Topologia das Variedades Algebricasresumo das apresentacoes

IMPA

4 de Setembro de 2007

Responsavel: Hossein Novassati

Alunos:Andre ContieroFabio PennaRodrigo SalomaoSaeed Tafalozian

Conteudo

I Topologia Algebrica 4

1 Homologia Singular 4

2 Sequencia Exata de Homologia 7

3 Excisao 8

4 Demonstracao do Teorema de Excisao 9

5 Sequencia Exata de Homologia 11

6 Excisao 13

7 Demonstracao do Teorema de Excisao 14

8 Sequencia de Mayer-Vietoris 15

9 Construcoes de Espacos: Complexos de Esferas 17

10 Cohomologia Singular 19

11 Produtos cup e cap 22

12 Orientacao 26

13 Cohomologia singular com suporte compacto 29

14 Numeros de Betti e Caracterıstica de Euler 30

15 Sequencia Exata de Kunneth 30

16 Formula de Kunneth 32

II Topologia das Variedades Algebricas 34

17 Homologia de Secoes Hiperplanas 34

18 Teorema Forte de Lefschetz 39

19 Decomposicao Primitiva 40

20 H∗(X) como sl2−modulo 41

21 Cohomologia 42

22 A Topologia de Funcoes Holomorfas com Pontos Crıticos NaoDegenerados 4322.1 Primeiro Passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4422.2 Segundo Passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4422.3 Terceiro Passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

23 Monodromia 45

2

24 A Formula de Picard-Lefschetz 46

25 Monodromia 48

3

Parte I

Topologia Algebrica

1 Homologia Singular

Nestas notas X sempre denotara um espaco topologico.

Definicao 1.1. Um q-simplexo singular em Rn e o conjunto:

∆q = {x ∈ Rn|x = t0E0 + · · ·+ tqEq, ti ≥ 0 e∑

ti = 1}.Onde E0, . . . , Eq sao os q primeiros elementos da base canonica de R∞,

obviamente consideramos Rn ⊂ R∞.

Definicao 1.2. Um q-simplexo singular num espaco topologico X e umaaplicacao contınua ∆q → X.

Seja R um anel comutativo com unidade, denotamos por Sq(X; R) o R-modulo livre gerado pelos q-simplexos singulares em X.

Para cada q > 0 e cada 0 ≤ i ≤ q definimos a aplicacao Fqi : ∆q−1 → ∆q

como sendo (E0, . . . , Ei, . . . , Eq), i.e., Ej ½ Ej, para j < i e Ej ½ Ej+1,para j ≥ i, e se extende por linearidade para todo ∆q. A aplicacao identidadeentre simplexos singulares e denotada por δq. Se σ e um q-simplexo singularem X, entao σ(i) := σ ◦ Fq

i e chamada i-esima face de σ.

Definicao 1.3. O bordo de um q-simplexo singular σ e a (q-1)-cadeia singu-

lar ∂(σ) =

q∑i=0

(−1)iσ(i). Extendemos ∂, por linearidade, a um homomorfismo

de R-modulos ∂ : Sq(X; R)→ Sq−1(X; R).

No caso especial de q = 0, o bordo de qualquer 0 cadeia e defino comosendo 0 (zero).

Proposicao 1.4. Para o homomorfismo ∂ definido acima vale ∂∂ = 0.

Definicao 1.5. Seja c uma q-cadeia singular.

• Se ∂(c) = 0, entao chamamos c de q-ciclo. O conjunto dos q-ciclos eum R-submodulo de Sq(X; R) denotado por Zq(X; R).

4

• Se existe uma (q+1)-cadeia c′ tal que ∂(c′) = c, chamamos c de q-fronteira. O conjunto das q-fronteiras e um submodulo de Zq(X; R)denotado por Bq(X; R).

• Duas q-cadeias cuja diferenca e uma fronteira sao denominadas homologas.

•Hq(X; R) :=

Zq(X; R)

Bq(X; R)

e chamado o q-esimo modulo de homologia singular.

Proposicao 1.6. Seja {Xk} a famılia das conponentes conexas por caminhosde X. Entao existe um isomorfismo canonico

Hq(X; R) ∼=⊕

k

Hq(Xk)

Ideia da prova: ∆q → X e contınua, entao est’a em algum Xk, a aplicacaode fronteira deixa invariante Xk.

Proposicao 1.7. H0(X; R) ∼= RN , onde N := ]{Xk}.ideia da prova: Use proposicao anterior para reduzir ao caso X conexo

por caminhos e assim considere caminhos da forma σx de um ponto x a umponto fixado xo.

Lema 1.8. A correspondencia X ½ Hq(X; R) induz, para cada f : X →Y aplicacao contınua entre espacos topologicos, um homomorfismo Hq(f) :Hq(X; R) → Hq(Y ; R). Temos bem definido um funtor covariante Hq entreas categorias de espacos topologicos e a categoria de R-modulos.

Theorem 1.9. [Teorema da invariancia homotopica] Se f, g : X → Y saoaplicacao homotopicas, entao para todo q ≥ 0 Hq(f) = Hq(g).

Homologia Relativa

Seja A um subsespaco de X, assim Sq(A; R) e um submodulo de Sq(X; R).Temos o seguinte diagrama comutativo:

5

Sq(X; R) −−−→ Sq(X; R)

Sq(A; R)y∂

y∂

Sq−1(X; R) −−−→ Sq−1(X; R)

Sq−1(A; R)

Definicao 1.10.

Hq(X, A; R) :=

Ker

(Sq(X; R)

Sq(A; R)→ Sq−1(X; R)

Sq−1(A; R)

)

Im

(Sq+1(X; R)

Sq+1(A; R)→ Sq(X; R)

Sq(A; R)

)

e chamado o i-esimo modulo de homologia relativa de X modulo A.

Definindo: Zq(X,A; R) := {c ∈ Sq(X; R)|∂(c) ∈ Sq−1(A; R)} eBq(X, A; R) := {c ∈ Sq(X; R)|∃c′ ∈ Sq+1(X; R) e ∂(c′) − c ∈ Sq(A; R)},

temos o seguinte:

Lema 1.11.

Hq(X, A; R) ∼= Zq(X, A; R)

Bq(X, A; R)

Convencao: Se X = Ø entao Hq(X, Ø; R) = Hq(X; R).Temos tambem neste caso um funtor covariante entre a categoria de

espacos topologicos com subespacos, notacao (X, A), e a categoria de R-modulos.

Proposicao 1.12. Sejam {Xk} a famılia de componentes conexas por cami-nhos de X e Ak := Xk ∩ A. Entao para todo q ≥ 0 temos:

Hq(X, A; R) ∼=⊕

k

Hq(Xk, Ak; R)

Proposicao 1.13. Se A 6= Ø e X e conexo por caminhos, H0(X, A; R) = 0.

Corolario 1.14. Seja {Xk} a famılia de componentes conexas por caminhosde X. Entao H0(X,A; R) e um R-modulo livre de posto ]{k|Xk ∩ A = Ø}.

6

Reformulacao do teorema da invariancia por homotopiaSe f, g : (X, A)→ (X ′, A′) sao homotopicas entao Hq(f) = Hq(g).

Observacao 1.15.

Hq(X; R) ∼= Hq(X, x0; R) ∀x0 ∈ X e ∀q > 0

Verifica-se mais facil depois de sequencias exatas de homologia.

2 Sequencia Exata de Homologia

Considere X espaco topologico e A ⊂ X subespaco. Entao temos um mapaj : (X, ∅) −→ (X,A) que induz um homomorfismo de modulos

Hq(j) : Hq(X) −→ Hq(X, A).

Da mesma forma, a inclusao i : A −→ X induz o homomorfismo

Hq(i) : Hq(A) −→ Hq(X).

Defina o operador de fronteira ∂ : Hq(X,A) −→ Hq−1(A) da seguinteforma: dado z ∈ Hq(X, A), tome z um q-ciclo representando esta classe,entao ∂z e (q − 1)-cadeia em A; como ∂∂ ≡ 0, temos que ∂z e (q − 1)-cicloem A e podemos considerar sua classe ∂z ∈ Hq−1(A); defina ∂z := ∂z.

Theorem 2.1. A sequencia de homologia de (X,A)

· · · → Hq(A)→ Hq(X)→ Hq(X,A)→ Hq−1(A)→ · · ·

e exata.

Exemplo 1: Hq(j) : Hq(X) −→ Hq(X, x0) e isomorfismo, ∀q ≥ 1.

Exemplo 2: ∂ : Hq(Bn, Sn−1) −→ Hq−1(S

n−1) e isomorfismo ∀q ≥ 2. Seq = 1 temos que H1(B

n, Sn−1) = 0, se n > 1, e H1(B1, S0) = R, se n = 1.

Proposicao 2.2. A sequencia de homologia e funtorial no par (X,A).

7

Esta proposicao e equivalente a dizer que, dado um mapa f : (X, A) −→(X ′, A′), todos os diagramas abaixo sao comutativos,

· · · → Hq(A) → Hq(X) → Hq(X,A) → Hq−1(A) → · · ·↓ ↓ ↓ ↓

· · · → Hq(A′) → Hq(X

′) → Hq(X′, A′) → Hq−1(A

′) → · · ·onde os mapas verticais sao homomorfismos Hq(f) induzidos por f .

Generalizacao: A ⊂ X ⊂ Y espacos topologicos, i : (X, A) −→ (Y, A)a inclusao e j : (Y, A) −→ (Y, X) a identidade. Defina o operador de fron-teira ∂ : Hq(Y, X) −→ Hq−1(X, A) da mesma forma. Entao a sequencia dehomologia

· · · → Hq(X, A)→ Hq(Y, A)→ Hq(Y, X)→ Hq−1(X,A)→ · · ·

e exata.

Retracoes: A ⊂ X e dito uma retracao se existe r : X −→ A tal quer ◦ i = IdA, onde i : A −→ X e a inclusao.

Proposicao 2.3. Se A ⊂ X e retracao, entao a sequencia exata longa dehomologia do par (X, A) se separa em sequencias exatas curtas ’split’

0→ Hq(A)→ Hq(X)→ Hq(X,A)→ 0

para todo q ≥ 0. Em particular, Hq(X) ∼= Hq(A)⊕Hq(X, A).

3 Excisao

Considere U ⊂ A subespaco. Uma inclusao (X−U,A−U) −→ (X,A) e ditauma excisao se induz isomorfismos Hq(X − U,A − U) −→ Hq(X, A) paratodo q ≥ 0.

Theorem 3.1. (de Excisao) Se U ⊂ int(A), entao U pode ser excisado.

Diz-se que um subconjunto A ⊂ X e uma deformacao por retracao de Xse existe uma retracao r : X −→ A e uma homotopia f : X × I −→ X talque(i) f(x, 0) = Id(x);

8

(ii) f(x, 1) = i ◦ r(x), onde i : A −→ X e a inclusao;(iii) f(a, t) = a, ∀t ∈ I e ∀a ∈ A.

Theorem 3.2. Considere V ⊂ U ⊂ A. Suponha que(i) V pode ser excisado;(ii) (X − U,A− U) e deformacao por retracao de (X − V, A− V ).Entao U pode ser excisado.

Theorem 3.3. Sejam Sn+ e Sn

− os hemisferios fechados norte e sul, respecti-vamente, de Sn, n ≥ 1. Entao

(Sn+, Sn−1) −→ (Sn, Sn

−)

e excisao.

Corolario 3.4. Para q ≥ 1 e n ≥ 1:se q = n, entao Hq(S

n) ∼= R e Hq(Bn, Sn−1) ∼= R;

se q 6= n, entao Hq(Sn) ∼= 0 e Hq(B

n, Sn−1) ∼= 0.

Corolario 3.5. Nao existe retracao Bn −→ Sn−1.

Theorem 3.6. (Ponto Fixo de Brouwer) Qualquer funcao contınua f :Bn −→ Bn tem ponto fixo.

Observacao: Fazendo R := Z e tomando α um gerador de Hn(Sn), corres-pondente ao inteiro 1, entao Hn(f)(α) e o grau da aplicacao f : Bn −→ Bn.

4 Demonstracao do Teorema de Excisao

Dada uma famılia de abertos V = {Vi} que cobre X, dizemos que um q-simplexo singular e pequeno de ordem V se a imagem de ∆q esta contida emalgum Vi.

Theorem 4.1. Cada classe de homologia em Hq(X, A) pode ser representadapor um ciclo relativo que e uma combinacao linear de simplexos pequenos deordem V.

O que se segue sera usado nas demonstracoes deste teorema e do Teoremade Excisao.

9

Seja B um ponto e σ = (P0 · · ·Pq) um q-simplexo singular afim. Define-se a juncao Bσ como o (q + 1)-simplexo Bσ = (BP0 · · ·Pq). Extende-se adefinicao para uma q-cadeia qualquer por linearidade.

Se c =∑

νiσi e uma q-cadeia, temos as seguintes propriedades:(i) ∂Bc = c−B∂c, se q > 0;(ii) ∂Bc = c− (

∑νi)B, se q = 0.

Considerando δq : ∆q −→ ∆q a identidade, defina os operadores Sd :Sq(∆q) −→ Sq(∆q) e T : Sq(∆q) −→ Sq+1(∆q) da seguinte forma:

Sdδ0 := δ0 e Sdδq := BqSd∂δq,

T δ0 := 0 e Tδq := Bq(δq − Sdδq − T∂δq),

onde Bq :=∑q

i=01

q+1Ei e o baricentro de ∆q.

Como um q-simplexo singunlar σ ∈ Sq(X) pode ser escrito

Sq(σ)(δq) = σ,

por funtorialidade, temos Sd e T definidos para Sq(X).

Lema 4.2. (a)∂Sd = Sd∂; e (b)∂T = Id− Sd− T∂.

Se σ = (P0 · · ·Pq) e um q-simplexo afim, entao a imagem σ(∆q) e com-pacta e podemos considerar d(σ) o maximo do comprimento de suas arestas.

Lema 4.3. Cada simplexo singular afim da q-cadeia Sdσ tem diametro, nomaximo,

qd(σ)

q + 1.

Proposicao 4.4. Sejam σ simplexo singular em X e V cobertura abertade X. Entao existe r > 0 tal que Sdrσ e combinacao linear de simplexossingulares pequenos de ordem V.

Para demonstrar esta proposicao, usamos o

Lema 4.5. (Numero de Lebesgue): Seja U uma cobertura aberta do espacometrico (X, d). Se X e compacto, exite ε > 0 tal que para qualquer sub-conjunto C ⊂ X com diametro menor que ε, existe U ∈ U tal que C ⊂U .(Munkres, Topology: a first course, pag.: 179)

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endit Se X = Ø entao Hq(X, Ø; R) = Hq(X; R).Temos tambem neste caso um funtor covariante entre a categoria de

espacos topologicos com subespacos, notacao (X, A), e a categoria de R-modulos.

Proposicao 4.6. Sejam {Xk} a famılia de componentes conexas por cami-nhos de X e Ak := Xk ∩ A. Entao para todo q ≥ 0 temos:

Hq(X, A; R) ∼=⊕

k

Hq(Xk, Ak; R)

Proposicao 4.7. Se A 6= Ø e X e conexo por caminhos, H0(X, A; R) = 0.

Corolario 4.8. Seja {Xk} a famılia de componentes conexas por caminhosde X. Entao H0(X,A; R) e um R-modulo livre de posto ]{k|Xk ∩ A = Ø}.

Reformulacao do teorema da invariancia por homotopiaSe f, g : (X, A)→ (X ′, A′) sao homotopicas entao Hq(f) = Hq(g).

Observacao 4.9.

Hq(X; R) ∼= Hq(X, x0; R) ∀x0 ∈ X e ∀q > 0

Verifica-se mais facil depois de sequencias exatas de homologia.

5 Sequencia Exata de Homologia

Considere X espaco topologico e A ⊂ X subespaco. Entao temos um mapaj : (X, ∅) −→ (X,A) que induz um homomorfismo de modulos

Hq(j) : Hq(X) −→ Hq(X, A).

Da mesma forma, a inclusao i : A −→ X induz o homomorfismo

Hq(i) : Hq(A) −→ Hq(X).

Defina o operador de fronteira ∂ : Hq(X,A) −→ Hq−1(A) da seguinteforma: dado z ∈ Hq(X, A), tome z um q-ciclo representando esta classe,entao ∂z e (q − 1)-cadeia em A; como ∂∂ ≡ 0, temos que ∂z e (q − 1)-cicloem A e podemos considerar sua classe ∂z ∈ Hq−1(A); defina ∂z := ∂z.

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Theorem 5.1. A sequencia de homologia de (X,A)

· · · → Hq(A)→ Hq(X)→ Hq(X,A)→ Hq−1(A)→ · · ·

e exata.

Exemplo 1: Hq(j) : Hq(X) −→ Hq(X, x0) e isomorfismo, ∀q ≥ 1.

Exemplo 2: ∂ : Hq(Bn, Sn−1) −→ Hq−1(S

n−1) e isomorfismo ∀q ≥ 2. Seq = 1 temos que H1(B

n, Sn−1) = 0, se n > 1, e H1(B1, S0) = R, se n = 1.

Proposicao 5.2. A sequencia de homologia e funtorial no par (X,A).

Esta proposicao e equivalente a dizer que, dado um mapa f : (X, A) −→(X ′, A′), todos os diagramas abaixo sao comutativos,

· · · → Hq(A) → Hq(X) → Hq(X,A) → Hq−1(A) → · · ·↓ ↓ ↓ ↓

· · · → Hq(A′) → Hq(X

′) → Hq(X′, A′) → Hq−1(A

′) → · · ·

onde os mapas verticais sao homomorfismos Hq(f) induzidos por f .

Generalizacao: A ⊂ X ⊂ Y espacos topologicos, i : (X, A) −→ (Y, A)a inclusao e j : (Y, A) −→ (Y, X) a identidade. Defina o operador de fron-teira ∂ : Hq(Y, X) −→ Hq−1(X, A) da mesma forma. Entao a sequencia dehomologia

· · · → Hq(X, A)→ Hq(Y, A)→ Hq(Y, X)→ Hq−1(X,A)→ · · ·

e exata.

Retracoes: A ⊂ X e dito uma retracao se existe r : X −→ A tal quer ◦ i = IdA, onde i : A −→ X e a inclusao.

Proposicao 5.3. Se A ⊂ X e retracao, entao a sequencia exata longa dehomologia do par (X, A) se separa em sequencias exatas curtas ’split’

0→ Hq(A)→ Hq(X)→ Hq(X,A)→ 0

para todo q ≥ 0. Em particular, Hq(X) ∼= Hq(A)⊕Hq(X, A).

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6 Excisao

Considere U ⊂ A subespaco. Uma inclusao (X−U,A−U) −→ (X,A) e ditauma excisao se induz isomorfismos Hq(X − U,A − U) −→ Hq(X, A) paratodo q ≥ 0.

Theorem 6.1. (de Excisao) Se U ⊂ int(A), entao U pode ser excisado.

Diz-se que um subconjunto A ⊂ X e uma deformacao por retracao de Xse existe uma retracao r : X −→ A e uma homotopia f : X × I −→ X talque(i) f(x, 0) = Id(x);(ii) f(x, 1) = i ◦ r(x), onde i : A −→ X e a inclusao;(iii) f(a, t) = a, ∀t ∈ I e ∀a ∈ A.

Theorem 6.2. Considere V ⊂ U ⊂ A. Suponha que(i) V pode ser excisado;(ii) (X − U,A− U) e deformacao por retracao de (X − V, A− V ).Entao U pode ser excisado.

Theorem 6.3. Sejam Sn+ e Sn

− os hemisferios fechados norte e sul, respecti-vamente, de Sn, n ≥ 1. Entao

(Sn+, Sn−1) −→ (Sn, Sn

−)

e excisao.

Corolario 6.4. Para q ≥ 1 e n ≥ 1:se q = n, entao Hq(S

n) ∼= R e Hq(Bn, Sn−1) ∼= R;

se q 6= n, entao Hq(Sn) ∼= 0 e Hq(B

n, Sn−1) ∼= 0.

Corolario 6.5. Nao existe retracao Bn −→ Sn−1.

Theorem 6.6. (Ponto Fixo de Brouwer) Qualquer funcao contınua f :Bn −→ Bn tem ponto fixo.

Observacao: Fazendo R := Z e tomando α um gerador de Hn(Sn), corres-pondente ao inteiro 1, entao Hn(f)(α) e o grau da aplicacao f : Bn −→ Bn.

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7 Demonstracao do Teorema de Excisao

Dada uma famılia de abertos V = {Vi} que cobre X, dizemos que um q-simplexo singular e pequeno de ordem V se a imagem de ∆q esta contida emalgum Vi.

Theorem 7.1. Cada classe de homologia em Hq(X, A) pode ser representadapor um ciclo relativo que e uma combinacao linear de simplexos pequenos deordem V.

O que se segue sera usado nas demonstracoes deste teorema e do Teoremade Excisao.

Seja B um ponto e σ = (P0 · · ·Pq) um q-simplexo singular afim. Define-se a juncao Bσ como o (q + 1)-simplexo Bσ = (BP0 · · ·Pq). Extende-se adefinicao para uma q-cadeia qualquer por linearidade.

Se c =∑

νiσi e uma q-cadeia, temos as seguintes propriedades:(i) ∂Bc = c−B∂c, se q > 0;(ii) ∂Bc = c− (

∑νi)B, se q = 0.

