Transformações de Tensões

7/17/2019 Transformações de Tensões

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INSTITUTO DE TECNOLOGIA - UFPAF ACULDADE DE ENG. MECÂNICA

Parte 1:Transformações de Tensões

Professor: Leonardo Dantas Rodrigues

DISCIPLINA: MECÂNICA DOS SÓLIDOS II



TRANSFORMAÇÕES DE TENSÕES

Avião submetido a ensaios para determinação de esforços desustentação distribuídos nas asas



ESTADO DE TENSÕES (TENSOR DE TENSÕES)• O estado de tensões mais geral em um dado ponto deinteresse pode ser representado por seis componentes, que

podem ser dispostos em uma matriz chamada tensor detensões:

Figura 1.1: Estado de tensões nosistema x-y-z, representado em um

cubo elementar

[ ]

Sendo que, por equilíbrio:

, e

x xy xz

yx y yz

zx zy z

xz zx xy yx yz zy

Tensões

Normais

Tensões

Cisalhantes

Sinal da tensão de cisalhamento: positiva quando estiver para cimaou para a direita nas faces positivas do cubo elementar (x+, y+ e z+) e

para baixo e para a esquerda nas faces negativas (x-, y- e z-).



ESTADO DE TENSÕES (TENSOR DE TENSÕES)• O mais comum é se trabalhar no sistema de eixos x-y-z.Porém, não são raras as situações em que é necessário o

cálculo do estado de tensão em outras direções.

Figura 1.2: Estado de tensão emum sistema aleatório x’-y’-z’

' ' ' ' '

' ' ' ' '

' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

[ ]

Sendo que, por equilíbrio:

, e

x x y x z

y x y y z

z x z y z

x z z x x y y x y z z y

Uma vez obtido o estado de tensões em um sistema dereferência, pode-se obter facilmente o estado de tensões

em quaisquer outras direções.



ESTADO PLANO DE TENSÕES Estado de tensões em que duas faces parelelepípedo

elementar estão livres de qualquer tensão. A grande maioria

dos carregamentos reais podem ser representados por estadosplano de tensões.

Figura 1.3: Representação de um

estado plano de tensões

, e

0

x y xy

z xz yz

Figura 1.4: Exemplo de uma placa fina

Figura 1.5: Exemplo de um eixo maciço



TRANSFORMAÇÃO DO ESTADO PLANO DE TENSÕES

Aplicando equilíbrios de força na fig. 1.6b, tem-se:

Figura 1.5: Estados planosde tensões nos planos: a) x-y;

e b) x’-y’

Figura 1.6: Representaçãomais usual, através de umtriângulo retângulo comhipotenusa igual às arestasdo cubo original.

0 cos cos cos

cos 0

0 cos cos cos

cos 0

x x x xy

y xy

y x y x xy

y xy

F A A A sen

Asen sen Asen

F A A sen A

Asen Asen sen

(1.1)




Resolvendo as equações (1.1) para σx’ e τx’y’, tem-se:

(1.2)2 2

' cos sen 2 sen cos x x y xy

2 2' ' ( )sen cos (cos sen ) x y x y xy (1.3)

Usando as seguintes relações trigonométricas:

(1.4)2 2sen2 2sen cos cos2 (cos sen )

2 2(1 cos 2 ) (1 cos2 )cos sen

2 2

(1.5)




As equações (1.2) e (1.3) podem ser reescritas como:

(1.6)

(1.7)

cos2 22 2

x y x y y xy sen

cos2 22 2

x y x y x xy sen

2 cos22

x y

x y xy sen

Para determinar σy’ , basta substituir θ por θ + 90o em (1.6):

(1.8)



Exemplo 1.1: O estado plano de tensões em um ponto de umaestrutura é dado pelo elemento mostrado na figura 1.7. Determine o

estado de tensões no ponto em outro elemento, orientado a 30o nosentido horário em relação à posição mostrada.

Pela convenção de sinal estabelecida, o estado de tensões em x-y temas seguintes componentes:

80 50 25 x y xy MPa MPa MPa

Figura 1.7

y

x

y

50 MPa

25 MPa

80 MPa




Exemplo 1.1: Solução

Basta aplicar as equações 1.6 a 1.8, tendo como base a figura 1.8 e a

convenção estabelecida de que ângulos no sentido horário sãonegativos.

