UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – UFSCar

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA – CCET

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA FÍSICA

TRABALHO DE FINAL DE CURSO - TFC

"MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE MANCAIS HIDRODINÂMICOS RADIAIS"

AUTOR: FÁBIO XAVIER DE MELO

ORIENTADOR: PROF. DR. FLÁVIO YUKIO WATANABE

SÃO CARLOS / 2010

RESUMO

Uma das principais preocupações da engenharia moderna é construir

máquinas precisas, confiáveis, eficientes, capazes de trabalharem acima das

condições limites tradicionais. Nas máquinas rotativas, os limites de operação e

desempenho são estabelecidos por problemas de instabilidade e níveis elevados de

vibração, resultantes do comportamento dinâmico de seus componentes rotativos,

estruturais e dos mancais. Mancais são dispositivos responsáveis pela ligação entre

a parte móvel e a estrutura fixa de uma máquina rotativa. As características

dinâmicas de um sistema rotor-mancais são fortemente influenciadas pelas

características dos mancais, uma vez que a rigidez do sistema completo é

determinada pela rigidez dos mancais atuando em série com a rigidez do rotor e,

além disso, o amortecimento do sistema é em grande parte devido aos mancais.

Existem diversos tipos de mancais, porém, neste trabalho foi realizado um estudo

dos Mancais Hidrodinâmicos Radiais (MHR) devido a sua grande aplicabilidade

como elemento de máquina. De maneira simplificada um MHR pode ser descrito

como sendo um conjunto mecânico formado por um eixo e uma bucha, no qual, o

diâmetro do eixo é muito próximo ao diâmetro interno da bucha de tal modo que,

quando montados, a folga existente entre estes dois elementos seja muito pequena

e acomode um filme de óleo lubrificante que impeça o contato direto entre as parte

durante sua operação, situação em que se atinge o regime de lubrificação

hidrodinâmica. O filme de óleo é o responsável pela sustentação da carga imposta

ao mancal, e este fenômeno é possível devido à geração de um campo de pressão

no óleo, resultante do movimento do rotor e das características geométricas de

construção do mancal. Para a construção do modelo matemático do MHR parte-se

de uma representação geométrica do sistema mecânico formado pela bucha, rotor e

filme de fluido lubrificante, através da qual foi possível determinar parâmetros

importantes como excentricidade radial, velocidade periférica do rotor e espessura

do filme de fluido. Aplicando-se a lei de conservação de massa e a segunda lei de

Newton a um elemento infinitesimal do fluido lubrificante, obteve-se a equação da

continuidade e as equações de Navier-Stokes, que descrevem o comportamento do

fluido lubrificante existente na folga entre o rotor e a bucha do mancal. A partir

destas equações e considerando-se o lubrificante um fluido newtoniano, isoviscoso e

incompressível, derivou-se a equação de Reynolds. A solução analítica da equação

de Reynolds só pode ser atingida considerando-se várias hipóteses simplificadoras

que tornam possível a obtenção de soluções clássicas para dois casos especiais de

mancais, os curtos (solução de Ocvirk), e os infinitamente longos (solução de

Sommerfeld). Para a obtenção de uma solução numérica da equação de Reynolds

empregou-se o método das diferenças finitas. Os resultados obtidos englobam o

campo de pressão no fluido, a capacidade de carga do mancal, o atrito rotor/mancal,

o coeficiente de atrito e o ângulo de atitude do mancal, parâmetros estes que são

importantes para o projeto de máquinas rotativas.

i

SUMÁRIO

1. Tribologia e Mancais 1

1.1 Tribologia 1

1.2 Tipos de Mancais 2

2. Características Geométricas e Condições de Operação de Mancais

Hidrodinâmicos Radiais 7

2.1 Excentricidade Radial do Rotor 9

2.2 Folga Radial ou Espessura do Filme de Fluido Lubrificante 12

2.3 Velocidade Periférica do Rotor 16

3. Fundamentos de Mecânica dos Fluidos 20

3.1 Conservação de Massa 23

3.2 Conservação da Quantidade de Movimento 26

3.3 A Equação de Reynolds para MHR 33

4. A Solução da Equação de Reynolds 50

4.1 Condições de Contorno 50

4.2 Solução para Mancais Infinitamente Longos 52

4.2.1 Pressão no Filme de Óleo em Mancais Infinitamente Longos 53

4.2.2 Solução de Sommerfeld para Mancais Infinitamente Longos 58

4.2.3 Solução de Gümbel para Mancais Infinitamente Longos 79

4.3 Solução para Mancais Curtos 87

4.3.1 Pressão no filme de óleo em Mancais Curtos 89

4.3.2 Solução de Gümbel para Mancais Curtos 90

4.4 Solução numérica 102

ii

4.4.1 O Método das Diferenças Finitas - MDF 102

4.4.2 Implementação do Programa Computacional para Solução

Numérica 106

5. Resultados 108

Conclusões 119

Referências 121

iii

LISTA DE FIGURAS

1.1 Componentes da carga atuante em um rotor 2

1.2 Mancal plano de encosto 3

1.3 Mancal Hidrodinâmico Radial 4

1.4 Mancal de rolamento de esferas 4

1.5 Mancal hidrostático 5

2.1 Características geométricas do Mancal Hidrodinâmico Radial 7

2.2 Superfície planificada do mancal 8

2.3 O rotor e as pequenas perturbações 9

2.4 Folga radial ou espessura do filme lubrificante 13

2.5 Velocidade periférica do rotor 16

3.1 Escoamento entre duas placas planas paralelas 21

3.2 Volume de controle infinitesimal 23

3.3 Tensões que agem sobre um elemento de fluido 28

3.4 Balanço de forças 28

3.5 Vista planificada do mancal 33

3.6 Aceleração de uma partícula de fluido 39

3.7 Escoamento entre duas superfícies em movimento relativo 41

3.8 Componentes da velocidade do rotor 47

3.9 Distribuição de pressão 48

3.10 Efeito de cunha 48

3.11 Esmagamento do filme de óleo lubrificante 49

iv

4.1 Condições de contorno para equação de Reynolds 51

4.2 Distribuição de pressão em um mancal infinitamente longo pelas condições de

contorno de Sommerfeld 63

4.3 Componentes das forças atuantes no mancal 66

4.4 Posição do centro do eixo 74

4.5 Força no filme de óleo sob as condições de contorno de Gümbel 81

4.6 Mancal curto 87

4.7 Malha para aplicação do MDF 104

4.8 Fluxograma do programa implementado 107

5.1 Distribuição - Modelo do Mancal Curto 109

5.2 Distribuição de pressão – MIL - Solução de Gümbel 109

5.3 Distribuição de pressão – MIL - Solução de Sommerfeld 110

5.4 Distribuição de pressão – Solução Numérica 111

5.5 Capacidade de carga adimensional em função de – Gümbel 111

5.6 Capacidade de carga adimensional em função de – Sommerfeld 112

5.7 Capacidade de carga adimensional em função de – MC 113

5.8 Comparação entre os modelos 113

5.9 Variação da espessura do filme 114

5.10 Força de atrito [adim] em função de – MIL - Sommerfeld 115

5.11 Coeficiente de atrito em função de – MIL - Sommerfeld 115

5.12 Força de atrito [adim] em função de – MIL - Gümbel 116

5.13 Coeficiente de atrito em função de – MIL - Gümbel 117

5.14 Força de atrito [adim] em função de – Mancal Curto 117

v

5.15 Coeficiente de atrito em função de – Mancal Curto 118

vi

LISTA DE TABELAS

2.1Principais parâmetros geométricos dos mancais hidrodinâmicos radiais 8

5.1 Propriedades e Unidades 108

vii

NOMENCLATURA

folga radial nominal do mancal

diâmetro do rotor

diâmetro do mancal

excentricidade

excentricidade estática

excentricidade na direção

excentricidade na direção

coeficiente de atrito

força de atrito

componentes de forças de campo na direção

componentes de forças de campo na direções

componentes de forças de campo na direções

espessura do filme de óleo lubrificante

largura do mancal

pressão no filme de fluido lubrificante

raio do rotor

raio do mancal

número de Reynolds

número de Sommerfeld

componente da velocidade do fluido na direção

componente da velocidade do fluido na direção

velocidade no centro do rotor

velocidade periférica do rotor

eixos do sistema de coordenadas cartesianas local

eixos do sistema de coordenadas cartesianas

inercial

componente da velocidade do fluido na direção

capacidade de carga

viii

componente da capacidade de carga na direção

componente da capacidade de carga na direção

massa específica do fluido lubrificante

viscosidade do absoluta

viscosidade cinemática

coordenada auxiliar com origem no eixo

razão de excentricidade

coordenada angular auxiliar

ângulo de atitude

ângulo de atitude estático

excentricidade dinâmica

ângulo de atitude dinâmico

velocidade angular

1

CAPÍTULO 1

TRIBOLOGIA E MANCAIS

1.1 TRIBOLOGIA

A tribologia é definida como a ciência e a tecnologia da interação entre

superfícies com movimento relativo e dos assuntos relacionados à lubrificação, atrito

e desgaste. Quando duas superfícies sólidas interagem ocorre a dissipação de

energia, na forma de calor e ruído, devida a resistência ao movimento relativo entre

elas. Durante o processo de escorregamento relativo, as superfícies têm as suas

características básicas modificadas podendo tornar-se mais lisas, rugosas,

apresentarem alterações de propriedades físicas como a dureza, além de sofrerem

perda de massa por desgaste. Algumas destas mudanças podem ser benéficas, por

exemplo, no caso de amaciamento de máquinas para produzir condições de

operação próximas às ideais. Porém, em outros casos essas modificações sofridas

podem ser desastrosas quando ocasionam falha da superfície (com perda da função

técnica), implicando na substituição da peça.

Um dos elementos de máquinas que estão bastante propensos a estas

modificações citadas são os mancais. Mancais são dispositivos responsáveis pela

ligação entre a parte móvel e a estrutura fixa de uma máquina rotativa. De maneira

mais geral, sempre que duas partes têm movimento relativo, elas constituem um

mancal por definição, sem levar em conta sua forma ou configuração (HARNOY,

2003).

O principal objetivo no projeto de um mancal é aumentar a sua vida útil nas

máquinas, através da redução do atrito, perda de energia e desgaste durante sua

operação, e com isso evitar a paralisação das máquinas e os gastos com

manutenção.

A escolha do tipo de mancal apropriado para uma determinada aplicação é

essencial para o seu correto funcionamento como elemento de máquina, e este

cuidado é fundamental durante o projeto. A maior parte do trabalho de manutenção

nas máquinas é devido à lubrificação dos mancais e também a substituição

daqueles que estão danificados ou gastos devido ao uso. Ou seja, a escolha

2

adequada do mancal para a aplicação no projeto reduz o risco de falhas precoces

devido ao desgaste ou fadiga, assegurando uma vida útil maior ao mancal

(HARNOY, 2003).

1.2 TIPOS DE MANCAIS

De acordo com o tipo carregamento aplicado nos rotores das máquinas, os

mancais podem ser classificados em radiais ou axiais. Mancais radiais suportam

cargas impostas na direção radial dos rotores, já os mancais axiais ou de encosto

suportam cargas impostas na direção axial dos rotores. Toda força imposta aos

rotores são suportadas pelos mancais, constituindo-se no que é denominado de

capacidade de carga dos mancais.

A Figura 1.1 ilustra como a carga imposta a um rotor (eixo) de uma máquina

pode decomposta em duas componentes, uma na direção axial, , e outra na

direção radial, .

Figura 1.1 Componentes da carga atuante em um rotor.

Quanto à forma construtiva e o princípio de funcionamento, os mancais

podem ser classificados em dois tipos principais: os de rolamentos, e os de

deslizamento. Os mancais de rolamento podem ser de esféricos, de rolos ou de

3

agulhas. Os mancais de deslizamento podem ser planos (Figura 1.2) ou radiais

(Figura 1.3). A seguir será feita uma breve descrição dos principais tipos de mancais.

Figura 1.2 Mancal plano de encosto. Fonte: adaptada de Shigley’s (2006).

a. MANCAIS HIDRODINÂMICOS RADIAIS

De maneira simplificada um mancal hidrodinâmico radial pode ser descrito

como sendo um conjunto mecânico formado por um eixo e uma bucha, no qual, o

diâmetro do eixo é muito próximo ao diâmetro interno da bucha de tal modo que,

quando montados, a folga existente entre estes dois elementos seja muito pequena

e acomode um filme de óleo lubrificante que impeça o contato direto entre as parte

durante sua operação, situação em que se atinge o regime de lubrificação

hidrodinâmica. O filme de óleo é o responsável pela sustentação da carga imposta

ao mancal, e este fenômeno é possível devido à geração de um campo de pressão

no óleo, resultante do movimento do rotor e das características geométricas de

construção do mancal (HARNOY, 2003).

