Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

Click here to load reader

  • date post

    22-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    24
  • download

    9

Embed Size (px)

description

Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

Transcript of Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

  • UNIVERSIDADEESTADUALDECAMPINAS

    FACULDADEDEENGENHARIACIVIL

    DepartamentodeEstruturas

    TRANSFORMAESDECOORDENADASE

    ANISOTROPIA

    Prof.Dr.NilsonTadeuMascia

    Reviso:Eng.ReinaldoWashingtonMoraes

    Campinas, Novembro2009

  • 2 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    TransformaesdeCoordenadaseAnisotropia

    NILSONTADEUMASCIA

    FECUNICAMP

  • 3 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Contedo

    1. TRANSFORMAO DE COORDENADAS ................................................................................. 4

    2. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................................... 10

    3. TRANSFORMAO DE COMPONENTES DE TENSO E DE DEFORMAO ............................... 15

    4. TRANSFORMAO DE PROPRIEDADES DE ELASTICIDADE ................................................... 18

    5. APLICAO DO MODELO ANISOTRPICO CILNDRICO NA MADEIRA. .................................... 22

    5.1. Generalidades ......................................................................................................... 22

    5.2. Estado de Tenso e de Deformao num Meio Contnuo Anisotrpico ................. 23

    5.3. Anisotropia curvilinear ............................................................................................. 25

    5.4. Anisotropia cilndrica ............................................................................................... 27

    5.5. Concluses ou direes a seguir ............................................................................ 32

    6. COORDENADAS CURVLINEAS ........................................................................................... 34

    7. COORDENADAS GLOBAIS E LOCAIS ................................................................................... 37

    8. EQUACIONAMENTO DOS DESLOCAMENTOS DO TRONCO CONSIDERANDO-O COMO UM

    CILNDRICO .............................................................................................................................. 43

    9. CONCEITUAO TERICA BASEADO EM LEKHNITSKII .......................................................... 48

    10. FUNO DE AIRY E DE TENSO...................................................................................... 51

    11. ANLISE DA RETRAO CONSIDERANDO-SE OS COEFICIENTES DE REDUO DE

    DEFORMAO .......................................................................................................................... 56

    12. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS E BIBLIOGRAFIA ............................................................ 60

  • 4 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    1. TRANSFORMAO DE COORDENADAS

    Este desenvolvimento terico, aqui apresentado, foi baseado nos seguintes autores:

    Spencer [1], Chung[2], Haskell[3], Renton[4] e Myklestad[5], dentre outros.

    Um vetor uma quantidade que independente de qualquer sistema de

    coordenadas. Se um vetor introduzido num sistema de coordenadas ele ser representado

    por seus componentes, que sero diferentes em diferentes sistemas de coordenadas.

    Seja a um vetor, ai seus componentes e ei os vetores unitrios que formam a base

    do sistema de coordenadas, tem-se:

    ..

    Considere agora ai* os componentes de a, e ei* os vetores unitrios de outro

    sistema de coordenadas obtido a partir de uma rotao de ei com a mesma origem O.

    Ento:

    ..

    Seja agora:

    ..

    Onde Mij so os cossenos diretores de ei* relativo ao primeiro sistema de

    coordenadas, ei. Ento os Mij so os componentes de ei* no primeiro sistema de

    coordenadas. Assim:

    ..

    e a relao recproca de (4), :

    ..

    Pelo fato de ei* serem mutuamente ortogonais entre si, tem-se:

    ..

    e:

  • 5 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    desde que ijji , com i , j de 1 a 3, representam que h uma srie de seis relaes entre as nove componentes de Mij.

    Considerando-se agora o seguinte desenvolvimento :

    e reciprocamente:

    pode-se, ento, relacionar as componentes de a ou ai em quaisquer dois sistemas de

    coordenadas atravs do tensor ou matriz de transformao.

    usual escrever ao invs de componentes ai as coordenadas de um determinado

    ponto P como xi. Neste caso suficiente reescrever as compontentes com a outra notao.

    No caso de tensores de segunda ordem aij e *ija , que englobariam as matrizes

    equivalentes, a transformao de coordenadas seria:

    Generalizando-se para qualquer ordem de tensores, mas at a quarta ordem para o

    presente interesse,tem-se:

    Considerando Mij como elementos ou componentes de uma matriz quadrada M ,

    tem-se:

    E pelo fato de:

    ou M 1=MT e detM=1 , M definida como matriz ortogonal e denominada matriz de

    transformao de coordenadas.

