Trabalho de Equações Diferenciais Parciais

EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016

ÍNDICEIntrodução....................................................................................................................2

1 Equações Diferenciais do Tipo Hiperbólico...........................................................3

1.1 Métodos de Resolução das EDP....................................................................3

1.1.1 Método da Integração Básica Directa......................................................4

1.1.2 Método de Mudança de Variáveis............................................................5

1.1.3 Separação de Variáveis...........................................................................8

2 Série de Fourier...................................................................................................10

2.1 Funções Pares e Ímpares.............................................................................11

2.1.1 Propriedades das Funções Pares e Ímpares.........................................12

2.2 Série de Fourier de Cossenos e de Senos...................................................12

2.3 Equação de Uma Oscilação de Uma Corda.................................................13

2.3.1 Solução da Equação da Onda pelo Método de Fourier.........................13

Conclusão..................................................................................................................17

Referências Bibliográficas.........................................................................................18

Integrantes do Grupo.................................................................................................19


INTRODUÇÃOA Matemática na sua abrangência, oferece conexões preponderantes a diversos

campos científicos. Salientando a aparição das Equações Diferenciais Parciais como

sustento de diversos problemas físicos como: Problema de mecânica de fluidos, de

sólidos-dinâmica, de elasticidade, de transferência de calor, da teoria

electromagnética, mecânica quântica, e outros.

Nas EDP de Ordem Superior aparecem as EDP Lineares Homogéneas e não

Homogéneas. No que tange as EDP de 2ª ordem eis a classificação: Hiperbólico,

Elíptico e Parabólico.

No entanto a nossa abordagem cingir-se-á, nas Equações Diferenciais Parciais de

tipo Hiperbólico, abarcando assim a demonstração e resolução da mesma, a

equação de oscilação de uma corda, condições com valores de contorno do

problema e solução da equação da corda pelos métodos de Fourier.


1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO

Dada uma EDP na forma, A ∂2U

∂ x2 +B ∂2U∂ x∂ y

+C ∂2U∂ y2 +D ∂U

∂ x+E ∂U

∂ y+FU=G

onde

todos os coeficientes A, B, C, D, E e F são funções que dependem das variáveis

x e y em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C é não nulo; é do Tipo

Hiperbólico se, ∆=B2−4 AC>0.

EXEMPLOS.

1. Diga se as seguintes equações diferenciais são do tipo Hiperbólico

a) ∂2U∂ x2 =∂2 U

∂ y2

b) ∂2U∂ x2 + ∂2U

∂ y2 =0

Solução:

a) ∂2U∂ x2 =∂2 U

∂ y2 =¿ ∂2U∂ x2 −∂2 U

∂ y2 =0=¿ A=1 , B=0˄C=−1

B2−4 AC=02−4∗1∗(−1 )=4>0 ,é uma equação diferencial hiperbólica.

b) ∂2U∂ x2 + ∂2U

∂ y2 =0=¿ A=1 ,B=0˄C=1

B2−4 AC=02−4∗1∗1=−4<0 ,não é uma equação diferencial hiperbólica.

EXERCÍCIOS.

1-Diga se as seguintes equações diferenciais são do tipo Hiperbólico

a¿3 ∂2U∂ x2 =∂ U

∂ y

b)∂U∂ x

=∂U∂ y

c) x2 ∂2 U∂ x2 + ∂2 U

∂ y2 =0

1.1 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DAS EDP


Há vários métodos que podem aplicar-se para encontrar as soluções particulares de

uma equação diferencial.

1.1.1 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO BÁSICA DIRECTANo método de integração básica directa procede-se como nas EDO´s (Equações

Diferencias Ordinárias) exactas, quando integramos em ordem a uma das variáveis,

consideramos as outras como constantes, ou seja, considerando uma função

arbitrária nas outras variáveis como uma constante.

EXEMPLOS.

1. Sabendo que U é uma função de x e de y, determinar as soluções gerais das

equações diferenciais parciais seguintes:

a) U (x , y)x=0b) U (x , y)xy=0

Solução:

a) U (x , y)x=0

∂U∂ x

=0, Integrando ambos os membros em ordem a x, como U é uma função de x e

y, então considera-se como constante uma função em ordem a y.

Logo vem:

U (x , y)=f ( y), que é neste caso a solução geral.

b) U (x , y)xy=0

Integrando primeiro em ordem a x vem U (x , y)=f ( y ) e integrando agora em ordem a

y temos como solução geral

U ( x , y )=∫ f ( y ) dy+h(x).

EXERCÍCIOS

Obter as soluções gerais das equações diferenciais parciais Seguintes:

a. U (x , y)xx=3b. U (x , y)x=cosyc. U ( x , y ) xy=8 x y3


1.1.2 MÉTODO DE MUDANÇA DE VARIÁVEIS

EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA

Para a EDP A ( x , y ) U xx+B ( x , y ) U xy+C ( x , y ) U yy=0Definimos a equação diferencial

característica associada como:

A ( x , y )(dx)2+B ( x , y ) (dx ) (dy )+C ( x , y ) (dy )2=0 As curvas características associadas são

as soluções da equação diferencial (ordinária) característica.

Exemplo de equações características de uma EDP A equação U xx−U yy=0 definida

emℜ2,tem a equação característica (dx )2−(dy )2=0

A solução desta EDO característica, fornece duas curvas características:

x+ y=c1

x− y=c2

É muito útil realizar mudanças de variáveis para simplificar uma EDP com o objectivo

de obter formas mais simples para resolver esta equação parcial e o mecanismo que

oferece mudança de variáveis para simplificar uma EDP é a equação característica

associada.

Dada uma EDP de segunda ordem (ou equação de Euler)α Zxx+β Z xy+γ Z yy=0

Onde ∝ , β e γ são números reais. Usando as mudanças de variáveis:

u=ax+by ev=cx+dy e aplicando a regra da cadeia poderemos escrever :

∂Z∂ x

=∂Z∂u

∂u∂x

+ ∂ Z∂v

∂v∂x e ∂Z

∂ y=∂Z

∂u∂u∂ y

+ ∂Z∂v

∂v∂ y

E assim temos:∂Z∂ x

=a ∂ Z∂u

+c ∂Z∂v

e ∂Z∂ y

=b ∂Z∂u

+d ∂Z∂v

Neste caso a solução geral é dada porZ(u , v)=f (u)+g(v )De forma análoga temos:

∂2 Z∂ x2 = ∂

∂x(a ∂Z

∂u+c ∂Z

∂v)


∂2 Z∂ x2 = ∂

∂u (a ∂Z∂u

+c ∂ Z∂ v ) ∂u

∂ x+ ∂

∂v(a ∂Z

∂u+c ∂Z

∂v) ∂v∂ x

Assim: ∂2 Z

∂x2 =a(a ∂2 Z∂u2 +c ∂2 Z

∂u∂v )+c (a ∂2 Z∂u∂ v

+c ∂2 Z∂ v2 )

Ou seja:∂2 Z∂ x2 =a2 ∂2 Z

∂u2 +2ac ∂2 Z∂u∂ v

+c2 ∂2 Z∂ v2

Ou em uma notação mais simples:Zxx=a2 Zuu+2 ac Zuv+c2 Z vv(1)

Analogamente:∂2 Z

∂x ∂ y= ∂

∂x ( ∂Z∂ y )= ∂

∂ x(b ∂ Z

∂u+d ∂ Z

∂ v)

∂2 Z∂x ∂ y

= ∂∂u (b ∂ Z

∂u+d ∂ Z

∂ v ) ∂u∂ x

+ ∂∂v

(b ∂Z∂u

+d ∂Z∂ v

) ∂v∂x

∂2 Z∂x ∂ y

=ab ∂2 Z∂u2 +ad ∂2 Z

∂u∂v+bc ∂2 Z

∂u∂ v+cd ∂2 Z

∂v2 ¿

∂2 Z∂x ∂ y

=ab ∂2 Z∂u2 +(ad+bc ) ∂2 Z

∂u∂ v+cd ∂2 Z

∂v2 ¿

Ou mais simplesmente:

Z xy=abZuu+(ad+bc)Zuv+cd Zvv (2¿

Do mesmo modo:

∂2 Z∂ y2 =

∂∂ y ( ∂Z

∂ y )= ∂∂ y

(b ∂Z∂u

+d ∂Z∂v

)

∂2 Z∂ y2 =

∂∂u (b ∂Z

∂u+d ∂ Z

∂ v ) ∂u∂ y

+ ∂∂v

(b ∂Z∂u

+d ∂Z∂v

) ∂v∂ y

∂2 Z∂ y2 =b(b ∂2

∂u2 +d ∂2 Z∂u∂v )+d(b ∂2 Z

∂u∂v+d ∂2 Z

∂ v2 )

∂2 Z∂ y2 =b2 ∂2 Z

∂u2 +bd ∂2 Z∂u∂v

+bd ∂2 Z∂u∂v

+d2 ∂2 Z∂v2

Ou seja:∂2 Z∂ y2 =b2 ∂2 Z

∂u2 +2bd ∂2 Z∂u∂v

+d2 ∂2 Z∂ v2

Ou ainda vem:Z yy=b2 Zuu+2bd Zuv+d2 Z vv(3)

EXEMPLO.

Determinar a solução geral para a equação: Zxx−Z yy=0


Solução:

Zxx−Z yy=0

Determinando primeiro a equação característica ordinária vem:(dx )2−( dy )2=0⇒¿)(dx+dy )=0dx−dy=0⋁ dx+dy=0

Integrando cada uma das equações temosx− y=c1e x+ y=c2, fazendo u=x− y ev=x+ y∂u∂x

=1 , ∂u∂ y

=−1

∂v∂x

=1 , ∂ v∂ y

=1

Fazendo também Z=uv.Então:∂Z∂ x

=∂Z∂u

∂u∂x

+ ∂ Z∂v

∂v∂x =∂Z

∂ u+ ∂ Z

∂ v∂2 Z∂ x2 = ∂

∂x ( ∂Z∂ x )= ∂

∂ x( ∂Z

∂u+ ∂ Z

∂v)

∂2 Z∂x2 =

∂∂u ( ∂Z

∂u+ ∂Z

∂v ) ∂u∂ x

+ ∂∂v

( ∂Z∂u

+ ∂ Z∂v

) ∂v∂ x

∂2 Z∂ x2 =∂2 Z

∂u2 + ∂2 Z∂u∂v

+ ∂2 Z∂u∂v

+ ∂2 Z∂ v2

∂2 Z∂x2 =∂2 Z

∂u2 +2 ∂2 Z∂u∂v

+ ∂2 Z∂v2

Ou simplesmente:Zxx=Zuu+2 Zuv+Zvv

Analogamente:∂Z∂ y

=∂Z∂u

∂Z∂ y

+ ∂ Z∂ v

∂ Z∂ y

=−∂ Z∂u

+ ∂Z∂v

∂2 Z∂ y2 =

∂∂ y ( ∂Z

∂ y )= ∂∂ y (−∂Z

∂u+ ∂ Z

∂ v )∂2 Z∂ y2 =

∂∂u (−∂Z

∂u+ ∂Z

∂v ) ∂u∂ y

+ ∂∂v (−∂ Z

∂ u+ ∂Z

∂v ) ∂ v∂ y

∂2 Z∂ y2 =

∂2 Z∂u2 −

∂2 Z∂u∂v

− ∂2Z∂u∂v

+d2 ∂2 Z∂v2

∂2 Z∂ y2 =

∂2 Z∂u2 −2 ∂2 Z

∂u∂v+ ∂2 Z

∂v2

Ou apenas:Z yy=Zuu−2Zuv+Zvv


Substituindo as derivadas de segunda ordem na equação dada temos:Zxx−Z yy=0Zuu+2Zuv+Zvv−(Zuu−2Zuv+Zvv)=0Zuu+2Zuv+Zvv−Zuu+2Zuv−Z vv=0⇒ 4Zuv=0

Zuv=0, Aplicando o método da integração básica directa temos que:Z(u , v)=f (u)+g(v )que é solução da equação Zuv=0

Com as variáveis originais obtemos a solução:Z ( x , y )=f ( x− y )+g ( x+ y )que é a solução geral.

