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Transferência de Calor Industrial

1.1 Conceitos Fundamentais

Neste tópico são apresentados conceitos fundamentais; uma breve descrição,

importância e alguns exemplos de aplicações de transferência de calor e massa.

1.1.1 Importância de Transferência de Calor (Energia) e Massa

A Civilização Moderna depende fortemente de como ela manuseia e usa sua energia,

energia esta suprida através de recursos naturais, nem sempre fáceis de serem explorados.

O uso de energia pode ser identificado como trabalho, potência e calor, mas na

realidade o trabalho e potência que são usados finalmente degeneram em calor. Calor é a troca

de energia entre objetos (sistemas) “quentes” e “frios” e a troca ocorre espontaneamente do

“quente” para o “frio”

(Transferência) de Calor é a ciência que explica e prediz quão rápida ocorre a troca de

energia como calor. É a ciência que integra as várias ferramentas analíticas e empíricas

provendo um fórum, um corpo de conhecimento, para projetistas, construtores, operadores,

gerentes e pesquisadores de forma mais acurada estudar calor como uma troca de energia.

A preocupação com energia, sua conservação ou economia pela sociedade requer

numa extensão importante a compreensão dos conceitos de transferência de calor e

transferência de massa.

Alguns casos de aplicação de transferência de calor:

- isolamento (por fibra de vidro) de tetos e paredes de edifícios para manter determinadas

condições climáticas;

- quantificação da perda de energia através de janelas modernas e isoladas para manter o

ambiente confortável tanto no inverno quanto no verão;

- projeto e operação de geradores de vapor (caldeiras) ou ebulidores requer a compreensão

da transferência de calor que ocorre da queima (combustão) de carvão, gás ou óleo para a

água nos tubos;

- projeto e construção de um radiador (convector) para um motor de automóvel para mantê-

lo “frio” quando em operação envolve transferência de calor e massa;

- dissipação de calor em linhas de potência elétrica devido à resistência elétrica;

- proteção de cabos elétricos contra fogo e altas temperaturas;

7

- manutenção de temperaturas adequadas em circuitos de computadores e outros sistemas;

- condicionamento de ar para conforto térmico;

- processos sanitários, manuseio de lixo, esterilização;

- manuseio e processamento de alimentos.

Transferência de massa é o estudo do movimento de massa de um local para outro

através do uso de dispositivos mecânicos ou naturalmente devido à diferença de densidade. A

diferença de densidade provoca difusão (transporte microscópico) de massa (uma espécie

penetra em outra) ou convecção natural (transporte macroscópico) de massa. Os dispositivos

mecânicos (bombas, ventiladores e compressores) provocam difusão e convecção forçada de

massa. Exemplos onde ocorrem transferência de massa:

- processos químicos;

- poluição do ar;

- combustão;

- processos criogênicos (baixas temperaturas) tais com produção de N2, H2 e O2 líquidos,

gelo seco (CO2 líquido)

1.1.2 Conceitos

1.1.2.1. Sistema Físico

Um sistema físico pode ser considerado com sendo constituído de um sistema material

(subsistema 1) mais um campo de radiação (subsistema 2). O sistema material, geralmente,

considerado como meio contínuo, é composto a nível elementar de moléculas( incluindo íons

e átomos), de elétrons e de partículas fictícias tais como fónons (quanta de energia vibracional

num sólido), etc.

Um meio pode ser considerado como contínuo quando o menor elemento de volume

ainda contém de 1015 a 1020 moléculas. Sob determinadas condições físicas, tais elementos

podem ser caracterizados estatisticamente por propriedades físicas macroscópicas médias

sobre todas as moléculas que eles contém (massa média, velocidade, pressão ou temperatura).

O campo de radiação eletromagnética é caracterizado em escala macroscópica pela

definição em cada ponto r do espaço e para cada direção Δ de uma quantidade νI ′ , a

intensidade monocromática relacionada com a freqüência ν . O campo de radiação resulta da

distribuição de fótons (quanta de energia particular de Bose-Einstein que em repouso possuem

8

massa nula) cada caracterizado pela freqüência ν , momentum p e spin s. Um quanta tem

energia νhe = , onde 346,6256 10h x Js−= é a constante de Planck.

1.1.2.2 Equilíbrio Termodinâmico

Em termodinâmica, o conceito de equilíbrio termodinâmico perfeito envolve equilíbrio

térmico (T uniforme), equilíbrio mecânico (p uniforme) e equilíbrio químico (potencial

químico μ uniforme) e é utilizado para equacionamento dos problemas. O equilíbrio térmico

significa que o sistema material é isotérmico a temperatura T; o campo de radiação tem uma

distribuição uniforme dependente apenas de T; o campo de radiação e sistema material estão

na mesma temperatura. Entretanto, para ocorrer transferência de calor, os sistemas devem

estar em não equilíbrio térmico.

1.1.2.3 Equilíbrio Termodinâmico Local

O não equilíbrio térmico causa a transferência de calor devido colisões entre

moléculas ou entre moléculas e uma parede; interações moléculas/fótons (absorção, emissão

espontânea, emissão estimulada); interações entre fónons, entre fónons e elétrons, elétrons e

fótons, outras interações. Como as leis da termodinâmica são utilizadas para equacionar

problemas de transferência, tem-se que lançar mão do conceito de equilíbrio termodinâmico

local (LTE).

A hipótese de equilíbrio termodinâmico local permite definir variáveis físicas

),(),,(),,( trtrptrT μ , etc. em qualquer instante de tempo e para cada ponto r . Sob esta

hipótese, pode-se assumir que durante um intervalo dt e em um elemento de volume

arbitrariamente pequeno (mas macroscópico, contínuo) o sistema material está localmente

infinitamente próximo a um estado de equilíbrio, descrito por propriedades intensivas e

extensivas.

Em LTE adotado para estudo de problemas de transferência de calor o sistema físico é

o local dos seguintes processos macroscópicos irreversíveis com os quais um fluxo está

associado:

- relativo a um elemento de matéria, o efeito cumulativo em escala macroscópica do

transporte de várias quantidades físicas (carga elétrica, no de um dado tipo, energia) por

partículas (moléculas, elétrons, fónons, etc) traduz para fluxos por difusão: condução

elétrica, difusão de uma espécie em outra, condução térmica;

9

- simultaneamente associado com cada transferência macroscópica por um movimento

global de parte do sistema material estão associados fluxos macroscópicos de carga

elétrica, energia, etc. Estes são chamados fenômenos convectivos: convecção elétrica,

convecção térmica, etc.;

- interações entre moléculas do sistema material e os fótons do campo de radiação, quando

eles não estão em equilíbrio térmico resulta num fluxo macroscópico de energia na forma

de radiação.

1.1.2.4 Meio Contínuo

Em teoria cinética dos gases o conceito de meio contínuo é apresentado através da

seguinte definição de temperatura:

∑=

=N

s

sB

mvTNk

1

2

223 (1.1.1)

na qual N é o no de átomos idênticos de massa m cada em equilíbrio térmico num elemento de

volume dV ( 2015 1010 −≈N ) o meio é considerado contínuo; KJxkB /1038054,1 23−= é a

constante de Boltzmann e sv é velocidade de um átomo em relação a dV.

1.1.2.5 Modos Principais de Transferência de Energia

Os modos principais de transferência de energia na forma de calor são condução,

convecção e radiação. A condução térmica ocorre através de um elemento material no qual

existe um gradiente de temperatura. Ela representa o efeito global do transporte de energia por

portadores elementares (moléculas, fónons, elétrons, etc).

Em fluidos os portadores elementares (moléculas, átomos, íons, etc.) são

caracterizados por energia de translação, possivelmente vibração e rotação, energia eletrônica.

Em sólidos os átomos são arranjados em uma estrutura cristalina mais ou menos

perfeita. Os vetores de energia são fónons (quanta de vibração da estrutura cristalina) e talvez

elétrons livres (condução elétrica e térmica).

Em radiação, energia é permanentemente trocada entre um sistema material e um

campo de radiação pelos seguintes processos:

10

- emissão espontânea de radiação que consiste na conversão de energia térmica (energia de

vibração ou rotação, energia eletrônica, energia de fónons, etc. para uma energia radiativa

(de fótons);

- absorção de radiação pela conversão inversa de energia radiativa para energia térmica.

Sob o ponto de vista de radiação, pode-se definir três tipos de meio, Figura 1.1.1:

- meio transparente como aquele que não emite, não absorve, não reflete ou difunde, mas

transmite toda radiação incidente qualquer que seja sua direção e freqüência;

- meio opaco que não transmite qualquer radiação incidente (Ii) que pode ser absorvida (Ia)

ou refletida (Ir). O meio opaco também pode emitir a radiação (Ie);

- meio semi-transparente que reflete, absorve ou difunde a radiação incidente, ou transmite

ela em distâncias finitas.

Figura 1.1.1 Radiação em meios transparente e opaco

1.1.2.6 Objetivos e Convenções

O objetivo principal é determinar para qualquer sistema em LTE, a evolução do campo

de temperatura ),( trT e o fluxo de energia (para todas as formas de energia) que é necessário

para controlar o processo. Um processo será em regime transiente (RT) se as quantidades

físicas A (escalares, vetores, tensores) dependem do tempo, isto é,

0),(≠

∂∂

ttrA (1.1.2)

11

Para processos em regime permanente (RP), não há variação das grandezas físicas com o

tempo. Ou seja,

0),(=

∂∂

ttrA (1.1.3)

Define-se fluxo de energia como a potência Φd (em Watts) atravessando um

elemento de superfície dS , cuja normal é n e cujo vetor densidade de fluxo é q [W/m2],

Figura 1.1.2. Numericamente,

dSnqd •=Φ . (1.1.4)

Define-se a densidade de fluxo [W/m2] como

nqq •=′′ . (1.1.5)

ou

dSdq Φ

=′′ . (1.1.6)

Figura 1.1.2 Vetor densidade de fluxo através de um elemento dS com normal n .

Nos processos de condução térmica, define-se o vetor densidade de fluxo condutivo,

pela Lei de Fourier, como

12

Tkq cd ∇−= , (1.1.7)

na qual k é denominada condutividade térmica do material que pode depender da temperatura

e da direção espacial (caso em que k é um tensor e Tkq cd ∇•−= ). O sinal negativo na Lei

de Fourier é requerido pela 2a Lei da Termodinâmica. O fluxo condutivo pode, então, ser

calculado na forma

nTknTknqq cd

∂∂

−=•∇−=•=′′ , (1.1.8)

para q ′′ no sentido da normal ao contorno.

Compare a Lei de Fourier com as leis de Ohm e Fick. A Lei de Ohm estabelece que o

vetor densidade de corrente j é dado na forma:

elVEj ∇−== σσ , (1.1.9)

na qual E é o campo elétrico, σ é a condutividade elétrica e elV é o potencial elétrico. Já a

Lei de Fick de difusão de massa, estabelece que a taxa de difusão αj de uma espécie α numa

espécie β é definida pela equação

ααβα CDj ∇−= , (1.1.10)

na qual αβD é a difusividade de α em β e αC é a concentração molar definida por

nn

MC α

αρ

= , (1.1.11)

onde ρ é a massa específica da mistura e M é o peso molecular da mistura.

13

1.2. Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente

A equação da condução de calor nos casos mais genéricos pode ser encontrada em

livros textos de transferência de calor. No caso unidimensional em regime permanente, há

fluxo de calor predominante em uma dada direção, independente do tempo.

1.2.1 Paredes Planas

Considere o caso de uma parede plana de espessura L ao longo do eixo x, e infinita em

y e z, com temperaturas especificadas, 0T em x = 0 e LT em x = L, Figura 1.2.1. Suponha que

o material da parede seja isotrópico e homogêneo e que não há geração interna de energia na

parede. Com as hipóteses consideradas, este problema é governado pelo conjunto de

equações: 2

2 0d Tdx

= (1.2.1)

0T T= em 0x = (1.2.2)

LT T= em x L= (1.2.3)

Figura 1.2.1 Condução através de uma parede plana. Resistência térmica.

A solução da Eq. (1.2.1) é obtida integrando-se duas vezes a Eq. (1.2.1), obtendo-se o

resultado: 1 2T c x c= + . As constantes de integração podem ser obtidas usando as Eqs. (1.2.2)

e (1.2.3), cujo resultado final é uma variação linear da temperatura com x na forma:

( )0 0LxT T T TL

= + − (1.2.4)

14

A partir da Eq. (1.2.4) obtém-se que o gradiente de temperatura ao longo da parede é

independente de x , devido à variação linear da temperatura, ( )0LdT / dx T T / L= − , e,

portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser calculado como

( )0 LdT kq k T Tdx L

′′ = − = − (1.2.5)

A taxa de calor atravessando a fronteira é obtida multiplicando o fluxo de calor pela

área da superfície A , assim,

( )o LkAq q A T TL

′′= = − (1.2.6)

1.2.1.1 Resistência Térmica

O inverso de kA / L é denominado de resistência térmica da camada e, portanto,

define-se:

tLRkA

= (1.2.7)

Combinado as Eqs. (1.2.7) e (1.2.6) resulta

o L

t

T TqR−

= (1.2.8)

Observe que a taxa de calor como calculada pela Eq. (1.2.8) é completamente análoga à

corrente elétrica que atravessa um circuito com uma única resistência em que há uma

diferença de potencial elétrico. A resistência térmica é ilustrada na Figura 1.2.1

1.2.1.2 Paredes Compostas

Se a parede for constituída de várias camadas de espessura iL e condutividade térmica

ik , a resistência térmica de cada camada será

it ,i

i

LRk A

= (1.2.9)

A resistência térmica total será a associação em série das resistências individuais, ou seja,

it

i i

LRk A

= ∑ (1.2.10)

15

Como exemplo, considere o caso de uma parede composta de três camadas de

materiais isotrópicos homogêneos, como ilustrado na Figura 1.2.2. Neste caso, a taxa de calor

pode ser calculada como

1 1 2 2 3 3

o LT TqL / k A L / k A L / k A

−=

+ + (1.2.11)

Figura 1.2.2 Parede composta e sua resistência térmica.

1.2.1.3 Coeficiente Global de Transferência de Calor

No caso de trocadores de calor, por exemplo, geralmente, a parede separa dois campos

de escoamento, com um fluido “quente” em uma das faces da parede e outro fluido “frio” na

outra face; Figura 1.2.3. A transferência de calor do fluido quente para a parede e da parede

para o fluido frio pode ser estimada através do coeficiente de transferência convectiva

definido no capítulo 1. Suponha que do lado do fluido quente a temperatura seja hT com um

coeficiente hh caracterizando a troca de calor do fluido para a parede, e do lado frio a

temperatura seja cT com um coeficiente ch caracterizando a troca de calor da parede para o

fluido. Neste caso, têm-se as seguintes equações:

0hh

qT Th′′

− = (1.2.12)

0 LLT T qk

′′− = (1.2.13)

L cc

qT Th′′

− = (1.2.14)

16

Figura 1.2.3 parede banhada por fluidos em suas faces. Coeficiente global de troca de calor.

Somando as Eqs. (1.2.12) – (1.2.14) obtém-se

1 1h c

h c

LT T qh k h

⎛ ⎞′′− = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.2.15)

Numa forma mais compacta a Eq. (1.2.15) pode ser reescrita como

h cqT TU′′

− = (1.2.16a)

Ou na forma

( )h cq U T T′′ = − (1.2.16b)

Na qual o coeficiente global de transferência de calor é definido por

1 1 1

h c

LU h k h

= + + (1.2.17)

Exercício 1.2.1: A parede de um incubador de ovos é composta por uma camada de fibra de

vidro de 8 cm entre duas camadas de fórmica de 1 cm cada uma. Do lado de fora a

temperatura é 10ocT C= e o coeficiente de troca de calor do lado externo do incubador é

25ch W / m K= . Do lado interno, a temperatura é 40ohT C= e devido um ventilador forçar o

ar internamente sobre os ovos, o coeficiente de troca convectiva é 220hh W / m K= . Calcule o

fluxo de calor através da parede do incubador.

17

1.2.2 Cascas Cilíndricas

Muitos trocadores de calor são constituídos por cascas cilíndricas, como no caso do

trocador de calor conhecido como casco-tubo. Nestes casos, o fluxo de calor não se conserva

como ocorre na parede plana, visto que o gradiente de temperatura depende da posição radial.

Entretanto, a taxa de calor que atravessa a casca deve se conservar pela primeira lei da

termodinâmica. Considere uma casca cilíndrica de comprimento l ; de raio interno ir e cuja

superfície interna esteja a iT . O raio externo é or e a temperatura da superfície externa é oT . O

fluxo de calor do lado interno é iq′′ e do lado externo será oq′′ ; Figura 1.2.4.

Figura 1.3.4 Condução radial numa casca cilíndrica.

A taxa de calor pode ser calculada se for determinado o fluxo de calor do lado interno,

por exemplo. Esta taxa pode ser estimada como

( )2 i iq rl qπ ′′= (1.2.18)

O fluxo de calor na direção radial pode ser obtido na forma:

i

ir r

dTq kdr =

⎛ ⎞′′= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.2.19)

O que obriga a determinação do campo de temperatura através da casca. A equação

governante para este problema em regime permanente, sem geração interna na parede e

simetria da temperatura é

1 0d dTrr dr dr

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.2.20)

18

sujeita às condições de contorno

iT T= em ir r= (1.2.21)

e

oT T= em or r= (1.2.22)

A seqüência de solução é obtida integrando duas vezes a eq. (1.2.20):

0d dTrdr dr

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.2.23)

1dTr Cdr

= (1.2.24)

1dT Cdr r

= (1.2.25)

( )1 2T C ln r C= + (1.2.26)

A Eq. (1.2.26) deve satisfazer as duas condições de contorno (1.2.21) e (1.2.22), o que

leva aos resultados:

( )1 2i iT C ln r C= + (1.2.27)

( )1 2o oT C ln r C= + (1.2.28)

Após a eliminação de 2C das Eqs. (1.2.27) e (1.2.28) obtém-se

( )1i o

i o

T TCln r / r

−= (1.2.29)

Finalmente, subtraindo (1.2.27) de (1.2.26) resulta

1ii

rT T C lnr

⎛ ⎞− = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.2.30)

e pelo uso de (1.3.29) obtém-se

( ) ( )( )

ii i o

o i

ln r / rT T T T

ln r / r= − − (1.2.31)

O gradiente de temperatura pode ser obtido como ( )

1 i o

i o

T TdTdr r ln r / r

−= . Combinando as

equações (1.2.18) e (1.2.19) obtém-se a taxa de calor na forma

( ) ( )02

io i

klq T Tln r / r

π= − (1.2.32)

Pode-se concluir que a resistência térmica da casca cilíndrica é

19

( )2

o it

ln r / rR

klπ= (1.2.33)

Pela conservação da taxa de calor pode-se mostrar que

( ) ( )2 2i iq rl q rl qπ π′′ ′′= = (1.2.34)

E, portanto, o fluxo de calor em qualquer raio será

ii

rq qr

′′ ′′= (1.2.35)

No caso de uma casca composta, por exemplo, de três camadas; Figura 1.2.5, cujos

raios das interfaces sejam 1r e 2r respectivamente com 0 2 1 ir r r r> > > , e as temperaturas do

fluido interno seja hT com ih e do lado seja cT com oh ; a taxa de calor pode ser calculada

como

( ) ( ) h ci i h c o o h c

t

T Tq U A T T U A T TR−

= − = − = (1.2.36)

Na qual a resistência térmica pode ser calculada como

( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2 3

1 12 2 2

i ot

i i o o

ln r / r ln r / r ln r / rR

h A k l k l k l h Aπ π π= + + + + (1.2.37a)

Figura 1.2.5 Casca cilíndrica composta com transferência convectiva em ambos os lados.

Pela combinação das Eqs. (1.2.36) e (1.2.37) pode-se demonstrar que

20

( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2 3

1 1 1i i i i o i

i i o o

r ln r / r r ln r / r r ln r / r rU h k k k h r

= + + + + (1.2.37b)

( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2 3

1 1 1o i o o oo

o i i o

r ln r / r r ln r / r r ln r / rrU h r k k k h

= + + + + (1.2.37c)

As áreas das superfícies interna e externa da casca são definidas por

2i iA rlπ= ; 2o oA r lπ= (1.2.38)

1.2.3 Cascas Esféricas

A geometria esférica, Figura 1.2.6, pode ser analisada de maneira similar, por notar

que quando a temperatura das superfícies interna e externa são isotérmicas ( )i oT ,T , a

temperatura dentro da casca pode variar apenas radialmente. Neste caso a equação que rege o

problema, com todas as hipóteses simplificadoras consideradas, como no caso do cilindro,

fica na forma:

22

1 0d dTrr dr dr

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.2.39)

sujeita às condições de contorno

iT T= em ir r= (1.2.40)

e

oT T= em or r= (1.2.41)

Figura 1.2.6 Condução radial através de uma casca esférica.

21

Multiplicando a Eq. (1.2.39) por 2r dr e integrando uma vez resulta

21

dTr Cdr

= ou 12

dT Cdr r

= (1.2.42)

Agora, multiplicando a Eq. (1.2.42) por dr e integrando mais uma vez obtém-se

12

CT Cr

= − + (1.2.43)

As restrições das condições de contorno levam ao sistema

12i

i

CT Cr

= − + (1.2.44)

12o

o

CT Cr

= − + (1.2.45)

A eliminação de 2C das Eqs. (1.2.44) de (1.2.45) leva ao valor de 1C na forma

( )1

i o i o

i o

r r T TC

r r−

=−

(1.2.46)

Subtraindo a eq. (1.2.44)de (1.2.43) e pelo uso de (1.2.46) obtém-se

( ) o ii i o

i o

r r rT T T Tr r r⎛ ⎞−

− = − ⎜ ⎟−⎝ ⎠ (1.2.47)

da qual se se obtém o gradiente de temperatura e o fluxo de calor iq′′ definidos

respectivamente por

( )2

i oi o

i o

T TrrdTdr r r r

−=

− (1.2.48)

i

o i oi

r r i o i

r T TdTq k kdr r r r=

−⎛ ⎞′′ = − =⎜ ⎟ −⎝ ⎠ (1.2.49)

A taxa de calor pode ser obtida multiplicando o fluxo pela área de troca, no caso de

uma esfera, 24i iA rπ= , resultando

4 i oo i

o i

T Tq kr rr r

π −=

− (1.2.50)

Pela observação da Eq. (1.2.50) pode-se concluir que a resistência térmica da casca esférica é

1 1 14t

i o

Rk r rπ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.2.51)

No caso de uma casca esférica composta de duas camadas, por exemplo, com

convecção interna e externa, a resistência térmica total será

22

1 1 2 1

1 1 1 1 1 1 1 14 4t

i i i o o o

Rh A k r r k r r h Aπ π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.2.52)

1.2.4 Raio Crítico de Isolação

Uma aplicação do conceito de resistência térmica é determinação de espessura anular

que deve ser aplicada sobre a superfície externa de uma parede cilíndrica de temperatura

conhecida iT . A função da camada isolante colocada entre o raio ir e or é reduzir a taxa total

de transferência de calor entre o corpo interno e o fluido ambiente a T∞ e coeficiente h de

troca convectiva. A Figura 1.2.7, no alto à direita, ilustra a camada de isolante térmico.

A taxa total de transferência de calor varia inversamente com a resistência térmica,

porque ( )i tq T T / R∞= − . A resistência térmica neste caso pode ser calculada como

( )( )

12 2

o it

o

ln r / rR

kl h r lπ π= + (1.2.53)

Para h e k constantes, tR será uma função do raio externo or . E quando a resistência térmica

alcançar um mínimo a taxa de calor atingirá um máximo. Derivando tR da Eq. (1.2.53) em

relação a or resulta 21 2 1 2t o o oR / r / klr / lhrπ π∂ ∂ = − . Para se obter o ponto de mínimo ou

máximo faz-se 0t oR / r∂ ∂ = o que leva ao resultado do raio crítico de isolamento

o,ckrh

= (1.2.54)

A resistência mínima será, portanto,

( ) 12

it ,min

ln k / hrR

klπ+

= (1.2.55)

Algumas conclusões que se pode tirar do conceito de raio critico de isolação é que,

quando, o cilindro for espesso, de tal forma que

i o ,cr r> ou 1i

khr

< ; (1.2.56)

a adição de uma camada de material isolante sempre se traduz em aumento de tR e, portanto

redução de q como desejado. No caso oposto, quando,

i o ,cr r< ou 1i

khr

> ; (1.2.57)

23

o enrolamento de uma primeira camada isolante reduzirá a resistência térmica. O efeito inicial

será um aumento da transferência de calor. Apenas quando material suficiente tenha sido

adicionado de modo que or exceda o,cr , a espessura de isolamento aumentará o valor de tR e

redução de q .

No caso de isolação de um objeto esférico de raio ir , o raio critico de isolação será

estimado pela relação:

2o,ckrh

= (1.2.58)

Figura 1.2.7 Efeito do raio externo sobre a resistência térmica global de uma camada

cilíndrica isolante.

Exercício 1.2.2: Um fio isolado suspenso no ar gera aquecimento pelo efeito Joule à taxa de

1q W / m′ = . O fio cilíndrico de raio 0 5ir , mm= está 30 oC acima da temperatura ambiente. É

proposto encapar fio com plástico de isolamento elétrico, cujo raio externo será 1or mm= . A

condutividade térmica do material plástico 0 35k , W / mK= . O plástico isolante aumentará o

contato térmico entre fio e ambiente, ou promoverá efeito de isolamento térmico? Para

verificar a resposta calcule a diferença de temperatura entre o fio e ambiente quando o fio

estiver encapado pelo plástico.

24

1.2.5 Superfícies Estendidas (Aletas - Fins)

No projeto de trocadores de calor, muitas vezes se torna necessário melhorar a

eficiência do processo de troca, bem como aumentar a troca de calor. Uma das maneiras de

conseguir tal objetivo é aumentar a área superficial do trocador. Devido a limitações de

tamanho, por exemplo, uma maneira de aumentar a superfície de troca é pelo uso de aletas

que são superfícies estendidas a partir de uma área base. As aletas têm as mais variadas

formas e serão analisadas neste item. Aletas retangulares são ilustradas na Figura 1.2.8.

Figura 1.2.8 Aumento da troca de calor na área coberta por aletas.

1.2.5.1 Melhoria da Transferência de Calor

A proposta de melhoria ou aumento de transferência de calor entre uma superfície

sólida e o fluido que a banha é comum em proposições de projetos de térmicos. Para entender

como uma aleta funciona, considera-se, inicialmente, uma superfície plana d(sem aletas) de

área 0A banhada por um fluido com coeficiente de troca h. A temperatura da superfície é bT e

temperatura do fluido é T∞ . Assim a taxa de calor através da superfície pode ser calculada por

( )0 0 bq hA T T∞= − (1.2.59)

O fluxo de calor na superfície sem aletas (unfinned – u) suposto uniforme em toda

área é definido como 0 0q / A . A taxa de calor na superfície aletada (finned) é definida por q .

O objetivo é ter uma superfície aletada de forma que 0q q> . Isto poder alcançado com aletas

que tenham boa condutividade térmica, de tal forma que a temperatura da superfície da aleta

25

seja comparável à temperatura da base bT . Uma maneira de medir a melhoria da troca de

calor é através da definição de efetividade global da área projetada da aleta como

( )00 0 b

q qq hA T T

ε∞

= =−

(1.2.60)

No caso da superfície aletada a área 0A será a soma das áreas sem aletas mais a

projeção das áreas da aletas na base. Designando a área sem aletas por 0 ,uA e a área projetada

da aleta por 0 , fA ; então, tem-se

0 0 0, f ,uA A A= + (1.2.61)

A taxa de calor para a superfície aletada será estimada como

( )0 0b , f ,u bq q A hA T T∞′′= + − (1.2.62)

na qual bq′′ é o fluxo de calor médio através da base de um aleta e será o foco de cálculo.

1.2.5.2 Aletas de Seção Transversal Constante

O caso mais simples é o de aletas de seção transversal constante; Figura 1.2.9. Num

modelo de condução longitudinal o fluxo de calor na base da aleta pode ser calculado como

0b

x

dTq kdx =

⎛ ⎞′′ = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.2.63)

Portanto, o cálculo do fluxo de calor requer a determinação da distribuição de temperatura

( )T x na aleta. Considere um elemento de volume de aleta de área superficial p xΔ . Um

balanço de energia neste volume leva a equação

( ) ( ) 0x c x x cq A q A p x h T T+Δ ∞′′ ′′− − Δ − = (1.2.64)

26

Figura 1.2.9 Condução longitudinal através de uma aleta de seção transversal constante.

O fluxo de calor em x x+ Δ pode ser expresso como xx x x

dqq q xdx+Δ

′′′′ ′′= + Δ + que

substituído em (1.2.64) leva à equação

( ) ( ) 0xc

dq xA p x h T Tdx ∞

′′− Δ − Δ − = (1.2.65)

Usando a Lei de Fourier para expressar xq′′ em função da temperatura resulta

( )2

2 0cd TkA hp T Tdx ∞− − = (1.2.66)

A Eq. (1.2.66) expressa o balanço entre o calor que é conduzido e chega à posição x e o que

sai por convecção através da superfície da aleta. A Eq. (1.2.66) é uma EDO de segunda ordem

e requer, portanto duas condições de contorno para sua solução.

Aletas Longas. Considere, primeiro, o caso de aleta longa, de forma que na sua ponta tem –se

a seguinte condição de contorno:

T T∞→ quando x →∞ (1.2.67)

A outra condição de contorno é obtida da hipótese de que sua raiz está na mesma temperatura

da parede base, ou seja,

bT T= em 0x = (1.2.68)

27

Definido o excesso de temperatura como

( ) ( )x T x Tθ ∞= − (1.2.69)

a Eq. (2.94) pode ser reescrita como 2

22 0d m

dxθ θ− = (1.2.70)

sujeita às condições de contorno

bθ θ= em 0x = ( b bT Tθ ∞= − ) (1.2.71)

0θ → quando x →∞ (1.2.72)

m é um parâmetro crucial do arranjo aleta-fluido, definido como 1 2/

c

hpmkA

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.2.73)

A solução Eq. (1.2.70) é do tipo

( ) ( ) ( )1 2x c exp mx c exp mxθ = − + (1.2.74)

O uso das condições de contorno leva aos valores das constantes 1c e 2c :

2 10 bc c θ= = (1.2.75)

A distribuição de temperatura ao longo da aleta será, portanto, expressa como

( ) ( )bx exp mxθ θ= − (1.2.76)

A temperatura decai exponencialmente da base para a ponta. Da mesma forma o fluxo

convectivo ( )h T T hθ∞− = decai exponencialmente. Uma aleta é considera longa quando a

seguinte restrição é satisfeita

1mL (1.2.77)

A taxa de calor na base da aleta pode ser calculada como

( )1 2/b b c b cq q A kA hpθ′′= = (1.2.78)

que mostra como os parâmetros físicos afetam a troca de calor.

Aleta de Comprimento Finito com a Ponta Isolada. Muitos projetos não satisfazem o

critério de aleta longa; portanto, a aleta deve ser considerada de comprimento finito. Neste

caso, como a temperatura da ponta da aleta é diferente da temperatura ambiente, a taxa de

calor na ponta da aleta será

( )tip cq hA T L T∞⎡ ⎤= −⎣ ⎦ (1.2.79)

28

Um passo intermediário antes deste caso mais geral é considerar a aleta com a ponta

isolada, caso em que se tem

0dTdx

= ou 0ddxθ= em x L= (1.2.80)

Este caso limite é uma boa aproximação para o caso

b tipq q> (1.2.81)

A solução geral para este caso tem a forma:

( ) ( ) ( )1 2* *x c senh mx c cosh mxθ = + (1.2.82)

As condições de contorno (1.2.71) e (1.2.80) levam aos valores das constantes

2*

bc θ= e ( )1*

bc tanh mLθ= − (1.2.83)

Este caso é ilustrado na Figura 1.2.10. A forma final da solução, após algumas

manipulações, é:

( )( )b

cosh m L xcosh mL

θ θ⎡ ⎤−⎣ ⎦= (1.2.84)

Figura 1.2.10 Aleta com a ponta isolada (lado esquerdo) versus aleta com transferência de

calor na ponta ((lado direito)

A temperatura na ponta das aleta será

( ) ( )bL

cosh mLθθ = (1.2.85)

A taxa de calor através da base da aleta será

29

( ) ( )0

1 2

b cx

/b c

dTq A kdx

kA hp tanh mLθ=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

(1.2.86)

Pode-se demonstrar que o caso de aleta com a ponta isolada é satisfeito quando

( )

1 21 1

/tip c

b

q hAq senh mL kp

⎛ ⎞= <<⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.2.87)

Efeito de Transferência de Calor na Ponta. Neste caso, ilustrado, do lado direito da Figura

1.2.10, a condição de contorno é da forma

c cdkA hAdxθ θ− = em x L= (1.2.88)

A solução da Eq. (1.2.70) com as condições de contorno (1.2.71) e (1.2.88) é da forma

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )b

cosh m L x h / mk s en h m L xcosh mL h / mk s en h mL

θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

+ (1.2.89)

A taxa de calor na base, neste caso, pode ser estimada da mesma forma que aleta da

ponta isolada, porém, corrigindo o comprimento, de tal forma que

( ) ( )0

1 2

b cx

/b c c

dTq A kdx

kA hp tanh mLθ=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

(1.2.90)

na qual, o comprimento corrigido, Figura 1.2.11, é expresso como

cc

AL Lp

= + (1.2.91)

Por exemplo, para uma aleta plana de espessura t e largura W , cA tW= e

( )2 2p W t W= + ≅ . Neste caso, pode-se mostrar que

2ctL L= + (aleta plana) (1.2.92)

Para uma aleta de seção cilíndrica de diâmetro D constante tem-se

4cDL L= + (pino ou aleta cilíndrica) (1.2.93)

30

Figura 1.2.11 Conceito de comprimento corrigido.

A partir da Eq. (1.2.89) pode-se obter a derivada da temperatura na forma

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )b

m s en h m L x h / k cosh m L xddx cosh mL h / mk s en h mLθ θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= −+

(1.2.94)

A taxa de calor calculada pela expressão exata do gradiente em 0x = seria da forma

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0

1 2

b cx

/b c

dTq A kdx

senh mL h / mk cosh mLkA hp

cosh mL h / mk sen h mLθ

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

+=

+

(1.2.95)

Eficiência da aleta versus efetividade da aleta. O parâmetro adimensional que descreve

quão bem são as funções da aleta como uma extensão da superfície da base é a eficiência da

aleta η ( )0 1η< < :

b

c b

qtaxa real de transferencia de calormaxima taxa de transferencia de calor hpLquando toda aleta esta na temperatura

da base

ηθ

= = (1.2.96)

Usando a Eq. (1.2.90) obtém-se a eficiência da aleta na forma

( )c

c

tanh mLmL

η = (1.2.97)

Algumas vezes se usa como abscissa, no lugar de cmL , o parâmetro:

31

1 22 /

chL

kt⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.2.98)

A Figura 1.2.12 mostra a eficiência para alguns perfis de aletas. Alternativamente, se

usa a efetividade da aleta como uma medida de sua performance. A efetividade fε é definida

como

bf

c b

qtaxa total de transferencia de calortaxa de transferencia de calor que deveria hA

ocorrer atraves da area da basena ausencia da aleta

εθ

= = (1.2.99)

Figura 1.2.12 Eficiência de aletas bidimensionais com perfis retangular, triangular e

parabólico.

Se for para a aleta desempenhar sua função de aumento de transferência de calor

apropriadamente, então, fε deve ser maior do que 1. Uma boa aleta tem, portanto, efetividade

maior do que sua eficiência. A relação entre elas será

f c

c

pL area total de contato com o fluidoA area da seçao transversal

εη

= = (1.2.100)

32

A efetividade da aleta é também maior do que a efetividade global baseada na área superficial

projetada. A relação entre 0ε e fε é obtida pela combinação de (1.2.60), (1.2.62) e (1.2.99):

0 00

0 0

, f ,uf

A AA A

ε ε= + (1.2.101)

1.2.5.3 Aletas de Seção Transversal Variável

No caso da aleta plana de seção transversal constante, ela é denominada de aleta

retangular, pois olhando lateralmente vê-se um retângulo. Há casos em que a seção transversal

da aleta diminui da base para sua ponta; Figura 1.2.13. O balanço de energia neste caso leva à

equação:

( ) ( ) 0x x xq q p x h T T+Δ ∞− − Δ − = (1.2.102)

Após simplificações resultará

( ) 0xdq hp T Tdx ∞− − − = (1.2.103)

Pelo uso da Lei de Fourier, ( )x cq kA x dT / dx= − chega-se a

( ) 0cd dTkA hp T Tdx dx ∞

⎛ ⎞ − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.2.104)

Figura 1.2.13 Condução longitudinal através de uma aleta de seção transversal variável.

33

Para dadas variações de ( )cA x e ( )p x , o objetivo é determinar a taxa de transferência

de calor que passa através da base da aleta:

0b c

x

dTq kA ( x )dx =

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.2.105)

O resultado final também pode ser quantificado em função eficiência da aleta na forma:

( )b

exp b

qhA T T

η∞

=−

(1.2.106)

na qual expA é área exposta da superfície da aleta, isto é, a área banhada pelo fluido. No caso

de aletas triangulares e parabólicas, apenas a área da seção transversal varia, mas não o

perímetro. No caso de uma aleta na foram de disco, Figura 1.2.14, ambos cA e p variam.

Figura 1.2.14 Eficiência de uma aleta anelar de espessura constante.

34

1.2.5.4 Superfícies Estendidas com Movimento Relativo e Geração Interna de Calor

1.2.5.4.1 Equação Geral de Condução

O modelo de condução unidimensional da aleta clássica também encontra aplicação no

caso de corpos longos. Considere o caso de um corpo cilíndrico de seção variável que tenha

movimento relativo na direção x com velocidade U e está exposto a convecção num

reservatório fluido; Figura 1.2.15. Suponha que exista geração interna no corpo. O balanço de

energia neste caso leva à equação:

( ) ( ) 0x x x x x x cq q p x h T T mi mi q A x+Δ ∞ +Δ ′′′− − Δ − + − + Δ = (1.2.107)

na qual xi é a entalpia especifica do sólido na posição x . Tratando o sólido como

incompressível, tem-se

1xdi cdT dP

ρ= + (1.2.108)

Para pressão constante, xdi cdT= e, portanto,

( ) xx x x

di dTm i i m x mc xdx dx+Δ− = − Δ = − Δ

Está implícita nesta derivação que a vazão mássica é conservada de uma seção

transversal para outra:

cm A Uρ= (1.2.109)

Figura 1.2.15 Conservação da energia num corpo longo com movimento sólido e geração

interna

35

A equação final de balanço de energia fica na forma:

( ) 0c c cd dT dTkA hp T T cA U q Adx dx dx

ρ∞⎛ ⎞ ′′′− − − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.2.110)

1.2.5.4.2 Extrusão de Plásticos e Trefilação

Nestes processos de fabricação, após passar pelas matrizes, os corpos se comportam

como superfícies estendidas em movimento relativo, Figura 1.2.16. Nestes processos pode-se

desprezar a geração interna, e supondo cA e U constantes, resulta para o excesso de

temperatura, a equação: 2

22 0d U d m

dx dxθ θ θ

α− − = (1.2.111)

As condições de contorno para este caso são:

bθ θ= em 0x = (1.2.112)

0θ → quando x →∞ (1.2.113)

Figura 1.2.16 Distribuição de temperatura ao longo de uma fibra plástica em processo de

extrusão;.

A solução para este problema é imediata e da forma:

( ) bxx expl

θ θ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.2.114)

36

na qual l é um comprimento característico em que a temperatura do sólido se aproxima da

temperatura do fluido circundante: 12

2

2 2U Ul mα α

−⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(1.2.115)

Dois casos limites são de interesse. No limite de altas velocidades, 2U / mα >> , o

comprimento de resfriamento é proporcional à velocidade da fibra plástica:

2

UUmα

≅ 12U

mα⎛ ⎞>>⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.2.116)

No caso oposto, 2U / mα << , o comprimento de resfriamento aproxima-se de uma constante:

1lm

≅ 12U

mα⎛ ⎞<<⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.2.117)

Neste último caso, a fibra se comportas como uma aleta longa de seção constante.

1.2.5.4.3 Cabos Elétricos

Nestes casos pode desprezar efeitos variação de entalpia e considerar o efeito Joule

como geração interna, que é amortecido via condução no suporte, Figura 1.2.17. A equação a

ser resolvida neste caso é da forma: 2

22 0d qm

dx kθ θ

′′′− + = (1.2.118)

sujeita às restrições:

bθ θ= em 0x = (1.2.119)

valor finitoθ → quando x →∞ (1.2..120)

A solução para este problema é da forma

( ) ( ) ( )2 1bqx exp mx exp mx

m kθ θ

′′′⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦ (1.2.121)

A interação por condução longitudinal com o suporte 0x = é sempre sentida no comprimento

de fator de escala 1 / m . Além deste comprimento, a temperatura do cabo se torna

independente de x , isto é, ( )2q / m kθ ′′′≅ . Isto mostra que a seção do cabo se torna cada vez

mais quente quando q′′′ cresce. Se o suporte será aquecido ou resfriado pelo cabo depende de

como significativo é o efeito de q′′′ . Pelo cálculo da taxa de transferência de calor através da

37

raiz do cabo (saindo do suporte) pode-se mostrar que o suporte será aquecido pelo cabo

( )0bq < se

1c

b

q Ahpθ′′′

> (1.2.122)

Quando o valor do grupo grandeza da Eq. (1.2.122) for unitário, o cabo inteiro estará

isotérmico.

Figura 1.2.17 Distribuição de temperatura num cabo elétrico com aquecimento volumétrico.

38

1.3. Condução de Calor Multidimensional em Regime Permanente

A equação da condução de calor, que é o processo de transferência de energia que

ocorre na fronteira de um sistema em repouso devido a um gradiente de temperatura, tem sido

deduzida em muitos livros. Essa equação genérica é da forma:

( , )( , ) ( , ) pT r tq r t q r t C

tρ ∂′′′−∇ + =

∂i (1.3.1)

na qual o primeiro termo do membro do lado esquerdo da equação representa a taxa de calor

entrando através da superfície do sistema, o segundo termo representa a taxa de geração por

unidade de volume e o termo do lado direito da equação representa a taxa de armazenamento

de energia dentro do sistema.

No caso de meios ou materiais em que a condutividade térmica independe da direção

(meios isotrópicos), o vetor fluxo de calor pode ser definido na seguinte forma (Lei de

Fourier):

q k T= − ∇ (1.3.2)

em que k é a condutividade térmica que pode ser uma função da temperatura, ( )k k T= .

A expressão para os componentes do fluxo de calor, em sistemas de coordenadas

curvilíneas ortogonais ( )1 2 3, ,x x x , é da forma

1 ; 1,2,3ii i

Tq k ih x∂

= − =∂

(1.3.3)

na qual ih são fatores de escalas que aparecem em transformações de coordenadas de um

sistemas de coordenadas para outro, em que se conheçam as relações,

( )1 2 3, , ; 1,2,3i ix x u u u i= = com ( )1 2 3, ,u u u sendo a tripla de coordenadas no novo sistema.

Os fatores de escalas são definidos na forma

23

2

1

ji

j i

xh

u=

∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∑ (1.3.4)

Nos sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas têm-se os dados na

Tabela 1.3.1

39

Tabela 1.3.1 – Sistemas de coordenadas ortogonais e fatores de escalas

Coordenadas Cartesianas Cilíndricas Esféricas

1u x r r

2u y θ θ

3u z z φ

1x x r.cos(θ ) r.cos(θ )sen(φ )

2x y r.sen(θ ) r.sen(θ )sen(φ )

3x z z r.cos(φ )

1h 1 1 1

2h 1 r ( )r sen φ⋅

3h 1 1 r

No sistema de coordenadas cartesianas ( ), ,x y z , os fluxos de calor ficam, então,

definidos como

1Tq kx

∂= −

∂ (1.3.5a)

2Tq ky

∂= −

∂ (1.3.5b)

3Tq kz

∂= −

∂ (1.3.5c)

Para coordenadas cilíndricas ( ), ,r zθ resulta:

rTq kr

∂= −

∂ (1.3.6a)

Tq krθ θ∂

= −∂

(1.3.6b)

zTq kz

∂= −

∂ (1.3.6c)

Para coordenadas esféricas ( ), ,r θ φ resulta:

rTq kr

∂= −

∂ (1.3.7a)

( )Tq k

rsenθ φ θ∂

= −∂

(1.3.7b)

Tq krφ φ∂

= −∂

(1.3.7c)

40

A partir das Equações (1.3.1) e (1.3.3) pode-se obter

( ) ( ) ( )2 3 1 1 3 2 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1p

h h q h h q h h q Tq Ch h h x x x t

ρ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂′′′+ + + =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

num domínio , 0tΩ > (1.3.8)

Substituindo os fluxos de calor dos sistemas de coordenadas (equações (1.3.5) a

(1.3.7)) obtêm-se as equações para os sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e

esféricas como a seguir.

- Sistema de coordenadas retangulares:

( , , , ) pT T T Tk k k q x y z t C

x x y y z z tρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′′+ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (1.3.9)

- Sistema de coordenadas cilíndricas:

2

1 1 ( , , , ) pT T T Tkr k k q r z t C

r r r r z z tθ ρ

θ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′′+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1.3.10)

- Sistema de coordenadas esféricas:

( ) ( ) ( )22 2 2 2

1 1 1

( , , , ) p

T T Tkr k ksenr r r r sen r sen

Tq r t Ct

φφ θ θ φ φ φ

θ φ ρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂′′′+ =∂

(1.3.11)

As condições de contorno em problemas de condução podem ser escritas na seguinte

forma genérica, para uma superfície iS normal a um eixo de coordenadas ix

i

i i iì S

Tk T fn

γ∂+ =

∂∓ sobre , 0iS t > (1.3.12)

Assume-se que o domínio Ω tem um número de superfícies contínuas , 1, 2, ,iS i s= … em

número, tal que cada superfície iS coincide com a superfície do sistema de coordenadas

ortogonal escolhido. As combinações 0, 1i ik γ= = ou 1, 0i iδ γ= = recuperam as condições

de contorno de primeiro ou de segundo tipos respectivamente. O sinal mais ou menos depende

se a normal a iS está apontando no sentido positivo ou negativo da direção ix

respectivamente.

41

A condição inicial geralmente é da forma:

( ) ( ),T r t F r= para 0t = no domínio Ω (1.3.13)

Os métodos de solução da equação de condução podem ser analíticos exatos, métodos

analíticos aproximados ou métodos numéricos dependendo da complexidade do problema a

ser analisado. Os métodos analíticos englobam os métodos de Separação de Variáveis,

Técnica de Transformada Integral, Técnica de Transformada de Laplace, por exemplo. Os

métodos analíticos aproximados incluem o Método Integral, Método de Rayleigh-Ritz,

Método de Galerkin, entre outros. Os métodos numéricos clássicos são: Método de Diferença

Finita, Método de Volume Finito e Método de Elemento Finito. Um método numérico

também usado é o método de Monte-Carlo. Alguns destes métodos serão descritos a seguir.

1.3.1 Soluções Analíticas

O método analítico clássico em problemas de condução de calor homogêneos é o

método de separação de variáveis. O procedimento de separação de variáveis pode ser

aplicado também ao caso dos problemas em regime permanente sem geração de calor quando

apenas uma das condições de contorno seja não homogênea. Se várias condições de contorno

são não homogêneas é possível separar o problema original em um conjunto de problemas em

que cada um dos subproblemas tenha apenas uma condição de contorno não homogênea.

Considere, por exemplo, o problema de condução multidimensional homogêneo em regime

permanente com condição de contorno não homogênea definido a seguir:

( )2 0T r∇ = num domínio Ω (1.3.14a)

i i iì

Tk hT fn∂

+ =∂

sobre iS (1.3.14b)

O problema definido por (1.3.14) pode ser separado em um conjunto de problemas

mais simples de forma que apenas uma condição de contorno permaneça não homogênea.

Cada subproblema será governado pelas seguintes equações

( )2 0jT r∇ = num domínio Ω (1.3.15a)

ji i j ij i

ì

Tk hT f

nδ

∂+ =

∂ sobre iS (1.3.15b)

42

nas quais

1, 2, ,1, 2, ,

1 se 0 se ij

i sj s

i ji j

δ

==

=⎧= ⎨ ≠⎩

……

A solução para a distribuição de temperatura será a superposição das soluções dos problemas

mais simples na forma

( ) ( )1

s

jj

T r T r=

=∑ (1.3.16)

Considere o seguinte caso de condução num paralelepípedo

0 , 0 , 0x a y b z c≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ com as condições de contorno definidas a seguir

2 2 2

2 2 2 0T T Tx y z

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ em 0 , 0 , 0x a y b z c< < < < < < (1.3.17a)

0T T= em 0x = ; T T∞= em x a= (1.3.17b, c)

1Tk qy

∂ ′′− =∂

em 0y = ; 1 1Tk hT hTy ∞

∂+ =

∂ em y b= (1.3.17d, e)

2Tk qz

∂ ′′− =∂

em 0z = ; 2 2Tk h T h Tz ∞

∂+ =

∂ em z c= (1.3.17f, g)

Como todas as condições de contorno são não homogêneas, inicialmente, faz a

seguinte mudança de variável T Tθ ∞= − , que homogeneíza três condições de contorno

resultando 2 2 2

2 2 2 0x y zθ θ θ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ em 0 , 0 , 0x a y b z c< < < < < < (1.3.18a)

0θ θ= em 0x = ; 0θ = em x a= (1.3.18b, c)

1k qyθ∂ ′′− =∂

em 0y = ; 1 0hy kθ θ∂+ =

∂ em y b= (1.3.18d, e)

2k qzθ∂ ′′− =∂

em 0z = ; 2 0hz kθ θ∂+ =

∂ em z c= (1.3.18f, g)

Agora propõe-se a separação do problema (1.3.18) em três problemas mais simples,

cada um deles com apenas uma condição de contorno não homogênea, pela seguinte

superposição:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , , , , , ,x y z x y z x y z x y zθ θ θ θ= + + (1.3.19)

43

Pode-se obter os seguintes três problemas:

Problema 1 2 2 2

1 1 12 2 2 0

x y zθ θ θ∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

em 0 , 0 , 0x a y b z c< < < < < < (1.3.20a)

1 0θ θ= em 0x = ; 1 0θ = em x a= (1.3.20b, c)

1 0yθ∂

=∂

em 0y = ; 1 11 0h

y kθ θ∂+ =

∂ em y b= (1.3.20d, e)

1 0zθ∂

=∂

em 0z = ; 1 21 0h

z kθ θ∂

+ =∂

em z c= (1.3.20f, g)

Problema 2 2 2 2

2 2 22 2 2 0

x y zθ θ θ∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

em 0 , 0 , 0x a y b z c< < < < < < (1.3.21a)

2 0θ = em 0x = ; 2 0θ = em x a= (1.3.21b, c)

21k q

yθ∂ ′′− =∂

em 0y = ; 2 12 0h

y kθ θ∂

+ =∂

em y b= (1.3.21d, e)

2 0zθ∂

=∂

em 0z = ; 2 22 0h

z kθ θ∂

+ =∂

em z c= (1.3.21f, g)

Problema 3 2 2 2

3 3 32 2 2 0

x y zθ θ θ∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

em 0 , 0 , 0x a y b z c< < < < < < (1.3.22a)

3 0θ = em 0x = ; 3 0θ = em x a= (1.3.22b, c)

3 0yθ∂

=∂

em 0y = ; 3 13 0h

y kθ θ∂

+ =∂

em y b= (1.3.22d, e)

32k q

zθ∂ ′′− =∂

em 0z = ; 3 23 0h

z kθ θ∂

+ =∂

em z c= (1.3.22f, g)

A solução de cada um dos três problemas por separação de variáveis fica na forma

( ) ( ) ( ) ( ), ,x y z X x Y y Z zθ = (1.3.23)

que substituída em qualquer das três equações (1.3.20a) ou (1.3.21a) ou (1.3.22a) resulta após

algumas manipulações 2 2 2

2 2 2

1 1 1 0d X d Y d ZX dx Y dy Z dz

+ + = (1.3.24)

44

Para o problema 1 propões-se a seguinte separação: 2

2 2 22

1 d XX dx

β γ η= = + , 2

22

1 d YY dy

γ= − e 2

22

1 d ZZ dz

η= − (1.3.25)

As equações separadas se tornam, então, 2

22 0d X X

dxβ− = (1.3.26a)

0X = em x a= (1.3.26b) 2

22 0d Y Y

dyγ+ = (1.3.27a)

0dYdy

= em 0y = (1.3.27b)

1 0dY H Ydy

+ = em y b= (1.3.27c)

22

2 0d Z Zdz

η+ = (1.3.28a)

0dZdz

= em 0z = (1.3.28b)

2 0dZ H Zdz

+ = em z c= (1.3.28c)

Para o problema 2 propõe-se a seguinte separação: 2

22

1 d XX dx

β= − , 2

2 2 22

1 d YY dy

γ β η= + = + e 2

22

1 d ZZ dz

η= − (1.3.29)

As equações separadas se tornam, então, 2

22 0d X X

dxβ+ = (1.3.30a)

0X = em 0x = (1.3.30b)

0X = em x a= (1.3.30c) 2

22 0d Y Y

dyγ− = (1.3.31a)

1 0dY H Ydy

+ = em y b= (1.3.31b)

22

2 0d Z Zdz

η+ = (1.3.32a)

0dZdz

= em 0z = (1.3.32b)

45

2 0dZ H Zdz

+ = em z c= (1.3.32c)

Para o problema 3 propõe-se a seguinte separação: 2

22

1 d XX dx

β= − , 2

22

1 d YY dy

γ= − e 2

2 2 22

1 d ZZ dz

η β γ= = + (1.3.33)

As equações separadas se tornam, então, 2

22 0d X X

dxβ+ = (1.3.34a)

0X = em 0x = (1.3.34b)

0X = em x a= (1.3.34c) 2

22 0d Y Y

dyγ+ = (1.3.35a)

0dYdy

= em 0y = (1.3.35b)

1 0dY H Ydy

+ = em y b= (1.3.35c)

22

2 0d Z Zdz

η− = (1.3.36a)

2 0dZ H Zdz

+ = em z c= (1.3.36b)

O Problema 1 requer a solução das equações (1.3.26), (1.3.27) e (1.3.28). A solução

das equações (1.3.27) e (1.3.28) correspondem ao caso 4 da Tabela 1.3.2, portanto, são da

forma

( ) ( ), cosn nY y yγ γ= ; ( ) 1n ntg b Hγ γ = (1.3.37a)

( ) ( ), cosp pZ z zη η= ; ( ) 2p ptg c Hη η = (1.3.37b)

Para completar a solução do Problema 1, falta resolver a equação (1.3.26). A solução

da Equação (1.3.26a) que satisfaz a condição (1.3.26b) é do tipo

( ) ( ),m mX x senh a xβ β⎡ ⎤= −⎣ ⎦ (1.3.37c)

em que 2 2 2 2m np n pβ β γ η= = + (1.3.38)

Desta forma a solução do Problema 1 fica na forma

46

( ) ( ) ( ) ( )11 1

, , cos cosnp np n pn p

x y z c senh a x y zθ β γ η∞ ∞

= =

⎡ ⎤= −⎣ ⎦∑∑ (1.3.39)

Aplicando a condição de contorno em 0x = resulta

( ) ( ) ( )01 1

cos cosnp np n pn p

c senh a y zθ β γ η∞ ∞

= =

=∑∑ (1.3.40)

Tabela 1.3.2 – Solução, Norma e Autovalores da Equação 2

22 0d X X

dxβ+ = em 0 x L< < para

as condições de contorno mostradas na Tabela.

No. Condições

de Contorno

x = 0

Condições

de Contorno

x = L

Autofunções.

