Trabalho2 Mma Deflexao Inclinacao Eixo Escalonado

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 UNIV FAC GRA DI PR Trabalho 2 – Determi Nomes: Annio Ricardo Fernand Bruno Alexandre Roque Guilherme Augusto de Ol  Luis Paulo Pettersen P. C  RSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA LDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA UAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA CIPLINA: Mecânica dos Materiais Aplicada FESSOR: Sônia Goulart de Oliveira naçã o da inclinação e deflex um eixo escalonado s Zaiden iveira oelho Uberlândia, o flexional de 7 de Julho de 2010

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UNIV

FAC

GRA

DI

PR 

Trabalho 2 – Determi

Nomes:

Antônio Ricardo Fernand

Bruno Alexandre Roque

Guilherme Augusto de Ol

Luis Paulo Pettersen P. C

 

RSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA

LDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

UAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

CIPLINA: Mecânica dos MateriaisAplicada

FESSOR: Sônia Goulart de Oliveira

nação da inclinação e deflex

um eixo escalonado

s Zaiden

iveira

oelho

Uberlândia,

o flexional de

7 de Julho de 2010

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Resumo

Neste trabalho, apresenta-se um eixo escalonado bi-apoiado, com dimensões e

carregamentos que devem ser determinados arbitrariamente pelo grupo, e pede-se para

calcular a deflexão flexional e a inclinação ao longo do comprimento do eixo. Para tal, deve-se

escolher um método de cálculo dentre os que serão citados no desenvolvimento teórico. Através

de um programa escrito e compilado no software computacional MATLAB, e baseando-se na

integração dos gráficos (cálculo das áreas) obteve-se a inclinação e a deflexão. Os gráficos

contidos neste trabalho facilitarão o entendimento dos cálculos, bem como a interpretação de

resultado dos mesmos. Os resultados obtidos foram comparados com os fornecidos pelo

software Viga G, executados em calculadoras portáteis HP 50 G.

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Índice

1.  Introdução 04

2.  Desenvolvimento Teórico 04

2.1.  Cálculo da deflexão de viga pelo Método da Superposição 07

2.2.  Cálculo de deflexão de viga por Funções de Singularidade 09

2.3.  Métodos de Energia – Energia de Deformação 10

2.4.  Teorema de Castigliano 14

3.  Apresentação do problema a ser estudado 16

4.  Resolução do Problema 17

5.  Conclusões 22

6.  Anexos 23

Bibliografia 25

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1.  Introdução

Vigas defletem muito mais que membros carregados axialmente, e o problema de flexão

ocorre provavelmente com mais freqüência que qualquer outro de carregamento em projeto.

Eixos fixos ou rotativos, virabrequins, alavancas, molas, cantoneiras e rodas, assim como

muitos outros elementos, devem freqüentemente ser tratados como vigas no projeto e análise

de estruturas mecânicas e sistemas [1]. Por isso, a determinação da deflexão flexional e da

inclinação máxima em eixos é de extrema importância, visto que tais fatores podem acarretar

na falha do sistema mecânico. A seguir, serão mostrados alguns métodos que possibilitam o

cálculo da deflexão flexional e da inclinação.

2.  Desenvolvimento Teórico

A teoria elaborada a seguir foi baseada no texto do livro Shigley, Joseph E. – Projeto de

Engenharia Mecânica, Bookman, 2005 . A expressão para a curvatura de uma viga submetida a

um momento flexor é dada por:

1 =

 (1)

Onde é o raio de curvatura, é o momento flexor, é o módulo de elasticidade e é o

momento de inércia de área da seção transversal. Através de estudos anteriores, obteve-se que

a curvatura de uma plana é fornecida pela equação:

1 = ² ²⁄

[1 + ( ⁄ )²]/ 

(2)

Interpretando que é a deflexão da viga em qualquer ponto ao longo de seu

comprimento. A inclinação dessa viga para qualquer ponto é:

