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Tópicos Fundamentais de Cálculo Proposicional

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Tópicos Fundamentais

de

Cálculo Proposicional

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Um problema a resolver com lógica:

No seguimento do assalto a um Banco, as investigações policiais permitiram a identificação de três indivíduos (o João, o Manuel e a Ana) como suspeitos e a certeza de que pelo menos um deles é culpado.

As informações recolhidas durante a investigação policial levaram ainda às seguintes conclusões: se o Manuel está metido no assunto, a Ana também está; se o João é culpado e o Manuel inocente, então a Ana é culpada; o João nunca faz equipa com a Ana; a Ana não podia fazer isto sozinha.

Quem efetuou o assalto?

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Linguagem Natural e Linguagem Formalizada

Argumentos em linguagem natural

Linguagem Formalizada(conjunto de fórmulas bem formadas)

Tradução 1:Redução das proposições a símbolos não interpretados(variáveis proposicionais)

Proposições expressas em

linguagem natural , empiricamente contrastáveis

Tradução 2 Interpretação semântica

das fórmulas bem formadas

Objeto do Cálculo Proposicional oProposições oRelações formais entre proposições

Uma linguagem:oVariáveis proposicionaisoOperdadoes

Uma sintaxe:oRegras de formaçãooRegras de transformação

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Dois pressupostos do Cálculo Proposicional

1º Pressuposto:

As proposições atómicas só admitem dois valores de verdade:

O verdadeiro O Falso

2º Pressuposto:

O valor de verdade das

proposições complexas depende exclusivamente do valor de verdade das proposições atómicas.

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Uma Linguagem FormalVariáveis proposicionais:

Símbolos (p, q, r, s, …) em vez de proposições

Operadores lógicos:(ou conetores ouconetivas ouoperadoresverofuncionais)

Separadores:Sinais de pontuação : (…), [(…]], {[(…)]}

Operador unário: Negação ( ou )

Operadores binários: Conjunção ( )

Disjunção ( )

Implicação ( )

Equivalência

( )

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Regras de Formação e

Expressões Bem Formadas (ebf)

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Das linguagens naturais à

linguagem do Cálculo Proposicional

As proposições simples (atómicas):

expressas a través de frases declarati- vas simples;

são substituídas por símbolos (variáveis proposicionais).

As proposições complexas (moleculares), relacionam logicamente pro- posições simples, são representadas:

pelos simbolos (variáveis proposicionais) que repre-sentam as proposições simples;

e pelos operadores lógicos que representam as rela-ções formais entre as vari-áveis proposicionais.

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Das linguagens naturais à

linguagem do Cálculo Proposicional

Proposições simples(atómicas)

Descartes é francês ( p ) Kant é alemão ( q )

Proposições complexas(moleculares)

Descartes é francês e Kant é alemão pqDescartes é francês ou Kant é alemão pqSe Descartes é francês, então Kant é alemão pq

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Operações lógicas e tabelas de verdadeUma variável proposicional simboliza uma proposição.Se uma proposição é verdadeira ou falsa, o mesmo não se po- de dizer de uma variável proposicional.Mas as variáveis proposicionais, em lógica bivalente, podem assumir um de dois valores de verdade, distribuídos numa ta- bela de verdade: Verdadeiro (V) ou Falso (F).Uma tabela de verdade regista todos os valores de verdade que uma variável ou uma expressão proposicional pode as- sumirAssim, as variáveis proposicionais p e q atrás referidas têm as seguintes tabelas de verdade.

p qV VF F

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Operações lógicas e tabelas de verdade

Notação Formalização Tradução Exemplos

ou p p

Não pNegação de pÉ falso que p Não é verdade que pNão é o caso que p

Descartes não é alemãoÉ falso que Descartes seja alemão.Não é verdade que Descartes seja alemão.Não é o caso que Descartes seja alemão

Operador Negação

Tabela de verdade da negação

p p

V F

F V

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Operações lógicas e tabelas de verdade

Notação Formalização Tradução Exemplos

p q p e q Descartes é francês e Kant é alemão.Descartes é francês, mas Kant é alemão.

