Transferência de massa convectiva

Capítulo V – Transferência de Massa por Convecção

Faculdade de Engenharia Química (FEQ)Departamento de Termofluidodinâmica (DTF)Disciplina EQ741 - Fenômenos de Transporte III

1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 1

Monitor: Rafael Firmani Perna

[email protected]

Professora: Katia Tannous

[email protected]

2º sem de 2011

Agenda Geral

1. Introdução

2. Considerações Fundamentais para T.M. Convectiva

3. Parâmetros Significativos na T.M. Convectiva

4. Análise Dimensional da T.M. Convectiva

4.1. Transferência em um escoamento sob convecção forçada

4.2. Transferência dentro de uma fase em movimento sob


convecção natural

5. Análise Exata da Concentração na Camada Limite Laminar

6. Análise Aproximada da Concentração na Camada Limite Laminar

7. Analogia entre T.M., Energia e Momentum

7.1. Analogia de Reynolds

7.2. Analogia de Chilton-Colburn

8. Números Adimensionais – Resumo

9. Modelos para os Coeficientes de T.M.cont...

2º sem de 2011

1. Introdução

A T.M. convectiva envolve o transporte de matéria entre o limite de

uma superfície e um fluido em movimento (sólido-fluido) ou entre 2

fluidos relativamente imiscíveis em movimento (fluido-fluido).

A eq. da taxa por convecção pode ser expressa por:

AcA ckN ∆= (1)


AcA ckN ∆=

NA T.M. molar da espécie A medida em relação as coordenadas fixas

no espaço

kc coeficiente de T.M. convectiva

∆∆∆∆cA diferença de concentração entre a concentração da superfície

limite e a concentração média

Analogia à T.C. convectiva: ThA

q∆= (2)

2º sem de 2011

Introdução

Baseado no coefc. de T.C., observa-se que há uma complexidade na

determinação do coef. de massa. Ambos os coefs. relacionam-se por:

1. Propriedades do fluido

2. Características dinâmicas do fluido em escoamento

3. Geometria do sistema específico de interesse


3. Geometria do sistema específico de interesse

Espera-se que o tratamento analítico do coefc. de T.C. possa ser

aplicado ao coefc. de T.M..

A distinção entre escoamento laminar e turbulento terá uma consideração

importante em qq. situação de convecção.

2º sem de 2011

2. Considerações Fund. para T.M. Convectiva

Considerando uma camada fina de

um fluido escoando sobre uma

superfície plana, sendo em regime

laminar. A difusão molecular estará

sempre presente e será importante

∞v

1 2


em qq. processo de convecção.

Se o escoamentoescoamento éé laminarlaminar, todo o

transporte entre a superfície e o

movimento do fluido será via

molecular. Filme líquido fino

NA

CA,s

CA

Soluto A

∞AC

2º sem de 2011

Considerações Fund. para T.M. Convectiva (cont.)

Se o escoamentoescoamento forfor turbulentoturbulento,

haverá em movimentomovimento físicofísico dede

bolsõesbolsões dede matériamatéria atravessando

as linhas de corrente,

transportadas por bordas


transportadas por bordas

presentes no escoamento, como

no caso de transferência de calor,

as maiores taxas de T.M. estão

associadas com conds.

turbulentas.

2º sem de 2011

A camada limite hidrodinâmica (ver cap. 12) é mais significativa na T.M.

convectiva e esta é similar, mas não necessariamente igual em

espessura na camada limite térmica.

Quando a T.M. envolve umum solutosoluto dissolvidodissolvido,, em uma taxa estacionária,

a partir de uma superfície sólida e então difundindo dentro de um fluido

em movimento, o coefc. T.M. convectiva é definido por:

Considerações Fund. para T.M. Convectiva (cont.)


em movimento, o coefc. T.M. convectiva é definido por:

)cc(kN AAscA −= (3)

NA nº de moles do soluto A na interface por tempo e unidade de área

interfacial

CA,s composição do soluto no fluido no equilíbrio com o sólido para T e

P do sistema

CA composição, para qq. ponto, dentro da fase fluida.

2º sem de 2011

Quando a concentração na camada limite é definida, CA, pode ser

escolhido como a concentração do componente A para o limite da C.L.

e expressa como

Se o escoamento estiver em um meio fechado, a composição CA

poderá ser a concentraçãoconcentração volumétricavolumétrica ouou aa concentraçãoconcentração dada misturamistura

(média).

∞ AC

Considerações Fund. para T.M. Convectiva


(média).

Há 4 métodos de avaliação4 métodos de avaliação do coeficiente de T.M., sendo eles:

1. Análise dimensional associado a um experimento

2. Análise da C.L. Exata

3. Análise da C.L. Aproximada

4. Analogia entre T. Massa, Calor e Momentum

2º sem de 2011

3. Parâmetros Significativos na T.M. Convectiva

ParâmetrosParâmetros adimensionaisadimensionais

Estes são frequentemente usado para correlacionar dados do transporte

convectivo.

