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Tópicos Especiais em Controle de Conversores Estáticos

Prof. Cassiano Rech

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1Prof. Cassiano Rech

Sumário

• Controle clássico de conversores estáticos

Ferramentas de análise e projeto de sistemas de controle

Efeitos da realimentação

Ações básicas de controle

Projeto de compensadores


Controle clássico de conversores: Introdução


• Definição das especificações

• Proposição de um circuito/conversor

• Modelagem do circuito/conversor

• Análise orientada ao projeto

• Verificação prática

• Análise sob situações críticas

• Iteração


Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto

• Existem diversas ferramentas clássicas para a análise e o projeto de compensadores, destacando-se:

Análise transitória e em regime permanente

Método do lugar das raízes

Diagrama de Bode

Diagrama de Nyquist



• Análise transitória e em regime permanente

A resposta temporal de um sistema de controle é constituída de duas partes: a resposta transitória e a resposta em regime permanente.

Por resposta transitória, entende-se aquela que vai do estado inicial ao estado final. Por resposta em regime permanente, entende-se o comportamento do sinal de saída quando t tende ao infinito.

A análise e o projeto de sistemas de controle no domínio tempo usualmente utiliza sinais de teste, tal como a função degrau.



Teorema do valor finalTeorema do valor final

O teorema do valor final estabelece que o comportamento em regime permanente de f(t) é o mesmo comportamento de sF(s) nas proximidades de s = 0. Assim, é possível obter o valor de f(t) em t = .

0

lim limt s

f f t sF s

Este teorema é aplicável se e somente se a função f(t) tende para um valor constante quanto t tende ao infinito.

Caso o sistema seja instável, ou f(t) seja, por exemplo, uma função senoidal, este teorema não se aplica.



Especificações de resposta transitóriaEspecificações de resposta transitória

1) Tempo de subida: é o tempo requerido para que a resposta passe de 0% a 100% do valor final. Para sistemas de segunda ordem o tempo de subida depende tanto do coeficiente de amortecimento quanto da freqüência natural. Quanto maior a freqüência natural e menor o coeficiente de amortecimento, menor será o tempo de subida.




2) Tempo de acomodação: é o tempo necessário para que a curva de resposta alcance valores em um faixa (usualmente 2% ou 5%) em torno do valor final, permanecendo indefinidamente. Está relacionado com a maior constante de tempo do sistema de controle.

44s

n

t T

33s

n

t T

(2%)

(5%)




3) Máximo sobre-sinal: é o valor máximo de pico da curva de resposta, medido a partir da unidade. Para um sistema de segunda ordem, seu valor depende somente do coeficiente de amortecimento.

21

pM e



• Método do lugar das raízes

A característica básica da resposta transitória de um sistema em malha fechada depende essencialmente da localização dos pólos de malha fechada

O lugar das raízes é o lugar das raízes da equação característica do sistema em malha fechada quando um parâmetro específico (normalmente um ganho K) varia de zero a infinito.

O gráfico obtido mostra claramente as contribuições de cada pólo ou zero de malha aberta nas localizações dos pólos de malha fechada.


Considere o sistema em malha fechada mostrado abaixo:


K G(s)

H(s)

R(s)+

_

C(s)

A função de transferência em malha fechada (FTMF) é:

1

C s K G s

R s K G s H s



Os pólos do sistema em malha fechada são as raízes da equação característica, dada por:

1 0K G s H s

1 2

1 2

...1 0

...m

n

s z s z s zK

s p s p s p

Quando K = 0, os pólos do sistema em malha fechada são iguais aos pólos do sistema em malha aberta.

Quando K , os pólos do sistema em malha fechada são iguais aos zeros do sistema em malha aberta.

Então, variando K de zero até infinito obtém-se o lugar das raízes do sistema em malha fechada, a partir dos pólos e zeros do sistema em malha aberta.


Regiões de interessedo plano complexo



-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

1) Linhas de coeficiente de amortecimento constante são linhas radiais que passam pela origem. No eixo imaginário tem-se que = 0. No eixo real, 1.





2) No semi-plano direito < 0. Logo, o sistema não pode apresentar pólos em malha fechada no semi-plano direito, pois será INSTÁVEL.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Axis

Imag

inar

y A

xis





-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

3) Os lugares de freqüência natural n constantes são

círculos com centro na origem do plano complexo.





-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

4) Os lugares de tempo de acomodação constantes são linhas paralelas ao eixo imaginário.


• Exemplo

Conversor BUCK em malha fechada com controle proporcional

2

1ˆ

ˆ 1 1o

in

v s LCVd s s s

RC LC

Vin = 100 V

L = 250 H

C = 220 F

R = 2

f = 50 kHz

Vo = 50 V



-3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

4

0.0850.1150.17

0.26

0.5

2.5e+003

7.5e+003

1.25e+004

1.75e+004

2.5e+003

7.5e+003

1.25e+004

1.75e+004

0.0160.0360.0560.0850.1150.17

0.26

0.5

0.0160.0360.056

Real Axis

Ima

gin

ary

Axi

s




0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tempo (s)

Te

nsã

o (

V)

K = 1

K = 0,1

K = 0,01



• Diagrama de Bode

O termo resposta em freqüência significa a resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal.

