Trabalho numerico

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1 Sumário 2. INTERPOLAÇÃO...........................................5 2.1 Interpolação polinomial.............................5 2.2 Formas de se obter Pn( xi )...........................8 2.2.1 Interpolação de lagrange........................8 2.2.2 Forma de newton................................10 2.3 Estudo do erro(truncatura) na interpolação.........12 2.4 Funções spline em interpolação.....................14 2.4.1Spline Linear Interpolante......................14 2.4.2Splines Cúbicas Interpolantes...................15 3. INTEGRAÇÃO NÚMERICA...................................19 3.1 Fórmulas de Newton-Cotes...........................19 3.2 Regra do trapézio..................................20 3.3 Regra de Simpson...................................22 4. AJUSTE DE CURVAS......................................24 4.1 Caso Linear.......................................26 4.2 Caso não-linear...................................28 5. PROVA.................................................30 6. RESOLUÇÃO.............................................31 7. CONCLUSÃO.............................................40 8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................41

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Sumrio

2.INTERPOLAO52.1 Interpolao polinomial52.2 Formas de se obter 82.2.1 Interpolao de lagrange82.2.2 Forma de newton102.3 Estudo do erro(truncatura) na interpolao122.4 Funes spline em interpolao142.4.1Spline Linear Interpolante142.4.2Splines Cbicas Interpolantes153.INTEGRAO NMERICA193.1 Frmulas de Newton-Cotes193.2 Regra do trapzio203.3 Regra de Simpson224.AJUSTE DE CURVAS244.1Caso Linear264.2Caso no-linear285.PROVA306.RESOLUO317.CONCLUSO408.REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS41

1. INTRODUO

O clculo numrico busca a soluo, de forma aproximada, de problemas matemticos de difcil soluo analtica. Equivale a um conjunto de ferramentas e mtodos que precisam ser resolvidos numericamente, por se aplicarem principalmente a problemas que no possuem soluo exata.O estudo de clculo numrico de grande importncia para o engenheiro, o qual, na disciplina, alm de ter acesso s ferramentas existentes para resoluo de um problema, possui discernimento acerca da escolha do mtodo a ser utilizado no seu caso (ou se h mtodos para que seu problema seja resolvido) e do cerne da aplicao de cada mtodo, ou seja, saber o que est sendo feito pela calculadora ou computador, o que d ao mesmo a capacidade de avaliao da qualidade da soluo obtida.Isso melhora a familiarizao do aluno com o estudo da matemtica, j que certos conceitos so revistos, exercitados e utilizados de maneira prtica, e d a ele a competncia para aprender outros mtodos numricos por conta prpria, caso se depare com um problema cuja soluo dependa de um mtodo no visto no curso. No trabalho a ser apresentado, veremos mtodos que so aplicados em diferentes situaes, de forma a facilitar o clculo dos problemas ou at mesmo resolver expresses de funes que, no modo como so apresentadas, podem impossibilitar certas operaes necessrias, como integrao e diferenciao.Os mtodos a serem detalhados e explicados neste trabalho so: Interpolao, Integrao Numrica e Ajuste de Curvas.O mtodo da Interpolao largamente utilizado na rea das cincias e engenharias, para delimitao de curvas de nvel, por exemplo, bem como na computao grfica e nos estudos aerofotogramtricos. Interpolar uma funo f(x) aproximar-se dela por uma outra funo h(x), tal que esta possa ser usada como substituta. o processo pelo qual, a partir de pontos distintos, podemos obter uma funo contnua de uma funo discreta. Assim, a interpolao utilizada, por exemplo, quando h conhecimento apenas de alguns valores numricos da funo para um determinado conjunto de pontos e precisa-se calcular um valor no tabelado, para calcular funes fornecidas por tabelas ou para aproximar funes cujo clculo seja complexo ou at mesmo impossvel de se realizar de operaes. Depreende-se dessa pesquisa que mesmo quando no possvel realizar o clculo de integrais definidas de forma analtica, seja por causa da no existncia da possibilidade de expressar de forma explcita a funo primitiva resultante da integral por meio de combinaes finitas de funes elementares, ou por causa de o valor de ser conhecido somente em alguns pontos, num intervalo , pode-se recorrer ao uso de integrais numricas que nos possibilitam alcanar um resultado aproximado da integral de determinada funo atravs de mtodos de aproximao de integrais como a regra do Trapzio e a regra de Simpson, que so duas das frmulas fechadas de Newton-Cotes. Veremos, no decorrer do trabalho, que uma forma de se trabalhar com uma funo definida por uma tabela de valores a interpolao polinomial. Contudo, a interpolao no aconselhvel quando:1. preciso obter um valor aproximado da funo em algum ponto fora do intervalo de tabelamento, ou seja, quando se quer extrapolar;1. Os valores tabelados so resultados de algum experimento fsico ou de alguma pesquisa, porque, nestes casos, estes valores podero conter erros inerentes que, em geral, no so previsveis. Surge ento a necessidade de se ajustar a estas funes tabeladas, uma funo que seja uma boa aproximao para os valores tabelados, e que nos permita extrapolar com certa margem de segurana. Em muitas situaes, conhece-se uma tabela de pontos onde cada obtido experimentalmente, e deseja-se obter a expresso analtica de uma dada curva que melhor se ajusta a esse conjunto de pontos. A representao de uma curva que passe prximo de um conjunto de pontos definida como o ajustamento de curvas. Esse ajustamento se resume em conectar os pontos com a curva, porm a metodologia mais utilizada para fazer a conexo entre os pontos e o modelo para prever esses pontos o mtodo dos mnimos quadrados (MMQ). Os mtodos brevemente apresentados sero detalhados e explicados a seguir.

