UNIV ERSIDADE NILTON LINS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA

Deflexão de uma viga :

1) Determine a deflexão de uma coluna vertical fina e homogênea de comprimento L e sujeita

a uma carga axial constante P, se a coluna for simplesmente apoiada nas extremidades.

Para se ter uma idéia da ordem de grandeza de esforços e deformações, os seguintes dados

para o caso de uma barra de aço com módulo de Yang = 21x1010 N/m2:

i) o esforço que corresponde ao limite de proporcionalidade é de 175x106 N/m2;

ii) o esforço que corresponde ao limite elástico é de 210x106 N/m2;

iii) a carga de ruptura é da ordem de 350x106 N/m2;

iv) a deformação causada por um esforço de 85x106 N/m2 é de 0,0004 cm/m.

Solução,

Y=-1/25.cos10√ 2.t

Decaimento radioativo:

1) O isótopo radioativo do chumbo 209 decresce a uma taxa proporcional à quantidade

presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é de 3,3 horas. Se um grama de chumbo está

presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer?

Solução,

3:30 hs = 210 min.

K= 1/T ln2

K= ln2/210 = 0,003300

Y(t)=Yo.e- 0,003300t

Y(90)= 1. e(- 0,003300.90)

Y(90) = 0,743.10 = 7,43 min aproximadamente levara p/ desaparecer 90% de chumbo.

2) O isótopo radioativo tório 234 se desintegra a uma taxa proporcional à sua massa presente. Se 100mg desta substância se reduzem a 82.04 mg em uma semana, encontre uma expressão para a quantidade deste isótopo em qualquer momento e calcule a meia-vida deste material.

Solução,

dQ/dt = -R.Q = S ʃdt/q = ʃ -r.dt

ln.Q = -r.t = c = S Q(t) = e-t.r . ec Q(t) = K.e-r.t

t = 0, Q(0) = 100g, Q(0) = K, K = 100g temos Q(t) = 100.e-r.t

t = 7 dias Q(7) = 82,04 82,04 = 100.e-7.r ln(82,04/100) = -7.r

r = -1/7 . ln (82,04/100) r = 0,0283-1 dias

Q(t) = 100.e-0,0283.t

t = ?

Q = 50mg 50 = 100.e-0,0283.t e0,0283.t = 100/50

e0,283 = 2 0,283.t = ln.2 t = ln.2/0,0283 = 24,5 dias.

3) O decaimento do isótopo radioativo plutônio 241 satisfaz à equação diferencial Q′ = −

0, 0525Q .(a) Determine a meia-vida desta substância. (b) Se hoje dispusermos de 50mg desta

substância, quanto restará dela depois de decorridos 10 anos?

Solução,

T= 1/0,0525.ln2

T=13.203 dias

b) Y(t) = Yo.e -0,0525 t

Y(t) = 50.e (-0,0525.10)= 29,6mg

4) O elemento einsteinio 253 decai à uma taxa proporcional à sua massa presente. Determine

a meia-vida deste material, sabendo que o mesmo perde um terço de sua massa em 11.7 dias.

Solução,

dQ/dt = -r.Q ʃdQ/Q = ʃ-r.dt

lnQ = -r.t + c Q(t) = K.e-r.t

t = 0 temos, Q(0) = Qo assim, k = Q0 Q(t) = Q.e-r.t

t = 11,7 dias assim temos Q(11,7) = Q0 - Q0/3 Q(11,7) = 2. Q0/3

2.Q0/3 = Q0.e-r.11,7 e11,7.r = 3/2 r = 1/11,7.ln(3/2)

Q0/2 = Q0.e-1/11,7ln(3/2).t 1/2 = e-t/11,7ln(3/2)

t = 11,7. ln(2)/ln(3/2) = 20,0 dias

5) A meia-vida do elemento rádio 226 é de 1620 anos. Determine o tempo necessário para

que uma amostra deste elemento tenha sua massa reduzida a 3/4 do original.

Solução,

Q(t) = Q0.e-r.t Q(1620) = Q0/2 Q0/2 = Q0.e-1620.r e1620.r = 2

1620.r = ln.2 r = 1/1620.ln.2 Q(t) = 362/4

3Q0/4 = Q0.e-t/1620.ln.2 et/1620.ln.2 = 4/3

t = 1620.ln(4/3)/ln(2) = 672,4 anos

6) O carbono-14 é um isótopo radioativo natural do elemento carbono presente em todos os

organismos vivos. Ele é aquele que possui a maior meia-vida aproximadamente de 5730 anos.

a) Em 1988, cientistas do Museu Britânico tiveram acesso ao corte de tecido de linho

chamado de Santo Sudário e constataram que o tecido conservava ainda 92% de sua

quantidade original de carbono-14. Determine, a partir destes dados, a data em que o tecido

foi confeccionado.

b) Em 2008, cientistas ingleses constataram que o material orgânico em torno do Stonehenge,

o misterioso monumento erigido no sul da Inglaterra, continha 59% de sua quantidade

original de carbono-14. Determine uma data provável para a sua construção.

Solução,

a) Y(t)/Yo= e-0,000121t

Tomando-se o logaritmo em ambos os membros e resolvendo-se para t, obtemos

T= - 1/0,000121. ln (Y(t)/Yo)Assim, tomando-se Y(t)/Yo como sendo 0,92 e 0,59, obtemos

T= - 1/0,000121.ln(0,92)T= 689 anos1988 – 689=1299 d.c foi confeccionado

b) T= -1/0,000121.ln(0,59)T=436 anos2008-436=1572 foi o ano em que foi construído o monumento.

Variação de temperatura:

7) A lei de variação de temperatura de Newton, ou Lei de Resfriamento de Newton, afirma

que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura

entre o corpo e o meio ambiente. dT/dt = k( T-Tm ).

Um objeto à temperatura inicial de 50°F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é

de 100°F. Se após 5 minutos a temperatura do objeto é de 60°F, determinar:

Solução,

dT/dt = k(T-Tm) T(0) = 500 T(5min) = 60° Tm = 100°F

dT/T-Tm = k.dt ln|T-Tm| = k.t + c0 T-Tm = ek.t.ec0 = T .A.ek.t

T = Tm + A.ek.t T = 100 + A. ek.t t = 0 e T = 500F 50 = 100 + A, A = -500F

T = 100 – 50.ek.t, t = 5min e T = 60°F T.60 = 100–50.e5.k

5. e5.k = 10 – 6 = 4 e5.k = 4/5 ek = (4/5)t/5

T = 100 – 50.(4/5)t/5

(a) o tempo necessário para a temperatura atingir 75 °F e (b) a temperatura do corpo após 20

minutos.

a) T = 75°F 75 = 100 – 50 (4/5) t/5 3 = 4-2. (4/5) t/5 2.(4/5) t/5= 4 - 3=1

(4/5) t/5=1/2 ln.(4/5) t/5= ln(1/2) t/5=ln(1/2)/ln(4/5)

t=5.ln(1/2)/ln(4/5) = 15,53 min

b) t=20 min T=100-50(4/5)20/5 = 100-50(4/5)4 T=83,6160F

7.1) Coloca-se um objeto com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura

constante de 30°F. Se após 10 minutos, a temperatura do objeto é 0°F e após 20 minutos é

15°F, determinar a temperatura inicial desconhecida.