( ),mX xβ

Inverso da norma

( )1/ mN β

Autovalores

são as raízes

positivas de

1 1 0dX H X

dx− + = 2 0dX H X

dx+ =

1

cosm m

m

xH sen x

β ββ

++

( ) ( )2 2

2 12 21 12 2

2

2

mm

m

H HL H H

H

ββ

β

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )1 22

1 2

m

m

m

tg LH H

H H

β

ββ

=

+

−

2 1 0dX H X

dx− + = 0dX

dx= ( )cos m L xβ − ( )

( )2 2

1

2 21 1

2 m

m

H

L H H

β

β

+

+ +

1m mtg L Hβ β =

3 1 0dX H X

dx− + = 0X = ( )msen L xβ − ( )

( )2 2

1

2 21 1

2 m

m

H

L H H

β

β

+

+ +

1m mctg L Hβ β = −

4 0dXdx

= 2 0dX H Xdx

+ = cos mxβ ( )( )

2 22

2 22 2

2 m

m

H

L H H

β

β

+

+ +

2m mtg L Hβ β =

5 0dXdx

= 0dXdx

= * cos mxβ m

m

2 para 0

1 para 0

L

L

β

β

≠

=

0msen Lβ =

6 0dXdx

= 0X = cos mxβ 2L

cos 0mLβ =

7 0X = 2 0dX H X

dx+ = msen xβ ( )

( )2 2

2

2 22 2

2 m

m

H

L H H

β

β

+

+ +

2m mctg L Hβ β = −

8 0X = 0dXdx

= msen xβ 2L

cos 0mLβ =

9 0X = 0X = msen xβ 2L

0msen Lβ =

47

Operando ambos os lados da equação (1.3.40) por ( )0

cosb

i y dyγ∫ e ( )0

cosc

q z dzη∫ e

utilizando a condição de ortogonalidade das autofunções resulta

( ) ( ) ( )0pn

np np n pn p

sen csen bc senh a N N

ηγθ β

γ η= (1.3.41)

da qual se obtém

( ) ( )( )0

1pnnp

n p np n p

sen csen bc

senh a N N

ηγθ

γ η β= (1.3.42)

que substituída em (1.3.59) leva a forma da solução para o Problema 1 na forma

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 0

1 1, , cos cosp npn

n pn p n p n p np

sen c senh a xsen bx y z y z

N N senh a

η βγθ θ γ η

γ η β

∞ ∞

= =

⎡ ⎤−⎣ ⎦= ∑∑ (1.3.43)

As normas na equação (1.3.43) correspondem ao caso 4 da Tabela 1.3.2 e, portanto,

são

( )( )

2 21

2 2 21 1

21 n

n n

H

N b H H

γ

γ

+=

+ +;

( )( )

2 22

2 22 2

21 p

p p

H

N c H H

η

η

+=

+ + (1.3.44)

O Problema 2 requer a solução das equações 1.3.30 a 1.3.34. A solução do problema

(1.3.30) corresponde ao caso 9 da Tabela 1.3.2 é da forma

( ) ( ),m mX x sen xβ β= ; ( ) 0msen aβ = (1.3.45)

A solução da equação (1.3.31a) que satisfaz (1.3.31b) pode ser encontrada e é do tipo

( ) ( ) ( )1, coshn n n nY y b y H senh b yγ γ γ γ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.3.46)

na qual 2 2 2 2n mp m pγ γ β η= = + (1.3.47)

A solução da equação (1.3.32a) corresponde ao caso 4 da Tabela 1.3.2 e já foi mostrada na

Equação (1.3.37b).

A solução do Problema 2 fica na forma genérica

( ) ( )( )( )

( )21 1 1

cosh, , cos

mp mp

mp m pm p mp

b yx y z c sen x z

H senh b y

γ γθ β η

γ

∞ ∞

= =

⎧ ⎫⎡ ⎤− +⎪ ⎣ ⎦ ⎪= ⎨ ⎬⎡ ⎤−⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

∑∑ (1.3.48)

da qual se obtém

48

( ) ( )( )

( )( )

22

1 1 1

h, ,cos

cos

mp mp

mp m pm p mp mp

sen b yx y zk k c sen x z

y H h b y

γ γθβ η

γ γ

∞ ∞

= =

⎧ ⎫⎡ ⎤− +∂ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪− = ⎨ ⎬∂ ⎡ ⎤+ −⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∑∑ (1.3.49)

Aplicando a condição de contorno (1.3.21d) resulta

( ) ( ) ( ){ } ( )21 1

1 1h cos cosmp m mp mp mp mp p

m pq k c sen x sen b H h b zβ γ γ γ γ η

∞ ∞

= =

′′ = +∑∑ (1.3.50)

Operando ambos os lados da equação (1.3.50) por ( )0

a

msen x dxβ∫ e ( )0

cosc

q z dzη∫ e

utilizando a condição de ortogonalidade das autofunções resulta para a constante

( ) ( )( ) ( )

12

1

1 cos 1h cos

pmmp

m m p p mp mp mp mp

sen caqck N N sen b H h b

ηββ η γ γ γ γ

⎡ ⎤−′′ ⎣ ⎦=+

(1.3.51)

que substituída em (1.3.48) leva a forma final da solução do Problema 2

( )( ) ( )

( )( )( )

( )

( ) ( )11

2 21 1 1

coshcos

1 cos, ,

h cos

mp mp

m p

mppm

m p m m p p mp mp mp mp

b ysen x z

H senh b ysen caqx y zk N N sen b H h b

γ γβ η

γηβθ

β η γ γ γ γ

∞ ∞

= =

⎧ ⎫⎡ ⎤− +⎪ ⎣ ⎦ ⎪⎨ ⎬

⎡ ⎤+ −⎡ ⎤− ⎪ ⎪′′ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎩ ⎭=+∑∑

(1.3.52)

A norma mN corresponde ao caso 9 da Tabela 1.3.2. A norma pN corresponde ao

caso 4 da Tabela 1.3.2. Assim tem-se

1 2

mN a= ;

( )( )

2 22

2 22 2

21 p

p p

H

N c H H

η

η

+=

+ + (1.3.53)

O Problema 3 é similar ao Problema 2, exceto a direção da condição de contorno não

homogênea. Analogamente, então, tem-se a solução de (1.3.36a) e (1.3.36b) na forma

( ) ( ) ( )2, cosh hp p p pZ z c z H sen c zη η η η⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.3.54)

na qual 2 2 2 2p mn m nη η β γ= = + (1.3.55)

A solução para 3θ , então, será da forma

49

( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )12

3 21 1 1

coshcos

1 cos, ,

h cos

mn mnm n

mnm n

m n m m n n mn mn mn mn

c zsen x y

H senh c za sen bqx y zk N N sen c H h c

η ηβ γ

ηβ γθ

β γ η η η η

∞ ∞

= =

⎧ ⎫⎡ ⎤− +⎪ ⎣ ⎦ ⎪⎨ ⎬

⎡ ⎤+ −⎡ ⎤− ⎪ ⎪′′ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎩ ⎭=+∑∑

(1.3.56)

1.3.2 Métodos aproximados

Os métodos aproximados servem para estimativas de soluções quando alguma

complicação dificulta uma solução analítica. Hoje, com o grande desenvolvimento de

métodos numéricos e disponibilidade de computadores, talvez, os métodos aproximados

sejam menos utilizados. Entre os vários métodos aproximados tem-se o método integral,

método de análise de escala e métodos gráficos.

1.3.2.1 Método integral

Considere o problema de encontrar a máxima temperatura na seção transversal de um

condutor elétrico de dimensões L por H, cujo contorno esteja à temperatura T∞ , e com geração

interna q′′′ . Este problema é governado pela seguinte equação, supondo condutividade

térmica constante, 2 2

2 2

T T qx y k

′′′∂ ∂+ = −

∂ ∂ (1.3.57)

com as condições de contorno

T T∞= em / 2x L= ± (1.3.58a, b)

T T∞= em / 2y H= ± (1.3.58c, d)

A temperatura máxima para este problema ocorre na posição ( )0, 0x y= = que é o

ponto mais distante de todos os contornos. A chave do método integral é a escolha de um

perfil de temperatura que satisfaça as condições de contorno e que quando substituído na

equação integrada permita estimativa de parâmetros de interesse no problema. Definindo o

excesso de temperatura como T Tθ ∞= − . Um perfil razoável para ( ),T x y pode ser da forma

50

( )2 2

max, 1 1/ 2 / 2x yT x y T

L Hθ∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1.3.59)

que satisfaz as condições de contorno e no qual maxθ é a incógnita. Integrando a equação

(1.3.57) tem-se

2 2/ 2 / 2

2 2/ 2 / 2

L H

L H

T T qdxdy HLx y k− −

′′′⎛ ⎞∂ ∂+ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ (1.3.60)

Derivando a equação (1.3.59) em relação a x e y duas vezes obtém-se 22

max2 2

8 1 4T yx L H

θ ⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (1.3.61a)

22max

2 2

8 1 4T xy H L

θ ⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (1.3.61b)

Substituindo (1.3.61a, b) em (1.3.60) e integrando o lado esquerdo resulta 2 2

max163

H L q HLHL k

θ′′′⎛ ⎞+

− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.3.62)

da qual se obtém a temperatura máxima como 2 2

max 2 2

163

q L Hk H L

θ′′′

=+

(1.3.63)

A máxima diferença de temperatura aumenta proporcionalmente com a razão /q k′′′ e com o

quadrado do menor dos dois lados. A fórmula (1.3.63) aproxima-se da solução exata quando a

seção transversal é plana ( ) ou H L H L>> << . Ela é menos precisa no caso de uma seção

quadrada, quando ela superestima a máxima diferença de temperatura em cerca de 27 %.

1.3.2.2 Método de análise de escala

O primeiro termo na equação (1.3.57) representa a curvatura da distribuição de

temperatura na direção x. A curvatura representa a mudança na inclinação /T x∂ ∂ , a ordem

de grandeza derivada segunda pode ser avaliada como

2/ 2 0

2 / 2 0x L x

T TT x x

x L= =

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ −

∼ (1.3.64)

51

O símbolo ∼ significa da mesma ordem de grandeza. Por simetria, ( ) 0/ 0

xT x

=∂ ∂ = . O

gradiente de temperatura deve ser proporcional à diferença máxima de temperatura; desta

forma,

max

/ 2 / 2x L

Tx L

θ

=

∂⎛ ⎞ −⎜ ⎟∂⎝ ⎠∼ (1.3.65)

e conseqüentemente,

( )

2max

22 / 2T

x Lθ∂

−∂

∼ (1.3.66)

Por um argumento semelhante pode-se concluir que

( )

2max

22 / 2T

y Hθ∂

−∂

∼ (1.3.67)

Substituindo (1.3.66) e (1.3.67) em (1.3.57) resultará

( ) ( )max max

2 2/ 2 / 2qkL H

θ θ ′′′+ ∼ (1.3.68)

da qual se obtém a diferença máxima de temperatura como 2 2

max 2 24q L Hk L H

θ′′′

+∼ (1.3.69)

A análise de escala levou a um resultado que é cerca de 33 % maior do que o resultado

da análise integral (Eq. (1.3.63)). A análise de escala produz um resultado compacto e barato

que concorda com a solução exata dentro de um fator de grandeza de ordem 1 com a solução

exata do problema.

1.3.2.3 Método gráfico

O método gráfico é ilustrado na Figura 1.3.1. Suponha o caso de uma região retangular

com as faces esquerda e direita isoladas termicamente. Suponha que o topo esteja numa

temperatura mais alta do que o fundo. As linhas horizontais serão linhas isotérmicas, normais

a estas linhas têm-se as linhas de fluxo, que serão as linhas verticais. A taxa total de calor que

entra na parede superior é suposta ser composta de n mini-correntes de igual dimensão, cada

obtida como

( )1,2, ,iqq i nn

= = … (1.3.70)

52

Cada mini-corrente escoa através de um tubo de calor, isto é, o espaço entre duas linhas de

fluxo adjacentes.

Figura 1.3.1 – Malhas de isotermas e linhas de fluxos: (a) malha quadrada; (b) malha curva

O desenho das linhas de fluxo e das isotermas formam uma malha ou grade. Suponha

que a dimensão de cada malha seja x yΔ ×Δ . Se a dimensão vertical for dividida em m malhas,

pode-se estimar a variação de temperatura em um malha como

( )1,2, ,h cj

T TT j mm−

Δ = = … (1.3.71)

De acordo com a lei de Fourier, a mini-corrente que passa através do quadrado ( ),i j é

ji j

Tq k xW kW T

yΔ

= Δ = ΔΔ

(1.3.72)

na qual W é a dimensão normal ao plano da folha. Pela combinação das equações (1.3.70)-

(1.3.72) pode-se obter a taxa total de transferência de calor

( )h cnq Wk T Tm

= − (1.3.73)

Na equação (1.3.73), define-se o que se chama de fator de forma como

53

nS Wm

= (1.3.74)

Este procedimento que resultou na Eq. (1.3.73) se aplica mesmo no caso das linhas

isotermas e de fluxo serem curvas. Existem nos livros de transferência de calor fatores de

forma para várias configurações.

1.3.3 Métodos numéricos

Atualmente, com o desenvolvimento e maior disponibilização de computadores, os

métodos mais comumente usados para se resolver a equação de condução multidimensional

são métodos numéricos, em que um meio continuo é substituído por subdomínios que formam

uma malha ou conjunto de pontos. Os pontos são nós (nódulos) na intersecção das linhas da

malha ou grade. Em condução de calor, o método numérico mais comumente usado é o

método de diferença finita. Com o uso de métodos numéricos, muitas das simplificações para

se obter soluções analíticas não necessitam serem feitas.

1.3.3.1 Volume finito

Considere um volume de controle de dimensões ( ) ( )x y WΔ × Δ × , Figura 1.3.2, um

balanço de energia leva ao

0w e s nq q q q q x yW′′′+ + + + Δ Δ = (1.3.75)

na qual foi assumido que as taxas de calor entram no volume de controle, cujo nó central é

identificado pelo símbolo P . O subscrito w é a face oeste voltada para o nó W ; e a face leste

voltada para o nó E ; s á face sul voltada para o nó S e n é a face norte voltada para o nó N .

As taxas de calor são definidas como

( )

( ) ( )

( )

N Pn n

n

W P E Pw w e e

w e

S Ps s

s

T Tq k W xy

T T T Tq k W y x yWq q k W yx x

T Tq k W xy

δ

δ δ

δ

−≅ Δ

− −′′′≅ Δ Δ Δ ≅ Δ

−≅ Δ

(1.3.76)

No centro da eq. (1.3.76) está indicada a taxa de geração de calor dentro do volume de

controle.

54

Figura 1.3.2 – Volume de controle em torno de um ponto P.

Substituindo (1.3.76) em (1.3.75) obtém-se

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0

s n w eP

s n w e

w e s nW E S N

w e s n

k x k x k y k y Ty y x x

k y k y k x k xT T T T q x yx x y y

δ δ δ δ

δ δ δ δ

⎡ ⎤Δ Δ Δ Δ− + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Δ Δ Δ Δ ′′′+ + + + + Δ Δ =

(1.3.77)

se for considerado que a geração seja uma função da temperatura: p p Cq S T S′′′ = + , a equação

(1.3.77) fica na forma

p P W W E E S S N Na T a T a T a T a T b= + + + + (1.3.78)

na qual

( )e

Ee

k yaxδΔ

= (1.3.79a)

( )w

Ww

k yaxδΔ

= (1.3.79b)

( )n

Nn

k xayδΔ

= (1.3.79c)

( )s

Ss

k xayδΔ

= (1.3.79d)

p E W N S Pa a a a a S x y= + + + − Δ Δ (1.3.79e)

Cb S x y= Δ Δ (1.3.79f)

55

A equação (1.3.78) se escrita numa forma matricial sugere um arranjo pentadiagonal,

que pode ser resolvida por técnicas numéricas bem conhecidas.

No caso de um problema tridimensional, a coordenada z também será discretizada e

existirão fluxos nas faces t (topo) e b (fundo), equação (1.3.78) e os coeficientes ficam na

forma

p P W W E E S S N N T T B Ba T a T a T a T a T a T a T b= + + + + + + (1.3.80)

na qual

( )e

Ee

k y zaxδ

Δ Δ= (1.3.81a)

( )w

Ww

k y zaxδΔ Δ

= (1.3.81b)

( )n

Nn

k x zayδΔ Δ

= (1.3.81c)

( )s

Ss

k x zayδ

Δ Δ= (1.3.81d)

( )t

Tt

k x yazδ

Δ Δ= (1.3.81e)

( )b

Bb

k x yazδ

Δ Δ= (1.3.81f)

p E W N S T B Pa a a a a a a S x y z= + + + + + − Δ Δ Δ (1.3.81g)

Cb S x y z= Δ Δ Δ (1.3.81h)

No caso de problemas tridimensionais, a equação (1.3.80) sugere um arranjo

heptadiagonal.

1.3.3.2 Diferença finita

No caso em que se usa o método clássico de diferenças finitas pode-se ter as três

seguintes aproximações para o gradiente de temperatura num ponto ,i j , Figura 1.3.3,

( ) ( )1, 1,2

T i j T i jT Tx x x

+ − −∂ Δ≈ =

∂ Δ Δ (1.3.82a)

( ) ( ), 1,T i j T i jT Tx x x

− −∂ Δ≈ =

∂ Δ Δ (1.3.82b)

56

( ) ( )1, ,T i j T i jT Tx x x

+ −∂ Δ≈ =

∂ Δ Δ (1.3.82c)

Figura 1.3.3 – Nomenclatura para discretização por diferença finita.

As equações (1.3.82a), (1.3.82b) e (1.3.82c) são conhecidos como diferenças centrais,

diferenças para trás e diferenças para frente respectivamente. Derivadas segundas podem ser

aproximadas como

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2

2

1, , , 1,

1, 2 , 1, =

k T i j T i j T i j T i jTkx x x

k T i j T i j T i j

x

⎡ ⎤+ − − + −∂ ∂⎛ ⎞ ⎣ ⎦≈ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ Δ

⎡ ⎤+ − + −⎣ ⎦Δ

(1.3.83)

Analogamente, tem-se

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2

2

, 1 , , , 1

, 1 2 , , 1 =

k T i j T i j T i j T i jTky y y

k T i j T i j T i j

y

⎡ ⎤+ − − + −⎛ ⎞∂ ∂ ⎣ ⎦≈ =⎜ ⎟∂ ∂ Δ⎝ ⎠

⎡ ⎤+ − + −⎣ ⎦Δ

(1.3.84)

Desta forma a equação de condução em regime permanente discretizada em diferenças

finitas fica na forma

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )2 2 2 2 2 2

, 1 1, 2 , 2 , 1, , 10

T i j T i j T i j T i j T i j T i j qky x x y x y

− − + + ′′′+ − − + + + =

Δ Δ Δ Δ Δ Δ (1.3.85)

que numa forma mais compacta fica como

, 1 1, , 1, , 1 ,i j i j i j i j i j i jaT bT cT bT aT d− − + ++ + + + = (1.3.86)

na qual

57

( )21ay

= −Δ

(1.3.87a)

( )21bx

= −Δ

(1.3.87b)

( ) ( )2 22 2cx y

= +Δ Δ

(1.3.87c)

,i jqdk′′′

= (1.3.87d)

1.3.3.3 Elemento finito

O método de elementos finitos, ilustrado na Figura 1.3.4, também tem sido usado para

se resolver a equação de condução, devido sua versatilidade para discretizção de domínios

complexos

( ) 0k T q′′′∇ ∇ + =i (1.3.88)

Multiplicando a equação (1.3.88) por uma função de ponderação W e integrando no domínio

de um elemento, após uma integração por partes obtém-se

0

0e e

e e e

e e e

W k Td Wq d

W k Td Wk T nd Wq d

TW k Td Wk d Wq dn

Ω Ω

Ω Γ Ω

Ω Γ Ω

′′′∇ ∇ Ω+ Ω =

′′′− ∇ ∇ Ω+ ∇ Γ+ Ω =

∂ ′′′∇ ∇ Ω = Γ + Ω∂

∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

i

i i

i

(1.3.89)

Agora, interpola-se a temperatura dentro de um elemento na forma:

{ }eT N T= (1.3.90)

na qual

1

2

T

Ne

NN

N

N

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

; { }1

2e

Ne

TT

T

T

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

(1.3.91a, b)

em que iN e iT são funções de interpolação conhecidas e associadas ao nó i de um elemento e

os valores nodais da temperatura respectivamente num elemento. Tomando caso do método

de Galerkin, em que

58

W N= (1.3.92)

e substituindo (1.3.90) e (1.3.92) em (1.3.89) resultará

{ } { } { } { }e e e

e TN k N d T N k d N q dnΩ Γ Ω

∂ ′′′∇ ∇ Ω = Γ + Ω∂∫ ∫ ∫i (1.3.93)

Figura 1.3.4 – Malhas de elementos finitos: (a) elementos triangulares; (b) elementos

quadrilaterais.

A equação (1.3.93) pode ser escrita numa forma matricial como

{ } { }e e eK T Q⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (1.3.94)

No caso de um problema bidimensional os elementos da matriz eK⎡ ⎤⎣ ⎦ e do vetor fonte são

definidos por

ije

j je i iN NN NK k dxdyx x y yΩ

∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫ (1.3.95)

e e

ei i i

TQ N k d N q dxdynΓ Ω

∂ ′′′= Γ +∂∫ ∫ (1.3.96)

59

O primeiro termo do lado direito da Eq. (1.3.96) será avaliado somente nos elementos

que tenha um contorno coincidindo com o contorno externo do domínio com fluxo de calor

especificado. Se o domínio for discretizado em um número de elementos Nelem, considerando

a contribuição de todos os elementos, resultará a forma matricial,

[ ]{ } { }K T Q= (1.3.97)

na qual, agora, a matriz [ ]K e o vetor { }Q conterão a contribuição de todos os elementos:

[ ]1

Neleme

eK K

=

⎡ ⎤= ⎣ ⎦∑ ; { } { }1

Neleme

eQ Q

=

= ∑ (1.3.98)

O vetor { }T conterá as temperaturas de todos os pontos do domínio.

A solução da equação (1.3.97) é feita após introdução dos valores conhecidos de

temperatura em alguma parte do contorno do domínio, por técnicas numéricas apropriadas

para solução de sistemas lineares esparsos.

No caso de condução num meio anisotrópico, a equação de condução ficaria na forma:

0iji j

Tk qx x⎛ ⎞∂ ∂ ′′′+ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(1.3.99)

Em tal caso, a matriz eK⎡ ⎤⎣ ⎦ será definida na forma para um problema tridimensional:

11 12 22

13 23

33

e

e

N N N NN N N Nk k kx x x y y x y y

N N N NN N N NK k k dxdydzx z z x y z z y

NNkz z

αβ

β β β βα α α α

β β β βα α α α

βα

Ω

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥= + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥∂∂⎢ ⎥+⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∫ (1.3.100)

O vetor do termo fonte ficará na forma

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

e e

e

T T Tk k k nx y z

T T TQ N k k k n d N q dxdydzx y z

T T Tk k k nx y z

α α αΓ Ω

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ′′′= + + + + Γ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥+ + +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ (1.3.101)

Portanto, pode-se ver a vantagem de usar o método de elementos finitos neste

problema mais complexo.

60

1.3.4 Resolução das Equações Geradas pelo Método de Diferenças Finitas

Qualquer que seja o método numérico empregado para solução de uma equação

diferencial parcial, o resultado final é a obtenção de um sistema algébrico de equações que

pode ser escrito na seguinte forma genérica:

AT B= (1.3.102)

na qual A é a matriz de coeficientes que depende da geometria, das propriedades do material,

etc. T é o vetor de incógnitas das temperaturas em pontos do domínio que depende do

método de discretização. B é o vetor de termos fontes, etc.

Existem vários métodos de solução: diretos e iterativos que podem ser encontrados na

literatura.

1.3.4.1 Método de Inversão de Matriz

Trata-se de um método direto, mas nem sempre pode ser aplicado, por exemplo,

quando a matriz A depende de T , o que torna o problema não linear. Em essência o método

consiste em multiplicar pela esquerda a Eq. (1.3.102) pela inversa de A , ou seja, por 1A− 1 1 1 1A AT A B IT A B T A B− − − −= ⇔ = ⇔ = (1.3.103)

A solução para T pode também ser escrita na forma:

T C= (1.3.104)

em que 1C A B−= (1.3.105)

1.3.4.2 Método de Iterativo de Gauss-Seidel

11 1

1 11 2 3

i n( k ) ( k ) ( k ) ( k )

i i i ij j ij j iij j i

Dado T fazer T T ( b a T a T ) / a , k , , ,....−

− −

= = += + − − =∑ ∑o (1.3.106).

Nesta equação o termo

11

1 1

i n( k ) ( k )

ij j ij jj j i

a T a T−

−

= = ++∑ ∑ (1.3.107).

pode ser simplesmente implementado como

1 1 11 2 1 1

1

n( k ) (k) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k )

ij j i i n nj

ˆ ˆa T , onde T (T ,T T ,T T ,T )− − −− −

==∑ T (1.3.108)

61

Portanto, basta manter o vetor T atualizado e utilizar esta informação assim que se torne

disponível. Abaixo apresenta-se o algoritmo baseado na equação (1.3.106)

Algoritmo - Método iterativo de Gauss-Seidel Escolha um vetor inicial T(0), aproximante de T Defina o número máximo de iterações, iMax for k = 1:iMax T(k-1) = T(k) for i = 1:n Calcule o resíduo: r(k)(i) = b(i) – A(i,:)T(k)(:) T(k)(i) = T(k-1)(i) + r(i)/A(i,i) end for Calcule ||r(k)|| Calcule ||T(k) – T(k-1)|| Teste o critério de convergência, continue se necessário end for

1.3.5 Separação de Variáveis em outros sistemas de coordenadas

O método de separação de variáveis pode ser aplicado em vários outros sistemas de

coordenadas. Vide Bejan, 1993, Ozisik, 1984.

62

1.4. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente

A condução transiente ocorre principalmente quando um sólido experimenta uma

mudança repentina em seu ambiente térmico, por exemplo, nos processos de tratamento

térmico. Os métodos usados para se resolver tais problemas englobam o modelo de

capacitância concentrada ou o modelo de sólido semi-infinito, transformada de Laplace,

transformada integral, métodos numéricos (diferença finita, elemento finito, etc.) e métodos

aproximados. Alguns destes métodos serão vistos na seqüência.

1.4.1 O modelo da capacitância concentrada

A essência do método da capacitância concentrada é a hipótese de que a temperatura

do sólido é espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo transiente. Ou

seja, despreza-se o gradiente de temperatura no interior do corpo. Sob determinadas

condições, o modelo de capacitância concentrada pode ser aplicado. Normalmente, um

processo de condução transiente inicia-se pela convecção imposta na superfície do sólido, mas

dependendo do nível de temperatura pode ocorrer transferência radiativa. A Figura 1.4.1

ilustra o processo.

Figura 1.4.1 – Resfriamento de um sólido por imersão num líquido.

Considere uma situação na qual as condições térmicas de um sólido podem ser

alteradas por convecção, radiação e fluxo de calor aplicados à superfície e geração interna de

energia. Assume-se que no instante 0t = a temperatura do sólido seja iT diferente da

temperatura do fluido T∞ e da temperatura da vizinha vizT . Em parte da superfície é imposto

63

um fluxo q′′e a geração interna é gq . Desprezando gradientes de temperatura no interior do

sólido, um balanço de energia fornece

, , ,s h g c s c r s rdTq A q q A q A Vcdt

ρ′′ ′′ ′′+ − − = (1.4.1)

Substituindo os fluxos de calor convectivo e radiativo na equação (1.4.1) resulta a equação

( ) ( )4 4, , ,s h g s c viz s r

dTq A q h T T A T T A Vcdt

εσ ρ∞′′ + − − − − = (1.4.2)

A equação (1.4.2) é uma equação diferencial ordinária não linear que pode ser rearranjada na

forma

( )( ) ( )

4 4

, , ,viz

s h g s c s r

T T dTq A q hA A T T VcT T dt

εσ ρ∞∞

⎡ ⎤−′′ ⎢ ⎥+ − + − =

−⎢ ⎥⎣ ⎦ (1.4.3)

ou definindo o excesso de temperatura, T Tθ ∞= − , resulta após algumas manipulações

( ) ,, 0s h ge s c q A qh Addt Vc Vc

θθ θρ ρ

′′ +⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.4.4)

na qual

( ) ( )( )

4 4,

,

viz s re

s c

T T Ah h

T T Aθ εσ

∞

⎡ ⎤−⎢ ⎥= +

−⎢ ⎥⎣ ⎦ (1.4.5)

Definindo

,e s ch Aa

Vcρ= ; ,s h gq A q

bVcρ

′′ += (1.4.6)

a equação (1.4.4) pode ser reescrita como

( ) ( ) ( ) ( ) 0d t

a t t b tdtθ

θ+ − = (1.4.7)

com a condição inicial

( )0 iθ θ= (1.4.8)

A solução da Eq. (1.4.7) com condição inicial (1.4.8) é da forma

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 0 0 0

t t t t

it exp a t dt exp a t dt b t exp a t dt dtθ θ′

′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′= − + − −∫ ∫ ∫ ∫ (1.4.9)

No caso em que se tenha somente convecção no contorno do sólido e nenhuma

geração interna

, 0shAa bVcρ

= = (1.4.10)

64

Em tal caso, resulta a solução

( ) si

hAt exp tVc

θ θρ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.4.11)

Uma análise mostra que o modelo de capacitância concentrada é válido quando o

número de Biot que é razão da resistência condutiva pela resistência convectiva for

0 1ci

hLB ,k

= < (1.4.12)

1.4.2 O modelo do sólido semi-infinito

O modelo de capacitância concentrada se aplica quando a temperatura através do

sólido tem praticamente o mesmo valor, num período que é denominado regime posterior,

quando

( )2

0rt T T tα

>> ≅ (1.4.13)

na qual 0r é uma dimensão característica do corpo. No regime inicial, quando,

( )2

0rt T T r ,tα

<< ≅ (1.4.14)

o modelo de capacitância concentrada não é mais válido. Neste caso o modelo de sólido semi-

infinito é mais apropriado, Figura 1.4.2. Três casos são de interesse: temperatura constante no

contorno, fluxo de calor constante no contorno ou superfície em contato com um fluido.

