Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

UNIVERSIDADEESTADUALDECAMPINAS
FACULDADEDEENGENHARIACIVIL
DepartamentodeEstruturas
TRANSFORMAESDECOORDENADASE
ANISOTROPIA
Prof.Dr.NilsonTadeuMascia
Reviso:Eng.ReinaldoWashingtonMoraes
Campinas, Novembro2009

2 Transformao de Coordenadas e Anisotropia
Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP
TransformaesdeCoordenadaseAnisotropia
NILSONTADEUMASCIA
FECUNICAMP

Contedo
1. TRANSFORMAO DE COORDENADAS ................................................................................. 4
2. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................................... 10
3. TRANSFORMAO DE COMPONENTES DE TENSO E DE DEFORMAO ............................... 15
4. TRANSFORMAO DE PROPRIEDADES DE ELASTICIDADE ................................................... 18
5. APLICAO DO MODELO ANISOTRPICO CILNDRICO NA MADEIRA. .................................... 22
5.1. Generalidades ......................................................................................................... 22
5.2. Estado de Tenso e de Deformao num Meio Contnuo Anisotrpico ................. 23
5.3. Anisotropia curvilinear ............................................................................................. 25
5.4. Anisotropia cilndrica ............................................................................................... 27
5.5. Concluses ou direes a seguir ............................................................................ 32
6. COORDENADAS CURVLINEAS ........................................................................................... 34
7. COORDENADAS GLOBAIS E LOCAIS ................................................................................... 37
8. EQUACIONAMENTO DOS DESLOCAMENTOS DO TRONCO CONSIDERANDO-O COMO UM
CILNDRICO .............................................................................................................................. 43
9. CONCEITUAO TERICA BASEADO EM LEKHNITSKII .......................................................... 48
10. FUNO DE AIRY E DE TENSO...................................................................................... 51
11. ANLISE DA RETRAO CONSIDERANDO-SE OS COEFICIENTES DE REDUO DE
DEFORMAO .......................................................................................................................... 56
12. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS E BIBLIOGRAFIA ............................................................ 60

1. TRANSFORMAO DE COORDENADAS
Este desenvolvimento terico, aqui apresentado, foi baseado nos seguintes autores:
Spencer [1], Chung[2], Haskell[3], Renton[4] e Myklestad[5], dentre outros.
Um vetor uma quantidade que independente de qualquer sistema de
coordenadas. Se um vetor introduzido num sistema de coordenadas ele ser representado
por seus componentes, que sero diferentes em diferentes sistemas de coordenadas.
Seja a um vetor, ai seus componentes e ei os vetores unitrios que formam a base
do sistema de coordenadas, tem-se:
..
Considere agora ai* os componentes de a, e ei* os vetores unitrios de outro
sistema de coordenadas obtido a partir de uma rotao de ei com a mesma origem O.
Ento:
..
Seja agora:
..
Onde Mij so os cossenos diretores de ei* relativo ao primeiro sistema de
coordenadas, ei. Ento os Mij so os componentes de ei* no primeiro sistema de
coordenadas. Assim:
..
e a relao recproca de (4), :
..
Pelo fato de ei* serem mutuamente ortogonais entre si, tem-se:
..
e:

desde que ijji , com i , j de 1 a 3, representam que h uma srie de seis relaes entre as nove componentes de Mij.
Considerando-se agora o seguinte desenvolvimento :
e reciprocamente:
pode-se, ento, relacionar as componentes de a ou ai em quaisquer dois sistemas de
coordenadas atravs do tensor ou matriz de transformao.
usual escrever ao invs de componentes ai as coordenadas de um determinado
ponto P como xi. Neste caso suficiente reescrever as compontentes com a outra notao.
No caso de tensores de segunda ordem aij e *ija , que englobariam as matrizes
equivalentes, a transformao de coordenadas seria:
Generalizando-se para qualquer ordem de tensores, mas at a quarta ordem para o
presente interesse,tem-se:
Considerando Mij como elementos ou componentes de uma matriz quadrada M ,
tem-se:
E pelo fato de:
ou M 1=MT e detM=1 , M definida como matriz ortogonal e denominada matriz de
transformao de coordenadas.

Desta forma, a matriz M=Mijque define a nova base em termos de vetores unitrios
da base velha uma matriz ortogonal.
Assim em termos vetoriais (a , a*) e matriciais (M) chega-se a: ( Renton)
Analogamente a (10), com o uso os vetores colunas a e b tem-se que o produto escalar
entre estes vetores dado por:
e com:
onde :
, prova-se do mesmo modo que (7) a ortogonalidade de M.
No caso de matrizes A, A* e vetores a , b ,a* e b* pode-se escrever:
;
Mas:
para qualquer bT , tem-se:
e a transformao inversa seria:

Seja agora a seguinte transformao de coordenadas:
com Mij expressando uma rotao positiva, sentido anti-horrio, de xi para em torno da origem do sistema de coordenadas O.
Plano Espao
Figura 1- Sistema de referncia girado em torno de x3
Neste sentido, considerando-se uma rotao positiva (anti-horria) em torno de x3
pode-se escrever:
Considerando-se agora o caso geral com trs rotaes em torno de x1, x2 e de x3,
respectivamente e representados pelos ndices 1,2 e 3. Primeiramente em torno de x1:
Depois em torno de x2:
Da:

E finalmente em torno de x3:
Mas recorrendo-se de (21) obtem-se:
Da tem-se:
Colocando-se este equacionamento em termos de equivalentes matrizes pode-se
escrever:
- rotao em torno de x1
-rotao em torno de x2
Observa-se que neste caso o sinal negativo est em outra posio e relaciona com o
posicioonamento dos eixos.
-rotao em torno de x3
Onde x,y e z so chamados de ngulos de Euler. Da:
ou:

da:
Observa-se que a ordem da multiplicao de matrizes, por exemplo: [A][BC]=[D]
ou [AB][C]=[D] no importa. No se pode trocar a posio das matrizes pois o produto
de matrizes no , em geral, comutativo.
A figura mostra as trs transformaes realizadas.
Rotao em X3 Rotao em X2 Rotao em X1
Figura 2- Transformaes realizadas
Uma observao importante feita por Myklestad sobre os intervalos dos ngulos de Euler.
Deste modo:
, ,
e y est neste intervalo, pois o efeito de y passando para y+ o mesmo de y passando para y , simultaneamente x para x+ e z para z+ .

2. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
Goodman e Bodig [6], em 1970, apresentaram a seguinte relao de transformao
de coordenadas:
A figura mostra os ngulos de rotao.
Figura 3- Transformao de coordenadas de Goodman e Bodig.
Esta transformao pode ser discretizada da seguinte maneira:
- rotao de um ngulo em torno do eixo L:
.
-rotao negativa de um ngulo em torno do eixo R:
.
Da deprende-se a seguinte relao:

ou em termos de matrizes:
.
resultando a matriz dada por (35).
Esta transformao tem uma certa limitao pois o eixo L permanece no plano
formado por x1x3.
Uma outra transformao de coordenadas apresentada por Bindzi e Samson [7],
em 1995. Eles determinaram a seguinte relao:
A figura mostra os ngulos de rotao.
Figura 4- Transformao de coordenadas de Bindzi e Samson.
Da mesma forma que a relao anterior pode-se discretizar esta transformao da
seguinte maneira:
-rotao de um ngulo em torno do eixo L :
.

- rotao de um ngulo em torno do eixo R :
.
Da pode-se escrever a seguinte relao:
ou em termos de matrizes:
.
Ao se considerar rotaes negativas em torno de L e de R finalmente resultaro a
matriz dada por (40).
Observa-se que nesta transformao R o eixo permanece no plano x y.
Em 1997, Hearmonson e Cramer et alii [8,9] apresentaram a seguinte transformao de
coordenadas:
Da:

A figura mostra os ngulos de Euler e os sinais correspondentes.
Figura 5- ngulos de Euler.
Posto isto, Hearmonson colocou estes ngulos em funo dos ngulos das arestas
,e das faces de um bloco de madeira , conseguindo relacionar as propriedades de elasticidade nas direes principais de elasticidade com estes direes. A figura ilustra estes
ngulos.
Figura 6- Transformao de coordenadas de Hearmonson.

Da:
;
E as componentes do eixo L no plano xzresultam:
No plano yz:
e o ngulo vale:
Determinam-se os elementos da matriz de transformao em funo dos ngulos
das arestas. Os ngulos de Euler ficam, ento, sendo:
;
;

3. TRANSFORMAO DE COMPONENTES DE TENSO E DE DEFORMAO
Como os componentes de tenso se referem a um tensor de segunda ordem, ento:
onde ij o tensor das tenses. Em termos matriciais:
com valendo:
.
Analogamente para as deformaes tem-se:
E termos de matrizes:
com valendo:
.
Introduzindo agora a notao reduzida apresentada por Ting [10,11], com os ndices
1,2e 3correspondendo a por exemplo x,ye z, pode-se reescrever as tenses como:
; ; ;
; ; ; .
e as deformaes:
; ; ;

; ; ; .
Da em termos de tensores tem-se:
e:
com Kije Keij,a serem definidos a seguir, seriam equivalentes ao produto MimMjn.
Observa-se que a forma reduzida das deformaes diferente da de tenses no que
se refere s deformaes tangenciais.
Em termos matriciais:
com:
e:
,
,
,
Pode-se escrever tambm:

e:
Mas, tambm ( como ser visto a seguir):
Devido (58) e (59) a transformao de em notao reduzida diferente daquela de . Para uma rotao em torno de x3 como feito em (22)K escrita como:
e K1 escrita trocando-se por como se segue:

4. TRANSFORMAO DE PROPRIEDADES DE ELASTICIDADE
Sendo a relao entre tenses e deformaes escrita por:
onde Cijkl o tensor de constantes de elasticidade, num outro sistema de coordenadas
esta relao tornar-se-ia:
Com:
,
,
resulta em:
.
e se segue com:
Analogamente para a relao inversa entre tenses e deformaes tem-se:
com Sijkl sendo chamado de tensor de complincia .
Lekhnitskii[12,13] apresenta estas relaes constitutivas tambm em forma tensorial
reduzida atravs de:
com os elementos qijiguais ao elementos da matriz K apresentados anteriormente.
Observa-se que se pode relacionar as formas normal Sijk e reduzida Sij por :
(1) se i e j valem 1,2,3;