Solução,

Tm=30°F t=10min T=0°f e t=20min, T=15°F

T=Tm+A.ek.t T=30+A.ek.t 0=30+A.ek.t A.ek.10 =-30 e10.k=-30/a

15=30+A.e20.k A.e20.k=15-30 e20.k=-15/A

e20.k=( e10.k)2

-15/A=(-30/A)2 -15/A=900/A2 -15/1=900/A = -15.A=900 A=900/-15=-60

T=30-60.ek.t t=0 onde T=30-60=-30°F

8) Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100°F em um quarto com temperatura

constante de 0 °F. Se, após 20 minutos a temperatura da barra é de 50 °F, determinar :

Solução,

T0=100°F, Tm=0°F onde t=20min e T=50°F

T=0+A.ek.t 100= ek.0 onde A=100°F

T=100.ek.t t=20min para T=50°F

50=100.ek.20,1/2 = e20.k ek=(1/2)1/20

T=100.(1/2)t/20

a) O tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 25 °F; b) A temperatura da barra

após 10 minutos.

Solução,

a)T=25°F, 25=100(1/2)t/20 1/4=(1/2)t/20, (1/2)2=(1/2)t/20

2=t/20 onde t=40min

b)t=20min, T=100(1/2)10/20 onde 100/√ 2=70,71°F

9) Um corpo a 100 °C é posto numa sala onde a temperatura ambiente se mantém constante a

25 °C. Após 5 min. a temperatura do corpo cai para 95 °C. Depois de quanto tempo o corpo

estará a 50 °C?

Solução,

T0=100°C, Tm=25°C t=5min, T=95°C

T=Tm+ A.ek.t 100=25+A onde A=75°C

T=25+75.ek.t t=5min, T=95°C onde 95=25+75.ek.5

70=75.ek.5 e5.k=70/75fatorando por 5=14/15 ek=(14/15)1/5

T=25+75(14/15)t/5, T=50°C

50=25+75(14/15)t/5 2-1=3(14/15)t/5, 1/3=(14/15)t/5

ln(1/3)=ln(14/15).t/5 onde t=5.ln(1/3)/ln(14/15)=79,6°C

10) Um corpo a 100°C é posto numa sala onde a temperatura ambiente se mantém constante.

Após 10 minutos a temperatura do corpo é 90°C e após 20 minutos 82°C. Determine a

temperatura da sala.

Solução,

t=0, T=100°C onde T=Tm+A.ek.t, 100=Tm+A

t=10min, T=90°C onde 90=Tm+A.e10.k, 82=Tm+A.e20.k

t=20min, T=82°C e10.k=90-Tm/A e20.k=82-Tm/A=(e10.k)=(90-Tm/A)2

82-Tm/A=(90-Tm)2/A2onde 82-Tm=(90-Tm)2/A=(90-Tm)2/(100-Tm)

(90-Tm)2=(82-Tm).(100-Tm)

902-2.90Tm+Tm2=82-100-100Tm-82Tm+Tm2

-180+8100=8200-182Tm -180Tm+182Tm=8200-8100

2Tm=100 onde, Tm=50°C

11) Um corpo a 100 °C é posto em um reservatório de água a 50 °C, e após 10 min. a

temperatura do corpo e da água passa a ser, respectivamente, 80 e 60 °C. Suponhamos que

todo o calor cedido pelo corpo é absorvido e mantido pela água.

Solução,

T1=Tf-A.ek.t e T2=Tf-B.ek.t, t=0 onde, 100= Tf-A e t=0 onde, 50= Tf-B 50=B-A

t=10, 80=Tf-A.e10.k

60=Tf-B.e10.k 50.e10.k=20 e.10.k=2/5 onde, ek=(2/5)1/10

20=(B-A).e10.k

100=Tf - A

80=Tf - A.e10.k

20=A.e10.k-A=2/5A-A=-3/5A A=-5.20/3=-100/3

Tf=100+A=100-100/3=200/3

(a) Calcule depois de quanto tempo a temperatura do corpo será 75 °C.

Solução,

T1= 200/3+100/3.ek.t=200+100(2/5)t/10/3=75

T100.(2/5)t/10=225-200=25 (2/5)t/10=25/100, t/10=ln(1/4)/ln(2/5)

T=15,13min

(b) Determine a temperatura de equilíbrio.

