CONVECO NATURALcaptulos 7 e 8 consideramos a transferncia de calor por conveco forada quando um fluido foi forado a escoar sobre uma superfcie ou em um tubo por meios externos, como uma bomba ou um ventilador. Neste captulo consideramos a conveco natural, em que qualquer movimento do fluido ocorre por meios naturais, como a flutuao. O movimento de fluidos em conveco forada bastante perceptvel, uma vez que um ventilador ou uma bomba pode transferir quantidade de movimento suficiente para o fluido para mov-lo numa determinada direo. O movimento do fluido em conveco natural, no entanto, muitas vezes no perceptvel devido s baixas velocidades envolvidas. O coeficiente de transferncia de calor por conveco uma forte funo da velocidade: quanto maior a velocidade, maior o coeficiente de transferncia de calor por conveco. As velocidades do fluido associadas conveco natural so baixas, normalmente menos de 1 m/s. Por isso, os coeficientes de transferncia de calor encontrados na conveco natural so normalmente muito menores do que aqueles encontrados na conveco forada, ainda que vrios tipos de equipamentos de transferncia de calor sejam projetados para operar sob ondies de conveco natural em vez de conveco forada, porque a conveco natural no requer o uso de um dispositivo para movimentar o fluido. Comeamos este captulo com uma discusso sobre o mecanismo fsico da conveco natural e o nmero de Grashof Em seguida, apresentamos as correlaes para avaliar a transferncia de calor por conveco natural para diversas geometrias, incluindo superfcies aletadas e espaos internos. Por ltimo, discutimos a conveco forada e natural simultnea.OS

N

OBJETIVOSAo trmino deste captulo voc dever ser capaz de: Entender o mecanismo fsico da conveco natural. Derivar as equaes que regem a conveco natural e obter o nmero adimensional Grashof atravs da adimensionalizao delas. de

Avaliar o nmero de Nusselt para conveco natural associada a placas verticais, horizontais e inclinadas, bem como cilindros e esferas. Examinar a conveco natural a partir de superfcies aletadas e determinar mento timo da aleta. Considerar a conveco natural e forada combinada e avaliar a importncia cada modo. o espaa-

Analisar a conveco natural em espaos internos, como as janelas de painel duplo. relativa de

,

504 CONVEC O NATURAL

9-1

MECANISMO FSICO DA CONVECO NATURAL

Muitas aplicaes familiares envolvem transferncia de calor por conveco natural como o mecanismo principal de transferncia de calor. Alguns

Ar

"de calor ~

OVOQUENTE;/" ~

FIGURA 9-1 O resfriamento de um ovo cozido em um ambiente mais frio por conveco natural.

FIGURA 9-2 O aquecimento de uma bebida fria em um ambiente mais quente por conveco natural.

