Trabalho Metodo Simpson
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UNIVERSIDADE DA REGIÃO DE JOINVILLE – UNIVILLE
CURSO DE ENGENHARIA E PRODUÇÃO MECÂNICA
CÁLCULO DE VOLUME UTILIZANDO O
MÉTODO DE 1/3 DE SIMPSON
JUAREZ ALVES
MAURO ALMEIDA
MOISÉS PAULO DE SOUZA
PROFESSOR: HERCÍLIO KASTEN
Cálculo Numérico
Joinville
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2011
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ...................................................................................................03
1 OBJETIVO ...............................................................................................................04
2 PROCEDIMENTOS..................................................................................................05
2.1 Descrição do experimento ....................................................................................05
2.2 Determinação dos valores das dimensões e o cálculo do volume.......................08
3 VALIDAÇÃO ............................................................................................................11
CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................................12
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...........................................................................13
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INTRODUÇÃO
Neste trabalho mostraremos a aplicação do método de 1/3 de Simpson
através de um experimento com uma peça de madeira. No experimento será
calculado o volume do sólido, que na sua confecção um dos lados possuem uma
superfície não retangular. Para calcular o volume desta determinada peça,
utilizaremos os conhecimentos adquiridos em sala de aula. Os valores extraídos das
medidas da peça serão utilizados para obtermos o volume, mostrando que é
possível determinar o volume sem conhecer a função que descreve a superfície não
retangular.
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OBJETIVO
Mostrar a possibilidade na obtenção do volume de um sólido que tem uma
das superfícies não retangular, através de um experimento com a utilização do
método de 1/3 de Simpson.
5
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1 PROCEDIMENTOS
A seguir serão mostradas as etapas para cálculo do volume de um sólido com
superfícies planas.
2.1 Descrição do experimento
O experimento é composto dos seguintes materiais:
• 01 sólido de placa de madeira;
• 01 régua de 30cm;
• 01 lapiseira;
• 01 lápis de carpinteiro;
• 01 estilete;
• 01 balde plástico com marcação de medidas em ml;
• Água.
A partir de um pedaço de madeira do tipo itaúba retangular de dimensões
18,5x138,6x96,4mm (espessura x comprimento x altura) foi definido um traçado não
retangular numa das superfícies e após cortado, conforme figuras 1 e 2 a seguir.
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Figura 1 – Definição do traçado não retangular Figura 2 – Material após corteFonte: JMM (2011) Fonte: JMM (2011)
Após o corte o material ficou dividido em dois sólidos, os quais serão chamados
neste trabalho de sólido 1 e sólido 2, conforme figuras 3 e 4 abaixo:
Figura 3 – Sólido 1 (pequeno) Figura 4 – Sólido 2 (grande)Fonte: JMM (2011) Fonte: JMM (2011)
Na seqüência foi divido a superfície não retangular em 10 partes iguais no
comprimento e 4 partes iguais na espessura e o ponto de origem é no lado esquerdo
inferior da figura, conforme são mostrados nas figuras 5, 6, 7 e 8.
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Figura 5 – Sólido 1 vista superior Figura 6 – Sólido 2 vista superior Fonte: JMM (2011) Fonte: JMM (2011)
Figura 7 – Sólido 1 vista lateral Figura 8 – Sólido 2 vista lateralFonte: JMM (2011) Fonte: JMM (2011)
As divisões no sólido 1 e 2 foram feitas de acordo com o solicitado pelo
método que deve ser somente em divisões pares. A partir daí, foi estabelecido todos
os nós que são resultantes do encontro das linhas horizontais e verticais e inclusive
com as linhas do perfil externo dos sólidos. A figura 9 mostra todos os nós num
sistema cartesiano no R2, e estes foram nomeados também de acordo com o
método. Estes nós serão utilizados para encontrar todas as alturas da base do sólido
até os nós e conseqüentemente realizar o cálculo do volume.
o x
y
o x
y
8
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Figura 9 – Definição dos nós no sistema cartesiano R2
Fonte: JMM (2011)
2.2 Determinação dos valores das dimensões e o cálculo do volume
Nas tabelas 1,2, 3, 4, 5 e 6 a seguir estão dispostos as dimensões nos 3 eixos
do R3 para cada nó e também os cálculos dos respectivos volumes. Sendo que os
valores foram encontrados da seguinte maneira:
• eixo x resultante da divisão do comprimento total em 14 partes iguais;
•
eixo y
resultante da divisão do espessura total em 4 partes iguais;
• eixo z resultante da medição com o paquímetro da base até o nó.