2. INTERPOLAO

Interpolao um processo numrico pelo qual pode-se obter uma funo contnua a partir de pontos distintos definidos de uma funo discreta. De acordo com valoresem questo verifica-se qual o tipo de aproximao mais apropriada, o que significa dizer que a funo continua a ser obtida tem sua classe a determinar. Dessa forma, h trs tipos de interpolao: linear, polinomial e trigonomtrica. Para fins prticos estudaremos apenas a interpolao polinomial.Este mtodo muito influente na rea das cincias e engenharias j que pode, por exemplo, a partir de dados empricos chegar a uma equao que estude o fenmeno fsico envolvido tornando possvel a quantificao de qualquer valor no domnio. Serve tambm de base para vrios mtodos desenvolvidos com finalidade de solucionar equaes diferenciais ou ainda para simplificar funes muito complexas de maneira a facilitar clculos.

(interpolao linear)

(interpolao polinomial)

2.1 Interpolao polinomial

Nesse caso, queremos aproxima a funo discreta a um polinmio.

Teorema de unicidade e existncia:

Dado um conjunto de pontos distintos e numericamente determinados pertencentes ao intervalo . ento existe um nico polinmio interpolador de grau , tal que , .Representamos como : ;

Assim a partir do teorema podemos escrever:

Dessa forma para determinarmos o polinmio precisamos conhecer as variveis que pode ser obtido resolvendo-se o sistema linear, j que conhecido o valor de e.Ou na forma matricial:X = ;A matriz X, matriz dos coeficientes, a matriz de Vandermonde, logo, desde que sejam distintos teremos que e o sistema admite soluo linear nica.

1) Interpolao polinomial linear Para uma funo discreta com dois pontos distintos e obtemos o polinmio interpolador ; que tem caracterizando uma funo de primeira ordem. Para determinar e faz-se o procedimento:-Aplicando o teorema escrevemos o sistema linear:

-verificar se -resolver o sistema-introduzir o resultado das variveis e no polinmio .

Exemplo 1: Calcular e a partir dos pontos abaixo:

01

0.10.6

1.2213.320

Resoluo:

O polinmio ento assume a forma: De acordo com o sistema linear:

Verificamos que Resolvendo o sistema temos que: e Ento o polinmio : , ,

2) Interpolao polinomial quadrtica Para uma funo discreta com trs pontos distintos , e obtemos o polinmio interpolador + ; que tem caracterizando, por sua vez, uma funo de ordem quadrada. Para determinar , e faz-se o procedimento:-Aplicando o teorema escrevemos o sistema linear:

-verificar se -resolver o sistema-introduzir o resultado das variveis , e no polinmio .