(2) se um dos dois ndices, i ou j, vale 4, 5,6;
(3) se ambos os ndices, i e j, valem 4,5,6.
Este rearranjo vem do fato da forma reduzida para as deformaes tangencial ser
diferenciada das tenses tangenciais por 2. O tensor Cijkl o mesmo de Cij.
Apresentandose agora em forma matricial reduzida , com e vetores, pode-se escrever:
ou:
.
e a relao inversa por:
e:
.
Num outro sistema de coordenadas, estas relaes (75)e (77)podem ser obtidas
da seguinte maneira:
Utilizando-se da propriedade de matrizes (ou tensores)transpostas :
,

Obtm-se:
Colocando-se que a energia de deformao (W) pode ser escrita por:
E sendo a energia independente do sistema de referncia chega-se a:
Portanto:
Com (81), num outro sistema de coordenadas, e (84):
resultando em:
E similarmente para a matriz de complincia, utilizando-se
e tambm:
e da:
Portanto:

Hermanson apresenta a matriz T, similar a K, associando os eixos principais de
elasticidade da madeira com os eixos da borda de um corpo de prova cbico. Desta forma,
fazendo-se a seguinte analogia: os primeiros ndices dos elementos de K,mij,1,2e 3
seriam iguais a R,Te L e os segundos ndices 1,2,e 3 iguais a x,ye z.
Por exemplo, a matriz K1ficaria igual a:
Por exemplo os elementos S11,S22,S33seriam dados por:
com i=x,y,z.
E os S44,S55e S66 por:
com
ij=yz,zx,xy.

5. APLICAO DO MODELO ANISOTRPICO CILNDRICO NA MADEIRA.
5.1. Generalidades
Este texto refere-se aos conceitos tericos da anisotropia cilndrica aplicada ao
material madeira. Este estudo est baseado em pesquisadores como Lekhnitskii, et alli
[12,13], Noack e Roth[14], Foschi[15] , Carrier[16] , Green e Zerna[17], Hearmon[18],Hsu e
Tang[19], dentre outros.
Carrier [16] apresenta uma anlise matemtica sobre placas finas de um material
com propriedade de anisotropia cilndrica. So feitas algumas aplicaes considerando-se o
estado plano de tenses. Utilizando as equaes de equilbrio, as relaes deformao-
deslocamento e a Lei de Hooke, em coordenadas cilndricas, pode-se chegar funo de
Airy () para este caso:
Com o emprego de uma funo de tenso em termos de r e , so construdos diagramas de tenses e de deformaes para placas carregadas na direo radial.
Outra aplicao da funo de tenso feita por Foschi[15] no estudo de estruturas
curvas de madeira. Seguindo a mesma base terica de Carrier, Foschi fez uma anlise
numrica, via elementos finitos, destas estruturas, com anisotropia cilndrica.
Com base nestes trabalhos, Noack e Roth[14], apresentam uma interessante anlise
matemtica da teoria da elasticidade de materiais ortotrpicos, considerando-se a
anisotropia rombodrica(retilinear) e a cilndrica. Em seguida so feitas algumas aplicaes
da teoria para estruturas curvas em madeira laminada.
Green e Zerna [17] apresentam um estudo sobre a distribuio de tenses numa
pea tracionada com um orifcio interno. Estas distribuies so comparadas com um
material isotrpico e podem-se observar os diferentes comportamentos quando as tenses
so aplicadas longitudinalmente e quando so aplicadas normalmente a direo longitudinal.
A seguir apresentada a conceituao terica da anisotropia cilndrica, tendo como
base os trabalhos de Lekhnistikii.

5.2. Estado de Tenso e de Deformao num Meio Contnuo Anisotrpico
No estudo dos estados de tenso e de deformao num slido anisotrpico
produzido por cargas externas, devem-se considerar as seguintes hipteses:
- as tenses em qualquer plano do slido e sua superfcie so foras por rea;
- pequenas deformaes;
- material segue a Lei de Hooke;
- tenses iniciais sem relao com a carga externa so desprezveis (tenses
trmicas, por exemplo).
Desse modo, pode-se aproximar a teoria da anisotropia elstica para a teoria
clssica da elasticidade linear homognea ou no homognea. Assim problemas de
dinmica, instabilidade, vibraes, grandes deformaes, assim como anisotropia no
elstica no so consideradas.
O sistema de referncia o cilndrico r,, z e o tensor das tenses dado por:
- em coordenadas cartesianas:
como se pode observar na figura:
Figura 7- Tenses -Sistema cartesiano e cilndrico de coordenadas.

