Trabalho de Mecanica

5/22/2018 Trabalho de Mecanica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECNICA

GRUPO 7

Arthur Gonalves de Mattoos, Eduardo Pena Pessini, Hugo Bravim Catelan,Julio Cesar Nunes Alvarenga, Mario Fernando Pereira, Reully da Silva Fim

FASORES E ONDAS ESTACIONRIAS

VITRIA2014


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Fasores

Fasor um vetor de mdulo igual amplitude da onda, que gira em torno da origem com

velocidade angular igual frequncia angular da onda. Quando o fasor gira em torno da

origem com frequncia angular , sua posio varia verticalmente senoidalmente de um

mximo ym at um mnimoym. Essa variao corresponde variao senoidal dodeslocamento y1 de qualquer ponto da corda quando a onda passa por esse ponto. Quando

duas ondas se propagam na mesma corda, podemos representar as duas ondas e a onda

resultante em um diagrama fasorial.Podemos representar uma onda em uma corda atravs de

um fasor.

( ) ( )

representada pelo fasor da figura:

O mdulo do fasor a amplitude ym1 da onda. Quando o fasor gira em torno da origem com

frequncia angular w sua projeo y1 no eixo vertical varia senoidalmente de um mximo de

ym1 a um mnimoym1 e de volta a ym1. Essa variao corresponde variao senoidal dodeslocamento y1 de qualquer ponto da corda quando a onda passa por esse ponto.

Quando duas ondas se propagam na mesma corda, podemos representar as duas ondas e a

onda resultante em um diagrama fasorial. Os fasores da segunda figura acima representam a

onda da equao dada e uma segunda onda dada por

( ) ( )Essa segunda onda est defasada em relao a primeira onda de uma constante de fase .

Como os fasores giram com a mesma velocidade angular w, o ngulo entre os dois fasores

sempre . Se positivo, o fasor da onda 2 est atrasado em relao ao fasor da onda 1. Sefor negativo, est adiantado em relao ao fasor da onda 1.Como as ondas y1 e y2 tem o mesmo nmero de onda k e a mesma frequncia angular,

sabemos que a resultante da forma

( ) ( )Onde ym a amplitude da onda e a constante de fase. Para determinar os valores de ym

e temos que somar as duas ondas. Para fazer isso em um diagrama fasorial somamosvetorialmente os dois fasores em qualquer instante da rotao. O mdulo da soma vetorial

igual a amplitude ym. O ngulo entre a soma vetorial e o fasor y1 igual a constante de fase

.


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Representao de um fasor (Vetor Giratrio)

Ondas Estacionrias

Temos ondas estacionrias quando ondas se propagam em sentidos opostos, podemos obter

a onda resultante aplicando o princpio de superposio.

A figura mostra uma onda se propagando para a esquerda e outra para a direita, com a soma

das duas ondas sendo mostradas na figura (c), aplicando graficamente o princpio da

superposio. O que chama a ateno na onda resultante que existem pontos chamados ns

que permanecem imveis, no ponto mdio entre ns vizinhos esto antins, pontos em que a

amplitude da onda resultante mxima.

Para analisar uma onda estacionria representamos as duas ondas da figura pelas equaes

() ( )() ( )

De acordo com o princpio de superposio, a onda resultante dada por

( ) ( ) ( ) ( ) ( )


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Aplicando a relao trigonomtrica, obtemos

( ) [ ]

Onde, ( )representa o deslocamento, [ ]representa o tempo de amplitude e

representa o termo oscilatrio. Esta equao no descreve uma onda progressiva, emvez disso, descreve uma onda estacionaria. Em uma onda senoidal progressiva a amplitude daonda a mesma para todos os elementos da corda. Isso no verdade para uma ondaestacionria, na qual a amplitude varia com a posio. Na onda estacionria, por exemplo, aamplitude zero para valores de kx tais que sem kx = 0, esses valores so

Fazendo nesta equao e reagrupando os termos, obtemos

Para posies de amplitude zero (ns), da onda estacionria.A amplitude da onda estacionria tem um valor mximo de que ocorre para valores de kxtais que . Esses valores so

Fazendo nesta equao e reagrupando os termos, obtemos

Para posies de amplitude mxima (entrens), da onda estacionria.

Reflexes em uma interface

Podemos excitar uma onda estacionria em uma corda fazendo com que uma onda

progressiva seja refletida em uma das extremidades da corda e interfira consigo mesma.

Pegando as mesmas ondas anteriores, elas podem se combinar para formar uma onda

estacionria.