Exemplo 2: Determinar usando os dados da tabela abaixo:

012

0.10.60.8

1.2213.3204.953

Resoluo:

O polinmio de forma: +Podemos ento definir o sistema linear:

J que , resolve-se o sistema e se chega a: , , O polinmio ento : E ento, Portanto,

2.2 Formas de se obter Como j vimos, podemos obter o polinmio interpolador resolvendo o sistema linear apresentado anteriormente. Porm essa no a maneira mais simples nem menos sujeita a erros, podemos destacar ento as formas de Lagrange e de Newton.

2.2.1 Interpolao de lagrange

Seja um polinmio de grau menor ou igual a que interpola em podemos escrever o polinmio como para satisfazermos o teorema temos que:

Para isso, impomos:

Assim, determinamos:

J que satisfaz as propriedades destacadas anteriormente citadas, ento pode ser escrito na forma do produtrio abaixo:

Assim o polinmio interpolador de Lagrange :

A forma de Lagrange se apresenta abrangente podendo tambm ser usada para achar o polinmio interpolador linear como veremos na aplicao abaixo:

1) Interpolao linear por Lagrange

Dados os dois pontos e, o polinmio de Lagrange pode ser escrito da seguinte forma:

E ainda temos que:;Podemos ento substituir na frmula, obtendo genericamente:

2) Interpolao quadrdica por Lagrange

No caso de trs pontos , e temos:

Onde, ; ; Substituindo:

Exemplo 3: Seja a tabela

-102

41-1

Resoluo:

Pela forma de Lagrangepara trs pontos introduzida no tpico anterior temos:

Substituindo os pontos:

2.2.2 Forma de newton

Considere os pontos dados abaixo:...

...

Sendo a funo tabelada em n+1 pontos diferentes, definimos o Operador Diferenas Divididas por:Ordem 0

Ordem 1

Ordem 2

Ordem 3

Ordem n

A diferena dividida de ordem k da funo sobre os (k+1) pontos .

OBS: simtrica nos argumentos;

Ordem0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3... Ordem n

Seja contnua e com tantas derivadas contnuas quantas necessrias em um intervalo [a,b] e sejam n+1 pontos nesse intervalo . Podemos calcular o polinmio de grau mximo n que interpola da seguinte forma: Se o polinmio de grau 0 que interpola em , logo Segue que, para todo

Onde o Erro de Aproximao.O mesmo processo usado para encontrarmos e ento teremos:( (

Exemplo 4: Seja f(x) tabelada abaixo

x-102

f(x)41-1

Resoluo: As diferenas divididas so dadas por:Ordem 0:, e

Ordem 1:

Ordem 2:

Logo, podemos construir o polinmio:(

2.3 Estudo do erro(truncatura) na interpolao

Ao definirmos o polinmio interpolador estamos sujeitos a dois tipos de erro: arredondamento e tuncatura.O erro de arredondamento est relacionado com a ocultao de casas decimais,j o erro de truncatura que se d quando aproximamos uma funo ao polinmio interpolador dado por:para todo x pertencente ao intervalo Podemos observar atravs do grfico ver que o erro importante para se ter uma ideia da aproximao realizada. No grfico abaixo, notamos que o polinmio interpola as duas funes e , porm est mais prximo de do que de portanto o erro em relao a menor. Nota-se tambm que o erro depende da concavidade das curvas.Matematicamente:

Teorema 2:Sejam ns da interpolao includos no intervalo Seja com derivadas at a ordem Seja o polinmio interpolador de nos ns de interpolaoEnto, possvel mostrar que para qualquer pertencente ao intervalo, existe um erro dado por:

Onde Tal formula apresenta-se limitada pois raramente temos os valores de e o ponto no conhecido.

Teorema 3: , De acordo com os teoremas apresentados, Se for contnua no intervalo podemos escrever que:

Onde,

1) Para pontos igualmente espaados temos:

Ento,

Exemplo 4: Seja tabelada abaixo. Obter por interpolao linear e fazer uma analise do erro cometido.

00.511.52

0.01.14872.71834.981183890

Resoluo:

ento e

O erro pode ser obtido diretamente pela equao

Esse valor do erro tambm pode ser garantido pela expresso Como veremos abaixo :

Onde =Ento e realmente

2.4 Funes spline em interpolao

Em desenhos de engenharia, Splines so rguas flexveis que podem ser curvadas, passando por um certo conjunto de pontos de modo a traar curvas suaves. O mtodo consiste em interpolar funes em grupos de poucos pontos, impondo condies para que a aproximao e suas derivadas, at certa ordem, sejam contnuas. Assim, obteremos polinmios de grau menor.

