trabalho calculo financeiro

of 56/56
Rendas em regime de juro composto INTRODUÇAO Neste trabalho vamos abordar um conceito que surgiu no âmbito da disciplina de Calculo Financeiro leccionada no 1º ano de licenciatura de Informática de Gestão, com este trabalho pretendemos ficar a perceber melhor o que são Rendas em Regime de Juro Composto. Neste trabalho vamos explicar o que são rendas e todos os conceitos relacionados com as mesmas em Valor Actual e em Valor Acumulado, tentar perceber todas as fórmulas para que melhor consigamos resolver os exercícios e saber calcular todo o tipo de rendas. 3
  • date post

    03-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    2.480
  • download

    18

Embed Size (px)

Transcript of trabalho calculo financeiro

Rendas em regime de juro composto

INTRODUAO

Neste trabalho vamos abordar um conceito que surgiu no mbito da disciplina de Calculo Financeiro leccionada no 1 ano de licenciatura de Informtica de Gesto, com este trabalho pretendemos ficar a perceber melhor o que so Rendas em Regime de Juro Composto. Neste trabalho vamos explicar o que so rendas e todos os conceitos relacionados com as mesmas em Valor Actual e em Valor Acumulado, tentar perceber todas as frmulas para que melhor consigamos resolver os exerccios e saber calcular todo o tipo de rendas.

3

Rendas em regime de juro composto

Definio de rendasAs rendas so um conjunto de capitais, constantes ou no, com vencimentos equidistantes, no tempo . Cada um desses capitais designa -se habitualmente, de termo de Renda. Rendas so um conjunto de capitais que ocorrem em momentos com o mesmo intervalo de tempo. Cada um dos capitais designa -se por termo de renda. Cada intervalo de tempo que decorre entre os vencimentos de dois termos consecutivos d se o nome de perodo de renda. As rendas podem ser classificadas de acordo com muitos critrios. Podem ser classificados quanto ao perodo da renda, quanto ao valor dos seus termos, quanto ao momento de referncia e quanto ao vencimento dos termos.

4

Rendas em regime de juro composto

Quanto aos termos, podem ser:

- Certas so aquelas em que a durao do seu servio no depende de qualquer eventualidade, isto , a disponibilidade dos seus termos absoluta segundo critrios previamente estabelecidos. - Temporrias se os seus termos se encontram num intervalo de tempo fi nito. (ex. prestao de um electrodomstico) - Perptuas ou Perpetuidades se a sua durao ilimitada. (ex. determinada prestao que recebo at morte. - Aleatrias ou incertas neste tipo de rendas, a disponibilidade dos seus termos depende de circunstncias no previstas, isto , aquelas em que o comeo ou o fim do servio impreciso e dependente de algum acontecimento externo, imprevisvel (ex: um seguro de vida a sua durao no certa, ou seja, no sabemos o seu inicio e fim).

- Constantes ou termos constantes so aquelas em que todos os pagamentos so iguais. - Termos Variveis so aquelas em que os pagamentos no so todos iguais.

Quanto aos perodos, podem ser:

- Inteiras so aquelas em que cada termo est disponvel no momento da capitalizao.

- Fraccionadas so aquelas em que cada termo est dividido em sub -termos, encontrando-se disponveis em sub-perodos de cada perodo inteiro da taxa.

Quanto ao momento de referncia, podem ser:- Renda Imediata so aquelas que so recebidas desde a origem, isto , aquelas em que o primeiro servio reporta -se ao perodo, cujo o incio se situa o valor actual da renda.5

Rendas em regime de juro composto

- Renda Diferida so aquelas em que o prim eiro servio respeita a um perodo que posterior quele em que se situa o valor actual da renda.

Tanto as rendas imediatas, como as rendas diferidas podem ser classificadas por: - Postecipadas ou de Termos Normais so aquelas em que os seus termos esto disponveis no fim de cada perodo. - Antecipados ou de Termos Antecipados so aquelas em que os seus termos esto disponveis no incio de cada perodo. Este tipo de rendas tambm classificado quanto ao vencimento dos termos.