As projees de deslocamento de um ponto, de modo geral, so escritos por:
ur,u , uz em coordenadas cilndricas.
O tensor das deformaes dado por:
As relaes deformaes-deslocamento so dadas por:
- sistema cartesiano:
- sistema cilndrico
Finalmente as equaes de equilbrio so dadas por:
- sistema cartesiano:

- sistema cilndrico:
5.3. Anisotropia curvilinear
Lekhnitskii descreve que num slido homogneo com anisotropia retolinear, todas as
direes paralelas so equivalentes com respeito s propriedades de elasticidade, e todos
os elementos na forma de paraleleppedo retangular com respectivas faces paralelas tem as
mesmas propriedades de elasticidade.
Slidos homogneos podem ter anisotropia curvilinear ou retolinear. A anisotropia
curvilinear caracterizada por direes equivalentes no paralelas, mas obedecendo
algumas leis. Ao se escolher um sistema de referncia com coordenadas ortogonal
curvilinear, de tal modo que as direes em cada ponto coincidam com as direes
equivalentes, relativo s propriedades de elasticidade, percebe-se que, os elementos
infinitesimais isolados por trs pares de planos coordenados tero as mesmas propriedades
de elasticidade.
A madeira, devido a sua prpria constituio (interna e externa), revela-se
ortotrpica. Podendo-se citar Perkins[20] e Mascia[21] a respeito de se considerar o
comportamento homogneo num nvel macroscpico, porm heterogneo a nvel
microscpico. Os eixos de simetria elstica so os eixos longitudinal, L, tangencial, T, e
radial, R. Observa-se, claramente, que dependendo da curvatura dos anis de crescimento,
a superfcie LT no plana, mas se aproxima de um configurao cilndrica, a superfcie
LR se dispe buscando o centro desta suposta curva cilndrica. Finalmente, observa-se
que a camada RT formada por curvas aproximadamente concntricas, tendo-se como
referncia o eixo longitudinal.
Isto implica em que, dependente desta configurao, pode-se associar a madeira
tanto a anisotropia retilinear quanto a anisotropia curvilinear. No primeiro caso os eixos

cartesianos x, y, z so os eixos L,T,R, e no segundo caso, associa-se os eixos do
sistema curvilneo r,,zaos eixos R,T,L.
Figura 8- Slido homogneo, com anisotropia curvilinear.
Considere-se, ento, um slido homogneo, com anisotropia curvilinear e que
obedea a Lei de Hooke generalizada, isto , as componentes de deformao so funes
lineares das componentes de tenso e vice-versa. As coordenadas em questo so ,,. Assumindo que exista um potencial elstico, a Lei de Hooke generalizada neste caso
pode ser escrita por:
Estas equaes contem, em geral, 21 constantes de elasticidade, mas somente 18
delas independentes, da mesma maneira de um slido anisotrpico linear. Neste caso, as
equaes da Lei de Hooke podem ser escritas num sistema ortogonal, mas os termos Sijkl
no seriam constantes na anisotropia curvilinear, devido mudana de direo das
coordenadas. A equao acima simplificada, pois o slido exibe simetria elstica e estas
simplificaes so as mesmas do caso de anisotropia retolinear. Assim, pode-se falar em
ortotropia curvilinear, isotropia transversal para qualquer ,,.

Por outro lado, o conceito de anisotropia curvilinear pode ser generalizado para
slidos no homogneos, uma vez que Sijkl funo da posio. Isto torna o problema e a
soluo ainda mais complexo.
Dos diversos tipos de anisotropia curvilinear, dois so de maior interesse:
(1) anisotropia cilndrica;
(2) anisotropia esfrica,
mas somente a primeira ser aqui analisada.
5.4. Anisotropia cilndrica
Lekhnistikii apresenta as simplificaes que existem na equao (104) em vista
das consideraes de simetria elstica. Deste modo, seja uma linha reta g um eixo de
anisotropia com relao a um slido. Todas as direes paralelas a g, e passando por
diferentes pontos so equivalentes; todas as direes que interceptam g por ngulos retos
(radial) so tambm equivalentes; e todas as direes ortogonais as duas primeiras so
equivalentes se elas forem confinadas a trs pares de superfcies:
- dois planos normais a g, dois planos passando por g e duas superfcies cilndricas
com eixo gem comum.
Figura 9- Direes paralelas e equivalentes.

Tomando-se o eixo de anisotropia g como eixo z de um sistema de coordenadas
cilndricor,,z pode-se escrever a Lei de Hooke como:
Se o slido no homogneo, os coeficientes Sijkl so funes das coordenadas
cilndricas.
essencial relatar que se o eixo de anisotropia passa fora do slido, por exemplo,
dentro de uma cavidade, as equaes anteriores no so questionveis. Mas se o eixo de
anisotropia passa atravs do slido homogneo, necessrio existir relaes entre os
diferentes Sijkl . Alm disto, com o z coincidindo com o eixo g no h diferena entre as
direes r e , e todas as direes r devem ser equivalentes no somente entre elas, mas tambm entre todas as direes tangenciais . Quando se tem r = , ou seja, intercambiando os ndices r por e vice-versa, a Lei de Hooke se torna:
ou:
.
Comparando-se os sistemas, obtm-se as igualdades:
, , , , , ,
havendo ao todo oito relaes.