Operador Conjunção

Tabela de verdade da conjunção

p, q p q

V, V V

V, F F

F, V F

F, V F

A conjunção só é verdadeira na circunstância em que as as duas conjuntas são verdadeiras. Em todas as outras circunstâncias a conjunção é falsa.

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Operações lógicas e tabelas de verdade

Notação Formalização Tradução Exemplos

p q p ou q Descartes é francês ou Kant é alemão.

Operador Disjunção

Tabela de verdade da disjunção

p, q p q

V, V V

V, F V

F, V V

F, V F

A disjunção só é falsa na circunstância em que as duas disjuntas são falsas. Em todas as outras circunstâncias a disjunção é verdadeira.A verdade da disjunção apenas nos compromete com a verdade de uma das disjuntas.

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Operações lógicas e tabelas de verdade

Notação Formalização Tradução Exemplos

p q Se p então q Se Descartes é francês então Kant é alemão.Descartes é francês, a não ser que Kant seja alemão.

Operador Condicional ou Implicação Material

Tabela de verdade da implicação

p, q p q

V, V V

V, F F

F, V V

F, V V

A condicional só é falsa na circunstância em que a antecedente é verdadeira e a consequente falsa. Em todas as outras circunstâncias a condicional é verdadeira. Assim, qualquer condicional como uma antecedente falsa é verdadeira.

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Operações lógicas e tabelas de verdade

Notação Formalização Tradução Exemplos

P q p se e só se q Descartes não é francês e Kant é alemão.Descartes é francês, mas Kant é alemão.

Operador Bicondicional ou Equivalência

Tabela de verdade da Equivalência

p, q p q

V, V V

V, F F

F, V F

F, F V

A bicondicional é verdadeira na circunstância em que as variáveis proposicioanis são ambas verdadeiras ou são ambas falsas. Em qualquer outra circunstância é falsa.

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Tabelas de verdade de proposições complexasA noção de âmbito de uma conetiva:

O âmbito de uma conetiva é o conjunto das variáveis propo- sicionais que por ela são afetadas.O uso de parêntesis (quais sinais de pontuação) ajuda a de- limitar o âmbito de uma conetiva.

Exemplos:P p q p q p q p q

p q p q p q p q (pq) (p q) p (q p) p v [q (p q)]

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Exercícios com tabelas de verdade

Construa a tabela de verdade das seguintes proposições complexas.

pq

pq

(pq)

(pq)

(pq)

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Exercícios com tabelas de verdade

Construa a tabela de verdade das seguintes proposições complexas.

(pq)r

p(qr)

q(pr)

[(qr)(pr)](rp)

[(pq)r](rp)

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Formalização de Proposições Complexas

Converta para linguagem do cálculo proposicional:

1)Se a caixa é amarela, então a bola não é verde.

2)Se eu sou jogador, então a bola não é verde

3)A caixa não é amarela ou a bola não é verde

4)A bola é verde, se e só se a caixa é amarela5)Os aventureiros são destemidos e heróis. Os cobardes ficam em casa.

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Formalização de Proposições Complexas

Converta para linguagem do cálculo proposicional:

1)Se está sol e a leitura é agradável, então estudo.

2)Se Deus é omnipotente, o mundo é perfeito. Se o mundo é perfeito, o homem não sofre. Assim, se Deus é omnipotente, o homem não sofre.

3)Se os homens são racionais, têm consciência do que fazem. Os doentes mentais não têm consciência do que fazem. É claro que os doentes mentais não são racionais.

4)A inteligência é fundamental, a não ser que as emoções e a sensibilidade sejam controláveis. Mas as emoções e a sensibilidade não são controláveis. Por conseguinte, a inteligência é fundamental.

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Tautologias, Contradições, Contingências

Construa as tabelas de verdade das seguintes proposições complexas:

(pq)(qp)

(pq)r

(pq)(pq)

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Contradição: é uma fórmula proposicional que é sempre falsa, seja qual for o valor lógico das proposições elementares que a constituem.

A contradição é necessariamente falsa, não por razões empíricas, mas apenas pela sua estrutura lógica.