4

Figura 1.3 Mancal Hidrodinâmico Radial. Fonte: adaptada de Harnoy (2003).

b. MANCAIS DE ROLAMENTO

Os mancais de rolamento são mancais em que a carga principal é transferida

por meio de elementos em contato por rolamento em vez de deslizamento. Em um

mancal de rolamento o atrito estático é aproximadamente o dobro do atrito dinâmico,

mas ainda é desprezível comparado ao atrito estático de um mancal de

deslizamento.

Os mancais de rolamento são fabricados para suportarem cargas radiais,

axiais ou uma combinação de ambas. Quanto ao tipo podem ser esféricos, de

agulha, de rolos cilíndricos ou cônicos. A Figura 1.4 apresenta um mancal de

rolamento de esferas (HARNOY, 2003).

Figura 1.4 Mancal de rolamento de esferas.Fonte: SKF.

5

c. MANCAIS HIDROSTÁTICOS

São mancais nos quais o óleo lubrificante é injetado com auxilio de uma

bomba o que garante que o eixo não tenha contato com a bucha do mancal mesmo

antes do inicio da operação, evitando-se assim o desgaste comum no início da

operação dos mancais hidrodinâmicos. A Figura 1.5 a seguir apresenta o sistema

necessário para operação de um mancal hidrostático.

Em comparação com os mancais hidrodinâmicos, os hidrostáticos possuem

um custo maior de operação devido ao uso de equipamentos auxiliares. Em algumas

aplicações a lubrificação hidrostática é associada a hidrodinâmica, neste caso,

inicialmente injeta óleo no mancal promovendo a separação do rotor e da bucha,

conforme a velocidade de operação vai aumentando o mancal atinge o regime

hidrodinâmico e não é mais necessário a injeção de óleo (HARNOY, 2003).

Figura 1.5 Mancal hidrostático. Fonte: adaptada de Harnoy (2003).

Conforme ilustrado, existem diversos tipos de mancais, porém, neste trabalho

será realizado um estudo analítico e numérico dos Mancais Hidrodinâmicos Radiais

(MHR) muito utilizado em grandes máquinas rotativas como turbinas e geradores. Em muitas situações os projetistas optam pela utilização de mancais de

rolamento simplesmente pela facilidade com que estes são encontrados nos

catálogos dos fabricantes. No entanto, para o correto projeto de máquinas este não

deve ser o critério adotado. O correto é realizar um estudo detalhado sobre as

vantagens e desvantagens da utilização dos diversos tipos de mancais existentes e

escolher aquele que melhor se adeque a aplicação desejada.

6

A correta seleção de um mancal tem implicação direta no tempo de vida útil

dos equipamentos e na prevenção de falhas durante a operação das máquinas. Em

algumas ocasiões as falhas podem ocasionar prejuízo econômico, já em outras

aplicações como, por exemplo, na aviação, as conseqüências podem ser mais

devastadoras resultando na perda de vidas (HARNOY, 2003).

7

CAPÍTULO 2

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E CONDIÇÕES DE

OPERAÇÃO DE MANCAIS HIDRODINÂMICOS RADIAIS

As principais características geométricas do mancal hidrodinâmico radial que

será modelado neste trabalho estão representadas na figura 2.1. Adotaremos um

sistema inercial de coordenadas cartesianas com origem no ponto , centro do

mancal. Assume-se que o rotor, com centro em , gira em torno do seu próprio eixo

no sentido anti-horário com velocidade angular constante , e que está carregado

na direção , no sentido positivo do eixo, por uma força externa de magnitude

constante resultando em uma excentricidade radial, , definida pela distância

entre os centros do mancal e do rotor (WATANABE, 2003).

Figura 2.1 Características geométricas do Mancal Hidrodinâmico Radial.

Fonte: adaptada de Harnoy (2003).

A nomenclatura utilizada para descrever a parâmetros geométricos utilizados

na construção do modelo é dada na Tabela 2.1.

8

Tabela 2.1 Principais parâmetros geométricos dos mancais hidrodinâmicos radiais

Principais parâmetros da geometria do MHR

Raio do mancal

Diâmetro do mancal

Raio do rotor

Diâmetro do rotor

Folga radial nominal do mancal

Largura do mancal

Um sistema local de coordenadas cartesianas é adotado na superfície

planificada do mancal, conforme mostrado na figura abaixo.

y

x

superfície do rotor

Figura 2.2 Superfície planificada do mancal. Fonte: Watanabe (2003).

Durante o funcionamento do mancal, o eixo do rotor apresenta um

desalinhamento radial e angular em relação ao eixo do mancal, entretanto, neste

trabalho somente a contribuição radial do desalinhamento do rotor será considerada.

O método das pequenas perturbações no qual se assume que o rotor oscila

harmonicamente com pequenas amplitudes, em torno da posição de equilíbrio

estático descentrada, quando aplicado a este problema possibilita a obtenção de

expressões matemáticas que descrevem a excentricidade radial, a folga radial ou

espessura do filme lubrificante do mancal e a velocidade periférica do rotor,

utilizados na modelagem matemática do mancal.

9

2.1. EXCENTRICIDADE RADIAL DO ROTOR

Num determinado instante de tempo, a posição instantânea descentrada do

centro do rotor, com relação ao centro do mancal (origem do sistema de

coordenadas XYZ) é definida pela excentricidade , e pelo ângulo de atitude ;

representados de forma ampliada na Figura 2.3.

Figura 2.3 O rotor e as pequenas perturbações.

Fonte: Watanabe (2003).

No equilíbrio estático a posição descentrada fica definida pela excentricidade

estática e pelo ângulo de atitude estático . Assumi-se que em torno desta

posição de equilíbrio estático o rotor encontra-se sujeito a perturbações harmônicas

de pequenas amplitudes definidas pela excentricidade dinâmica e pelo ângulo de

atitude dinâmico , ou seja:

(2.1)

(2.2)

Decompondo-se a excentricidade em suas componentes ortogonais e , temos:

10

(2.3)

(2.4)

Da suposição de pequenas oscilações em torno da posição de equilibrio estático,

tem-se:

e

Substituindo nas equações (2.3) e (2.4) as expressões de e dadas pelas

equações (2.1) e (2.2), e desprezando-se os termos de segunda ordem em e

obtém-se:

(2.5)

Analogamente para componente :

(2.6)

As componentes dinâmicas e , por serem harmônicas, podem ser

descritas pela parte real de funções exponenciais complexas, ou seja:

(2.7)

(2.8)

11

Onde, e

são as amplitudes das funções harmônicas e respectivamente,

e é a freqüência da perturbação. Substituindo nas equações (2.5) e (2.6) as

expressões dadas pelas equações (2.7) e (2.8), encontraremos as seguintes

expressões para as componentes cartesianas da excentricidade:

(2.9)

(2.10)

Onde:

Em algumas situações durante a modelagem será mais conveniente trabalhar

com grandezas adimensionais, pelo fato de a adimensionalização ser extremamente

útil em análises comparativas de parâmetros característicos de mancais com

diferentes dimensões e condições de operação (WATANABE, 2003). Neste

instante, defini-se a grandeza adimensional denominada razão de excentricidade ,

e o parâmetro . Sendo que é dado por

Com estas novas definições podemos reescrever as equações (2.1), (2.2), (2.9) e

(2.10) resultando nas seguintes equações para razão de excentricidade e ângulo de

atitude dinâmico:

12

(2.11)

(2.12)

e nas seguintes equações para as componentes cartesianas da razão de

excentricidade:

(2.13)

(2.14)

Conforme for surgindo à necessidade, novas adimensionalizações serão

empregadas na modelagem do mancal hidrodinâmico radial.

2.2. FOLGA RADIAL OU ESPESSURA DO FILME DE FLUIDO

LUBRIFICANTE

Anteriormente foram determinadas expressões matemáticas para

excentricidade do rotor, o próximo passo será encontrar uma expressão matemática

para folga radial ou espessura do filme de fluido lubrificante .

A folga radial é definida na direção perpendicular a superfície do mancal e é

expressa em função da posição do rotor caracterizada pela excentricidade , pelo

ângulo de atitude e pela folga radial nominal .

A equação da folga radial pode ser determinada analisando-se o triângulo

com vértices nos pontos , e presente na Figura 2.4.

13

r P

Q

hmin

O Y

X

J

h (R-h) e

Figura 2.4 Folga radial ou espessura do filme lubrificante. Fonte: Watanabe (2003).

Aplicando-se a lei dos cossenos as triangulo temos:

(2.15)

Sendo que:

(2.16)

Substituindo a expressão dada pela equação (2.16) na equação (2.15) tem-se:

Na prática os parâmetros , e são da ordem de , muito pequenos

comparados com as dimensões usuais de projeto dos mancais hidrodinâmicos

radiais que possuem raios da ordem de a , portanto, os termos de ordem

14

superior a 1 e termos onde aparecem produtos destas grandezas podem ser

desprezados.

Logo tem-se:

(2.17)

Analisando-se a Figura 2.4 verifica-se que:

(2.18)

Substituindo-se a expressão dada pela equação (2.18) na equação (2.17) obtém-se:

(2.19)

Definindo-se:

, tem-se:

Com isso, a equação (2.19) pode ser reescrita como segue:

(2.20)

Lembrando-se que a excentricidade e o ângulo de atitude são expressos,

respectivamente, pelas equações (2.1) e (2.2), e, definindo-se uma nova coordenada

angular , da seguinte forma:

(2.21)

De modo que:

(2.22)

15

É possível então reescrever a expressão para folga radial, equação (2.20),

acrescentando estas informações. Tem-se então:

Como o problema está sendo modelado supondo-se pequenas perturbações do

rotor em torno da posição de equilíbrio podemos assumir que:

Como as perturbações são pequenas os termos de segunda ordem podem ser

desprezados. Resultando em:

(2.23)

Sendo que:

(2.24)

É possível expressar a folga radial na forma adimensional, basta dividir a equação

(2.23), por , ou seja, pela folga radial nominal.

(2.25)

Substituindo-se as expressões dadas pelas equações (2.7) e (2.8) na equação

(2.25) podemos expressar a folga radial adimensional pela equação apresentada a

seguir:

16

(2.26)

2.3. VELOCIDADE PERIFÉRICA DO ROTOR

A determinação da velocidade periférica do rotor se faz necessária devido ao

fato de que é através dela que se consegue incluir na modelagem matemática do

mancal efeitos hidrodinâmicos e de esmagamento do filme de fluido lubrificante.

Estes efeitos serão tratados com maior riqueza de detalhes no capítulo que discute a

teoria da lubrificação hidrodinâmica.

Um ponto genérico localizado na superfície do rotor pode ter sua velocidade

determinada somando-se vetorialmente à velocidade do centro do rotor, que

decorre das pequenas perturbações, com a velocidade tangencial do rotor em

torno do centro .

e

r

P Q

hmin

O

Y

X

J

e

e

vJ

i j

i j

-

k

r

Figura 2.5 Velocidade periférica do rotor. Fonte: Watanabe (2003).

Da análise da Figura 2.5 verifica-se facilmente que a velocidade no ponto é

dada por:

(2.27)

17

Na qual a velocidade no ponto central do rotor é dada por:

(2.28)

Os versores e podem ser escritos em termos dos versores cartesianos:

(2.29)

(2.30)

Analisando-se a Figura 2.5 as seguintes relações são facilmente obtidas:

Portanto:

Resultando nas seguintes relações:

Que quando inseridas na equação (2.29) resultam em:

Como o problema está sendo modelado supondo pequenas perturbações do

rotor em torno da posição de equilíbrio , podemos afirmar que é pequeno o

suficiente para aproximar o valor do seno ao seu argumento, , e do cosseno a 1.

Resultando em:

(2.31)

18

De maneira análoga determina-se a equação para o outro versor:

(2.32)

Agora, é possível expressar , dada pela equação (2.28), em termos dor

versores e , substituindo-se as expressões dadas pelas equações (2.31) e (2.32)

na equação (2.28).

Desprezando-se os termos de segunda ordem, e lembrado-se que ,

obtém-se:

(2.33)

Substituindo-se a expressão dada pela equação (2.33) na equação (2.27) é possível

escrever a velocidade no ponto , situado na superfície do rotor, em coordenadas

cartesianas, conforme apresentado a seguir:

(2.34)

Conforme deduzido anteriormente, a expressão para a folga radial do mancal, , é

dada pela equação (2.23), tomando-se a derivada de , em relação ao tempo,

obtém-se:

(2.35)

19

Derivando-se a equação (2.35) em relação à , tem-se:

(2.36)

Comparando estas duas últimas equações com a equação (2.34) obtida para ,

chega-se ao seguinte resultado:

(2.37)

Como a folga é pequena compara ao raio do mancal, podemos concluir que o

ângulo é pequeno o suficiente para fazermos as seguintes aproximações:

Definindo-se:

A equação (2.37) pode ser reescrita do seguinte modo:

(2.38)

20

CAPÍTULO 3

FUNDAMENTOS BÁSICOS DE MECÂNICA DOS

FLUIDOS

Na natureza a matéria existe basicamente em dois estados físicos, o estado

sólido e o estado fluido, este último normalmente dividido nos estados gasoso e

líquido. De uma maneira bem simplificada pode-se diferenciar os sólidos dos fluidos

levando-se em conta a magnitude do movimento de suas partículas constituintes, e

o espaçamento entre elas. Os sólidos apresentam uma estrutura coesa, essa

coesão é menor para os líquidos e bastante reduzida nos gases. Isso explica o fato

dos sólidos serem rígidos e os fluidos assumirem a forma do recipiente no qual

estão armazenados (FORTUNA, 2000).

Outra característica que diferencia sólidos de fluidos é que os sólidos

suportam tensões de cisalhamento sem se deformarem, dentro do limite elástico,

enquanto que os fluidos são incapazes de resistir a tais tensões, não importa o quão

pequena seja, o resultado disto é que os fluidos se deformam e escoam. Existe uma

classe de fluidos que necessitam de uma tensão de cisalhamento mínima para

começarem a escoar, tais fluidos são objetos de estudo da reologia e não serão

tratados neste trabalho.

Existe uma propriedade intimamente relacionada à taxa de deformação dos

fluidos, a esta propriedade dá-se o nome de viscosidade. Considere o escoamento

entre duas placas planas separadas por uma distância , conforme ilustrado na

Figura 3.1, no qual a placa inferior permanece estática enquanto que a placa

superior se move na direção com velocidade , resultado da ação da força

tangencial .

21

Figura 3.1 Escoamento entre duas placas planas paralelas.

Fonte: adaptada de Shigley’s (2006).

Esta força gera uma tensão de cisalhamento entre a placa superior e o fluido

adjacente a ela. Suponha que o fluido existente entre as placas pode ser modelado

por camadas empilhadas que inicialmente encontram-se em repouso, mas devido da

ação da força começam a se mover e se deformarem. Para muitos fluidos é

observado experimentalmente que existe uma relação linear entre a tensão de

cisalhamento e a taxa de deformação

das laminas de fluido, ou seja,

(3.1)

No limite

(3.2)

Isaac Newton supôs que a constante de proporcionalidade entre a tensão de

cisalhamento e a taxa de deformação fosse uma propriedade do fluido, a qual ele

deu o nome de viscosidade, ou seja:

(3.3)

22

No SI,

Fluidos que satisfazem a equação (3.3) são denominados fluidos

newtonianos. Quanto mais viscoso for o fluido, maiores serão as tensões de

cisalhamento entre suas “laminas” e, consequentemente, maior será a dissipação de

energia. A viscosidade dos fluidos diminui com o aumento da temperatura, no

entanto, é pouco afetada pela variação de pressão.

No estudo da mecânica dos fluidos é conveniente assumir que gases e

líquidos sejam distribuídos continuamente, ou seja, o fluido é tratado como um

contínuo (POTTER & WIGGERT, 2009). Existe uma propriedade dos fluidos que é

de grande utilidade para verificar se a ideia de contínuo é apropriada, tal propriedade

é a massa específica , definida por:

(3.4)

Na qual, corresponde a um incremento de massa contida no volume incremental

.

Certamente não é possível fazer com que indiscriminadamente, pois

neste caso a massa contida no elemento de volume varia descontinuamente e a

ideia de contínuo não é mais válida. Fisicamente a definição de massa específica

seria mais aceitável se o limite tendendo a zero fosse substituído por um volume

muito pequeno, mas que contenha um número grande de partículas. Para a maioria

das aplicações em engenharia o volume é extremamente pequeno, por exemplo,

em um milímetro cúbico de ar, nas condições normais, existem 2,7x moléculas,

sendo assim o volume certamente posse ser tomado como sendo muito menor

que um milímetro cúbico e mesmo assim conter um grande número de moléculas,

dessa forma a hipótese de contínuo torna-se válida (POTTER & WIGGERT, 2009).

A importância da validade da ideia de contínuo é que as propriedades dos

fluidos podem ser adotadas e aplicadas uniformemente em todos os pontos da

região em qualquer instante de tempo. Isto significa que é possível escrever, por

exemplo, que a massa específica é uma função (em coordenadas cartesianas)

contínua de e , ou seja, .

23

3.1. CONSERVAÇÃO DE MASSA

A equação da continuidade aparece em vários contextos na Física, de fato,

sempre que há uma lei de conservação de alguma quantidade que flui no espaço

(matéria, carga, etc.) essa lei é regida por uma equação da continuidade. Na

ausência de fontes ou sorvedouros, toda massa que entra em um sistema deve sair

e/ou se acumular no mesmo. Esta é uma forma simples de enunciar esta lei de

conservação, que quando aplicada a um elemento infinitesimal de volume fornece a

equação diferencial da continuidade que relaciona os campos de massa específica e

de velocidade (FORTUNA, 2000). Considere o fluxo de massa através de cada face

do elemento de volume infinitesimal esboçado na Figura 3.2. Fixando-se o fluxo de

massa líquido que entra no elemento de volume igual à taxa de variação de massa

do elemento, ou seja:

(3.5)

Onde é o fluxo de massa, ou vazão em massa, e é a massa do elemento de

fluido.

Figura 3.2 Volume de controle infinitesimal.

24

E, efetuando-se o balanço de massa neste elemento de volume, tomando

como referência o seu centro, obtém-se a seguinte relação:

Subtraindo-se os termos apropriados e dividindo-se por tem-se:

(3.6)

Adotando-se a descrição euleriana para o movimento do fluido, ou seja, as

propriedades do fluido tais como a massa específica e a velocidade são funções

do espaço e do tempo.

(3.7)

(3.8)

(3.9)

25

Tendo-se em vista estas informações a equação (3.6) pode ser reescrita da seguinte

forma:

(3.10)

Pela regra da cadeia tem-se que:

(3.11)

Sendo que:

São as componentes da velocidade do fluido nas direções e respectivamente.

A expressão:

é conhecida como derivada substancial ou material, o nome é dado pelo fato de

estar sendo analisado o movimento de uma partícula distinta do fluido, ou seja,

segue-se a substância ( ou material) (POTTER & WIGGERT, 2009).

O operador gradiente em coordenadas cartesianas é escrito da seguinte

forma:

(3.12)

Atuando com este operador no vetor velocidade, equação (3.9), obtém-se o seguinte

resultado:

26

(3.13)

Portanto, a equação da continuidade, pode ser escrita de forma mais compacta

como:

(3.14)

Para um escoamento incompressível, escoamento no qual a massa específica de

uma partícula de fluido não muda conforme segue sua trajetória, ou seja,

Logo a equação da continuidade para um escoamento incompressível, toma a forma

(3.15)

Ou, na forma vetorial,

(3.16)

Ou seja, para um escoamento incompressível o divergente da velocidade do fluido é

nulo.

3.2. CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO

A equação da conservação da quantidade de movimento é obtida a partir da

aplicação da segunda lei de Newton (taxa de variação temporal do momento de uma

partícula é igual à resultante das forças que nela atuam). Nesse ponto, se faz

necessário definir os tipos de força que atuam sobre uma partícula de fluido.

27

Basicamente estas forças podem ser classificadas em dois tipos: forças de campo e

forças de superfície.

Forças de campo são forças que agem sobre a massa de fluido como um

todo, isto é, sobre cada ponto de um elemento de fluido. Enquadram-se nesta

categoria a força da gravidade, eletromagnética, centrífuga e de Coriolis. Como

estas forças nem sempre possuem uma magnitude grande o suficiente para

influenciar o escoamento, as expressões matemáticas dessas forças são,

geralmente, adicionadas como termos auxiliares nas equações de momento. Esses

termos podem ser expressos de forma geral como sendo , sendo que

pode ser qualquer uma das forças anteriormente citadas, como também pode ser a

soma vetorial de todas elas, dependendo da particularidade do problema que está

sendo estudado (FORTUNA, 2000).

Forças de superfície, como próprio nome sugere, agem somente sobre a

superfície do elemento de fluido. São decorrentes da pressão exercida sobre o fluido

por um elemento exterior e das tensões viscosas normais e de cisalhamento devido

ao atrito com os elementos de fluido adjacentes em movimento. Uma vez que estas

forças são intrínsecas ao fluido, elas aparecem como termos constitutivos das

equações de movimento.

A equação diferencial da conservação de momento é vetorial, portanto,

fornece três equações escalares. A resolução das equações das componentes

determina os campos de velocidade e pressão. No entanto, existe uma dificuldade

na determinação destas equações que é o uso das componentes da tensão para

determinarmos as forças necessárias para escrever as equações da conservação de

momento.

Existem nove componentes de tensão que atuam em um ponto particular de

um escoamento, elas são as nove componentes do tensor tensão , que pode ser

representado pela matriz abaixo (POTTER & WIGGERT, 2009):

(3.17)

As tensões que agem em um elemento de fluido são mostradas na Figura 3.3.

28

Figura 3.3 Tensões que agem sobre um elemento de fluido.

O primeiro subscrito de uma componente de tensão indica em qual face ela

atua, o segundo subscrito denota a direção de atuação. Uma componente de tensão

que age perpendicularmente a uma face é chamada de tensão normal ( , , ).

Uma componente de tensão que age tangencialmente a uma face é chamada de

tensão de cisalhamento ( , , , , , ).

Considere as forças que atuam em um elemento infinitesimal de fluido

conforme ilustrado na Figura 3.4.

Figura 3.4 Balanço de forças.

Uma vez que o campo de tensão varia suavemente, seu valor foi expandido

em série de Taylor a partir do seu valor no centro do fluido. De acordo com a

segunda lei de Newton temos:

29

Para direção

Realizando as simplificações necessárias temos:

(3.18)

Dividindo-se a equação (3.18) por , obtém-se:

(3.19)

Pela simetria das equações, tem-se que para as direções e , o balanço de forças

resulta nas seguintes equações:

(3.20)

(3.21)

30

Portanto, através balanço de forças que atuam no elemento de volume de fluido

determinou-se as equações (3.19), (3.20) e (3.21), abaixo agrupadas nesta

sequência.

Conforme discutido anteriormente, muitos fluidos exibem uma relação linear

entre as componentes da tensão e o gradiente da velocidade, tais fluidos são

chamados de fluidos newtonianos. Se além desta linearidade considerarmos o fluido

como sendo isotrópico, ou seja, as propriedades do fluido são independentes da

direção em uma dada posição; é possível relacionar as componentes da tensão e os

gradientes da velocidade, usando apenas duas propriedades do fluido a viscosidade

, e o segundo coeficiente da viscosidade (POTTER & WIGGERT, 2009). As

relações tensão-gradiente de velocidade, também chamadas equações constitutivas

são apresentadas a seguir

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

(3.26)

31

(3.27)

Utilizando-se a seguinte condição:

(3.28)

conhecida como hipótese de Stokes, nas equações constitutivas (3.22) a (3.24), e

assumindo-se que o escoamento seja incompressível ( ), tem-se:

(3.29)

Ou seja, a média negativa das três tensões normais é igual à pressão. Substituindo-

se as equações constitutivas, juntamente com a hipótese de Stokes, na equação

(3.19) obtida no balanço de quantidade de movimento, obtém-se:

(3.30)

Procedendo-se da mesma forma para as equações (3.20) e (3.21) obtém-se

respectivamente para as direções e :

(3.31)

32

(3.32)

Adotando-se o escoamento como sendo incompressível, ou seja, , as

equações (3.30), (3.31) e (3.32) podem ser rescritas da seguinte maneira:

(3.33)

(3.34)

(3.35)

As equações (3.33), (3.34) e (3.35) são conhecidas como equações de

Navier-Stokes, assim chamadas em homenagem a Louis M.H. Navier (1785-1836) e

George Stokes (1819-1903); com estas três equações, mais a equação da

continuidade, obtém-se um sistema de quatro equações diferenciais parciais de

segunda ordem e quatro incógnitas, , , e . A viscosidade e a massa específica

são propriedades do fluido que supostamente são conhecidas (POTTER &

WIGGERT, 2009). É possível representar as equações de Navier-Stokes de maneira

mais compacta, na sua forma vetorial:

(3.36)

33

3.3. A EQUAÇÃO DE REYNOLDS PARA MHR

A equação de Reynolds é derivada a partir das equações de Navier-Stokes e

da continuidade, considerando-se que o fluido lubrificante seja newtoniano,

isoviscoso e incompressível. A equação de Reynolds descreve as características do

fluxo do fluido lubrificante na folga radial do mancal, sua resolução permite

determinar o campo de pressão no fluido do mancal, a partir do qual, as forças

desenvolvidas pelo mancal e que atuam no rotor são obtidas, o que fornece

informações importantes como a capacidade de carga, coeficiente dinâmico de

rigidez e amortecimento (WATANABE, 2003).

A Figura 3.5 é uma representação da vista planificada do mancal onde temos

definido um sistema de coordenadas local , no qual escreveremos as equações

da continuidade e de Navier – Stokes, anteriormente definidas.

y

x

superfície do rotor

Figura 3.5 Vista planificada do mancal. Fonte: Watanabe (2003).

As equações de Navier – Stokes no sistema de coordenadas do problema

podem ser escritas da seguinte maneira:

(3.37)

(3.38)

(3.39)

34

Com a hipótese de escoamento incompressível, a equação da continuidade

do fluido na folga do mancal é dada pela equação (3.15).

Os parâmetros que caracterizam estas equações são os seguintes:

massa específica do fluido lubrificante;

- viscosidade do fluido

– pressão no filme de fluido lubrificante;

– componentes da velocidade do fluido nas direções ,

respectivamente;

- componentes de forças de campo nas direções ,

respectivamente.

As equações de Navier-Stokes, juntamente com a equação da continuidade,

podem ser simplificadas através de uma análise da magnitude dos termos que as

compõem, proposta por Childs (1993 apud WATANABE, 2003). Para isso, é

necessário efetuar uma série de adimensionalizações das variáveis. As variáveis

e o tempo são usualmente adimensionalizadas como mostrado nas

equações a seguir:

(3.40)

As componentes da velocidade circunferencial, , e axial, , são adimensionalizadas

em função da velocidade tangencial da superfície do rotor, .

(3.41)

Substituindo-se estas adimensionalizações na equação da continuidade para o fluido

presente na folga do mancal obtém-se:

35

(3.42)

Na prática, nos mancais hidrodinâmicos radiais as dimensões e são da mesma

ordem de grandeza, ou seja: . Além disso, temos também que: .

Uma adimensionalização para a componente da velocidade , que produzirá

termos de mesma ordem de grandeza na equação (3.42) é dada por:

(3.43)

Para obter a equação de Reynolds, além destas adimensionalizações,

emprega-se também a definição do número de Reynolds. O número de Reynolds é

uma grandeza adimensional que serve como ferramenta de previsão dos regimes de

escoamento, grosso modo, se o número de Reynolds é relativamente pequeno, o

escoamento é laminar, se é grande, o escoamento é turbulento. Vale ressaltar o fato

de que o número de Reynolds assume valores distintos dependendo da geometria

do escoamento.

Um regime de escoamento depende de três parâmetros físicos que

descrevem as condições do escoamento. O primeiro parâmetro é um comprimento

de escala do campo de escoamento, tal como o diâmetro de uma tubulação ou a

espessura de uma camada limite. Se esse comprimento de escala é suficientemente

grande, a perturbação do escoamento pode aumentar e o escoamento pode ser

turbulento. O segundo parâmetro é uma velocidade de escala, tal como uma média

espacial da velocidade; para uma velocidade suficientemente alta, o escoamento

pode ser turbulento. O terceiro parâmetro é a viscosidade cinemática, para

viscosidades suficientemente pequenas o escoamento pode ser turbulento. Estes

três parâmetros podem ser combinados em um único parâmetro que é o numero de

Reynolds (POTTER & WIGGERT, 2009). Essa quantidade recebe este nome em

homenagem a Osborne Reynolds (1842-1912) e é definida como:

(3.44)

36

Na qual, L e V são um comprimento característico e uma velocidade,

respectivamente, e é a viscosidade cinemática definida da seguinte forma:

(3.45)

Para o caso da modelagem do mancal, o numero de Reynolds foi definido por

Someya (1989 apud WATANABE, 2003) da seguinte forma:

(3.46)

Define-se também uma adimensionalização para pressão:

(3.47)

Desconsiderando-se as componentes da força de campo, e substituindo-se este

conjunto de adimensionalizações nas equações de Navier-Stokes ( (3.37) a (3.39)),

obtém-se as seguintes equações:

Para direção

(3.48)

37

Analogamente para a direção

(3.49)

Pelo fato da adimensionalização da componente da velocidade de escoamento do

fluido ser diferente da adotada para as componentes e , para direção uma

equação diferente das demais é obtida. Substituindo-se as adimensionalizações, na

equação (3.38), tem-se:

(3.50)

Abaixo estão reunidas as equações (3.48), (3.49) e (3.50) , correspondentes as três

direções e , respectivamente.

Sabendo-se que nos projetos de mancais hidrodinâmicos radiais o parâmetro ,

folga radial nominal, é da ordem de , e que estes mancais são construídos

com raios da ordem de , tem-se que:

38

Com base nestas informações podemos simplificar o as equações (3.48), (3.49) e

(3.50), resultando em:

(3.51)

(3.52)

(3.53)

Retornando a forma dimensional teremos o seguinte conjunto de equações:

(3.54)

(3.55)

(3.56)

Devido ao pequeno valor de

, o gradiente de pressão na direção é

inteiramente desconsiderado, portanto, o escoamento do fluido pode ser

considerado como sendo bidimensional, apenas com componentes de velocidade

e .

Para uma análise mais simples do mancal os efeitos de inércia do fluido são

desprezados. Isso significa assumir um regime de escoamento laminar, ou seja,

desconsiderar os termos de aceleração local e convectiva nas equações de Navier –

Stokes.

A aceleração de uma partícula de um fluido é obtida considerando-se uma

partícula específica, conforme ilustrado na Figura 3.6.

39

Figura 3.6 Aceleração de uma partícula de fluido.

A velocidade da partícula muda de no tempo para no tempo

. A aceleração é por definição:

(3.57)

Como é dado por:

(3.58)

A quantidade usando a regra da cadeia será:

(3.59)

Uma vez que , isso implica que a aceleração e dada por:

(3.60)

Na qual:

(3.61)

40

A aceleração dada pela equação (3.60) é, então, expressa como:

(3.62)

As equações das componentes escalares da equação vetorial acima, para

coordenadas retangulares, são escritas como:

(3.63)

(3.64)

(3.65)

O termo da derivada temporal do lado direito das equações anteriores é

chamado de aceleração local, os termos remanescentes correspondem à aceleração

convectiva. Uma maneira simples de entender a diferença entre estas duas

contribuições para a aceleração da partícula é analisar o escoamento em uma

tubulação. Em uma tubulação a aceleração local resulta, por exemplo, do ato de

abrir ou fechar uma válvula. Já a aceleração convectiva ocorrerá nas vizinhanças de

uma mudança na geometria da tubulação, tal como um estreitamento da linha ou um

cotovelo. Em ambos os casos, as partículas do fluido mudam de velocidade, mas

por razões totalmente distintas (POTTER & WIGGERT, 2009).

Reconhecendo-se os termos de aceleração local e convectiva nas equações

de Navier – Stokes, executa-se a simplificação citada anteriormente, ou seja,

desconsiderar os efeitos de inércia do fluido que nada mais é do que eliminar os

termos de aceleração local e convectiva nas equações (3.54) e (3.56), obtendo-se

com isso:

41

(3.66)

(3.67)

As funções e , soluções destas equações diferenciais, fornecem os perfis de

velocidade do fluido. Para determiná-las basta resolver as equações com as

condições de contorno apropriadas.

Primeiramente estas equações diferenciais forma resolvidas para um caso

mais geral, conforme ilustrado na Figura 3.7, na qual temos um filme de fluido de

espessura entre duas superfícies sólidas que apresentam movimento relativo.

Figura 3.7 Escoamento entre duas superfícies em movimento relativo.

Fonte: adaptada de Hori (2006).

As condições de contorno para tal problema são dadas por:

(3.68)

(3.69)

42

Para solucionar a equação (3.66), inicialmente efetua-se uma integração com

relação à variável

Resultando em:

Na qual, é uma função que a princípio pode depender de e também de .

Integrando-se esta expressão, novamente com relação à variável :

Aplicando-se as condições de contorno

Temos que

Da condição de contorno, , obtém-se:

43

Portanto, a função que descreve o perfil de velocidade na direção é dada por

(3.70)

Para determinar o perfil de velocidade na direção , basta resolver a equação (3.67).

Integrando-se com relação à variável

Integrando-se a expressão obtida novamente com relação à variável :

Aplicando-se a condição de contorno , tem-se que

Aplicando-se a segunda condição de contorno dada por: , tem-se:

44

Portanto:

(3.71)

Agora que os perfis das componentes de velocidade do fluido e são

conhecidos, é possível obter a equação de Reynolds, para o caso mais geral,

integrando-se a equação da continuidade na direção da espessura do filme de fluido

lubrificante, ou seja:

(3.72)

Utilizando-se da regra de Leibniz para diferenciação de integrais, dada por:

(3.73)

Aplicando-se equação (3.73) na equação (3.72):

(3.74)

Resolvendo-se as integrais presentes na equação (3.74):

(3.75)

(3.76)

45

(3.77)

(3.78)

(3.79)

Substituindo-se estes valores na equação (3.74):

(3.80)

É possível simplificar a equação de Reynolds, que foi deduzida para um caso mais

geral, levando em consideração as condições de operação do mancal

hidrodinâmico.

Em geral, não existe movimento do mancal na direção , ou seja:

46

Nas direções e , somente o rotor se movimenta e a bucha do mancal é fixa,

portanto:

Levando-se em conta estas informações a equação de Reynolds pode ser escrita da

seguinte forma:

(3.81)

Considerando-se que o eixo seja um corpo rígido, podemos desprezar o primeiro

termo do lado direito da equação anterior, resultando em

(3.82)

Desconsiderando-se os efeitos das pequenas perturbações, a velocidade na

superfície do rotor é dada por:

(3.83)

Porém, a velocidade , não é paralela a direção , por isso se faz necessário a

decomposição desta velocidade em duas componentes, conforme ilustrado na

Figura 3.8.

Figura 3.8 Componentes da velocidade do rotor. Fonte: adaptada de Hori (2006).

47

Através da análise da Figura 3.8 conclui-se que:

(3.84)

(3.85)

O ângulo , formado entre as superfícies do rotor e do mancal é muito pequeno,

pois a folga existente entre o eixo e a bucha do mancal é da ordem de .

Então, as seguintes aproximações podem ser feitas.

(3.86)

(3.87)

Sendo que,

(3.88) Logo:

(3.89)

Substituindo-se os valores de e na equação (3.82), tem-se:

(3.90)

A análise dos termos presentes na equação de Reynolds permite identificar os

mecanismos geradores de pressão no filme de fluido lubrificante. Esta análise será

feita a partir da equação (3.81), pelo fato de esta ser mais geral.

48

O lado esquerdo da equação de Reynolds indica como se dá a distribuição de

pressão no filme de fluido lubrificante em função das coordenadas e . Um esboço

desta distribuição está representado na Figura 3.9.

Figura 3.9 Distribuição de pressão. Fonte: adaptada de Hori (2006).

Por sua vez, o lado direito representa as causas da geração de pressão no

filme de fluido lubrificante. O primeiro termo do lado direito da equação de Reynolds

corresponde ao efeito de cunha (wedge effect) representado na Figura 3.10.

Figura 3.10 Efeito de cunha. Fonte: adaptada de Shigley’s (2006).

A Figura 3.10(a) mostra um eixo que inicia seu movimento de rotação no

sentido horário. Durante o arranque o mancal estará seco, ou parcialmente seco,

como conseqüência o eixo subirá através da superfície interna da camisa do mancal.

Agora suponha que um fluido lubrificante seja introduzido no topo do mancal, figura

3.10(b), a movimentação do eixo bombeará o óleo ao redor do mancal, sentido

horário, o lubrificante é então bombeado em um espaço em forma de cunha

forçando o eixo para o outro lado. Uma espessura mínima de filme é formada

deslocada do centro do mancal devido ao fato de que uma pressão no filme de fluido

49

alcança um valor máximo nessa posição. Isso faz com que o ocorra uma separação

entre o eixo e a camisa do mancal (HORI, 2006).

O segundo termo corresponde ao efeito elástico (stretch effect) no qual a

contribuição para gerar a pressão no fluido é devida a deformação das superfícies.

Em materiais mais rígidos este efeito é desprezível, mas se tratando de materiais

como, por exemplo, algumas borrachas o mesmo não deverá ser negligenciado.

O terceiro termo é representação matemática do esmagamento do filme de

óleo lubrificante (squeeze effect), no qual a pressão é gerada devido à variação da

espessura do filme do fluido lubrificante (HORI, 2006). Uma ilustração para esse

efeito é dada na Figura 3.11.

Figura 3.11 Esmagamento do filme de óleo lubrificante. Fonte: adaptada de

Shigley’s (2006).

Estes efeitos atuando conjuntamente são os responsáveis por gerar o campo

de pressão responsável pela capacidade de sustentação de cargas em mancais

hidrodinâmicos.

50

CAPÍTULO 4

SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE REYNOLDS

Devido a sua complexidade a equação de Reynolds não possui solução

exata. Para solucioná-la é necessário recorrer a métodos numéricos, porém, existem

soluções analíticas clássicas que podem ser obtidas quando dois casos idealizados

de mancais são considerados, o mancal curto e o mancal infinitamente longo.

Ao assumir o mancal infinitamente longo na direção axial (ao longo de seu

comprimento) pode-se desprezar o gradiente de pressão na direção , ou seja,

desprezar os efeitos de borda e considerar a pressão aproximadamente constante

na direção , assim, consegue-se resolver analiticamente a equação resultante.

Se por outro lado o mancal for assumido como sendo curto, ou seja, a

dimensão na direção muito menor que na direção , o pico de pressão deve cair

mais rapidamente para pressão ambiente na direção do que na direção . Logo, o

gradiente de pressão na direção é muito maior que o gradiente de pressão na

direção , e este último pode ser desprezado e a equação resultante é passível de

ser solucionada analiticamente (HARNOY, 2003).

4.1. CONDIÇÕES DE CONTORNO

Para encontrar uma solução a equação de Reynolds é necessário conhecer

as condições de contorno do problema que está sendo modelado. No caso dos MHR

tem-se que na direção axial, mais especificamente nas extremidades dos mancais, a

pressão no filme de óleo é igual à pressão atmosférica, ou seja, seu valor é bem

definido. No entanto, na direção radial esta análise não é tão simples de ser feita e

pode ser ainda mais dificultada se levar em conta, por exemplo, o fenômeno de

ruptura do filme de óleo, que torna a determinação do valor de pressão nestas

circunstâncias uma atividade bastante complexa.

Por simplicidade considere um MHR infinitamente longo no qual o fenômeno

da ruptura do filme de óleo é desprezado. Esta suposição não configura um absurdo,

51

uma vez que para atingir tal situação basta supor que a folga radial do mancal esteja

completamente preenchida pelo óleo lubrificante. Em tais condições, a solução da

equação de Reynolds apresenta um valor positivo de pressão para o semicírculo do

mancal no qual a folga radial diminui, e um valor de pressão negativo para

semicírculo no qual a folga radial aumenta. No entanto estes valores são iguais em

termos absolutos.

Este fato será verdadeiro somente na situação em que a pressão no filme de

óleo for suficientemente baixa. No caso em que o valor da pressão no filme de óleo

for relativamente elevado, o valor absoluto da pressão negativa não pode cair além

de certo valor, caso isto ocorra, acontecerá à ruptura do filme de óleo.

A Figura 4.1 apresenta as condições de contorno que são aplicadas para

solucionar a equação de Reynolds no caso dos MHR.

Figura 4.1 Condições de contorno para equação de Reynolds. Fonte: adaptada

de Hori (2006).

Condição de contorno de Sommerfeld – Aplica-se nos casos em que a

pressão no filme de óleo é baixa e não se observa o efeito da ruptura do filme de

óleo. Matematicamente esta condição é expressa da seguinte maneira:

52

Condição de contorno de Gümbel – Nesta condição de contorno a pressão

é calculada desconsiderando-se a ruptura do filme de óleo, mas somente a pressão

positiva no semicírculo de intervalo é considerada. A pressão negativa

presente no outro semicírculo é considera como sendo nula (i.e., pressão

atmosférica). O filme de óleo inicia em e termina em . Esta condição é

aplicada nos casos em que a pressão no filme de óleo é suficientemente alta, esta

condição às vezes é denominada de meia condição de Sommerfeld.

Condição de contorno de Reynolds – Assume-se que o filme de óleo

termine na posição na qual a pressão e o gradiente de pressão são

ambos nulos, simultaneamente. Esta condição elimina a descontinuidade do fluxo de

óleo em , uma contradição física presença na condição Gümbel. No entanto, é

necessário determinar o valor de , esta condição é também conhecida como

condição de Swift-Stieber (HORI, 2006).

4.2. SOLUÇÃO PARA MANCAIS INFINITAMENTE LONGOS

A solução da equação de Reynolds fornece a distribuição de pressão no filme

lubrificante. Por meio da integração desta distribuição de pressão encontra-se a

força desenvolvida no filme de óleo lubrificante. A partir das condições de equilíbrio

desta força com a carga do mancal pode-se determinar os seguintes parâmetros:

excentricidade radial, capacidade de carga e força de atrito (WATANABE, 2003).

Ao assumir o mancal infinitamente longo na direção axial (ao longo de seu

comprimento) é possível desprezar o gradiente de pressão na direção , ou seja,

desprezar os efeitos de borda e considerar a pressão aproximadamente constante

na direção , assim, consegue-se resolver analiticamente a equação resultante.

A equação de Reynolds foi deduzida no capítulo 3 e é dada pela equação

(3.90) reescrita abaixo para facilitar o desenvolvimento.

Sendo que, para mancais infinitamente longos o gradiente de pressão na direção é

nulo:

53

(4.1)

Logo a equação (3.90) é simplificada para a equação abaixo.

(4.2)

As derivadas parciais passam a ser derivadas simples pelo fato de que em mancais

infinitamente longos a pressão só depende da variável .

4.2.1 PRESSÃO NO FILME DE ÓLEO EM MANCAIS

INFINITAMENTE LONGOS

Para obtenção da expressão para o cálculo da pressão no filme de óleo em

mancais infinitamente longo é necessário resolvermos a equação (4.2). Integrando-

se a equação (4.2) obtém-se:

(4.3)

Onde, é uma constante de integração. É conveniente trocarmos pelo valor da

espessura do filme de óleo, , no ponto onde ocorre um pico de pressão, ou seja,

no ponto onde:

54

Portanto:

(4.4)

Lembrando-se que anteriormente foi derivada uma expressão para espessura do

filme de fluido lubrificante dada pela equação (2.23), abaixo reproduzida para facilitar

o acompanhamento dos cálculos:

Por simplicidade desconsidera-se os termos perturbativos (solução estática), ou

seja:

Lembrando-se que , tem-se que . Portanto, a equação

(4.4) é reescrita da seguinte forma:

(4.5)

O passo seguinte é resolver a equação anterior, para isso, algumas

manipulações serão necessárias.

55

(4.6)

Onde é uma constante resultante do processo de integração.

Através da mudança de variável efetuada anteriormente, o perfil de pressão

inicia-se em e nesta posição seu valor é dado por . A magnitude de

dependerá da maneira como o suprimento de óleo é fornecido para o mancal, ou

seja, pela forma como o óleo é injetado no interior do mancal. Se o óleo esta

estocado em um reservatório e sua introdução se da por meio simplesmente da

força de gravidade, a magnitude de é levemente superior a da pressão

atmosférica e por isso pode ser considerada como sendo nula, suporemos esta

condição na modelagem. Caso o óleo seja introduzido no mancal com auxílio de

uma bomba o valor de será dado pela pressão de bombeamento.

As integrais presentes na equação anterior não possuem soluções triviais,

porém, podem ser resolvidas analiticamente se adotarmos a seguinte mudança de

variável, (G.I TAYLOR & E.R VAN DRIEST).

(4.7)

Na qual a nova variável , transforma o intervalo no mesmo intervalo

. Da mudança de variável proposta tem-se que:

Sabendo que:

56

Tem-se que:

Sendo que ,tem-se então:

(4.10)

(4.11)

Derivando-se a equação (4.11) em relação à :

(4.12)

Substituindo-se os valores anteriormente determinados para e (equações

4.10 e 4.11) em função de , na equação (4.12) obtém-se:

57

(4.13)

Retomando a expressão dada pela equação (4.6):

É necessário expressar as integrais do lado direito da equação (4.6) em função da

variável . Isso é possível de ser feito se substituirmos a expressão dada pela

equação (4.13) nas integrais presentes na equação (4.6).

Iniciando-se este procedimento pela segunda integral presente no lado direito

as equação (4.6):

Lembrando-se que:

, tem-se:

58

(4.14)

Fazendo-se o mesmo para a primeira integral presente no lado direito da

equação (4.6), obtém-se:

(4.15)

Substituindo-se as integrais presentes na equação (4.6) pelas expressões dadas

pelas equações (4.14) e (4.15), pode-se reescrevê-la da seguinte forma:

(4.16)

A equação (4.16) é uma expressão geral para perfil de pressão no mancal.

4.2.2 SOLUÇÃO DE SOMMERFELD PARA O MANCAL

INFINITAMENTE LONGO

59

Na seção anterior foi encontrada a equação abaixo para o perfil de pressão

do mancal infinitamente longo (equação (4.16)):

A solução do problema ainda não está completamente definida, uma vez que,

é preciso determinar as duas constantes resultantes do processo de integração, e

. Isso é possível a partir das condições de contorno do problema.

a. PRESSÃO NO FILME DE ÓLEO

As condições de contorno de Sommerfeld são expressas matematicamente

da seguinte forma:

Para primeira condição de contorno, , temos que:

(4.17)

Logo, temos que .

Aplicando a segunda condição de contorno, :

60

(4.18)

Agora, com as constantes de integração determinadas, basta substituir seus valores

na equação (4.16), este procedimento resulta na seguinte solução para o mancal

infinitamente longo:

(4.19)

Lembrando-se de que foi efetuada uma mudança de variável com a finalidade

de facilitar o cálculo das integrais presentes na equação (4.6). Neste ponto do

desenvolvimento retornar-se a coordenada inicial do problema, ou seja, .

Para isso, retoma-se a equação (4.7) que correlaciona às duas variáveis:

61

Anteriormente demonstrou-se nas equações (4.10) e (4.11), respectivamente, que:

Manipulando-se estas equações encontram-se os seguintes resultados:

(4.20)

Manipulando-se a equação (4.10):

(4.21)

Substituindo as expressões dadas pelas equações (4.20) e (4.21) na equação

(4.19), obtém-se:

Agrupando-se os termos que possuem no denominador o fator , tem-se:

62

Agrupando-se os termos que possuem o fator no denominador:

Encontrando-se um denominador comum para expressão anterior, tem-se:

(4.22)

63

Definindo-se:

(4.23)

Podemos reescrever a equação (4.22) da seguinte maneira:

(4.24)

Figura 4.2 Distribuição de pressão em um mancal infinitamente longo pelas

condições de contorno de Sommerfeld.Fonte: adaptada de Harnoy (2003).

Da análise da Figura 4.2 verifica-se que a distribuição de pressão é simétrica

com relação ao ponto em que , além disso, os valores de máximo e de

mínimo de pressão são iguais em termos absolutos. Determina-se a posição na qual

ocorrem estes extremos a partir da seguinte condição:

64

Em que é dada pela equação (4.22). Derivando-se a equação (4.22) em relação à

variável tem-se o seguinte resultado:

Aplicando a condição:

65

Da relação trigonométrica , podemos obter que:

. Substituindo esta informação na última equação obtemos:

(4.25)

b. FORÇA NO FILME DE ÓLEO E CAPACIDADE DE CARGA DO MANCAL

A Figura 4.3 mostra a capacidade de carga, , de um mancal hidrodinâmico

radial e suas duas componentes e . A direção de é ao longo da linha de

simetria do mancal . O ângulo medido entre a linha de atuação da força externa

F (carga) e a linha , é o ângulo de atitude do mancal, , definido anteriormente.

