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TOPOLOGIA ALGEBRICA: GRUPOFUNDAMENTAL

Mauricio A. VilchesDepartamento de Analise

IME-UERJ

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Copyright by Mauricio A. VilchesTodos os direitos reservados

Proibida a reproducao parcial ou total

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PREFACIO

Um dos problemas basicos da Topologia e saber se dois espacos sao ho-meomorfos ou nao. Na verdade nao existem metodos gerais para resol-ver esta questao.

Verificar se dois espacos sao homeomorfos consiste em encontrar umafuncao contınua, bijetiva com inversa contınua, entre ambos os espacos.Agora provar que dois espacos nao sao homeomorfos e muito mais com-plicado pois e necessario provar que nao existe nenhuma funcao contı-nua, bijetiva com inversa contınua, entre ambos os espacos.

A Topologia Algebrica naceu nas ultimas decadas do seculo XIX, quan-do no ano de 1894 o eminente matematico frances Henri Poincare apre-sentou uma serie de trabalhos onde fundamentou a Topologia Algebrica,com o nome de Analisys Situs. Dentre as descobertas de Poincare, desta-cam-se os conceitos de homotopia e de grupo fundamental, alem de al-guns teoremas, muitos dos quais somente foram provados muitos anosdepois (1931), essencialmente por de de Rham. Poincare, entendeu queexistia uma profunda relacao entre a estrutura topologica de um espacoe seu grupo fundamental. Ele, entre outras coisas, tentava estabelecerquando duas superfıcies sao homeomorfas ou nao.

A ideia fundamental da Topologia Algebrica e associar, de forma unıvo-ca a espacos e propriedades topologicas, estruturas e propriedades alge-bricas. A vantagem deste tratamento e a riqueza que possui a Algebra,obtida atraves de milenios, o que nao acontece com a Topologia. Porexemplo, nos espacos topologicos, os seus elementos nao podem ser so-mados, ja a soma de grupos e um grupo.

Nestas notas, que sao introdutorias, associaremos a espacos topologicos,funcoes contınuas e homeomorfismos, grupos, homomorfismos de gru-pos e isomorfismos de grupos de tal forma que estudando as proprie-dades algebricas possamos extrair consequencias sobre a geometria e atopologia do espaco em questao. Por exemplo, e posıvel provar que otoro e a garrafa de Klein nao sao homeomorfas, pois seus grupos funda-mentais nao sao isomorfos. Ja provar que S2 e S3 nao sao homemorfas

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e muito mais difıcil e com os conceitos estudados nestas notas nao serapossıvel provar este fato.

Nestas notas, exigiremos conhecimentos solidos de Topologia Geral e omınimo em relacao aos conhecimentos de Teoria dos Grupos.

Desejo agradecer ao meu aluno Andre T. Machado pela motivacao de fa-zer estas notas e de forma muito especial a minha colega professora Ma-ria Luiza Correa pela leitura rigorosa dos mauscritos, alem dos inumeroscomentarios e observacoes, os quais permitiram dar clareza aos topicosestudados.Certamente, todos os erros sao exclusivamente de responsabilidade dosautores.

Mauricio A. VilchesRio de Janeiro - Brasil

Conteudo

1 HOMOTOPIA 91.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Propriedades das Homotopias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Homotopia e Campos de Vetores na Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Homotopia Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Tipo de Homotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Espacos Contrateis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.8 Retratos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.9 Homotopia e Extensao de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.10 Homotopia de Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.11 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 GRUPO FUNDAMENTAL 412.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2 Mudanca do Ponto Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3 Homomorfismo Induzido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4 Espacos Simplesmente Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5 Grupos de Homotopias Abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 GRUPO FUNDAMENTAL DO CIRCULO 693.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2 Levantamento de Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3 O Grupo Fundamental do Cırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4 Algumas Consequencias do Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5 Grupo Fundamental do Espaco Projetivo Real . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.6 O Grupo Fundamental de RPn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.6.1 Geradores do grupo π1

(RPn, p0

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.7 Aplicacoes do Teorema de Borsuk-Ulam . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.8 Grupo Fundamental de Grupos Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.9 O grupo SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

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6 CONTEUDO

3.10 O Grupo Fundamental de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.11 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4 ESPACOS DE RECOBRIMENTOS 954.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2 Recobrimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3 A Faixa de Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4 Recobrimentos de G-espacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.5 Espacos Lenticulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.6 Levantamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5 RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL 1135.1 Criterio Geral de Levantamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.2 Grupo Fundamental e G-espacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.3 Transformacoes de Recobrimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.4 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.5 Recobrimentos de Sn, (n > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.6 Recobrimentos dos Espacos Lenticulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.7 Recobrimentos do Espaco Projetivo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.8 Recobrimentos do Cırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.9 Recobrimentos do Toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.10 O n-Toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.11 Recobrimentos da Faixa de Moebius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.12 Recobrimentos da Garrafa de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.13 Acao do Grupo fundamental sobre as Fibras . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.14 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6 TEOREMA DE SEIFERT - VAN KAMPEN 1596.1 Grupos Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.1.1 Notacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.2 Produto Livre de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.3 Produto Amalgamado de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.4 Propriedade Universal do Produto Amalgamado . . . . . . . . . . . . . . 1676.5 Teorema de Seifert-Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.6 Representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.7 Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.8 Buques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.9 Interpretacao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746.10 Toros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.11 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.12 Garrafa de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.13 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

CONTEUDO 7

Bibliografia 183

8 CONTEUDO

Capıtulo 1

HOMOTOPIA

1.1 Introducao

Nos capıtulos seguintes, X e Y sao espacos topologicos; I = [0, 1] ⊂ R com a topologiainduzida pela topologia usual de R e todas as funcoes consideradas sao contınuas.

Definicao 1.1. Sejam f, g : X −→ Y funcoes, entao:

1. f e g sao ditas homotopicas se existe uma funcao contınua:

H :X × I −→ Y tal que

H(x, 0) = f(x),

H(x, 1) = g(x)

para todo x ∈ X .

2. A funcao H e dita homotopia entre f e g.

Observacao 1.1.

1. A notacao que se usa para indicar que f e homotopica a g e:

H : f ' g.

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10 CAPITULO 1. HOMOTOPIA

2. A homotopia entre f e g e uma famılia a um parametro de funcoes contınuasentre X e Y , isto e, para cada t ∈ I :

ft : X −→ Y

e contınua, onde ft(x) = H(x, t).

3. Intuitivamente, a homotopia ”deforma”continuamente f em g.

Exemplo 1.1.

[1] Sejam X = a, Y = a, b com a topologia discreta e f, g : X −→ Y definidas porf(a) = a e g(a) = b; entao f nao e homotopica a g.

[2] Sejam f, g : R −→ R2 definidas por f(x) = (x, x2) e g(x) = (x, x); logo f ' g.

De fato, definamos a seguinte homotopia:

H : R× I −→ R2

H(x, t) = (x, x2 − t x2 + t x).

Claramente, H e contınua, H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ R. Logo:

f ' g.

Figura 1.1: Homotopia entre f e g

1.2. PROPRIEDADES DAS HOMOTOPIAS 11

1.2 Propriedades das Homotopias

Sejam f, g : X −→ Y funcoes constantes; entao, nao necessariamente, temos que f ' g.

Proposicao 1.1. Sejam f, g : X −→ Y tais que f(x) = y0 e g(x) = y1 para todo x ∈ X ;entao f ' g se, e somente se y0 e y1 pertencem a mesma componente conexa porcaminhos.

Prova: (⇒) Denotemos H : f ' g; entao α : I −→ Y definida por α(t) = H(x, t) e umcaminho tal que α(0) = y0 e α(1) = y1.

(⇐) Seja α : I −→ Y um caminho ligando y0 a y1; definamos a seguinte homotopia:

H :X × I −→ Y

(x, t) −→ α(t).

Entao H(x, 0) = α(0) = y0 e H(x, 1) = α(1) = y1; logo :

H : f ' g.

Proposicao 1.2. Sejaα : I −→ X um caminho; entao α ' c0, onde c0 e o caminhoconstante, definido por c0(t) = α(0) para todo t ∈ I .

Prova: De fato, consideremos:

H :I × I −→ X

(t, s) −→ α((1− s) t

).

Logo, H e contınua e H(t, 0) = α(t) e H(t, 1) = α(0) = c0(t).

Proposicao 1.3. Se f : Rn −→ X e contınua, entao f ' c0, onde c0(x) = f(0) para todox ∈ Rn.

Prova: De fato, consideremos:

H :Rn × I −→ X

(x, t) −→ f((1− t)x

).

Logo, H e contınua; H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = f(0) = c0(x).


Proposicao 1.4. Sejam f, g : X −→ Rn contınuas; entao f ' g.

Prova: Consideremos:

H :X × I −→ Rn

(x, t) −→ (1− t) f(x) + t g(x).

Logo, H e contınua, H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = g(x).

Observacao 1.1. Em geral, se E e um espaco vetorial normado e f, g : X −→ E saocontınuas, entao f ' g.

De fato, podemos definir a homotopia:

H :X × I −→ E

(x, t) −→ (1− t) f(x) + t g(x).

Esta homotopia e dita linear. A propriedade f ' g ainda e valida se substituirmos Epor um subconjunto convexo C de E.

Proposicao 1.5. (Poincare -Bohl) Sejam E um espaco vetorial normado e

f, g : X −→ E − 0

contınuas tais que ‖f(x)− g(x)‖ < ‖f(x)‖, para todo x ∈ X ; entao f ' g.

Prova: Notemos que a origem nao pertence ao segmento de reta f(x)g(x); caso contra-rio, poderıamos ter:

‖f(x)− g(x)‖ = ‖f(x)‖+ ‖g(x)‖ > ‖f(x)‖;

logo, consideramos a homotopia linear:

H(x, t) = (1− t) f(x) + t g(x),

para todo (x, t) ∈ X × I .

1.3. HOMOTOPIA E CAMPOS DE VETORES NA ESFERA 13

Proposicao 1.6. Denotemos por C(X, Y

)o conjunto de todas as funcoes f : X −→ Y

contınuas. Ser homotopica e uma relacao de equivalencia em C(X, Y

).

Prova: A unica propriedade que nao e imediata e a transitiva. Sejam H : f ' g eK : g ' h as respectivas homotopias; devemos provar que existe:

Q : f ' h.

Definamos Q : X × I −→ Y por:

Q(x, t) =

H(x, 2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

K(x, 2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1.

Q e contınua, Q(x, 0) = H(x, 0) = f(x) e Q(x, 1) = K(x, 1) = h(x), para todo x ∈ X .

Proposicao 1.7. Sejam f0, f1 ∈ C(X, Y

)e g0, g1 ∈ C

(Y, Z

)tais que f0 ' f1 e g0 ' g1.

Entao

g0 f0 ' g1 f1,

isto e, a composicao de funcoes preserva as homotopias.

Prova: Sejam H : f0 ' f1 e K : g0 ' g1 as respectivas homotopias; entao definamosQ : X × I −→ Z por:

Q(x, t) = K(H(x, t), t).

Q e contınua e para todo x ∈ X , temos que:

Q(x, 0) = K(H(x, 0), 0) = K(f0(x), 0) =(g0 f0

)(x),

Q(x, 1) = K(H(x, 1), 1) = K(f1(x), 1) =(g1 f1

)(x).

1.3 Homotopia e Campos de Vetores na Esfera

Seja:

Sn = x ∈ Rn+1 / ‖x‖ = 1 ⊂ Rn+1

a esfera unitaria com a topologia induzida pela topologia usual de Rn+1.


Proposicao 1.8. Sejam f, g : Sn −→ Sn contınuas tais que f(x) 6= −g(x), para todox ∈ Sn; entao:

f ' g.

Prova: Consideremos a homotopia:

H(x, t) =(1− t) f(x) + t g(x)

‖(1− t) f(x) + t g(x)‖.

H e bem definida e contınua pois f(x) 6= −g(x), para todo x ∈ Sn, o que equivale aosegmento de reta f(x)g(x) nao conter a origem.

Por outro lado, H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = g(x), para todo x ∈ Sn.

f(x)

−f(x)g(x)

Sn

H(x,t)

O

Figura 1.2: Homotopia entre f e g

Definicao 1.2. Denotemos e definimos a funcao antıpoda, por:

a :Sn −→ Sn

x −→ −x.

Corolario 1.1. Seja f : Sn −→ Sn contınua:

1. Se f nao possui pontos fixos, entao f ' a.

2. Se f(x) 6= −x, para todo x ∈ Sn, entao f ' idSn .

3. Se n e ımpar, entao a ' idSn .

1.3. HOMOTOPIA E CAMPOS DE VETORES NA ESFERA 15

Prova:

1. De fato, se f nao possui pontos fixos, entao f(x) 6= x, para todo x ∈ Sn; logof(x) 6= −a(x). Pela proposicao anterior, temos que f ' a

2. f(x) 6= −x, para todo x ∈ Sn; logo f(x) 6= −idSn(x). Pela proposicao anterior,temos que f ' idSn

3. Se n = 2 k − 1,entao Sn ⊂ R2k = Ck; denotemos por zi = (xi, yi) ∈ C; logo:

z = (z1, z2, . . . , zk) ∈ Sn ⇔ ‖z1‖2 + ‖z2‖2 + . . .+ ‖zk‖2 = 1.

Por outro lado, sabemos que o grupo S1 atua sobre Sn se n e ımpar; isto e, paratodo u ∈ S1 e todo z ∈ Sn temos que u · z = (u z1, u z2, . . . , u zk) ∈ Sn. Definamos:

H(z, t) = exp(π i t) · z;

logo, H e contınua; H(z, 0) = z e H(z, 1) = −z = a(z).

Corolario 1.2. Se f : X −→ Sn e contınua e nao sobrejetiva, entao f ' c, onde c e umafuncao constante.

Prova: Como f nao e sobrejetiva, entao existe y ∈ Sn tal que f(x) 6= y, para todo x ∈ X .Seja c : X −→ Sn tal que c(x) = −y, para todo x ∈ X ; logo f(x) 6= −c(x), isto e, f ' c.

Definicao 1.3.

1. Um campo de vetores contınuos tangentes a Sn e uma funcao contınua:

ν : Sn −→ Rn+1 tal que < ν(x), x >= 0, para todo x ∈ Sn,

onde < , > e o produto interno euclidiano em Rn+1.


2. Se ν(x0) = 0, entao x0 e dita singularidade do campo ν.

nS

x

ν (x)

Figura 1.3: Campo tangente a Sn

Observacao 1.2.

1. Se n e ımpar, entao existe um campo de vetores contınuo, sem singularidades,tangente a Sn.

De fato: como antes consideremos Sn ⊂ R2k e definamos:

ν(x1, x2, . . . , xk, y1, y2, . . . , yk) = (−y1,−y2, . . . ,−yk, x1, x2, . . . , xk).

ν e um campo contınuo, sem singulariades e tangente a Sn.

2. Se existe um campo de vetores contınuo, sem singularidades e tangente a Sn,entao a ' idSn .

De fato. Seja ν o campo e definamos f : Sn −→ Sn por:

f(x) =x+ ν(x)

‖x+ ν(x)‖.

f e contınua e f(x) 6= x; logo f(x) 6= −a(x) e f ' a. Por outro lado, seja

H(x, t) =x+ t ν(x)

‖x+ t ν(x)‖,

H e bem definida; H(x, 0) = x, H(x, 1) = f(x) e f ' idSn . Logo, por transitivi-dade,

a ' idSn .

1.4. HOMOTOPIA RELATIVA 17

Resumindo:

Corolario 1.3. Em Sn, temos:

1. Se n e ımpar, entao a ' idSn .

2. Se existe um campo de vetores contınuo sem singularidades em Sn, entao:

a ' idSn .

Observacao 1.2. E possıvel provar, utilizando conceitos mais avancados, que a ' idSn ,implica em n ımpar.

1.4 Homotopia Relativa

Sejam A ⊂ X , f, g : X −→ Y contınuas tais que f(a) = g(a), para todo a ∈ A.

Definicao 1.4. f e homotopica a g relativamente a A se existe homotopia:

H :X × I −→ Y tal que

H(x, 0) = f(x),

H(x, 1) = g(x),

H(a, t) = f(a) = g(a)

para todo a ∈ A e x ∈ X .

Observacao 1.3.

1. A notacao de f ser homotopica a g relativamente a A e:

f 'A g.

2. Durante a deformacao, o conjunto A permanece invariante.


3. Se A = ∅; entao a homotopia relativamente a A e a homotopia definida anterior-mente.

Exemplo 1.2.

[1] Sejam f, g : [0, 1] −→ S2 definidas por:

f(t) = (sen(π t), 0, cos(π t))

g(t) = (0, sen(π t), cos(π t)).

1. Se A = 1/2 ⊂ I , entao f nao pode ser homotopica a g, relativamente a A. Defato, se f'Ag, necessariamente deverıamos ter f(1/2) = g(1/2), o que e falso.

2. Se A = 0, 1 ⊂ I , entao f 'A g. De fato, definamos H : I × I −→ S2 por:

H(t, s) =(cos(s π/2) sen(π t), sen(s π/2) sen(π t), cos(π t)

).

Note que ‖H(t, s)‖ = 1, para todo (t, s) ∈ I × I e:

H(t, 0) = f(t)

H(t, 1) = g(t)

H(0, s) = f(0) = H(1, s) = g(1).

Figura 1.4: A homotopia H (f e g em vermelho)

1.5. TIPO DE HOMOTOPIA 19

[2] Denotemos por Rn∗ = Rn − 0 e seja:

r :Rn∗ −→ Rn∗x −→ x/‖x‖.

Entao r 'Sn idRn∗ .

De fato, definamos H : Rn∗ × I −→ Rn∗ por:

H(x, t) = (1− t)x+ t r(x).

Logo, H(x, 0) = x, H(x, 1) = r(x). Em particular, para todo x0 ∈ Sn, temos:

H(x0, t) = (1− t)x0 + t r(x0)

= (1− t)x0 + t x0

= x0.

1.5 Tipo de Homotopia

Neste paragrafo introduziremos um conceito mais fraco que o de homeomorfismo, oqual nos permitira diferenciar espacos.

Definicao 1.5. Os espacos X e Y tem o mesmo tipo de homotopia ou sao homotopi-camente equivalentes, se existem

f : X −→ Y e g : Y −→ X,

contınuas, tais que:

g f ' idX e f g ' idY .

Observacao 1.4.

1. As funcoes f e g sao ditas inversas homotopicas.

2. Denotaremos os espacos com o mesmo tipo de homotopia por:

X ' Y.

3. Se X e Y sao homeomorfos, entao X ' Y .

4. A recıproca e, claramente, falsa.

5. Ser homotopicamente equivalente e uma relacao de equivalencia.


1.6 Exemplos

[1] Rn ' 0.

De fato, considere as funcoes f : Rn −→ 0 tal que f(x) = 0 para todo x ∈ Rn eg : 0 −→ Rn a inclusao. Por outro lado, seja H : Rn × I −→ Rn definida por:

H(x, t) = t x;

H e contınua; H(x, 0) = 0 =(g f

)(x) e H(x, 1) = x = idX(x); entao H : g f ' idX .

Como(f g

)(0) = f(0) = 0 = id0(0), f g = id0.

[2] S1 × R ' S1 × 0 ∼= S1.

Considere f : S1×R −→ S1×0 definida por f(x, t) = (x, 0) e g : S1×0 −→ S1×Ra inclusao, isto e g(x, 0) = (x, 0).

Por outro lado, seja H :(S1 × R

)× I −→

(S1 × R

)definida por:

H((x, t), s) = (x, t s);

logo, H e contınua e:

H((x, t), 0) = (x, 0) =(g f

)(x, t)

H((x, t), 1) = (x, t) = idS1×R(x, t).

Entao H : g f ' idS1×R. Note que(f g

)(x, 0) = (x, 0) = idS1×R(x, 0); logo:

f g = idS1×R.

S x IR1

S1 x 0

Figura 1.5: Equivalencia entre o cilindro S1 × R e o cırculo S1

1.6. EXEMPLOS 21

[3] Sn ' Rn+1 − 0.

De fato, considere as seguintes funcoes f : Rn+1 − 0 −→ Sn e g : Sn −→ Rn+1 − 0tais que f(x) = x/‖x‖ e g e a inclusao natural.

Por outro lado, seja H : Sn × I −→ Sn definida por:

H(x, t) = (1− t)x+ t f(x);

logo, H e contınua e:

H(x, 0) = x = idSn(x)

H(x, 1) =(g f

)(x).

Entao, H : g f ' idSn . Note que(f g

)(x) = f(x) = x = idSn(x); entao:

f g = idSn .

[4] Sabemos que se pn = (0, 0, . . . , 1) ∈ Sn, entao Sn − pn e homeomorfo a Rn, viaprojecao estereografica. Logo, se ps = (0, 0, . . . ,−1) ∈ Sn, pelo ıtem anterior:

Sn − pn, ps ∼= Rn − 0 ' Sn−1.

Logo:

Sn − pn, ps ' Sn−1.

[5] Seja M a faixa de Moebius.

Lembremos queM =(Q/'), ondeQ = I×I , I = [0, 1] e' e a relacao de equivalencia

(0, y) ' (1, 1− y). Denotemos por:

Σ = [(x, 1/2)] / x ∈ [0, 1].

Σ ⊂M e dito cırculo central da faixa. Note que Σ ∼= S1, isto e Σ e homeomorfo a S1.


Figura 1.6: Cırculo central da faixa

Definamos:

f : M −→ Σ

f([(x, y)]) = [(x, 1/2)].

f e bem definida, pois:

f([(1, 1− y)]) = [(1, 1/2)] = [(1, 1− 1/2)] = [(0, 1/2)] = f([(0, y)]).

Seja g : Σ −→M a inclusao; temos que:

(f g)([(x, 1/2)]) = [(x, 1/2)] = idΣ([(x, 1/2)]).

Definamos:

H : M × I −→M

H([(x, y)], t) = [(1− t) (x, y) + t (x, 1/2)].

1.6. EXEMPLOS 23

1/2

1

0

Figura 1.7: Equivalencia entre a faixa e o cırculo central

H e contınua e bem definida. De fato:

H([(0, y)], t) = [(1− t) (0, y) + t (0, 1/2)]

= [(0, y − t y + t/2)]

= [(1, 1− y + t y − t/2)]

= [((1− t) (1, 1− y) + t (1, 1/2))]

= H([(1, 1− y)], t).

Por outro lado:

H([(x, y)], 0) = [(x, y)] = idM [(x, y)]

H([(x, y)], 1) = [(x, 1/2)] =(g f

)[(x, y)] =⇒ g f ' idM .

Proposicao 1.9. Seja[X, Y

]o conjunto das classes de homotopias de funcoes contınuas

de X em Y . Se X ' X ′ e Y ' Y ′, entao #[X, Y

]= #

[X ′, Y ′

], onde # indica a

cardinalidade do conjunto.

Prova: Sejam Ψ : X ′ −→ X e Φ : Y −→ Y ′ equivalencias homotopicas. Definamos:

G :[X,Y

]−→

[X ′, Y ′

][f]−→

[Φ f Ψ

].

Claramente G e uma bijecao.


1.7 Espacos Contrateis

Definicao 1.6. X e contratil se X tem o mesmo tipo de homotopia que um ponto.

Exemplo 1.3.

[1] Rn e B[x, r] sao espacos contrateis.

[2] Em geral, se E e um espaco vetorial normado, os conjuntos convexos de E saocontrateis. Em particular, E e contratil.

[3] Seja X um espaco topologico e consideremos CX o cone de X . CX e contratil. Paradetalhes, veja [MV]. Definamos:

H : CX × I −→ CX

([(x, t)], s) −→ [(x, (1− s) t+ s)].

Logo, H([(x, t)], 0) = [(x, t)] = idCX([(x, t)])

e H([(x, t)], 1) = [x, 1], onde [(x, 1)] e overtice do cone.

Proposicao 1.10. X e contratil se, e somente se idX ' c, onde c : X −→ X e a funcaoconstante c(x) = p, para todo x ∈ X .

Prova: (⇒) Se X ' p, existem f : X −→ p e g : p −→ X inversas homotopicas;entao g f ' idX e g f = c.

(⇐) Se idX ' c, entao idX e c sao inversas homotopicas; logo X ' p.

Proposicao 1.11. Se X e contratil, entao X e conexo por caminhos.

Prova: Fixemos p ∈ X e seja H : idX ' c. Para cada x ∈ X definamos:

αx :I −→ X

t −→ H(x, t).

Logo, αx e um caminho contınuo que liga x a p.

1.7. ESPACOS CONTRATEIS 25

Proposicao 1.12. Se X ou Y e contratil, entao, para toda f : X −→ Y contınua:

f ' c.

Prova: Suponha X contratil e H : idX ' c. Definamos:

K : X × I −→ Y

K(x, t) = f(H(x, t)

).

Logo, K(x, 0) =(f idX

)(x) = f(x) e K(x, 1) = f(p) = c(x); entao f ' c.

Por outro lado, se Y e contratil e H : idY ' c1, definamos:

K : X × I −→ Y

K(x, t) = H(f(x), t).

Logo, K(x, 0) = f(x) e K(x, 1) = c1(f(x)); entao:

f ' c1.

Corolario 1.4.

1. Se X e contratil e Y e conexo por caminhos, entao, para todas f, g : X −→ Ycontınuas, temos que f ' g.

2. Se Y e contratil, entao, qualquer que sejaX e para todas f, g : X −→ Y contınuas,temos que, f ' g.

Prova:

1. Seja H : idX ' c, definamos:

K(x, t) = f(H(x, t)

)⇒ K : f ' c1

L(x, t) = g(H(x, t)

)⇒ L : g ' c2,

onde c1(x) = f(p) e c2(x) = g(p), para todo x ∈ X . Como Y e conexo por cami-nhos, existe α caminho contınuo ligando f(p) e g(p); definamos:

G : Y × I −→ Y

(y, t) −→ α(t).

Logo, c1 ' c2 e f ' g.


2. A prova e imediata.

Proposicao 1.13. Se X e contratil, entao X × Y ' Y , para todo Y . Em particular se Ytambem e contratil, entao X × Y e contratil.

Prova: Seja H : idX ' c; denotemos por:

pr2 : X × Y −→ Y e ip : Y −→ X × Y,

tal que pr2(x, y) = y e ip(y) = (p, y). Entao, temos que:(ip pr2

)(x, y) = ip(y) e

(pr2 ip

)(y) = y = idY (y).

Definamos:

G : X × Y × I −→ X × YG((x, y), t) =

(H(x, t), y).

Logo, G((x, y), 0) = (x, y) = idX×Y (x, y) e G((x, y), 1) = (p, y) =(ip pr2

)(x, y); entao

idX×Y ' ip pr2.

Exemplo 1.4.

[1] S1 × Rn ' S1 × 0 ∼= S1, pois Rn ' 0.[2] Seja D2 × S1, onde D2 e um disco fechado no plano; entao D2 × S1 ' S1. O espacoD2 × S1 e dito toro solido.

1.8 Retratos

Definicao 1.7. Seja A ⊂ X . A e um retrato de X se existe r : X −→ A contınua tal quecom a inclusao i : A −→ X , o seguinte diagrama comuta:

Xr // A

A

i

OO

idA

>>

Isto e, r i = idA. A funcao r e dita retracao entre X e A.

1.8. RETRATOS 27

Exemplo 1.5.

[1] A esfera Sn ⊂ Rn+1 e um retrato de Rn+1 − 0.De fato, podemos definir a seguinte retracao:

r : Rn+1 − 0 −→ Sn

x −→ x

‖x‖.

[2] Seja M a faixa de Moebius; entao Σ, o cırculo central e um retrato de M .

De fato, definamos:

r : M −→ Σ

[(x, y)] −→ [(x, 1/2)].

[3] S1 × 0 e um retrato de S1 × R.

De fato, definamos:

r : S1 × R −→ S1 × 0((x, y), z) −→ ((x, y), 0).

[4] Se A e um retrato de X , entao A = x ∈ X / r(x) = x, onde r e a retracao. Se X ede Hausdorff, temos que A e fechado em X .

Definicao 1.8. Seja A ⊂ X . A e um retrato por deformacao de X , se existe retracaor : X −→ A tal que:

i r ' idX .

Observacao 1.3. Se A e um retrato por deformacao de X , entao existe homotopia:

H :X × I −→ X

H(x, 0) = x

H(x, 1) ∈ A,

para todo x ∈ X .

Se A e um retrato por deformacao de X , entao A e um retrato de X .


Definicao 1.9. SejaA ⊂ X . A e um retrato por deformacao forte deX , se existe retracaor : X −→ A tal que:

i r 'A idX .

Observacao 1.4. Se A e um retrato por deformacao forte de X , entao existe homotopia:

H :X × I −→ X

H(x, 0) = x

H(x, 1) ∈ AH(a, t) = a,

para todo a ∈ A e x ∈ X .

Exemplo 1.6.

[1] Sn e um retrato por deformacao forte deRn+1−0. Basta utilizar a retracao definidaanteriormente e utilizar uma homotopia linear.

[2] Consideremos T o toro, como espaco quociente. Para detalhes, veja [MV]. Porcomodidade, suponhamos que:

T =([−1, 1]× [−1, 1]

/'),

onde:

(1, y) ' (−1, y) e (x,−1) ' (x, 1).

Denotemos por X = T − [(0, 0)], ‖(x, y)‖ = max|x|, |y|, para todo (x, y) ∈ R2.

Seja A = [(x, y)] ∈ X / ‖(x, y)‖ = 1. Afirmamos que A e um retrato por deformacaoforte de X .

AT

Figura 1.8: Os conjuntos T e A

1.8. RETRATOS 29

Fica como exercıcio provar que A e homeomorfo ao conjunto S:

AA

S

Figura 1.9: Homeomorfismo entre A e S

Consideremos a retracao r : X −→ A, definida por:

r([(x, y)]) = [(x, y)

‖(x, y)‖].