Considerando δq : ∆q −→ ∆q a identidade, defina os operadores Sd :Sq(∆q) −→ Sq(∆q) e T : Sq(∆q) −→ Sq+1(∆q) da seguinte forma:

Sdδ0 := δ0 e Sdδq := BqSd∂δq,

T δ0 := 0 e Tδq := Bq(δq − Sdδq − T∂δq),

onde Bq :=∑q

i=01

q+1Ei e o baricentro de ∆q.

Como um q-simplexo singunlar σ ∈ Sq(X) pode ser escrito

Sq(σ)(δq) = σ,

por funtorialidade, temos Sd e T definidos para Sq(X).

Lema 7.2. (a)∂Sd = Sd∂; e (b)∂T = Id− Sd− T∂.

Se σ = (P0 · · ·Pq) e um q-simplexo afim, entao a imagem σ(∆q) e com-pacta e podemos considerar d(σ) o maximo do comprimento de suas arestas.

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Lema 7.3. Cada simplexo singular afim da q-cadeia Sdσ tem diametro, nomaximo,

qd(σ)

q + 1.

Proposicao 7.4. Sejam σ simplexo singular em X e V cobertura abertade X. Entao existe r > 0 tal que Sdrσ e combinacao linear de simplexossingulares pequenos de ordem V.

Para demonstrar esta proposicao, usamos o

Lema 7.5. (Numero de Lebesgue): Seja U uma cobertura aberta do espacometrico (X, d). Se X e compacto, exite ε > 0 tal que para qualquer sub-conjunto C ⊂ X com diametro menor que ε, existe U ∈ U tal que C ⊂U .(Munkres, Topology: a first course, pag.: 179)

8 Sequencia de Mayer-Vietoris

Considere o trio (X, X1, X2), onde X1 e X2 sao subespacos de X. Temos asinclusoes:

k1 : (X2, X1 ∩X2) −→ (X1 ∪X2, X1)k2 : (X1, X1 ∩X2) −→ (X1 ∪X2, X2)

obtidas pela excisao de X2 \X1 ∩X2 e X1 \X1 ∩X2 de X1 ∪X2. Dizemosque o trio e exato quando k1 e k2 sao excisoes, i.e., temos os isomorfismos:

Hq(k1) : Hq(X2, X1 ∩X2) −→ Hq(X1 ∪X2, X1)Hq(k2) : Hq(X1, X1 ∩X2) −→ Hq(X1 ∪X2, X2)

Example 8.1. (X,X1, X2) com X1 e X2 abertos e X = X1 ∪X2.

Example 8.2. (Sn, Sn+, Sn

−)

Consideremos de agora em diante, X = X1 ∪X2 e A = X1 ∩X2. Temosum diagrama induzido pelas varias inclusoes, cujos retangulos e triangulossao comutativos. Ver pg 73 do Greenberg ou folha em anexo.

Para definir a sequencia de Mayer-Vietoris temos que fazer um lema.

Lema 8.3. (Lema do Hexagono) Se (X, X1, X2) e exata , entao

0 = ∂′Hq(k1)−1Hq(s2) + ∂′′Hq(k2)

−1Hq(s1).

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Para prova-lo precisamos de um lema auxiliar.

Lema 8.4.

id = Hq(`1)Hq(k1)−1Hq(j2) + Hq(`2)Hq(k2)

−1Hq(j1).

Temos uma sequencia de homomorfismos, chamada sequencia de Mayer-Vietoris:

· · · → Hq(A)Ψ→ Hq(X1)⊕Hq(X2)

Φ→ Hq(X)∆→ Hq−1(A)→ · · ·

ondeΨ(a) = (Hq(m1)(a),−Hq(m2)(a))

Φ(x1, x2) = Hq(i1)(x1) + Hq(i2)(x2)∆ = ∂′Hq(k1)

−1Hq(s2) = −∂′′Hq(k2)−1Hq(s1)

Theorem 8.5. Se (X, X1, X2) e exato com X = X1 ∪X2, entao a sequenciade Mayer-Vietoris e exata.

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9 Construcoes de Espacos: Complexos de Es-

feras

Sejam X e Y espacos topologicos e A um subespaco de X. Seja f : A → Yaplicacao contınua. Na uniao disjunta de X e Y , X t Y podemos colar ospontos de A com sua imagem em Y , via a relacao de equivalencia “∼” queidentifica x ∈ A com sua imagem f(x) ∈ Y . Denotemos por Z := X ∪f Y =XtY/ ∼. Lembramos que a topologia de Z e a topologia que faz da aplicacao

g : X t Y → X t Y/ ∼

uma aplicacao contınua.

Fato 9.1. 1. g|Y e um homeomorfismo de Y em um subespaco de Z.

2. Se f = g|X , entao f |A = f .

De agora em diante consideraremos os pares (X, A) que satisfazem asseguintes condicoes:

(1) X e Hausdorff(2) A e fechado em X(3) Os pontos de X podem ser separados de A, i.e., para todo x ∈ X \A

existem abertos disjuntos U e V de X tal que x ∈ U e A ⊂ V .(4) A tem um “collaring” B em X, i.e., existe uma vizinhanca aberta B

de A em X tal que A e uma deformacao por retracao de B e A 6= B.

Neste caso dizemos que (X,A) e um “collared pair”.

Example 9.2. (Bn, Sn−1) e um “colared pair”. Neste caso dizemos que oespaco Z = Bn ∪f Y e a adjuncao de uma n-celula a Y via f .

Proposicao 9.3. Sejam (X, A) um “collared pair”, f : A→ Y uma aplicacaocontınua, onde Y e Hausdorff e Z = X ∪f Y . Entao (Z, Y ) e um “collaredpair”; de fato, se B e um “collaring” de A, entao Y ∪ f(B) e um “collaring”de Y . E mais, f e induz um homeomorfismo entre X \ A e Z \ Y .

Fato 9.4. Suponha que Y e um subespaco fechado de um espaco Z, que eHausdorff, e f : Bn → Z e uma aplicacao contınua que manda Sn−1 em Y emanda a n-celula aberta int(Bn) homeomorficamente em Z − Y . Entao Z ea adjuncao de uma n-celula a Y via f |Sn−1 .

17

Considere um espaco que e uma uniao finita, discreta de pontos. Ad-juntamos celulas, com dimensoes possivelmente variadas. Denotaremos estetipo de espaco por complexo de esferas.

Lembramos que o espaco projetivo real de dimensao n, Pn(R) pode serdefinido pelo quociente do espaco Sn pela relacao que identifica x com −x.Definimos agora o espaco projetivo complexo de dimensao n, Pn(C), de ma-neiro analoga. Isto e, consideremos o espaco {z ∈ Cn+1| |z| = 1}, que e jus-tamente S2n+1. Note que se z = (z0, . . . , zn), entao |z|2 = |z0|2 + · · · + |zn|2.Identificamos z ∼ z′ quando z = cz′ para algum numero complexo c.

Temos ainda uma aplicacao canonica f : S2n+1 → Pn(C), cujas fibras saocırculos.

Proposicao 9.5. Pn(C)(resp. Pn(R)) e obtido pela adjuncao de uma 2n-celula(resp. n-celula) a Pn−1(C)(resp. a Pn−1(R)) via a aplicacao canonicaf : S2n−1 → Pn−1(C)(resp. f : Sn−1 → Pn−1(R)).

Suponha que Z e obtido pela adjuncao do sistema X ⊃ A → Y e f :X → Z e a extensao canonica de f .

Theorem 9.6. Suponha que (X,A) e um “colored pair”. Entao

Hq(f) : Hq(X,A)→ Hq(Z, Y )

e um isomorfismo para todo q.

Corolario 9.7. 1. Hq(Z) ∼= Hq(Y ) para q 6= n e q 6= n− 1

2. Hn−1(Z) ∼= Hn−1(Y )/ImHn−1(f)

3. Temos a sequencia exata

0→ Hn(Y )→ Hn(Z)→ KerHn−1(f)→ 0.

Theorem 9.8. A homologia do espaco projetivo complexo e dada por:

Hq(Pn(C)) ∼={

0 q > 2n ou q ımparR q par tal que 0 ≤ q ≤ 2n

Theorem 9.9. A homologia do espaco projetivo real e dada por:

Hq(Pn(R)) ∼=

0 q > nR2 q par tal que 1 < q ≤ nR/2 q ımpar tal que 1 ≤ q ≤ n− 1R q = 0 e se q e impar q = n

onde R2 e o submodulo de R anulado pela multiplicacao por 2.

18

10 Cohomologia Singular

Cohomologia e dual de homologia nos seguintes sentidos:

1. Existe uma forma bilinear de cadeias e cocadeias

2. Hq e contrafunctor, i.e, uma mapa X −→ Y induz um homomorfismoHq(Y ) −→ Hq(X) na direcao oposta.

Definicao:Modulo Sq(X) de todas cadeias singular sobre X e

HomR(Sq(X), R) = Sq(X)∗.

Entao uma cadeia singular de dimensao q e um homomorfismo

c : Sq(X) −→ R.

Se denotamos o valor de esse homomorphismo sobre uma cadeia z por [z, c],temos

[z1 + z2, c] = [z1, c] + [z2, c]

[z, c1 + c2] = [z, c1] + [z, c2]

[νz, c] = [z, νc] = ν[z, c]

onde ν ∈ R.

Example 10.1. Sejam R corpo de numeros reais e X um 3-spaco Euclidiano,uma 0-cadeia dado pelo uma funcao ϕ : X −→ R denotado pelo c0(ϕ).

Observacao: como Sq e um functor dos espacos topologicos em R−modulose HomR(−, R) e um contrafunctor sobre categoria dos R−modulos, o func-tor composto Sq e um contrafunctor dos espacos topologicos em R−modulos.Mais precisamente: se f : X −→ Y e qualquer mapa, entao Sq(f) : Sq(X) −→Sq(Y ) e definido pelo a formula

[z, Sq(f)c] = [Sq(f)z, c]

para cada q-cadeia z e q-cocadeia c. No caso que z e um q-simplexo singularσ, a formula vai ser

[σ, Sq(f)c] = [fσ, c]

.

19

Proposicao 10.2. Existe unico homomorfismo δ : Sq(X) −→ Sq+1(X) sa-tisfazendo

[∂z, c] = [z, δc]

para todos (q + 1)−cadeias z e q-cocadeias c.Se f : X −→ Y e qualquer mapa, entao

δSq(f) = Sq+1(f)δ

alem disso, δδ = 0.

Definicao: definimos modulos de cociclos e cofronteiras por:

Zq(X) := ker δ : Sq(X) −→ Sq+1(X)

Bq(X) := imagem δ : Sq−1(X) −→ Sq(X)

e modulo de cohomologia Hq(X; R) por

Hq(X) = Zq(X)/Bq(X).