Devido à superfície ser plana para cada seqüência de nós no sentido do eixo
y da superfície não retangular, então a altura da base até o nó será igual para todos
estes nós. Logo, a variação da altura poderá ocorrer apenas no sentido do eixo x.
9,9 29,7 49,5 69,3 89,1
0,0001
1
4
2
4
2
8
8
4
2 2
2
2
4
8
2
2
8
2
8
8
4
8
8
4
4,625
9,250
13,875
18,500
4
16
16
8
4
4
16
16
8
4
4
16
16
8
4
4
16
16
8
4
4
16
16
8
4
2
8
8
4
2
4
16
16
8
4
2
8
8
4
2
4
16
16
8
4
1
4
4
2
1
19,8 39,6 59,4 79,2 99,0 108,9 118,8 128,7 138,60,0 x
)(mm
y
)(mm
9
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Conseqüentemente, os valores de x, y, z e a somatória de z serão iguais para as
combinações com y = 0 e y = 18,5 e y = 4,625 e y = 13,875.
Tabela 1 – Dados para y=0 e y=18,500 Tabela 2 – Dados para y=4,625 e y=13,875
Fonte: JMM (2011) Fonte: JMM (2011)
Tabela 3 – Dados para y = 9,250
Nó x y z Nó.z
2 0,0 46,6 93,200
8 9,9 37,6 300,800
4 19,8 35,4 141,6008 29,7 35,0 280,000 mm
4 39,6 29,6 118,400
8 49,5 32,5 260,000 Relação = hk / 9
4 59,4 35,5 142,000
8 69,3 36,9 295,200 mm2
4 79,2 42,0 168,000
8 89,1 36,6 292,800
4 99,0 32,0 128,000 Volume = soma total x relação
8 108,9 32,1 256,8004 118,8 36,3 145,200
8 128,7 41,7 333,600 mm3
2 138,6 40,7 81,400
3.037,00
Soma total =
Volume =
Relação =
Sólido 1
Soma total=(2xsoma1)+(2xsoma2)+soma 3
Soma 3
9,250 5,0875
92.704,425
18.222,00
Nó x y z Nó.z Nó x y z Nó.z
1 0,0 46,6 46,600 4 0,0 46,6 186,400
4 9,9 37,6 150,400 16 9,9 37,6 601,600
2 19,8 35,4 70,800 8 19,8 35,4 283,200
4 29,7 35,0 140,000 16 29,7 35,0 560,000
2 39,6 29,6 59,200 8 39,6 29,6 236,800
4 49,5 32,5 130,000 16 49,5 32,5 520,000
2 59,4 35,5 71,000 8 59,4 35,5 284,000
4 69,3 36,9 147,600 16 69,3 36,9 590,400
2 79,2 42,0 84,000 8 79,2 42,0 336,000
4 89,1 36,6 146,400 16 89,1 36,6 585,600
2 99,0 32,0 64,000 8 99,0 32,0 256,000
4 108,9 32,1 128,400 16 108,9 32,1 513,600
2 118,8 36,3 72,600 8 118,8 36,3 290,400
4 128,7 41,7 166,800 16 128,7 41,7 667,200
1 138,6 40,7 40,700 4 138,6 40,7 162,800
1.518,50 6.074,00
Sólido 1
0,000
ou
18,500
4,625
ou
13,875
Soma 1 Soma 2
Nó x y z Nó.z
2 0,0 46,6 93,200
8 9,9 37,6 300,800
4 19,8 35,4 141,6008 29,7 35,0 280,000
mm
4 39,6 29,6 118,400
8 49,5 32,5 260,000 Relação = hk / 9
4 59,4 35,5 142,000
8 69,3 36,9 295,200 mm2
4 79,2 42,0 168,000
8 89,1 36,6 292,800
4 99,0 32,0 128,000 Volume = soma total x relação
8 108,9 32,1 256,8004 118,8 36,3 145,200
8 128,7 41,7 333,600 mm3
2 138,6 40,7 81,400
3.037,00
Soma total =
Volume =
Relação =
Sólido 1
Soma total=(2xsoma1)+(2xsoma2)+soma 3
Soma 3
9,250 5,0875
92.704,425
18.222,00
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Tabela 4 – Dados para y=0 e y=18,500 Tabela 5 – Dados para y=4,625 e y=13,875Fonte: JMM (2011) Fonte: JMM (2011)
Nó x y z Nó.z Nó x y z Nó.z1 0,0 49,6 49,600 4 0,0 49,6 198,400
4 9,9 59,0 236,000 16 9,9 59,0 944,000
2 19,8 60,8 121,600 8 19,8 60,8 486,400
4 29,7 61,6 246,400 16 29,7 61,6 985,600
2 39,6 65,6 131,200 8 39,6 65,6 524,800
4 49,5 63,8 255,200 16 49,5 63,8 1020,800
2 59,4 60,7 121,400 8 59,4 60,7 485,600
4 69,3 59,8 239,200 16 69,3 59,8 956,800
2 79,2 54,0 108,000 8 79,2 54,0 432,0004 89,1 59,3 237,200 16 89,1 59,3 948,800
2 99,0 64,5 129,000 8 99,0 64,5 516,000
4 108,9 64,5 258,000 16 108,9 64,5 1032,000
2 118,8 59,8 119,600 8 118,8 59,8 478,400
4 128,7 55,0 220,000 16 128,7 55,0 880,000