TransferênciaTransferência dada quantidadequantidade dede movimentomovimento encontraencontra--sese osos nºnº dede ReRe ee EuEu..

TransferênciaTransferência dede calorcalor convectiva,convectiva, temtem--sese nºnº dede PrPr ee NuNu..


As difusividades moleculares dos 3 fenômenos de transporte são definidas:

ρ

µ=ν (4)

pc

k

ρ=α (5)

DAB (6)

Difusividade de movimento

Difusividade térmica

Difusividade mássica

[L2/t]

2º sem de 2011

A razão entre a difusividade molecular do movimento e a difusão

molecular de massa, tem-se o número de Schmidt,

ABAB DDSc

ρ

µν===

massa de dif.

movimento de dif.(7)

Parâmetros Significativos na T.M. Convectiva (cont.)


A razão da difusividade térmica para a difusividade molecular de

massa é designado por nº de Lewis:

ABp Dρc

kLe ≡=

massa de dif.

térmicadif.(8)

Estes dois nºs combinados representam as propriedades do fluido, isto é

cada nº pode ser tratado como uma propriedade de um sistema difusivo.

2º sem de 2011

Considere a T.M. do soluto A, partindo da superfície sólida para um

fluido em movimento. O perfil de concentração é desenhado abaixo:

Fluido CA,s - ∞AC

∞v



Soluto A

)y(vv =

x

y( )[ ] )y(CCCC AAsAAs −=−

Perfis de concentração e velocidade para um fluido através de uma superfície sólido

2º sem de 2011

A T.M. entre a superfície e o fluido pode ser escrito como:

)cc(kN AAscA ∞−= (9)

Se a T.M. na superfície seja por difusão molecular, esta pode ser descritapor:

dC



0=

−=y

AABA

dy

dCDN (10)

Quando a concentração limite, CAs, é constante, essa eq. simplica-se para:

( )

0=

−−=

y

AsAABA

dy

CCdDN (11)

2º sem de 2011


As eqs (10) e (11) podem ser igualadas, desde que elas definam o

mesmo fluxo do componente A deixando a superfície e entrando no

fluido. Obtendo:

0=

∞−−=−

y

sAAABAAsc )cc(dy

dD)cc(k (12)


Na qual pode ser rearranjado na forma:

)cc(

dy/)cc(d

D

k

AAs

ysAA

AB

c

∞

=

−

−−=

0 (13)

Multiplicando ambos os lados da eq. (13) pelo comprimento

característico, L, obtêm-se:

2º sem de 2011


L/)cc(

dy/)cc(d

D

Lk

AAs

ysAA

AB

c

∞

=

−

−−=

0 (14)

Resistência mássica molecularResistência mássica molecular

Resistência mássica convectiva do fluidoResistência mássica convectiva do fluido


Resistência mássica convectiva do fluidoResistência mássica convectiva do fluido

Nº de Sherwood (Sh)Nº de Sherwood (Sh) Nº de Nusselt para T.M. (NuNº de Nusselt para T.M. (NuABAB))

Estes parâmetros ( Sc, NuAB, Sh e Le) serão desenvolvidos na próxima

seção pela análise dimensional da T.M. convectiva.

2º sem de 2011

4. Análise Dimensional da T.M. Convectiva

A análise dimensional prediz os vários parâmetrosparâmetros adimensionaisadimensionais os

quais podem ajudar à correlacionar os dados experimentais.

Há dois processos de T.M. importantes no qual serão considerados:


1. TT..MM.. dentrodentro dede umauma correntecorrente fluidafluida sobsob convecçãoconvecção forçadaforçada

22.. TT..MM.. dentrodentro dede umauma fasefase emem movimentomovimento sobsob convecçãoconvecção naturalnatural

2º sem de 2011

4. Análise Dimensional da T.M. Convectiva (cont.)

1. T.M. dentro de uma corrente fluida sob convecção forçadaT.M. dentro de uma corrente fluida sob convecção forçada

Considere a T.M. da parede de um tubo circular para um fluido

escoando através de um duto. A transferência é um resultado da forçaforça

motrizmotriz dada concentração,concentração, CCAsAs –– CCAA..

As variáveis importantes, seus símbolos e suas representações

adimensionais estão listadas abaixo:


adimensionais estão listadas abaixo:

Varíável

Densidade do fluido

Viscosidade do fluido

Velocidade do fluido

Difusividade do fluido

Coeficiente de T.M.

Símbolo Dimensões

L

M/L3

M/Lt

L/t

L2/t

L/t

D

ρ

µ

v

DAB

kc

Diâmetro do tubo

2º sem de 2011


1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 172º sem de 2011


As variáveis acima incluem termos descritivos do sistema geométrico,

do escoamento, das propriedades, das propriedades do fluido, e a

quantidade no qual está variável de interesse, kc.