=  

(3)

Para diversos problemas de flexão, a inclinação é muito pequena, e para tais casos, o

denominador da equação (2) pode ser considerado unitário. A equação (1) pode então serdescrita como:

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5

= ²

² (4)

A força cortante e o momento flexor são relacionados pela equação:

=  

(5)

Diferenciando a equação (5), tem-se:

= ²

²  

(6)

Algumas vezes, a flexão é causada por uma carga distribuída (). Tal carga distribuída é

denominada intensidade de carga, com unidades de força por unidade de comprimento e épositiva na direção positiva. A equação (6) acima pode ser igualada ao .

Relacionando as equações (5) e (6) e derivando de forma sucessiva a equação (4), tem-se:

 

= ³

³ (7.a)

=  

(7.b)

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É conveniente apresentar essas equações em grupo, como segue:

=

 

(8)

= ³

³ (9)

= ²² (10)

=  

(11)

= ( ) 

(12)

As equações (8) a (12) são fundamentais para relacionar a intensidade do carregamento

, a força cortante vertical , o momento flexor , a inclinação da superfície neutra e a

deflexão transversal . As vigas têm intensidades de carregamento que variam de constante

(carregamento uniforme), intensidade variável (), a funções de Dirac delta (cargas

concentradas).

A intensidade de carregamento geralmente consiste em zonas contiguas por partes,

cujas expressões são integradas por meio das equações (8) a (12), com graus variados de

dificuldade. Outra abordagem é representar a deflexão () como uma série de Fourier, algo

capaz de representar funções de valor único por meio de um número finito de descontinuidades

finitas, então diferenciando inteiramente desde as equações (12) a (8) e parando em algum

nível no qual os coeficientes de Fourier possam ser avaliados. Um fator de complicação é a

natureza contínua por parte de algumas vigas (eixos) que são corpos de diâmetros escalonados.

Tudo o que foi exposto até agora, trata de métodos formais de integração, os quais, com

problemas adequadamente selecionados, resultam em soluções para ,, , .

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Essas soluções podem ser: Soluções fechadas (analíticas), ou representadas por séries infinitas,

que equivalem à forma fechada se essas séries forem rapidamente convergentes, ou

aproximações obtidas ao avaliar o primeiro e o segundo termos.

As soluções em série podem ser escritas convenientemente na forma equivalente à

solução fechada através de um software computacional, como, por exemplo, o MatLab. Existem

muitos métodos para resolver o problema de integração para a deflexão da viga. Alguns dos

métodos mais populares incluem o seguinte:

•  Superposição;

•  O método momento-área;

•  Funções de singularidade;

•  Integração numérica.

Existem métodos que não lidam com as equações (8) a (12) diretamente. Um método de

energia, baseado no teorema de Castigliano, é muito poderoso para problemas inapropriados

para os métodos citados neste trabalho anteriormente.

2.1.  Cálculo da deflexão de viga pelo Método da Superposição

Para o cálculo da deflexão de viga pelo método da superposição, pode-se usar o conjunto

de tabelas A-9, contidas no livro Shigley, Joseph E. – Projeto de Engenharia Mecânica,Bookman, 2005. 

As tabelas abaixo foram retiradas do site do PET da Engenharia Mecânica da UFF, e

trazem algumas flechas e deflexões de vigas hiperestáticas e isoestáticas:

Tabela 1 - Flechas e deflexões angulares para algumas vigas isostáticas [2].