EXERCÍCIOS.

Usando as transformações indicadas, resolver a seguinte equação:

a) 6 Zxx−5 Zxy−4 Zalignl¿ yy ¿¿=0¿Pelas condições:u=4 x+3 y ;v=x−2 y

1.1.3 SEPARAÇÃO DE VARIÁVEISQuando se busca uma solução particular em forma de um produto de uma função de

x por uma função de y, como:

u(x , y)=X (x )Y ( y )

As vezes é possível converter uma equação em derivadas parciais, linear com duas

variáveis em uma equação ordinária. Para fazê-lo notemos que:

∂u∂x

=X´ y, ∂u∂ y

=Y ´ x

E que ∂2 u

∂x2 =X ´ ´ y, ∂2u∂ y2=Y ´ ´ x

EXEMPLOS.

Determine:

a) ∂2 u∂x2 =4 ∂u

∂ yb) U x−U y=0

Solução:

a) ∂2 u∂x2 =4 ∂u

∂ y X ´ ´ y=4Y ´ x X ´´4 x

=Y ´y

Visto que o membro esquerdo é independente de y e o membro direito também é

independente de x, chegamos a conclusão que ambos os membros são

independentes de x como de y. Por outras palavras cada lado da equação deve ser


uma constante. Na prática se costuma escrever esta constante de separação como

λ ou−λ

Desta forma distinguimos os três casos seguintes:

CASO I

Seλ ¿0as duas igualdades X ´ ´4 x

=Y ´y

=¿, então temos:

X ´ ´=4 x λ❑˄Y ´= y λ❑⇒ X ´ ´−4 x λ❑=0˄Y ´− y λ❑=0, assim temos as Respectivas equações auxiliares seguintes:

r2−4 λ❑=0˄r−λ❑=0, onde parar=2 e para r= y

Dessa forma temos as soluções seguintes:X=c1cosh 2+c2sinh 2˄Y =c3 ey, assim uma solução particular da EDP dada é:U =XYU=(c1cosh 2+c2sinh 2 ) c3 e yU=A1 e y cosh 2+B1 e y sinh 2 ,onde A1=c1c3˄B1=c2 c3

CASO IISe −¿0 ,as igualdadesX ´ ´4 x

=Y ´y

=−λ❑⇒X ´ ´+4 x λ❑=0˄Y ´+ y λ❑=0 onde para r=±2 i e para y temos que

r= y, assim as soluções respectivas são:X=c4 cosh 2i+c5 senh2 i˄Y =c6 e− y, a solução particular correspondente é:

U=(c4 cosh 2i+c5 sinh2 i ) c6 e− y ,

U=A2 e− y cosh 2i+B2 e− y sinh 2 i ,ondeA2=c4 c6˄B2=c5 c6 ei representa a unidade imaginária.

CASO III

Seλ ¿0, as igualdadesX ´ ´=0˄Y ´=0 X=c7 x+c8˄ y=c9 u=A3 x+B3

ondeA3=c7 c9 ˄B3=c8c9

PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO

Se u1 ,u2, u3 ,…,uk, são soluções particulares de uma equação diferencial em

derivadas parciais linear e homogénea, então a combinação linear

U=c1u1+c2 u2+c3u3+…+ck uk também é uma solução, em que ck são constantes e

k∈ℵ0

Assim é também solução da equação anterior a expressão: U=A1 ey cosh2+B1 e y sinh 2+ A2 e− y cosh2 i+B2 e− y sinh 2i+ A3 x+B3


b¿ux−uy=0⇒ ∂u∂x

− ∂u∂ y

=0⇒ X ´ y−Y ´ x=0⇒X ´ y=Y ´ x

⇒ X ´x

=Y ´y

X ´x

=Y ´y

=± λ2 ,então

X ´=± xλ2˄ Y ´=± xλ2

X ´=± λ2=0˄Y ´=± λ2=0pelas equações auxiliares r ± λ2=0 temos quer=± λ2, então vem:

X=c1 e± λ 2 xe Y=c2 e± λ 2 y, assim a solução produtou ( x , y )=XYu(x , y)=c1e

± λ2 x ∙ c2e± λ2 y

u ( x , y )=A e± λ 2 (x + y )=A ek ( x+ y ) , k=± λ2

2 SÉRIE DE FOURIERA série de Fourier de uma função f definida em um intervalo(−p , p ) é

f ( x )=a0

2+∑

n=1

∞

(ancos nπxp

+bn sen nπxp ) ,onde: a0=

1p ∫

−p

p

f (x)dx ,

an=1p ∫

−p

p

f (x)cos nπxp

dx ,bn=1p∫−p

p

f ( x ) sen nπxp

dx; onden=0,1,2,3 …

EXEMPLOS.

Determine as séries de Fourier das seguintes funções no intervalo dado:

a¿ f (x )={0 ,−π<x<01 ,0≤ x<π

; b¿ f ( x )={−1 ,−1<x<0x ,0≤ x<1

; c ¿ f ( x )={−x ,−2≤ x<01 ,0≤ x<2

Solução:

a¿ f (x )={0 ,−π<x<01 ,0≤ x<π

A série de Fourier de função f (x) é dada por:

f ( x )=a0

2+∑

n=1

∞

(ancos nπxp

+bn sen nπxp ),

Determinando os coeficientes temos:

a0=1p∫– p

p

f ( x ) dx , Neste caso p=π a0=1π ∫

– π

π

f ( x )dx=1π∫0

π

dx=¿1¿

an=1p∫– p

p

f ( x ) cos nπxp

dx=1π ∫

– π

π

f ( x )cos nπxπ

dx


an=1π∫0

π

cos nπxπ

dx= 1π∫0

π

cosnx dx= 1π∫0

π

cosnx dx=0

bn=1p∫– p

p

f ( x ) sen nπxp

dx= 1π ∫

– π

π

f ( x ) sin nπxπ

dx

bn=1π∫0

π

sen (nx ) dx=−1nπ

[ cosnx ] π0

bn=1nπ

(1−cosnπ )= 1nπ [1−(−1 )n ] Então a série de Fourier para a função dada é:

f ( x )=12+ 1

π ∑n=1

∞ [1− (−1 )n ]n

sen nx

b¿ f ( x )={−1 ,−1<x<0x ,0≤ x<1

a0=1p∫– p

p

f ( x ) dx=∫– 1

1

f ( x ) dx=−∫– 1

0

dx+∫0

1

xdx=−[ x ] 0−1

+ 12

[ x2 ]10

a0=1+ 12=3

2

an=1p∫– p

p

f ( x ) cos nπxp

dx=∫– 1

1

f ( x )cos nπxdx=−∫– 1

0

cosnπxdx+∫0

1

xcosnπxdx , Integrando por

partes a segunda parcela temos:

an=1nπ [ sen (nπx ) ] 0

−1+[ xsennπxnπ +

cosnπx(nπ )2 ]10=

1n2 π2 [ (−1 )n−1 ]

bn=∫−1

1

f (x ) sennπxdx=−∫−1

0

sennπxdx+¿∫1

−1

xsennπxdx ¿

bn=1nπ

[ c osnπx ] 0−1+[ sennπx

(nπ )2−

xcosnπxnπ ]10

bn=−1nπ

, logo a série correspondente é:

f ( x )=34+∑

n=1

∞ 1n2 π2 [ (−1 )n−1 ] cosnπx− 1

nπsennπx

EXERCÍCIOS.

1- Determine a série de Fourier de cada função no intervalo dado:

a¿ f (x )={−1 ,−π<x<01,0≤ x<π

b¿ f ( x )={0 ,−3<x←11 ,−1< x<10 ,1<x<3

2.1 FUNÇÕES PARES E ÍMPARESA função seno e co-seno são funções impar e par respectivamente, ou seja, uma

função é par se f (−x )=f (x ) e é ímpar se − f ( x )=f (−x ).


Vemos quecos (−x )=cosx e−senx=sen (−x )

2.1.1 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES PARES E ÍMPARES

a) O produto de duas funções pares é par

b) O produto de duas funções ímpares é par

c) O produto de uma função impar por uma função par é uma função

ímpar

d) A soma ou diferença de duas funções pares é par

e) A soma ou diferença de duas funções ímpares é ímpar

f) Se f é par, ∫−a

a

f (x ) dx=2∫0

a

f ( x ) dx

g) Se é ímpar, ∫−a

a

f (x ) dx=0

2.2 SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS E DE SENOS

I) A série de Fourier de uma função par num intervalo (-p, p) é a série de

Co-senos f ( x )=a0

2+∑

n=1

∞

an cos nπxp

Em que a0=2p∫0

p

f ( x ) dx e an=2p∫0

p

f ( x ) cos nπxp

dx

II) A série de Fourier de uma função ímpar num intervalo (-p, p) é a série de senos:

f (x)=∑n=1

∞

bn sen nπxp

, ondebn=2p∫0

p

f ( x ) sen nπxp

dx

EXEMPLOS.

1. Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções:a) f ( x )=x ,−2<x<2b) f ( x )=x2 ,−1<x<1

Solução:a) f ( x )=x ,−2<x<2

Verificando primeiro se a função é par ou ímpar vem:

f (−x)≠ f (x ), mas f (−x )=−f ( x) , logo a função é ímpar, assim podemos desenvolver em série de Fourier de senos.


f ( x )=∑n=1

∞

bn sen nπxP

,

bn=2P∫

0

p

f ( x ) sen nπxP

dx

bn=22∫0

2

x sen nπxP

dx

bn=22∫0

2

x sen nπxP

dx=[ 4n2 π2 sen nπx

2− 2

nπx] ❑0

2

bn=4nπ

cosnπ , a série correspondente para este caso é: f ( x )= 4π ∑

n=1

∞

an1n(cosnπ ) sen nπx

2,

b) f ( x )=x2 ,−1<x<1

f (−x )=f ( x )=x2, Conclui-se que a função é par.

Por ser par, o desenvolvimento desta função será mediante a série de Fourier de co-seno.

f ( x )=an

2+∑

n=1

∞

an cos nπxP

a0=2P∫

0

p

f ( x ) dx

a0=2∫0

p

x2 dx=23 [ x3 ]0

2=163

an=2P∫

0

p

f ( x ) cos nπxP

dx

an=2∫0

p

x2 cosnπxdx=[ 2n2 π2 cosnπx+( x2

nπ− 2

n3 π3 )sennπx ]❑01

an=4

n2 π2 cos nπ

f ( x )=83+ 4

π 2∑n=1

∞ 1π2 cos nπ cosnπ

EXERCÍCIOS.

Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções:a) f ( x )=x ,−3<x<3b) f ( x )=x+1 ,−1<x<1

c) f ( x )=cos x ,−π2

<x< π2

d) f ( x )=senx ,−π<x<π


2.3 EQUAÇÃO DE UMA OSCILAÇÃO DE UMA CORDA

2.3.1 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA PELO MÉTODO DE FOURIER

A equação ∂2u

∂ t2 =a2 ∂2u∂ x2 ouutt=a2 uxx se chama de oscilação de uma corda (equação

de corda vibrante ), onde a2 é considerado como uma constante positiva, a menos

que se especifique o contrário.

CONDIÇÕES COM VALORES DE CONTORNO DO PROBLEMA

O problema da corda vibrante com extremidades fixas, consiste em determinar uma

função u(x ; t), para 0≤ x≤ L e t ≥ 0, que satisfaça a equação das ondas, as condições

de fronteira e as condições iniciais. Um problema desse tipo é conhecido como um

problema de valores inicial e de fronteira, ou abreviadamente, um PVIF.

Suponhamos que a corda tenha um comprimento L, e que, quando em sua posição

de repouso, ela ocupe a porção do eixo dos x (no plano x ,u) entre 0 e L. Assim, a

hipótese de extremidades fixas implica que u (0 ; t )=u ( L;t )=0,Para t ≥ 0. Que são

chamadas condições de fronteiras. Sob o ponto de vista matemático não interessa a

natureza do processo que provoca o início das vibrações. O que importa, é o

deslocamento inicial da corda, representado por u (x,0) e o modo como a corda é

abandonada nesta posição, o que é traduzido pela velocidade inicial ut ( x ;0 ). Assim

devem ser dados

u ( x ; t )=f ( x ) , para 0≤ x≤ L

ut ( x ;0 )=g ( x ) , para0≤ x≤ L; que são chamadas de condições iniciais.

EXEMPLOS

1. Resolva a equação da onda sujeita as condições citadas acima:u (0 ; t )=u ( L;t )=0, Para t>0

a¿u ( x ;0 )= f ( x ) , ∂ u∂t | ¿

¿ t=0=g ( x ) ,0< x<L

u (0 ; t )=0 , u ( L;t )=0 , t>0

b¿u ( x ;0 )=14

x (L−x) , ∂u∂ t | ¿

¿ t=0=0

Solução


u (0 ; t )=0 , u ( L;t )=0

a¿u ( x ;0 )=f ( x ) , ∂u∂t | ¿

¿ t=0=g ( x ) ,0< x<L

equação daonda é ∂2u∂ t2 =a2 ∂2 u

∂ x2

Separando as variáveis tem-se:∂2u∂ t2 =T ´ ´ x⋀ ∂2u

∂ x2=X ´ ´ t

T ´ ´ x=a2 X ´ ´ t⇒ T ´ ´a2t

= X ´ ´x

=−λ2

T ´ ´=−λ a2t ⋀ X ´ ´=−λ2

T ´ ´+ λ2 a2 t=0⋀ X ´ ´+λ2 x=0Onde as suas equações auxiliares são: r2+λ2a2=0∧r2+λ2=0Resolvendo estas equações auxiliares, tem-se: r=± λai❑r=± λi, T=C1cosλat+C2 senλat e X=C3 cosλx+C4 senλxAtendendo as condições de fronteira, temos X (0 )=0∧X ( L )=0assim vemos queC3=0∧C4 senλ L=¿0

Esta última equação define os valores próprios λ=nπL

,onde n=1 ,2,3 ,…

As funções próprias respectivas são X=C4 sen nλxL , n=1 ,2 ,3 ,…

As soluções da equação da onda que satisfazem as condições na fronteira são un=¿

u ( x , t )=∑n=1

∞

¿¿

Como t=0 na última expressão, obtemos então

u ( x ,0 )=∑n=1

∞

An sen nπL

xque é odesenvolvimento de f ( x ) em forma

da sériede senosde ℱ .

Sendo que An=¿ Bn¿e que An=2L∫0

L

f (x )sen nπL

xdx

E para determinar Bn, apenas derivamos u ( x , t ) em ordem a t e fazemos t=0:∂u∂ t

=∑n=1

∞

(AnnπaL

sen nπL

+BnnπaL

cos nπaL ) sen nπ

Lx

∂u∂ t

¿

Para que a última série seja desenvolvida de g em senos da metade do

intervalo no intervalo, o coeficiente total (BnnπaL )deve estar na forma

BnnπaL

= 2L∫0

L

g(x )sen nπL

xdx


Bn=2

nπa∫0L

g (x)sen nπL

xdx

A solução do problema está formada por série, com An e Bn definidos respectivamente.

E é importante notar que quando a corda se solta partindo de repouso, g ( x )=0, para todo x em 0≤ x≤ L, em consequência, Bn=0.

u (0 ; t )=0 , u ( L;t )=0 , t>0

b¿u ( x ;0 )=14

x (L−x) , ∂u∂ t | ¿

¿ t=0=0

Vimos no exemplo anterior que resolvendo a equação da onda pelo método de separação de variáveis obtém-se:

X=C1 cosλx+C2 senλxeT=C3cosλat+C4 senλat , então atendendo as condições de fronteira e iniciais vem: X (0 )=C1=0 Λ X (L )=C2 senλL=0

Emque as funções próprias correspondentes são :

X=C2 sen nπL

xeT=C3 cos nπL

t +C4 sen nπL

t paran=1 ,2 , 3 ,…

Então, u=∑n=1

∞

(Ancos nπaL

t+Bn sen nπaL

t)sen nπL

x

Impondo u ( x;0 )=14

x ( L−x )=∑n=1

∞

An sen nπL

x

∂u∂ t

=∑n=1

∞

(−AnnπaL

sen nπL

+BnnπaL

cos nπaL )sen nπ

Lx

ut (x ,0)=0=∑n=1

∞

BnnπaL

sen nπaL

⇒Bn=0

u ( x ; t )=∑n=1

∞

(An cos nπaL

t )sen nπL

xn=1,2 ,3 ,…

EXERCÍCIOS PROPOSTOS.

Resolver a equação da onda pelo método de Fourier de modo que satisfaça as

condições citadas:

a) u (0 , t )=u ( L, t )=ut ( x ,0 )=0, u ( x ,0 )=sen πxL

b) u (0 , t )=u (π , t )=ut ( x , 0 )=0, u ( x ,0 )=sen5 x


CONCLUSÃOPortanto, é de salientar que uma EDP na forma,

A U xx+B U xy+C U yy+D U x+E U y+FU +G=0 Onde todos os coeficientes A, B, C, D, E e

F são funções que dependem das variáveis x e y em que pelo menos um dos

coeficientes A, B, C é não nulo; é do Tipo Hiperbólico se, ∆=B2−4 AC>0. E para

resolver as EDP do tipo hiperbólico, aplicam-se alguns métodos tais como: método

da integração básica directa, método de mudança de variáveis, separação de

variáveis e o princípio de superposição.

Ainda nesta abordagem, aparece as séries Fourier, a equação de oscilação de uma

corda pelos métodos de Fourier.

Assim incide a imensa preponderância das equações diferenciais do tipo hiperbólico

nos diversos problemas físicos.


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BOYCE, William E., DIPRIMA, Richard C., Elementary Differential Equations

and Boundary Value Problems, John Wiley and sons ,Inc., (2001), 7th ed,

USA.

BRONSON, Richard, COSTA, Gabriel, Equações Diferenciais,

ColeçãoSchaum, McGraw- Hill do Brasil, (2006), 3ªed, São Paulo.

FARLOW, Stanley J. , Partial Differential Equations for Scientists and

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FIGUEIREDO, Djairo Guedes, Análise de Fourier e Equações Diferenciais

Parciais, coleção Euclides, IMPA/CNPq, (1986), Rio de Janeiro , Brasil.

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KAPLAN, wilfred, Cálculo Avançado ,vol 1 e 2, EdgardBlucher Editora e

EDUSP, (1972), São Paulo , Brasil.

KREYSZIG, Erwin., Matemáticas Avanzadas Para Ingenieríavol 2,

LimusaWiley, (2003), 3 ªed, México.

PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Vol I

PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Vol II

SOLDRÉ ,Ulysses, Equações Diferenciais Parciais, 2003.

SPIEGEL, MurrayR. , Equaciones Diferenciales Aplicadas, Prentice-Hall


INTEGRANTES DO GRUPO Emília Muteca

Evaristo Hakombo Oliveira

Mateus das Neves Bango

Paulo dos Santos Cambinda

Francisco Javela Pereira

Samuel José Domingos Maquengo

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