Transf de calor

-1-

Transmisso de Calor Conveco atural P.J. Oliveira

Departamento Engenharia Electromecnica, UBI,

Agosto 2014

1. Introduo

Na transmisso de calor, conveco natural refere-se transferncia de energia trmica

entre uma superfcie (normalmente slida) e um fluido (gs ou lquido) circundante, em

que o movimento deste resulta unicamente de variaes da sua massa volmica

causadas por variaes de temperatura. Considerando por exemplo uma parede vertical

aquecida, exposta ao ar atmosfrico (sem vento), uma determinada e bem definida

poro de ar, que entre em contacto directo com a parede, ser inicialmente aquecida

por conduo. A temperatura dessa poro de ar torna-se superior temperatura mdia

do ar longe da parede e, por consequncia, a sua massa volmica diminui relativamente

do ar atmosfrico (recorde-se que, para um gs perfeito, / ( )p RT = ). Dessa forma, ficando mais leve, esse pequeno volume de ar ter tendncia a subir (fora de impulso

igual a ( )atm ar quente gV ) gerando-se assim um movimento do ar, ou seja uma corrente de conveco natural ascendente. Por continuidade (conservao da massa) o ar

longe da parede ir descer, fechando o circuito.

Nmeros adimensionais relevantes:

Nmero de Grashof: 3

2

g TLGr

= ou 2 3

2

g TLGr

=

Nmero de Rayleigh: 3g TL

Ra GrPr

= = ou 2 3

/ p

g TLRa

k c

=

Nmero de Prandtl /

/

p

p

cPr

k c k

= = =

O que se pretende obter o coeficiente de transferncia de calor, que aparece tambm

como um nmero adimensional (a varivel dependente):

Nmero de Nusselt: hL

uk

=

As diversas grandezas dimensionais contidas nestes parmetros so:

Q FT T T = [K]: diferena de temperaturas caracterstica (quente menos fria);

L [m]: dimenso caracterstica (por exemplo, comprimento duma placa ao longo

do movimento);

g [m/s2]: acelerao da gravidade (valor tpico na Terra: 9.8 m/s

2);

[1/K]: coeficiente de expanso trmica a presso constante do fluido; / = [m2/s]: viscosidade cinemtica do fluido; / ( )pk c = [m

2/s]: difusividade trmica do fluido;

O coeficiente de expanso trmica definido como o aumento relativo de volume que

resulta de um aumento de temperatura unitrio (mantendo-se a presso constante):

-2-

1

p

V

V T

=

Como /m V = e a massa m conserva-se, tem-se

1

pT

=

Na anlise de conveco natural, esta expresso usualmente aproximada como

0

0 0

1

T T

permitindo calcular variaes de em torno de um valor de referncia 0

( )0 0 0T T = ( )( )0 01 T T = Verifica-se desta expresso que, quando a temperatura aumenta, a massa volmica

diminui; se 0T T= , ento 0 = (os valores de referncia, que podem ser considerados como aqueles existentes longe da superfcie que est a aquecer, ou arrefecer, o fluido).

Os valores de para os lquidos so dados nas tabelas, e para os gases (como o ar) fcil demonstrar, a partir da lei dos gases perfeitos, que 1/T = (T em kelvin).

Uma pequena poro de fluido, com volume V , ligeiramente aquecido relativamente ao

fluido circundante (cujas propriedades sero indicadas com ndice ), est submetida a uma fora ascencional (para cima) igual impulso menos o peso (P). A impulso vem

do princpio de Arquimedes (que alis se obtm directamente das equaes da mecnica

dos fluidos), que diz: um corpo submergido num lquido fica sujeito a uma fora

ascendente igual ao peso do volume de lquido deslocado. Desta forma, a fora de

impulso net aplicada poro de fluido V dada por:

( )impulso net Arquimedes deslocadoF F P P P gV mg gV = = = = A impulso (referindo-se, a partir de agora, ao seu valor net) a fora motriz dos

movimentos de conveco natural no seio dum fluido. Quando a poro de fluido est

quente, tem-se < e a fora para cima; quando est frio, a fora de impulso empurra o fluido para baixo. Com a aproximao anterior, podemos escrever:

( )impulso netF g T T V =

em que se assume direco positiva para cima.