CLCULO DOS VALORES DE UMA RENDA

O valor de uma renda depende do momento que se toma por referncia , vamos passar a explicar: -O valor actual o valor duma renda referida ao incio do primeiro ao incio do primeiro perodo. , assim, o capital nico de todos os termos. -O valor acumulado o valor da renda referido ao fim do ltimo perodo e constitudo pela soma dos valores acumulados de cada um dos seus termos, tambm referid os ao fim do ltimo perodo. -O valor duma renda num ponto intermdio da sua vigncia e havendo que considerar todos os seus termos obrigar, por via dos conceitos anteriores, ao clculo dos valores acumulados dos termos vencidos e ao clculo dos valo res actuais dos termos vincendos, sendo todos os valores referidos ao ponto intermdio. -O valor de uma renda num ponto intermdio da sua vigncia e havendo que considerar apenas os termos futuros constitudo pela soma dos valores actuais, referidos a esse momento (ponto intermdio), de cada um dos termos vincendos. , assim, o capital nico dos termos vincendos.6

perodo e

constitudo pela soma dos valores actuais de cada um dos termos, ta mbm referidos

Rendas em regime de juro composto

Rendas certas, inteiras, de termos constantes:Vo ser apenas considerados rendas de termos unitrios e iremos analisar dois aspectos essenciais tais como: - Capitalizaes no fim de cada perodo - Capitalizaes em sub-perodos de cada perodo inteiro

Rendas imediatas com n termos normais e unitriosEstas rendas so as mais importantes pois so as mais simples e todas as outras rendas podem -se converter nestas, ou seja, podem ser transformadas em rendas imediatas, de termos inteiros e normais. Este tipo de renda composta por n termos iguais que se vencem no respectivo perodo.

Com capitalizaes no fim de c ada perodo T T T T T termos

0 i

1

2

..

n -1

n

perodos

Nesta recta temporal temos representado termos unitrios (1 capital) e temos tambm os perodos referentes a cada termo. A cada perodo corresponde uma taxa (i). Neste tipo de renda como uma renda imediata o pagamento feito no inicio do primeiro perodo.

7

Rendas em regime de juro composto

Clculo do valor actual:

O valor actual de uma renda certa, temporria, imediata e inteira com n termos normais e unitrios representa -se por coincide com o nmero de perodo 1 1 1 1 1

an i .

Neste caso o nmero de termos

0

1

2

..

n-1

n

(1 + i) 1 (1 + i) 2 (1+i) ( n 1) (1+i) n

Ento:

an i ! 1 i 1 i ... 1 i 1 2

n

Sendo,

an i ! 1 i *

1

1 1 i

n

1 (1 i ) 1

Temos ento:

1 n an i ! 1 1 i i

8

Rendas em regime de juro composto Nesta frmula est a ser considerado o T como sendo igual a 1; Para calcularmos o valor actual de uma renda imediata, iremos utilizar o valor referido ao incio do 1 perodo e somamos todos os termos actualizando -os para o perodo que estamos a utilizar.

Termos no unitrios mas iguais a T temos a seguinte formula:

Ou seja: T

an i

=

T n 1 1 i i

a representa o valor actual; i a taxa aplicada n o numero de termos T o valor da renda, t { 1

No caso de ser uma renda perptua imediata de termos normais e unitrios temosa seguinte formula:

1 1 n ag i ! lim an i ! lim 1 1 i ! i npg npg i Nesta frmula podemos verificar que o n pode ser infinito ou seja, podemos ter um nmero infinito de termos .

9

Rendas em regime de juro composto

Valor acumuladoO valor acumulado a soma dos valores acumulados ou capitalizados de todos os termos

0

1

2

n -1

n

(1+i)

n 1

(1+i) n 2 (1+i) Neste esquema podemos verificar o valor acumulado de cada termo da renda.

Formula:

sn i ! 1 1 i 1 i ... 1 i 2

n 1

Logo,

1 n S n i = 1 i 1 i

i - taxa n- nmero de termos S- valor acumulado.

Podemos concluir que o valor acumulado o valor actual capitalizado no fim do prazo da mesma forma que o valor actual igual ao valor acumulado actualizado para o incio da renda.

10

Rendas em regime de juro composto

Rendas imediatas com n termos normais e unit rios e capitalizaes em sub- perodos de cada perodo inteiro:

A resoluo do problema igual apenas com alguns pormenores que devem ser tidos em ateno: - Neste caso no h coincidncia da taxa com o perodo da renda sendo a taxa inferior ao perodo da capitalizao pois h perodos intermdios; - Neste caso temos tambm que calcular a taxa efectiva relativa ao perodo da renda para nos podermos situar nas rendas inteiras visto serem mais fceis.

1

1

1

1

0

1

2

,,,,

n -1

n

i = (1+

i( m ) m

) m -1

Est-se a calcular a taxa efectiva para um perodo sendo esta a formula a utilizar.

Valor actualPara calcular o valor actual so necessrios alguns passos: Sabemos o valor actual da renda, sabemos tambm que a formula a utilizar para calcular a taxa efectiva a anteriormente referida. Ento vamos substituir

an i

na

formula, utilizada para calcular o valor actual, o (i) da taxa de juro pela formula que utilizamos para calcular a taxa efectiva. Tendo como formula final o valor actual calculada com a taxa efectiva.

11

Rendas em regime de juro composto

Formula:De

1 n an i ! 1 1 i i i 1 i ! 1 m mm

Com:

Vem:

an im

i( m ) nm ! * 1 1 m m im 1 1 m 1 im

E:

an im

i nm 1 m 1 1 m * ! m m im im 1 1 m m

!

1m im im 1 1 m m

* an.m imm

an*mam*m im i n Temos como frmula

an im ! a

n im

! S

m

m i m m

m im m m

S

a valor actual, n - Nmero de periodos inteiros, i taxa efectiva referida a um perodo,

im - taxa nominal referida a um perodo com m

capitalizaes no perodo

m: nmero de capitalizaes por perodo ou frequncia de capitalizaes

12

Rendas em regime de juro composto

1

1

1

0

1 m

2 m 1 m m

1

1+

1 m 1 1+ m m

2 n

m representa o nmero de capitaliza es por perodo. Neste caso possvel verificar que existem capitalizaes em sub -perodos, isto , vo existir varias capitalizaes dentro de um so perodo.

m=

periododataxa periododarenda

Clculo do valor actual com m capitalizaes:

an im

im ! 1 m

m

im 1 m

2 m

im ... 1 m

n. m

E,

an im

im 1 1 m im m ! 1 * m m im 1 1 m n. m

n .m

an im

im 1 1 m 1 ! * m m im im 1 1 1 m m m im 1 m

13

Rendas em regime de juro composto n. m

im 1 1 m ! im m

im * m im 1 1 m m

an im ! an*m im *m

1 sm im m

Atravs desta frmula vamos calcular o valor actual tendo em conta a taxa nominal

i( m ) . O clculo ser feito atravs do produto entre o valor actual (utilizando o mesmonmero de termos igual ao total das actualizaes e utilizando tambm a taxa proporcional

im ) e o inverso do valor acumulado . m

Valor acumuladoFormula:

1 n S n i ! 1 i 1 i im 1 i ! 1 m m

Sn im !

1 im 1 1 m im m

i n*m m * 1 1 m

i n .m 1 m m * 1 ! 1 * i m m im m 1 1 m m 14

Rendas em regime de juro composto

S n im !

1 S m im m

* S n*m im m

Esta frmula vem da juno da taxa efectiva com o valor acumulado, isto , na frmula substitumos a nossa taxa (i) pela taxa o nominal de onde surge a formula.

Contudo ao escrevermos os termos por uma ordem inversa e utilizando o mesmo esquema que utilizamos para demonstrar o valor actual iremos obter o mesmo resultado ou seja:m i ! 1 m n 1 m i 1 m n 2

Sn imm

... 1

Ao escrever os ttulos por ordem inversa fica:

S n im m

i i ! 1 1 m m

m

2m

i ... 1 m

n 1.m

S n im

im im 1 1 1 m m ! ! m im im 1 1 m m

n .m

n. m

1 *

im m im 1 1 m m

15

Rendas em regime de juro composto

Frmula final:

S n i m ! S n * m i m *m

1 S m i m m

Com esta formula vamos calcular o valor acumulado tendo em conta o numero de termos (n) e a taxa efectiva i(m). E sse calculo feito atravs do produto entre o valor acumulado utilizando a taxa proporcional

im m

e o valor acumulado que tem o numero

de capitalizaes iguais ao numero de termos.