exemplos so o resfriamento dos equipamentos eletrnicos como transistores de potncia, TVs e DVDs; transferncia de calor em radiadores de aquecedores eltricos ou a vapor; transferncia de calor em serpentinas de refrigerao e linhas de transmisso e transferncia de calor de corpos de animais e seres humanos. A conveco natural nos gases geralmente acompanhada por radiao de magnitude comparvel, exceto para superfcies de baixa emissividade. Sabemos que um ovo cozido quente (ou uma batata cozida quente) sobre uma placa eventualmente esfria para a temperatura do ar circundante (Figura 9-1). O ovo resfriado atravs da transferncia de calor por conveco para o ar e por radiao para as superfcies ao redor. Ignorando a transferncia de calor por radiao, o mecanismo fsico do resfriamento de um ovo quente (ou de qualquer objeto quente), em um ambiente mais frio, pode ser explicado da seguinte forma: Logo que o ovo quente exposto ao ar mais frio, a temperatura da superfcie externa da casca do ovo cai um pouco e a temperatura do ar adjacente casca sobe como resultado de conduo de calor a partir da casca para o ar. Portanto, o ovo cercado por uma fina camada de ar mais quente e o calor ento transferido a partir desta camada mais quente para as camadas mais externas do ar. O processo de resfriamento, neste caso, bastante lento, j que o ovo estaria sempre coberto por ar quente e ele no teria nenhum contato direto com o ar mais frio e mais distante. Podemos no notar algum movimento do ar na proximidade do ovo, mas medies cuidadosas indicariam outra coisa. A temperatura do ar adjacente ao ovo mais elevada e, portanto, a sua densidade menor, pois presso constante a densidade de um gs inversamente proporcional sua temperatura. Assim, temos uma situao em que algum gs de baixa densidade, ou "leve", cercado por um gs de alta densidade, ou "pesado", e as leis naturais ditam que o gs leve sobe. Isso no diferente de o leo subir at o topo em um molho de salada de vinagre e leo (j que Pleo < Pvin)' Este fenmeno caracterizado incorretamente pela expresso "calor sobe", o que entendido no sentido de ar aquecido sobe. O espao deixado pelo ar aquecido na proximidade do ovo substitudo por ar mais frio das proximidades e a presena de ar mais frio nas proximidades do ovo acelera o processo de resfriamento. A subida do ar mais quente e o fluxo de ar mais frio para o seu lugar continuam at que o ovo seja resfriado temperatura do ar circundante. O movimento que resulta da substituio contnua do ar aquecido na vizinhana do ovo pelo ar mais frio chamado de corrente de conveco natural e a transferncia de calor que resultado desta corrente de conveco natural chamada de transferncia de calor por conveco natural. Note que, na ausncia das correntes de conveco natural, a transferncia de calor a partir do ovo para o ar em torno seria apenas por conduo e a taxa de transferncia de calor a partir do ovo seria muito menor. A conveco natural to eficaz no aquecimento das superfcies frias em ambientes mais quentes quanto no resfriamento de superfcies quentes em ambientes mais frios, como mostrado na Figura 9-2. Note que a direo do movimento do fluido revertida neste caso. Em um campo gravitacional, existe uma fora lquida que empurra para cima um fluido leve colocado em um fluido mais pesado. A fora ascendente exercida por um fluido em um corpo imerso total ou parcialmente nele chamada

505CAPTULO 9

de fora de empuxo. A magnitude fluido deslocado pelo corpo. Isto ,

da fora de empuxo

igual ao peso do(9-1)

Femp = PlIuido gVcorpo

onde Ptluid a densidade mdia do fluido (e no do corpo), g a acelerao gravitacional e Vcorpo o volume da parte do corpo imerso no fluido (para corpos completamente imersos no fluido, o volume total do corpo). Na ausncia de outras foras, a fora vertical resultante agindo em um corpo a diferena entre o peso do corpo e a fora de empuxo. Isto ,Fres = W Femp PlIuido gVcorpo

= PcorpogVcorpo = (Pcorpo -

(9-2)

PlIuido) gVcorpo

Note que esta fora proporcional diferena de densidade do fluido e do corpo imerso nele. Assim, um corpo imerso em um fluido experimentar uma "perda de peso" de um montante igual ao peso do fluido que desloca. Isso conhecido como princpio de Arquimedes. Para se ter um melhor entendimento do efeito do empuxo, considere um ovo caindo na gua. Se a densidade mdia do ovo maior do que a densidade da gua (um sinal de frescura), o ovo se deposita no fundo do recipiente. Caso contrrio, ele sobe para o topo. Quando a densidade do ovo igual densidade da gua, ele se deposita em algum lugar na gua, permanecendo totalmente submerso, agindo como um "objeto sem peso" no espao. Isso ocorre quando a fora de empuxo para cima agindo no ovo equivale ao peso do ovo, que atua para baixo. O efeito do empuxo tem profundas repercusses na vida. Por um lado, em empuxo, a transferncia de calor entre uma superfcie quente (ou fria) e o fluido ciccaaaeace seda [lar cortdcio em vez de [lar caavecda nararalo As correntes de conveco natural encontradas nos oceanos, lagos e na atmosfera devem a sua existncia ao ernpuxo de flutuao. Alm disso, barcos leves, assim como pesados navios de guerra feitos de ao, flutuam obre a gua por causa do empuxo de flutuao (Figura 9-3). Os navios o concebidos com base no princpio de que todo o seu peso e o seu contedo so iguais ao peso da gua que o volume submerso do navio pode onter. O "efeito chamin", que induz o fluxo ascendente de gases quentes da combusto atravs de uma chamin, tambm devido ao efeito do empuxo de flutuao e a fora ascendente agindo nos gases na chamin roporcional diferena entre a densidade dos gases quentes na chamin ~ do ar externo mais frio. Observe que no h gravidade perceptvel no = pao e, portanto, no pode haver transferncia de calor por conveco natural em uma nave espacial, mesmo quando a nave espacial est cheia __ ar atmosfrico. e Em estudos de transferncia de calor, a principal varivel a temperatura ~ desejvel expressar a fora de empuxo lquido (Equao 9-2) em termos diferenas de temperatura. Mas isso exige que se expresse a diferena de cen idade em termos de uma diferena de temperatura, o que exige o conhecimento de uma propriedade que representa a variao da densidade do -:.lido com a temperatura para presso constante. A propriedade que force essa informao o coeficiente de expanso volumtrica {3, definido _ mo (Figura 9-4)

