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Trabalho de Laboratório deElectromagnetismo e Óptica

Campo magnético ~B produzido por umenrolamento percorrido por uma corrente eléctrica;

Lei de Faraday

Fernando Barão, Manuela Mendes, Filipe MendesProfs do Departamento de Física do IST

Departamento de Física, IST

Guia de Laboratório Campo Magnético

• Estudo do campo magnético produzido por um enrolamento deN espiras percorrido por uma corrente eléctrica.

• Utilização da lei de indução de Faraday para medição do campomagnético.

Objectivos

• Enrolamentos de espiras para produção de um campo magnéticoe para indução de uma força electromotriz

• Gerador de sinais

• Osciloscópio de 2 canais

• Resistências de 10 kΩ

• Cabos para ligações eléctricas

Material

F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 2


1 Introdução teórica

1.1 Lei de Biot-Savart

Um condutor percorrido por uma corrente eléctrica produz um campomagnético ~B. Dividindo o condutor em elementos infinitesimais decorrente Id~ℓ, o campo magnético produzido por cada um destes ele-mentos num dado ponto a uma distância r é de acordo com a lei deBiot-Savart,

d ~B =µ0

4πId~ℓ× ~ur

r2

onde µ0 corresponde à permeabilidade magnética do vazio, que noSistema Internacional de Unidades (SI) onde o campo magnético se

exprime em Tesla (T), assume o valor 4π · 10−7 T.m/A. O campo ~Bé perpendicular quer ao elemento de corrente, quer ao vector posição ~rque liga o elemento de corrente ao ponto P ; no caso da figura em queo elemento de corrente e o vector ~r se encontram no plano do papel,o campo ~B é perpendicular ao plano do papel e aponta na direcçãooposta à do leitor. O campo magnético total no ponto P obtém-se,integrando o campo magnético ao longo de todo o condutor,

~B =µ0

4πI

∫

C

d~ℓ × ~ur

r2(1)

1.2 Campo magnético no eixo de uma espira de corrente

O campo magnético produzido por uma espira de corrente de raioR e percorrida por uma corrente eléctrica I pode ser obtida usandocoordenadas cilíndricas (R, θ, z). Assim, nestas coordenadas, ocampo magnético produzido por um elemento de corrente infinite-simal Id~ℓ = I R dθ~uθ num ponto P ao longo do eixo da espira ea uma distância r =

√R2 + z2 do elemento é:

d ~B =µ0

4πI

R dθ

R2 + z2(~uθ × ~ur)

A simetria existente na distribuição da corrente eléctrica tem comoconsequência a existência de campo magnético somente segundo OZ,uma vez que as componentes perpendiculares ao eixo da espira produ-zidas por elementos de correntes opostos, se anulam. Tem-se assim:

dBz = |d ~B| cosα

onde α é o ângulo entre o eixo da espira e o campo ~B.



Assim, tendo em conta que cosα = R/√R2 + z2 e que os vectores

~uθ e ~ur são perpendiculares (portanto o módulo do produto externoé 1!), pode-se calcular o campo magnético segundo o eixo da espiracomo:

Bz =µ0

4πI

∫ 2π

0

R2

(R2 + z2)3/2dθ

=µ0

4π

IR2

(R2 + z2)3/2[θ]2π0

~B(z) =µ0

2

IR2

(R2 + z2)3/2~uz (2)

Para se entender melhor o comportamento do campo magnético parapontos do eixo a grandes distâncias z da espira, pode-se reescrever aexpressão (2) da seguinte forma:

~B(z) =µ0

2

IR2

R3[

1 +(

zR

)2]3/2

~uz

=µ0

2

I

R

~uz[

1 +(

zR

)2]3/2

(3)

O campo magnético no centro da espira (z = 0), vem:

~B(z = 0) =µ0

2

I

R~uz (4)

1.3 Campo magnético produzido por um enrolamento de N espiras

O campo magnético produzido por um enrolamento de N espirasnum ponto P ao longo do seu eixo pode em primeira aproximação sercalculado somando os campos produzidos por cada uma das espiras,