A direção da componente é normal a direção de (HARNOY,2003).

66

Figura 4.3 Componentes das forças atuantes no mancal. Fonte: adaptada de

Harnoy (2003).

Uma quantidade infinitesimal da capacidade de carga do mancal, , atua na

direção normal da superfície do eixo do mancal. Ela é o produto da pressão no

fluido, , e um elemento de área da superfície do eixo do mancal dado por:

(4.26)

Portanto, um elemento de força do fluido representado por:

(4.27)

É dado por:

(4.28)

A pressão atua na direção normal à superfície do eixo do mancal, e é

uma quantidade infinitesimal da força que atua sobre o eixo do mancal, responsável

pela sustentação da carga imposta ao mancal, cuja direção é orientada para o

centro do eixo conforme se observa na Figura 4.3.

Se o problema consistisse no escoamento de um fluido entre duas placas

paralelas a pressão atuaria apenas em uma direção, no caso do mancal em estudo,

a direção em que a pressão é atuante varia ao longo da superfície do eixo do

mancal o que não possibilita obter a força resultante através de uma integração

simples da quantidade (HARNOY, 2003). Para alcançarmos este propósito se faz

necessária a decomposição de componentes na direção X e na direção Y, o que

possibilita a integração em cada uma destas direções. Os módulos dos elementos

de força nas direções X e Y são dados por:

(4.29)

(4.30)

67

O sinal negativo de é devido ao fato de este estar orientado no sentido negativo

do eixo X, conforme ilustrado está na Figura 4.3. Portanto, as componentes nas

direções X e Y são dadas respectiva mente por:

(4.31)

(4.32)

Além disso, verifica-se que o ângulo de atitude, , é dado pela razão:

(4.33)

Todas as informações necessárias para resolver estas equações estão disponíveis,

uma vez que anteriormente determinou-se uma expressão para o campo de pressão

, equação (4.24). No entanto, a integral a ser resolvida neste procedimento de

cálculo é complexa. Esta tarefa árdua pode ser simplificada se as componentes da

capacidade de carga forem calculadas a partir da equação do gradiente de pressão,

equação (4.5), que a seguir é resgatada para melhor entendimento:

Da teoria do cálculo diferencial sabemos que se e são funções de uma

única variável independente, temos, pela regra da derivação do produto de duas

funções que:

Ao integrarmos esta expressão obtemos:

68

Que é conhecida no meio acadêmico como a fórmula da integração por partes.

Comparando esta fórmula com a expressão da componente da capacidade de carga

na direção X dada pela equação (4.31).

É possível estabelecer as seguintes igualdades:

Portanto:

(4.34)

Adotando-se o mesmo procedimento para a componente da capacidade de carga na

direção Y obtém-se:

(4.35)

Observa-se facilmente que os primeiros termos do lado direito das duas

equações anteriores são nulos, portanto as expressões podem ser simplificadas da

seguinte maneira:

69

(4.36)

(4.37)

Substituindo a expressão do gradiente de pressão dado pela equação (4.5) na

equação (4.36) teremos:

Para resolver a integral

basta efetuar a seguinte mudança de variável:

Logo:

Retornando a variável inicial temos:

Analogamente tem-se que:

Isso implica que a equação (4.36) é dada por:

70

E, portanto, o resultado da equação (4.31) é:

Agora, substituindo-se a expressão do gradiente de pressão dado pela

equação (4.5) na equação (4.37) tem-se para a componente da capacidade de

carga do mancal infinitamente longo a seguinte equação:

(4.39)

As integrais presentes no lado direito da última equação pode ser calculadas

facilmente empregando-se a técnica das frações parciais. Iniciando este

procedimento com a primeira delas, ou seja:

Expandindo em frações parciais:

Esta igualdade será verdadeira se as seguintes condições forem satisfeitas

Sendo assim:

71

Portanto:

Logo:

(4.40)

Adotando-se o mesmo procedimento para segunda integral, presente no lado

direito da equação (4.39), dada por:

Expandindo em frações parciais:

Esta igualdade será verdadeira se,

Sendo que:

72

Logo

Portanto:

(4.41)

As integrais presentes nas equações (4.40) e (4.41) são da forma:

E já foram calculadas anteriormente na seção 4.2.1 sendo que:

Substituindo-se estes resultados nas equações (4.40) e (4.41), respectivamente,

tem-se:

(4.42)

73

(4.43)

Substituindo as equações (4.42) e (4.43) na equação (4.39):

(4.44) Portanto, o resultado da equação (4.39) é dado por:

Uma vez que:

Tem-se:

Portanto, a capacidade de carga para o mancal infinitamente longo, sob as

condições de contorno de Sommerfeld, é em módulo igual a . Uma vez que

(4.45)

74

Anteriormente foi demonstrado que o ângulo de atitude do mancal pode ser

calculado pela equação (4.33). Conforme calculado, tem-se que, , isso

implica que , portanto,

.

Figura 4.4 Posição do centro do eixo.

Isso significa que a linha de simetria do mancal, , é normal a direção do vetor

capacidade de carga.

c. FORÇA DE ATRITO

A força de atrito, , a qual o mancal em estudo encontra-se submetido

durante sua operação é de origem viscosa, ou seja, é devida a resistência oferecida

pelo fluido lubrificante ao movimento de rotação do eixo do mancal. Sua definição

matemática é dada pela equação abaixo, na qual representa o raio do mancal e

o torque de atrito.

(4.46)

Através da operação matemática da integração é possível calcular a força de

atrito a partir da expressão da tensão de cisalhamento, conforme a equação a

seguir:

(4.47)

75

Na qual:

(4.48)

A integral é realizada sobre toda superfície do eixo do mancal, que possui o seguinte

elemento de área . Portanto a equação (4.47) pode ser reescrita da

seguinte maneira:

(4.49)

A tensão de cisalhamento do fluido pode ser facilmente obtida, uma vez que, o perfil

de velocidade já foi determinado anteriormente e é dado pela equação (3.70)

apresentada a seguir:

Ou seja, substituindo na equação (4.48), tem-se:

(4.50)

A tensão de cisalhamento está expressa como uma função da variável , em

a expressão fornece o valor de tensão de cisalhamento na superfície da bucha

do mancal (parte fixa), já em a expressão fornece o valor da tensão de

cisalhamento na superfície do eixo do rotor (parte móvel) exatamente o valor de

tensão de cisalhamento que é necessário para calcular a força de atrito. O valor da

tensão de cisalhamento na superfície do eixo do mancal é dado pela equação a

seguir:

76

(4.51)

O gradiente de pressão também já foi determinado anteriormente e é dado pela

equação:

Sendo que a expressão para folga radial, ou espessura do filme de óleo, , é dada

por .

Logo:

Portanto, a equação (4.51) pode ser reescrita como:

(4.52)

Logo, a equação (4.49) fica:

(4.53)

As integrais da forma:

77

Já foram calculadas anteriormente, sendo que:

Substituindo-se estes valores na equação (4.53) tem-se:

(4.54)

Agora que a expressão para força de atrito foi determinada é possível obter o valor

do coeficiente de atrito. Sendo que, corresponde a capacidade de carga do

mancal.

(4.55)

(4.56)

Substituindo os valore de e na equação (4.56) tem-se:

78

(4.57)

A dissipação de energia por unidade de tempo no mancal infinitamente longo, , é

calculada a partir do torque de atrito. Na qual é a velocidade angular do rotor em

(rad/s).

(4.58)

d. NÚMERO DE SOMMERFELD

Para obter a expressão para capacidade de carga de um mancal, sob as

condições de contorno de Sommerfeld, foram feitas suposições que idealizavam um

mancal como sendo infinitamente longo, operando em regime estacionário,

totalmente preenchido por óleo, filme contínuo, sem formação de bolhas e cavitação.

Na realidade, a expressão obtida desta maneira não é a mais apropriada para se

calcular este parâmetro, sendo que, a mesma pode ser melhorada através de

métodos computacionais (HORI, 2006).

Na prática a capacidade de carga é obtida de forma adimensional por meio de

tabelas e gráficos que auxiliam no projeto dos mancais. O parâmetro adimensional

mais empregado para este propósito é o famoso número de Sommerfeld, .

A equação (4.45), da capacidade de carga do mancal, pode ser convertida

para um formato adimensional através de operações matemáticas simples conforme

ilustrado a seguir:

79

(4.59)

É costume expressar o número de Sommerfeld como função da velocidade do eixo, em

revoluções por segundo, , e da pressão média, , no mancal, logo:

(4.60)

(4.61)

Substituindo-se estas equações na equação (4.59), tem-se que o número de Sommerfeld

para o mancal infinitamente longo sob as condições de contorno de Sommerfeld:

(4.62)

4.2.3 SOLUÇÃO DE GÜMBEL PARA MANCAIS INFINITAMENTE

LONGOS

Na seção passada vários parâmetros dos mancais infinitamente longos foram

derivados levando-se em consideração as condições de contorno de Sommerfeld.

Um dos resultados obtidos mostrou que a linha de simetria do mancal (linha

imaginária que liga o centro do mancal ao centro do rotor), , é normal a direção do

vetor capacidade de carga, conforme mostrou a Figura 4.4.

No entanto, este resultado contradiz as observações em diversas condições

práticas de operação dos mancais. De fato, a situação ilustrada pela Figura 4.4 só

ocorre quando a pressão no mancal é muito baixa. A não concordância deste

resultado com as observações práticas pode ter sua origem na inclusão de pressões

negativas na modelagem advindas das condições de contorno de Sommerfeld

(HORI, 2006).

Nesta seção será encontrada uma solução para o perfil de pressão dos

mancais infinitamente longos na qual não se considera a existência de pressões

negativas (condição de contorno de Gümbel), e a partir desta solução será calculada

80

a capacidade de carga, a força de atrito e outros parâmetros de operação dos

mancais.

a. PRESSÃO NO FILME DE ÓLEO

Pela condição de contorno de Gümbel somente a região de pressões

positivas é considerada. Ou seja, a equação que descreve o perfil de pressão é a

mesma obtida anteriormente, no entanto, a análise agora é restrita somente ao

intervalo, .

b. FORÇA NO FILME DE ÓLEO E CAPACIDADE DE CARGA DO

MANCAL

Para obter a força no filme de óleo, sob as condições de contorno de Gümbel,

é necessário integrar a expressão para o perfil de pressão no filme de óleo no

intervalo . Realizando-se o balanço de forças esboçado na Figura 4.5, o

seguinte conjunto de equações é obtido:

(4.63)

(4.64)

81

Figura 4.5 Força no filme de óleo sob as condições de contorno de Gümbel.Fonte:

adaptada de Hori (2006).

Resolvendo a equação (4.63) obtém-se:

Verifica-se facilmente que o primeiro termo do lado direito da última equação é nulo,

portanto, temos que:

82

As integrais presentes nesta expressão já foram anteriormente calculadas e

possuem os seguintes resultados:

Lembrando que:

, tem-se:

Simplificando a expressão

:

Logo:

(4.65)

83

Agora, calculando-se a equação (4.64):

As integrais presentes na última expressão já foram calculadas anteriormente

utilizando-se a técnica de resolução por frações parciais. Sendo que:

As integrais da forma:

Também já formam calculadas anteriormente, então, é possível reescrever a

expressão:

Da seguinte forma, levando-se em conta as frações parciais.

84

(4.66)

A partir das equações (4.65) e (4.66) é possível determinar o módulo da

capacidade de carga. Elevando-se ambas as expressões ao quadrado, tem-se:

Somando-se as duas equações:

Portanto:

85

(4.67)

Para calcular o ângulo de atitude , basta dividir a equação (4.66) pela equação

(4.65).

(4.68)

c. FORÇA DE ATRITO

A dedução da força de atrito para o mancal infinitamente longo aplicando-se

as condições de contorno de Gümbel é análoga a feita para a condição de contorno

de Sommerfeld. A expressão para o cálculo da força de atrito é a mesma obtida

anteriormente, no entanto, os limites de integração são distintos em ambos os

casos.

