INBA CONACULTA

CEDART/DAS

TRABAJO FINAL DE MATEMATICAS PRIMER

SEMESTRE

Paola Elizabeth Robles Sánchez.

1-a

Índice

Trabajo 1: Algebra y multiplicación

Trabajo 2: División y productos notables

Trabajo 3: Fracciones algebraicas, factorización y ecuaciones lineales

Trabajo final: Ecuaciones cuadráticas

AlgebraEl álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las principales ramas de la matemática, junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números.

Término AlgebraicoUn término algebraico consta de las siguientes partes:Signo. Puede ser positivo (+), o negativo (-).Coeficiente. En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores

Expresión algebraica.Una expresión algebraica es una cadena de símbolos matemáticos que indican una cantidad finita de operaciones básicas entre funciones elementales, como raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y también composiciones de dichas funciones.

ExponentesSon los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones.Son ciertas partes que componen una expresión algebraica que en los polinomios se identifican muy fácilmente, pero no así en otras expresiones.

Ley de signos de la multiplicación

+ × + = +

- × - = +

+ × - = -

- × + = -

Ejemplos:

4 x 4 = 16-4 x -4 = 164 x -4 = -16-4 x 4 = -16

Suma

1.(5a2−2a3+a )+ (4 a+3a2 )+(5 a3−2a+7 )+(3a−2a3+5 )=−a3+8 a2+6a+12

Polinomio cubico

2.( 34 x2−43 x+2)+( 16 x−52 x2+78 )=−74x2−7

6x+ 238

Trinomio cuadrático

3.(4 y−5 z+3 ) (4 z− y+2 )+ (3 y−2 z−1 )=−6 y−3 z−4

Polinomio lineal

4.( 12m2+35 m−47 )+( 38 m−5

4 )+( 53 m− 310m2) =

−15m2+ 34

15m−4

7

Trinomio cuadrático

5. (2 pq−3 p2q+4 pq2 )+( pq−5 pq2−7 p2q )+(4 p q2+3 pq−p2q )=11 p2q−3 pq2+6 pq

Resta

1.(5m+4 n−7 )−(4m−3n+5 ) (−6m+4 n−3 )=15m−5n−8

Trinomio lineal

2.(4m4+3m3+6m2+5m−4 )−(6m3+8m2−3m+1 )=4m4+3m3+14m2+8m+5

Polinomio de 4¿ grado

3.(6 x5+3 x2−7 x+2 )−(10 x5+6 x3−5 x3−5x2+2 x+4 )=−4 x5+8 x2−6 x3−5x−2

Polinomio de 5¿ grado

4.(−xy 4− y3+xy2 )+(−2 xy4+5 y−2 )— (6 y3+xy2+5 )=−xy4− y3−5 y−3

Polinomio 4¿ grado

5.( 16 x+ 38 y−5)−( 83 y−54 )+( 32 x+ 29 )=2012 x−5527 y+ 12736

6. Diseñar otra resta con fracciones (mínimo trinomio)

( 24 a2−56 a+ 15 )−(−38 a+ 45 a2−26 )=−310a2−11

24a+ 815

Trinomio cuadrático

Ley distributiva

Quiere decir que la respuesta es la misma a) cuando sumas varios números y el resultado lo multiplicas por algo b) haces cada multiplicación por separado y luego sumas los resultados.Ejemplo:

a) (4 + 8) × 5 = 12 × 5 = 60b) 4×5 + 8×5 = 20 + 40 = 60

Ley de exponentes

Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores.

Multiplicación

1.(2 x2−x−3 ) (2 x2−5 x−2 )=4 x4−12x3−15 x2+17 x+6

Polinomio cubico

2.(3 x−1 ) (4 x2−2 x−1 )=12x3−10 x2−x+1

Polinomio cubico

3.( 43 a2−54 a−12 )( 25 a+ 32 )= 815a3+ 75

30a2−33

40−34

Polinomio cubico

4.(9 xy−4 x2 y ) (2x y2+6x2 y2 )=18 x2 y3+54 x3 y3−24 x4 y3

6.( 25 z2−13 z+ 49 )( 37 z2−72 z−3)= 635z4−54

35z3−146

30z2−5

9z−12

9

Polinomio 4¿ grado

7.(3 y−5 ) (2 y+4 )=6 y2+2 y+20

Trinomio cuadrático

8.(3 x2−x+7 ) (5 x+2 )=15 x3+x2+33 x+14

Trinomio cubico

9.(4 ab+3b ) (6a2b−2ab2 )=24 a3b2−8a2b3+18a2b2−6a b3

Polinomio 5¿ grado

10. Un terreno rectangular mide 2x – 4 metros de largo y 5x + 3 metros de ancho ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su área

(2 x−4 ) (5x+3 )=10x2+6 x−20 x−10

11. En una tienda se compran 3 diferentes artículos A, B Y C. A cuesta 3x por unidad y se compran 5 unidades, B cuesta 4x + 2 por unidad y se compraron 3 unidades y C cuesta ¾ x por unidad y se compraron 7 unidades ¿Cuál es el modelo matemático del costo total de la compra)

(3 x+4 x+2+ 34 x )(5+3+7)

División algebraica

La división algebraica es la operación que consiste en obtener una expresión llamada cociente y otra llamada residuo, conociendo otras dos llamadas dividiendo y divisor.

Propiedades de la división

q° = D° - d°

En toda división el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.D° ≥ d°

En toda división, el grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor:d° > r°

En toda división el grado del divisor es mayor que el grado del resto.r máximo = d° - 1

En toda división el grado máximo del resto es igual al grado del divisor menos 1En el caso de polinomios homogéneos el grado del resto es mayor que el grado del divisor: r° > d°En el caso de polinomios homogéneos no se cumple la propiedad 4

Division

1)8m9n2−10m7n4−20m5n6+12m3n8

2m2n3=4m

7

m−5m5n−10m3n3+6mn5

2¿ 20 x4−5x3−10x2+15 x❑

−5x=−4 x3

❑ + x 3❑ +2x❑ − 3

❑

3¿ 4a8−10a6−5a4

2a3=2a

5

❑ −5a3

❑ −5a2

4 ¿ ¿2 x2 y+6 x y2−8 xy+10 x2

2 xy=x+3 y−4+5 xy

Productos notables

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con

expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Indicar las reglas de cada uno de los productos notables vistos

1) Binomio al cuadrado

a) Cuadrado del primer terminob) Doble de los dos términosc) Cuadrado del segundo termino

2) Binomio al cubo

a) Cubo del primer terminob) Triple producto del cuadrado del segundo por el primeroc) Triple producto del cuadrado del segundo por el primerod) Cubo del segundo

3) Binomios a potencia superior

a) El primero inicia con la potencia indicada y disminuye hasta cerob) El segundo inicia con potencia cero y aumenta hasta la potencia indicada

TRIANGULO DE PASCAL

4) Binomios con término común

a) Cuadrado del comúnb) Suma o resta de los diferentes por el comúnc) Producto de los diferentes (multiplicar)

5) Binomios conjugados

a) Cuadrado del primerob) Menos cuadrado del segundo

Conclusiones:Los productos notables sirven para simplificar y cada uno utiliza ciertas reglas.

1-(2x+3)(2x+5) 4x2+30x+15

2-(x2-1)(x2+1)= x4-1

3-(m+4)(m-2)= m2+2m-8

4-(3a-7)(3a+7)= 9a2-49

5-(5a+3b)(5a-2b)= 25a2+5a-9

6-(4x3+3)(4x3-3)= 16x9-9

7-(a2-1)(a2-4)= a4+4a2+4

8-(3a+4)2= 9a2 +24a+16

9-(2x2-5)2 = 4x4-20x2+25

10-(7m +8n)2= 49m2 +112+64n2

11-(4a+5)3 =36a3 +240a2 +300a +125

12-(2a3-7)3= 8a9-84a6+294a3-343

13-¿

14-(2x2-4)6 =1 (2x2)(-4)+5 (2x2)4(-4)1+10 (2x2)3(-4)3+10 (2x2)2(-4)3+5 (2x2)(-4)4+ 1(2x2)5(-4)5

15-(4y3+3)6=1(4y3)(3) + 6(4y3)5(3)1 + 15(4y3)9(3)2 +20(4y3)3(3)3+ 15(4y3)2(3)4 + 6(4y3)1(3)5+ 1(4y3)0(3)6

Factorización

En matemáticas, la factorización es la descomposición de un objeto en el producto de otros objetos más grandes que al multiplicarlos todos resulta el objeto original.