~B =

N∑

i=1

~Bespira

Esta aproximação é razoável se a espessura do enrolamento for pe-quena quando comparada com o seu raio. Tendo em conta a expressãodo campo magnético derivada para a espira (2), tem-se então para umponto a uma distância z ao longo do eixo da espira:



~B(z) =µ0

2N

I

R

~uz[

1 +(

zR

)2]3/2

(5)

No centro do enrolamento (z = 0) o campo magnético vem dadopor:

~B(z = 0) =µ0

2N

I

R~uz (6)

A expressão do campo magnético no eixo pode então ser reescritaem termos do campo magnético existente no centro do enrolamentocomo:

B(z) =B(z=0)

[

1 +(

zR

)2]3/2

(7)

1.4 Força electromotriz num enrolamento: lei de indução magnética

Pensemos num enrolamento T composto por NT espiras circularesde raio RT , exposto a um campo magnético uniforme ~B, produzidopor um enrolamento externo (E). O fluxo do campo magnético queatravessa o enrolamento T , devido ao campo externo, é dado por:

ΦTE = NT

∫

S

~B · ~n dS (8)

onde ~n é um vector unitário e normal à área (S) da espira. Sendo Θ

o ângulo entre ~n e ~B, tem-se:

ΦTE = NT B πR2T cosΘ (9)

Pela lei da indução de Faraday, a força electromotriz existente aosterminais do enrolamento T depende da variação no tempo do fluxodo campo magnético que o atravessa. Este fluxo de campo magnéticopode-se escrever como a soma do fluxo devido ao campo externo e dofluxo auto-indutivo, ΦTT = LTIT :

ΦT = ΦTT + ΦTE = LT IT + NT πR2T cosΘ B

onde LT é o coeficiente de auto-indução do enrolamento. Vem entãopara a força electromotriz:



ε = −dΦT

dt

= −LT

dIT

dt− NT πR2

T cosΘdB

dt(10)

O sinal negativo indica-nos que a polaridade da força electromotrizinduzida é definida de forma a opôr-se a variação de fluxo.

1.4.1 Variação do campo magnético

Consideremos que o campo magnético ~B é produzido por um enrola-mento de N espiras circulares de raio R que é atravessado por umacorrente eléctrica variável I(t). Assim, a variação no tempo do campomagnético deve-se à variação da corrente eléctrica. Por exemplo, nocentro do enrolamento (z = 0), a variação do campo magnético (6)expressa-se como:

dB

dt=

d

dt

(

µ0

2N

I

R

)

= µ0

N

2R

dI

dt(11)

1.4.2 Corrente eléctrica triangular

Admitamos que o enrolamento produtor do campo ~B é percorrido poruma corrente de forma triangular no tempo de amplitude I0, tal comose mostra na figura ao lado. A derivada da corrente é uma constante,ora positiva (troço ascendente) ora negativa (troço descendente), devalor

dI

dt=

∆I

∆t=

I0 − (−I0)

T/2=

2I0

T/2= 4

I0

T(12)

onde T = 1/f é o período da corrente.Para este tipo de corrente eléctrica, obtém-se então a variação docampo magnético no centro do enrolamento como:

dB

dt=

µ0

2

N

R4I0

T= 2 µ0

NI0

R

1

T(13)

I pp

0+I

0−I

T/2

−ε

+ε0

0



1.4.3 Corrente eléctrica sinusoidal

Consideremos agora que o enrolamento produtor de campo é per-corrido por uma corrente eléctrica I sinusoidal e amplitude I0,I = I0 sin(ωt). Tendo em conta que a derivada da corrente é dadapor:

dI

dt= I0 ω cos(ωt) (14)

a variação do campo magnético no centro do enrolamento vem dadapor:

dB

dt= µ0

N

2RI0 ω cos(ωt) (15)



2 Trabalho experimental

2.1 Objectivos

Neste trabalho abordam-se os seguintes tópicos:

• produção de um campo magnético por um enrolamento de campo de N espiras.

• comparação do campo magnético produzido experimentalmente com o valor teórico calculadoa partir da lei de Biot-Savart.

• medição do campo magnético com um enrolamento-sonda, usando a lei de Faraday.

• estudo da variação do valor do campo magnético produzido com a frequência da correnteeléctrica e com a distância ao enrolamento.

2.2 Montagem

Na montagem experimental a realizar em laboratório, existe um circuito primário composto poruma resistência eléctrica R1 = 10 kΩ e por um enrolamento de N espiras circulares de raioR e resistência eléctrica interna Ric = 830 Ω. Este é o circuito responsável pela produção docampo magnético ~B que se pretende medir. Ao enrolamento existente neste circuito chamaremoso enrolamento de campo.

Existe ainda um circuito secundário composto por um enrolamento de NT espiras circularesde raio RT e resistência eléctrica interna RiS = 220 Ω em série com uma resistência eléctricaR2 = 10 kΩ. Ao enrolamento existente neste circuito chamaremos o enrolamento sonda ousonda de campo.

As resistências eléctricas R1 e R2 colocadas em ambos os circuitos servem para limitar ascorrentes eléctricas existentes quer no enrolamento de campo, I, quer no enrolamento sonda,IT .

No canal 1 do osciloscópio observa-se o sinal de tensão aplicado pelo gerador Vg(t) e no canal2 observa-se a queda de tensão V2 existente aos terminais da resistência R2. Aplicando a lei de



Faraday à malha constituída pelo enrolamento sonda e pelas resistências eléctricas R2 e Ris, tem-se:

V2 + RisIT = −dΦT

dt⇒ V2 +RisIT − εT = 0

Note que para baixas frequências, os efeitos auto-indutivos no enrolamento sonda podem ser des-prezados. Isto é, a variação do fluxo do campo magnético no enrolamento sonda e portanto a forçaelectromotriz εT é essencialmente devido ao campo magnético criado pelo enrolamento de campo.

A corrente eléctrica que percorre o circuito do enrolamento sonda é dado por:

IT =εT

R2 +Ris

onde εT é a força electromotriz medida aos terminais do enrolamento sonda.A queda de tensão aos terminais da resistência R2 é dada por:

V2 = εTR2

R2 +Ris

2.3 Campo magnético produzido pelo enrolamento de campo

De acordo com o exposto na introdução teórica (expressão 5), o campo magnético produzido peloenrolamento de campo de N espiras circulares de raio R e percorrido por uma corrente I, parapontos situados ao longo do seu eixo, é dado aproximadamente por:

~B(z) =µ0

2

N I

R

1[

1 +(

zR

)2]3/2

~ez (16)

2.4 Força electromotriz induzida no enrolamento de teste (sonda)

O enrolamento sonda composto por NT espiras circulares de raio RT é colocado no eixo doenrolamento de campo, a uma distância variável z. A variação no tempo do campo magnético~B produzido pelo enrolamento de campo nessa região, provoca o aparecimento de uma forçaelectromotriz induzida, de acordo com a expressão (10). Em primeira aproximação, podemos consi-derar o campo magnético produzido pelo enrolamento de campo e que atravessa o enrolamentode teste, como uniforme e igual ao existente no eixo do enrolamento de campo. Tendo emconta o valor do campo magnético produzido pelo enrolamento de campo no seu eixo dado pelaexpressão (16), pode-se calcular a força electromotriz induzida (desprezando a auto-indução) comosendo:

εT = − cosΘµ0

2N NT

πR2T

R

1[

1 +(

zR

)2]3/2

dI

dt(17)

onde Θ é o ângulo que as normais aos dois enrolamentos fazem.

caso A: corrente I(t) triangular de amplitude I0:



Como neste caso se tem dI/dt = 4I0/T , vem:

εT = − cosΘ 2µ0 N NT I0πR2

T

R

1

T

1[

1 +(

zR

)2]3/2

(18)

caso B: corrente I(t) sinusoidal de amplitude I0:

Como neste caso se tem dI/dt = I0ω cos(ωt), vem:

εT = − cosΘµ0

2N NT I0

πR2T

Rω cos(ωt)

1[

1 +(

zR

)2]3/2

(19)

2.5 Determinação do campo magnético a partir da medição da forçaelectromotriz

Da expressão (10) que relaciona a força electromotriz com a variação no tempo do campo magnético,podemos retirar a lei de variação do campo magnético:

dB

dt≃

ε

cosΘ πR2T NT

(20)

Assim, para extrairmos o valor máximo do campo magnético variável, integra-se a expressão anterior,entre um tempo t0 onde a corrente seja nula (e portanto o campo magnético é nulo) e um tempot = t0 + T/4 em que a corrente é máxima (e portanto o campo!):

B0 =1

cosΘ πR2T NT

∫ t0+T/4

t0

ε dt (21)

caso A: corrente triangular:

Da expressão (18) verifica-se que a força electromotriz induzida é constante ε0 e inverte o seu valorem cada meio período ficando a expressão (21):

B0 =ε0

cosΘ πR2T NT

∫ T/4

0

dt =T

4

ε

NT πR2T cosΘ

(22)

caso B: corrente sinusoidal:

Da expressão (19) verifica-se que a força electromotriz induzida é neste caso variável no tempo edada por ε = ε0ω cos(ωt). Assim a expressão (21) fica:

B0 =ε0ω

cosΘ πR2T NT

∫ T/4

0

cos(ωt)dt =ε0

cosΘ πR2T NT

(23)



Electromagnetismo e Óptica - MEEC

Relatório do trabalho de Campo Magnético de Indução

Identificação do Grupo

N: Nome:

N: Nome:

N: Nome:

Data de realização do trabalho: / / 2011, Horas: -

Atenção:

• Os quadros 2 e 6 podem e devem ser preenchidos antes da sessão de laboratório!

• Pesquise antecipadamente o valor do campo magnético terrestre existente na zona de Lisboa

• Nos cálculos a efectuar considere as seguintes características para os enrolamentos:enrolamento de campo

- número de espiras, N = 2000- raio, R = 7, 00 cm

enrolamento sonda- número de espiras, NT = 2000- raio, RT = 1, 75 cm



3 Procedimento experimental

3.1 Montagens e ambientação à aparelhagem

Montagem do circuito primário

• Proceda às ligações do circuito primário. Ligue o gerador de sinais ao enrolamento decampo em série com a resistência de 10 kΩ. Ligue o canal 1 do osciloscópio ao gerador desinais.

• Produza uma onda triangular de amplitude 10 V e frequência 100 Hz e observe-a no osci-loscópio. Verifique que a frequência do sinal gerado apresentada no mostrador do gerador desinais corresponde ao sinal que observa no osciloscópio.Nota: um sinal de amplitude V0 = 10 V corresponde a um valor medido no ecrâ do oscilos-

cópio pico-a-pico de Vpp = 2V0 = 20 V.

• Repita o procedimento para uma onda sinusoidal de características idênticas.

Montagem do circuito secundário

• Proceda agora às ligações do circuito secundário (ou de teste). Ligue o enrolamento sondaem série com a resistência de 10 kΩ. Ligue a extremidade de um cabo ao canal 2 doosciloscópio e as pontas da outra extremidade à resistência eléctrica de 10 kΩ, observandoassim a queda de tensão na resistência.

Circuito Primário Circuito Secundário



3.2 Medição do campo magnético

• Registe no quadro 1 as características dos enrolamentos de campo e sonda com que vaitrabalhar bem como das resistências totais dos circuitos primário, R1 + Ric e secundário,R2 +Ris .

• Aplique uma tensão Vg(t) de forma triangular de frequência f = 100 Hz no enrolamentode campo, com uma amplitude de sucessivamente 4, 6, 8 e 10 V.

• Preencha o quadro 2. Calcule a amplitude da corrente eléctrica I que percorre o circuitoprimário bem como o campo magnético esperado, produzido pela bobine de campo.

• Coloque o enrolamento sonda no centro do enrolamento de campo. Faça a medição noosciloscópio, da amplitude da queda de tensão na resistência R2 e calcule de seguida a forçaelectromotriz εT induzida no enrolamento sonda.