Se f : X −→ Y e qualquer mapa, entao Sq(f) respeita cociclos e cofron-teiras, e portanto temos o seguinte homomorfismo

Hq(f) : Hq(Y ) −→ Hq(X).

e tambem Hq(fg) = Hq(g)Hq(f), que diz que modulos de cohomologia saoinvariantes topologicos.

Dado um par (X,A), definimos

Sq(X, A) := HomR(Sq(X)/Sq(A), R)

e definimos a cofronteira δ : Sq(X, A) −→ Sq+1(X,A) pela transposta dooprador fronteira

∂ : Sq+1(X)/Sq+1(A) −→ Sq(X)/Sq(A).

Entao definimosHq(X, A) = Zq(X, A)/Bq(X, A)

onde Zq(X, A) e nucleo de δ sobre Sq(X,A) e Bq(X, A) e imagem δ deSq−1(X,A).

20

Theorem 10.3. Modulos de cohomologia singular tem as seguintes proprie-dades:

1. Contrafuncorialidade

2. digramas comutam

Hq(A) → Hq+1(X, A)↑ ↑

Hq(B) → Hq+1(Y,B)

3. sequencia exata0→ H0(X, A)→ ...→ Hq(X)→ Hq(A)→ Hq+1(X,A)→ ....

4. Invariante homotopicof ' g =⇒ Hq(f) = Hq(g).

5. ExcisaoU ⊆ int(A) =⇒ Hq(X,A) ∼= Hq(X − U,A− U).

6. para um ponto, temos :

Hq(P ) ∼={

R q = 00 q > 0

7. Temos uma sequencia de homomorfismos, chamada sequencia de Mayer-Vietoris:

· · · → Hq(X1

⋃X2)→ Hq(X1)⊕Hq(X2)→ Hq−1(X1

⋂X2)→ · · ·

8. Se X e contratil, entao Hq(X) = 0 ∀ q.

Corolario 10.4. Se Z e a adjuncao de uma n-celula a Y via f : Sn−1 −→ Y ,temos

1. Hq(Z) ∼= Hq(Y ) para q 6= n e q 6= n− 1

2. Hn−1(Z) ∼= Kernel Hn−1(f)

3. Temos a sequencia exata0→ Cokernel Hn−1(f)→ Hn(Z)→ Hn(Y )→ 0.

21

Definicao: Uma resolucao de R-modulo M e uma careia complexo {Cq, δq}onde Cq sao R-modulos livros e uma epimorfismo ε : C0 −→ M tal queimδq =kerδq−1 e imδ0 =ker ε

Proposicao 10.5. Sejam C, C′dois resolucaos de M, M

′. Dado f : M −→

M′existe uma cadeia de mapa {fq}, fq : C −→ C

′tal que ε

′f0 = fε

C0f0−→ C

′0

↓ ↓M

f−→ M ‘

e todos cadeias sao cadeias homotopicas.

Proposicao 10.6. Qualquer dois resolucaos de M sao cadeias homotopico.

Theorem 10.7. Universal Coefficient Theorem. Para cada groupoabeliano G, existe sequencia exata:

0→ Ext(Hn−1(X, A; Z), G))→ Hn(X, A; G)α→ Hom(Hn(X, A; Z), G)→ 0

que tambem e splita.

Para espaco complexo temos:

Hq(CPn) ∼={

R q par e ≤ 2n0 e.i

11 Produtos cup e cap

Defina S•(X) :=⊕q≥0

Sq(X), o primeiro proposito deste paragrafo e explorar

a estrutura algebrica deste R-modulo. Para tanto, vamos definir um produtochamado cup que induzira uma estruta de R-modulo graduado a S•(X).

Sejam σ um (p + q)-simplexo singular em X, c ∈ Sp(X), d ∈ Sq(X),(E0 . . . Ep) =: λp : ∆p → ∆p+q, (Ep . . . Ep+q) =: ρq : ∆q → ∆p+q. Definimose denotamos o cup protudo de c e d, nesta ordem, em σ por:

[σ, c ∪ d] := [σλp, c][σρq, d] ∈ R

Se c =∑

p cp e d =∑

q dq sao elementos arbitrarios em S•(X) definimos

22

c ∪ d =∑p,q

cp ∪ dq

Proposicao 11.1. O produto cup e bilinear, associativo e com elementoidentidade 1, onde [x,1] = 1 ∀ x ∈ X.

A prova segue facilmente da defincao.

Proposicao 11.2. Vale que: δ(c ∪ d) = δc ∪ d + (−1)pc ∪ δd

Ideia da Prova: Tome σ um (p+q+1)-simplexo singular em X, c ∈ Sp(X)e d ∈ Sq(X). Verifica-se:

[σ, δc ∪ d] =

p∑i=o

(−1)i[σ(i)λp, c][σρq, d] + (−1)p+1[σλp, c][σρq, d]

e

[σ, c ∪ δd] = [σλp, c][σρq, d] + (−1)p

p+q+1∑i=p

[σλp, c][σ(i)ρq, d]

Com isso obtemos:

p+q+1∑i=0

(−1)i[σ(i)λp, c][σ(i)ρq, d] = [σ, δ(c ∪ d)].

Corolario 11.3. H•(X), definido de maneira usual, e uma R-algebra gra-duada.

Seja f : X → Y um morfismo, entao f induz homomorfismos Sq(f) :Sq(Y ) → Sq(X) ∀q. Assim definimos o homomorfismo S•(f) : S•(Y ) →S•(X), onde

∑p

cp ½∑

p

Sp(f)cp.

Proposicao 11.4. S•(f) e H•(f) sao homomorfismos de aneis.

A prova segue diretamente das definicoes.

23

Corolario 11.5. Temos definidos os funtores contravariantes

(espacos topologicos)S•,H•−→ (R-modulos graduados)

Observacao 11.6. S•(X) nao e comutativo (em geral). Por exemplo, tome

X = ∆1, i.e., o intervalo unitario, defina c : ∆1 → R, onde x ½{

x, x = E0;0, cc

d : ∆1 → R, onde x ½{

x, x = E1;0, cc

eδ1 o 1-simplexo identidade em ∆1.

Desta forma [δ1, c ∪ d] = 1, enquanto que [δ1, d ∪ c] = 0.

Lema 11.7. [Lema Auxiliar] Seja ϕ : S•(X) → S•(Y ) um homomorfismode tipo cadeia, i.e. ϕ preserva grau e comuta com o operador de fronteiras.Suponha que ϕ = 0 em S0(X) e que para todo sinplexo singular σ em Y eassociado um acıclico subcomplexo C(σ) de S•(Y ) tal que ϕ(σ) ∈ C(σ) e∀σ(i) C(σ(i)) ⊂ C(σ). Entao ϕ e homototico a zero.

Demonstracao. Construimos J : Sp(X)→ Sp+1(Y ) por inducao em p.Se p = 0 defina J = 0. Suponha, como hipotese de inducao, que construi-

mos J com domınio ate Sp−1(X) tal que ϕ = Jδ + δJ e ∀τ simplexo singularde dimensao menor que p vale J(τ) ∈ C(τ). Seja σ um p-simplexo singularem X. Temos que ϕσ − J∂σ ∈ C(σ) e e um ciclo. Como C(σ) e acıclico ep > 0, existe z ∈ C(σ)p+1 tal que ∂z = ϕσ − J∂σ. Defina Jσ = z.

Theorem 11.8. Sejam a ∈ Hp(X), b ∈ Hq(X), entao a ∪ b = (−1)pqb ∪ a.Em particular, se a = b e p e ımpar, entao a∪a = 0, desde que char(R) 6= 0.

Agora introduziremos o produto cap, que, de inıcio, sera um emparelha-mento bilinear Sp+q(X)× Sp(X)→ Sq(X).

Sejam σ um (p + q)-simplexo singular em X e c ∈ SP (X), definimos edenotamos o produto cap de σ com c por:

σ ∩ c := [σλp, c]σρq

Extendendo por linearidade obtemos o empralhamento bilinear:

∩ : Sp+q(X)× Sp(X)→ Sq(X)

24

Analogamente poderiamos definir o produto cap de z ∈ Sp+q(X) comc ∈ Sp(X) como o unico q-simplexo que satisfaz a seguinte condicao:

[z ∩ c, d] = [z, c ∪ d], ∀ d ∈ Sq(X)

Podemos assim definir o emparelhamento

∩ : S•(X)× S•(X)→ S•(X)

onde sera tomado como zero se o cap nao faz sentido em alguma dascomponentes das somas diretas que aparecem. Assim podemos enunciar:

Proposicao 11.9. S•(X) e um S•-modulo a direita.

Observacao 11.10. A ideia do produto cap e que se temos, por exemplo,∆p × ∆q e c ∈ Sp(X) entao o cap produto vai nos dar a q-componente doprimeiro multiplicado por um escalar dado pelo aplicacao do funcional a ∆p.

Proposicao 11.11. Sejam z ∈ Sp+q(X) e c ∈ Sp(X), entao

∂(z ∩ c) = (−1)p ((∂z) ∩ c− z ∩ δc)

Corolario 11.12. Passando ao quociente obtemos:

∩ : Hp+q(X)×Hp(X)→ Hq(X)

Proposicao 11.13. Seja f : X → Y morfismo, entao para a ∈ Hp+q(X) eb ∈ Hp(Y ) vale:

Hq(f)(a ∩Hp(f)b) = Hp+q(f)(a) ∩ b

Demonstracao. Sejam σ ∈ Sp+q(X) e d ∈ Sp(Y ), entao:Sq(f)(σ ∩ Sp(f)d) = Sq(f)([fσλp, d]σρq) = [Sp+q(f)σλp, d]Sp+q(f)σρq =

Sp+q(f)(σ) ∩ d.

Ilustraremos uma importante aplicacao do produto cup na topologia cham-dada de invariante de Hopf.

Seja f : S2n−1 → Sn um morfismo e considere o caso R = Z. Sejam ξ ∈H2n−1(S2n−1) e η ∈ Hn(Sn) geradores dos respectivos grupos de cohomologia(top group). Considere y um cociclo que representa η. Sabemos que η∪η = 0,

25

o que implica que y ∪ y e cobordo, donde podemos escrever y ∪ y = δu, paraalgum u.

Tomando Hn(f)(η) ∈ Hn(S2n−1), e possıvel mostrar (c.f. Greenberg pag140) que Hn(S2n−1) = 0, para n ≥ 2. Desta forma existe uma (n-1)-cocadeiax em S2n−1 tal que S•(f)(y) = δx. Claramente x ∪ S•(f)(y), S•(f)u sao(2n-1)-cocadeias em S2n−1.

Agora,

δ(x ∪ S•(f)(y)− S•(f)(u)) = δ(x ∪ δx)− S•(f)(y ∪ y) =

= δx ∪ δx− S•(f)(y) ∪ S•(f)(y) = 0

Assim x ∪ S•(f)(y) − S•(f)(u) e um cociclo, tomando a classe de coho-mologia deste coclico obetemos um multiplo, γξ, de ξ.

Pode-se mostrar que este inteiro γ independe de todas as escolhas feitas.

Definicao 11.14. O inteiro γ construido acima e chamado invariante deHopf.

Verifica-se que γ depende somente da classe de homotopia de f . Assimobtemos uma aplicacao:

γ : π2n−1(Sn)→ Z , ondef ½ γ(f)

E tal aplicacao satisfaz:

1. Se n e ımpar, entao γ = 0

2. Se n e par, entao 2 ∈ Imagem(γ)

3. Se n = 2, 4, 8 e f e aplicacao de Hopf, entao γ(f) = 1.

12 Orientacao

No que se segue X e uma variedade n-dimensional, com n ≥ 1.

Lema 12.1. Para qualquer x ∈ X, Hn(X,X − x) ∼= R.

Uma R-orientacao local de X em x e um gerador do R-modulo Hn(X,X−x).

26

Lema 12.2. (Continuacao) Dado αx ∈ Hn(X, X−x), existe uma vizinhancaU de x e α ∈ Hn(X, X − U) tal que jU

x (α) = αx, onde

jUx : Hn(X, X − U) −→ Hn(X, X − x)

e o homomorfismo canonico induzido pela inclusao.

Lema 12.3. (Localmente constante) Qualquer vizinhanca W de x contemuma vizinhanca U de x tal que jU

y e isomorfismo para todo y ∈ U .

Daı segue o

Lema 12.4. (Coerencia) Se αx gera Hn(X,X − x), entao U e α podem sertomados de forma que αy = jU

y (α) gera Hn(X,X − y) para qualquer y ∈ U .

Desta forma, um elemento α ∈ Hn(X,X−U) tal que jUy (α) gera Hn(X, X−

y) para qualquer y ∈ U e dito uma R-orientacao local de X ao longo de U .

Notacao: Se V ⊂ U ⊂ X sao subespacos topologicos, jUV : Hn(X,X −

U) −→ Hn(X,X − V ) e o homomorfismo induzido pela inclusao. Dada umaR-orientacao local ao longo de U , entao jU

V (α) e uma orientacao local aolongo de V pois

jVy ◦ jU

V (α) = jUy (α).

Agora podemos definir R-orientacao global de X. Suponha dados

(i) Uma famılia de abertos {Ui}i∈I que cobrem X;(ii) Para cada i ∈ I uma orientacao local αi ∈ Hn(X,X − Ui);

Se tal famılia satisfaz a condicao(iii) se x ∈ Ui ∩ Uj, entao jUi

x (αi) = jUjx (αj),

entao ela e chamada um R-sistema de orientacao.

Neste caso, uma R-orientacao local esta bem definida para cada x ∈ X.Dado outro R-sistema de orientacao {Vk, βk}k∈K , eles definem a mesma ori-entacao se(iv) αx = βx, para todo x ∈ X.

Logo uma R-orientacao global de X e uma classe de equivalencia de R-sistemas de orientacao, onde a relacao de equivalencia e dada por (iv).

27

Seja X0 o conjunto dos pares (x, αx), onde x ∈ X e αx ∈ Hn(X, X − x).Defina p : X0 −→ X por p(x, αx) = x. Para cada aberto U ⊂ X comorientacao local αU , defina

< U,αU >= {(x, αx)|x ∈ U, αx = jUx (αU)}.

Estes conjuntos formam uma base para uma topologia em X0 tal que p :X0 −→ X e espaco de recobrimento. X0 e chamado o R-feixe de orientacaode X. Se A ⊂ X e subespaco, entao ΓA := {s : A −→ X0} e o R-moduloformado pelas secoes em A.

Se X e orientavel ao longo de A ⊂ X, entao existe um homomorfismocanonico

jA : Hn(X, X − A) −→ ΓA

dado por jA(α)(x) = (x, jAx (α)), onde x ∈ A.

Theorem 12.5. Suponha A ⊂ X fechado. Entao(i) Hq(X, X − A) = 0, para todo q > n;(ii) jA e um monomorfismo e sua imagem e o submodulo ΓcA de secoes comsuporte compacto, i.e.,

jA : Hn(X, X − A)∼−→ ΓcA.

Em particular, jX : Hn(X)∼−→ ΓcX e Hq(X) = 0 para q > n.

Corolario 12.6. Seja X variedade compacta conexa. Suponha que para todoa ∈ R nao nulo e para qualquer unidade u ∈ R, se ua = a temos u = 1.Entao

Hn(X) ∼={

R, se X e R-orientavel;0, caso contrario.

Segue que uma R-orientacao numa variedade compacta conexa X e de-terminada por um gerador de ΓX ou um gerador ζ do modulo de homologiaHn(X). A R-orientacao local em cada ponto x ∈ X e dada por jX

x (ζ) e ζ echamada a classe fundamental da R-orientacao.

28

13 Cohomologia singular com suporte com-

pacto

Considere X uma variedade n-dimensional R-orientada. Os subespacos com-pactos de X formam um sistema direto cuja operacao e a inclusao. Logo,os modulos Hq(X, X −K) formam um sistema indutivo indexado pelos su-bespacos compactos de X. Definimos

Hqc (X) = lim

−→Hq(X,X −K).

Considere K ⊂ X compacto.

Theorem 13.1. Seja X uma variedade de dimensao n com orientacao ζ.Entao para cada compacto K ⊂ X, existe uma unica classe de homologiaζK ∈ Hn(X, X −K) tal que jK

x (ζK) = ζx para todo x ∈ K.(Massey, A basiccourse in algebraic topology, pag.:353)

Seja ζK ∈ Hn(X, X − K) a classe fundamental dada pelo teorema. Elainduz um homomorfismo

ζK∩ : Hq(X, X −K) −→ Hn−q(X)γ 7−→ ζK ∩ γ

Se K ⊂ K ′, o diagrama abaixo comuta

Hq(X,X −K)↘

i ↓ Hn−q(X)↗

Hq(X, X −K ′)

e passando ao limite temos o mapa D : Hqc (X) −→ Hn−q(X).

Theorem 13.2. (Dualidade de Poincare) Se X e variedade orientada dedimensao n, entao o homomorfismo

D : Hqc (X) −→ Hn−q(X)

e isomorfismo para todo q ≥ 0.

Corolario 13.3. Se X e variedade conexa R-orientavel, entao Hnc (X) ∼= R.

Proposicao 13.4. Se γ gera H2(CPn), entao γ gera a algebra cohomologicaH•(CPn).

29

14 Numeros de Betti e Caracterıstica de Eu-

ler

Os grupos de homologia de alguns espacos topologicos (como complexos deesferas) com relacao a Z sao finitamente gerados. Se A e um grupo abelianofinitamente gerado, sabemos que

A ∼= Zr × Zn1 × · · · × Zni,

onde T = Zn1 × · · · × Znie o subgrupo de torcao. O numero mınimo de

geradores de A/T e o posto de A. O posto de Hq(X;Z) e chamado o q-esimonumero de Betti βq do espaco X. Defini-se a caracterıstica de Euler de Xpor

χ(X) :=∑

q

(−1)qβq,

quando esta soma e finita.Exemplo: Se X = Sn, entao β0 = βn = 1 e βq = 0 para n 6= 0, 1. Logo

χ(Sn) =

{0, n ımpar2, n par.

Exemplo: Se X = CPn, entao βq = 1 para q par e 0 ≤ q ≤ 2n e βq = 0caso contrario. Logo, χ(CPn) = n + 1.

Proposicao 14.1. Se X e variedade compacta orientavel, entao os numerosde Betti de X satisfazem

βq = βn−q

para qualquer q.

15 Sequencia Exata de Kunneth

Consideremos dois complexos, C e C ′, sobre um anel R.

· · · → Cn+1 → Cn → Cn−1 → · · ·

· · · → C ′n+1 → C ′

n → C ′n−1 → · · ·

30

Definimos o produto tensorial dos complexos, C ⊗ C ′, pondo

[C ⊗ C ′]n :=⊕

p+q=n

Cp ⊗ C ′q,

com a operacao de bordo ∂ : [C ⊗ C ′]n+1 → [C ⊗ C ′]n definida por

∂(z ⊗ z′) = ∂(z)⊗ z′ + (−1)pz ⊗ ∂(z′),

onde z ∈ Cp, z′ ∈ Cn−p e estendemos por linearidade. Observe que estamoscometendo um abuso de notacao em denotar por “∂”todas as aplicacoes debordo dos complexos envolvidos.

Sejam z e z′, p-ciclo de C e q-ciclo de C ′, respectivamente. Temos quez ⊗ z′ e um (p + q)-ciclo de C ⊗ C ′. Logo podemos definir uma aplicacaobilinear

Hp(C)×Hq(C′)→ Hn(C ⊗ C ′)

por (z, z′) 7→ z ⊗ z′, onde p + q = n. Desta forma, induzimos um homomor-fismo

Hp(C)⊗Hq(C′)→ Hn(C ⊗ C ′)

que manda z ⊗ z′ em z ⊗ z′. Portanto, pondo

[H(C)⊗H(C ′)]n :=⊕

p+q=n

Hp(C)⊗Hq(C′)

obtemos uma aplicacao

i : [H(C)⊗H(C ′)]n → Hn(C ⊗ C ′)

definida por i(∑

zp ⊗ z′q)

=∑

zp ⊗ z′qSob hipoteses adicionais podemos verificar que i e um monomorfismo e

determinar o seu co-nucleo, com diz o seguinte resultado.

Theorem 15.1. Assuma que R e um domınio principal e que C e livre.Entao, para todo n temos uma sequencia exata

0→⊕

p

Hp(C)⊗Hn−p(C′)

i→ Hn(C⊗C ′)→⊕

p

Tor1(Hp(C), Hn−p−1(C′))→ 0.

31

16 Formula de Kunneth

Queremos entender quem e a homologia do produto cartesiano de espacostopologicos. Para isto veremos que esta homologia possui relacao com ashomologias de cada um dos espacos topologicos.

Sejam X e Y dois espacos topologicos. Todo n-simplexo singular ω deX×Y e escrito de forma unica da forma (σ, τ), onde σ = pX ◦ω e τ = pY ◦ωcom pX e pY sendo as projecoes de X × Y em X e Y , respectivamente.Para cada inteiro p satisfazendo 0 ≤ p ≤ n, temos bem definido o elementoσ ◦ λp ⊗ τ ◦ ρn−p ∈ Sp(X) ⊗ Sn−p(Y ), onde λp = (E0 · · ·Ep) e ρn−p =(En−p · · ·En). Estendendo por linearidade, temos um homomorfismo

Sn(X × Y )→ Sp(X)⊗ Sn−p(Y ).