Na seção 4.2.2c deduzimos a expressão abaixo para o cálculo do módulo da

força de atrito:

Os limites de integração já foram modificados levando-se em conta as

condições de contorno de Gümbel. Em seções passadas as integrais presentes na

equação anterior também já foram calculadas, portanto, utilizando-se Oe resultados

obtidos, tem-se que:

86

Portanto, o módulo da força atrito neste caso é dado por:

(4.69)

Com a expressão para o módulo da força de atrito determinada é possível obter o

valor do coeficiente de atrito,

, sendo que corresponde a capacidade de

carga do mancal dada por:

Logo:

(4.70)

A dissipação de energia por unidade de tempo no mancal infinitamente longo,

, é calculada a partir do torque de atrito. Na qual é a velocidade angular do rotor

em (rad/s).

(4.71)

87

d. NÚMERO DE SOMMERFELD

O número de Sommerfeld neste caso é dado por

Relembrando-se que e , tem-se então:

(4.72)

4.3. SOLUÇÃO PARA MANCAIS CURTOS

Quando a largura, , do mancal for muito menor em comparação com seu

diâmetro , ( ) este é classificado como curto. A Figura 4.6 ilustra as

características geométricas de um mancal curto.

Figura 4.6 Mancal curto. Fonte: adaptada de Harnoy (2003).

88

Mesmo apresentando uma baixa capacidade de carga por unidade de

comprimento, comparada a dos mancais longos, os mancais curtos apresentam

vantagens que tornam seu uso apropriado nos projetos de máquinas.

Comparados aos mancais longos os curtos apresentam uma melhor

capacidade de refrigeração devida à maior rapidez com que o óleo lubrificante

circula por toda cavidade do mancal durante seu funcionamento. Isso faz com que

ocorra uma melhor transferência de calor e, consequentemente, não ocorra

superaquecimento, que é a principal causa de falhas em mancais. O desgaste

durante a operação dos mancais curtos é reduzido devido à alta taxa de renovação

do óleo lubrificante na cavidade do mancal, o que possibilita a eliminação de

partículas abrasivas (HARNOY, 2003).

Devido ao seu tamanho reduzido os mancais curtos possibilitam uma

economia de espaço propiciando o projeto de máquinas mais compactas, o que é

uma forte tendência na engenharia moderna. Por todas estas razões expostas, os

mancais curtos são amplamente empregados na atualidade. Os mancais longos

foram bastante utilizados nas décadas passadas e hoje em dia ainda se encontram

em operação em máquinas antigas ou em aplicações especiais nas quais uma

capacidade de carga elevada é exigida (HARNOY, 2003).

Dubois e Ocvirk (1953) foram os pioneiros no estudo dos mancais curtos. Eles

assumiram que o gradiente de pressão ao longo do mancal na direção é muito

pequeno em comparação ao gradiente de pressão na direção ou seja, o gradiente

de pressão na direção pode ser desprezado.

Esta suposição simplifica a equação de Reynolds e possibilita a determinação

de uma solução analítica para o perfil de pressão nos mancais curtos. Pode-se

verificar a consistência desta suposição levando-se em consideração que a

dimensão do mancal na direção é muita menor que sua dimensão na direção .

Assim sendo, o pico de pressão deve cair mais rapidamente para pressão ambiente

na direção , ou seja, o gradiente de pressão

deve ser elevado.

Quando um mancal não for curto, ou seja, quando sua largura for

aproximadamente igual ao seu diâmetro, podemos mesmo assim analisá-lo como

sendo curto. É importante salientar que, adotando-se este procedimento, a

89

capacidade de carga calculada no modelo de mancal curto é menor que a

verdadeira capacidade de carga do mancal finito. Ou seja, procedendo desta forma

estaremos trabalhando com uma boa margem de segurança, uma vez que, está

sendo subestimada a verdadeira capacidade de carga do mancal. Este modelo é

largamente empregado por engenheiros projetistas de máquinas, uma vez que, além

de seguro possibilita economia de tempo que seria gasto para elaboração de

cálculos de otimização do projeto (HARNOY, 2003).

4.3.1 PRESSÃO NO FILME DE ÓLEO EM MANCAIS CURTOS

Para determinarmos o perfil de pressão dos mancais curtos é necessário

simplificar a equação de Reynolds. Isso é possível a partir da suposição de que o

gradiente de pressão na direção é muito menor que o gradiente de pressão na

direção , e por isso, pode ser desprezado. Partindo-se da equação de Reynolds:

Tem-se que:

Portanto a equação de Reynolds simplificada para o caso do mancal curto é dada

por:

(4.73)

Para determinarmos o perfil de pressão para o mancal curto é necessário solucionar

a equação (4.73).

Anteriormente foi deduzida uma expressão para o cálculo da espessura do

filme de óleo lubrificante, , e verifica-se em tal expressão que não de pende da

variável . Portanto, pode-se reescrever a equação (4.73) da seguinte forma.

(4.74)

90

Integrando-se esta equação em relação à variável , obtém-se:

(4.75)

Na qual é uma constante resultante do processo de integração. Integrando-se a

equação (4.75) em relação à variável , obtém-se:

(4.76)

Com e , constantes de integração.

Como foi dito anteriormente, só depende de , logo

e, portanto,

pode-se escrever a seguinte expressão para o perfil de pressão:

(4.77)

4.3.2 SOLUÇÃO DE GÜMBEL PARA MANCAIS CURTOS

a. PRESSÃO NO FILME DE ÓLEO

Aplicando-se as condições de contorno de Gümbel na equação (4.77):

Encontram-se as equações:

(4.78)

(4.79)

91

Somando-se as equações (4.78) e (4.79),tem-se:

Subtraindo as equações (4.78) e (4.79) tem-se:

, porém , pois é a largura do mancal, logo: .

Portanto, com as constantes de integração determinadas pode-se reescrever a

equação (4.77) da seguinte forma:

(4.80)

Lembrando-se que:

Portanto:

Substituindo-se estas informações na equação (4.80) determina-se a expressão

para o cálculo do perfil de pressão do mancal curto.

(4.81)

Nos mancais curtos a espessura do filme de óleo lubrificante, , converge no

intervalo , resultando no efeito de cunha e geração de pressões positivas.

Por outro lado, no intervalo a espessura do filme de óleo lubrificante

92

diverge e ocorre a geração de pressões negativas. Em regiões de pressões

negativas ocorre cavitação no fluido violando sua continuidade.

Na prática a contribuição da região de pressões negativas pode ser

desprezada no cálculo da capacidade de carga dos mancais. Então, para os

mancais curtos a análise matemática será efetuada somente no intervalo de

convergência da espessura do filme de óleo lubrificante, ou seja, no intervalo

(solução de Gümbel) (HORI, 2006).

b. FORÇA NO FILME DE ÓLEO E CAPACIDADE DE CARGA DO

MANCAL

O cálculo da capacidade de carga dos mancais curtos é feito de maneira

similar ao cálculo realizado para os mancais infinitamente longos, ou seja,

integrando-se a pressão ao longo de todo o mancal. No entanto, para os mancais

curtos a pressão é uma função das variáveis e .

Adaptando-se as equações das componentes da capacidade de carga dos

mancais infinitamente longos as características geométricas dos mancais curtos,

têm-se as seguintes equações para o cálculo da capacidade de carga:

(4.82)

(4.83)

Substituindo a equação (4.81) nas equações (4.82) e (4.83), têm-se o seguinte

resultado:

Primeiramente para a equação (4.82).

93

(4.84)

Agora para a equação (4.83):

94

(4.85)

Portanto, as componentes da capacidade de carga para os mancais curtos são

dadas por:

Para determinar a capacidade de carga basta apenas solucionar as integrais

presentes nas equações das componentes e . Iniciando-se com a integral

presente na equação (4.84), componente :

Esta integral é facilmente resolvida se adotarmos a seguinte mudança de variável

Logo, encontram-se as seguintes relações:

Substituindo estas informações na integral, obtém-se:

Estas integrais possuem soluções triviais dadas por:

95

Agora basta retornar a variável inicial e calcular a integral definida.

Sendo que:

Logo:

(4.86)

96

Agora é necessário resolver a integral presente na expressão da componente

da capacidade de carga, abaixo relacionada.

Esta integral pode ser facilmente resolvida aplicando-se a técnica de solução por

frações parciais, no entanto, algumas manipulações podem facilitar este trabalho.

Sabemos que logo:

Expandindo-se em frações parciais o segundo termo do lado direito da equação

anterior:

Para igualdade será verdadeira as seguintes condições devem ser satisfeitas:

Logo:

97

Portanto:

Sendo assim:

Recai-se novamente nas integrais da forma:

que já formam calculadas anteriormente, então, pode-se reescrever a expressão

anterior substituindo-se os valores destas integrais.

98

Portanto:

(4.87)

Substituindo-se as equações (4.86) e (4.87) respectivamente nas equações (4.85) e

(4.86), encontra-se:

Para componente :

(4.88) Para componente :

(4.89)

Portanto, o módulo da capacidade de carga do mancal curto é dado por:

99

(4.90)

O ângulo de atitude do mancal pode ser calculado através da equação (4.33),

resultando em:

(4.91)

c. FORÇA DE ATRITO

Através da operação matemática da integração é possível calcular a força de

atrito atuante no rotor a partir da expressão da tensão de cisalhamento, conforme

realizado anteriormente na equação (4.47).

A integral é realizada sobre toda superfície do rotor do mancal, que possui o

seguinte elemento de área . Portanto, tem-se que:

A tensão de cisalhamento do fluido pode ser facilmente obtida, uma vez que,

o perfil de velocidade já foi determinado anteriormente e é dado pela equação

(3.70) apresentada a seguir:

100

Tratando-se do caso de mancais curtos o termo

é nulo, portanto o perfil de

pressão assume a seguinte forma:

(4.92)

Com a tensão de cisalhamento é dada por:

Substituindo a equação (4.92) na expressão anterior e efetuando-se as operações

de calculo devidas, obtém-se:

(4.93)

Portanto a força de atrito no caso do mancal curto é dada por:

(4.94)

Agora que a expressão para o módulo da força de atrito foi determinada é

possível obter o valor do coeficiente de atrito.

Sendo que, corresponde a capacidade de carga do mancal dada pela equação

(4.90). Logo:

101

(4.95)

A dissipação de energia por unidade de tempo no mancal infinitamente longo,

, é calculada a partir do torque de atrito. Na qual é a velocidade angular do rotor

em (rad/s).

(4.96)

d. NÚMERO DE SOMMERFELD

O número de Sommerfeld é obtido a partir da manipulação da equação da

capacidade de carga, dada pela equação (4.90).

Rearranjando os termos de acordo com a definição do número de

Sommerfeld:

Recordando-se que e , tem-se então:

(4.97)

102

4.4. SOLUÇÃO NUMÉRICA

Nas seções passadas a distribuição de pressão ao longo da superfície de um

MHR foi calculada partindo-se de hipóteses simplificadoras que tornaram possível

resolver a equação de Reynolds analiticamente. No entanto, estes modelos de

mancais infinitamente longos e curtos possuem limitações de aplicação, o que torna

necessário a solução da equação de Reynolds sem as simplificações impostas.

A equação de Reynolds para o caso de mancais finitos só pode ser resolvida

numericamente. Isto é conseguido através da aplicação de métodos numéricos e

implementação de programas computacionais.

A equação de Reynolds pode ser resolvida por diversos métodos numéricos,

tais como: elementos finitos, volumes finitos, diferenças finitas entre outros. Neste

trabalho a solução proposta será obtida através do método das diferenças finitas.

4.4.1 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS – MDF

Basicamente o MDF transforma um sistema de equações diferencias em um

sistema de equações algébricas, no qual o número de equações dependerá do

refinamento na malha utilizada na análise.

As aproximações em diferenças finitas têm como base a expansão em série

de Taylor. Supondo que a função seja contínua no intervalo [a, b] de interesse e

que possua derivadas de ordem N contínuas neste intervalo, a expansão de Taylor

em torno de um ponto contido neste intervalo pode ser expressa por:

(4.98)

(4.99)

Isolando-se a primeira derivada nas equações (4.98) e (4.99), obtém-se:

103

(4.100)

(4.101)

Somando-se as equações (4.100) e (4.101) obtém-se:

(4.102)

Subtraindo-se as equações (4.100) e (4.101) obtém-se:

(4.103)

A equação de Reynolds a ser resolvida pelo MDF é apresenta abaixo:

Lembrando-se que , é possível reescrevê-la da seguinte maneira:

(4.104)

Para aplicação do MDF é necessário discretizar a superfície planificada do

mancal, no entanto, devido à simetria longitudinal do mancal define-se a malha

apenas em metade do mancal. As condições de contorno são: a pressão é nula nas

bordas da malha; o gradiente de pressão na direção é nulo, isso devido à simetria

longitudinal.