FIGURA 9-3 a fora de empuxo que mantm o navio flutuando na gua (W = Femp para ojetor;f[utuaIIter;j.

I I I

(av)_

aT

P

I I ~

20C 100kPa 1kg(a) Substncia

21C 100 kPa 1 kg com {3alto

(~i)p

I\ 20C 100 kPa 1 kg(b) Substncia

-:

~--~~---;21C 100 kPa 1 kg com {3baixo

FIGURA 9-4 O coeficiente de expanso volumtrica uma medida da alterao do volume de uma substncia com a temperatura presso constante.

506 CONVEC O NATURAL

f3

=~

1

(aV\ aT)

p

=

-r; (a1

p)p

aT

(l/K)

(9-3)

Em estudos de conveco natural, a condio do fluido suficientemente longe da superfcie quente ou fria indicada por um subscrito "infinito" para servir como um lembrete de que este o valor a uma distncia na qual a presena da superfcie no se faz sentir. Em tais casos, o coeficiente de expanso volumtrica pode ser expresso aproximadamente atravs da substituio das quantidades diferenciais pelas diferenas como f3 = oupx - p = pf3(T - T,)

-p t::..T = -p T", _

1 t::..p

1 p.; - P T

(na constante P)

(9-4)

(na constante

P)

(9-5)

onde p ; a densidade e T cc a temperatura do fluido em repouso longe da superfcie. Podemos mostrar facilmente que o coeficiente de expanso volumtrica f3 de um gs ideal (P = p RT) a uma temperatura T equivalente ao inverso da temperatura: f3gs ideal=

1 T

(l/K)

(9-6)

onde T a temperatura termodinmica. Note que um grande valor de f3 para um fluido significa uma grande mudana na densidade com a temperatura e que o produto f3t:J.T representa a frao da mudana do volume de um fluido que corresponde a uma mudana de temperatura t:J.T presso constante. Observe tambm que a fora de empuxo proporcional diferena de densidade, que proporcional diferena de temperatura presso constante. Portanto, quanto maior a diferena de temperatura entre o fluido adjacente a uma superfcie quente (ou fria) e o fluido longe dela, maior ser a fora de empuxo e mais fortes sero as correntes de conveco natural e, portanto, mais elevada ser a taxa de transferncia do calor. A magnitude da transferncia de calor por conveco natural entre uma superfcie e um fluido est diretamente relacionada com a vazo do fluido. Quanto maior a vazo, maior a taxa de transferncia de calor. Na verdade, so as vazes muito elevadas que aumentam os coeficientes de transferncia de calor por ordens de grandeza quando a conveco forada utilizada. Na conveco natural, no so utilizados ventiladores e, por isso, a vazo no pode ser controlada externamente. A vazo, neste caso, estabelecida pelo equilbrio dinmico entre o empuxo de flutuao e o atrito. Como j discutimos anteriormente, a fora de empuxo causada pela diferena entre a densidade do fluido aquecido (ou resfriado) adjacente superfcie e do fluido em tomo dele e proporcional a esta diferena de densidade e ao volume ocupado pelo fluido mais quente. Tambm sabido que sempre que dois corpos em contato (slido-slido, slido-fluido ou fluido-fluido) se movem um em relao ao outro, umafora de atrito se desenvolve na superfcie de contato, na direo oposta ao movimento. Esta fora adversa freia o fluido e, portanto, reduz sua vazo. Sob condies permanentes, o fluxo de ar impulsionado pelo empuxo se estabelece no ponto em que estes dois efeitos se equilibram mutuamente. A fora de atrito aumenta medida que mais e mais superfcies slidas so introduzidas, perturbando seriamente o escoamento e a transferncia de calor. Por esse motivo, os dissipadores de calor com aletas estreitamente espaadas no so adequados para o resfriarnento por conveco natural. A maior parte das correlaes de transferncia de calor por conveco natural baseada em medies experimentais. O instrumento utilizado com freqn-

