Tópicos de FísicaFarlei Roberto Mazzarioliwww.farlei.net 2021

Sumário

1. O nascimento da Física2. Idade Média e Renascimento3. Isaac Newton4. Termologia5. Eletromagnetismo6. Relatividade7. Interação estática entre corpos8. Atrito estático e dinâmico

Principais referências e recomendação para aprofundar os estudos:

“Tópicos de Física Geral e Experimental (Teoria)” e “Tópicos de Física Geral e Experimental(Laboratório)” dos autores: Arduino Francesco Lauricella; Brasílio Camargo Brito Filho;Francisco Xavier Sevegnani; Pedro Américo Frugoli; Roberto Gomes Pereira Filho.

Farlei Roberto Mazzarioli

Universidade Federal de São Carlos (UFSCar): Licenciatura Plena em Física; Especialização em Ensino de Filosofia.Universidade Federal de Lavras (UFLA): Especialização em Informática em Educação.Centro Universitário Claretiano: Licenciatura em Filosofia; Bacharel em Teologia.

Espaço reservado para vídeo do professor em apresentação online ou gravação de aula.

1. O nascimento da Física

A palavra “física” vem do grego e significa “natureza”. A Física, tal como outras ciências, nasceu da Filosofia, e demodo especial, os primeiros filósofos buscavam entender a natureza, ou seja, os primeiros filósofos eram maisfísicos do que de qualquer outra área do pensamento. A palavra “filosofia” significa “amigo da sabedoria”,enquanto o “sábio” é o conhecedor da verdade, algo divino, eterno, revelado, por outro lado, o conhecimento éproduto da razão e da experiência humana, é transitório, imperfeito, mas ainda sim de grande valor. A sabedoriaestá para a Teologia assim como o conhecimento está para a Filosofia.

Pitágoras590-495 a.C.

O princípio de tudo é o número.

Demócrito460-370 a.C.

Toda a matéria é composta de porções mínimas, ou seja, indivisíveis,

assim o átomo. Existem 4 tipos de átomos: terra, ar, água e fogo.

Se falar que eu sou a cara do Osama bin Laden enfio um

triângulo retângulo no teu...

Os átomos de Demócrito

Os gregos não aceitavam a ideia de zero ou infinito como números, assim Demócrito chegou à conclusão de quetoda matéria deveria ter uma porção mínima, uma partícula “indivisível”, que em grego “átomo” (a = não, tomo= divisível). Para explicar o mundo à sua volta Demócrito classificou esses átomos em: terra (pesados e secos);água (pesados e molhados); ar (frios e leves); fogo (quentes e leves). Assim uma planta era a composição deátomos de terra e água do solo com os átomos de fogo vindos do Sol, quando seca teria perdido os átomos deágua e ao queimar liberaria os átomos de fogo sobrando cinzas que eram átomos de terra. Os metais seriamátomos de terra e fogo de forma que o ouro mais brilhante tinha mais átomos de fogo do que o ferro.

Segundo Aristóteles cada um tinha o seu lugar natural, assim a terra afundava na águaporque o seu lugar natural era embaixo, a bolha sobe porque o lugar natural do ar éacima da água, e a fumaça sobe porque o lugar do fogo é acima do ar.

Terra Água Ar Fogo

Pesados Leves

A Física e a Metafísica de Aristóteles

Aristóteles define as ciências teóricas em três áreas: física, matemática e filosofia primeira (metafísica), em que afísica estuda o independente e mutável, a matemática o dependente e imutável e a filosofia primeira oindependente e imutável. Ele acredita que nada é gerado ou destruído, uma vez que a entidade primeira (arché)conserva-se sempre. Então, lê-se que a física estuda as transformações da arché, a matemática estuda asproporções da arché e a filosofia primeira (metafísica) estuda a própria essência da arché. Segundo Aristóteles afilosofia primeira estuda os princípios supremos, o ser enquanto ser, as substâncias e o que está além dosensível, portanto, Deus. Como a obra que tratava da filosofia primeira estava sem nome, então o bibliotecáriodo Museion, Andrônico, as classificou ao lado de Física, quando alguém as procurava ele orientava para além dasobras de Física e em grego além da Física é metafísica. O impressionante é que o sentido literal e o abstratocoincidem perfeitamente no mesmo significado, uma ironia do destino.

Aristóteles

Todos os seres humanos naturalmente desejam o conhecimento.

Eu quero saber! Eu quero muito saber!

Luna, O Show da Luna.

Aristóteles e o formato da Terra

Os gregos olhavam para a sombra da Terra na Lua e sabiam que provavelmente a Terra era esférica e não plana.Se ela fosse plana a sombra seria um retângulo, uma elipse e raramente um círculo. Entretanto isto não excluía apossibilidade dela ser plana e a sombra sempre ser um círculo. A prova dela ser esférica vem de Aristóteles aoexplicar que os barcos no horizonte pareciam afundar ou sair da água e isto só é possível se a Terra for esférica.

Dados importantes: a Terra não é esférica e nem plana, ela é geoide, ou seja, quaseesférica comprimida um pouco entre os polos; círculos e esferas são redondos, logoa Terra é um globo ou plana, todos concordam que é redonda.

Aristóteles384-322 a.C.

Lógico que a Terra não é plana .

Um pouco de história...

Sócrates foi professor de Platão, que foi professor de Aristóteles, que foi professor de Alexandre, O Grande. Aonorte da Grécia existe a Macedônia. Aristóteles e Alexandre eram macedônicos. O império de Alexandre levou acultura grega para vários povos e fundou várias cidades com nome de Alexandria. Quando morreu sem deixarherdeiros, seus generais dividiram o império entre si e o Egito ficou para Ptolomeu, antepassado de Cleópatra.Alexandria do Egito criou uma lei na qual todo livro ou pergaminho que passasse pela cidade seria confiscado e oex-dono poderia receber uma cópia se esperasse por isso e assim nasceu a Biblioteca de Alexandria. Quando acidade caiu nas mãos do Império Romano, sob ordens de Júlio César (depois amante de Cleópatra) as tropasnavais da cidade foram incendiadas e por acidente a Biblioteca ardeu em chamas. A cultura grega espalhada porAlexandre preparou o terreno para a expansão de Roma, e depois, do Cristianismo.

Aristóteles

Me tornei melhor do que os meus professores.

Platão Sócrates

Xará ingrato. Estrangeiro.

Eratóstenes e o cálculo do raio da Terra

Estudando os pergaminhos da Biblioteca de Alexandria, Eratóstenes (não confunda com Aristóteles) viu que a luzdo Sol chegava ao fundo de um posso na cidade de Siena apenas um dia do ano, ao meio-dia, ao chegar essadata ele mediu o ângulo de um poste como 7,2° na sua cidade, Alexandria. Pelo teorema de Tales este também éo ângulo do centro da Terra entre as cidades. Um escravo percorreu essa distância contando quantas vezes aroda da carroça girava e tocava um sino, logo L = 800 km.

7,2°

360°=

𝐿

2𝜋. 𝑅

7,2°

360°=800 𝑘𝑚

2𝜋. 𝑅

R = 6.366 𝑘𝑚

O valor atual é de 6.371 km.

Eratóstenes276-194 a.C.

Terra plana é o car@l&0!!7,2°

L

Alexandria

Siena

R

7,2°

RRaios de Sol

Arquimedes: o pai da mecânica

Arquimedes

Dê-me uma alavanca e um ponto de apoio e levantarei o mundo.

https://olhardigital.com.br/noticia/computador-mais-antigo-do-mundo-pode-ter-mais-de-2-mil-anos/59937

Arquimedes viveu em Siracusa, capital da colônia grega da Sicília, e estudou na Biblioteca de Alexandria quandoera jovem. Ele é o pai da mecânica. Morreu com a invasão romana em Siracusa, dizendo a um soldado romano:“Não pise nos meus círculos”. Encontrado em 1901 submerso na costa da ilha grega de Anticítera e com mais de2.000 anos, a Máquina de Anticítera, é um computador analógico capaz de prever eclipses e a posição dosplanetas com precisão. Existe relatos de que romanos levaram alguns destes de Siracusa, obra de Arquimedes.

Arquimedes e a coroa do rei

Arquimedes morava em Siracusa, na Sicília, sob governo do rei Hiero. Este rei mandou fazer uma coroa de ouropuro, mas o joalheiro foi acusado de adulterar a quantidade de ouro e prata na coroa enganando o rei.Arquimedes recebeu a tarefa de resolver o mistério. Quando estava tomando banho percebeu que o peso dovolume de água deslocado por um corpo flutuando era igual ao peso deste corpo. Assim daria para resolver omistério, então Arquimedes, todo empolgado, saiu correndo pelado pela cidade gritando “Eureka!”, que significa“Descobri!”. O joalheiro era culpado e foi executado.

Ouro Prata

O ouro transbordou menos, a prata transbordou mais e a coroa transbordouentre o ouro e a prata, logo a coroa é uma mistura entre ouro e prata.

https://timediff.ru/pt/mehanika/arhimed-iz-sirakuz-arhimed---drevnegrecheskii-izobretatel-rodom-iz.html

Garra de Arquimedes

PlanetárioParafuso de Arquimedes

Engrenagem helicoidal

Inventos de Arquimedes

São muitos os inventos de Arquimedes, principalmente usando de alavancas, polias, engrenagens e flutuação.Não é a toa que é considerado o pai da mecânica. Foi ele quem inventou a catapulta, uma garra para levantarnavios que atacassem a cidade, um parafuso que elevasse a água para irrigar plantações, estrutura para mostraras posições dos planetas, computador mecânico para prever eclipses... A inventividade de Arquimedes depoisserá comparável com a de Leonardo da Vinci, entretanto as invenções de Arquimedes funcionavam. Não se tratade esboços ou de coisas que não tiveram aplicação prática em sua época. Leonardo era artista.

A Física de Arquimedes

F1

d1 d2

F2

Nas alavancas duas forças se equilibram às distâncias reciprocamente proporcionais, já uma polia redireciona aforça, mais polias multiplicam a força. O trabalho realizado pelas forças opostas nas alavancas e nas polias ésempre igual em módulo, assim, mesmo que se multiplique a força a energia se conserva. No caso do empuxo, opeso do líquido deslocado pela parte submersa de um corpo gera a força de empuxo com que o líquido empurrao corpo para cima, gerando a flutuação no equilíbrio ou um peso aparente caso submerso.

F

F

FrealFfinal

𝐹𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 =𝐹𝑟𝑒𝑎𝑙2𝑛−1

n = número de roldanas

F1.d1 = F2.d2

𝜌 =𝑚

𝑉

𝐸 = 𝜌𝑙í𝑞 ∙ 𝑉𝑠𝑢𝑏 ∙ 𝑔

𝑃𝑎𝑝 = 𝑃 − 𝐸

PapP

E P

E Massa específica

𝜌𝐶 ∙ 𝑉𝐶 = 𝜌𝐿 ∙ 𝑉𝐿Flutuação do corpo (C) no líquido (L)

Exemplo 1.1. Estudando os pergaminhos da Biblioteca de Alexandria, o grego Eratóstenes viu que a luz do Solchegava ao fundo de um posso na cidade de Siena apenas um dia do ano, ao meio-dia, ao chegar essa dataele mediu o ângulo de um poste como 7,2° na sua cidade, Alexandria. Pelo teorema de Tales ele percebeuque era o ângulo do centro da Terra entre as cidades. Bastaria descobrir a distância entre as cidades paracalcular o raio da Terra, então mandou um escravo percorrer essa distância contando quantas vezes a roda dacarroça girava e tocava um sino, o resultado foi L = 800 km. Marque verdadeiro ( V ) ou falso ( F ).

( V ) Eratóstenes (276-194 a.C.) usou a proporção de 7,2° para L,tal como 360° para 2π.R. Logo seu R = 6.366 km.( V ) Aristóteles (384-322 a.C.) já havia provado que a Terra eraesférica com os barcos “sumindo” no horizonte.( V ) As grandes mentes da Idade Média sabiam que a Terra eraesférica e seu tamanho, mas poucos tinham estudo.( V ) No heliocentrismo a Terra deveria girar com dias de 24horas, logo a velocidade do chão seria 1.667 km/h.

7,2°

360°=

𝐿

2𝜋.𝑅→

7,2°

360°=

800 𝑘𝑚

2𝜋.𝑅→ R = 6.366 𝑘𝑚

v = Δs/Δt = 2πR/Δt = 2π.6366 km/24h = 1666,6 km/h

L

Alexandria

Siena

R

7,2°

R Raios de Sol

7,2°

Exemplo 1.2. Arquimedes disse: “Dê-me uma alavanca e um ponto de apoio e levantarei o mundo”. Suponhaque a figura a seguir esteja em equilíbrio e seja fisicamente possível de forma que em módulo F1.d1 = F2.d2. Oplaneta Terra possui massa de 5,97.1024 kg e a distância de contato do planeta ao ponto de apoio da figura éde 1000 km. Considere que Arquimedes “levante” o mundo sob “gravidade” de 10 m/s2 ao fazer uma força de500 N. Qual a distância da parte da alavanca entre a força aplicada por Arquimedes e o ponto de apoio?

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm23/curiosidades.htm

P = m.g = 5,97.1024 .10 = 5,97.1025 N

F1.d1 = F2.d2 → 5,97.1025.1000.103 = 500.d → d = 1,194.1029 m

Por curiosidade, estima-se que o raio douniverso é de 1025 metros, o que podeapresentar outras impossibilidades.

Exemplo 1.3. Na cidade grega de Siracusa o rei Hiero mandou fazer uma coroa de ouro, mas houve boatos deque o joalheiro havia roubado ouro do rei e a coroa não seria de ouro puro. Se o rei manda matar um inocenteou deixa livre um culpado as pessoas perderão a confiança nele ser capaz e logo aparecerá outro para lhetomar a coroa, ou seja, o poder, a vida e até a joia de pouca importância. O rei mandou o homem mais sábiodo reino resolver o problema, Arquimedes, que quando estava tomando banho na banheira saiu correndo todoeufórico gritando “Eureka! Eureka!”, que significa “Descobri! Descobri!”, porém infelizmente o velho estavagritando pelado pelas ruas da cidade. O joalheiro era culpado. Marque verdadeiro ( V ) ou falso ( F ).

( V ) Um corpo flutuando deslocará a quantidade de fluido de peso igual ao peso docorpo que flutua. Caso o corpo afunde o peso do fluido deslocado “compete com ocorpo” de forma que o corpo terá um peso aparente menor do que o peso real. Se adensidade do corpo e do fluido forem iguais o corpo fica inerte onde ele estiver.

( V ) Arquimedes mergulhou a coroa, um bloco de ouro e um bloco de prata, todos demesmo peso e cada um em um recipiente cheio de água, como ouro e prata possuemdensidades diferentes cada um derramou água em volume diferente. Entretanto acoroa derramou um volume de água menor que a prata e maior que o ouro.

( V ) Sendo a densidade do ouro 19,3 g/cm3, da prata 10,5 g/cm3, do mercúrio 13,6g/cm3 e do chumbo 11,2 g/cm3, pode-se dizer que o ouro afunda no mercúrio e é poristo que se usa mercúrio no garimpo de ouro.

Exemplo 1.4. Uma coroa feita de ouro e prata possui massa m de 2000 g e volume V de 120 cm3, sabe-se quea massa específica ρau do ouro é 19,3 g/cm3 e a massa específica da prata ρag é 10,5 g/cm3. Sabendo que ρ =m/V, analise as afirmações a seguir:

I. A massa específica da mistura de ouro e prata é 16,7 g/cm3, valor intermediário entre ρau e ρag.II. Pode-se dizer que o volume é V = Vau + Vag = mau/ρau + mag/ρag e a massa é m = mau + mag.III. As porcentagens de massa do ouro e da prata são respectivamente 13,9% e 86,1%.