  • 6 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Desta forma, a matriz M=Mijque define a nova base em termos de vetores unitrios

    da base velha uma matriz ortogonal.

    Assim em termos vetoriais (a , a*) e matriciais (M) chega-se a: ( Renton)

    Analogamente a (10), com o uso os vetores colunas a e b tem-se que o produto escalar

    entre estes vetores dado por:

    e com:

    onde :

    , prova-se do mesmo modo que (7) a ortogonalidade de M.

    No caso de matrizes A, A* e vetores a , b ,a* e b* pode-se escrever:

    ;

    Mas:

    para qualquer bT , tem-se:

    e a transformao inversa seria:

  • 7 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    Seja agora a seguinte transformao de coordenadas:

    com Mij expressando uma rotao positiva, sentido anti-horrio, de xi para em torno da origem do sistema de coordenadas O.

    Plano Espao

    Figura 1- Sistema de referncia girado em torno de x3

    Neste sentido, considerando-se uma rotao positiva (anti-horria) em torno de x3

    pode-se escrever:

    Considerando-se agora o caso geral com trs rotaes em torno de x1, x2 e de x3,

    respectivamente e representados pelos ndices 1,2 e 3. Primeiramente em torno de x1:

    Depois em torno de x2:

    Da:

  • 8 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    E finalmente em torno de x3:

    Mas recorrendo-se de (21) obtem-se:

    Da tem-se:

    Colocando-se este equacionamento em termos de equivalentes matrizes pode-se

    escrever:

    - rotao em torno de x1

    -rotao em torno de x2

    Observa-se que neste caso o sinal negativo est em outra posio e relaciona com o

    posicioonamento dos eixos.

    -rotao em torno de x3

    Onde x,y e z so chamados de ngulos de Euler. Da:

    ou:

  • 9 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    da:

    Observa-se que a ordem da multiplicao de matrizes, por exemplo: [A][BC]=[D]

    ou [AB][C]=[D] no importa. No se pode trocar a posio das matrizes pois o produto

    de matrizes no , em geral, comutativo.

    A figura mostra as trs transformaes realizadas.

    Rotao em X3 Rotao em X2 Rotao em X1

    Figura 2- Transformaes realizadas

    Uma observao importante feita por Myklestad sobre os intervalos dos ngulos de Euler.

    Deste modo:

    , ,

    e y est neste intervalo, pois o efeito de y passando para y+ o mesmo de y passando para y , simultaneamente x para x+ e z para z+ .

  • 10 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    2. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

    Goodman e Bodig [6], em 1970, apresentaram a seguinte relao de transformao

    de coordenadas:

    A figura mostra os ngulos de rotao.

    Figura 3- Transformao de coordenadas de Goodman e Bodig.

    Esta transformao pode ser discretizada da seguinte maneira:

    - rotao de um ngulo em torno do eixo L:

    .

    -rotao negativa de um ngulo em torno do eixo R:

    .

    Da deprende-se a seguinte relao:

  • 11 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    ou em termos de matrizes:

    .

    resultando a matriz dada por (35).

    Esta transformao tem uma certa limitao pois o eixo L permanece no plano

    formado por x1x3.

    Uma outra transformao de coordenadas apresentada por Bindzi e Samson [7],

    em 1995. Eles determinaram a seguinte relao:

    A figura mostra os ngulos de rotao.

    Figura 4- Transformao de coordenadas de Bindzi e Samson.

    Da mesma forma que a relao anterior pode-se discretizar esta transformao da

    seguinte maneira:

    -rotao de um ngulo em torno do eixo L :

    .

  • 12 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    - rotao de um ngulo em torno do eixo R :

    .

    Da pode-se escrever a seguinte relao:

    ou em termos de matrizes:

    .

    Ao se considerar rotaes negativas em torno de L e de R finalmente resultaro a

    matriz dada por (40).

    Observa-se que nesta transformao R o eixo permanece no plano x y.

    Em 1997, Hearmonson e Cramer et alii [8,9] apresentaram a seguinte transformao de

    coordenadas:

    Da:

  • 13 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

    Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

    A figura mostra os ngulos de Euler e os sinais correspondentes.

    Figura 5- ngulos de Euler.