Considere a funo tabelada nos pontos . Uma funo denominada spline de grau p com ns nos pontos , i = 0, 1, 2,..., n se: Em cada subintervalo [, i = 0, 1,..., (n - 1), um polinmio de grau p: contnua e tem derivada contnua at ordem (p 1) em [a, b]Se tambm satisfaz a condio = , i = 0,1, ..., n, ela ser uma spline interpolante.

2.4.1 Spline Linear Interpolante

Sendo a funo spline linear interpolante de nos ns , em cada subintervalo [, i = 1, 2, ..., n ela escrita como:, polinmio de grau 1 em cada subintervalo [ contnua em (por definio, e, nos ns , realmente est bem definida, pois: contnua em [a,b] e, portanto, spline linear. spline linear interpolante de nos ns .

2.4.2 Splines Cbicas Interpolantes

As splines cbicas so mais usadas pois no apresentam a desvantagem de ter derivada de primeira descontnua nos ns, como a spline linear, ou de ter derivadas contnuas at ordem 1, como no caso das splines quadrticas.Definimos a splinecbica, como uma funo polinomial por partes e contnua, onde casa parte,, um polinmio de grau 3 no intervalo [, k=1, 2, ..., n. tem primeira e segunda derivadas contnuas, fazendo com que a curva no tenha picos nem mude de forma abrupta de curvatura nos ns.Seja uma funo tabelada nos pontos , i = 0, 1, 2,..., n a funo chamada spline cbica interpolante de nos ns se existem n polinmios de grau 3, k = 1, ..., n tais que:1. 2. 3. 4. 5.

Para calcular devemos determinar 4 coeficientes para cada k: .Se impusermos as condies para que seja spline interpolante de f em teremos o que segue:(n + 1) condies para que interpole nos ns;(n 1) condies para que tenha sua continuidade garantida nos ns;(n 1) condies para as derivadas de nos ns ;(n 1) para as derivadas segundas de nos ns.

Portanto, temos 4n 2 condies, ou seja, duas condies em aberto a serem impostas de acordo com as informaes sobre o problema.Sendo satisfazemos a condio 1.Para impor a condio 2 montamos as seguintes equaes para k = 1,..., n = ) e , onde , com k = 1.A condio 3 satisfeita atravs das (n 1) equaes: para k = 1, ..., (n 1), :

Para as condies 4 e 5, precisamos das seguintes derivadas:

Como , cada pode ser escrito como: e, por analogia, seja escrevemos em funo das derivadas segundas nos ns, logo, Se a condio 5 for imposta teremos (no caso k=1, utilizaremos uma varivel qualquer ).Como j sabemos as expresses de , sendo as duas primeiras em funo das derivadas segundas nos ns, podemos encontrar tambm em funo das derivadas segundas a partir das seguintes equaes:

Se for retirado da primeira equao e usarmos a segunda equao para k = 1, 2,...,n teremos:

Logo:Se substituirmos e teremos ento:

Ento podemos, portanto, calcular todos os coeficientes de em funo de , j = 1, 2, ..., n.Vamos impor agora a condio 4 para k = 1, 2, ..., (n-1), achando:

Sendo e usando as equaes encontradas para :

Se agruparmos os termos semelhantes, para k = 1, 2,..., n-1

Sendo assim:

A qual um sistema de equaes lineares com (n - 1) equaes (k = 1, ..., (n 1)) e (n + 1) incgnitas: e, portanto, indeterminado, Ax = b sendo

Resolveremos esse sistema de forma nica com a imposio das duas condies j comentadas anteriormente. Tendo a soluo, poderemos determinar para cada Alternativas: Seja e (spline natural) estamos supondo que os polinmios cbicos nos intervalos extremos so lineares ou prximos de funes lineares estamos supondo que as cbicas so aproximadamente parbolas nos extremos. Se determinarmos valores para as inclinaes em casa extremo, como , teremos duas equaes adicionais:

Exemplo 5: Encontrar uma aproximao para f (0.25) por spline cbica natural, interpolante da tabela:x00.51.01.52.0

f(x)31.8616-0.5571-4.1987-9.0536

Resoluo:

Temos 4 subdivises do intervalo [0, 2.0] com n = 4 e ento devemos determinar resolvendo o sistema para :

Sendo , ento:

Mas queremos a spline cbica natural, ento . Logo:

Substituindo agora os valores de h e de :

Resolvemos o sistema acima por meio do uso de um mtodo de sistema de EALs, como, por exemplo, o mtodo da Eliminao de Gauss e obtemos:

Substituindo os valores agora conhecidos nas expresses de encontraremos , porm, o problema pede uma aproximao para , e .

Assim:

Logo:

Ento, por spline cbica natural interpolante,

3. INTEGRAO NMERICA Em diversos casos na cincia se faz necessrio integrar de forma definida, dentro de um intervalo , certas funes matemticas. Um meio usualmente empregado para determinar uma integral definida a integrao numrica. Esse meio nos proporciona uma aproximao da integral de determinada funo quando no se capaz de obt-la de forma analtica.Sabemos do clculo diferencial e integral que se funo contnua em , ento esta funo tem uma primitiva neste intervalo, ou seja, existe tal que = . Assim: no entanto, pode no ser fcil expressar esta funo primitiva por meio de combinaes finitas de funes elementares, como, por exemplo, a funo, cuja primitiva , que se anula para , chamada funo de Gauss.Existe ainda o caso em que o valor de conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo . Como no conhecemos a expresso analtica de , no temos condio de calcular .Uma forma de se obter uma aproximao para a integral de num intervalo , como nos casos acima, atravs dos mtodos numricos que veremos a seguir:

3.1 Frmulas de Newton-Cotes

Nas frmulas de Newton-Cotes a idia de polinmio que aproxime razoavelmente que este polinmio interpole em pontos de igualmente espaados. Considerando a partio do intervalo em subintervalos, de comprimento , ,. Assim: .As frmulas fechadas de Newton-Cotes so frmulas de integrao do tipo:e

sendo os coeficientes determinados de acordo com o grau do polinmio aproximador.Veremos a seguir algumas das frmulas fechadas deNewton-Cotes, a saber, regra do Trapzio e a regra 1/3 de Simpson.

3.2 Regra do trapzio

Este mtodo consiste na aproximao do valor da funo contnua de , no intervalo , por uma funo linear, em outras palavras, feita a substituio da curva do grfico correspondente funo por uma reta aproximada curva. Veremos que, nessa aproximao a integral da funo pode ser aproximada pela rea de um trapzio.

Aproximao da curva de uma funo em retas, pela regra do trapzio, formando trapzios de mesma base.

Aps feita a substituio da funo f(x) por um polinmio que a aproxime no intervalo em pontos igualmente espaados, o problema resolvido pela integrao de um polinmio.Na regra dos trapzios, utiliza-se um polinmio interpolador de Lagrange do primeiro grau:Onde: , , , Integrando no intervalo temos:, Onde: , o que a formula da rea do trapzio, como mostrado na figura a seguir:

Quanto maior for o intervalo, maior ser o erro do mtodo:

Onde, ; ..

Dessa forma, um melhoramento no mtodo consiste em dividir o intervalo em vrios pedaos, calcular a rea de cada um deles, e em seguida somar todos.

Diviso do intervalo em pedaos, diminuindo assim o erro do mtodo.

Exemplo 1: Calcule a integral de no intervalo com subintervalos.

Resoluo:

3.3 Regra de Simpson

Em vez da aproximao da funo contnua no intervalo por uma funo de 1 ordem como na regra do Trapzio, na regra de Simpson a aproximao ser feita por uma funo de 2 ordem, ou seja, feita a substituio da curva do grfico correspondente funo contnua por uma parbola aproximada.Pode-se usar a frmula de Lagrange para estabelecer a frmula de integrao resultante da aproximao de por um polinmio interpolador do 2 grau.Seja que interpola nos pontos:

Substituio da curva da funo contnua pela parbola aproximada.