Está correto apenas o que se afirma em a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III.

𝝆 =𝒎

𝑽=2000

120= 16,7 𝑔/𝑐𝑚3

𝑚 = 𝑚𝑎𝑢 +𝑚𝑎𝑔

2000 = 𝑚𝑎𝑢 +𝑚𝑎𝑔

2000 = 𝑚𝑎𝑢 + 377,05

𝑚𝑎𝑢 = 1.622,95 𝑔

𝜌 =𝑚

𝑉→ 𝑉 =

𝑚

𝜌𝑉 = 𝑉𝑎𝑢 + 𝑉𝑎𝑔

120 =𝑚𝑎𝑢

19,3+𝑚𝑎𝑔

10,5

120 ∙ 19,3 ∙ 10,5 = 10,5 ∙ 𝑚𝑎𝑢 + 19,3 ∙ 𝑚𝑎𝑔

24.318 = 10,5 ∙ 2000 −𝑚𝑎𝑔 + 19,3 ∙ 𝑚𝑎𝑔

24.318 = 21.000 + −10,5 + 19,3 ∙ 𝑚𝑎𝑔

𝑚𝑎𝑔 = 377,05 𝑔

Prata = 377,05/2000 = 18,9 %Ouro = 1622,95/2000 = 81,1 %

Exemplo 1.5. Os icebergs são “montanhas de gelo” flutuando na água do mar. A massa específica do gelo é920 kg/m³ e da água do mar é 1030 kg/m³. Sabendo que ρ = m/V, analise as afirmações a seguir:

I. A densidade relativa entre gelo e mar é 920/1030 = 0,893, logo 89,3% do iceberg fica submerso.II. O peso do volume de água deslocada pela parte submersa do iceberg é igual ao peso de todo o iceberg.III. Uma vez todo submerso a força resultante será o peso do corpo mais o peso do fluido deslocado.

Está correto apenas o que se afirma em a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III.

Gollum, O Senhos dos Anéis.

Professor, eu tenho emprego, esposa, filhos, duas amantes e você

ainda quer que eu estude?

Exemplo 1.6. Um bloco A de massa m está apoiado sobre uma alavanca de massa desprezível, do outro lado éaplicada uma força F e as distância entre F e o eixo de rotação é d1 e entre a força peso do bloco A ao eixo derotação é d2, conforme figura. Dados: P = m.g; M = F.d; no equilíbrio F1.d1 = F2.d2.

Analise as afirmativas a seguir:

I. Podemos dizer que a força F para manter o sistema em equilíbrio será F = m.g.d2/d1.II. A força normal N de interação entre o suporte e a alavanca será N = F + m.g.III. Se a massa m do bloco A aumentar, para manter o equilíbrio pode-se aumentar d2.

Está correto apenas o que se afirma ema) I.b) II.c) III.d) I e II.e) II e III.

AF

d1 d2

Exemplo 1.7. Segundo Arquimedes, um corpo em um líquido recebe como empuxo para cima uma força igualao peso do fluido deslocado por este corpo conforme E = ρf·Vsub·g, sendo ρf a massa específica do fluido, Vsub ovolume submerso e g a gravidade. Assim seu peso aparente pode ser Pap = P – E. Lembrando que peso é P =m·g. A densidade de um corpo é d = m/V, sendo m massa e V o volume totais já que o corpo pode ser ocoe/ou formado de materiais diferentes, mas caso este corpo seja homogêneo e maciço pode-se chamar demassa específica ρ = m/V. Analise as afirmações a seguir:

I. Uma pessoa totalmente submersa em uma piscina e parada possui a mesma densidade que a água.II. O valor indicado na balança é sempre maior, pois se trata do peso aparente, existe o empuxo do ar.III. Um balão de gás hélio sobe porque sua densidade é maior do que a densidade do ar.

Está correto apenas o que se afirma ema) I.b) II.c) III.d) I e II.e) II e III.

Com a queda do Império Romano do ocidente em 476 d.C. e do oriente em 1453 d.C. a Europa passou pelaIdade Média, entre a Antiguidade e depois o Renascimento da arte e cultura da Antiguidade. Foi durante a IdadeMédia que as universidades nasceram na Europa, tais como Bolonha, Oxford e Cambridge, e pelo trabalho deSão Tomás de Aquino foi que Aristóteles foi conectada à metafísica cristã. Já a Modernidade é o movimento doTeocentrismo (Deus no centro) para o Antropocentrismo (Homem no centro) na Mentalidade Revolucionária quetem pressa em um “mundo melhor”, ela nasceu com o Iluminismo e continua com o Comunismo. O centro daexistência no homem se opondo à centralidade em Deus é o “humanismo” que RENASCEU.

2. Idade Média e Renascimento

São Tomás de Aquino1225-1274 d.C.

Os “humanistas” chamam a Idade Média de Idade das Trevas para esconder os seus crimes nesse jogo de palavras?

Não, eles são uns santos. Vocês que são ódio e preconceito.

Luci, (Des)encanto.Mal-educado.

Vá para o inferno!

Não seria hoje a Idade das Trevas?

É muito comum os livros científicos chamarem a Idade Média como a “Idade das Trevas”, tratando o cristianismocomo se fosse obscurantismo. Então, o Iluminismo pariu a Revolução Francesa, tão glorificada nas universidades,que na fase do Terror, em 4 anos, matou entre 16 mil e 40 mil pessoas, MUITO MAIS que a Inquisição espanholamatou em 4 séculos! Os heróis do comunismo, Fidel Castro e Che Guevara, fuzilaram mais do que todo o SantoOfício. Os comunistas mataram mais do próprio povo do que as duas Guerras Mundiais e assim mais do queTODAS as guerras religiosas da história! Perder o senso de proporções como quem vê um cisco no olho do outroe não a trave no próprio não é próprio de uma seita obscurantista? Cientificismo, iluminismo e comunismo nãoseriam, na prática, a religião dessas pessoas? Einstein, discretamente, dançou conforme a música.

Alb

ert

Ein

stei

n

Sou um descrente profundamente religioso. Isso é, de certa forma, um novo tipo de religião.

Albert Einstein falava de Deus no sentido poético se referindo àsleis da Física, ele não acreditava em um ser pessoal, mas tambémnão era neurótico de odiar um ser que acreditava não existir.

Galileu e a Santa Inquisição

Na época os protestantes usavam a ciência para atacar a Igreja, Galileu era amigo do Papa Urbano VIII que lheafirmou não haver problemas em um livro discutindo hipóteses matemáticas entre os sistemas heliocêntrico egeocêntrico. Galileu escreveu em italiano (língua do povão) um diálogo onde as palavras do papa, seu entãoamigo, estavam na boca do personagem Simplício que era ridicularizado o livro todo. Ele foi denunciado para ainquisição pelos seus colegas professores. O papa, seu ex-amigo, não o defendeu. Ele foi julgado durantes anos ecom amplo direito de defesa, sua condenação foi em 1632, não por questões científicas, mas sim ao sugerir quea interpretação do movimento do Sol no livro de Josué não fosse literal. Foi absolvido 400 anos depois pelo PapaJoão Paulo II dizendo que interpretou a Bíblia melhor que os inquisitores. Galileu nunca renunciou a fé católica.

Como ousa nos sugerir como interpretar a Bíblia?!

Quem ri por último ri melhor. Bando de maricas!

Em Fátima, Portugal, 13/10/1917, viramo Sol fazendo movimentos estranhos, oualgo semelhante ao Sol, estava nublado efoi testemunhado por 70.000 pessoas.Seria o mesmo do livro de Josué? Seráque ambos erraram na interpretação?

Marte, o deus da guerra, provocando guerra!

No século II da Era Cristã o astrônomo grego Ptolomeu apresentou a primeira explicação das laçadas de Marteno céu, nela as órbitas circulares dos planetas em torno da Terra foram transformadas em esferas de cristais (osepiciclos) e estes orbitavam em torno da Terra. Isto é um absurdo, mas foi a primeira explicação com excelenteprecisão matemática para a época. A treta começa com polonês e padre católico (cônego), Nicolau Copérnico(1473-1543), voltando a defender o heliocentrismo (existente desde a Grécia Antiga) ainda usando os epiciclosde Ptolomeu e com estrutura matemática muito mais simples do que qualquer explicação anterior. Devido aoprotestantismo iniciado em 31/10/1517, questões científicas eram usadas no confronto religioso, logo sua obra“Das revoluções das esferas celestes” foi publicada em 24/05/1543, no dia de sua morte.

https://brasilescola.uol.com.br/fisica/movimento-retrogrado-um-planeta.htmMikołaj Kopernik

Terra e Marte segundo Ptolomeu Movimento de Marte

Que a treta comece. Fui!

Antes se acreditava que a Terra era o centro do universo e muito já havia sido discutido sobre isso. Se a Terra nãofosse o centro e sim o Sol tudo deveria cair para o Sol e não para o chão, ao girar em torno do Sol em cada épocado ano se estaria mais perto de uma porção das estrelas do que das outras. Além do ridículo do chão se movermais de 1.500 km/h para a Terra dar uma volta em um dia. Galileu mostrou 4 luas em torno de Júpiter e queVênus girava em torno do Sol devido a sombra, além de corrigir a inércia de Aristóteles. O sistema de Ptolomeuhavia desabado, mas ainda assim muitos astrônomos insistiam que tudo podia orbitar em torno do Sol e o Solem torno da Terra, assim se salvava o geocentrismo. Somente o experimento do Pêndulo de Foucault em 1851deu a prova cabal de que a Terra orbitava em torno do Sol, mas a treta já estava resolvida.

Galileu e o heliocentrismo

Galileu Galilei

Stupidi!Geocentrismo Heliocentrismo

Galileu e a altura de montanhas na Lua

Usando o telescópio Galileu viu que a superfície da Lua não era lisa, então desenvolveu um método para medir,aproximadamente, a altura de montanhas na Lua usando esse telescópio e medindo o tempo. Com a rotação daLua de período “T”, ele observava a montanha passando pelo pôr do Sol e media o tempo “t” até o último raiode sol atingir o topo da montanha de altura “h”. O raio “R” da Lua já era conhecido e a distância “L” medida foiaproximada para “d” para se usar o triângulo de Pitágoras (a2 = b2 + c2). A limitação desse método é que eleaproxima “L” para “d”, entretanto não havia como Galileu fazer mais do que isso e antes dele ninguém nem sequer imaginou tal façanha, assim exigir mais seria um perfeccionismo infantil.

a

b

c

t

h

R

R

dRaio da Luz

L

2𝜋. 𝑅

𝐿=𝑇

𝑡

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

(𝑅 + ℎ)2= 𝑅2 + 𝐿2

Lua

A criação do método científico

O método científico possui a contribuição de muitos autores, mas o eixo central da ideia pertence ao físicoGalileu Galilei (1564-1642). Ele usou da sequência: observação, reprodução em laboratório, formulação de umateoria e a comprovação experimental dessa teoria. Como exemplo, diziam que se a Terra tivesse rotação em 24horas em torno de seu eixo, para haver dia e noite no heliocentrismo, um vazo ao cair de uma torre não cairiarente à torre, mas longe dela. Galileu reproduziu o fenômeno do alto do mastro de um navio em movimento aosoltar uma esfera e ela caiu rente ao mastro, contrariando o pensamento anterior. Depois, em laboratório, elereproduziu a queda dos corpos, mediu os dados, montou fórmulas, testou com novos valores que confirmavamas fórmulas obtidas. O método exige ser capaz de prever e acertar para ser acreditável.

1. Observação do fenômeno

2. Reprodução em laboratório

3. Elaboração da teoria

4. Teste experimental

Galileu Galilei

A matemática do movimento

Quando um objeto cai a sua velocidade aumenta, então para diluir esse efeito Galileu usou um plano inclinado emediu distâncias percorridas no mesmo intervalo de tempo medido com um relógio d’água. Ele obteve asproporções 1 : 3 : 5 : 7 e assim por diante. Paralelamente Leonardo da Vinci chegou em algo parecido e tentouencontrar uma fórmula baseada nos números primos. Por outro lado Galileu buscou solução entre os quadrados,então chegou nas razões 1 : 3 : 5 : 7. Ele elevou o tempo ao quadrado e subtraiu a distância anterior. Levando emconsideração o movimento relativo compreendido por Galileu nos experimentos de soltar esferas dos mastrosdos navios em movimento teremos as fórmulas na forma atual com que nós a conhecemos hoje.

12 = 122 = 432 = 942 = 16

1 – 0 = 14 – 1 = 39 – 4 = 516 – 9 = 7

𝑑 =1

2∙ 𝑎 ∙ 𝑡2

𝑣 = 𝑎 ∙ 𝑡

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 ∙ 𝑡 +1

2∙ 𝑎 ∙ 𝑡2

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 ∙ 𝑡

Leonardo da Vinci passou parto das equações, entretanto todo o trabalho sobre o movimento foi desenvolvido apenas por Galileu.

A fórmula de Torricelli

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 ⋅ 𝑡 +1

2𝑎 ⋅ 𝑡2 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 ⋅ 𝑡

𝑣2 = 𝑣02 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ Δ𝑠

Um aluno de Galileu Galilei (1564-1642), chamado Evangelista Torricelli (1608-1647), criou uma fórmula que éum excelente atalho. Quando pegamos a fórmula s = s0 + v0.t + ½.a.t2 e substituímos o tempo da fórmula v =v0 + a.t teremos a fórmula de Torriceli, v2 = v0

2 + 2.a.Δs . Daí nasce a piada sem graça: “Por que o Torricellisempre chega atrasado? Porque ele nunca tem tempo”. A piada é sem graça, mas a fórmula é muito boa.

𝑡 =𝑣

𝑎−𝑣0𝑎

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 ⋅𝑣

𝑎−𝑣0𝑎

+𝑎

2⋅𝑣

𝑎−𝑣0𝑎

2

𝑠 − 𝑠0 = 𝑣0 ⋅𝑣

𝑎−𝑣0𝑎

+𝑎

2⋅𝑣2

𝑎2− 2

𝑣 ∙ 𝑣0𝑎2

+𝑣02

𝑎2

∆𝑠 =𝑣 ∙ 𝑣0𝑎

−𝑣02

𝑎+

𝑣2

2 ∙ 𝑎−𝑣 ∙ 𝑣0𝑎

+𝑣02

2 ∙ 𝑎

2 ∙ 𝑎 ∙ ∆𝑠 = −2 ∙ 𝑣02 + 𝑣2 + 𝑣0

2

2 ∙ 𝑎 ∙ ∆𝑠 = −𝑣02 + 𝑣2

Johannes Kepler

Johannes Kepler foi astrônomo e astrólogo alemão, usava da astrologia para ganhar dinheiro e sustentar seutrabalho em astronomia, até trabalhar para Ticho Brahe, o maior astrônomo da época e que tinha uma ilha naDinamarca para estudar astronomia com patrocínio real. Brahe pesquisou as laçadas de Marte e depois quemorreu isto se perderia, então Kepler surrupiou os papeis com estes dados, trabalhou muitos anos e construiu assuas três leis. Galileu e Kepler chegaram a trocar algumas cartas, mas nada mais do que isso. Foi sobre Galileu eKepler a quem Newton se referiu a dizer: “Se eu vi mais longe, foi por estar sobre ombros de gigantes”. Foi com omodelo de Kepler e a física de Galileu que o modelo heliocêntrico se estabeleceu.