60=Tf - B.e10.k

50=Tf - B

10=B-B.e10.k 10=B-2/5.B=3.B/5 onde, B=50/3

Tf =66,7°C

12) Qual deve ser a temperatura da água para que um objeto de ferro de ½ kg a 100 °C imerso

em 4,0 kg de água chegue a uma temperatura de 30 °C em meia-hora? (O calor específico do

ferro é 0, 113 (cal g(°C)−1).

Solução,

Qágua=m.c.∆T, ∆T=(80-x) onde, m=4kg=400g

Qferro=m.c.∆T, ∆T=(30-100)=-70°C

Qágua+Qferro=0

4000.1.(30-x)+500.0,113.(-70)=0

40.(30-x)-70.0,113.5=0

8.(30-x)=70.1,13=7,91

-8x+240=7.0,113 -8x=-240+7,91=-232,09

X=232,09/8=29°C

13) Um bule de café está a 90°C depois de coado e, um minuto depois, está em 85°C.

Desprezando o material do bule e considerando a temp. da cozinha que é constante e igual a

25 °C. Determine quanto tempo levará para que o café chegue a 60 °C.

Solução,

dT/dt=k.(T-Tm)=ʃdT/(T-Tm)=ʃkdt

25°C ln(T-Tm)=kt T-Tm=c.ek.t T(t)= c.ek.t+Tm

t=0, T(0)=95°C e Tm=25°C

95°C=C+25°C onde, C=75°C

T(t)=75.ek.t+25°C

t=1min, T(1)=85°C

85=75.ek+25 ek=85-25/75

K=ln(60/75)=kln(4/5) T(t)=75.et.ln(4/5)+25, T(t)=60°C

60=75.et.ln(4/5)+25 et.ln(4/5)=60-25/75

t.ln(4/5)=ln(35/75) t=ln(7/15)/ln(4/5)=3,4min

Escoamento de fluídos e Problemas de mistura;

14) (Lei de Torricelli) O físico italiano Evangelista Torricelli estabeleceu em 1643 que a

vazão com que um líquido escoa de um tanque por um orifício situado a uma distância h da

superfície do líquido é proporcional à √2gh, onde g denota a aceleração da gravidade.

Denotando por V = V (t) o volume de água dentro do tanque no tempo t, temos que dV/d t =

kph, k constante. Mostre que se a altura inicial do líquido em relação ao orifício é h 0 então a

altura do líquido h(t), conhecida a vazão V(t), em um tempo t qualquer, é solução da equação

diferencial dh/d t = k √2gh dV /dh , h(0) = h0 .

Solução,

dv/dt=k.√ h dv/dt.dh/dh= k.√ h

dh/dt=k.√2g .h/dv/dh

15) Determine, em função da constante k do item anterior, o tempo necessário para esvaziar

um tanque cilíndrico de raio R e altura h0, cheio de água, admitindo-se que a água escoe

através de um orifício, situado na base do tanque.

Solução,

dh/dt=k.√2g .h/dv/dh, v=π.r2.h logo, dv/dh=π.r2

dh/dt=k.√2g .h/π.r2 ∫0

h0d h

(h )1/2=∫

0

tkπ .r 2

√2g .dt

-2.√ h∫0

h0

¿k/π.r2.√2g . t t= -2π.r2/k.√h/¿√2g¿ onde, t=- π.r2/k.√2h/ g

16) Um tanque em forma de cone derrama água por um orifício no na base do tanque. Se sua

área da seção transversal do orifício é de ¼ m2, encontre a equação diferencial que representa

a altura da água “h” em relação ao tempo “t”. Ignore as forças de atrito do orifício.

Dados: H=altura do cone= 20m; h=altura da água=?; saída da água= ¼ m2.

Solução,

V=1/3π.r2.h, V=√2g .h

dh/dt=k.√2g .h/dv/dh onde, k=1/4m2 dV/dh=1/3.π.r2

dh/dt=k.√2g .h/1/3. π.r2 onde, dh/dt=3.k√2g .h/π.r2

17) Um tanque contém 500 litros de água pura. Uma solução salina contendo 2g de sal/litro é

bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros/min. A mistura é drenada à mesma

taxa. Encontre a quantidade de gramas de sal A(t) no tanque em qualquer instante.

Solução,

dA/dt=Ae-As Ae=2.g/L-5L/min=10g/min

As=Ah/500min.Ag/min=Ag/100min

dA/dt=10g/min-Ag/100min dA/dt=102-A/100

ʃdA/103-A=ʃdt/100 ln(103-A)=t/100+C0

ln(103-R(a))=(t/100+ C0) em t=0 e A(0)=0 ln(103)= C0

ln(103-A(t))=-t/100+ln(103)

103-A(t)= 103.e-t/100 sendo, A(t)= 103(1-e-t/100)

18) Um tanque está parcialmente cheio com 100 litros de fluido nos quais 10g de sal são

dissolvidos. Uma solução salina contendo 0,5g de sal/litro é bombeada para dentro do tanque

a uma taxa de 6,0 litros/min. A mistura é drenada a uma taxa de 4,0 1itros/min. Quantos

gramas de sal haverá no tanque após ½ hora?

Solução,

dA/dt=Ae-As Ae=0,58/A.60.A/min assim, Ae=3,0g/min

As=A(t)g/100l.4,0l/min assim, As=A(t)g/25min

dA/dt=3,0-A(t)/25 dA/dt=75,0-A/25

ʃdA/75,0-A=ʃdt/25 -ln(75,0-A)-t/25+C0

t=0 em A(0)=10 -ln(75,0-10)= C0

C0=-ln(65)=-ln(75-A(1))=t/25-ln(65) 75-A(t)=65e-t/25

A(t)=(75-65.e-t/50)=11,3g

Crescimento e decrescimento populacional:

19) Seja N(t) a quantidade de substância (ou população) sujeita a um processo de crescimento

ou de decrescimento. Admite-se que dN/dt, taxa de variação da quantidade de substância, é

proporcional à quantidade de substância presente, então dN/dt = kN.

a) Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente.

Após 1 hora, observam-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos.

Determine:

Solução,

dN/dt=k.N ʃdN/N=kʃdt, N(t)=c.ek.t em t=1.h, N(1)=1000

1000=c.ek ek=1000/e, em t=4h, N(4)=3000

300=C.e4.k 3000=C.(ek)4 3000=C(1000/C)4 3000=1012/C3

C=3√1/3.109=1/3√3.103 ek=1000/105/1/3√3 = ek= 3√3 k=1/3ln.3

N(t)=103/3√3.et/3.ln3

b) o número de núcleos inicialmente existentes na cultura.

Solução,

N(0)= 103/3√3 em t=0h

20) Certa substancia radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente.

Observa-se que, após uma hora houve uma redução de 10% da quantidade inicial da

substância, determine a “meia-vida” da substância. (Sugestão: designe por N0 a quantidade

inicial da substância. Não é preciso conhecer N0 explicitamente).

Solução,

dN/dt=-K.N ʃdN/N=-ʃk.dt ln.N=-k.t sendo, N(t)=C.e-k.t

t=0 e N(0)=C=N0 N(t)= N0. e-k.t em t=1h e N(1)=0,9 N0

0,9 N0= N0.e-k k=ln(1/0,9) N(t)=N.e-t.ln(1/0,9), T=ln2/ln(1/0,9) sendo, t=6,6 horas

21) Segundo dados do IBGE (1996), a contagem da população de Manaus, nesse ano, era de

1.157.357 hab. Sabendo que a taxa de crescimento, em conjunto com os movimentos

migratórios, foi de 3,0% a.a. calcule a população da cidade em 2012. Compare com dados

fornecidos pela ultima contagem do censo demográfico do IBGE e comente o resultado.