Definamos a homotopia H : X × I −→ X por:

H([(x, y)], t) = [(1− t) (x, y) +t (x, y)

‖(x, y)‖].

Figura 1.10: A homotopia H

H e bem definida. De fato:


H([(1, y)], t) = [(1− t) (1, y) +t (1, y)

‖(1, y)‖]

= [(1− t) (1, y) + t (1, y)] = [(1, y)]

= [(−1, y)] = [(1− t) (−1, y) +t (−1, y)

‖(−1, y)‖]

= H([(−1, y)], t).

Analogamente, H([(x,−1)], t) = H([(x, 1)], t).

Por outro lado:

H([(x, y)], 0) = [(x, y)]

H([(x, y)], 1) = [(x, y)

‖(x, y)‖].

Se [(x, y)] ∈ A, entao H([(x, y)], t) = [(x, y)] para todo t ∈ I .

Corolario 1.5. Se A e um retrato por deformacao de X ou um retrato por deformacaoforte de X , entao A ' X .

Prova: De fato, existe H : i r ' idX e r i = idA.

1.9 Homotopia e Extensao de Funcoes

A extensao de funcoes e um tema central na Topologia. O problema geral pode serenunciado da seguinte forma:

Sejam A ⊂ X um subconjunto fechado e f : A −→ Y contınua. E possıvel achar:

f : X −→ Y

contınua tal que:

f∣∣A

= f ?

Em outras palavras, se i : A −→ X e a inclusao, podemos obter o diagrama:

A

i

f // Y

Xf

>>

1.9. HOMOTOPIA E EXTENSAO DE FUNCOES 31

tal que f i = f?

A seguir, estudaremos alguns casos particulares de extensao de funcoes.

Note que um retrato e uma extensao contınua da identidade de A:

A

i

idA // A

Xr

>>

Proposicao 1.14. A seguintes afirmacoes sao equivalentes:

1. A e um retrato de X .

2. Para todo espaco topologico Z, a funcao contınua f : A −→ Z se estende conti-nuamente a X .

Prova: (1) ⇒ (2) Dada a retracao r : X −→ A, para f : A −→ Z arbitraria, considere aextensao f = f r : X −→ Z

(2) ⇒ (1) Considere o diagrama comutativo:

A

i

f // Z

Xf

>>

Basta considerar Z = A e f = idA.

Proposicao 1.15. Denotemos por B = B[0, 1] ⊂ Rn+1; lembremos que ∂B = Sn. Asseguintes afirmacoes sao equivalentes:

1. f ' c, onde c e uma funcao constante.

2. f : Sn −→ X contınua se estende continuamente a B.

Prova: (1) ⇒ (2) Seja F : f ' c tal que c(x) = y0, para todo x ∈ Sn. Definamos:

f(x) =

y0 se 0 ≤ ‖x‖ ≤ 1/2

F(x/‖x‖, 2− 2 ‖x‖

)se 1/2 ≤ ‖x‖ ≤ 1.


f e contınua (veja [MV]). Se x 6= 0, entao x/‖x‖ ∈ Sn; se 1/2 ≤ ‖x‖ ≤ 1, entao2 − 2 ‖x‖ ∈ I ; se ‖x‖ = 1/2, entao F

(x/‖x‖, 1

)= c(x/‖x‖) = y0 e se ‖x‖ = 1, entao

f(x) = F (x, 0) = f(x).

(2) ⇒ (1) Considere o seguinte diagrama comutativo:

Sn

i

f // X

Bf

>>

Como B e contratil, existe homotopia H : f ' c1. Definamos a homotopia K, conside-rando o seguinte diagrama comutativo:

Sn × Ii

K // X

B× IH

;;

Logo, K : f ' c. De fato, K(x, t) =(H i

)(x, t) e:

K(x, 0) =(H i

)(x, 0) = H(x, 0) =

(f i

)(x) = f(x)

K(x, 1) =(H i

)(x, 1) = H(x, 1) =

(c1 i

)(x) = c(x).

1.10 Homotopia de Caminhos

Neste paragrafo estudaremos um caso especial de homotopia relativa. Este tipo dehomotopia e fundamental nos proximos capıtulos.

Sejam α, β : I −→ X caminhos contınuos tais que α(1) = β(0):

α

α(0)

β(1)

α(1)=β(0)

β

Figura 1.11:

1.10. HOMOTOPIA DE CAMINHOS 33

Definicao 1.10. O produto dos caminhos α e β e denotado por α ∗ β e definido por:

α ∗ β (t) =

α(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

β(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1.

Observacao 1.5.

1. Note que α ∗ β : I −→ X e um caminho contınuo tal que α ∗ β(0) = α(0) eα ∗ β(1) = β(1).

2. Intuitivamente, para definir α∗β no intervalo I ”dobramos a velocidade” de cadacaminho, isto e, reparametrizamos os caminhos pelos homeomorfismos lineares:

h1 : [0, 1/2] −→[0, 1]

t −→2 t

e

h2 : [1/2, 1] −→[0, 1]

t −→2 t− 1.

α(1)=β(0)

∗

11/20

βα

β(1)

α(0)

Figura 1.12: O caminho α ∗ β

3. Dados α, β, γ : I −→ X caminhos, entao:

(α ∗ β

)∗ γ 6= α ∗

(β ∗ γ

).


Definicao 1.11. Os caminhos α e β tais que α(0) = β(0) e α(1) = β(1) sao ditos equiva-lentes se α ' β relativamente a 0, 1.

Denotaremos os caminhos equivalentes por α ' β. Entao, se α ' β existe homotopia:

H :I × I −→ X tal queH(t, 0) = α(t),

H(t, 1) = β(t),

H(0, s) = α(0) = β(0),

H(1, s) = α(1) = β(1),∀s, t ∈ I.

0 1t

s

1

H

α(0)=β(0)

α(1)=β(1)

Figura 1.13: Caminhos equivalentes

Note que durante a homotopia, os extremos dos caminhos permanecem fixos.

Em particular se α e β sao caminhos fechados equivalentes, entao existe homotopiaH : I × I −→ X tal que:

H(t, 0) = α(t),

H(t, 1) = β(t),

H(0, s) = H(1, s) = α(0) = β(0) = α(1) = β(1),∀s, t ∈ I.

α

βx

0

Figura 1.14: Caminhos fechados equivalentes

1.10. HOMOTOPIA DE CAMINHOS 35

Lema 1.1. Sejam α0, α1, β0, β1 : I −→ X caminhos tais que α0 ' α1, β0 ' β1 eα0(1) = β0(1); entao:

α0 ∗ β0 ' α1 ∗ β1.

β

β

1

0

α1

α0

Figura 1.15:

Prova: Sejam F : α0 ' α1 e G : β0 ' β1 as homotopias respectivas; definamos H :I × I −→ X por:

H(t, s) =

F (2 t, s) se 0 ≤ t ≤ 1/2

G(2 t− 1, s) se 1/2 ≤ t ≤ 1.

Claramente H e contınua.

Por outro lado:

H(t, 0) =

F (2 t, 0) se 0 ≤ t ≤ 1/2

G(2 t− 1, 0) se 1/2 ≤ t ≤ 1

=

α0(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

β0(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1

= α0 ∗ β0(t),

e:


H(t, 1) =

F (2 t, 1) se 0 ≤ t ≤ 1/2

G(2 t− 1, 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1

=

α1(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

β1(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1.

= α1 ∗ β1(t).

Por outro lado, H(0, s) = H(1, s) = x0

Definicao 1.12. Seja α : I −→ X um caminho ligando x0 e x1. O caminho inverso de αe denotado por α−1 e definido por:

α−1 : I −→ X

t −→ α(1− t).

x

x

0

1

α

α−1

Figura 1.16: α e α−1

Note que α−1 tem o mesmo percurso que α, mas se inicia em x1 e termina em x0.

1.11. EXERCICIOS 37

1.11 Exercıcios

1. Complete todos os detalhes das provas dos teoremas, proposicoes e lemas docapıtulo.

2. Verifique que se X e contratil, X × Y e homeomofo a Y , para todo Y .

3. Seja X espaco topologico Hausdorff e A e um retrato de X , verifique que A efechado em X .

4. Sejam X e Y espacos topologicos nao vazios e A ⊂ X , verifique que A× Y e umretrato por deformacao de X×Y se, e somente se A e um retrato por deformacaode X .

5. Sob que condicoes a homotopia relativa e uma relacao de equivalencia?

6. Seja X um espaco topologico nao vazio e f : X −→ Sn funcao contınua ho-motopica a uma constante, verifique que f

(X)

= Sn.

7. Sejam X espaco topologico, A ⊂ X , Y ⊂ Rn e f, g : X −→ Y contınuas. Se paratodo x ∈ X , f(x)g(x) ∈ Y e f

∣∣A

= g∣∣A

, verifique que f 'A g.

8. SejaE um espaco vetorial normado. A ⊂ E e dito estrela de vertice p se para todoX ∈ A o segmento de reta px ∈ A. Verifique que se A e uma estrela de vertice p,entao A ' p.

9. Seja X espaco topologico Hausdorff e A e um retrato de X , verifique que A efechado em X .

10. Verifique que, se r : X −→ A e um retrato, entao r e uma aplicacao quociente.

11. Verifique que o cırculo central Σ e um retrato por deformacao forte da faixa deMoebius M .

12. Sejam f, g : X −→ Y tais que f ' g. Verifique que para todo A ⊂ X , temosf∣∣A' g∣∣A

.

13. Denotemos por:

[f]

= g : X −→ Y, g ' f[X, Y

]= [f]/ f : X −→ Y


a classe de homotopia de f e o conjunto das classes de homotopias de funcoescontınuas de X em Y , respectivamente. Verifique que se C ⊂ E (conjunto con-vexo contido num espaco vetorial normado), entao

[X,C

]= [c],

onde c : X −→ C e uma funcao constante.

14. Sejam x0, x1 ∈ X . Denotemos por:

Ω(X, x0, x1) = α : I −→ X /α(0) = x0, α(1) = x1.

Verifique que ' e uma relacao de equivalencia em Ω(X, x0, x1).

15. Sejam f : X −→ Y contınua e α, β : I −→ X caminhos tais que α ∗ β estejadefinido. Verifique que f (α ∗ β) ' (f α) ∗ (f β).

16. Se X e um espaco topologico conexo com o mesmo tipo de homotopia do espacotopologico Y , verifique que Y e conexo.

17. Sejam X e Y espacos topologicos nao vazios e f : X −→ Y contınua, se define, oespaco topologico quociente:

Mf =(X × [0, 1]

)t Y

)∼, onde (x, 1) ∼ f(x), ∀x ∈ X.

(a) Verifique que Mf e um retrato por deformacao forte de Y .

(b) Verifique que se X e Y tem o mesmo tipo de homotopia, entao Mf e umretrato por deformacao forte de X . A recıproca vale?

18. Seja X um espaco topologico nao vazio, denotamos e definimos as suspensao deX pleo espaco topologico quociente:

S(X) =(X × [0, 1]

)∼, onde (x, 0)

/∼ p0 e (x, 1) ∼ p1, ∀x ∈ X.

Os pontos p0 e p1 sao ditos polo sul e norte da suspensao, respectivamente.

(a) Verifique que S(Sn−1) = Sn.

1.11. EXERCICIOS 39

(b) Seja f : X −→ Y contınua, defina a estensao contınua:

S(f) : S(X) −→ S(Y ).

(c) Seja f : S1 −→ S1, determine Sn(f) : Sn+1 −→ Sn+1.

(d) Se f g : X −→ Y funcoes contınuas homotopicas, entao S(f) e S(g) saohomotopicas?

Capıtulo 2

GRUPO FUNDAMENTAL

Muitas questoes da Topologia sao surpreendentemente faceis de formular, porem mui-to difıceis de serem respondidas. Por exemplo, a esfera S3 e homeomorfa a S1×S1×S1

ou S2 e homeomorfa ao toro T? A segunda questao pode ser respondida utilizandometodos da Topologia Geral, nao a primeira.

Neste paragrafo comecaremos a relacionar a Topologia com a Algebra. Construire-mos para cada espaco topologico um grupo, o qual nos permitira responder muitasquestoes deste tipo.

2.1 Introducao

Com as notacoes do capıtulo anterior. Denotaremos por:

[α] = β : I −→ X /α(0) = β(0), α(1) = β(1), β ' α.

Definicao 2.1. Fixemos x0 ∈ X e denotemos por:

π1

(X, x0

)= [α] / α : I −→ X, α(0) = α(1) = x0,

isto e, o conjunto das classes de homotopias de caminhos fechados em x0. O ponto x0

e dito base de π1

(X, x0

).

Dados [α], [β] ∈ π1

(X, x0

)temos que

(α ∗ β

)(0) =

(α ∗ β

)(1) = x0. Logo α ∗ β e um

caminho em X , fechado em x0; entao:

[α ∗ β] ∈ π1

(X, x0

).

41

42 CAPITULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL

Definicao 2.2. Em π1

(X, x0

)denotemos e definamos o seguinte produto por:

· : π1

(X,x0

)× π1

(X, x0

)−→ π1

(X, x0

)([α], [β]) −→ [α] · [β] = [α ∗ β].

Lema 2.1. Este produto em π1

(X, x0

)esta bem definido.

Prova: Dados [α0], [α1], [β0] e [β1] ∈ π1

(X, x0

)tais que [α0] = [α1] e [β0] = [β1], provare-

mos que :

[α0] · [β0] = [α1] · [β1];

equivalentemente, [α0 ∗ β0] = [α1 ∗ β1]; em outras palavras:

α0 ∗ β0 ' α1 ∗ β1.

Primeiramente escrevemos:

α0 ∗ β0(t) =

α0(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

β0(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1,

e:

α1 ∗ β1(t) =

α1(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

β1(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1.

Denotemos por F : α0 ' α1 e G : β0 ' β1 as respectivas homotopias; definamos:

H : I × I −→ X

por:

H(t, s) =

F (2 t, s) se 0 ≤ t ≤ 1/2

G(2 t− 1, s) se 1/2 ≤ t ≤ 1.

H e contınua. Por outro lado:

H(t, 0) =

F (2 t, 0) se 0 ≤ t ≤ 1/2

G(2 t− 1, 0) se 1/2 ≤ t ≤ 1=

α0(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

β0(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1

= α0 ∗ β0(t),

2.1. INTRODUCAO 43

H(t, 1) =

F (2 t, 1) se 0 ≤ t ≤ 1/2

G(2 t− 1, 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1=

α1(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

β1(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1

= α1 ∗ β1(t).

e H(0, s) = H(1, s) = x0.

Teorema 2.1. π1

(X, x0

), com o produto definido por (2.2) e um grupo, isto e, satisfaz

as seguintes propiedades:

1. Associatividade : Para todo [α], [β], [γ] ∈ π1

(X, x0

)temos que:

([α] · [β]

)· [γ] = [α] ·

([β] · [γ]

).

2. Elemento neutro : Existe [e] ∈ π1

(X, x0

)tal que:

[e] · [α] = [α] · [e] = [α],

para todo [α] ∈ π1

(X, x0

).

3. Elemento inverso : Dado [α] ∈ π1

(X, x0

), existe [α]−1 ∈ π1

(X, x0

)tal que:

[α] · [α]−1 = [α]−1 · [α] = [e].

Prova: Associatividade: Provaremos a associatividade do produto com o maximo dedetalhes. Provaremos que

([α] · [β]

)· [γ] = [α] ·

([β] · [γ]

), isto e:(

α ∗ β)∗ γ ' α ∗

(β ∗ γ

).

Primeiramente escrevamos(α ∗ β

)∗ γ(t) :

(α ∗ β

)∗ γ(t) =

α ∗ β(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

γ(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1=

α(4 t) se 0 ≤ t ≤ 1/4

β(4 t− 1) se 1/4 ≤ t ≤ 1/2

γ(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1.


0 11/21/4α β γ

Figura 2.1:(α ∗ β

)∗ γ esquematicamente

Analogamente, escrevamos α ∗(β ∗ γ

)(t):

α ∗(β ∗ γ

)(t) =

α(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

β ∗ γ(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1=

α(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

β(4 t− 2) se 1/2 ≤ t ≤ 3/4

γ(4 t− 3) se 3/4 ≤ t ≤ 1.

0 11/2 3/4 γβα

Figura 2.2: α ∗(β ∗ γ

)esquematicamente

Para determinar a homotopia entre(α ∗ β

)∗ γ e α ∗

(β ∗ γ

), juntaremos os esquemas

anteriores:

0 11/21/4

1/2α β γ

α β γ

3/4

s

t

1

Figura 2.3: Homotopia entre(α ∗ β

)∗ γ e α ∗

(β ∗ γ

)Notemos que:

1. Para s = 0, temos α(t) com t ∈ [0, 1/4], β(t) com t ∈ [1/4, 1/2] e γ(t) comt ∈ [1/2, 1].

2. Para s = 1, temos α(t) com t ∈ [0, 1/2], β(t) com t ∈ [1/2, 3/4] e γ(t) comt ∈ [3/4, 1].

2.1. INTRODUCAO 45

Determinemos os segmentos de reta que ligam os pontos (1/4, 0) a (1/2, 1) e (1/2, 0) a(3/4, 1):

1. t = (s+ 1)/4 e o segmento de reta que liga (1/4, 0) a (1/2, 1).

2. t = (s+ 2)/4 e o segmento de reta que liga (1/2, 0) a (3/4, 1).

Entao, para s arbitrario, devemos ter:

α(t) com t ∈ [0, (s+ 1)/4]

β(t) com t ∈ [(s+ 1)/4, (s+ 2)/4]

γ(t) com t ∈ [(s+ 2)/4, 1].

Consideremos os seguintes homeomorfismos:

h1 : [0, (s+ 1)/4] −→ [0, 1],

h2 : [(s+ 1)/4, (s+ 2)/4] −→ [0, 1],

h3 : [(s+ 2)/4, 1] −→ [0, 1]

definidos por h1(t) = 4 t/(s + 1), h2(t) = 4 t − s − 1 e h3(t) = (s − 4 t + 2)/(s − 2),respectivamente. Finalmente, definamos a homotopia H : I × I −→ X por:

H(t, s) =

α(h1(t)) se 0 ≤ t ≤ (s+ 1)/4

β(h2(t)) se (s+ 1)/4 ≤ t ≤ (s+ 2)/4

γ(h3(t)) se (s+ 2)/4 ≤ t ≤ 1.

H e contınua, e:

H(t, 0) =

α(4 t) se 0 ≤ t ≤ 1/4

β(4 t− 1) se 1/4 ≤ t ≤ 1/2

γ(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1

=(α ∗ β

)∗ γ(t),

H(t, 1) =

α(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

β(4 t− 2) se 1/2 ≤ t ≤ 3/4

γ(4 t− 3) se 3/4 ≤ t ≤ 1

= α ∗(β ∗ γ

)(t),


H(0, s) = H(1, s) = x0; logo(α ∗ β

)∗ γ ' α ∗

(β ∗ γ

), isto e:(

[α] · [β])· [γ] = [α] ·

([β] · [γ]

).

Elemento neutro : Seja ex0 : I −→ X tal que ex0(x) = x0. Afirmamos que:

[ex0 ] · [α] = [α] · [ex0 ] = [α],

para todo [α] ∈ π1

(X, x0

).

Provaremos que [α] · [ex0 ] = [α], isto e α ∗ ex0 ' α. De forma analoga a associatividade:

α ∗ ex0(t) =

α(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

x0 se 1/2 ≤ t ≤ 1

Consideramos o seguinte diagrama:

0 11/2

s

t

1α

exα0

Figura 2.4: Homotopia entre ex0 ∗ α e α

Como antes:

1. O segmento de reta que liga os pontos (1/2, 0) a (1, 1) e t = (s+ 1)/2.

2. Consideramos o homeomorfismo:

h : [0, (s+ 1)/2] −→ [0, 1]

t −→ 2t

s+ 1.

Definamos a homotopia H : I × I −→ X por:

2.1. INTRODUCAO 47

H(t, s) =

α(h(t)) se 0 ≤ t ≤ (s+ 1)/2

x0 se (s+ 1)/2 ≤ t ≤ 1.

H e contınua, e:

H(t, 0) =

α(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

x0 se 1/2 ≤ t ≤ 1

= α ∗ ex0(t),

H(t, 1) =

α(t) se 0 ≤ t ≤ 1

x0 se t = 1

= α(t),

H(0, s) = H(1, s) = x0; logo α ∗ ex0 ' α e:

[α] · [ex0 ] = [α].

3. A prova de que [ex0 ] · [α] = [α] e analoga.

Elemento inverso : Dado [α] ∈ π1

(X, x0

), consideramos o caminho inverso de α defi-

nido por α−1(t) = α(1− t); entao [α−1] ∈ π1

(X, x0

). Provaremos que

[α−1] · [α] = [ex0 ],

isto e, α−1 ∗ α ' ex0 . Logo, [α]−1 = [α−1].

Novamente:

α−1 ∗ α(t) =

α−1(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

α(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1

Consideramos:


0 1

s

t

1

αα

1/2

ex

−1

0

Figura 2.5: Homotopia entre α−1 ∗ α e ex0

Como antes:

1. O segmento de reta que liga os pontos (1/2, 0) a (0, 1) e t = (1−s)/2 e o segmentode reta que liga os pontos (1, 0) a (0, 1) e t = 1− s.

2. Consideramos os homeomorfismos:

h1 : [0, (1− s)/2] −→ [0, 1]

t −→ 2t

1− s,

h2 : [(1− s)/2, 1− s] −→ [0, 1]

t −→ 2t− 1 + s

1− s.

h1(t) =2t

1− se h2(t) =

2t− 1 + s

1− s.

Definamos a homotopia H : I × I −→ X por:

H(t, s) =

α−1(h1(t)) se 0 ≤ t ≤ (1− s)/2α(h2(t)) se (1− s)/2 ≤ t ≤ 1− sx0 se 1− s ≤ t ≤ 1.

H e contınua, e:

2.1. INTRODUCAO 49

H(t, 0) =

α−1(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

α(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1.

H(t, 1) = x0, H(0, s) = H(1, s) = x0, logo:

[α−1] · [α] = [ex0 ].

3. A prova de que [α] · [α−1] = [e], e analoga.

Definicao 2.3. π1(X,x0

)e dito grupo fundamental de X, ou grupo de Poincare de X,

ou primeiro grupo de homotopia de X.

Exemplo 2.1.

[1] Sabemos que emRn, todos os caminhos sao homotopicos; basta considerar homoto-pias lineares. Em particular, todos os caminhos fechados sao homotopicos ao caminhoconstante c(x) = x0, para todo x ∈ Rn; logo:

π1

(Rn, x0

)= [ex0 ] ∼= 0.

Em geral, se C ⊂ Rn e convexo, entao para todo p0 ∈ C temos que:

π1

(C, p0

) ∼= 0.[2] Seja Q com a topologia induzida pela usual de R. Os unicos caminhos fechados emx0 ∈ Q sao os caminhos constantes; logo:

π1

(Q, x0

)= [ex0 ] ∼= 0.

Em geral, o calculo do grupo fundamental de espacos topologicos e bastante difıcil.Os paragrafos seguintes tem o objetivo de apresentar propriedades dos grupos funda-mentais a fim de obter exemplos nao triviais.


2.2 Mudanca do Ponto Base

Uma questao natural que surge da definicao de grupo fundamental e a seguinte:

Dados x0, x1 ∈ X que relacao existe entre π1

(X, x0

)e π1

(X, x1

)?

A resposta a esta questao e dada pelo teorema 2.2:

Teorema 2.2. Se existe um caminho entre x0 e x1, entao:

π1

(X, x0

)' π1

(X, x1

),

isto e, os grupos π1

(X, x0

)e π1

(X, x1

)sao isomorfos.

Prova: Seja ξ : I −→ X um caminho tal que ξ(0) = x0 e ξ(1) = x1. Definamos:

Φξ : π1

(X, x1

)−→ π1

(X, x0

)[γ] −→ [ξ ∗ γ ∗ ξ−1].

Φξ e um isomorfismo nao canonico de grupos, isto e, depende da classe de homotopiade ξ.

0x

x1

ξ

γ

Figura 2.6: Definicao de Φξ

Para todo [γ], [η] ∈ π1

(X, x1

), temos:

Φξ

([γ] · [η]

)= Φξ

([γ ∗ η]

)= [ξ ∗ (γ ∗ η) ∗ ξ−1]

= [(ξ ∗ γ ∗ ξ−1) ∗ (ξ ∗ η ∗ ξ−1)]

= [ξ ∗ γ ∗ ξ−1] · [ξ ∗ η ∗ ξ−1]

= Φξ

([γ])· Φξ

([η]).

2.2. MUDANCA DO PONTO BASE 51

Nao e difıcil ver que Φ−1ξ = Φξ−1 . De fato, para todo [α] ∈ π1

(X, x0

):

Φ−1ξ

([α])

= [ξ−1 ∗ α ∗ ξ].

Por outro lado, para todo [α] ∈ π1

(X, x0

):

(Φξ Φ−1

ξ

)([α]) = Φξ

([ξ−1 ∗ α ∗ ξ]

)= [ξ ∗ ξ−1 ∗ α ∗ ξ ∗ ξ−1]

= [ex0 ∗ α ∗ ex0 ]= [α].

Analogamente, Φ−1ξ Φξ = idπ1(X,x1).

Exemplo 2.1.

Seja X = R ∪ S1 (uniao disjunta). Se x0 ∈ [a, b], entao π1

(X, x0

)= 0. Por outro lado,

se x1 ∈ S1, mostraremos no proximo capıtulo que π1

(X, x1

)e um grupo nao trivial.

Portanto, π1

(X, x0

)e π1

(X, x1

)nao podem ser isomorfos.

Corolario 2.1. Se X e conexo por caminhos, entao:

π1

(X, x0

)' π1

(X, x1

),

quaisquer que sejam os pontos basicos x0, x1 ∈ X .

Definicao 2.4. Seja(G, ·

)um grupo. O centro de G e e denotado por Z(G) e definido

por:

Z(G) = a ∈ G/a · b = b · a, para todo b ∈ G,

isto e, o conjunto dos elementos de G que comutam. Nao e difıcil verificar que o centrode um grupo e um subgrupo.

Proposicao 2.1. Sejam ξ e ψ caminhos ligando x0 e x1. Entao Φξ = Φψ se, e somente se

[ψ ∗ ξ−1] ∈ Z(π1

(X, x0

)).


ξ

ψ

x0

x1

γ

Figura 2.7:

Prova: (⇐) Para todo [γ] ∈ π1

(X, x1

), temos:

Φξ

([γ])

= [ξ ∗ γ ∗ ξ−1] = [ξ ∗ γ ∗ ψ−1 ∗ ψ ∗ ξ−1]

= [ξ ∗ γ ∗ ψ−1] · [ψ ∗ ξ−1]

= [ψ ∗ ξ−1] · [ξ ∗ γ ∗ ψ−1]

= [ψ ∗ ξ−1 ∗ ξ ∗ γ ∗ ψ−1]

= [ψ ∗ γ ∗ ψ−1]

= Φψ

([γ]),

pois [ξ ∗ γ ∗ ψ−1] ∈ π1

(X, x0

).

(⇒) Sejam ξ e ψ caminos ligando x0 e x1; entao Φξ = Φψ se, e somente seΦ−1ξ = Φ−1

ψ se, e somente se Φξ−1 = Φψ−1 . Logo, para todo [α] ∈ π1

(X, x0

):

Φξ−1

([α])

= Φψ−1

([α])⇐⇒ [ξ−1 ∗ α ∗ ξ] = [ψ−1 ∗ α ∗ ψ];

equivalentemente:

ξ−1 ∗ α ∗ ξ ∼ ψ−1 ∗ α ∗ ψ ⇐⇒ ξ−1 ∗ α ∗ ξ ∗ ξ−1 ' ψ−1 ∗ α ∗ ψ ∗ ξ−1

ξ−1 ∗ α ' ψ−1 ∗ α ∗ ψ ∗ ξ−1 ⇐⇒ ψ ∗ ξ−1 ∗ α ' ψ ∗ ψ−1 ∗ α ∗ ψ ∗ ξ−1

ψ ∗ ξ−1 ∗ α ' α ∗ ψ ∗ ξ−1 ⇐⇒ [ψ ∗ ξ−1 ∗ α] = [α ∗ ψ ∗ ξ−1]

Logo, [ψ ∗ ξ−1] · [α] = [α] · [ψ ∗ ξ−1]; entao [ψ ∗ ξ−1] ∈ Z(π1

(X, x0

)).

Corolario 2.2. π1

(X, x0

)e abeliano se, e somente se Φξ nao depende de ξ.

Prova: (⇒) Sejam ξ e η caminhos ligando x0 e x1; entao:

2.3. HOMOMORFISMO INDUZIDO 53

[η ∗ ξ−1] ∈ Z(π1

(X, x0

))= π1

(X, x0

).

Logo Φξ = Φη, isto e Φξ nao depende de ξ.

(⇐) Sejam [α] ∈ π1

(X, x0

)e ξ um caminho ligando x0 e x1; entao α ∗ ξ e um caminho

ligando x0 e x1; pela proposicao anterior:

[(α ∗ ξ

)∗ ξ−1] ∈ Z

(π1

(X, x0

))Como [α] = [

(α ∗ ξ

)∗ ξ−1] ∈ Z

(π1

(X, x0

))temos que π1

(X, x0

)⊂ Z

(π1

(X, x0

)), isto e:

π1

(X, x0

)= Z

(π1

(X, x0

)).

Em geral, os grupos de homotopias nao sao abelianos. O grupo fundamental de umespaco depende apenas da componente conexa por caminhos do ponto x0. Logo, enatural estudar o grupo fundamental so para espacos conexos por caminhos.

2.3 Homomorfismo Induzido

Seja f : X −→ Y contınua. Nos capıtulos anteriores provamos os seguintes fatos:

1. Se α e β sao caminhos em X , entao f α e f β sao caminhos em Y .

2. Se α ' β, entao f α ' f β.

3. f (α ∗ β) ' (f α) ∗ (f β).