Fazendo pulsos isolados para estudar essas reflexes:

Deixando fixa uma extremidade da corda, quando o pulso chega a essa extremidade,

exerce uma fora para cima sobre o suporte e, de acordo com a terceira lei de Newton, o

suporte exerce uma fora oposta de mesmo mdulo sobre a corda. Essa fora produz um pulso

que se propaga no sentido oposto ao pulso incidente. Aplicando o mtodo da superposio,

percebe-se que os pulsos iro se cancelar, ou seja, tero amplitude zero.

Deixando uma extremidade da corda presa a um anel e este anel podendo deslizar sem

atrito ao longo de uma barra. Quando o pulso incidente chega a esse ponto, o anel se desloca

para cima ao longo da barra. Ao se mover o anel puxa a cora, esticando-a e produzindo um

pulso refletido de mesmo sinal e amplitude do pulso incidente. Aplicando o mtodo da


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superposio, percebe-se que os pulsos se reforo, ou seja, formar um ponto de amplitude

mxima 2ym (antins).

Exerccio 1: (Exemplo 16-7 / Halliday 8 ed Vol 2)

Duas ondas senoidais y1(x,t) e y2(x,t) tm o mesmo comprimento de onda e se propagam no

mesmo sentido em uma corda. As amplitudes so ym1= 4,0mm e ym2= 3,0mm, e as

constantes de fase so 0 e /3, respectivamente. Quais so a amplitude ym e a constante de

fase da onda resultante?

Soluo:

As ondas tero a mesma frequncia angular, j que tero a mesma velocidade pois esto na

mesma corda e, a velocidade s depende da tenso na corda e da massa especfica linear da

corda e como tm o mesmo comprimento de onda, tero o mesmo nmero de onda k (k =

2/).

Ento podemos representar as duas ondas como fasores girando com a mesma frequncia

angular em torno da origem. Como a constante de fase da onda 2 maior que a da onda 1

em /3, o fasor 2 est atrasado de /3 em ralao ao fasor 1 quando esses vetores giram no

sentido horrio em torno da origem.

Para acharmos ym vamos somar os valores de suas componentes.

Componentes horizontais:

ymh= ym1 cos 0 + ym 2cos(/3)

ymh= 4,0 + 3,0*cos(/3)

ymh= 5,50mm

Componentes verticais:

ymv= ym1 sen0 + ym2sen(/3)

ymv= 0 + 3,0*sem(/3)

ymv= 2,60mm

Logo:

ym= 6,10mm.

E o ngulo ser:

= tg(2,60/5,50)

= 0,44 rad


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Exerccio 2: ( Exerccio 16-37 / Halliday 8 ed Vol 2

Duas ondas senoidais de mesmo perodo, de amplitudes 5,0 e 7,0 mm, se propagam no

mesmo sentido em uma corda esticada; elas produzem uma onda resultante com uma

amplitude de 9,0 mm. A constante de fase da onda de 5,0 mm 0. Qual a constante de fase

de onda de 7,00 mm?

Soluo:

Utilizando-se do princpio dos fasores(Vetor Giratrio), feito o seguinte diagrama.

Aplicando o conceito do teorema dos cossenos:

y m= ym1 + ym2- ym1ym2cos = ym1 + ym2+ 2ym1ym2cos

Resolvendo em funo do cos cos = (ym - ym1 - ym2) / (2ym1 ym2) = ((9,0) - (5,0) - (7,0)) / 2(5,0) (7,0) = 0,10

cos 0,10 = 84


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Exerccio 3: (Ufpr 2011)

Uma fila de carros, igualmente espaados, de tamanhos e massas iguais faz a

travessia de uma ponte com velocidades iguais e constantes, conforme mostra a figura abaixo.

Cada vez que um carro entra na ponte, o impacto de seu peso provoca nela uma perturbao

em forma de um pulso de onda. Esse pulso se propaga com velocidade de mdulo 10 m/s nosentido de A para B. Como resultado, a ponte oscila, formando uma onda estacionria com 3

ventres e 4 ns.

Considerando que o fluxo de carros produza na ponte uma oscilao de 1 Hz.

Soluo:

Ampliando-se verticalmente a figura vemos melhor as posies dos ns e ventres.

Logo:

V=f 10 = x 1 m

O comprimento da ponte L = 3

L = (3 x 10) / 2 = 15 m


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Exerccio 4: (Pucrj 2012)

Uma corda presa em suas extremidades posta a vibrar. O movimento gera

uma onda estacionria como mostra a figura.

Calcule, utilizando os parmetros da figura, o comprimento de onda em metros da vibrao

mecnica imposta corda.

Soluo:

Cada fuso corresponde a meio comprimento de onda. Temos trs fusos. Ento:

3 6

m

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