao vai para vetor lexicograficamente menorProcesso termina e num equilbrio
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O jogo tem equilbrio?Proposio: O jogo de balanceamento de cargas dado por n,m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm com estratgias puras tem pelo menosum equilbrio
Dada uma atribuio A : [n] [m], considere o vetor com acarga de cada mquina, em ordem decrescente
10 8 5 7 6
Vetores encontrados: (10, 8, 7, 7, 4)
(10, 8, 7, 6, 5) (10, 7, 7, 6, 6)
Migrao vai para vetor lexicograficamente menorProcesso termina e num equilbrio
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O jogo tem equilbrio?Proposio: O jogo de balanceamento de cargas dado por n,m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm com estratgias puras tem pelo menosum equilbrio
Dada uma atribuio A : [n] [m], considere o vetor com acarga de cada mquina, em ordem decrescente
10 8 7 6 5
Vetores encontrados: (10, 8, 7, 7, 4) (10, 8, 7, 6, 5)
(10, 7, 7, 6, 6)
Migrao vai para vetor lexicograficamente menorProcesso termina e num equilbrio
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O jogo tem equilbrio?Proposio: O jogo de balanceamento de cargas dado por n,m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm com estratgias puras tem pelo menosum equilbrio
Dada uma atribuio A : [n] [m], considere o vetor com acarga de cada mquina, em ordem decrescente
10 8 7 6 5
Vetores encontrados: (10, 8, 7, 7, 4) (10, 8, 7, 6, 5)
(10, 7, 7, 6, 6)
Migrao vai para vetor lexicograficamente menorProcesso termina e num equilbrio
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O jogo tem equilbrio?Proposio: O jogo de balanceamento de cargas dado por n,m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm com estratgias puras tem pelo menosum equilbrio
Dada uma atribuio A : [n] [m], considere o vetor com acarga de cada mquina, em ordem decrescente
10 6 7 6 7
Vetores encontrados: (10, 8, 7, 7, 4) (10, 8, 7, 6, 5)
(10, 7, 7, 6, 6)
Migrao vai para vetor lexicograficamente menorProcesso termina e num equilbrio
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O jogo tem equilbrio?Proposio: O jogo de balanceamento de cargas dado por n,m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm com estratgias puras tem pelo menosum equilbrio
Dada uma atribuio A : [n] [m], considere o vetor com acarga de cada mquina, em ordem decrescente
10 6 7 6 7
Vetores encontrados: (10, 8, 7, 7, 4) (10, 8, 7, 6, 5)
(10, 7, 7, 6, 6)
Migrao vai para vetor lexicograficamente menorProcesso termina e num equilbrio
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O jogo tem equilbrio?Proposio: O jogo de balanceamento de cargas dado por n,m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm com estratgias puras tem pelo menosum equilbrio
Dada uma atribuio A : [n] [m], considere o vetor com acarga de cada mquina, em ordem decrescente
10 7 7 6 6
Vetores encontrados: (10, 8, 7, 7, 4) (10, 8, 7, 6, 5) (10, 7, 7, 6, 6)
Migrao vai para vetor lexicograficamente menorProcesso termina e num equilbrio
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O jogo tem equilbrio?Proposio: O jogo de balanceamento de cargas dado por n,m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm com estratgias puras tem pelo menosum equilbrio
Dada uma atribuio A : [n] [m], considere o vetor com acarga de cada mquina, em ordem decrescente
10 7 7 6 6
Vetores encontrados: (10, 8, 7, 7, 4) (10, 8, 7, 6, 5) (10, 7, 7, 6, 6)
Migrao vai para vetor lexicograficamente menor
Processo termina e num equilbrio
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O jogo tem equilbrio?Proposio: O jogo de balanceamento de cargas dado por n,m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm com estratgias puras tem pelo menosum equilbrio
Dada uma atribuio A : [n] [m], considere o vetor com acarga de cada mquina, em ordem decrescente
10 7 7 6 6
Vetores encontrados: (10, 8, 7, 7, 4) (10, 8, 7, 6, 5) (10, 7, 7, 6, 6)
Migrao vai para vetor lexicograficamente menorProcesso termina e num equilbrio
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Duas perguntas
Jogo de balanceamento de cargas com estratgias puras
Quo ruim pode ser um equilbrio em comparao com ochamado timo social?
Quanto tempo para chegar a um equilbrio?
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Duas perguntas
Jogo de balanceamento de cargas com estratgias puras Quo ruim pode ser um equilbrio em comparao com o
chamado timo social?
Quanto tempo para chegar a um equilbrio?
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Duas perguntas
Jogo de balanceamento de cargas com estratgias puras Quo ruim pode ser um equilbrio em comparao com o
chamado timo social?
Quanto tempo para chegar a um equilbrio?