Johannes Kepler Isaac Newton

E aqueles papeis de Marte, conta aí.

Deixa quieto...

E a sua previsão do fim do mundo?

Calculei para 2060, se o resultado fosse 2020 o

pânico teria sido maior!

Pior, nunca achei a pedra filosofal e o Harry Potter achou no primeiro filme.

Os vapores de mercúrio estão me fazendo mal...

𝑇2

𝑅3= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑇𝐴2

𝑅𝐴3 =

𝑇𝐵2

𝑅𝐵3

Leis de Kepler

1ª lei: As órbitas dos planetas são elípticas e tendo o Sol sobre um dos focos da elipse.

2ª lei: As áreas percorridas por um planeta em mesmo tempo possuem valores iguais.

3ª lei: O período orbital ao quadrado dividido pelo raio orbital ao cubo é uma constante para todos os planetas de um sistema solar.

Sol

Terra

Sol

1ª lei de Kepler 2ª lei de Kepler

3ª lei de Kepler

Corpo Massa (kg) Raio (m) Raio orbital (m) Período orbital

Sol 1,99.10 30 6,96.10 8 ----------- -----------

Mercúrio 3,30.10 23 2,44.10 6 5,79.10 10 88,0 dias

Vênus 4,87.10 24 6,05.10 6 1,08.10 11 224,7 dias

Terra 5,97.10 24 6,38.10 6 1,50.10 11 365,3 dias

Lua 7,35.10 22 1,74.10 6 3,84.10 8 27,3 dias

Marte 6,42.10 23 3,40.10 6 2,28.10 11 687,0 dias

Júpiter 1,90.10 27 6,91.10 7 7,78.10 11 11,86 anos

Saturno 5,69.10 26 6,03.10 7 1,43.10 12 29,42 anos

Urano 8,66.10 25 2,56.10 7 2,88.10 12 83,75 anos

Netuno 1,03.10 26 2,48.10 7 4,50.10 12 163,7 anos

Plutão 1,50.10 22 1,15.10 6 5,92.10 12 248,0 anos

Tabela orbital dos corpos celestes

Johannes Kepler

Deixa quieto...

Exemplo 2.1. Galileu desenvolveu um método para medir, aproximadamente, a altura de montanhas na Luausando um telescópio que ele mesmo produziu. Com a rotação da Lua de período “T”, ele observava amontanha passando pelo pôr do Sol e media o tempo “t” até o último raio de sol atingir o topo da montanhade altura “h”. O raio “R” da Lua já era conhecido e a distância “L” medida foi aproximada para “d” para se usaro triângulo de Pitágoras (a2 = b2 + c2), conforme figura. Marque (V) para verdadeiro e (F) para falso.

( V ) Na rotação da Lua “t” é proporcional para “L”, tal como “T” é para “2.π.R”. Logo Galileu descobriu “L”.( V ) Usando o teorema de Pitágoras, Galileu encontrou (R + h)2 = R2 + d2 e sendo d ≈ L, logo descobriu “h”.( F ) Galileu reforçou o modelo de Ptolomeu ao provar luas em Júpiter e que Vênus orbita em torno do Sol.( V ) Galileu foi o primeiro a usar o telescópio na Astronomia, dando um grande passo nessa ciência.

h

R

R

dRaio da Luz

L

Exemplo 2.2. O sistema heliocêntrico não era acreditado na Idade Média porque se pensava que: se a Terra semovesse em torno do Sol ela deveria rotacionar em 24 horas e com o chão se movendo a mais de 1500 km/hestaríamos sempre em um super furacão; ao longo da sua órbita em torno do Sol cada época do ano estariamais próxima de algumas estrelas e isto nunca foi observado; e a Terra sendo o centro do universo era a únicaexplicação sensata do porquê terra, água, ar, fogo e éter ocupam seus lugares naturais, tal como uma pedracair no ar e uma bolha subir na água. Para o sistema heliocêntrico vencer o geocêntrico foi preciso corrigir aFísica existente até então. Marque (V) para verdadeiro e (F) para falso.

( V ) Quando a Terra orbita em tono do Sol vemos as estrelas sempre à mesmadistância porque esta distância é muito maior do que se imaginava e impossívelde se notar a diferença a olho nu.

( V ) Na rotação da Terra tudo gira junto por inércia e como demonstração pode-se soltar uma bola do alto do mastro de um navio em movimento e ver que abola acompanha o navio por inércia.

( V ) Com um telescópio pode-se demonstrar luas orbitando em torno de Júpitere que Vênus orbita em torno do Sol e não da Terra mostrando que os corpos nãose movem em relação a um “centro do universo”.

Exemplo 2.3. Johannes Kepler desenvolveu três leis para as órbitas dos planetas: na primeira o Sol ocupa umdos focos das elipses que são as órbitas dos planetas; na segunda, estes planetas percorrem áreas iguais emtempos iguais, variando a velocidade, mas mantendo o momento angular; na terceira, T2/R3 é uma constantepara cada planeta no mesmo sistema solar, onde T é o período de translação e R o raio orbital. Marque (V)para verdadeiro e (F) para falso.( V ) Estando Marte, aproximadamente, a uma distância do Sol 50% maior do que a Terra do Sol, então operíodo orbital de Marte será de 1,84 anos terrestres, segundo esta aproximação.( V ) Sabendo que o planeta Júpiter está a uma distância do Sol 5,2 vezes a distância da Terra ao Sol pode-sedizer que seu período orbital é de 11,85 anos terrestres.( V ) Sabendo que o planeta Vênus está a uma distância do Sol aproximadamente dois terços da Terra ao Sol,logo o seu período orbital será de aproximadamente 0,54 anos terrestres.( F ) Um planeta diminui a sua velocidade quando se aproxima do Sol, ou seja, estando perto do Sol (periélio,Hélio/Sol), e aumenta sua velocidade quando afastado do Sol (afélio).

𝑻𝑻𝟐

𝑹𝑻𝟑 =

𝑻𝑽𝟐

𝑹𝑽𝟑

𝑻𝑻𝟐

𝑹𝑻𝟑=𝑻𝑴𝟐

𝑹𝑴𝟑

𝑻𝑻𝟐

𝑹𝑻𝟑 =

𝑻𝑱𝟐

𝑹𝑱𝟑

12

𝑅𝑇3 =

𝑇𝑉2

(⅔ ∙ 𝑅𝑇)3

𝑇𝑉 = 0,54 𝑎𝑛𝑜𝑠

12

𝑅𝑇3 =

𝑇𝑀2

(1,5 ∙ 𝑅𝑇)3

𝑇𝑀 = 1,84 𝑎𝑛𝑜𝑠

12

𝑅𝑇3 =

𝑇𝐽2

(5,2 ∙ 𝑅𝑇)3

𝑇𝐽 = 11,85 𝑎𝑛𝑜𝑠

TT = 1 anoRV = (⅔).RT

RM = 1,5.RT

RJ = 5,2.RT

T2/R3 = const.TA

2/RA3 = TB

2/RB3

Exemplo 2.4. As três leis de Kepler dizem respeito as órbitas dos planetas no sistema solar. Analise asafirmativas a seguir:

I. Sabendo que T2/R3 é uma constante, logo quanto maior o raio orbital maior será o período orbital.II. A velocidade de translação do planeta é constante em toda a sua órbita elíptica em torno do Sol.III. Segundo a primeira lei de Kepler os planetas descrevem órbitas elípticas com o Sol no centro da elipse.

Está correto apenas o que se afirma ema) I.b) II.c) III.d) I e II.e) II e III.

Exemplo 2.5. Galileu foi o primeiro a descrever corretamente o movimento de queda dos corpos. Em umalenda, ele deixou cair da Torre de Pisa duas esferas de mesmo tamanho e mesmo formato, uma de ferro e aoutra de madeira, assim o atrito com o ar não faria diferença entre elas, apenas a massa. Pessoas teriam vistoimpressionadas que estes corpos, um mais pesado e o outro mais leve teriam chegado ao solo no mesmoinstante. Analise as afirmações a seguir:

I. As velocidades dos dois corpos foram constantes e iguais em todo o trajeto.II. A aceleração gravitacional é independente da massa do corpo.III. Faz parte do método científico a comprovação experimental da teoria.

Está correto apenas o que se afirma ema) I.b) II.c) III.d) I e II.e) II e III.

Exemplo 2.6. Na terceira lei de Kepler, para um planeta o período orbital T ao quadrado dividido pelo raioorbital R ao cubo é igual a uma constante, segundo T2/R3 = k. Posteriormente se descobriu esta constante k =4π2/[G·(m1 + m2)], em que G = 6,67.10-11 N.m2/kg2 é a constante gravitacional de Newton, m1 e m2 são asmassas do planeta orbitando e da estrela orbitada. No nosso sistema solar 99,7% da massa do sistema está noSol. Analise as afirmações a seguir:

I. Nenhum valor de k é uma constante perfeita, mas no nosso sistema solar a aproximação é válida.II. Kepler descobriu essa relação numérica sem ter noção que a força de atração é F = G.m1.m2/d2.III. Para Júpiter e suas luas, Saturno e suas luas, o Sol e seus planetas teremos sempre o mesmo k.

Está correto apenas o que se afirma ema) I.b) II.c) III.d) I e II.e) II e III.

O inglês Isaac Newton (1643-1727) se formou em Matemática na Universidade de Cambridge. No ano de 1666 auniversidade foi fechada devido à quarentena gerada pela Peste Negra, causada por uma bactéria que veio daChina. A Peste teve auge em 1348-1350, com surtos até 1671 e depois voltou em 1855-1859 na China, Austrália1900-1925, EUA 1900-1908 e Madagascar em 1995, 2014 e 2017. Foi num desses surtos que Newton inventou alei da gravitação universal. Na lenda, Newton estava embaixo de uma macieira, e ao cair uma maça sobre suacabeça ele olhou para cima, viu a Lua e se perguntou o porquê a maçã cai e a Lua não cai. De fato Newton foi umgênio, mas como era iluminista foi ainda mais defendido.

Isaac Newton

3. Isaac Newton

Leis de Newton

1ª lei: Todo corpo continua em repouso ou se movendo em linha reta até alguma força alterar este estado inicial.

2ª lei: A alteração da quantidade de movimento é proporcional a força recebida e na direção e sentido desta.

3ª lei: Toda ação gera um reação em outro corpo de igual intensidade, mesma direção e em sentido contrário.

A segunda lei de Newton

As leis da mecânica, ou melhor, as leis de Newton descrevem o movimento dos corpos. Entretanto para que suasegunda lei fosse possível Isaac Newton precisou desenvolver o Cálculo Diferencial e Integral, a maior invençãomatemática do 2º milênio. Na 2ª lei, a força é a variação da quantidade de movimento (massa vezes velocidade)ao longo do tempo segundo a operação matemática chamada de “derivada”. Segundo uma regra de derivação, aderivada de um produto é o primeiro vezes a derivada do segundo mais a derivada do primeiro vezes o segundo.Na fórmula a seguir você verá a derivada da quantidade de movimento (m.v) seguindo a regra da derivada doproduto, da qual nascem duas fórmulas: a famosa F = m.a e sua versão para fluidos F = Qm.v.

𝐹 =𝑑(𝑚 ∙ 𝑣)

𝑑𝑡= 𝑚 ∙

𝑑𝑣

𝑑𝑡+𝑑𝑚

𝑑𝑡∙ 𝑣

𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎

𝐹 = 𝑄𝑚 ∙ 𝑣

Para massa constante:

Para velocidade constante:

F = força (N, newtons)m = massa (kg, quilograma)v = velocidade (m/s)a = aceleração (m/s2)Qm = vazão em massa (kg/s)

Não entre em pânico! Isso é só curiosidade sádica do professor... Não vai cair na prova.

E assim nasceu a lei da atração...

Newton comparou a queda de uma pedra na superfície da Terra com o movimento da Lua, sabendo da distânciada Terra à Lua de 384.000 km obteve a aceleração de 0,0027 m/s2 para a queda da Lua enquanto uma pedra nasuperfície da Terra estava sujeita à aceleração de 9,81 m/s2. E a razão entre os números 0,0027 e 9,81 é 3.640,justamente o quadrado do número da razão entre o raio da órbita da Lua e o raio da Terra. Assim nasceu a ideiade que a gravidade diminui na razão inversa do quadrado da distância ao centro da Terra, não exatamente deuma maçã, foi na pedrada mesmo. Menos Adão e Eva e mais Davi e Golias.

Terra

v

v d

F Fm1m2

𝐹 = 𝐺 ∙𝑚1 ⋅ 𝑚2

𝑑2

Experimento de Cavendish

Isaac Newton percebeu que massa atrai massa segundo o produto dessas massas e o inverso do quadrado dadistância, mas isto precisava de uma constante gravitacional G que não foi calculada por Newton e sim por HenryCavendish em 1798, depois da morte de Newton, cujo valor atual é de G = 6,67.10-11 N.m2/kg2. Uma balança detorção é capaz de medir a força de atração gravitacional entre duas esferas metálicas e com esse experimento foipossível saber a massa da Terra, logo se diz que Cavendish pesou a Terra em um experimento lendário.

F = força (N, newtons)m = massa (kg, quilograma)d = distância (m, metros)

d

F Fm1m2

M M

m

m

Espelho

Fio de torção bem conhecida

Fonte de luzEscala

𝐹 = 𝐺 ∙𝑚1 ⋅ 𝑚2

𝑑2

Corrigindo a inércia

A inércia de Aristóteles dizia que o lugar natural de um corpo era ficar parado, logo ele só se moveria se algumaforça externa o fizesse e depois por meio do atrito ele iria parar, como a natureza abominava o vácuo semprehaveria algum atrito. Galileu defendia a existência do vácuo, assim o corpo poderia se mover eternamente, masele imaginava que em circunferências, para assim explicar a órbita da Lua e dos Planetas. Tal como que as marésseriam resultado da rotação da Terra. Newton explicou que a Lua se move em linha reta por inércia e a força deatração entre Lua e Terra faz com que orbitem em um centro de gravidade em comum (e se afastam 3 cm porano). Enquanto isso as marés são o resultado de atração entre Sol, Terra e Lua nas distâncias diferentes doplaneta Terra gerando forças diferentes.

Terra

v

F

F

LuaLuaTerraSol

Lua TerraSol

Newton e o eixo de rotação da Terra

v

F1

Polares

Sol

26.000 anos

F2

v

Rotação

Precessão

Sendo a atração gravitacional mais forte quanto mais perto, logo a força F1 do lado mais perto do Sol será maiordo que a força F2 do lado mais longe do Sol. A ação combinada entre essas duas forças gera uma ação “corretiva”na órbita de um planeta gerando uma tendência de rotação perpendicular ao plano de sua órbita. No caso daTerra a inclinação do eixo é de 23,5° apontando para a Polares e uma precessão desse eixo de 26.000 anos.

A prova de fogo na ciência

Com o avanço na tecnologia dos telescópios foi constatado que a órbita dos planetas não batia com as equaçõesde Newton. Logo tais equações eram falsas ou existia outro corpo que equilibrava, calcularam onde este corpodeveria estar e descobriram Urano em 13/03/1781. Tudo se repetiu e assim foi descoberto Netuno em23/09/1846, e novamente, foi descoberto Plutão em 18/02/1930.

O formato das galáxias girando não bate com as equações de Newton, logo seria preciso que a massa dasgaláxias fosse 10 vezes maior, então se acredita existir uma matéria que não se enxerga, a famosa “matériaescura”. Entretanto ninguém viu ainda... Qual será o destino dessa questão? Será bem sucedida como osplanetas Urano, Netuno e Plutão ou será como os epiciclos de Ptolomeu? Por séculos as mais brilhantes mentesacreditaram na existência de esferas de cristais. Estamos fazendo o mesmo agora ou não?

Urano Netuno Plutão

70%

26%4%

Energia escura

Matéria escura

Matéria normal

Exemplo 3.1. "Saruman acredita que só um grande poder consegue manter o mal sob controle. Mas não foiisso que descobri. Eu descobri que são as pequenas coisas, as ações diárias de pessoas comuns que mantém omal afastado. Simples atos de bondade e amor" (Gandalf - O Hobbit: Uma Jornada Inesperada).

Com base em Física, sobre forças, qual frase estaria proporcional à fala de Gandalf?a) A força peso sempre puxa para baixo, em sentido ao centro da Terra.b) A força centrípeta é a que faz a curva acontecer, por isso é a resultante.c) A força resultante é a somatória de todas as forças aplicadas ao corpo.d) Toda ação gera uma reação de mesma intensidade em corpos diferentes.e) O módulo da soma vetorial é sempre menor ou igual à soma escalar das forças.

Exemplo 3.2. Um cavaleiro e seu cavalo estão percorrendo o pasto a 10m/s, quando o cavalo avista umacobra cascavel a 1 metro de distância e pára imediatamente. Não há um cinto de segurança na sela do cavalo.Analise as afirmações:

I. O cavaleiro tende a se mover em linha reta para frente na horizontal.II. A aceleração da atração gravitacional ocorre na vertical para cima.III. Sua trajetória será um arco de parábola, caindo sobre a cascavel.

Está correto apenas o que se afirma ema) I.b) II.c) III.d) I e II.e) I e III.

Exemplo 3.3. Uma carroça movida à tração animal, é puxada por um burro. O burro não conhece as Leis deNewton, mas ao fazer força, puxa a carroça assim mesmo. Sendo a 3ª Lei de Newton verdadeira, como oburro consegue puxar a carroça?a) Unicamente por causa das rodas.b) Porque puxa a carroça com uma força maior que a reação.c) Porque ele é burro e não respeita as Leis de Newton.d) Porque ele aplica a força no chão e este reage à força.e) Porque ele aplica a força unicamente na carroça.

Exemplo 3.4. Quando Isaac Newton estava embaixo de uma macieira e caiu sobre sua cabeça uma maçã, eleolhou para cima, e vendo a Lua, se perguntou o porquê a maçã cai e a Lua não cai. Isto se deu no ano de1666 quando Newton era aluno universitário e a universidade de Cambridge fechou devido à Peste Negra.Pesquisadores acreditam ser uma lenda, pois o “parlamentar John Conduitt, casado com a sobrinha deNewton, escreveu um memorial ao cientista no ano de seu falecimento, em 1726, e incluiu esse detalhe paradeixar a história mais bonitinha”. Qual a força de atração entre a Terra e a Lua? A massa da Terra é de5,97.1024 kg e a da Lua é de 7,35.1022 kg, a distância média é 384.400 km, a constante gravitacional é 6,67.10-

11 N.m2/kg2. A força de atração é definida com F = G.m1.m2/d2.

https://www.tecmundo.com.br/ciencia/124152-arvore-derrubou-maca-cabeca-isaac-newton-ainda-pe.htm

Organizando dados:

m1 = 5,97.1024 kg m2 = 7,35.1022 kgd = 384.400 km = 3,844.108 mG = 6,67.10-11 N.m2/kg2

d

F Fm1m2

𝐹 = 1,98. 1020 𝑁𝑭 = 𝑮 ∙𝒎𝟏 ⋅ 𝒎𝟐

𝒅𝟐=6,67. 10−11 ∙ 5,97. 1024 ∙ 7,35. 1022

3,844. 108 2

Exemplo 3.5. O experimento de Henry Cavendish é composto de uma balança de torção capaz de medir a forçade atração gravitacional entre duas esferas metálicas de massa m e M, conforme figura. Este experimento foirealizado em 1798, bem depois da morte de Newton, e através dele foi descoberto o valor da constantegravitacional G da fórmula F = G.m1.m2/d2. Considere um corpo com força peso P = m.g na superfície da Terracomo atração entre a sua massa m e a massa da Terra M, com o valor da constante gravitacional G recémdescoberta. O valor da gravidade g é conhecida desde Galileu e o raio R da Terra desde Eratóstenes. Determine,tal como Cavendish, o valor da massa M da Terra em função destas grandezas.

M M

m

m

Espelho

Fio de torção bem conhecida

Fonte de luzEscala

𝑭 = 𝑷

𝐺 ∙𝑚 ⋅ 𝑀

𝑅2= 𝑚 ∙ 𝑔

𝑀 =𝑔 ⋅ 𝑅2

𝐺

Exemplo 3.6. Uma garota linda e magrinha possui massa m e se sente atraída por um homem grande e fortede massa 2.m, nisso chega a mãe da garota que tem massa 3.m. A distância entre a garota e o homem é d,entre a mãe e a filha é 2.d e entre a mãe e o homem é 3.d. Sabe-se que a força de atração gravitacional entreeles é F = G.m1.m2/d2. Analise as afirmativas a seguir:

I. A atração gravitacional entre a garota e a mãe é maior do que entre o homem e a mãe da garota.II. A atração gravitacional entre a garota e o homem é maior do que qualquer uma dessas combinações.III. A atração gravitacional entre o homem e a garota é mais que o dobro entre a garota e a sua mãe.

Estão corretas apenas as afirmaçõesa) I e II.b) I e III.c) II e III.d) I, II e III.e) Nenhuma.

Entre a garota e o homem: F1 = G.m.(2.m)/d2 = (2).G.m2/d2 = 2.F

Entre a garota e a sua mãe: F2 = G.m.(3.m)/(2.d)2 = (3/4).G.m2/d2 = 0,75.F

Entre a mãe e o homem: F3 = G.(3.m).(2.m)/(3.d)2 = (2/3).G.m2/d2 = 0,67.F

4. Termologia

A sensação de “quente” ou “frio” foi a primeira experiência humana com a temperatura, entretanto varia muitode pessoa para pessoa e além disso, como dizia Aristóteles, “os sentidos podem ser enganados”. O frio não éuma coisa, o frio é ausência do calor, tal como as trevas é ausência da luz e, como disse Santo Agostinho, “o malé ausência do bem”. Hoje entendemos o calor como a energia térmica em trânsito e a energia térmica como aresponsável pela vibração dos átomos, logo quanto maior a energia térmica de um átomo maior a sua vibração equanto menor a energia térmica menor será a sua vibração. Não podendo vibrar menos do que parado, a menortemperatura possível de existir é o zero absoluto, ou zero kelvin, que vale -273° C.

Dilatação

Maior temperaturaMaior vibração

Menor temperaturaMenor vibração

Contração

A expansão dos gases

Galileu inventou em 1592 o termoscópio, um frasco de vidro com um estreitamento virado para baixo, tendo arem cima e água em baixo. Com o aumento da temperatura o ar se expande e empurra a água para baixo, comonão havia uma escala para medir a temperatura, não é um termômetro e sim um termoscópio porque permiteapenas ver a variação de temperatura. Este foi a base para a criação do termômetro a gás. Robert Boyle disse: “Ovolume de uma quantidade qualquer de gás a uma determinada temperatura é inversamente proporcional apressão que ele está sujeito”. Um gás sofre alteração de pressão p, volume V e temperatura T conforme equaçãode Claypeyron, sendo n o número de mols e R a constante universal dos gases perfeitos.

Ar Ar

Temperatura maior

Temperatura menor

𝑝 ∙ 𝑉 = 𝑛 ∙ 𝑅 ∙ 𝑇

𝑛 ∙ 𝑅 =𝑝 ∙ 𝑉

𝑇

𝑝𝑓 ∙ 𝑉𝑓

𝑇𝑓=𝑝𝑖 ∙ 𝑉𝑖𝑇𝑖

Equação de Claypeyron

p (Pa)

t (°C)-273

Termômetro a gás

GásHg

Experimento de KelvinTermoscópio

Ar

Água

Nível

Experiência de Kelvin

Quanto maior for a temperatura de um gás maior será a vibração dos seus átomos, logo maior será a força nasuperfície do recipiente que contém o gás, portanto maior será a pressão. Lord Kelvin (Willian Thomson), em1848, fez o gráfico da pressão pela temperatura e ao projetar para pressão zero ele encontrou a temperatura deausência de vibração, logo a menor temperatura possível de existir. E assim nasceu a escala kelvin que mede atéo zero absoluto, cuja conversão para a escala Celsius se dá por tC = tK – 273.

A relação entre calor e trabalho mecânico

Na cidade de Alexandria, no Egito, foi criada por Heron a primeira máquina térmica que se tem registro histórico.Ela consiste de uma base para ferver água e dois canos que levam o vapor para um bule de dois bicos, um viradopara cada lado de forma que o vapor expelido faça esse bule girar. O inglês James Prescott Joule, em 1843,construiu um recipiente com bom isolamento térmico contendo água e pás que giravam quanto descia um pesosuspenso por fio e polia. Isto mostrou a conversão entre energia mecânica e energia térmica.

1 cal = 4,1868 joules

𝐸𝑝 = 𝑄

𝑚𝑏𝑙𝑜𝑐𝑜 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = 𝑚á𝑔𝑢𝑎 ∙ 𝑐 ∙ ∆𝑡

∆𝑡 =𝑚𝑏𝑙𝑜𝑐𝑜 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

𝑚á𝑔𝑢𝑎 ∙ 𝑐

Trabalho tirado do calor

Considere a correnteza de um rio fluindo do mais alto para o mais baixo, então uma roda d’água aproveita essemovimento para girar um moinho. Nessa analogia a parte mais alta do rio é a fonte quente QQ, a mais baixa afonte fria QF e o trabalho τ aproveitado pelo moinho, mas para funcionar melhor a analogia devemos imaginar aroda d’água levando água (energia térmica) para cima e para dentro do moinho com a própria energia da água.Ou seja, ele nunca vai conseguir levar toda a água usando a própria água que está descendo de um lugar maisalto (fonte quente) para um mais baixo (fonte fria). Isto é a 2ª lei da termodinâmica. Tal como a água não sobe orio e sim o contrário, o calor não flui naturalmente de um lugar mais frio para um mais quente.

𝜏 = 𝑄𝑄 − 𝑄𝐹

Ciclo de Carnot

𝜂 =𝜏

𝑄𝑄

𝜂 =𝑄𝑄 − 𝑄𝐹

𝑄𝑄

𝜂 = 1 −𝑄𝐹𝑄𝑄

𝜂 = 1 −𝑇𝐹𝑇𝑄

𝜀 =𝑄𝐹𝜏Fonte quente

Fonte fria

Motor Refrigerad. ττ

Máximo rendimento teórico.

A entropia e o fluxo do calor

A vibração dos átomos vai se esparramando, assim o calor Q flui naturalmente do corpo mais quente (TA) para omais frio (TB), e definimos entropia S como quantidade de calor ganhada ou perdida por um corpo dividida pelasua temperatura, assim ΔS = Q/T, sendo T a temperatura sempre em kelvin. Assim como o calor flui do maisquente para o mais frio, a entropia de um sistema isolado só pode aumentar ou permanecer constante. Como éa matemática disso? A seguir vemos esse processo mostrando o “valor positivo” de ΔS.

A B

QTA TB

TA > TB

∆𝑆𝐴=−𝑄

𝑇𝐴∆𝑆𝐵=

+𝑄

𝑇𝐵

O corpo A perdeu Q. O corpo B ganhou Q.

∆𝑆𝐴 + ∆𝑆𝐵= −𝑄

𝑇𝐴+𝑄

𝑇𝐵= 𝑄 ∙

1

𝑇𝐵−

1

𝑇𝐴

1

𝑇𝐴<

1

𝑇𝐵 Valor positivo

O famoso demônio de Maxwell

A vibração dos átomos por causa da energia térmica, quando na forma gasosa, assim soltos, significa velocidadedesses átomos, ou, talvez, grupos de átomos que são as moléculas. Nesse contexto Maxwell imaginou um enteinteligente capaz de escolher as moléculas de gás mais velozes das menos velozes em uma passagem entre asregiões A e B, conforme figura a seguir. Entretanto, uma pequena entidade, em grego “daemon”, tal como usadapor Sócrates mais no sentido de um “anjo da guarda”, no cristianismo passou a ser usado só no sentido negativo,e talvez exatamente por isso alguns cientistas grudaram no “demônio”. A intenção de Maxwell era mostrar que ocorpo mais quente só fica mais quente e o mais frio só fica mais frio se houver algo realizando o processo, sejauma máquina (refrigerador) ou alguém, talvez um ser sobrenatural.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Dem%C3%B4nio_de_Maxwell

Eles grudam mesmo...

Luci

, (D

es)e

nca

nto

.

Exemplo 4.1. No site Ciência e Tecnologia, um artigo de George Cruz explica sobre o demônio de Maxwelltransformar informação em energia ao trabalhar com sua hipótese: “Uma das mais famosas respostas a estapergunta foi sugerida em 1929 por Leo Szilard, e mais tarde por Léon Brillouin. Szilárd apontou que umdemônio de Maxwell na vida real precisaria ter alguns meios de medir a velocidade molecular, e que o ato deaquisição de informações dispenderia um gasto de energia. Desde que o demônio e o gás estejaminteragindo, devemos considerar a entropia total do gás e o demônio combinados. O gasto de energia pelodemônio irá causar um aumento na entropia, que será maior do que a redução da entropia do gás”(http://cienciaetecnologias.com/demonio-de-maxwell). Analise as afirmações a seguir:

I. As temperaturas do gás se afastam naturalmente pela transmissão de calor sem ação do demônio.II. Temperatura é expressão da vibração dos átomos e o demônio de Maxwell identificaria isso se existisse.III. Segundo Leo Szilard nem o demônio de Maxwell conseguiria desobedecer a 2ª lei da termodinâmica.

Estão corretas apenas as afirmaçõesa) I e II.b) I e III.c) II e III.d) I, II e III.e) Nenhuma.

Exemplo 4.2. Galileu inventou o termoscópio em que o nível da água oscilava com a dilatação do gás devido àmudança de temperatura, na figura a seguir há um termoscópio, um termômetro a gás e o gráfico doexperimento de Kelvin. Analise as afirmações a seguir:

I. O termoscópio e o termômetro a gás utilizam o mesmo princípio em relação à pressão.II. No experimento de Kelvin o aumento da pressão é inversamente proporcional ao aumento da temperatura.III. No termômetro a gás a altura do fluido Hg aumenta com o aumento da temperatura.

Estão corretas apenas as afirmações a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) I, II e III. e) Nenhuma.

p (Pa)

t (°C)-273

Termômetro a gás

GásHg

Experimento de KelvinTermoscópio

Ar

Água

Nível

Exemplo 4.3. Um gás com propriedades próximas ao ideal está contido em um recipiente e possui pressão P,volume V e temperatura em kelvin T. Não há perda desse gás em nenhum processo, logo a relação P.V/T seconserva. Os valores de P, V e T são variáveis. Analise as afirmações a seguir:

I. O gás é aquecido dobrando-se a temperatura e mantendo o volume constante, logo a pressão dobra.II. O gás se expande dobrando o volume e com temperatura constante, logo a pressão se reduz à metade.III. O gás é aquecido triplicando-se a temperatura em Kelvin com volume constante, logo a pressão triplica.