4. Se [α] ∈ π1

(X, x0

), entao [f α] ∈ π1

(Y, f(x0)

).

Lema 2.2. Se f : X −→ Y e contınua, entao

f∗ : π1

(X, x0

)−→ π1

(Y, f(x0)

)[α] −→ [f α],

e um homomorfismo de grupos.

Prova: Sejam [α] e [β] ∈ π1

(X, x0

), entao


f∗([α] · [β]

)= f∗

([α ∗ β]

)= [f

(α ∗ β

)]

= [f α ∗ f β]

= [f α] · [f β]

= f∗([α])· f∗([β]).

Definicao 2.5. O homomorfismo f∗ e dito induzido por f .

Proposicao 2.2. Se f : X −→ Y e g : Y −→ Z sao contınuas, entao:(g f

)∗ = g∗ f∗.

Em particular, idX induz idπ1(X,x0).

Prova: A prova e imediata.

Corolario 2.3. Se f : X −→ Y e um homeomorfismo, entao

f∗ : π1

(X, x0

)−→ π1

(Y, f(x0)

)e um isomorfismo.

Prova: A prova e imediata.

Exemplo 2.2.

[1] Utilizando a projecao estereografica; Sn − p ∼= Rn, temos:

π1

(Sn − p, p0

) ∼= π1

(Rn, x0

) ∼= q0.

[2] R2∗∼= S1 × R. Entao:

π1

(R2∗, (x0, y0)

) ∼= π1

(S1 × R, (z0, t0)

).

[3] Sabemos que RP1 ∼= S1 e CP1 ∼= S2; entao: :

π1

(RP1, [p]

) ∼= π1

(S1, z0

)π1

(CP1, [q]

) ∼= π1

(S2, w0

).


Corolario 2.4. Seja r : X −→ A uma retracao e i : A −→ X a inclusao; entao:

1. r∗ e um homomorfismo sobrejetivo. Em particular, pelo teorema do isomorfismo:

π1

(X, x0

)/Ker(r∗) ' π1

(A, x0

),

onde Ker(r∗) e o nucleo do homomorfismo r∗.

2. i∗ e um homomorfismo injetivo. Em particular, se π1

(X, x0

)e finitamente gerado,

entao π1

(A, x0

)e finitamente gerado.

Prova: Ambas seguem diretamente do fato que:

Ai−→ X

r−→ A,

e tal que r i = idA e

Xr−→ A

i−→ X,

e tal que i r = idX .

Lema 2.3. Sejam X e Y conexos por caminhos f, g : X −→ Y funcoes contınuas, taisque f ' g e os homomorfismos induzidos:

f∗ : π1

(X, x0

)−→ π1

(Y, y0

)e g∗ : π1

(X, x0

)−→ π1

(Y, y1

),

onde y0 = f(x0) e y1 = g(x0). Entao, existe ξ um caminho ligando y0 a y1 tal que:

Φ−1ξ f∗ = g∗.

Isto e, temos o seguinte diagrama comutativo:

π1

(X, x0

) f∗ //

g∗ &&

π1

(Y, y0

)Φ−1ξ

π1

(Y, y1

)Prova: Observe que nao e evidente que as homotopias preservem os pontos bases dosgrupos.


Por hipotese existe homotopia F : f ' g; logo, necessariamente, durante a homotopia,deve existir um caminho que liga y0 a y1, isto e, existe ξ(t) = F (x0, t). Devemos provarque para todo [α] ∈ π1

(X, x0

):(

Φ−1ξ f∗

)([α])

= g∗([α])⇐⇒ [ξ−1 ∗

(f α

)∗ ξ] = [g α].

Logo, devemos provar que ξ−1 ∗(f α

)∗ ξ ' g α relativamente a 0, 1. Como antes:

ξ−1 ∗(f α

)∗ ξ(t) =

ξ−1(4 t) se 0 ≤ t ≤ 1/4

(f α)(4 t− 1) se 1/4 ≤ t ≤ 1/2

ξ(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1

=

ξ(1− 4 t) = F (x0, 1− 4 t) se 0 ≤ t ≤ 1/4

F (α(4 t− 1), 0) se 1/4 ≤ t ≤ 1/2

F (x0, 2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1

Note que (g α)(t) = F (α(t), 1); por outro lado, g α ' ey1 ∗ (g α) ∗ ey1 e

ey1 ∗ (g α) ∗ ey1(t) =

F (x0, 1) se 0 ≤ t ≤ 1/4

F (α(4 t− 1), 1) se 1/4 ≤ t ≤ 1/2

F (x0, 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1

Definamos a homotopia H : ξ−1 ∗(f α

)∗ ξ ' g α, por:

H(t, s) =

F (x0, 1− 4 t+ 4 t s) se 0 ≤ t ≤ 1/4

F (α(4 t− 1), s) se 1/4 ≤ t ≤ 1/2

F (x0, 2 (t+ s− t s)− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1

Logo:

H(t, 0) = ξ−1 ∗(f α

)∗ ξ(t), H(t, 1) = g α(t) e H(0, s) = H(1, s) = y1.

Teorema 2.3. Sejam X e Y espacos conexos por caminhos. Se f : X −→ Y e umaequivalencia homotopica, entao:

f∗ : π1

(X, x0

)−→ π1

(Y, f(x0)

)e um isomorfismo de grupos.

Prova: Sejam f : X −→ Y e g : Y −→ X inversas homotopicas; entao g f ' idX ; pelolema 2.3, existe ξ tal que:


Φ−1ξ

(g f

)∗ = idπ1(X,x0).

Logo,(g f

)∗ e, necessariamente, isomorfismo; entao g∗ e sobrejetiva e f∗ e injetiva.

Por um argumento analogo, de f g ' idY , obtemos que g∗ e injetiva e f∗ e sobrejetiva.

Corolario 2.5. Se X e contratil, entao

π1

(X, x0

)' 0.

Corolario 2.6. Se A ⊂ X e um retrato por deformacao ou um retrato por deformacaoforte, entao a retracao induz um isomorfismo:

r∗ : π1

(X, x0

) ∼= π1

(A, x0

).

Observacao 2.1.

1. Em geral, como veremos mais adiante, as propriedades de f nao sao herdadaspor f∗. Por exemplo, se f e injetiva, nao necessariamente f∗ e injetiva.

2. Se π1

(X, x0

)' π1

(Y, f(x0)

), isto nao implica que exista um homeomorfismo entre

X e Y .

Exemplo 2.3.

[1] S1 × 0 e um retrato por deformacao de S1 × R. Entao:

π1

(S1 × R, (z0, 0)

)' π1

(S1 × 0, (z0, 0)

)' π1

(S1, z0

)[2] O cırculo central Σ e um retrato por deformacao da faixa de Moebius M . Entao:

π1

(M,x0

)' π1

(Σ, x0

)' π1

(S1, z0

).

Isto mostra que embora π1

(M,x0

)e π1

(S1, z0

)sejam isomorfos, M e S1 nao sao home-

omorfos (por que?).


Proposicao 2.3. Sejam x0 ∈ X , y0 ∈ Y e X × Y com a topologia produto. Entao:

π1

(X × Y, (x0, y0)

)' π1

(X, x0

)× π1

(Y, y0

),

onde π1

(X, x0

)× π1

(Y, y0

)e o produto direto de grupos.

Prova: Denotemos por p : X × Y −→ X e q : X × Y −→ Y as projecoes naturais.

Definamos:

Ψ : π1

(X × Y, (x0, y0)

)−→ π1

(X, x0

)× π1

(Y, y0

)[α] −→

(p∗([α]), q∗([α])

).

1. Ψ esta bem definida, isto e, se [α] = [β] devemos provar que Ψ([α])

= Ψ([β]).

Se [α] = [β], existe F : α ' β homotopia correspondente.

Consideremos H1(t, s) = (p F )(t, s) e H2(t, s) = (q F )(t, s); entao:

H1(t, 0) = p(α(t)

), H1(t, 1) = p

(β(t)

)H2(t, 0) = q

(α(t)

), H2(t, 1) = q

(β(t)

).

Logo, Ψ([α])

= Ψ([β]).

2. Ψ e um homomorfismo, pois p∗ e q∗ sao homomorfismos.

3. Ψ e sobrejetiva. De fato, para todo([δ1], [δ2]

)∈ π1

(X, x0

)×π1

(Y, y0

), consideremos

α(t) = (δ1(t), δ2(t)); entao [α] ∈ π1

(X × Y, (x0, y0)

)e tal que:

Ψ([α])

=(p∗([α]), q∗([α])

)=([δ1], [δ2]

).

4. Ψ e injetiva. Seja [α] ∈ π1

(X × Y, (x0, y0)

); entao α(t) = (α1(t), α2(t)) e tal que

α1(0) = α1(1) = x0 e α2(0) = α2(1) = y0

Ψ([α])

= ([cx0 ], [cy0 ])⇔ [p α] = [cx0 ] e [q α] = [cy0 ],

isto e, existem F : p α ' cx0 e G : q α ' cy0 . Definamos:

2.4. ESPACOS SIMPLESMENTE CONEXOS 59

H(t, s) = (F (t, s), G(t, s)), logo :H(t, 0) = (F (t, 0), G(t, 0)) = ((p α)(t), (q α)(t)) = (α1(t), α2(t))

H(t, 1) = (F (t, 1), G(t, 1)) = (x0, y0)

Entao, [α] = [c(x0,y0)]; logo Ker(Ψ) = [c(x0,y0)] e Ψ e injetiva.

Exemplo 2.4.

[1] Sabemos que π1

(R2∗, (x0, y0)

)' π1

(S1 × R, (z0, t0)

); logo:

π1

(R2∗, (x0, y0)

) ∼= π1

(S1 × R, (z0, t0)

) ∼= π1

(S1, z0

)× π1

(R, t0

)∼= π1

(S1, z0

).

Em geral, Rn − p ∼= Sn−1 × R; logo:

π1

(Rn − p, p0

) ∼= π1

(Sn−1 × R, (w0, p0)

) ∼= π1

(Sn−1, w0

).

[2] Considere o toro T = S1 × S1; entao:

π1

(T, (z0, z0)

) ∼= π1

(S1, z0

)× π1

(S1, z0

).

[3] Considere o toro solido S1 × B; entao:

π1

(S1 × B, (z0, p0)

) ∼= π1

(S1, z0

)× π1

(B, p0

) ∼= π1

(S1, z0

).

2.4 Espacos Simplesmente Conexos

Definicao 2.6. X e simplesmente conexo se e conexo por caminhos e

π1

(X, x0

)= 0, ∀x0 ∈ X.

Proposicao 2.4. X e simplesmente conexo se, e somente se para todos α, β : I −→ Xtais que α(0) = β(0) e α(1) = β(1), tem-se α ' β.

Prova: Sejam α e β caminhos ligando x0 a x1 ∈ X ; entao [α ∗ β−1] ∈ π1

(X, x0

). Se X e

simplesmente conexo, entao α ∗ β−1 ∼ ex0 ; logo α ∗ β−1 ∗ β ∼ ex0 ∗ β; logo α ' β.

A recıproca e imediata.


Exemplo 2.5.

[1] Se X e contratil, entao e simplesmente conexo. Veremos mais adiante que a recıpro-ca e falsa.

[2] Se X e Y sao simplesmente conexos, entao X × Y e simplesmente conexo.

Lema 2.4. Seja X um espaco topologico tal que X = U ∪V , onde U e V sao subespacosabertos simplesmentes conexos e U ∩ V e conexo por caminhos. Entao X e simples-mentes conexo.

Prova: Seja [α] ∈ π1

(X, x0

)tal que x0 ∈ U ∩ V . Como α e contınua, temos que o

conjunto α−1(U), α−1

(V) e uma cobertura do compacto I . Logo, existe (por que?)

uma particao de I :

0 = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = 1

tal que α([ti−1, ti]

)⊂ U ou α

([ti−1, ti]

)⊂ V . Se dois intervalos consecutivos [ti−1, ti] e

[ti, ti+1] sao tais que α([ti−1, ti

)e α([ti, ti+1]

)pertencem ambos a U ou V , eliminamos o

ponto comum ti; logo, podemos considerar α(ti) ∈ U ∩ V .

Por outro lado, como U ∩ V e conexo por caminhos, podemos ligar x0 a α(ti) por umcaminho ηi:

Para cada i, definamos:

αi(s) = α((ti − ti−1) s+ ti−1), 0 ≤ s ≤ 1.

Logo, αi(0) = α(ti−1) e αi(1) = α(ti); como α ' α1 ∗ α2 ∗ · · · ∗ αn, entao:

α ' (α1 ∗ η−11 ) ∗ (η1 ∗ α2 ∗ η−1

2 ) ∗ (η2 ∗ α3 ∗ η−13 ) ∗ . . . ∗ (ηn ∗ αn).

Veja o seguinte desenho:

x0

α

α1

α(t1) α

α(t2)

2

α

α

α(t

(t

i−1)

i

i

)

η1

ηi

η2

Figura 2.8:

2.4. ESPACOS SIMPLESMENTE CONEXOS 61

Note que cada ηi∗αi+1∗η−1i+1 ⊂ U ou a V ; como U e V sao simplesmente conexos, temos

que para cada i

ηi ∗ αi+1 ∗ η−1i+1 ' ci; entao α ' cx0 .

Logo π1

(X, x0

)= 0.

Observacao 2.1. E possıvel enfraquecer as hipoteses do lema. Por exemplo, se X =A ∪ B tal que A ∩ B seja conexo por caminhos, sem necessariamente A ou B seremabertos em X . Basta considerar U e V abertos tais que A ⊂ U , B ⊂ V , U ∩ V conexopor caminhos e as inclusoes: A −→ U e B −→ V que sao equivalencias homotopicas.

Corolario 2.7. π1

(Sn, p

)= 0 para todo n ≥ 2.

Prova: Nao e difıcil ver que:

Sn ∼= Sn− ∪ Sn+,

onde Sn+ = Sn − pN ∼= Rn e Sn− = Sn − pS ∼= Rn; ambos os conjuntos sao abertose contrateis; logo, sao abertos e simplesmente conexos. Por outro lado, sabemos queSn− ∩ Sn+ ' Sn−1, logo e conexo por caminhos. Pelo lema, temos que Sn e simplesmenteconexo, para todo n ≥ 2. Veja [MV].

Provaremos nos proximos paragrafos que S1 nao e simplesmente conexo. Por outrolado, segue do teorema de Stokes que Sn nao e contratil.

Exemplo 2.6.

[1] Rn∗ = Rn − 0 e simplesmente conexo se n > 2. De fato, Rn∗ ' Sn−1.

[2] Sejam Sm e Sn ⊂ Rk, com k suficientemente grande, esferas tais que Sn ∩ Sm = p,com n ≥ m ≥ 2.

Consideremos X = Sn ∪ Sm; entao

π1

(X, x0

)= 0.


S

a

b

nm

S

Figura 2.9: X = Sn ∪ Sm

Sejam a ∈ Sn, b ∈ Sm tais que a, b 6= p; U = X − a e V = X − b, claramente

Sm ' U, Sn ' V

e U ∩ V e conexo por caminhos; entao X e simplesmente conexo.

[3] Para m− 2 ≥ n, temos os seguintes homeomorfismos:

Rm − Rn ∼=(Rm−n − 0

)× Rn ∼= Sm−n−1 × Rn;

por outro lado, sabemos que Sm−n−1 × Rn ' Sm−n−1. Logo:

π1

(Rm − Rn, (z0, w0)

) ∼= π1

(Sm−n−1 × Rn, (x0, y0)

) ∼= π1

(Sm−n−1, x0

)= 0,

se m− 2 > n.

Observacao 2.2. Notamos que existem exemplos em que a reuniao de espacos simples-mente conexos nao e necessariamente simplesmente conexo, mesmo que tenham umponto comum. (Verifique!).

2.5 Grupos de Homotopias Abelianos

A seguir, apresentamos uma classe especial de espacos topologicos que possuem grupofundamental abeliano. Em particular, os grupos fundamentais sao todos isomorfos.

Definicao 2.7. O grupo G e dito topologico se tambem e um espaco topologico tal quea operacao do grupo e a aplicacao:

ν :G −→ G

a −→ a−1

sao contınuas.

2.5. GRUPOS DE HOMOTOPIAS ABELIANOS 63

Exemplo 2.7.

[1] Rn com a topologia e a multiplicacao usual e um grupo topologico.

[2] Seja S1 ⊂ C com a topologia induzida pela topologia usual de C. Entao S1 com amultiplicacao de numeros complexos e um grupo topologico.

[3] Analogamente, o toro S1 × S1 e um grupo topologico.

[4] Os grupos de matrizes com o produto de matrizes sao grupos topologicos.

Como veremos a seguir, a estrutura algebrica no espaco topologico G se reflete forte-mente em seu grupo fundamental.

Utilizando a operacao contınua do grupo topologico, isto e:

: G×G −→ G

(a, b) −→ a b,

definimos um novo produto em π1

(G, e

), onde e e a identidade de G.

Dados α, β : I −→ G caminhos tais que α(0) = α(1) = β(0) = β(1) = e, denotamos edefinimos este novo produto por:

α β(t) = α(t) β(t), (2.1)

para todo t ∈ I . Note que α β(0) = α(0) β(0) = e e = e = α β(1).

Podemos definir atraves de (2.1) um novo produto em π1

(G, e

):

π1

(G, e

)×π1

(G, e

)−→ π1

(G, e

)([α], [β]) −→ [α β].

Utilizamos a seguinte notacao:

[α] [β] = [α β].

Como antes, denotemos o caminho constante por ce(t) = e, para todo t ∈ I .

Lema 2.5. Sejam α1, α2, β1, β2 : I −→ G:

1. Se α1 ' α2 e β1 ' β2, entao:

α1 β1 ' α2 β2.


2. Em particular, se α1, α2, β1, β2 sao caminhos fechados, com ponto base e, entao

(α1 ∗ β1

)(α2 ∗ β2

)=(α1 α2

)∗(β1 β2

).

Prova:

1. Sejam F : α1 ' α2 e G : β1 ' β2 as respectivas homotopias. Definamos H(t, s) =F (t, s) G(t, s); entao H : α1 β1 ' α2 β2.

2. Utilizamos as definicoes de cada produto:

(α1 ∗ β1

)(α2 ∗ β2

)(t) = α1 ∗ β1(t) α2 ∗ β2(t)

=

α1(2 t) α2(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

β1(2 t− 1) β2(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1

=(α1 α2

)∗(β1 β2

)(t).

Observacao 2.2.

1. Fazendo α2 = β1 = ce, na segunda parte do lema, temos:

α1 β2 ' (α1 ∗ ce) (ce ∗ β2) = (α1 ce) ∗ (ce β2) ' α1 ∗ β2.

Logo,

[α1 β2] = [α1 ∗ β2], (2.2)

isto e, ambos os produtos em π1

(G, e

)coincidem.

2. Fazendo α1 = β2 = ce, na segunda parte do lema, temos:

β1 α2 ' (ce ∗ β1) (α2 ∗ ce) = (ce α2) ∗ (β1 ce) ' α2 ∗ β1.

Logo,

[β1 α2] = [α2 ∗ β1]. (2.3)

2.5. GRUPOS DE HOMOTOPIAS ABELIANOS 65

Teorema 2.4. Se G e um grupo topologico, entao π1

(G, e

)e um grupo abeliano. Alem

disso, os produtos definidos em π1

(G, e

)coincidem.

Prova: Segue de (5.3) e (2.3). De fato, de (5.3), para todo [α], [β] ∈ π1

(G, e

), temos que

[α] [β] = [α] · [β]. De (2.3), temos:

[α] · [β] = [α] [β] = [α β] = [β ∗ α] = [β] · [α].

Exemplo 2.8.

[1] Considere S1 como grupo topologico e e = (1, 0); entao π1

(S1, e

)e um grupo abeli-

ano.

[2] Considere S1×S1 como grupo topologico; entao π1

(S1×S1, e

)e um grupo abeliano.

[3] π1

(O(n), I

)e um grupo abeliano.

Observacao 2.3. Observe que nao utilizamos todas as propriedades do grupo topo-logico. Isto nos indica que e possıvel enfraquecer a hipotese da estrutura de grupo.Essencialmente utilizamos a identidade, sendo a operacao do grupo contınua.


2.6 Exercıcios


2. Prove que h : [a, b] −→ [0, 1] definido por h(t) =t− ab− a

e um homeomorfismo.

3. Se consideramos[X, x0, x1

]o conjunto das classes de caminhos que ligam x0 a

x1, (x0 6= x1), com a mesma operacao definida anteriormente para π1

(X, x0

), o

conjunto[X, x0, x1

]e um grupo? Justifique sua resposta.

4. Seja

Ω(X, x0) = α : I −→ X /α(0) = α(1) = x0.

Verifique que:

π1

(X, x0

)= Ω(X, x0)

/' ,

onde ∼ e a homotopia de caminhos.

5. Se X e um espaco indiscreto, determine π1

(X, x0

)6. Um espaco topologico X e dito espaco de Hopf ou H-espaco se existem funcao

contınua (multiplicacao):

m : X ×X −→ X,

e x0 ∈ X tais que m(x0, x0) = x0, q1 i 'x0 idX e m q2 'x0 idX , onde

q1, q2 : X −→ X ×X

sao definidas por q1(x) = (x, x0) e q2(x) = (x0, x). Com as notacoes anteriores,seja X um H-espaco. Verifique que:

(a) m((q1 α) ∗ (q2 β)) ' α ∗ β, onde α e β sao caminhos fechados em x0.

(b) π1

(X, x0

)e abeliano.

2.6. EXERCICIOS 67

7. Seja X um espaco topologico nao vazio, X simplesmente conexo, verifique seS(X) e simplesmente conexo?

8. Seja f : X −→ Y contınua e injetiva, entao f∗ : π1

(X, x0

)−→ π1

(Y ), y0

)e injetiva?

9. Se f : X −→ Y e uma equivalencia de homotopia, entao X − x0 tem o mesmotipo de homotopia que Y − f(x0)?

10. Seja X um espaco topologico nao vazio, denotamos e definimos o cone de X por:

C(X) =(X × [0, 1]

)/∼, onde (x, 1) ∼ p0, ∀x ∈ X.

p0 e dito vertice do cone.

(a) Determine C(S1) e C(S2).

(b) Se f : X −→ Y contınua, podemos estender f a C(f) : C(X) −→ C(Y )contınuamente?

(c) Calcule π1

(C(X), x0

), para qualquer X .

11. Verifique que π1

(S1, x0

)e um grupo abeliano?

Capıtulo 3

GRUPO FUNDAMENTAL DOCIRCULO

Este capıtulo e crucial para obter novos exemplos de grupo fundamental e estudar, emparticular, as tecnicas gerais que apressentaremos nos proximos capıtulos.

Para calcular π1

(S1, x0

)estudaremos uma serie de conceitos novos que serao natural-

mente estendidos a espacos topologicos em geral.

3.1 Introducao

Seja x0 = (1, 0) ∈ S1 ⊂ C, fixado.

Todo caminho em S1 fechado em x0, arbitrario tem que dar um multiplo inteiro de”voltas” ao redor de S1.

Observacao 3.1.

1. Provaremos que essencialmente, existe somente uma unica classe de caminhosfechados nao homotopicos a uma constante em S1.

2. A ideia basica deste capıtulo e comparar caminhos de S1 com caminhos de R viao homeomorfismo local exp.

Seja

exp : R −→ S1

t −→ exp(t) = e2πit.

69

70 CAPITULO 3. GRUPO FUNDAMENTAL DO CIRCULO

1. A aplicacao exp e um homeomofismo local sobrejetivo.

2. Como x0 = (1, 0) ∈ S1, entao:

exp−1(x0) = Z,

Para outros detalhes, veja [MV].

Para visualizar geometricamente a aplicacao exp, consideramos H uma helice em R3

parametrizada por:

γ : R −→ R3

tal queγ(t) = (cos(2 π t), sen(2 π t), t).

Figura 3.1:

Logo, temos que H e homeomorfo a R .

O homeomorfismo local exp pode ser pensado como a restricao da projecao de:

p : R3 −→ R2,

onde p(x, y, z) = (x, y) para todo (x, y, z) ∈ H .

Por outro lado, temos que exp−1x0 = Z e que se n for positivo o caminho ”sobe” aolongo da helice.

Analogamente se n e negativo o caminho ”desce” ao longo da helice.

3.2. LEVANTAMENTO DE CAMINHOS 71

Figura 3.2:

Provaremos que para todo α : I −→ S1 caminho fechado em x0, existe um unicocaminho α : I −→ R que liga a origem com n, logo α(t) = n t, tal que α = exp α.

Em outras palavras, existe um unico α que torna o seguinte diagrama comutativo:

Rexp

I α//

α

??

S1

Observacao 3.1. O caminho α e dito levantamento do caminho α com ponto inicialem α(0).

3.2 Levantamento de Caminhos

Fixando uma orientacao em S1, se o caminho fechado em x0 percorre n vezes S1 nosentido positivo (em relacao a base canonica de R2), diremos que o numero de voltasdo caminho e n; caso contrario que e −n.

Definicao 3.1. Este numero inteiro n, e dito o grau do caminho α.

Definamos:


gr : π1

(S1, x0

)−→ Z

[α] −→ α(1) = n,

onde α = exp α.

Provaremos que gr e um isomorfismo de grupos. A prova segue dos seguintes teore-mas:

Lema 3.1. Sejam U ⊂ S1 − x0 aberto e V = [0, 1] ∩ exp−1(U) ⊂ R. Entao:

1.exp−1

(U)

=⋃n∈Z

v + n; v ∈ V ,

onde a uniao dos abertos V + n := v + n; v ∈ V e disjunta.

2. Para cada n ∈ Z, V + n e homeomorfo a U via a funcao exp.

Prova:

1. Sem perda de generalidade podemos supor que o aberto de S1 e da forma:

U = exp(2πit); t ∈ (a, b) ⊂ [0, 1].

Logo, V = [0, 1] ∩ exp−1(U) = (a, b); entao V + n = (a+ n, b+ n) para todo n ∈ Z.Claramente, exp−1

(U)

e a uniao disjunta dos abertos V + n.

2. Denotando por en = exp∣∣V+n

temos que en e contınua e bijetiva. Verificaremos acontinuidade de:

(en)−1 : U ⊂ S1 −→ (V + n) ⊂ R.

Seja W ⊂ V + n fechado. Como V+n e limitado entao W e compacto; por outrolado S1 e de Hausdorff; logo en : W −→ en(W ) ⊂ U e um homeomorfismo; entaoen(W ) e compacto e, em particular, fechado.

3.2. LEVANTAMENTO DE CAMINHOS 73

Corolario 3.1. Se X e um espaco topologico, entao toda funcao f : X → S1 nao sobre-jetiva e homotopicamente nula.

Prova: Suponha que x /∈ Im(f). Entao S1 − x e homeomorfo a (0, 1). Por outro ladoo intervalo (0, 1) e contratil; logo,f e homotopicamente nula.

Observacao 3.2. A seguir apresentamos o primeiro resultado crucial deste capıtulo: ochamado Teorema de Levantamento dos Caminhos. Este teorema e bastante geral.Neste paragrafo apresentamos apenas a prova para:

exp : R −→ S1.

Teorema 3.1. (Levantamento dos Caminhos) Toda funcao contınua f : I −→ S1 possuium levantamento F . Fixado t0 ∈ R com exp(t0) = f(0), o levantamento F tal queF (0) = t0 e unico.

Rexp

If//

F

??

S1

Prova: Para cada x ∈ S1 , seja Ux uma vizinhanca de x. Pelo lema anterior exp−1(Ux)e uma reuniao disjunta de abertos (homeomorfos a Ux via a exp). Como f e contınua,entao:

f−1(Ux);x ∈ S1 = (xj, yj) ∩ [0, 1]; j ∈ J

e uma cobertura aberta para I . Pela compacidade de I , existe uma subcobertura finita:

[0, t1 + e1), (t2 − e2, t2 + e2), · · · · · · , (tn − en, 1]

com ti + ei ti+1 − ei+1 para i = 0, ..., n− 1.

Escolhemos ai ∈ (ti+1 − ei+1, ti+1 + ei+1) para i = 1, · · · , n − 1 tais que o conjunto0 = a0, a1, · · · , an = 1 e uma particao de I .

Seja Si ⊂ S1 conjunto aberto tal que:

f([ai, ai+1]) ⊆ Si, i = 0, · · · , n.

Definiremos (indutivamente) levantamentos Fk sobre [0, ak] da seguinte forma:


a

I

exp

S

k k+1

1

ak)

k,

k+1a

Sk

f

F

W

IR

f([ ])

a

a

α(~

Figura 3.3:

1. Para k = 0, seja F0 = t0.

2. Suponha que Fk : [0, ak] −→ R e definida e unica (com Fk(0) = t0).

3. Aplicando o lema anterior, temos que exp−1(Wk) e uma uniao disjunta de abertostal que (exp|Wj

) e um homeomorfismo para cada j ∈ J (Wk e um aberto tal quef([ak, ak+1]) ⊆ Wk). Fk(ak) ∈ W para algum W ∈ Wj; j ∈ J. Note que W eunico.

4. Qualquer extensao Fk+1 leva [ak, ak+1] em W ([ak, ak+1] e conexo por caminhos eFk+1 e contınua).

5. Como (exp|W ) : W −→ Sk e homeomorfismo, existe uma unica funcao:

ρ : [ak, ak+1] −→ W

tal que exp|W ρ = f |[ak,ak+1], onde ρ = (exp|W )−1.

6. Definimos:

Fk+1(s) =

Fk(s) se 0 ≤ s ≤ ak

ρ(s) se ak ≤ s ≤ ak+1.

Fk+1 e contınua (Fk(ak) = ρ(ak)) e unica por construcao.

3.3. O GRUPO FUNDAMENTAL DO CIRCULO 75

7. Indutivamente obtemos F .

3.3 O Grupo Fundamental do Cırculo

Usando o teorema anterior, podemos definir a funcao grau de um caminho fechado αem S1.

Seja α um caminho fechado tal que x0 ∈ S1 e fixado e α : I −→ R seu unico le-vantamento tal que α(0) = 0. Como exp−1(α(1)) = exp−1(1) = Z (denotamos por1 = (0, 1) ∈ S1), vemos que α(1) e um inteiro; logo, definimos:

gr(α) = α(1).

Mostraremos que caminhos (homotopicamente) equivalentes possuem o mesmo grau.Inicialmente mostraremos que seus respectivos levantamentos sao (homotopicamente)equivalentes. Para isto, trocaremos [0, 1] por [0, 1]× [0, 1] no teorema anterior.

Lema 3.2. (Levantamento das Homotopias) Toda funcao contınua:

H : [0, 1]× [0, 1] −→ S1

possui um levantamento:

H : [0, 1]× [0, 1] −→ R.

Dado x0 ∈ R com exp(x0) = H(0, 0), existe um unico levantamento de H tal queH(0, 0) = x0.

Rexp

I × IH//

H

<<

S1

A prova e analoga a do lema anterior. Sabendo que I2 e compacto, definimos induti-vamente levantamentos Fi,j sobre retangulos.

Como corolario do lema anterior, temos o seguinte teorema de monodromia para aaplicacao:

exp : R −→ S1,

dizendo que caminhos homotopicos tem o mesmo grau.


Corolario 3.2. Se α0 e α1 sao caminhos homotopicos em S1 fixados em x0, e α0 e α1 saoseus levantamentos respectivos com α0(0) = α1(0), entao α0(1) = α1(1). Logo:

gr(α0) = gr(α1).

Prova: Considere uma homotopia F : α0 ' α1. Entao, existe um unico levantamentoG : I2 −→ R com G(0, 0) = α0(0) = α1(0).

Analogamente, existem levantamentos α0 para α0 e α1 para α1.

Como F (t, 0) = α0(t), temos G(t, 0) = α0(t) e G(t, 1) = α1(t). F (1, t) = α0(1) = α1(1);entao G(1, t) e um caminho entre α0(1) e α1(1). Mas, G(1, t) ∈ exp−1(α0(1)) ∼= Z.Portanto G(1, t) e constante e α0(1) = α1(1).

Estamos agora em condicoes de calcular o grupo fundamental do cırculo.

Teorema 3.2. Seja x0 = (1, 0); entao, temos um isomorfismo de grupos:(π1

(S1, x0

), ·) ∼= (Z, +

).

Em outras palavras, π1

(S1, x0

)e um grupo cıclico infinito gerado por [α], onde o cami-

nho α : I −→ S1 e tal que α(t) = exp(t).

Prova: Definimos a aplicacao:

gr : π1

(S1,x0

)−→ Z

[α] −→ α(1)

onde α e o unico levantamento de α.

1. Pelo corolario anterior, gr e bem definida.

2. A funcao gr e um homomorfismo de grupos.

Devemos provar que, para todo [α], [β] ∈ π1

(S1, x0

), temos que:

gr([α] · [β]) = gr([α]) + gr([β]).

Por outro lado, [α] · [β] = [α ∗ β]. Consideremos γ : [0, 1] −→ R definida por:

γ(t) =

α(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

β(2 t− 1) + α(1) se 1/2 ≤ t ≤ 1.

3.4. ALGUMAS CONSEQUENCIAS DO ISOMORFISMO 77

O caminho γ e bem definido em t = 1/2. Como α(1) e um inteiro, temos que :

exp γ = α ∗ β

e, portanto, pela unicidade do levantamento γ = α ∗ β. Entao:

gr([α] · [β]) = gr([α ∗ β]) = γ(1) = α(1) + β(1) = gr([α]) + gr([β]).

3. A funcao gr e injetiva.

Isto e, se gr([α] = gr([β]), entao α(1) = β(1), como α(0) = β(0) = 0. Considere-mos a homotopia:

H(t, s) = exp((1− s) α(t) + s β(t)).

H(t, 0) = α(t) e H(t, 1) = β(t). Logo, [α] = [β].

4. A funcao gr e sobrejetiva.

Dado n ∈ Z, seja µ : [0, 1] −→ R definida por µ(t) = n t; entao, exp µ : [0, 1] −→S1 e exp µ(0) = exp µ(1) = x0. Logo, µ e um levantamento de exp µ tal queµ(0) = 0; entao:

gr([exp µ]) = µ(1) = n.

Isto completa a prova do resultado principal.

3.4 Algumas Consequencias do Isomorfismo

[1] A esfera Sn, (n > 1) nao e homeomorfa a S1.

De fato, se fossem homeomorfas:

0 = π1

(Sn, p0

) ∼= π1

(S1, x0

) ∼= Z,

o que e absurdo.

[2] Seja o cilindro C = S1 × R; entao:

π1

(C, (x0, z0)

) ∼= π1

(S1, x0

)× π1

(R, z0

) ∼= Z.


Dos capıtulos anteriores sabemos que S1×0 e um retrato por deformacao de S1×R.Um gerador do grupo π1

(C, (x0, z0)

)e a classe de homotopia do cırculo central:

α(t) = (exp(t), 0).

Um caminho fechado em C e homotopico a n vezes o gerador α, quando n e o numerode vezes que o caminho fechado intersecta transversalmente a geratriz (1, 0)× R.

S

S x IR

1

α

1

Figura 3.4: Gerador de π1

(C, (x0, z0)

)

Em geral,

π1

(S1 × Rn, p0

) ∼= Z.

[3] Considere o toro T2 = S1 × S1; entao:

π1

(T2, (z0, z0)

) ∼= π1

(S1, z0

)× π1

(S1, z0

) ∼= Z× Z.

O gerador do grupo π1

(T2, (z0, z0)

)pode ser entendido da seguinte forma: considere o

paralelo α e o meridiano β:


Figura 3.5: Geradores de π1

(T2, (z0, z0)

)Todo caminho fechado γ e homotopico a pα + q β, onde p e o numero de vezes que ocaminho fechado intersecta transversalmente o paralelo α e q e o numero de vezes queo caminho fechado intersecta tranversalmente o meridiano β com o seguinte cuidado:fixando uma direcao, contamos positivamente as passagens para um lado e negativa-mente para o outro.

π1

(T2, (z0, z0)

)) −→ Z× Z

[γ] −→ (p, q)

Figura 3.6: γ e homotopico a pα + q β

[4] Considere o toro solido S1 × B; entao:

π1

(S1 × B, (z0, p0)

) ∼= π1

(S1, z0

) ∼= Z.

[5] O cırculo central Σ e um retrato por deformacao da faixa de Moebius M . Entao:


π1

(M,x0

)' π1

(Σ, x0

)' π1

(S1, z0

)' Z.

[6] A esfera Sn, (n > 1) nao e homeomorfa a Tn = S1 × S1 × . . .× S1, (n-vezes).

De fato, se fossem homeomorfas, terıamos que:

π1

(Sn, z0

) ∼= π1

(Tn, y0

) ∼= π1

(S1, x0

)× · · · × π1

(S1, x0

).

Isto e:

0 ∼= Z× . . .× Z ∼= Zn,

o que e absurdo.

[7] Pelo mesmo argumento anterior, Sn nao e homeomorfa a Sn−1 × S1.

Corolario 3.3. (Teorema Fundamental da Algebra) Todo polinomio nao constante comcoeficientes em C possui uma raiz em C.

Prova: Sem perda de generalidade podemos supor que o polinomio tem a forma:

p(z) = zn + a1 zn−1 + · · ·+ an.

Se p(z) nao possui raızes, para cada numero real r ≥ 0, definimos:

fr(t) =p(r exp(t))

‖p(r exp(t))‖‖p(r)‖p(r)

.

onde 0 ≤ t ≤ 1, fr(t) define um caminho fechado em S1 com ponto base x0. Seja

H(t, s) =

fs/1−s(t) se 0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤ s < 1

exp(nt) se 0 ≤ t ≤ 1, s = 1.

Note que:

lims→1

H(s, t) = lims→1

fs/1−s(t) = limr→+∞

fr(t) = (exp(t))n.

Logo, H e contınua. Por outro lado H(t, 0) = f0(t) = x0 que e o caminho constante emx0 e H(t, 1) = exp(nt), isto e H : f0 ∼ f1, entao:

0 = gr([f0]) = gr([f1]) = n

o que e uma contradicao.


Corolario 3.4. (Ponto fixo de Brouwer para n=2) Seja D ⊂ C tal que ∂D = S1. Todafuncao contınua h : D −→ D possui um ponto fixo, isto e, existe x ∈ D tal que h(x) = x.

Prova: Suponhamos que h(x) 6= x para todo x ∈ D. Definamos

r : D −→ S1

do seguinte modo: r(x) ∈ S1 e obtido da intersecao de S1 com a semi-reta de origemem x e que passa por h(x).

O

r(x)

h(x)

x

S1

Figura 3.7: Definicao da funcao r = r(x)

A continuidade de r e clara, pois pequenas pertubacoes de x produzem pequenaspertubacoes de h(x) e portanto pequenas pertubacoes da reta que liga estes pontos.Note que se x ∈ S1, entao r(x) = x; logo, se consideramos i : S1 −→ D a inclusao,temos que r e um retrato, pois r i = idS1 . Logo:

r∗ : 0 ∼= π1

(S1, x0

)' Z

o que e uma contradicao, pois D e contratil.

Utilizando Geometria Analıtica elementar, podemos dar uma definicao explıcita dafuncao r = r(x).

De fato, denotemos por v1 = h(x), z = r(x) e v = (x− v1)/‖x− v1‖; logo

r(v) = z = v1 + t v,

para algum t ≥ 0 tal que v1 + t v ∈ S1, isto e (v1 + t v) · (v1 + t v) = 1, que e equivalentea:

(x · x) t2 + 2 t (v1 · x) + v1 · v1 = 1.

Denotemos por tx a raiz positiva desta equacao; entao:


r(x) = h(x) + txx− v1

‖x− v1‖.

3.5 Grupo Fundamental do Espaco Projetivo Real

3.5.1 Introducao

Nesta secao determinaremos o grupo fundamental do espaco projetivo real. Para isto,utilizaremos diversas propriedades dos espacos projetivos reais ja estudadas em [MV].Repetiremos as provas de alguns teoremas gerais, que serao apresentadas nos capıtulosseguintes. Notamos que estas provas serao identicas as vistas neste capıtulo.

Seja RPn o espaco projetivo real de dimensao n. De [MV] sabemos que a projecao:

Π : Sn −→ RPn

e aberta e que para todo U ⊂ Sn aberto, temos:

Π−1(Π(U))

= U ∪(− U

).

Por outro lado, Π : Sn −→ RPn e um homeomorfismo local.

De fato. Seja p ∈ RPn; entao p = x,−x. Seja U ⊂ Sn vizinhanca de x que nao contemnenhum ponto antıpoda de seus pontos, isto e, U ∩

(− U

)= ∅. Logo, Π

(U)

= U e umavizinhanca de p, tal que:

Π−1(U)

= U ∪(− U

)e Π∣∣U

e um homeomorfismo sobre U .

Observacao 3.2.

1. A vizinhanca U do lema anterior, tambem e chamada vizinhanca distinguida doponto p ∈ RPn.

2. Como no caso de S1, mostraremos que Π : Sn −→ RPn tambem tem a proprie-dade do levantamento dos caminhos.

3.5. GRUPO FUNDAMENTAL DO ESPACO PROJETIVO REAL 83

Proposicao 3.1. Sejam α : I = [t0, t1] −→ RPn e x0 ∈ Sn tal que Π(x0) = α(t0). Existeum unico caminho α : I −→ Sn tal que α(t0) = x0 e α = Π α, isto e, temos o seguintediagrama comutativo:

Sn

Π

I α//

α

==

RPn

Prova: Observemos que proposicao e valida se:

1. α(I) ⊂ U e U ⊂ RPn e uma vizinhanca distinguida do ponto x0,−x0, tal que:

Π−1(U)

= U ∪(− U

).

De fato, suponha que x0 ∈ U e denotemos por π = Π∣∣U

. Logo, π : U −→ U e umhomeomorfismo. Consideremos α : I −→ U definida por α = π−1 α.

2. O intervalo I = I1∪ I2 (i = 1, 2), onde Ii sao intervalos fechados com um extremocomum t2 e tais que a proposicao seja valida para α

∣∣I1

= α1 e α∣∣I2

= α2.

De fato, aplicando a proposicao a cada intervalo, obtemos α1 : I1 −→ Sn tal queα1(t0) = x0 e π α1 = α1 e, a seguir, α2 : I1 −→ Sn tal que α2(t2) = α1(t2) eπ α2 = α2. Logo, definimos α : I −→ Sn por:

α(t) =

α1(t) se t ∈ I1

α2(t) se t ∈ I2.

3. O caso geral, segue dos casos 1. e 2. De fato, como I e compacto, entao podemosdecompor I numa reuniao finita de subintervalos compactos justapostos, isto eI = I1 ∪ I2 ∪ . . . ∪ Ik tais que α(Ii) ⊂ Ui, para cada i, onde Ui e uma vizinhancadistinguida.

4. A unicidade de α segue do fato de que se supomos que existem

α, β : I −→ Sn

tais que Π α = Π β, entao para todo t ∈ I devemos ter:

α(t) = β(t) ou α(t) = −β(t);


utilizando o produto interno de Rn+1, temos < α(t), β(t) >= ±1, para todo t ∈ I ;por outro lado, como I e conexo, o produto interno anterior deve ser constante.Logo, se α(t0) = β(t), entao α(t) = β(t) para todo t ∈ I .

Observacao 3.3. Note que o levantamento de um caminho fechado em Sn nem sempree um caminho fechado em RPn, pois cada caminho em Sn possui dois levantamen-tos; alem disso, um deles e fechado se, e somente se ambos sao fechados. De fato, seα : I −→ Sn e tal que α = Π α e se α e fechado, o caminho fechado α possui umlevantamento fechado. Se os extremos do caminho α sao antipodais, α e um caminhofechado em RPn que possui levantamento nao fechado.

Proposicao 3.2. Seja n ≥ 2; fixando x0 ∈ Sn e p0 = Π(x0) ∈ RPn e considerandoα, β : I −→ RPn caminhos fechados de base p0, denotemos por α, β : I −→ Sn oscorrespondentes levantamentos com origem em x0. Com as notacoes anteriores, temosque α(1) = β(1) se, e somente se α ' β.

Prova: Se α, β : I −→ Sn sao tais que α(1) = β(1), como Sn e simplesmente conexo,temos α ' β.

Se α = Π α ' Π β, como α(0) = β(0) = x0, α(1) = ±x0 e β(1) = ±x0. Porhipotese α(1) = β(1) se, e somente se |α(1) − β(1)| 6= 2, onde | | e a norma induzidaem RPn pela norma de Rn+1. Em particular, se ‖α(t) − β(t)‖ 6= 2, para todo t ∈ I ,isto e α(t) e β(t) nunca sao antipodais, entao |α(t) − β(t)| 6= 2, para todo t ∈ I ; comoα(0) = β(0), nao podemos ter |α(1) − β(1)| = 2. Em geral, considere a homotopiaH : α ' β; pela continuidade uniforme de H , existem 0 = t0 < t1 < . . . < tn = 1 taisque |H(s, ti−1) − H(s, ti)| < 2, para todo s ∈ I e i = 1, . . . n. Definamos os caminhosfechados em p0: αi(s) = H(s, ti); os pontos αi(s) e αi+1(s) nao podem ser antipodais,logo αi(1) = αi+1(1). Entao,

α0(1) = α1(1) = . . . · · · = αn(1) = β(1).

3.6 O Grupo Fundamental de RPn

Sabemos que RP1 ' S1, entao:

π1

(RP1, p0

) ∼= Z.

Para n ≥ 2, existem apenas duas classes de homotopias de caminhos fechados emRPn, com ponto base p0. A classe dos caminhos cujo levantamento e fechado e os quepossuem o levantamento aberto. Logo:

3.6. O GRUPO FUNDAMENTAL DE RPN 85

Teorema 3.3. Para n ≥ 2:

π1

(RPn, p0

)' Z2.

3.6.1 Geradores do grupo π1(RPn, p0

).

Seja:

α : I −→ Sn,

tal que α(s) = (cos(s π), sen(s π), 0, . . . , 0); claramente α e um caminho em Sn. Poroutro lado α(0) = e1 e α(1) = −e1. O caminho fechado α em RPn nao e homotopico auma constante. Note que α · α = 2α = 0. Logo, [α] gera π1

(RPn, p0

).

Corolario 3.5. (Teorema de Borsuk-Ulam para n=2) Nao existe funcao f : S2 −→ S1

contınua tal que f(−x) = −f(x), para todo x ∈ S2.

Prova: Se tal funcao existe, entao f(±x) = ±f(x), para todo x ∈ S2. Entao, f induz noquociente f : RP2 −→ RP1 tal que o seguinte diagrama comuta:

S2 f−−−→ S1

Π1

y yΠ2

RP2 f−−−→ RP1 ' S1

Isto e, f Π1 = Π2 f . Por outro lado sabemos que:

π1

(RP1, p0

)= π1

(S1, p0

) ∼= Z

e

π1

(RP2, p0

) ∼= Z2.

Logo, f∗ : Z2 −→ Z deve ser um homorfismo trivial, pensados como grupos aditivos.Seja α um caminho em S2 que liga o polo norte ao polo sul de S2 ao longo de meridianode comprimento fixo; entao [Π1 α] e um gerador de π1

(RP2, p0

) ∼= Z2. Como o polonorte e o polo sul sao pontos antipodais de S2, estes pontos, sao identificados em RP1;logo [Π2 f α] e nao trivial em π1

(RP1, p0

). Por outro lado:

[(Π2 f) α] = [(f Π1) α] = f∗([Π1 α]) = 0,

o que e uma contradicao.


3.7 Aplicacoes do Teorema de Borsuk-Ulam

[1] Se f : S2 −→ R2 contınua e tal que f(−x) = −f(x), para todo x ∈ S2, entaof(z0) = (0, 0), para algum z0 ∈ S2.

De fato, suponha que f(z) 6= (0, 0) para todo z ∈ S2. Entao, podemos definir:

h(z) =f(z)

‖f(z)‖

e obtemos h : S2 −→ S1 contınua tal que h(−x) = −h(x), o que contradiz o teorema deBorsuk-Ulam.

[2] Se f : S2 −→ R2 e contınua, entao existe z ∈ S2 tal que f(z) = f(−z).

De fato, suponha que f(z) 6= f(−z) para todo z ∈ S2. Entao, podemos definir:

h(z) = f(z)− f(−z),

contınua tal que h(−z) = −h(z) e h 6= 0, o que contradiz o teorema de Borsuk-Ulam.

Em paricular, nao existe subconjunto de R2 que seja homeomorfo a S2.

3.8 Grupo Fundamental de Grupos Ortogonais

Da Algebra Linear sabemos que o conjunto formado pelas matrizes como entradaselementos de K = R ou C, de ordem n×m e um espaco topologico conexo.

Fixemos K = R; o caso complexo e analogo. Denotemos este espaco por:

Mn×m(R).

E conhecido que que existe um homeomorfismo natural:

Mn×m(R) ∼= Rn×m.

Por tanto:

π1

(Mn×m

(R), I) ∼= 0,

para todo n, m ∈ N.

Nos, estudaremos somente os grupos ortogonais especiais SO(n), n ≤ 3.

Observacao 3.4. Consideremos o grupo topologico SO(n):

3.9. O GRUPO SO(3) 87

1. Claramente, SO(1) = 1, isto e, um grupo de um elemento; logo:

π1

(SO(1), p0

) ∼= 0.2. Por outro lado, SO(2) e formado pelas matrizes de ordem 2, tais que suas colunas

formam uma base ortonormal positiva de R2; logo estas colunas devem ser w ei w, onde w ∈ S1. Entao,

SO(2) ' S1

e consequentemente:

π1

(SO(2), p0

) ∼= Z.

3.9 O grupo SO(3)

Consideremos R4 como o R-espaco vetorial de base 1, i, j, k. Isto e, se q ∈ R4, entao:

q = a + b i+ c j + d k,

onde a, b, c, d ∈ R.

Definicao 3.2. Denotamos e definamos por H o espaco vetorial R4, com o produtodeterminado pelas seguinte regras:

i2 = j2 = k2 = −1

i · j = −j · i = k,

j · k = −k · j = i,

k · i = −i · k = j.

H e dito espaco dos quaternios.

Observacao 3.3.

1. Nao e difıcil verificar que(H, + , ·

)e um anel.

2. Seja q ∈ H; denotamos o conjugado de q por q e definimos por:

q = a − b i− c j − d k,

se q = a + b i+ c j + d k.


3. Nao e difıcil verificar que q · q = q · q ≥ 0, para todo q ∈ H.

4. Pelo ıtem anterior, definimos a norma em H:

‖q‖2 = q · q = q · q = a2 + b2 + c2 + d2.

Esta norma coincide com a norma usual de R4 e

‖q1 · q2‖ = ‖q1‖ ‖q2‖, (3.1)

para todo q1, q2 ∈ H.

5. Se q 6= 0, podemos definir o inverso de q por:

q−1 =q

‖q‖.

6. Nao e difıcil verificar que o produto definido em H e nao comutativo. Portanto,H nao e um corpo.

7. Podemos identificar R com o subespaco vetorial gerado por < 1 > e R3 com osubespaco vetorial gerado por < i, j, k >. Logo, para todo q ∈ H temos que

q = a+ p,

onde a ∈ R e p ∈ R3. Com estas identificacoes, os elementos de R sao ditosquaternios reais e os de R3 sao ditos quaternios puros.

De 3.1, temos que R e R3 sao ortogonais e que S3 ⊂ R4 pode ser considerada como:

S3 = q ∈ H / ‖q‖ = 1.

De forma analoga a S1 ⊂ C, S3 ⊂ H tem uma estrutura de grupo induzido pelo pro-duto de H. Como a multiplicacao definida em H e bilinear, logo contınua, segue queS3 e um grupo topologico.

Proposicao 3.3.

1. Z(H)

= R, isto e, o centro do grupo H sao os quaternios reais.

2. q ∈ R3 se, e somente se q2 ≤ 0.

3.9. O GRUPO SO(3) 89

3. Se q ∈ H e tal que q · p = p · q, para todo p ∈ R3, entao q ∈ R. Em particular, seq ∈ S3, entao q = ±1, isto e, Z

(S3)

= −1, 1.

Prova:

1. Seja q = a + b i+ c j + d k ∈ Z(H); entao

i · q = −b+ a i− d j + c k

q · i = −b+ a i+ d j − c k;

logo, d = c = 0 e q = a+ b i. Analogamente:

j · q = a j − b kq · j = a j + b k;

logo, b = 0 e q = a.

2. Se q = b i + c j + d k ∈ R3, entao q2 = −(b2 + c2 + d2) ≤ 0. Reciprocamente, sejaq = a+ b i+ c j + d k, entao

q2 = a2 − b2 − c2 − d2 + 2 a (b i+ c j + d k).

Como q2 ∈ R, temos que a = 0 e q ∈ R3 ou b = c = d = 0 e a 6= 0 e q2 > 0. Logo,se q2 ≤ 0, entao q ∈ R3.

3. Seja q = a + b i + c j + d k; entao i · q = −b + a i − d j + c k. Por outro ladoi · q = q · i = −b+ a i+ d j − c k; entao c = d = 0. Logo, q = a+ i b; analogamentetemos que q j = j q, donde b = 0. Note que se q ∈ S3 e tal que q2 = −1, entaoq ∈ S2. De fato, como q2 < 0, entao q ∈ R3 e ‖q‖ = 1.

Observemos que i nao possui nenhuma propriedade fundamental nos quaternios pu-ros. Dado q ∈ R3 unitario, sempre podemos considerar uma base ortonormal positiva1, q, c, d, .


Lema 3.3. SejaB ∈ SO(3); entao existe uma base ortonormal a, b, c ∈ R3 tal que nestabase, B se escreve: 1 0 0

0 cos(α) −sen(α)0 sen(α) cos(α)

,isto e, B e uma rotacao de angulo α em relacao ao eixo a.

Prova: Seja A a matriz B em alguma base ortonormal de R3; entao AtA = I e det(A) =1; logo At(A− I) = I − At e:

det(A− I) = detAt(A− I) = det(I − At) = −det(A− I).

Donde det(A − I) = 0. Logo, exite um vetor nao nulo a ∈ R3 tal que (A − I) a = 0,isto e B a = a. Se for necessario, mudamos a por a/‖a‖. Consideremos a unitario.Seja V o plano passando pela origem, ortogonal a a. Denotemos por b, c uma baseortormal de V . Como B e uma isometria temos B(V ) ⊂ V . Logo, C = B

∣∣V

tambem euma isometria. A equacao B a = a implica que detB = detC = 1. Logo, a matriz C emrelacao a base b, c e [

cos(α) −sen(α)sen(α) cos(α)

]

3.10 O Grupo Fundamental de SO(3)

Seja q ∈ S3; definamos:

νq : H −→ Hp −→ q · p · q = q · p · q−1.

A funcao νq e naturalmente linear; na verdade, e um isomorfismo de espacos vetoriais,com inversa ν−1

q (p) = q · p · q.

Por outro lado, νq(q) = q e νq e uma isometria. De fato:

‖νq(p)‖ = ‖q · p · q‖ = ‖q‖ ‖p‖ ‖q‖ = ‖p‖.

Sejam q1, q2 ∈ S3, entao:

3.10. O GRUPO FUNDAMENTAL DE SO(3) 91

νq1q2(p) = (q1 · q2) · p · (q1 · q2)

= q1 · (q2 · p · q2) · q1

= q1 · νq2(p) · q1

= νq1(νq2(p))

=(νq1 νq2

)(p).

Claramente νq deixa R invariante. Note que νq tambem deixa R3 invariante; de fato,seja p ∈ R3; denotemos por r = q · p · q; entao:

r2 = q · p · q · q · p · q = q · p2 · q = p2 ≤ 0.

Entao, r ∈ R3. Logo, a aplicacao:

νq : R3 −→ R3

p −→ q · p · q

e bem definida. A matriz de νq tem como vetores colunas q · i · q−1, q · j · q−1 e q · k · q−1,que dependem continuamente de q ∈ S3.

Suponha que q = cos(α) + a sen(α) onde a ∈ S3. Seja a, b, c uma base ortonormalcom a mesma orientacao da base canonica de R3; entao:

νq(a) = a

νq(b) = b cos(2α) + c sen(2α)

νq(c) = −b cos(2α) + c sen(2α).

Logo, νq ∈ SO(3); pelo lema e pelas observacoes anteriores, temos o seguinte teorema:

Teorema 3.4. A aplicacao:

ν : S3 −→ SO(3)

e um homomorfismo contınuo sobrejetivo.

Note que o nucleo da aplicacao ν e formado pelos q ∈ S3 tais que:

q · p · q−1 = p, ou seja q · p = p · q.

Logo, Ker(ν = −1, 1, isto e, νq1 = νq2 se, e somente se q1 = ±q2.


Corolario 3.6.SO(3) ' RP3.

Prova: De fato, de [MV], sabemos que RP3 = S3/ker(ν) e:

S3

Π

ν // SO(3)

RP3ν

;;

Como ν e uma bijecao contınua, RP3 compacto e SO(3) e de Hausdorff, entao ν e umhomeomorfismo.

Logo, obtemos o seguinte teorema:

Teorema 3.5.π1

(SO(3), A0

) ∼= π1

(RP3, p0

)' Z2.

3.11. EXERCICIOS 93

3.11 Exercıcios


2. Determine o grupo fundamental da faixa de Mobius.

3. Determine o grupo fundamental de (x, y) ∈ R2 / 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4.

4. Determine o grupo fundamental de Rn − x0, x0 ∈ Rn.

5. Verifique que S1 × x e um retrato de T2.

6. R2 e homeomorfo a Rn se n 6= 2?

7. Determine se existem X , espaco topologico tal X × S1 seja homeomorfo a:

(a) S2.

(b) RP2.

8. Seja F e a faixa de Mobius, determine se existem X , espaco topologico tal X × Fseja homeomorfo a R2 × L(p, q).

9. Verifique que π1

(Rm − Rn, x0

)= 0, se n ≤ m− 3.

10. Seja H o espaco dos quaternios. Denotemos e definimos o espaco projetivo dosquaternios de dimensao n, por:

PHn =(Hn+1 − 0

)/∼,

onde u ∼ v se, e somente se existe λ ∈ H tal que v = λu. Verifique que:

π1

(PHn, x0

)= 0.

11. Verifique se e possıvel estender o Teorema de Borsuk-Ulam para o toro S1 × S1?

12. Verifique que toda matriz 3× 3 real, possui um valor proprio positivo. ( Utilize oTeorema do ponto fixo).


13. Seja S1 ⊂ C e [α] ∈ π1

(S1, x0

). Definamos:

w(α) =1

2 π

∫α

dz

z.

(a) Verifique que w(α) ∈ Z.

(b) Verifique que w(α) nao depende do representante escolhido em [α].

(c) Verifique que w(α) = gr(α).

14. Seja f : S1 −→ S1 definida por f(z) = zn, n ∈ N. Descreva com todos os detalhes,o isomorfismo induzido f∗ : π1

(S1, x0

)−→ Z.

15. Seja A ⊂ Rn e a0 ∈ A, fixo. A e dito estrelado se para todo a ∈ A, o segmento dereta que liga a0 e a pertence a A, calcule π1

(A, a0

).

16. Calcule o grupo fundamental de:

(a) C− 0.

(b) S2 − (0, 0, 1)

Capıtulo 4

ESPACOS DE RECOBRIMENTOS

4.1 Introducao

Neste capıtulo generalizaremos todas as ideias sobre levantamento de funcoes, estu-dadas no capıtulo anterior e utilizadas no calculo do grupo fundamental do cırculo edo espaco projetivo real.

4.2 Recobrimentos

Sejam X , X espacos topologicos e p : X −→ X uma funcao contınua.

O aberto U ⊂ X e dito vizinhanca distinguida se:

p−1(U)

=⋃α∈Γ

Vα,

onde Vα / α ∈ Γ e uma famılia de abertos de X , dois a dois disjuntos, tais que:

p∣∣Vα

: Vα −→ U

e um homeomorfismo.

Definicao 4.1.

1. Uma aplicacao de recobrimento (ou simplesmente um recobrimento) e uma fun-cao

p : X −→ X

contınua, sobrejetiva e tal que todo x ∈ X possui uma vizinhanca distinguida.

95

96 CAPITULO 4. ESPACOS DE RECOBRIMENTOS

2. X e dito espaco de recobrimento; X e dito a base do recobrimento.

3. A funcao p e dita projecao e p−1(x) e fibra sobre x ∈ X .

Observacao 4.1. A notacao utilizada para recobrimentos e:(X, p, X

).

A funcao contınua p : X −→ X e uma aplicacao de recobrimento se, e somente se:

1. p e sobrejetiva.

2. Para todo x ∈ X existe U vizinhanca de x tal que:

p−1(U)

=⋃α∈Γ

Vα,

onde Vα ⊂ X sao abertos tais que Vα ∩ Vβ = ∅ para todo α 6= β e

p : Vα −→ U

e um homeomorfismo, para todo α ∈ Γ, isto e, p e um homeomorfismo localsobrejetivo.

p

x

-1

X

XU

α

β

~

V

V

p (x)

Figura 4.1: Vizinhanca distinguida de um ponto

4.2. RECOBRIMENTOS 97

Observacao 4.2. Se p e um recobrimento entao p e um homeomorfismo local sobreje-tivo. A recıproca e falsa, isto e, existem homeomorfismos locais sobrejetivos que naosao recobrimentos. (Verifique!).

Exemplo 4.1.

[1] Se p : X −→ X e um homeomorfismo, entao(X, p,X

)e um recobrimento.

[2] Do capıtulo anterior:(R, exp, S1

)e um recobrimento.

S1

exp

IR

Figura 4.2:

Por exemplo, dado o aberto U = S1 − (0,−1), temos que:

exp−1(U)

=⋃n∈Z

(n− 1/2, n+ 1/2).

Por outro lado, se x0 = (1, 0), temos que:

exp−1(x0) = t ∈ R / e2πit = 1 = Z.

[3] Analogamente,(R2, p,T2

), onde T2 = S1 × S1 e:

p : R2 −→ T2

(s, t) −→ (exp(s), exp(t))

e um recobrimento.


Por outro lado, se x0 = (1, 1), temos que:

p−1(x0) = Z× Z.

[4] Em geral,(Rn, p,Tn

), onde Tn = S1 × S1 × . . .× S1, (n-vezes) e:

p(t1, t2, . . . , tn) = (exp(t1), exp(t2), . . . , exp(tn))

e um recobrimento.

[5](S1 × R, p,T2

), tambem e um recobrimento do toro, onde:

p(z, t) = (z, exp(t)).

Fica como exercıcio determinar as fibras nos exemplos anteriores.

[6] Seja:

p : R −→ [0,+∞)

x −→ |x|.

Entao p nao e um recobrimento. Caso contrario, considerando 0 ∈ R e um aberto(−ε, ε), (ε > 0), entao p

∣∣(−ε,ε) e um homeomorfismo, o que e absurdo pois, p nao e

injetiva.

[7] Por um argumento similar ao anterior(C, p,C

), onde p(z) = z2 nao e um recobri-

mento.

[8] Seja X = R− 0, X = (r, θ) / 0 < r < +∞ e:

Pol : X −→ X

(r, θ) −→ (r cos(θ), r sen(θ)).(X,Pol, X

)e um recobrimento.

Note que Pol e a mudanca de coordenadas polares e que a variavel angular θ tomainfinitos valores separados por multiplos de 2 π.

[9] A aplicacao p : N× R −→ R definida por p(n, x) = x e um recobrimento. De fato:

p−1(R)

=⋃n∈N

n × R

e p∣∣n×R e um homeomorfismo sobrejetivo.

[10] Em geral, a aplicacao p : Y × X −→ X tal que p(y, x) = x e Y e discreto e umrecobrimento.

4.2. RECOBRIMENTOS 99

Lema 4.1.

1. Sejam f : X −→ Y e g : Y −→ Z funcoes contınuas tais que f e g f sao homeo-morfismos locais sobrejetivos; entao g e um homeomorfismo local sobrejetivo.

2. Se p : X −→ Y e um homeomorfismo local sobrejetivo com fibra finita e tal queX e de Hausdorff, entao p e uma aplicacao de recobrimento.

Prova:

1. Exercıcio.

2. Seja y ∈ Y ; entao p−1(y) = x1 , x2, . . . , xn. Como X e de Hausdorff, existemvizinhancas U2

i abertas de xi tais que U2i ∩ U2

j = ∅ se i 6= j.

Por outro lado, p sendo um homeomorfismo local, entao para cada xi podemosescolher vizinhancas U1

i abertas de xi tais que U1i ⊂ U2

i , p(U1i

)e um aberto de Y

e p∣∣U1i

: U1i −→ p

(U1i

)e um homeorfismo. Denotemos por:

Vy = p(U1

1

)∩ . . . ∩ p

(U1n

)e Ui = p

∣∣U1i

(Vy).

Logo:

p−1(Vy)

=n⋃i=1

Ui

e p∣∣Ui

: Ui −→ Vy e um homeomorfismo. Entao, p : X −→ Y e um recobrimento.

Proposicao 4.1. Seja(X, p, X

)um recobrimento; entao as fibras p−1(x) sao discretas.

Prova: Como cada y ∈ p−1(x) possui uma vizinhanca U tal que y o unico elemento deU com p(y) = x (lembrando que p e um homeomorfismo local), entao:

U ∩ p−1(x) = y.

Logo, todo ponto de p−1(x) e isolado; portanto p−1(x) e discreto.

Observacao 4.3. Note que na prova da proposicao somente utilizamos que p e local-mente injetiva, isto e, a proposicao pode ser provada somente com esta hipotese.


Corolario 4.1. Se(X, p, X

)e um recobrimento tal que X e compacto, X e conexo e de

Hausdorff, entao as fibras sao finitas.

Prova: Exercıcio.

Definicao 4.2. A cardinalidade de p−1(x) e chamada o numero de folhas do recobri-mento.

Logo, um recobrimento com as hipoteses do corolario possui um numero finito defolhas.

Exemplo 4.2.

[1] A aplicacao:

exp : R −→ S1

t −→ exp(t)

e um recobrimento de infinitas folhas.

[2] A aplicacao:

p : S1 −→ S1

z −→ zn

e um recobrimento de n folhas.

De fato, p e um homeomorfismo local sobrejetivo, S1 e compacta, de Hausdorff e p−1(x)tem cardinalidade n. (Sao as raızes n-esimas da unidade).

[3] Seja(S2n+1,Π,CPn

), onde

Π : S2n+1 ⊂ Cn −→ CPn

e a projecao canonica;(S2n+1,Π,CPn

)e um recobrimento?

A resposta e negativa, pois Π−1([x]) ∼= S1, isto e a fibra nao e finita.

Teorema 4.1. Seja(X, p, X

)um recobrimento; entao:

1. p e aberta.

4.3. A FAIXA DE MOBIUS 101

2. X tem a topologia quociente em relacao a p.

Prova:

1. Exercıcio.

2. Como p e contınua e aberta, entao U ⊂ X e aberto se, e somente se p−1(U)

eaberto em X .

4.3 A Faixa de Mobius

Se M e a faixa de Moebius e p a projecao canonica, entao:

p : R× I −→M

e um recobrimento.

Primeiramente definamos:

M1 = [0, 1]× [−1, 1]/∼1

onde (0, t) ∼1 (1,−t), t ∈ [−1, 1]. Denotemos por:

p1 : [0, 1]× [−1, 1] −→M1

a aplicacao quociente. Por outro lado, a faixa de Moebius tambem pode ser definidacomo:

M = R× [−1, 1]/∼

onde (x, t) ∼ (x+ q, (−1)q t), q ∈ Z e t ∈ [−1, 1]. Denotemos por:

p : R× [−1, 1] −→M

a aplicacao quociente. Note que p e aberta, pois se U ⊂ R× [−1, 1] e aberto:

p−1(p(U)

)=⋃q∈Z

Rq

(U),

onde:


Rq : R× [−1, 1] −→ R× [−1, 1]

(r, t) −→ (x+ q, (−1)q t).

Note que Rq e um homeomorfismo, para todo q ∈ Z.

Denotemos por:

i : [0, 1]× [−1, 1] −→ R× [−1, 1]

a inclusao canonica, que induz no quociente a aplicacao contınua f : M1 −→M tal queo seguinte diagrama e comutativo:

[0, 1]× [−1, 1]i−−−→ R× [−1, 1]

p1

y ypM1

f−−−→ M

Isto e, p i = f p1. Como f e sobrejetiva e M e de Hausdorff, entao f e um homeo-morfismo.

Note que M possui uma cobertura determinada pelos abertos:

p((0, 1)× [−1, 1]

), p

((−1/2, 1/2)× [−1, 1]

)e :

p−1(p((0, 1)× [−1, 1]

))=⋃q∈Z

((q, q + 1)× [−1, 1]

),

logo:

p : (q, q + 1)× [−1, 1] −→ p((0, 1)× [−1, 1]

)e um homeomorfismo. Analogamente para o aberto p

((−1/2, 1/2)× [−1, 1]

).

4.4 Recobrimentos de G-espacos

Seja G um grupo que atua sobre X de modo que X e um G-espaco. Para mais detalhessobre G-espacos, veja [MV].

4.4. RECOBRIMENTOS DE G-ESPACOS 103

Definicao 4.3. A acao do grupo G sobre X e dita totalmente descontınua se para todox ∈ X , existe vizinhanca U de x tal que

g1 · U ∩ g2 · U = ∅,

para todo g1, g2 ∈ G e g1 6= g2.

Lema 4.2. Se o grupo G age de forma totalmente descontınua sobre X , entao g · x 6= xpara todo g ∈ G, g 6= e e todo x ∈ X .

Prova: Exercıcio.

Exemplo 4.3.

[1] Seja a : Sn −→ Sn definida por a(x) = −x, onde −x e o ponto antipodal de x; entaoG = idSn , a, com a composta de funcoes e um grupo. G atua descontinuamentesobre Sn.

De fato, se U ⊂ Sn e um aberto contido num dos hemisferios, temos:

a · U ∩ U = ∅.

[2] Seja Zn ⊂ Rn. Considere a seguinte acao:

Zn × Rn −→ Rn

(v, x) −→ x+ v.

Esta acao e totalmente descontınua; basta considerar abertos de diametro menor que1.

Teorema 4.2. Se X e um G-espaco e G age de forma totalmente descontınua sobre X ,entao a projecao canonica:

p : X −→ X/G

e um recobrimento.

Prova: Note que p : X −→ X/G e contınua, sobrejetiva e aberta. Seja U ⊂ X uma

vizinhanca de x ∈ X ; entao p(U)

e uma vizinhanca de G · x = p(x) e

p−1(p(U)

)=⋃g∈G

g · U.


g · U e uma famılia de abertos disjuntos de X e:

p∣∣g·U : g · U −→ p

(U)

e um homeomorfismo.

Exemplo 4.4.

[1] Considere a acao de(Z, +

)sobre R, definida por x −→ x+ n. Entao:

p : R −→ R/Z ' S1

e um recobrimento.

De fato, a acao e totalmente descontınua. Seja 0 < ε < 1/2; entaoU = (x−ε, x+ε) e umavizinhanca de x que satisfaz a condicao da definicao de ser totalmente descontınua.Pode ser verificado (exercıcio) que este exemplo e identico ao estudado no capıtuloanterior para exp : R −→ S1.

[2] Em geral,

Π : Rn −→ Rn/Zn ' Tn,

onde Π e a projecao canonica, e um recobrimento.

[3] A projecao canonica:

Π : Sn −→ PRn

e um recobrimento.

De fato, seja(Z2, ·

)e consideremos Sn como um Z2-espaco com a acao ±1 · x = ±x.

Para cada x ∈ Sn consideremos:

U = y ∈ Sn / ‖y − x‖ < 1/2.

U e uma vizinhanca de x que satisfaz a condicao da definicao de ser totalmente des-contınua.

De forma alternativa, como x 6= −x, existem V e W vizinhancas disjuntas de x e −xrespectivamente e basta considerar U = V ∩

(−W

).

[4] Considere a acao de(Z, +

)sobre X = R× (−1, 1), definida por:

(n, (x, y)) −→ (x+ n, (−1)n y).

4.4. RECOBRIMENTOS DE G-ESPACOS 105

Entao:

p : X −→ X/Z ∼= M,

e um recobrimento, onde M e a faixa de Moebius. (Verifique!).

Definicao 4.4. A acao do grupo G sobre X e dita livre se g · x 6= x, para todo x ∈ X etodo g ∈ G, g 6= e.

Proposicao 4.2. Seja X de Hausdorff e G um grupo finito, entao, G atua livrementesobre X se, e somente se a acao e totalmente descontınua.

Prova: Seja G = g0, g1, . . . , gn, onde e = g0. Como X e de Hausdorff, existemvizinhancas U0, U1, . . . Un de g0 ·x, g1 ·x, . . . gn ·x, respectivamente, tais que U0∩Ui = ∅,(i = 1, 2, , . . . n).

Denotemos por:

U =n⋂i=0

g−1i · Ui.

U e uma vizinhanca de x; por outro lado:

gj · U =n⋂i=0

gj(g−1i · Ui

)gj · U ∩ gi · U = gi ·

((g−1i gj) · U

)∩ U = gi ·

(gk · U ∩ U

)= ∅,

pois gk · U ⊂ Uk e U ⊂ U0, gk 6= e.

Observacao 4.4. Se G e um grupo infinito a acao livre pode nao ser totalmente des-contınua. Isto e:

p : X −→ X/G

pode nao ser um recobrimento, ainda que a acao seja livre e X de Hausdorff.


Exemplo 4.5.

[1] Seja G o grupo gerado pelos homeomorfismos:

a, b : R2 −→ R2

definidos por:

a(x, y) = (−x, y + 1) e b(x, y) = (x+ 1, y).

Sabemos que K = R2/G, e a garrafa de Klein. A acao:

∗ :G×K −→ K

(f, (x, y)) −→ f ∗ (x, y) = f(x, y),

e livre, R2 e de Hausdorff; entao(R2, p,K

)e um recobrimento.

Note queG nao e isomorfo aZ×Z, poisG e nao comutativo e satisfaz a relacao b a b = a.

4.5 Espacos Lenticulares

Seja S2n+1 ⊂ Cn+1 tal que:

S2n+1 = (z0, z1, . . . , zn) ∈ Cn+1 / ‖z0‖2 + . . .+ ‖zn‖2 = 1.

Sejam p, q1, . . . qn ∈ Z tais que p e primo e os qj sao primos relativos a p; definamos

h : S2n+1 −→ S2n+1

por:

h(z0, z1, . . . , zn) = (e2πi/p z0, e2πiq1/p z1, . . . , e

2πiqn/p zn).

h e um homeomorfismo tal que hp = id. Consideremos S2n+1 como Zp-espaco com aseguinte acao:

n · (z0, z1, . . . , zn) = (e2πin/p z0, e2πinq1/p z1, . . . , e

2πiqn/p zn),

onde n ∈ Zp = 0, 1, . . . , p− 1. Esta acao e livre.

De fato, se:

n · (z0, z1, . . . , zn) = (z0, z1, . . . , zn),

4.6. LEVANTAMENTOS 107

entao: e2πinqj/p zj = zj com 0 ≤ j ≤ n e q0 = 1.

Como (z0, z1, . . . , zn) ∈ S2n+1, existe zj0 6= 0 para algum j0, logo:

e2πinqj0/p = 1

e n qj0 = 0mod(p).

Como qj0 6= 0mod(p) e p e primo, entao n = 0mod(p). Isto e, n e a identidade de Zp.Logo, a acao e livre e S2n+1 e de Hausdorff; entao:

p : S2n+1 −→ L(p, q1, . . . , qn),

onde L(p, q1, . . . , qn) = S2n+1/Zp e um recobrimento.

Definicao 4.5. O espaco L(p, q1, . . . , qn) e chamado lenticular.

Note que L(2, q1, . . . , qn) = RP2n+1.

4.6 Levantamentos

A seguir, apresentaremos as generalizacoes das propriedades de levantamento dos ca-minhos e das homotopias, estudadas no capıtulo anterior. A maioria das provas saoidenticas.

Definicao 4.6. Sejam(X, p, X

)um recobrimento e f : Y −→ X uma funcao contınua.

A funcao contınua f : Y −→ X e dita um levantamento de f se o seguinte diagramacomuta:

X

p

Y

f//

f??

X

Isto e, p f = f .

Lema 4.3. Sejam(X, p, X

)um recobrimento e fi : Y −→ X , (i = 1, 2) levantamentos

de f : Y −→ X , isto e, temos o seguinte diagrama comutativo:

X

p

Y

f//

f1, f2

??

X


Se Y e conexo e f1(y0) = f2(y0), entao f1 = f2.

Prova: Seja W = y ∈ Y / f1(y) = f2(y), W 6= ∅ pois y0 ∈ W . Provaremos que W eaberto e fechado e como Y e conexo, entao W = Y .

Seja y ∈ Y ; entao existe vizinhanca aberta V de f(y) tal que

p−1(V)

=⋃j∈J

Vj

e p∣∣Vj

: Vj −→ V e um homeomorfismo, para todo j ∈ J .

Se y ∈ W , entao f1(y) = f2(y) ∈ Vk, para algum k ∈ J e f−11

(Vk)∩ f−1

2

(Vk)

e um abertotal que:

y ∈ f−11

(Vk)∩ f−1

2

(Vk)⊂ W.

Se x ∈ f−11

(Vk)∩ f−1

2

(Vk), entao f1(x), f2(x) ∈ Vk e (p f1)(x) = (p f2)(x).

Por outro lado, p∣∣Vk

e um homeomorfismo; temos que f1(x) = f2(x). Logo, todo ele-mento de W possui uma vizinhanca contida em W , isto e, W e aberto.

Se y /∈ W , entao f1(y) ∈ Vk e f2(y) ∈ Vj , para i, j tais que i 6= j; logo, f−11

(Vk)∩ f−1

2

(Vj)

e um aberto tal que

y ∈ f−11

(Vk)∩ f−1

2

(Vk)⊂ WC .

Pelo mesmo argumento anterior, WC e aberto.

Corolario 4.2. Sejam(X, p, X

)um recobrimento e h : X −→ X contınua tal que X e

conexo por caminhos e p h = p. Se h(x1) = x1 para algum x1 ∈ X , entao h = idX .

Prova: Exercıcio.


)um recobrimento.

1. Levantamento dos caminhos: Dado um caminho α : I −→ X e x0 ∈ X tal quep(x0) = α(0), existe um unico levantamento α : I −→ X tal que p α = α eα(0) = x0, isto e, temos o seguinte diagrama comutativo:

X

p

I α

//

α

@@

X

4.6. LEVANTAMENTOS 109

2. Levantamento das homotopias: Dada H : I × I −→ X contınua e x0 ∈ X tal quep(x0) = H(0, 0), existe um unico levantamento H : I × I −→ X tal que p H = H

e H(0, 0) = x0, isto e, temos o seguinte diagrama comutativo:

X

p

I × I

H//

H

<<

X

Prova : A prova e identica as dos teoremas vistos no capıtulo anterior.

Corolario 4.3. Se(X, p, X

)e tal que X e conexo, entao a cardinalidade da fibra p−1(x)

e independente de x.

Prova: Para todo x, y ∈ X , definiremos uma bijecao entre p−1(x) e p−1(y). Seja:

h : p−1(x) −→ p−1(y),

definida da seguinte forma:

Dado γ um caminho que liga x a y, entao para cada x ∈ p−1(x), existe um unico levan-tamento γx tal que γx(0) = x; definamos:

h(x) = γx(1).

h esta bem definida pois γx(1) ∈ p−1(y).

Analogamente, definimos h−1 utilizando γ−1, isto e:

h−1(x) = γ−1(1).

Logo, h e uma bijecao.


4.7 Exercıcios


2. SeX e conexo e p : X −→ X e um recobrimento. Verifique se X e compacto entaoX e compacto? Quando a recıproca e valida?

3. Se X = X × Y e Y e discreto, verifique que a projecao p : X −→ X e um recobri-mento.

4. Sejam p1 : X1 −→ X1 e p2 : X2 −→ X2 recobrimentos. Verifique que:

p1 × p2 : X1 × X2 −→ X1 ×X2

e um recobrimento.

5. Sejam p : X −→ X , q : X −→ Y e h = q p. Se p e q sao recobrimentos, h e umrecobrimento?

6. Sejam p1 : X1 −→ X1 e p2 : X2 −→ X2 recobrimentos. Verifique que se X1 e X2

sao simplesmentes conexos, entao X1 e X2 sao homeomorfos.

7. Sejam Z e X = R× (−1, 1). Consideremos a seguinte acao:

· : Z× X −→ X(n, (x, y)) −→ (x+ n, (−1)n y).

Verifique que esta acao e totalmente descontınua.

8. Verifique que toda acao totalmente descontınua e livre. A recıproca e verdadeira?

9. Seja α ∈ R e defina a acao:

· : R× T2 −→ T2

(t, (x, y)) −→ (exp(t) · x, exp(α t) · y).

(a) Quando o estabilizador e trivial?

4.7. EXERCICIOS 111

(b) Verifique que esta acao e livre.

10. Verifique se as seguintes aplicacoes sao recobrimentos:

(a) p : C− 0 −→ C− 0 tal que p(z) = zn.

(b) p : C −→ C tal que p(z) = cos(z).

11. SejaX espaco topologico. C ⊂ X e dita curva fechada simples se e homeomorfa aS1. Considere o recobrimento p : S2 −→ RP2 e C e uma curva fechada simples deRP2. Verifique que p−1(C) e uma curva fechada simples ou duas curva fechadasimples disjuntas.

12. Seja p : X −→ X um recobrimento. Uma transformacao h : X −→ X e dita derecubrimento, se p h = p. Isto e, temos o seguinte diagrama comutativo:

X

p

X p

//

h

??

X

Verifique que o conjunto das aplicacoes de recobrimento e um grupo.

13. Verifique que as seguintes transformacoes sao de recobrimento:

(a) Se exp : R −→ S1 e h(x) = x+ k, k ∈ Z.

(b) Se p : R2 −→ T2 e h(x, y) = (x+ n, y +m), n, m ∈ Z.

(c) Se p : Sn −→ RPn e h(x) = −x.

14. Seja p : X −→ X um recobrimento tal que X e conexo e conexo por caminhos.Verifique que o grupo de transformacoes do recobrimento age sobre X propria-mente descontınua.

15. Sejam G e G grupos topologicos conexos, conexos por caminhos e p : G −→ Gum homomorfismo de grupos que e tambem recobrimento.

(a) Verifique que o subgrupo ker(p) e discreto tal que ker(p) ⊂ Z(G).


(b) Verifique que o subgrupo ker(p) e o grupo de transformacoes do recobri-mento.

(c) Aplique o ıtem anterior para p : R2 −→ S1 × S1, onde:

p(x, y) = (exp(x), exp(y)).

(d) Aplique o ıtem anterior para p : S3 −→ RP3 a projecao canonica.

Capıtulo 5

RECOBRIMENTO E GRUPOFUNDAMENTAL

Neste capıtulo estudaremos a relacao que existe entre os recobrimentos de um espacoe seu grupo fundamental.

O teorema seguinte nos permite ter uma primeira ”aproximacao”de qual e o grupofundamental de um espaco dado, conhecendo apenas as fibras de seu recobrimento.


)um recobrimento. Se X e simplesmente conexo, entao

para cada x ∈ X existe uma bijecao:

π1

(X, x

)−→ p−1(x),

onde p(x) = x.

Prova: Definamos:

F : π1

(X, x

)−→ p−1(x),

por F ([α]) = α(1), onde α e o unico levantamento de α tal que α(0) = x; logo, pelaunicidade dos levantamentos, F e bem definida.

Agora, consideremos:

G : p−1(x) −→ π1

(X, x

),

definida da seguinte forma:

Sejam y ∈ p−1(x) e α : I −→ X um caminho tal que α(0) = x e α(1) = y. Logo, ocaminho α = p α : I −→ X e tal que α(0) = p(x) = x e α(1) = p(y) = x; entaodetermina uma unica classe de homotopia [α] ∈ π1

(X, x

). Definamos:

G(y) = [α] = [p α].

113

114 CAPITULO 5. RECOBRIMENTO E GRUPO FUNDAMENTAL

1. G esta bem definida, pois para todos α e β tais que α(0) = β(0) e α(1) = β(1),temos α ' β relativamente a 0, 1.

2. Logo, G nao depende do caminho escolhido.

3. Claramente F e G sao inversas.

Exemplo 5.1.

Denotemos por as bijecoes:

[1] Seja(R, exp, S1

); entao:

exp−1(1) Z.

[2] Seja(R2, p,T2

), onde p = (exp, exp); entao:

p−1(1) Z× Z = Z2.

[3] Em geral, seja(Rn, p,Tn

), onde p = (exp, exp, . . . , exp); entao:

p−1(1) Z× Z× . . .× Z = Zn.

[4](Sn,Π,PRn

)(n > 1), onde Π e a projecao canonica, e um recobrimento de 2 folhas

e:

Π−1([x]) = x,−x Z2.

[5] Seja(X,Π,M

), onde X = R × (−1, 1), M e a faixa de Moebius e Π e a projecao

canonica; entao:

Π−1([0, 0]) = (n, 0) / n ∈ Z Z.


)um recobrimento tal que p(x) = x; entao o homomorfismo

induzido:

p∗ : π1

(X, x

)−→ π1

(X, x

)e um monomorfismo.

115

Prova: Sejam [α], [β] ∈ π1

(X, x

)tal que p∗([α]) = p∗([β]; entao, [p α] = [p β]. Logo,

existe uma homotopia H : p α ' p β; consideremos o unico levantamento H de H ;portanto H : α ' β; logo:

[α] = [β].

Observacao 5.1. Como p∗ e um monomorfismo, podemos considerar π1

(X, x

)como

um subgrupo de π1

(X, x

). Logo, com as hipoteses do teorema, se:

π1

(X, x

)6= e, entao π1

(X, x

)6= e.

Teorema 5.3. Sejam(X, p, X

)um recobrimento e x, x1 ∈ p−1(x); entao:

1. Todos os subgrupos de p∗(π1

(X, x

))e p∗

(π1

(X, x1

))sao conjugados em π1

(X, x

).

2. Se x ∈ p−1(x) e fixado, toda classe conjugada de p∗(π1

(X, x

))e igual ao subgrupo

p∗(π1

(X, x1

)), para algum x1 ∈ p−1(x).

Prova:

1. Seja α um caminho em X que liga x a x1. Sabemos que:

Fα : π1

(X, x

)−→ π1

(X, x1

)definida por Fα([γ]) = [α ∗ γ ∗ α−1] e um isomorfismo de grupos. Definamos:

G : π1

(X, x

)−→ π1

(X, x1

)por G([γ]) = [p α] [γ] [p α]−1. Logo, obtemos o seguinte diagrama comutativo:

π1

(X, x

) p∗−−−→ π1

(X, x

)Fα

y yGπ1

(X, x1

) p∗−−−→ π1

(X, x1

)Entao, p∗

(π1

(X, x

))e p∗

(π1

(X, x1

))sao conjugados em π1

(X, x

).


2. Por outro lado, sejaH um subgrupo de π1

(X, x

)conjugado a p∗

(π1

(X, x

)); entao:

H = [γ]−1 p∗(π1

(X, x

))[γ].

Seja γ um levantamento de γ tal que γ(0) = x; denotemos por x1 = γ(1); entao:

H = p∗(π1

(X, x1

)).

5.1 Criterio Geral de Levantamento

Suponhamos que(X, p, X

)e um recobrimento e que toda funcao contınua

f : Z −→ X

admite um levantamento f , ou seja, temos o seguinte diagrama comutativo:

X

p

Z

f//

f??

X

tal que p f = f .

Se p(x0) = x0, f(z0) = x0 e f(z0) = x0, temos que p∗ f∗ = f∗ e o diagrama comutativo:

π1

(X, x0

)p∗

π1

(Z, z0

)f∗//

f∗88

π1

(X, x0

)Como p∗ e um monomorfismo, a existencia de f∗ que faz o diagrama comutativo eequivalente a condicao:

f∗(π1

(Z, z0

))⊂ p∗

(π1

(X, x0

)).

Observacao 5.2. O teorema geral de levantamento nos da as condicoes necessarias esuficientes para a existencia de levantamentos de um espaco topologico. Este teoremae um exemplo do que estuda a Topologia Algebrica. Um problema puramente to-pologico, como a existencia de uma funcao contınua (sob certas condicoes) e reduzidoa uma condicao puramente algebrica (uma relacao entre grupos e homomorfismos).

5.1. CRITERIO GERAL DE LEVANTAMENTO 117

Teorema 5.4. (Criterio de Levantamento) Sejam(X, p, X

)um recobrimento, Z um

espaco topologico e f : Z −→ X contınua. Se Z e conexo e localmente conexo porcaminhos, entao existe um levantamento de f se, e somente se

f∗(π1

(Z, z0

))⊂ p∗

(π1

(X, x0

)),

onde p(x0) = x0 e f(z0) = x0.

Prova: Se existe levantamento f de f , isto e, p f = f , entao:

f∗(π1

(Z, z0

))= (p f)∗

(π1

(Z, z0

))⊂ p∗

(π1

(X, x0

)).