Figura 1.4.2 – Modelo de sólido semi-infinito

65

1.4.2.1 O modelo do sólido semi-infinito: temperatura constante no contorno

Considere o seguinte caso, 2

2

1T Tx tα

∂ ∂=

∂ ∂ (1.4.15)

com as condições inicial e de contorno definidas com a seguir,

Condição inicial:

iT T= em 0t = (1.4.16)

Condições de contorno:

T T∞= em 0x = (1.4.17)

iT T→ em x →∞ (1.4.18)

A solução das equações (1.4.15) por ser pelo uso de variável de similaridade, desta

forma, define-se

xt

ηα

= (1.4.19)

Os termos da Eq. (1.4.15) podem ser transformados como

1T dT dTx d x d t

ηη η α

∂ ∂= =

∂ ∂ (1.4.20)

2 2

2 2

1T d T d Tx d x x d t

ηη η α

∂ ∂ ∂⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (1.4.21)

3 22 /

T dT dT xt d t d t

ηη η α

∂ ∂ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟∂ ∂ ⋅⎝ ⎠

(1.4.22)

Que substituídos em (1.4.15) leva à equação: 2

2 02

d T dTd d

ηη η

+ = (1.4.23)

Com as condições de contorno, agora, representadas por

T T∞= em 0η = (1.4.24)

iT T→ em η →∞ (1.4.25)

A Eq. (1.4.23) pode ser rearranjada como

( )2

d T dTd , TT d

η ηη

′′= =

′ (1.4.26)

Integrando duas vezes em η , a equação (1.4.26) leva ao seguinte resultado:

66

2

14lnT lnCη′ = − + (1.4.27)

2

1 4dT C expd

ηη

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.4.28)

2

1 20 2T C exp d C

η β β⎡ ⎤⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ (1.4.29)

na qual β é uma variável muda e de acordo com a equação (1.4.24), 2C T∞= :

2

1 0 2T T C exp d

η β β∞

⎡ ⎤⎛ ⎞− = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ (1.4.30)

O membro direito da Eq. (1.4.30) lembra a função erro, definida como

( ) ( )21 2 0

2 x

/erf x exp m dmπ

⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫ (1.4.30)

Com as seguintes propriedades

( ) ( )0 0 1erf erf= ∞ = (1.4.31a, b)

( ) 1 20

2 1 1284/x

d erf x ,dx π=

⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ (1.4.32)

O lado direito da equação (1.4.30) pode ser reformulado como

( )

( )

( )

2

1 0

2 21 0

1 2 2 21 1 2 0

3

22 2

2

222

2

/

/ /

/

T T C exp d

= C exp m dm

= C exp m dm

= C erf /

η

η

η

β β

ππ

η

∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎣ ⎦

∫

∫

∫

(1.4.33)

Pela condição de contorno (1.4.25), 3C é determinada como, 3 iC T T∞= − . A solução

para ( )T x,t fica na forma

( )( )1 22 /

i

T x,t T xerfT T tα

∞

∞

⎡ ⎤−= ⎢ ⎥

− ⎢ ⎥⎣ ⎦ (1.4.34)

A partir da equação (1.4.34) pode-se calcular o fluxo de calor por

( )( )1 2

0

i/

x

T TTq t k kx tπα

∞

=

−∂⎛ ⎞′′ = − = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (1.4.35)

67

1.4.2.2 O modelo do sólido semi-infinito: fluxo de calor constante no contorno

Considere, agora, o caso em que a condição de contorno em 0x = , seja fluxo e calor

constante especificado, ou seja, em lugar de (1.4.17) tem-se

0Tk qx

∂ ′′− =∂

em 0x = (1.4.36)

Definindo uma nova variável como

Tkx

φ ∂= −

∂ (1.4.37)

e introduzindo-a na eq. (1.4.15) resulta 2

2

1x tφ φ

α∂ ∂

=∂ ∂

(1.4.38)

As condições inicial e de contorno ficam na forma para a variável φ

0φ = em 0t = (1.4.39)

0qφ ′′= em 0x = (1.4.40a)

0φ → em x →∞ (1.4.40b)

De acordo com o item 1.4.5.1, a solução de (1.4.38) é da forma

1 22xC erf C

tφ

α⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.4.41)

Usando as condições de contorno (1.4.40a, b) obtém-se 1 0C q′′= − e 2 0C q′′= , e, portanto,

0 012 2

x xq erf q erfct t

φα α

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ′′= − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(1.4.42)

Substituindo (1.4.42) em (1.4.37) resulta

0

2qT xerfc

x k tα′′∂ ⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ (1.4.43)

que integrada leva ao resultado

0

2x

q xT erfc dx Ck tα

∞′′ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ (1.4.44)

Após integração por partes da integral na eq, (1.4.44) obtém-se e determinado a constante C

obtém-se a solução para ( )T x,t na forma

( )2

0 024 2i

q q xt x xT x,t T exp erfck t k t

απ α α

⎛ ⎞′′ ′′⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

(1.4.45)

68

A partir de (1.4.45) pode-se obter a temperatura na face 0x = como

00

2i

q tT Tk

απ

⎛ ⎞′′= + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.4.46)

1.4.2.3 O modelo do sólido semi-infinito: superfície em contato com um fluido

Neste caso a condição de contorno em 0x = é imposta na forma

( )Tk h T Tx ∞

∂− = −

∂ em 0x = (1.4.47)

Por procedimentos similares aos dos casos anteriores chega-se á solução na forma:

( ) 2

22 2i

T x,t T x hx h t x h te rf exp erfcT T k k kt t

α αα α

∞

∞

⎛ ⎞− ⎛ ⎞⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1.4.48)

1.4.3 Condução unidimensional

O interesse em soluções unidimensionais transientes é que elas serão usadas,

posteriormente, nas soluções multidimensionais.

1.4.3.1 Placa de espessura constante

Considere o caso de uma placa de espessura 2L e temperatura inicial iT , cujos lados

são repentinamente expostos a um meio convectivo de temperatura T∞ e coeficiente h .

Definindo o excesso de temperatura ( ) ( )x,t T x,t Tθ ∞= − , resulta o conjunto de equações para

solução do problema:

- equação de condução 2

2

1x tθ θ

α∂ ∂

=∂ ∂

(1.4.49)

- condição inicial

iθ θ= em 0t = (1.4.50)

69

- condições de contorno

0xθ∂=

∂ em 0x = (1.4.51)

k hxθ θ∂

− =∂

em x L= (1.4.52)

Pelo procedimento de separação de variáveis, adotando ( ) ( ) ( )x,t X x tθ τ= , obtém-se

22

2 0d X xdx

λ+ = (1.4.53)

0dXdx

= em 0x = (1.4.54)

0dX h Xdx k

+ = em x L= (1.4.55)

2d dtτ αλτ

= − (1.4.56)

A solução de (1.4.53) a (1.4.55) corresponde ao caso 4 da Tabela 4.2, sendo da forma:

mxX cos LL

λ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.4.57)

A solução de (1.4.56) é do tipo:

( )2C exp tτ αλ= − (1.4.58)

Portanto, a solução de θ será da forma:

( ) ( ) ( )2

1m m m

mx,t C cos x exp tθ λ αλ

∞

=

= −∑ (1.4.59)

Aplicando a condição inicial obtém-se

( )1

i m mm

C cos xθ λ∞

=

=∑ (1.4.60)

Operando ambos os da eq. (1.4.60) por ( )0

L

ncos x dxλ∫ e usando a condição de ortogonalidade

das autofunções

( ) ( )2

0 0

L L

i m m mcos x dx C cos x dxθ λ λ=∫ ∫ (1.4.61)

Após efetuar as integrações em (1.4.61) chega à expressão da constante:

( )( ) ( )

2 i mm

m m m

sen LC

L sen L cos Lθ λ

λ λ λ=

+ (1.4.62)

A substituição de (1.4.62) em (1.4.59) leva à solução para a temperatura na forma:

70

( ) ( )

( )( ) ( )

22

12

i i

mm m

m m m m

x,t T x,t TT T

sen a x tcos a exp aa sen a cos a L L

θθ

α

∞

∞

∞

=

−=

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

(1.4.63)

na qual

( )m m m mhLa tg a , a Lk

λ= = (1.4.64)

Na forma adimensional i

T TT T

∞

∞

−−

, a temperatura depende de três grupos adimensionais:

2

x t hL, Fo , BiL L k

α= = (1.4.65)

na qual Fo e Bi são os números de Fourier e de Biot respectivamente.

A temperatura no plano médio da placa pode ser calculada fazendo 0x = na eq.

(1.4.63), resultando

( )( ) ( ) ( )2

12 mc

mmi m m m

sen aT T exp a FoT T a sen a cos a

∞∞

=∞

−= −

− +∑ (1.4.66)

A temperatura em qualquer outro plano da placa pode ser calculada na forma:

( ) ( )( )

( )c

i c i

T x,t T T x,t T T t TT T T t T T T

∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −= ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(1.4.67)

É comum graficar os termos entre colchetes na eq. (1.4.67) em função do número de Fourier

tendo o número de Biot como um parâmetro para facilitar estimativas rápidas da temperatura.

A taxa total de transferência de calor é de interesse. Considerando apenas metade da

placa, a máxima taxa de transferência de calor num intervalo 0 t− é calculada por

( )i iQ WHLc T Tρ ∞= − (1.4.68)

na qual W e H são a largura e altura da placa respectivamente frontal á transferência de

calor.

A taxa de calor real num intervalo 0 t− é sempre menor do que o máximo e pode ser

calculada como

( )0

tQ t WH q dt′′= ∫ (1.4.69)

na qual

x L

Tq kx =

∂⎛ ⎞′′ = − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (1.4.70)

71

Normalmente se gráfica ( ) iQ t / Q em função de 2Bi Fo .

1.4.3.2 Cilindro longo

No caso de um cilindro longo, as equações governantes ficam na forma:

- equação de condução 2

2

1 1r r r tθ θ θ

α∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂

(1.4.71)

- condição inicial

iθ θ= em 0t = (1.4.72)

- condições de contorno

0rθ∂=

∂ em 0r = (1.4.73)

k hrθ θ∂

− =∂

em or r= (1.4.74)

A separação de variáveis agora é proposta como ( ) ( ) ( )r ,t R r tθ τ= , que resulta em

22

2

1 0d R dR Rdr r dr

λ+ + = (1.4.75)

0dRdr

= em 0r = (1.4.76)

0dR h Rdr k

+ = em or r= (raio externo) (1.4.77)

A equação na variável tempo é idêntica à do caso do item 1.4.3.1. A solução geral da eq.

(1.4.75) é do tipo:

( ) ( )1 0 2 0R C J r C Y rλ λ= + (1.4.78)

na qual 0J e 0Y são funções de Bessel de ordem zero do primeiro e segundo tipos

respectivamente.

O valor finito da temperatura no centro do cilindro requer que 2 0C = . A solução final

para a temperatura será da forma:

( )( ) ( ) ( )2

02 21 0

2n n

ni on n

T r,t T Bi rJ b exp b FoT T rb Bi J b

∞∞

=∞

− ⎛ ⎞= −⎜ ⎟− + ⎝ ⎠∑ (1.4.79)

72

Na qual os números de Fourier e Biot são definidos como

2o

o

hrtFo , Bir kα

= = (1.4.80)

e os autovalores n n ob rλ= sã as raízes da equação transcendental:

( ) ( )1 0 0n n nb J b BiJ b− = (1.4.81)

1.4.3.3 Esfera

No caso de uma esfera, as equações governantes ficam na forma:

- equação de condução 2

2

2 1r r r tθ θ θ

α∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂

(1.4.82)

- condição inicial

iθ θ= em 0t = (1.4.83)

- condições de contorno

0rθ∂=

∂ em 0r = (1.4.84)

k hrθ θ∂

− =∂

em or r= (1.4.85)

Definindo uma nova variável rφ θ= obtém-se um novo conjunto de equações na

forma:

- equação de condução 2

2

1r tφ φ

α∂ ∂

=∂ ∂

(1.4.86)

- condição inicial

irφ θ= em 0t = (1.4.87)

- condições de contorno

0φ = em 0r = (1.4.88)

1 0o

hr k rφ φ

⎛ ⎞∂+ − =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

em or r= (1.4.89)

73

As equações (1.4.86), (1.4.88) e (1.4.89), após separação de variáveis, correspondem

ao caso 7 da Tabela 4.2 e, portanto, a solução é do tipo:

( ) ( )2

1m m m

mC sen r exp tφ λ αλ

∞

=

= −∑ (1.4.90)

na qual

( )0 1om m o

hrr ctg rk

λ λ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.4.91)

Aplicando a condição inicial obtém-se

( )1

i m mm

r C sen rθ λ∞

=

=∑ (1.4.92)

Operando ambos os da eq. (1.4.92) por ( )0

0

r

ncos r drλ∫ e usando a condição de ortogonalidade

das autofunções

( ) ( )0 0 2

0 0

r r

i m m mr s en r dr C s en r drθ λ λ=∫ ∫ (1.4.93)

Após efetuar as integrações em (1.4.89) chega à expressão da constante:

( ) ( )( ) ( )

0 0 0

0 0 0

2 i m m mm

m m m m

sen r r cos rC

r sen r cos rθ λ λ λ

λ λ λ λ

⎡ ⎤−⎣ ⎦=⎡ ⎤−⎣ ⎦

(1.4.94)

A substituição de (1.4.94) em (1.4.90) leva à solução para a temperatura na forma:

( ) ( )0 2

1 0

2 mi m m

m m

s en s r / rK exp s Fo

s r / rθ θ

∞

=

= −∑ (1.4.95)

na qual

( ) ( )( ) ( )

2 m m mm

m m m

sen s s cos sK

s sen s cos s⎡ ⎤−⎣ ⎦=

− (1.4.96)

( ) 01m m m ms ctg s Bi, s rλ= − = (1.4.97)

2o

o

hrtFo , Bir kα

= = (1.4.98)

Tanto no caso do cilindro quanto da esfera são apresentados resultados similares ao

caso da placa de espessura finita.

74

1.4.4 Condução multidimensional transiente

Os resultados do item 1.4.3 podem ser usados para se determinar o campo de

temperatura em condução multidimensional como será ilustrado a seguir. Considere o caso

em que se deseja determinar a distribuição de temperatura numa barra retangular 2 2L H× .

Como ilustrado na Figura 1.4.3, a distribuição de temperatura numa barra imersa num

fluido pode ser determinada como o produto da solução da placa vertical pela solução da

placa horizontal. A equação original é da forma 2 2

2 2

1x y tθ θ θ

α∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂

(1.4.99)

Supondo uma solução na forma

( ) ( ) ( )L Hx,t , y x,t y,tθ θ θ= × (1.4.100)

Derivando (1.4.100) duas vezes em relação a x e y, uma vez em relação ao tempo e

substituindo em (1.4.99), pode-se verificar que ela é automaticamente satisfeita 2 2

2 2

1 1 0L L H HH Lx t y t

θ θ θ θθ θα α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1.4.101)

Ambos os termos entre parênteses são nulos o que mostra que a solução produto satisfaz a

equação original.

A solução (1.4.100) é respeitada apenas se a temperatura inicial também satisfaça

i i ,L i ,Hθ θ θ= × (1.4.102)

Dividindo (1.4.100) por (1.4.102) membro a membro, pode-se verificar que a temperatura

adimensional da barra também é o produto das temperaturas adimensionais das placas, ou

seja,

( ) ( ) ( )

2 2barra , placa , placa ,i i i

L H L metade da espessura H metade da espessura

x, y,t x,t y,tθ θ θθ θ θ

× = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.4.103)

Bejan (1993) mostra que a taxa total de transferência de calor pode ser calculada como

( )i i i i iL H L H

Q t Q Q Q QQ Q Q Q Q

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1.4.103)

75

Figura 1.4.3 Produto de soluções unidimensionais

Outras soluções para outras geometrias podem ser obtidas da mesma maneira.

Considere o caso de um cilindro curto de comprimento 2L e raio externo or , como ilustrado

na Figura 1.4.4.

76

Figura 1.4.4 – Determinação da temperatura dependente do tempo num cilindro curto.

A solução para este caso fica na forma

( ) ( ) ( )

oo

cilindro curto , cilindro longo, placa ,i i iL metade do comprimento r raio L metade da espessurar raio

r ,x,t r ,t x,tθ θ θθ θ θ

= = ==

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.4.104)

Os casos da placa semi-infinita e de um cilindro semi-infinito podem ser obtidos como

ilustrado na Figura 1.4.5.

Figura 1.4.5 – Determinação da temperatura dependente do tempo numa placa e num cilindro

semi-infinitos.

77

A solução da placa semi-infinita é o produto da solução da placa de espessura finita

pela solução do sólido semi-infinito (item 1.4.2) e fica na forma

( ) ( ) ( )placa semi inf inita , placa infinita , meio semi-infinito ,i i iL metadade espessura L metade da espessura y normal a superficie

x, y,t x,t y,tθ θ θθ θ θ−

= = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.4.105)

No caso do cilindro semi-infinito, a solução é da forma

( ) ( ) ( )

o o

cilindro semi infinito , cilindro infinito , meio semi-infinito ,i i ir raio r raio x normal a superficie

r ,x,t r ,t x,tθ θ θθ θ θ−

= = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.4.106)

O calculo da taxa total de transferência de calor é feito nos casos das equações

(1.4.104) a (1.4.106) por uma equação similar à eq. (1.4.103)

Finalmente, no caso de um paralelepípedo, como ilustrado na Figura 1.4.6, a solução

tridimensional pode ser obtida como

( ) ( )

( )2 2barra , placa ,i i

L H L metade da espessura

placa ,iH metade da espessura

x, y,z,t x,t

y,t

θ θθ θ

θθ

× =

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤× ⎢ ⎥⎣ ⎦

( )placa ,iW metade da espessura

z,t

θθ

=

⎡ ⎤× ⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.4.107)

1.4.6 - Determinação da temperatura dependente do tempo num paralelepípedo imerso num

fluido.

A taxa total de transferência de calor neste caso, de acordo com Bejan (1993) é

calculada como

( ) 1 1 1i i i i i i iL H L W L H

Q t Q Q Q Q Q QQ Q Q Q Q Q Q

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.4.108)

78

1.4.5 Fontes e sumidouros concentrados

Neste item consideram-se casos de condução dependente do tempo em que o aspecto

principal é a geração (ou absorção) de calor em uma região muito pequena – uma região

concentrada- do meio condutor. Quando calor é liberado no meio a partir desta pequena

região, o processo será de condução transiente na vizinhança de uma fonte de calor. Exemplos

incluem fissuras cheias de vapor geotérmico, explosões subterrâneas, containeres de lixo

nuclear ou químico, cabos elétricos enterrados no subsolo.

Quando a pequena região recebe calor do meio infinito, a região funciona como um

sumidouro concentrado de calor. Um exemplo é o caso de um duto enterrado de um trocador

de calor através do qual uma bomba de calor recebe calor do meio ambiente (solo) a fim de

aumentá-lo e depositá-lo num edifício.

1.4.5.1 Fontes e sumidouros instantâneos

Considere, primeiramente, a direção x através de um meio infinito com propriedades

constantes ( )k , , ,cα ρ , Figura 1.4.7. A equação de condução na direção x , para o excesso de

temperatura ( ) ( )x,t T x,t Tθ ∞= − é:

2

2

1x tθ θ

α∂ ∂

=∂ ∂

(1.4.109)

Uma solução que satisfaz (1.4.109) pode ser do tipo:

( )2

4K xx,t exp

ttθ

αα⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.4.110)

na qual K é uma constante.

Integrando a eq. (1.4.110) resulta

( )2

4K xx,t dx exp dx

ttθ

αα∞ ∞

−∞ −∞

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ (1.4.111)

Após um rearranjo a eq. (1.4.111) pode ser escrita como

79

( )

( ) ( )( ) ( )

2 21 2

1 2 1 20 0

1 2

1 2

2 22 2 2 2

// /

/

/

d dx,t dx K exp exp

=K erf erf

=K erf erf

η η η ηθ ππ π

π

π

∞ −∞ ∞

−∞

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤− −∞ + ∞⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤− − ∞ + ∞⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

( )1 2

1 2

2/

/

=K erf

=2 K

π

π

∞

(1.4.112)

A integral do lado esquerdo da eq. (1.4.112) é proporcional ao inventário de energia interna

do de meio inteiro:

( ) ( )u u Adx c T T Adx cA dxρ ρ ρ θ∞ ∞ ∞

∞ ∞−∞ −∞ −∞− = − =∫ ∫ ∫ (1.4.113)

na qual A é a grande área do plano normal à direção x . Mas

( )u u Adx Qρ∞

∞−∞− =∫ (1.4.114)

é depósito de calor no plano 0x = no instante de tempo 0t = . Combinando as equações

(1.4.112) a (1.4.114) obrem-se

1 22 /

QKcπ ρ

′′= (1.4.115)

na qual Q Q / A′′ = é o “poder” da fonte plana instantânea. Assim, o excesso de temperatura

na vizinhança do plano 0x = em que Q′′ é liberado no instante 0t = é

( )2

42Q xx,t exp

tc tθ

αρ πα′′ ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(fonte plana instantânea) (1.4.116)

Figura 1.4.7 – Distribuição de temperatura na vizinhança de uma fonte de calor instantânea.

80

Fórmulas similares podem ser obtidas para fontes no formato de linha ou fontes

pontuais. Em tais casos tem-se

( )2

4 4Q rr,t expc t t

θρ πα α

′ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (fonte linha instantânea) (1.4.117)

( )( )

2

3 2 48 /Q rr,t exp

tc tθ

αρ πα⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(fonte ponto instantânea) (1.4.118)

1.4.5.2 Fontes e sumidouros persistentes (contínuos)

A distribuição de temperatura dependente do tempo e o processo de condução que são

induzidos por fontes que persistem no tempo podem ser determinados analiticamente pela

superposição de efeitos de um grande número de fontes instantâneas.

Assuma o caso, novamente, o caso da fonte plana, eq. (1.4.116), só que no instante

0t = e no plano 0x = , a magnitude da fonte seja 0Q′′ . Então, pela eq. (1.4.116) tem-se a

distribuição de temperatura

( )2

00 42

Q xx,t exptc t

θαρ πα

′′ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.4.119)

Assuma também que no instante 1t t= , o plano 0x = recebe uma nova fonte, 1Q′′ . Se

esta nova fonte ocorrer só, ou seja, sem a presença de 0Q′′ , então a variação de temperatura

provocada por 1Q′′ poderia ser escrito na forma

( )( ) ( )

21

111

42Q xx,t exp

t tc t tθ

αρ πα

⎡ ⎤′′= −⎢ ⎥

−− ⎢ ⎥⎣ ⎦ (1.4.120)

na qual, agora, 1t t− conta o tempo decorrido após a liberação de 1Q′′ .

Se 1Q′′ ocorrer na presença da temperatura criada por 0Q′′ no instante 0t = , então, a

distribuição de temperatura após 1t t= é simplesmente a soma de ( )0 ,x tθ e ( )1 ,x tθ . Ou seja,

para 0t > pode-se escrever

( )( )( ) ( )

0 1

0 1 1

, 0,

, ,

x t t tx t

x t x t t t

θθ

θ θ

⎧ < <⎪= ⎨+ <⎪⎩

(1.4.121)

Pode ser mostrado que 0 1θ θ θ= + satisfaz a eq. (1.4.109).

81

Outras entradas podem ser adicionadas à eq. (1.4.121) se fontes adicionais de

dimensão iQ′′ forem depositadas em tempos it na fonte plana 0x = . Por exemplo, após o

tempo nt t= (isto é, após 1n + depósitos), a distribuição de temperatura é dada por

( ) 0 1 2, nx tθ θ θ θ θ= + + + + (1.4.122)

Uma fonte contínua no plano 0x = em o mesmo efeito que uma seqüência de um

grande número de pequenas fontes planas instantâneas de igual tamanho:

Q q t′′ ′′Δ = Δ (1.4.123)

na qual ( )2/q W m′′ é o depósito de calor por unidade de área e tempo, e tΔ é a curta duração

de cada depósito (tiro). Quando tΔ se torna infinitesimalmente pequeno, a soma na eq.

(1.4.122) é substituída por uma integral

( )

( ) ( )

0

2

0

,

exp42

t

i

t

x t d

q x dtc t

θ θ τ

τα τρ πα τ

=

⎡ ⎤′′= −⎢ ⎥

−− ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫ (1.4.124)

No integrando, a variável muda τ marca o tempo quando cada adicional fonte q dτ′′

entra em ação. Quando a integral (1.4.124) é avaliada o resultado é a distribuição de

temperatura próxima ao plano 0x = em que fontes contínuas q′′ são ligadas no tempo 0t = :

( )2

4 2 2q x xq t xx,t exp erfc

c t k tθ

ρ πα α α

′′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(fonte plana contínua) (1.4.125)

No plano 0x = tem-se

( )1 2

0/q t,t

cθ

ρ πα′′ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.4.126)

o que mostra que mesmo que a fonte plana persista em nível constante q′′ , a temperatura na

fonte plana e no meio aumenta quando o tempo t cresce.

As distribuições de temperatura também podem ser obtidas de forma similar para

fontes linhas e pontuais contínuas. No caso de fontes linhas, pela eq. (1.4.117) pode obter

( ) 2 44 r / t

q e ur,t duk uα

θπ

∞′ −= ∫ (fonte linha contínua) (1.4.127)

Em um tempo suficientemente longo e/ou para distâncias radiais pequenas, onde o grupo 2 / 4r tα é menor do que 1, a distribuição de temperatura se aproxima por

( )2

2

4, ln 0,5772 14 4q t rr t

k r tαθ

π α′ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞≅ − <<⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

(1.4.128)

82

O efeito de uma fonte pontual contínua pode ser determinado pela superposição de um

grande número de fontes pontuais instantâneas de igual tamanho:

( )2

4 2q rr,t e rfckr t

θπ α

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (fonte pontual contínua) (1.4.129)

Lembrando que ( )0 1erfc = , pode-se concluir que na medida em que o tempo cresce e o

argumento ( )1/ 2/ 2r tα⎡ ⎤⎣ ⎦ se torna consideravelmente menor do que 1, a distribuição de

temperatura se estabiliza no nível

( )4

qr,kr

θπ

∞ = (1.4.130)

As mesmas fórmulas e equações se aplicam para o caso de sumidouros instantâneos e

contínuos, pela simples troca dos sinais de ( ), , , , ,Q Q Q q q q′′ ′ ′′ ′ nas respectivas equações.

1.4.5.3 Fontes de calor móveis

Uma característica das fontes e sumidouros móveis é a simetria das isotermas em

torno do local da fonte. Agora, considera o caso de fontes que se movem em relação ao meio

condutivo com velocidade constante, como ilustrado na Figura 1.4.8, a qual pode representar

um processo de soldagem de duas chapas. Após um longo período de tempo, pode-se escrever

as equações governantes para essa fonte linha como 2

2

T TUx y

α∂ ∂=

∂ ∂ (1.4.131)

T T∞= em y = ±∞ (1.4.132)

( )q cU T T dyρ∞

∞−∞′ = −∫ (1.4.133)

Figura 1.4.8 – Fonte móvel

83

A solução do problema (1.4.131) a (1.4.133) pode ser obtida definindo as variáveis

( )( )

( )1/ 2/, q cT x y T

U xρ θ η

α∞

′− = (1.4.134)

1/ 2Uyx

ηα⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.4.135)

as quais substituídas em (1.4.131) a (1.4.133) resulta 2

2

1 02 2

d dd dθ η θ θη η

+ + = (1.4.136)

0θ = em η = ±∞ (1.4.137)

1dθ η∞

−∞=∫ (1.4.138)

A solução de (1.4.136) que satisfaz (1.4.236) e (1.4.137) deve ser do tipo 2 / 4Ce ηθ −= (1.4.139)

a qual substituída em (1.4.138) leva ao resultado para a constante C

( )

2

2

2 2

2 2

/ 4

2

0 2 2

0

1/ 22 2

1/ 2 1/ 20 0

1/ 2

1

2 12

2 12 2

2 22 12 2 2

C e d

C e d

C e d e d

C e d e d

C erf e

η

η

η η

η η

η

η

η η

π η ηπ π

π

∞ −

−∞

⎛ ⎞−∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

−∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −−∞ ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦− −∞ +

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

( )( )1/ 2

1/ 2

1

2 1

1/ 2

rf

C erf

C

π

π

⎡ ⎤∞ =⎣ ⎦∞ =

=

(1.4.140)

A solução para θ será, portanto, da forma 2 / 4

1/ 22e η

θπ

−

= (1.4.141)

que substituída em (1.4.134) juntamente com (1.4.135) leva ao resultado para a distribuição

de temperatura:

( )( )

2

1/ 2/, exp

44q c UyT x y T

xU xρ

απ α∞

′ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.4.142)

84

No caso de uma fonte pontual contínua, de forma similar pode-se obter a distribuição

de temperatura como

( )2/, exp

4 4q c UrT r y T

x xρ

πα α∞

′ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.4.143)

1.4.6 Solidificação e fusão

Os problemas de transferência de calor com mudança de fase envolvem um

movimento de fronteira cuja posição deve ser determinada como parte da solução. Os casos

considerados aqui são de fusão e solidificação.

1.4.6.1 Solidificação e fusão unidimensional

A Figura 1.4.9 ilustra os casos de fusão e solidificação unidimensional de um material.

Figura 1.4.9 – Processos de fusão e solidificação

A Figura 1.4.10 ilustra o movimento da fronteira e balanço de energia na mudança de

fase. Considerando um volume de controle em torno da fronteira móvel tem-se pela primeira

lei da termodinâmica

l s lx , lado liquido

d d TA h A h k Adt dt x δ

δ δρ ρ=

∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ em ( )x tδ= (1.4.144)

85

na qual A , lh sh são a entalpia são a área frontal do volume de controle, a entalpia específica

do líquido e a entalpia específica do sólido respectivamente. O termo do lado direito de

(1.4.144) representa a transferência de calor que chega de cima, isto é, do lado líquido da

frente de fusão. Não foi considerado nenhum termo de transferência de calor do lado do

sólido da frente de fusão, pois o sólido foi considerado isotérmico. O coeficiente lk é,

portanto, a condutividade térmica do líquido.

Figura 1.4.10 – Fusão de um sólido semi-infinito

O cálculo da frente de fusão requer a determinação dos campos de temperatura. Uma

solução simples é baseada na observação de que bem no início do processo, quando a camada

de fusão é bem fina, a distribuição de temperatura é linear:

( )( )0

1m

m

T x,t T xT T tδ

−≅ −

− (1.4.145)

da qual se obtém

( )( )

0 mT x,t T Tx tδ

∂ −≅ −

∂ (1.4.146)

Substituindo (1.4.146) em (1.4.144) resulta uma equação para determinar δ :

( )0l

msl

kd T Tdt hδδ

ρ≅ − (1.4.147)

cuja solução é

( ) ( )1 2

02/

lm

sl

k tt T Th

δρ

⎡ ⎤≅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.4.148)

em que sl l sh h h= − é o calor latente de fusão do material.

De acordo com Bejan (1993) uma solução exata foi obtida por Stefan e é da forma:

86

( ) ( ) ( )01 2 2 m/

sl

c T Texp erf

hπ λ λ λ

−= (1.4.149)

na qual c é o calor específico do líquido e λ é um número adimensional definido como

( )1 22 /tδλα

= (1.4.150)

O grupo aparecendo do lado direito da eq. (1.4.149) é denominado por número de Stefan:

( )0 m

sl

c T TSte

h−

= (1.4.151)

No caso em que há troca de calor tanto no líquido quanto no sólido como ilustrado nos

processos de solidificação e fusão da Figura 1.4.11, a equação na interface fica na forma

( )s ls l sl

d tT Tk k hx x dt

δρ∂ ∂

− =∂ ∂

em ( )x tδ= (1.4.152)

Se do lado líquido predominar um processo de troca convectiva com coeficiente de troca de

calor convectivo h , a equação na interface fica na forma

( ) ( )ss m sl

d tTk h T T hx dt

δρ∞

∂− − =

∂ em ( )x tδ= (1.4.153)

Figura 1.4.11 Processo de mudança de fase: (a) solidificação; (b) fusão

Se as densidades do líquido e do sólido forem diferentes, com s lρ ρ> e considerando

movimento do líquido pelos efeitos volumétricos, a equação na interface fica como

( )s ls l l l s s x l l l

T Tk k h h V hVx x

ρ ρ ρ∂ ∂− = − −

∂ ∂ em ( )x tδ= (1.4.154)

na qual lV é a velocidade do líquido pelos efeitos volumétricos e a velocidade da fronteira é

87

( )x

d tV

dtδ

= (1.4.155)

Um balanço de massa na fronteira leva ao resultado

( )l s x l lV Vρ ρ ρ− = (1.4.156)

da qual se obtém

( )l s xl

l

VV

ρ ρρ−

= (1.4.157)

Substituindo (1.4.157) em (1.4.154) obtém-se na interface

( )s ls l s l s x s sl x

T Tk k h h V h Vx x

ρ ρ∂ ∂− = − =

∂ ∂ em ( )x tδ= (1.4.158)

que é idêntica à eq. (1.4.152), exceto com a massa específica do sólido no lugar da massa

específica constante.

1.4.6.2 Solidificação e fusão multidimensional

No caso de um processo de fusão ou solidificação tridimensional, a frente de mudança

de fase será uma superfície no espaço como ilustrado Figura 1.4.12 dada pela função

( ) 0F x, y,z,t = .

Figura 1.4.12 – Solidificação em três dimensões.

Para um movimento da fronteira na direção da normal n , o balanço de energia na

fronteira leva à equação

( )s ls l l s n

T Tk k h h Vn n

ρ∂ ∂− = −

∂ ∂ em ( ) 0F x, y,z,t = (1.4.159)

88

Uma forma explícita de escrever a função que representa a superfície de mudança de

fase é:

( ), , , ( , , ) 0F x y z t z s x y t≡ − = (1.4.160)

O vetor normal à superfície pode ser calculado como

FnF

∇=∇

(1.4.161)

A superfície F está na temperatura de mudança de fase e, portanto, ela é uma superfície

isotérmica; conseqüentemente, T∇ é normal a esta superfície, daí,

,i

i

TFn i s ou lF T

∇∇= = =∇ ∇

(1.4.162)

A partir de (1.4.162) pode-se obter que

,i ii

T T FT n i s ou ln F

∂ ∇ ∇= ∇ = =

∂ ∇ii (1.4.163)

nV FV V n

F∇

= =∇ii (1.4.164)

A derivada total de (1.4.160) é:

0F F F Fdt dx dy dzt x y z

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂ (1.4.165)

da qual se obtém

F dx F dy F dz Fx dt y dt z dt t

FV Ft

∂ ∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂ ∂ ∂∂

∇ = −∂

i (1.4.166)

/n

F tV V nF

−∂ ∂= =

∇i (1.4.167)

Também se pode demonstrar que

, , 1,F s F s F F sx x y y z t t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − = − = = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.4.168)

22

1ii

T s sT Fz x y

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞∇ ∇ = + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦i (1.4.169)

22

1 /i iT T s s Fn z x y

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + + ∇⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (1.4.170)

89

Substituindo (1.4.167) e (1.4.170) em (1.4.159) resulta para o caso tridimensional a

equação na interface: 22

1 s ls l sl

T Ts s sk k hx y z z t

ρ⎡ ⎤⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞+ + − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

em ( )z s x, y,t= (1.4.171)

Os casos bidimensionais e unidimensionais podem ser obtidos a partir de (1.4.171) como 2

1 s ls l sl

T Ts sk k hx z z t

ρ⎡ ⎤ ∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞+ − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

em ( )z s x,t= (2D) (1.4.172)

s ls l sl

T T dsk k hz z dt

ρ∂ ∂⎛ ⎞− =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ em ( )z s t= (1D) (1.4.173)

A eq. (1.4.173) é idêntica à eq. (1.4.152), bastando trocar z por x .

90

1.5 Convecção 1.5.1 Coeficiente de Transferência de Calor Convectiva

Considere o escoamento de um fluido com velocidade )(rV e temperatura )(rT num

canal de altura l, cuja parede inferior (y = 0) está a 1T e a parede superior (y = l) está a 2T .

Suponha que a distribuição de temperatura em função de y seja como ilustrado na Figura 1.5.1

Figura 1.5.1 Temperatura de um fluido num canal em função de y.

O fluxo conduto-convectivo na parede inferior pode ser definido como

91

)( 11

00 m

mf

y

ffy

cc TThTT

ky

Tkq −=

−−=

∂

∂−=

== ξ

(1.5.1)

na qual ),( escoamentodonaturezafluidodoespropriedadfunçãoh = e é denominado de

coeficiente de transferência de calor por convecção. Generalizando pode-se calcular o fluxo

conduto convectivo por

cwcc TThq −= (1.5.2)

na qual wT é a temperatura na parede e cT é uma temperatura característica do fluido.

Tabela 1.5.1. Valores de h para determinados escoamentos

Tipo Fluido H [Wm-2K-1]

Convecção natural

gás 5-30

água 100-1000

Convecção forçada

gás 10-300

água 300-12000

óleo 50-1700

metal líquido 6000-110000

Mudança de fase

ebulição (água) 3000-60000

condensação (água) 5000-110000

1.5.2 Convecção Forçada Externa

Na convecção forçada externa tem-se interesse em calcular o fator de atrito e o

coeficiente de transferência convectiva.

1.5.2.1 Escoamentos Laminares

O fator de atrito local em escoamentos laminares é da forma:

xxfc

Re664,0

, = (1.5.3)

92

A força de cisalhamento numa parede de comprimento x é: xw

x

xw xdx ,0

, ττ =∫ . Assim,

obtém-se

∫==

∞

x

xfxfxw dxc

xc

u 0,,

2

, 1

21 ρ

τ (1.5.4)

O coeficiente médio de atrito, após substituir o coeficiente local na equação (1.5.4) e resolver

a integral será

xxfxf cc

Re328,12 ,, == (1.5.5)

1.5.2.1.1 Camada Limite Térmica

A camada limite térmica geralmente é analisada considerando o caso 1Pr = e o caso

geral para qualquer número de Pr . O número de Nusselt é definido por

YXXNux ∂

∂=

)0,()( θ (1.5.6)

e o fator de atrito é definido por

xxxf Y

XUXcRe664,0)0,(

Re2)(, =

∂∂

= (1.5.7)

A partir da equação (1.5.7) obtém-se que derivada da velocidade na parede é:

xYXU Re332,0)0,(

=∂

∂

93

e portanto, como YXU

YX

∂∂

=∂

∂ )0,()0,(θ , obtém-se o número de Nusselt, neste caso, definido

por

xx XNu Re332,0)( = (1.5.8)

No caso mais geral de qualquer número de Prandtl não unitário assume-se que

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

XYYX LRe)(),( θηθθ , resultando a solução da distribuição de temperatura na forma

ηηη

ηηηηθ

η

η η

′⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ′′′′−

′⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ′′′′−=

∫ ∫∫ ∫∞ ′

′

ddf

ddf

0 0

0 0

)(2Prexp

)(2Prexp

)( (1.5.9a)

Na qual a função ( )f η é solução do sistema EDO a seguir:

( )12 −+−=

=

=

gfhddh

hddg

gddf

βη

η

η

(1.5.9b)

com as seguintes valores iniciais

dodesconhecihgf

===

)0(0)0(0)0(

(1.5.9c)

O número de Nusselt será então

ηθη

ηθθ

dd

XYdd

YXXNu L

x)0(Re)0,()( =

∂∂

=∂

∂= (1.5.10)

94

A partir da equação (1.5.10) pode-se obter correlações para calcular o número de

Nusselt. Schilichting (1968) sugere as correlações, para 10Pr6,0 ≤≤ :

3/12/1 PrRe332,0)( xx XNu = (1.5.11)

e para o Nusselt global resulta

3/12/1

0PrRe664,0

)(L

Lx

L dXX

XNuNu == ∫ (1.5.12)

1.5.2.1.2 Camada Limite Térmica Espessa (Parede Isotérmica)

A distribuição de temperatura no escoamento paralelo a uma parede isotérmica na

temperatura wT é ilustrada na Figura 1.5.2. Neste caso, a espessura da camada limite térmica é

bem maior do a espessura da camada limite hidrodinâmica, ou seja

δδ >>T (1.5.13)

Figura 1.5.2.Camada térmica em fluidos com baixos números de Prandtl.

A espessura da camada limite térmica será proporcional a razão de x pela raiz quadrada do

número de Péclet, ou seja

xt Pe

x≈δ ,

αxuPex

∞= (1.5.14)

O fluxo condutivo transversal à parede será

95

)(0

, ∞=

−=∂∂

−= TThyTkq w

yxw (1.5.15)

O gradiente de temperatura junto à parede ∞−=ΔΔ

≈∂∂ TTTT

yT

wt

,δ

. O fluxo de calor será

então da ordem de grandeza t

xwTkqδΔ

≈, . O número de Nusselt definido como k

xxhNux)(

= ,

pode ser reescrito em função do fluxo de calor como

kx

TTk

kx

Tq

Nut

xwx Δ

Δ≈

Δ=

1,

δ (1.5.16)

O número de Nusslet será, então, proporcional tx δ/ , obtendo-se, após substituir a espessura

da camada limite que

2/1−=≈xt

x xPexxNu

δ ou que

)1(Pr2/1 <<≈ xx PeNu (1.5.17).

Os fluidos com Prandtl muito baixos são os metais líquidos mercúrio e sódio.

1.5.2.1.3 Camada Limite Térmica Fina (Parede Isotérmica)

No caso da camada limite térmica ser bem mais fina do que a camada limite

hidrodinâmica, Figura 1.5.3

Figura 1.5.3.Camada limite térmica para fluidos com altos números de Prandtl

96

δδ <<T (1.5.18)

Neste caso em δ , ∞≈ uu e em tδ , uu ≈ , portanto,

∞∞ ≈⇒≈ uuuu t

t δδ

δδ (1.5.19)

A partir da 2t

TxTu

δα Δ

≈Δ , resulta

2t

t TxTu

δα

δδ Δ

≈Δ

∞ ou αδδ xt ≈3 (1.5.20)

A equação (1.5.20) pode ser manipulada após substituir a espessura da camada limite

hidrodinâmica:

2/123

2/1

32/1

3

Re1

Pr1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

≈⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

∞∞∞∞∞ xttt xu

xxxu

xxu

xxuu

x

ν

δ

ν

νναδναδ

2/3

33

Re1

Pr xt

x≈δ

2/13/1 RePr −−≈ xt xδ (1.5.21)

O número de Nusselt definido por kx

Tq

Nu xwx Δ= , terá portanto a ordem de grandeza

tx

xNuδ

≈ , resultando após substituição da equação (1.5.21) que

1Pr,PrRe 3/12/1 >>≈ xxNu (1.5.22)

97

Fluidos com número de Prandtl altos incluem água e óleos pesados.

Na literatura aparecem correlações da forma

)5,0(Pr,PrRe564,0 2/12/1 ≤= xxNu (1.5.23a)

)5,0(Pr,PrRe332,0 3/12/1 ≥= xxNu (1.5.23b)

A transferência de calor total num comprimento x é:

xwx

x

xw

x

xw qxdxx

NuTkqxdxq ,

0,

0, =Δ⇒= ∫∫

obtendo-se após algumas transformações o número de Nusselt global

dxkx

xxhdxx

NuTkxq xx

xxw ∫∫ ==Δ 00

, )(

kxxhdxxh

xkx

Tkxq x

xw )()(10

, ==Δ ∫

)5,0(PrPrRe128,1 2/12/1, ≤=Δ

= xxw

x Tkxq

uN (1.5.24a)

)5,0(PrPrRe664,0 3/12/1 ≥= xxuN (1.5.24b)

Na literatura aparece para 100>= ∞

αxu

Pex , a correlação para todo faixa de número

de Prandtl:

( )[ ] 4/13/2

3/12/1

Pr/0207,01

PrRe928,0

+= x

xuN (1.5.25)

Outras situações de transferência de calor podem ocorrer: parede com um

comprimento inicial não aquecido (isolado termicamente); temperatura de parede não

98

uniforme, fluxo de calor uniforme na parede ou fluxo de calor não uniforme na parede. Vide

Bejan (1993).

1.5.2.2 Escoamentos Turbulentos

Em escoamentos turbulentos sobre uma placa, o fator de atrito pode ser estimado pela

correlação: 5/1

2,

, 0296,021 −

∞∞ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==νρ

τ xuuc xf

xw (1.5.26)

A tensão média e espessura da camada limite são obtidas pelas correlações:

5/12

, Re037,0 −∞= LLw uρτ (1.5.27)

5/1

37,0−

∞ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ν

δ xux

(1.5.28)

1.5.2.2.1 Camada Limite Térmica

O fluxo de calor aparente é definido como

( )yTckq tpxw ∂∂

+−= αρ, (1.5.29)

O coeficiente de transferência de calor pode ser definido como

∞−=

TTq

xhw

xw,)( (1.5.30)

Dividindo a tensão de parede pelo fluxo de calor resulta

( )( ) Td

udcq tp

t

xw

xw

ααρννρτ++

=,

, (1.5.31)

99

No caso particular de να = , tt να = o que é equivalente de se ter 1Pr = e 1Pr =t ; resulta

xw

xw

p qTdud

c ,

,1 τ= (1.5.32)

Na parede, wTTuy === ,0;0 . Em ∞∞ ==∞→ TTuuy ,; . Portanto

( ) xw

xw

wp qTTu

c ,

,1 τ=

− ∞

∞ (1.5.33)

Define-se o número de Stanton como

2,,

)()(

∞∞∞∞

=−

==uTTuc

qucxhSt xw

wp

xw

px ρ

τρρ

(1.5.34)

ou

PrRe x

x

x

xx

NuPeNu

St == (1.5.35)

No caso de 1Pr = e 1Pr =t , obtém-se a equação

xfx cSt ,21

= (1.5.36)

que é conhecida como Analogia de Reynolds.

No caso de 1Pr ≠ e para 5,0Pr ≥ Colburn sugeriu a correlação

xfx cSt ,3/2

21Pr = (1.5.37)

Neste caso o Nusselt local é dado pela correlação

100

3/15/43/1, PrRe0296,0PrRe

21

xxxfx cNu == (1.5.38)

conhecida como Analogia de Colburn entre atrito e transferência de calor.

O coeficiente médio de transferência de calor pode ser definido na forma

∫∫ +=L

xturbx

x

lamxLtr

tr

dxhL

dxhL

h ,0

,11 (1.5.39)

O número de Nusselt global ficara na forma

( )5/45/43/12/13/1 ReRePr037,0RePr664,0trtr xLx

LL k

LhuN −+== (1.5.40)

Se 5105Re xtrx = , então

( ) 5,0Pr,10Re105;23550RePr037,0 855/43/1 ≥<<−= LLL xuN (1.5.41)

Para 5105Re xL <

2/13/1 RePr664,0 LLuN = (1.5.42)

A Figura 1.5.4 ilustra a variação do coeficiente de transferência de calor com x para

escoamentos laminares e turbulentos.

101

Figura 1.5.4. Coeficiente local de transferência de calor

102

1.6 Convecção Forçada Interna

1.6.1 Fator de atrito de Fanning e Queda de Pressão

A tensão na parede é definida, no caso do escoamento laminar no tubo, como

wrrw r

Udrdu

w

μμτ 4=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=

(1.6.1)

O fator de atrito de Fanning é definido por

Dw

w

UDUrU

Uf

Re1616

21

14

21 22

====

μρρ

μ

ρ

τ (1.6.2)

com μ

ρUDD =Re . Na literatura também aparece o fator de atrito de Darcy-Weisbach

D

ffRe644* == (1.6.3)

Em dutos de seção não circular define-se o diâmetro hidráulico na forma

PADh

4=

⎩⎨⎧

==

molhado perímetro Pal transversseção da área A

(1.6.4)

Alguns casos de dutos não circular são:

a) duto de seção quadrada; aDh = (onde a é o lado do quadrado)

b) duto de seção retangular; aDh 58

= (onde a é o comprimento do menor lado)

c) canal de placas paralelas; aDh 2= (onde a é o espaçamento entre as placas)

d) triângulo eqüilátero; 3

aDh = ( onde a é o lado do triângulo)

103

A queda de pressão no duto ou tubo pode ser calculada a partir de um balanço de

forças

PLpA wτ=Δ

2

21

/U

PALfp ρ=Δ

2

214 U

DLfp

h

ρ=Δ (1.6.5)

Em geral o fator de atrito pode ser definido na forma:

hD

CfRe

= (1.6.6)

na qual C depende da forma da seção transversal do duto. ν/Re hD UDh= . Na literatura

encontra-se correlações do tipo

)318,0068,0294,0exp(16 2 −+≅ BBC (1.6.7)

com A

DB h 4/2π= .

Ex. 1.6.1 Calcule LP /Δ para escoamento de água a 20oC num tubo de D=2,7 cm e

U = 6 cm/s. Determine também p comprimento da região de entrada. Compare com o

comprimento adotado na prática ( De DL Re05,0= ).

1.6.2 Entrada Térmica

No caso de escoamentos internos define-se a temperatura média de mistura na forma

104

∫=A

m uTdAUA

T 1 (1.6.8)

O coeficiente de transferência de calor pode então ser definido como

mw

w

TTq

h−′′

= (1.6.9)

No caso de escoamento completamente desenvolvido termicamente num tubo tem-se

w

mw

rr rTT

rT

w

−≈

∂∂

=

(1.6.10)

Um balanço de energia num elemento de fluido de comprimento dz resulta

PdzqdAiiu wA

zdzz ′′=−∫ + )(ρ

PdzqdTdAuc wA

p ′′=∫ ρ

PdzquTdAdc wA

p ′′=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫ρ

Ucq

AP

dzdT

p

wm

ρ′′

= (1.6.11)

No caso de tubo resulta

p

mw

p

w

w

m

cmTTDh

Ucq

rdzdT )(2 −

=′′

=π

ρ (1.6.12)

A equação de energia em escoamento completamente desenvolvido hidrodinâmica e

termicamente é:

105

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∂∂

rTr

rrk

zTruc p

1)(ρ (1.6.13)

Uma análise de ordem de grandeza dos termos nesta equação mostra que

2

1

wp

w

wp r

TkUc

qr

Uc Δ≈

′′ρ

ρ ou wrkh ≈ (constante) (1.6.14)

Como o número de Nusselt é definido por k

hDNu h

Dh= , então, )1(ONuD ≈ .

Para satisfazer a condição de h constante o perfil de temperatura deve ser da forma:

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

wmww r

rzTzTzTzrT φ)()()(),( (1.6.15)

na qual φ é uma função apenas de r. No caso de parede com fluxo de calor uniforme resulta

dzdT

dzdT mw = (1.6.16)

e

dzdT

dzdT

zT mw ==∂∂ (1.6.17)

Neste caso, pode-se obter

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Δ′′

drdr

drd

rTkrq

Uru

w

w φ1)( (1.6.18)

Com

106

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

12wrr

Uu e

)(0)0(0)(

simetriarw

=′=

φφ

(1.6.19)

resulta a solução da Eq. (1.6.18) na forma

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Δ′′

=42

41

43)(

ww

ww

rr

rr

Tkrq

rφ (1.6.20)

Assim com fluxo de calor constante na parede resulta o número de Nusselt

( )cteqNu wD =′′== 364,411/48 (1.6.21)

Churchill & Ozoe propuseram uma expressão válida tanto para o comprimento de

entrada quanto para a região completamente desenvolvida:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

3/12/3

3/122/13/26/12 6,29/10207,0Pr/1

04,19/16,29/1364,4 ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++=

+ Gz

Gz

Gz

NuD (1.6.22)

na qual Gz é o número de Graetz definido como

12

PrRe/

44

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

D

DzzUDGz π

απ (1.6.23)

Para parede isotérmica o fluxo de calor é calculado como

( ))(zTThq mww −=′′ (1.6.24)

e o gradiente da temperatura média de mistura será:

107

[ ])(2 zTTUcr

hdz

dTmw

pw

m −=ρ

(1.6.25)

Integrando a Eq. (1.6.25) de 1z onde 1,mm TT = , obtém-se

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

−−

Ucrzzh

TTzTT

pwmw

mw

ρ)(2exp

)( 1

1,

(1.6.26)

No caso de temperatura uniforme na parede do tubo, o número de Nuselt do

escoamento completamente desenvolvido será

66,3=DNu (1.6.27)

e o fluxo de calor na parede pode ser calculado como

( ) ( )1,1 2

3,663,66 expw w m

w

z zkq T TD r U

α⎡ ⎤−′′ = − −⎢ ⎥

⎣ ⎦ (1.6.28)

Ex. 1.6.2 Uma corrente de água à temperatura ambiente é aquecida quando escoa através de

um tubo com fluxo de calor uniforme na parede 21,0cmWqw =′′ . O escoamento é

completamente desenvolvido hidrodinamica e termicamente. A vazão mássica é sgm /10=

e o raio do tubo é cmrw 1= . As propriedades da água na temperatura são scm

g⋅

= 01,0μ e

KcmWk⋅

= 006,0 . Calcule a) a velocidade média U; b)o número de Reynolds baseado no

diâmetro; c) o coeficiente de troca de calor h e d) a diferença entre a temperatura local de

parede e a temperatura média local.

108

1.6.3 Escoamentos Turbulentos

A maioria dos escoamentos ocorrendo na natureza e em aplicações industriais são

turbulentos. No caso de escoamento em tubo de seção circular a transição de escoamento

laminar para turbulento ocorre para número de Reynolds em na faixa de 2000 a 2300.

Geralmente, considera-se

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≅=

o)(turbulent 2300)(transição 2300 a 2000

(laminar) 2000 até Re D

As equações para análise de escoamentos turbulentos são as equações médias de

Reynolds, que no caso do escoamento no tubo são:

1) Equação de Continuidade

( ) 01=

∂∂

+∂∂

rvr

rzu (1.6.29)

2) Equações e Quantidade de Movimento em z e r

z: ( ) ( ) ztt Fzu

zrur

rrzp

ruv

zuu +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ νννν

ρ11 ; (1.6.30)

r: ( ) ( ) ( ) rttt Fzv

zrv

rvr

rrrp

rvv

zvu +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

++−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ νννννν

ρ 2

11

(1.6.31)

3) Conservação de Energia Térmica

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

zT

zrTr

rrrTv

zTu tt αααα1 (1.6.32)

No caso de considerar o conceito de camada limite, pode-se definir a tensão e o fluxo

de calor aparentes como

109

ru

ru

tap ∂∂

−∂∂

−= ρνμτ (1.6.33)

rTc

rTkq tpap ∂

∂−

∂∂

−= αρ (1.6.34)

O perfil de velocidade e a tensão aparente são ilustradas na Figura 1.6.2

Figura 1.6.2. Perfil de velocidade turbulento e tensão aparente.

No caso do escoamento turbulento ser completamente desenvolvido hidrodinamica e termicamente tem-se

)()(

0

zppruu

v

===

(1.6.35)

As equações de quantidade de movimento e energia ficam na forma simplificada

( )r

rrdz

pd ap

∂

∂−−=

τρρ110 (1.6.36)

[ ]app

rqrrcz

Tu∂∂

=∂∂

ρ1 (1.6.37)

Integrando a Eq. (1.6.36) obtém-se

110

∫∫ +=ww r

ap

r

rdrdrdzpd

00)(0 τ

02

2

=+ www r

rdzpd τ

w

w

rdzpd τ2=− (1.6.38)

Substituindo a Eq. (1.6.38) em (1.6.36) e integrando até um r genérico resulta

ww

ap

rr

=ττ

(1.6.39)

Bem próximo da parede, wap ττ ≅ e com as coordenadas de parede, ( ) 2/1// ρτ wuu =+ ,

( ) 2/1/ ρτν wyy =+ resulta

⎪⎩

⎪⎨⎧

>>+

>>=

+

+

+

ν

νν

tvByk

yu

se )ln(1 se t

(1.6.40)

ou

( ) 7/17,8 ++ = yu (1.6.41)

Para calcular o fator de atrito e a queda de pressão no tubo, pode-se por exemplo

integrar a Eq. (1.6.41). A velocidade média no, caso será

∫∫=wr

w

rdrudr

U0

2

02

1 π

θπ

(1.6.42)

A velocidade no centro do tubo ( 0=r ) é cuu = . Assim obtém-se

111

( )

7/12/1

2/1 7,8/ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρτ

νρτww

w

c ru (1.6.43)

Da definição do fator de atrito, 2

21 U

f w

ρ

τ= resulta

2/12/1

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ fUw

ρτ

(1.6.44)

Combinando as Eqs. (1.6.43) e (1.6.44) pode-se mostrar que

( ) 4/1Re079,0

D

f ≅ ; 43 102Re102 xx D << (1.6.45)

Existem na literatura várias correlações para cálculo do fator de atrito. Para tubos lisos

e altos números de Reynolds tem-se

( ) 5/1Re046,0

D

f ≅ ; 64 102Re102 xx D << (1.6.46)

A correlação de Karman-Nikuradse é do tipo

1/ 2 1/ 21/ 1,737 ln( Re ) 0,396Df f= − (1.6.47)

Para tubos rugosos e altos números de Reynolds tem-se

2

28,2ln74,1

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

skD

f (1.6.48)

na qual sk é a rugosidade da parede do tubo.

112

A eq. (1.6.37) também pode ser integrada resultando

ap

r

p rqrdrzTuc πρπ 22

0=

∂∂∫ (1.6.49)

Para wrr = , resulta

ww

r

p qrrdrzTuc

w

′′=∂∂∫0 ρ (1.6.50)

Combinando as Eqs. (1.6.49) e (1.6.50) resulta

ww

ap

rrM

qq

=′′

(1.6.51)

em que

∫∫

∂∂∂∂

=wr

w

r

rdrzTu

r

rdrzTu

rM

02

02

1

1

(1.6.52)

Se wq ′′ é independente de z, zT∂∂ é independente de r, a Eq. (1.6.52) fica então na forma

∫∫

=wr

w

r

rdrur

rdrurM

02

02

1

1

(1.6.53)

O perfil de velocidade )(ru é quase plano, desta forma, 1≅M , obtendo-se a relação

do calor aparente para o calor da parede

ww

ap

rr

qq

≅′′

(1.6.54)

113

Para wrr ≤ , wap qcteq ′′== . O coeficiente de troca de calor pode ser calculado pela analogia

entre transferência de quantidade de movimento e transferência de calor. Sabe-se o número de

Stanton e definido como

5,0Pr;Pr/21 3/2 ≥== f

UchSp

t ρ (1.6.55)

Para tubos lisos resulta a correlação para cálculo do coeficiente de transferência de

calor

643/15/4 10Re102;PrRe023,0 <<== DDD xk

hDNu (1.6.56)

Uma correlação muito utilizada é a de Dittus-Boelter:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<=>=

><<

<<

==

mw

mw

D

nDD

TTnTTn

DL

x

khDNu

se 3,0 se 4,0

60/120Pr7,0

1024,1Re2500

;PrRe023,0

5

5/4 (1.6.57)

Na correlação de Dittus-Boelter, as propriedades são avaliadas a mT . Para aplicações em que a

influência da temperatura sobre as propriedades é significante, Sieder & Tate propuseram

⎩⎨⎧

<<>

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

16700Pr7,010Re

;PrRe027,044,0

3/15/4 D

wDD k

hDNuμμ (1.6.58)

com as propriedades avaliadas a mT , exceto wμ que é avaliada na temperatura de parede wT .

A correlação mais acurada é de Gnielinski na forma:

( )( )( ) ( ) ⎪⎩

⎪⎨⎧

<<

<<

−+−

==6

6

3/22/1

3

10Pr5,0

105Re2300;

1Pr2/7,121Pr10Re2/ x

ff

khDNu DD

D (1.6.59)

114

Na Eq. (1.6.59) o fator de atrito é obtido do Diagrama de Moody, Figura 1.6.3

Figura 1.6.3. Fator de atrito para escoamento laminar e turbulento completamente

desenvolvido em um tubo.

Outras correlações alternativas a Eq. (1.6.59) aparecem na literatura [1], são elas:

( )⎩⎨⎧

≤≤≤≤

−==5,1Pr5,0

105Re10;Pr100Re0214,0

644,08,0 x

khDNu D

DD (1.6.60)

( )⎩⎨⎧

≤≤≤≤

−==500Pr5,1

10Re103;Pr280Re012,0

634,08,0 D

DDx

khDNu (1.6.61)

Para metais líquidos são recomendadas as correlações

( )( ) ⎩

⎨⎧

<<

<<

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=′′+== 6493,085,0

93,085,0

10Re1001Pr004,0

;;PrRe0156,08,4

;PrRe0167,03,6

DwD

wDD cteT

cteqk

hDNu (1.6.62)

com as propriedades avaliadas a mT .

115

1.6.4. Variação da temperatura média de mistura

A variação da temperatura média de mistura para parede isotérmica e fluxo e fluxo de

calor uniforme na parede é ilustrada na Figura 1.6.4

Figura 1.6.4. Variação da temperatura média de mistura: esquerda, cteTw = ; direita, wq ′′ =cte.

Para calcular as propriedades é recomendável fazer ( ) 2/sem TTT += , em que eme TT ,= e

sms TT ,=

Ex. 1.6.3 O tubo interno de um trocador de calor coaxial usado para extração de energia

geotérmica tem diâmetro de 16 cm. O material do tubo é aço comercial. Numa certa

localidade ao longo do tubo, a temperatura média da corrente de água é 80oC. Ofluxo de água

é de 100 ton/h. Calcule a queda de pressão por unidade de comprimento.

1.6.5 Taxa total de transferência de calor

Bejan propõe calcular a taxa total de transferência de calor na forma:

lmw ThAq Δ= (1.6.63)

Para escoamento turbulento completamente desenvolvido com parede isotérmica,

mw TTT −=Δ decresce exponencialmente na direção jusante, entre um certo valor na entrada

116

do tubo e o menor valor na saída do tubo. Se ewe TTT −=Δ e sws TTT −=Δ , lmTΔ está entre

eTΔ e sTΔ . Também a taxa de calor pode ser calculada como

( ) ( ) ( )[ ] ( )sepswewpesp TTcmTTTTcmTTcmq Δ−Δ=−−−=−= (1.6.64)

O fluxo de calor na parede pode ser estimado como

( )mww TThq −=′′ (1.6.65)

como Uc

qAP

dzdT

p

wm

ρ′′

= , obtém-se

dzUc

hAP

TTdT

pmw

m

ρ=

− (1.6.66)

a qual integrada entre )(;0 em TTz == e )(; sm TTLz == resulta

psw

ew

UAchPL

TTTT

ρ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

ln ou

p

w

s

e

cmhA

TT

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

ln (1.6.67)

Comparando as Eqs. (1.6.64) e (1.6.67) pode-se concluir que

ln

e slm

e

s

T TTTT

Δ −ΔΔ =

⎛ ⎞Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

(1.6.68)

que é denominada de diferença média logarítmica de temperatura. Alternativamente a taxa

total de transferência de calor pode ser calculada como

117

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−Δ=

p

wep cm

hATcmq exp1 (1.6.69)

Se o coeficiente )(zhh = , então LdzzhhL

/)(∫= .

Pode-se verificar imediatamente que no caso de fluxo de calor uniforme na parede:

selm TTT Δ=Δ=Δ

que é um caso especial da Eq. (1.6.68) quando 1→ΔΔ

s

e

TT

.

118

1.7 Convecção Livre

1.7.1 Análise de escala em regime laminar

Em escoamentos em regime laminar a ordem de grandeza do coeficiente de

transferência de calor e dos termos nas equações são como a seguir:

ty

khδ

≈ (1.7.1)

(m) t

u vyδ

≈ (1.7.2)

(M) Tgvyvvvu

tt

Δ≈ βδ

νδ

,, 2 (1.7.3)

(E) 2,tt

TyTvTu

δα

δΔ

≈ΔΔ (1.7.4)

Substituindo a Eq. (1.7.2) nas Eqs. (1.7.3) e (1.7.4) resulta

(M) Tgvy

v

t

Δ+≈ βδ

ν 2

2

(1.7.5)

(E) 2t

TyTv

δα Δ

≈Δ (1.7.6)

Empuxo balanceado por atrito

Na Eq. (1.7.5) pode-se ter o empuxo balanceado por atrito ou por inércia. No caso de

empuxo balanceado por atrito Tgv

t

Δ≅ βδ

ν 2 que combinada com as Eqs. (1.7.2) e (1.7.6) leva

aos seguintes resultados:

4/1yRa

yu α≈ ; 2/1

yRay

v α≈ ; 4/1−≈ yt yRaδ (1.7.7)

119

na qual yRa é o número de Rayleigh definido como

ανβ 3)( yTTgRa w

y∞−

= (1.7.8)

Também pode-se demonstrar que o coeficiente de transferência de calor convectiva é

proporcional a

( ) 4/1yy Ra

ykh ≈ (1.7.9)

e portanto o número de Nusselt local, definido como k

yhNu y

y = , será proporcional

( ) 4/1yy RaNu ≈ (1.7.10)

Os resultados acima são válidos quando 2

2

t

vy

vδ

ν< ou para να < ou Pr1< . Ou seja

para número de Prandtl da ordem de 1 ou maior que 1, 1Pr ≥ . Uma análise para a camada

limite hidrodinâmica levará ao resultado

2/14/1 Pr−≈ yyRaδ ou

1Pr 2/1 >≈tδδ (1.7.11)

Se 1Pr1 2/14/14/1 >⇒> yy RaRa . Geralmente, escoamentos com convecção natural são

caracterizados por altos Ra.

Empuxo balanceado por inércia

120

No caso de empuxo balanceado por inércia, Tgy

vΔ≅ β

2

e a ordem de grandeza da

espessura de camada limite e das velocidades será:

( ) 4/1PryRay

u α≈ ; ( ) 2/1PryRa

yv α≈ ; ( ) 4/1Pr −≈ yt Rayδ (1.7.12)

O produto do número de Rayleigh pelo número de Prandtl é definido como número de

Boussinesq

( )2

3

Prα

β yTTgRaBo w

yy∞−

== (1.7.13)

Neste caso, o número de Nusslet será proporcional

( ) 4/1PryRaNu ≈

Os resultados obtidos quando o empuxo é balanceado por inércia são válidos para

1Pr ≤ e as camadas limites e os perfis de velocidade e temperatura são ilustrados na Figura

1.7.3

Figura 1.7.3. Camada limite para fluidos com baixos números de Prandtl.

121

A espessura da camada limite hidrodinâmica neste caso será proporcional a razão do

número de Rayleigh pelo número de Prandtl na forma:

4/1

Pr

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈ y

s

Rayδ (1.7.14)

Pode-se demonstrar, então, que

4/1

Pr

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈

Raysδ ou

1Pr 2/1 <≈tδδ (1.7.15)

A razão do número de Rayleigh pelo número de Prandtl é definida com o número de Grashof,

ou seja,

( )2

3

Pr νβ yTTgRa

Gr wyy

∞−== (1.7.16)

Os resultados no limite de baixo Prandtl são válidos se as camadas limites

hidrodinâmica e térmica são estreitas e longas, isto requer que

1Pr

4/1

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ yRa; ( ) 1Pr 4/1 >yRa (1.7.17)

1.7.2 Parede isotérmica (escoamento laminar)

A análise por variável de similaridade também pode ser aplicada neste caso de

convecção natural ou livre. Definindo a variável de similaridade e a velocidade adimensional

como

122

( ) 4/1−=yRayxη (1.7.18)

( ) ( ) 2/1/Pr,

yRayvG

αη = (1.7.19)

Definindo a função de corrente por

yu

∂∂

=ψ ;

xv

∂∂

−=ψ (1.7.20)

a função de corrente adimensional pode ser definida como

( ) 4/1Pr,yRa

Fαψη = (1.7.21)

Daí pode-se demonstrar queηd

dFG −= . Definindo a temperatura adimensional como

∞

∞

−−

=TTTT

w

Pr),(ηθ (1.7.22)

Nas variáveis de similaridade, as equações de quantidade de movimento e de energia

são:

θ+′′′−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′−′ FFFF

43

21

Pr1 2 (1.7.23)

θθ ′′=′F43 (1.7.24)

com as seguintes condições de contorno

123

)(;;0)0(;;0

)(;0;1)0(;0;0)0(;0;0

∞=∞→→=∞→→′

======′===

TTvFTT

vFuF

w

ηθη

ηθηη

(1.7.25)

A solução das equações acima permite obter correlações par o coeficiente de

transferência de energia convectiva. O número de Nusselt pode ser calculado na forma

4/1

0

0

y

x

yy

Radd

xTk

Tky

kyh

Nu

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−Δ

==

ηηθ

(1.7.26)

Uma correlação de Nusselt válida em toda faixa de número de Prandtl é da forma:

4/14/1

2/1 492,0Pr986,0PrPr503,0 yy RaNu ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

= (1.7.27)

Nos limites de números de Prandtl muito altos ou muito baixos têm-se as correlações:

4/1503,0 yy RaNu = ; ( )1Pr >> (1.7.28)

( ) 4/1Pr600,0 yy RaNu = ; ( )1Pr << (1.7.29)

O número de Nusselt global pode ser definido como

ky

TTq

kyh

uNw

ywyy

∞−

′′== , (1.7.30)

O fluxo de calor num comprimento y de placa pode ser calculado como

124

∫ =′′=′′

y

y ywyw dyqy

q0 ,,

1 (1.7.31)

Pode-se definir também, yqq ywyw ,, ′′=′ . Se W e a largura da placa, a taxa de calor pode ser

calculada como

yWqWqq ywywyw ⋅′′=′= ,,, (1.7.32)

O número de Nusselt global definido como TkquN ywy Δ′= /, , será calculado pela

seguinte correlação

4/14/1

2/1 492,0Pr986,0PrPr671,0 yy RauN ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

= (1.7.33)

No caso de ar ( )72,0Pr = , resulta a correlação:

4/1517,0 yy RauN = (1.7.34)

Ex.: 1.7.1. A porta de um forno de cozinha é um retângulo vertical de área 0,5 m de altura e

0,65 m de largura. A superfície externa da porta do forno está a 40oC, enquanto o ar do

ambiente está a 20oC. Calcule a taxa de transferência de calor da porta par o ar ambiente.

1.7.3 Transição e Efeito de Turbulência sobre a Transferência de calor

A camada limite permanece laminar se o número de Rayleigh não excede um

determinado valor, ou seja para baixos valores de y. De acordo com Bejan, a transição de

laminar para turbulento ocorre na posição y onde 910≈yGr . A Figura 1.7.4 ilustra a transição

de escoamento laminar ara turbulento na parede vertical. Alguns autores baseiam no em 910≈yRa , independente do número de Prandtl. Mas isso só seria verdade para 1Pr = .

Portanto o critério de transição é adotado como

)10Pr10(10 339 ≤≤≈ −yGr (1.7.35)

125

Figura 1.7.4. Seções laminar, transição e turbulenta em convecção natural na parede vertical

O critério de transição também pode ser baseado no número de Rayleigh,

Pryy GrRa =

)10Pr10(Pr10 339 ≤≤≈ −yRa (1.7.36)

Desta forma o critério de basear-se em 910≈yRa como critério de transição só é válido para

1Pr = . Pode-se ver que no caso de metais líquidos ( )23 1010Pr −− −≈ o número de Rayleigh

estaria na faixa 76 1010 − que é bem abaixo de 910≈yRa .

O critério de transição também pode ser baseado no número de Reynolds em função

da espessura da camada limite. Este Reynolds e estimado como

Pr/Re 4/12/14/1

yyyt RaRa

yyRav

≈≈≈− α

ννδ

(1.7.37)

126

No caso de 1Pr = , obtém-se

)1(PrRe 4/1 =≈ yGr (1.7.38)

O que leva ao valor de

)1(Pr178)10(Re 4/19 ==≈ (1.7.39)

na transição.

A correlação para cálculo do coeficiente de transferência de calor na faixa laminar e

transição e turbulenta foi proposta por Churchill e Chu:

[ ]

2

27/816/9

6/1

Pr)/492,0(1

387,0825,0

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++= y

y

RauN (1.7.40)

Correlação válida para 121 1010 <<−yRa e todos números de Prandtl. Para ar a correlação

(1.7.53) se reduz a

{ } )72,0(Pr325,0825,0 26/1 =+= yy RauN (1.7.41)

No faixa laminar, 910<yGr , a correlação que representa os experimentos mais

acuradamente é:

[ ] 9/416/9

4/1

Pr)/492,0(1

67,068,0

++= y

y

RauN (1.7.42)

A qual no caso do de ar reduz a

)72,0(Pr515,068,0 4/1 =+= yy RauN (1.7.43)

127

1.7.5 Fluxo de Calor Uniforme na Parede

No caso de fluxo de calor uniforme na parede a temperatura da parede é desconhecida,

então surge um dilema de como definir o número de Rayleigh, uma vez que ∞−TyTw )( é

incógnita também. Para fluidos com altos números de Prandtl foi demonstrado que

( ) 4/1yy RaNu ≈ , da qual obtém-se

( ) 4/13

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −≈ ∞

ανβ yTTg

kyh wy ou

( )( ) 4/13

)( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −≈

−′′ ∞

∞ ανβ yTTg

ky

TyTq w

w

w (1.7.44)

da qual se conclui que ∞−TyTw )( é proporcional a 5/1y . Desta forma a Eq. (1.7.44) pode ser

escrita em função do fluxo de calor na parede como

( )

5/14

)( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′′≈

−′′

∞ kyqg

ky

TyTq w

w

w

ανβ

(1.7.45)

O lado direito da Eq. (1.7.45) é definido como um número de Rayleigh modificado , ou seja,

kyqg

Ra wy αν

β 4* ′′= (1.7.46)

Para escoamento laminar com alto número de Prandtl, obtém-se a correlação

( ) 5/1*5/1

8,0PrPr616,0 yy RaNu ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

≅ (1.7.47)

Para fluidos com Prandtl no range ar-água, a transição a turbulência ocorre para 13* 10≈yRa . Neste caso, as seguintes correlações

128

( )( )

13*55/1*

5/1*

1010 laminar, 75,0

6,0<<

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=y

yy

yy RaRauN

RaNu (1.7.48)

( )( )

16*1322,0*

22,0*

1010 to, turbulen645,0

568,0<<

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=y

yy

yy RaRauN

RaNu (1.7.49)

Nas correlações (1.7.61) e (1.7.62) o Nusselt global é baseado na diferença média de

temperatura, ∞−TyTw )( . Existem várias outras correlações disponíveis na literatura. Vide

Bejan.

1.7.6 Outras Configurações de Escoamentos Externos

1.7.6.1 Reservatório Fluido Estratificado Termicamente

Em muitas situações o reservatório que banha a parede aquecida não é isotérmico.

Neste caso define-se um parâmetro de estratificação do fluido como

max

minmax

TTT

bΔ

Δ−Δ= (1.7.50)

A variação do parâmetro de estratificação é mostrada na Figura 1.7.5. O caso 0=b

corresponde ao reservatório isotérmico e o caso 1=b corresponde à máxima estratificação.

129

Figura 1.7.5 Número de Nusselt global (médio) para escoamento laminar numa parede

isotérmica e fluido estratificado termicamente.

Para escoamento laminar o Nusselt “médio” definido como

ανβ 3

max

max

, ;HTg

RakH

Tq

uN HHw

HΔ

=Δ

′′= (1.7.51)

é calculado como

4/1Pr),( HH RabfuN = (1.7.52)

1.7.6.2 Paredes Inclinadas

Escoamentos por convecção natural sobre paredes inclinadas são ilustrados na Figura

1.7.6.

130

Figura 1.7.6. Transferência de calor por convecção natural em paredes inclinadas.

A seguinte correlação foi proposta para escoamento laminar:

( )[ ] 9/416/9

4/1

Pr/492,01

67,068,0

++= y

y

RauN (1.7.53)

na qual ( )αν

φβ 3cos yTTgRa w

y∞−

= para parede isotérmica ( )cteTw = e k

yqgRa w

y ανφβ 4

* cos ′′=

para parede com fluxo calor uniforme cteqw =′′ . No caso de escoamentos turbulentos foi

encontrado que as correlações dão melhores resultados com g no lugar de φcosg . A Tabela

1.7.1 mostra valores de número de Rayleigh na transição de escoamento laminar de água para

turbulento para fluxo uniforme e parede isotérmica em função da inclinação da parede.

131

Tabela 1.7.1. Valores de número de Rayleigh na transição em água ( )5,6Pr ≅ . cteqw =′′

φ *yRa

0 5x1012 - 1014

30o 3x1010 - 1012

60o 6x107 – 6x109

cteTw =

φ yRa

0 8,7x108

20o 25x108

45o 1,7x107

60o 7,7x105

Dentro deste tópico outras configurações estão também os casos de convecção natural

em paredes horizontais, cilindros horizontais e verticais, esfera e corpos de outras formas

geométricas, cujas correlações podem ser encontradas na literatura. Vide Bejan (1993).

1.7.7 Configurações de Escoamentos Internos

1.7.7.1 Canais Verticais

Agora serão considerados casos em que paredes confinam o fluido em escoamento por

convecção natural. A Figura 1.7.7 ilustra os casos de escoamentos em canais largos e

estreitos.

132

Figura 1.7.7 canal vertical com paredes isotérmicas; as extremidades do canal comunica com

um fluido isotérmico.

No caso do canal largo suficientemente, de modo que, não haja interação das camadas

limites, pode-se usar os resultados do escoamento sobre uma placa. Com os comprimentos

característicos H e L, para 1Pr ≥ , o canal largo pode ser representado pelos seguintes limites:

4/1−> HRaHL ou 1−> LRa

HL (1.7.54)

O canal estreito tem interesse especial. Pode-se ver pela Fig. 1.7.7 que, quando o canal

é estreito, o perfil de velocidade nas paredes interage formando um perfil similar ao do

escoamento num canal de placas paralelas (esc. Hagen-Poiseuille). O perfil de temperatura

tem o comportamento mostrado ao lado do canal estreito, de forma que pode-se assumir

∞−<− TTyxTT ww ),( (1.7.55)

O escoamento é puramente vertical e com a hipótese de escoamento completamente

desenvolvido, a equação de quantidade de movimento se reduz a

( )∞−+= TTgdx

vd βν 2

2

0 (1.7.56)

( ) cteTTgdx

vd=−−≅ ∞ν

β2

2

(1.7.57)

133

A solução da Eq. (1.7.57) é similar ao caso de convecção forçada num canal de placas

paralelas e é da forma

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Δ=

22

2/1

8 LxTLgv

νβ (1.7.58)

e a vazão mássica por unidade de comprimento pode ser calculada como

νβρρ12

32/

2/

TLgvdxmL

L

Δ==′ ∫− (1.7.59)

Pela inspeção das Eqs. (1.7.58) e (1.7.59), pode-se verificar que a velocidade e vazão

mássica independem da altura do canal H.

A taxa total de transferência de calor extraída pela corrente m′ das duas paredes

verticais é:

( ) ( )ν

βρ12

32 LTcgTTcmq p

wp

Δ=−′=′ ∞ (1.7.60)

Hqq

2′

=′′ (1.7.61)

O número de Nusselt “médio” é calculado como

LH RakH

TquN

241

=Δ′′

= (1.7.62)

Tendo em vista a Eq. (1.7.55) pode-se concluir que

( ) TTTkLq

w Δ=−<′′

∞ (1.7.63)

Portanto no limite de canal estreito

134

LHRaL < (1.7.64)

O escoamento num canal estreito, também denominado de escoamento em chaminé,

em dutos de outras seções, possui hDH RauN / constante, em que hD é o diâmetro hidráulico.

Na Tabela 1.7.2 apresentam-se alguns resultados

Tabela 1.7.2. Escoamento em chaminé (canal estreito, h

D DHRa

h< )

Forma da seção do canal hDH RauN /

Placas paralelas 1/192

Circular 1/128

Quadrada 1/113.6

Triângulo equilátero 1/106.4

1.7.7.2 Cavidades Aquecidas do Lado

Um caso importante de convecção natural interna é o de escoamentos induzidos em

espaços fechados que estão sujeitos a variação de temperatura horizontal. A Figura 1.7.8

ilustra o caso de um fluido aquecido em uma parede e resfriado na parede oposta.

135

Figura 1.7.8. Regimes de escoamentos para convecção natural em cavidades aquecidas do

lado para fluidos com 1Pr ≥

Da mesma forma, tem-se neste caso, cavidades largas e cavidades estreitas. A

cavidade é larga quando a espessura da camada limite é menor do que a dimensão horizontal,

Lt <δ o que é equivalente 4/1/ −> HRaHL . As correlações para o número de Nusselt médio

são:

135

09,028,0

10;10Pr;102

Pr2,0Pr22,0

<<<<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

H

HH

RaLH

HLRauN

(1.7.65)

3353

13,029,0

Pr2,0Pr10;10Pr10;21

Pr2,0Pr

18,0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+<<<<<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

−

−

HLRa

LH

HLRa

uN

H

HH

(1.7.66)

O Nusselt médio e número de Rayleigh são definidos como TkHquN H Δ′′

=

( )αν

β 3HTTgRa ch

H−

= .

136

No caso oposto de cavidade estreita, 4/1/ −< HRaHL tem-se

LH

TkH

LTk

TkHquN H =

Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

=Δ′′

= (1.7.67)

indicando que neste caso a transferência de calor é puramente por condução ou difusão.

Toda a precedente discussão refere-se a cavidades quadradas ou altas em que

1/ ≥LH . No caso de 1/ <LH pode-se Ter jatos horizontais distintos nas paredes de topo e

fundo. Pode-se encontrar o Nusselt médio em função de Rayleigh em gráficos da literatura

(Bejan, pg 370).

No caso de cavidades aquecidas e resfriadas por fluxos de calor constantes também é

possível se obter correlações para o número de Nusselt. No regime de camada limite , a

temperatura varia linearmente na direção vertical ao longo da parede aquecida, parede

resfriada e no centro, e de acordo com Bejan

cteRaLH

HgyT

H =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂ 9/8*

9/4

40425,0βαν (1.7.68)

Desde que a temperatura aumenta a mesma taxa em ambas paredes na direção vertical, em

cada nível, cteTyTyT ch =Δ=− )()( . O solução teórica para o Nusselt médio TkHquN H Δ′′

=

na camada limite para fluidos com 1Pr ≥ é

9/1

9/2*34,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

LHRauN HH (1.7.69)

na qual )/(4* kqHgRaH ανβ ′′= . Se o número de Rayleigh for baseado em TΔ ,

)/(/ 3* ανβ THguNRaRa HHH Δ== . Neste caso, a eq. 1.7.82 fica na forma

7/17/225,0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

LHRauN HH (1.7.70)

137

1.7.7.3 Cavidades aquecidas por Baixo

Nas cavidades aquecidas do lado, o escoamento acontece tão logo a uma pequena

diferença de temperatura ch TT − seja imposta entre as duas paredes. Já na cavidade aquecida

por baixo, a diferença de temperatura imposta deve exceder um valor crítico para o

escoamento e transferência de calor sejam detectados. Quando a cavidade é longa e larga na

horizontal, para ( ) 1708)(3 ≥−= ανβ HTTgRa chH formam-se dois rolos quase quadrados

que giram em sentidos opostos, como ilustrado na Figura 1.7.9. Este tipo de escoamento é

conhecido com convecção de Bénard.