(na forma de Lagrange)

Onde,

Resolvendo ,

Substituindo (x-x0)/h=y temos que dx = hdy. Da, temos:

Temos que a frmula final para a integral numrica pela regra de Simpson a seguinte:

Vale salientar que este mtodo tambm conhecido como regra de Simpson devido ao fator multiplicador de .Observa-se que so necessrios no mnimo trs valores de para calcular a integral pela regra de Simpson.Na frmula e um ponto equidistante entre e .

Exemplo 2: Estimar o valor da integral de no intervalo atravs da regra de Simpson.

Resoluo:

4. AJUSTE DE CURVAS

O Mtodo dos Quadrados Mnimos a forma mais utilizada no ajuste de curvas, ele aplicado quando se tem um conjunto de pontos e pretende-se definir a curva que melhor se ajusta a este. Este mtodo utilizado para aproximar dados obtidos experimentalmente por uma funo linear ou no linear. Est situado no ramo da matemtica numrica e pode ser implementado em diversos softwares numricos.

Caso geral

O problema de ajuste de curvas no caso em que se tem uma tabela de pontos (x1, y1), (x2, y2),..., (xn,yn), com xi pertencentes ao intervalo [a, b], consiste em dadas m + 1 funes g0(x), g1(x),..., gm(x), continuas em [a, b], obter m + 1 coeficientes 0, 1,..., m de tal forma que

f(x) = 0g0(x) + 1g1(x) +...+ mgm(x)

se aproxime de y(x), que fornece os valores y1, y2,..., yn dos pontos tabelados.Este um modelo matemtico linear do sistema real, pois os coeficientes i a serem determinados aparecem linearmente arranjados, embora as funes gi(x) possam ser no-lineares, como g0(x) = ex e g1(x) = 1 + x2, por exemplo.O grande problema como escolher adequadamente estas funes. Para isto, normalmente faz-se a observao do diagrama de disperso para ver a forma geral dos pontos, ou ento deve-se basear em fundamentos tericos do experimento que fornece a tabela.Uma ideia para que a funo f(x) se ajuste aos pontos yi fazer com que o desvio, ou erro, di= yi -f(xi) seja mnimo para todo i = 1, 2..., n. Assim, definindo uma medida mais abrangente que envolve a soma destes desvios elevados ao quadrado tem-se:

D(0, 1,..., m) =

O que se busca ento determinar os i's para que D(0, 1,..., m) seja mnimo. Este processo de minimizao chamado de Mtodo dos Mnimos Quadrados, uma vez que D(0, 1,..., m) definido por uma soma de quadrados.Do clculo diferencial, sabe-se que para determinar o valor mnimo de uma funo (ou o seu valor crtico) deve-se derivar parcialmente esta funo em relao s variveis independentes. Dessa forma:

Substituindopor para simplificao de notao, igualando estas equaes a 0 e fazendo um rearranjo de termos ento tem-se:

que se trata de um sistema linear que pode ser solucionado por qualquer mtodo numrico (Gauss, LU, etc.). As equaes deste sistema so chamadas de equaes normais. Nota-se que a matriz dos coeficientes deste sistema simtrica com relao diagonal principal, ou seja, a parte triangular inferior igual a parte triangular superior.

4.1 Caso Linear

O modelo mais simples de relacionar duas variveis atravs de uma equao da reta, se a distribuio dos pontos no diagrama de disperso assumir uma aparncia de uma reta, ento pode-se afirmar que:

O que faz com que o modelo matemtico que se ajuste aos pontos do diagrama de disperso seja uma equao de reta, dada por:

O problema ento determinar e . Sabe-se, porm, que para diferentes valores destes coeficientes (ou parmetros) haver diferentes retas que se ajustam aos pontosdados. Dessa forma, utilizando o Mtodo dos Mnimos Quadrados para minimizar a medida:

Substituindo por para simplificao de notao teremos o seguinte sistema:

Exemplo 1: Ajustar os dados da tabela a seguir a uma reta de modo que ) seja o menor possvel.

ixiyi

11.32.0

23.45.2

35.13.8

46.86.1

58.05.8

Resoluo: Como se deseja encontrar os valores dos parmetros da reta dados pelas equaes de e ento basta encontrar os respectivos somatrios:

Substituindo esses valores nas equaes de e tem-se:

Ou seja, teremos ento a reta , como ilustra o grfico abaixo:

4.2 Caso no-linear

Em alguns casos, a famlia de funes escolhidas pode ser no-linear nos parmetros, como,por exemplo, se o diagrama de disperso de uma determinada funo se ajustar a uma exponencial do tipo , com e positivos. Para se aplicar o Mtodo Mnimos Quadrados necessrio que se efetue uma linearizao do problema atravs de uma transformao conveniente. Por exemplo, se ento: Se e ento que um problema linear nos parmetros.