Se a cada ponto existe um plano de simetria elstica perpendicular a z ou ento:
, , ,
A condio dos elementos serem nulos refere-se condio de simetria elstica que
existe na direo g ou z. A segunda condio, de igualdade entre alguns elementos, refere-
se ao intercmbio entre os eixos r e . Para um slido ortotrpico com plano de simetria passando atravs do eixo de
anisotropia (radial ou tangencial), alm disto, tem-se: S16=S26=S36=S46=0 e os
coeficientes no nulos so trs igualdades: S22=S11,S23=S13,S55=S44.
Observa-se que nos planos r,z e ,z as constantes de elasticidade poderiam ter valores prximos para a madeira, mas certamente E no igual Er.
Todas essas igualdades so vlidas para um slido no homogneo. Neste caso, os
Sijkl so funes de r, , z e se tornam zero ou infinito sobre seu eixo. Num slido homogneo, cujo eixo de anisotropia intercepta o slido, os Sijkl so constantes e pode no
existir anisotropia de modo geral desde que as igualdades (108)necessitem ser atingidas.
Isto foi mostrado por Vogt, segundo Lekhtiniskii.
Usualmente, mais conveniente tratar a terminologia das constantes num slido com
anisotropia cilndrica atravs das constantes de engenharia:
;
;
;

onde o tensor Sijkl pode ser escrito por:
Se a estrutura do slido tal que o eixo de anisotropia intercepta fora da cavidade,
deve-se, necessariamente, ter: rzzrzr GG;;EE === OBSERVAO:
Seria interessante se admitir que os coeficientes de Poisson : zzzrrz ;;; fossem iguais, como descrito em Patton-Mallory[22], e os mdulos de elasticidade
longitudinal em e emr e os mdulos de elasticidade transversal nos planos z,re , z fossem valores prximos. Ento, estar-se-ia trabalhando com um material transversalmente
isotropico,
Figura 10- Plano de isotropia.
que baseando-se nas operaes dos itens anteriores, de simetria elstica, tem-se:
; ; ;

Assim, com a utilizao da notao usual de engenharia, ou notao tcnica, em
uma forma matricial, o tensor Sij torna-se:
Onde E ,E = mdulo de elasticidade no plano de isotropia e na direo normal a ele, , = coeficiente de Poisson no plano de isotropia e na direo normal a ele e G , G =mdulo de elasticidade transversal no plano de isotropia e, tambm,
ou:
podendo-se escrever que:
Portanto, apenas 5 (cinco) coeficientes de ijS so independentes. Mas os resultados
indicam a no validade deste modelo para a madeira, mesmo se considerando estes poucos
dados at ento disponveis.

5.5. Concluses ou direes a seguir
Tendo em vista o que se apresentou at aqui possvel direcionar este trabalho com
as seguintes consideraes:
- a expresso a se usar seria a (107), tendo como base hiptese de Perkins
admitindo-se que a direo r poderia ser a mesma de R e a direo de a mesma de T. Deste modo, quando se analise um bloco de madeira considerando um ponto P com
coordenadas locais, cartesianas, LTRe um sistema global , cilndricas, zr. Com isto o efeito local seria LTR, com valores conhecidos e o efeito global cilndrico.
Figura 11- Coordenadas locais e globais.
poder-se-ia admitir que TEE = seja constante com o ngulo e do mesmo modo para as direes r,Re L,z.
Assim para um tronco de madeira a expresso a ser utilizada seria aquela da
ortotropia retilinear. Por outro lado, ao se considerar a aximetria existente, com a
aproximao de um tronco a um slido de revoluo, entre as deformaes e tenses:
rzrz ;; = a relao entre as constantes de elasticidade se reduz a uma matriz 4x4, como ser visto a seguir. No entanto duas novas situaes podem ocorrer:
T
R
Lz
r

a) Se as fibras estiverem inclinadas em relao ao eixo vertical z . Esta situao
bastante comum acontecer;
b) Se a geratriz, ou no caso da madeira se a medula estiver num ngulo no
coincidente com o eixo de referncia, vertical, z. Esta situao seria poderia
acontecer na intereco do tronco principal com um tronco secundrio.
Figura 12- Tronco com geratriz inclinada.

6. COORDENADAS CURVLINEAS
Neste item feita uma reviso sobre as coordenadas cilndricas.
Seja a seguinte figura:
Figura 13- Sistemas de referncias
Com r,,z ( 02) coordenadas polares e x1,x2,x3coordenadas cartesianas de P. pode-se escrever que:
; ;
;
;
Os versores dos dois sistemas de coordenadas podem ser relacionados por:
; ;
e inversamente por:
; ;
.

que define a matriz (ou o tensor) de transformao de coordenadas entres as bases:
e:
;
sendo M uma matriz ortogonal.
Seja agora a um vetor com componentes ai:(a1a2a3)no sistema cartesiano e
ai#(araaz) no sistema cilndrico. Ento:
Ou pode-se escrever na forma vetorial como:
;
#
Podem-se relacionar estes dois vetores atravs da matriz de transformao de
coordenadas. Assim:
# ;
#
Estendendo-se esta transformao para matrizes, sendo A em coordenadas
cartesianas e A# em cilndricas pode-se obter:
#;
#
com:

#
;
Como os componentes de tenso ou de deformao so tensores de segunda
ordem, portanto podem ser colocados no lugar de A.
#
; #
Observa-se que usual utilizar a notao de para tenses tangenciais e de para as deformaes tangencias, respeitando-se a relao entre e : ( )jiijij 21 += para se manter o caractere tensorial entre as relaes consideradas. Assim tem-se que:
#
As relaes entre estes componentes e aquelas do sistema cartesiano so dadas por
(104).

7. COORDENADAS GLOBAIS E LOCAIS
Caso a)
Seja um sistema de coordenadas global: x1=r;x2=z;x3=e um local: x+1=r;x+2=Tex+3=L.( Chung[2])
A rotao em torno de x+1=x1=r dado por :
Considerando-se, por exemplo, dois autores, Hearmonson e Ting, pode-se ajustar a
transformao dada por (127)e escrever a matriz K, como se segue:
- Transformao de coordenadas:
;
- Relao entre tenses na forma reduzida:
;
e finalmente tem-se KH vale:

A matriz para o outro caso seria a mesma.
A relao entre as coordenadas globais e as locais para um tensor ij(que pode ser a representao de um tronco de uma rvore, devido sua proximidade com a forma de um
cilindro, com as fibras inclinadas se um ngulo do eixo do tronco) escrita por:
ou:
Considerando-se agora a aximetria, onde as deformaes e as tenses:
rzrz ,;, so nulas, pode-se trabalhar com a seguinte relao entre as tenses:
Ou:
,
e as deformaes seriam relacionadas por:
ou:

ou:
A partir destas relaes pode-se fazer o caminho inverso e colocar as coordenadas
globais em funo das locais, obtendo-se, deste modo, as tenses, deformaes e,
especialmente, os elementos da matriz constitutiva. Estes elementos ficariam em funo
daqueles elementos usualmente conhecidos, encontrados na literatura sobre o assunto.
Neste sentido, utilizando produtos de matrizes e matrizes identidades e considerando-se os
ndices L para local e G para global, possvel chegar s seguintes relaes:
e:
Com este procedimento ao se determinar as propriedades de elasticidade pode-se
extrapolar e determinar o comportamento de uma pea cilndrica correspondente a um
tronco de madeira, como na figura:

Figura 14 Coordenadas Globais e Locais num tronco de madeira.
Por exemplo, o mdulo de elasticidade longitudinal na direo da geratriz seria dado por:
ou:
Caso b)
Considera-se, agora, um caso em que a geratriz ou a medula esteja inclinada em
relao vertical. Esta situao pode acontecer numa regio onde se tenha um tronco
secundrio. Poder-se-ia, tambm, analisar outras possibilidades de inclinaes, que se
difereriam pelas matrizes de rotao.
Seja um sistema de coordenadas global: x1=r;x2=z;x3= e um local: x++1=R;x++2=Tex++3=L.
A rotao em torno de x+1=x1=r dado por :

Seja, agora, uma rotao em torno do eixo x++2=T, dado por:
Da a matriz de transformao pode ser escrita por:
A partir desta matriz pode-se determinar a matriz K e consequentemente a relao
entre as coordenadas globais e as locais para um tensor ij escrita por:
e as deformaes seriam relacionadas por:
E a relao entre as constantes de elasticidade, em coordenadas globais e locais ou
vice-versa, determinadas por:
A matriz K pode, como j visto, ser escrita atravs das seguintes sub-matrizes:

Considerando-se, tambm, a aximetria existente, chega-se a expresses
semelhantes do caso anterior, porm mais complexas.
Poder-se-ia pensar numa situao genrica em que estar-se-ia se referindo a
rotaes quaisquer dos eixos principais de elasticidade. Neste caso, poder-se-ia utilizar as
expresses apresentadas no item, associando a aximetria existente.
Outros casos associados a fibras com configurao em especial, apresentada por
Bodig e Jayne[26] e que so comuns em eucaliptos do Brasil necessitaram de um estudo a
parte , tendo em vista que a variao das fibras contnua e as propriedades teriam de ser
analisadas, basicamente, ponto a ponto. Neste caso, talvez, a adoo de uma tcnica de
ensaios no destrutivos possa ser empregada, associada a um mtodo numrico, via algum
programa, como ANSYS.

8. EQUACIONAMENTO DOS DESLOCAMENTOS DO TRONCO CONSIDERANDO-O
COMO UM CILNDRICO
EsteitemfoibaseadonosseguintesautoresLeknhnistkii[12],Malvern[23],Saliklis[24]eGopu[25].
Considereumtroncodemadeiracomaaproximaodeumcilndrocomumacargaaplicadanuma
extremidadecomonafiguraabaixo:
Figura 15- Tronco com uma carga aplicada.
Para se ter a distribuio de tenses e de deformaes necessrio se determinar seis
componentes de tenses e trs projees de deslocamentos satisfazendo as equaes de
equilbrio e as condies de contorno. Ao se considerar o caso de anisotropia cilndrica com
o eixo z de anisotropia pode-se escrever que:
- equaes de equilbrio:
;
;
com R, e Z foras de volume. - relaes deslocamentos-deformaes:
;
;
;
;
P

- relaes constitutivas:
As tenses para este caso particular, no considerando o peso prprio, so dadas por:
;
Substituindo-se estas tenses nas equaes de equilbrio verifica-se que so satisfeitas. Os
deslocamentos podem obtidos pela integrao das deformaes dadas pelas relaes
constitutivas. Assim:
e:
ij o delta de Kronecker, e :
o tensor das deformaes, e:
o tensor das rotaes.
Podendo-se escrever, tambm, que:

sendo eijk o tensor permutador, ou ainda em coordenadas cilndricas:
;
;
;
Assim para se o campo de deslocamentos basta integrar os diferenciais de deslocamentos.
Por exemplo:
E analogamente:
;
Podendo-se observar que os deslocamentos dependem das deformaes e das rotaes. O
termo u0 uma constante relativa s translaes. Os trs ltimos termos desta expresso
podem ser separados pois envolvem rotaes e translaes. Escrevendo-se num sistema
cartesiano usual e considerando-se a conveno de sinais das equaes, tem-se:
Nas outras ordenadas tem-se, analogamente:
;