Viga Carregamento e Vinculação

(comprimento L)

Deflexão angular na

extremidade

Flecha Máxima

+ ↑ 

1ϕ =-PL

2/ 2EI

f = - PL3 / 3 EI

2ϕ =-qL

3/ 6EI

f = - qL4 / 8 EI

+

ϕ

ϕ

P

q

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8

3 ϕ =-wL3

/ 24EI f = - w L4 / 30 EI

4 ϕ = + ML / EI f = + ML2 / 2 EI

5 ϕΑ =-PL2

/ 16 EI

ϕΒ =+PL2 / 16 EI

f = - PL3 / 48 EI

6 ϕΑ =-Pb(L2 – b2) / 6 LEI

ϕΒ =+Pa(L2 – a2)/ 6 LEI

- P b (L2- b2)3/2

9√3 LEIpara xm = √(L

2- b

2)/3 

7ϕΑ = - qL3 / 24 EI

ϕΒ =+ qL3 / 24 EI f = - 5 q L4 / 384 EI

8ϕΑ = - ML / 6 EI

ϕΒ =+ ML / 3 EI

f = - ML2 / 9√3 EIpara xm = L / √ 3 

Tabela 2 - Reações Vinculares e flechas para algumas vigas hiperestáticas [2].

Viga Carregamento e Vinculação(comprimento L)

Reações Vinculares e MomentosMáximos

Flecha Máxima+ ↑ 

1

A = (11/16)P

B = (5/16)

M= (3/16)PL

(MMAX)(+) = +(5/32)PL

(MMAX)(-) = - (3/16)PL

f = - 7PL3 / 768 EI

ϕ

ϕ

M

P

L/2 L/2f 

ϕΒϕΑ

P

a b

q

xm

ϕΒϕΑ

f=

ϕΒϕΑ

P/2 P/2 Mxm

ϕΒϕΑ

P

AB

M L/2

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2

A = (3/8)qL

B =(5/8)qL

M= qL2 /8

(MMAX)(+) =(9/128)qL2

(MMAX)(-) = - qL2 /8

f = - qL4 / 185 EI

3

A = B = (1/2)P

M= (1/8)PL

(MMAX)(+) = +(1/8)PL

(MMAX)(-) =-(1/8)PL

f = - P L3 / 192 EI

4

A = B = (1/2)P

M= qL2 /12

(MMAX)(+) = + qL2 /24

(MMAX)(-) = - qL2 /12

f = - qL4 / 384 EI

5

A = B = (3/16)qL

C = (5/8)qL

(MMAX)(+) = +(9qL2 /512)

(MMAX)(-) = - qL2 /32

f = - qL4 / 2960 EI

2.2.  Cálculo de deflexão de viga por Funções de Singularidade

As funções de singularidade são excelentes para manejar descontinuidades. Utilizandoessas funções, expressões gerais tabeladas para a força cortante e o momento flexor em vigas

podem ser descritas quando a viga é carregada por forças ou momentos concentrados. O

quadro abaixo traz as funções de Singularidade:

M

M L/2 M

BA f 

P

q

A B

f A B

M M

L/2 L/2

q

A BC

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Figura 1 - Funções de Singularidade para o cortante e momento flexor [1].

2.3.  Métodos de Energia - Energia de Deformação

Enquanto as outras formulações se baseiam no método newtoniano da mecânica dentro

do qual o equilíbrio estático é representado de maneira vetorial, esta alternativa utiliza o

método Lagrangeano, que usa funções escalares, baseados em conceitos de trabalho e energia.

O trabalho externo feito sobre um membro elástico para deformá-lo é transformado em

energia de deformação, ou energia potencial. Se o membro é deformado de uma distância ,

essa energia é igual ao produto da força média pela deflexão, ou seja:

= 2 = 2 

(13)

A equação (13) é geral na medida em que a força também pode significar torque, ou

momento, contanto que, naturalmente, unidades consistentes sejam utilizadas para o .

Substituindo as expressões apropriadas de , fórmulas de energia de deformação para vários

carregamentos simples podem ser obtidas. Para tração e compressão, assim como para torção,

por exemplo, utilizam-se as equações:

=    

(14)

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11

A deflexão angular de uma barra circular uniforme submetida a um momento torcional  

é dado por:

=

 

(15)

Onde é o módulo de rigidez, e   é o momento polar de inércia.

A equação (15) é rearranjada e chega-se na relação:

=

=

 

(16)

Relacionando as equações (13) à (16), chegam-se as seguintes expressões, para tração,

compressão e torção, respectivamente:

= ²2 

(17)

= ²2 

(18)

Para a obtenção de uma expressão para a energia de deformação decorrente de

cisalhamento direto, considere o elemento com um lado fixo da figura 2, mostrada a seguir. A

força

põe tal elemento sob estado de cisalhamento puro, e o trabalho feito é:

= 2  

(19)

Uma vez que a deformação por cisalhamento é:

=

=

=

  

(20)

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12

Para o cisalhamento direto tem-se a relação:

= ²2 

(21)

Figura 2 – Elemento da viga exposto a esforço e a sua respectiva deflexão [1].

A energia de deformação armazenada em uma viga ou alavanca sob forma flexional pode

ser obtida referindo-se à figura 2(b). Na figura,   é uma seção de uma curva elástica de

comprimento que tem um raio de curvatura . A energia de deformação armazenada nesse

elemento da viga é:

= 2  

(22)

Como = , tem-se:

= 2  

(23)

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13

Eliminando ρ da equação acima, utilizando a equação (1), tem-se:

= ²2  

(24)

Para pequenas deflexões, a aproximação = é pertinente. Desta forma, para a viga

completa, em flexão:

= ²2  

(25)

Algumas vezes, a energia armazenada em uma unidade de volume

é uma quantidade

útil. Dividindo-se as equações de energia de deformação acima citadas pelo volume total e

estabelecendo-se / = ± para tração e compressão, / = para o cisalhamento direto e

/(2)= para torção, obtém-se,respectivamente, para tração e compressão, cisalhamento

direto, e torção:

= 2 

(26a)

 

= ²2 

(26b)

= ²4  

(26c)

É interessante observar, a partir das equações (26), que o desenvolvimento de uma alta

tensão em um material com módulo baixo de elasticidade, ou rigidez, resultará na máxima

quantidade de energia armazenada. A equação (25) será exata somente quando uma viga

estiver sujeita à flexão pura. Mesmo quando o cisalhamento estiver presente, essa equação

continuará a dar resultados bons, exceto para vigas muito curtas. A energia de deformação

decorrente do carregamento de cisalhamento de uma viga é um problema complicado.

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14

Uma solução aproximada pode ser obtida utilizando-se a equação (21) com um fator de

correção cujo valor depende da forma da seção transversal. Se for utilizar para esse fator e

correção e para a força cortante, então a energia de deformação decorrente do cisalhamento

em flexão será a integral da equação (21), ou:

= ²2  

(27)

A equação (27) é válida para o cisalhamento de flexão.

Os valores de estão listados na tabela 3, a seguir:

Tabela 3 – Fatores de correção da energia de deformação para o cisalhamento [1].

Forma da Secção Transversal da Viga Fator C

Retangular 1,2

Circular 1,11

Tubular de parede fina, circular 2,00

Secções em forma de caixa* 1,00

Secções estruturais* 1,00

(*) – Usar apenas a área da alma

2.4.  Teorema de Castigliano

Uma surpreendentemente simples abordagem para análise da flexão é propiciada pelo

método de energia denominado Teorema de Castigliano. Trata-se de uma forma única de

analisar deflexões, sendo ainda mais útil para determinar reações de estruturas indeterminadas.Esse teorema Expressa que, quando forças atuam em sistemas elásticos submetidos a pequenos

deslocamentos, o deslocamento correspondente a qualquer força, colinear com a mesma, é

igual à derivada parcial da energia total de deformação com relação á força. Os termos força e

deslocamento nessa afirmação são interpretados de maneira ampla, de modo a significar

igualmente a momentos e deslocamentos angulares. Matematicamente, o teorema de

Castigliano é:

=

 

(28)

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15

Onde é o deslocamento do ponto de aplicação da força , na direção de . Para

deslocamento rotacional, a equação (28) pode ser escrita como:

=

 

(29)

Onde é o deslocamento rotacional, em radianos, do momento , na direção de .Aplicando a equação (28) para calcular as deflexões axiais e torcionais, respectivamente, tem-

se:

=

²

2 =

  

(30)

= ²

2 =  

(31)

O teorema de castigliano pode ser usado para determinar a deflexão de em um ponto,mesmo quando nenhuma força ou momento atuarem sobre ele. O procedimento é o seguinte:

1.  Escreve-se a equação para a energia total de deformação , incluindo a

energia decorrente da força ou do momento fictício , atuando no ponto cuja

deflexão pretende-se determinar.

2.  Deve-se encontrar uma expressão para a deflexão desejada , na direção de

, calculando a derivada da energia total da deformação com respeito a .3.  Visto que é uma força fictícia, deve-se solucionar a expressão obtida no

passo 2 igualando a zero, Logo:

=

 

(32)

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16

3.  Apresentação do problema a ser estudado

Usando a teoria descrita anteriormente, será utilizado um método para a determinação

da deflexão flexional e inclinação de um eixo escalonado e bi-apoiado submetido a forças e

momentos concentrados, como mostrados na figura abaixo:

Figura 3 – Eixo escalonado, bi-apoiado exposto a forças e momentos concentrados

Para a resolução do problema, foram adotados os seguintes valores para as dimensões e

carregamentos do eixo (Valores em mm para comprimento e N para forças):

d1  35

d2  55d3  42.5a1  180b1  500b2  230L1  220L2  200L3  260a2  450M1  100M2  125F1  1500

F2  1200

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17

4.  Resolução do problema

Para os valores dimensionais acima anteriormente citados, efetua-se o cálculo das reações

de apoio do eixo bi-apoiado:

= 0 → R = 1 . ( + . + . − ) 

(33)

= 0 → = + −  

(34)

Para o cálculo dos momentos flexores, separa-se o eixo em três diferentes trechos:

Trecho 1 (0<x1<a1) M = −Rx 

(35)

Trecho 2 (a1<x2<a2)

M = −M + Fx − R(a + x) (36)

Trecho 3 (0<x3<b2)

= − − + + ( − ) + ( − ) (37)

Para a obtenção do cortante, utiliza-se a equação, em cada trecho:

=  

(38)

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18

Com as equações de (33) a (38), chega-se aos seguintes gráficos:

Figura 4 – Diagrama de Momento Flexor ao longo do eixo escalonado

Figura 5 – Diagrama do Esforço Cortante ao longo do eixo escalonado

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19

Como se trata de um eixo circular, o momento de inércia de área é dado por:

= 64  

(39)

Relacionando se o momento de inércia de área , o módulo de elasticidade , o Momento

flexor , tem-se, para cada trecho de diferentes diâmetros do eixo, a seguinte relação:

1

=  

(40)

A figura abaixo mostra ao longo do comprimento do eixo:

Figura 6 – Relação entre e o comprimento do eixo

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20

A relação já foi calculada para cada trecho da viga. Através da equação abaixo, ao

integrá-la uma vez, obtém-se a inclinação da viga = .

Figura 7 – Inclinação do eixo ao longo de seu comprimento

As inclinações são negativas perto da extremidade esquerda do eixo e positivas na

extremidade da direita, já para x aproximadamente igual a 260 mm, a inclinação torna-se nula.

Por isso, para obter-se valores consistentes da inclinação, deve-se igualar as áreas, tanto acima

quanto abaixo do eixo, se estas forem iguais e de sinais opostos, a inclinação será zero.

Após a determinação da inclinação do eixo, é possível o cálculo da deflexão . Desta

forma, calcula-se a área que a inclinação faz com o eixo . Deve-se atentar para o sinal do valor

da área. Desta forma, obtém-se o gráfico de deflexão do eixo ao longo de seu comprimento:

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21

A deflexão máxima é de 0.3255 e ocorre em 267.5 , como se mostra na figura a

seguir:

Figura 8 – Deflexão Máxima ao longo da viga

5.  Conclusões

Como já foi falado anteriormente, em muitas aplicações em engenharia, é

necessário determinar os esforços máximos, inclinações e deflexões que uma peça sofre.

Com estes dados, é possível um dimensionamento correto e uma escolha adequada do

material para a construção de um componente. Com este trabalho, foi possível a análise

da deflexão e inclinação ao longo do eixo, possibilitando-se determinar os pontos mais

críticos. Os resultados aqui obtidos foram comparados aos conseguidos pelo programa

Viga G, executado em uma calculadora gráfica HP 50 G. Tal comparação revelou que os

resultados oferecidos pelo programa escrito em MATLAB, possuem uma grande precisão,

sobretudo pelo grande número de pontos utilizados para os cálculos dos momentos e

esforços cortantes ao longo do eixo, o que favorece a exatidão na determinação da

inclinação e deflexão do eixo.

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22

6.  Anexos

%UFU/FEMEC - GEM 23 - MECÂNICA DOS MATERIAIS APLICADA %CÁLCULO DA DEFLEXÃO FLEXIONAL E INCLINAÇÃO DE UM EIXO ESCALONADO %BI-APOIADO 

clc clear all 

%Valores arbitrários (Valores em mm e N) 

d1 = 35; d2 = 55; d3 = 42.5; a1 = 180; b1 = 500; L = 680; b2 = 230; 

L1 = 220; L2 = 200; L3 = 260; a2 = 450; M1 = 100; M2 = 125 F1 = 1500; F2 = 1200; p = 500; E = 204*10^3; %Módulo de elasticidade do aço, em Mpa = [N/mm²] 

% Cálculo das reações de Apoio 

R2 = (1/L)*(M1+F1*a1+F2*a2-M2) R1 = F1+F2-R2 Mb = -R1*L - M1 + F1*b1 + F2*b2 +M2 

%Cálculo do Momento Fletor e do Esforço Cortante

%Trecho 1 (0<x1<a1) %Trecho 2 (a1<x2<a2) %Trecho 3 (0<x3<b2) 

x1 = linspace(0,a1,p); 

x2 = linspace(a1,a2,p); x3 = linspace(a2,L,p); 

Mt1 = -R1.*(x1); Mt2 = -M1 +F1.*(x2) -R1.*(a1+x2); Mt3 = -R1.*(x3) - M1 + M2 + F1.*(x3-a1) +F2.*(x3-a2); 

Vt1 = R1; Vt2 = -F1 + R1; Vt3 = R1 - F1 - F2; 

figure(1) plot(x1,-Mt1,x2,-Mt2,x3,-Mt3) grid on xlabel('comprimento do eixo em [mm]') 

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ylabel('Momento Flexor [N.mm]') 

figure(2) plot([0 a1 a1 a2 a2 L ],[Vt1 Vt1 Vt2 Vt2 Vt3 Vt3]) grid on xlabel('comprimento do eixo em [mm]') 

ylabel('Esforço Cortante [N]') 

%Momentos fletores calculados pelo método das áreas 

A1 = R1*a1; A2 = (R1-F1)*(a2-a1); A3 = (R1 - F1 - F2)*b2; 

Mf1 = A1; Mf2 = A1- M1; Mf3 = A1 + A2 - M1; Mf4 = A1 + A2 - M1 + M2; 

%Momentos onde há variação do diâmetro 

AL1=(R1 - F1)*(L1-a1); ML1=A1-M1+AL1; AL2=(R1-F1)*(L1+L2-a1); ML2=A1-M1+AL2; 

%Cálculo dos Momentos de Inércia de área [mm^4] 

I1=pi*d1^4/64; I2=pi*d2^4/64; I3=pi*d3^4/64; 

%Determinação do raio de curvatura 

r1=Mf1/(E*I1); r2=Mf2/(E*I1); rL1=ML1/(E*I1); rL11=ML1/(E*I2); rL2=ML2/(E*I2); rL22=ML2/(E*I3); r3=Mf3/(E*I3); r4=Mf4/(E*I3); 

figure(3) plot([0 a1 a1 L1 L1 L1+L2 L1+L2 a2 a2 L],[0 r1 r2 rL1 rL11 rL2 rL22 r3 r4 0]); grid on xlabel('Comprimento do eixo em [mm]') ylabel('1/p - [1/mm]') 

% Cálculo da Inclinação - Integração - Cálculo das Áreas (dy/dx) 

c1=polyarea([0 a1 a1 0],[0 r1 0 0]); c2=polyarea([0 a1 a1 L1 L1 0],[0 r1 r2 rL1 0 0]); c3=polyarea([0 a1 a1 L1 L1 L1+L2 L1+L2 0],[0 r1 r2 rL1 rL11 rL2 0 0]); c4=polyarea([0 a1 a1 L1 L1 L1+L2 L1+L2 a2 a2 0],[0 r1 r2 rL1 rL11 rL2 rL22 r3 00]); 

c5=polyarea([0 a1 a1 L1 L1 L1+L2 L1+L2 a2 a2 L 0],[0 r1 r2 rL1 rL11 rL2 rL22 r3r4 0 0]); 

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t=3000; n=linspace(c2,c3,t); l=linspace(L1,L1+L2,t); for i=1:t neg(i)=polyarea([0 a1 L1 l(i) 0 0],[0 c1 c2 n(i) n(i) 0]-n(i)); 

pos(i)=polyarea([0 L1+L2-l(i) a2-l(i) L-l(i) L-l(i) 0],[n(i) c3 c4 c5 n(i) n(i)]-n(i)); pause(0.001) end w=find(abs(pos-neg)==min(abs(pos-neg)));  c=[c1 c2 c3 c4 c5]-n(w); 

figure(4) plot([0 a1 L1 L1+L2 a2 L],[-n(w),c]) grid on; xlabel('Comprimento do eixo em [mm]') ylabel('Inclinação : teta = (dy/dx)') 

%Determinação da Deflexão 

d1=polyarea([0 a1 a1 0],[-n(w) c1-n(w) 0 0]); d2=polyarea([0 a1 L1 L1 0],[-n(w) c1-n(w) c2-n(w) 0 0]); d3=polyarea([0 a1 L1 l(w) 0],[-n(w) c1-n(w) c2-n(w) 0 0]); d4=polyarea([0 L1+L2-l(w) L1+L2-l(w)],[0 c3-n(w) 0]); d5=polyarea([0 L1+L2-l(w) a2-l(w) a2-l(w)],[0 c3-n(w) c4-n(w) 0]); d6=polyarea([0 L1+L2-l(w) a2-l(w) L-l(w) L-l(w)],[0 c3-n(w) c4-n(w) c5-n(w) 0]); 

figure(5) 

plot([0,a1,L1,l(w),L1+L2,a2,L],[0,-d1,-d2,-d3,-d3+d4,-d3+d5,-d3+d6])  grid on xlabel('Comprimento do eixo em [mm]') ylabel('Deflexão do eixo[mm]') 

Bibliografia

[1] - Shigley, Joseph E. – Projeto de Engenharia Mecânica, Bookman, 2005

[2] – http://www.professores.uff.br/salete/res1/aula10.pdf [3] – http://www.set.eesc.usp.br/.../Tabela%203%20Deflexao%20de%20vigas.pdf 

[4] – http://www.mea.pucminas.br/perrin/.../texto003-deflexaodevigas.pdf 

[5] – http://www.uff.br/petmec 

OBS: As páginas da web foram acessadas entre os dias 20 e 23 de Junho