Está correto apenas o que se afirma em a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I, II e III.

𝒑𝒇 ∙ 𝑽𝒇

𝑻𝒇=𝒑𝒊 ∙ 𝑽𝒊𝑻𝒊

𝑝𝑓 ∙ 𝑉𝑖

(2 ∙ 𝑇𝑖)=𝑝𝑖 ∙ 𝑉𝑖𝑇𝑖

𝑝𝑓 = 2 ∙ 𝑝𝑖

𝒑𝒇 ∙ 𝑽𝒇

𝑻𝒇=𝒑𝒊 ∙ 𝑽𝒊𝑻𝒊

𝒑𝒇 ∙ 𝑽𝒇

𝑻𝒇=𝒑𝒊 ∙ 𝑽𝒊𝑻𝒊

𝑝𝑓 ∙ (2 ∙ 𝑉𝑖)

𝑇𝑖=𝑝𝑖 ∙ 𝑉𝑖𝑇𝑖

𝑝𝑓 = ½ ∙ 𝑝𝑖

𝑝𝑓 ∙ 𝑉𝑖

(3 ∙ 𝑇𝑖)=𝑝𝑖 ∙ 𝑉𝑖𝑇𝑖

𝑝𝑓 = 3 ∙ 𝑝𝑖

𝜼 = 𝟏 −𝑻𝑭𝑻𝑸

Exemplo 4.4. As locomotivas a vapor revolucionaram o transporte do mundo a partir da revolução industrial,mesmo tendo um rendimento energético baixo comparado com as máquinas térmicas atuais. Considere umalocomotiva movida a vapor que trabalha com a água fervendo a 100° C, e a temperatura ambiente seja de 0°C. Dados: tC = tK – 273; η = 1 – (TF/TQ). Analise as afirmativas a seguir:

I. O seu máximo rendimento teórico nessa temperatura ambiente é de 26,8%.II. O rendimento real é maior do que o teórico devido às perdas de energia por atrito.III. A locomotiva teria rendimento 100% se a temperatura externa fosse – 273° C.IV. O princípio de uma locomotiva se baseia na máquina de Heron de Alexandria.

Está correto apenas o que se afirma ema) I, II e III.b) I, III e IV.c) II, III e IV.d) II e IV.e) III e IV.

TQ = 100° C = 373 K

TF = 0° C = 273 K

TF = – 273° C = 0 K

𝜂 = 1 −273

373

𝜂 = 0,268 = 26,8%

𝜼 = 𝟏 −𝑻𝑭𝑻𝑸

𝜂 = 1 −0

373

𝜂 = 1 = 100%

Exemplo 4.5. Considere um copo com gelo e whisky, o gelo inicialmente a – 23° C é colocado no whisky a +27° C, e que o gelo receba 1000 cal do whisky. Considere um ambiente seco que não ofereça condensação deágua em torno do copo, um vidro grosso para mínimas trocas de calor e mínima movimentação do ar, ou seja,que dentro de certos limites possa ser considerado um sistema isolado. Um amigo bêbado diz que se o calorfluísse naturalmente desse gelo para esse whisky a entropia do sistema seria negativa, logo obra do demôniode Maxwell. Dados: tC = tK – 273; ΔS = Q/T. Analise as afirmativas a seguir:

I. A variação de entropia do gelo foi de + 4,00 cal/K e do whisky foi de – 3,33 cal/K.II. Se o sistema for isolado a variação de entropia do sistema será sempre zero.III. A frase do amigo bêbado está de acordo com a 2ª lei da termodinâmica.IV. As moléculas do gelo diminuíram a vibração e as do whisky aumentaram.

Está correto apenas o que se afirma ema) I e II.b) I e III.c) II e III.d) II e IV.e) III e IV.

∆𝑺 =𝑸

𝑻∆𝑆𝑔𝑒𝑙𝑜=

+1000

250= +4,00 𝑐𝑎𝑙/𝐾

∆𝑆𝑔𝑒𝑙𝑜 + ∆𝑆𝑤ℎ𝑖𝑘𝑦= +4,00 − 3,33 = +0,67 𝑐𝑎𝑙/𝐾

∆𝑆𝑤ℎ𝑖𝑠𝑘𝑦=−1000

300= −3,33 𝑐𝑎𝑙/𝐾

Tg = – 23° C = 250 K

Tw = + 27° C = 300 K

Exemplo 4.6. As leis da termodinâmica podem ser expressas da forma: 0ª lei, os corpos naturalmente entramem equilíbrio térmico; 1ª lei, a energia não pode ser criada ou destruída; 2ª lei, a energia térmica fluinaturalmente do mais quente para o mais frio; 3ª lei, a variação de entropia tende a zero quando atemperatura tende ao zero absoluto. A ideia do moto perpétuo seria de uma máquina que pudesse aproveitartodo o fluxo de calor em trabalho e o resultado desse trabalho de volta em calor aproveitável para realizartrabalho e por meio disso um movimento perpétuo. Analise as afirmativas a seguir:

I. A invenção do refrigerador fez com que a 0ª lei fosse revogada.II. A ideia do moto perpétuo respeita a 1ª lei e a 2ª lei não.III. O moto perpétuo é impossível apenas por motivos teóricos.IV. A frase “nada vem do nada” de Lucrécio concorda com a 1ª lei.

Está correto apenas o que se afirma ema) I e II.b) I e III.c) II e III.d) II e IV.e) III e IV.

5. Eletromagnetismo

As partículas que compõem o universo possuem algumas características, entre elas a carga elétrica. Por que?“Porque Deus quis assim”, é a melhor resposta que temos até agora... Mas entendemos como a carga elétricainterage através do seu campo elétrico e que do movimento deste campo elétrico nasce o campo magnético, talcomo oscilação do campo magnético gera outro campo elétrico, e assim temos uma onda eletromagnética.Como de costume foram descobertos na Grécia, a eletricidade, efeito do âmbar (elétron, em grego), uma resinafossilizada de árvores, e o magnetismo, um efeito de rochas que primeiro foram encontradas na ilha de Magna edotadas de interação à distância entre si e com metais.

http://vivaldiagem.blogspot.com/2013/04/do-ambar-pilha-voltaica.html

https://www.cristaisaquarius.com.br/blog/magnetita/

O magnetismo e o planeta

A bússola foi inventada na China e quando chegou à Europa foi usada para as grandes navegações e intrigou oscientistas que queriam saber como aquilo funcionava. A coisa fica séria com o médico da rainha Elisabete I, daInglaterra, Sir William Gilbert, que fez estudos sobre o magnetismo e mostrou que o globo terrestre podia serconsiderado um imã gigantesco. Hoje sabemos que a rotação do núcleo de ferro e níquel junto com as correntesde convecção geradas pelos materiais radioativos geram atrito, assim eletrização e o movimento dessa correnteelétrica gera o campo magnético. São essas correntes de convecção do magma terrestre que provocam erupçõesvulcânicas e a lenta deriva dos continentes. O Sol é uma usina de fusão nuclear e a Terra é uma usina de fissãonuclear que gera o campo magnético, que por sua vez protege a atmosfera da Terra de ser levada embora pelaspartículas ejetas pelo Sol, o chamado vento solar.

https://www.bbc.com/portuguese/geral-48193906http://www.clebinho.pro.br/wp/?p=5221

Experimentos com a eletricidade

O eletroscópio foi criado por Haukesbee em 1705 como dois pedaços de palha (hoje usamos folhas de ouro)dentro de um frasco que se repeliam quando eletrizada uma esfera de metal ligada a elas por um fio. A garrafade Leyden foi criada em 1745 por um grupo de cientistas da Universidade de Leyden, na Holanda, como umagarrafa de vidro revestida por prata por dentro e por fora sem contato entre si, de forma a armazenar muitacarga elétrica. Na época se acreditava em fluidos elétricos, o vítreo e o resinoso, hoje respectivamente as cargaselétricas positiva e negativa, assim fluidos vítreos eram associados às substâncias vítreas (vidro, mica) e resinososàs resinas (âmbar). Em 1753, Benjamin Franklin disse só existir o fluido elétrico vítreo, chamando-o de positivo ea sua carência de negativo. Só depois entendemos serem os prótons (+) e elétrons (–).

Eletroscópio Garrafa de Leyden

Benjamin Franklin

A B

+4 C -6 C

A B

-2 C

A B

-1 C -1 C

São três as formas de eletrização: contato, atrito e indução. No contato de corpos condutores de tamanho eformatos iguais os elétrons livres se afastam o máximo possível e a carga fica distribuída igualmente. No atrito decorpos isolantes inicialmente neutros um perde elétrons para o outro segundo suas eletroafinidades. Na induçãoum corpo eletrizado pode induzir carga em um corpo condutor sem contato desde que se use um aterramentono corpo condutor e o remova antes de afastar o corpo indutor.

A B

A B

atrito

A B

+ -

neutro neutro VidroLãSedaAlgodãoPlásticoCobreEnxofre

Positivo

Negativo

A Bneutro

A Bpolarizado

++

++

++

--

A Baterrado

++

--

A B++

- -

Eletrização

Contato Atrito Indução

https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/charles-coulomb.htm

Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) foi um físico francês que conseguiu medir a força de interação entrecorpos carregados eletricamente. Por isso a carga elétrica é medida em coulombs. Ele montou uma balança detorção, conforme figura. Henry Cavendish já havia descoberto isto e outras coisas mais, entretanto sua obra deimportância foi conhecida cem anos depois de sua morte quando seus parentes decidiram publicar uns papeis...

Força elétrica e a experiência de Coulomb

𝐹 = 𝑘𝑄1 ⋅ 𝑄2𝑑2

d

F FQ1 Q2

F = força (N, newtons)Q = carga elétrica (C, coulombs)d = distância (m, metros)

𝑘0 = 9 ⋅ 109𝑁 ⋅ 𝑚2/𝐶2

Constante elétrica do vácuo:

A pilha elétrica

O italiano Alessandro Volta (1745-1827) descobriu que cobre e zinco em uma solução com água e sal terão umareação química que produzirá corrente elétrica, assim uma bateria desses materiais, ou seja, empilhando unssobre os outros aumentam a potência e deram o nome de Pilha de Volta. Em 1786, o italiano Luigi Galvanidescobriu que a eletricidade fazia pernas de rãs já mortas se moverem, mostrando que é pela eletricidade que océrebro controla os músculos. Em 1803, Giovanni Aldini, no Royal College of Surgeons, ligou várias pilhas nocadáver de George Forster, enforcado em Londres por assassinato. Um jornal relatou que a mandíbula docadáver tremeu, músculos da face se contorceram e um olho abriu, parecendo estar prestes a voltar à vida. Esterelato do jornal foi inspiração para Mary Shelley publicar em 1818 o livro Frankenstein.

Faísca

Cobre ZincoAlessandro Volta Luigi Galvani

O eletromagnetismo

Em 1820, o dinamarquês Hans Christian Orsted, em aula na Universidade de Copenhague, colocou uma bússolaao lado de uma pilha de Volta ligada a um fio de platina, com isso a bússola se moveu, seus alunos não ficaramespantados, mas ele sim. Hans Christian Orsted descobriu que existia relação entre eletricidade e magnetismo,então nasceu o eletromagnetismo. A notícia despertou interesse do francês André Maria Ampère, que descobriuque fios paralelos com correntes elétricas de mesmo sentido se atraem e de sentidos opostos se repelem, assimfez uma bobina girar e criou o motor elétrico. Ampère entendeu que o magnetismo dos imãs naturais se davapor pequenas correntes elétricas em seu interior (movimento dos elétrons em átomos e moléculas), que quandoordenadas no mesmo sentido geraria uma magnetização resultante forte para ser chamado de imã.

Hans Christian Orsted André Maria Ampère

Pilha Bússola

i =∆Q

∆tCorrente real

Corrente convencional

Corrente elétrica

Carga elétrica de “n” elétrons

Q = 𝑛. 𝑒

i = corrente elétrica (A, ampères)Q = carga elétrica (C, coulombs)t = tempo (s, segundos)

e = 1,6. 10−19C

Carga elétrica de um elétron

Corrente elétrica é a correnteza de carga elétrica, e quanto maior a velocidade da passagem dos portadores decarga (elétrons) maior é o valor da corrente elétrica. Considera-se o movimento de carga elétrica positiva, comoos elétrons são negativos logo a corrente “i” está no sentido contrário dos elétrons. Um coulomb de cargaelétrica é a somatória da carga de 6,25.1025 elétrons.

Corrente elétrica como correnteza de carga elétrica

https://www.mundodaeletrica.com.br/resistores-fixos/

O alemão Georg Simon Ohm descobriu que variando a tensão elétrica também a corrente variava e se mudasseo material, comprimento e espessura sua resistência também mudava. Resistores elétricos geram resistência àpassagem da corrente elétrica, por isso o seu nome de “resistores”. Os componentes eletrônicos mais usadospara essa finalidade são cilindros de cerâmica cobertos de um filme de carbono em espiral cujos comprimento eespessura definirão o valor da sua resistência em ôhms. Inicialmente vinha escrito este valor, mas como sedesgastava fácil adotaram um código de faixa de cores, que estará ilegível quando o próprio componente estiverruim de mais. Os daltônicos se lascaram...

Resistência elétrica

Georg Simon Ohm

U (V)

i (A)

1ª Lei de Ohm

ôhmico

não-ôhmico

𝑈1𝑖1

=𝑈2𝑖2

=𝑈3𝑖3

= … = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑅

Para os materiais ôhmicos

𝑈 = 𝑅. 𝑖

2ª Lei de Ohm

L

Aρ

𝑅 = 𝜌 ∙𝐿

𝐴

i = corrente elétrica (A, ampères)U = tensão elétrica (V, volt)R = resistência (Ω, ohms)ρ = resistividade (Ω.m)L = comprimento (m)A = área (m2)

Resistividade de alguns materiais a 20°C.

Prata 1,6.10-8 Ω.mCobre 1,7.10-8 Ω.m

Alumínio 2,6.10-8 Ω.mPlatina 11.10-8 Ω.mFerro 12.10-8 Ω.m

Carvão 1537.10-8 Ω.mQuartzo 7,5.10-8 Ω.m

R

U i

Fórmulas das leis de Ohm

Tensão elétrica

A tensão elétrica é medida em volts, que é joule por coulomb (1V = 1J/C), ou seja, energia por carga elétrica.

Quanto maior a voltagem maior a energia dos portadores de carga elétrica, nesse caso os elétrons.

Voltagem <

Voltagem >

Potência elétrica

𝑃 = 𝑖. 𝑈

A potência é medida em watts, que é joule por segundo, mas a potência elétrica fica melhor escrita como P = i.U, já que

1A x 1V = 1C/s x 1J/C = 1 J/s = 1W

U= 𝑅. 𝑖

𝑃 = 𝑅. 𝑖2 𝑃 =𝑈2

𝑅

Piu Piu. Warner Bros.

Fico tão feliz por alguém ter lembrado de mim.

Energia na tensão e na potência

𝑃 =𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜=∆𝑄 ∙ 𝑈

∆𝑡=∆𝑄

∆𝑡∙ 𝑈

Deus disse:

E a luz se fez.