Tautologias, Contradições, ContingênciasTautologia : é uma fórmula proposicional que é sempre verdadeira, qualquer

que seja o valor de verdade dos enunciados que a compõem.• A sua verdade depende apenas da sua estrutura lógica, indepen- dentemente do valor de verdade das proposições atómicas que as constituem.• O seu valor de verdade não depende da experiência empírica que temos do mundo. Tais fórmulas lógicas são válidas em to- dos os mundos possíveis.

Contingentes (indeterminadas): são fórmulas proposicionais que podem ser verdadeiras ou falsas, em função do valor de verdade das proposições atómicas que as constituem.Só o recurso ao domínio empírico pode decidir do respetivo valor de verdade.

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Tautologias, Contradições, Contingências

Para cada uma das expressões proposicionais seguintes, verifique se é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência.

(pq)(pq)

(pq)q

[(pq)q]p

(pq)(pq)

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Análise de Proposições Complexas e Avaliação de ArgumentosO método dos Inspetores de Circunstâncias

Até agora trabalhamos com fórmulas proposicionais, sem ter em conta se se trata ou não de argumentos.

Há fórmulas proposicionais que são argumentos.Há fórmulas proposicionais que não são argumentos

Um argumento é uma sequência de proposições ordenadas de tal forma que uma delas é a conclusão e a(s) outra(s) é (são) as premissas.

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Análise de Proposições Complexas e Avaliação de ArgumentosO método dos Inspetores de Circunstâncias

Há argumentos

válidos e argumentos não válidos

Há argumentos dedutivos e argumentos

não dedutivos A Lógica Formal considera apenas

os argumentos dedutivos

Um argumento dedutivo válido que parte de premissas verdadeiras conduz a uma conclusão verdadeira:

Num argumento dedutivo válido, as premissas implicam a conclusão.As premissas implicam a conclusão se for impossível que, sendo as premissas verdadeiras, a conclusão seja falsa.

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Análise de Proposições Complexas e Avaliação de ArgumentosO método do Inspetor de Circunstâncias

Uma vez que as condições de verdade das conetivas se podem representar em tabelas de verdade, podemos também usar sequências de tabelas de verdade para testar a validade de argumentos baseados nas conectivas.

O método das tabelas de verdade serve para determinar o valor de verdade de proposições atómicas ou moleculares. O método do inspetor de circunstâncias serve para testar a validade dos argumentos. Um argumento não tem valores de verdade, é válido ou não válido.

O método do inspetor de circunstâncias consiste em apresentar, lado a lado, as tabelas das premissas e da conclusão e verificar se há ou não um caso em que, sendo as premissas ver dadeiras, a conclusão seja falsa

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Análise de Proposições Complexas e Avaliação de ArgumentosO método do Inspetor de Circunstâncias

Exemplo 1:

O João copiou ou o João estudouOra o João não copiouLogo, o João estudou

Dicionário: Simbolicamente:

p: O João copiou pqq: O João estudou. p q

O argumento pode ainda ser representado por uma sequência de tabelas de verdade, como abaixo

p, q pq p ╞ q

V, V V F V

V, F V F F

F, V V V V

F, F F V F

Mas o argumento também pode ser representado assim: “pq, ~p q╞ ”. As premissas estão separadas por vírgulas e o símbolo “ ”, chamado ╞“martelo semântico” e que se lê “logo”, precede a conclusão, separando-a das premissas.

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Análise de Proposições Complexas e Avaliação de ArgumentosO método do Inspetor de Circunstâncias

p, q pq p ╞ q

V, V V F V

V, F V F F

F, V V V V

F, F F V F

O dispositivo gráfico (o inspetor de circunstâncias) mostra todas as circunstâncias (linhas) possíveis para a combinação dos valores de verdade de p e de q (1ª coluna), bem como os valores de verdade que, nessas circunstâncias, são assumidos por cada uma das premissas e pela conclusão.

Observando o inspetor de circunstâncias, verifica-se que: Consideradas todas as linhas, não acontece que a premissas verda- deiras se suceda uma conclusão falsa. Como o inspetor esgota as circunstâncias (linhas) possíveis, prova-se que é impossível que a premissas verdadeiras se suceda uma con- clusão falsa. Assim, o argumento é válido.