Resolver:

25a2-64b2= (5a-8b2)

8m2-14m-15= 4m (2m-5)(-2+5)

X2-15x+54= (x-6) (x+9)

5x2-13x+6= (5+3) (x+2)

27a9-b3=

5a2+10a= 5(a2+2a)

n2+14n+49= (n-7) (n+7)

x2-20x-300=(x-30)(x+10)

9x6-1=

64x3+125=

X2-144=(x-72)2

2x2+11x+12x= (2x+3)(x+4)

4x2y-12xy2=4(x2y-3xy2)

Xw-xw+xz-yz= (w+z) (x-y)

X2+14x+45=(x+9) (x+5)

Factor común

Agrupación

Trinomio al cuadrado perfecto

X2-mx+n

ax2+bx+c

Factorización

6y2-y-2= (2y+1) (3y-2)

4m2-42= (2m-7)2

X2-x-42=(x-7) (x+6)

2m2+3m-35=

Fracciones algebraicas

x2−16x2−8 x+16

=¿¿

4 x2−20 xx2−4 x−5

=x2(−10x )x (−2x+5)

3a−9b6a−18x

❑❑

x2−6 x+9x2−7 x+12

∗x2+6 x+5

3 x2+2 x−1=x4−36 x+45x4−14 x+24

7 x+21x2−16 y2

∗x2−5 xy+4 y2

4 x2+11 x−3¿

x2−3 x−10x2−25

∗2 x+10

6 x+12=26

x−42 x+8

∗4 x+8

x2−16=4 (x+2)2

3 x−15x+3

/12x+18

4 x+12=3 ( x−5 )46(2x+3)

4 x2−9x+3 y

/2x−3

2 x+6 y=2

x2−14 x−15x2−4 x−45

/ x2−12 x−45

x2−6 x−27=

(x−1)( x+5 )(x−15)

a−3a2−3 a+2

− a

a2−4a+3=¿

m

m2−1+ 3mm+1

=¿

2a

a2−a−6−

4

a2−7a+12=

(2a )(4)(a+2 )(a−4)

2

m2−11m+30− 1

m2−36+ 1

m2−25=¿

x

x2−5x−14+ 2x−7=

Una fracción compleja es aquella en la que el numerador o el denominador, o ambos, contienen fracciones.

Ecuaciones lineales:

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico

Una incógnita Dos incógnitas Igualación: El método de igualación se puede entender como un caso particular del

método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Determinantes (regla de Cramer): La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles determinados en términos de determinantes y adjuntos

Método grafico.

Resolver:

4(2x-3) + 5(x-1)= 7(x+2) – (3x+4) r= 1/9

5x−34

+ 2 x3

= x+12

=3034

3(4x+3) + 2x-3(2-x) = 2+3(x+4) + 5x – 2 r= 17/10

5x -1 X=0.2-0.02

2x+3 X= -1.5

-1/2 x + 2 X=4

a) 2x-3y=4 x= 55

x-4y=7 y= 105

b) 4a+b=6 a=2017

3a+5b=10 b=7217

c) m-n=3 m=217

3m+4n=9 n= 7

d) 5p+2q=-3 p=624

2p-q=3 q=2124

e) X+2y=8 x= 161

3x+5y=12 y=121

f) 3m+2n=7 m=3117

m-5n=-2 n=1317

g) 2h-i=-5 h=2211

3h-4i=-2 i=1111

a) (-1,-2)

e) (-16,12)

Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $1.50 niños. Si se vendieron 1,000 boletos recaudando $3,500. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

Niños: 200

Adultos: 800

Ecuaciónes cuadráticas:

Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática o resolvente es una

ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la

expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en

la forma canónica:

Números reales:

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. 

Números imaginarios:

Los números imaginarios son los números que cuando se elevan al cuadrado (se multiplica por sí mismo) da un resultado negativo.

Resolver:

7x2+2x=0

R: x1=0 x2=-3

4x2-16=0

R: x1=2 x2=-2

a2-3a+2=0

R: a1= 3.5 a2=2.5

9m2+2m-5=0

R: m1=2.75 m2=1.24

X2-3x=0

R: x1=0 x2=3

5x2+10=0

R: x1=1.41 x2=-1.41

7y2-3y+10=0

2t2+t+1=0

R: t1=.4114 t2=1.6614

8x2-7x=0

R: x1=0 x2=−78

a2-25=0

R= a1= 5 a2= -5

Graficar:

a) Y=X2-1

b) X2+5x+6

c) -x2-4

a)

b)

c)

c)