TRABALHO Nº 5

ANÉIS DE NEWTON

Neste trabalho vai procurar ilustrar-se um arranjo geométrico

usado para a obtenção de franjas de interferência q ue ficou

conhecido por anéis de Newton. Pretende-se com esse s anéis

calcular o raio do sistema de geração de anéis a pa rtir dos

resultados da lâmpada de sódio e usar o valor assim obtido para

estimar o comprimento de onda da risca verde do mer cúrio

( λ = 546.1 nm).

1. Introdução:

A formação de anéis de Newton é um caso particular do fenómeno

geral de formação de franjas de interferência por d ivisão da

amplitude da radiação provocada por reflexão em sup erfícies de

filmes finos. Se o filme for suficientemente fino p ara que a

diferença de percurso óptico induzida pela reflexão seja menor que

o comprimento de coerência da radiação, têm-se duas fontes

coerentes (virtuais) e ficam criadas as condições p ara que se

possa observar um padrão de interferência estável – Figura 1.

Figura 1: Interferência num filme fino.

2

Da sobreposição dos raios 1 e 2 (ou 3 e 4) na Figur a 1 resultam as

franjas de interferência que corresponderão a uma i nterferência

construtiva sempre que a diferença de fase seja π=δ m2 ou

destrutiva se for ( )π+=δ 12m .

Nas condições da Figura 1, a diferença de percurso óptico da

radiação que interfere é ttn θcos2 onde n é o índice de refracção no

filme, t a sua espessura e tθ o ângulo de transmissão no filme. Se

a espessura for constante podem observar-se franjas de igual

inclinação mas se a espessura do filme variar, a di ferença de

percurso óptico ttn θcos2 varia mesmo que se mantenha constante o

ângulo de incidência. Se se fixar a direcção de inc idência da luz

(por ex. na perpendicular à superfície), a uma fran ja brilhante ou

escura vai estar associada uma espessura óptica par a a qual se

verifica a condição de interferência construtiva ou destrutiva,

respectivamente. Como além disso, em geral o índice de refracção

do filme é constante, às franjas obtidas por reflex ão em filmes de

espessura variável chamam-se franjas de igual espes sura.

Mostra-se na Figura 2 um arranjo geométrico para ob ter franjas de

igual espessura em que o filme fino é constituído p ela película de

ar situada entre duas superfícies de vidro. Se se c olocar uma

lente esférica sobre uma superfície opticamente pla na as franjas

de igual espessura (nestas condições chamadas anéis de Newton)

permitem revelar quaisquer heterogeneidades na espe ssura do filme

e, logo, detectar qualquer imperfeição na superfíci e da lente.

Para uma superfície esférica perfeita as franjas sã o círculos

concêntricos centrados em torno do ponto de contact o. Qualquer

irregularidade na superfície da lente provoca uma d istorção do

padrão de anéis.

3

Figura 2: Arranjo convencional para obter anéis de Newton.

1.1. Anéis de Newton:

Além de permitir testar a qualidade óptica da lente o esquema da

Figura 2 permite ainda o cálculo do raio de curvatu ra da lente

esférica. Para ver como há no entanto que ter em at enção não só a

contribuição para a diferença de fase da diferença de percurso

óptico ttn θcos2 como também a diferença de fase adicional que pode

ocorrer devido a diferentes características de refl exão. Para

ângulos de incidência até cerca de 30º e, independe ntemente da

polarização, dois feixes que sofram reflexão um int erna e outro

externa sofrem uma diferença de fase relativa de π radianos. Quer

isto então dizer que, para os anéis de Newton obtid os em reflexão

(raios 1 e 2 na Figura 1), existe uma contribuição adicional para

a diferença de fase devida à reflexão e as condiçõe s de máximos e

mínimos de interferência são:

4

λ=θ

λ

+=θ

mínimos2

cos

máximos22

1cos

nmt

nmt

t

t

(1)

Para medir o raio de curvatura da lente normalmente trabalha-se em

condições de incidência normal para as quais 0≈θ t . Além disso,

repare-se na Figura 3 onde se mostra existir uma re lação

geométrica entre o raio do m-ésimo anel, a espessura do filme de

ar correspondente tm e o raio de curvatura da lente R:

( )222mm tRrR −+= (2)

Figura 3: Geometria essencial na geração de anéis d e Newton.