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Análise de Proposições Complexas e Avaliação de ArgumentosO método do Inspetor de Circunstâncias

Exemplo 2:

Sócrates é romano ou grego.Logo, é romano

Dicionário: Simbolicamente:p: Sócrates é romano pqq: Sócrates é grego. p

O argumento pode ainda ser representado por uma sequência de tabelas de verdade, como abaixo

p, q pq ╞ pV, V V V

V, F V V

F, V V F

F, F F F

Mas o argumento também pode ser representado assim: “pq p╞ ”.

O argumento é inválido: Numa das circunstâncias em que a premissa é verdadeira, a conclusão é falsa. Neste argumento, a conclusão pode ser falsa, ainda que a premissa seja verdadeira – precisamente o que não pode acontecer num argumento váli- do.

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Análise de Proposições Complexas e Avaliação de ArgumentosO método do Inspetor de Circunstâncias

1.Pode parecer que o argumento é válido nas duas primeiras circunstâncias (duas primeiras linhas) e inválido na terceira.

Mas tenha-se em conta o seguinte:

Não se pode dar o caso de um argumento ser válido uma vezes e não válido outras vezes. Um argumento ou é válido ou não é válido.

2.Um argumento válido é aquele em que, em todas as circunstân- cias (linhas) em que as premissas sejam verdadeiras, a conclu- são também o seja.

Notas complementares:

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3.Importa não esquecer estes dois pontos sobre o argumento válido:

• Se tem premissas verdadeiras, não pode ter conclusão falsa; • Se tem conclusão falsa, então pelo menos uma das premissas é falsa.

4.Um argumento válido que parte de premissas verdadeiras leva necessariamente a uma conclusão verdadeira.

Análise de Proposições Complexas e Avaliação de ArgumentosO método do Inspetor de Circunstâncias

Notas complementares – (Cont.):

5.Um argumento que respeite as duas condições para garantir a verdade da conclusão — a de ser válido e a de ter premissas verdadeiras — cumpre o objetivo de todo o argumento dedutivo e chamamos-lhe argumento sólido.

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Análise de Proposições Complexas e Avaliação de ArgumentosO método do Inspetor de Circunstâncias

Argumento Válido vs Argumento SólidoExemplo 3:

As baleias são peixes ou as baleias são insetosOra, as baleias não são insetos.Logo, as baleias são peixes.

Para:p –as baleias são peixes;q – as baleias são insetos

p q, q ╞ p

p, q pq q ╞ p

V, V V F V

V, F V V V

F, V V F F

F, F F V F

O argumento é válido – em nenhuma circunstância se verifica que a premis- sas verdadeiras se suceda uma conclusão falsa (tem a mesma forma do argu- mento do exemplo 1). Mas, em vez de ser sólido, este é um argumento muito mau: a primeira pre- missa é uma falsidade grosseira, como o é também a conclusão.

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Análise de Proposições Complexas e Avaliação de ArgumentosO método do Inspetor de Circunstâncias

Exemplo 4:

Se a baleia é um mamífero, então a baleia não é um inseto.Ora, a baleia não é um inseto.Logo, a baleia é um mamífero

Para:p – A baleia é um mamíferoq – A baleia é um inseto

pq, q ╞ p

p, q pq q ╞ p

V, V F F V

V, F V V V

F, V V F F

F, F V V F

Neste argumento, como se sabe, tanto as premissas como a conclusão são verda-deiras.Mas o argumento não é válido – na quarta linha, as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa.Não sendo o argumento válido, obviamente também não é sólido – o facto de a conclusão ser verdadeira é irrelevante – o inspetor prova que tal acontece por acaso, não por a conclusão ser implicada pelas premissas.

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Formas de Inferência Válidas

Recapitulando 1:

Tautologias

São leis lógicas (assu-mem sempre o valor de verdade “verdadeiro”, para todos os valores de verdade que as vari-áveis proposicionais nelas contidas possam assumir.

Contradições

São impossibilidades ló-gicas (necessariamente falsas, pela sua estrutura formal, para todos os va-lores de verdade que as variáveis proposicionais nelas contidas possam assumir).

Contingentes

O valor de verdade das ex-pressões contingentes só pode ser decidido por re-curso à tradução das suas variáveis proposicionais em proposições empiricamente significantes.

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Formas de Inferência VálidasRecapitulando 2:

Por inferência entende-se o processo pelo qual, partindo de certas proposições dadas (premissas), se obtém, por dedução, outra proposição (conclusão).

