ALEXANDRE BERNARDINO ALVES AMANDA FARIA CRUZ GABRIELA SANTOS DOS REIS JEISON DE LIMA RODRIGUES

POTENCIAO E RADICIAOTrabalho como avaliao parcial da Disciplina de Fundamentos da Matemtica Elementar I, do primeiro semestre do Curso de Licenciatura em Matemtica, do Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de So Paulo, Campos Bragana Paulista, sob orientao do Prof. Rodrigo Rafael Gomes.

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO CINCIA E TECNOLOGIA DE SO PAULO BRAGANA PAULISTA 2011

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ALEXANDRE BERNARDINO ALVES AMANDA FARIA CRUZ GABRIELA SANTOS DOS REIS JEISON DE LIMA RODRIGUES

POTENCIAO E RADICIAOTrabalho como avaliao parcial da Disciplina de Fundamentos da Matemtica Elementar I, do primeiro semestre do Curso de Licenciatura em Matemtica, do Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de So Paulo, Campos Bragana Paulista, sob orientao do Prof. Rodrigo Rafael Gomes.

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO CINCIA E TECNOLOGIA DE SO PAULO BRAGANA PAULISTA 2011

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EPGRAFE

A matemtica, vista corretamente, possui no apenas verdade, mas tambm suprema beleza - uma beleza fria e austera, como a da escultura. Bertrand Russell

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SUMRIOINTRODUO....................................................................................................4 1. FUNO POLINOMIAL...........................................................................5 2. HISTRIA................................................................................................6 3. DETERMINANDO POLINOMIOS............................................................6 4. GRFICOS DE POLINOMIOS................................................................7 4.1 Razes................................................................................................7 4.2 Termo Independente..........................................................................8 4.3 Sinal do Coeficiente Lder..................................................................8 5. GRAU DE UMA FUNO POLINOMIAL..............................................10 5.1 Funes Polinomiais de Grau 1.......................................................11 5.2 F unes Polinomiais de Grau 2......................................................11 5.3 Funes Polinomiais de Outro Graus..............................................12 6. FUNES CONSTANTES....................................................................13 7. VALOR NUMRICO DE UM POLINMIO............................................13 8. OPERAES COM POLINOMIOS.......................................................14 8.1 Igualdade de Polinmios..................................................................14 8.2 Soma de Polinmios........................................................................14 8.3 Produto de Polinmio.......................................................................15 9. ESPAO VETORIAL DOS POLINOMIOS............................................16 10. ALGORITIMO DA DIVISO ALGBRICA.............................................18 11. MTODOS DE RESOLUO DE POLINOMIOS.................................19 12. MTODO DE NEWTON........................................................................20 CONCLUSO...................................................................................................21 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.................................................................22

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INTRODUOO presente trabalho foi elaborado a fim de se explorar o tema Funo Polinomial e suas propriedades. Apresentaremos a histria deste tema e seu desenvolvimento durante os anos, definiremos o que vem a ser um polinmio, os tipos de grfico desta funo, os elementos que devem ser considerados na construo desses grficos, os graus de uma funo polinomial, dentre outras coisas. Todas estas analises sobre Funo Polinomial sero apresentadas ao longo deste trabalho.

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1.

FUNO POLINOMIALR) uma funo cuja regra

Em Matemtica, funo polinomial ( R

que associa os elementos do domnio (x) s respectivas imagens (y ou P(x)) um polinmio, ou seja, toda funo na forma P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0, considerada uma funo polinomial, onde p(x) est em funo do valor de x. Mais formalmente, uma funo P denominada polinmio se

Em linguagem matemtica

Em portugus P o

somatrio de todos os

a

s

vezes a

x

elevado valor. n Em que

algum

um

nmero inteiro no negativo

n o grau do polinmio;

an, an

1, ...,

a1, a0

so constantes reais chamadas de

coeficientes do polinmio (a0);

x a varivel independente;

y = f(x)= p(x) a varivel dependente.

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2.