Em 1831 o inglês Michael Faraday através de uma bobina com núcleo de ferro doce induziu corrente em outrabobina idêntica à distância quando a corrente elétrica oscilava. Depois, descobriu que um imã, ao passar dentrode uma bobina, induz corrente elétrica nesta. Este é o princípio dos dínamos. Michael Faraday era um gênio daexperiência, não da matemática. O escocês James Clerk Maxwell deu a formulação matemática para isto e assimpara as ondas eletromagnéticas. O movimento de um elétron, dotado de carga elétrica, gera um campo elétricooscilante, que por sua vez gera um campo magnético oscilante que gera outro campo elétrico oscilante e assimsucessivamente. Isto é uma onda eletromagnética.

Ondas eletromagnéticas

∇ ∙ 𝐸 =𝜌

𝜖0

∇ ∙ 𝐵 = 0

∇ × 𝐸 = −𝜕𝐵

𝜕𝑡

∇ × 𝐸 = 𝜇0. Ԧ𝐽 +1

𝑐2𝜕𝐸

𝜕𝑡

Michael Faraday James Clerk Maxwell

htt

ps:

//p

t.w

ikip

edia

.org

/wik

i/Es

pec

tro

_ele

tro

mag

n%

C3

%A

9ti

co#/

med

ia/

Fich

eiro

:Esp

ectr

o_E

M_p

t.sv

g

Espectro eletromagnético

Exemplo 5.1. O eletroscópio foi criado por Haukesbee em 1705 como dois pedaços de palha (hoje usamosfolhas de ouro) dentro de um frasco que se repeliam quando eletrizada uma esfera de metal ligada à elas porum fio. A garrafa de Leyden foi criada em 1745 por um grupo de cientistas da Universidade de Leyden, naHolanda, como uma garrafa de vidro revestida por prata por dentro e por fora sem contato entre si, de formaa armazenar muita carga elétrica, conforme figura. Analise as afirmativas a seguir:

I. O eletroscópio mostrou que os fluidos elétricos (ou melhor, as cargas elétricas) diferentes se repelem.II. Na época se acreditava em fluidos elétricos vítreo e resinoso, hoje cargas elétricas positiva e negativa.III. Os fluidos vítreos eram associados às substâncias vítreas (vidro, mica) e os resinosos às resinas (âmbar).IV. A garrafa de Leyden, por ser de vidro, só acumulava fluidos vítreos (carga positiva) no exterior aterrado.

São verdadeiras apenas as afirmativas a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) I e IV. e) III e IV.

Eletroscópio Garrafa de Leyden

Exemplo 5.2. Uma bateria fornece uma corrente de 20 mA de forma contínua durante um intervalo de tempode 3 minutos. Sabe-se que a carga de um elétron é – 1,6.10-19 C, a corrente é dada por i = ΔQ/Δt e a carga émúltiplo dos portadores de carga segundo Q = n.e. Analise as afirmativas a seguir:

I. Sendo elétrons os portadores de carga, a corrente real tem sentido igual à corrente convencional.II. Nesses 180 segundos de corrente elétrica contínua a carga transportada foi de 3,6 coulombs.III. Nesse intervalo de tempo se moveram efetivamente 2,25.1019 elétrons na fiação elétrica.IV. A carga elétrica transportada foi de 5,4 coulombs e através de 2,25.1019 elétrons.

São verdadeiras apenas as afirmativasa) I e II.b) I e III.c) II e III.d) I e IV.e) III e IV.

i = 20 mA = 20.10-3 AΔt = 3 min = 3.60 s = 180 s

𝐢 =∆𝐐

∆𝐭

20.10−3 =∆Q

180

ΔQ = 3,6 C

𝐐 = 𝒏. 𝒆

3,6 = 𝑛. 1,6.10−19

n = 2,25.1019 elétrons

Exemplo 5.3. No filme Jurassic Park, de 1993, há uma cerca elétrica indicando 10.000 V e um erro aoapresentar um pedaço fraco de cerca e mais baixa enquanto os personagens escalam a mais difícil. Depois ogaroto leva um choque e quase morre. Um choque com uma corrente elétrica entre 100 e 200 mA já podeser letal e uma pessoa tem em média a resistência elétrica de 100.000 com a pele seca e 1.000 com apele molhada. Sendo U = R.i e P = i.U, analise as afirmativas a seguir:

I. O garoto estando seco recebe uma corrente mortal de 100 mA e uma potência de 1 kW.II. O órgão do corpo humano que mais rapidamente sofre os danos da corrente elétrica é o coração.III. Com esta diferença entre resistência elétrica seco e molhado o choque molhado é menos letal.

Está correto apenas o que se afirma em a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III.

http://omundodasetimaarte.blogspot.com/2015/06/especial-jurassic-park.html

U = R.i → 10.000 = 100.000.i → i = 0,1 A = 100 mAP = i.U = 0,1 x 10.000 = 1.000 W = 1 kW

Exemplo 5.4. O físico alemão Georg Simon Ohm (1789-1854) percebeu que a tensão U e a corrente i sobreum resistor elétrico apresentava a relação U/i = constante = R para muitos resistores. Logo a primeira lei deOhm é U = R.i e os resistores que apresentam R significativamente constantes são considerados resistoresôhmicos. A segunda lei de Ohm determina o valor da resistência elétrica R através do comprimento L doresistor, da sua área transversal A e da resistividade elétrica ρ do material, na forma de R = ρ.L/A. Com basenesses dados analise as afirmações a seguir:

I. Um gráfico de U x i em escala linear terá retas para os resistores ôhmicos e curvas para os não-ôhmicos.II. A corrente elétrica em um pedaço de condutor pode ser definida como i = (U.A)/(ρ.L) no contexto citado.III. Se a unidade da resistividade ρ for Ω.m, logo o comprimento L será em cm e a área A em cm2.IV. Ao dobrarmos A teremos metade da resistência R. Se dobrarmos L teremos a resistência R quadruplicada.

São verdadeiras apenas as afirmaçõesa) I e II.b) I e III.c) II e IV.d) II e III.e) III e IV.

U = R.i R = ρ.L/A → U = (ρ.L/A).i → i = (U.A)/(ρ.L)

𝐑 = 𝛒 ∙𝐋

𝐀R′ = ρ ∙

L

2 ∙ A=1

2∙ ρ ∙

L

A=1

2∙ R

R′ = ρ ∙2 ∙ L

A= 2 ∙ ρ ∙

L

A= 2 ∙ R

Exemplo 5.5. As fotografias a seguir são do Parque Nacional da Sequoia, Califórnia, EUA, de 20 de Agosto de1975. Nelas estão os irmãos McQuilken, Sean (12 anos), Michael (18 anos) e Mary (15 anos), e o local das fotos,Moro Rock, onde poucos minutos depois das fotos caiu um raio que matou uma pessoa (Lawrence Brady) eferiu outras dez, incluindo Sean. Eles estão com os cabelos levantados, o que lhes pareceu engraçado e este é omotivo destas fotos. Analise as afirmações a seguir:

I. A carga elétrica das nuvens e do local das fotos possui o mesmo sinal, que gerou a atração e o raio.II. Os cabelos estão levantados devido ao acúmulo de carga igual que repele os fios de cabelo entre si.III. Se abrigar em uma árvore alta numa tempestade é uma excelente ideia para se proteger de raios.IV. O raio costuma fazer o caminho mais curto, logo lugares altos em tempestades são alvos principais.

Estão corretas apenas as afirmações: a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) II e IV. e) III e IV.

https://www.dailymail.co.uk/news/article-2381677/How-know-youre-struck-lightning-Picture-brothers-hair-end-minutes-before.html

Exemplo 5.6. Duas cargas pontuais Q1 e Q2 a uma distância d entre si irão interagir com uma força F, que seráde repulsão se as cargas forem de sinais iguais e atração se de sinais diferentes. Conforme equação:

𝐹 = 𝑘0𝑄1 ∙ 𝑄2𝑑2

O valor de k0 é de 9.109 N.m2/C2 se estiver no vácuo. Considere duas partículas com cargas elétricas +2 μC e -3 μC a distância de 3 cm uma da outra no vácuo. Dados os prefixos numéricos, centi sendo c = 10-2 e microsendo μ = 10-6. Usando o seu intelecto superior analise as afirmativas a seguir:

I. A força F é de atração com módulo de 60 N.II. A força F é de repulsão com módulo de 120 N.III. Dobrando a carga Q1 a força F ficará 2 vezes menor.IV. Dobrando a distância d a força F ficará 4 vezes menor.

Estão corretas apenas as afirmações a) I e III. b) II e IV. c) II e III. d) I e IV. e) nenhuma.

𝐅 = 𝐤𝟎𝐐𝟏 ∙ 𝐐𝟐

𝐝𝟐=

)9. 109. +2. 10−6 . (−3. 10−6

3. 10−2 2= −60 N

F′ = k0(2. Q1) ∙ Q2

d2= 2. k0

Q1 ∙ Q2

d2= 2. F F′ = k0

Q1 ∙ Q2

2. d 2=1

4. k0

Q1 ∙ Q2

d2=1

4. F

A relatividade nasce com Galileu ao mostrar que um corpo estará em movimento ou não em relação à algumaoutra coisa, por exemplo, uma árvore está parada em relação ao chão, entretanto está em altíssima velocidadeem relação à Lua. Em 1905 o alemão Albert Einstein mostra que os conceitos sobre os movimentos relativosganham uma profundidade assustadora para a mentalidade da época quando se aplicam à velocidade da luz.Algo válido para todas as velocidades, mas quando se aproxima da velocidade da luz é que se torna perceptível.Em 1916 a teoria da relatividade não se trata mais de velocidades constantes, ela também trata do assunto deforma mais geral, ou seja, com a aceleração de partículas e da gravidade, assim nasce a “relatividade geral”.

6. Relatividade

Albert Einstein Gollum, O Senhos dos Anéis.

Isso vai cair na prova?

Vai sim.

Experimento de Michelson-Morley

Em 1887 os americanos Albert A. Michelson e Edward W. Morley fizeram um experimento que determinaria aexistência ou não do éter, uma substância que seria um meio para a luz se propagar. O experimento consiste deum feixe de luz que ao refletir nos espelhos e retornar mostraria que a Terra se move ou não nesse éter, caso semovesse os feixes chegariam em tempos diferentes no sensor. Entretanto não foi medida essa tal diferençamesmo com a enorme precisão dos instrumentos, então o éter não existe e a luz realmente se propaga novácuo, mesmo sendo uma onda e toda onda é a perturbação de algo em um meio, algo estranho, por isso tantaresistência para aceitar esse conceito. Isto gerou as bases para a relatividade de Einstein.

Albert A. Michelson Edward W. MorleyDisponível na integra: https://youtu.be/UA1qG7Fjc2A

Fonte de luz Sensor

Espelho Espelho

Albert Einstein partiu do fato de que a luz é uma onda e ondas possuem sempre a mesma velocidade no meio.Então como explicar ao se vê-la mais longa conforme figura a seguir? O resultado disso é que nossos conceitosde tempo e espaço precisarão ser revistos para satisfazer a invariância da velocidade da luz.

Princípios da Relatividade:1º - As leis da Física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Não existenenhum sistema inercial preferencial.2º - A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor de 3.108 m/s e sua medidaindepende do movimento do observador ou do movimento da fonte de luz.

Como nasceu a Teoria da Relatividade

Referencial S’ Referencial Sv

d d

Δ𝑡′ =𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎_𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒=2 ⋅ 𝑑

𝑐

Observador na Estação: referencial S

𝑐 ⋅ Δ𝑡

2

2

=𝑣 ⋅ Δ𝑡

2

2

+ 𝑑2

Δ𝑡 =2 ⋅ 𝑑

𝑐2 − 𝑣2=

2 ⋅ 𝑑

𝑐 ⋅ 1 −𝑣2

𝑐2

=2 ⋅ 𝑑

𝑐

1

1 −𝑣2

𝑐2

=Δ𝑡′

1 −𝑣2

𝑐2

Observador no Trem: referencial S´

Δ𝑡 =Δ𝑡′

1 − ൗ𝑣2𝑐2

𝑐. Δ𝑡

2

𝑣. Δ𝑡

2

𝑑

𝐿′ = 𝑣 ⋅ Δ𝑡′ = 𝑣 ⋅ Δ𝑡 ⋅ 1 −𝑣2

𝑐2

𝐿 = 𝑣 ⋅ Δ𝑡

𝐿′ = 𝐿 ⋅ 1 −𝑣2

𝑐2

Essa é a única forma possível de se viajar no tempo, assim o tempo passa mais devagar para quem está em alta velocidade, entretanto o espaço se encurta na direção do movimento.

𝑥′ = 𝑥 − 𝑣 ⋅ 𝑡

𝑦′ = 𝑦

𝑧′ = 𝑧

𝑡′ = 𝑡

𝑥′ =𝑥 − 𝑣 ⋅ 𝑡

1 − 𝛽2𝑥 =

𝑥′ + 𝑣 ⋅ 𝑡

1 − 𝛽2

𝑦′ = 𝑦

𝑧′ = 𝑧

𝑡 =𝑡′ + ൗ𝑣 𝑐2

⋅ 𝑥′

1 − 𝛽2𝑡′ =

𝑡 − ൗ𝑣 𝑐2⋅ 𝑥

1 − 𝛽2H. A. Lorentz

z x

y

z’ x’

y’s s’

v

As transformadas de Lorentz

Antes de Einstein ter chegado naquelas equações, Lorentz já havia publicado algo assim com base nas equaçõesde Maxwell sobre o eletromagnetismo, a grande diferença foi a interpretação, Lorentz pensou que os átomos seapartavam e Einstein que o espaço-tempo se deformava. Einstein chegou em um resultado equivalente e disseque não tinha conhecimento dessas equações. Quem publicou primeiro é o autor reconhecido.

Eis a famosa equação E = m.c2, sendo “E” de energia medida em joules, “m” de massa em kg e “c” da velocidadeda luz no vácuo como 3.108 m/s. Quando aumentamos a velocidade é porque aumentamos a energia cinéticaque vai passando para a forma de massa. Logo é impossível atingir a velocidade da luz porque seria preciso umvalor infinito de energia. Pouco tempo depois da publicação dessa equação ficou evidente que em uma reaçãonuclear parte da massa do núcleo poderia se transformar em radiação gama, assim liberando uma quantidadeabsurda de energia, isto mostrou que seria possível construir bombas nucleares.

A relação entre massa e energia

92235𝑈 + 0

1𝑛 → 56142𝐵𝑎 + 36

91𝐾𝑟 + 3 ⋅ 01𝑛 + 4,6.109𝐾𝑐𝑎𝑙

Reação de Fissão Nuclear

Na bomba atômica de Hiroshima havia 50 kg de Urânio,apenas 1 kg sofreu reação nuclear, nisso 1 g foi dissipadacomo radiação gama.

𝐸 = 𝑚 ∙ 𝑐2 = 0,001 ∙ 3. 108 2 = 9. 1013 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠

Albert Einstein

Não era essa a minha intenção.

𝑚 =𝑚0

1 −𝑣2

𝑐2

Veja mais em “Guerra Nuclear”: www.farlei.net/Nuclear.pptx

Como nasceu a Relatividade Geral

Princípios da Relatividade Geral:1. Nenhum observador tem a capacidade de identificar se está em umreferencial acelerado ou não.2. Princípio da Equivalência: Para todos os aspectos os efeitos de se estaracelerado ou sob a ação de um campo gravitacional são equivalentes.

Em 1916 foi publicada a Teoria da Relatividade Geral, desta vez levando a aceleração em consideração. Inclusivea aceleração da gravidade e a interpretação de que a gravidade é a distorção do espaço-tempo.