Pelo método de Buckingham de agrupamentos de variáveis (cap. 11),

pode-se determinar o número de adimensionais, conforme:


k = n – m

onde: n é o nº de variáveis

m é o nº de dimensões

Logo, tem-se: k = 6 – 3 = 3 grupos adimensionais (Π)

Variáveis de base escolhidas são: DDABAB,, ρρ ee DD

2º sem de 2011


Π1 = DABaρbDckc

Π2 = DABdρeDfv

Π3 = DABgρhDiµ

Escrevendo Π1 na forma adimensional:


Escrevendo Π1 na forma adimensional:

Π1 = DABaρbDckc

( )

=

t

LL

L

M

t

L c

ba

3

2

1

Equalizando os expoentes das dimensões em ambos os lados da

eq., tem-se:

2º sem de 2011


L: 0 = 2a – 3b + c + 1

t : 0 = -a – 1

M : 0 = b

A solução dessas eqs., para os três expoentes não conhecidos, é:


a = -1b = 0c = 1

Shou NuAB1 ==∏AB

c

D

DkPara:

2º sem de 2011


Os outros grupos podem ser determinado da mesma forma:

ABD

Dv2 =∏ e Sc

DAB

≡=∏ρ

µ3

Dividindo Π2 por Π3 tem-se:

ρ ρ∏


ReDD

D

D AB

AB

≡µ

ρ=

µ

ρ

=

∏

∏ vv

3

2

O resultado da análise dimensional da T.M. sob convecção forçada em

um duto circular pode ser relacionada na forma:

NuAB = f(Re, Sc) NuTc = f(Re, Pr)análogia

2º sem de 2011


2. T.M. dentro de uma fase em movimento sob convecção natural2. T.M. dentro de uma fase em movimento sob convecção natural

As correntes da convecção natural desenvolveram-se caso exista

variação de densidade dentro de uma fase gasosa ou líquida. Esta

variação pode ser devido a diferença de temperaturatemperatura ouou concentraçãoconcentração.


No caso da convecção natural envolvendo a T.M. de uma parede plana

vertical para um fluido adjacente, as variáveis diferenciarão daquelas

usadas na análise de convecção forçada.

As variáveis, seus símbolos e represntações adimensionais estão

listadas a seguir:

2º sem de 2011


Varíável

Densidade do fluido

Viscosidade do fluido

Força de Empuxo

Difusividade do fluido

Símbolo Dimensões

L

M/L3

M/Lt

M/L2/t2

L2/t

L

ρ

µ

g∆ρA

DAB

Comprimento característico


Coeficiente de T.M. L/tkc

Pelo método de Buckingham há 3

grupos adimensionais (Π) com as

variáveis de base: DDABAB,, LL ee µµ,

obtendo::

Π1 = DABaLbµckc

Π2 = DABdLeµfρ

Π3 = DABgLhµig∆ρΑ

2º sem de 2011


Escrevendo os 3 grupos Π na forma adimensional:

AB

AB

c NuD

Lk≡=∏1

DAB 1≡=∏

ρ

Nº de Nusselt para T.M. (NuNº de Nusselt para T.M. (NuABAB) ) ou ou Nº de Sherwood (Sh)Nº de Sherwood (Sh)

O inverso do Nº de Schmidt


Sc

DAB 12 ≡=∏

µ

ρO inverso do Nº de Schmidt

AB

A

D

gL

µ

ρ∆3

3 =∏

Multiplicando Π2 e Π3, obtêm-se um parâmetro no qual é análogo ao Nº Nº

de Grashofde Grashof para T.C. sob convecção natural.

2º sem de 2011


ABAA

AB

AAB GrgLgL

D

gLD≡

ρν

ρ∆=

µ

ρ∆ρ=

µ

ρ∆

µ

ρ=∏∏

2

3

2

33

32

O resultado da análise dimensional da T.M. sob convecção natural

sugere uma relação na forma:


NuAB = f(GrAB, Sc)

Obs: Para ambas as convecções, as relações sugerem que uma

correlaçõão de dados experimentais pode ser em termos de 3

variáveis ao invés de 6 originais.

2º sem de 2011

5. Análise Exata da Concentração na C.L. Laminar

Blasius desenvolveu uma solução exata para a camada limite

hidrodinâmica para um escoamentoescoamento laminarlaminar paraleloparalelo aa umauma placaplaca planaplana

(cap. 12). Também, por extensão desta solução para explicar a T.C.

convectiva (cap. 19).

Por analogia estender-se-á para TT..MM.. convectivaconvectiva para a mesma geometria


Por analogia estender-se-á para TT..MM.. convectivaconvectiva para a mesma geometria

e escoamento.