Se o raio de curvatura da lente for significativame nte maior que a

espessura do filme, pode introduzir-se a aproximaçã o 22 tR >> na

expressão anterior obtendo-se finalmente para o rai o dos anéis

claros e escuros:

5

λ=

λ

+=

21

21

2

1

Rn

mr

Rn

mr

min

max

(3)

Para os anéis de Newton obtidos do lado da radiação transmitida

(raios 3 e 4 na Figura 1) não há contribuição adici onal para a

diferença de fase devida à reflexão e a um máximo n a equação (3)

irá corresponder uma franja destrutiva e vice-versa . Diz-se então

que os padrões de interferência obtidos em reflexão e transmissão

são complementares. A figura 4 mostra uma imagem do s anéis de

Newton.

Figura 4: Os anéis de Newton.

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2. Procedimento experimental:

2.1. Material:

•••• Lâmpada de sódio

•••• Lâmpada de mercúrio

•••• Fonte de alimentação para as lâmpadas

•••• Bancada óptica e respectivos suportes

•••• Sistema de lente-superfície plana para gerar os ané is

•••• Diafragma íris

•••• Lentes de cerca de 5 e 12 cm de distância focal

•••• Filtro verde

2.2. Descrição do procedimento experimental:

Dispõe-se uma das lâmpadas sobre a calha óptica seg uida da lente

de cerca de 12 cm de distância focal de maneira a assegurar uma

iluminação do sistema gerador de anéis o mais homog énea que for

possível. Com a lente de 5 cm de distância focal faz-se uma

focagem cuidada dos anéis no alvo de modo a ter sim ultaneamente o

maior contraste possível entre os anéis e uma focag em correcta da

imagem da escala traçada sobre o sistema lente-supe rfície plana.

Deverá marcar sobre o alvo a imagem dos anéis de Ne wton obtidos

para a radiação transmitida e não para a radiação o btida do lado

da reflexão. Deverá marcar os anéis correspondentes à

interferência destrutiva e repare que é muito difíc il estimar com

exactidão o centro do sistema de anéis. Por essa ra zão, deve então

marcar numa folha que colocar no alvo o diâmetro de cerca de 15

anéis marcados ao longo de uma linha horizontal. Pa ra tal, marque

sobre a folha o centro aproximado de cada anel escu ro (e não o

ponto em que começa o anel). Não esqueça de marcar o mesmo número

de anéis para cada um dos lados em relação ao centr o do alvo. O

raio dos anéis escuros é dado por metade do valor d o seu diâmetro.

Marque além disso na vertical o valor da escala pro jectada no alvo

correspondente a, por ex., 10 divisões da escala (c ada divisão

corresponde a 1 mm). Deverá fazer pelo menos duas medidas

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independentes desta quantidade pois esta medição é muito

importante visto dela depender a exactidão do valor real do raio

dos anéis.

Execute o procedimento anterior para a radiação pro veniente das

lâmpadas de mercúrio e de sódio não se esquecendo d e marcar cerca

de 15 anéis para cada lâmpada. Quando utilizar a lâ mpada de

mercúrio utilize um filtro verde para seleccionar d e toda a

radiação emitida pela lâmpada apenas a corresponden te à risca

verde (546.1 nm).

3. Resultados e cálculos:

Repare que, por ser mais simples do ponto de vista experimental,

não trabalha com os anéis de Newton em reflexão mas antes em

transmissão – ver Figura 1. Assim sendo, a partir d a equação (3)

obtém-se para os anéis escuros:

21

2

1

λ

+= Rn

mrmin (4)

expressão que relaciona o raio dos anéis de ordem m com o

comprimento de onda da radiação e com o raio de cur vatura da lente

esférica utilizada. Medindo o raio real dos anéis p ode calcular-se

o produto Rλ . Se se souber o comprimento de onda λ pode então

calcular-se R e se se conhecer o raio de curvatura da lente pode

estimar-se λ. A partir dos dados obtidos para a lâmpada de sódi o

vão procurar determinar o raio de curvatura da lent e e, com este

valor, calcular o comprimento de onda da radiação v erde do

mercúrio com os dados da lâmpada de mercúrio.

Repare que a medida directa não é o valor real do r aio dos anéis

mas antes o valor do diâmetro da imagem dos anéis p rojectada no

alvo. Se imd for esse diâmetro, o raio real dos anéis de ordem m

pode obter-se por:

8

i

rim

min E

Edr ×=

2 (5)

onde iE é o valor da escala projectada no alvo corresponde nte a um

determinado valor real da escala marcada sobre o si stema gerador

de anéis rE - por ex. 10 divisões da escala em que cada divisã o

corresponde a uma distância real de 1 mm.