O eclipse mais perto seria em 29/05/1919 e pesquisadores se dirigiram para dois lugares que se veria bem oeclipse, na África e no Brasil, em Sobral, no Ceará. Como no Ceará faz sol dia e note... Somente as fotos de Sobralficaram boas o suficiente para comprovar o estranho fenômeno que se chama Paralaxe Estelar. A luz se movesempre em linha reta, mas ao passar em um espaço-tempo curvo este muda a sua trajetória. Isto é um absurdo,mas foi comprovado pela previsão, assim, este “milagre”, ou melhor, a verificação da teoria deu grande confiançano trabalho de Einstein, equivalente a uma canonização dentro da ciência.

O eclipse de Sobral

Imagens de autores desconhecidos e referências esquecidas.

Hermann Minkowiski foi professor de Einstein no curso de Física e depois desenvolveu a idéia de Einstein de umespaço-tempo com quatro dimensões: altura, largura, profundidade e tempo. No diagrama de Minkowiski temosos referenciais S e S’, onde S’ se move na direção x com velocidade 0,5c no momento em que a origem dos doisreferenciais se coincidem. Notamos que dois eventos podem ser simultâneos para S e não para S’, e vice e verso.Exemplo: os eventos R1 e R2 são simultâneos para S, mas não o são para S’, e o contrário para Q1 e Q2.

Hermann Minkowski

O espaço-tempo de Minkowiski

Duas dimensões

𝑠2 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑠2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑠2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑐2𝑡2

𝑤 = 𝑖 ⋅ 𝑐 ⋅ 𝑡 𝑖 = −1

Quatro dimensões

Três dimensões

w

x

x’

w’

Q1

Q2

R1 R2

Introdução à Relatividade Especial. Robert Resnick.

Buracos negros e buracos de minhoca

Em 1916, Karl Schwarzchild previu os buracos negros, que são estrelas enormes que entraram em colapso caindoem si mesmas, assim concentrando a sua massa toda em um ponto. Isso é tão intenso que nem a luz escapa, porisso recebeu esse nome em 1969 pelo físico John Wheeler. Em 1971 um satélite que detectava raios X captou umsinal na constelação do Cisne, era um corpo muito denso perto de uma estrela, logo um buraco negro. Em 1935Albert Einstein e seu aluno Rose perceberam a possibilidade teórica de existir atalhos que permitam uma viagemmais rápida. Mas foi somente em 1995 que estes foram provados matematicamente pelo americano Kip Thorne,estas são as pontes Einstein-Rosen, também chamadas de Buracos de Minhoca, no inglês são Worm Hole, cujatradução literal fica melhor como Buraco de Verme.

A presença de um buraco negro distorce oespaço-tempo ao seu redor, assim a luz quepassa nessa região sofre um efeito de lente,as “lentes gravitacionais” que dão esse efeitofantasmagórico na imagem da Galaxy-cluster-SDSS-J1038+4849 fotografada pela NASA.

A viagem no tempo e a relatividade

A relatividade deu a previsão teórica de viagens no tempo, e como o tempo simplesmente passa diferente com avelocidade, então viajar para o futuro mais rápido é possível. A primeira abordagem de viagem no tempo naficção científica foi em 1895 com a “A máquina do tempo” de H. G. Wells. Albert Einstein deu a teoria em 1905na relatividade restrita e 1916 na relatividade geral, 30 anos depois o matemático Kurt Gödel encontra umasolução matemática explícita provando a viagem no tempo! Gödel trabalhou junto com Einstein e demonstrouque em uma “curva temporal fechada” algo pode ir e voltar no espaço-tempo, entretanto a solução só é possívelem um universo que não esteja em expansão, ao contrário do nosso universo.

“A solução da máquina do tempo de Kurt Gödel levanta oproblema que já me incomodava na época da construção dateoria geral de relatividade, sem que eu tenha conseguidoesclarecê-lo. [...] Será interessante avaliar se essas soluçõesnão serão excluídas pela Física” (Albert Einstein).

A viagem no tempo e a teologia

Em assunto de metafísica, Santo Agostinho explicou que o mal é a ausência do bem e se Deus permite que o malaconteça é porque Ele pode tirar algo de bom disso, depois, São Tomás de Aquino se baseou em Aristóteles, emque “a impotência não faz parte da potência”, definindo que um Deus onipotente “pode tudo o que é possível”.Ou seja, há limites que não impedem a onipotência. Como? Deus não é incoerente e assim um ser onisciente,onipotente e perfeito não pode mudar o passado que poderia ter impedido. Deus quer o livre arbítrio e mesmono mau uso tira algo de bom disso. Ele jamais nos amaria por completo se não nos tivesse criado totalmentelivres. Esse assunto não é abordado em ficção científica. Ou seja, além dos paradoxos de uma viagem no tempotambém temos a teologia dando mais um impedimento para se mudar o passado.

São Tomás de Aquino1225-1274 d.C.

Quem diz verdades perde amizades.

Aristóteles

Que droga, acabamos a diversão dos caras...

A Teoria do Big Bang nasceu nas mãos de Georges Lemaître, astrônomo belga que também era padre católico,ou seja, o parteiro deste inigualável marco científico foi um padre. Lemaître resolveu as equações de Einstein em1927 e propôs matematicamente que o universo teria um começo, um momento inicial. Edwin Hubble em 1929forneceu os dados experimentais comprovando a expansão do universo. Não se trata de um grande espaço vazioque de repente surgiu matéria, e sim de espaço, tempo e matéria começando a existir juntos. É a única teoriaque consegue explicar a radiação cósmica de fundo e a proporção de Hidrogênio e Hélio medida no Universo.

Você sabe o que é a Teoria do Big Bang?

Autores desconhecidos e referências esquecidas.Georges Lemaître e Albert Einstein

“Nem criaste o universo no universo, pois, antes de o criares, não havia espaço onde ele pudesse existir. [...]Existimos porque fomos criados; mas não existíamos antes de existir, portanto não podíamos ter criado a nósmesmos. [...] De fato, fostes tu que criastes o próprio tempo, e ele não podia decorrer antes de o criares. Masse antes da criação do céu e da terra não havia tempo, para que perguntar o que fazias então? Não podiaexistir um ‘então’ onde não havia tempo. Mas não é no tempo que tu precedes os tempos, pois de outro modonão serias anterior a todos os tempos” (Santo Agostinho, 345-430 d.C.).

A Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o universo.

Ninguém consegue chegar ao conhecimento das coisas divinas e humanas se antes não aprendeu matemática solidamente.

Galileu Galilei Santo Agostinho

E diabo significa “aquele que divide”.

Mal-educado.

Vá para o inferno!

Luci, (Des)encanto.

O que foi dito na época do Império Romano

Exemplo 6.1. A relatividade restrita de Albert Einstein, em 1905, mostrou que o espaço-tempo é flexível porcausa da invariância da velocidade da luz para qualquer observador, tal como não é possível se alcançar avelocidade da luz e nem ultrapassá-la. Na relatividade geral, de 1916, foi explicado que a gravidade é umadistorção do espaço-tempo, prova disso ocorreu em Sobral, no Ceará em 1919, quando fotografaram umaestrela atrás do Sol durante um eclipse. Mais tarde isso contribuiu para a descoberta dos Buracos Negros,que são estrelas que entraram em colapso gravitacional de tal forma que nem a luz escapa de suagravidade. Com base na relatividade, analise as afirmações a seguir:

I. Um astronauta viajando perto da velocidade da luz seria visto da Terra em câmera acelerada.II. A luz da estrela atrás do Sol que foi fotografada em 1919 se moveu em linha reta em um espaço curvo.III. Como E = m.c2, a massa é uma forma de energia que pode ser liberada em proporções devastadoras.IV. Pela relatividade é possível viajar só para o passado pelo efeito da passagem diferente do tempo.

São verdadeiras apenas as afirmaçõesa) I e II.b) I e III.c) II e III.d) II e IV.e) III e IV

Exemplo 6.2. A relatividade de Einstein trabalha com velocidades próximas à da luz, sob estes aspectosanalise as afirmativas a seguir:

I. Um problema que dificulta a viagem interestelar é que um corpo ao receber energia cinética tem estaenergia passando para a forma de massa impedindo dele alcançar a velocidade da luz.

II. Quando falamos de visitantes extraterrestres em discos voadores precisamos supor que eles sejamcapazes de driblar o limite da velocidade da luz ou que a viagem demorou vários anos.

III. Um astrônomo observa uma nave alienígena, ela alcança velocidade próxima à da luz. Haverá um efeitode distorção na nave esticando o seu comprimento no sentido do movimento.

Está correto apenas o que se afirma ema) I.b) II.c) III.d) I e II.e) I e III.

Queridos e amados irmãos, estamos aqui para...

Exemplo 6.3. Considere uma nave espacial se movendo a 80% da velocidade da luz e que possa ser vista daTerra, um astronauta de massa 70 kg está no interior da nave e sentado na cadeira de comando virado parafrente do sentido de movimento da nave, de forma que seu comprimento na direção do movimento seja oda barriga de 15 cm. Na nave essa observação durou 20 segundos. Determine a massa desse astronauta, ocomprimento na direção do movimento visto da Terra e o tempo nessa observação para a Terra.

𝒎 =𝒎𝟎

𝟏 −𝒗𝟐

𝒄𝟐

𝑳′ = 𝑳 ⋅ 𝟏 −𝒗𝟐

𝒄𝟐𝜟𝒕 =

𝜟𝒕′

𝟏 −𝒗𝟐

𝒄𝟐

v = 0,8.c

𝑚 =70

0,6𝐿′ = 15 ⋅ 0,6𝛥𝑡 =

20

0,6

𝑚 = 116,67 𝑘𝑔𝐿′ = 9 𝑐𝑚𝛥𝑡 = 33,33 𝑠

1 −𝑣2

𝑐2= 1 −

(0,8 ∙ 𝑐)2

𝑐2= 1 − 0,64 = 0,6

Exemplo 6.4. O paradoxo dos gêmeos consiste de dois gêmeos idênticos A e B, em que A está em uma naveespacial próxima à velocidade da luz e B está em repouso na Terra. Os dois verão um ao outro se afastarem,de seu ponto de vista, assim ambos podem dizer que o tempo está passando mais lentamente para o outro,mas a nave vai e volta e o gêmeo A estará mais novo do que B. A resolução do paradoxo está em perceberque houve uma premissa errada, e é que não é garantida a simultaneidade de eventos para referenciais emmovimento e existe mudança de movimento com aceleração. O paradoxo do avô consiste em um viajantedo tempo que mata o próprio avô (talvez por um acidente) antes do pai nascer, o viajante nunca nascerá eninguém terá matado seu avô que impediu seu nascimento. Analise as afirmativas a seguir:

I. Um paradoxo é uma proposição que contraria princípios da teoria, logo há algo errado.II. É um exemplo de paradoxo afirmar “com certeza” que “toda certeza é relativa”.III. A relatividade de Einstein é fundada na invariância do espaço-tempo e na variância da velocidade da luz

para todos os referenciais possíveis.

Está correto apenas o que se afirma ema) I.b) II.c) III.d) I e II.e) I e III.

Exemplo 6.5. Uma forma de desenhar o experimento de Michelson-Morley (1887) é apresentada na figura aseguir. Nela, se a Terra estiver parada em relação ao éter teremos ondas em fase e se a Terra se mover comvelocidade v para a direita teremos ondas defasadas. Analise as afirmativas a seguir:

I. As ondas sempre permaneceram em fase para qualquer hora do dia ou dia do ano.II. Einstein e Lorentz disseram que o espaço dos corpos contraem na direção do movimento.III. O experimento deu resultado nulo e assim comprovou que o éter não existia.

Está correto apenas o que se afirma em a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III.

Fonte

Espelho

Espelho

Vidro

v

C C’

B B’

E E’

Ondas em fase

Ondas defasadas

L

L

Exemplo 6.6. O trabalho de Albert Einstein se baseia em considerar a luz uma onda e assim, tal como noEfeito Doppler, toda onda tem a mesma velocidade no meio, independente da fonte ou do observador.Assim seu nome começou como “invariância da velocidade da luz”, porém por questões políticas outroscientistas puxaram para “relatividade” e Einstein aceitou. Analise as afirmativas a seguir:

I. As leis da Física são as mesmas em todos os referenciais inerciais, não existindo sistema preferencial.II. A velocidade da luz no vácuo independe do movimento do observador ou da fonte de luz.III. Nenhum observador tem a capacidade de identificar se está em um referencial acelerado ou não.IV. Os efeitos de se estar acelerado ou sob a ação de um campo gravitacional são equivalentes.

Está correto apenas o que se afirma ema) I e II.b) I e III.c) II e III.d) II e IV.e) Todas.

7. Interação estática entre corpos

A interação entre os corpos se dá através da grandeza vetorial “força”, segundo a Física atual existem quatrotipos de forças: eletromagnética, gravitacional, nuclear forte e nuclear fraca. As forças podem se sobrepor, assima força resultante é a somatória de todas as forças em um corpo, de forma linear (FR = m.a) e angular (MR = I.α).Na última fórmula M é o momento angular (ou torque), I é o momento de inércia (equivale à massa) e α é aaceleração angular, mas aqui vamos tratar apenas de corpos em equilíbrio estático, quando as resultantes doscomponentes das forças e o momento angular (torque) forem zero (ΣFx = 0; ΣFy = 0; ΣM = 0).

Que a força esteja com vocês!

Uma perturbação na força eu sentir. Parte essa da matéria nada a ver com o restante está.

Lado negro da força ser, sofrimento estar por vir.

Mestre Ioda, Star Wars.

Fórmulas de equilíbrio estático

𝐹𝑅 = 𝑚 ∙ Ԧ𝑎

𝐹𝑅 = 0

Σ Ԧ𝐹 = 0

Σ𝐹𝑥 = 0

Σ𝐹𝑦 = 0

Equilíbrio linear

𝑀𝑅 = 0

Σ𝑀 = 0

Equilíbrio angular

d

FEixo de rotação

Sentido horário positivo

x

y

Ԧ𝐹

𝐹𝑥 = 𝐹 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐹 𝑦=𝐹∙𝑠𝑒𝑛𝜃

θ

𝑀 = 𝐹 ∙ 𝑑

F = força (N, newtons)m = massa (kg, quilograma)a = aceleração (m/s2)

M = momento angular ou torque (N.m)d = distância da força ao eixo de rotação (m)Força peso de 1 kg com g = 9,8 m/s2 → 1 kgf = 9,8 N

Exemplo 7.1. Quando um corpo está em equilíbrio estático temos que a força resultante é zero, logo ΣFx = 0e ΣFy = 0. Na figura a seguir temos o bloco A com massa mA e o bloco B com massa mB, ambos penduradospor fios ideais de massa desprezíveis e com as respectivas forças F1, F2, PA, T1, T2 e PB, e os ângulos α, β e θ.Analise as afirmativas a seguir:

I. São relações no bloco A: + F2.cosβ – F1.cosα = 0 na horizontal; + F2.senβ + F1.senα – mA.g = 0 na vertical.II. São relações no bloco B: + T2.cosθ – T1 = 0 na horizontal; + T2.senθ – mB.g = 0 na vertical.III. Se o ângulo θ for 90° a força T1 será zero. Se a massa mA aumentar F1.cosα permanece constante.

Está correto apenas o que se afirma em a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III.