Suponhamos que f∗(π1

(Z, z0

))⊂ p∗

(π1

(X, x0

)), onde p(x0) = x0 e f(z0) = x0. Sejam

z1 ∈ Z arbitrario e o caminho η em Z tal que η(0) = z0 e η(1) = z1; entao, f η e umcaminho emX tal que (fη) (0) = x0 e (fη) (1) = f(z1). Pelo teorema de levantamentodos caminhos, existe um unico levantamento f η : I −→ X tal que (f η)(0) = x0 ep (f η

)= f η. Logo, definamos:

F : Z −→ X,

onde F (z0) = x0 e F (z1) = f η (1).

1. F e bem definida. De fato, seja η1 outro caminho em Z tal que η1(0) = z0 e η1(1) =z1; entao η∗η−1

1 e tal que (η∗η−11 )(0) = (η∗η−1

1 )(1) = z0, isto e, [η∗η−11 ] ∈ π1

(Z, z0

);

entao:

f∗([η ∗ η−1

1 ])

= [f η ∗ f η−11 ] ∈ f∗

(π1

(Z, z0

)).

Por outro lado: f∗(π1

(Z, z0

))⊂ p∗

(π1

(X, x0

)); entao existe [µ] ∈ π1

(X, x0

)tal

que:

[f η ∗ f η−11 ] = [p µ].

Logo:

f η ' (f η) ∗ ex0 ' (f η) ∗ (f η−11 ∗ f η1)

' (f η ∗ f η−11 ) ∗ f η1

' p µ ∗ f η1.

Denotemos por ψ = p µ ∗ f η1; entao ψ = µ ∗ f η1; pela unicidade dos levan-tamentos:


(f η)(1) = ψ(1) = (µ ∗ ˜(f η1))(1) = ˜(f η1)(1).

Nesta parte da prova utilizamos somente a hipotese de que Z e conexo por cami-nhos.

2. F e contınua. Sejam U ⊂ X aberto e z ∈ f−1(U); entao f(z) ∈ U . Denotemos por

W uma vizinhanca distinguida de (p f)(z) = f(z) tal que W ⊂ p(U). Como W

e vizinhanca distinguida:

p−1(W)

=⋃j∈J

Vj,

onde cada Vj e homeomorfo a W e f(z) ∈ Vk para algum k ∈ J . Logo, como Vk eU sao vizinhancas de f(z) consideramos W ′ = Vk ∩U . Note que p

(W ′) tambem e

uma vizinhanca distinguida, pois W e distinguida e p(W ′) ⊂ W .

Por outro lado, f e contınua e f−1(p(W ′)) e uma vizinhanca de z ∈ Z. Como Z e

localmente conexo por caminhos, existe um caminho ligando uma vizinhanca Vde z tal que V ⊂ f−1

(p(W ′))

Mostraremos que f(V)⊂ U . Primeiramente f(z) ∈ V ; se z′ ∈ V , existe um

caminho α en V ligando z a z′; logo, pela definicao de f temos f(z′) = f α(1),onde f α e o unico levantamento de f α tal que f α(0) = f(z), pois:

(f α)(I)⊂ f

(V)⊂ p(W ′) e (f α)

(I)⊂ p−1

(p(W ′)).

Por outro lado:

p−1(p(W ′)) =

⋃j∈J

Wj,

onde osWj sao disjuntos aos pares, cadaWj e homeomorfo a p(W ′) e pelo menos

um Wk ∈ W ′; como (f α)(0) = f(z) ∈ W ′ segue que (f α)(1) = f(z′). Prova-mos que f

(V)⊂ W ′ ⊂ U e portanto V ⊂ f−1

(U), isto e, todo elemento de f−1

(U)

possui uma vizinhanca totalmente contida em f−1(U); logo f e contınua.

Existem exemplos que mostram que a hipotese de ser Z localmente conexo por cami-nhos nao pode ser retirada para a prova de que o levantamento f e contınuo.

5.1. CRITERIO GERAL DE LEVANTAMENTO 119


)um recobrimento e Z um espaco simplesmente conexo

e localmente conexo por caminhos; entao toda funcao contınua f : Z −→ X admitelevantamento f : Z −→ X .

Prova: Se Z e simplesmente conexo e localmente conexo por caminhos, sempre temosque:

f∗(π1

(Z, z0

))= f∗

(e)⊂ p∗

(π1

(X, x0

)).

Exemplo 5.2.

[1] Toda funcao f : R −→ S1 admite levantamentos.

[2] Em geral, toda funcao f : Rn −→ Tn admite levantamentos.

[3] Se n > 1, toda funcao f : Sn −→ PRn admite levantamentos.

Proposicao 5.1. Sejam(X, p, X

)um recobrimento, α, β : I −→ X caminhos tais que

α(0) = β(0) = x0 e α(1) = β(1) = x1 e α, β : I −→ X levantamentos de α e β,respectivamente, de ponto inicial x0 ∈ X tal que p(x0) = x0. Entao, α(1) = β(1) se, esomente se

[α ∗ β−1] ∈ p∗(π1

(X, x0

)).

Prova: Seja [α ∗ β−1] ∈ p∗(π1

(X, x

)). Denotemos por γ o levantamento do caminho

α ∗ β−1, a partir do ponto x0; logo, γ e um caminho fechado.

Os caminhos α, β : I −→ X sao definidos por:

α(t) = γ(t/2) e β(t) = γ(1− t/2).

α(0) = γ(0) = x0 = γ(1) = β(0) e α(1) = γ(1/2) = β(1).

Note que α e β sao levantamentos de α e β, respectivamente:

(p α)(t) = (p γ)(t/2)

= (α ∗ β−1)(t/2)

= α(2 (t/2))

= α(t).

Analogamente,


(p β)(t) = (p γ)(1− t/2)

= (α ∗ β−1)(1− t/2)

= β−1(2 (1− t/2)− 1)

= β−1(1− t)= β(t).

Em particular, nas hipoteses da proposicao, temos o seguinte corolario:

Corolario 5.2. Dado α um caminho fechado em x0, seu levantamento, α com inıcio emx ∈ p−1(x0) e fechado se, e somente se [α] ∈ p∗

(π1

(X, x

)).

Prova: Basta considerar β como um caminho constante em x0, na proposicao anterior.

5.2 Grupo Fundamental e G-espacos

Neste paragrafo discutiremos a seguinte questao:

DadoX umG-espaco, que relacao existe entre o grupo fundamental deX/G e o grupo

G?

Observacao 5.3.

1. Lembremos que S1 ' R/Z; logo:

π1

(S1, z0

)= π1

(R/Z, w0

)' Z.

2. O toro T2 = R2/Z2; logo:

π1

(T2, y0

)= π1

(R2/Z2, w0

)' Z2.

3. Sera possıvel afirmar que, em geral:

π1

(X/G, y0

)' G?

5.2. GRUPO FUNDAMENTAL E G-ESPACOS 121

4. Se a reposta for afirmativa, por exemplo, terıamos que:

π1

(L(p, q1, . . . , qn), y0

)' Zp.

Se X e um G-espaco, tal que G age de forma totalmente descontınua sobre X , entao:

Π : X −→ X/G

e um recobrimento.

Por outro lado, se [γ] ∈ π1

(X/G, y0

), sabemos que existe um unico levantamento:

X

Π

I γ//

γ

==

X/G

tal que γ(0) = x0. Como γ(1) ∈ Gx0, (Gx e a orbita de x), entao existe um unico gγ ∈ Gtal que γ(1) = gγ · x0.

Definamos a seguinte aplicacao:

Ψ : π1

(X/G, y0

)−→ G

[γ] −→ gγ.

Ψ e um homomorfismo de grupos.

Sejam [α], [β] ∈ π1

(X/G, y0

)tal que y0 = Π(x0); isto e, y0 ∈ Gx0.

Consideremos α e β levantamentos de α e β. Note que α ∗ β nao e definido, poisgα · x0 6= x0; por outro lado:

α(0) = x0, α(1) = gα · x0,

β(0) = x0, β(1) = gβ · x0.

Seja Θgα : X −→ X o homeomorfismo definido por Θgα(x) = gα · x e definamos:

Θgα β : I −→ X.

Note que:

(Θgα β

)(0) = gα · x0,(

Θgα β)(1) = gα · (gβ · x0).


Θgα β e um levantamento de β. De fato, Π(Θgα β

)= Π

(gα · β

)= Π

(β)

= β.

Consideremos o caminho α ∗(Θgα β

); logo:

α ∗(Θgα β

)(0) = α(0) = x0,

α ∗(Θgα β

)(1) =

(Θgα β

)(1) = gα · (gβ · x0).

Entao:

Ψ([α] [β]

)= Ψ

([α ∗ β]

)= α ∗

(Θgα β

)(1) = gα gβ = Ψ

([α])

Ψ([β]).

Lema 5.1. ker(Ψ) = Π∗(π1

(X, x0

)), onde Π∗ e o homomorfismo induzido pela projecao:

Π : X −→ X/G

e ker(Ψ) e o nucleo de Ψ.

Prova: [γ] ∈ ker(Ψ), se, e somente se Ψ([γ]) = e se, e somente se γ(1) = x0, onde γ eo unico levantamento de γ tal que γ(0) = x0. Logo, se, e somente se [γ] ∈ π1

(X, x0

)e

γ = Π γ; entao:

[γ] = [Π γ] = Π∗([γ])∈ Π∗

(π1

(X, x0

).

Utilizando o primeiro teorema do isomorfismo de grupos, temos:

π1

(X/G, y0

)/ker(Ψ) = π1

(X/G, y0

)/Π∗(π1

(X, x0

))' Im

(Ψ).

Teorema 5.5. Com as notacoes e as hipoteses do lema anterior, temos:

π1

(X/G, y0

)/Π∗(π1

(X, x0

))' G.

Prova: Π∗ e sobrejetiva. Veja o capıtulo do grupo fundamental de S1

Corolario 5.3. Se X e simplesmente conexo, entao:

π1

(X/G, y0

)' G.

Prova: Exercıcio. (Veja o caso X = S1).

5.2. GRUPO FUNDAMENTAL E G-ESPACOS 123

Exemplo 5.3.

[1] Como antes, consideremos S2n+1 como ZP -espaco; entao:

π1

(L(p, q1, . . . , qn), y0

)= π1

(S2n+1

/Zp, y0

)' Zp;

pois S2n+1 e simplesmente conexa, (n ≥ 1).

[2] Sabemos que o espaco projetivo real PRn, (n > 1) pode ser obtido a partir de Sn

como Z2 -espaco. Logo:

π1

(PRn, y0

)= π1

(Sn/Z2, y0

)' Z2.

[3] Sabemos que a faixa de MoebiusM e homeomorfa aX = R×(−1, 1) comoZ -espaco.Logo:

π1

(M,w0

)= π1

(X/Z, y0

)' Z.

Assim, obtemos o resultado obtido nos capıtulos anteriores.

[4] Seja G o grupo gerado pelos homeomorfismos a, b : R2 −→ R2 definidos por:

a(x, y) = (−x, y + 1) e b(x, y) = (x+ 1, y).

Sabemos que K = R2/G e a garrafa de Klein. Lembremos que G nao e isomorfo a

Z× Z, pois satisfaz a relacao b a b = a. Logo:

π1

(K, k0

)= π1

(R2/G, k0

)' G.

[5] Seja α : I −→ Sn um caminho tal que α(0) = −α(1) e Π : Sn −→ PRn a projecaocanonica. Entao π1

(PRn, [α(0)]

)e gerado por [p α].

De fato, considere o seguinte diagrama comutativo:

Sn

p

I pα//

α

==

PRn

Por outro lado sabemos que:

Ψ : π1

(PRn, [α(0)]

)−→ Z2

e definida por Ψ([p α]]) = α(1); como α(0) 6= α(1) e e um isomorfismo de grupos,entao Ψ([p α]]) e nao trivial, logo gera π1

(PRn, [α(0)]

).


5.3 Transformacoes de Recobrimentos

Sejam(X1, p1, X

)e(X2, p2, X

)recobrimentos sobre X .

Definicao 5.1. A funcao h : X1 −→ X2 e dita um homomorfismo, se:

1. h e contınua.

2. O seguinte diagrama comuta:

X2

p2

X1 p1

//

h

??

X

isto e, p2 h = p1.

Observacao 5.4. Note que p2 h = p1 implica em que h : p−11 (x) −→ p−1

2 (x) seja umabijecao.

Proposicao 5.2. Sejam(X1, p1, X

)e(X2, p2, X

)recobrimentos tais que X1 e X2 sao co-

nexos e localmente conexos por caminhos. Dados x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 e x0 ∈ X ar-bitrarios, tais que p1(x1) = p2(x2) = x0 e se p1∗

(π1

(X1, x1

))⊂ p2∗

(π1

(X2, x2

)), entao

existe h : X1 −→ X2 contınua tal que h(x1) = x2 e o seguinte diagrama comuta:

X2

p2

X1 p1

//

h

??

X

Isto e, p2 h = p1 e h e um homomorfismo de recobrimento.

Prova: Utilizaremos o teorema 5.4. O recobrimento(X1, p1, X

)possui a propriedade

dos levantamentos. Denotemos por p1 o unico levantamento de p1:

X2

p2

X1 p1

//

p1

??

X

tal que p2 p1 = p1. Definamos h = p1.

5.3. TRANSFORMACOES DE RECOBRIMENTOS 125

Exemplo 5.4.

[1] Sejam p1 : S1 −→ S1 e p2 : S1 −→ S1 definidas por p1(z) = z6n e p2(z) = z2n,respectivamente.

Como p1∗(π1

(S1, z0

))' 6Z e p2∗

(π1

(S1, z0

))' 2Z, temos:

p1∗(π1

(S1, z0

))' 6Z ⊂ p2∗

(π1

(S1, z0

))' 2Z.

Pela proposicao anterior segue que existe h homomorfismo de recobrimentos, ondetemos o seguinte diagrama comutativo:

S1

p2

S1p1//

h

>>

S1

Note que h : S1 −→ S1 e tal que h(z) = z3.

Em geral, sejam:

pm, pn : S1 −→ S1,

onde pm(z) = zm e pn(z) = zn; n, m ∈ Z. A existencia do levantamento e equivalente aque

pm∗(π1

(S1, z0

))' mZ ⊂ pn∗

(π1

(S1, z0

))' nZ,

o qual e equivalente a que n divide m, isto e, temos o seguinte diagrama comutativo:

S1

pn

S1pm//

h

>>

S1

onde h(z) = zm/n.

[2] Sejam p1 : R2 −→ T2 e p2 : S1 × R −→ T2 tais que

p1(s, t) = (exp(s), exp(t)) e p2(z, t) = (z, exp(t)),

respectivamente.

Como p1∗(π1

(R2, t0

))' 0 ⊕ 0 e p2∗

(π1

(S1 × R, (z0, t0)

))' Z⊕ 0, temos:

p1∗(π1

(R2, t0

))' 0 ⊕ 0 ⊂ p2∗

(π1

(S1 × R, (z0, t0)

))' Z⊕ 0.


Pela proposicao anterior temos que existe h homomorfismo de recobrimentos, ondetemos o seguinte diagrama comutativo:

S1 × Rp2

R2p1

//

h

;;

T2

Note que h : R2 −→ S1 × R e tal que h(s, t) = (exp(s), t).


)e(X2, p2, X

)recobrimentos e h : X1 −→ X2 um

homomorfismo; entao(X1, h, X2

)e um recobrimento.

Prova: Note que todo x ∈ X possui uma vizinhanca conexa por caminhos que e umavizinhanca distinguida para cada recobrimento.

De fato, escolhemos U1 e U2 vizinhancas distinguidas de x de cada recobrimento; entaoconsideramos U = U1 ∩ U2.

Provaremos que h e sobrejetiva. Isto e, provaremos que para todo y ∈ X2, existe x ∈ X1

tal que h(x) = y. Fixemos x1 ∈ X1 e seja x2 = h(x1), x0 = p1(x1) = p2(x2); denotemospor α um caminho em X2 tal que α(0) = x2 e α(1) = y.

Agora consideramos β = p2 α um caminho em X ; entao existe, um unico levanta-mento γ tal que γ(0) = x1 e que satisfaz a p1 γ = β. Seja x = γ(1). Logo, os caminhoshγ e α tem o mesmo ponto inicial e p2(hγ) = p2α; pela unicidade do levantamentotemos h γ = α, logo h(x) = y.

Definicao 5.2. Dados os recobrimentos(X1, p1, X

)e(X2, p2, X

), a funcao

h : X1 −→ X2

e um isomorfismo de recobrimento, se:

1. h e um homeomorfismo.

2. O seguinte diagrama comuta:

X2

p2

X1 p1

//

h

??

X

isto e, p2 h = p1.


Observacao 5.1.

1. Se existe isomofismo entre(X1, p1, X

)e(X2, p2, X

), dizemos que os recobrimen-

tos sao isomorfos.

2. Os isomorfismos de recobrimentos tambem sao chamados transformacoes de re-cobrimentos.


)e(X2, p2, X

)recobrimentos tais que X1 e X2 sao

conexos e localmente conexos por caminhos. Dados x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 e x0 ∈ X tais quep1(x1) = p2(x2) = x0 e se p1∗

(π1

(X1, x1

))= p2∗

(π1

(X2, x2

)), entao existe h : X1 −→ X2

homeomorfismo tal que h(x1) = x2 e o seguinte diagrama comuta:

X2

p2

X1 p1

//

h

??

X

isto e, p2 h = p1 e h e um isomorfismo de recobrimento.

Prova: Novamente utilizaremos o teorema 5.4. Ambos os recobrimentos possuem apropriedade dos levantamentos. Denotemos por p1 e p2 os unicos levantamentos de p1

e p2, tais que os seguintes diagramas comutam:

X2

p2

X1 p1

//

p1

??

X

X1

p1

X2 p2

//

p2

??

X

isto e, p2 p1 = p1 e p1 p2 = p2. Denotemos por:

f = p2 p1 : X1 −→ X1;

logo, f(x1) = (p2 p1)(x1) = p2(x2) = x1. Entao, f = idX1e, consequentemente, p1 e

injetiva e p2 sobrejetiva.

Analogamente, definimos:

g = p1 p2 : X2 −→ X2;

temos que g = idX2e, consequentemente, p2 e injetiva e p1 sobrejetiva. Definimos

h = p1.


Em particular, temos o seguinte corolario:

Corolario 5.4. Sejam(X1, p1, X

)e(X2, p2, X

)recobrimentos tais que X1 e X2 sao sim-

plesmente conexos e localmente conexos por caminhos. Entao, existe um homeomor-fismo, tal que o seguinte diagram comuta:

X2

p2

X1 p1

//

h

??

X

O seguinte corolario e uma recıproca da proposicao anterior.

Corolario 5.5. Sejam(X1, p1, X

)e(X2, p2, X

)recobrimentos tais que X1 e X2 sao co-

nexos e localmente conexos por caminhos. Dados x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 e x0 ∈ X tais quep1(x1) = = p2(x2) = x0, se existe h : X1 −→ X2 homeomorfismo tal que p2 h = p1 eh(x1) = x2, entao:

p1∗(π1

(X1, x1

))= p2∗

(π1

(X2, x2

)).

O seguinte teorema determina completamente os possıves recobrimentos de um espa-co, salvo isomorfismos, pela classe de conjugacao de p∗

(π1

(X, x

)).

Teorema 5.6. Os recobrimentos(X1, p1, X

)e(X2, p2, X

)sao isomorfos se, e somente

se para todos x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 e x0 ∈ X tais que p1(x1) = p2(x2) = x0, os subgruposp1∗(π1

(X1, x1

))e p2∗

(π1

(X2, x2

))estao na mesma classe de conjugacao em π1

(X, x0

).

Prova: A prova segue do corolario anterior e do teorema 5.4.

Observacao 5.2.

1. Se X = X1 = X2, os isomorfismos sao chamados automorfismos do recobrimento(X, p, X

).

2. Nao e difıcil provar, que os automorfismos de(X, p, X

)formam um grupo com

a composta de funcoes. Denotemos este grupo por:

Aut(X, p, X

)= h : X −→ X / h isomorfismo tal que p h = p.


3. Cada h ∈ Aut(X, p, X

)define uma permutacao em cada fibra p−1(x).

4. Note que X e um Aut(X, p, X

)-espaco com a acao:

∗ : Aut(X, p, X

)×X −→ X

(h,x) −→ h ∗ x = h(x)

Dos teoremas anteriores, segue imediatamente:


)e x ∈ X . Um automorfismo h e completamente de-

terminado pelo valor h(x). Isto e, se h1, h2 ∈ Aut(X, p, X

)com h1(x) = h2(x), entao

h1 = h2.

Prova: Imediata.

Note que se x0 ∈ X e x0 ∈ p−1(x0), entao h(x0) ∈ p−1(x0). Utilizando este corolariopodemos construir automorfismos, pois, os automorfismos sao completamente deter-minados por seus possıveis valores na fibra.

Sejam x0 ∈ X e x0 ∈ p−1(x0). Podemos construir os automorfismos associando a h(x0)os possıveis valores em p−1(x0).

Exemplo 5.5.

[1] Seja(R, exp, S1

); entao para cada n ∈ Z, temos:

Tn : R −→ Rx −→ x+ n.

As translacoes Tn sao automorfismos tais que Tn(0) = n, para todo n ∈ Z. Por outrolado sabemos que exp−1(1) ' Z. Logo, estes sao todos os possıveis automorfismos;entao:

Aut(R, exp, S1

)= Tn / Tn(x) = x+ n, n ∈ Z, x ∈ R.

[2] Seja(R2, p,T2

); entao, para cada (n,m) ∈ Z× Z, temos:

Tn,m : R2 −→ R2

(x, y) −→ (x+ n, y +m).


As translacoes Tn,m sao automorfismos tais que Tn,m(0, 0) = (n,m), para todo (n,m) ∈Z× Z. Por outro lado sabemos que p−1(1) ' Z× Z. Logo, estes sao todos os possıveisautomorfismos; entao:

Aut(R2, p,T2

)= Tn,m / Tn,m(x, y) = (x+ n, y +m), (n,m) ∈ Z2, (x, y) ∈ R2.

[3] Em geral, seja(Rn, p,Tn

); entao, para cada v ∈ Zn, temos:

Tv : Rn −→ Rn

x −→ x+ v.

As translacoes Tv sao automorfismos tais que Tv(0, 0) = v, para todo v ∈ Zn. Por outrolado sabemos que p−1(1) ' Zn. Logo, estes sao todos os possıveis automorfismos;entao:

Aut(Rn, p,Tn

)= Tv / Tv(x) = x+ v, v ∈ Zn, x ∈ Rn.

[4] Seja(PRn,Π, Sn

). Como sabemos Π−1(1) ' Z2. Logo, estes sao todos os possıveis

automorfismos; entao:

Aut(PRn,Π, Sn

)= id, a,

onde a e funcao antıpoda.

[5] Sejam(X,Π,M

), onde M e a faixa de Moebius e X = R × (−1, 1); entao para cada

n ∈ Z, temos:

Tn : R× (−1, 1) −→ R× (−1, 1)

(x, y) −→ (x+ n, (−1)n y).

Tn sao automorfismos tais que Tn(0, 0) = (n, 0), para todo n ∈ Z. Por outro ladosabemos que Π−1(1) ' Z. Logo, estes sao todos os possıveis automorfismos; entao:

Aut(X,Π,M

)= Tn / Tn(x, y) = (x+ n, (−1)n y), n ∈ Z, (x, y) ∈ X.

Teorema 5.7. Se X e conexo e localmente conexo por caminhos, entao Aut(X, p,X

)atua de forma totalmente descontınua sobre X . Em particular:

Π : X −→ X/Aut

(X, p,X

)e um recobrimento.


Prova: Sejam x ∈ X e U uma vizinhanca distinguida de p(x) = x; entao:

p−1(U)

=⋃j∈J

Vj,

onde Vj sao disjuntas aos pares e cada Vj e homeomorfa a U . Logo, existe um k ∈ J talque x ∈ Vk. Seja h ∈ Aut

(X, p,X

):

1. Se h(x) = x, entao sabemos que h = idX . Veja o capıtulo anterior.

2. Se h 6= idX , como p(h(x)

)= p(x) segue que h(x) ∈ Vs, para algum s ∈ J .

3. Se Vk = Vs, entao h(x) = x. Logo, se h 6= idX , entao x ∈ Vk e h(x) ∈ Vs e Vk∩Vs = ∅.Por outro lado, U e conexo por caminhos pois X e X sao localmente conexos porcaminhos e os Vj tambem sao conexos por caminhos. Por outro lado, note que(p h)

(Vk)

= U e:

h(Vk)⊂⋃j∈J

Vj;

como h(x) ∈ Vs, para algum x ∈ Vk, temos que h(Vk)⊂ Vs; logo Vk ∩ h

(Vk)

= ∅; aacao e totalmente descontınua.

Teorema 5.8. Se X e conexo e localmente conexo por caminhos e p∗(π1

(X, x0

))e um

subgrupo normal de π1

(X, x0

), entao:

X ∼= X/Aut

(X, p,X

),

onde ∼= denota homeomorfismo.

Prova: Se p∗(π1

(X, x0

))e um subgrupo normal de π1

(X, x0

), sabemos que:

p∗(π1

(X, x0

))= p∗

(π1

(X, x1

)), para todo x1 ∈ p−1(x0).

Logo, existe h ∈ Aut(X, p,X

)tal que h(x0) = x1.

Reciprocamente, se h(x0) = x1 para algum h ∈ Aut(X, p,X

), entao p(x0) = p(x1).

Isto e, o grupo Aut(X, p,X

)identifica cada elemento de X da mesma forma que os

identifica a aplicacao de recobrimento p.

Logo, existe uma bijecao entre X e X/Aut

(X, p,X

).


Por outro lado, X e X/Aut

(X, p,X

)tem a topologia quociente determinada por p e Π,

respectivamente. Logo:

X ∼= X/Aut

(X, p, X

).

Corolario 5.7. Seja(X, p, X

)um recobrimento tal que X e conexo e localmente conexo

por caminhos. Se p∗(π1

(X, x0

))e um subgrupo normal de π1

(X, x0

), onde p(x0) = x0,

entao

π1

(X, x0

)/p∗(π1

(X, x0

))' Aut

(X, p,X

).

Em particular, se X e simplesmente conexo, entao:

π1

(X, x0

)' Aut

(X, p,X

).

Prova: Exercıcio.

Exemplo 5.6.

[1] Seja(Rn, p,Tn

). Como Rn e simplesmente conexo, temos que:

Zn ∼= π1

(Tn, x0

) ∼= Aut(Rn, p,Tn

).

Por outro lado, sabemos que:

Aut(Rn, p,Tn

)= Tv(x) = x+ v / v ∈ Zn, x ∈ R.

Logo, pelo teorema 5.8, obtemos novamente que:

Rn/Zn ∼= Tn.

[2] Seja(PRn,Π, Sn

). Como Sn e simplesmente conexa (n > 1), temos que:

Z2∼= π1

(PRn, x0

) ∼= Aut(PRn,Π, Sn

).


Aut(PRn,Π, Sn

)= id, a,

onde a e a funcao antıpoda. Pelo teorema 5.8, obtemos novamente que:

Sn/Z2∼= PRn.


[3] Seja(S1, p, S1

)tal que p(z) = zn, (n ∈ N); entao como π1

(S1, x0

)' Z, temos que

p∗(π1

(S1, x0

))' nZ

e normal em Z e:

Aut(S1, p, S1

) ∼= π1

(X, x0

)/p∗(π1

(X, x0

))' Z

/nZ.

Isto e, Aut(S1, p, S1

)e um grupo finito de ordem n. Pelo teorema 5.8, obtemos nova-

mente que:

S1/Z/nZ ∼= S1.

[4] Seja(X,Π,M

), onde M e a faixa de Moebius e X = R× (−1, 1). Como X e simples-

mente conexo, temos que:

Z ∼= π1

(M,m0

) ∼= Aut(X,Π,M

).


Aut(X,Π,M

)= Tn / Tn(x, y) = (x+ n, (−1)n y), n ∈ Z, x ∈ R.

Pelo teorema 5.8, obtemos novamente que:

X/Z ∼= M.

[5] Seja(R2,Π, K

), onde K e a garrafa de Klein. Como R2 e simplesmente conexo,

temos que:

Aut(R2,Π, K

)' π1

(K, x0

)' G,

onde G e o grupo gerado pelos homeomorfismos a, b : R2 −→ R2 definidos por:

a(x, y) = (−x, y + 1) e b(x, y) = (x+ 1, y),

com a relacao b a b = a. Logo, os automorfismos sao:

Aut(R2,Π, K

)= Tn,m / Tn,m(x, y) = ((−1)n x+m, y + n), n, m ∈ Z, (x, y) ∈ R2.

Note que:


Tn,m(0, 0) = (m,n)

T1,0(x, y) = a(x, y)

T0,1(x, y) = b(x, y).


R2/G ∼= K.

[6] Seja(L(p, q),Π, S2n+1

). Como S2n+1 e simplesmente conexo, entao:

Aut(L(p, q),Π, S2n+1

)' π1

(L(p, q), x0

)' Zp.


S2n+1/Zp ∼= L(p, q).

Observacao 5.3.

1. Sabemos que o teorema 5.6 determina completamente os possıves recobrimen-tos de um espaco, salvo isomorfismo, pela classe de conjugacao dos subgruposp∗(π1

(X, x

)).

2. A recıproca sera verdadeira? Isto e, dada uma classe de conjugacao de subgruposde π1

(X, x

)existe um recobrimento

(X, p, X

)tal que p∗

(π1

(X, x

))pertence a

esta classe de conjugacao? Em geral, a resposta a esta questao e negativa.

3. Note que sempre temos o recobrimento(X, id,X

)correspondente a classe de

conjugacao do subgrupo π1

(X, x

).