Rendas imediatas com n termos antecipados e unitrios

Rendas com capitalizaes no fim de cada perodo Neste caso o pagamento das rendas comea a ser efectuado no incio do primeiro perodo (0) e termina no momento (n -1) sendo que o ultimo perodo da renda termina em n, tal como podemos verificar na recta temporal a seguir: 1 1 1 1

0 i

1

2

n 1 n

Nesta recta vemos que o pagamento efectuado no incio de cada perodo, ou seja o primeiro termo vence-se no momento zero e corresponde ao perodo (0,1) e o ultimo termo vence se no momento n -1 correspondendo ao perodo de tempo (n, n -1), havendo capitalizaes no fim de cada perodo da renda.

16

Rendas em regime de juro composto Valor actual O valor actual deste tipo de rendas representa -se significado que nas rendas anteriores.

n

i

. O n e o i tem o mesmo

Formula:

a n i ! 1 1 i 1 i ... 1 i 1 2

..

n 1

!

1 1 i

n 1

1 1 i

1 n a n i ! 1 i * 1 1 i ..

i

E ainda:

i ! 1 an1 in

Nesta frmula verifica-se a ligao entre o valor actual da renda de termos antecipados e o valor actual da renda de term os normais. H tambm outra ligao importante nesta frmula que a diviso da renda antecipada em dua s: uma parte que constituda pelo 1 termo que vence no momento zero, outra constituda pelos restantes termos em que o primeiro se vence no momento um e o ultimo em (n -1). O valor actual destes termos no momento zero frmula.

a n 1 i tal como podemos verificar na

Valor acumulado O valor acumulado representa se por S n i e tal como nas rendas de termos normais, o seu valor advm da capitalizao do valor actual para o fim do ultimo perodo.

17

Rendas em regime de juro composto

Formula:

s n i ! 1 i * nn

..

n

i

! 1 i 1 i .an i

s n i ! 1 i S n i

..

Formula final:

ni

1 n ! (1 i ) * 1 i 1 i

Por aqui conclumos que para calcularmos o valor acumulado de uma renda com n termos antecipados e unitrios apenas necessrio multiplicar o valor actual de uma renda igualmente de n termos antecipados e unitrios ao valor actual de n termos .

Rendas com capitalizaes em sub -perodosSe existirem capitalizaes em sub -perodos de cada perodo inteiro para calcular o valor actual e o valor acumulado iremos utilizar as mesmas formulas que utilizamos nas rendas imediatas de termos normais.

Rendas diferidas com n termos normais e unitriosAntes de falarmos das rendas diferidas convm distingui -las das rendas imediatas.

18

Rendas em regime de juro composto1 1 1

0

1

2

..

n -1

n

iPor este esquema pode -se observar que nas rendas diferidas o primeiro pagamento ser efectuado no m omento um, ou seja, o primeiro pagamento ser feito no perodo (1,2), o perodo seguinte em que se situa o valor actual, e o ultimo ser efectuado em (n -1) sendo uma renda de termos antecipados mas diferida de um perodo.1 1 1

0

4

5

6

..

n+4

i

Nas rendas diferidas postecipadas o pagamento feito num determinado nmero de perodos aps aquele em que se situa o valor actual aqui como podemos analisar atravs do esquema, o pagamento feito no momento 5 que referente ao perodo (4,5), logo podemos concluir que o prazo de diferi mento desta renda de 4 perodos.

Vamos calcular o valor actual e o valor acumulado de uma renda diferida de perodo inteiro.

k

perodos com n termos normais e unitrios e capitalizaes apenas no fim de cada

Clculo do valor actual

|a k ni

Existem duas formas de calcular o valor actual: Primeiro vamos analisar as rendas imediatas de termos normais. Primeiro temos aqui um renda imediata com n termos normais de valor actual igual a a n i . A seguir

19

Rendas em regime de juro composto actualizamos o valor de k perdoados para se obter o valor actual na origem:k|

an i ! 1 i * an i

k

Por esta frmula vamos obter o valor da renda actual levando em conta que o momento k representa uma renda imediata com n termos normais e unitrios de seguida actualizamos o valor de K pelo nmero de perodos diferidos.