1 138,6 55,8 55,800 4 138,6 55,8 223,200
2.528,20 10.112,80 Soma 1 Soma 2
0,000
ou
18,500
4,625
ou
13,875
Sólido 2
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Tabela 6 – Dados para y = 9,250
Fonte: JMM (2011)
Nó x y z Nó.z
2 0,0 49,6 99,200
8 9,9 59,0 472,000
4 19,8 60,8 243,200
8 29,7 61,6 492,800 mm
4 39,6 65,6 262,400
8 49,5 63,8 510,400 Relação = hk / 9
4 59,4 60,7 242,800
8 69,3 59,8 478,400 mm2
4 79,2 54,0 216,000
8 89,1 59,3 474,400
4 99,0 64,5 258,000 Volume = soma total x relação
8 108,9 64,5 516,000
4 118,8 59,8 239,200
8 128,7 55,0 440,000 mm3
2 138,6 55,8 111,600
5.056,40
Sólido 2
Soma 3
Soma total=(2xsoma1)+(2xsoma2)+soma 3
9,250
Soma total = 30.338,40
Relação = 5,0875
Volume = 154.346,610
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VALIDAÇÃO
Para validar o experimento será realizado um comparativo do volume total do
sólido 1 e 2 em relação ao volume do sólido antes do corte. Isto é relativamente fácil,
porque antes do corte temos um sólido que o volume é dado pelo produto da
espessura, comprimento e altura.
Conforme pode ser observado, o erro relativo encontrado é desprezível. Logo,
podemos considerar o volume encontrado do sólido 1 e 2 como sendo o volume real.
Também poderia ter sido feito a validação pelo peso, mas como não é
conhecido o valor exato da densidade optou-se pelo método descrito acima.
mm3
mm3
Erro Relativo = -0,052%
247.051,035
247.179,240
Volume sólido 1 e 2 =
Volume antes do corte =
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Figura 1 – Sólido 1 vista superior
o x
y
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2.2 Determinação dos valores das dimensões e o cálculo do volume
Nas tabelas a seguir estão dispostos as dimensões nos 3 eixos do R3
para
cada nó e também os cálculos dos respectivos volumes. Sendo que os valores
foram encontrados da seguinte maneira:
• eixo x resultante da divisão do comprimento total em 10 partes iguais;
• eixo y resultante da divisão do espessura total em 4 partes iguais;
• eixo z resultante da medição com uma régua da base até o nó.
Devido à superfície ser plana para cada seqüência de nós no sentido do eixo
y da superfície não retangular, então a altura da base até o nó será igual para todos
estes nós.
Tabela 1 – Dados para y=0 e y=18,500Fonte: JMM (2011)
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Tabela 2 – Dados para y=4,625 e y=13,875Fonte: JMM (2011)
Tabela 3 – Dados para y=4,625 e y=13,875
Fonte: JMM (2011)
16
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Tabela 4 – Dados para y=0 e y=18,500Fonte: JMM (2011)
Tabela 5 – Dados para y=4,625 e y=13,875Fonte: JMM (2011)
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Através de um experimento com a utilização do método de 1/3 de Simpson foi
obtido o volume dos sólidos. Devido ao número de nós utilizado o erro relativo
constatado foi desprezível.
Então, a precisão do resultado está associada ao número de nós escolhido
versus o tipo de superfície (simples ou complexa). Logo, para este caso o método
mostrou-se preciso e com resultados bastante confiáveis.
O trabalho realizado mostrou aspectos de transversalidade, ou seja, com a
fabricação de peças para indústrias em geral.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Livro,
CAMPOS Filho, Frederico Ferreira, Algoritmos Numéricos. Rio de Janeiro: LTC
Editora, 2001.
19