Definicao 5.3. O recobrimento(X, p, X

)e dito universal de X , se X e conexo, local-

mente conexo por caminhos e simplesmente conexo.

Exemplo 5.7.

[1](R, exp, S1

)e o recobrimento universal de S1.

[2] Analogamente,(R2, (exp, exp),T2

)e o recobrimento universal de T2.

[3] Em geral,(Rn, (exp, . . . , exp),Tn

)e o recobrimento universal de Tn.


[4](S1 × R, (id, exp),T2

)nao e um recobrimento universal de T2.

[5](X,Π,M

), ondeM e a faixa de Moebius eX = R×(−1, 1) e o recobrimento universal

de M .

[6](R2,Π, K

), onde K e a garrafa de Klein, e o recobrimento universal de K.

Observacao 5.5. Ao recobrimento universal e associado ao subgrupo e ⊂ π1

(X, x

).

Definicao 5.4. O numero de folhas do recobrimento universal e dito a ordem do grupofundamental da base.

Por exemplo,(R, exp, S1

)tem infinitas folhas e

(Sn,Π,PRn

), (n > 1) tem 2 folhas.


)recobrimento universal de X . Para todo

(X1, p1, X

)tal

que X1 e conexo, existe h : X −→ X1 homomorfismo tal que o seguinte diagrama ecomutativo:

X1

p1

X p

//

h

??

X

isto e, p1 h = p.

Prova: Para todo x ∈ X e x1 ∈ X1 tais que p(x) = p1(x1) temos:

0 ' p∗(π1

(X, x

))⊂ p1∗

(π1

(X1, x1

)).

Pela proposicao 5.3 e a proposicao anterior, temos que:

Dado(X, p, X

)o recobrimento universal de X , para todo recobrimento

(X1, p1, X

),

existe homomorfismo h : X −→ X1 tal que(X, h, X1

)e um recobrimento de X1. Isto

justifica o nome de recobrimento universal.

X1

p1

X p

//

h

??

X

Segue diretamente do corolario 5.5, que dois recobrimentos universais de um mesmoespaco sao isomorfos. Neste sentido, o recobrimento universal, se existe, e unico.

E possıvel provar a existencia do recobrimento universal de um espaco com hipotesesbastante gerais.


5.4 Aplicacoes

Um problema bastante complicado e determinar todos (a menos de isomorfismo) osrecobrimentos de um espaco dado. Neste paragrafo, estudaremos alguns exemploscom a hipotese de que o espaco de recobrimento e conexo. Utilizaremos o seguintecorolario dos paragrafos anteriores.

Teorema 5.9. Seja X conexo e localmente conexo por caminhos possuindo recobri-mento universal

(X, p, X

). Dado G ⊂ π1

(X, x0

)um subgrupo, existem um recobri-

mento(XG, p,X

)e y0 ∈ p−1(x0), tais que:

p∗(π1

(XG, y0

))= G.

Prova: Sabemos que π1

(X, x0

)e Aut

(X, p,X

)sao isomorfos. Seja G ⊂ π1

(X, x0

)um

subgrupo e consideremos G′ ⊂ Aut(X, p,X

)o subgrupo correspondente, dado pelo

isomorfismo; denotemos por:

XG = X/G′.

A relacao de equivalencia esta definida por:

x ∼ y se, e somente se, existe g ∈ G′ tal que g(x) = y.

Demos a XG a topologia quociente determinada pela projecao canonica:

Π : X −→ XG.

Definamos a seguinte aplicacao:

pG : XG −→ X

G′ x −→ p(x).

Isto e, temos o seguinte diagrama comutativo:

XG

pG

X p

//

Π

??

X

De fato, todo elemento da orbita de x e da forma h(x), onde h ∈ G′; como G′ e umsubgrupo de automorfismos, temos que:

5.4. APLICACOES 137

(p h)(x) = p(x),

entao pG Π = p. Logo, pG e bem definida e sobrejetiva.

Por outro lado, G′ age de forma totalmente descontınua; pelo que foi visto nos para-grafos anteriores, pG e um recobrimento.

Em particular pG e um homeomorfismo local; como X e localmante conexo, entao XG

e localmente conexo. X e simplesmente conexo, XG e conexo; como Π e um homomor-fismo de recobrimento, em particular, X e o recobrimento universal de XG, logo:

π1

(XG, y0

)' G′.

Note que para verificar que p∗(π1

(XG, y0

))= G, basta verifica que o seguinte diagrama

comuta:

π1

(XG, y0

) Ψ−−−→ G′

pG∗

y yiπ1

(X, x0

) Φ−−−→ H

onde H = Aut(X, p, X

), Φ e Ψ sao isomorfismos e i e a inclusao. De fato, como

pG∗ = Φ−1 i Ψ = Φ−1 Ψ, entao:

pG∗(π1

(XG, y0

))= Φ−1

(Ψ(π1

(XG, y0

)))= Φ−1

(G′) = G.

Consideremos o diagrama comutativo:

XG

pG

X p

//

Π

??

X

tal que p(x0) = x0, Π(x0) = y0 e pG(y0) = x0. Seja [ξ] ∈ π1

(XG, y0

); definimos:

σ : I −→ X,

tal que σ = pG ξ. Note que [σ] ∈ π1

(X, x0

), pois σ(0) = pG(ξ(0)) = pG(y0) = x0 e

σ(1) = pG(ξ(1)) = pG(y0) = x0. Consideremos σ o levantamento de σ a partir de x0,isto e:

p σ = σ.


Por outro lado, pG Π = p e p σ = pG Π σ; logo:

pG Π σ = p σ = σ = pG ξ.

Note que Π(σ(0)) = Π(x0) = y0. Logo, ξ e Π σ tem ponto inicial y0; entao Π σ e ξ saolevantamentos de σ partindo de y0.

Iσ−−−→ X

p−−−→ Xy Π

y yidI

ξ−−−→ XGpG−−−→ X

Pela unicidade dos levantamentos:

Π σ = ξ.

Logo, σ e um levantamento em X de ξ; entao [Π σ] = [ξ].

Como σ e ξ sao levantamentos em X , as imagens Ψ([ξ]) e Φ([σ]) sao unicamente deter-minadas por x0 e σ(1). Logo, Φ([σ]) = σ(1) = Ψ([ξ]).

Por outro lado, Φ([σ]) = Φ(pG∗([ξ])); entao:

Φ(pG∗([ξ])) = Ψ([ξ]).

5.5 Recobrimentos de Sn, (n > 1)

Seja Sn ⊂ Rn+1, (n ≥ 2) a esfera unitaria. Como Sn e simplesmente conexa, entao:

π1

(Sn, z0

)' e, n ≥ 2.

Logo, temos que, o unico subgrupo possıvel e o subgrupo trivial, o qual e associado aorecobrimento universal.

De fato: XG = Sn/e = Sn e o recobrimento universal e:

id : Sn −→ Sn,

e o unico recobrimento de Sn, (n > 1).

Logo, todo recobrimento(X, p, Sn

)e isomorfo a este recobrimento.

5.6. RECOBRIMENTOS DOS ESPACOS LENTICULARES 139

5.6 Recobrimentos dos Espacos Lenticulares

Seja L(p, q1, . . . , qn) = S2n+1/Zp o espaco lenticular. Sabemos que

π1

(L(p, q1, . . . , qn), y0

)' Zp,

onde p e um numero primo e os qi sao inteiros, primos relativos com p.

Logo, os unicos subgrupos de Zp sao e e Zp, entao:

1. O recobrimento universal: XG = S2n+1/e ∼= S2n+1, e:

Π : S2n+1 −→ L(p, q1, . . . , qn),

onde Π e a projecao canonica.

2. O outro recobrimento e XG = S2n+1/Zp ∼= L(p, q1, . . . , qn)), e:

id : L(p, q1, . . . , qn) −→ L(p, q1, . . . , qn).

Logo, todo recobrimento(X, p,L(p, q)

)e isomorfo a um destes recobrimentos.

5.7 Recobrimentos do Espaco Projetivo Real

Seja PRn, (n ≥ 2) o espaco projetivo real. Sabemos que π1

(PRn, p0

)e um grupo finito

de ordem 2, isomorfo a Z2.

Por outro lado Z2 admite somente dois subgrupos: e e Z2. Entao, temos:

1. XG = Sn/e = Sn e o recobrimento universal:

Π : Sn −→ PRn,

onde Π e a projecao canonica. O grupo de automorfismos e:

π1

(PRn, p0

)' Aut

(Sn,Π,PRn

)= id, a,

onde a e a funcao antıpoda.


2. XG = Sn/Z2 = PRn e:

id : PRn −→ PRn,

e recobrimento trivial.

Logo, todo recobrimento(X, p,PRn


5.8 Recobrimentos do Cırculo

Sejam S1 ⊂ C e z0 = (1, 0). Sabemos que π1

(S1, z0

)e um grupo cıclico infinito, isomorfo

a Z. Os subgrupos de Z sao do tipo: Gn = nZ, (n ≥ 0).

1. X = R e o recobrimento universal de S1 que e associado ao subgrupo e, onde:

exp : R −→ S1.

De fato, XG′ = R/e ' R. O grupo de automorfismos e:

Aut(R,Π, S1

)= Tk(z) = z + k / k ∈ Z, z ∈ S1.

Note que exp Tk = exp, para todo k ∈ Z.

2. Se G′ ' Z, entao XG′ = R/G′ ' S1; logo, temos:

id : S1 −→ S1,

o recobrimento trivial.

3. Os subgrupos Gn = nZ, (n ∈ N) sao associados aos recobrimentos:

pn :S1 −→ S1

z −→ zn.

De fato, o subgrupo Gn tem como subgrupo correspondente pelo isomorfismo:

G′

n = Tn(z) = z + n /n ∈ Z, z ∈ S1.

5.9. RECOBRIMENTOS DO TORO 141

Logo:

XG = R/G′

n ' S1,

pois:

x ∼ x+ n, n ∈ Z.

Por exemplo, seja o subgrupo 4Z que tem como subgrupo correspondente pelo iso-morfismo:

G′

4 = T4(z) = z + 4 / z ∈ S1.

Todos os pontos de R sao equivalentes a um elemento de [0, 4] por G′4; logo R/G′4 e

[0, 4], salvo 0 e 4 que sao equivalentes, isto e:

R/G′

4 ' S1.

Note que a aplicacao T4 : R −→ R induz p4, que corresponde a dar 4 vezes a volta aoredor do cırculo.

R T4−−−→ Ry yS1 p4−−−→ S1

Logo, todo recobrimento(X, p, S1


5.9 Recobrimentos do Toro

Sejam T2 o toro e z0 = (0, 0). Sabemos que π1

(T2, z0

)e um grupo cıclico infinito com 2

geradores, isomorfo a Z× Z. Logo, os possıveis subgrupos sao:

1. Subgrupos cıclicos com um gerador.

2. Subgrupos cıclicos com dois geradores.

O recobrimento universal do toro: XG = R2/G0,0∼= R2:

Π : R2 −→ T2.


O grupo de automorfismos e:

Aut(R2,Π, S1 × S1

)= Tk,l(x, y) = (x+ k, y + l) / k, l ∈ Z, (x, y) ∈ R2.

Compondo com o homeomorfismo: T2 ∼= S1 × S1, temos:

p : R2 −→ T2

(s, t) −→ (exp(s), exp(t)).

1. Subgrupos gerados por um gerador.

Os subgrupos gerados por vetores paralelos a (1, 0): Gk,0 (k ≥ 1) tem como sub-grupo correspondente pelo isomorfismo:

G′

k,0 = Tk(x, y) = (x+ k, y) / k ∈ Z, (x, y) ∈ R2,

os quais, sao associados aos cilindros. De fato:

(x, y) ∼ (x+ k, y), ∀(x, y) ∈ R2;

logo:

R2/G′

k,0 = (x, y) / 0 ≤ x ≤ k ' S1 × R.


p : S1 × R −→ T2

(z, t) −→ (z, exp(t)).


p

Figura 5.1: Cilindro recobrindo o toro

Analogamente, os subgrupos gerados por vetores paralelos a (0, 1): G0,l (l ≥ 1),tem como subgrupo correspondente pelo isomorfismo:

G′

0,l = Tl(x, y) = (x, y + l) / l ∈ Z, (x, y) ∈ R2,

os quais, sao associados aos cilindros. De fato:

(x, y) ∼ (x, y + l), ∀(x, y) ∈ R2;

logo:

R2/G′

0,l = (x, y) / 0 ≤ y ≤ l ' R× S1.


p : R× S1 −→ T2

(t, z) −→ (exp(t), z).


p

Figura 5.2: Cilindro recobrindo o toro

Os subgrupos Gk,l gerados por vetores (k, l) sao, em geral, faixas do tipo:

Gk,l = (x, y) / 0 ≤ (x, y) · (k, l) ≤ ‖(k, l)‖2,

onde · e o produto interno usual do plano.

Figura 5.3:

Logo, apos rotacoes (que sao homeomorfismos), obtemos que:


R2/G′

k,l∼= C,

onde C e um cilindro.

Utilizando a estrutura multiplicativa do grupo T2 ∼=∼= S1 × S1, temos que:

p : C −→ T2

(z, t) −→ (zk e−2πlt, zl e2πkt).

Se l = 0, temos que (z, t) −→ (zk, e2πkt) que corresponde ao produto de doisrecobrimentos, o primeiro finito de S1 e o segundo o universal.

2. Subgrupos com dois geradores.

Sao subgrupos gerados por um par de vetores linearmente independentes. Emgeral, estes subgrupos sao associados a retangulos:

Figura 5.4:

Portanto os espacos de recobrimento resultantes sao toros. Se o subgrupo e ge-rado por vetores (a, b) e (c, d), linearmente independentes e utilizando a estruturamultiplicativa do grupo T2 ∼= S1 × S1, temos que:

p : T2 −→ T2

(z, w) −→ (zawc, zbwd).


Se c = b = 0, temos que (z, w) −→ (za, wd) que corresponde ao produto de doisrecobrimentos finitos de S1.

Distintos pares de geradores geram distintos subgrupos se o conjunto de gerado-res nao sao equivalentes por Aut

(R2,Π, S1 × S1

).

Por exemplo, o subgrupo 3Z⊕0× 2Z⊕0 ' 3Z× 2Z, tem como subgrupo corres-pondente pelo isomorfismo a G′3,2, o qual e gerado por:

T3,0(x, y) = (x+ 3 k, y) e T2,0(x, y) = (x, y + 2 l).

Todo ponto de R2 e equivalente por G′3,2 a um ponto de [0, 3]× [0, 2]; logo R2/G′3,2 e um

toro.

p

0

2

3

Figura 5.5: Recobrimento de 6 folhas do toro

A projecao envia os seis retangulos no retangulo original do toro. Logo, e um recobri-mento de 6-folhas do toro

O subgrupo G gerado por (0, 2) e (1, 1), produz o seguinte recobrimento do toro:

5.10. O N-TORO 147

p

0 1 2

Figura 5.6: Recobrimento do toro

O numero de recobrimentos de k × l folhas e determinado pela fatoracao de k × l. Porexemplo, para recobrimentos de 6 folhas temos:

6× 1 = 3× 2 = 2× 3 = 1× 6.

Verifique se os recobrimentos anteriores de 6 folhas sao isomorfos.

5.10 O n-Toro

Em geral, se Tn = Rn/Zn, entao todo recobrimento X , conexo por caminhos de Tn e:

X ' Tm × Rn−m,

onde T0 = x0.

De fato, o recobrimento universal de Tn e Rn. Por outro lado, todo recobrimento X ,conexo por caminhos e isomorfo a:

Rn/G,

onde G e um subgrupo de π1

(Tn, (0, . . . , 0)

)que e isomorfo a Zn. Logo, existem v1, v2,

. . ., vm ∈ Zn linearmente independentes tais que G e gerado por estes vetores. Utili-zando a mudanca de bases para base canonica e1, e2, . . . , em de Rm, temos:

Rn/< e1, e2, . . . , em >' Rm

/< e1, e2, . . . , em > ×Rn−m ' Tm × Rn−m,


onde < e1, e2, . . . , em > e o subgrupo gerado pelos elementos e1, e2, . . . , em.

5.11 Recobrimentos da Faixa de Moebius

SejaM a faixa de Moebius. Sabemos que π1

(M, z0

)e um grupo cıclico infinito, isomorfo

a Z. Os subgrupos de Z sao do tipo: Gn = nZ, (n ≥ 0). Denotemos: X = R× (−1, 1).

1. X = X e o recobrimento universal de M associado ao subgrupo G0, onde:

Π : X −→M.

De fato, XG′ = X/e ' X. O grupo de automorfismos e:

Aut(X,Π,M

)= Tk / Tk(x, y) = (x+ k, (−1)k y), k ∈ Z, (x, y) ∈ X.

Note que Tk(0, y) = (k, (−1)k y). Isto e:

(0, y) ∼ (k, (−1)k y).

0 1 2

Π

Figura 5.7: Recobrimento universal da faixa de Moebius

5.11. RECOBRIMENTOS DA FAIXA DE MOEBIUS 149

2. Se G′ = Z, entao XG′ = X/G′ 'M ; logo temos:

id : M −→M,

o recobrimento trivial.

3. De forma analoga ao caso do cırculo, os subgrupos Gn = nZ (n ∈ N), sao associ-ados, pelo isomorfismo, a subgrupos:

G′

n = Tn / Tn(x, y) = (x+ n, (−1)n y), n ∈ Z, (x, y) ∈ X.

Logo:

(x, y) ∼ (x+ n, (−1)n y).

Os recobrimentos:

XGn = X/G′

n,

onde todo ponto de X e equivalente a (x, y) com 0 ≤ x ≤ n. Obtemos recobrimentosde n folhas. Logo:

1. Se n e par, XGn e um cilindro. De fato:

(x, y) ∼ (x+ n, y).

Por exemplo X/

2Z:


0 1 2

Π

Figura 5.8: Recobrimento da faixa de Moebius associado a 2Z

2. Se n e ımpar, XGn e uma faixa de Moebius. De fato:

(x, y) ∼ (x+ n,−y).

Por exemplo X/

3Z:

0 1 2

Π

3

Figura 5.9: Recobrimento da faixa de Moebius associado a 3Z

5.12. RECOBRIMENTOS DA GARRAFA DE KLEIN 151

5.12 Recobrimentos da Garrafa de Klein

Seja a garrafa de Klein: K = R2/G, onde G e o grupo gerado pelos homeomorfismos

a, b : R2 −→ R2 definidos por:

a(x, y) = (−x, y + 1) e b(x, y) = (x+ 1, y),

tal que b a b = a. Sabemos que π1

(K, p0

)' G.

Note que se g ∈ G, entao g = am bn, m, n ∈ Z de forma unica, e:

am bn ar bs = am+r b(−1)r n+s

(am bn)−1 = a−m b(−1)m+1 n.

Os possıveis subgrupos de G sao:

1. Os subgrupos cıclicos do tipo:

Hm,n = (am bn).

2. Os subgrupos cıclicos do tipo:

Hm,n,k = (am bn, bk)

tal que m 6= 0, k > 0 e 0 ≤ n < k.

O recobrimento universal: XG = R2/e ∼= R2:

Π : R2 −→ K.

O grupo de automorfismos e:

Aut(R2,Π, K

)= Tm,n / Tm,n(x, y) = ((−1)m x+ n, y +m), n, m ∈ Z.

Isto e:

(x, y) ∼ ((−1)m x+ n, y +m).


1. Consideramos XG = R2/Hm,n e:

p : R2/Hm,n −→ K,

onde p e a projecao canonica.

E possıvel provar que se m e par, entao:

R2/Hm,n ' S1 × R,

e se m e ımpar, entao:

R2/Hm,n 'M,

onde M e a faixa de Moebius.

Por exemplo, seja Hm,0 = Tm,0(x, y) = ((−1)m x, y +m). Logo,

(x, y) ∼ ((−1)m x, y +m), m ∈ Z

Se m e par, (x, y) ∼ (x, y +m), m ∈ Z e:

R2/Hm,0 ' S1 × R.

Se m e ımpar, temos:

(x, y) ∼ (−x, y +m), m ∈ Z

logo, R2/Hm,0 'M .

2. Os subgrupos:

Hm,n,k = (am bn, bk)

tais que m 6= 0, k > 0 e 0 ≤ n < k. Consideramos:

XG = R2/Hm,n,k

e a projecao canonica:

p : R2/Hm,n,k −→ K.

5.12. RECOBRIMENTOS DA GARRAFA DE KLEIN 153

E possıvel provar que se m e par, entao:

R2/Hm,n,k ' T2,

e se m e ımpar, entao:

R2/Hm,n,k ' K.

Por exemplo, consideremos o subgrupo Hm,0,k que e gerado pelos automorfismos:

Tm,0(x, y) = ((−1)m x, y +m)

T0,k(x, y) = (x+ k, y).

Entao, se m e par:

(x, y) ∼ (x, y +m)

(x, y) ∼ (x+ k, y).

Logo:

R2/Hm,0,k ' T2.

Se m e ımpar:

(x, y) ∼ (−x, y +m)

(x, y) ∼ (x+ k, y).

Logo:

R2/Hm,0,k ' K.

O seguinte recobrimento e determinado pelo subgrupo gerado por T2,0 e T1,3:


p

0 2

Figura 5.10: Recobrimento da garrafa de Klein

5.13 Acao do Grupo fundamental sobre as Fibras

Seja(X, p, X

)um recobrimento. Nao e dificil verificar que existe uma acao natural do

grupo fundamental de X sobre as fibras do recobrimento.

Dado x ∈ X , definiremos

∗ : π1

(X, x

)× p−1(x) −→ p−1(x)

([α], x) −→ [α] ∗ x = α(1),

onde α e o unico levantamento de α tal que p∗([α]) = [α] e α(0) = x. Claramente, p−1(x)e um π1

(X, x

)-espaco.

Seja X um G-espaco. A acao do grupo G sobre o conjunto X e dita transitiva se paratodo x1, x2 ∈ X existe g ∈ G tal que g·x1 = x2. Lembremos que o subgrupo de isotropiado elemento x0 ∈ X e:

g ∈ G/ g · x0 = x0.


)um recobrimento. Temos:

1. π1

(X, x

)atua transitivamente sobre p−1(x).

5.13. ACAO DO GRUPO FUNDAMENTAL SOBRE AS FIBRAS 155

2. Para todo x ∈ p−1(x), o subgrupo de isotropia de x e p∗(π1

(X, x

)).

3. Para todo h ∈ Aut(X, p, X

), x ∈ p−1(x) e [α] ∈ π1

(X, x

), temos que:

h([α] ∗ x) = [α] ∗ h(x).

Prova:

1. Sejam x1, x2 ∈ p−1(x), como X e conexo por caminhos, existe um caminho α talque

α(0) = x1 e α(1) = x2. Definamos α = p α, entao:

α(0) = p(x1) = x = p(x2) = α(1);

logo, [α] ∈ π1

(X, x

)e [α] ∗ x1 = x2.

2. Segue da definicao da acao.

3. Seja [α] ∈ π1

(X, x

); denotemos por α o unico levantamento de α tal que α(0) = x

e p α = α. Logo, [α] ∗ x = α(1); consideremos h α caminho em X tal que(h α)(0) = h(x) e (h α)(1) = h(α(1)), entao:

p(h(α)

)=(p h

) α = p(α) = α.

Logo, h(α) tambem e um levantamento de α. Pela definicao da acao :

[α] ∗ h(x) =(h α

)(1) = h(α(1)) = h([α] ∗ x).


5.14 Exercıcios


2. Um recobrimento(X, p, X

)e dito regular se para algum x0 ∈ X o subgrupo

p∗(π1

(X, x0

))e normal de π1

(X, x0

). Verifique que se [α] ∈ π1

(X, x0

), entao todos os levanta-

mentos de α sao caminhos fechados ou nao sao fechados.

3. Seja(X, p, X

)um recobrimento tal que X = X

/G, onde G e um grupo que age

de forma totalmente descontıua sobre X . Prove que(X, p, X

)e regular.

4. Seja X = R× [0, 1] ⊂ C e definamos o homeomorfismo

T : X −→ X

z −→ z + 1 + i.

Se G e o grupo gerado por T , calcule π1

(X/G, x0

). (Verifique primeiramente que

X/G e homeomorfa a faixa de Moebius).

5. Verifique que o sinal negativo no expoente da primeira componente de

p : C −→ T2

(z, t) −→ (zk e−2πlt, zl e2πkt).

e coerente com a descricao dos geradores do toro.

6. Considere a acao de Z sobre Rn − 0 definida por k · x = 2n x.

(a) Verifique que a acao e livre.

(b) Calcule π1

(X/G, x0

), onde X =

(Rn − 0

)/Z.

(c) Se n ≥ 3, entao o recobrimento universal de Sn−1 × S1 e homeomorfo aRn − 0.

5.14. EXERCICIOS 157

7. ExisteX , espaco topologico, conexo e conexo por caminhos tal queX×S1, possuarecobrimento universal S2?

8. SejaX = S1∪S2 ⊂ R3 tal que S1∩S2 = p0, determine o recobrimento universal.

9. Seja X =(S1 × S1

)∪ S1 ⊂ R3 tal que S1 ∩

(S1 × S1

)= p0, determine o

recobrimento universal.

Capıtulo 6

TEOREMA DE SEIFERT - VANKAMPEN

O capıtulo e dedicado ao Teorema de Seifert-Van Kampen. O Teorema de Seifert-VanKampen e um dos teoremas mais importantes e classicos da Topologia Algebrica. Aprimeira versao do Teorema foi provada pelo matematico belga Egbertus Rudolf VanKampen em 1933. Posteriormente, no ano de 1934, o teorema foi generalizado pelomatematico alemao Herbert Karl Johannes Seifert.

A origem do teorema remonta-se a Oscar Zariski, o qual estava trabalhando para de-terminar o grupo fundamental do complemento de uma curva algebrica, porem naoconseguiu uma representacao para o grupo fundamental. Zariski apresentou o pro-blema a Van Kampen, o qual o resolveu, mostrando que as relacoes determinadas porZariski eram suficientes para determinar completamente o grupo fundamental. Istomotivou a Van Kampen provar a primeira versao do teorema.

Este teorema nos fornecera uma ferramenta eficiente para calcular o grupo fundamen-tal de importantes espacos topologicos, conhecendo apenas alguns dos grupos funda-mentais de subconjuntos especiais do espaco topologico.

Por exemplo, utilizando o Teorema de Seifert-Van Kampen, calcularemos os gruposfundamentais de todas as superfıcies compactas, orientaveis e nao-orientaveis e a fi-gura do numero oito que, topologicamente e homeomorfa a uniao de dois cırculos, dis-juntos, salvo num unico ponto em comum e que, surpreendentemente, e uma grandefonte de exemplos e aplicacoes.

Este teorema tem alguns pre-requisitos da Teoria dos Grupos, que sao necessarios paraseu completo entendimento. Nos paragrafos seguintes, apresentaremos de forma bas-tante sucinta estes pre-requisitos.

159

160 CAPITULO 6. TEOREMA DE SEIFERT - VAN KAMPEN

6.1 Grupos Livres

Nesta secao, iniciamos o estudo de alguns conceitos da Teoria dos Grupos, o suficientepara entender e aplicar o Teorema de Seifert-Van Kampen. Para mais detalhes e/ouaprofundamento destes topicos, veja qualquer livro de Algebra intermediaria.

Definicao 6.1. Sejam S 6= ∅ um conjunto e F um grupo. Dizemos que F e um grupolivre sobre S, se existe i : S −→ F injetiva tal que para qualquer funcao h : S −→ G,onde G e um grupo arbitrario, existe um unico homomorfismo g : F −→ G, tal que oseguinte diagrama comuta:

F

g

S

h//

i??

G

Isto e, g i = h

Observacao 6.1.

1. Nao e difıcil ver que fixado o conjunto S, existe um unico grupo livre F , a menosde isomorfismos.

2. A existencia dos grupos livres pode ser vista em qualquer livro de Algebra inter-mediaria.

3. Claramente, o grupo livre G gerado por um unico elemento e isomorfo a Z. Defato a unica aplicacao injetiva h : a −→ Z e dada por h(a) = 1, tal que:

G

g

a

h//

i>>

Z

4. Se S e um conjunto finito com n elementos, o grupo livre gerado por S e ditogrupo livre com n geradores.

5. Grupos livres com n > 1 geradores, sao grupos infinitos nao abelianos.

6. A seguinte propriedade caracteriza completamente estes grupos.

6.1. GRUPOS LIVRES 161

Proposicao 6.1. Todo grupo e quociente de um grupo livre.

Prova: De fato. seja G um grupo e S ⊂ G tal que G =< S >, onde < S > e o grupogerado por S; logo, a inclusao natural i : S −→ G pode ser unicamente estendida a umhomomorfismo sobrejetivo f : F −→ G, onde F e o grupo livre sobre S.

Denotando por R = ker(f), pelo teorema do isomorfismo de grupos temos:

F/R ∼= G.

Definicao 6.2. Dizemos que R e o grupo de relacoes de G e que S e um sistema ou umconjunto de geradores de G. O par (S, R) e dito representacao do grupo G.

Observacao 6.1.

1. Note que sempre temos o seguinte: se G e o grupo gerado por S; entao, (S, ∅) euma representacao de G.

2. A representacao de um grupo nao e unica. De fato, os grupos com representacoes(x, ∅) e (x, y, y) sao isomorfos.

3. Na verdade todo grupo G tem uma representacao (S, R); para isto, basta consi-derar:

S = G e R = (g1 g2) g−12 g−1

1 ; g1, g2 ∈ G.

4. A partir de agora, utilizaremos as seguintes notacoes:

g g = g2, g−1 g−1 = g−2; em geral g g . . . g = gn, g−1 g−1 . . . g−1 = g−n.