O que sustenta a conclusão

O valor de verdade das premissas

A validade do processo de passagem das

premissas à conclusão+

Se as premissas forem verdadeiras e se a derivação lógica (dedução) for válida, a conclusão é necessariamente verdadeira

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Assim:Formas de Inferência Válidas

A passagem das premissas à conclusão assenta apenas em regras lógicas (tautologias) que lhe servem de garantia formal.

As tautologias funcionam como fórmulas intermediárias cuja função é estabelecer uma relação lógica entre as premissas e a conclusão.

As tautologias apresentam-se assim como regras de derivação (regras de transformação)que permitem substituir umas proposições (premissas) por outras que lhes são equivalentes.

O processo dedutivo (de caráter puramente lógico, formal) assenta apenas em bases lógicas.

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Formas de Inferência VálidasAlgumas regras de inferência:

O modus ponens (de ponere = afirmar):

Dada uma condicional, afirmar o antecedente implica afirmar o consequente).

( p → q ) p → q

Dada a afirmação (p →q), a afirmação da verdade de p implica a afirmação da verdade de q.

Modus Tollens (de tollere - negar)

Dada uma condicional, negar o consequente implica negar o antecedente.

( p → q ) q → p

Dada a afirmação ( p → q ), a negação da verdade de q implica a negação da verdade de p.

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Formas de Inferência VálidasMais regras de inferência:

As Leis de Morgan:

Negação da conjunção:

(p p) ↔(p q) (primeira lei de Morgan)

Negação da disjunção:

(pp) ↔(pq) (segunda lei de Morgan).

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Falácias FormaisA lógica trata da análise da estrutura formal do raciocínio, tendo em vista determinar a sua correção (formal).

Mas... determinar a correção do raciocínio é também determinar em que condições um raciocí-nio é incorreto.

Nem sempre a correção (ou incorreção) de um raciocínio se nota imediatamente.

Acontece mesmo, por vezes, que o raciocínio incorreto (que contém em si um erro lógico) se apresente aparentemente como verdadeiro.

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Falácias Formais

Uma falácia é um raciocínio incorreto (ainda que aparentemente possa parecer correto).

Uma falácia é um erro de raciocínio (um erro lógico).

A falácia manifesta-se como:uma verdade aparente que dá ao raciocínio uma força persuasiva injustificada.

um erro oculto (uma infração das regras do pensamento correto) – porque admite premissas falsas ou porque delas extrai conclusões ilegítimas.

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Falácias Formais

Tipos de Falácias:

Antes de mais uma falácia pode ser: • involuntária (um erro lógico não intencional) e chama-se paralogismo • ou voluntária (um erro lógico intencional, visando enganar o interlocutor) e chama-se sofisma.

Além disso, as falácias podem ser:

• formais (do domínio lógico-dedutivo); • informais (delas trataremos noutro capítulo)

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Falácias Formais

A dedução é uma operação que se funda exclusivamente em regras formais de inferência.

Dada a verdade das premissas e respeitadas as regras formais de inferência, a conclusão é necessariamente verdadeira.

Viu-se que, em termos de cálculo proposicional, uma inferência só é válida se é uma tautologia.

Um raciocínio válido pode sempre ser reduzido a uma tautologia.

Sermpre que há violação de uma regra de infer~encia dedutiva

Falácias Dedutivas (Falácias Formais)

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Sempre que há violação de uma regra de inferência dedutiva, há uma falácia formal.

Falácias Formais

Exemplos de argumentos dedutivos válidos e respe-tivas falácias formais:

A um argumento válido pode sempre estar associada uma falácia (por violação das regras de inferência válida.

Argumento válido FaláciaModus ponens:Afirmando o antecedente, afirma-se o consequente

Falácia do modus ponens:Afirmando o consequente, afirma-se o antecedente

( p → q ) p → q ( p → q ) q → p

Modus tollens:Negando o consequente, nega-se o antecedente

Falácia do modus tollensNegando o antecedente, nega-se o consequente

( p → q ) q → p ( p → q ) p → q

Sempre que há violação de uma regra de inferência dedutiva, há uma falácia formal.