507CAPTULO 9

ia em experimentos de conveco natural o interjermetro Mach-Zehnder, que mostra as isotermas do fluido na vizinhana de uma superfcie. O princpio de funcionamento dos interfermetros baseado no fato de que, baixa presso, as linhas de temperatura constante para um gs correspondem s linbas de densidade constante e que o ndice de refrao de um gs funo da ua densidade. Por isso, o grau de refrao da luz em algum ponto em um gs uma medida do gradiente de temperatura nesse ponto. Um interfermetro produz um mapa das franjas de interferncia, que pode ser interpretado como linhas de temperatura constante, como mostrado na Figura 9-5. As linhas li-as e paralelas em (a) indicam que o fluxo Iaminar, enquanto os turbilhes e irregularidades em (b) indicam que o fluxo turbulento. ote que as linhas e to mais prximas da superfcie, indicando um gradiente de temperaturamais elevado.(a) Fluxo laminar (b) Fluxo turbulento

9-2 EqUAO DO MOVIMENTO E O NUMERO DE GRASHOFNesta seo derivamos a equao do movimento que rege o escoamento deconveco natural na camada limite larninar. As equaes da conservao da

FIGURA 9-5 Isotermas em conveco natural sobre uma placa quente no ar.

massa e da energia derivadas no Captulo 6 para conveco forada so igualmente aplicveis conveco natural, mas a equao da quantidade de movimento precisa ser modificada para incorporar o empuxo de flutuao. Considere uma placa plana vertical quente imersa em um fluido estaciorio. Assumimos o escoamento de conveco natural como sendo permaente, laminar e bidimensional, e o fluido como sendo newtoniano e com ropriedades constantes, incluindo a densidade, com uma exceo: a diferena de densidade p - p", deve ser considerada, uma vez que esta diferena de densidade entre o interior e o exterior da camada limite que d origem fora de flutuao e sustenta o fluxo. (Isso conhecido como aproximao de Boussinesq.) Consideramos a direo ascendente ao longo placa como sendo x e a direo normal superfcie como sendo y, como mostrado na Figura 9-6. Por isso, a gravidade atua na direo x. Obser-ando que o fluxo se mantm permanente e bidimensional, as componentes em x e y da velocidade dentro da camada limite so u = u(x, y) e v = v(x, y), re pectivamente. Os perfis de velocidade e temperatura para a conveco natural sobre ama placa vertical quente tambm so mostrados na Figura 9-6. Note que, orno na conveco forada, a espessura da camada limite aumenta na direo do escoamento. Ao contrrio da conveco forada, no entanto, a velo-idade do fluido zero na extremidade da camada limite hidrodinmica, sim como na superfcie da placa. Isso esperado uma vez que o fluido m da camada limite est estacionrio. Assim, a velocidade do fluido umenta com a distncia da superfcie, atinge um mximo e diminui pro== essivamente at zero, a uma distncia longe o suficiente da superfcie. _-a superfcie, a temperatura do fluido igual temperatura da placa e diminui de modo gradual at atingir a temperatura do fluido a uma distncia suficientemente longe da superfcie, como mostrado na figura. o caso de superfcies frias, a forma dos perfis de velocidade e temperatura perrnaece a mesma, mas o sentido invertido. Considere um elemento de volume diferencial de altura dx, comprimento dy profundidade unitria na direo z (normal ao papel) para a anlise. As foras gi do neste elemento de volume so mostradas na Figura 9-7. A segunda lei

u=O

Camada limite

Fluido estacionrio a T",

x

FIGURA 9-6 Perfis tpicos de velocidade e temperatura para escoamento de conveco natural ao longo de uma placa vertical quente temperatura T, inserida em um fluido temperatura T00.

