Republica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Instituto Universitario Tecnológico del Estado BolívarSección: ELE-3

Transformaciones Lineales y Espacio Vectoriales

Profesor:Wuilmer Colmenares.

Bachilleres:Alexis Borrego C.I: 17.838.107Luis García C.I: 20.557.082Jorge Martínez C.I: 21.008.845John Blanco C.I: 19.076.636

Ciudad Bolívar, 26 de julio de 2010

VECTORUn vector queda definido cuando se dan dos puntos en un orden

determinado; El primero se llama origen o punto de aplicación del vector y el segundo extremo.

La longitud del segmento determinado por los dos puntos es el módulo del vector, la recta a la que pertenece dicho segmento es su dirección y el sentido que sobre dicha recta determina el orden en que se dan los dos puntos es el sentido.

Para la escritura de vectores se utiliza la notación V, la notación V, sin flecha, indica módulo del vector.

Representación grafica

Y

B

A X

Propiedades

Conmutativa: a + b=b + a

Asociativa: (a + b)+c=a+(b + c)

Elemento Neutro: a+0=a

Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0

Suma y Resta de Vectores

La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:

Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.

Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.

r + s r - s

s

r

s

r

Procedimiento Gráfico

Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo

S= a + b

b

a

Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:

A +b = S

a b

S= a + b + c + d + e

a b d

e

c

Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman , pero vectores con direcciones contrarias se restan. A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.

b

a

S= a + b

a

b

R= a – b

Método Algebraico para la Suma de vectoresDados tres vectores

A= Axi + Ayj + AzkB= Bxi + Byj + BzkC= Cxi + Cyi + Czk

La expresión correspondiente al vector suma : S = A + B + C es:S = Axi + Ayj + Azk + Bxi + Byj + Bzk + Bxi + Byj + Bzk + Cxi + Cyj + Czk o bien :S = ( Ax + Ay + Az ) i + ( Bx + By + Bz) j + ( Cx + Cy + Cz) k siendo por tantoSx= Ax + Bx + CxSy= Ay + By + CySz= Az + Bz + Cz

La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:Conmutativaa + b = b + aAsociativa(a + b) + c = a + (b + c)Elemento neutro o vector 0a + 0 = 0 + a = aElemento simétrico u opuesto a'a + a' = a' + a = 0a' = -a

Producto de un vector por un escalar

El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por k v, es otro vector con las siguientes características :1.- Tiene la misma dirección que v.2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo.3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es el vector nulo).

Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector.Ejemplo : Dado el vector v de componentes : vxi + vyj + vzk, el producto3 · v = 3 · vxi + 3 · vyj + 3 · vzk.

La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar.

Ejemplo:Dado V=

3. vPropiedadesEl producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades:

1. Conmutativa K.V = V.K2. Distributiva K (u + v)= K.u + K.v3. Elemento neutro : 1 . V = v4. Elemento simétrico: -1.v= -v

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:

R= rxi + ryj + rzkV= vxi + vyj + vzk

teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :

i · i = j · j = k · k = 1i · j = i · k = j · k = 0

El resultado de multiplicar escalarmente r por v es:r · v = rx· vx + ry · vy+ rz · vz

Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula :r · v = |r| · |v| · cos (r, v)

PropiedadesConmutativa : r · v = v · rDistributiva : r · ( v + u ) = r · v + r · uAsociativa : ( k · r ) · v = k · ( r · v ) = r · ( k · v ) siendo k escalar.Además :

1.- r · r = 0 si, y sólo sí r = 0.2.- Si r y v < > 0 y r · v= 0, esto implica que los vectores son perpendiculares, (cos 90º = 0). 3.- El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar escalarmente uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él. Ejemplo :

Proyección ortogonal (rv) de r sobre vrv= |r| cos (r, v) -> r · v = |v| · rvProducto vectorial

El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a b,

a x b

n b

a

Se escribe a x bPor lo tanto: a x b= a .b x sen Ф . n

donde n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha de a b.Propiedades: a x b = -b x aa x b ≠ b x a a x (b + r)= a x b + a x r

Importancia de los Vectores en la Ingeniería Eléctrica.

El mundo real es tridimensional ( si entrar en consideraciones relativistas), así que gran cantidad de magnitudes del mundo real son vectoriales, y los vectores son absolutamente necesarios para poder modelar matemáticamente la realidad.

La mayor parte de la física es vectorial desde el momento que el desplazamiento es vectorial, la mayor parte de magnitudes derivadas de él los son: velocidad, aceleración, fuerzas...

En la Electricidad .Gran parte del desarrollo matemático con señales eléctricas se

hace con factores y notación compleja. A efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones.

Transformación lineal

También llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar.

El término función lineal se usa también en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.

En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.

Propiedades de las transformaciones lineales

Sean V y W espacios vectoriales sobre K (donde K representa el cuerpo) se satisface que:

Si T: V →W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:Ker(t) = {x Є V : T(x) = 0w}

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:•0v Є ker(T) dado que T(0v) = 0w

Dados •u , v Є ker(T) : T(u + v) =T(u) + T(v) = 0w + 0w = 0w → u + v Є ker(T)

Dados U Є ker(T) ^ k Є R: T(ku) = kT(u) ^ T(ku) = k0w = 0w → ku Єker(T)

aplicación de las transformaciones vectoriales lineales en espacio vectorial.

Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.

Y se podría decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimencional , debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.

Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones.

Cuerpo:Es el conjunto de números y operaciones cualquiera que deben

obedecer las diez propiedades algebraicas

Sub cuerpo:Si se operan escalares en forma de sub cuerpo C y se operan bajo la

suma y la multiplicación por un escalar estos escalares no deben salirse del sub espacio determinado

Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones <conjunto, operación ,operación> (un cuerpo).

Ejemplo 1.- reflexión respecto a x. En R2 se define una función T mediante la formula T (x/y )= (x / -y). Geométricamente , T toma un vector en R2y lo refleja respecto al eje de las X.

( x, y)

x

T(x, y) = (x, -y)

0

y

El vector (x, -y) es la reflexión respecto al eje x del vector (x, y) en una transformación R2 en R2

Ejemplo 2.- la transformación cero. Sean V y W espacios vectoriales y defina T: V W por Tv= 0 para todo v en V. entonces T (v1 + v 2 )= 0 = 0 + 0 = Tv1 + Tv 2 y T (Ф v)= 0Ф = Ф Tv.

Ejemplo 3.- la transformation identical . Sea V un especio Vectorial y definida I: V V por Iv v Para todo v en V. donde I es I es una transformacion lineal, la cual se llama transformación identida u operador identidad.

Método de Gauss- Seidel

son métodos iterativos utilizados para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl

Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.

Teorema: Una condición suficiente y necesaria para que un método iterativo estacionario x(k+1) = Bx + c converja para una aproximación arbitraria x^{(0)} es que:p(B) = max1≤i≤n│λi│<1

donde ρ(B) es el radio espectral de B

método de Jacobi .

Es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax = b. El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi.

La base del método consiste en construir una sucesión convergente definida iterativamente. El límite de esta sucesión es precisamente la solución del sistema. A efectos prácticos si el algoritmo se detiene después de un número finito de pasos se llega a una aproximación al valor de x de la solución del sistema.

La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema A en la forma siguiente: A= D + L + UdondeD, es una matriz diagonal. L, es una matriz triangular inferior. U, es una matriz triangular superior.

Un vector AB tienen de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo B(12, −3).

vectores

(12 – xA' – 3 - yA) = (5, -2)

12 – xA = 5 xA = 7

-3 – yA = -2 yA = -1A(7, -1)

Ejercicio 2Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB, de extremos A(3, 9) y B(-1, 5).

A (3, 9) B (-1, 5)xM = 3 – 1 yM = 9 + 5

2 2 M (1, 7)

Ejercicios.

Transformaciones Lineales

ejercicio1). Si V1 = (1,-1) , V2 = (2,-1), V3=(-3,2) y W1=(1,0), W2=(0,-1), W3=(1,1)¿Existe una transformación lineal T: R2 . R, tal que T (vi) = Wi para i = 1,2,3 ?Solución:{ v1, v2 , v3 }es base de R2, T: R2 . R(-3,2) = -(1,-1) – ( 2,-1){ v1, v2 , v3 } no es linealmente Independiente { v1, v2 , v3 }no es base de R2

no existe tal transformación lineal

2). Sea T : R4 . R3 una transformación lineal definida por.T(1,1,1,1) = (7,2,3)T(1,1,1,0) =(6,1,7)T(1,1,0,0) = (4,1,5)T(1,0,0,0) = (1,0,1) Hallar T( x,y,z,w)Solucion:El conjunto { (1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,0), (1,0,0,0) } es una base de R4.Si ( x,y,z,w) R4, entonces existen escalares a,b,c,d, tal que:a(1,1,1,1) + b(1,1,1,0) +c(1,1,0,0) +d(1,0,0,0) = ( x,y,z,w )a+b+c+d = xa+b+c = ya+b = za = wa=w , b=z-w , c=y+w-z , d= x-y-w

transformaciones Vectoriales Lineales en Espacio Vectorial.

Ejercicio.Sea U=(x1 , y1) Є U1 y r escalar entonces r . U Є U1

r . U = r (x1 , y1)

r . U = (rx1 , ry1)

rx1 + ry1 = r (x1 + y1) = r . 0 = 0

r . U Є U1

U1 es subespacio vectorial de V

método Gauss-Seidel

ejercicio.Partiendo de (x = 1, y = 2) aplique dos iteraciones del metodo de Gauss-Seidel para resolver el sistema:

5 x + 2 y = 1 x - 4 y = 0

Soluciónx = 0.20 + 0.00 x − 0.40 yy = 0.00 + 0.25 x + 0.00 y1ra interacción x0 = 1.00 y y0 = 2.00x1 = 0.20 + 0.00 (+1.000) − 0.40 (2.00) = −0.600y1 = 0.00 + 0.25 (−0.600) + 0.00 (2.00) = −0.152da interacción: x1 = −0.600 y y1 = −0.15x2 = 0.20 + 0.00 (−0.600) − 0.40 (−0.15) = 0.26y2 = 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (−0.15) = 0.0653era interación x2 = 0.26 y y2 = 0.065:x2 = 0.20 + 0.00 (0.26) − 0.40 (0.065) = 0.174y2 = 0.00 + 0.25 (0.174) + 0.00 (0.174) = 0.0435