UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL

EVERTON FRANCO DE OLIVEIRA Nº USP: 6798190

SEQUENCIAS DE FAREY E CIRCUNFERÊNCIAS DE FORD

São Paulo, novembro de 2011

Introdução

Neste trabalho falaremos um pouco a respeito das sequencias de Farey e sobre

as circunferências de Ford. Temos como objetivo entender a construção das

sequencias de Farey e como são gerados os racionais entre 0 e 1.

Cremos que se trata de uma ferramenta importante para tornar nossas futuras

aulas mais interessantes e uma ferramenta necessária para aulas de preparatórias de

olimpíadas. Além de, com isso, enxergar novas formas de resolver problemas e

elaborar demonstrações. Por exemplo, através das sequencias de Farey fica mais

visível o fato de os racionais entre 0 e 1 serem enumeráveis. Uma vez que temos uma

maneira explícita de enumerá-los, basta começarmos com os termos de F 1 depois

colocamos os novos termos que são adicionados em F 1 para formar F 2 , depois

colocamos os novos termos que são adicionados para formar F 3 , e assim por diante,

obtendo uma enumeração dos racionais entre 0 e 1.

Tomaremos como sabidos o teorema de Bézout, que fala que mdc a ,b=1 se,

e somente se, existem inteiros r e s tais que rasb=1. Além do fato de que em

um triangulo retângulo a altura referente a hipotenusa é a média geométrica dos

segmentos da hipotenusa que o pé da altura determina.

Historicamente, Farey propôs as propriedades das sequencias que carregam

seu nome, mas acredita-se que ele não tinha uma demonstração de tais fatos. E é

creditada a Cauchy a demonstração de tais fatos. Posteriormente, Ford, ao fazer um

estudos sobre frações, estudou suas propriedades e elaborou a relação das

sequencias de farey com as circunferências das quais falaremos.

Dividiremos o trabalho em duas seções, uma referente às sequencias de Farey e

outra referente às circunferências de Ford.

As sequencias de Farey

Denomina-se a sequencia de Farey de ordem n o sequencia das frações

irredutíveis entre 0 e 1 com denominador no máximo n e ordenadas na ordem

crescente. Por exemplo, denotando por F n a sequencia de Farey de ordem n,

exibimos aqui as sequencias de Farey de ordem até 7:

F 1=01

; 11

;

F 2=01

; 12

; 11

;

F 3=01 ; 13 ; 1

2 ; 23 ; 11 ;

F 4=01

; 14

; 13

; 12

; 23

; 34

; 11

;

F 5=01

; 15

; 14

; 13

; 25

; 12

; 35

; 23

; 34

; 45

; 11

;

F6=01

; 16

; 15

; 14

; 13

; 25

; 12

; 35

; 23

; 34

; 45

; 56

; 11

;

F 7=01

; 17

; 16

; 15

; 14

; 27

; 13

; 25

; 37

; 12

; 47

; 35

; 23

; 57

; 34

; 45

; 56

; 67

; 11

;

Pode-se notar que cada uma das sequencias de ordem maior que 1 é formada

pelas frações da sequencia anterior acrescida de algumas frações que aparecem no

meio de duas que já tínhamos, e parece ser formada pela soma, de forma errada, do

anterior com o posterior. Por exemplo:

27=1134 e em F 7 temos 1

42713.

Além disso, é possível notar que se ab e

cd são termos consecutivos em

F n então temos que bc−ad=1.

Estes fatos provaremos nesta seção. Como estamos trabalhando com frações

entre 0 e 1, os denominadores e numeradores serão sempre naturais, e, para facilitar,

chamaremos de mediana de ab e

cd a fração

acbd formado pela “soma

errada”.

Teorema 1. Se ab c

d , com a ,b ,c , d ∈ℕ , a mediana acbd

se encontra

entre eles.

Prova: acbd

−ab=

b ac −bd abbd

= bc−adb bd

0 pois ab c

d⇔bc−ad0.

e cd−acbd

=c bd −acd

d bd = cb−ad

d bd 0. conforme queríamos provar.

Teorema 2. Sejam 0≤ab c

d≤1. Se bc−ad=1 então

ab e

cd são termos

consecutivos nas sequencias de Farey de ordem n para os seguintes valores de n :

max b , d ≤n≤bd−1

Prova: A condição bc−ad =1 nos diz, pelo teorema de Bézout, que as frações

estão em sua forma irredutível. Logo As duas frações serão termos das sequencias de

Farey de ordem n≥max b ,d . Então basta verificar que para n≤bd −1 as duas

frações serão consecutivas. E isso de fato é verdade. Pois suponhamos por absurdo

que haja hk na forma irredutível com k≤bd−1 tal que a

b h

k c

d. E então

temos:

ab h

k⇔bh−ka0⇔bh−ka≥1 e

hk c

d⇔kc−dh0⇔kc−dh≥1 e como

bc−ad =1 temos que k=k bc−ad =kbc−kadbdh−bdh=bkc−dhd bh−ak e

então temos 1 k=bkc−dhd bh−ak e portanto k≥bd e k≤bd−1.

Absurdo.

Logo provamos o desejado.

Teorema 3. Sejam 0≤ab c

d≤1 com bc−ad =1 e seja

hk a mediana de

ab e

cd. Então temos que a

b h

k c

d e valem a seguintes igualdades:

bh−ak=1=kc−hd

Prova: Que a mediana encontra-se entre as duas frações segue do teorema 1. A

provas das igualdades segue da igualdade (1). Como k=bd segue o desejado.

Teorema 4. (Teorema da construção da sequencia de Farey) A sequencia F n

é uma subsequencia de F n1 . E cada fração de F n1 que não está em F n é a

mediante de duas frações de F n. Além disso, se ab c

dsão termos consecutivos

de F n então eles satisfazem a relação unimodular, que é bc−ad=1.

Prova: Tendo em vista os resultados já obtidos, provaremos o teorema fazendo

indução em n. Assim sendo, para n=1 temos que vale a relação unimodular para os

termos consecutivas, 1×1−0×1=1 , e nós obtemos F 2 inserindo a mediante0111

Agora veremos o passo da indução. Suponhamos que ab

e cd

são termos

consecutivos em F n e satisfazem a relação a relação unimodular, ou seja,

bc−ad=1. Então, pelo teorema 2 eles serão consecutivos em F m para todo m

satisfazendo :

max b , d ≤m≤bd−1

Logo, se nbd −1 , em F n1 eles continuarão a serem consecutivos e

continuarão a satisfazer a relação unimodular. Se n=bd−1 , então n1=bd ,

ou seja a mediante de ab

e cd

deverá aparecer em sua forma irredutível. O

teorema 1 nos diz que ela deverá ser inserida entre os seus referentes, e o teorema 3

nos diz que a sequencia continuará a satisfazer a relação unimodular. O teorema 3

também nos diz que bh−ak=1=kc−hd , ou seja, mdc h , k =1 e a mediante está

na forma irredutível.

Logo, por indução, temos provado o desejado.

Portanto temos concluído que existe uma forma de construir F n a partir de

F n−1 , que é inserir as medianas entre as frações consecutivas tais que a soma dos

denominadores dá n.

As circunferências de Ford

Dado hk um racional com mdc h , k =1. A circunferência de Ford referente a

este racional é a circunferência do plano complexo com raio 12k 2

e centro em

hk i2k 2

e será denotado por C h , k . Conforme podemos ver na ilustração 1.

Mas por que pegarmos com este raio e centro determinados? Veremos que

construindo os círculos desta forma, eles serão sempre tangentes ou não se

interceptarão. Veremos ainda que é possível determinar as coordenadas destes pontos

de tangência e que ele satisfaz uma importante propriedade.

Teorema 5. Duas circunferências de Ford C a ,b e C c ,d ou são

tangentes ou não se interceptam. Além disso, elas são tangentes se, e somente se,

bc−ad =±1 . Em particular, as circunferências de Ford referentes a frações

consecutivas da sequencia de Farey são tangentes.

Prova: Conforme pode-se ver na ilustração 2, o quadrado da distancia D entre

os centros é:

Ilustração 1

Ilustração 2

D2=ab− c

d 2

12b2− 12d 2

2

E o quadrado das soma dos raios é:

rR2= 12b2 12d 2

2

A diferença entre o quadrado da distancia D e o quadrado da soma dos raios é:

D2− rR2=ad−bcbd

2

12b2− 12d 2

2

− 12b2 12d 2

2

=ad −bc2−1

b2d 2 ≥0

Sendo que é igual a zero se, e somente se, ad−bc2=1. Completando a

demonstração.

Então temos que se considerarmos todas as circunferências de Ford teremos

algo como a esquerda enquanto considerando na sequencia de Farey teremos algo

como a direita da ilustração 3, uma vez que só pegamos as frações na forma

irredutível, e portanto, não haverá várias circunferências para um mesmo racional.

Teorema 6. Sejam h1k 1 h

k

h2k 2

três frações consecutivas de uma determinada

sequencia de Farey. Os pontos de tangência de C h , k com C h1,k 1 e

C h2,k 2 são os pontos:

1h , k =hk−

k1k k 2k1

2 i

k 2k 12 e 2h , k =h

k

k 2k k 2k 2

2 i

k2k 22

Além do mais, o ponto 1h , k está na semicircunferência cujo diâmetro é o

intervalo [ h1k 1

, hk ].

Ilustração 3

Prova: A ilustração 4 nos mostra que:

1= hk−ai 12k 2

−bE para determinar os valores de a e b , usamos semelhança de triangulo e

obtemos que:

ahk−

h1k 1

=

12 k 2

12 k2

12 k1

2

=k 12

k 2k12 e então a=h k1−h1 k

k k1 k 12

k 2k 12 = k 1

k k 2k12

b12k 2

=

12k 2

12k 2

1sk 1

2

=k 12−k2

k 12k2

e então b= 12k 2

k 12−k 2

k 12k 2

Resultando daí a formula para 1h , k e de modo análogo se obtém a fórmula

para 2h , k . Falta apenas provar que o ângulo indicado é reto. E para tanto

basta observarmos que a parte imaginária de 1h , k é a média geométrica entre

a e a ' onde a ' é o seguimento de reta que sobra do diâmetro ao se tirar a ' .

Logo a '=hk−

h1k 1−a= 1

kk 1−a e a=

k 1k k 2k1

2.

Portanto:

aa '= k1k k 2k 1

2 1kk1−

k 1k k 2k 1

2= k 1k k 2k 1

2 k2

k k1k 2k12= 1

k 2k122

Que completa a demonstração.

Ilustração 4

Conclusão

Vimos neste trabalho que a sequencia de Farey de ordem n é a sequencia F n

formada pelas frações irredutíveis entre 0 e 1 com numerador menor que n e em

ordem crescente. Vimos que existe um modo de construir F n a partir de F n−1 , que

é inserir as medianas entre as frações consecutivas tais que a soma dos

denominadores dá n.

Vimos também que a circunferência de Ford de uma fração é tal que duas

circunferências de Ford ou são tangentes ou não se interceptam. Vimos ainda que nas

circunferência de Ford aplicadas sobre as sequencias de Farey é possível determinar

as coordenadas destes pontos de tangência, e se h /kh1/k 1 então o ponto de

tangência de C h , k com C h1 , k 1 está no semicircunferência de diâmetro

[h/ k ,h1/k 1 ] .

E isto se mostra como uma e uma ferramenta importante para tornar nossas

futuras aulas mais interessantes e uma ferramenta necessária para aulas de

preparatórias de olimpíadas. Além de, com isso, enxergar novas formas de resolver

problemas e elaborar demonstrações. E também mostra uma beleza incrível da

matemática, que exerce sobre nós um fascínio e aumenta o interesse pelo estudo e

investigação em matemática.

Referencias bibliográficas

APOSTOL, Tom M. Modular functions and Drichlet Series in Number Theory.

Graduate texts Mathematics; 41. New York: Springer Verlag. p. 98-102

WEISSTEIN, Eric W. "Farey Sequence." Em MathWorld--A Wolfram Web

Resource. http://mathworld.wolfram.com/FareySequence.html

WEISSTEIN, Eric W. "Ford Circle." Em MathWorld--A Wolfram Web Resource.

http://mathworld.wolfram.com/FordCircle.html