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Custo Social: Makespan
Aqui o custo social de uma atribuio A a carga da mquinamais carregada, ou seja, o makespan
10 7 7 6 6
Makespan
Dados n, m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm, determinar o makespanmnimo um problema NP-difcil
Mesmo para duas mquinas uniformes
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Custo Social: Makespan
Aqui o custo social de uma atribuio A a carga da mquinamais carregada, ou seja, o makespan
10 7 7 6 6
Makespan
Dados n, m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm, determinar o makespanmnimo um problema NP-difcil
Mesmo para duas mquinas uniformes
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Custo Social: Makespan
Aqui o custo social de uma atribuio A a carga da mquinamais carregada, ou seja, o makespan
10 7 7 6 6
Makespan
Dados n, m, w1, . . . , wn, s1, . . . , sm, determinar o makespanmnimo um problema NP-difcil
Mesmo para duas mquinas uniformes
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Duas medidas de qualidade
Seja J (m) o conjunto de todos jogos de balanceamento decarga com m mquinas E(J) o conjunto de equilbrios de um jogo J c(A) o custo da atribuio A para J opt(J) o custo mnimo de uma atribuio para J
Preo da anarquia PA: o valor mximo da razo entre o pior custo de um
equilbrio e o custo da soluo tima
PA(m) = maxJJ (m)
maxAE(J)
c(A)opt(J)
PA = maxm1
PA(m)
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Duas medidas de qualidadeSeja J (m) o conjunto de todos jogos de balanceamento decarga com m mquinas
E(J) o conjunto de equilbrios de um jogo J c(A) o custo da atribuio A para J opt(J) o custo mnimo de uma atribuio para J
Preo da anarquia PA: o valor mximo da razo entre o pior custo de um
equilbrio e o custo da soluo tima
PA(m) = maxJJ (m)
maxAE(J)
c(A)opt(J)
PA = maxm1
PA(m)
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Duas medidas de qualidadeSeja J (m) o conjunto de todos jogos de balanceamento decarga com m mquinas E(J) o conjunto de equilbrios de um jogo J
c(A) o custo da atribuio A para J opt(J) o custo mnimo de uma atribuio para J
Preo da anarquia PA: o valor mximo da razo entre o pior custo de um
equilbrio e o custo da soluo tima
PA(m) = maxJJ (m)
maxAE(J)
c(A)opt(J)
PA = maxm1
PA(m)
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Duas medidas de qualidadeSeja J (m) o conjunto de todos jogos de balanceamento decarga com m mquinas E(J) o conjunto de equilbrios de um jogo J c(A) o custo da atribuio A para J
opt(J) o custo mnimo de uma atribuio para J
Preo da anarquia PA: o valor mximo da razo entre o pior custo de um
equilbrio e o custo da soluo tima
PA(m) = maxJJ (m)
maxAE(J)
c(A)opt(J)
PA = maxm1
PA(m)
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Duas medidas de qualidadeSeja J (m) o conjunto de todos jogos de balanceamento decarga com m mquinas E(J) o conjunto de equilbrios de um jogo J c(A) o custo da atribuio A para J opt(J) o custo mnimo de uma atribuio para J
Preo da anarquia PA: o valor mximo da razo entre o pior custo de um
equilbrio e o custo da soluo tima
PA(m) = maxJJ (m)
maxAE(J)
c(A)opt(J)
PA = maxm1
PA(m)
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Duas medidas de qualidadeSeja J (m) o conjunto de todos jogos de balanceamento decarga com m mquinas E(J) o conjunto de equilbrios de um jogo J c(A) o custo da atribuio A para J opt(J) o custo mnimo de uma atribuio para J
Preo da anarquia PA:
o valor mximo da razo entre o pior custo de umequilbrio e o custo da soluo tima
PA(m) = maxJJ (m)
maxAE(J)
c(A)opt(J)
PA = maxm1
PA(m)
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Duas medidas de qualidadeSeja J (m) o conjunto de todos jogos de balanceamento decarga com m mquinas E(J) o conjunto de equilbrios de um jogo J c(A) o custo da atribuio A para J opt(J) o custo mnimo de uma atribuio para J
Preo da anarquia PA: o valor mximo da razo entre o pior custo de um
equilbrio e o custo da soluo tima
PA(m) = maxJJ (m)
maxAE(J)
c(A)opt(J)
PA = maxm1
PA(m)
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Duas medidas de qualidadeSeja J (m) o conjunto de todos jogos de balanceamento decarga com m mquinas E(J) o conjunto de equilbrios de um jogo J c(A) o custo da atribuio A para J opt(J) o custo mnimo de uma atribuio para J
Preo da anarquia PA: o valor mximo da razo entre o pior custo de um
equilbrio e o custo da soluo tima
PA(m) = maxJJ (m)
maxAE(J)
c(A)opt(J)
PA = maxm1
PA(m)
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Duas medidas de qualidadeSeja J (m) o conjunto de todos jogos de balanceamento decarga com m mquinas E(J) o conjunto de equilbrios de um jogo J c(A) o custo da atribuio A para J opt(J) o custo mnimo de uma atribuio para J
Preo da anarquia PA: o valor mximo da razo entre o pior custo de um