ΣFAx = 0 → + F2.cosβ – F1.cosα = 0ΣFAy = 0 → + F2.senβ + F1.senα – mA.g = 0

A

α β

B

θ

g

F1F2

PA

T2

T1PB

x

y

ΣFBx = 0 → + T2.cosθ – T1 = 0ΣFBy = 0 → + T2.senθ – mB.g = 0

Exemplo 7.2. Uma barra homogênea é pendurada por um fio no teto e de um lado da barra há um bloco,conforme a figura. O peso do bloco é P1 = 200 N e da barra é P2 = 400 N. Determine a tensão no fio e ocomprimento total da barra.

L – 3

3,0 m

3 – ½.L

P1 P2

T

x

y

½.L P1 = 200 NP2 = 400 N

Barra

Bloco

Teto

3,0 m

Equilíbrio angular

𝛴𝑀 = 0

𝑀1 +𝑀2 = 0

𝐹1 ∙ 𝑑1 + 𝐹2 ∙ 𝑑2 = 0

−200 ∙ (𝐿 − 3) + 400 ∙ (3 − ½ ∙ 𝐿) = 0

𝛴𝐹𝑥 = 0

𝛴𝐹𝑦 = 0

Equilíbrio linear

0 = 0

+𝑇 − 200 − 400 = 0

𝑇 = 600 𝑁 L = 4,5 𝑚

Exemplo 7.3. A barra horizontal apoiada na parede sustenta uma placa publicitária com o auxílio de um fio deaço, este fio forma 30° com a barra, conforme a figura. A barra possui peso P1 = 20 N, a placa possui peso P2 =50 N e o peso do fio é desprezível. Sabendo que a estrutura está em equilíbrio estático determine o valor datração no fio e os componentes da força normal entre a barra e a parede.

Barzinho de matar aula

160 cm40 cm

30°

P1 = 20 NP2 = 50 N

120 cm

100 cmSentido horário positivo

200 cm

P1 P2

Eixo de rotação Tx = T.cos θ

Ty = T.sen θ

Nx

Ny

x

y

Equilíbrio angular

𝛴𝑀 = 0

𝑀1 +𝑀2 +𝑀3 = 0

𝐹1 ∙ 𝑑1 + 𝐹2 ∙ 𝑑2 + 𝐹3 ∙ 𝑑3 = 0

+20 ∙ 100 + 50 ∙ 120 − (𝑇 ∙ 𝑠𝑒𝑛30°) ∙ 200 = 0

𝑇 = 80 𝑁

𝛴𝐹𝑥 = 0

𝛴𝐹𝑦 = 0

Equilíbrio linear

−𝑇 ∙ cos 𝜃 + 𝑁𝑥 = 0

+𝑇 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑁𝑦 − 𝑃1 − 𝑃2 = 0

𝑁𝑥 = 69,28 𝑁

𝑁𝑦 = 30 𝑁

𝑁𝑥 = 80 ∙ cos 30° = 69,28 𝑁

𝑁𝑦 = 20 + 50 − 80 ∙ 𝑠𝑒𝑛 30° = 30 𝑁

Exemplo 7.4. No experimento “mesa de forças” existem três forças aplicadas a um anel que está em equilíbrioestático, ou seja, a resultante das forças nele é nula. Com base na figura determine a intensidade da força F3 eseu ângulo θ3 nesse referencial. Dados: F1 = 300N ; θ1 = 0°; F2 = 400N ; θ2 = 160°.

y

F1 = 300Nx

F2 = 400N

θ2 = 160°

F3 = ?

θ3 = ?

θ1 = 0°

Σ𝐹𝑥 = 0

Σ𝐹𝑦 = 0

𝐹1 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝐹2 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝐹3 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃3 = 0

𝐹1 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃1 + 𝐹2 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃2 + 𝐹3 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃3 = 0

300 ∙ 𝑐𝑜𝑠 0° + 400 ∙ 𝑐𝑜𝑠160° + 𝐹3 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃3 = 0

300 ∙ 𝑠𝑒𝑛 0° + 400 ∙ 𝑠𝑒𝑛160° + 𝐹3 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃3 = 0

300 − 375,88 + 𝐹3 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃3 = 0

0 + 136,81 + 𝐹3 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃3 = 0

𝐹3 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃3 = 75,88

𝐹3 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃3 = −136,81

𝐹3 ∙ 𝑐𝑜𝑠 299° = 75,88 𝐹3 = 156,51 𝑁

tan 𝜃 =𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑐𝑜𝑠 𝜃=−136,81/𝐹375,88/𝐹3

= −1,80 𝜃 = −61° = 299°

Mesa de forças

Exemplo 7.5. Considere o experimento de equilíbrio de uma barra conforme a figura. A barra horizontal temmassa fixa “M” e comprimento “L”, enquanto a massa suspensa tem valor variável “m” e a distância variável“d” entre o encaixe da massa “m” e o encaixe da barra ao suporte. Determine uma fórmula de m(x), sendo x =1/d, para em um gráfico de m por x seja possível encontrar os valores de L e M.

d0d

Suporte universal

Barra Massa variável

𝛴𝑀 = 0

𝑀1 +𝑀2 = 0

𝐹1 ∙ 𝑑1 + 𝐹2 ∙ 𝑑2 = 0

Equilíbrio angular

𝑀 ∙ 𝑔 ∙𝐿

2− 𝑑0 + 𝑑 − 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑑 = 0

𝑚 ∙ 𝑑 = 𝑀 ∙𝐿

2− 𝑑0 − 𝑑

𝑚 ∙ 𝑑 = 𝑀 ∙𝐿

2− 𝑑0 −𝑀 ∙ 𝑑

𝑚 = 𝑀 ∙𝐿

2− 𝑑0 ∙

1

𝑑− 𝑀 𝑚 𝑥 = −𝑀 +𝑀 ∙ ൗ𝐿 2 − 𝑑0 ∙ 𝑥 𝑥 =

1

𝑑

PB = M.g Pm = m.g

L/2

d0d

Exemplo 7.6. Considere o experimento de equilíbrio de uma barra conforme a figura. A barra horizontal temmassa fixa “M” e comprimento “L”, enquanto a massa suspensa tem valor variável “m” e a distância variável“d” entre o encaixe da massa “m” e o encaixe da barra ao suporte. Determine o comprimento da barra.

d0 = 5 cmd

Suporte universal

Barra Massa variável

m(g)

x (10-2 cm-1)

– 225

𝑚 𝑥 = −𝑀 +𝑀 ∙ ൗ𝐿 2 − 𝑑0 ∙ 𝑥

𝑥 =1

𝑑

10

337,5

337,5 = −225 + 225 ∙ ൗ𝐿 2 − 5 ∙ 10. 10−2

337,5 + 225

225 ∙ 10. 10−2= ൗ𝐿 2 − 5 𝐿 = 60 𝑐𝑚

Se x = 0, então m = - M, olhando para o gráfico vemos que:

– 225 = – M → M = 225 g

𝑚 𝑥 = −𝑀 +𝑀 ∙ ൗ𝐿 2 − 𝑑0 ∙ 𝑥𝑚 𝑥 = −𝑀 +𝑀 ∙ ൗ𝐿 2 − 𝑑0 ∙ 𝑥

8. Atrito estático e dinâmico

A força de atrito tem a sua raiz na força eletromagnética, que permite ligação entre moléculas e o formato sólidoda matéria. Estudaremos o atrito entre os corpos sólidos devido à rugosidade entre eles, os mantendo parados(estático) ou atrapalhando o movimento (dinâmico). A força de atrito é o produto do coeficiente de atrito μ coma força normal N de interação do corpo com a superfície, normalmente provocada pela força peso. Quanto maiora rugosidade dos corpos maior o coeficiente de atrito, por exemplo, entre o pneu do automóvel e o asfaltobusca-se o máximo atrito possível para haver resposta às forças de tração e freio.

F

Fatrito

P

N

𝐹𝑎𝑡 𝑒 = 𝜇𝑒 ∙ 𝑁

𝐹𝑎𝑡 𝑑 = 𝜇𝑑 ∙ 𝑁

𝑭𝒂𝒕 = 𝝁 ∙ 𝑵

Fatrito

F

Estático Dinâmico

Atrito estático máximo

FFatrito

O gráfico do atrito estático e dinâmico

Um corpo ao receber uma força F reage com a força de atrito crescendo na mesma medida de F até um valormáximo em que ele ainda fique parado (estático), depois a força de atrito cai para um valor que será constantepara qualquer força F que o corpo receba, este é o atrito dinâmico ou cinético, dependendo do livro.

𝐹𝑎𝑡 𝑒 = 𝜇𝑒 ∙ 𝑁

𝐹𝑎𝑡 𝑑 = 𝜇𝑑 ∙ 𝑁

μd ≤ μe

A força de atrito no plano inclinado

θ

x

y

P

NFatrito

θ

𝑃𝑥 = 𝑃 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑃𝑦 = 𝑃 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝑃 = 𝑚 ∙ 𝑔

𝑁 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃

Definimos os eixos x e y em relação à inclinação do plano e nesse caso a única força de ação é a força peso, logoseu componente x promove o movimento do bloco, este é o Px ou peso tangencial porque esta força é tangencialà superfície. Enquanto isso o componente y do peso, o Py , pressiona a superfície gerando uma força normal, quepor sua vez é autora da força de atrito. É importante notar que o ângulo θ entre o plano inclinado e a horizontaltambém será o ângulo entre a força peso e o eixo y.

𝐹𝑎𝑡 = 𝜇 ∙ 𝑁

𝐹𝑎𝑡 = 𝜇 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃

Exemplo 8.1. No plano inclinado com ângulo θ com a horizontal da figura, a seguir, há um bloco de massa mem iminência de movimento. Considere os coeficientes de atrito estático μe e dinamico μd, a gravidade g, eforça de atrito Fat .

Analise as afirmações a seguir:

I. Devido à iminência de movimento sabemos que μe = tg θ.II. É válida a relação entre os coeficientes de atrito μd ≤ μe.III. É possível haver uma Fat dinâmica maior que a estática.IV. Quanto maior m, maior serão μe e a Fat.V. É possível haver um μd > μe.

Estão corretas apenas as afirmaçõesa) I, II e III.b) I, II e IV.c) I, III e V.d) III, IV e V.e) II, III e IV.

θ

𝐹𝑎𝑡 𝑒 = 𝜇𝑒 ∙ 𝑁 = 0,5 ∙ 50 = 25 𝑁

𝐹𝑎𝑡 𝑑 = 𝜇𝑑 ∙ 𝑁 = 0,3 ∙ 50 = 15 𝑁

Exemplo 8.2. Um bloco de massa 5 kg está sob um plano horizontal e possui coeficientes de atrito estático μe

= 0,5 e dinâmico μd = 0,3. Ele recebe uma força F crescente de zero a 100 N, considere gravidade g = 10 m/s2.Faça um gráfico da força F pela força de atrito Fat.

𝑃 = 𝑚 ∙ 𝑔 = 5 ∙ 10 = 50 𝑁

𝑁 = 𝑃 = 50 𝑁

Fatrito (N)

F (N)

Estático Dinâmico

25

15

25 100

θ

x

yNFatrito

Py

Px

Σ𝐹𝑥 = 0

Σ𝐹𝑦 = 0

+𝑃 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝐹𝑎𝑡 = 0

−𝑃 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑁 = 0

𝐹𝑎𝑡 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑁 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝜇𝑒 =𝐹𝑎𝑡𝑁

𝜇𝑒 =𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝜇𝑒 = tg 𝜃𝐹𝑎𝑡 𝑒 𝑚á𝑥 = 𝜇𝑒 ∙ 𝑁

Exemplo 8.3. Um experimento consiste em medir o coeficiente de atrito estático μe de um bloco de massa musando um plano inclinado com ângulo variável. Assim considere este ângulo crescendo até o valor de θ, noqual o bloco começar a escorregar. Determine a fórmula que relacione μe e θ.

Fatrito

Felástica

𝑘 ∙ 𝑥 = 𝜇𝑒 ∙ 𝑁

𝐹𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐹𝑎𝑡 𝑒 𝑚á𝑥

𝑘 ∙ 𝑥 = 𝜇𝑒 ∙ (𝑚 ∙ 𝑔)

𝜇𝑒 =𝑘 ∙ 𝑥

𝑚 ∙ 𝑔

𝐹𝑒 = 𝑘 ∙ 𝑥

Exemplo 8.4. Um experimento consiste em medir o coeficiente de atrito estático μe de um bloco de massa musando uma mola de constante elástica k. A mola vai sendo puxada e sua deformação observada, quando ocorpo entrar em movimento o valor máximo da deformação será considerado x. Determine a fórmula querelacione μe com as grandezas do problema.

Exemplo 8.5. Em uma obra de engenharia civil um operário “não muito esperto” empurra um caixotesubindo a rampa com força F, conforme figura a seguir. Considere que F vale 300 N, θ vale 30°, gravidade 10m/s2, coeficiente de atrito entre o caixote e a rampa 0,3, massa do caixote 20 kg e determine a aceleraçãode subida deste no referencial do sentido de seu movimento.

θ

θ

F

θ

θ

Fx

y

P

N

Fat

θ

Σ𝐹𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑎

Σ𝐹𝑦 = 0

+𝐹 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑃 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝐹𝑎𝑡 = 𝑚 ∙ 𝑎

−𝐹 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑃 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑁 = 0

𝐹𝑎𝑡 = 𝜇 ∙ 𝑁

+300 ∙ 𝑐𝑜𝑠 30° − 200 ∙ 𝑠𝑒𝑛 30° − 0,3 ∙ 𝑁 = 20 ∙ 𝑎

−300 ∙ 𝑠𝑒𝑛 30° − 200 ∙ 𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑁 = 0

159,81 − 0,3 ∙ 𝑁 = 20 ∙ 𝑎

𝑁 = 323,21 𝑁

159,81 − 0,3 ∙ 323,21 = 20 ∙ 𝑎

62,85 = 20 ∙ 𝑎

𝑎 = 3,14 𝑚/𝑠2

Exemplo 8.6. Dois blocos A e B estão ligados por uma corda e uma roldana, ambos de massa desprezível, obloco A de massa mA está sob um plano inclinado com ângulo θ com a horizontal e possui coeficiente de atritoμ com a superfície, enquanto o bloco B possui massa mB e está suspenso, conforme figura. Sabe-se que o blocoA está descendo e o B está subindo. Considere a gravidade g na direção do movimento de B e determine aaceleração “a” com referencial no sentido do movimento de A. Qual fórmula expressa esta relação?

θ

B

θ

Bx

y

NFat

PB PA

FR

θ

𝑎 =𝑚𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑚𝐵

𝑚𝐴 +𝑚𝐵∙ 𝑔

Σ𝐹𝑥 = (𝑚𝐴 +𝑚𝐵) ∙ 𝑎

Σ𝐹𝑦 = 0

+𝑃𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝐹𝑎𝑡 − 𝑃𝐵 = (𝑚𝐴 +𝑚𝐵) ∙ 𝑎

−𝑃𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑁 = 0

𝐹𝑎𝑡 = 𝜇 ∙ 𝑁

+𝑚𝐴 ∙ 𝑔 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝜇 ∙ 𝑁 − 𝑚𝐵 ∙ 𝑔 = (𝑚𝐴 +𝑚𝐵) ∙ 𝑎

𝑁 = 𝑚𝐴 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝑎 =𝑚𝐴 ∙ 𝑔 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝜇 ∙ (𝑚𝐴 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃) − 𝑚𝐵 ∙ 𝑔

𝑚𝐴 +𝑚𝐵

Eu entrei em engenharia!

Agora só faltam 9 semestres.

Um semestre depois...Sm

eago

l/G

ollu

m, O

Sen

ho

r d

os

An

éis.