Figura 1.7.9 Camada de fluido horizontal entre duas paredes paralelas e aquecida por baixo.

Esquerda: 1;1708 =< HH uNRa . Direita: 1;1708 >> HH uNRa

O efeito do escoamento celular é aumentar a transferência de calor na direção vertical.

Neste caso o número de Nusselt médio definido como )/( TkHquN H Δ′′= é dado pela

correlação:

95074,03/1 107103;Pr069,0 xRaxRauN HHH <<= (1.7.71)

na qual as propriedades físicas para se calcular Pr,, HH RauN são avaliadas na temperatura

média ( ) 2/ch TT + .

1.7.7.4 Cavidades Inclinadas

As correlações para este caso podem ser encontradas no livro de Adrian Bejan (1993).

138

1.7.7.5 Outras Formas de Cavidades: Espaço Anelar entre Cilindros e Esferas Concêntricas

Espaços anelares entre um cilindro ou esfera internos aquecidos e os externos

resfriados, por exemplo, formam cavidades onde pode ocorrer escoamentos ou células de

escoamentos por convecção natural. As correlações de transferência de calor são da forma:

Cilindro:

( )( )[ ]

4/1

4/55/3 Pr861,0Pr

/1

425,2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−≅′ iD

oi

oiRa

DD

TTkq em W/m (1.7.72)

na qual ( ) )/(3 ανβ ioiH DTTgRa −= . A Eq. (1.7.85) é válida quando

)(4/1ioDo DDRaD

o−>− (1.7.73)

Esfera:

( )( )[ ]

4/1

4/55/7 Pr861,0Pr

/1

325,2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−≅′ iD

oi

oiiRa

DD

TTkDq em W/m (1.7.74)

Nas correlações acima, o sub-índice i refere-se ao cilindro ou esfera internos e o sub-índice o

aos externos. Nestes casos as propriedades são avaliadas a ( ) 2/oi TT − .

139

1.8 Convecção com Mudança de Fase

1.8.1 Transferência de Calor na Condensação

1.8.1.1 Filme Laminar sobre uma Superfície Vertical

Nos capítulos anteriores independentemente do aquecimento ou resfriamento, o fluido

sempre permanecia numa única fase. Neste capítulo, consideram-se os casos em que o fluido

sofre uma mudança de fase durante a convecção. Condensação pode ocorrer quando um

reservatório contendo um vapor tem sua parede resfriada, como ilustrado na Figura 1.8.1, na

qual também são ilustrados os perfis de velocidade e temperatura. Na interface entre o filme

líquido e o vapor a temperatura é igual a temperatura de saturação.

Figura 1.8.1 Regimes de escoamento de filme de condensado sobre uma parede vertical

resfriada.

Considere, agora, só a região laminar ilustrada na Figura 1.8.2, em que um vapor

saturado e estacionário entra em contato com uma parede resfriada. Na hipótese de camada

limite a equação de movimento fica na forma:

140

Figura 1.8.2 Filme laminar de condensado suprido por um reservatório de vapor saturado

estacionário

gxv

yp

yvv

xvu lll ρμρ +

∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

2

2

(1.8.1)

Admitindo que a distribuição de pressão seja dada pelo vapor, gdydp vρ=/ , então a Eq.

(1.8.1) pode ser reescrita como

( )sumidouro

vl

fricção

l

inércia

l gxv

yvv

xvu ρρμρ −+

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

2

2

(1.8.2)

Supondo que os termos de inércia sejam desprezíveis em relação ao atrito viscoso,

resulta a equação:

( )sumidouro

vl

fricção

l gxv ρρμ −+

∂∂

= 2

2

0

com as condições de contorno

141

)(;0

0;0

yxxv

xv

δ==∂∂

== (1.8.3)

Integrando duas vezes em x, obtém-se a distribuição da velocidade do filme de condensado:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

22

21),(

δδδρρ

μxxgyxv vl

l

(1.8.4)

na qual )(yδ é a espessura do filme líquido que é desconhecida.

A taxa total de escoamento de massa através da seção de filme é:

( ) 3

0 3)( δρρ

μρ

ρδ

vll

ll

gvdxy −==Γ ∫ em [kg/s/m] (1.8.5)

Pode se notar que a velocidade e vazão mássica são proporcionais a ( )vlg ρρ − e

inversamente proporcionais a lμ .

Para estimar a espessura do filme de líquido aplica-se a primeira lei da termodinâmica

ao volume de controle dyxδ , obtendo-se

vdxhdHdHHdhdyqH lgw ρ=+=Γ+′′− ; (1.8.6)

que integrada fornece

( )[ ]∫ −−=δρ

0 , dxTTchvH satlpfl (1.8.7)

Visto que o fluido levemente sub-resfriado ( satTT < ) a entalpia específica será menor do que

a entalpia do líquido saturado ( )fhh < . Nusselt propôs a seguinte relação:

δx

TTTT

wsat

sat −≅−−

1 (1.8.8)

142

que substituída na Eq. (1.8.7) juntamente com a Eq. (1.8.4) leva à equação para cálculo da

entalpia

( ) Γ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−= wsatlpf TTchH ,8

3 (1.8.9)

O fluxo de calor na parede é:

δwsat

lwTT

kq_

≅′′ (1.8.10)

Do balanço de energia

Γ+′′−= dhdyqdH gw (1.8.11)

e, portanto, com o uso das Eqs. (1.8.5), (1.8.9) e (1.8.11) obtém-se

( ) 083

, =−

−Γ+Γ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−− dy

TTkdhdTTch wsat

lgwsatlpf δ ou

( )

Γ′=

Γ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

−

d

dTTchdyTT

k wsatlpfgwsat

l

fg

,

h 83

δ (1.8.12)

Pela Eq. (1.8.5)

( ) δδρρμρ

dg

d vll

l 233

−=Γ (1.8.13)

a qual substituída em (1.8.12) resulta

( )( ) δδ

ρρν

ddyg

TTk

vl

wsatll 3

fgh=

−′−

(1.8.14)

Integrando a Eq. (1.8.14) de 0=y até δ=y obtém-se a espessura de filme líquido:

143

( )( )

4/1

fgh4

)(⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−′−

=vl

wsatll

gTTk

yyρρ

νδ (1.8.15)

Os coeficientes local e médio de transferência de calor podem ser calculados como

( )( )

( )( )

4/13

4/

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−′==

−−

=−′′

=wsatl

vlfgll

wsat

wsatl

wsat

wy TTy

ghkkTTTTk

TTq

hν

ρρδ

δ (1.8.16)

LyLy

L hh

h == =−+

=34

)4/1(1 (1.8.17)

O número de Nusselt global (médio) é então calculado pela correlação

( )( )

4/13

943,0⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−′==

wsatll

vlfg

l

LL TTk

ghLk

LhuNν

ρρ (1.8.18)

A partir das Eqs. (1.8.15) e (1.8.18) pode-se demonstrar que

( )( )

4/13

707,0)( ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−′=

wsatll

vlfg

TTkghL

LL

νρρ

δ (1.8.19)

As propriedades são avaliadas a temperatura 2/)( satw TT + e a entalpia de condensação é

encontrada em tabelas de propriedades termodinâmicas a satT . Para perfil de temperatura não

linear Rohsenow propôs

( )wsatlpfgfg TTchh −+=′ ,68,0 ou (1.8.20)

)68,01( Jahh fgfg +=′ (1.8.21)

na qual

144

( )fg

wsatlp

hTTc

Ja−

= , (1.8.22)

é o número de Jakob que mede o grau de sub-resfriamento do filme líquido.

A taxa total de calor absorvida pela parede por unidade de largura é

( ) ( ) Lwsatlwsatl uNTTkTTLhq −=−=′ (1.8.23)

Se Ly = , a taxa total de condensação é

( ) Lwsatfg

l

fg

uNTThk

hqL −

′=

′′

=Γ )( (1.8.24)

Em muitos casos lvlvl ρρρρρ ≅−⇒>> .

Ex. 1.8.1 Uma parede plana vertical na temperatura CT ow 60= faceia um espaço cheio de

vapor saturado estagnante a pressão atmosférica. A altura da parede é 2 m . Assumindo

escoamento laminar, calcule a taxa em que vapor se condensa na parede vertical.

1.8.1.2 Filme Turbulento sobre uma Superfície Vertical

O filme líquido se torna ondulado e mais abaixo, turbulento quando a ordem de

grandeza do Reynolds local é maior do 100. O Reynolds local do filme líquido pode ser

calculado na forma l

ly

yvμδρ )(

Re = , em que o numerador e igual à taxa de condensação,

)(yvl δρ=Γ . O Reynolds local tem sido, entretanto, definido como

ly

yμ

)(4Re Γ= (1.8.25)

145

Experimentos mostram que o escoamento laminar cessa quando 30Re ≈y e é

ondulado na faixa 1800Re30 ≤≤ y . Foi proposto por Chen et al. a correlação

[ ] 30Re;PrRe)1082,5(Re 2/13/18,0644,03/12

≥+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−LlLL

l

l

l xgk

h ν (1.8.26)

Para LRe abaixo de 30 pode-se usar a equação (1.8.18) que para vl ρρ >> reduz a

3/13/12

Re468,1 −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛L

l

l

L

gkh ν

(1.8.27)

Pode-se verificar que ambos o número de Reynolds e a taxa de condensação são

desconhecidos, portanto é proposto resolver a Eq. (1.8.26) na forma:

Bgkh Ll

l

L Re3/12

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν (1.8.28)

na qual

( )3/1

2

4⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

−=lfgl

lwsat

ghk

TTLBνμ

(1.8.29)

Por comparação com as Eqs. (1.8.26) e (1.8.27) pode-se mostrar

[ ] 2/13/18,0644,0 PrRe)1082,5(ReRe −−− += lLLL xB (1.8.30)

3/4Re681,0 LB = (1.8.31)

Um gráfico da variação de B com Reynolds local é mostrado na Figura 1.8.3.

146

Figura 1.8.3 Filme de condensação numa parede vertical: taxa total de condensação em

função de B.

Ex. 1.8.2 Refazer o Ex. 1.8.1

1.8.1.3 Filme de Condensação em Outras Configurações

Os resultados descritos até agora são válidos não só para superfícies planas, mas

também para superfícies curvas em que o filme de condensado seja suficientemente fino.

Superfícies curvas englobam, por exemplo, cilindros e esferas, e desde que o diâmetro seja

maior do que a espessura do filme pode-se usar os resultados anteriores. Um filme sobre uma

esfera pode ser considerado como um processo de condensação sobre uma parede inclinada.

Alguns exemplos são ilustrados na figuras a seguir.

147

Figura 1.8.4 Filme de condensado em superfícies planas, curvas e inclinadas.

No caso de superfícies curvas a componente tangencial da gravidade varia ao longo do

filme Um exemplo é uma superfície esférica. Para filme laminar ao redor da esfer, a

correlação para calcular o Nusselt médio é da forma

( )( )

4/13

815,0⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−′==

wsatll

vlfg

l

DD TTk

ghDk

DhuN

νρρ

(1.8.32)

Para escoamento laminar em torno de um único cilindro a correlação é

( )( )

4/13

729,0⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−′==

wsatll

vlfg

l

DD TTk

ghDk

DhuN

νρρ

(1.8.33)

No caso de uma fileira vertical de cilindros horizontais, Figura 1.8.5, foi proposto

( )( )

4/13, 729,0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−′==

wsatll

vlfg

l

nDD TTnk

ghDk

DhuN

νρρ

(1.8.34)

Comparando a Eq. (1.8.34) com a Eq. (1.8.33) pode demonstrar que

4/1, nhh D

nD = (1.8.35)

148

Figura 1.8.5 .Filme de condensado em escoamentos em tubos horizontais

Outras configurações podem ser encontradas por exemplo, no livro do Bejan. A Figura

1.8.6 ilustra condensação numa superfície horizontal de uma tira ou disco. Um caso

interessante é o caso de condensação num cilindro num escoamento cruzado por convecção

forçada ou paralelo a uma placa, Figura 1.8.7. Vapor escoando verticalmente num tubo é

ilustrado Figura 1.8.8. Escoamentos rápido e lento de vapor em tubos horizontais são

ilustrados na Figura 1.8.9

149

Figura 1.8.6 Filme de condensado numa fita horizontal de largura L ou disco de diâmetro D.

Figura 1.8.7 Filme de condensação sobre um cilindro horizontal em escoamento cruzado e

sobre uma placa plana paralela ao escoamento.

150

Figura 1.8.8 Condensação num tubo vertical com escoamento co-corrente do vapor.

Figura 1.8.9 Condensação como um filme anelar num tubo com escoamento rápido de vapor

(esquerda) e acumulação no fundo com escoamento lento de vapor (direita).

1.8.1.4 Condensação em gotas por Contato Direto

A condensação pode ocorrer quando a tensão superficial for alta o condensado forma

gotas que escorem pela superfície quando o tamanho das gotas aumentam. Veja ilustração no

livro Bejan.

1.8.2 Transferência de Calor na Ebulição

1.8.2.1 Regimes de Ebulição em Vaso Aberto

151

Nesta seção considera-se o caso de transferência de calor na ebulição, que ocorre

quando a temperatura de uma superfície sólida é suficientemente mais alta do a temperatura

de saturação do líquido que está em contato com ela. Ebulição é sinônimo de transferência de

calor convectiva com mudança de fase líquido para vapor quando o líquido está sendo

aquecido por uma superfície suficiente quente. Este é o processo inverso da condensação em

que vapor se torna líquido quando ele é resfriado em contato com uma superfície fria. O

processo de ebulição em vaso (pool boiling) é ilustrado na Figura 1.8.10. No caso do líquido

estar inicialmente sub-resfriado as bolhas de vapor formado não conseguem alcançar a

superfície livre e se condensam novamente. Quando o líquido já esta na temperatura de

saturação as bolhas de vapor alcançam a superfície livre.

Figura 1.8.10 Nucleação de ebulição em vaso, líquido sub-resfriado (esquerda) e líquido

saturado (direita).

Os regimes de ebulição em vaso são ilustrados na Figura 1.8.11. No experimento com

temperatura controlada consegue-se reproduzir a curva de ebulição, já no experimento com

potência controlada quando o fluxo de calor atinge o máximo (que é chamado ponto de

queima, pois a temperatura atinge o ponto de fusão do aquecedor), daí não se consegue

reproduzir a parte descendente da curva, no regime de transição. Se for um processo de

resfriamento, quando o fluxo de calor atinge o mínimo, o filme de vapor se colapsa e inicia-se

o processo de nucleação de bolhas, também não se conseguindo reproduzir a parte da curva de

ebulição no regime de transição.

152

Figura 1.8.11 Os quatro regimes de ebulição de água em vaso a pressão atmosférica

Figura 1.8.12 Curva de ebulição em vaso, em um experimento com temperatura controlada

(esquerda) e em um experimento com potência controlada

1.8.2.2 Nucleação da Ebulição e Fluxo de Calor de Pico

O regime mais importante de ebulição ilustrado na curva da Figura 1.8.11 é o de

nucleação da ebulição, porque é neste regime que o coeficiente de transferência de calor

definido por

153

satw

w

TTq

h−′′

= (1.8.36)

atinge altos valores, no range de 103-105 W/(m2K).

Muitos estudos têm sido realizados, uma correlação proposta para por Rohsenow tem

a forma:

( )

3/12/1

,

Pr⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

′′=−

vlfgl

wsf

sl

lp

fgsatw gh

qC

ch

TTρρ

σμ

(1.8.37)

a qual se aplica para superfícies limpas e como uma aproximação de engenharia é insensitiva

a orientação da superfície. Ele depende de duas constantes empíricas sfC e s . sfC é um

coeficiente que leva em conta a combinação do líquido com a superfície do material e s é um

expoente que depende do líquido. Estes valores podem ser encontrados na Tabela 8.1 do livro

do Bejan (Heat Transfer, pg. 425). σ [N/m] é a tensão superficial do líquido em contato com

seu vapor. Se considerar uma bolha de vapor de forma esférica seu raio pode ser estimado

como: )/(2 lv ppr −= σ , em que vp é pressão dentro da bolha e lp é pressão fora.

No caso em que a diferença de temperatura satw TT − é conhecida a Eq. (1.8.37) pode

ser rearranjada para se determinar o fluxo de calor na forma

( ) ( ) 3

,2/1

Pr ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=′′fgsf

sl

satwlpvlfglw hC

TTcghq

σρρ

μ (1.8.38)

O fluxo de calor de pico sobre uma grande superfície horizontal baseado em análise

dimensional é da forma:

( )[ ] 4/12/1max 149,0 vlvfg ghq ρρσρ −=′′ (1.8.39)

que independe da superfície do material. Esta correlação se aplica para superfícies cujo

comprimento linear é muito maior do que o tamanho das bolhas de vapor.

154

Ex.: 1.8.3 Um elemento cilíndrico de aquecimento de diâmetro 1 cm e comprimento 30 cm é

imerso horizontalmente numa piscina de água saturada a pressão atmosférica. A superfície

cilíndrica é coberta com níquel. Calcule o fluxo de calor e a taxa total de transferência de

calor do cilindro para a piscina de água, quando CT ow 108= . Calcule também o fluxo crítico

de calor.

1.8.2.3 Filme da Ebulição e Mínimo Fluxo de Calor

Filme de ebulição é uma camada contínua de vapor (0,2-0,5 mm de espessura) que

separa a superfície aquecida do resto do líquido. O fluxo mínimo de calor é registrado na

temperatura mais da superfície do aquecedor que ainda mantém o filme contínuo. Para

superfícies horizontais extensas, o fluxo mínimo é da forma:

( )( )

4/1

2min 09,0⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

−=′′

vl

vlvfg

ghq

ρρρρσ

ρ (1.8.40)

Para um cilindro horizontal a correlação é da forma:

( )( )

4/13

62,0⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−′==

satwvv

vlfg

v

DD TTk

ghDk

DhuNν

ρρ (1.8.41)

na qual as propriedades são do vapor. Para filme de ebulição sobre uma esfera tem-se

( )( )

4/13

67,0⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−′==

satwvv

vlfg

v

DD TTk

ghDk

DhuNν

ρρ (1.8.42)

Em que

( )satwvpfgfg TTchh −+=′ ,4,0 (1.8.43)

e neste caso vpvvv ck ,,,, ρν são avaliados a ( ) 2/satw TT + .

155

Se a temperatura do aquecedor aumenta, o efeito de radiação térmica deve ser levado

através do filme se torna importante. Para se considerar a radiação pode-se definir um

coeficiente equivalente na forma:

radDradD hhhhh >+= ;43 (1.8.44)

na qual

( )satw

satwwrad TT

TTh

−−

=44σε

(1.8.45)

Na Eq. 1.8.45 a constante de Stefan-Boltzmann tem o valor 810669,5 −= xσ W/m2K4. Para

água se CTT osatw 600550 −>− , deve-se considerar radiação. No caso em que Drad hh > o

coeficiente pode ser calculado na forma

radDradD

D hhhhhhh ≤+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ;

3/1

(1.8.46)

Ex.: 1.8.4 Rafazer o Ex. 1.8.3 considerando radiação. Adote CT ow 300= e 8,0=wε .

1.8.2.4 Escoamento com Ebulição

Se o líquido for forçado sobre o aquecedor, o fluxo de calor deve ser calculado na

forma:

cw qqq ′′+′′=′′ (1.8.47)

na qual wq ′′ é calculado pela Eq. (1.8.38) e o fluxo de calor devido ao escoamento pode ser

calculado como

)( lwcc TThq −=′′ (1.8.48)

156

O coeficiente de troca convectiva pode ser avaliado como nos capítulos anteriores como nos

casos de convecção forçada externa ou interna ou convecção natural. Por exemplo para

ebulição num duto, uma correlação usada é da forma:

4,05/4 PrRe019,0 Dc

D kDh

Nu == (1.8.49)

157

1.9. Radiação

Radiação diferentemente da condução e convecção é o mecanismo de troca de energia

entre sistemas à distância, sem fazer contato direto. Uma transferência líquida de calor por

radiação pode ocorrer mesmo que o espaço entre duas superfícies esteja evacuado.

O campo de radiação eletromagnética é caracterizado em escala macroscópica pela

definição em cada ponto r do espaço e para cada direção Ω de uma quantidade Iν , a

intensidade monocromática relacionada com a freqüência ν . O campo de radiação resulta da

distribuição de fótons (quanta de energia particular de Bose-Einstein que em repouso possuem

massa nula) cada caracterizado pela freqüência ν , momentum p e spin s. Um quanta tem

energia νhe = , onde 346,6256 10h x Js−= é a constante de Planck.

Em radiação, energia é permanentemente trocada entre um sistema material e um

campo de radiação pelos seguintes processos:

- emissão espontânea de radiação que consiste na conversão de energia térmica (energia de

vibração ou rotação, energia eletrônica, energia de fônons, etc. para uma energia radiativa

(de fótons);

- absorção de radiação pela conversão inversa de energia radiativa para energia térmica.

Sob o ponto de vista de radiação, pode-se definir três tipos de meios:

- meio transparente como aquele que não emite, não absorve, não reflete ou difunde, mas

transmite toda radiação incidente qualquer que seja sua direção e freqüência;

- meio opaco que não transmite qualquer radiação incidente ( iI ) que pode ser absorvida

( aI ) ou refletida ( rI ). O meio opaco também pode emitir a radiação ( eI );

- meio semitransparente que reflete, absorve ou difunde a radiação incidente, ou a transmite

em distâncias finitas.

158

Figura 1.9.1 Radiação em meios transparente e opaco

A análise de transferência radiativa é complicada pelo fato que a propagação de

radiação em qualquer ponto em um meio não pode ser representada por um único vetor como

no caso da condução de calor. Para especificar a radiação incidente em um dão ponto, é

necessário conhecer a radiação de todas as direções porque os feixes de radiação de todas as

direções são independentes uns dos outros. Portanto a quantidade fundamental

freqüentemente usada em estudos de transferência radiativa para descrever a quantidade de

energia de radiação transmitida pelo raio em qualquer dada direção por unidade de tempo é a

intensidade de radiação monocromática (ou espectral). Para definir esta quantidade considere

um elemento de superfície dA , sobre um espaço de coordenadas r , caracterizada por uma

direção cuja normal é o vetor n como ilustrado na Figura 1.9.2. Seja dEν a quantidade de

energia radiativa no intervalo de freqüência entre ν e dν ν+ , confinada em um elemento de

ângulo sólido dΩ ao redor da direção de propagação Ω escoando através do elemento de

superfície dA (i.e., transmitida através ou emitida pela e/ou refletida da superfície) durante o

intervalo de tempo entre t e t dt+ . Seja θ o ângulo polar entre a direção normal n e a

direção de propagação Ω . A intensidade de radiação monocromática ( ), ,I r tν Ω é definida

como

( ), ,cos

dEI r tdA d d dt

νν θ ν

Ω =Ω

(1.9.1)

159

Figura 1.9.2 – Símbolos para definição de intensidade

Na equação (1.9.1) cosdA θ é a projeção da superfície dA sobre um plano

perpendicular à direção dΩ ; daí a intensidade é definida com base na área projetada. De

acordo com a Eq. (1.9.1) a intensidade monocromática é a quantidade de energia radiativa

(em unidades apropriadas de energia) escoando através da unidade de área perpendicular à

direção de propagação Ω , por unidade de ângulo sólido em torno da direção Ω , por unidade

de freqüência sobre a freqüência ν , e por unidade de tempo sobre o tempo t .

Se a intensidade de radiação para ou de um elemento de superfície é considerada na

faixa de freqüência entre 1ν e 2ν e através do ângulo sólido entre 1Ω e 2Ω , então a

quantidade por metro quadrado

( )2 2 2

1 1 12 , , , cosE I r t sen d d d

mν φ θν

νν φ θθ φ θ θ θ φ ν= ∫ ∫ ∫ (1.9.2)

é o total de energia radiativa para ou da superfície por unidade de área e por unidade de tempo

na faixa de freqüência entre 1ν e 2ν e através do ângulo sólido entre 1Ω e 2Ω . Um elemento

de ângulo sólido em coordenadas esféricas é representado por

d sen d dθ θ φΩ = (1.9.3)

na qual θ é o ângulo polar entre a direção normal n à superfície e a direção da intensidade e

φ é o ângulo lateral como mostrado na Figura 1.9.3

160

Figura 1.9.3 Cálculo do ângulo sólido

1.9.1 Radiação em corpo negro

A superfície de um sistema que participa em uma troca de calor por radiação pode ser

classificada de acordo com sua habilidade de absorver a radiação que nela incide. O termo

corpo negro é usado para denotar um corpo que possui a propriedade de permitir que toda a

radiação incidente entre no meio sem reflexão pela superfície e sem permitir que ele deixe o

meio novamente. Portanto um corpo negro deve possuir uma superfície que permite que a

radiação incidente entre sem reflexão. Durante a propagação de radiação em um meio cada

raio sofre certo enfraquecimento por causa da absorção; portanto um corpo negro deve ter

espessura suficiente, dependendo do seu poder absorsivo, para assegurar que os raios não

deixarão o meio. Um feixe viajando em um meio é desviado de seu caminho original e

espalhado em todas as direções por causa da presença de pequenas impurezas e não

homogeneidades. Embora no processo de espalhamento de radiação térmica a energia não seja

nem criada nem destruída, um corpo negro não deve ter nenhuma ou ser desprezível suas

propriedades de espalhamento para assegurar que a radiação entrando no meio não será

espalhada para fora. Estas propriedades referem-se aos feixes de radiação vindo de todas as

direções e para todos os comprimentos de onda. Daí um corpo negro absorve toda radiação

incidente de todas as direções e em todas as freqüências, sem refletir, transmitir e espalhar os

raios incidentes.

161

Da discussão anterior, conclui-se que um corpo negro é um perfeito absorvedor de

radiação de todas as direções em todas as freqüências. Considere agora um corpo negro dentro

de uma cavidade isotérmica cujas paredes absorve e emite radiação, e assuma que após um

período de tempo o corpo negro e a cavidade alcancem o equilíbrio térmico e atinjam alguma

temperatura uniforme. Enquanto em equilíbrio térmico um corpo emite tanta energia quanto

absorve, e para um corpo negro a emissão de radiação deve ser máxima visto que ele absorve

a máxima radiação possível de todas as direções e em todas as freqüências. Portanto a

radiação emitida em qualquer dada temperatura T é um máximo para um corpo negro.

Por considerar um corpo negro em equilíbrio térmico dentro de uma cavidade cujas

paredes emitem e absorvem apenas em um intervalo de freqüência dν em torno de ν , e por

um argumento similar, pode ser concluído que a radiação emitida por um corpo negro em uma

dada temperatura T e freqüência ν é um máximo. Além do mais a radiação emitida por um

corpo negro é isotrópica.

A intensidade de radiação espectral ou monocromática emitida por um corpo negro em

uma dada temperatura T no vácuo foi determinada por Planck e é dada por

( )( )

3

, 20

2exp / 1b vac

hvI Tc h kTν ν

=⎡ ⎤−⎣ ⎦

(1.9.4)

na qual h e k são, respectivamente, as constantes de Planck e de Boltzmann, 0c é a

velocidade da luz no vácuo, T é a temperatura absoluta e ν é a freqüência.

Em muitas aplicações de engenharia se usa mais o comprimento de onda do que a

freqüência para caracterizar a intensidade monocromática. Para se escrever a Equação (1.9.4)

em função do comprimento de onda considera-se que a radiação emitida no intervalo dν em

torno de ν deveria ser igual àquela no comprimento de onda 0dλ em torno de 0λ , isto é,

0 0I d I dν λν λ= − (1.9.5)

Desde que o comprimento de onda depende do meio em que a radiação está viajando, usa-se o

subscrito 0 para denotar que o meio é um vácuo. A freqüência, entretanto, não depende do

tipo de meio. A freqüência e comprimento de onda estão relacionados por

0

0

cνλ

= (1.9.6a)

Por diferenciação de (1.9.4) resulta

002

0

cd dν λλ

= − e 00 2

cd dλ νν

= − (1.9.6b)

162

Pela utilização de (1.9.7) em (1.9.5) pode-se escrever

( ) ( ) ( )0

2

, , ,0 0

b vac b vac b vacd vI T I T I Td cλ ν ννλ

= − = (1.9.7a)

De (1.9.4) e (1.9.7a) obtém-se a intensidade de radiação de Planck em função em termos do

comprimento de onda:

( )( )0

20

, 50 0 0

2exp / 1b vac

hcI Thc kTλ λ λ

=⎡ ⎤−⎣ ⎦

(1.9.7b)

que representa a intensidade de radiação emitida por um corpo negro em um vácuo puro. Ou

seja, ela representa a energia radiativa por unidade de área projetada, por unidade de tempo,

por unidade de ângulo sólido, por unidade de comprimento de onda sobre 0λ . Por exemplo,

em watts (joule por segundo), por metro quadrado, por esterorradiano, por mícron tem-se 2/W m sr mμ⋅ ⋅ .