Lekhnitskii, utiliza coordenadas cilndricas e utilizando-se das relaes constitutivas
escreve os deslocamentos do problema, como se segue:
;
;
onde 1,2,3,u0,v0e w0 so constantes que expressam rotaes e translaes de corpo rgido.
Observa-se que este equacionamento se baseia-se na hiptese de o deslocamento na
direo do eixo do cilindro, nas condies de constncia das tenses nesta direo,
constante.
Verifica-se, depois dos clculos, que as deformaes tangenciais com a hiptese da
aximetria colocada valem:
;
;
Deste modo deve-se ter que S36 deve ser nulo.
As condies de compatibilidade tambm so satisfeitas( estas equaes podem ser
encontradas em Malvern, p.669) :
;
;
;
;
;

As condies de contorno neste caso dadas por:
;
implicam que os deslocamentos ortogonais ao engaste e a rotao no engaste no so
permitidas.
Ao se considerar os casos anteriormente apresentados onde as fibras da madeira esto
inclinadas em relao ao eixo vertical pode-se substituir as constantes de elasticidade no
sistema global pelas constantes do sistema local, como j feito anteriormente. Deste modo,
pode-se trabalhar com um tronco com fibras no verticais.

9. CONCEITUAO TERICA BASEADO EM LEKHNITSKII
Neste item, baseado em Lekhnitskii, ser mostrado conceituao terica a respeito
do clculo dos deslocamentos, deformaes, tenses no caso de um cilindro com carga
axial (constante) aplicada em suas extremidades. A aplicao de momentos fletores e
torsores tambm possvel.
A tenso e a deformao na direo axial so consideradas constantes.
Seja, ento, R e as foras de volume e U*(x,y)o potencial associado por:
;
As equaes de equilbrio se restringem a:
;
,
e as relaes constitutivas :
Fazendo a deformao normal em z igual a D e em seguida isolando-se a tenso
normal nesta direo tem-se:
Introduzindo-se os coeficientes de deformao reduzidos atravs:
, , , , , ,

Observa-se que este tensor simtrico e que 0i33i == , para i =1 a 6. Colocando-se, agora, as deformaes como funo dos deslocamentos pode-se
escrever:
;
;
;
;
;
;
Atravs da integrao das quarta, quinta e sexta equaes pode-se obter os
deslocamentos. Nestas funes esto trs novas funes, ),r(W),,r(V),,r(U . Alm disto, para satisfazer as equaes primeira, segunda e sexta, D ser funo
linear de:
Depois de algumas manipulaes matemticas, Lekhnitskii apresenta dois sistemas,
um para U e V(correspondente a primeira, segunda e sexta equaes de (169)):
;
;
;
e outro para W (corresponde a quinta e quarta equaes):
;

Pela eliminao das funes U, V,W destes sistemas, pode-se ficar com um
sistema de duas equaes, somente em funo das tenses. Para eliminar U e V do
primeiro sistema utilizado da identidade:
utilizada por Hsu e Tang para determinar constante A1.
Quando as funes U,V,Wso determinadas os deslocamentos so determinados
por:
;
;
Nestas equaes esto includos os deslocamentos de corpo rgido escritos por:
; ;

10. FUNO DE AIRY E DE TENSO
Quando se tem o caso das tenses e das deformaes serem independentes de x3
as equaes de equilbrio podem ser escritas como:
, ,
Aqui a vrgula nos ndices indica derivada. Colocando-se que existe um potencial ital que:
,; , ,
Desde que 2112 = tem-se: , ,
De acordo com Ting com a existncia de um funo potencial tal que:
,; ,
Colocando, tambm, que =3 , tem-se: ,; ,; ,;
,; ,
A funo denominada funo de Airy e a funo so denominadas funo de tenso e estas funes satisfazem as equaes de equilbrio.
Colocando-se as equaes constitutivas, com notao reduzida de Ting, e inserindo
os coeficientes de deformao reduzido, tem-se:
Substituindo-se nas tenses as funes de tenso e de Airy chega-se :
, , , , ,
onde:

Considerando-se agora as seguintes equaes de compatibilidade de deformaes,
tambm em notao reduzida:
, , ; , , ,
e inserindo a equao anterior chega-se :
;
com : )BSAS(S12 534333
+= e A, B e so constantes e onde os operadores diferenciais L4L3L2de quarta, terceira e segunda ordem so iguais :
;
;
Com isto Ting apresenta equaes que resultam nas equaes diferenciais de quarta
ordem que daro a soluo das funes de tenso e de Airy.
Hashin[26]utiliza as funes de Airy para se chegar equao diferencial de quarta ordem, num caso plano de tenses, com procedimento anlogo ao de Ting,
chegando :
Os deslocamentos so dados por:
;
onde f e g so funes arbitrrias.