104

Analisando-se a pressão em um ponto genérico da malha,

determina-se os diferenciais de pressão neste ponto, considerando-se as pressões

nos pontos adjacentes e os correspondentes incrementos.

Figura 4.7 Malha para aplicação do MDF

A partir das equações (4.102) e (4.103), podemos reescrever a equação (4.104) da

seguinte forma:

Para o primeiro termo da equação (4.104), no ponto da malha, tem-se:

Para o segundo termo da equação (4.104):

Para o terceiro:

Portanto, a equação (4.104) pode ser reescrita da seguinte forma:

(4.105) Na qual:

105

Desenvolvendo este equacionamento para todos os pontos da malha pode-se

definir: uma matriz , formada pelos coeficientes da equação (4.105) que

multiplicam os termos das pressões; um vetor que corresponde ao terceiro termo

da equação (4.105); e um vetor formado pelas pressões de cada um dos nós da

malha, as quais devem ser calculadas. Então, pode-se representar o sistema de

equação da seguinte forma:

(4.106)

Agora, reescrevendo-se a equação (4.105) da seguinte forma:

(4.106)

Da equação (4.106) vê-se que cada ponto da malha está relacionado com quatro

pontos vizinhos e que para cada um destes pontos escreve-se uma equação na

106

forma discretizada, resultando no sistema de equações. Quanto mais refinada for à

malha, maior será o trabalho computacional e menor será o erro acumulado.

4.4.2 IMPLEMENTAÇÃO DO PROGRAMA COMPUTACIONAL PARA

SOLUÇÃO NUMÉRICA

Para solução numérica da equação da equação de Reynolds pelo MDF foi

elaborado um programa em ambiente MatLab®. A construção do programa foi

baseada no fluxograma apresentado na Figura 4.8.

A parte em cinza do fluxograma já esta implementada e funcionando

corretamente. Com ela é possível obter o perfil de pressão para meio mancal de

acordo com as condições de contorno de Sommerfeld, ou seja, considerando-se a

presença de pressões negativas no equacionamento.

A parte em branco do fluxograma corresponde a um módulo do programa

que ainda necessita ser implementado, com este módulo será possível modelar o

mancal a partir das condições de contorno de Gümbel, ou seja, desprezando-se as

pressões negativas. A implementação deste módulo fica como uma sugestão de

trabalho futuro.

107

Início

Fim

Definir características geométricas e de

operação do HJB

Calcular pressão estática P0 no HJB

via MDF

Montar malha de pressão estática P0

Integrar malha de pressão estática P0

Aplicar condição de contorno na região

de pressões negativas (P0<0)

Calcular capacidade de carga W0 e o

ângulo de atitude 0

Definir características da malha para a

aplicação do MDF

Sim

Sim

Não

Não

W0 convergiu?

Pontos

com P0<0 ?

Figura 4.8 Fluxograma do programa implementado.

108

CAPÍTULO 5

RESULTADOS

Nos capítulos anteriores foram encontradas várias equações que descrevem

os principais parâmetros dos MHR. Agora, estes resultados serão esboçados na

forma gráfica para melhor visualização do comportamento por eles apresentados.

Para obtenção dos resultados, utilizou-se os dados agrupados na Tabela 5.1

referentes às características geométricas e condições de operação do MHR.

Tabela 5.1 Propriedades e Unidades

Propriedades e Unidades Símbolo Valor

Comprimento do Mancal [m]

100x10-3

Diâmetro do Mancal [m]

100x10-3

Folga Radial [m]

50x10-6

Excentricidade Radial [m]

25x10-6

Rotação [rpm]

1x103

Viscosidade Absoluta do Óleo [N.s/m2]

393x10-3

O gráfico da Figura 5.1 apresenta a distribuição de pressão no mancal,

caracterizado pelos dados da Tabela 5.1, modelado como sendo um mancal curto

(equação 4.81), adotando-se as condições de contorno de Gümbel. Esta solução é

conhecida como solução de Ocvirk.

109

Figura 5.1 Distribuição - Modelo do Mancal Curto.

A Figura 5.2 corresponde à distribuição de pressão ao longo do mancal dada

pela equação (4.22) obtida através do modelo do Mancal Infinitamente Longo (MIL),

adotando-se as condições de contorno de Gümbel, e, .

Figura 5.2 Distribuição de pressão – MIL - Solução de Gümbel.

110

A Figura 5.3 corresponde à distribuição de pressão ao longo do mancal, dada

pela equação (4.22), obtida através do modelo do modelo do mancal infinitamente

longo, adotando-se as condições de contorno de Sommerfeld, com .

Figura 5.3 Distribuição de pressão – MIL - Solução de Sommerfeld.

A Figura 5.4 apresenta a distribuição de pressão calculada numericamente

utilizando o método das diferenças finitas, através do programa implementado.

Conforme dito anteriormente, esta solução foi obtida adotando-se as condições de

contorno de Sommerfeld, uma vez que estão presentes pressões negativas.

O perfil de pressão foi obtido apenas para meio mancal devido à simetria axial

do problema em questão.

111

Figura 5.4 Distribuição de pressão – Solução Numérica.

A Figura 5.5 corresponde a um gráfico obtido a partir da equação (4.67),

derivada no modelo do mancal infinitamente longo, sob as condições de contorno de

Gümbel, em sua forma adimesionalizada. Observa-se que existe um valor ótimo

para razão de excentricidade, 0,59, no qual a capacidade de carga do mancal é

máxima.

Figura 5.5 Capacidade de carga adimensional em função de – Gümbel.

112

O mesmo não se observa na Figura 5.6, na qual está apresentado o gráfico

da capacidade de carga adimensional, obtida da equação (4.45), para o mancal

modelado como sendo infinitamente longo e sob as condições de contorno de

Sommerfeld.

Figura 5.6 Capacidade de carga adimensional em função de – Sommerfeld.

Analisando-se a Figura 5.6, observa-se que à medida que a razão de

excentricidade tende a um, a capacidade de carga tende a um valor infinito.

A Figura 5.7, na qual está apresentado o gráfico da capacidade de carga

adimensional, obtida da equação (4.90), para o mancal modelado como sendo curto

(MC) e sob as condições de contorno de Gümbel, observa-se o um comportamento

análogo ao obtido no caso do mancal infinitamente longo sob as condições de

Gümbel, isto é, a capacidade de carga possui um valor ótimo associado à razão de

excentricidade. Sendo neste caso, 0,58.

113

Figura 5.7 Capacidade de carga adimensional em função de – MC.

Uma comparação entre a capacidade de carga do mancal modelado como

sendo curto e o modelo do mesmo mancal como sendo infinitamente longo é feita na

Figura 5.8.

Figura 5.8 Comparação entre os modelos.

114

Um esboço de como a espessura do filme de fluido varia em função de ,

dada pela equação (2.24), é mostrado na Figura 5.9. Observa-se que no intervalo

o valor espessura do filme de óleo converge para o intervalo

a espessura do filme de óleo diverge.

Figura 5.9 Variação da espessura do filme.

Na Figura 5.10 tem-se um gráfico que lustra o comportamento força de atrito,

obtido a partir da equação (4.54), no modelo do mancal infinitamente longo sob as

condições de contorno de Sommerfeld.

A Figura 5.11 demonstra como é dada a variação do coeficiente de atrito,

expresso pela equação (4.57), em função da razão de excentricidade. Os valores

foram calculados para um mancal com as características apresentadas na Tabela

5.1 utilizando-se a expressão obtida no modelo para mancais infinitamente longos

sob as condições de contorno de Sommerfeld.

O gráfico da Figura 5.12 lustra o comportamento força de atrito, obtido a partir

da equação (4.69), no modelo do mancal infinitamente longo sob as condições de

contorno de Gümbel.

115

Figura 5.10 Força de atrito [adim] em função de – MIL - Sommerfeld.

Figura 5.11 Coeficiente de atrito em função de – MIL - Sommerfeld.

116

Figura 5.12 Força de atrito [adim] em função de – MIL - Gümbel.

A Figura 5.13 demonstra como é dada a variação do coeficiente de atrito,

expresso pela equação (4.70), em função da razão de excentricidade. Os valores

foram calculados para um mancal com as características apresentadas na Tabela

5.1 utilizando-se a expressão obtida no modelo para mancais infinitamente longos

sob as condições de contorno de Gümbel.

O gráfico da Figura 5.14 lustra o comportamento força de atrito, obtido a partir

da equação (4.94), no modelo do mancal curto. A Figura 5.15 demonstra como é

dada a variação do coeficiente de atrito, expresso pela equação (4.95), em função

da razão de excentricidade. Os valores foram calculados para um mancal com as

características apresentadas na Tabela 5.1 utilizando-se a expressão obtida no

modelo para mancais curtos.

117

Figura 5.13 Coeficiente de atrito em função de – MIL - Gümbel.

Figura 5.14 Força de atrito [adim] em função de – Mancal Curto.

118

Figura 5.15 Coeficiente de atrito em função de – Mancal Curto.

119

CAPÍTULO 6

CONCLUSÕES

Os modelos de mancal curto e mancal longo apesar de serem construídos por

meio de hipóteses simplificadoras possuem importância acadêmica e prática. Foi por

meio destes modelos que parâmetros importantes de projeto de mancais

hidrodinâmicos, como por exemplo, o numero de Sommerfeld foram determinados.

No modelo de mancal infinitamente longo calculado sob as condições de

contorno de Sommerfeld alguns resultados teóricos não são observados na prática,

isso ocorre devido à inclusão de regiões de pressão negativas no modelo. Nos

resultados obtidos viu-se que a capacidade de carga tenderia ao infinito para valores

da razão de excentricidade próximos de um, o que é fisicamente impossível. No

entanto quando adotou-se as condições de contorno de Gümbel os resultados

obtidos não apresentaram mais este problema, uma vez que, por meio desta

condição de contorno as pressões negativas são desprezadas.

O modelo de mancal curto apresenta resultados mais próximos da

modelagem de mancais finitos (HARNOY, 2003) e é bastante empregado nos

projetos de mancais devido a sua facilidade de cálculo comparada a métodos

numéricos. Segundo a literatura, o modelo de mancal curto pode ser empregado na

prática pelo fato de a capacidade de carga estimada por este modelo ser menor que

a capacidade de carga real do mancal, ou seja, trabalha-se com uma margem de

segurança.

Comparando-se a capacidade de carga para o mancal com características

geométricas e condições de operação dadas pela Tabela 5.1, observa-se que a

capacidade de carga obtida pelo modelo de mancal curto é menor que a obtida

modelando-se o mancal como sendo infinitamente longo.

Na atualidade os mancais longos são pouco empregados nos projetos de

máquinas, estando restritos a aplicações especificas. Por outro lado, os mancais

curtos são largamente empregados devido à necessidade de máquinas de menor

dimensão. Portanto, o modelo de mancal curto tem sua importância no dia-a-dia dos

projetistas de máquinas.

120

Uma melhor comparação dos modelos pode ser feita comparando-se ambos

a solução numérica, no entanto, não foi possível implementá-la completamente

neste trabalho. Esta comparação com os modelos analíticos fica como sugestão

para futuros trabalhos.

Por sua vez, a construção dos modelos analíticos foi efetuada com

profundidade, partindo-se de primeiros princípios todas as equações presentes nos

modelos foram deduzidas. Neste trabalho foi possível colocar em prática

conhecimentos adquiridos em diversas disciplinas do curso de engenharia física, e

com isso, atingir o objetivo que é proposto em um trabalho final de curso.

121

REFERÊNCIAS

FORTUNA, A. O. Técnicas computacionais para mecânica dos fluidos: conceitos

básicos e aplicações. São Paulo: Edusp, 2000. 432p.

HARNOY, A. Bearing design in machinery. USA: Marcell Dekker, 2003.

HORI, Y. Hydrodynamic lubrication. Tokyo: Springer, 2006. 238p.

POTTER, Merle. C.; WIGGERT, David, C. Mecânica dos fluidos. 3ªed. São Paulo:

Cengage Learning, 2009. 690p.

SHIGLEY’S. Mechanical engineering design. Eighth edition. USA: McGraw-Hill

Primis, 2006. 1059p.

WATANABE, Flávio Yukio. Lubrificação ativa aplicada a mancais híbridos radiais.

Dissertação (Doutorado em Engenharia Mecânica)- UNICAMP, Campinas: 2003.