HISTRIA

Determinar as razes de polinmios, ou "resolver equaes algbricas", um dos problemas mais antigos da matemtica. Alguns polinmios, tais como: f(x) = x2 + 1 no possuem razes dentro do conjunto dos nmeros reais. Se, no entanto, o conjunto de candidatos possveis for expandido ao conjunto dos nmeros imaginrios, ou seja, se passar a tomar em conta o conjunto dos nmeros complexos, ento todo o polinmio (no-constante) possui pelo menos uma raiz (teorema fundamental da lgebra). Existe uma diferena entre a aproximao de razes e a determinao de frmulas concretas que as definem. Frmulas para a determinao de razes de polinmios de grau at ao 4 so conhecidas desde o sculo XVI. Mas frmulas para o 5 grau tm vindo a escapar aos investigadores j h algum tempo. Em 1824, Niels Henrik Abel provou que no pode haver uma frmula geral (envolvendo apenas as operaes aritmticas e radicais) para a determinao de razes de polinmios de grau igual ou superior ao 5 em termos de coeficientes. Este resultado marcou o incio da teoria de Galois, onde se aplica a um estudo detalhado das relaes entre razes de polinmios. Podemos falar em razes do polinmio f(x) e encontrar os valores de x que tornam a igualdade verdadeira, isto , busca-se a raiz do polinmio f(x) que um valor de x tal que torne f(x) = 0. Um nmero que satisfaz uma equao polinomial chamado de nmero algbrico. Por exemplo: algbrico e valida o polinmio x2 2 = 0 pois .

3.

DETERMINANDO POLINOMIOS

A cada funo polinomial associa-se um nico polinmio (ou expresso polinomial) e vice-versa. Para polinmios podemos encontrar vrias definies diferentes como: Polinmio uma expresso algbrica com todos os termos semelhantes reduzidos. Polinmio um ou mais monmios separados por operaes.

7 As duas podem ser aceitas, pois se pegarmos um polinmio encontraremos nele uma expresso algbrica e monmios separados por operaes.

3xy monmio, mas tambm considerado polinmio, assim podemos dividir os polinmios em monmios (apenas um monmio), binmio (dois monmios) e trinmio (trs monmios). 3x + 5 um polinmio e uma expresso algbrica.

Como os monmios, os polinmios tambm possuem grau e assim que eles so separados. Para identificar o seu grau, basta observar o grau do maior monmio, esse ser o grau do polinmio. Com os polinmios podemos efetuar todas as operaes: adio, subtrao, diviso, multiplicao, potenciao.

4.

GRFICOS DE POLINOMIOS

Quando se deseja traar, ao menos aproximadamente, o grfico de um polinmio, certas informaes de natureza geral so necessrias.

Seja:

, com a 0.

Para esboarmos o grfico de um polinmio, precisamos considerar trs elementos: as razes e suas multiplicidades, o termo independente do polinmio e o sinal do coeficiente lder.

4.1 Razes Encontrar as razes fundamental para esboarmos o grfico, e aprendemos a fazer isso resolvendo as equaes polinomiais. Os mesmos mtodos sero empregados aqui. A raiz de um polinmio indica o valor onde

8 P(x) = 0. Graficamente, o valor de x onde o grfico toca o eixo das abscissas. Esse toque acontecer de trs modos, dependendo da multiplicidade da raiz:

Repare que quando a multiplicidade da raiz par o grfico tangencia o eixo X. De fato, seja (x-r) (elevado a um nmero par). Essa expresso nula somente para x = r. Para qualquer outro valor de x r tem-se que (x-r) positivo. Ou seja, no existe valor de x tal que (x-r) assuma um valor negativo. Por outro lado, quando a multiplicidade da raiz mpar o cruza o eixo X, pois (x-r) positivo para x > r, zero para x = r e negativo para x < r.

Ou seja, h troca de sinal, e o grfico estar ora acima, ora abaixo do eixo X. Quanto maior for a potncia mpar, o grfico se aproxima mais lentamente do eixo X; quando a potncia for mpar for igual a 1 (e a raiz for simples), o grfico simplesmente cruza o eixo horizontal sem esboar uma aproximao.

OBS.: As razes complexas nunca aparecem no grfico, pois o eixo cartesiano onde os grficos so esboados comporta somente nmeros reais.