Figura 1.8


80 50 80 50cos2( 30 ) 2( 30 )

2 2

25,8

o o x xy

x

sen

MPa

'

'

80 50 80 50cos 2(60 ) 2(60 )

2 2

4,15

o o y xy

y

sen

MPa

80 502( 30 ) cos2( 30 )

2

68,8

o o x y xy

x y

sen

MPa



TENSÕES PRINCIPAIS NO PLANO

Em geral, uma das informações mais relevantes na análisede tensões é a orientação dos planos onde ocorrem as

tensões normais máxima e mínima, a máxima tensãode cisalhamento, e os valores dessas tensões.

Para encontrar a orientação das tensões normais máxima emínima (no plano), uma das formas é derivar a equação (1.6) em

relação a θ e igualar o resultado a zero:(2 ) cos(2 ) 0

2

x y x xy

d sen

d

Isolando os termos relacionados θ, tem-se:

2(2 )( )

xy p

x y

tg

A equação (1.9) fornece duas soluções 2θp1 e 2θp2 defasados em 180o.Sendo que, θp1 e θp2 são as direções das tensões normais máxima e

mínima, respectivamente, em relação ao semieixo positivo x.

(1.9)



Substituindo os valores de θp1 e θp2 na equação (1.6), encontra-se osvalores das tensões normais máxima e mínima.

O seno e o cosseno de 2θp1 e 2θp2 são obtidos a partir dos triângulosda figura (1.9), baseado na eq (1.9). Tem-se, para θp1:

1

1

(2 ) 2

cos(2 )2 2

x y

p xy xy

x y x y p xy

sen

Figura 1.9Para θp2:

2

2

(2 )2

cos(2 )

2 2

x y p xy xy

x y x y p xy

sen

(1.10)

(1.11)




Substituindo os dois conjuntos de relações trigonométricas (1.10) e(1.11) na equação (1.6), temos:

2

21,2

2 2

x y x y xy

A equação 1.12 define os valores das tensões normais máxima e mínima no

plano. Estas são chamadas tensões principais.

(1.12)

Nas faces onde atuam as tensões principais, o cisalhamento énulo (figura 1.10)

Figura 1.10




TENSÃO DE CISALHAMENTO M ÁXIMA NO PLANO Para determinar a orientação do elemento em cujas faces atua atensão máxima de cisalhamento no plano, deriva-se a equação (1.7)e iguala-se o resultado a zero. Chega-se então a:

As duas raízes da equação (1.13), θc1 e θc2 são defasados 45o dos ângulosθp1 e θp2 determinados anteriormente. Ou seja, a orientação do

elemento no qual atua a tensão de cisalhamento máxima noplano está a 45o do elemento onde atuam as tensões principais.

(1.13)( )

(2 )2

x yc

xy

tg

Usando procedimento similar ao aplicado anteriormente para as

tensões principais. Pode-se chegar ao valor da tensão máxima decisalhamento no plano, substituindo o seno e o cosseno de 2θc naequação (1.7):

2

2max

2

x y xy

(1.14)



TENSÃO DE CISALHAMENTO M ÁXIMA NO PLANO Substituindo ainda os valores de θc na equação (1.6), chega-se a:

A tensão normal média atua nas faces onde atua a máximatensão de cisalhamento no plano (figura 1.11).

(1.15)( )

2

x ymed

Figura 1.11



TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO M ÁXIMA NO PLANO

Exemplo 1.2: Quando a carga de torção T é aplicada à barra da

figura 1.12, produz um estado de tensões de cisalhamento puro nomaterial. Determinar: a) A tensão de cisalhamento máxima no plano;b) a tensão normal média; e c) As tensões principais no plano.


0 0 x y xy

Figura 1.12




Exemplo 1.2: SOLUÇÃO

- Tensão de cisalhamento máxima no plano:

2

2max

2

x y xy

Os sinais negativo e positivo estão relacionados com a convenção estabelecida.Os sinais sempre se alternarão em positivo e negativo entre faces defasadas

90o para que haja o equilíbrio (testar na equação 1.7).