A eq. da continuidade para o escoamento em estado estacionário,

bidimensional e fluido incompressível, tem-se:

0=∂

∂+

∂

∂

y

v

x

v xx (15)

2º sem de 2011

E a eq. do movimento na direção

x, para v e pressão constantes:

5. Análise Exata da Concentração na C.L. Laminar (cont.)

2

2

y

v

y

vv

x

vv xx

yx

x∂

∂ν=

∂

∂+

∂

∂ (16)

Para C.L. térmica, a eq. da T. de

energia (fluido isobárico com

difusividade térmica const.), é:

2

2

y

T

y

Tv

x

Tv yx

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂α (17)


Uma eq. diferencial análoga é aplicada para a T.M. dentro da camada

limite de concentração, se não há produção do componente difuso e se

2

2

2

2

y

c

x

c AA

∂

∂<<<<

∂

∂

2

2

y

cD

y

cv

x

cv A

ABA

yA

x∂

∂=

∂

∂+

∂

∂(18)

Válida p/ estado estacionário, fluido incompressível, bidimensional com DAB cte.

2º sem de 2011


Camada limite de concentração

Fluido

Soluto A

∞AC

x

y

)y(CC AA =

CA,s


Condições para as três camadas limites:

Momentum:Momentum: 0yp/ 0v

vx ==∞

∞==∞

yp/ 1v

vxe

ou, se a velocidade na direção x na parede (vx,s) é zero

2º sem de 2011


Térmica:Térmica: 0yp/ 0TT s ==

− ∞==−

yp/ 1TT s

0yp/ 0vv

vv

sx,

sx,x ==−

−

∞

e ∞==−

−

∞

yp/ 1vv

vv

sx,

sx,xMomentum:Momentum:


Térmica:Térmica: 0yp/ 0TT

TT

s

s ==−

−

∞

e ∞==−

−

∞

yp/ 1TT

TT

s

s

Concentração:Concentração: 0yp/ 0cc

cc

sA,A,

sA,A ==−

−

∞

e ∞==−

−

∞

yp/ 1cc

cc

sA,A,

sA,A

2º sem de 2011


A solução de Blasius modificada (cap. 12, eqs. 12-12, 13 e 14):

21

x

v

2

/y

)y,x(

ν=η ∞

( ) 21v

/x

)y,x()(f

∞

=ν

Ψη

e

( )ηΨ

'fy

x2

vν

∞=∂

∂=

Momentum:Momentum:


( )η'fy

x2

ν =∂

=

( )s,A

s,AA

s,x

s,xxx'fcc

cc2

νv

νν2

v

ν2

A −

−=

−

−==

∞∞∞

η

Similarmente,

( ) 21

2121

2

xv

2x

v

2

/

//

Rex

y

x

yy)y,x( =

=

= ∞∞

ννη

eConcentração:Concentração: (19)

(20)

2º sem de 2011


( ) ( )[ ]( )[ ] 3281

2

cccc20

0

,Rex/yd

/d)("f

d

"df

yx

s,A,As,AA =−−

==

=

∞

η

(21)

A eq. (21) pode ser rearranjada para obter uma expressão para o

gradiente de concentração na superfície:


gradiente de concentração na superfície:

( )

−= ∞

=

xs,AA

y

A Rex

,

dy

dc 3320cc

0

(22)

Taxa mássica de entrada e saída pequenanão alterando o perfil de velocidade

2º sem de 2011


Quando a velocidade na direção y na superfície , vy,s é essencialmente

zero, a contribuição convectiva é também zero. A T.M. dentro da C.L.

laminar, para uma superfície plana, é descrita:

0=∂

∂−=

y

AABy,A

y

cDN (22)


( )

= ∞ xAs,AABy,A Re

x

,DN

3320c-c

Substituindo a eq. (21) na eq. (22) e rearranjando, tem-se:

(23)

O fluxo mássico do componente difusivo foi definido em termos do

coeficiente de T.M. na forma:

)cc(kN AAscA ∞−= (9)

2º sem de 2011


Igualando o lado direito da eq. (23) e (9) obtêm-se:

[ ]xAB

c Re,x

Dk 3320= (23)ou

xAB

AB

c Re,NuD

xk3320==

A eqeq.. ((2323)) éé restritarestrita parapara sistemassistemas queque tenhatenha NºNº Sc=Sc=11 ee baixasbaixas taxastaxas

dede TT..MM.. entreentre aa placaplaca planaplana ee aa camadacamada limitelimite..


dede TT..MM.. entreentre aa placaplaca planaplana ee aa camadacamada limitelimite..

Na maioria das operações físicas envolvendo T.M., o parâmetro limite de

superfície (vy,s/v )(Rex)1/2 é desprezível, e a solução de Blasius para

baixa T.M. é usada para definir a transferência dentro da C.L. laminar.

Ex.: a vaporização de um material volátil em uma corrente gasosa em

baixa pressão é um caso na qual a hipótese de baixabaixa TT..MM.. nãonão pode ser

feita.

∞

2º sem de 2011


T.M. da placa para o fluido dentro da C.L.

T.M. do fluido p/ a placa


Perfis de concentração p/ T.M. na C.L. laminar sobre uma placa plana

Variação da concentração para oescoamento laminar sobre umaplaca plana

Solução da eq. (18) elaborada por Hartnett e Eckert

2º sem de 2011

Para um fluido com um Nº Sc diferente de 1, curvas similares podem ser

vistas como as anteriores.

A similaridade das eqs diferenciais e conds. limite sugerem um

tratamento para T.M. convectiva análoga a solução de Pohlhausen para

T.C. convectiva.



A camada limite de concentração é relatada para camada limite

hidrodinâmica por:

31/

c

Sc=δ

δ(24)

δ espessura da camada limite hidrodinâmica

espessura da C.L. de concentraçãocδ

2º sem de 2011


Então, o termo de Blasius ηηηη deve ser multiplicado pelo nº de Sc1/3 (ver fig.acima).

A variação da concentração dada nesta forma conduz à uma expressãopara o coef. de T.M. convectiva similar a eq, (23).

Para y=0, o gradiente de concentração é dado por:


( )

=

∂

∂∞

=

3121

0

3320c-c //

xs,AA

y

A ScRex

,

y

c(25)

e usando a eq. (22), tem-se:

31213320 //

xAB,x

AB

c ScRe,NuD

xk==

(26)Nº de Nu local

2º sem de 2011


O coeficiente de T.M. médio, na qual aplica-se sobre uma placa de largura

W e comprimento L pode ser obtida pela Integração. A taxa de T.M. total,

WA pode ser avaliada por:

∫ ∞∞ −=−=A

,As,Ac,As,AcA dA)CC(k)CC(AkW (27)


A

Obtendo:

31216640 //

LAB,L

AB

cScRe,Nu

D

Lk==

(28)Nº de Nu médio

LxAB,xAB,L NuNu=

= 2 (29)

2º sem de 2011

6. Análise Aproximada da Concentração na C. L. Laminar

Quando o escoamento não for laminar ou a configuração for diferentede uma placa plana, poucas soluções existem para o transporte nacamada limite.

O método de aproximação desenvolvido por vonvon KármanKárman paradescrever a camadacamada limitelimite hidrodinâmicahidrodinâmica pode ser usada para analisara C.L. de concentração.


Considere um volume de controle no qual está localizado a C.L. deconcentração, como ilustrado abaixo:

Fluido

x

y

WA2WA1

WA3

∆x

WA4

δδδδc

2º sem de 2011

6. Análise Aproximada da Concentração na C. L. Laminar (cont.)

Balanço de massa em estado estacionário sobre o V.C. produz a relação:

WA1 + WA3 + WA4 = WA2 (30)

onde WWAA éé aa taxataxa molarmolar de T.M. do componente A. Para cada

superfície, a taxa molar é expressa como:


∫ +=

c

xxxAA dyvcWδ

∆02

∫=c

xxAA dyvcWδ

01 xdyvx

CWc

x,AA ∆03

∂

∂= ∫∞

δ

x)cc(kW AAscA ∆4 ∞

−=

Somando as taxas e dividindo cada termo por ∆x e levando ao limite tem-se:

2º sem de 2011


Para resolver a eq (31) os perfis de concentração e velocidade devemser conhecidos, no entanto, esses são assumidos. Algumas condições

de contorno deve ser satisfeitas considerando:

(31))cc(kdy)cc(dx

dAAscx

c

AAs ∞∞−=−∫ v

0

δ


de contorno deve ser satisfeitas considerando:

(1)

(2)

(3)

Vx = 0 para y = 0

Vx = v para y = δ∞

δ y para ==∂

∂0

y

vx

(4)00

2

2

y para ==∂

∂

y

vx (cond. T.Q.M)

cA-cA,s = 0 para y = 0

cA-cA,s = cA, - cA,s para y = δc

cs,AA )cc(y

δ y para ==−∂

∂0

∞

002

2

y para ==−∂

∂)cc(

ys,AA

2º sem de 2011

Se considerarmos oo escoamentoescoamento laminarlaminar paraleloparalelo àà superfíciesuperfície planaplana, pode-se usar a eq. Integral de von Kármán (eq. 31) para obter uma soluçãoaproximada. Os resultados podem ser comparadoscomparados comcom aa soluçãosolução exataexata(eq. 26) e verificar se os perfis assumidos de velocidade e concentraçãoforam adequados.

Como uma primeiraprimeira aproximaçãoaproximação, considera-se uma expressão de série de

potência para a variação da concentração com y.



potência para a variação da concentração com y.