O mtodo dos mnimos quadrados pode ento ser aplicado na resoluo do problema linearizado. Obtidos os parmetros deste problema, usa-se estes valores para calcular os parmetros originais. importante observar que os parmetros assim obtidos no so timos dentro do critrio dos mnimos quadrados. Isto porque o que se ajusta o problema linearizado, e no o original.

Exemplo 1: A tabela abaixo d os valores observados da presso P de certa massa de gs correspondente a diversos valores do volume V. De acordo com os princpios da termodinmica, deve existir entre as variveis uma relao da forma , onde e C soconstantes.a.Determine os valores de e C.b.Escreva a equao que relaciona P e V.

Volume V(pol3)54.361.872.488.7118.6194.0

Presso P(lbs/pol2)61.249.537.628.419.210.1

Resoluo:

a. Como, temos, tomando logaritmos decimaisou

Fazendo e a ltima equao pode ser escritaondee

Na tabela abaixo so fornecidos os valores de x e y correspondentes aosvalores de V e P da tabela anterior, juntamente com os clculos para determinao da reta de mnimos quadrados.

1.73481.79101.85971.94792.07412.28781.78681.69461.57521.45331.28331.00433.00953.20773.45853.79434.30195.23403.09973.03502.92942.83092.66172.2976

As equaes correspondentes reta de mnimos quadrados so:

Substituindo esses valores nas equaes de e tem-se:

Ou seja, teremos ento a reta.

Como e ,e

b.

5. PROVA

1o Questo (3,0 Pontos): A proposta do polinmio interpolador de Lagrange gera um polinmio que permita reproduzir o comportamento de um determinado modelo fsico. Atravs do intervalo [3,5; 5,5] com um h = 0,5 e do modelo, f(x), apresentado abaixo, formule uma tabela e em seguida desenvolva o polinmio interpolador de Lagrange para tal questo.

2o Questo (3,0 Pontos): Resolva as integrais abaixo usando as tcnicas da regra do trapzio e de Simpson.a.) Aplique a tcnica do trapzio para resolver a integral.

a1.) ; a2.) b.) Encontre um valor aproximado para as integrais abaixo, use a regra de Simpson com 4 subintervalos e expresse os resultados com trs decimais.

b1.) ; b2.) 3o Questo (4,0 Pontos): A qualidade do produto final de uma determinada empresa depende de insumos como matria prima, energia eltrica, investimento em equipamentos, equipamentos em mo obra qualificada etc. A relao entre o produto final e os insumos so dados pelo seguinte modelo:

a.) (2,5 Pontos): Aplique o Mtodo dos Mnimos Quadrados (MMQ) para obter o sistema de EALs em funes de 1, 2, 3 e 4.(1,5 Pontos): Aplique o mtodo de sobre-relaxao para obter as equaes iterativas das variveis 1, 2, 3 e 4.

6. RESOLUO

1o ) -Passo (1): determinao dos ns de interpolao A partir do intervalo dado e do podemos dizer que os valores de so:

, com .A partir dos valores conhecidos de podemos ento substituir na equao dada e achar os valores de onde

Logo,

A tabela de valores depara :

3.50004.00004.50005.00005.5000

8.078113.584321.313131.690245.1379

-Passo (2): determinao do polinmio de Lagrange:O polinmio de Lagrangepode ser escrito na forma:

-Passo (3): determinao de Para obtermosprecisamos dos valores de ,, que dado pelas equaes:

Assim,

-Passo (4): determinar Para determinarmos as parcelas substitumosos valores j obtidos, dessa forma :

-Passo (5): substitumos na equao do polinmio Finalmente obtemos pela soma das parcelas acima:

Podemos ainda plotar o grfico do polinmio obtido em um intervalo de em e em :

Podemos ainda fazer uma anlise do erro de truncamento da questo. Sendo o erro definido como: ento,

Plotando o grfico do erro para o intervalo em e de em :

2)

.