Solução,

T inicial =1996 Y(t)=Yoekt

Yo= 1.157,357 hab. Y(16)=1.157.357.e0,03.(16)

T final=2012 Y(16)= 1.870,375 habitantes

Taxa 3%a.a= k=0,03

Em 2012 o tempo decorrido será

T=16 anos (2012-1996=16)

REFÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

1) ANTON, H. Cálculo,um novo horizonte.V.2.6 ed. Bookman. P.Alegre.R.S.2000;

2) ZILL, D.G. Equações diferenciais. V.1. 3 ed. Makron books LTDA.S.Paulo.SP.2003;

3) SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica. V.2. 2 ed. Makron Books LTDA. S.Paulo. SP.1993.

Exercício do Caderno

1) Um copo de limonada a uma temperatura de 40°F é colocado numa sala a uma temperatura

constante de 70°F, e uma hora mais tarde sua temperatura é igual a 52°f. Que t horas após a

limonada ter sido colocada numa a sua temperatura é dada por T=70-30e-0,5.t.

Solução,

dT/dt=k(T-Tm)

T=70-30.e-0,5.t T=70-30(-0,5.2) T=70-30e-1

T=70-11,036 sendo, T=58,963

Logo. Após 2 horas a temperatura da limonada será de 58,9°F

2) Suponha uma barra de ferro aquecida em um forno e retirada dele a uma temperatura a

90°C. Após 3 minutos a sua temperatura é de 45°C. Quanto tempo levara para sua

temperatura chegar aos 26°C sabendo que a temperatura ambiente é de 23°C .

Solução,

T(t)=Tm+(To-Tm).e-k.t T(t)=23+(90-23).e-k.t T(t)=23+67.e-k.t

Após 3 minutos a temperatura é de 45°C

T(3)=23+67-k.3 45=23+67-3.k 22=67-3.k 22/67=e-3.k sendo, 0,3283=e-3.k

ln(0,3283)=ln.e-3.k -1,1136=-3k onde k=1,1136/3=0,3712

T(t)=23+67e-0,3712 26=23+67e-0,3712 3/67= e-0,3712

0,0447= e-0,3712 ln(0,0447)=ln e-0,3712 logo, ln0,0447/-0,3712=8,3672

T=8,36min

3) considerando o exercício anterior verifique qual o tempo necessário para dizer a 10°C se a

temperatura ambiente for 0°C.

Solução,

T(t)=Tm+(To-Tm).e-k.t 10=0+67.e-0,3712 10/67= e-0,3712

ln(0,1492)=ln.e-0,3712 ln(0,1492)=-0,3712 ln(0,1492)/-0,3712=t

t=5,12min

4) Um copo de água a uma temperatura de 90°C esta colocado numa sala cuja a temperatura

constante é de 21°C. Quantos minutos levara para água atingir uma temperatura de 51°C.

Sabendo que ela resfria 85°C em 1 minuto.

Solução,

T.inicial=95°C, T.const=21°C e resfria em 85°C

T(t)=Tm+(To-Tm).e-k.t T(t)=21+(95-21). e-k.t T(t)=21+74.e-k.t

T(1)=21+74.e -k.1 85=21+74.e -k 64/74= e –k logo, 0,8533= e –k

Ln(0,8533)=ln.e –k -0,1586=-k sendo, k=0,1586

T(t)=21+74.e -0,1586.t 51=21+74.e -0,1586.t 30/74= e -0,1586.t

Ln(0,4054)=ln e -0,1586.t sendo, ln(0,4054)/-0,1586=t

t=5,6925 minutos

5) Suponha que uma cidade tenha uma população de 10.000 habitantes em 1987 e em 1997

tenha 12.000 habitantes. Supondo que o modelo de crescimento é exponencial em que ano a

população atingira 20.000 habitantes?

