UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE INFORMTICA E DE ESTATSTICA

Trabalho N 3 - sobre

A equao de estado de Beattiegases reais, como o ar, por exemplo

Onde Ao1 , B Bo1 m3/kmol, T a temperatura dada em K (kPa.m3)/(kmol.K) = 8,314 (J)/(mol.K)

, . . 1

. . Renomeando as incgnitas como

, . . 1 . .

Estas constantes Ao, a, Bo, b e c dacomo toda medio experimental possui erros "inerentes", ento procedemos uma srie de 'm' medies com o intuito compensar os consideradas m=20 medies efetivas, depois de descartadas algumas, para a determinao dos 5 parmetros do gs, conforme segue:

v=[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 19 20]

T=[ 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000]

P=[ 702.85 815.64 829.18 832.64 833.76 834.11 834.18 834.13 834.03 833.91 833.79 833.68 833.57 833.47 833.37 833.28 833.20 833.12 833.05 832.99]

Se tivessemos 5 pontos obtidos com "exatido", poderamos substituiBeattieBridgman, gerando 5 equaes no lineares, e detprocesso de interpolao (procedimento que serve para determinar os valores iniciais dos coeficientes), mas ao invs dissopela repetio do experimento. Assim, vamos usar o mtodo de ajuste dos parmetros xminimizao do desvio quadrtico entre calculado em cada ponto (v(k),T(k))Ento a funo desvio total quadrtico

, , , !, " $.%&'& . (&)

Para determinar os parmetros x(i)derivando D em relao cada x(i) e igualando a zero

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sobre ajuste de curvas com parmetros No LinearesBeattieBridgman permite relacionar propriedades termodinmicas de

, por exemplo:

*, P a presso dada em kPa, v o volume molar dado em mol, T a temperatura dada em K e R a constante universal dos gases ideais dada por

314 (J)/(mol.K). + ,- 1 ./

01 . 1

2

Renomeando as incgnitas como um vetor x(i): x1=Ao, x2=a, x3=Bo, x4=b e x5 + 33 1 5 /

6 . 1

7

s constantes Ao, a, Bo, b e c da equao de estado so baseadas em dados experimentaiscomo toda medio experimental possui erros "inerentes", ento procedemos uma srie de 'm' medies com o intuito compensar os erros de uma medida para outra. Nesse exemplo, sero

medies efetivas, depois de descartadas algumas, para a determinao dos 5 parmetros do gs, conforme segue:

v=[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

T=[ 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000]

P=[ 702.85 815.64 829.18 832.64 833.76 834.11 834.18 834.13 833.91 833.79 833.68 833.57 833.47 833.37 833.28

833.20 833.12 833.05 832.99]

5 pontos obtidos com "exatido", poderamos substitui-los diretamenteBridgman, gerando 5 equaes no lineares, e determinando os 5 parmetros

(procedimento que serve para determinar os valores iniciais dos isso temos m=20 experimentais, que podem compensar os seus erros

, vamos usar o mtodo de ajuste dos parmetros x1=Ao, x2=a, xminimizao do desvio quadrtico entre , . . 1

. . + 33

calculado em cada ponto (v(k),T(k)), e o valor efetivamente medido de P(k), k=1Ento a funo desvio total quadrtico D, definida pela eq. (2) abaixo:

8"'&.%& . '& + 8 8!'&/

8'& .

x(i), vamos obter o ponto crtico de D em relao a derivando D em relao cada x(i) e igualando a zero:

No Lineares.

permite relacionar propriedades termodinmicas de

(1) Pa, v o volume molar dado em

tante universal dos gases ideais dada por 8,314

5=c, temos:

em dados experimentais, mas como toda medio experimental possui erros "inerentes", ento procedemos uma srie de 'm'

erros de uma medida para outra. Nesse exemplo, sero medies efetivas, depois de descartadas algumas, para a determinao dos 5

v=[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

T=[ 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000]

P=[ 702.85 815.64 829.18 832.64 833.76 834.11 834.18 834.13 833.91 833.79 833.68 833.57 833.47 833.37 833.28

diretamente na eq. (1) de erminando os 5 parmetros fazendo um

(procedimento que serve para determinar os valores iniciais dos experimentais, que podem compensar os seus erros

=a, x3=Bo, x4=b e x5=c pela 3 1 5 /

6 . 1

7 ,

e o valor efetivamente medido de P(k), k=1:m.

8'& 9&

(2)

, vamos obter o ponto crtico de D em relao a cada x(i), i=1:5,

::8 . $.%(&)'(&) . 8"'(&).%(&) . '(&) + 8 8!'(&)/ 8'(&) . 8'(&) 9(&)

. ; '(&) . (&)8'(&)< = = (3) ::8 = . $.%(&)'(&) . 8"'(&).%(&) . '(&) + 8 8!'(&)/ 8'(&) . 8'(&) 9(&)

. ; 8'(&) . = (&)

'(&)< = = (4) ::8 = . $.%(&)'(&) . 8"'(&).%(&) . '(&) + 8 8!'(&)/ 8'(&) . 8'(&) 9(&)

. $.%(&)'(&) . (&)8"'(&).%(&) . = + 8!'(&)/ = = (5) ::8! = . $.%(&)'(&) . 8"'(&).%(&) . '(&) + 8 8!'(&)/ 8'(&) . 8'(&) 9(&)

. $.%(&)'(&) . (&)8"'(&).%(&) . = + 8 = '(&)/ = = (6) ::8" = . $.%(&)'(&) . 8"'(&).%(&) . '(&) + 8 8!'(&)/ 8'(&) . 8'(&) 9(&)

. $.%(&)'(&) . = (&)'(&).%(&) . '(&) + 8 8!'(&)/ = = (7)

Ento, determine , , , !, ", resolvendo as 5 equaes no lineares abaixo: >(, , , !, ") = $.%(&)'(&) . 8(")'(&).%(&) . '(&) + 8( ) 8(!)'(&)/ 8()'(&) . 8()'(&) (&)9(&) . ; '(&) . 8()'(&)? = = (8) >(, , , !, ") = $.%(&)'(&) . 8"'(&).%(&) . '(&) + 8 8!'(&)/ 8'(&) . 8'(&) (&)9(&) . ; 8'(&) . = '(&)? = = (9) > (, , , !, ") = $.%(&)'(&) . 8"'(&).%(&) . '(&) + 8 8!'(&)/ 8'(&) . 8'(&) (&)9(&) . $.%(&)'(&) . 8"'(&).%(&) . = + 8!'(&)/ = = (10) >!(, , , !, ") = $.%(&)'(&) . 8"'(&).%(&) . '(&) + 8 8!'(&)/ 8'(&) . 8'(&) (&)9(&) . $.%(&)'(&) . 8"'(&).%(&) . = + 8 = '(&)/ = = (11) >"(, , , !, ") = $.%(&)'(&) . 8"'(&).%(&) . '(&) + 8 8!'(&)/ 8'(&) . 8'(&) (&)9(&) . $.%(&)'(&) . = '(&).%(&) . '(&) + 8 8!'(&)/ = = (12)

Sugesto, aplique o Mtodo de Newton, com derivadas calculadas numericamente, para resolver as equaes acima. Cada equao um somatrio de termos que pode ser calculado dentro de uma function, como por exemplo para f1: function y=@1(A, x, R, P, v, T) G =0;

for k=1:m y = y + (((R*T(k)/(v(k)*v(k)))*(1-x(5)/(v(k)*T(k)*T(k)*T(k)))*(v(k)+x(3)*(1-x(4)/v(k))))-x(1)/(v(k)*v(k))*(1-x(2)/v(k))-P(k))*(-1/(v(k)*v(k))*(1-x(2)/v(k))); end

end

Demais funes em linguagem octave: f2: y = y + (((R*T(k)/(v(k)*v(k)))*(1-x(5)/(v(k)*T(k)*T(k)*T(k)))*(v(k)+x(3)*(1-x(4)/v(k))))-x(1)/(v(k)*v(k))*(1-x(2)/v(k))-P(k))*(-x(1)/(v(k)*v(k))*(-1/v(k))); f3: y = y + (((R*T(k)/(v(k)*v(k)))*(1-x(5)/(v(k)*T(k)*T(k)*T(k)))*(v(k)+x(3)*(1-x(4)/v(k))))-x(1)/(v(k)*v(k))*(1-x(2)/v(k))-P(k))*(((R*T(k))/(v(k)*v(k)))*(1-x(5)/(v(k)*T(k)*T(k)*T(k)))*(1-x(4)/v(k))); f4: y = y + (((R*T(k)/(v(k)*v(k)))*(1-x(5)/(v(k)*T(k)*T(k)*T(k)))*(v(k)+x(3)*(1-x(4)/v(k))))-x(1)/(v(k)*v(k))*(1-x(2)/v(k))-P(k))*(((R*T(k))/(v(k)*v(k)))*(1-x(5)/(v(k)*T(k)*T(k)*T(k)))*(-x(3)/v(k))); f5: y = y + (((R*T(k)/(v(k)*v(k)))*(1-x(5)/(v(k)*T(k)*T(k)*T(k)))*(v(k)+x(3)*(1-x(4)/v(k))))-x(1)/(v(k)*v(k))*(1-x(2)/v(k))-P(k))*((R*T(k))/(v(k)*v(k)))*(-1/(v(k)*T(k)*T(k)*T(k)))*((v(k)+x(3))*(1-x(4)/v(k))); Calcule no final o desvio quadrtico total mdio, eq. (2), entre os valores das Presses P(v,T) obtidas com a eq. (1), usando Tk, vk e os parmetros obtidos x(i), em relao aos m=20 pontos Pk experimentais.

Determine os 5 valores finais de x, incgnitas Ao, a, Bo, b e c (format long), com Erro=max(|x(i)./x(i)|)10-3 (erro relativo, por que as incgnitas tem magnitudes muito diferentes entre si -> dif=max(abs(dx./x))), limite de passos 500. Se o erro oscilar, subir e descer, adote um fator de sub-relaxao/amortecimento em dx(i), que pode ser como 0.01 (x=xi.+0.01.*dx), fator forte de amortecimento. Adote valores iniciais de dx=0.01.*x, para os clculos das derivadas numricas. Teste os 4 valores iniciais sugeridos abaixo, relate os resultados para a convergncia ou se no convergiu e determine: - o nmero de iteraes necessrias; - o desvio quadrtico total mdio, eq. (2) e - o valor de cada funo f, eqs. de 8 a 12 (verifique que algumas tem valor absoluto ainda alto). Sugesto: Use operaes artimticas vetoriais, quando for o caso: ./, .*,... Na ausncia de mais informaes, pode-se tentar atribuir valores nulos, ou unitrios como estimativas iniciais para as incgnitas x1=Ao, x2=a, x3=Bo, x4=b e x5=c. Tente valores iniciais: x1=Ao=100, x2=a=0, x3=Bo=0, x4=b=0 e x5=c=10000 ou x1=Ao=100, x2=a=1, x3=Bo=1, x4=b=-1 e x5=c=10000 ou

x1=Ao=102, x2=a=10-2, x3=Bo=10-1, x4=b=-10-3 e x5=c=104 ou Valor interpolado: xi=[131.81 0.019296 0.046101 -0.001126 43296]

(valores obtidos por interpolao exata da eq.(1) em 5 dos m=20 pontos). Soluo exata para o Ar (Baseada em pontos exatos):

Ao a Bo b c

131,8441 0,01931 0,04611 -0,001101 4,34104

http://en.wikipedia.org/wiki/Real_gas#Beattie.E2.80.93Bridgman_model