Lekhnitskii considerando o caso da aximetria que existe no caso do cilindro com
carga axial, carga transversal externa e interna (caso de presso), momento torsor
apresentado s seguintes funes de Airy e de tenso, funo apenas da varivel r:
;
As tenses so relacionadas a estas funes por:
; , ;
; ;
O sistema de equaes para as funes de Airy escrito por :
;
atravs do uso da equao(185), e com a transformao em coordenadas cilndricas.
Condies de Contorno
As condies de contorno seriam:
- na surperfcie:
quando : par r == quando: qbr r ==
- nas extremidades:
;
;
Estas duas ltimas condies retratam a carga axial P e o momento torsor M.

A soluo geral para as equaes diferenciais das funes de Airy e de tenso so
as seguintes:
;
com os termos: kk121 g;g;g;k;; so funes dos ij . Apresentando novamente k(como j colocado anteriormente):
Das constantes Cique aparecem nestas equaes C4 e C5so nulas desde que as
tenses so nulas. As tenses so finalmente calculadas por:
;
;
No caso de se ter somente uma carga concentrada nas extremidades as tenses ficam
valendo:
;
;
; ;
;
onde:
;
;
;
;

Para se determinar os deslocamentos a partir das tenses usa-se, ento, as
equaes constitutivas para calcular as deformaes e da por integrao os
deslocamentos.

11. ANLISE DA RETRAO CONSIDERANDO-SE OS COEFICIENTES DE
REDUO DE DEFORMAO
Hsu e Tang [19] fizeram um interessante estudo a respeito da retrao na madeira,
considerando uma pea em forma de tronco sem foras externas. A retrao deve ser
analisada sob o ponto de vista que gera tenses no tronco de madeira.
A retrao (i) devido variao de umidade foi computada como parcelas das relaes tenso deformaes, em coordenadas cilndricas, da seguinte forma:
; ; ;
Devido simetria radial o campo de deslocamentos funo de r e o deslocamento
na direo nulo. Assim as deformaes valem:
;
;
ondec assumido como uma constante.
Desde a deformao em z constante as deformaes so rescritas por:
;
onde:
;
;
;
;
A equao de equilbrio requer que:

Com isto o problema a ser resolvido determinar a soluo desta equao
conjuntamente com as equaes constitutivas, considerando tambm a equao de
compatibilidade das deformaes. Assume-se, ento, uma funo F(r), diferencivel em r ,
tal que:
;
Verifica-se, claramente, que isto satisfaz a equao de equilbrio. As equaes
constitutivas ficam sendo dadas por:
;
Substituindo-se estas deformaes na equao de compatibilidade:
obtem-se que:
e da:
E a forma geral da soluo desta equao diferencial a seguinte:
onde: rrk =
. A tenses so agora determinadas e valem:
;

com trs constantes desconhecidas.
A ttulo de ilustrao so apresentados alguns valores dek na tabela:
Tabela 1- Valores de k para algumas espcies de madeira
Teor de Umidade Espcies 6% 12% 20% Yellow-poplar 0, 677 0, 678 0, 679 Green ash 0, 761 0, 761 0, 760 Engelmann spruce 0, 725 0, 745 0, 745
Citando o trabalho de Ylinen, Hsu e Tang assumem que a parte interna do tronco da
rvore constituda de um material macio. Desprezando-se esta parte o tronco da rvore se
torna um cilindro com uma cavidade interna. Assim o deslocamento deveria ser zero no
centro do cilindro. Desde que k de um modo geral, maior que zerourpara rigual a zero
chega-se A3a igual a zero.
Alm disto, por serem as deformaes contnuas ( em rigual a zero), tem-se:
Chegando-se :
Como no h carga externa, em r igual a R, a tenso nula implicando que:
1k1
2 RAA =
.
Assim as tenses e o deslocamento ficam da seguinte forma:
;
;

A constante c determinada da seguinte modo. Desde que na h carga externa a
tenso no topo ou base do cilindro vale:
;
No caso de isotropia tem-se que as retraes (a, ao,az) so iguais e que k valendo
01(um) chega-se sr=so=0.
Observa-se que a retrao resulta em tenses, deformaes e deslocamentos que
so somadas aquelas advindas de quando se tem uma carga externa. No caso de uma
fora na direo axial, como visto anteriormente, e num caso, por exemplo, de uma carga
transversal. Neste caso a condio de contorno deve ser alterada. Assim quando se tem
uma presso radial externa p no contorno, em r igual R, obtm-se as tenses radial e
tangencial por:
;
;
Esta presso radial visa diminuir as tenses devido retrao. Colocando-se um
anel na extremidade de um tronco estar-se- fazendo isto. A ttulo de ilustrao para uma
presso radial externa de 30 kgf/cm2 , quando se passa da situao verde para 20% de
umidade para algumas espcies de madeira americanas, as tenses tangenciais internas de
compresso diminuem, por exemplo, de 300 para 130 kgf/cm2 e as de trao de 200 para
50 kgf/cm2.
Todo este trabalho desenvolvido por estes pesquisadores baseado em Lekhnitskii,
como j apresentado.

12. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS E BIBLIOGRAFIA
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