equilbrio e o custo da soluo tima
PA(m) = maxJJ (m)
maxAE(J)
c(A)opt(J)
PA = maxm1
PA(m)
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Duas medidas de qualidadeSeja J (m) o conjunto de todos jogos de balanceamento decarga com m mquinas E(J) o conjunto de equilbrios de um jogo J c(A) o custo da atribuio A para J opt(J) o custo mnimo de uma atribuio para J
Preo da estabilidade PE: o valor mximo da razo entre o melhor custo de um
equilbrio e o custo da soluo tima
PE(m) = maxJJ (m)
minAE(J)
c(A)opt(J)
PE = maxm1
PE(m)
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Duas medidas de qualidadeSeja J (m) o conjunto de todos jogos de balanceamento decarga com m mquinas E(J) o conjunto de equilbrios de um jogo J c(A) o custo da atribuio A para J opt(J) o custo mnimo de uma atribuio para J
Preo da estabilidade PE:
o valor mximo da razo entre o melhor custo de umequilbrio e o custo da soluo tima
PE(m) = maxJJ (m)
minAE(J)
c(A)opt(J)
PE = maxm1
PE(m)
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Duas medidas de qualidadeSeja J (m) o conjunto de todos jogos de balanceamento decarga com m mquinas E(J) o conjunto de equilbrios de um jogo J c(A) o custo da atribuio A para J opt(J) o custo mnimo de uma atribuio para J
Preo da estabilidade PE: o valor mximo da razo entre o melhor custo de um
equilbrio e o custo da soluo tima
PE(m) = maxJJ (m)
minAE(J)
c(A)opt(J)
PE = maxm1
PE(m)
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Duas medidas de qualidadeSeja J (m) o conjunto de todos jogos de balanceamento decarga com m mquinas E(J) o conjunto de equilbrios de um jogo J c(A) o custo da atribuio A para J opt(J) o custo mnimo de uma atribuio para J
Preo da estabilidade PE: o valor mximo da razo entre o melhor custo de um
equilbrio e o custo da soluo tima
PE(m) = maxJJ (m)
minAE(J)
c(A)opt(J)
PE = maxm1
PE(m)
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Duas medidas de qualidade
O valores de PA e de PE valem pelo menos 1
Preo da estabilidade 1: Comece com a configurao de makespan mnimo e v
aplicando melhores respostas O makespan nunca aumenta e termina num equilbrio
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Duas medidas de qualidade
O valores de PA e de PE valem pelo menos 1
Preo da estabilidade 1:
Comece com a configurao de makespan mnimo e vaplicando melhores respostas
O makespan nunca aumenta e termina num equilbrio
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Duas medidas de qualidade
O valores de PA e de PE valem pelo menos 1
Preo da estabilidade 1: Comece com a configurao de makespan mnimo e v
aplicando melhores respostas
O makespan nunca aumenta e termina num equilbrio
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Duas medidas de qualidade
O valores de PA e de PE valem pelo menos 1
Preo da estabilidade 1: Comece com a configurao de makespan mnimo e v
aplicando melhores respostas O makespan nunca aumenta e termina num equilbrio
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Preo da anarquiaExemplo: m = 2
, s1 = s2 = 1 e w1 = w2 = 2, w3 = w4 = 1
Makespan mnimo: 3 Equilbrio com makespan 4
Preo da anarquia pelo menos 4/3
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Preo da anarquiaExemplo: m = 2
, s1 = s2 = 1 e w1 = w2 = 2, w3 = w4 = 1
Makespan mnimo: 3 Equilbrio com makespan 4
Preo da anarquia pelo menos 4/3
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Preo da anarquiaExemplo: m = 2, s1 = s2 = 1
e w1 = w2 = 2, w3 = w4 = 1
Makespan mnimo: 3 Equilbrio com makespan 4
Preo da anarquia pelo menos 4/3
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Preo da anarquiaExemplo: m = 2, s1 = s2 = 1 e w1 = w2 = 2
, w3 = w4 = 1
Makespan mnimo: 3 Equilbrio com makespan 4
Preo da anarquia pelo menos 4/3
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Preo da anarquiaExemplo: m = 2, s1 = s2 = 1 e w1 = w2 = 2, w3 = w4 = 1
Makespan mnimo: 3 Equilbrio com makespan 4
Preo da anarquia pelo menos 4/3
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Preo da anarquiaExemplo: m = 2, s1 = s2 = 1 e w1 = w2 = 2, w3 = w4 = 1
Makespan mnimo: 3
Equilbrio com makespan 4
Preo da anarquia pelo menos 4/3
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Preo da anarquiaExemplo: m = 2, s1 = s2 = 1 e w1 = w2 = 2, w3 = w4 = 1
Makespan mnimo: 3
Equilbrio com makespan 4
Preo da anarquia pelo menos 4/3
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Preo da anarquiaExemplo: m = 2, s1 = s2 = 1 e w1 = w2 = 2, w3 = w4 = 1
Makespan mnimo: 3
Equilbrio com makespan 4
Preo da anarquia pelo menos 4/3
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Preo da anarquiaExemplo: m = 2, s1 = s2 = 1 e w1 = w2 = 2, w3 = w4 = 1
Makespan mnimo: 3 Equilbrio com makespan 4
Preo da anarquia pelo menos 4/3
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Preo da anarquiaExemplo: m = 2, s1 = s2 = 1 e w1 = w2 = 2, w3 = w4 = 1