Solução,

dN/dt=k.N, ʃdN/N=kʃdt lnN=k.t+C N(t)=C.ek.t

t=0 em N(1987)=104 104=C.ek.t

t=10anos em N(1997)=1,2. 104 1,2. 104=104.ek.t 10k=ln(1,2)

k=1/10ln(1,2) sendo, N(t)= 104.et/10ln(1,2)

6) A cidade de Manaus no inicio dos anos 60 (1964) possuía uma população de 300.000

habitantes. Sabendo que a taxa de crescimento anual foi de 2% ao ano calcule a população

aproximada para o ano de 2012.

Solução,

t=(2012-1964)=48 anos

y(t)=y0.ek.t 300.000.e0,02.t

y(48)=300.000.e0,02.(48) y(48)=783.508 habitantes

7) O grande detective Sherlock Holmes e seu assistente Dr. Wilson discutem o assassinato do ator Cornelius McHam. Ele foi ferido à bala na cabeça e o seu ator substituto, Barry Moore, foi encontrado sobre o corpo com a arma assassina na mão. Vamos escutá-los:

Watson: Caso aberto e fechado – Moore é o assassino.

Holmes: Não vá tão depressa, Watson – você está esquecendo a Lei de Resfriamento de Newton!

Watson: O quê?

Holmes: Elementar, meu caro Watson – Moore foi encontrado sobre McHam as 10h06min da noite e o legista anotou a temperatura do corpo do morto de 77,9°F e também anotou que a temperatura do termômetro da sala era de 72°F, às 11h06min da noite o legista fez outra anotação de que a temperatura do corpo era de 75,6°F. Uma vez que a temperatura normal do corpo é de 98,6°F, e como Moore estava no palco às 6h08min da noite, Moore é obviamente inocente.

Watson: O quê?

Holmes: Às vezes, você é tão obtuso, Watson. Peça pra qualquer estudante de cálculo para resolver isto pra você.

Watson: Hum....

Solução:

T inicial = 77,9°F

T amb. = 72°F

T após 1h = 75,6°F

T normal corpo = 98,6°F

Tempo que foi morto?

T(t)=Tm + (To –Tm).e-k t

T(t)= 72+ (77,9 – 72).e-k t

T(t)= 72 + 5,9.e-k t

Após 1h = 60 min. a temp. do corpo é 75,6°F

T(60)= 72 + 5,9.e-k(60)

75,6=72+5,9.e-60k

75,6 – 72= 5,9.e-60k

3,6= 5,9.e-60k

3,6/5,9 = e-60k

0,6101694915 = e-60k

Aplica-se ln em ambos os lados, lne=1

ln(0,6101694915) = ln e-60k

- 0,4940185055 = - 60k

K= 0,4940185055/60 = 0,0082336418

Temp. normal do corpo é 98,6°F

T(t)= 72+5,9.e – 0,0082336418t

98,6 -72 = 5,9.e – 0,0082336418t

26,6 = 5,9.e – 0,0082336418t

26,6/5,9 = e – 0,0082336418t

4,5084745763 = e – 0,0082336418t

Aplica-se ln em ambos os lados, lne=1

ln(4,5084745763)=ln e – 0,0082336418t

ln(4,5084745763)/0,0082336418 = t

t =182.903/60 min = 3,04 h

Resposta: Moore morreu aproximadamente 3:04hs após sair do palco.

UNIVERSIDADE NILTON LINS

RAPHAELL MENEZES DE MELOLUDIMIR MARCIEL NOGUEIRA

CURSO: ENGENHARIA CIVIL

MODELOS MATEMÁTICOS COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

NOV/2013

RAPHAELL MENEZES DE MELOLUDIMIR MACIEL NOGUEIRA

MODELOS MATEMÁTICOS COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

NOV/2013

Este trabalho foi

solicitado como nota parcial da

disciplina Cálculo III, ministrado

pelo Professor Laércio Augusto,

no curso de Engenharia Civil, 4º

Período.