A conveco natural importante em fenmenos da natureza (causa o movimento dos

mares, as correntes ocenicas, os movimentos da atmosfera, quando vistos em grande

escala, etc.), da vida (arrefecimento de um corpo vivo por exemplo, o corpo humano

mesmo na ausncia de vento), e de engenharia (efeito de chamin fumos quentes a

sarem verticalmente para a atmosfera; arrefecimento de componentes electrnicas em

computadores, televises, rdios, etc; arrefecimento em condensadores por exemplo,

atrs de frigorficos). S existe conveco natural se houver gravidade (se 0g = a impulso nula).

As velocidades que ocorrem em escoamentos de conveco natural so pequenas, muito

inferiores s velocidades usuais em escoamentos de conveco forada (quando existe

um ventilador ou uma bomba a mover o fluido). De facto, no possvel atribuir

partida um valor tpico para a escala da velocidade num escoamento de conveco

-3-

natural. Por isso usa-se uma escala difusiva, relacionada com a viscosidade: se uma

dimenso tpica for L [m], um tempo difusivo (relacionado com difuso da quantidade

de movimento por efeitos viscosos) 2 /dift L = [s], logo uma escala de velocidade, de

e Vt= , ser /difu L= [m/s]. Desta forma, o nmero de Grashof, essencial nos problemas de conveco natural (em lugar do nmero de Reynolds da conveco

forada), pode ser interpretado fisicamente como:

Nmero de Grashof: 3 3

22

( / ) dif

Fora Impulso g TV g TL g TLGr

u LForas ViscosasLA

LL

= = = =

Quanto maior for o nmero de Grashof, maior o efeito das foras de impulso que

geram a conveco natural, relativamente s foras de viscosidade que tendem a opor-se

ao movimento.

2. Escoamentos exteriores (camada limite)

Placa plana (geral): ( )nu C GrPr=

( 14

n = laminar, 910Ra < ; 13

n = turbulento, 910Ra > )

Conveco natural sobre placa isotrmica vertical:

Fluido Regime usselt Gama Ra Gama Pr

Gs ou

lquido

Estagnado 1u = 410< -

Laminar 1/ 40.59u Ra= 4 910 10 -

Turbulento 1/30.10u Ra= 9 1310 10 -

Geral

( )

2

1/6

8/ 279/16

0.3870.825

1 0.492 /

Rau

Pr

= ++

1 1310 10

-

Laminar, mais

precisa

( )

1/ 4

4 / 99 /16

0.6700.68

1 0.492 /

Rau

Pr

= ++

1 9

10 10 -

(dimenso caracterstica L H= altura da placa; propriedades a 0.5( )f s

T T T

= + )

Conveco natural sobre placa isotrmica inclinada:

Frmula idntica anterior, com cosg g , ngulo com a vertical ( 60 ), e 910Ra .

Conveco natural sobre placa isotrmica horizontal:

Configurao Regime usselt Gama Ra Gama Pr

Placa horizontal aquecida

virada para cima (ou

arrefecida, para baixo)

Estagnado 1u = 410< -

Laminar 1/ 40.54u Ra= 4 710 10 -

Turbulento 1/30.15u Ra= 7 1110 10 -

Placa horizontal aquecida

virada para baixo (ou

arrefecida, para cima)

Laminar 1/ 40.27u Ra= 5 1110 10 -

(dimenso caracterstica /L A P= , A -rea, P -permetro; propriedades a 0.5( )f s

T T T

= + )

L

Tsqc

u

T%

Placa quente

.