Makespan mnimo: 3 Equilbrio com makespan 4
Preo da anarquia pelo menos 4/3
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Caso de mquinas uniformes
Teorema: [Finn, Horowitz] Para o jogo de balanceamento decarga em m mquinas uniformes, PA(m) =
(2 2
m+1
)
Ideia: Prova para PA(m) 2
c(A) L
c(A)
L opt Lopt c(A) L
I.e.,2 opt L+ (c(A) L) = c(A)
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Caso de mquinas uniformes
Teorema: [Finn, Horowitz] Para o jogo de balanceamento decarga em m mquinas uniformes, PA(m) =
(2 2
m+1
)
Ideia: Prova para PA(m) 2
c(A) L
c(A)
L opt Lopt c(A) L
I.e.,2 opt L+ (c(A) L) = c(A)
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Caso de mquinas uniformes
Teorema: [Finn, Horowitz] Para o jogo de balanceamento decarga em m mquinas uniformes, PA(m) =
(2 2
m+1
)Ideia: Prova para PA(m) 2
c(A) L
c(A)
L
opt Lopt c(A) L
I.e.,2 opt L+ (c(A) L) = c(A)
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Caso de mquinas uniformes
Teorema: [Finn, Horowitz] Para o jogo de balanceamento decarga em m mquinas uniformes, PA(m) =
(2 2
m+1
)Ideia: Prova para PA(m) 2
c(A) L
c(A)
L
opt Lopt c(A) L
I.e.,2 opt L+ (c(A) L) = c(A)
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Caso de mquinas uniformes
Teorema: [Finn, Horowitz] Para o jogo de balanceamento decarga em m mquinas uniformes, PA(m) =
(2 2
m+1
)Ideia: Prova para PA(m) 2
c(A) L
c(A)
L opt L
opt c(A) LI.e.,
2 opt L+ (c(A) L) = c(A)
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Caso de mquinas uniformes
Teorema: [Finn, Horowitz] Para o jogo de balanceamento decarga em m mquinas uniformes, PA(m) =
(2 2
m+1
)Ideia: Prova para PA(m) 2
c(A) L
c(A)
L opt Lopt c(A) L
I.e.,2 opt L+ (c(A) L) = c(A)
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Caso de mquinas uniformes
Teorema: [Finn, Horowitz] Para o jogo de balanceamento decarga em m mquinas uniformes, PA(m) =
(2 2
m+1
)Ideia: Prova para PA(m) 2
c(A) L
c(A)
L opt Lopt c(A) L
I.e.,2 opt L+ (c(A) L) = c(A)
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Caso de mquinas uniformes
Proposio: A anlise justa para todo m
Para m = 2, exemplo com PA = 4/3
4
3=
(2 2
2 + 1
)
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Caso de mquinas uniformes
Proposio: A anlise justa para todo m
Para m = 2, exemplo com PA = 4/3
4
3=
(2 2
2 + 1
)
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Tempo de convergncia
Teorema: [Even-dar et al.] Existe instncia com mquinasuniformes onde a poltica de resposta tima requer
(n/(m 1)2
)m1Ideia:
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Tempo de convergnciaTeorema: [Even-dar et al.] Existe instncia com mquinasuniformes onde a poltica de resposta tima requer
(n/(m 1)2
)m1
Ideia:
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1
3
1
3
9
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Tempo de convergnciaTeorema: [Even-dar et al.] Existe instncia com mquinasuniformes onde a poltica de resposta tima requer
(n/(m 1)2
)m1Ideia:
3
99
1
3
3
9
1
1
9
1
3
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Tempo de convergnciaTeorema: [Even-dar et al.] Existe instncia com mquinasuniformes onde a poltica de resposta tima requer
(n/(m 1)2
)m1Ideia:
3 3
9
9
11
33
9
1
3
9
1
1
3
1
9
9
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Tempo de convergnciaTeorema: [Even-dar et al.] Existe instncia com mquinasuniformes onde a poltica de resposta tima requer
(n/(m 1)2
)m1Ideia:
9
1
3
1
9
9
3
9
9
1
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9
3
1
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Tempo de convergnciaTeorema: [Even-dar et al.] Existe instncia com mquinasuniformes onde a poltica de resposta tima requer
(n/(m 1)2
)m1Ideia:
3
3
9
1
1
3
9
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99
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Tempo de convergnciaTeorema: [Even-dar et al.] Existe instncia com mquinasuniformes onde a poltica de resposta tima requer
(n/(m 1)2
)m1Ideia:
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3
3
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19 9
1
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1
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Tempo de convergnciaTeorema: [Even-dar et al.] Existe instncia com mquinasuniformes onde a poltica de resposta tima requer
(n/(m 1)2
)m1Ideia:
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1
3
1
9
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Tempo de convergnciaTeorema: [Even-dar et al.] Existe instncia com mquinasuniformes onde a poltica de resposta tima requer
(n/(m 1)2
)m1Ideia:
3
3
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1
1
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1
1
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Tempo de convergnciaTeorema: [Even-dar et al.] Existe instncia com mquinasuniformes onde a poltica de resposta tima requer
(n/(m 1)2
)m1Ideia:
1
3
1
9
3
3
1
1
1
31
1
9
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9
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Tempo de convergnciaTeorema: [Even-dar et al.] Existe instncia com mquinasuniformes onde a poltica de resposta tima requer
(n/(m 1)2
)m1Ideia:
1
1
1
3
9
1
3
1
9
3
3
1
3
1
99
1
9
9
9
9
3
3
3
3
99
1
1
3
1
3
9
9
9
9
3
1
3
3
3
1
1
9
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9
9
3
3
9
1
11
9
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Tempo de convergncia
Para mquinas uniformes, h sequncia curta de melhoras dequalquer atribuio inicial para um equilbrio
Poltica da resposta tima de peso mximo: Ative apenas uma tarefa insatisfeita de peso mximo por
vez Uma tarefa ativada muda para a melhor mquina
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Tempo de convergncia
Para mquinas uniformes, h sequncia curta de melhoras dequalquer atribuio inicial para um equilbrio
Poltica da resposta tima de peso mximo:
Ative apenas uma tarefa insatisfeita de peso mximo porvez
Uma tarefa ativada muda para a melhor mquina
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Tempo de convergncia
Para mquinas uniformes, h sequncia curta de melhoras dequalquer atribuio inicial para um equilbrio
Poltica da resposta tima de peso mximo: Ative apenas uma tarefa insatisfeita de peso mximo por
vez
Uma tarefa ativada muda para a melhor mquina
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Tempo de convergncia
Para mquinas uniformes, h sequncia curta de melhoras dequalquer atribuio inicial para um equilbrio
Poltica da resposta tima de peso mximo: Ative apenas uma tarefa insatisfeita de peso mximo por
vez Uma tarefa ativada muda para a melhor mquina
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Tempo de convergncia
Teorema: A poltica de resposta tima de peso mximo atingeum equilbrio depois de no mximo n passos
Ideia: Quando uma tarefa migra, torna insatisfeitas apenas
tarefas com peso menor
Isto , aps migrar uma tarefa nunca mais fica insatisfeita
Cada tarefa migra no mximo uma vez
O equilbrio atingido em no mximo n passos
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Tempo de convergncia
Teorema: A poltica de resposta tima de peso mximo atingeum equilbrio depois de no mximo n passos
Ideia: Quando uma tarefa migra, torna insatisfeitas apenas
tarefas com peso menor
Isto , aps migrar uma tarefa nunca mais fica insatisfeita
Cada tarefa migra no mximo uma vez
O equilbrio atingido em no mximo n passos
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Tempo de convergncia
Teorema: A poltica de resposta tima de peso mximo atingeum equilbrio depois de no mximo n passos
Ideia:
Quando uma tarefa migra, torna insatisfeitas apenastarefas com peso menor
Isto , aps migrar uma tarefa nunca mais fica insatisfeita
Cada tarefa migra no mximo uma vez
O equilbrio atingido em no mximo n passos
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Tempo de convergncia
Teorema: A poltica de resposta tima de peso mximo atingeum equilbrio depois de no mximo n passos
Ideia: Quando uma tarefa migra, torna insatisfeitas apenas
tarefas com peso menor
Isto , aps migrar uma tarefa nunca mais fica insatisfeita
Cada tarefa migra no mximo uma vez
O equilbrio atingido em no mximo n passos
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Tempo de convergncia
Teorema: A poltica de resposta tima de peso mximo atingeum equilbrio depois de no mximo n passos
Ideia: Quando uma tarefa migra, torna insatisfeitas apenas
tarefas com peso menor
Isto , aps migrar uma tarefa nunca mais fica insatisfeita
Cada tarefa migra no mximo uma vez
O equilbrio atingido em no mximo n passos
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Tempo de convergncia
Teorema: A poltica de resposta tima de peso mximo atingeum equilbrio depois de no mximo n passos
Ideia: Quando uma tarefa migra, torna insatisfeitas apenas
tarefas com peso menor
Isto , aps migrar uma tarefa nunca mais fica insatisfeita
Cada tarefa migra no mximo uma vez
O equilbrio atingido em no mximo n passos
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Tempo de convergncia
Teorema: A poltica de resposta tima de peso mximo atingeum equilbrio depois de no mximo n passos
Ideia: Quando uma tarefa migra, torna insatisfeitas apenas
tarefas com peso menor
Isto , aps migrar uma tarefa nunca mais fica insatisfeita
Cada tarefa migra no mximo uma vez
O equilbrio atingido em no mximo n passos
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Caso de mquinas relacionadas
Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga em mmquinas relacionadas, PA(m) =
(lgm
lg lgm
)
Tempo de convergncia ?
No caso de mquinas relacionadas, no se conhece poltica demigrao que convirja para um equilbrio em nmero polinomialde passos
Mas podemos computar um equilbrio eficientemente
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Caso de mquinas relacionadas
Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga em mmquinas relacionadas, PA(m) =
(lgm
lg lgm
)
Tempo de convergncia ?
No caso de mquinas relacionadas, no se conhece poltica demigrao que convirja para um equilbrio em nmero polinomialde passos
Mas podemos computar um equilbrio eficientemente
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Caso de mquinas relacionadas
Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga em mmquinas relacionadas, PA(m) =
(lgm
lg lgm
)
Tempo de convergncia ?
No caso de mquinas relacionadas, no se conhece poltica demigrao que convirja para um equilbrio em nmero polinomialde passos
Mas podemos computar um equilbrio eficientemente
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Caso de mquinas relacionadas
Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga em mmquinas relacionadas, PA(m) =
(lgm
lg lgm
)
Tempo de convergncia ?
No caso de mquinas relacionadas, no se conhece poltica demigrao que convirja para um equilbrio em nmero polinomialde passos
Mas podemos computar um equilbrio eficientemente
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Caso de mquinas relacionadas
Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga em mmquinas relacionadas, PA(m) =
(lgm
lg lgm
)
Tempo de convergncia ?
No caso de mquinas relacionadas, no se conhece poltica demigrao que convirja para um equilbrio em nmero polinomialde passos
Mas podemos computar um equilbrio eficientemente
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Caso de mquinas relacionadas
Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga em mmquinas relacionadas, PA(m) =
(lgm
lg lgm
)
Tempo de convergncia ?
No caso de mquinas relacionadas, no se conhece poltica demigrao que convirja para um equilbrio em nmero polinomialde passos
Mas podemos computar um equilbrio eficientemente
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Tempo de convergncia
Algoritmo LPT (LargestProcessingTime):
Atribua tarefas em ordem decrescente de peso pondo-as em mquinas que minimizem o seu custo
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Tempo de convergncia
Algoritmo LPT (LargestProcessingTime): Atribua tarefas em ordem decrescente de peso
pondo-as em mquinas que minimizem o seu custo
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Tempo de convergncia
Algoritmo LPT (LargestProcessingTime): Atribua tarefas em ordem decrescente de peso pondo-as em mquinas que minimizem o seu custo
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Tempo de convergncia
Teorema: A atribuio calculada por LPT um equilbrio
Ideia: Por induo no nmero de tarefas atribudas A atribuio de uma tarefa pode deixar insatisfeitos apenas
itens da mquina onde foi atribuda Itens anteriores so maiores ou iguais a ltima tarefa No pode haver outra mquina onde itens maiores ficariam
satisfeitos
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Teorema: A atribuio calculada por LPT um equilbrio
Ideia:
Por induo no nmero de tarefas atribudas A atribuio de uma tarefa pode deixar insatisfeitos apenas
itens da mquina onde foi atribuda Itens anteriores so maiores ou iguais a ltima tarefa No pode haver outra mquina onde itens maiores ficariam
satisfeitos
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Teorema: A atribuio calculada por LPT um equilbrio
Ideia: Por induo no nmero de tarefas atribudas
A atribuio de uma tarefa pode deixar insatisfeitos apenasitens da mquina onde foi atribuda
Itens anteriores so maiores ou iguais a ltima tarefa No pode haver outra mquina onde itens maiores ficariam
satisfeitos
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Ideia: Por induo no nmero de tarefas atribudas A atribuio de uma tarefa pode deixar insatisfeitos apenas
itens da mquina onde foi atribuda
Itens anteriores so maiores ou iguais a ltima tarefa No pode haver outra mquina onde itens maiores ficariam
satisfeitos
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Ideia: Por induo no nmero de tarefas atribudas A atribuio de uma tarefa pode deixar insatisfeitos apenas