Nos métodos de resposta em freqüência, variamos a freqüência do sinal de entrada dentro de um certo intervalo e estudamos a resposta resultante.

A informação que obtemos com base nessa ferramenta é diferente da que é obtida na análise baseada no lugar das raízes. Em muitos projetos práticos de sistemas de controle, ambos os métodos são empregados.

Um diagrama de Bode é constituído de dois gráficos: gráfico do módulo em dB de uma função de transferência e gráfico do ângulo de fase. Ambos são traçados em relação à freqüência em escala logarítmica.



Informações relevantesInformações relevantes

• Freqüência de cruzamento do ganho (crossover frequency): é definida como a freqüência em que o ganho é unitário ou 0 dB. Quanto maior é a freqüência de cruzamento maior será a capacidade do conversor sintetizar sinais de freqüência elevada e sua resposta transitória poderá ser mais rápida.

• Margem de fase: é o atraso de fase adicional na freqüência de cruzamento de ganho da função de transferência em malha aberta (FTMA), necessária para que o sistema atinja o limiar de instabilidade. Quanto menor a margem de fase, mais próximo da instabilidade o sistema em malha fechada se encontra.

• Margem de ganho: a margem de ganho é o recíproco do módulo na freqüência em que o ângulo é -180º. Para um sistema de fase mínima estável, a margem de ganho indica em quanto pode ser aumentado o ganho antes que o sistema se torne instável. Para um sistema instável, a margem de ganho indica o quanto o ganho deve decrescer para estabilizar o sistema em malha fechada.

• Erro estático: quanto maior for o módulo da FTMA na freqüência de interesse, menor será o erro estático.



-60

-40

-20

0

20

40

60

Mag

nitu

de (

dB)

Frequency (rad/sec)

102

103

104

105

-180

-135

-90

-45

0

System: ftmaPhase Margin (deg): 3.07Delay Margin (sec): 1.25e-006At frequency (rad/sec): 4.28e+004Closed Loop Stable? Yes

System: ftmaPhase Margin (deg): 10.1Delay Margin (sec): 1.26e-005At frequency (rad/sec): 1.4e+004Closed Loop Stable? Yes

Pha

se (

deg)

At frequency (rad/sec): 5.59e+003

System: ftmaPhase Margin (deg): 44.3Delay Margin (sec): 0.000138

Closed Loop Stable? Yes

K = 1K = 0,1

K = 0,01


Controle clássico de conversores: Efeitos da realimentação

Os sinais de saída dos conversores estáticos são uma função das fontes de energia, das razões cíclicas dos interruptores e da carga, assim como dos parâmetros do conversor.

Então, não podemos esperar que os sinais de saída se manterão ajustados nos valores de interesse para todas as condições de operação, apenas mantendo a razão cíclica fixa.



O objetivo da realimentação é construir um circuito que ajuste, quando necessário, a razão cíclica automaticamente para obter os sinais de saída desejados, mesmo com distúrbios nas fontes de energia e na carga, ou com variações paramétricas.



Para analisar os efeitos da realimentação no desempenho do sistema em malha fechada, iremos utilizar o seguinte diagrama de blocos que representa o modelo de pequenos sinais do sistema em malha fechada.



Uma vez que existem três sinais de entrada, a tensão de saída pode ser obtida por superposição:



Função de transferência entre a tensão de saída e a tensão de referênciaFunção de transferência entre a tensão de saída e a tensão de referência



Função de transferência entre a tensão de saída e a tensão de entradaFunção de transferência entre a tensão de saída e a tensão de entrada



Função de transferência entre a tensão de saída e a corrente na cargaFunção de transferência entre a tensão de saída e a corrente na carga



Relação entre margem de fase e coeficiente de amortecimento em malha fechada

Relação entre margem de fase e coeficiente de amortecimento em malha fechada

• Qual a margem de fase (m) necessária?

• Uma pequena margem de fase resulta em FTMF com reduzido coeficiente de amortecimento.

1

2Q


Controle clássico de conversores: Ações básicas de controle

• Proporcional: para um controlador com ação de controle proporcional, a saída do compensador é proporcional ao sinal de erro.

pu t e t pU s E s

• Integral: no controle integral, o sinal de saída do compensador em qualquer instante é a área sob a curva do sinal de erro, até aquele momento.

0

t

iu t e t dt i

E sU s

s

O sinal de controle pode ter um valor não-nulo mesmo quando o sinal de erro for zero. Isso é impossível para o controlador proporcional.