9 4.2 Termo Independente

Graficamente, o termo independente o nico valor de y onde o grfico corta o eixo das ordenadas. Se o polinmio no est na forma decomposta, o termo independente facilmente localizado, pois o nico que no est associado x. Se o polinmio est na forma decomposta, pode ser calculado por P(0).

4.3 Sinal do Coeficiente Lder

Os nicos pontos onde o grfico de P(x) intercepta (cruzando ou no) o eixo X so as razes desse polinmio. Assim, para valores de x maiores que a maior raiz, o grfico de P(x) ir se manter sempre positivo ou sempre negativo. Assim, nos interessa descobrir o comportamento do grfico quando os valores de x tendem ao infinito ou seja, aumentam cada vez mais.

Esse comportamento determinado pelo termo de maior grau de

. Se x positivo, x tambm ser. Assim, o sinal de a somente do sinal do coeficiente lder an: Se an > 0, anx ser positivo e o grfico de P(x) tender a infinito quando x tender a infinito.nx

depende

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Se an < 0, anx ser negativo e o grfico de P(x) tender a menos infinito quando x tender a infinito.

5.

GRAU DE UMA FUNO POLINOMIAL

As funes polinomiais podem ser classificadas quanto a seu grau. O grau de um polinmio expresso atravs do maior expoente natural entre os monmios que o formam, ou seja, o valor do maior expoente da varivel do polinmio.

grau 0 - polinmio constante; grau 1 - polinmio linear; grau 2 - polinmio quadrtico; grau 3 - polinmio cbico. ... grau n - polinmio de grau n.

Sejam f(x) e g(x) polinmios de graus quaisquer. Sempre valem as seguintes leis:

O grau de f(x).g(x) a soma do grau de f(x) e do grau de g(x)

Se f(x) e g(x) tm grau diferente, ento o grau de f(x) + g(x)

igual ao maior dos dois

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Se f(x) e g(x) tm o mesmo grau, ento o grau de f(x) + g(x)

menor ou igual ao grau de f(x)

5.1 Funes Polinomiais de Grau Um

Grfico de uma funo do 1 Grau

Aqui, n=1. Por isso, os polinmios de grau 1 tm a forma . As funes deste tipo so chamadas de lineares. Se chamamos esta funo linear de funo afim. Por exemplo,

a0 = 0,

f(x) = 2x + 1

uma funo polinomianl de grau um

composta de dois monmios (termo que contm apenas o produto de constantes e variveis).

5.2 Funes Polinomiais de Grau Dois

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Grfico de uma funo do 2 Grau

Uma funo quadrtica definida como uma funo que apresenta o expoente 2 como maior expoente das variveis. O seu grfico constitudo por uma parbola. expressa por:

Por exemplo, o grau 2 e composto de trs monmios.

5.3 Funes Polinomiais de Outros Graus

no h varivel, mas pode-se considerar que o

grau zero. Esta uma funo constante.

neste caso, conveniente dizer que no h grau,

ou que o grau negativo (menos infinito)

A funo f(x)= 1/3x - 7x + 2/3 expressa por um polinmio de grau

3, uma funo polinomial de grau 3.

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6.

FUNO CONSTANTE

Grfico de uma funo constante

Define-se funo constante por :

Dado um nmero k,

Ou seja, o valor da imagem ser sempre o mesmo, independente do valor do "x". O grfico de uma funo constante uma reta paralela ao eixo x.

7.

VALOR NUMRICO DE UM POLINOMIO

Considere um polinmio p(x) e um nmero real . O valor numrico do polinmio p(x) para x= o nmero que se obtm substituindo x por e efetuando os culculos necessrios. Indica-se por p(). Ento p() o valor numrico de p(x) para x = . Exemplo:

O valor numrico de p(x) = 2x - 3x + 5 para x = 4 :

14 P(4) = 2.(4) - 3. (4) + 5 = 32 12 + 5 = 25

Logo, p(4) = 25

8.