Consideremos o complexo S(X)⊗ S(Y ), onde

[S(X)⊗ S(Y )]n =n⊕

p=0

Sp(X)⊗ Sn−p(Y )

e ∂ : [S(X)⊗ S(Y )]n+1 → [S(X)⊗ S(Y )]n e a sua aplicacao de bordo, comoconstruımos no paragrafo anterior.

Desta forma, temos definido um homomorfismo

A : Sn(X × Y )→ [S(X)⊗ S(Y )]n,

dado por A(σ, τ) =∑n

p=0 σ ◦ λp⊗ τ ◦ ρn−p, que e chamado de homomorfismode Alexander-Whitney.

Lema 16.1. O homomorfismo de Alexander-Whitney e functorial em (X, Y ).

Temos ainda que A define um homomorfismo de complexos, como diz olema seguinte.

Lema 16.2. A ◦ ∂ = ∂ ◦ A.

Consequentemente, A induz uma aplicacao entre os modulos de homologiados complexos,

A : Hn(X × Y )→ Hn(S(X)⊗ S(Y )).

32

Theorem 16.3. (Eilenberg-Zilber) A e um isomorfismo.

Considere agora os complexos C = S(X) e C ′ = S(Y ). Entao, comocorolario dos Teoremas 1 e 2, temos o seguinte resultado.

Corolario 16.4. (Formula de Kunneth) Se R e um domınio principal, entao

Hn(X×Y ) ∼=(

n⊕p=0

Hp(X)⊗Hn−p(Y )

) ⊕ (n⊕

p=0

Tor1(Hp(X), Hn−p−1(Y ))

).

Corolario 16.5. Se R e um domınio principal e os grupos de homologia deY (ou de X) de dimensao < n sao livres(e.g. se R e um corpo), entao

Hn(X × Y ) ∼=n⊕

p=0

Hp(X)⊗Hn−p(Y ).

Um outro caso interessante, a ser considerado, e quando colocamos C =S(X,Z) e definimos C ′ por C ′

0 = R, C ′n = 0 para n 6= 0. Neste caso,

[C ⊗ C ′]n = Sn(X,Z)⊗R = Sn(X,R),

pela propriedade universal do produto tensorial. Logo obtemos o seguinteresultado.

Corolario 16.6. (Teorema do Coeficiente Universal) Se R e um domınioprincipal, entao para todo n temos uma sequencia exata

0→ Hn(X,Z)⊗R→ Hn(X,R)→ Tor1(Hn−1(X,Z), R)→ 0.

33

Parte II

Topologia das VariedadesAlgebricas

17 Homologia de Secoes Hiperplanas

Definicao 17.1. Seja (X, A) um par de espacos topologicos, com i : A→ Xinclusao. Dizemos que A e um retrato de vizinhanca em X, se existe umavizinhanca de A em X tal que A e retrato desta.

Theorem 17.2. Seja f : (X,A) → (Y, B) uma aplicacao contınua entreretratos de vizinhancas Euclideanas (ENR) compactas tal que f : X − A →Y −B e homeomorfismo. Enao f induz um isomorfismo:

f∗ : H∗(X, A)→ H∗(Y, B)

Definicao 17.3. Um espaco tpologico Y e chamado um retrato de vizi-nhanca Euclideana se existe um retrato de vizinhanca X ⊂ Rn, para algumn, tal que Y e homeomorfo a X.

Example 17.4. Sn−1 e um retrato de Rn − {0}. Bn e retrato de Rn.

Observacao 17.5. Se A ∈ X sao ENR’s, entao B e um retrato de vizinhancaem X.

Theorem 17.6 (Teorema de fibracao de Ehresmann). Seja f : E → B umaaplicacao diferenciavel e propria entre variedades diferenciaveis sem bordostal que rk(f) = dimB, em todo ponto. Entao f e uma fibracao localmentetrivial de E sobre B, i.e., para todo ponto b ∈ B exsite vizinhanca Ub euma fibra que preserva difeomorfismo φ : f−1(b) × Ub

∼= f−1(Ub). Se Etem bordo ∂E e rk(f |∂E) = dimB, etnao f e uma fibracao do par (E, ∂E)localmente trivial, i.e., φ e uma fibra preservando difeomorfismo entre ospares (f−1(b) × Ub, f

−1(b) ∩ ∂E × Ub) ∼= (f−1(Ub), f−1(Ub) ∩ ∂E). Se existe

E ′ ⊂ E, subvariedade fechada de E e rk(f |E′) = dimB, entao f uma fibracaodo par (E, E ′) localmente trivial.

Observacao 17.7. Todos os grupos de homologia aqui considerados saotomados com coeficientes em um domınio principal.

34

Seja p : Y → X o blowup de X ao longo de X ′, como foi definido noparagrafo anterior. Vamos comparar as homologias de X e de Y . Temos queY ′ := p−1(X) ∼= X ′ ×G. A formula de Kunneth nos garante que:

Hq(Y′) ∼= Hq(X

′ ×G) ∼=q⊕

p=0

Hp(X′)⊗Hq−p(G)

⊕

q⊕p=0

Tor(Hp(X

′), Hq−p−1(G)

)

Mas, G ∼= P1, logo a parcela correspondente ao Tor nao existe. Por outro

lado, sabemos que Hq(Pn) ∼={

0 q > 2n e q ımpar

R q par e 0 ≤ q ≤ 2n.Assim obtemos:

Hq(Y′) ∼= Hq(X

′)⊗H0(G)⊕Hq−2(X′)⊗H2(G) ∼= Hq(X

′)⊕Hq−2(X′) (1)

Como Y ′ ⊂ Y , vemos que existe um homomorfismo naturalκ : Hq−2(X

′)→ Hq(Y ).

Lema 17.8. A sequencia

0→ Hq−2(X′)

κ→ Hq(Y )p∗→ Hq(X)→ 0 (2)

e exata e slip para todo q.

Considere f : Y → G ∼= P1, decomponha G em dois semiesferios fechados

D+ e D− tais que os valores crıticos de f estejam contidos emo

D+. Fixamosas seguintes notacoes, G = D+ ∪ D−, S1 = D+ ∩ D−, Y± = f−1(D±) eY0 = f−1(S1).

Lema 17.9 (Lema Principal). Hq(Y+, Yb) = 0 se q 6= n = dimX = dimY .E no caso q = n, Hn(Y+, Yb) e livre de posto r = classeX.

Este lema sera provado em outro paragrafo.

Consideramos agora a sequencia exata longa da tripla Y ⊃ Y+ ⊃ Yb, i.e.,olhamos para

35

· · · → Hq+1(Y+, Yb)→ Hq+1(Y, Yb)→ Hq+1(Y, Y+)∂∗→ Hq(Y+, Yb)→ . . .

Afirmacao: Podemos substituir Hq(Y, Y+) por Hq−2(Xb)Assim a sequencia acima fica da forma:

· · · → Hq+1(Y+, Yb)→ Hq+1(Y, Yb)→ Hq−1(Xb)∂∗→ Hq(Y+, Yb)→ . . .

Usando o Lema Principal obtemos:

Hq+1(Y, Yb) ∼= Hq−1(Xb) , para q 6= n− 1, n

e

0→ Hn+1(Y, Yb)→ Hn(Xb)→ Hn(Y+, Yb)→ Hn(Y, Yb)→ Hn−1(Xb)→ 0

Vejamos agora algumas aplicacoes das sequencias acima:

• Se dimX > 2, entao uma secao hiperplana geral Xb e nao singular eirredutıvel. (vale Bertini)

• Denotemos por e(¦) a caracterıstica de Euler-Poncare. Vale entao:

e(Y ) = e(X) + e(X ′)

e(X) = 2e(Xb)− e(X ′) + (−1)nr

O seguinte teorema e devido a Lefschetz

Theorem 17.10 (Teorema da Homologia de Secoes Hiperplanas).

Hq(X,Xb) = 0 ∀ q 6 n− 1, n = dimX (3)

Em palavaras, a inclusao Xb → X induz um isomorfismo nos modulos dehomologia Hq(X) e Hq(Xb) quando q 6 n− 1 e epimorfismo no caso n− 1.

36

Se aplicamos o teorema do coeficiente universal a 17.10 obtemos o seguinteresultado para cohomologia:

Hq(X,Xb) = 0 para q ≤ n− 1, n = dimX

Em palavras, a inclusao Xb induz isomorfimos dos grupos de cohomologiaem dimensoes estritamente menores que n− 1 e um monomorfismo de Hn−1.

O teorema do coeficiente universal ainda nos diz que o epimorfismo na-tural

Hn(X, Xb; R) ∼= Hom(Hn(X, Xb), R)

e um isomorfismo, donde comcluimos que Hn(X, Xb;Z) e livre. Pela duali-dade de Poincare-Lefschetz estes resultados sao equivalentes a:

Hq(X\Xb) = 0 for q ≤ n + 1 and Hn(X\Xb,Z) e livre.

Os resultados aqui obtidos sobre secoes hiperplanas se generalizam para ocontexto de secoes por hipersuperfıcies, pode-se verificar isto via o mergulhode Veronese. Tais resultados sao:

Corolario 17.11. Seja X ⊂ Pn uma variedade irredutıvel suave de di-mensao n, Seja F ⊂ Pn uma hipersuperfıcie tal que todos os pontos deF ∩ X sao pontos simples de F e F intersecta X transversalmente. EntaoHq(X, X ∩ F ) = 0 para q ≤ n− 1.

Corolario 17.12. Se Y ⊂ Pn e suave, intersecao completa e tem dimensaon, entao Hq(Pn, Y ) = 0 para q ≤ n.

Introduziremos agora alguns conceitos e notacoes que serao uteis para asproximas secoes.

Considere o homomorfismo ∂∗ : Hn(Y+, Yb) → Hn−1(Yb) ∼= Hn−1(Xb),denotamos sua imagem por V , i.e. V := ∂∗(Hn(Y+, Yb)). Os elementos de Vsao chamados de ciclos anulantes. Via as sequencias exatas de homologia de(Y+, Yb) e de (X,Xb) obtemos:

37

V = imagem (∂∗ : Hn(X, Xb)→ Hn−1(Xb))= nucleo (i∗ : Hn−1(Xb)→ Hn−1(X))

e

rank (Hn−1(Xb)) = rank(V ) + rank(Hn−1(X))

Em termos de cohomologia obtemos:

I := nucleo (δ∗ : Hn−1(Yb)→ Hn(Y+, Yb))= nucleo (δ∗ : Hn−1(Xb)→ Hn(X,Xb))= imagem (i∗ : Hn−1(X)→ Hn−1(Xb))

I∗ definido acima e chamado de modulo dos cociclos invariantes. Omodulo I dos ciclos invariantes e definido via dualidade de Poincare, i.e.,I := {u ∩ [Xb]|u ∈ I∗} ⊂ Hn−1(Xb)

Desta forma obtemos que:

rank I = rank Hn+1(X) = rank Hn−1(X)

Denote por < , > o emparelhamento de Kronecker entre a cohomologiae homologia. Pela dualidade de Pincare o emparelhamento de Kroneckertorna-se a forma de intersecao:

Hn−1(Xb)×Hn−1(Xb)→ R

Observe que com tal notacao temos que

I∗ = {u ∈ Hn−1(Yb)| < u, x >= 0 para todo x ∈ V },

assim obtemos tambem que

I = {y ∈ Hn−1(Xb)| < y, x >= 0 para todo x ∈ V }.

Observacao 17.13. Se tomamos todos os coeficientes em um corpo obtemos:

rank I + rank V = rank Hn−1(Xb)

38

18 Teorema Forte de Lefschetz

Pelo Teorema de Dualidade de Poincare, existe um isomorfismo [X] : H2(X)∼−→

H2n−2(X). Dada a classe fundamental [Xb] ∈ H2n−2(X) correspondente asecao hiperplana Xb, o elemento u ∈ H2(X) tal que u ∩ [X] = [Xb] e ditodual de Poincare de [Xb]. Em termos homologicos, a intersecao com Xb cor-responde ao produto cap com u. Desta forma, temos um mapa que se fatorapor Xb, no seguinte sentido:

u ∩ · : Hq(X)i!−→ Hq−2(Xb)

i∗−→ Hq−2(X).

Theorem 18.1. (Forte de Lefschetz) Se tomarmos coeficientes num corpode caracterıstica 0, as seguintes afirmacoes sao equivalentes:(i)V ∩ I = 0;(ii)V ⊕ I = Hn−1(Xb);(iii)i∗ : Hn−1(Xb) −→ Hn−1(X) e tal que I

∼7−→ Hn−1(X);(iv)Hn+1(X) ∼= Hn−1(X), x 7−→ u ∩ x e isomorfismo;(v)Considerando a forma < ·, · >: Hn−1(Xb) ×Hn−1(Xb) −→ k, a restricao< ·, · > |V e nao degenerada;(vi)< ·, · > |I e nao degenerada.

Lefschetz afirma que o teorema acima permanece valido tomando-se coefi-cientes inteiros, mas sua demonstracao e difıcil de ser compreendida e pareceincompleta mesmo considerando coeficientes num corpo. Ate o momento naoe conhecida uma prova puramente topologica e a unica prova completa usaa teoria de integrais harmonicas de Hodge.

Iterando a sequencia X ⊃ Xb ⊃ X ′, temos

X =: X0 ⊃ Xb =: X1 ⊃ X ′ =: X2 ⊃ X3 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ Xn+1 = 0,

onde Xq e secao hiperplana generica de Xq−1, e portanto dim Xq = n − q.Denotando as inclusoes por iq : Xq ↪→ X, definimos

I∗(Xq) := Img(i∗q : Hn−q(X) −→ Hn−q(Xq))

o modulo dos cociclos invariantes de Xq. O seu modulo dual

I(Xq) := {u ∩ [Xq]|u ∈ I∗(Xq)} ⊂ Hn−q(Xq)

39

e o modulo dos ciclos invariantes, e temos as seguintes generalizacoes:

(i) (iq)! : Hn+q(X) −→ Hn−q(Xq) e tal que Hn+q(X)∼−→ I(Xq);

(ii) (iq)∗ : Hn−q(Xq) −→ Hn−q(X) e tal que I(Xq)∼−→ Hn−q(X);

(iii) Considerando a forma < ·, · >q: Hn−q(Xq)×Hn−q(Xq) −→ k, a restricao< ·, · >q |I(Xq) e nao degenerada.

Como u e o dual de Poincare de [X1] ∈ H2n−2(X), temos que uq ∈ H2q(X) edual de [Xq] ∈ H2n−2q(X). Como no caso anterior, o seguinte mapa se fatora

uq ∩ · : Hp(X)(iq)!−→ Hp−2q(Xq)

(iq)∗−→ Hp−2q(X)

e temos mais uma generalizacao:

(iv) Para qualquer q = 1, . . . , n o produto cap com a q-esima potencia uq

e um isomorfismo

Hn+q(X)∼−→ Hn−q(X), x 7−→ uq ∩ x.

A forma < ·, · >q |I(Xq) e simetrica se n − q e par e antisimetrica sen−q e ımpar. Como < ·, · >q |I(Xq) e uma forma bilinear nao-degenerada emHn−q(X) e formas antisimetricas nao degeneradas existem apenas em espacosvetoriais de dimensao par, temos:

Se n− q e ımpar, o numero de Betti βn−q = dim Hn−q(X) e par.

19 Decomposicao Primitiva

Um elemento x ∈ Hn+q(X), 0 ≤ q ≤ n, e dito primitivo se uq+1 ∩ x = 0. Aseguinte afirmacao e equivalente ao Teorema Forte de Lefschetz.

Proposicao 19.1. (Decomposicao Primitiva) Qualquer elemento x ∈ Hn+q(X)pode ser escrito de forma unica como

x = x0 + u ∩ x1 + u2 ∩ x2 + · · ·e qualquer elemento x ∈ Hn−q(X) como

x = uq ∩ x0 + uq+1 ∩ x1 + uq+2 ∩ x2 + · · ·onde os xi ∈ Hn+q+2i(X) sao primitivos e q ≥ 0.

40

Considerando Pn+q(X) ⊂ Hn+q(X), 0 ≤ q ≤ n, o submodulo dos elemen-tos primitivos de Hn+q(X), temos que a homologia de X esta completamentedeterminada por Pn+q(X). A demonstracao do teorema anterior mostra queo mapa

Hn+q(X) −→ Pn+q(X)x 7−→ x0

induz um isomorfismo

Hn+q(X)

u ∩ (Hn+q+2(X))

∼−→ Pn+q(X)

e temos que dim Pn+q(X) = βn+q − βn+q+2 = βn−q − βn−q−2. Como adim Pn+q(X) ≥ 0:

1 ≤ β0 ≤ β2 ≤ · · · ≤ β2i, ∀i com 2i ≤ n e

β1 ≤ β3 ≤ β5 ≤ · · · ≤ β2i+2, ∀i com 2i + 1 ≤ n.

Estas sao restricoes topologicas para as variedades projetivas.

20 H∗(X) como sl2−modulo

A algebra de Lie sl2 das matrizes 2 × 2 com traco 0 tem dimensao 3 e base{e, f, h}, onde

e =

(0 10 0

), f =

(0 01 0

)e h =

(1 00 −1

).

A partir do comutador [xy] = xy − yx, temos as seguintes relacoes

[eh] = −2e, [fh] = 2f e [ef ] = h,

que caracterizam a representacao desta algebra.

Considere os seguintes endomorfismos de H∗(X):

f : Hj(X) −→ Hj−2(X)x 7−→ u ∩ x

eh : Hj(X) −→ Hj(X)

x 7−→ (j − n)x.

Decomposicao primitiva, e, portanto, o Teorema Forte de Lefschetz, saoequivalentes a seguinte afirmacao.

Proposicao 20.1. Existe um homomorfismo e : Hj(X) −→ Hj+2(X) tal quee, f e h satisfazem as relacoes acima, i.e. H∗(X) e sl2−modulo.

41

21 Cohomologia

Os tres resultados estudados anteriormente podem ser transcritos para coho-mologia por dualidade de Poincare.

(i) Para qualquer q = 1, . . . , n o produto cup com a q−esima potencia deu ∈ H2(X) e um isomorfismo:

uq ∪ · : Hn−q(X)∼−→ Hn+q(X).

Uma classe de cohomologia x ∈ Hn−q(X) e dita primitiva se a sua classedual x ∩ [X] ∈ Hn+q(X) e primitiva, ou seja se uq+1 ∪ x = 0.

(ii) Decomposicao primitiva: Qualquer elemento x ∈ Hn−q(X) pode ser es-crito de forma unica como

x = x0 + u ∪ x1 + u2 ∪ x2 + · · ·

e qualquer elemento x ∈ Hn+q(X) como

x = uq ∪ x0 + uq+1 ∪ x1 + uq+2 ∪ x2 + · · ·

onde os xi ∈ Hn−q−2i(X) sao primitivos e q ≥ 0.

(iii) Os duais de Poincare dos endomorfismos e, f, h : H∗(X) −→ H∗(X)sao:

Λ : Hj(X) −→ Hj−2(X), ur∪x 7−→ r(q−r+1)ur−1∪x, x ∈ Hn−q(X) primitivo,

L : Hj(X) −→ Hj+2(X), x 7−→ u ∪ x,

H : Hj(X) −→ Hj(X), x 7−→ (n− j)x,

e satisfazem as relacoes

[ΛH] = −2Λ, [LH] = 2L e [ΛL] = H,

i.e., H∗(X) e um sl2−modulo.

42

22 A Topologia de Funcoes Holomorfas com

Pontos Crıticos Nao Degenerados

Considere Y variedade complexa, compacta, de dimensao n e G a reta pro-jetiva. Seja f : Y → G holomorfa tal que todos os pontos crıticos x1, . . . , xr

de f sejam nao degenerados e cada dois deles estejam em fibras distintas.Como fizemos anteriormente, sejam D+ e D− hemisferios que decompoem

G, de modo que os valores crıticos t1, . . . , tr de f estejam no interior de D+.Consideremos b ∈ ∂D+, que e valor regular, e denotemos por Y+ =

f−1(D+) e Yb = f−1(b).Provaremos nesta secao que vale o seguinte resultado, que foi chamado

de Lema Principal na secao 3.

Lema 22.1. Hq(Y+, Yb) = 0 se q 6= n e Hn(Y+, Yb) e livre de posto r.

Para provar este Lema procedemos de seguinte maneira. Escolhemoscoordenadas holomorfas adequadas em G de modo que D+ seja identificadocom o disco unitario B[0, 1] de C e b corresponda a 1. Seja ρ > 0 tal queDi := B[ti, ρ] ⊆ D+ e cada dois destes sejam disjuntos. Dividiremos a provaem tres etapas.

1. Reduziremos o calculo das homologias do par (Y+, Yb) ao calculo dashomologias dos pares (Ti, Fi), onde

Ti := f−1(Di) e Fi := f−1(ti + ρ).

2. Como xi e ponto crıtico nao degenerado, podemos encontrar uma vi-zinhanca B de xi que possua coordenadas holomorfas Z = (z1, . . . , zn)de modo que f|B seja dada por

f(Z) = t1 + z21 + · · ·+ z2

n.

Desta forma, reduziremos o calculo das homologias do par (Ti, Fi) aocalculo das homologias do par (T, F ), onde

T := Ti ∩B e F := Fi ∩B.

3. Calcularemos as homologias do par (T, F ) via a expressao local de f .

43

22.1 Primeiro Passo

Escolhemos `i caminhos C∞ que ligam b a ti + ρ de modo que ` :=⋃r

i=1 `i

possa ser contraıdo a b e que D+ possa ser contraıdo a k := ` ∪⋃ri=1 Di.

Assim temos a seguinte proposicao.

Proposicao 22.2. A fibra Yb e uma deformacao por retracao forte de L :=f−1(`) e K := f−1(k) e uma deformacao por retracao forte de Y+. E portantoas inclusoes

(Y+, Yb)→ (Y+, L)← (K, L)

induzem isomorfismos nas homologias destes tres pares.

Observamos que temos uma excisao

(∪ri=1Ti,∪r

i=1Fi)→ (K, L),

e como as unioes que estao envolvidas sao disjuntas, vale a seguinte pro-posicao.

Proposicao 22.3.⊕r

i=1 H∗(Ti, Fi)∼=−→ H∗(Y+, L)

∼=←− H∗(Y+, Yb).

22.2 Segundo Passo

Aplicando a versao holomorfa do Teorema de Morse, obtemos uma vizi-nhanca coordenada de xi = (0, . . . , 0) de modo que f(z1, . . . , zn) = ti +z21 + · · · + z2

n. Tomemos ε > 0 suficientemente pequeno de modo que abola B =

{Z ∈ Cn| ‖Z‖2 = |z1|2 + · · ·+ |zn|2 ≤ ε2

}esteja contida nesta vi-

zinhanca coordenada.Assim o segundo passo se resume a seguinte proposicao.

Proposicao 22.4. A inclusao (T, F ) → (Ti, Fi) induz isomorfismos nas ho-mologias destes pares.

22.3 Terceiro Passo

Para entender as homologias do par (T, F ) observamos primeiramente quecom as coordenadas obtidas na vizinhanca de xi, temos que

T = Ti ∩B ={Z ∈ Cn||z1|2 + · · ·+ |zn|2 ≤ ε2 e |z2

1 + · · ·+ z2n| ≤ ρ

},

44

F = Fi ∩B ={Z ∈ T |z2

1 + · · ·+ z2n = ρ

}.

Desta forma, vemos claramente que T e linearmente contraıdo a origem deCn. Isto nos fornece que

∂∗ : H]q(T, F )

∼=−→ H]q−1(F ),

para q ≥ 1 e H0(T, F ) = 0.Agora para calcular as homologias de F , escrevemos zj = xj + iyj, x =

(x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn). Logo,

F ={(x, y) ∈ Rn × Rn| ‖x‖2 + ‖y‖2 ≤ ε2, ‖x‖2 − ‖y‖2 = ρ e 〈x, y〉 = 0

}.

Consideremos Q ={(u, v) ∈ Rn × Rn| ‖u‖2 = 1, ‖v‖2 ≤ 1 e 〈u, v〉 = 0

}.

Temos que a funcao

(x, y) ∈ F 7−→(

x

‖x‖ ,y

σ

)∈ Q,

onde σ :=√

ε2−ρ2

, e um difeomorfismo cuja inversa e dada por

(u, v) 7−→(√

σ2 ‖v‖2 + ρ · u, σv

).

Para finalisar, observe que Q pode ser deformado por contracao forte em{(u, v) ∈ Q|v = 0} ∼= Sn−1. Assim,

H]q−1(F ) = H]

q−1(Sn−1)

e logo Hq(T, F ) e igual a zero se q 6= n e livre de posto 1 se q = n, cujo gerador∆ = {Z ∈ T |zj e real para todo j} e induzido pela orientacao de Sn−1

23 Monodromia

Considere X e Y variedades C∞. Seja f : X → Y aplicacao C∞, propria eregular(i.e. a aplicacao induzida por f nos espacos tangentes TxX → Tf(x)Ye sobrejetiva).

Queremos construir uma acao do grupo fundamental π1(Y, b) de um pontofixado b ∈ Y nos grupos de homologia H∗(f−1(b)).

45

Tomemos um caminho γ em Y com b sendo o ponto inicial e final.Pelo Teorema de Ehresmann e pela compacidade de γ podemos encontrar

vizinhancas U0, . . . , Un e pontos bi ∈ Ui ∩ Ui+1 ∩ γ com b0 = bn = b e

f−1(Ui)∼= //

f##GGGGGGGGG

Ui × f−1(bi)

p1

yysssssssssss

Ui

Isto nos fornece um difeomorfismo C∞

f−1(bi)∼= // f−1(bi+1) .

Desta forma temos um isomorfismo

hi : H∗(f−1(bi))∼= // H∗(f−1(bi+1)) .

E portanto definimos o automorfismo de H∗(f−1(b)) por

hγ := hn−1 ◦ · · · ◦ h1.

Para ver que a aplicacao hγ nao depende da escolha dos bi, das trivia-lizacoes e da classe de homotopia de γ, podemos consultar o livro do Steenrod,The Topology of Fibre Bundles.

Agora estamos em condicao de definir a acao:

π1(Y, b)×H∗(f−1(b)) → H∗(f−1(b))(γ, a) 7−→ hγ(a)

24 A Formula de Picard-Lefschetz

Continuemos com as notacoes das notas anteriores, onde tınhamos umafuncao holomorfa f : Y → G entre uma variedade complexa, conexa ecompacta Y e a reta projetiva G, cujos pontos crıticos x1, . . . , xr sao naodegenerados. Consideremos t1, . . . , tr ∈ G os valores crıticos de f .

Denotamos por G∗ = G \ {t1, . . . , tr} e Y ∗ = Y \ f−1{t1, . . . , tr}.Pelo Teorema de Ehresmann temos que a aplicacao f : Y ∗ → G∗ define

um fibrado C∞ localmente trivial com fibra Yb∼= Xb.

46

Novamente dentro das consideracoes feitas nas notas anteriores conside-remos

ωj(s) = tj + ρe2πis, s ∈ [0, 1]

a parametrizacao do bordo disco Dj de centro tj e raio ρ > 0. Se `j e umcaminho ligando b a tj + ρ, que consideramos antes, definimos

wj = `−1j · ωj · `j

e chamamos de caminhos elementares.O grupo fundamental π1(G

∗, b) e um grupo livre gerado pelas classes dehomotopias [w1], . . . , [wr]. Ainda podemos verificar que os geradores satisfa-zem da seguinte relacao

[w1] · · · [wr] = 1.

A formula de Picard-Lefschetz ira descrever a acao destes caminhos ele-mentares em Hq(Yb). Para isto vamos relembrar alguns resultados visto naaula anterior.

Temos um monomorfismo

Hn(T, F )∼=→ Hn(Ti, Fi) ↪→ Hn(Y+, L)

∼=← Hn(Y+, Yb),

e um gerador [∆] de Hn(T, F ), que e induzido pelo gerador do disco ∆. Logoo monomorfismo definido acima nos fornece um elemento ∆i de Hn(Y+, Yb).

Pelo isomorfismo⊕r

i=1 Hn(Ti, Fi)∼=→ Hn(Y+, Yn) temos que ∆1, . . . , ∆r geram

livremente Hn(Y+, Yb).O homomorfismo de conexao ∂∗ : Hn(Y+, Yb)→ Hn(Yb) transforma ∆i em

δi = ∂∗(∆i) que chamaremos de ciclo anulador . Chamaremos ∆i do dedalde δi.

Temos que a auto-intersecao de δi e dada pela seguinte expressao

< δi, δi >=

{0 , n par

(−1)(n−1)/22 , n ımpar

A ideia da prova da igualdade acima e de olhar para o difeomorfismo que

obtemos nas notas anteriores F∼=→ Q e observar que a auto-intersecao que

queremos calcular e obtida pela multiplicacao da auto-intersecao de Sn−1 noseu fibrado tangente Q(i.e. a sua caracterıstica de Euler) com o fator decorrecao que ajusta a orientacao canonica de Q com a orientacao induzidaem Q pela estrutura complexa de F .

Para finalizar temos a formula esperada.

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Theorem 24.1. Formula de Picard-Lefschetz. Se q 6= n−1 o grupofundamental π1(G

∗, b) age trivialmente em Hq(Yb). Se q = n − 1, entao oscaminhos elementares wi agem da seguinte forma

(wi)∗(x) = x + (−1)n(n+1)/2 < x, δi > δi,

onde x ∈ Hn−1(Yb) e (wi)∗ := hwifoi definida no paragrafo anterior.

Uma observacao interessante e que a operacao de produto e invariantepor monodromia, i.e., < hγ(x), hγ(y) >=< x, y >, para γ ∈ π1(G

∗, b) ex, y ∈ H∗(Yb).

25 Monodromia

O modulo I ⊂ Hn−1(Yb) definido como:

I(Yb) := {u ∩ [Yb]|u ∈ I∗(Yb)} ⊂ Hn−1(Yb)

que e chamado o modulo dos ciclos invariantes e exatamente o submodulode elementos de Hn−1(Y ) que sao invarantes pela acao de π1(G

∗, b).

Theorem 25.1. (Teorema de Monodromia) Se tomarmos coeficientes numcorpo , as seguintes afirmacoes sao equivalentes:(i) vale a teorema forte de Lefschetz(ii) V = 0 or V e um π−submodulo simples(iii) Hn−1(Y ) e um π−submodulo semi-simples

onde π = π1(G∗, b).

Lembramos que:

Theorem 25.2. (Teorema forte de Lefschetz ) Se tomarmos coeficientes numcorpo , as seguintes afirmacoes sao equivalentes:(i)V ∩ I = 0;(ii)V ⊕ I = Hn−1(Xb);(iii)i∗ : Hn−1(Xb) −→ Hn−1(X) e tal que I

∼7−→ Hn−1(X);(iv)Hn+1(X) ∼= Hn−1(X), x 7−→ u ∩ x e isomorfismo;(v)Considerando a forma < ·, · >: Hn−1(Xb) ×Hn−1(Xb) −→ k, a restricao< ·, · > |V e nao degenerada;(vi)< ·, · > |I e nao degenerada.

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Proposicao 25.3. Se tomarmos coeficientes num corpo, para qualquer doisciclos anulantes(vanishing cycles) δ1 e δ2 existe um α ∈ π tal que α.δ1 = δ2.

Para prova a proposicao, precisamos dos seguintes lemas:

Seja X ⊂ PN um hipersuperfıcie (talvez com singularidade). Seja G ⊂ PN

uma reta projetiva em posicao gereal com respeito a X, i.e, G nao passa empontos singulares de X e intersecta X transversalmente. Entao G∩X e finitocom r = grauX pontos.

Lema 25.4. O mergulho G\X ↪→ PN\X induz um epimorfismo entre osgrupos fundamentais.

Seja X ∩ PN um hipersuperfıcie e seja G0 and G1 duas retas em posicaogereal com respeito a X que tem o ponto b ∈ X (talvez G0 = G1). Seja v0 ev1 caminhos elementares em G0 ∩X (resp. G1 ∩X) de b e para b.

Lema 25.5. Se X e irredutıvel, as classes de homotopia [v0] e [v1] sao ele-mentos conjugados em π(PN ∩X, b).

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