CA – CA,s= a + by + cy2+dy3

A aplicação das condições de contorno resultará na seguinte expressão:

3

2

1

2

3

−

=

−

−

∞ ccs,A,A

s,AA yy

cc

cc

δδ(32)

3

2

1

2

3

−

=

∞ δδ

yy

v

vx

Perfil de concentraçãoPerfil de concentração Perfil de velocidadePerfil de velocidade

(33)

2º sem de 2011

Substituindo as eqs. (32) e (33) na eq. integral (31), obtêm-se:

3121360 //

xAB,x ScRe,Nu = (34)

Essa eq. é muito próxima a expressão encontrada pela solução exata

(26) e pode ser usada com um certo grau de confiabilidade quando a

Nº de Nu local p/Nº de Nu local p/Camada laminarCamada laminar



(26) e pode ser usada com um certo grau de confiabilidade quando a

solução exata não é conhecida.

A eq. de von Kárman (31) pode ser usada para obter uma solução

aproximada para a camadacamada limitelimite turbulentaturbulenta sobre uma placa plana.

Partindo da similaridade com o perfil de velocidade tem-se:

315402920 //

xAB,x ScRe,Nu = (35)Nº de Nu local p/ Nº de Nu local p/ camada turbulentacamada turbulenta

2º sem de 2011

7. Analogia entre T.M., Energia e Momentum

As analogiasanalogias são aplicáveis no entendimentoentendimento dosdos fenômenosfenômenos dedetransferênciatransferência e como umum meiomeio significativosignificativo parapara predizerpredizer ocomportamento dos sistemas para dados quantitativos limitados.

A similaridadesimilaridade e as analogias entre os fenômenos de transferênciarequerem que as seguintes 5 condições existam dentro do sistema:


1. Propriedades físicas constantes;

2. Não há energia ou massa produzida dentro do sistema. Isso

infere que não pode ocorrer há nenhuma reação química

homogênea;

3. Não há emissão ou absorção de energia radiativa;

4. Não há dissipação viscosa;

5. O perfil de velocidade não é afetada pela transferência de

massa; então, há uma baixa taxa de T.M..

2º sem de 2011

Analogia entre T.M., Energia e Momentum (cont.)

7.1. Analogia de Reynolds7.1. Analogia de Reynolds

Reynolds postulou que o mecanismo de T. Momentum e Energia são idênticos.

T.C. na camada limite laminar,T.C. na camada limite laminar, Pr = 1Pr = 1

T.M. na camada limite laminar.T.M. na camada limite laminar. Sc = 1Sc = 1

Placa plana


Para GasesPara Gases Sc 1

Para LíquidosPara Líquidos Sc 1000

(perfil de velocidade ~ perfil de concentração)

(perfil de velocidade se forma muito mais rápido que o perfil de concen-tração)

Rex < 2x105 C.L. LaminarC.L. Laminar2x105 < Rex < 3x106 C.L. pode ser Laminar ou turbulentaRex > 3x106 C.L. turbulentaC.L. turbulenta

2º sem de 2011

Por exemplo, se considerarmos o escoamento laminarescoamento laminar sobre uma placa

placa onde Sc=1, os perfis de concentração e velocidade dentro da C.L.

estão relacionado por (eq. 32 e 33):

00 =∞=

∞

∂

∂=

−

−

∂

∂

y

x

ys,A,A

s,AA

v

v

ycc

cc

y(36)



00 =∞=

∞ ∂ −∂yy

s,A,A vyccy

Sabendo que o limite próximo a placa, onde y=0, pode-se expressar o

fluxo de massa em termos da difusãodifusão mássicamássica ouou coeficientecoeficiente dede TT..MM...

Igualando as eqs. 9 e 11, tem-se:

( ))cc(k

y

CCDN AAsc

y

AsAABy,A ∞

=

−=∂

−∂−=

0

(37)

2º sem de 2011

Combinando as eqs. 36 e 37 e considerando que DAB é µ/ρ para Sc=1,

obtêm-se uma expressão que relaciona o coeficiente de T.M. e o gradiente

de velocidade na superfície:

( ) ( )y)(y)cc(y

CCk xx

yAAs

AsAc

∂

∂=

∂

∂=

−∂

−∂=

∞∞=∞

v

vv

v

ρ

µ

ρ

µ

ρ

µ

0

(38)



y)(y)cc(yyAAs ∂∂−∂ ∞∞=∞

vv ρρρ0

O coeficiente de fricção ou atritocoeficiente de fricção ou atrito (cap. 12) para este mesmo gradiente de

velocidade é dado por:

( )2

0

2

2

2 ∞

=

∞

∂∂==

vv ρ

µ

ρ

τ yxo

f

yv

/C

(39)

2º sem de 2011

Usando esta definição, pode-se rearranjar a eq. 38 para obter a analogia de

Re da T.M. para sistemas com Nº Sc=1

2

fcCk

=∞v

(40)Não aplicável para situaçõesenvolvendo arraste



2

f

p

C

c

h=

∞vρ(41)Analogia Re da T.C. p/ Pr=1Analogia Re da T.C. p/ Pr=1

2º sem de 2011


7.2. Analogia de Chilton-Colburn

Chilton e Colburn, usando de dados experimentais, modificaram a

analogia de Re, para Pr e Sc diferentes de 1 afim de definir o fatorfator jj

para a transferência de massa:

( ) 32

v

/cD Sc

kj ≡

(42)


( )v

D Scj∞

≡

2

f

H

Cj = onde jH=St Pr2/3Analogia Colburn p/ T.C.:Analogia Colburn p/ T.C.:

Baseados nos dados coletados para os regimes laminar eturbulento, os autores encontraram:

( ) ( ) 3232

v

//cD ScStSc

kj =≡

∞

(43)250060 << Sc,

Válida para gases e líquidosVálida para gases e líquidos

2º sem de 2011


Dividindo a eq. (26) por RexSc1/3, obtêm-se:

A eq. (40) pode ser mostrada para satisfazer a solução exata para o

escoamento laminar sobre uma placa plana:

31213320 //

xAB,x ScRe,Nu = (26)


2131

3320/

x

/

x

AB,x

Re

,

ScRe

Nu= (44)

Substituindo a eq. (44) na (26), obtêm-se analogiaanalogia dede ChiltonChilton--ColburnColburn:

2

32

31

f/

x

AB,x

/

x

AB,xC

ScScRe

Nu

ScRe

Nu== (45)

Cf - fator de fricção de Fanning

2º sem de 2011

ou


2

3232 f

/

c/AB

AB

cC

v

SckSc

D

xvD

xk==

∞∞ µ

ρ

ρ

µ(46)

Analogia Chilton-Colburn completa é:2

f

DH

Cjj == (47)


2Relação exata para placa plana; sem forma de arraste

Relação exata para placa plana; com forma de arraste

DH jj = (48)

ou ( ) 3232 /c/

p

Scv

kPr

vc

h

∞∞

=

ρ 250060 << Sc,

Válida para gases e líquidosVálida para gases e líquidos

10060 << Pr,

(49)

2º sem de 2011

Em geral, fatoresfatores jj são unicamente determinados pela configuraçãoconfiguração

geométricageométrica ee nºnº dede ReynoldsReynolds. Baseado nessa análise, dados

experimentais da T.Q.M., T.C. e T.M. foram obtidos a fim de obter as

seguintes correlações para transportetransporte turbulentoturbulento ouou parapara superfíciessuperfícies

lisaslisas.



200230 ,

MD (Re),jj−==

1. Escoamento no interior de tubos com diâmetro interno d:1. Escoamento no interior de tubos com diâmetro interno d:

p/ 1x104 < Re=dG/µµµµ < 1x106 **G=ρv

2. Escoamento ao longo de placa plana de comprimento L:2. Escoamento ao longo de placa plana de comprimento L:

200370 ,

MD (Re),jj−== p/ 3x105 < Re=Luoρρρρ/µµµµ < 3x108

(50)

(51)

2º sem de 2011

3. Escoamento normal a um cilindro de diâmetro d:3. Escoamento normal a um cilindro de diâmetro d:

38201930 ,

MD (Re),jj−== p/ 4x103 < Re=dG/µµµµ < 4x104

195002660 ,

MD (Re),jj−== p/ 4x104 < Re=dG/µµµµ < 2,5x104

4. Escoamento em torno de uma esfera de diâmetro d:4. Escoamento em torno de uma esfera de diâmetro d:

40 ,−== µµµµ


(52)

(53)

(54)


40370 ,

MD (Re),jj−== p/ 20 < Re=dG/µµµµ < 1x105

5. Escoamento em leitos empacotados com esferas de diâmetro d5. Escoamento em leitos empacotados com esferas de diâmetro dpp::

4150171 ,

MD (Re),jj −== p/ 10 < Re=dpG’/µµµµ < 2500 **G’=ρvsup

(54)

(55)

55 Rep/ 091 670 <=ε − ,

M (Re),j (53)

1500 Re 55p/ 025 310 <<=ε − ,

M (Re)j

Líq

uid

os

Líq

uid

os

(54)4000 Re 90p/ 062 5750 <<=ε − ,

M (Re),j

(56)

GasesGases

ε ε ε ε = porosidade do leito

2º sem de 2011

Analogia entre T.M., Energia e Momentum


Correlações do fator j de ChiltonCorrelações do fator j de Chilton--ColburnColburn

2º sem de 2011

8. Números Adimensionais - Resumo

1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 542º sem de 2011

Símbolo Nomenclatura Dimensão

DABDifusividade mássica L2/t

g Aceleração da gravidade L/t2

k Coefc. De T.M. L/t

Números Adimensionais - Resumo


k Coefc. De T.M. L/t

L Comprimento característico L

v Velocidade do fluido L/t

α Difusividade térmica L2/t

ν Viscosidade cinemática L2/t

∆ρ/ρ Variação de densidade adimensional -

2º sem de 2011

9. Modelos para os Coeficientes de T.M.

Os coeficientescoeficientes dede TT..MM.. tem sido usados no projeto de equipamentos por

muitos anos. No entanto, na maioria dos casos, estes são empíricos,empíricos,

determinados a partir de investigações experimentais.

Modelos para os Coeficientes de T.M.Modelos para os Coeficientes de T.M.


A explicação teórica dos coeficientes requererá uma melhor

compreensão dos mecanismosmecanismos dede turbulênciaturbulência, desde que estejam

ligados diretamente com as características dinâmicas do escoamento.

No cap. 1, dois possíveis modelos foram introduzidos para explicar a

T.M. : Teoriaeoria dodo filmefilme ee dede penetraçãopenetração.

2º sem de 2011

Modelos para os Coeficientes de T.M. (cont.)

Teoria do filmeTeoria do filme

A teoria do filme (Nernst, 1904) é

baseada na presença de um filme

fictício de fluido, em escoamento

turbulento ou no limite da fase fluida

O transporte é inteiramente pela

Gáspuro

Filme líquido

Líquido principal

Não volátil

CA,sC

PA


O transporte é inteiramente pela

difusãodifusão molecularmolecular.

Este filme, δL, é similar a subcamada

laminar e deve-se estender a esta

para incluir uma resistência

equivalente da concentração dentro

da camadacamada bufferbuffer (tampão)(tampão) ee núcleonúcleo

turbulentoturbulento..

z = 0 z = δL

∞,AC

2º sem de 2011

Para difusão através de uma camada não-difusa ou filme estagnado, essateoria prediz o coefc. de T.M. ser:

ABc

P

PDk

δ= (3.12)

Assumindo o filme de líquido muito fino, todo A difunde através deste eatravessa o líquido principal. Agora se, além disso, o escoamento de A édesprezível, o gradientegradiente dede concentraçãoconcentração éé linearlinear.



ml,B

cP

kδ

=

)CC(kp

)pp(

)zz(RT

PDN ,As,Ac

ml,B

AAAB

Z,A ∞−=−

−= 21

12

(3.9)

Para contradifusão equimolarcontradifusão equimolar,

coefc. de T.M. é expresso por: δ= ABo D

k

Expoente “o” - nãonão transferênciatransferênciadede massamassa molarmolar líquidalíquida dentrodo filme.

(3.35)

2º sem de 2011

Em ambos os casos, o coeficiente de T.M. convectiva está diretamente

relacionada com a difusividadedifusividade mássicamássica molecularmolecular..

A espessuraespessura dodo filmefilme fictíciofictício, δ, nunca poderá ser mensurada, pois ele

não existe. Por causa disso e por causa da inadequada explicação física

da T.M. convectiva, outras teoria e modelos estão sendo postulados



da T.M. convectiva, outras teoria e modelos estão sendo postulados

para explicar este fenômeno.

Modelo útil para T.M. de superfícies sólidas ou na presença

de reações químicas heterogêneas

2º sem de 2011

Teoria da penetração Teoria da penetração

Esta teoria foi proposta por HigbieHigbie

((19351935)) para explicar a T.M. na fase

líquida durante a absorçãoabsorção gasosagasosa,

sendo considerada mais realística.

Região principal

Bem misturada

p/CA,s

PA Região de interface

C



OO componentecomponente dede difusãodifusão somentesomente

penetrapenetra umauma pequenapequena distânciadistância

dentrodentro dada fasefase dede interesseinteresse pelopelo

desaparecimentodesaparecimento rápidorápido atravésatravés dada

reaçãoreação químicaquímica ouou tempotempo curtocurto dede

contatocontato entreentre asas fasesfases..

Gáspuro

CA,s

∞,AC∞,AC

Difusão em estado não estacionárioDifusão em estado não estacionário

2º sem de 2011

(4.17))CC(t.

DdtN

tN ,As,A

ABzA

t

A ∞= −== ∫ π

410

0Fluxo médio (NA)

Substituição do conceito de filme estagnante para Turbulência deBoussinesq.



* o coefc. kc está relacionado com a solução para sólido semi-infinito.

t.t .c

∫ π0

DanckwertsDanckwerts (1951) - aplicação para escoamento turbulento emestado não estacionário – Modelo da superfície renovável(probabilidade)

2º sem de 2011

Aplicações:Aplicações: T.M. envolvendo bolhas ou gotas, ou escoamento ao redor

de um enchimento aleatório.

Por exemplo:

1) Uma bolha de ar de 0,4 cm de diâmetro cresce através da água com

uma velocidade de 20cm/s. então o tempo de contato estimado



uma velocidade de 20cm/s. então o tempo de contato estimado

é, tc, é 04/20=0,02s.

2) Um líquido em spray, onde não há circulação de líquido dentro da

gota, o tempo de contato é total para a gota em queda através do gás.

3) Em uma torre de recheio, a mistura pode ser assumida ocorrer, cada

vez que o filme de líquido passa através de uma parte do recheio ao

outro. Isso resulta um tempo de contato a ordem de 1s.

2º sem de 2011

Transferência de massa convectiva

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