;

Tabela:11,1251,251,3751,51,6251,751,875200,1180,2230,3180,4050,4860,560,6290,69300,660,7580,8220,8710,9100,9440,9741ind.0,1790,2940,3870,4650,5340,5930,6460,693

;

Tabela:00,1670,3340,5010,6680,835110,9450,7850,5390,233-0,41600,5510,6940,7940,8740,9421ind.1,7151,1310,6790,267-0,105-0,416

;;; ; ;

;;; ; ;

3o )a. A funo se ajustar aos pontos , quando o desvio for mnimo. Para obter 1, 2, 3 e 4, aplica-se o MMQ conforme o seguinte procedimento:

D(1, 2, 3, 4) =

Derivando com relao a 1, 2, 3 e 4, obtem-se:

Ento o sistema acima pode ser escrito da seguinte forma:

Utilizando as equaes iterativas do Mtodo de sobre-relaxao:

Substituindo os termos:

[

+

7. CONCLUSO

A partir dos mtodos que foram vistos neste trabalho, adquirimos novas ferramentas para a soluo de problemas na rea da engenharia. Todavia, cada processo numrico apresenta suas caractersticas bem delimitadas de maneira que seu estudo precisa ser bem realizado para que seja aplicado da forma mais adequada. Dentro do estudado podemos destacar as principais caractersticas e aplicaes de tais mtodos.Na parte de interpolao numrica observamos que este mtodo fortemente aplicado, pois permite que a partir de dados empricos seja construda uma funo que estude o problema dado. Dessa forma, pode-se tambm obter o valor numrico de pontos que no foram dados no problema. O mtodo tambm aplicado para simplificao de funes de modo que o seu clculo se torne mais vivel e ainda serve de base para outros mtodos numricos. Atravs dos mtodos da regra do Trapzio e da regra de Simpson, os quais consistem em aproximaes de curvas de funes em retas (Trapzio) ou parbolas (Simpson), possvel a obteno de resultados de integrais definidas de funes cujas expresses de suas funes primitivas so muito complexas ou ainda no possvel de serem feitas analiticamente, nos proporcionando de forma numrica e aproximada a possibilidade da obteno de resultados.O ajuste de curvas pelo Mtodo dos Mnimos Quadrados para dados lineares e no lineares foi bem explanado com aplicaes para ambos os casos. Observa-se que essa tcnica uma boa escolha, pois consiste em modelar uma curva que melhor se ajuste aos dados disponveis. Conhecida a equao dessa curva, pode-se determinar valores fora do intervalo conhecido. A principal vantagem do mtodo proposto se deve ao fato de que no h necessidade de recorrer a processos iterativos para o clculo das constantes de ajuste. Assim, h uma otimizao do tempo de processamento requerido. Alm disso, uma vez que se trata de um mtodo direto, no h a preocupao com a convergncia dos respectivos valores numricos.

8. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

RUGGIERO, Mrcia A. Gomes; LOPES, Vera Lcia da Rocha. Clculo numrico: aspectos tericos e computacionais. 2. ed. So Paulo: Pearson Makron Books, 1996. Acesso em 17 de Junho de 2014

BARROSO, Lenidas Conceio et al. Clculo numrico (com aplicaes). 2. ed. So Paulo: Harbra, 1987. Acesso em 15 de Junho de 2014

Acesso em 17 de Junho de 2014

Acesso em 15 de Junho de 2014

Acesso em 20 de Junho de 2014

Acesso em 20 de Junho de 2014

Acesso em 17 de Junho de 2014

Acesso em 20 de Junho de 2014

Acesso em 15 de Junho de 2014 Acesso em 15 de Junho de 2014 Acesso em 15 de Junho de 2014 Acesso em 15 de Junho de 2014 Acesso em 17 de Junho de 2014 Acesso em 17 de Junho de 2014 Acesso em 15 de Junho de 2014 Acesso em 17 de Junho de 2014 Acesso em 15 de Junho de 2014 Acesso em 15 de Junho de 2014 Acesso em 18 de Junho de 2014 Acesso em 15 de Junho de 2014