Embora a ação de controle integral remova o erro em regime permanente, para entradas do tipo degrau, pode conduzir a uma resposta oscilatória ou até mesmo instável.


Controle clássico de conversores: Ações básicas de controle

• Derivativo: A ação de controle derivativo responde a uma taxa de variação do erro e pode produzir uma correção significativa antes que o valor do erro atuante se torne muito elevado.

d

de tu t

dt dU s sE s

Portanto, o controle derivativo prevê o erro, inicia uma correção antecipada e tende a aumentar a estabilidade do sistema.

Embora o controle derivativo não afete diretamente o erro estacionário, ele aumenta o amortecimento do sistema, permitindo o uso de ganho proporcional mais elevado, o que vai resultar em maior precisão em regime permanente.


Controle clássico de conversores: Projeto de compensadores

• As variáveis controladas devem permanecer dentro de uma faixa especificada mesmo com variações na carga (ganho em malha aberta elevado).

• As variáveis controladas devem permanecer dentro de uma faixa especificada mesmo com variações nas fontes de energia (ganho em malha aberta elevado).

• O sistema deve responder a distúrbios com uma resposta transitória satisfatória. Tipicamente, o tempo de resposta pode ser diminuído ao aumentar a freqüência de cruzamento do sistema realimentado.

• As variáveis controladas usualmente devem apresentar sobre-sinal e oscilações reduzidas. Isto implica que a margem de fase deve ser suficientemente grande.

EspecificaçõesEspecificações



• Empregado para aumentar a margem de fase.

• A freqüência de cruzamento do sistema realimentado também pode ser aumentada, mantendo uma margem de fase adequada.

• Um zero é adicionado na FTMA, em uma freqüência fz suficientemente menor que a freqüência de cruzamento fc, tal que a margem de fase de T(s) é aumentada de um valor desejado.

• Devido à inclusão do zero, o ganho do compensador aumenta com a freqüência em uma taxa de +20 db/dec. Caso o ganho do compensador seja elevado na freqüência de comutação, os harmônicos produzidos pelas comutações serão amplificados pelo compensador e podem prejudicar a operação do PWM.

• Assim, é usual adicionar pólo(s) em freqüência(s) menor(es) que a freqüência de comutação.

• Normalmente, a freqüência de cruzamento é limitada em torno de 10% da freqüência de comutação.

Compensador em avanço (Proporcional-Derivativo – PD)Compensador em avanço (Proporcional-Derivativo – PD)



0

1

1

zc c

p

s

G s Gs



A máxima defasagem introduzida pelo compensador ocorre na freqüência fmax,

dada pela média geométrica das freqüências do zero e do pólo:

max z pf f f

Para obter o máxima acréscimo na margem de fase, o compensador deve ser projetado para que a freqüência fmax coincida com a freqüência de cruzamento

desejada. Esta especificação é alcançada quando:

1 sen

1 senz cf f

1 sen

1 senp cf f

onde é o avanço de fase introduzido pelo compensador para atingir a margem de fase desejada. O ganho do compensador deve ser selecionado para selecionar a freqüência de cruzamento desejada.



• Empregado para aumentar o ganho em malha aberta em baixas freqüências, de tal forma que a saída apresenta melhor regulação em freqüências bem abaixo da freqüência de cruzamento do ganho.

• Um pólo é adicionado na origem para aumentar o ganho CC da FTMA.

• Com a inclusão do pólo na origem, o erro em regime permanente é nulo para entradas do tipo degrau. Além disso, a função de transferência da saída em relação a um distúrbio é zero para corrente contínua.

• Um zero é adicionado em uma freqüência fL suficientemente menor que a freqüência do cruzamento do ganho (usualmente uma década abaixo), de tal forma que a margem de fase não se modifique.

• O ganho do compensador deve ser selecionado para selecionar a freqüência de cruzamento desejada.

Compensador em atraso (Proporcional-Integral – PI)Compensador em atraso (Proporcional-Integral – PI)



1 Lc cG s G

s



• As vantagens dos compensadores PD e PI podem ser combinadas para obter uma larga banda passante e para eliminar o erro em regime permanente

• Em baixas freqüências, o compensador integra o sinal de erro, aumentando o ganho CC da FTMA e melhorando a regulação em baixa freqüência das variáveis a serem controladas.

• Em altas freqüências, em torno da freqüência de cruzamento, o compensador introduz um avanço de fase na FTMA, melhorando a margem de fase.

Compensador Proporcional-Integral-Derivativo – PID)Compensador Proporcional-Integral-Derivativo – PID)



1 1

1

L

zc cm

p

ss

G s Gs

Bibliografia

42

• R. W. Erickson, D. Maksimovic, “Fundamentals of Power Electronics”, Second edition.

• J. G. Kassakian, M. F. Schlecht, G. C. Verghese, “Principles of Power Electronics”.

• K. Ogata, “Engenharia de Controle Moderno”, 4ª edição.

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