508 CONVEC O NATURAL

de Newton do movimento para esse elemento de volume pode ser expressa como(9-7)

onde m = p(dx dy . 1) a massa do fluido dentro do elemento de volume. A acelerao na direo x obtida atravs da utilizao do diferencial total de u(x, y), que du = (8uI8x)dx + (8uI8y)dy, e dividindo por dto Obtemos=

a, FIGURA 9-7 Foras agindo em um elemento de volume diferencial na camada limite de conveco natural sobre uma placa plana vertical.

du = ou dx dt OX dt

+ ou dy = u ou + v ouoy dt OX oy

(9-8)

As foras que atuam sobre o elemento de volume diferencial no sentido vertical so as foras de presso agindo sobre as superfcies superior e inferior, as tenses de cisalhamento atuando nas superfcies laterais (as tenses normais que atuam sobre as superfcies superior e inferior so pequenas e so ignoradas) e a fora da gravidade agindo em todo o elemento de volume. Ento, a fora de superfcie lquida agindo na direo x torna-seF = (OT dY\dx . 1) x

oy)

(oP dx) (dy . 1) - pg(dx . dy . 1) OX(9-9)

= (J-L

\

o2U _ oP - pg\(dx. oi ox J

dy

1)

uma vez que 'T = fJ(8uI8y). Substituindo a Equao 9-8 e 9-9 na Equao 9-7 e dividindo por p . dx dy . 1, teremos na equao da quantidade de movimento na direo xou) p (OU + v uOX oy= J-L -

02U - -oP - pg oi x

(9-10)

A equao da quantidade de movimento na direo x no fluido estacionrio no exterior da camada limite pode ser obtida a partir da relao acima como um caso especial fazendo u = O. Obtemos

et: ax

=

-poog

(9-11)

que simplesmente a relao para a variao da presso hidrosttica em um fluido estacionrio com a altura, tal como esperado. Alm disso, observando que v ~ u na camada limite e, portanto, 8vl8x "'" ul zz: O, e que no existem foras de corpo (incluindo a gravidade) na direo y, o balano de fora nesta direo resulta em 8PI8y = O. Isto , a variao de presso na direo normal superfcie desprezvel e para um dado x a presso na camada limite igual presso no fluido estacionrio. Portanto, P = P(x) = P ",,(x) e 8PI8x = 8P ",,18x = - p""g. Substituindo na Equao 9-10,P (u - + v OX y

OU

ou)

= J-L -

02U + (Poo - p)g oi

(9-12)

O ltimo termo representa a fora lquida ascendente por unidade de volume do fluido (diferena entre a fora de flutuao e peso do fluido). Esta a fora que inicia e sustenta as correntes de conveco. Da Equao 9-5, temos p.; - p = pf3(T - T ",,). Substituindo na ltima equao e dividindo ambos os lados por p fornece a forma desejada da equao da quantidade de movimento em x,U

ou OX +

ou v-ay

=v

o2U oi + gf3(T- T,J

(9-13)

509CAPTULO 9

Esta a equao que governa o movimento do fluido na camada limite devido ao efeito do empuxo de flutuao. Note que a equao da quantidade de movimento envolve a temperatura e, portanto, as equaes da quantidade de movimento e da energia devem ser resolvidas simultaneamente. O conjunto de trs equaes diferenciais parciais (as equaes da continuidade, quantidade de movimento e energia) que governam a conveco natural sobre uma placa vertical isotrmica pode ser reduzido a um conjunto de duas equaes diferenciais ordinrias no lineares atravs da introduo de uma varivel de semelhana. Mas as equaes resultantes ainda devem ser resolvidas numericamente [Ostrach (1953)]. Os leitores interessados so referidos aos livros avanados sobre o tema para discusses detalhadas [por exemplo, Kays e Crawford (1993)].