Em segundo temos o valor actual calculado a partir do princpio geral de actualizao termo a termo. Sendo a formula utilizada a seguinte:

1 k | an i ! i

k 1

1 i

k 2

... 1 i

k n

k 1 2 n ! 1 i . 1 i 1 i ... 1 i

k 1 n ! 1 i . 1 1 i i

k|

an i ! 1 i * an i

k

O calculo do valor actual termo a termo ser calculado pela mesma formula acima referida.

Clculo do valor acumuladoA frmula utilizada

k|

Sn i

Em primeiro capitalizamos o valor actual para o fim do ultimo perodo

K|

Sn i ! 1 i * an i * 1 i ! an i .1 i n

k

k n

20

Rendas em regime de juro composto

k| S n i

= k| S i n

Aqui temos uma renda diferida de k perodos cujo valor calculado para o momento em que se efectua o ultimo pagamento, logo coincide com o ultimo perodo da renda.

Depois vamos calcular os valores de cada um dos termos:

k|

Sn i ! 1 1 i 1 i ... 1 i 2

n 1

1 n ! 1 i 1 i

! Sn i

Aqui estamos a capitalizar para o ltimo perodo. Isto neste caso visto que os valores que pretendemos calcular so calculados no ltimo momento da renda, ou seja coincidente com o ultimo perodo da renda no existindo momentos diferidos, o valor actual ser calculado da mesma forma que se calcula na renda normal e unitria com n termos normais e constantes.

RENDAS DIFERIDAS COM N TERMOS ANTECIPADOS E UNITRIOS

Clculo do Valor ActualA forma mais simples para deduzir a expresso do seu valor transformar a renda numa renda de termos normais, mas agora diferida de k -1 perodos.

k a n i ! 1 i . a n ik

..

..

Tambm se podia fazer termo a termo:

k a n i ! 1 i 1 i

..

k

k 1

... 1 i

k n 1

21

Rendas em regime de juro compostok 1 2 n 1 ! 1 i 1 1 i 1 i ... 1 i

1 k n ! 1 i . 1 i . 1 1 i i

! 1 i

k 1

.an i

Clculo do Valor acumulado

k s n i ! s n i ! 1 i 1 i ... 1 i 2

..

..

n

2 n 1 ! 1 i 1 1 i 1 i ... 1 i

1 n ! 1 i . 1 i 1 i

! 1 i s n i

22

Rendas em regime de juro composto

RENDAS TEMPORRIAS DE TERMOS CERTOS E CONS TANTESRenda temporria est dividida em vrios sub -termos, encontrando-se disponveis em sub-perodos de cada perodo inteiro da taxa. Esquematicamente, considera-se: T T T T T T T T

0

1 12

2 12

11 1 12

1+

1 11 1+ 12 12

2

n

anos

Perodo da renda

Perodo da taxa

I a taxa de juro referente a um ano; n o nmero de anos da renda; 12 o nmero de servios da renda em cada ano; T o valor de cada prestao mensal e postecipadas;

Cada perodo da taxa corresponde um termo igual a 12 T, que est dividido em 12 partes iguais, vencendo -se cada uma delas num sub-perodo (ms) do ano. A renda de n termos anuais e iguais a 12 T d origem a uma nova renda com n v 12 termos e perodos iguais a 1/ 12 do ano.

23

Rendas em regime de juro composto

Rendas temporrias imediatas de termos normais e constantes 1 m 1 m

1 m

1 m

1 m

.

1 m

1 m

1 m

0

1 m

2 m 1 1 m m

1

1 m 1 1 2 m m

n

anos

i

Em geral para rendas de n termos unitrios de renda inteira, taxa i referida ao perodo inteiro, diviso de cada termo em m sub -termos iguais, vencveis em sub-perodos De cada perodo inteiro. Uma renda temporria constituda por m, n termos iguais a e cujo perodo

1 . m 1 . m

1 . m

Valor Actual(m )

O valor actual desta ren da representam-se por

a

n i

.

Se o valor de cada termo do perodo inteiro da taxa no for unitrio mas(m)

sim igual a T, o smbolo do valor actual ser

.a

n i

.

1 Processo: actualizao termo a termo

24

Rendas em regime de juro composto

(m)

a

n i

!

mn m 1 2 1 1 i m 1 i m ... 1 i m ... 1 i m m

1 1 1 i m 1 1 1 1 i m . ! . 1 i ! . 1 1 m m 1 i m 1 1 1 i m n

mn

Se for T o valor de cada termo da renda inteira:(m)

T .a

n i

!