itens da mquina onde foi atribuda Itens anteriores so maiores ou iguais a ltima tarefa
No pode haver outra mquina onde itens maiores ficariamsatisfeitos
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Teorema: A atribuio calculada por LPT um equilbrio
Ideia: Por induo no nmero de tarefas atribudas A atribuio de uma tarefa pode deixar insatisfeitos apenas
itens da mquina onde foi atribuda Itens anteriores so maiores ou iguais a ltima tarefa No pode haver outra mquina onde itens maiores ficariam
satisfeitos
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Estratgias mistas
At o momento, consideramos apenas equilbrios puros
Vamos considerar agora equilbrios mistos
Uma estratgia mista para o jogador i um vetor pi onde: pji a probabilidade da tarefa i ser alocada na mquina j Note que, A se torna uma atribuio aleatria
Seja xji a varivel aleatria binria que indica se a tarefa i alocada na mquina j
pji = P[xji = 1] ou equivalentemente p
ji = P[A(i) = j]
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At o momento, consideramos apenas equilbrios puros Vamos considerar agora equilbrios mistos
Uma estratgia mista para o jogador i um vetor pi onde: pji a probabilidade da tarefa i ser alocada na mquina j Note que, A se torna uma atribuio aleatria
Seja xji a varivel aleatria binria que indica se a tarefa i alocada na mquina j
pji = P[xji = 1] ou equivalentemente p
ji = P[A(i) = j]
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Estratgias mistas
At o momento, consideramos apenas equilbrios puros Vamos considerar agora equilbrios mistos
Uma estratgia mista para o jogador i um vetor pi onde:
pji a probabilidade da tarefa i ser alocada na mquina j Note que, A se torna uma atribuio aleatria
Seja xji a varivel aleatria binria que indica se a tarefa i alocada na mquina j
pji = P[xji = 1] ou equivalentemente p
ji = P[A(i) = j]
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Estratgias mistas
At o momento, consideramos apenas equilbrios puros Vamos considerar agora equilbrios mistos
Uma estratgia mista para o jogador i um vetor pi onde: pji a probabilidade da tarefa i ser alocada na mquina j
Note que, A se torna uma atribuio aleatria
Seja xji a varivel aleatria binria que indica se a tarefa i alocada na mquina j
pji = P[xji = 1] ou equivalentemente p
ji = P[A(i) = j]
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Estratgias mistas
At o momento, consideramos apenas equilbrios puros Vamos considerar agora equilbrios mistos
Uma estratgia mista para o jogador i um vetor pi onde: pji a probabilidade da tarefa i ser alocada na mquina j Note que, A se torna uma atribuio aleatria
Seja xji a varivel aleatria binria que indica se a tarefa i alocada na mquina j
pji = P[xji = 1] ou equivalentemente p
ji = P[A(i) = j]
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Estratgias mistas
At o momento, consideramos apenas equilbrios puros Vamos considerar agora equilbrios mistos
Uma estratgia mista para o jogador i um vetor pi onde: pji a probabilidade da tarefa i ser alocada na mquina j Note que, A se torna uma atribuio aleatria
Seja xji a varivel aleatria binria que indica se a tarefa i alocada na mquina j
pji = P[xji = 1] ou equivalentemente p
ji = P[A(i) = j]
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Estratgias mistas
At o momento, consideramos apenas equilbrios puros Vamos considerar agora equilbrios mistos
Uma estratgia mista para o jogador i um vetor pi onde: pji a probabilidade da tarefa i ser alocada na mquina j Note que, A se torna uma atribuio aleatria
Seja xji a varivel aleatria binria que indica se a tarefa i alocada na mquina j
pji = P[xji = 1] ou equivalentemente p
ji = P[A(i) = j]
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Estratgias mistasAssim, a carga esperada da mquina j
E [j] = E
i[n]
wixji
sj
= i[n]
wiE[xji]
sj=
i[n]
wipji
sj
Chamamos P = (pji )i[n],j[m] de um perfil de estratgias
O custo de P o makespan esperado, isto ,
c(P ) = E[c(A)] = E[maxj[m]
(j)
]
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Estratgias mistasAssim, a carga esperada da mquina j
E [j]
= E
i[n]
wixji
sj
= i[n]
wiE[xji]
sj=
i[n]
wipji
sj
Chamamos P = (pji )i[n],j[m] de um perfil de estratgias
O custo de P o makespan esperado, isto ,
c(P ) = E[c(A)] = E[maxj[m]
(j)
]
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Estratgias mistasAssim, a carga esperada da mquina j
E [j] = E
i[n]
wixji
sj
=i[n]
wiE[xji]
sj=
i[n]
wipji
sj
Chamamos P = (pji )i[n],j[m] de um perfil de estratgias
O custo de P o makespan esperado, isto ,
c(P ) = E[c(A)] = E[maxj[m]
(j)
]
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Estratgias mistasAssim, a carga esperada da mquina j
E [j] = E
i[n]
wixji
sj
= i[n]
wiE[xji]
sj
=i[n]
wipji
sj
Chamamos P = (pji )i[n],j[m] de um perfil de estratgias
O custo de P o makespan esperado, isto ,
c(P ) = E[c(A)] = E[maxj[m]
(j)
]
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Estratgias mistasAssim, a carga esperada da mquina j
E [j] = E
i[n]
wixji
sj
= i[n]
wiE[xji]
sj=
i[n]
wipji
sj
Chamamos P = (pji )i[n],j[m] de um perfil de estratgias
O custo de P o makespan esperado, isto ,
c(P ) = E[c(A)] = E[maxj[m]
(j)
]
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Estratgias mistasAssim, a carga esperada da mquina j
E [j] = E
i[n]
wixji
sj
= i[n]
wiE[xji]
sj=
i[n]
wipji
sj
Chamamos P = (pji )i[n],j[m] de um perfil de estratgias
O custo de P o makespan esperado, isto ,
c(P ) = E[c(A)] = E[maxj[m]
(j)
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Estratgias mistasAssim, a carga esperada da mquina j
E [j] = E
i[n]
wixji
sj
= i[n]
wiE[xji]
sj=
i[n]
wipji
sj
Chamamos P = (pji )i[n],j[m] de um perfil de estratgias
O custo de P o makespan esperado, isto ,
c(P ) = E[c(A)] = E[maxj[m]
(j)
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Estratgias mistasAssim, a carga esperada da mquina j
E [j] = E
i[n]
wixji
sj
= i[n]
wiE[xji]
sj=
i[n]
wipji
sj
Chamamos P = (pji )i[n],j[m] de um perfil de estratgias
O custo de P o makespan esperado, isto ,
c(P ) = E[c(A)] = E[maxj[m]
(j)
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Estratgias mistas
O custo de uma mquina j para a tarefa i cji = E[j|A(i) = j]
Para todo perfil de estratgias P , vale que
cji =wi +
k =iwkp
jk
sj= E(j) + (1 pji )
wisj
Proposio: Um perfil de estratgias P um equilbrio de Nashse e somente se para todo jogador i e para toda mquina j, sepji > 0 ento, para toda mquina k vale que c
ji cki
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Estratgias mistas
O custo de uma mquina j para a tarefa i cji = E[j|A(i) = j]
Para todo perfil de estratgias P , vale que
cji =wi +
k =iwkp
jk
sj= E(j) + (1 pji )
wisj
Proposio: Um perfil de estratgias P um equilbrio de Nashse e somente se para todo jogador i e para toda mquina j, sepji > 0 ento, para toda mquina k vale que c
ji cki
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Estratgias mistas
O custo de uma mquina j para a tarefa i cji = E[j|A(i) = j]
Para todo perfil de estratgias P , vale que
cji
=wi +
k =iwkp
jk
sj= E(j) + (1 pji )
wisj
Proposio: Um perfil de estratgias P um equilbrio de Nashse e somente se para todo jogador i e para toda mquina j, sepji > 0 ento, para toda mquina k vale que c
ji cki
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Estratgias mistas
O custo de uma mquina j para a tarefa i cji = E[j|A(i) = j]
Para todo perfil de estratgias P , vale que
cji =wi +
k =iwkp
jk
sj
= E(j) + (1 pji )wisj
Proposio: Um perfil de estratgias P um equilbrio de Nashse e somente se para todo jogador i e para toda mquina j, sepji > 0 ento, para toda mquina k vale que c
ji cki
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Estratgias mistas
O custo de uma mquina j para a tarefa i cji = E[j|A(i) = j]
Para todo perfil de estratgias P , vale que
cji =wi +
k =iwkp
jk
sj= E(j) + (1 pji )
wisj
Proposio: Um perfil de estratgias P um equilbrio de Nashse e somente se para todo jogador i e para toda mquina j, sepji > 0 ento, para toda mquina k vale que c
ji cki
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Estratgias mistas
O custo de uma mquina j para a tarefa i cji = E[j|A(i) = j]
Para todo perfil de estratgias P , vale que
cji =wi +
k =iwkp
jk
sj= E(j) + (1 pji )
wisj
Proposio: Um perfil de estratgias P um equilbrio de Nashse e somente se para todo jogador i e para toda mquina j, sepji > 0 ento, para toda mquina k vale que c
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