o nmero

de Grashof

As equaes que regem a conveco natural e as condies de contorno podem ser adimensionalizadas, dividindo todas as variveis dependentes e independentes por quantidades constantes adequadas: todos os comprimentos por um comprimento caracterstico Lc, todas as velocidades por uma velocidade arbitrria de referncia V (que, a partir da definio do nmero de Reynolds, considerada V = ReL v/Lc) e a temperatura por uma diferena de temperatura adequada (que deve ser T, - T00) comou* =!:!:.. V

v*=~ V

e

onde asteriscos so usados para denotar variveis adimensionais. Substituindoos na equao da quantidade de movimento e simplificandou" '" u" u*-+v'-= ox* oy* [gf3(Ts - Too)L~] T* 1 02U* -+--v2 ReI ReL oy*2(9-14)

O parmetro adimensional entre parntesis representa o efeito da conveco natural e chamado de nmero de Grashof Gr.,GrL =

gf3(Ts - T,JL~ ? v-

(9-15)

ondeg = acelerao gravitacional, m/s?

f3 = coeficiente de expanso volumtrica, llK (f3 = lIT para gs ideal) T, = temperatura da superfcie, De T co = temperatura do fluido suficientemente longe da superfcie, De L, = comprimento caracterstico da geometria, m v = viscosidade cinemtica do fluido, m2/s

Superfcie quente

Fluido frio

Mencionamos nos captulos anteriores que o regime de escoamento em conveco forada regido pelo nmero adimensional de Reynolds, que representa a razo entre as foras de inrcia e as foras viscosas agindo sobre o fluido. O regime de escoamento na conveco natural regido pelo nmero adimensional de Grashof, que representa a razo entre afora de empuxo e afora viscosa agindo sobre o fluido (Figura 9-8). O papel realizado pelo nmero de Reynolds em conveco forada desempenhado pelo nmero de Grashof em conveco natural. Como tal, o nmero de Grashof fornece o principal critrio para determinar se o fluxo laminar ou turbulento em conveco natural. Para placas verticais, por exemplo, o nmero

Fora de empuxo de flutuao

FIGURA 9-8 O nmero de Grashof Gr uma medida da importncia relativa dafora de empuxo e dafora viscosa oponente agindo sobre o fluido.

510

CONVECCO NATURAL

de Grashof crtico cerca de 109. Portanto, o regime de escoamento em uma placa vertical toma-se turbulento para nmeros de Grashof superiores a 109 Quando uma superfcie submetida a um escoamento externo, o problema envolve conveco natural e forada. A importncia relativa de cada modo de transferncia de calor determinada pelo valor do coeficiente GrdRei: os efeitos da conveco natural so insignificantes se GrdRei ~ 1, a conveco livre domina e os efeitos da conveco forada so insignificantes se Grd Rei j 1, e ambos os efeitos so importantes e devem ser considerados se GrdRei ~ 1.

9-3

CONVECO NATURAL SOBRE SUPERFCIES

A transferncia de calor por conveco natural em uma superfcie depende da geometria da superfcie, bem como da sua orientao. Ela depende tambm da variao da temperatura da superfcie e das propriedades termofsicas do fluido envolvido. Embora ns compreendamos bem o mecanismo da conveco natural, as complexidades do movimento do fluido tomam muito difcil a obteno de relaes analticas simples para a transferncia de calor atravs da resoluo das equaes que regem o movimento e a energia. Existem algumas solues analticas para a conveco natural, mas tais solues no tm generalidade, uma vez que so obtidas para geometrias simples sob algumas suposies simplificadoras. Por isso, com exceo de alguns casos simples, as relaes de transferncia de calor por conveco natural so baseadas em estudos experimentais. Das numerosas correlaes variando de complexidade e preciso declarada, disponveis na literatura para qualquer geometria dada, apresentamos aqui as que so mais conhecidas e largamente utilizadas. As correlaes empricas simples para o nmero de Nusselt mdio Nu na conveco natural so da forma (Figura 9-9)uCoeficiente constante Nu

=-

ta; =k

C(Gr[ Pr)"

= C RaZ

(9-16)

=

, CRaZ /"

Expoente constante

onde Ra, o nmero de Rayleigh, que o produto dos nmeros de Grashof e de Prandtl:Ra ;=

Nmero de Nusselt

I

\ Nmerode Rayleigh

Grj Pr

gf3(Ts - Tx)L~=

v-

?