Quando energia radiante é emitida por um corpo negro em um meio que não seja

vácuo, a Eq. (1.9.4) deverá ser substituída por

( )( )

3

2

2exp / 1b

hvI Tc h kTν ν

=⎡ ⎤−⎣ ⎦

(1.9.8a)

na qual c é a velocidade de propagação de radiação no meio em questão. Para um meio

dielétrico (meio com condutividade específica nula, ou perfeitamente não condutor elétrico),

0 /c c n= , a Eq. (1.9.8) fica na forma:

( )( )

( )3 2

2,2

0

2exp / 1b b vac

hv nI T n I Tc h kTν νν

= =⎡ ⎤−⎣ ⎦

(1.9.8b)

na qual n é o índice de refração do meio. Com 0 /c nν λ= e por um procedimento similar ao

de obtenção da eq. (1.9.7b) pode-se mostrar que em função do comprimento de onda num

meio que não seja vácuo, tem-se

( )( )

20

2 50

2exp / 1b

hcI Tn hc n kTλ λ λ

=⎡ ⎤−⎣ ⎦

(1.9.9)

na qual λ é o comprimento de onda no meio em questão.

A intensidade de radiação emitida por um corpo negro sobre todas as freqüências (ou

comprimentos de onda) é chamada de intensidade total de radiação do corpo negro e é obtida

pela integração da intensidade monocromática de radiação do corpo negro sobre o espectro

inteiro de energia:

163

( ) ( )0b bv

I T I T dν ν∞

== ∫ (1.9.10a)

Pela substituição de (1.9.8b) em (1.9.10a) obtém-se

( )3 2

2 /00

2e 1b h kT

h v nI T dc νν

ν∞

==

−∫ (1.9.10b)

e se o índice refrativo n é assumido ser independente da freqüência, a Eq. (1.9.10b) pode ser

rearranjada como

( ) ( )342

2 /00

/2e 1b h kT

vh kThn kT hI T dc h kTνν

ν∞

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ (1.9.10c)

ou

( ) ( ) ( )4 3 4 4

2 4 2 42 3 2 300 0

2 2e 1 15b x

k x kI T n T dx n Tc h c hν

π∞

== =

−∫ (1.9.10c)

A Eq. (1.9.10c) pode ser rearranjada como

( )5 4 4 4

2 22 30

215b

k T TI T n nc hπ σ

π π= = (1.9.10d)

na qual 5 4

2 30

215

kc hπσ = (1.9.10e)

é a constante de Stefan-Boltzmann e seu valor em unidades SI é 8 2 45,67 10 W/m K srxσ −= ⋅ ⋅ .

Em muitas aplicações de engenharia uma quantidade física de interesse é o fluxo

emissivo monocromático (ou espectral) ou poder emissivo do corpo negro ( )bE Tλ definido

como

( ) ( )

( )( )

2 / 2

0 0

2 1

0 0

cosb b

b

b

E T I T sen d d

I T d d

I T

π π

λ λφ θ

π

λφ μ

λ

θ θ θ φ

μ μ φ

π

= =

= =

=

=

=

∫ ∫

∫ ∫ (1.9.11a)

Substituindo a Eq. (1.9.9) em (1.9.11) resulta

( )( )

12 5

2exp / 1bcE T

n c n Tλ λ λ=

⎡ ⎤−⎣ ⎦ (1.9.11b)

na qual foram definidos

21 02c hcπ= e 0

2hcck

= (1.9.11c)

164

O fluxo emissivo monocromático ( )bE Tλ representa a quantidade de energia radiativa

emitida por um corpo negro na temperatura T por unidade de área, por unidade de tempo, por

unidade de comprimento de onda em todas as direções do espaço hemisférico. Em unidades

SI, 2/W m mμ⋅ .

A integração de ( )bE Tλ sobre todos os comprimentos de onda de 0λ = até infinito

leva ao fluxo emissivo total ou poder emissivo total do corpo negro ( )bE T :

( ) ( ) ( ) ( ) 2 4

0 0b b b bE T E T d I T d I T n Tλ λλ λλ π λ π σ

∞ ∞

= == = = =∫ ∫ (1.9.12)

O local de máximo do fluxo emissivo monocromático é determinado analiticamente

pela regra de deslocamento de Wien, que é dada como

( ),max

3bq

T cλ

λ = (1.9.13)

Em unidades SI, a terceira constante é: 33 2,8978 10c m K−= × ⋅ .

1.9.2 Transferência de calor entre superfícies negras

1.9.2.1 O Fator de Forma Geométrico

Considere o problema de determinar a taxa líquida de transferência de calor

( )1 2q W− entre duas superfícies negras isotérmicas ( )1 1,A T e ( )2 2,A T mostradas na Figura

1.9.4. Esta análise pode ser feita nos seguintes passos:

1. A fração da radiação emitida pelo elemento de área 1dA e interceptada (absorvida

totalmente) pelo elemento de área 2dA ;

2. A fração da radiação emitida pelo elemento de área 2dA e interceptada (absorvida

totalmente) pelo elemento de área 1dA ;

3. A taxa de transferência líquida de 1dA para 2dA , isto é, a diferença entre as respostas

da parte 1. e 2. e finalmente,

4. A taxa de transferência líquida de 1A para 2A , que é entre as duas áreas finitas

isotérmicas.

165

Figura 1.9.4 – Parâmetros geométricos para cálculo do fator de forma

Se r é a distância entre os elementos de áreas 1dA e 2dA , então o ângulo sólido

através do qual 2dA é visto por um observador estacionado em 1dA é igual a 22 2cos /dA rφ .

Note que 2 2cosdA φ é a dimensão de 2dA após ele ter sido projetado na direção da linha

1 2dA dA− .

Viajando de 1dA na direção de 2dA (e para todo o resto do espaço) tem-se a

intensidade total de radiação de corpo negro ( ),1 1b bI I T= . O tamanho da área emitente que é

normal à direção r é a área “ 1dA projetada”, 1 1cosdA φ . Portanto, a resposta ao item 1. é:

1 2

2 2,1 1 1 2

coscosdA dA bdAq I dA

rφφ→ = (1.9.14)

A seta usada no subscrito 1 2dA dA→ é para lembrar que 1 2dA dAq → representa a

transferência de energia unidirecional por unidade de tempo, neste caso, de 1dA (emissor) para

2dA (alvo). Analogamente, a resposta ao item 2. será:

2 1

1 1,2 2 2 2

coscosdA dA bdAq I dA

rφφ→ = (1.9.15)

O terceiro passo consiste simplesmente de subtrair a Eq. (1.9.15) da Eq. (1.9.14) para

calcular a transferência de calor líquida de 1dA para 2dA :

166

( )1 2 1 2 2 1

1 2,1 ,2 1 22

cos cosdA dA dA dA dA dA b bq q q I I dA dA

rφ φ

− → →= − = − (1.9.16)

Usando a equação 1(0.10d) para as intensidades de radiação de corpo negro, com 1n = , a Eq.

(1.9.16) pode ser reescrita como

( )1 2

4 4 1 21 2 1 22

cos cosdA dAq T T dA dA

rφ φσπ− = − (1.9.17)

Para se calcular ( )1 2q W− deve-se somar as contribuições de todos os elementos de

área de 1A e 2A , ou seja,

( )1 2

4 4 1 21 2 1 2 1 22

cos cosA A

q T T dA dAr

φ φσπ− = − ∫ ∫ (1.9.18)

No lado esquerdo da Eq. (1.9.18) o subscrito 1-2 estabelece que a taxa de transferência

( )1 2q W− deixa a superfície 1A e entra (cruza) a superfície 2A .

A unidade da integral dupla na Eq. (1.9.18) é metro quadrado ( )2m . É conveniente

definir um fator adimensional formado pela razão da integral dupla por 1A , denominado de

fator de forma geométrico baseado em 1A :

1 2

1 212 1 22

1

1 cos cosA A

F dA dAA r

φ φπ

= ∫ ∫ (1.9.19)

A equação (1.9.18) pode, então, ser reescrita como

( )4 41 2 1 2 1 12q T T A Fσ− = − (1.9.20)

O fator de forma é puramente geométrico, pois depende apenas de dimensões,

orientações e posições relativas das duas superfícies.

Alternativamente poderia se definir

1 2

1 221 1 22

2

1 cos cosA A

F dA dAA r

φ φπ

= ∫ ∫ (1.9.21)

de modo que ( )1 2q W− fica na forma

( )4 41 2 1 2 2 21q T T A Fσ− = − (1.9.22)

Assim para se calcular ( )1 2q W− deve-se calcular ou 12F ou 21F . Ao se integrar a Eq. (1.9.14)

obtém-se o resultado

1 2

41 21 2 ,1 1 2 1 1 122

cos cosb A A

q I dA dA T A Frφ φ σ→ = =∫ ∫ (1.9.23)

167

Pela equação (1.9.12) 41 1 ,1 1bT A E Aσ = que é o número de watts de radiação de corpo negro

emitida pela superfície 1A em todas as direções que os pontos de 1A podem “olhar”. Apenas

uma porção de ,1 1bE A é interceptada e absorvida por 2A ( porque, em geral, 1A pode ser

cercada por outras superfícies além de 2A ); aquela porção é 1 2q → ou ,1 1 12bE A F . Em conclusão,

o significado físico do fator de forma é:

1 2 1 212

,1 1 1

radiaçao deixando e sendo interceptada por radiaçao deixando em todas as direçoesb

q A AFq A A

→= = (1.9.24)

A razão formulada na Eq. (1.9.24) sugere que o fator de forma está no intervalo entre

0 e 1. Livros textos de transferência de calor apresentam gráficos e tabelas de fatores de forma

para várias configurações. Vide Bejan (1993) Cap. 10, por exemplo.

1.9.2.2 Relações entre fatores de forma

Várias relações permitem estimativas de fatores de forma para diversas configurações.

Estas relações são de reciprocidade, aditividade e invólucro (enclosure). A relação de

reciprocidade pode ser obtida comparando as equações (1.9.20) e (1.9.22) sendo da forma:

1 12 2 21A F A F= (Reciprocidade) (1.9.25)

No caso em que a área 2A é composta de n pedaços (mosaico), 1 22 2 2 2n

A A A A= + + + , o

fator de forma pode ser calculado somando-se os fatores de forma individuais, na forma:

12 121

i

n

iF F

=

= ∑ (Aditividade) (1.9.26)

em que 12iF é o fator de forma de 1A para cada pedaço da área 2A .

Em geral nem toda radiação emitida por 1A é interceptada por 2A , porque outras áreas

podem circundar 1A . Sejam as áreas ( )2 3, , , nA A A… que juntamente com 1A formam um

invólucro (enclosure), Figura 1.9.5. A conservação de energia dentro da cavidade requer que

,1 1 ,1 1 11 ,1 1 12 ,1 1 1b b b b nE A E A F E A F E A F= + + + (1.9.27a)

ou após dividir por ,1 1bE A resulta

11 12 11 nF F F= + + + (1.9.27b)

A Eq. (1.9.27b) pode ser generalizada como

( )1

1 1, 2, ,n

ijj

F i n=

= =∑ … (Invólucro) (1.9.28)

168

Figura 1.9.5 – Invólucro formado por n superfícies

1.9.2.3 Cavidade de duas superfícies

Os casos clássicos de cavidades de duas superfícies são: duas placas paralelas, um

cilindro interno a outro e uma esfera encapsulada por outra, como mostra a Figura 1.9.6.

Nestes casos, a transferência líquida de calor é dada pela Eq. (1.9.20) sendo da forma:

( )1 2 ,1 ,2 1 12b bq E E A F− = − (1.9.29)

na qual ( ) 4,1 1 1b bE E T Tσ= = e ( ) 4

,2 2 2b bE E T Tσ= = . O produto 1 12A F desempenha o papel de

condutância térmica e seu inverso é a resistência térmica de radiação, ou seja,

1 12 2 21

1 1rR

A F A F= = (1.9.30)

Figura 1.9.6 – Exemplos de cavidades de apenas duas superfícies e correspondente diagrama

de resistência térmica.

169

1.9.3 Radiação em corpos cinzas

A maioria das superfícies não se comporta como corpos negros, e para analisar a

transferência calor por radiação para superfícies reais é necessário considerar o que acontece

com a irradiação, ou radiação térmica, incidente sobre a superfície. A irradiação incidente iI

ou é absorvida dentro da superfície como aI , ou refletida como rI , ou transmitida como tI .

Dessa forma, pode-se escrever

i a r tI I I I= + + (1.9.31)

ou na forma de frações

1a tr

i i i

I III I I+ + = (1.9.32)

Estas frações são definidas como

a

i

II

α= (Absortividade) (1.9.33a)

r

i

II

ρ= (Refletividade) (1.9.33b)

t

i

II

τ= (Transmissividade) (1.9.33c)

e a equação (1.9.32) pode ser reescrita como

1α ρ τ+ + = (1.9.34)

Corpos opacos não transmitem radiação, dessa forma

1α ρ+ = (1.9.35)

Corpos negros não refletem nem transmitem radiação, daí

1α = (1.9.36)

1.9.3.1 Emissividade

A intensidade de radiação emitida por uma superfície real de temperatura T é apenas

uma fração da intensidade de um corpo negro. A intensidade de radiação monocromática de

um corpo negro foi designada como ( ), ,bI Tλ λ . Já para uma superfície real esta intensidade

será denominada ( ), , ,I Tλ λ φ θ , pois, depende também da direção ( ),φ θ em que um dado raio

170

aponta. A razão entre ( ), , ,I Tλ λ φ θ e ( ), ,bI Tλ λ é chamada emissividade monocromática

direcional:

( ) ( )( ),

, , ,, , , 1

,b

I TT

I Tλ

λλ

λ φ θε λ φ θ

λ′ = ≤ (1.9.37)

O fluxo emissivo monocromático de uma superfície real ou poder emissivo

monocromático da superfície se define como

( ) ( )2 / 2

0 0, , , , cosE T I T sen d d

π π

λ λφ θλ λ φ θ θ θ θ φ

= == ∫ ∫ (1.9.38)

De maneira análoga, pode-se definir a emissividade monocromática hemisférica para uma

superfície real como

( ) ( )( ),

,, 1

,b

E TT

E Tλ

λλ

λε λ

λ= ≤ (1.9.39)

O fluxo emissivo da superfície é obtido da integração em todos os comprimentos de

onda do fluxo emissivo monocromático, ou seja,

( ) ( ) ( ) ( ),0 0, , ,bE T E T d T E T dλ λ λλ λ

λ λ ε λ λ λ∞ ∞

= == =∫ ∫ (1.9.40)

Correspondente a este fluxo emissivo se define a emissividade total hemisférica na forma

( ) ( )( )

1b

E TT

E Tε = ≤ (1.9.41)

Usando as equações (1.9.12) e (1.9.40) se obtém

( ) ( ) ( ) ( ),4 40 0

1 1, , ,bT E T d T E T dT Tλ λ λλ λ

ε λ λ ε λ λ λσ σ

∞ ∞

= == =∫ ∫ (1.9.42)

Uma superfície cinza ou corpo cinza de temperatura T é a superfície cuja emissividade

monocromática hemisférica é independente do comprimento de onda (i.e. uma constante se T

é fixada), ou seja,

( ) ( ),T Tλ λε λ ε≅ ou ( )funçaoλε λ≠ (1.9.43)

Além do mais, pode-se mostrar a partir de (1.9.42) e (1.9.43) que a emissividade total

hemisférica de um corpo cinza é igual à sua emissividade monocromática hemisférica

( ) ( )T Tλε ε= (1.9.44)

Um corpo cinza é um meio opaco emissor difuso (emite uniformemente em todas as

direções). Ele também é assumido como absorvedor e refletor difuso. O modelo de corpo

cinza aproxima bem o comportamento de muitas superfícies em transferência de calor na

engenharia, por exemplo, cobre, óxido de alumínio, tintas e papel. Superfícies metálicas

171

limpas e bem polidas são caracterizadas por baixos valores de ε . Superfícies não metálicas,

por outro lado, têm altas emissividades: de fato, algumas destas satisfazem bem o modelo de

corpo negro 1ε = (fuligem, vidro liso, gelo). Superfícies metálicas que se tornam cobertas

por óxidos e outras impurezas também adquirem consideravelmente altos valores de

emissividade.

1.9.3.2 Absortividade e Refletividade

Da mesma maneira que foram definidas as emissividades pode-se definir as

absortividades. Seja ( ), , ,I Tλ λ φ θ a intensidade de radiação que atinge um elemento de uma

superfície real vindo da direção ( ),φ θ . A quantidade relativa que é absorvida na superfície,

( ), , , ,aI Tλ λ φ θ , é indicada pela absortividade monocromática direcional λα′ :

( ) ( )( )

, , , ,, , ,

, , ,aI T

TI Tλ

λλ

λ φ θα λ φ θ

λ φ θ′ = (1.9.45)

A absortividade monocromática hemisférica é definida como

( ) ( )( )

, ,,

,aG T

TG T

λλ

λ

λα λ

λ= (1.9.46)

na qual o denominador ( ),G Tλ λ ( 2/W m m⋅ ) é a irradiação monocromática, ou o número de

watts que atinge a unidade de área de todas as direções por comprimento de onda e é definido

como

( ) ( )2 / 2

0 0, , , , cosG T I T sen d d

π π

λ λφ θλ λ φ θ θ θ θ φ

= == ∫ ∫ (1.9.47)

O numerador da equação (1.9.46) é a fração da irradiação que é absorvida pela superfície

definido como

( ) ( )2 / 2

, ,0 0, , , , cosa aG T I T sen d d

π π

λ λφ θλ λ φ θ θ θ θ φ

= == ∫ ∫ (1.9.48)

Finalmente se define a absortividade total hemisférica como

( ) ( )( )

aG TT

G Tα = (1.9.49)

na qual a irradiação total ( )G T é obtida pela integração

( ) ( )0

,G T G T dλ λ λ∞

= ∫ (1.9.50)

172

O total absorvido é calculado como

( ) ( ) ( ) ( ),0 0, , ,a aG T G T d T G T dλ λ λλ λ α λ λ λ

∞ ∞= =∫ ∫ (1.9.51)

Substituindo (1.9.51) em (1.9.49) obtém-se a expressão para a absortividade total hemisférica

( ) ( ) ( ) ( )0

1 , ,T T G T dG T λ λα α λ λ λ

∞= ∫ (1.9.52)

A diferença entre a irradiação total ( )G T e a absorvida total ( )aG T é a porção

refletida (caso de superfície opaca, 1 ; 0ρ α τ= − = ) ( )rG T . Dessa forma

( )1r aG G G G Gα ρ= − = − = (1.9.53)

em que ρ é a refletividade da superfície.

1.9.3.3 Lei de Kirchhoff

A lei de Kirchhoff estabelece que a absortividade monocromática direcional de uma

superfície não negra é sempre igual à sua emissividade monocromática direcional quando a

superfície está em equilíbrio térmico com a radiação que incide sobre ela, ou seja,

( ) ( ), , , , , ,A AT Tλ λα λ φ θ ε λ φ θ′ ′= (Lei de Kirchhoff) (1.9.54)

A Lei de Kirchhoff pode ser usada para estimar a absortividade de um corpo cinza?

Para responder a esta questão, considere que para um absorvedor difuso

( ) ( ), ,T Tλ λα λ α λ′= (1.9.55)

Da mesma forma, para um emissor difuso

( ) ( ), ,T Tλ λε λ ε λ′= (1.9.56)

Em conclusão, para uma superfície que é tanto um absorvedor difuso quanto emissor

difuso, a Lei de Kirchhoff estabelece que

( ) ( ), ,T Tλ λα λ ε λ= (1.9.57)

Para uma superfície cinza, a emissividade λε independe do comprimento de onda, ou seja,

( )Tλε ε= . Portanto, pode-se se concluir que a absortividade também independe do

comprimento de onda. Então (1.9.57) fica na forma

( ) ( )T Tλα ε= (1.9.58)

Substituindo (1.9.58) em (1.9.52) pode-se demonstrar que para uma superfície cinza

173

( ) ( )T Tα ε= (1.9.59)

Portanto, pode-se estimar a absortividade total hemisférica de uma superfície cinza a

partir de tabelas de emissividade total, desde que a superfície tenha a mesma temperatura da

radiação que incide sobre ela.

1.9.4 Transferência de calor entre superfícies cinzas

Considere agora o problema de determinar a taxa líquida de transferência de calor

entre duas superfícies cinzas que formam uma cavidade, Figura 1.9.7. As áreas ( )1 2,A A , as

temperaturas ( )1 2,T T e as emissividades totais hemisféricas ( )1 2,ε ε são especificadas.

Assuma que a menor das duas superfícies 1A é não côncava, de modo que 11 0F = .

Figura 1.9.7 Cavidade definida por duas superfícies cinzas e resistência térmica de 1A para

2A

Seja 1G a irradiação total que chega num elemento de área 1dA . Na direção oposta está

a porção refletida 1 1Gρ mais o fluxo de calor emitido por 1dA em si, 1 ,1bEε . O fluxo de calor

unidirecional que parte de 1dA representa o que se chama radiosidade da superfície

denominada ( )21 /J W m :

1 1 1 1 ,1bJ G Eρ ε= + (1.9.60)

A diferença entre o fluxo de calor que deixa 1dA , ( )21 /J W m e o fluxo que chega 1G , é o

fluxo líquido que deixa 1dA ,

1 1 1q J G′′ = − (1.9.61)

174

Eliminando 1G entre (1.9.60) e (1.9.61) e lembrando que para uma superfície cinza,

1 1 11 1ρ α ε= − = − , obtém-se

( )1 1 ,1 11 1 ,1 1

1 11b

b

J Eq J E J

ε ερ ε−

′′= − = −−

(1.9.62)

A taxa líquida que deixa a superfície 1A é simplesmente 1 1 1q q A′′= , então,

( ) ( ),1 11 11 ,1 1

11b

bi

E JAq E JR

εε

−= − =

− (1.9.63)

Em que o denominador é uma resistência interna que impede a passagem de 1q através de 1A .

A corrente líquida de calor que sai de 1A deve ser provida por um agente externo (um

aquecedor); esta corrente é bombeada através da superfície de 1A , isto é, de suas costas para a

face que está na cavidade. A resistência interna tem a forma genérica

1iR

Aε

ε−

= (1.9.64)

A corrente total de calor 1 1J A tem todos os aspectos de ,1 1bE A já discutido

anteriormente. Assim pode se calcular a corrente unidirecional 1 1J A como

1 2 1 1 12 1 2 21q J A F J A F→ = = (1.9.65)

De maneira análoga pode se calcular a corrente unidirecional 2 2J A obtendo-se

2 1 2 2 21 2 1 12q J A F J A F→ = = (1.9.66)

A corrente líquida de na direção 1 2A A→ é, portanto,

( )1 2 1 2 2 1 1 12 1 2q q q A F J J− → →= − = − (1.9.67)

Observando o circuito elétrico na Figura 1.9.7 pode-se verificar que a taxa líquida de calor

pode ser calculada como se fosse um corpo negro na forma:

( )4 41 2

1 21 2

1 1 1 12 2 2

1 1 1T T

q

A A F A

σε ε

ε ε

−

−=

− −+ +

(1.9.68)

Pela conservação de energia através de 1A pode-se demonstrar que

1 1 2 2q q q−= = − (1.9.69)

na qual 1q é calculado pela Eq. (1.9.63) e 2q e definido como

( )2 22 ,2 2

21 bAq E Jεε

= −−

(1.9.70)

175

Três casos de configurações importantes de cavidades de duas superfícies foram

mostradas na Figura 1.9.6. Naqueles casos os fluxos líquidos podem ser avaliados como

1) Duas placas paralelas ( )1 2A A A= =

( )4 41 2

1 2

1 2

1 1 1

A T Tq

σ

ε ε

−

−=

+ − (1.9.71)

2) Espaço anelar entre dois cilindros infinitos ou entre duas esferas (não necessariamente

concêntricos(as))

( )4 41 1 2

1 21

1 2 2

1 1 1

A T Tq

AA

σ

ε ε

−

−=

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

(1.9.72)

No caso em que uma superfície extremamente grande ( )2A circunda uma superfície

convexa ( )1 11, 0A F = tem-se

( )4 41 2 1 1 1 2q A T Tσ ε− = − (1.9.73)

O caso de invólucros de mais de duas superfícies também pode ser analisado de forma

similar ao caso de invólucro de duas superfícies. Considere o caso de um invólucro de n

superfícies cinzas, Figura 1.9.8. Em geral um observador sobre 1A pode ver as radiosidades de

todas as n partes do invólucro. Por exemplo, a corrente de irradiação que emana da j-ésima

superfície jA e atinge 1A é 1j j jJ A F . Segue que a corrente de irradiação que impinge sobre 1A

é

1 1 1 1 11 2 2 21 1

11

1 11

n n nn

j j jj

n

j jj

AG J A F J A F J A F

J A F

J A F

=

=

= + + +

=

=

∑

∑

(1.9.74)

Figura 1.9.8 – Invólucro formado por n superfícies cinzas, e resistência associada com iA

176

Do ponto de vista de 1A , a transferência de calor é ainda o cálculo da taxa de

transferência líquida de calor 1q que deve ser suprida nas costas (atrás) de 1A . Esta corrente

de calor pode ser avaliada usando a eq. (1.9.63) desde que a radiosidade 1J seja conhecida. O

problema se reduz, então, ao cálculo de 1J . Substituindo a eq. (1.9.60) na eq. (1.9.74) obtém-

se

( ) 41 1 1 1 1

11

n

j jj

J J F Tα ε σ=

= − +∑ (1.9.75)

A eq. (1075) estabelece que a radiosidade da superfície 1A depende das propriedades

de 1A ( )1 1 1, , Tα ε , das radiosidades de todas as superfícies que formam o invólucro

( ); 1, 2, ,jJ j n= … e dos respectivos fatores de forma através dos quais estas superfícies são

visíveis de 1A . Um sistema de n equações para as n radiosidades pode ser obtido por

escrever para cada superfície i que participa no invólucro:

( ) ( )4

11 1, 2, ,

n

i i j ij i ij

J J F T i nα ε σ=

= − + =∑ … (1.9.76)

Se a geometria e propriedades de todas as superfícies são especificadas, então o

sistema (1.9.76) fornece os valores das n radiosidades. Uma equação para a taxa líquida de

calor de cada superfície pode ser escrita como

( ) ( )4 1, 2, ,1

i ii i i

i

Aq T J i nε σε

= − =−

… (1.9.77)

A seguinte restrição deve ser satisfeita,

10

n

ii

q=

=∑ (1.9.78)

Alternativamente, a taxa de calor de cada superfície definida como i i i i iq A J AG= −

pode ser calculada como

1

n

i i i j i ijj

q A J J A F=

= −∑ (1.9.79a)

ou lembrando que 1

1n

ijj

F=

=∑ , tem-se

1 1

n n

i i i ij j i ijj j

q A J F J A F= =

= −∑ ∑ (1.9.79b)

ou após um rearranjo de (1.9.79b) resulta

177

( )1

n

i i ij i jj

q A F J J=

= −∑ (1.9.79c)

Os fatores de forma de um invólucro de n superfícies formam uma matriz n n× num

total de 2n fatores de forma. Nem todos deste número podem ser especificados

independentemente. Existirão ( )2 / 2n n− relações de reciprocidade, porque existirão n fatores

na diagonal e ( )2 / 2n n− fatores em cada lado da diagonal. Adicionalmente, n relações de

invólucro (1

1n

ijj

F=

=∑ ) podem ser escritas. Em conclusão, o número de fatores de forma

independentes é:

( ) ( )2 21 12 2

nn n n n n− − − = − (1.9.80)

Existem em livros textos tabelas e gráficos de arranjos de várias configurações de

fatores de forma.