OPERAES COM POLINMIOS

8.1 Igualdade de Polinmios

Os polinmios p e q em P[x], definidos por: p(x) = ao + a1x + a2x + a3x +...+ anxn q(x) = bo + b1x + b2x + b3x +...+ bnxn

so iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

ak= bk 8.2 Soma de Polinmios

Consideremos p e q polinmios em P[x], definidos por: p(x) = ao + a1x + a2x + a3x +... + anxn q(x) = bo + b1x + b2x + b3x +... + bnxn

Definimos a soma de p e q, por: (p+q)(x) = (ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x+...+(an+bn)xn

A estrutura matemtica (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinmios com a soma definida acima, possui algumas propriedades:

Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p + q) + r = p + (q + r)

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Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p+q=q+p

Elemento neutro: Existe um polinmio po(x)=0 tal que po + p = p Qualquer que seja p em P[x]. Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinmio q=-p em P[x] tal que p+q=0

Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) denominada um grupo comutativo.

8.3 Produto de Polinmios

Sejam p, q em P[x], dados por: p(x) = ao + a1x + a2x + a3x +...+ anxn q(x) = bo + b1x + b2x + b3x +...+ bnxn

Definimos o produto de p e q, como um outro polinmio r em P[x]: r(x) = p(x)q(x) = co + c1x + c2x + c3x +...+ cnxn

tal que: ck = aobk + a1bk-1 + a2 bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1 b1 + akbo

para cada ck (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera ck, a soma do ndice de a com o ndice de b sempre fornece o mesmo resultado k.

A estrutura matemtica (P[x],) formada pelo conjunto de todos os polinmios com o produto definido acima, possui vrias propriedades:

16 Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p q) r = p (q r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: pq=qp

Elemento nulo: Existe um polinmio po(x)=0 tal que po p = po qualquer que seja p em P[x].

Elemento Identidade: Existe um polinmio p1(x)=1 tal que p1 p = p qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial simplesmente denotada por p1=1. Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinmios

Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: p (q + r) = p q + p r Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemtica (P[x],+,) denominada anel comutativo com identidade.

9.

ESPAO VETORIAL DOS POLINMIOS

Embora uma seqncia no seja um conjunto, mas sim uma funo cujo domnio o conjunto dos nmeros naturais, usaremos neste momento uma notao para seqncia no formato de um conjunto. O conjunto P[x] de todos os polinmios pode ser identificado com o conjunto S das seqncias quase-nulas de nmeros reais , isto , as seqncia da forma: p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)

17 Isto significa que aps um certo nmero natural n, todos os termos da seqncia so nulos. A identificao ocorre quando tomamos os coeficientes do polinmio p(x) = ao + a1x + a2x + a3x +...+ anxn

e colocamos os mesmos entre parnteses e aps o n-simo coeficiente colocamos uma quantidade infinita de zeros, assim ns temos somente uma quantidade finita de nmeros no nulos, razo pela qual tais seqncias so denominadas seqncias quase-nulas. Esta forma de notao p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)

funciona bem quando trabalhamos com espaos vetoriais, que so estruturas matemticas onde a soma dos elementos e a multiplicao dos elementos por escalar tm vrias propriedades.

Vamos considerar S o conjunto das seqncias quase-nulas de nmeros reais com as operaes de soma, multiplicao por escalar e de multiplicao, dadas abaixo. Sejam p e q em S, tal que: p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,am,0,0,0,...) q = (bo,b1,b2,b3,b4,...,bn,0,0,0,...) e vamos supor que m < n.

Definimos a soma de p e q, como: p+q = (ao+bo,a1+b1,a2+b2,...,an+bn,0,0,0,...)

a multiplicao de p em S por um escalar k, como: k.p = (kao,ka1,ka2,ka3,ka4,...,kam,0,0,...)

e o produto de p e q em S como: pq = (co,c1,c2,c3,c4,...,cn,0,0,0,...)

18 sendo que ck = aobk + a1bk-1 + a2bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1b1+akbo

para cada ck (k=1,2,3,...,m+n). O conjunto S com as operaes definidas : associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro, identidade, unidade, oposto.

10. ALGORITIMO DA DIVISO ALGBRICADados os polinmios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinmio g em P[x] tal que p(x) = g(x) q(x) Se p em P[x] um polinmio com gr(p)=n e g um outro polinmio com gr(g)=m