-4-

Conveco natural sobre cilindro horizontal:

( )

2

1/ 6

8 / 279 /16

0.3870.60

1 0.559 /

Rau

Pr

= ++

5 1210 10Ra

(dimenso caracterstica L D= ; propriedades a f

T )

Conveco natural sobre cilindro vertical:

Mesmas frmulas que placa plana vertical, desde que 1/435 /D H Gr . A dimenso caracterstica a altura do cilindro, L H= .

Conveco natural sobre esfera:

( )

1/4

4/99/16

0.5892

1 0.469 /

Rau

Pr

= ++

1110Ra ; 0.7Pr

(dimenso caracterstica 12

L D= ; propriedades a f

T )

Frmulas aproximadas para ar ( 1atm

p = atm) com:

1/ 4

( / )h C T L= (laminar) ou 1/3( )h C T= (turbulento)

Geometria L C Gr C Gr

laminar turbulento

Placa ou cilindro vertical H 1.42 104-10

9 1.31 10

9-10

13

Cilindro horizontal D 1.32 104-10

9 1.24 10

9-10

12

Placa horizontal, face

aquecida para cima

4A/P 1.32 104-10

7 1.52 10

7-10

10

Placa horizontal, face

aquecida para baixo

4A/P 0.59 105-10

10 - -

Esfera D 1.92 - -

Pequenos componentes,

arames

H 3.53 - -

Placa vertical com

componentes integrados

H 2.44 - -

Nota: para outras presses: 1 / 2

( / )atm

h p p (laminar); 2 / 3

( / )atm

h p p (turbulento).

3. Escoamentos interiores em recintos fechados

Em geral, tem-se:

hu

k

=

kh u

=

em que a separao entre as superfcies aquecidas 1 e 2, e a diferena de temperaturas caracterstica 1 2T T T = . A taxa de transferncia de calor obtm-se de:

( ) 1 21 2( )efk

T TQ hA T T k u A

= =

(W) T1

H

T2

Q.

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em que k u pode ser visto como uma condutibilidade trmica efectiva da cavidade. A rea superficial efectiva de troca de calor A depende da geometria. Num recinto

paralelipipdico, ser a rea da seco transversal rectangular entre as superfcies 1 e 2,

dada por altura (H) vezes comprimento (ou profundidade W) do recinto.

Recinto rectangular vertical ( H )

Fluido Regime usselt Gama Ra Gama Pr Gama H/ Gs ou

lquido

Estagnado 1

32 10< -

Gs

Laminar

1/9

1/ 40.197

Hu Ra

=

3 5

2 10 2 10 0.5 2 11 42

Turbulento

1/9

1/30.073

Hu Ra

=

5 7

2 10 2 10 0.5 2 11 42

Lquido Laminar

0.3

1/ 4 0.0120.42

Hu Ra Pr

=

4 7

10 10 41 2 10 10 40

Turbulento 1/30.046u Ra= 6 910 10 1 20 1 40

(dimenso: L = , largura; propriedades a 1 2

0.5( )mT T T= + )

Recinto rectangular inclinado de ( H ) Mesmas frmulas com cosg g no clculo de Ra, desde que

20 .

Recinto rectangular horizontal (H )


Gs ou lquido Aquecido em

cima

1 - -

Aquecido em

baixo:

Gs ou lquido Estagnado 1 31.7 10< -

Gs

Sub-laminar 0.40.059u Ra= 3 31.7 10 7 10 0.5 2

Laminar 1/ 40.212u Ra= 3 57 10 3.2 10 0.5 2

Turbulento 1/30.061u Ra= 53.2 10> 0.5 2

Lquido

Sub-laminar 0.60.012u Ra= 3 31.7 10 6 10 1 5000

Laminar 0.20.375u Ra= 3 46 10 3.7 10 1 5000

Transio 0.30.130u Ra= 4 83.7 10 10 1 20

Turbulento 1/30.057u Ra= 810> 1 20

(dimenso: L = , largura; propriedades a 1 2

0.5( )mT T T= + )

Cilindros horizontais concntricos ( l )


Gs ou lquido Laminar 0.290.11u Ra= 3 66.3 10 10 1 5000

Gs ou lquido Turbulento 0.200.40u Ra= 6 810 10 1 5000

T2

T1 H

Q.

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(dimenso:2 1

L R R= = , espaamento entre cilindros; rea de troca de calor

2 1 2 12 ( ) / ln( / )A l R R R R= ; propriedades a

1 20.5( )

mT T T= + ).

Esferas concntricas ( 2 1R R = )


Gs ou lquido Laminar 0.2260.228u Ra= 2 910 10 0.7 4000

(dimenso: 2 1

L R R= = , espaamento entre esferas; rea de troca de calor 1 2

4A R R= ; propriedades

a 1 2

0.5( )mT T T= + )

4. Conveco natural em alhetas Para facilitar o arrefecimento de componentes electrnicos usual aplicar-se sobre o

substrato desses componentes um dispositivo constitudo por um conjunto de alhetas

lamelares fixadas numa base metlica. O arranjo mais comum de alhetas

rectangulares, de altura L, comprimento H e espessura e, espaadas duma distncia S, e

aplicadas numa base de rea L W . O nmero total de alhetas /( ) /n W S e W S= + . A quantidade de calor dissipada por unidade de tempo, pelo conjunto das n alhetas,

( 2 )( )sQ hA T h n LH T T= =

em que sT a temperatura da superfcie e T a temperatura do ar ambiente longe do

mdulo com alhetas. O factor 2 surge porque cada alheta rectangular transfere calor

pelas duas faces. Para aumentar a taxa de calor transferido, aumenta-se o nmero de

alhetas aplicadas numa base de largura especificada W, o que equivale a diminuir o

espaamento entre alhetas S. No entanto, quando o espaamento demasiado pequeno,

o movimento do ar por conveco natural entre alhetas torna-se mais difcil, resultando

em velocidades de ar mais baixas e consequente reduo do coeficiente convectivo h.

Este argumento mostra que dever existir um valor ptimo do espaamento entre

alhetas, que se demonstra ser: 1/ 42.714 /optS L Ra=

com o nmero de Rayleigh baseado na altura (segundo a vertical) das alhetas L. Para

esse espaamento ptimo, o coeficiente convectivo dado por:

1.31 /opt opth k S=

em que k a condutibilidade trmica do ar (propriedades calculadas temperatura

mdia 0.5( )sT T+ ).

Exemplo 1- Calcular o coeficiente de transmisso de calor e o calor transferido de uma

parede com 4 m de altura e 10 m de largura, cuja temperatura 60 C, exposta a ar

atmosfrico (presso = 1 atm) a 10 C.

A temperatura mdia, ou temperatura de filme,

60 1035

2 2

sf

T TT

+ += = = C =308 K.

Para esta temperatura, obtm-se das tabelas as propriedades relevantes do ar: 51.655 10 = m2/s; 0.7268Pr = ; 0.02625k = W/(m K);

31/ 3.247 10T = = 1/K

-7-

A dimenso caracterstica a altura da parede, 4L = m, e a diferena de temperaturas caracterstica 50T = C. O nmero de Grashof dado por:

3 311

5 2

9.8 3.247 10 50 43.717 10

(1.655 10 )Gr

= =

e o nmero de Rayleigh 11 113.717 10 0.7268 2.702 10Ra Gr Pr= = = .

Como Ra superior a 109, trata-se de conveco natural turbulenta numa placa plana

vertical. Usando primeiramente a correlao mais simples, obtm-se: 1/3 11 1/30.10 0.10 (2.702 10 ) 646.5u Ra= = =

pelo que o coeficiente convectivo vem:

hLu

k=

646.5 0.026254.24

4

ukh

L

= = = W/(m2 K)

Repare-se que se trata de um valor baixo e que, para conveco turbulenta, o valor de h

no depende da dimenso L. Nas aplicaes prticas usam-se tipicamente valores da

ordem dos 10 W/(m2 K), o que se justifica porque, ao coeficiente convectivo, se deve

somar um coeficiente radiativo. Para conveco natural simples, a taxa de calor :

( ) 4.24 (4 10) 50 8480sQ hA T T= = = W 8.5 kW. Vamos refazer o clculo usando a correlao mais complexa para o Nusselt,

( )

2

1/6

8/279/16

0.3870.825

1 0.492 /

Rau

Pr

= + +

( )

2

11 1/6

8/279/16

0.387 (2.702 10 )0.825 726.6

1 0.492 / 0.7268

= + = +

Logo

726.6 0.026254.77

4

ukh

L

= = = W/(m2 K) (cerca de 12% superior)

e

( ) 4.77 (4 10) 50 9536sQ hA T T= = = W 9.5 kW. Verifica-se que podem ocorrer variaes da ordem dos 10% nos coeficientes h

calculados atravs de correlaes diferentes, sobretudo quando os valores destes

coeficientes convectivos so pequenos.

Exemplo 2 Calcular a taxa de transferncia de calor num espao vertical repleto de ar,

entre duas placas quadradas de 0.5 m de lado, separadas por 15 mm, estando uma das

placas a 100 C e a outra a 40 C.

As propriedades fsicas do ar so obtidas das tabelas para a temperatura mdia

1 20.5( ) 0.5 (100 40) 70mT T T= + = + = C 343= K: 51.995 10 = m2/s; 0.7177Pr = ; 0.02881k = W/(m K);

31/ 1/ 343 2.915 10T = = = 1/K

O nmero de Grashof para o espao paralelipipdico vertical, baseado na sua espessura

e para uma diferena de temperaturas de 1 2( ) 60T T T = = C,

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3 34

5 2

9.8 2.915 10 60 0.0151.454 10

(1.995 10 )Gr

= =

e o nmero de Rayleigh 4 41.454 10 0.7177 1.043 10Ra Gr Pr= = = .

Para ar, esta magnitude de Ra corresponde a conveco natural laminar, com o nmero

de Nusselt dado pela expresso 1/ 4 1/90.197 ( / ) 1.348u Ra H = =

em que / 50 /1.5 33.33H = = a relao altura/espessura da cavidade. Como u pode ser interpretado como uma condutibilidade trmica efectiva a dividir pela

condutibilidade real, temos que a transferncia de calor na cavidade se faz a uma taxa

34.8% superior a que ocorreria por conduo pura. A taxa de calor dada por:

21 2( ) 600.02881 1.348 0.5 38.90.015

T TQ kuA

= = = W.

Verifica-se que a transferncia de calor pequena, e portanto o espao fechado de ar

actua como um isolamento efectivo. Se no houvesse conveco natural nesse espao, o

efeito de isolamento trmico seria ainda maior.

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Captulo 6 Conveco natural

Exerccios:

1) Um cano de gua quente (dimetro 6 cm, comprimento 8 m) atravessa

horizontalmente uma sala a 22 C. Se a temperatura da superfcie do cano for 65

C e a emissividade do material 0.8, calcular a taxa de calor perdido por: a)

conveco; b) radiao. Resp: 382 W e 295 W.

2) Uma placa quadrada de 0.8 x 0.8 m a 60 C est emergida em ar ambiente a 20

C. Considerando que uma das faces da placa est isolada, calcular a taxa de

calor transferido pela outra face se a orientao for: a) vertical; b) horizontal

para cima; c) horizontal para baixo. Resp: 101.5 W, 124.5 W, 55.0 W.

3) Um transstor de potncia (180 mW), de forma cilndrica (4 mm dimetro; 4.5

mm comprimento) est montado horizontalmente numa parede, com ar ambiente

a 35 C. A emissividade da superfcie do transstor 0.1 e as paredes da sala

esto a 25 C. Calcular a temperatura superficial do transstor. Resp: 183 C.

4) Uma panela cilndrica com 25 cm dimetro contm gua a ferver (100 C) at

uma altura de 12 cm. Considerando que a superfcie exterior lateral da panela

est a 98 C e tem emissividade 0.95, e que a temperatura ambiente 25 C,

calcular a potncia calorfica perdida pela superfcie lateral por: a) conveco; b)

radiao. Obter ainda a percentagem do calor perdido por conduo pelas

paredes da panela em relao ao calor perdido por evaporao, sabendo que se

evaporam 2 kg de vapor por hora. Resp: 46.6 W, 56.1 W, 8.5 %.

5) Calcular os coeficientes convectivos exterior e interior duma lata de refrigerante

a 3 C quando a temperatura do ar exterior 25 C. Dimenses da lata: 6 cm

dimetro x12.5 cm altura. Lquido com propriedades semelhantes gua. Resp:

5.5 W/m2 C.

6) Um colector solar plano est colocado horizontalmente num telhado. O colector

tem dimenses 1.5 m x 6 m e as temperaturas da sua superfcie e do ar ambiente

so 42 C e 15 C. Calcular o calor perdido por conveco e radiao. Resp:

1297 e 2920 W.

7) Calcular a temperatura superficial de um circuito electrnico impresso (PCB)

que dissipa uma potncia de 8 W. O ar ambiente est a 20 C e o circuito est

implementado numa placa com 15x20 cm, com emissividade 0.8. Considerar

arranjo vertical, horizontal para cima e para baixo. Resp: 46.0 C, 41.6 C, 51.0

C.

8) Uma janela de vidro duplo com dimenses 1.2 (altura) x 2 (largura) m e

espessura entre vidros 2.5 cm, tem temperaturas interiores de cada vidro 18 C e

5 C. A emissividade efectiva entre os vidros 0.82. Calcular a taxa de calor

transferida por: a) conveco natural; b) radiao; c) condutibilidade trmica

efectiva. Resp: 49.2 W, 133.7 W, 0.146 W/m K.

9) Duas esferas com dimetros 15 cm e 25 cm contm ar a 1 atm As temperaturas

da cada casca esfrica so 350 K e 275 K. Obter o calor trnasferido por

conveco. Resp: 22.7 W.

10) Um painel solar com largura x altura igual a 2 x 3 m tem um espao de ar com

espessura 3 cm, estando isolado na superfcie traseira. Considerando que as

temperaturas do vidro e da superfcie absorvedora so 32 C e 80 C, calcular o

calor perdido por conveco quando o ngulo que o painel faz com a horizontal

0, 20 e 90. Resp: 953 W, 938 W, 556 W.

11) Um colector solar artesanal feito com uma mangueira preta, dimetro 1.6 cm a

65 C, e um plstico cilndrico envolvente com dimetro 5 cm. A temperatura do

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ar 26 C. Calcular o calor perdido pela gua, por conveco natural e metro de

mangueira, e a temperatura do plstico. Resp: 6.7 W, 35.5 C.

12) Um dissipador de calor de alumnio tem uma superfcie de 7.62 x 9.68 cm e

dispe e 6 alhetas rectangulares, com 1.52 cm de comprimento de 1.45 cm de

espaamento, havendo um espaamento central de 3.17 cm onde um transstor

de potncia colocado. A espessura da base da alheta 0.48 cm. Sabendo que o

transstor dissipa 15 W, quando a temperatura do ar 22 C e a temperatura da

superfcie do dissipador 120 C, calcular o coeficiente convectivo de transmisso

de calor. Resp: 7.13 W/m2 K.

13) Uma superfcie plana vertical tem largura x altura = 15.2 cm x 20 cm, e

arrefecida por ar atmosfrico a 25 C. Para aumentar a taxa de arrefecimento

dispe de alhetas rectangulares verticais com dimenses 0.2 x 3 x 20 cm.

Calcular o espaamento ptimo entre alhetas, a o calor dissipado quando a base

est a 80 C. Resp: 7.4 mm, 51.4 W.

Transf de calor

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