FBIO JOS DA SILVA

APLICAO DE LIMITES NA REA DE ENGENHARIA

Trabalho de pesquisa apresentado disciplina de Calculo I, como requisito para obteno de nota para avaliao parcial do curso de Engenharia Mecnica Faculdade Pitgoras Macei.

MACEI2014FACULDADE PITGORAS

APLICAO DE LIMITES NA REA DE ENGENHARIA

FBIO JOS DA SILVA

MACEI2014SUMRIO

1 INTRODUO....................................................................................................................042 CONCEITO DE LIMITES...................................................................................................053 DERIVADAS........................................................................................................................074 EXEMPLOS DE APLICAES DE LIMITES E DERIVADAS........................................075 CONCLUSO......................................................................................................................096 REFERNCIAS....................................................................................................................10

INTRODUO de extremada importncia para os estudos da disciplina de Calculo. Os limites do aplicaes as derivada que utilizada para diversas finalidades, um pouco do qual iremos explorar neste trabalho, muitos recursos podem ser criados a partir dos seus conceitos, bastando para isto, a criatividade de cada mente a se manifestar. A derivada a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da funo de onde surgiu, ela tambm uma funo que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos ainda lembrar que o ngulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado atravs da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ngulo. Portanto derivada um limite. Neste trabalho faremos uma explorao da ideia de limite e derivada, demonstrando suas aplicaes, no vrios segmentos dos campos passveis de sua aplicao.

Conceito de Limites O conceito de limite fundamental em todo o Clculo diferencial, um campo da matemtica que iniciou no sculo XVII com os trabalhos de Newton e Leibnitz que visava resolver problemas de mecnica e Geometria. Limite usado na matemtica para descrever o comportamento de uma funo medida que o seuargumentose aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequncia de nmeros reais, medida que o ndice (da sequncia) vai crescendo, i.e. tende para infinito.(Wikipdia). Os limites so usados noclculo diferenciale em outros ramos daanlise matemticapara definirderivadas e integrais, sendo aplicado em vrios campos do conhecimento, como em Fsica, Engenharia, Economia, Geologia, Astronomia, Biologia, etc.Ideia intuitiva de limiteExemplo:

Consideremos uma figura de forma quadrada e de rea igual a 1.

Vamos desenvolver as seguintes etapas:a.) Preencher metade dessa figura.

rea preenchida:

b.) Preencher metade do que restou em branco.

rea preenchida: + =

c.) Preencher, novamente, metade do que restou em branco.

rea preenchida: 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8

Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a rea acurada vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto , a medida da rea vai se aproximando de 1 ou tendendo a 1.

1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8, ..., 1

Dizemos ento que o limite desse processo, quando o nmero de partes preenchidas tende a um valor maior do que qualquer valor imaginvel, preencher a figura toda, ou seja, obter uma rea preenchida igual a 1. Quando dizemos que a rea preenchida tende a 1, significa que ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir esse valor.

a. Observe o grfico da funo f(x):

Y

X

tende aF(x)O limite de f L

Dizemos que o limite da funo f(x) quando x tende a a igual ao nmero real L se, e somente se, os nmeros reais f(x) para os infinitos valores de x permanecerem prximo de L, sempre que x estiver muito prximo de a.Indica-se Lim f(x) = L X a Derivadas

Em matemtica, a derivada de uma funo o conceito central do clculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variao de alguma coisa devido a mudanas sofridas em uma outra ou se uma funo entre os dois objetos existe e toma valores contnuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variao da posio de um objeto com relao ao tempo, isto , sua velocidade, uma derivada.

Consideremos uma funo f ( x ) :

A funo f derivvel em a, se existir o limite, neste caso, o valor f'(a) chamado derivada de f em a.

Exemplos de aplicaes de Limites e Derivadas

EX: 1 Calcular as vendas de uma indstria.

A figura abaixo mostra o total de vendas (V), em reais, de um determinado produto produzido pela indstria TAURUS de produtos blicos contra a quantia de dinheiro (q) que a indstria gasta anunciando seu produto. Observe que o grfico muda de concavidade no ponto P. Este ponto denominado de Ponto de Inflexo.

Note que no incio as vendas ocorrem lentamente, porm, medida que aumenta o investimento financeiro da indstria em propaganda, as vendas passam a crescer rapidamente. Porm, chega-se a um ponto P em que o gasto adicional em propaganda gera nas vendas, uma taxa de crescimento menor, chamado de Ponto de Inflexo.

EX: 02 Calcular a produtividade de toneladas de um produto

Consideremos uma funo de produo P que dependa da quantidade x de um fator varivel. Chama-se produtividade marginal do fator derivada de P em relao a x.

Ex: Considere a funo de produo , em que P a quantidade (em toneladas) produzida por ms de um produto, e x, o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora). A produtividade marginal do trabalho :

Se x=10.000, ento

Assim, se o nmero de homens-hora passarem de 10.000 para 10.001, o aumento na produo mensal ser, aproximadamente, 0,25 tonelada.

EX: 03 Calcular a velocidade e a acelerao de um carro

Com carro em movimento ao longo de uma reta horizontal, suponhamos que sua posio p(em Km) no instante t (em segundos) seja dada por x(t) = 5 t2 + 100. Ento, sua velocidade no instante t v(t) = x (t) = 10t. Como o v(0) = 0, o carro parte de repouso no instante t = 0; e como x(0) = 100, parte do ponto x = 100. Substitumos t = 10, vemos que x (10) = 600 e v (10) = 100, de modo que, aps 10 segundos, o carro percorreu 500 ft ( de seu porto de partida x = 100), e sua velocidade ento 100 ft/s.

CONCLUSO

Tendo em vista os aspectos observados, conclui-se que podemos utilizar limites e derivadas em vrias situaes oriundas do dia-dia, muitas das quais o individuo leigo sequer imaginaria a possvel quantificao matemtica, bem como, podemos depreender que um mtodo de clculo matemtico prtico, no que se refere ao clculo diferencial. Dando uma viso global dos princpios da matemtica esta proporciona um grande enriquecimento, pois sai do carter meramente terico ao qual se prendem muitos doutrinadores desta matria. Quando em contato com a infinidade de aplicaes s quais so permissveis, torna nossa noo matemtica muito mais dinmica e propensa a um gil raciocnio, o que de grande valia para os universitrios.

REFERNCIAS

CAVALETT, Jeferson, KOKOVICH, Paulo Fogaa, AMARAL, Paulo J. Aplicaes de Limites e Derivadas. Mato Grosso, 2007.

GARCIA, Rodrigo Rodrigues. Mtodos Quantitativos em Economia I. Mato Grosso, 2012.

WIKIPDIA. https://pt.wikipedia.org/1