- Tensão normal média:

( ) (0 0)0

2 2

x ymed




Exemplo 1.2: SOLUÇÃO

- Tensões principais e suas orientações:

Para verificar qual desses ângulos é θp1 e qual é θp2 substitui-se um deles na equação (1.6):

2 2(2 ) 45 135

( ) (0 0)

xy o o p p

x y

tg e

2

2 21,2 0 0

2 2

x y x y xy

0 0cos(2.45 ) (2.45 )o o x sen

Portanto θp1 = 1350 e θp2 = 45o,como mostra a figura 1.13.

Figura 1.13




Exemplo 1.3: Quando a carga axial P é aplicada à barra da figura

1.14, produz um esforço de tração no material, como mostrado.Determinar: a) as tensões principais no plano; b) tensão decisalhamento máxima no plano.


0 0 x y xy

Figura 1.14





A direção das tensões principais está também mostrada na figura1.12: θp1 = 0o e θp2 = 90o.

- Tensões principais:

2

1,2 1 2

0 00

2 2e

- Tensão de cisalhamento máxima no plano e suas direções:

22

max

00

2 2

( 0)(2 ) 45 135

2.0

o oc ctg e





Portanto, a tensão negativa -σ/2atua na face perpendicular ao eixox’, como mostra a figura 1.15.

Para verificar em quais faces atuam as tensões cisalhantes +σ/2 e -σ/2,substitui-se um dos ângulos θc na equação (1.7):

0(2.45 ) 0.cos2.45

2 2

o o x y sen

Figura 1.15




Exercício 1.1: O estado plano de tensões em um ponto de umaestrutura é dado pelo elemento mostrado na figura 1.16. Representar:a) o estado de tensões em termos das tensões principais;b) o estado de tensões em termos da tensão máxima de cisalhamento eda tensão normal média a ela associada.

y

90 MPa

60 MPa

20 MPa

Figura 1.16




Exercício 1.2: O estado plano de tensões em um ponto de umaestrutura é dado pelo elemento mostrado na figura 1.17. Representar:a) o estado de tensões em termos das tensões principais;b) o estado de de tensões em termos da tensão máxima decisalhamento e da tensão normal média a ela associada.

y

10 MPa

40 MPa

50 MPa

Figura 1.17




Exercício 1.3: Um tubo com diâmetro externo igual a 304,8 mm é

fabricado a partir de uma placa com espessura de 6,35 mm que ésoldada formando uma hélice orientada a 22,5o em relação ao plano

perpendicular ao eixo do tubo. Sabendo que uma força axial P de 178

kN e que um torque de 9038 kN.mm são aplicados ao tubo, segundo as

direções mostradas na figura 1.18, determine as tensão normal e

tangencial à solda.

Figura 1.18

Solda

6,35mm

Õ Ã




Exercício 1.4: Uma vide de seção quadrada está submetida a uma

carga inclinada (figura 1.19). Determinar as tensões principais e a decisalhamento máxima no plano, que se desenvolvem nos pontos A e B.Mostrar os resultados em elementos adequadamente orientados.

Figura 1.19

CÍ C O MO



CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE TENSÕES

Desenvolvido pelo engenheiro alemão Otto Mohr, esta é uma

metodologia gráfica, relativamente simples, para encontrartensões em diferentes orientações e mesmo as tensões

principais e máxima de cisalhamento.

Construção do Círculo de Mohr:

• Considerando o elemento da figura 1.10.

Figura 1.10(repetida)

CÍRCULO DE MOHR




Construção do Círculo de Mohr (continuação): (figura1.20)

• Primeiro define-se o sistema de eixos, sendo as tensõesnormais localizadas na abscissa (σ) e as de cisalhamento

localizadas na ordenada (τ);• Representamos um ponto X (σx, -τxy) e um ponto Y (σy, τxy). Seτxy for positiva, como na figura 1.10, o ponto X estará localizadoabaixo do eixo σ e o Y acima, ocorrendo o contrário em caso de

τxy negativa;

• Unindo os pontos X e Y por uma reta definimos o ponto C, queé a interseção do segmento XY com o eixo σ.

• Traça-se então o círculo, de centro C e diâmetro XY.

CÍRCULO DE MOHR




Observações importantes:

1. A abscissa do centro C docírculo é igual à tensãomédia;

2. O raio do círculo é igual àtensão de cisalhamentomáxima no plano;

3. Concluímos assim que ocírculo construído poderepresentar o estado de

tensões apresentado nafigura 1.10 em qualquerorientação;

4. Assim, as abscissas dos pontos A e B em que o círculointercepta o eixo σ representam, respectivamente, as tensões

principais σmax (σ1) e σmin (σ2);

Figura 1.20

σ med

CÍRCULO DE MOHR




Pode-se construir o Círculo de Mohr a partir de um estado de

tensões qualquer σx’ ,σy’ e τx’y’, usando os mesmo procedimentosestabelecidos anteriormente, como mostrado na figura (1.21).

Figura 1.21

CÍRCULO DE MOHR ESTADO PLANO DE



CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE TENSÕES (CASOS PARTICULARES)

Círculo de Mohr para carga axial centrada:

0, xy y x A P

max2

med

P

A

Círculo de Mohr para carga torsional:

J

Tc

xy y x

0 1 2

Tc

J

Figura 1.22

Figura 1.23

CÍRCULO DE MOHR




Exemplo 1.4: Para o estado plano de tensões mostrado na figura

1.24:(a) Construir do círculo de Mohr; e determinar: (b) osplanos principais e as tensões principais, (c) a tensão de cisalhamentomáxima e a tensão normal média correspondente.

Figura 1.24

CÍRCULO DE MOHR





a) Para a construção do círculo de Mohr, usa-se:

MPa504030

MPa40MPa302050

MPa202

1050

2

22

CX R

FX CF

y x

méd

CÍRCULO DE MOHR





b) Tensões principais e suas orientações:

5020max CAOC OA

MPa70max

5020min BC OC OB

MPa30min

1.532

30402tan

p

pCF FX

1 226,6 116,6

p pe

CÍRCULO DE MOHR





c) Tensão de cisalhamento máxima no plano e tensão normal média

71,6c

MPa50max

med

MPa20

45c p Rmax

σ’ = σmed = 20MPa

CÍRCULO DE MOHR




Execício 1.5: Para o estado plano de tensões mostrado na figura

1.25:(a) Construir do círculo de Mohr; e determinar: (b) osplanos principais e as tensões principais, (c) as componentes de tensãoatuantes no elemento obtido pela rotação do elemento de 30o nosentido anti-horário.

y

x

y

60 MPa

48 MPa

100 MPa

Figura 1.25

CÍRCULO DE MOHR




Exercício 1.5:



ESTADO GERAL (TRIAXIAL) DE TENSÕES

Y

x

z

y

yx

xz

xy

yz zy zx

Y

X

Z

z yz xz

yz y xy

xz xy x

1

2

3

0 0

0 0

0 0

Figura 1.26



ESTADO GERAL DE TENSÕES 3 2

1 2 3

1

2 2 22

2 2 23

1 2 3

. . 0

2.

3

.

x y z

x y z x z y xy xz zy

x y z x y z x zy y xz z xy

I I I

I

I

I

Equação ou polinômiocaracterístico tem raízes

quesão os autovalores ou astensões principais

1 1 1 11

1 1 1 1 1 1 1

11 1 1 1

Planos Principais (autovetores):- sãoos planosondeatuamcada uma das tensões principais:

. . . 0

Determinaçãode . . . 0

. . . 0

x x yx y zx z x

xy x y y zy z y

z xz x yz y z z

v v v v

v v v v v v

vv v v

X

Z

Y

1

2

3

0 0

0 0

0 0

z yz xz

yz y xy

xz xy x



CÍRCULO DE MOHR – ESTADO GERAL DE TENSÕES

Se o elemento mostrado na figura 1.27a (tensões principais) sofreuma rotação em torno de um dos eixos principais em Q – como o eixoC, por exemplo (figura 1.27b) – a transformação de tensõescorrespondente poderá ser analisada também pelo Círculo de Mohr.