1 T 1 n .i. 1 1 i . 1 m i 1 i m 1

!

Ti1 m 1 i m 1

.a n i

! T.

i im

.a n i

Neste caso estudamos o T como sendo diferente de 1

2 Processo: Alterao da renda temporria em renda de termos inteiros Este mtodo de utilizao prtica na medida em que se trabalha com o tipo de rendas mais simples. Para isso fundamental fazer combinar o perodo da renda com o perodo da taxa e suficiente convencionar a taxa

im referida ao sub -perodo 1/ m .

25

Rendas em regime de juro composto

O valor da taxa efectiva i a seguinte:

im

no necessita ser calculado e a sua conexo com a taxa

1 i ! 1 im

m

Valor Acumulado( m)

Representa-se pelo smbolo

s

n i e a sua expresso resulta a partir dos

mesmos mtodos que utilizmos para o clculo do valor actual

1 Processo: Capitalizao termo a termo para o fim do ltimo(m )

s

n i

!

mn 1 mn 2 1 1 i m 1 i m ... 1 m

!

1 . m

1 i m1

mn

1

1 i m 1

!

i 1 1 n . . 1 i 1 1 m 1 i m 1 i (m)

s

n i

!

i im

.s n i

2 Processo: Transformao da renda temporria em renda de termos inteiros

1 1 1 mn s mn i ! . 1 im 1 m m m im

!

1 1 1 n . .i. 1 i 1 m im i26

Rendas em regime de juro composto

!

i .s m.im n i

RENDAS TEMPORRIA IME DIATAS DE TERMOS NOR MAIS E CONSTANTES CO M PCAPITALIZAES EM CA DA PERODO INTEIRO

A existncia de p capitalizaes em cada perodo pode coincidir ou no conforme

p ! m ou p { m , como os vencimentos dos termos 1/m.

Esta situao determina -se na relao de equivalncia de taxas:

1 i ! 1 im

m

i p 1 i ! 1 p i p

p

a taxa nominal relativa ao perodo inteiro com p capitalizaes no perodo.

Consequncia das relaes:

1 im

m

i p ! 1 p

p

p

e

1 im m

i p m ! 1 p

27

Rendas em egime de j V l

mposto

a

V l

s

1 m

1 m

1 m

1 m

1 m

1 m

1 m

1 m

2 mi

m 1 m

1

1 m

n 1

m 1 n m

este esquema possumos uma enda omposta por sub -perodos,tal que os termos so antecipados, ou seja, os termos esto dispon eis no comeo de cada perodo. Alterando para uma renda inteira: i

1 m

1 m

1 m

1 m

m n -1 m n

m

este esquema est mais uma ez representada uma renda com sub -perodos.

RE

mn i p

A tu l

!

1 a m mn im

A u ul

m n i p

!

1 s m mn im

AS

E P R RIAS I E I A A S

E ERMOS A

ECIPA O S E CONS ANTES

28

Rendas em regime de juro composto

Valor Actual.. m

Frmula final:

a

n i

!

1 .. a mn im m

1 .. 1 a m.n im ! .1 im am.n im m m ! 1 1 n. m .1 im 1 1 im m m1 1 .1 im m m

!

1

1 im

1 m

1

1 1 im n

! 1 i

1 m

i m 1 im ! 1 i m1 1 m

1 n . 1 1 i i 1 i .an i

im

Valor Acumulado.. m

Frmula final:

s

n i

!

1 .. s mn im m

1 .. 1 S m.n im ! 1 im S m.n im m m ! 1 1 m. n 1 im . 1 im 1 m m

29

Rendas em regime de juro composto1 1 1 1 i n 1 m. ! 1 i 1 m 1 i m 1

! 1 i m .

1

1 im

Sn i

Rendas temporrias diferidas de termos normais e constantes

1 m

1 m

1 m

1 m

0

1

k

k

1 m 1 k k+1 m m

k+n

i

Neste esquema est representada uma renda temporria composta por sub -perodos, e diferida em que k representa o nmero de perodos diferidos.

Alterando a renda temporria em renda de termos inteiros:

1 m

1 m

1 m

1 m

1 m

0 i

1 k (0) 1

2 .. m

m+1 m.n

im 1 a i m m.n m 1 S i m m. n m

1 k am.n im .1 i m

30

Rendas em regime de juro composto

Valor Actualm

Formula Final:

ka

n i

! km am n i vm

1 m

1 .a i m m. n m

k| a n i !

m

1 k am.n im .1 i m i im an i .1 i k

k| a n i !

m

Valor Acumulado

m

Frmula final:

k s

n i

! km sm n i vm

1 m

conformidade de casos prvios o valor acumulado no provm do prazo de diferimento:

m

k s

n i

!s

m n i

!

1 i . s mn i ! .s m m im n i

31

Rendas em regime de juro composto

Rendas temporrias diferidas de termos antecipados e constantes...

1 m

1 m

1 m

1 m

1 m

0 i

1

k

1 m

k k

1 m 1 m 1 k k 1 k n 1 k n m m m

Neste esquema esta apresentada uma renda termos so pagos previamente e so consumadas varias capitalizaes dentro do mesmo perodo de tempo.

1 m

1 m

.

1 m

0

1 k -

1 m

k (0)

1

m.n -1 m.n

i

im

1 k am.n im .1 i m

1 a i m m.n m

1 .. S m . n im m

Nesta recta esta apresentada a modificao de uma renda temporria em uma renda de termos inteiros

32

Rendas em regime de juro composto

Valor Actual.. m

Frmula final: k a

n i

! km a m n im v

..

1 m

1 .. . a m . n im mEste o valor da renda no momento k

k|

a ni !

.. m

1 .. k a m.n im .1 i m

Actualizao de k perodos inteiros para a obteno do valor actual na origem

k|

a n i ! 1 i m .

.. m

1

i im .

a n i .1 i

..

k

! 1 i

1 k m

i im

an i

Esta expresso corresponde actualizao da renda de termos normais durante k -

1 m

perodos.

Valor Acumulado.. m

Frmula final:

k s

n i

! km s mn im v

..

1 m33

Rendas em regime de juro composto

.. m k

s

n i

!s

.. m n i

1 .. ! S m.n im m

Valor acumulado no momento m.n

RENDAS P ERPTUAS OU PERPETUIDADESRendas perptuas so aquelas que a durao ilimitada, isto no significa obrigatoriamente que sejam infinitos, apenas que n assuma valores elevados e o ltimo termo no tenha um aumento expressivo no seu valor. Consequentemente a taxa de juro exercida tambm influi, o que indica que a funo vai aumentar at determinado ponto at estabilizar (isto acontece medida que se afasta da origem). Este tipo de rendas assume todos os tipos de ren das estudadas previamente, ou seja, as rendas temporrias. Assim, as expresses de Valor Acumulado e de Valor Actual, obtm -se a partir das expresses dos valores das rendas temporrias, calculando o seu limite com n a tender para infinito.

RENDAS P ERPTUAS DE TERMOS CONSTANTES

Rendas perptuas, imediatas, inteiras, de n termos normais, constantes e no valor de t unidades monetriasEste modelo de renda representado pelo smbolo:

ag

ou

ag.i

0

1

2

n

g

perodos

i

34

Rendas em regime de juro composto Neste esquema temos representada uma renda perpetua que tende para infinito pois no se sabe determinar quando termina.

ag i ! lim an in pg

1 1 n ! lim 1 1 i ! i npg i

Sendo os termos iguais a T e no unitrios, teramos:

T * ag i ! lim T * an i !n pg

T i

RENDAS P ERPTUAS, I MEDIATAS, INTEIRAS DE T ERMOS A NTECIPADOS, CONSTANTES E UNITRIOS.. ..

Esta renda representada pelos seguintes smbolos:

ag

ou

ag i

1

1

1

1

0

1

2

n -1

n

i neste esquema pode se observar que a renda perptua imediata pois o seu primeiro termo efectuado no princpio da renda.

35

Rendas em regime de juro composto.. ..

a g i ! lim a n inpg

! lim 1 i * an inpg

Alcanamos, por fim:

an i !

..

1 i i

RENDAS P ERPTUAS, DIFERIDAS , CERTAS E FRACCIONADAS DE TERMOS NORMAIS E CONSTANTES

A expresso representativa deste tipo de renda, a seguinte:

k | ag ou k | ag .i

k o prazo do diferimento representado em nmero de perodos inteiros m o nmero de sub-termos em cada termo inteiro e unitrio

Vem,

1 m

1 m

1 m

0

1

.

K

k

1 .. k 1 k+n m

inesta recta temporal apuramos o nmero de deferimentos apresentado por k, podemos tambm verificar que esta renda temporria.

36

Rendas em regime de juro composto

Alterando a renda temporria para uma renda inteira:

.

1 m

1 m

1 m

0 i

1 k( 0)

1

2

mn

im

1 k .am.n im . 1 i m

1 a i m m .n m

Ento,(m) k| a g i

! lim

k 1 1 m .n 1 1 im 1 i im n pg m

!

1 k 1 i m.im

!

1 m 1 i 1 1 m

1 i

k

!

1 i( m )

1 i

k

37

Rendas em regime de juro composto

RENDAS V ARIVEISAs rendas variveis ou com termos variveis, so classificadas, quanto aos termos, como rendas incertas ou aleatrias. Este tipo de rendas aplicam -se quando os pagamentos so diferentes, tendo por isso que assumir uma forma de crescimento em progresso aritmtica e progresso geomtrica.

RENDAS TEMPORRIAS DE TERMOS VARIVEISEstas rendas aplicam se quando os termos de uma renda so variveis, logo a nica forma de calcular o seu valore acumulado e actualizado consiste em capitalizar e actualizar todos e cada um dos seus termos, um a um, para o momento desejado. Logo quando os termos variam de acordo com determinado padro, progresso aritmtica ou progresso geomtrica, possvel calcular os seus valores acumulado e actual de forma mais simplificada.

RENDAS TEMPORRIAS IN TEIRAS, IMEDIATAS COM N TERM OS NORMAIS VARIANDO EM PROGRESSO ARITMTICAPara determinar n termos de uma renda em Progresso Aritmtica, com razo

r, cujo primeiro deles no valor de t euros so:

t , t r , t 2r ,..., t n 2 r ,t n 1r

Valor actual:Para calcular o valor deste tipo de renda em certo momento antes da origem, necessitamos de actualizar para que o valor a adquirir venha reportado origem e coincida com o momento 0. O valor actual neste tipo de renda apresenta se pela expresso:

pa a n.i

Sabendo que

S n i ! an i 1 i

n

38

Rendas em regime de juro composto

an i ! S n i 1 i an i ! S n i 1 i

n

n

Como:

1 i n 1 r nr n an ! t 1 i i i i 1 1 i an ! t i n

r nr n 1 i i i

Desta forma, soma-se e subtrai-se o segundo membro

nr i

1 1 i an ! t i n

r nr nr nr n 1 i i i i i

Resumindo,

1 1 i n t r nr nr an ! i i i

Por fim adquirimos , a frmula final:

pa an

r nr ! an i t nr i i

39

Rendas em regime de juro composto

Valor Acumulado :Para calcular o valor deste tipo de renda em determinado momento aps a ocorrncia do ltimo termo que coincide com o momento n, precisamos ento de capitalizar o valor acumulado. O capital acumulado neste tipo de renda vai ser denominada pela expresso:

p.a Sn iSn ! Sn TSendo,

T ! r 1 i

n 2

2r 1 i

n 3

... n 3 r 1 i n 2 r 1 i n 1r2

E multiplicando os membros por (1+i)

1 i ! r 1 i

n 1

2r 1 i

n 2

3r 1 i

n3

... n 2 r 1 i n 1r 1 i 2

Se subtrair os membros ,

T 1 i T ! r 1 i

2 2 n 2 r 1 i n 3 r 1 i n 1r 1 i n 2 r 1 i n 1r

t =1 termo; r = razo

Onde,

1 i i!ri

n 1

2r 1 i

n 2

r 1 i

n 2

3r 1 i n 3 2r 1 i n 3 ...

i

! r (1 i )n 1 r (1 i )n 2 .. r (1 i )2 r 1 i r nr

n

1

nr

40

Rendas em regime de juro composto

r 1 i 1 nr T! . i i in

( p.a) Sn i

1 i !ti

n

1

r 1 i 1 nr . i i in

Sn

r

( p.a) Sn

1 i !

1 t i

n

r nr i i

Adquirindo por fim:

r nr ( p.a) Sn ! Sn i t i i Quando r