• Usando a expressão (22), determine o campo magnético no centro do enrolamento decampo (quadro 3).

• Represente graficamente os valores de campo magnético esperado e medido em função datensão aplicada.

• Comente os resultados obtidos e compare os valores de campo obtido com o campo magnéticoà superfície da Terra, em Lisboa.



3.2.1 Medidas

Características dos enrolamentos de espiras

Quadro 1

Enrolamento de campo Enrolamento de teste

N = NT =

R = R1 + Ric = RT = R2 +Ris =

Determinação do campo magnético produzido pelo enrolamento de campo no seu centro

Utilizando a expressão (6), determine acorrente eléctrica e o campo magnéticoque espera observar (Besp) no centro doenrolamento de campo, para cada tensãoaplicada Vg.

Quadro 2: a preencher antecipadamente

Vg I [A] Besp [T]

4 V

6 V

8 V

10 V

Registe os valores medidos de amplitude da tensãoaplicada (Vg), da tensão medida V2, da amplitudeda força electromotriz induzida calculada (εT ) e ocampo magnético máximo calculado a partir da ex-pressão (22).

Quadro 3: valores medidos

Vg [V] V2 [mV] εT [mV] B [T]

Cálculos detalhados do campo magnético esperado Besp e campo magnético medido B, para

o valor de tensão aplicada de 4 Volts:



Representação gráfica dos valores de: 1) Besp = f(Vg) e 2) B = f(Vg)

Comentários:Comente os resultados obtidos e compare os valores de campo obtido com o campomagnético à superfície da Terra, em Lisboa.



3.3 Medição da força electromotriz induzida

• Seleccione un sinal sinusoidal de tensão no gerador de sinais com uma amplitude de Vg = 5 Ve uma frequência de 50, 100, 500, 1000, 1500, 3000 e 5000 Hz.

• Registe a amplitude da queda de tensão V2 e calcule a força electromotriz induzida no enro-lamento sonda, εT .

• Represente graficamente a variação da força electromotriz com a frequência. Comente osresultados.

Quadro 4: valores medidosf [Hz] 50 100 500 1000 1500 3000 5000V2 [mV]

ε [mV]

Representação gráfica: ε(f)

Comentários:



3.4 Variação da força electromotriz com os ângulos dos enrolamentos

• Seleccione un sinal sinusoidal de frequência 100 Hz e amplitude 5 Volts, no circuito primário.

• Coloque o enrolamento de teste no centro do enrolamento de campo, sendo Θ o ângulo entreos eixos dos enrolamentos.

• Registe a amplitude da queda de tensão aos terminais da resistência V2 e calcule a forçaelectromotriz induzida no enrolamento sonda, εT , para os ângulos Θ = 0, 45 e 90.

• Faça a razão entre as forças electromotrizes obtidas e comente os resultados.


Θ 0 45 90

ε [mV]

Comentários:

ε(Θ = 45)

ε(Θ = 0)=



3.5 Variação da força electromotriz com a distância ao enrolamento

• Seleccione um sinal sinusoidal de frequência 100 Hz e 10 Volts de amplitude no circuitoprimário.

• Coloque o enrolamento de teste ao longo do eixo do enrolamento de campo, nas posiçõesz = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 15 cm.

• Registe para cada posição a amplitude da queda de tensão aos terminais da resistência V2 ecalcule a força electromotriz induzida no enrolamento sonda, εT .

• Faça a razão entre as forças electromotrizes obtidas nas diferentes distâncias z e o pontocentral z = 0. Compare os resultados com os valores previstos dados pela expressões derivadasatrás.

Quadro 6: valores a calcular antecipadamente

N = 2000z [cm] ε(z) [mV] ε(z)/ε(z = 0)0

1

2

3

4

5

8

10

15

Cálculos detalhados para z = 0 e 10 cm




z [cm] V2 [mV] ε(z) [mV] ε(z)/ε(z = 0)0

1

2

3

4

5

8

10

15

Representação gráfica dos valores medidos e calculados: ε(z)/ε(z = 0) em função de z

Comentários:


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