5. Muitas vezes, por abuso de linguagem, se r ∈ R escreveremos r = 1, pois onucleo de f e R = ker(f).

Seja F um grupo livre sobre S; consideremos seu subgrupo comutador:

R =< a b a−1 b−1 = 1 / a, b ∈ F >;

entao, temos que:

G = F/R


e um grupo abeliano livre sobre S. Logo, a inclusao natural i : S −→ G e tal que, dadah : S −→ H , onde H e um grupo abeliano, existe un homomorfismo g : G −→ H talque o seguinte diagrama comuta:

G

g

S

h//

i??

H

onde g i = h. E possıvel provar que esta ultima propriedade caracteriza os gruposlivres abelianos sobre S.

6.1.1 Notacoes

E comum introduzir as seguintes notacoes em topologia.

Suponha que o conjunto de geradores e dado por S = a, b, c e o grupo de relacoes:

R = a4 b−1 c b8, a−3 b9 c2, a3 b c2.

O grupo correspondente e denotado por:

< a, b, c / a4 b−1 c b8 = 1, a−3 b9 c2 = 1, a3 b c2 = 1 > .

Exemplo 6.1.

[1] Nao e difıcil ver que o grupo:

G =< a, b / b2 a = b, b a2b = a >

e isomorfo ao grupo trivial 1.

De fato, b2 a = b implica b a = 1 ou, equivalentemente a−1 b−1 = 1; por outro lado:

(a−1 b−1) b a2b = a,

donde b = 1; logo a = 1.

[2] Considere o grupo Z2 × Z3 gerado pelo par (1, 1) e que existe um unico homomor-fismo sobrejetivo:

f : Z −→ Z2 × Z3

tal que f(1) = (1, 1); por outro lado ker(f) =< 6 >; logo o grupo Z2 × Z3 tem umarepresentacao (a, < 6 >); multiplicativamente, f(6) = 1 e equivalente a a6 = 1. Se

6.2. PRODUTO LIVRE DE GRUPOS 163

escolhemos como geradores do grupo Z2 × Z3 os pares (1, 0) e (0, 1), o ker(f) e geradopor 2 e 3; a representacao e (a, b, R) tal que a2 = 1 e b3 = 1.

[3] Se G e um grupo cıclico de ordem n, entao G pode ser escrito como < a/ an = 1 >.Logo:

G ∼= Zn.

[4] Seja o grupo simetrico G = S3; temos que:

G =< a, b / a3 = b2 = 1, (a b)2 = 1 > .

[5] Se G e o grupo de simetrias do quadrado; temos que:

G =< a, b / a4 = b2 = 1, (a b)2 = 1 > .

[6] Seja grupo Z2 = Z× Z; temos que:

G =< a, b / a b a−1 b−1 = 1 > .

6.2 Produto Livre de Grupos

Sejam G um grupo e:

Gα / α ∈ Γ

uma famılia de grupos tal que o conjunto dos ındices Γ pode ser finito ou nao. Cons-truiremos um novo grupo G, tal que cada Gα seja um subgrupo de G, para todo α ∈ Γ.

A famılia Gα / α ∈ Γ gera o grupo G, se todo elemento de G pode ser escrito comoum produto finito de elementos de Gα. Logo, dado g ∈ G, existem gε11 , g

ε22 , . . . g

εnn , tal

que:

g = gε11 gε22 . . . . . . gεnn , εi ∈ −1, 1

e onde cada gεii ∈ Gα, diferente da identidade para algum α, de modo que os elementosadjacentes a gεii pertencem a diferentes Gα.

A expressao gε11 gε22 . . . . . . gεnn e chamada palavra de comprimento n em G.

Suponha que temos:

g = gε11 gε22 . . . . . . gεnn .

Se gεii e gεi+1

i+1 pertencem ao mesmo subgrupo, elas podem ser combinadas num novoelemento, obtendo uma palavra de comprimento n− 1.


Observacao 6.2. Aplicando repetidamente esta operacao, podemos obter uma palavraque nao contem dois elementos consecutivos de um mesmo subgrupo; esta palavra edita reduzida.

Definicao 6.3. Sejam G um grupo e Gα / α ∈ Γ uma famılia de subgrupos que geramG. Gα ∩Gβ = e se α 6= β. Dizemos que G e o produto livre gerado pelos Gα, se paracada g ∈ G existe uma unica palavra reduzida em Gα que representa g. Em tal casoescrevemos:

G =∗∏α

Gα.

No caso finito, escrevemos:

G = G1 ∗G2 ∗ . . . ∗Gn.

G e um grupo livre sobre o conjunto das palavras reduzidas.

Observacao 6.2.

1. Em resumo, o grupo G e definido como o conjunto das expressoes formais:

g = gε11 gε22 . . . . . . gεnn ,

onde cada gεii pertence a algum Gi diferente da identidade e tal que os elementosadjacentes a gεii pertencem a diferentes Gα.

2. Note que a operacao em G e um produto, por justaposicao seguida de umareducao.

De outra forma, o ultimo dos gεii da primeira palavra e o ultimo da segundapodem estar no mesmo grupo; entao elas podem ser combinadas num novo ele-mento.

Por exemplo, se g1 = gε11 gε22 . . . . . . gεkk e g2 = gεjj g

εj+1

j+1 . . . . . . gεnn , entao:

g1 g2 =(gε11 gε22 . . . . . . gεkk

) (gεjj g

εj+1

j+1 . . . . . . gεnn)

= gε11 gε22 . . . . . .(gεkk g

εjj

)gεj+1

j+1 . . . . . . gεnn

1. O elemento identidade de G e a palavra vazia a qual e denotada por 1.

2. E possıvel provar que o produto livre de grupos sempre existe.

6.3. PRODUTO AMALGAMADO DE GRUPOS 165

3. O grupo G assim definido, satisfaz a seguinte propriedade universal:

Para todo grupo H e famılia de homorfismos hk : Gk −→ H , existe um unico homo-morfismo h : G −→ H tal que h ik = hk, para todo k; isto e, o seguinte diagramacomuta:

G

h

Gk hk//

ik

>>

H

onde h(g1 g2 . . . gn) = h1(g1)h2(g2) . . . hn(gn).

Observacao 6.3. Em geral, o produto livre de grupos nao e um grupo livre.

Por exemplo, considere o produto livre dos grupos Z2 :

Z2 ∗ Z2 =< a, b / a2 = b2 = 1 > .

Logo, para todo g ∈ Z2 ∗Z2 tal que g 6= 1, o elemento g pode ser escrito, somente comoproduto de a e b, pois potencias de a e b sao triviais; logo os geradores devem apareceralternados, por exemplo:

a, b, a b, b a, a b a, a b a b, . . . .

Como a b 6= b a, o grupo e nao abeliano e observe que ambos os elementos tem ordemfinita.

Por outro lado:

Z2 ∗ Z2 6= Z2 × Z2.

O grupo Z2 × Z2 e abeliano de ordem 4.

6.3 Produto Amalgamado de Grupos

Nesta secao estudaremos o caso mais simples de produto amalgamado de grupos.

Sejam G0, G1 e G2 tres grupos e os seguintes homomorfismos:

G1

G0 h2//

h1>>

G2


ConsidereG1∗G2 o produto livre dos gruposG1 eG2 e sejaN o subgrupo normalizadorde G1 ∗G2, isto e, o subgrupo gerado pelas palavras:

h1(g)−1 h2(g) / g ∈ G0 ⊂ G1 ∗G2.

Definicao 6.4. O produto amalgamado de G1 e G2, em relacao aos homomorfismos h1

e h2, denota-se e define-se por:

G1 ∗G0 G2 = G1 ∗G2

/N.

Por exemplo, consideremos os seguintes grupos:

Z2 =< z / z2 = 1 >, Z4 =< a/ a4 = 1 > e Z6 =< b / b6 = 1 >

tais que:

Z4

Z2 h2//

h1>>

Z6

onde h1(z) = a2 e h2(z) = b3 sao os unicos homomorfismos nao triviais; entao:

Z4 ∗Z2 Z6 = a, b / a4 = b6 = 1, x2 = y3.

Denotemos por ik : Gk −→ G1 ∗G2 as inclusoes canonicas, para k = 1, 2 e por:

pr : G1 ∗G2 −→ G1 ∗G0 G2

a projecao canonica; entao o seguinte diagrama comuta:

G1

i1

j1

&&G0

h1

::

h2 $$

G1 ∗G2pr // G1 ∗G0 G2

G2

j2

88i2

OO

onde jk = pr ik, k = 1, 2.

6.4. PROPRIEDADE UNIVERSAL DO PRODUTO AMALGAMADO 167

Observacao 6.3.

1. O produto amalgamado G1 ∗G0 G2 pode ser considerado como o produto livreG1 ∗G2, modulo a identificacao h1(g) = h2(g) para todo g ∈ G0.

2. Se G0 = id, entao:

G1 ∗G0 G2 = G1 ∗G2.

3. Nao e difıcil ver que:

G1 ∗G0 1 ' G1 e 1 ∗G0 G2 ' G2.

4. A seguinte propriedade caracteriza completamente o produto amalgamado degrupos.

6.4 Propriedade Universal do Produto Amalgamado

Com as notacoes e definicoes acima, dado um grupo H arbitrario e:

ψk : Gk −→ H,

k = 1, 2, homomorfismos tais que ψ1 h1 = ψ2 h2, existe um unico homomorfismo:

ψ : G1 ∗G0 G2 −→ H,

tal que ψ ik = ψk, k = 1, 2 e tal que os seguintes diagramas comutam:

G1

i1

ψ1

$$G0

h1

99

h2 %%

G1 ∗G0 G2ψ // H

G2

ψ2

::

i2

OO


6.5 Teorema de Seifert-Van Kampen

Considermos U , V e U ∩ V conjuntos abertos do espaco topologico X e as inclusoesnaturais:

U

U ∩ V

;;

##

// X

V

OO

Teorema 6.1. (Seifert-Van Kampen)

Sejam X = U ∪ V , onde U , V e U ∩ V sao conjuntos abertos conexos por caminhos taisque x0 ∈ U ∩ V . Denotemos por:

π1

(U, x0

)j1

π1

(U ∩ V, x0

) i177

i2 ''

i3 // π1

(X, x0

)π1

(V, x0

)j2

OO

os homomorfismos induzidos pelas inclusoes tais que os diagramas comutam. DadosH um grupo e os homomorfismos:

ψ1 : π1

(U, x0

)−→ H e ψ2 : π1

(V, x0

)−→ H,

existe um unico homomorfismos ψ : π1

(X, x0

)−→ H tal que o seguinte diagrama

comuta:

π1

(U, x0

)j1

ψ1

##π1

(U ∩ V, x0

) i3 //

i177

i2 ''

π1

(X, x0

) ψ // H

π1

(V, x0

) ψ2

;;

j2

OO

Isto e:

6.5. TEOREMA DE SEIFERT-VAN KAMPEN 169

ψ j1 = ψ1 e ψ j2 = ψ2.

Em outras palavras:

π1

(X, x0

) ∼= π1

(U, x0

)∗π1

(U∩V,x0

) π1

(V, x0

).

Ou, equivalentemente:

π1

(U, x0

)∗ π1

(V, x0

)/N ∼= π1

(X, x0

)onde N e o menor subgrupo normal de π1

(U, x0

)∗ π1

(V, x0

)tal que:

i1(α) i−12 (α) ∈ N,

para todo α ∈ π1

(U ∩ V, x0

).

Observacao 6.4. A seguir, apresentaremos um esboco sucinto, da prova do teorema.Para a prova detalhada, veja [HA] ou [CK].

Denotemos por:

j : π1

(U, x0

)∗ π1

(V, x0

)−→ π1

(X, x0

)o homomorfismo induzido pela extensao dos homomorfismos jk, que sao sobrejetivos;logo, o homomorfismo j e sobrejetivo.

Por outro lado, N o normalizador de π1

(U, x0

)∗ π1

(V, x0

)satisfaz N ⊂ ker(j).

De fato, provaremos que para todo g ∈ π1

(U ∩ V, x0

):

i1(g)−1 i2(g) ∈ ker(j).

Pela comutatividade do diagrama, temos que:

j(i1(g)) = j1(i1(g)) = i3(g) = j2(i2(g)) = j(i2(g))

e N ⊂ ker(j). Logo, j induz um homomorfismo sobrejetivo:

f : π1

(U, x0

)∗ π1

(V, x0

)/N −→ π1

(X, x0

).

Agora, so devemos provar que essencialmente N = ker(j), utilizando o fato de que fe um homomorfismo injetivo. Esta parte e bastante longa e ficara fora destas notas.

O teorema de Seifert-Van Kampen, implica em que a classe de lacos que gera π1

(X, x0

)pode ser expressada como produto de classes de lacos em π1

(U, x0

)e π1

(V, x0

).


Corolario 6.1. Nas hipoteses do teorema de Seifert-Van Kampen, se U e V sao simples-mente conexos:

π1

(X, x0

) ∼= e.Prova: Exercıcio.

Corolario 6.2. Nas hipoteses do teorema de Seifert-Van Kampen, se U ∩ V e simples-mente conexo:

π1

(X, x0

) ∼= π1

(U, x0

)∗ π1

(V, x0

).

Prova: Exercıcio.

Corolario 6.3. Nas hipoteses do teorema de Seifert-Van Kampen:

1. Se U e simplesmente conexo:

π1

(X, x0

) ∼= π1

(V, x0

)/N.

2. Se V e simplesmente conexo:

π1

(X, x0

) ∼= π1

(U, x0

)/N.

Prova: Exercıcio.

6.6 Representacoes

Suponha que conhecemos as representacoes dos grupos envolvidos no Teorema deSeifert-Van Kampen:

π1

(U ∩ V, x0

)=< S,R >

π1

(U, x0

)=< S1, R1 >

π1

(V, x0

)=< S2, R2 >

Consideremos o diagrama comutativo, induzido pelas inclusoes naturais:

6.7. ESFERAS 171

π1

(U, x0

)j1

π1

(U ∩ V, x0

) i177

i2 ''

i3 // π1

(X, x0

)π1

(V, x0

)j2

OO

Seja s ∈ S, logo i1(s) ∈ π1

(U, x0

)e i2(s) ∈ π1

(V, x0

), entao podemos escrever estes

elementos nos respectivos grupos, utilizando os respectivos geradores de cada grupo.

Denotemos por i1(s) e i2(s) estes elementos. Definamos:

RS = i1(s) = i2(s) / s ∈ s.

Entao, o teorema de Seifert- Van Kampen, fica:

Teorema 6.2. Nas hipoteses do teorema de Seifert- Van Kampen e notacoes anteriores,temos que:

π1

(X, x0

) ∼=< S∗, R∗ >,

onde:

S∗ = S1 ∪ S2 e R∗ = R1 ∪R2 ∪RS,

Observacao 6.5. Note que o conjunto de relacoes R de π1

(U ∩ V, x0

)nao e utilizado na

determinacao do grupo π1

(X, x0

).

6.7 Esferas

Provaremos, utilizando o Teorema de Seifert-Van Kampen, que Sn e simplesmente co-nexo para n ≥ 2. Isto e:

π1

(Sn, p0

) ∼= e, ∀n ≥ 2.

Sejam pN e pS os polos norte e sul de Sn; consideremos:

U = Sn − pN e V = Sn − ps,


ambos conjuntos abertos e conexos por caminhos. Por outro lado, U e V sao homeo-morfos a Rn, via a aplicacao estereografica; logo simplesmente conexos.

Figura 6.1: Sn = U ∪ V e U ∩ V .

O conjunto aberto U ∩ V e conexo por caminhos para n ≥ 2; note que tem o mesmotipo de homotopia que Sn−1. Aplicando o primeiro corolario do Teorema de Seifert-VanKampen, temos o resultado.

Corolario 6.4.

1. Para todo p ∈ Rn, n > 1, Rn − p e simplesmente conexo.

2. Para todo n > 1, Sn nao e homeomofo a S1.

Prova:

1. De fato, Rn − p e homeomorfo a Sn−1 × R.

2. Imediata.

6.8. BUQUES 173

6.8 Buques

Denotemos o espaco obtido pela uniao disjunta de 2 copias, disjunta e homeomorfas aS1, com um ponto p em comum p, por

S1 ∨p S1 = S1 t S1/∼ onde p ∼ p.

Figura 6.2: Uniao de dois cırculos, com um ponto comum

Afirmamos que:

π1

(S1 ∨p S1, p

) ∼= Z ∗ Z.

De fato, podemos considerar as seguintes copias, homeomorfas a S1:

A = (x, y) / (x− 1)2 + y2 = 1 e B = (x, y) / (x+ 1)2 + y2 = 1.

Sejam a ∈ A e b ∈ B tal que a 6= p e b 6= p.

ba p

Figura 6.3: O espaco S1 ∨p S1

Denotemos por P2 = S1 ∨p S1 e:

U = P2 − a e V = P2 − b

ambos os conjuntos abertos e conexos por caminhos.


bp

Figura 6.4: O conjunto U

Os dois conjuntos, tem o mesmo tipo de homotopia de S1; entao:

π1

(U, p

)= π1

(V, p) ∼= Z.

Por outro lado:

S1 ∨p S1 = U ∪ V.

U ∩ V e simplesmente conexo e p ∈ U ∩ V :

p

Figura 6.5: O conjunto U ∩ V

Logo, pelo segundo corolario do Teorema de Seifert-Van Kampen:

π1

(S1 ∨p S1, p

) ∼= Z ∗ Z.

6.9 Interpretacao Geometrica

π1

(U, p

)e um grupo cıclico gerado pela classe de homotopia a = [α] e π1

(V, p)

e umgrupo cıclico gerado pela classe de homotopia b = [β], como no desenho:

p αβ

Figura 6.6: Os gerados

6.9. INTERPRETACAO GEOMETRICA 175

O segundo corolario do Teorema de Seifert-Van Kampen nos indica que o grupo:

π1

(S1 ∨p S1, p

)e gerado por potencias de a e b. Por exemplo, o elemento:

a3 b2 a−2 ∈ π1

(S1 ∨p S1, p

)corresponde a classe de homotopia do laco obtido percorrendo 3 vezes, ao redor de Uo laco α seguido de percorrer 2 vezes o laco β, ao redor de V e finalmente, o laco α epercorrido uma vez, no sentido contrario em U .

Corolario 6.5.

1. A esfera S2 nao e homeomofa a S1 ∨p S1.

2. A esfera S2 nao e homeomofa a S1 ∨p S2.

3. R2 − r, q e um retrato por deformacao S1 ∨p S1. Logo:

π1

(R2 − r, q, p

)' Z ∗ Z.

Prova:

1. Imediata.

2. Imediata.

3. Exercıcio. Veja o desenho:

r q

Figura 6.7:


6.10 Toros

Nos capıtulos passados, calculamos o grupo fundamental do toro:

π1

(T2, x0

) ∼= Z× Z.

Como motivacao dos proximos paragrafos, determinaremos novamente o grupo fun-damental do toro, utilizando o Teorema de Seifert-Van Kampen.

Consideremos, o toro:

a b

a

b

b

a

x1

1

x1

x1

x

Figura 6.8: O toro T2 tal que a ∼ a e b ∼ b

Sejam dois discos concentricos, inscritos no retangulo, de raios r2 > r1 > 0, respectiva-mente. Denotemos por U o complementar, no toro, do disco de raio r2 e V o interiordo disco de raio r1; como no seguinte desenho:

a

b

a

b

U

aa

V

b

b

Figura 6.9: Os conjuntos U e V

Os conjuntos U , V e U ∩ V sao abertos e conexos por caminhos tais que T2 = U ∪ V .

6.10. TOROS 177

Figura 6.10: O conjunto U ∩ V

Sabemos que U e um retrato por deformacao de S1 ∨p S1, veja os desenhos:

b

a a

b

a

b

x0

x0

x0x

0

x0

b

x0


b

x

a

0


V e contratil e tem o mesmo tipo de homotopia do ponto x0 ∈ U ∩ V , pois e contratil eU ∩ V tem o mesmo tipo de homotopia de S1; entao:

π1

(U, x0

) ∼= Z ∗ Z, π1

(V, x0

) ∼= 1 e π1

(U ∩ V, x0

) ∼= Z.

Logo, temos o seguinte diagrama comutativo:


Z ∗ Zj1

Z

i1

::

i2 ##

i3 // π1

(T2, x0

)1

j2

OO

Pelo segundo corolario do Teorema de Seifert-Van Kampen:

π1

(T2, x0

) ∼= (Z ∗ Z) ∗Z 1.Seja z um gerador de π1

(U ∩ V, x0

); entao i2(z) = 1 e i1(z) = a b a−1 b−1, logo:

π1

(T2, x0

) ∼= (Z ∗ Z) ∗Z 1 = a, b / a b a−1 b−1 = 1 ∼= Z× Z.

Corolario 6.6.

1. A esfera S2 nao e homeomofa a T2.

2. S1 ∨p S1 nao e homeomofo T2.

Prova: Imediata.

6.11 Geradores

Continuando com o calculo do grupo fundamental do toro. Do paragrafo anteriortemos que:

π1

(T2, x0

) ∼= (Z ∗ Z) ∗Z 1 = a, b / a b a−1 b−1 = 1 ∼= Z× Z.

Seja x0 ∈ U ∩ V , denotemos por δ um caminho entre x0 e x1, α e β lacos em x0, querepresentam a e b, respectivamente e

a = δ ∗ α ∗ δ−1, b = δ ∗ β ∗ δ−1,

como no desenho:

6.12. GARRAFA DE KLEIN 179

aa

b

b

ε

x0

x1

δ

x1

x1

x1

Figura 6.13: Laco em U ∩ V

O grupo π1

(U, x0

)tem como geradores [a] e [b]. Como S1 = S2 = ∅, pelo teorema de

Seifert-Van Kampen, temos que π1

(T2, x0

)e gerado por [a] e [b].

Por outro lado, seja z = [ε] o gerador de π1

(U ∩ V, x0

) ∼= Z; entao:

ε ∼ δ ∗ α ∗ β ∗ α−1 ∗ β−1 ∗ δ−1

∼ (δ ∗ α ∗ δ−1) ∗ (δ ∗ β ∗ δ−1) ∗ (δ ∗ α−1 ∗ δ−1) ∗ (δ ∗ β−1 ∗ δ−1)

∼ a ∗ b ∗ a−1 ∗ b−1.

Logo:

i2(z) = [a] [b] [a]−1 [b]−1.

Por abuso de linguagem, denotando a = [a] e b = [b], temos o resultado.

6.12 Garrafa de Klein

De forma completamente analoga, podemos aplicar o teorema de de Seifert-Van Kam-pen a K, a garrafa de Klein. De fato, utilizando as mesmas notacoes.

Seja x0 ∈ U ∩ V ; denotemos por δ um caminho entre x0 e x1, α e β lacos em x0, querepresentam a e b, respectivamente e

a = δ ∗ α ∗ δ−1, b = δ ∗ β ∗ δ−1,

como no desenho:


aa

b

b

ε

x0

x1

δ

x1

x1

x1

Figura 6.14: O laco na garrafa de Klein

O grupo π1

(U, x0

)tem como geradores [a] e [b]. Como S1 = S2 = ∅, pelo teorema de

Seifert-Van Kampen, temos que π1

(K, x0

)e gerado por [a] e [b].

Por outro lado, seja z = [ε] o gerador de π1

(U ∩ V, x0

) ∼= Z; entao:

ε ∼ δ ∗ α ∗ β ∗ α−1 ∗ β ∗ δ−1

∼ (δ ∗ α ∗ δ−1) ∗ (δ ∗ β ∗ δ−1) ∗ (δ ∗ α−1 ∗ δ−1) ∗ (δ ∗ β ∗ δ−1)

∼ a ∗ b ∗ a−1 ∗ b.

Novamente por abuso de linguagem, temos:

π1

(K, x0

) ∼= a, b / a b a−1 b = 1.

Logo, podemos afirmar que o toro e a garrafa de Klein tem tipo de homotopia diferen-tes. Caso contrario deveriam ter grupos fundamentais isomorfos.

Corolario 6.7.

1. A esfera S2 nao e homeomofa a K.

2. S1 ∨ S1 nao e homeomofo a K.

3. O toro T2 nao e homeomofo a K.

Prova: Imediata.

6.13. EXERCICIOS 181

6.13 Exercıcios


2. Determine se e vardadeiro ou falso:

(a) < a, b / an, bm >' Zn ∗ Zm.

(b) < a, b / an, bm, a b a−1 b−1 >' Zn × Zm.

(c) < a, b / bm >' Z ∗ Zm.

(d) < a, b / a b a−1 b−1 >' Z ∗ Z.

3. Um grupo livre com um gerador e isomorfo a(Z,+

)?

4. Utilizando o Teorema de Seifert- Van Kampen, verifique que o espaco projetivocomplexo: CPn e simplesmente conexo, para todo n ≥ 1.

5. Suponha que X = A ∪ B, onde U e V sao abertos contrateis nao vazios tais queA ∩B 6= ∅.E verdade que π1

(X, p

)= 0?

6. Seja o toro T2 e p ∈ T2. Calcule π1

(T2 − p, x0

)7. Seja K a garrafa de Klein e p ∈ K. Determine π1

(K − p, x0

).

8. Sejam A e B espacos topologicos homeomorfos a T2 tais que A ∩ B = x0. De-termine π1

(A ∪B, x0

).

9. Sejam A, B e A ∩ B espacos topologicos conexos por caminhos, nao vazios taisque X = A ∪ B. Verifique que se A e A ∩ B sao simplesmente conexos, entaoπ1

(X, x0

)' π1

(B, x0

).

10. Seja G um grupo e H o subgrupo dos comutadores de G, isto e h ∈ H se, esomente se h = g k g−1 k−1, g, k ∈ G. Define-se o grupo abelianizado de G porG/H .

(a) Verifique que G/H e um grupo abeliano.

(b) Sejam G e um grupo libre, S o conjunto de geradores e R o conjunto derelacoes de G, verifique que o abelianizado G/H , tem S como conjunto degeradores e R ∪ a b a−1 b−1 / a, b ∈ S como conjunto de relacoes.


11. No caso G = π1

(X, x0

), o grupo abelianizado de X e denotado por:

H1

(X).

(a) Se G e um grupo topologico, verifique que π1

(G, e

)= H1(G).

(b) Determine H1(T2).

(c) Determine H1(S1 ∨ S1).

12. Seja X a uniao de S2 e o segmento de reta que liga o polo norte e o polo sul daesfera. Calcule π1

(X, x0

)se x0 = (0, 0, 1).

13. Determine o grupo fundamental de:

(a) D2 − z1, onde D2 ⊂ C e disco unitario centrado na origem.

(b) D2 − z1, z2, onde D2 ⊂ C e disco unitario centrado na origem.

(c) S2 − p1.

(d) S2 − p1, p2.

(e) T2 − p0.

14. Seja Z = (0, 0, z) / z ∈ R ⊂ R3. Verifique que π1

(R3 − Z, x0

)' Z.

15. Determine π1

(S2 ∨p S1, p

)e π1

(S2 ∨p S2, p

).

16. Determine π1

(C ∨p T2, p

), onde C e homeomorfo a S1 e π1

(S2 ∨p T2, p

).

17. Determine π1

(S2 ∨p K, p

)e π1

(K ∨p T2, p

).

Bibliografia

[GG] Godbillon C: Elements de Topologie Algebrique, Boston, Allyn & Bacon

[HA] Alan Hatcher: Algebraic Topology, Edicao onlinewww.math.cornell.edu/∼hatcher.

[EL2] Lima E: Espacos de Recobrimento, Projeto Euclides, Impa - Brasil

[CK] Kosniowski C: A First Course in Algebraic Topology, Cambridge Univ.Press

[MV] Vilches M: Topologia Geral, Edicao online: www.ime.uerj.br/˜calculo

183

Indice

Aplicacao de recobrimento, 96

Buques, 173geradores, 174grupo fundamental, 173

Caminho inverso, 36Campo de vetores

em Sn, 15Contratil, 24Criterio de Levantamento, 117

Equivalencia de caminhos, 34Equivalencia homotopica, 56Esfera, 171

grupo fundamental, 171Espacos

de Hopf, 66simplesmente conexos, 59

Espacos de recobrimento, 95fibra, 96projecao, 96

Espacos lenticulares, 106Exponencial, 69

Faixa de Mobius, 101Faixa de Moebius, 21, 27Fibra, 96Funcao antıpoda, 14

Garrafa de Klein, 179grupo fundamental, 179

Grau de um caminho, 71Grupo fundamental, 41, 49

G-espacos, 120Sn, n > 1, 61do espaco projetivo real, 82

abeliano, 62de S1, 75espaco projetivo real, 84nas fibras, 154ponto base, 49produto, 57recobrimentos, 113

Grupo fundamental de S1, 69Grupo topologico, 62Grupos livres, 160

Homomorfismo induzido, 53Homotopia, 9

campo de vetores, 13extensao de funcoes, 30linear, 12

Homotopia de Caminhos, 32Homotopia relativa, 17

Isomorfismo de recobrimento, 126

Levantamento das homotopias, 75Levantamento de caminhos, 71Levantamentos, 107

Mudanca do ponto base, 49

Numero de folhas, 100

Poincare -Bohl, 12Produto Amalgamado de Grupos, 165Produto livre de grupos, 163Propriedade Universal, 167

Recobrimentouniversal, 134

Recobrimentosda faixa de Moebius, 148

184

INDICE 185

da garrafa de Klein, 151de S1, 140de Sn, n > 1, 138do espaco projetivo real, 139do toro, 141dos espacos lenticulares, 139grupo fundamental, 113

Retratopor deformacao, 27por deformacao forte, 28

Retratos, 26

Teoremade Borsuk-Ulam, 85Fundamental da Algebra, 80levantamento dos caminhos, 73ponto fixo de Brouwer, 80

Teorema de Seifert-Van Kampen, 168representacoes, 170

Tipo de Homotopia, 19Toro, 28, 176

geradores, 178grupo fundamental, 176

Transformacoes de recobrimentos, 124

Vizinhanca distinguida, 95

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