UNIVERSIDADEESTADUALDECAMPINAS

FACULDADEDEENGENHARIACIVIL

DepartamentodeEstruturas

TRANSFORMAESDECOORDENADASE

ANISOTROPIA

Prof.Dr.NilsonTadeuMascia

Reviso:Eng.ReinaldoWashingtonMoraes

Campinas, Novembro2009

2 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

TransformaesdeCoordenadaseAnisotropia

NILSONTADEUMASCIA

FECUNICAMP

3 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

Contedo

1. TRANSFORMAO DE COORDENADAS ................................................................................. 4

2. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................................... 10

3. TRANSFORMAO DE COMPONENTES DE TENSO E DE DEFORMAO ............................... 15

4. TRANSFORMAO DE PROPRIEDADES DE ELASTICIDADE ................................................... 18

5. APLICAO DO MODELO ANISOTRPICO CILNDRICO NA MADEIRA. .................................... 22

5.1. Generalidades ......................................................................................................... 22

5.2. Estado de Tenso e de Deformao num Meio Contnuo Anisotrpico ................. 23

5.3. Anisotropia curvilinear ............................................................................................. 25

5.4. Anisotropia cilndrica ............................................................................................... 27

5.5. Concluses ou direes a seguir ............................................................................ 32

6. COORDENADAS CURVLINEAS ........................................................................................... 34

7. COORDENADAS GLOBAIS E LOCAIS ................................................................................... 37

8. EQUACIONAMENTO DOS DESLOCAMENTOS DO TRONCO CONSIDERANDO-O COMO UM

CILNDRICO .............................................................................................................................. 43

9. CONCEITUAO TERICA BASEADO EM LEKHNITSKII .......................................................... 48

10. FUNO DE AIRY E DE TENSO...................................................................................... 51

11. ANLISE DA RETRAO CONSIDERANDO-SE OS COEFICIENTES DE REDUO DE

DEFORMAO .......................................................................................................................... 56

12. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS E BIBLIOGRAFIA ............................................................ 60

4 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

1. TRANSFORMAO DE COORDENADAS

Este desenvolvimento terico, aqui apresentado, foi baseado nos seguintes autores:

Spencer [1], Chung[2], Haskell[3], Renton[4] e Myklestad[5], dentre outros.

Um vetor uma quantidade que independente de qualquer sistema de

coordenadas. Se um vetor introduzido num sistema de coordenadas ele ser representado

por seus componentes, que sero diferentes em diferentes sistemas de coordenadas.

Seja a um vetor, ai seus componentes e ei os vetores unitrios que formam a base

do sistema de coordenadas, tem-se:

..

Considere agora ai* os componentes de a, e ei* os vetores unitrios de outro

sistema de coordenadas obtido a partir de uma rotao de ei com a mesma origem O.

Ento:

..

Seja agora:

..

Onde Mij so os cossenos diretores de ei* relativo ao primeiro sistema de

coordenadas, ei. Ento os Mij so os componentes de ei* no primeiro sistema de

coordenadas. Assim:

..

e a relao recproca de (4), :

..

Pelo fato de ei* serem mutuamente ortogonais entre si, tem-se:

..

e:

5 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

desde que ijji , com i , j de 1 a 3, representam que h uma srie de seis relaes entre as nove componentes de Mij.

Considerando-se agora o seguinte desenvolvimento :

e reciprocamente:

pode-se, ento, relacionar as componentes de a ou ai em quaisquer dois sistemas de

coordenadas atravs do tensor ou matriz de transformao.

usual escrever ao invs de componentes ai as coordenadas de um determinado

ponto P como xi. Neste caso suficiente reescrever as compontentes com a outra notao.

No caso de tensores de segunda ordem aij e *ija , que englobariam as matrizes

equivalentes, a transformao de coordenadas seria:

Generalizando-se para qualquer ordem de tensores, mas at a quarta ordem para o

presente interesse,tem-se:

Considerando Mij como elementos ou componentes de uma matriz quadrada M ,

tem-se:

E pelo fato de:

ou M 1=MT e detM=1 , M definida como matriz ortogonal e denominada matriz de

transformao de coordenadas.

6 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

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Desta forma, a matriz M=Mijque define a nova base em termos de vetores unitrios

da base velha uma matriz ortogonal.

Assim em termos vetoriais (a , a*) e matriciais (M) chega-se a: ( Renton)

Analogamente a (10), com o uso os vetores colunas a e b tem-se que o produto escalar

entre estes vetores dado por:

e com:

onde :

, prova-se do mesmo modo que (7) a ortogonalidade de M.

No caso de matrizes A, A* e vetores a , b ,a* e b* pode-se escrever:

;

Mas:

para qualquer bT , tem-se:

e a transformao inversa seria:

7 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

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Seja agora a seguinte transformao de coordenadas:

com Mij expressando uma rotao positiva, sentido anti-horrio, de xi para em torno da origem do sistema de coordenadas O.

Plano Espao

Figura 1- Sistema de referncia girado em torno de x3

Neste sentido, considerando-se uma rotao positiva (anti-horria) em torno de x3

pode-se escrever:

Considerando-se agora o caso geral com trs rotaes em torno de x1, x2 e de x3,

respectivamente e representados pelos ndices 1,2 e 3. Primeiramente em torno de x1:

Depois em torno de x2:

Da:

8 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

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E finalmente em torno de x3:

Mas recorrendo-se de (21) obtem-se:

Da tem-se:

Colocando-se este equacionamento em termos de equivalentes matrizes pode-se

escrever:

- rotao em torno de x1

-rotao em torno de x2

Observa-se que neste caso o sinal negativo est em outra posio e relaciona com o

posicioonamento dos eixos.

-rotao em torno de x3

Onde x,y e z so chamados de ngulos de Euler. Da:

ou:

9 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

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da:

Observa-se que a ordem da multiplicao de matrizes, por exemplo: [A][BC]=[D]

ou [AB][C]=[D] no importa. No se pode trocar a posio das matrizes pois o produto

de matrizes no , em geral, comutativo.

A figura mostra as trs transformaes realizadas.

Rotao em X3 Rotao em X2 Rotao em X1

Figura 2- Transformaes realizadas

Uma observao importante feita por Myklestad sobre os intervalos dos ngulos de Euler.

Deste modo:

, ,

e y est neste intervalo, pois o efeito de y passando para y+ o mesmo de y passando para y , simultaneamente x para x+ e z para z+ .

10 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

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2. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

Goodman e Bodig [6], em 1970, apresentaram a seguinte relao de transformao

de coordenadas:

A figura mostra os ngulos de rotao.

Figura 3- Transformao de coordenadas de Goodman e Bodig.

Esta transformao pode ser discretizada da seguinte maneira:

- rotao de um ngulo em torno do eixo L:

.

-rotao negativa de um ngulo em torno do eixo R:

.

Da deprende-se a seguinte relao:

11 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

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ou em termos de matrizes:

.

resultando a matriz dada por (35).

Esta transformao tem uma certa limitao pois o eixo L permanece no plano

formado por x1x3.

Uma outra transformao de coordenadas apresentada por Bindzi e Samson [7],

em 1995. Eles determinaram a seguinte relao:

A figura mostra os ngulos de rotao.

Figura 4- Transformao de coordenadas de Bindzi e Samson.

Da mesma forma que a relao anterior pode-se discretizar esta transformao da

seguinte maneira:

-rotao de um ngulo em torno do eixo L :

.

12 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

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- rotao de um ngulo em torno do eixo R :

.

Da pode-se escrever a seguinte relao:

ou em termos de matrizes:

.

Ao se considerar rotaes negativas em torno de L e de R finalmente resultaro a

matriz dada por (40).

Observa-se que nesta transformao R o eixo permanece no plano x y.

Em 1997, Hearmonson e Cramer et alii [8,9] apresentaram a seguinte transformao de

coordenadas:

Da:

13 Transformao de Coordenadas e Anisotropia

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A figura mostra os ngulos de Euler e os sinais correspondentes.

Figura 5- ngulos de Euler.