A equação (4) pode rearranjar-se obtendo-se finalme nte:

Rn

mrm

λ

+=2

12 (6)

equação que mostra que uma representação gráfica do quadrado do

raio dos anéis em função de m + 1/2 deverá ser uma linha recta de

declive Rn

λ. Faça uma representação gráfica do raio do m-ésimo

anel escuro ao quadrado em função de m + 1/2 para os dados obtidos

para ambas as lâmpadas e diga se os seus resultados estão de

acordo com o que seria de esperar. Nos gráficos dev erá incluir

barras de erros e, para isso, note que no cálculo d a propagação de

erros não se mede directamente o raio dos anéis mas antes o seu

diâmetro (porquê?) e que o verdadeiro valor do raio está

relacionado com a razão da escala real do sistema d e geração com a

imagem dessa escala projectada no alvo através da l ente – equação

(5). Escreva a equação que relaciona 2mr com as quantidades que mede

directamente e use-a para calcular a propagação de erros sobre as

estimativas de 2mr . Admita como estimadores razoáveis dos erros

associados às medidas directas os seguintes valores :

Parâmetro Estimativa do erro

diâmetro dos anéis imd 1.5 mm

Comprimento da escala projectada no alvo iE

1.5 mm

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Faça uma regressão linear dos resultados de 2mr em função de

m + 1/2 com os dados da lâmpada de sódio. Calcule o r aio do

sistema gerador de anéis a partir do declive da rec ta e o

respectivo erro associado a partir da estimativa es tatística do

erro do declive (dada automaticamente pelas rotinas de regressão

linear). Faça agora uma regressão linear semelhante para os

resultados da lâmpada de mercúrio e use o valor do declive para

calcular agora o valor do comprimento da risca verd e do Hg

( λ = 546.1 nm). Note que agora o erro estimado para o compriment o

de onda depende quer do erro estatístico do declive quer da

estimativa do erro do raio do sistema. Ao calcular quantidades a

partir dos resultados das regressões lineares, não se esqueça de

usar unidades coerentes entre si.

Comente a concordância entre os resultados experime ntais obtidos e

os valores teóricos do raio da lente e do comprimen to de onda do

mercúrio.

Embora se trabalhe aqui sempre com a radiação trans mitida através

do sistema gerador de anéis, os padrões de interfer ência (franjas

claras e escuras) correspondentes à radiação reflec tida e

transmitida estão relacionados – Figura 4. Qual é e ntão a relação

entre esses dois padrões ? Em que situação será de esperar um

maior contraste nas franjas de interferência. No la do da radiação

reflectida ou no lado da transmitida ? Porquê ?

•••• Dados:

Radiação das lâmpadas:

- λNa = 589.0 nm

- λHg = 546.1 nm

Sistema gerador de anéis:

- R = 12 m

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ÓPTICA-FÍSICA TRABALHO Nº 5

ANÉIS DE NEWTON

Turno: Data:

Grupo:

Autores:

Objectivos do trabalho:

Quantidades auxiliares:

Valores da escala:

Estimativa dos erros:

Escala projectada iE Escala real rE

Parâmetro Estimativa do erro

diâmetro dos anéis imd

Comprimento da escala projectada no alvo iE

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Lâmpada de sódio:

Raio de curvatura da lente:

Resultado final: RR δ± =

Valor esperado: teorR =

Percentagem de erro em relação ao valor esperado:

Comentário:

Equação teórica de 2mr vs. m + 1/2:

Equação obtida por regressão linear:

Declive b:

Estimativa de δb:

Coeficiente de correlação:

Comentário ao gráfico:

Equações: Cálculo de R:

Cálculo de δR:

m m + 1/2 imd mr 2

mr 2δmr

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Lâmpada de mercúrio:

Comprimento de onda:

Resultado final: λδ±λ =

Valor esperado: teorλ =

Percentagem de erro em relação ao valor esperado:

Comentário:

Equação teórica de 2mr vs. m + 1/2:

Equação obtida por regressão linear:

Declive b:

Estimativa de δb:

Coeficiente de correlação:

Comentário ao gráfico:

Equações: Cálculo de λ:

Cálculo de δλ:

m m + 1/2 imd mr 2

mr 2δmr

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Gráficos

Inclua uma folha com os gráficos pedido no ponto 3 não se

esquecendo de incluir barras de erro. Para a repres entação das

barras de erro associadas a cada valor do quadrado do raio 2mr

admita como razoável o intervalo de incerteza dado por ( )22 δmm rr ± . A

partir da observação dos gráficos qual a sua conclu são final ?

Responda sucintamente às seguintes questões.

Questões:

•••• Qual a relação entre os padrões de interferência (f ranjas

claras e escuras) correspondentes à radiação reflec tida e

transmitida através do sistema gerador de anéis ? E m que

situação espera um maior contraste ?

Comentário final e conclusões: