Trabalho T2 - Simulação do Ex. 12.2 - Ogata

EE. 611 - Sistemas de Controle

Prof. Carlos Mendes Richter

Aluno: Henrique da Silva Couto

Desenvolvimento realizado em grupo pelos alunos: Christopher Fonseca, Henrique Couto e Joana Marini.

Proposta do Trabalho: "Consideraremos que se pretende realimentar o sistema com os estados observados e obter um sistema

realimentado com dinâmica duas vezes mais rápida que o sistema original."

Baseado no Exemplo 12.2 do livro:

Engenharia de Controle Moderno, Katsuhiko Ogata, 3ª edição.

Simular no Matlab ou Simulink

PROJETO DO SISTEMA UTILIZANDO OS PÓLOS DADOS PELO AUTOR

O seguinte código foi desenvolvido para obter a resposta ao impulso do sistema original:

%Matrizes SS dadas (planta original): A = [0 20.6; 1 0];

B = [0; 1];

C = [0 1];

D = 0; %Representação no SS sys = ss(A,B,C,D);

%Avaliação da Resposta ao Impulso do sistema step(sys,1);

Como podemos ver até então, a planta original é um sistema instável, conforme mostra a figura abaixo, gerada pela

última linha do código mostrado acima.

Para estabilizar esse sistema, usaremos inicialmente os pólos 𝜇1 e 𝜇2 sugeridos. O posto (ou rank) da matriz de

controlabilidade M é 2, segundo o próprio autor. Isso garante, portanto, que o sistema é controlável, logo

observável.

Sabemos que, pela realimentação de estados, o estímulo de entrada é dado por:

𝑢 = −𝑲𝒙 (1)

Vamos substituir a equação (1) no sistema original, onde obteremos:

�̇� = 𝑨𝒙 + 𝑩(−𝐾𝒙)

�̇� = (𝑨 − 𝑩𝑲)𝒙 (2)

Podemos calcular o vetor de ganho 𝐾 = [𝑘1 𝑘2] igualando a equação característica gerada pelos pólos 𝜇1 e 𝜇2

com a equação característica do sistema aterado, representado na equação (2). Portanto:

(𝑠 − 𝜇1)(𝑠 − 𝜇2) = 𝑠2 + 3,6𝑠 + 9 = |𝑠𝑰 − 𝑨 + 𝑩𝑲|

𝑠2 + 3,6𝑠 + 9 = |[𝑠0

0𝑠

] − [01

20,6

0] + [

01

] [𝑘1 𝑘2]|

{𝑘1 = 1,4369

𝑘2 = 3,6

Portanto,

𝑲 = [1,4369 3,6] (3)

Podemos, agora, simular a resposta ao impulso do sistema com realimentação de estados. O código abaixo foi

utilizado para calcular e plotar a resposta em frequência do sistema simulado.

%% Determinando a resposta ao degrau do sistema com realimentacao de estados

K = [1.4369 3.6]; %Ganho k de acordo com os polos escolhidos

At = A-B*K;

sys = ss(At,B,C,0);

figure; step(sys);

Inserindo o sistema observador na análise

Para obter o dobro da rapidez do sistema de estados realimentados, vamos multiplicar por 2 os pólos 𝜇1 e 𝜇2.

Os pólos (ou autovalores da matriz de ganho do observador) serão, portanto:

𝜆 = −3,6 ± 𝑗4,8

Agora vamos calcular a matriz Ke através da fórmula de Ackermann (método 3 utilizado na solução do exemplo no

Ogata). A fórmula de Ackermann é dada por:

Aplicando a fórmula ao problema dado, tem-se:

𝑲𝑒 = 𝜙(𝑨) [𝑪

𝑪𝑨]

−1

[01

] (4)

Onde: 𝜙(𝑠) = (𝑠 − 𝜆1)(𝑠 − 𝜆2) = 𝑠2 + 7,2𝑠 + 36

Deste modo, 𝜙(𝑨) fica:

𝜙(𝑨) = 𝑨2 + 7,2𝑨 + 36𝑰 (5)

Portanto,

𝑲𝑒 = 𝑨2 + 7,2𝑨 + 36𝑰 [𝑪

𝑪𝑨]

−1

[01

]

= [56,67,2

148,32

56,6] [

01

10

] [01

]

𝑲𝑒 = [56,67,2

] (6)

A figura abaixo mostra a equação do observador de estado de ordem plena:

Com isso, podemos obter nosso sistema observador como sendo:

[𝑥1̇̃

𝑥2̇̃

] = [01

−36−7,2

] [𝑥1̃

𝑥2̃] + [

01

] 𝑢 + [56,67,2

] 𝑦 (7)

Analogamente à equação (1), sabemos que a entrada u pode ser definida como:

𝑢 = −𝑲𝒆 𝒙 (8)

Aplicando a equação (8) no sistema observador mostrado na equação (7), obtemos:

[𝑥1̇̃

𝑥2̇̃

] = [0

−0,43

−36−10,8

] [𝑥1̃

𝑥2̃] + [

56,67,2

] 𝑦 (9)

O sistema completo equivalente

Desejamos agora, sintetizar todo o sistema em uma única função de transferência. Para tanto, utilizaremos da

imagem a seguir retirada de Ogata:

Vamos, primeiramente, calcular a função de transferência de 𝑈(𝑠)

−𝑌(𝑠) :

𝑈(𝑠)

−𝑌(𝑠)= [1,4369 3,6] ([

𝑠0

0𝑠

] − [01

20,6

0] + [

56,67,2

] [0 1] + [01

] [1,4369 3,6])−1

[56,67,2

]

𝑈(𝑠)

−𝑌(𝑠)=

106,9𝑠 + 415,9

𝑠2 + 10,8𝑠 − 15,48 (10)

O próximo passo é obter a função de transferência do processo a controlar e fazer a realimentação unitária. O

código abaixo mostra esse procedimento:

%% Calculo do sistema equivalente final s = tf('s'); U_Sobre_Y = (106.9*s + 415.9)/(s^2 + 10.8*s - 15.48);

[num, den] = ss2tf(A,B,C,0); Planta = tf(num,den);

Y_Sobre_MenosY = U_Sobre_Y*Planta;

T_Eq = feedback(Y_Sobre_MenosY,1)

O código mostrado calcula a seguinte equação de transferência equivalente: