Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL Departamento de Estruturas TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS E ANISOTROPIA Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia Revisão: Eng. Reinaldo Washington Moraes Campinas, Novembro 2009
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Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

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  • UNIVERSIDADEESTADUALDECAMPINAS

    FACULDADEDEENGENHARIACIVIL

    DepartamentodeEstruturas

    TRANSFORMAESDECOORDENADASE

    ANISOTROPIA

    Prof.Dr.NilsonTadeuMascia

    Reviso:Eng.ReinaldoWashingtonMoraes

    Campinas, Novembro2009

  • 2 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    TransformaesdeCoordenadaseAnisotropia

    NILSONTADEUMASCIA

    FECUNICAMP

  • 3 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Contedo

    1. TRANSFORMAO DE COORDENADAS ................................................................................. 4

    2. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................................... 10

    3. TRANSFORMAO DE COMPONENTES DE TENSO E DE DEFORMAO ............................... 15

    4. TRANSFORMAO DE PROPRIEDADES DE ELASTICIDADE ................................................... 18

    5. APLICAO DO MODELO ANISOTRPICO CILNDRICO NA MADEIRA. .................................... 22

    5.1. Generalidades ......................................................................................................... 22

    5.2. Estado de Tenso e de Deformao num Meio Contnuo Anisotrpico ................. 23

    5.3. Anisotropia curvilinear ............................................................................................. 25

    5.4. Anisotropia cilndrica ............................................................................................... 27

    5.5. Concluses ou direes a seguir ............................................................................ 32

    6. COORDENADAS CURVLINEAS ........................................................................................... 34

    7. COORDENADAS GLOBAIS E LOCAIS ................................................................................... 37

    8. EQUACIONAMENTO DOS DESLOCAMENTOS DO TRONCO CONSIDERANDO-O COMO UM

    CILNDRICO .............................................................................................................................. 43

    9. CONCEITUAO TERICA BASEADO EM LEKHNITSKII .......................................................... 48

    10. FUNO DE AIRY E DE TENSO...................................................................................... 51

    11. ANLISE DA RETRAO CONSIDERANDO-SE OS COEFICIENTES DE REDUO DE

    DEFORMAO .......................................................................................................................... 56

    12. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS E BIBLIOGRAFIA ............................................................ 60

  • 4 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    1. TRANSFORMAO DE COORDENADAS

    Este desenvolvimento terico, aqui apresentado, foi baseado nos seguintes autores:

    Spencer [1], Chung[2], Haskell[3], Renton[4] e Myklestad[5], dentre outros.

    Um vetor uma quantidade que independente de qualquer sistema de

    coordenadas. Se um vetor introduzido num sistema de coordenadas ele ser representado

    por seus componentes, que sero diferentes em diferentes sistemas de coordenadas.

    Seja a um vetor, ai seus componentes e ei os vetores unitrios que formam a base

    do sistema de coordenadas, tem-se:

    ..

    Considere agora ai* os componentes de a, e ei* os vetores unitrios de outro

    sistema de coordenadas obtido a partir de uma rotao de ei com a mesma origem O.

    Ento:

    ..

    Seja agora:

    ..

    Onde Mij so os cossenos diretores de ei* relativo ao primeiro sistema de

    coordenadas, ei. Ento os Mij so os componentes de ei* no primeiro sistema de

    coordenadas. Assim:

    ..

    e a relao recproca de (4), :

    ..

    Pelo fato de ei* serem mutuamente ortogonais entre si, tem-se:

    ..

    e:

  • 5 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    desde que ijji , com i , j de 1 a 3, representam que h uma srie de seis relaes entre as nove componentes de Mij.

    Considerando-se agora o seguinte desenvolvimento :

    e reciprocamente:

    pode-se, ento, relacionar as componentes de a ou ai em quaisquer dois sistemas de

    coordenadas atravs do tensor ou matriz de transformao.

    usual escrever ao invs de componentes ai as coordenadas de um determinado

    ponto P como xi. Neste caso suficiente reescrever as compontentes com a outra notao.

    No caso de tensores de segunda ordem aij e *ija , que englobariam as matrizes

    equivalentes, a transformao de coordenadas seria:

    Generalizando-se para qualquer ordem de tensores, mas at a quarta ordem para o

    presente interesse,tem-se:

    Considerando Mij como elementos ou componentes de uma matriz quadrada M ,

    tem-se:

    E pelo fato de:

    ou M 1=MT e detM=1 , M definida como matriz ortogonal e denominada matriz de

    transformao de coordenadas.

  • 6 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Desta forma, a matriz M=Mijque define a nova base em termos de vetores unitrios

    da base velha uma matriz ortogonal.

    Assim em termos vetoriais (a , a*) e matriciais (M) chega-se a: ( Renton)

    Analogamente a (10), com o uso os vetores colunas a e b tem-se que o produto escalar

    entre estes vetores dado por:

    e com:

    onde :

    , prova-se do mesmo modo que (7) a ortogonalidade de M.

    No caso de matrizes A, A* e vetores a , b ,a* e b* pode-se escrever:

    ;

    Mas:

    para qualquer bT , tem-se:

    e a transformao inversa seria:

  • 7 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Seja agora a seguinte transformao de coordenadas:

    com Mij expressando uma rotao positiva, sentido anti-horrio, de xi para em torno da origem do sistema de coordenadas O.

    Plano Espao

    Figura 1- Sistema de referncia girado em torno de x3

    Neste sentido, considerando-se uma rotao positiva (anti-horria) em torno de x3

    pode-se escrever:

    Considerando-se agora o caso geral com trs rotaes em torno de x1, x2 e de x3,

    respectivamente e representados pelos ndices 1,2 e 3. Primeiramente em torno de x1:

    Depois em torno de x2:

    Da:

  • 8 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    E finalmente em torno de x3:

    Mas recorrendo-se de (21) obtem-se:

    Da tem-se:

    Colocando-se este equacionamento em termos de equivalentes matrizes pode-se

    escrever:

    - rotao em torno de x1

    -rotao em torno de x2

    Observa-se que neste caso o sinal negativo est em outra posio e relaciona com o

    posicioonamento dos eixos.

    -rotao em torno de x3

    Onde x,y e z so chamados de ngulos de Euler. Da:

    ou:

  • 9 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    da:

    Observa-se que a ordem da multiplicao de matrizes, por exemplo: [A][BC]=[D]

    ou [AB][C]=[D] no importa. No se pode trocar a posio das matrizes pois o produto

    de matrizes no , em geral, comutativo.

    A figura mostra as trs transformaes realizadas.

    Rotao em X3 Rotao em X2 Rotao em X1

    Figura 2- Transformaes realizadas

    Uma observao importante feita por Myklestad sobre os intervalos dos ngulos de Euler.

    Deste modo:

    , ,

    e y est neste intervalo, pois o efeito de y passando para y+ o mesmo de y passando para y , simultaneamente x para x+ e z para z+ .

  • 10 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

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    2. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

    Goodman e Bodig [6], em 1970, apresentaram a seguinte relao de transformao

    de coordenadas:

    A figura mostra os ngulos de rotao.

    Figura 3- Transformao de coordenadas de Goodman e Bodig.

    Esta transformao pode ser discretizada da seguinte maneira:

    - rotao de um ngulo em torno do eixo L:

    .

    -rotao negativa de um ngulo em torno do eixo R:

    .

    Da deprende-se a seguinte relao:

  • 11 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    ou em termos de matrizes:

    .

    resultando a matriz dada por (35).

    Esta transformao tem uma certa limitao pois o eixo L permanece no plano

    formado por x1x3.

    Uma outra transformao de coordenadas apresentada por Bindzi e Samson [7],

    em 1995. Eles determinaram a seguinte relao:

    A figura mostra os ngulos de rotao.

    Figura 4- Transformao de coordenadas de Bindzi e Samson.

    Da mesma forma que a relao anterior pode-se discretizar esta transformao da

    seguinte maneira:

    -rotao de um ngulo em torno do eixo L :

    .

  • 12 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    - rotao de um ngulo em torno do eixo R :

    .

    Da pode-se escrever a seguinte relao:

    ou em termos de matrizes:

    .

    Ao se considerar rotaes negativas em torno de L e de R finalmente resultaro a

    matriz dada por (40).

    Observa-se que nesta transformao R o eixo permanece no plano x y.

    Em 1997, Hearmonson e Cramer et alii [8,9] apresentaram a seguinte transformao de

    coordenadas:

    Da:

  • 13 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    A figura mostra os ngulos de Euler e os sinais correspondentes.

    Figura 5- ngulos de Euler.

    Posto isto, Hearmonson colocou estes ngulos em funo dos ngulos das arestas

    ,e das faces de um bloco de madeira , conseguindo relacionar as propriedades de elasticidade nas direes principais de elasticidade com estes direes. A figura ilustra estes

    ngulos.

    Figura 6- Transformao de coordenadas de Hearmonson.

  • 14 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Da:

    ;

    E as componentes do eixo L no plano xzresultam:

    No plano yz:

    e o ngulo vale:

    Determinam-se os elementos da matriz de transformao em funo dos ngulos

    das arestas. Os ngulos de Euler ficam, ento, sendo:

    ;

    ;

  • 15 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    3. TRANSFORMAO DE COMPONENTES DE TENSO E DE DEFORMAO

    Como os componentes de tenso se referem a um tensor de segunda ordem, ento:

    onde ij o tensor das tenses. Em termos matriciais:

    com valendo:

    .

    Analogamente para as deformaes tem-se:

    E termos de matrizes:

    com valendo:

    .

    Introduzindo agora a notao reduzida apresentada por Ting [10,11], com os ndices

    1,2e 3correspondendo a por exemplo x,ye z, pode-se reescrever as tenses como:

    ; ; ;

    ; ; ; .

    e as deformaes:

    ; ; ;

  • 16 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    ; ; ; .

    Da em termos de tensores tem-se:

    e:

    com Kije Keij,a serem definidos a seguir, seriam equivalentes ao produto MimMjn.

    Observa-se que a forma reduzida das deformaes diferente da de tenses no que

    se refere s deformaes tangenciais.

    Em termos matriciais:

    com:

    e:

    ,

    ,

    ,

    Pode-se escrever tambm:

  • 17 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    e:

    Mas, tambm ( como ser visto a seguir):

    Devido (58) e (59) a transformao de em notao reduzida diferente daquela de . Para uma rotao em torno de x3 como feito em (22)K escrita como:

    e K1 escrita trocando-se por como se segue:

  • 18 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    4. TRANSFORMAO DE PROPRIEDADES DE ELASTICIDADE

    Sendo a relao entre tenses e deformaes escrita por:

    onde Cijkl o tensor de constantes de elasticidade, num outro sistema de coordenadas

    esta relao tornar-se-ia:

    Com:

    ,

    ,

    resulta em:

    .

    e se segue com:

    Analogamente para a relao inversa entre tenses e deformaes tem-se:

    com Sijkl sendo chamado de tensor de complincia .

    Lekhnitskii[12,13] apresenta estas relaes constitutivas tambm em forma tensorial

    reduzida atravs de:

    com os elementos qijiguais ao elementos da matriz K apresentados anteriormente.

    Observa-se que se pode relacionar as formas normal Sijk e reduzida Sij por :

    (1) se i e j valem 1,2,3;

  • 19 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    (2) se um dos dois ndices, i ou j, vale 4, 5,6;

    (3) se ambos os ndices, i e j, valem 4,5,6.

    Este rearranjo vem do fato da forma reduzida para as deformaes tangencial ser

    diferenciada das tenses tangenciais por 2. O tensor Cijkl o mesmo de Cij.

    Apresentandose agora em forma matricial reduzida , com e vetores, pode-se escrever:

    ou:

    .

    e a relao inversa por:

    e:

    .

    Num outro sistema de coordenadas, estas relaes (75)e (77)podem ser obtidas

    da seguinte maneira:

    Utilizando-se da propriedade de matrizes (ou tensores)transpostas :

    ,

  • 20 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Obtm-se:

    Colocando-se que a energia de deformao (W) pode ser escrita por:

    E sendo a energia independente do sistema de referncia chega-se a:

    Portanto:

    Com (81), num outro sistema de coordenadas, e (84):

    resultando em:

    E similarmente para a matriz de complincia, utilizando-se

    e tambm:

    e da:

    Portanto:

  • 21 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Hermanson apresenta a matriz T, similar a K, associando os eixos principais de

    elasticidade da madeira com os eixos da borda de um corpo de prova cbico. Desta forma,

    fazendo-se a seguinte analogia: os primeiros ndices dos elementos de K,mij,1,2e 3

    seriam iguais a R,Te L e os segundos ndices 1,2,e 3 iguais a x,ye z.

    Por exemplo, a matriz K1ficaria igual a:

    Por exemplo os elementos S11,S22,S33seriam dados por:

    com i=x,y,z.

    E os S44,S55e S66 por:

    com

    ij=yz,zx,xy.

  • 22 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

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    5. APLICAO DO MODELO ANISOTRPICO CILNDRICO NA MADEIRA.

    5.1. Generalidades

    Este texto refere-se aos conceitos tericos da anisotropia cilndrica aplicada ao

    material madeira. Este estudo est baseado em pesquisadores como Lekhnitskii, et alli

    [12,13], Noack e Roth[14], Foschi[15] , Carrier[16] , Green e Zerna[17], Hearmon[18],Hsu e

    Tang[19], dentre outros.

    Carrier [16] apresenta uma anlise matemtica sobre placas finas de um material

    com propriedade de anisotropia cilndrica. So feitas algumas aplicaes considerando-se o

    estado plano de tenses. Utilizando as equaes de equilbrio, as relaes deformao-

    deslocamento e a Lei de Hooke, em coordenadas cilndricas, pode-se chegar funo de

    Airy () para este caso:

    Com o emprego de uma funo de tenso em termos de r e , so construdos diagramas de tenses e de deformaes para placas carregadas na direo radial.

    Outra aplicao da funo de tenso feita por Foschi[15] no estudo de estruturas

    curvas de madeira. Seguindo a mesma base terica de Carrier, Foschi fez uma anlise

    numrica, via elementos finitos, destas estruturas, com anisotropia cilndrica.

    Com base nestes trabalhos, Noack e Roth[14], apresentam uma interessante anlise

    matemtica da teoria da elasticidade de materiais ortotrpicos, considerando-se a

    anisotropia rombodrica(retilinear) e a cilndrica. Em seguida so feitas algumas aplicaes

    da teoria para estruturas curvas em madeira laminada.

    Green e Zerna [17] apresentam um estudo sobre a distribuio de tenses numa

    pea tracionada com um orifcio interno. Estas distribuies so comparadas com um

    material isotrpico e podem-se observar os diferentes comportamentos quando as tenses

    so aplicadas longitudinalmente e quando so aplicadas normalmente a direo longitudinal.

    A seguir apresentada a conceituao terica da anisotropia cilndrica, tendo como

    base os trabalhos de Lekhnistikii.

  • 23 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    5.2. Estado de Tenso e de Deformao num Meio Contnuo Anisotrpico

    No estudo dos estados de tenso e de deformao num slido anisotrpico

    produzido por cargas externas, devem-se considerar as seguintes hipteses:

    - as tenses em qualquer plano do slido e sua superfcie so foras por rea;

    - pequenas deformaes;

    - material segue a Lei de Hooke;

    - tenses iniciais sem relao com a carga externa so desprezveis (tenses

    trmicas, por exemplo).

    Desse modo, pode-se aproximar a teoria da anisotropia elstica para a teoria

    clssica da elasticidade linear homognea ou no homognea. Assim problemas de

    dinmica, instabilidade, vibraes, grandes deformaes, assim como anisotropia no

    elstica no so consideradas.

    O sistema de referncia o cilndrico r,, z e o tensor das tenses dado por:

    - em coordenadas cartesianas:

    como se pode observar na figura:

    Figura 7- Tenses -Sistema cartesiano e cilndrico de coordenadas.

  • 24 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    As projees de deslocamento de um ponto, de modo geral, so escritos por:

    ur,u , uz em coordenadas cilndricas.

    O tensor das deformaes dado por:

    As relaes deformaes-deslocamento so dadas por:

    - sistema cartesiano:

    - sistema cilndrico

    Finalmente as equaes de equilbrio so dadas por:

    - sistema cartesiano:

  • 25 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    - sistema cilndrico:

    5.3. Anisotropia curvilinear

    Lekhnitskii descreve que num slido homogneo com anisotropia retolinear, todas as

    direes paralelas so equivalentes com respeito s propriedades de elasticidade, e todos

    os elementos na forma de paraleleppedo retangular com respectivas faces paralelas tem as

    mesmas propriedades de elasticidade.

    Slidos homogneos podem ter anisotropia curvilinear ou retolinear. A anisotropia

    curvilinear caracterizada por direes equivalentes no paralelas, mas obedecendo

    algumas leis. Ao se escolher um sistema de referncia com coordenadas ortogonal

    curvilinear, de tal modo que as direes em cada ponto coincidam com as direes

    equivalentes, relativo s propriedades de elasticidade, percebe-se que, os elementos

    infinitesimais isolados por trs pares de planos coordenados tero as mesmas propriedades

    de elasticidade.

    A madeira, devido a sua prpria constituio (interna e externa), revela-se

    ortotrpica. Podendo-se citar Perkins[20] e Mascia[21] a respeito de se considerar o

    comportamento homogneo num nvel macroscpico, porm heterogneo a nvel

    microscpico. Os eixos de simetria elstica so os eixos longitudinal, L, tangencial, T, e

    radial, R. Observa-se, claramente, que dependendo da curvatura dos anis de crescimento,

    a superfcie LT no plana, mas se aproxima de um configurao cilndrica, a superfcie

    LR se dispe buscando o centro desta suposta curva cilndrica. Finalmente, observa-se

    que a camada RT formada por curvas aproximadamente concntricas, tendo-se como

    referncia o eixo longitudinal.

    Isto implica em que, dependente desta configurao, pode-se associar a madeira

    tanto a anisotropia retilinear quanto a anisotropia curvilinear. No primeiro caso os eixos

  • 26 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    cartesianos x, y, z so os eixos L,T,R, e no segundo caso, associa-se os eixos do

    sistema curvilneo r,,zaos eixos R,T,L.

    Figura 8- Slido homogneo, com anisotropia curvilinear.

    Considere-se, ento, um slido homogneo, com anisotropia curvilinear e que

    obedea a Lei de Hooke generalizada, isto , as componentes de deformao so funes

    lineares das componentes de tenso e vice-versa. As coordenadas em questo so ,,. Assumindo que exista um potencial elstico, a Lei de Hooke generalizada neste caso

    pode ser escrita por:

    Estas equaes contem, em geral, 21 constantes de elasticidade, mas somente 18

    delas independentes, da mesma maneira de um slido anisotrpico linear. Neste caso, as

    equaes da Lei de Hooke podem ser escritas num sistema ortogonal, mas os termos Sijkl

    no seriam constantes na anisotropia curvilinear, devido mudana de direo das

    coordenadas. A equao acima simplificada, pois o slido exibe simetria elstica e estas

    simplificaes so as mesmas do caso de anisotropia retolinear. Assim, pode-se falar em

    ortotropia curvilinear, isotropia transversal para qualquer ,,.

  • 27 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Por outro lado, o conceito de anisotropia curvilinear pode ser generalizado para

    slidos no homogneos, uma vez que Sijkl funo da posio. Isto torna o problema e a

    soluo ainda mais complexo.

    Dos diversos tipos de anisotropia curvilinear, dois so de maior interesse:

    (1) anisotropia cilndrica;

    (2) anisotropia esfrica,

    mas somente a primeira ser aqui analisada.

    5.4. Anisotropia cilndrica

    Lekhnistikii apresenta as simplificaes que existem na equao (104) em vista

    das consideraes de simetria elstica. Deste modo, seja uma linha reta g um eixo de

    anisotropia com relao a um slido. Todas as direes paralelas a g, e passando por

    diferentes pontos so equivalentes; todas as direes que interceptam g por ngulos retos

    (radial) so tambm equivalentes; e todas as direes ortogonais as duas primeiras so

    equivalentes se elas forem confinadas a trs pares de superfcies:

    - dois planos normais a g, dois planos passando por g e duas superfcies cilndricas

    com eixo gem comum.

    Figura 9- Direes paralelas e equivalentes.

  • 28 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Tomando-se o eixo de anisotropia g como eixo z de um sistema de coordenadas

    cilndricor,,z pode-se escrever a Lei de Hooke como:

    Se o slido no homogneo, os coeficientes Sijkl so funes das coordenadas

    cilndricas.

    essencial relatar que se o eixo de anisotropia passa fora do slido, por exemplo,

    dentro de uma cavidade, as equaes anteriores no so questionveis. Mas se o eixo de

    anisotropia passa atravs do slido homogneo, necessrio existir relaes entre os

    diferentes Sijkl . Alm disto, com o z coincidindo com o eixo g no h diferena entre as

    direes r e , e todas as direes r devem ser equivalentes no somente entre elas, mas tambm entre todas as direes tangenciais . Quando se tem r = , ou seja, intercambiando os ndices r por e vice-versa, a Lei de Hooke se torna:

    ou:

    .

    Comparando-se os sistemas, obtm-se as igualdades:

    , , , , , ,

    havendo ao todo oito relaes.

  • 29 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Se a cada ponto existe um plano de simetria elstica perpendicular a z ou ento:

    , , ,

    A condio dos elementos serem nulos refere-se condio de simetria elstica que

    existe na direo g ou z. A segunda condio, de igualdade entre alguns elementos, refere-

    se ao intercmbio entre os eixos r e . Para um slido ortotrpico com plano de simetria passando atravs do eixo de

    anisotropia (radial ou tangencial), alm disto, tem-se: S16=S26=S36=S46=0 e os

    coeficientes no nulos so trs igualdades: S22=S11,S23=S13,S55=S44.

    Observa-se que nos planos r,z e ,z as constantes de elasticidade poderiam ter valores prximos para a madeira, mas certamente E no igual Er.

    Todas essas igualdades so vlidas para um slido no homogneo. Neste caso, os

    Sijkl so funes de r, , z e se tornam zero ou infinito sobre seu eixo. Num slido homogneo, cujo eixo de anisotropia intercepta o slido, os Sijkl so constantes e pode no

    existir anisotropia de modo geral desde que as igualdades (108)necessitem ser atingidas.

    Isto foi mostrado por Vogt, segundo Lekhtiniskii.

    Usualmente, mais conveniente tratar a terminologia das constantes num slido com

    anisotropia cilndrica atravs das constantes de engenharia:

    ;

    ;

    ;

  • 30 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    onde o tensor Sijkl pode ser escrito por:

    Se a estrutura do slido tal que o eixo de anisotropia intercepta fora da cavidade,

    deve-se, necessariamente, ter: rzzrzr GG;;EE === OBSERVAO:

    Seria interessante se admitir que os coeficientes de Poisson : zzzrrz ;;; fossem iguais, como descrito em Patton-Mallory[22], e os mdulos de elasticidade

    longitudinal em e emr e os mdulos de elasticidade transversal nos planos z,re , z fossem valores prximos. Ento, estar-se-ia trabalhando com um material transversalmente

    isotropico,

    Figura 10- Plano de isotropia.

    que baseando-se nas operaes dos itens anteriores, de simetria elstica, tem-se:

    ; ; ;

  • 31 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Assim, com a utilizao da notao usual de engenharia, ou notao tcnica, em

    uma forma matricial, o tensor Sij torna-se:

    Onde E ,E = mdulo de elasticidade no plano de isotropia e na direo normal a ele, , = coeficiente de Poisson no plano de isotropia e na direo normal a ele e G , G =mdulo de elasticidade transversal no plano de isotropia e, tambm,

    ou:

    podendo-se escrever que:

    Portanto, apenas 5 (cinco) coeficientes de ijS so independentes. Mas os resultados

    indicam a no validade deste modelo para a madeira, mesmo se considerando estes poucos

    dados at ento disponveis.

  • 32 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    5.5. Concluses ou direes a seguir

    Tendo em vista o que se apresentou at aqui possvel direcionar este trabalho com

    as seguintes consideraes:

    - a expresso a se usar seria a (107), tendo como base hiptese de Perkins

    admitindo-se que a direo r poderia ser a mesma de R e a direo de a mesma de T. Deste modo, quando se analise um bloco de madeira considerando um ponto P com

    coordenadas locais, cartesianas, LTRe um sistema global , cilndricas, zr. Com isto o efeito local seria LTR, com valores conhecidos e o efeito global cilndrico.

    Figura 11- Coordenadas locais e globais.

    poder-se-ia admitir que TEE = seja constante com o ngulo e do mesmo modo para as direes r,Re L,z.

    Assim para um tronco de madeira a expresso a ser utilizada seria aquela da

    ortotropia retilinear. Por outro lado, ao se considerar a aximetria existente, com a

    aproximao de um tronco a um slido de revoluo, entre as deformaes e tenses:

    rzrz ;; = a relao entre as constantes de elasticidade se reduz a uma matriz 4x4, como ser visto a seguir. No entanto duas novas situaes podem ocorrer:

    T

    R

    Lz

    r

  • 33 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    a) Se as fibras estiverem inclinadas em relao ao eixo vertical z . Esta situao

    bastante comum acontecer;

    b) Se a geratriz, ou no caso da madeira se a medula estiver num ngulo no

    coincidente com o eixo de referncia, vertical, z. Esta situao seria poderia

    acontecer na intereco do tronco principal com um tronco secundrio.

    Figura 12- Tronco com geratriz inclinada.

  • 34 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    6. COORDENADAS CURVLINEAS

    Neste item feita uma reviso sobre as coordenadas cilndricas.

    Seja a seguinte figura:

    Figura 13- Sistemas de referncias

    Com r,,z ( 02) coordenadas polares e x1,x2,x3coordenadas cartesianas de P. pode-se escrever que:

    ; ;

    ;

    ;

    Os versores dos dois sistemas de coordenadas podem ser relacionados por:

    ; ;

    e inversamente por:

    ; ;

    .

  • 35 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    que define a matriz (ou o tensor) de transformao de coordenadas entres as bases:

    e:

    ;

    sendo M uma matriz ortogonal.

    Seja agora a um vetor com componentes ai:(a1a2a3)no sistema cartesiano e

    ai#(araaz) no sistema cilndrico. Ento:

    Ou pode-se escrever na forma vetorial como:

    ;

    #

    Podem-se relacionar estes dois vetores atravs da matriz de transformao de

    coordenadas. Assim:

    # ;

    #

    Estendendo-se esta transformao para matrizes, sendo A em coordenadas

    cartesianas e A# em cilndricas pode-se obter:

    #;

    #

    com:

  • 36 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    #

    ;

    Como os componentes de tenso ou de deformao so tensores de segunda

    ordem, portanto podem ser colocados no lugar de A.

    #

    ; #

    Observa-se que usual utilizar a notao de para tenses tangenciais e de para as deformaes tangencias, respeitando-se a relao entre e : ( )jiijij 21 += para se manter o caractere tensorial entre as relaes consideradas. Assim tem-se que:

    #

    As relaes entre estes componentes e aquelas do sistema cartesiano so dadas por

    (104).

  • 37 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    7. COORDENADAS GLOBAIS E LOCAIS

    Caso a)

    Seja um sistema de coordenadas global: x1=r;x2=z;x3=e um local: x+1=r;x+2=Tex+3=L.( Chung[2])

    A rotao em torno de x+1=x1=r dado por :

    Considerando-se, por exemplo, dois autores, Hearmonson e Ting, pode-se ajustar a

    transformao dada por (127)e escrever a matriz K, como se segue:

    - Transformao de coordenadas:

    ;

    - Relao entre tenses na forma reduzida:

    ;

    e finalmente tem-se KH vale:

  • 38 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    A matriz para o outro caso seria a mesma.

    A relao entre as coordenadas globais e as locais para um tensor ij(que pode ser a representao de um tronco de uma rvore, devido sua proximidade com a forma de um

    cilindro, com as fibras inclinadas se um ngulo do eixo do tronco) escrita por:

    ou:

    Considerando-se agora a aximetria, onde as deformaes e as tenses:

    rzrz ,;, so nulas, pode-se trabalhar com a seguinte relao entre as tenses:

    Ou:

    ,

    e as deformaes seriam relacionadas por:

    ou:

  • 39 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    ou:

    A partir destas relaes pode-se fazer o caminho inverso e colocar as coordenadas

    globais em funo das locais, obtendo-se, deste modo, as tenses, deformaes e,

    especialmente, os elementos da matriz constitutiva. Estes elementos ficariam em funo

    daqueles elementos usualmente conhecidos, encontrados na literatura sobre o assunto.

    Neste sentido, utilizando produtos de matrizes e matrizes identidades e considerando-se os

    ndices L para local e G para global, possvel chegar s seguintes relaes:

    e:

    Com este procedimento ao se determinar as propriedades de elasticidade pode-se

    extrapolar e determinar o comportamento de uma pea cilndrica correspondente a um

    tronco de madeira, como na figura:

  • 40 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Figura 14 Coordenadas Globais e Locais num tronco de madeira.

    Por exemplo, o mdulo de elasticidade longitudinal na direo da geratriz seria dado por:

    ou:

    Caso b)

    Considera-se, agora, um caso em que a geratriz ou a medula esteja inclinada em

    relao vertical. Esta situao pode acontecer numa regio onde se tenha um tronco

    secundrio. Poder-se-ia, tambm, analisar outras possibilidades de inclinaes, que se

    difereriam pelas matrizes de rotao.

    Seja um sistema de coordenadas global: x1=r;x2=z;x3= e um local: x++1=R;x++2=Tex++3=L.

    A rotao em torno de x+1=x1=r dado por :

  • 41 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Seja, agora, uma rotao em torno do eixo x++2=T, dado por:

    Da a matriz de transformao pode ser escrita por:

    A partir desta matriz pode-se determinar a matriz K e consequentemente a relao

    entre as coordenadas globais e as locais para um tensor ij escrita por:

    e as deformaes seriam relacionadas por:

    E a relao entre as constantes de elasticidade, em coordenadas globais e locais ou

    vice-versa, determinadas por:

    A matriz K pode, como j visto, ser escrita atravs das seguintes sub-matrizes:

  • 42 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Considerando-se, tambm, a aximetria existente, chega-se a expresses

    semelhantes do caso anterior, porm mais complexas.

    Poder-se-ia pensar numa situao genrica em que estar-se-ia se referindo a

    rotaes quaisquer dos eixos principais de elasticidade. Neste caso, poder-se-ia utilizar as

    expresses apresentadas no item, associando a aximetria existente.

    Outros casos associados a fibras com configurao em especial, apresentada por

    Bodig e Jayne[26] e que so comuns em eucaliptos do Brasil necessitaram de um estudo a

    parte , tendo em vista que a variao das fibras contnua e as propriedades teriam de ser

    analisadas, basicamente, ponto a ponto. Neste caso, talvez, a adoo de uma tcnica de

    ensaios no destrutivos possa ser empregada, associada a um mtodo numrico, via algum

    programa, como ANSYS.

  • 43 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    8. EQUACIONAMENTO DOS DESLOCAMENTOS DO TRONCO CONSIDERANDO-O

    COMO UM CILNDRICO

    EsteitemfoibaseadonosseguintesautoresLeknhnistkii[12],Malvern[23],Saliklis[24]eGopu[25].

    Considereumtroncodemadeiracomaaproximaodeumcilndrocomumacargaaplicadanuma

    extremidadecomonafiguraabaixo:

    Figura 15- Tronco com uma carga aplicada.

    Para se ter a distribuio de tenses e de deformaes necessrio se determinar seis

    componentes de tenses e trs projees de deslocamentos satisfazendo as equaes de

    equilbrio e as condies de contorno. Ao se considerar o caso de anisotropia cilndrica com

    o eixo z de anisotropia pode-se escrever que:

    - equaes de equilbrio:

    ;

    ;

    com R, e Z foras de volume. - relaes deslocamentos-deformaes:

    ;

    ;

    ;

    ;

    P

  • 44 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    - relaes constitutivas:

    As tenses para este caso particular, no considerando o peso prprio, so dadas por:

    ;

    Substituindo-se estas tenses nas equaes de equilbrio verifica-se que so satisfeitas. Os

    deslocamentos podem obtidos pela integrao das deformaes dadas pelas relaes

    constitutivas. Assim:

    e:

    ij o delta de Kronecker, e :

    o tensor das deformaes, e:

    o tensor das rotaes.

    Podendo-se escrever, tambm, que:

  • 45 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    sendo eijk o tensor permutador, ou ainda em coordenadas cilndricas:

    ;

    ;

    ;

    Assim para se o campo de deslocamentos basta integrar os diferenciais de deslocamentos.

    Por exemplo:

    E analogamente:

    ;

    Podendo-se observar que os deslocamentos dependem das deformaes e das rotaes. O

    termo u0 uma constante relativa s translaes. Os trs ltimos termos desta expresso

    podem ser separados pois envolvem rotaes e translaes. Escrevendo-se num sistema

    cartesiano usual e considerando-se a conveno de sinais das equaes, tem-se:

    Nas outras ordenadas tem-se, analogamente:

    ;

  • 46 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Lekhnitskii, utiliza coordenadas cilndricas e utilizando-se das relaes constitutivas

    escreve os deslocamentos do problema, como se segue:

    ;

    ;

    onde 1,2,3,u0,v0e w0 so constantes que expressam rotaes e translaes de corpo rgido.

    Observa-se que este equacionamento se baseia-se na hiptese de o deslocamento na

    direo do eixo do cilindro, nas condies de constncia das tenses nesta direo,

    constante.

    Verifica-se, depois dos clculos, que as deformaes tangenciais com a hiptese da

    aximetria colocada valem:

    ;

    ;

    Deste modo deve-se ter que S36 deve ser nulo.

    As condies de compatibilidade tambm so satisfeitas( estas equaes podem ser

    encontradas em Malvern, p.669) :

    ;

    ;

    ;

    ;

    ;

  • 47 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    As condies de contorno neste caso dadas por:

    ;

    implicam que os deslocamentos ortogonais ao engaste e a rotao no engaste no so

    permitidas.

    Ao se considerar os casos anteriormente apresentados onde as fibras da madeira esto

    inclinadas em relao ao eixo vertical pode-se substituir as constantes de elasticidade no

    sistema global pelas constantes do sistema local, como j feito anteriormente. Deste modo,

    pode-se trabalhar com um tronco com fibras no verticais.

  • 48 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    9. CONCEITUAO TERICA BASEADO EM LEKHNITSKII

    Neste item, baseado em Lekhnitskii, ser mostrado conceituao terica a respeito

    do clculo dos deslocamentos, deformaes, tenses no caso de um cilindro com carga

    axial (constante) aplicada em suas extremidades. A aplicao de momentos fletores e

    torsores tambm possvel.

    A tenso e a deformao na direo axial so consideradas constantes.

    Seja, ento, R e as foras de volume e U*(x,y)o potencial associado por:

    ;

    As equaes de equilbrio se restringem a:

    ;

    ,

    e as relaes constitutivas :

    Fazendo a deformao normal em z igual a D e em seguida isolando-se a tenso

    normal nesta direo tem-se:

    Introduzindo-se os coeficientes de deformao reduzidos atravs:

    , , , , , ,

  • 49 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Observa-se que este tensor simtrico e que 0i33i == , para i =1 a 6. Colocando-se, agora, as deformaes como funo dos deslocamentos pode-se

    escrever:

    ;

    ;

    ;

    ;

    ;

    ;

    Atravs da integrao das quarta, quinta e sexta equaes pode-se obter os

    deslocamentos. Nestas funes esto trs novas funes, ),r(W),,r(V),,r(U . Alm disto, para satisfazer as equaes primeira, segunda e sexta, D ser funo

    linear de:

    Depois de algumas manipulaes matemticas, Lekhnitskii apresenta dois sistemas,

    um para U e V(correspondente a primeira, segunda e sexta equaes de (169)):

    ;

    ;

    ;

    e outro para W (corresponde a quinta e quarta equaes):

    ;

  • 50 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Pela eliminao das funes U, V,W destes sistemas, pode-se ficar com um

    sistema de duas equaes, somente em funo das tenses. Para eliminar U e V do

    primeiro sistema utilizado da identidade:

    utilizada por Hsu e Tang para determinar constante A1.

    Quando as funes U,V,Wso determinadas os deslocamentos so determinados

    por:

    ;

    ;

    Nestas equaes esto includos os deslocamentos de corpo rgido escritos por:

    ; ;

  • 51 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    10. FUNO DE AIRY E DE TENSO

    Quando se tem o caso das tenses e das deformaes serem independentes de x3

    as equaes de equilbrio podem ser escritas como:

    , ,

    Aqui a vrgula nos ndices indica derivada. Colocando-se que existe um potencial ital que:

    ,; , ,

    Desde que 2112 = tem-se: , ,

    De acordo com Ting com a existncia de um funo potencial tal que:

    ,; ,

    Colocando, tambm, que =3 , tem-se: ,; ,; ,;

    ,; ,

    A funo denominada funo de Airy e a funo so denominadas funo de tenso e estas funes satisfazem as equaes de equilbrio.

    Colocando-se as equaes constitutivas, com notao reduzida de Ting, e inserindo

    os coeficientes de deformao reduzido, tem-se:

    Substituindo-se nas tenses as funes de tenso e de Airy chega-se :

    , , , , ,

    onde:

  • 52 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Considerando-se agora as seguintes equaes de compatibilidade de deformaes,

    tambm em notao reduzida:

    , , ; , , ,

    e inserindo a equao anterior chega-se :

    ;

    com : )BSAS(S12 534333

    += e A, B e so constantes e onde os operadores diferenciais L4L3L2de quarta, terceira e segunda ordem so iguais :

    ;

    ;

    Com isto Ting apresenta equaes que resultam nas equaes diferenciais de quarta

    ordem que daro a soluo das funes de tenso e de Airy.

    Hashin[26]utiliza as funes de Airy para se chegar equao diferencial de quarta ordem, num caso plano de tenses, com procedimento anlogo ao de Ting,

    chegando :

    Os deslocamentos so dados por:

    ;

    onde f e g so funes arbitrrias.

  • 53 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Lekhnitskii considerando o caso da aximetria que existe no caso do cilindro com

    carga axial, carga transversal externa e interna (caso de presso), momento torsor

    apresentado s seguintes funes de Airy e de tenso, funo apenas da varivel r:

    ;

    As tenses so relacionadas a estas funes por:

    ; , ;

    ; ;

    O sistema de equaes para as funes de Airy escrito por :

    ;

    atravs do uso da equao(185), e com a transformao em coordenadas cilndricas.

    Condies de Contorno

    As condies de contorno seriam:

    - na surperfcie:

    quando : par r == quando: qbr r ==

    - nas extremidades:

    ;

    ;

    Estas duas ltimas condies retratam a carga axial P e o momento torsor M.

  • 54 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    A soluo geral para as equaes diferenciais das funes de Airy e de tenso so

    as seguintes:

    ;

    com os termos: kk121 g;g;g;k;; so funes dos ij . Apresentando novamente k(como j colocado anteriormente):

    Das constantes Cique aparecem nestas equaes C4 e C5so nulas desde que as

    tenses so nulas. As tenses so finalmente calculadas por:

    ;

    ;

    No caso de se ter somente uma carga concentrada nas extremidades as tenses ficam

    valendo:

    ;

    ;

    ; ;

    ;

    onde:

    ;

    ;

    ;

    ;

  • 55 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Para se determinar os deslocamentos a partir das tenses usa-se, ento, as

    equaes constitutivas para calcular as deformaes e da por integrao os

    deslocamentos.

  • 56 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    11. ANLISE DA RETRAO CONSIDERANDO-SE OS COEFICIENTES DE

    REDUO DE DEFORMAO

    Hsu e Tang [19] fizeram um interessante estudo a respeito da retrao na madeira,

    considerando uma pea em forma de tronco sem foras externas. A retrao deve ser

    analisada sob o ponto de vista que gera tenses no tronco de madeira.

    A retrao (i) devido variao de umidade foi computada como parcelas das relaes tenso deformaes, em coordenadas cilndricas, da seguinte forma:

    ; ; ;

    Devido simetria radial o campo de deslocamentos funo de r e o deslocamento

    na direo nulo. Assim as deformaes valem:

    ;

    ;

    ondec assumido como uma constante.

    Desde a deformao em z constante as deformaes so rescritas por:

    ;

    onde:

    ;

    ;

    ;

    ;

    A equao de equilbrio requer que:

  • 57 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Com isto o problema a ser resolvido determinar a soluo desta equao

    conjuntamente com as equaes constitutivas, considerando tambm a equao de

    compatibilidade das deformaes. Assume-se, ento, uma funo F(r), diferencivel em r ,

    tal que:

    ;

    Verifica-se, claramente, que isto satisfaz a equao de equilbrio. As equaes

    constitutivas ficam sendo dadas por:

    ;

    Substituindo-se estas deformaes na equao de compatibilidade:

    obtem-se que:

    e da:

    E a forma geral da soluo desta equao diferencial a seguinte:

    onde: rrk =

    . A tenses so agora determinadas e valem:

    ;

  • 58 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    com trs constantes desconhecidas.

    A ttulo de ilustrao so apresentados alguns valores dek na tabela:

    Tabela 1- Valores de k para algumas espcies de madeira

    Teor de Umidade Espcies 6% 12% 20% Yellow-poplar 0, 677 0, 678 0, 679 Green ash 0, 761 0, 761 0, 760 Engelmann spruce 0, 725 0, 745 0, 745

    Citando o trabalho de Ylinen, Hsu e Tang assumem que a parte interna do tronco da

    rvore constituda de um material macio. Desprezando-se esta parte o tronco da rvore se

    torna um cilindro com uma cavidade interna. Assim o deslocamento deveria ser zero no

    centro do cilindro. Desde que k de um modo geral, maior que zerourpara rigual a zero

    chega-se A3a igual a zero.

    Alm disto, por serem as deformaes contnuas ( em rigual a zero), tem-se:

    Chegando-se :

    Como no h carga externa, em r igual a R, a tenso nula implicando que:

    1k1

    2 RAA =

    .

    Assim as tenses e o deslocamento ficam da seguinte forma:

    ;

    ;

  • 59 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    A constante c determinada da seguinte modo. Desde que na h carga externa a

    tenso no topo ou base do cilindro vale:

    ;

    No caso de isotropia tem-se que as retraes (a, ao,az) so iguais e que k valendo

    01(um) chega-se sr=so=0.

    Observa-se que a retrao resulta em tenses, deformaes e deslocamentos que

    so somadas aquelas advindas de quando se tem uma carga externa. No caso de uma

    fora na direo axial, como visto anteriormente, e num caso, por exemplo, de uma carga

    transversal. Neste caso a condio de contorno deve ser alterada. Assim quando se tem

    uma presso radial externa p no contorno, em r igual R, obtm-se as tenses radial e

    tangencial por:

    ;

    ;

    Esta presso radial visa diminuir as tenses devido retrao. Colocando-se um

    anel na extremidade de um tronco estar-se- fazendo isto. A ttulo de ilustrao para uma

    presso radial externa de 30 kgf/cm2 , quando se passa da situao verde para 20% de

    umidade para algumas espcies de madeira americanas, as tenses tangenciais internas de

    compresso diminuem, por exemplo, de 300 para 130 kgf/cm2 e as de trao de 200 para

    50 kgf/cm2.

    Todo este trabalho desenvolvido por estes pesquisadores baseado em Lekhnitskii,

    como j apresentado.

  • 60 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    12. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS E BIBLIOGRAFIA

    CARRIER, G.F. Stress Distribuitions in Cylindrical Aelotropic Plates. Journal of Applied

    Mechanics. V.10, p.117-22. 1943.

    FOSHI, R.O. Point-matched Analisis of Curved Timber Beams. Journal of Structural

    Engineering. P.35-48. V96.N.ST1.Jan.1970.

    GREEN, A.E., ZERNA, W. Theoretical Elasticity. Glasgow: Clarendon Press, 442 p. 1954.

    LEKHNITSKII, S.G. Theory of Elasticity of an Anisotropic Body. Moscou: Mir, 430 p.

    1981.

    LEKHNITSKII, S.G., TSAI, S.W., CHERONT, T. Anisotropic Plates.New York: Gordon and

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