Figura 1.27(a) (b)

As tensões de cisalhamento que atuam nas facesperpendiculares ao eixo c permanecem nulas e a tensão

normal σc também permanece igual.

Í




Usamos, então, o círculo diâmetro AB para determinar as tensões,

normal e de cisalhamento, que atuam nas faces do elemento quandoele sofre uma rotação em torno do eixo c (figura 1.28). Analogamente,os círculos de diâmetros BC e AB são usados para determinar astensões, normal e de cisalhamento, que atuam nas faces do elementoquando ele sofre uma rotação em torno do eixo a e b,

respectivamente.

Figura 1.28

Í




Embora toda a análise tenha sido limitada em torno dos eixosprincipais, qualquer outra transformação de tensões a partirdos estados de tensões dos elementos mostrado nas figuras1.27a e b levaria a pontos localizados na área sombreada da

figura 1.28

Até o momento, só definimos a máxima tensão de cisalhamento noplano. A partir da figura 1.28, pode-se definir também a máximatensão absoluta:

max max min 1 3

1 2 3

1 1,

2 2:

absou

sendo

A correta utilização da equação 1.16 será essencial para aaplicação do critério de falha de Tresca, que será estudado

mais adiante

(1.16)

CÍRCULO DE MOHR –



CÍRCULO DE MOHR ESTADO GERAL DE TENSÕES

(P ARTICULARIZAÇÃO PARA O ESTADO PLANO)

b) a tensão de cisalhamento máxima para o

elemento é igual à tensão decisalhamento máxima “no plano”

a) as tensões principais correspondentessão as tensões normais máximas emínimas para o elemento

Se os pontos A e B (representando astensões máxima e mínima) estão em

lados opostos da origem, então

No caso do estado plano de tensão, o eixoperpendicular ao plano de tensão é um eixoprincipal (tensão normal e cisalhante são nulas).

c) planos de tensão de cisalhamentomáxima estão a 45º dos planosprincipais.

Figura 1.29(a)

(b)

CÍRCULO DE MOHR –



CÍRCULO DE MOHR ESTADO GERAL DE TENSÕES

(P ARTICULARIZAÇÃO PARA O ESTADO PLANO)

Se A e B estão do mesmo lado daorigem (ou seja, têm o mesmo sinal erepresentam as tensões máxima eintermediária), então

Figura 1.29(a)b) a tensão de cisalhamento

máxima para o elemento é igual ametade da tensão normal máxima.

a) o círculo que define σmax, σmin, eτ max para o elemento não éo círculo correspondente àstransformações de tensão dentrodo plano (a-b).

c) os planos de tensão decisalhamento máxima estão

a 45o

girando o plano“

z-a”

emtorno de b.(b)



EXERCÍCIOS GERAIS

E í i 1 5 U t h fi tá j it d i t d



Exercício 1.5: Um ponto em uma chapa fina está sujeito a dois estadosde tensão sucessivos como mostrado na figura 1.30. Determinar o estadode tensão resultante em relação a um elemento orientado como o dadireita.

Figura 1.30

E í i 1 6 A fib d l t d d i f



Exercício 1.6: As fibras de um elemento de madeira formam umângulo de 15o com a vertical. Para o estado de tensão mostrado,determine: a) a tensão de cisalhamento no plano, paralela às fibras; e(b) a tensão normal perpendicular às fibras.

Figura 1.31

E í i 1 7 O fi d f fí i li E d t



Exercício 1.7: O fixador força a superfície lisa em E quando se aperta oparafuso. Supondo que a força de tração no parafuso seja de 40 kN,determinar as tensões principais nos pontos A e B e mostrar osresultados em elementos localizados em cada um desses pontos.

Figura 1.32

E í i 1 8 A t t t di t ib íd d 200 N/



Exercício 1.8: A estrutura suporta a carga distribuída de 200 N/m.Determine as tensões normal e de cisalhamento que atuam nos pontosD e E, que atuam perpendicular e paralelamente às fibrasrespectivamente.

Figura 1.32

Transformações de Tensões

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