Pr

(9-17)

FIGURA9-9As correlaes de transferncia de calor por conveco natural so geralmente expressas em termos do nmero de Rayleigh elevado a uma constante n multiplicado por outra constante C, ambas as quais so determinadas experimentalmente.

Os valores das constantes C e n dependem da geometria da superfcie e do regime de escoamento, que caracterizado pela faixa do nmero de Rayleigh. O valor de n geralmente de ~para escoamento laminar e de ~para escoamento turbulento. O valor da constante C normalmente inferior a 1. Relaes simples para o nmero de Nusselt mdio para diferentes geometrias so apresentadas na Tabela 9-1, juntamente com os esboos das geometrias. Tambm so indicados nesta tabela os comprimentos caractersticos das geometrias e as faixas do nmero de Rayleigh em que a relao aplicvel. Todas as propriedades do fluido devem ser avaliadas na temperatura do filme Tf=! + T00)' Quando o nmero de Nusselt mdio e, assim, o coeficiente mdio de conveco conhecido, a taxa de transferncia de calor por conveco natural a partir de uma superfcie slida a uma temperatura uniforme T, para o fluido ao redor expressa pela lei de Newton do resfriamento como

u,

(W)

(9-18)

-----::7~-~----

_

_

5U

__

CAPTULO 9

TABELA 9-1Correlaes Geometria Placa vertical empricas para o nmero de Nusselt mdio para a conveco Comprimento caracterstico natural sobre superfcies NuNu = O,59Rat'4 Nu = O,lRa[13 O,387Ra['6}2

i;

Faixa de Ra104-109 1010_1013

rL

(9-19) (9-20)

L Toda a faixa

Nu = { 0,825 (complexa,

+ [1 + (0,492/Pr)9116j8/27mas mais precisa)

(9-21)

~IPlaca inclinada

Use as equaes da placa vertical superior uma placa quente

para a superfcie inferior de

de uma placa fria e a superfcie

L

Substituir

g por g cose

para

Ra

Superfcie fria

r-::::------,

Superfcie quente

Q

~~+--_~&+-Perfil

de velocidade

~L------.j

FIGURA 9-21

Correntesconvectivasem um espao fechadoretangularvertical.

522 CONVEC O NATURALFluido leve Quente

(Sem movimento do fluido)

Fluido pesado(a) Placa quente na parte superior

Fluido pesado

(

Frio

Fluido leve

\ Quente

(b) Placa quente na parte inferior

FIGURA 9-22 Correntes convectivas em um espao fechado horizontal com (a) placa quente na parte superior e (b) placa quente na parte inferior.

As caractersticas da transferncia de calor atravs de um espao fechado horizontal dependem de a placa mais quente estar na parte superior ou na parte inferior, como mostrado na Figura 9-22. Quando a placa mais quente est na parte superior, as correntes de conveco no se desenvolvem no espao fechado, uma vez que o fluido mais leve est sempre em cima do fluido mais pesado. A transferncia de calor, neste caso, por pura conduo, e temos Nu = 1. Quando a placa mais quente est na parte inferior, o fluido mais pesado estar em cima do mais leve e haver uma tendncia para o fluido mais leve empurrar o mais pesado e subir para a parte superior, onde entra em contato com a placa mais fria e se resfria. At que isso acontea, no entanto, a transferncia de calor ainda por conduo pura e Nu = 1. Quando Ra > 1708, a fora de flutuao supera a resistncia do fluido e inicia as correntes de conveco natural, que so na forma de clulas hexagonais chamadas de clulas de Bnard. Para Ra > 3 x 105, as clulas se quebram e o movimento do fluido tomase turbulento. O nmero de Rayleigh de um espao fechado determinado a partir deRa, =

gf3(T) - T2)L~,p-

Pr

(9-40)

onde o comprimento caracterstico L; a distncia entre as superfcies quente e fria e TI e T2 so as temperaturas das superfcies quente e fria, respectivamente. Todas as propriedades do fluido devem ser avaliadas na temperatura mdia do fluido T md = (TI + T2)12.

Condutividade trmica efetivaQuando o nmero de usselt conhecido, a taxa de transferncia de calor atravs do espao fechado pode ser determinada a partir de. T) - T2 Q = hAsCT)- T2) = kNuAs -Lc

(9-41)

j que h = kNu/L. A taxa de conduo de calor constante atravs de uma camada de espessura Lc>rea As e condutividade trmica k expressa como.Qcond =

kAs-L--

TI - T2c

(9-42)

Quente

-,

Nu = 3k Frio..J

Quente kefe1

= 3k

Frio

Q=10W (Sem movimento)

onde TI e T2 so as temperaturas dos dois lados da camada. A comparao entre esta relao e a Equao 9-41 revela que a transferncia de calor por conveco em um espao fechado anloga conduo de calor atravs da camada de fluido no espao fechado desde que a condutividade trmica k seja substituda por kNu. Isto , o fluido em um espao fechado se comporta como um fluido cuja condutividade trmica kNu como resultado das correntes de conveco. Portanto, a quantidade kNu chamada de condutividade trmica efetiva do espao fechado. Isto ,kefe1 = k u(9-43)'

Conduo pura

Conveco natural

FIGURA 9-23 Um nmero de Nusselt de 3 para um espao fechado indica que a transferncia de calor por conveco natural atravs do espao fechado trs vezes maior que por conduo pura.

Note que para o caso especfico de Nu = 1, a condutividade trmica efetiva do espao fechado se toma igual condutividade do fluido. Isso esperado, uma vez que este caso corresponde conduo pura (Figura 9-23). A transferncia de calor por conveco natural em espaos fechados tem sido objeto de numerosos estudos experimentais e numricos, e existem numerosas correlaes para o nmero de usselt. Relaes simples do tipo de lei de potncia, sob a forma de Nu = CRa~, onde C e n so constantes, so

523CAPTULO 9

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suficientemente precisas, mas geralmente so aplicveis a uma faixa restrita dos nmeros de Prandtl e Rayleigh e da razo de aspecto. As relaes que so mais abrangentes naturalmente so mais complexas. A seguir, apresentamos algumas relaes amplamente utilizadas para diversos tipos de espaos fechados.

Espaos fechados retangulares horizontaisNo precisamos de relaes para o nmero de Nusselt para o caso de a placa mais quente estar na parte superior, uma vez que no existem correntes de conveco neste caso e a transferncia de calor descendente por conduo (Nu = 1). Quando a placa mais quente est na parte inferior, no entanto, correntes de conveco significativas aparecem para RaL> 1708 e a taxa de transferncia de calor aumenta (Figura 9-24). Para espaos fechados horizontais que contm ar, Jakob (1949) recomenda as seguintes correlaes simplesNu = 0,195Ray4 Nu = 0,068Ray3 104

< RaL < 4

X 105

(9-44) (9-45)

L

1

Estas relaes tambm podem ser utilizadas para outros gases com 0,5 < Pr < 2. Utilizando gua, leo de silicone e mercrio nos seus experimentos, Globe e Dropkin (1959) obtiveram esta correlao para espaos fechados horizontais aquecidos por baixo,Nu = 0,069RaF3

I

Ruido

-----H----~

~Tl

FIGURA 9-24Um espao fechado retangular horizontal com superfcies isotrmicas,

prO074

(9-46)

Com base em experincias com o ar, Hollands et al. (1976) recomendam correlao para espaos fechados horizontais,Nu = 1

esta

+

1 44 [1 - 1708] , RaL

+ [Ra1'318

-

1] -

RaL