TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS E ANISOTROPIA

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL

Departamento de Estruturas

TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS E ANISOTROPIA

Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia

Campinas, novembro de 2009

Revisão 2021

RrReRevisaõ

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Transformação de Coordenadas e Anisotropia

Nilson Tadeu Mascia

FEC UNICAMP

Conteúdo

1. TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS ................................................................................ 3

2. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................... 9

3. TRANSFORMAÇÃO DE COMPONENTES DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO .............................. 15

4. TRANSFORMAÇÃO DE PROPRIEDADES DE ELASTICIDADE ................................................... 17

5. APLICAÇÃO DO MODELO ANISOTRÓPICO CILÍNDRICO NA MADEIRA. ................................... 23

5.1. Generalidades ....................................................................................................... 23

5.2. Estado de Tensão e de Deformação num Meio Contínuo Anisotrópico ................. 24

5.3. Anisotropia curvilinear ........................................................................................... 26

5.4. Anisotropia cilíndrica .............................................................................................. 28

5.5. Conclusões ou direções a seguir ........................................................................... 33

6. COORDENADAS CURVÍLINEAS .......................................................................................... 35

7. COORDENADAS GLOBAIS E LOCAIS .................................................................................. 37

8. EQUACIONAMENTO DOS DESLOCAMENTOS DO TRONCO CONSIDERANDO-O COMO UM

CILÍNDRICO ............................................................................................................................ 43

9. CONCEITUAÇÃO TEÓRICA BASEADO EM LEKHNITSKII ......................................................... 47

10. FUNÇÃO DE AIRY E DE TENSÃO .................................................................................... 50

11. ANÁLISE DA RETRAÇÃO CONSIDERANDO-SE OS COEFICIENTES DE REDUÇÃO DE

DEFORMAÇÃO ........................................................................................................................ 54

12. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E BIBLIOGRAFIA ........................................................... 63

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Nilson Tadeu Mascia

FEC UNICAMP

NOTA DO AUTOR

ESTAS NOTAS SOBRE TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS E ANISOTROPIA

VISAM APRESENTAR AO LEITOR TÓPICOS TEÓRICOS IMPORTANTES SOBRE A

MECÂNICA DA MADEIRA COM APLICAÇÕES PRÁTICAS SOBRE TENSÕES NA

RETRAÇÃO. ESTE MATERIAL É UTILIZADO EM DISCIPLINAS DE PÓS-GRADUAÇÃO

DO DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS DA FEC, UNICAMP.

AGRADEÇO A REVISÃO E COLABORAÇÃO DO ENG. REINALDO WASHINGTON

MORAES NESTE TRABALHO.

1. TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS

Este desenvolvimento teórico, aqui apresentado, foi baseado nos seguintes autores:

Myklestad (1967), Haskell (1972), Spencer (1980), Renton (1987) e Chung (1996), dentre

outros.

Um vetor é uma quantidade que é independente de qualquer sistema de

coordenadas. Se um vetor é introduzido num sistema de coordenadas ele será representado

por seus componentes, que serão diferentes em diferentes sistemas de coordenadas.

Seja a um vetor, ai seus componentes e ei os vetores unitários que formam a base

do sistema de coordenadas, tem-se:

𝒂 = 𝒂𝒊𝒆𝒊 … . . (𝟏)

Considere agora ai* os componentes de a, e ei* os vetores unitários de outro

sistema de coordenadas obtido a partir de uma rotação de ei com a mesma origem O.

Então:

𝒂 = 𝒂𝒊∗𝒆𝒊

∗ … .. (𝟐)

Seja agora:

𝑴𝒊𝒋 = 𝒆𝒊∗𝒆𝒋… .. (𝟑)

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onde Mij são os cossenos diretores de ei* relativo ao primeiro sistema de coordenadas, ej.

Então os Mij são os componentes de ei* no primeiro sistema de coordenadas. Assim:

𝒆𝒊∗ = 𝑴𝒊𝒋𝒆𝒋… .. (𝟒)

e a relação recíproca de (4) vale:

𝒆𝒋 = 𝑴𝒊𝒋𝒆𝒊∗… .. (𝟓)

Pelo fato de ei* serem mutuamente ortogonais entre si, tem-se:

𝒆𝒊∗ ∙ 𝒆𝒋

∗ = 𝑴𝒊𝒋𝒆𝒓 ∙ 𝑴𝒋𝒔𝒆𝒔 = 𝑴𝒊𝒓𝑴𝒋𝒓𝒆𝒓 ∙ 𝒆𝒔 = 𝑴𝒊𝒓𝑴𝒋𝒔 𝜹𝒓𝒔 = 𝑴𝒊𝒓𝑴𝒋𝒓 = 𝜹𝒊𝒋…(𝟔)

Assim:

𝒆𝒊∗ ∙ 𝒆𝒋

∗ = 𝜹𝒊𝒋… .. (𝟕)

desde que ij=ji , com i , j de 1 a 3, representam que há uma série de seis relações entre

as nove componentes de Mij.

Considerando-se agora o seguinte desenvolvimento :

𝒂 = 𝒂𝒊∗𝒆𝒊

∗ = 𝒂𝒋𝒆𝒋 = 𝒂𝒋𝑴𝒊𝒋𝒆𝒊∗

→ 𝒂𝒊∗ = 𝑴𝒊𝒋𝒂𝒋…(𝟖)

e reciprocamente:

𝒂𝒋 = 𝑴𝒋𝒊𝒂𝒋∗…(𝟗)

pode-se, então, relacionar as componentes de a ou ai em quaisquer dois sistemas de

coordenadas através do tensor ou matriz de transformação.

É usual escrever ao invés de componentes ai as coordenadas de um determinado

ponto P como xi. Neste caso é suficiente reescrever as componentes com a outra notação.

No caso de tensores de segunda ordem aij e *

ija , que englobariam as matrizes

equivalentes, a transformação de coordenadas seria:

𝒂𝒊𝒋∗ = 𝑴𝒊𝒌𝑴𝒋𝒎𝒂𝒌𝒎…(𝟏𝟎)

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Generalizando-se para qualquer ordem de tensores, mas até a quarta ordem para o

presente interesse, tem-se:

𝒂𝒊𝒋𝒌𝒍∗ = 𝑴𝒊𝒎𝑴𝒋𝒏𝑴𝒌𝒑𝑴𝒍𝒒𝒂𝒎𝒏𝒑𝒒…(𝟏𝟏)

Considerando Mij como elementos ou componentes de uma matriz quadrada M ,

tem-se:

𝑴𝑴𝑻 = 𝑰… (𝟏𝟐)

E pelo fato de:

𝑴𝑴−𝟏 = 𝑴𝑴𝑻 = 𝑰… (𝟏𝟑)

ou M -1=MT e det M=1 , M é definida como matriz ortogonal e denominada matriz de

transformação de coordenadas.

Desta forma, a matriz M=Mij que define a nova base em termos de vetores unitários

da base velha é uma matriz ortogonal.

Assim em termos vetoriais (a , a*) e matriciais (M) chega-se a:

𝒂𝒊∗ = 𝑴𝒊𝒋𝒂𝒋 → 𝒂∗ = 𝑴𝒂

𝒂𝒊 = 𝑴𝒋𝒊𝒂𝒋∗ → 𝒂 = 𝑴𝑻𝒂∗…(𝟏𝟒)

Analogamente a (10), com o uso os vetores colunas a e b tem-se que o produto

escalar entre estes vetores é dado por:

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂𝑻 ∙ 𝒃 = 𝒃𝑻 ∙ 𝒂 = [𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝒂𝒛 ] [

𝒃𝒙𝒃𝒚𝒃𝒛

]… (𝟏𝟓)

e com:

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂𝑻 ∙ 𝒃 = 𝒂∗𝑻 ∙ 𝒃∗ = 𝒂𝑻𝑴𝑻𝑴𝒃

∴ 𝒂𝑻𝒃 = 𝒂𝑻 ∙ 𝑴𝑻∗𝑴𝒃 → 𝒂𝑻(𝑴𝑻𝑴− 𝑰)𝒃 = 𝟎

∴ 𝑴𝑻𝑴 = 𝑰…(𝟏𝟔)

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onde : 𝑰 = [𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟏

], prova-se do mesmo modo que (7) a ortogonalidade de M.

No caso de matrizes A, A* e vetores a , b , a* e b* pode-se escrever:

𝒂 = 𝑨𝒃;

𝒂∗ = 𝑨∗𝒃∗…(𝟏𝟕)

Mas:

𝑨∗𝒃∗ = 𝒂∗ = 𝑴𝒂 = 𝑴𝑨𝒃 = 𝑴𝑨𝑴𝑻𝒃∗…(𝟏𝟖)

para qualquer bT , tem-se:

𝑨∗ = 𝑴𝑨𝑴𝑻…(𝟏𝟗)

e a transformação inversa seria:

𝑨 = 𝑴𝑻𝑨∗𝑴…(𝟐𝟎)

Seja agora a seguinte transformação de coordenadas:

𝒂𝒊∗ = 𝑴𝒊𝒋𝒂𝒋…(𝟐𝟏)

com Mij expressando uma rotação positiva, sentido anti-horário, de xi para 𝒙𝒊∗em torno da

origem do sistema de coordenadas O.

Plano Espaço

Figura 1- Sistema de referência girado em torno de x3

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Neste sentido, considerando-se uma rotação positiva (anti-horária) em torno de x3

pode-se escrever:

𝑴𝒊𝒋 = [𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐬𝐞𝐧𝜽 𝟎−𝐬𝐞𝐧𝜽 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝟎𝟎 𝟎 𝟏

]… (𝟐𝟐)

Considerando-se agora o caso geral com três rotações em torno de x1, x2 e de x3,

respectivamente e representados pelos índices 1, 2 e 3. Primeiramente em torno de x1:

𝒂𝒊∗𝟏 = 𝑴𝒊𝒋

𝟏𝒂𝒋…(𝟐𝟑)

Depois em torno de x2:

𝒂𝒊∗𝟐 = 𝑴𝒊𝒋

𝟐𝒂𝒋∗𝟏…(𝟐𝟒)

Daí:

𝒂𝒊∗𝟐 = 𝑴𝒊𝒋

𝟐𝑴𝒋𝒌𝟏 𝒂𝒌…(𝟐𝟓)

E finalmente em torno de x3:

𝒂𝒊∗𝟑 = 𝑴𝒊𝒋

𝟑𝒂𝒋∗𝟐 = 𝑴𝒊𝒋

𝟑𝑴𝒋𝒌𝟐 𝑴𝒌𝒎

𝟏 𝒂𝒎…(𝟐𝟔)

Mas recorrendo-se de (21) obtém-se:

𝒂𝒊∗𝟑 = 𝑴𝒊𝒋𝒂𝒋…(𝟐𝟕)

Daí tem-se:

𝑴𝒊𝒎 = 𝑴𝒊𝒋𝟑𝑴𝒋𝒌

𝟐 𝑴𝒌𝒎𝟏 …(𝟐𝟖)

Colocando-se este equacionamento em termos de equivalentes matrizes pode-se

escrever:

- rotação em torno de x1

𝑴𝒊𝒋𝟏 = [

𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒙 𝐬𝐞𝐧𝜽𝒙𝟎 −𝐬𝐞𝐧𝜽𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒙

] = [𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝒄𝒙 𝒔𝒙𝟎 −𝒔𝒙 𝒄𝒙

]… (𝟐𝟗)

-rotação em torno de x2

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𝑴𝒊𝒋𝟐 = [

𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒚 𝟎 − 𝐬𝐞𝐧𝜽𝒚𝟎 𝟏 𝟎

𝐬𝐞𝐧𝜽𝒚 𝟎 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚

] = [

𝒄𝒚 𝟎 −𝒔𝒚𝟎 𝟏 𝟎𝒔𝒚 𝟎 𝒄𝒚

]… (𝟑𝟎)

Observa-se que neste caso o sinal negativo está em outra posição e relaciona com o

posicionamento dos eixos.

-rotação em torno de x3

𝑴𝒊𝒋𝟑 = [

𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒛 𝐬𝐞𝐧𝜽𝒛 𝟎−𝐬𝐞𝐧𝜽𝒛 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒛 𝟎

𝟎 𝟎 𝟏

] = [𝒄𝒛 𝒔𝒛 𝟎−𝒔𝒛 𝒄𝒛 𝟎𝟎 𝟎 𝟏

]… (𝟑𝟏)

Onde x ,y e z são chamados de ângulos de Euler.

Daí:

𝑴𝒊𝒎 = 𝑴𝒊𝒋𝟑𝑴𝒋𝒌

𝟐 𝑴𝒌𝒎𝟏 …(𝟑𝟐)

ou:

𝑴𝒊𝒎 = [𝒄𝒛 𝒔𝒛 𝟎−𝒔𝒛 𝒄𝒛 𝟎𝟎 𝟎 𝟏

] [

𝒄𝒚 𝟎 −𝒔𝒚𝟎 𝟏 𝟎𝒔𝒚 𝟎 𝒄𝒚

] [𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝒄𝒙 𝒔𝒙𝟎 −𝒔𝒙 𝒄𝒙

]… (𝟑𝟑)

daí:

𝑴𝒊𝒎 = [

𝒄𝒛𝒄𝒚 𝒔𝒛𝒄𝒙 + 𝒄𝒛𝒔𝒚𝒔𝒙 𝒔𝒛𝒔𝒙 − 𝒄𝒛𝒄𝒚𝒄𝒙−𝒔𝒛𝒄𝒚 𝒄𝒛𝒄𝒙 − 𝒔𝒛𝒔𝒚𝒔𝒙 𝒄𝒛𝒔𝒙 + 𝒔𝒛𝒔𝒚𝒔𝒙𝒔𝒚 −𝒄𝒚𝒔𝒙 𝒄𝒚𝒄𝒙

]… (𝟑𝟒)

Observa-se que a ordem da multiplicação de matrizes, por exemplo: [A][BC]=[D]

ou [AB][C]=[D] não importa. Não se pode trocar a posição das matrizes pois o produto

de matrizes não é , em geral, comutativo.

A figura mostra as três transformações realizadas.

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Rotação em X3 Rotação em X2 Rotação em X1

Figura 2- Transformações realizadas

Uma observação importante é feita por Myklestad (1967) sobre os intervalos dos

ângulos de Euler. Deste modo:

𝟎 ≤ 𝜽𝒙 ≤ 𝟐𝝅,𝟎 ≤ 𝜽𝒚 ≤ 𝝅,

𝟎 ≤ 𝜽𝒛 ≤ 𝟐𝝅

e y está neste intervalo, pois o efeito de y passando para y + é o mesmo de y

passando para y - , simultaneamente x para x + e z para z + .

2. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Goodman e Bodig (1970) apresentaram a seguinte relação de transformação de

coordenadas:

{

𝒙𝟏𝒙𝟐𝒙𝟑} = [

𝒄𝒐𝒔 −𝒔𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽

−𝒔𝒆𝒏 −𝒄𝒐𝒔 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔𝜽] {𝑳𝑹𝑻}… (𝟑𝟓)

A figura mostra os ângulos de rotação.

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Figura 3- Transformação de coordenadas de Goodman e Bodig.

Esta transformação pode ser discretizada da seguinte maneira:

- rotação de um ângulo em torno do eixo L:

𝑴𝒊𝒋𝟏 = [

𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽𝟎 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽

]… (𝟑𝟔)

-rotação negativa de um ângulo em torno do eixo R:

𝑴𝒊𝒋𝟐 = [

𝒄𝒐𝒔 𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝟏 𝟎

−𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝒄𝒐𝒔 ]… (𝟑𝟕)

Daí depreende-se a seguinte relação:

𝑴𝒊𝒎 = 𝑴𝒊𝒌𝟐 𝑴𝒌𝒎

𝟏 …(𝟑𝟖)

ou em termos de matrizes:

𝑴𝒊𝒎 = [𝒄𝒐𝒔 𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝟏 𝟎

−𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝒄𝒐𝒔 ] [𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽𝟎 −𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽

] =.… (𝟑𝟗)

resultando a matriz dada por (35) .

Esta transformação tem uma certa limitação pois o eixo L permanece no plano

formado por x1 - x3 .

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Uma outra transformação de coordenadas é apresentada por Bindzi e Samson

(1995). Eles determinaram a seguinte relação:

{𝒙𝒚𝒛} = [

𝒄𝒐𝒔 −𝒔𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝒔𝒆𝒏𝒔𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝐜𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝒔𝒆𝒏𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝒄𝒐𝒔

] {𝑳𝑹𝑻}… (𝟒𝟎)

A figura mostra os ângulos de rotação.

Figura 4- Transformação de coordenadas de Bindzi e Samson.

Da mesma forma que a relação anterior pode-se discretizar esta transformação da

seguinte maneira:

-rotação de um ângulo em torno do eixo L:

𝑴𝒊𝒋𝟏 = [

𝒄𝒐𝒔 𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝟏 𝟎

−𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝒄𝒐𝒔 ] =.… (𝟒𝟏)

- rotação de um ângulo em torno do eixo R :

𝑴𝒊𝒋𝟐 = [

𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽𝟎 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽

] =.… (𝟒𝟐)

Daí pode-se escrever a seguinte relação:

𝑴𝒊𝒎 = 𝑴𝒊𝒌𝟐 𝑴𝒌𝒎

𝟏 …(𝟒𝟏)

ou em termos de matrizes:

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𝑴𝒊𝒎 = [𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝐬𝐞𝐧𝟎 −𝐬𝐞𝐧 𝐜𝐨𝐬

] [𝐜𝐨𝐬 𝐬𝐞𝐧 𝟎−𝐬𝐞𝐧 𝐜𝐨𝐬 𝟎𝟎 𝟎 𝟏

] .… (𝟒𝟒)

Ao se considerar rotações negativas em torno de L e de R finalmente resultarão a

matriz dada por (40).

Observa-se que nesta transformação R o eixo permanece no plano x – y.

Hearmonson (1996) e Hearmonson et al.(1997) apresentaram a seguinte

transformação de coordenadas:

𝑨 = [𝐜𝐨𝐬 𝐬𝐞𝐧 𝟎−𝐬𝐞𝐧 𝐜𝐨𝐬 𝟎𝟎 𝟎 𝟏

] [𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝝆 𝐬𝐞𝐧𝝆𝟎 − 𝐬𝐞𝐧𝝆 𝐜𝐨𝐬 𝝆

] [𝐜𝐨𝐬 𝐬𝐞𝐧 𝟎−𝐬𝐞𝐧 𝐜𝐨𝐬 𝟎𝟎 𝟎 𝟏

]… (𝟒𝟓)

Daí:

𝑨 = [

𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 − 𝒔𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒔𝝆 𝒔𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝒔𝒆𝒏 + 𝒔𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒔𝝆 𝒄𝒐𝒔 𝒔𝒆𝒏 𝒔𝒆𝒏𝝆−𝒔𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒔 − 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔𝝆 𝒔𝒆𝒏 −𝒔𝒆𝒏 𝒔𝒊𝒏 + 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔𝝆 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝒔𝒆𝒏𝝆

𝒔𝒊𝒏𝝆 𝒔𝒆𝒏 −𝒔𝒊𝒏𝝆𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔𝝆]… (𝟒𝟔)

A figura mostra os ângulos de Euler e os sinais correspondentes.

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Figura 5- Ângulos de Euler.

Posto isto, colocou-se estes ângulos em função dos ângulos das arestas , e

das faces de um bloco de madeira , conseguindo relacionar as propriedades de elasticidade

nas direções principais de elasticidade com estes direções. A figura ilustra estes ângulos.

Figura 6- Transformação de coordenadas de Hearmonson.

Daí:

{𝑹𝑻𝑳} = [𝑨] {

𝒙𝒚𝒛} ;

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∴ {𝑹𝑻𝑳} = [

𝒂𝑹𝒙 𝒂𝑹𝒚 𝒂𝑹𝒛𝒂𝑻𝒙 𝒂𝑻𝒚 𝒂𝑻𝒛𝒂𝑳𝒙 𝒂𝑳𝒚 𝒂𝑳𝒛

] {𝒙𝒚𝒛}… (𝟒𝟕)

E as componentes do eixo L no plano x-z resultam:

𝒕𝒈𝜶 =𝒂𝑳𝒙𝒂𝑳𝒛

…(𝟒𝟖)

No plano y-z:

𝒕𝒈𝜷 =𝒂𝑳𝒚

𝒂𝑳𝒛…(𝟒𝟗)

e o ângulo vale:

𝒕𝒈 =𝒂𝑹𝒚

𝒂𝑹𝒙…(𝟓𝟎)

Determinam-se os elementos da matriz de transformação em função dos ângulos

das arestas. Os ângulos de Euler ficam, então, sendo:

= 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 (𝐬𝐞𝐧𝛂𝐜𝐨𝐬𝛃

−𝐜𝐨𝐬𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛃) ;

𝝆 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒔𝒆𝒏𝝆

𝒄𝒐𝒔𝜶𝒔𝒆𝒏 ) ;

= 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 (𝐬𝐞𝐧 𝐜𝐨𝐬 − 𝐜𝐨𝐬 𝐬𝐞𝐧

𝐜𝐨𝐬𝛒 (𝐜𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐬 + 𝐬𝐢𝐧 𝐬𝐞𝐧 )… (𝟓𝟏)

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3. TRANSFORMAÇÃO DE COMPONENTES DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

Como as componentes de tensão se referem a um tensor de segunda ordem, então:

𝝈𝒑𝒒 = 𝑴𝒑𝒊𝑴𝒒𝒋𝝈𝒊𝒋…(𝟓𝟐)

onde ij é o tensor das tensões.

Em termos matriciais:

𝝈∗ = 𝑴 𝝈 𝑴𝑻…(𝟓𝟑)

com valendo:

𝝈 = [

𝝈𝒙 𝝈𝒙𝒚 𝝈𝒛𝒙𝝈𝒚 𝝈𝒚𝒛

𝑺𝒊𝒎. 𝝈𝒛

]… (𝟓𝟒)

Analogamente para as deformações tem-se:

𝜺𝒑𝒒∗ = 𝑴𝒑𝒊𝑴𝒒𝒋𝜺𝒊𝒋…(𝟓𝟓)

E termos de matrizes:

𝜺∗ = 𝑴 𝜺 𝑴𝑻…(𝟓𝟔)

com valendo:

𝜺 = [

𝜺𝒙 𝜺𝒙𝒚 𝜺𝒛𝒙𝜺𝒚 𝜺𝒚𝒛

𝑺𝒊𝒎. 𝜺𝒛

]… (𝟓𝟕)

Introduzindo agora a notação reduzida apresentada por Ting (1987,1996), com os

índices 1, 2 e 3 correspondendo a por exemplo x , y e z , pode-se reescrever as tensões

como:

𝝈𝟏𝟏 = 𝝈𝟏; 𝝈𝟐𝟐 = 𝝈𝟐; 𝝈𝟑𝟑 = 𝝈𝟑;

𝝈𝟐𝟑 = 𝝈𝟒; 𝝈𝟑𝟏 = 𝝈𝟓; 𝝈𝟏𝟐 = 𝝈𝟔; … . (𝟓𝟖)

e as deformações:

𝜺𝟏𝟏 = 𝜺𝟏; 𝜺𝟐𝟐 = 𝜺𝟐; 𝜺𝟑𝟑 = 𝜺𝟑;

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𝟐𝜺𝟐𝟑 = 𝜺𝟒; 𝟐𝜺𝟑𝟏 = 𝜺𝟓; 𝟐𝜺𝟏𝟐 = 𝜺𝟔; … . (𝟓𝟗)

Daí em termos de tensores tem-se:

𝝈𝒊∗ = 𝑲𝒊𝒋𝝈𝒋…(𝟔𝟎)

e:

𝜺𝒊∗ = 𝑲𝒆𝒊𝒋𝜺𝒋…(𝟔𝟏)

com Kij e Keij ,a serem definidos a seguir, seriam equivalentes ao produto Mim Mjn.

Observa-se que a forma reduzida das deformações é diferente da de tensões no que

se refere às deformações tangenciais.

Em termos matriciais:

𝝈∗ = 𝑲𝝈…(𝟔𝟐)

com:

𝑲 = [𝑲𝟏 𝑲𝟐𝑲𝟑 𝑲𝟒

]… (𝟔𝟒)

e:

𝑲𝟏 = [

𝒎𝟏𝟏𝟐 𝒎𝟏𝟐

𝟐 𝒎𝟏𝟑𝟐

𝒎𝟐𝟏𝟐 𝒎𝟐𝟐

𝟐 𝒎𝟐𝟑𝟐

𝒎𝟑𝟏𝟐 𝒎𝟑𝟐

𝟐 𝒎𝟑𝟑𝟐

],

𝑲𝟐 = [

𝒎𝟏𝟐𝒎𝟏𝟑 𝒎𝟏𝟑𝒎𝟏𝟏 𝒎𝟏𝟏𝒎𝟏𝟐

𝒎𝟐𝟐𝒎𝟐𝟑 𝒎𝟐𝟑𝒎𝟐𝟏 𝒎𝟐𝟏𝒎𝟐𝟐

𝒎𝟑𝟐𝒎𝟑𝟑 𝒎𝟑𝟑𝒎𝟑𝟏 𝒎𝟑𝟏𝒎𝟑𝟐

],

𝑲𝟑 = [

𝒎𝟐𝟏𝒎𝟑𝟏 𝒎𝟐𝟐𝒎𝟑𝟐 𝒎𝟐𝟑𝒎𝟑𝟑

𝒎𝟑𝟏𝒎𝟏𝟏 𝒎𝟑𝟐𝒎𝟏𝟐 𝒎𝟑𝟑𝒎𝟏𝟑

𝒎𝟏𝟏𝒎𝟐𝟏 𝒎𝟏𝟐𝒎𝟐𝟐 𝒎𝟏𝟑𝒎𝟐𝟑

],

𝑲𝟒 = [

𝒎𝟐𝟐𝒎𝟑𝟑 +𝒎𝟐𝟑𝒎𝟑𝟐 𝒎𝟐𝟑𝒎𝟑𝟏 +𝒎𝟐𝟏𝒎𝟑𝟑 𝒎𝟐𝟏𝒎𝟑𝟐 +𝒎𝟐𝟐𝒎𝟑𝟏

𝒎𝟑𝟐𝒎𝟏𝟑 +𝒎𝟑𝟑𝒎𝟏𝟐 𝒎𝟑𝟑𝒎𝟏𝟏 +𝒎𝟑𝟏𝒎𝟏𝟑 𝒎𝟑𝟏𝒎𝟏𝟐 +𝒎𝟑𝟐𝒎𝟏𝟏

𝒎𝟏𝟐𝒎𝟐𝟑 +𝒎𝟏𝟑𝒎𝟐𝟐 𝒎𝟏𝟑𝒎𝟐𝟏 +𝒎𝟏𝟏𝒎𝟐𝟑 𝒎𝟏𝟏𝒎𝟐𝟐 +𝒎𝟏𝟐𝒎𝟐𝟏

]… (𝟔𝟓)

Pode-se escrever também:

𝝈 = 𝑲−𝟏𝝈∗…(𝟔𝟔)

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e:

(𝑲−𝟏)𝑻 = [𝑲𝟏 𝑲𝟐𝟐𝑲𝟑 𝑲𝟒

]… (𝟔𝟕)

Mas, também ( como será visto a seguir):

𝜺∗ = (𝑲−𝟏)𝑻𝜺… (𝟔𝟖)

Devido à (58) e (59) a transformação de em notação reduzida é diferente

daquela de .

Para uma rotação em torno de x3 como feito em (22) K é escrita como:

𝑲 =

[

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝟎 𝟎 𝟎 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝟎 𝟎 𝟎 −𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜽 −𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟎

−𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟎 𝟎 𝟎 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽]

… (𝟔𝟗)

e K-1 é escrita trocando-se por - como se segue:

𝐊−𝟏 =

[

𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛉 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛉 𝟎 𝟎 𝟎 −𝟐𝐬𝐞𝐧𝛉 𝐜𝐨𝐬 𝛉𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛉 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛉 𝟎 𝟎 𝟎 𝟐 𝐬𝐞𝐧𝛉 𝐜𝐨𝐬 𝛉𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝛉 𝐬𝐞𝐧𝛉 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 −𝐬𝐞𝐧𝛉 𝐜𝐨𝐬𝛉 𝟎

𝐬𝐞𝐧𝛉 𝐜𝐨𝐬 𝛉 −𝐬𝐞𝐧𝛉 𝐜𝐨𝐬 𝛉 𝟎 𝟎 𝟎 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛉 − 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛉]

… (𝟕𝟎)

4. TRANSFORMAÇÃO DE PROPRIEDADES DE ELASTICIDADE

Sendo a relação entre tensões e deformações escrita por:

𝝈𝒊𝒋 = 𝑪𝒊𝒋𝒌𝒍𝜺𝒌𝒍…(𝟔𝟕)

onde Cijkl é o tensor de constantes de elasticidade, num outro sistema de coordenadas

esta relação tornar-se-ia:

𝝈𝒓𝒔∗ = 𝑪𝒓𝒔𝒑𝒒

∗ 𝜺𝒑𝒒∗ …(𝟔𝟖)

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Com:

𝝈𝒓𝒔∗ = 𝑴𝒓𝒊𝑴𝒋𝒔𝝈𝒊𝒋…(𝟔𝟗),

𝜺𝒌𝒍 = 𝑴𝒑𝒌𝑴𝒒𝒍𝜺𝒑𝒒∗ …(𝟕𝟎),

resulta em:

𝑪𝒓𝒔𝒑𝒒∗ 𝜺𝒑𝒒

∗ = 𝝈𝒓𝒔∗ = 𝑴𝒓𝒊𝑴𝒔𝒋𝝈𝒊𝒋 = 𝑴𝒓𝒊𝑴𝒔𝒋𝑪𝒓𝒔𝒑𝒒𝜺𝒌𝒍 = 𝑴𝒓𝒊𝑴𝒔𝒋𝑪𝒓𝒔𝒑𝒒𝑴𝒑𝒌𝑴𝒒𝒍𝜺𝒑𝒒

∗ … . (𝟕𝟏)

e se segue com:

𝑪𝒓𝒔𝒑𝒒∗ = 𝑴𝒓𝒊𝑴𝒔𝒋𝑴𝒑𝒌𝑴𝒒𝒍𝑪𝒊𝒋𝒌𝒍…(𝟕𝟐)

Analogamente para a relação inversa entre tensões e deformações tem-se:

𝑺𝒓𝒔𝒑𝒒∗ = 𝑴𝒓𝒊𝑴𝒔𝒋𝑴𝒑𝒌𝑴𝒒𝒍𝑺𝒊𝒋𝒌𝒍…(𝟕𝟑)

com Sijkl sendo chamado de tensor de compliância .

Lekhnitskii et al. (1968) e Lekhnitskii (1981) apresenta estas relações constitutivas

também em forma tensorial reduzida através de:

𝑪𝒊𝒋∗ = 𝒒𝒊𝒎𝒒𝒋𝒏𝑪𝒎𝒏

𝑺𝒊𝒋∗ = 𝒒𝒊𝒎𝒒𝒋𝒏𝑺𝒎𝒏…(𝟕𝟒)

com os elementos qij iguais ao elementos da matriz K apresentados anteriormente.

Observa-se que se pode relacionar as formas normal Sijk e reduzida Sij por :

(1) 𝑺𝒊𝒋 = 𝑺𝒎𝒏𝒌𝒍 se i e j valem 1, 2, 3;

(2) 𝑺𝒊𝒋 = 𝟐𝑺𝒎𝒏𝒌𝒍 se um dos dois índices, i ou j, vale 4, 5, 6;

(3) 𝑺𝒊𝒋 = 𝟒𝑺𝒎𝒏𝒌𝒍 se ambos os índices, i e j, valem 4, 5, 6.

Este rearranjo vem do fato da forma reduzida para as deformações tangencial ser

diferenciada das tensões tangenciais por 2. O tensor Cijkl é o mesmo de Cij .

Apresentando–se agora em forma matricial reduzida , com e vetores, pode-se

escrever:

𝝈 = 𝑪…(𝟕𝟓)

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ou:

{

𝝈𝟏𝝈𝟐𝝈𝟑𝝈𝟒𝝈𝟓𝝈𝟔}

=

[ 𝑪𝟏𝟏 𝑪𝟏𝟐 𝑪𝟏𝟑 𝑪𝟏𝟒 𝑪𝟏𝟓 𝑪𝟏𝟔

𝑪𝟐𝟐 𝑪𝟐𝟑 𝑪𝟐𝟒 𝑪𝟐𝟓 𝑪𝟐𝟔𝑪𝟑𝟑 𝑪𝟑𝟒 𝑪𝟑𝟓 𝑪𝟑𝟔

𝑪𝟒𝟒 𝑪𝟒𝟓 𝑪𝟒𝟔𝑺𝒊𝒎. 𝑪𝟓𝟓 𝑪𝟓𝟔

𝑪𝟔𝟔]

{

𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔}

…(𝟕𝟔)

e a relação inversa por:

= 𝑺𝝈…(𝟕𝟕)

e:

{

𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔}

=

[ 𝑺𝟏𝟏 𝑺𝟏𝟐 𝑺𝟏𝟑 𝑺𝟏𝟒 𝑺𝟏𝟓 𝑺𝟏𝟔

𝑺𝟐𝟐 𝑺𝟐𝟑 𝑺𝟐𝟒 𝑺𝟐𝟓 𝑺𝟐𝟔𝑺𝟑𝟑 𝑺𝟑𝟒 𝑺𝟑𝟓 𝑺𝟑𝟔

𝑺𝟒𝟒 𝑺𝟒𝟓 𝑺𝟒𝟔𝑺𝒊𝒎. 𝑺𝟓𝟓 𝑺𝟓𝟔

𝑺𝟔𝟔]

{

𝝈𝟏𝝈𝟐𝝈𝟑𝝈𝟒𝝈𝟓𝝈𝟔}

…(𝟕𝟖)

Num outro sistema de coordenadas, estas relações (75) e (77) podem ser obtidas

da seguinte maneira:

𝝈∗ = 𝒌𝝈 ⇒ (𝝈∗)𝑻 = (𝒌𝝈)𝑻…(𝟕𝟗)

Utilizando-se da propriedade de matrizes (ou tensores)transpostas :

𝑪𝑻 = (𝑨𝑩)𝑻 = 𝑩𝑻𝑨𝑻,

𝑪𝒊𝒋𝑻 = 𝑪𝒋𝒊 = 𝑨𝒋𝒌𝑩𝒌𝒊 = 𝑩𝒌𝒊𝑨𝒋𝒌…(𝟖𝟎)

Obtêm-se:

𝝈∗𝑻 = 𝝈𝑻𝑲𝑻…(𝟖𝟏)

Colocando-se que a energia de deformação (W ) pode ser escrita por:

𝑾 =𝟏

𝟐𝝈𝑻 =

𝟏

𝟐𝑻𝝈…(𝟖𝟐)

E sendo a energia independente do sistema de referência chega-se a:

20


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𝑾 =𝟏

𝟐𝝈𝑻 =

𝟏

𝟐𝑻𝝈 = 𝑾∗

𝟏

𝟐𝝈∗𝑻∗ =

𝟏

𝟐∗𝑻𝝈∗…(𝟖𝟑)

Portanto:

𝝈𝑻𝜺 = 𝝈∗𝑻𝜺∗ = 𝝈𝑻𝑲𝑻𝜺∗ ⇒ 𝜺 = 𝑲𝑻𝜺∗

∴ 𝜺∗ = (𝑲𝑻)−𝟏𝜺… (𝟖𝟒)

Com (81), num outro sistema de coordenadas, e (84):

𝝈∗ = 𝑪∗𝜺∗ = 𝑲𝝈 = 𝑲𝑪𝜺 = 𝑲𝑪𝑲𝑻𝜺∗…(𝟖𝟓)

resultando em:

𝑪∗ = 𝑲𝑪𝑲𝑻…(𝟖𝟔)

E similarmente para a matriz de compliância, utilizando-se

𝜺∗ = 𝑺∗𝝈∗…(𝟖𝟕)

e também:

𝜺∗ = (𝑲𝑻)−𝟏𝜺… (𝟖𝟖)

𝜺 = 𝑺𝝈…(𝟖𝟗)

𝝈 = 𝑲−𝟏𝝈∗…(𝟗𝟎)

e daí:

𝜺∗ = (𝑲𝑻)−𝟏𝑺𝝈 = (𝑲𝑻)−𝟏𝑺𝑲−𝟏𝝈∗…(𝟗𝟏)

Portanto:

𝑺∗ = (𝑲𝑻)−𝟏𝑺𝑲−𝟏…(𝟗𝟐)

Hermanson (1996) apresenta a matriz T, similar a K, associando os eixos principais

de elasticidade da madeira com os eixos da borda de um corpo de prova cúbico. Desta

forma, fazendo-se a seguinte analogia: os primeiros índices dos elementos de K, mij,1, 2 e

3 seriam iguais a R, T e L e os segundos índices 1, 2, e 3 iguais a x, y e z.

Por exemplo, a matriz K1 ficaria igual a:

21


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𝑲𝟏 = [

𝒂𝑹𝒙𝟐 𝒂𝑹𝒚

𝟐 𝒂𝑹𝒛𝟐

𝒂𝑻𝒙𝟐 𝒂𝑻𝒚

𝟐 𝒂𝑻𝒛𝟐

𝒂𝑳𝒙𝟐 𝒂𝑳𝒚

𝟐 𝒂𝑳𝒛𝟐

]… (𝟗𝟑)

Por exemplo os elementos S11 , S 22 , S 33 seriam dados por:

𝟏

𝑬𝒊=𝒂𝑹𝒊𝟒

𝑬𝑹+𝒂𝑻𝒊𝟒 − 𝟐𝒂𝑹𝒊

𝟐 𝒂𝑻𝒊𝟐 𝒗𝑻𝑹

𝑬𝑻+𝒂𝑳𝒊𝟒 − 𝟐𝒂𝑹𝒊

𝟐 𝒂𝑳𝒊𝟐 𝒗𝑳𝑹 − 𝟐𝒂𝑻𝒊

𝟐 𝒂𝑳𝒊𝟐 𝒗𝑳𝒕

𝑬𝑳+𝒂𝑻𝒊𝟐 𝒂𝑳𝒊

𝟐

𝑮𝑻𝑳+𝒂𝑳𝒊𝟐 𝒂𝑹𝒊

𝟐

𝑮𝑳𝑹+𝒂𝑹𝒊𝟐 𝒂𝑻𝒊

𝟐

𝑮𝑹𝑻…(𝟗𝟒)

com i=x,y,z .

E os S44 , S55 e S66 por:

𝟏

𝑮𝒊𝒋=𝟒𝒂𝑹𝒊

𝟐 𝒂𝑹𝒋𝟐

𝑬𝑹+𝟒𝒂𝑻𝒊

𝟐 𝒂𝑻𝒋𝟐 − 𝟖𝒂𝑹𝒊𝒂𝑹𝒋𝒂𝑻𝒊𝒂𝑻𝒋𝒗𝑻𝑹

𝑬𝑻+𝟒𝒂𝑳𝒊

𝟐 𝒂𝑳𝒋𝟐 − 𝟖𝒂𝑳𝒊𝒂𝑳𝒋𝒂𝑹𝒊𝒂𝑹𝒋𝒗𝑳𝑹 − 𝟖𝒂𝑳𝒊𝒂𝑳𝒋𝒂𝑻𝒊𝒂𝑻𝒋𝒗𝑳𝑻

𝑬𝑳

+𝒂𝑳𝒊𝟐 𝒂𝑻𝒋

𝟐 + 𝒂𝑳𝒋𝟐 𝒂𝑻𝒊

𝟐 + 𝟐𝒂𝑳𝒊𝒂𝑳𝒋𝒂𝑻𝒊𝒂𝑻𝒋

𝑮𝑻𝑳+𝒂𝑹𝒊𝟐 𝒂𝑳𝒋

𝟐 + 𝒂𝑹𝒋𝟐 𝒂𝑳𝒊

𝟐 + 𝟐𝒂𝑹𝒊𝒂𝑹𝒋𝒂𝑳𝒊𝒂𝑳𝒋

𝑮𝑳𝑹

+𝒂𝑻𝒊𝟐 𝒂𝑹𝒋

𝟐 + 𝒂𝑻𝒋𝟐 𝒂𝑹𝒊

𝟐 + 𝟐𝒂𝑹𝒊𝒂𝑹𝒋𝒂𝑻𝒊𝒂𝑻𝒋

𝑮𝑹𝑻…(𝟗𝟓)

com

ij = yz, zx, xy.

À título de ilustrado seguem duas figuras mostrando a variação dos módulos de

elasticidade longitudinal e transversal da espécie de madeira Pinus Caribaea em função de

dois ângulos de Euler da Figura 6, associados com as expressões (94) e (95), Mascia e Lahr

(2006).

22


Nilson Tadeu Mascia

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Figura 7- Variação do módulo de elasticidade longitudinal em fi=unção de ângulos de

Euler.

Figura 8-Variação do módulo de elasticidade transversal em função de ângulos de

Euler.

23


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5. APLICAÇÃO DO MODELO ANISOTRÓPICO CILÍNDRICO NA MADEIRA.

5.1. Generalidades

Este texto refere-se aos conceitos teóricos da anisotropia cilíndrica aplicada ao

material madeira. Este estudo está baseado em pesquisadores como Carrier (1943),

Hearmon (1948), Green e Zerna (1954), Lekhnitskii, et al. (1968), Foschi (1970), Hsu e Tang

(1974), Noack e Roth (1976), Mascia e Lahr (2006), dentre outros.

Carrier (1943) apresenta uma análise matemática sobre placas finas de um material

com propriedade de anisotropia cilíndrica. São feitas algumas aplicações considerando-se o

estado plano de tensões. Utilizando as equações de equilíbrio, as relações deformação-

deslocamento e a Lei de Hooke, em coordenadas cilíndricas, pode-se chegar à função de

Airy () para este caso:

{

𝝈𝒓 =

𝟏

𝒓

𝝏

𝝏𝒓+

𝟏

𝒓𝟐𝝏𝟐

𝝏𝜽

𝝈𝜽 =𝝏𝟐

𝝏𝟐𝒓

𝝉𝒓𝜽 = −𝝏

𝝏𝒓[𝟏

𝒓

𝝏

𝝏𝜽]

… (𝟗𝟔)

Com o emprego de uma função de tensão em termos de r e , são construídos

diagramas de tensões e de deformações para placas carregadas na direção radial.

Outra aplicação da função de tensão é feita por Foschi (1970) no estudo de

estruturas curvas de madeira. Seguindo a mesma base teórica de Carrier (1943), Foschi

(1970) fez uma análise numérica, via elementos finitos, destas estruturas, com anisotropia

cilíndrica.

Com base nestes trabalhos, Noack e Roth (1976), apresentam uma interessante

análise matemática da teoria da elasticidade de materiais ortotrópicos, considerando-se a

anisotropia romboédrica (retilinear) e a cilíndrica. Em seguida são feitas algumas aplicações

da teoria para estruturas curvas em madeira laminada.

Green e Zerna (1954) apresentam um estudo sobre a distribuição de tensões numa

peça tracionada com um orifício interno. Estas distribuições são comparadas com um

material isotrópico e podem-se observar os diferentes comportamentos quando as tensões

são aplicadas longitudinalmente e quando são aplicadas normalmente a direção longitudinal.

24


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A seguir é apresentada a conceituação teórica da anisotropia cilíndrica, tendo como

base os trabalhos de Lekhnistikii (1981).

5.2. Estado de Tensão e de Deformação num Meio Contínuo Anisotrópico

No estudo dos estados de tensão e de deformação num sólido anisotrópico

produzido por cargas externas, devem-se considerar as seguintes hipóteses:

- as tensões em qualquer plano do sólido e sua superfície são forças por área;

- pequenas deformações;

- material segue a Lei de Hooke;

- tensões iniciais sem relação com a carga externa são desprezíveis (tensões

térmicas, por exemplo).

Desse modo, pode-se aproximar a teoria da anisotropia elástica para a teoria

clássica da elasticidade linear homogênea ou não homogênea. Assim problemas de

dinâmica, instabilidade, vibrações, grandes deformações, assim como anisotropia não

elástica não são consideradas.

O sistema de referência é o cilíndrico r,, z e o tensor das tensões é dado por:

[

𝝈𝒓 𝝉𝒓𝜽 𝝉𝒓𝒛𝝉𝒓𝜽 𝝈𝜽 𝝉𝜽𝒛𝝉𝒓𝒛 𝝉𝜽𝒛 𝝈𝒛

]… (𝟗𝟕)

- em coordenadas cartesianas:

[

𝝈𝒙 𝝉𝒙𝒚 𝝉𝒙𝒛𝝉𝒙𝒚 𝝈𝒚 𝝉𝒚𝒛𝝉𝒙𝒛 𝝉𝒚𝒛 𝝈𝒛

]… (𝟗𝟖)

como se pode observar na figura:

25


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Figura 9- Tensões -Sistema cartesiano e cilíndrico de coordenadas.

As projeções de deslocamento de um ponto, de modo geral, são escritos por:

ur, u , uz em coordenadas cilíndricas.

O tensor das deformações é dado por:

[ 𝜺𝒙

𝟏

𝟐𝒙𝒚

𝟏

𝟐𝒙𝒛

𝟏

𝟐𝒙𝒚

𝜺𝒚𝟏

𝟐𝒚𝒛

𝟏

𝟐𝒙𝒛

𝟏

𝟐𝒚𝒛

𝜺𝒛 ]

… (𝟗𝟗)

As relações deformações-deslocamento são dadas por:

- sistema cartesiano:

{

𝜺𝒙 =

𝝏𝒖𝒓𝝏𝒙

𝜺𝜽 =𝝏𝒗

𝝏𝒚 𝜺𝒛 =

𝝏𝒘

𝝏𝒛

𝒙𝒛=𝝏𝒗

𝝏𝒛+𝝏𝒘

𝝏𝒚 𝒙𝒛=𝝏𝒖

𝝏𝒛+𝝏𝒘

𝝏𝒙 𝒙𝒚=𝝏𝒖

𝝏𝒚+𝝏𝒗

𝝏𝒙… (𝟏𝟎𝟎)

- sistema cilíndrico

{𝜺𝒓 =

𝝏𝒖𝒓𝝏𝒓

𝜺𝜽 =𝟏

𝒓

𝝏𝒖𝜽𝝏𝜽

+𝒖𝒓𝒓

𝒓𝜽=𝟏

𝒓

𝝏𝒖𝒓𝝏𝜽

+𝝏𝒖𝜽𝝏𝒓


−𝒖𝜽𝒓

𝜽𝒛=𝝏𝒖𝜽𝝏𝒛

+𝟏

𝒓

𝝏𝒘

𝝏𝜽

{𝜺𝒛 =

𝝏𝒘

𝝏𝒛

𝒓𝒛=𝝏𝒘

𝝏𝒓+𝝏𝒖𝒓𝝏𝒛

… (𝟏𝟎𝟏)

26


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Finalmente as equações de equilíbrio são dadas por:

- sistema cartesiano:

{

𝝏𝝈𝒙𝝏𝒙

+𝝏𝝉𝒙𝒚

𝝏𝒚+𝝏𝝉𝒙𝒛𝝏𝒛

+ 𝑿 = 𝟎

𝝏𝝉𝒙𝒚

𝝏𝒙+𝝏𝝈𝒚

𝝏𝒚+𝝏𝝉𝒚𝒛

𝝏𝒛+ 𝒀 = 𝟎

𝝏𝝉𝒙𝒛𝝏𝒙

+𝝏𝝉𝒚𝒛

𝝏𝒚+𝝏𝝈𝒛𝝏𝒛

+ 𝒁 = 𝟎

… (𝟏𝟎𝟐)

- sistema cilíndrico:

{

𝝏𝝈𝒓𝝏𝒓

+𝟏

𝒓

𝝏𝝉𝒓𝜽𝝏𝜽

+𝝏𝝉𝒓𝒛𝝏𝒛

+𝝈𝒓 − 𝝈𝜽

𝒓+ 𝑹 = 𝟎

𝝏𝝉𝒓𝜽𝝏𝒓

+𝟏

𝒓

𝝏𝝈𝜽𝝏𝜽

+𝝏𝝉𝜽𝒛𝝏𝜽

+𝟐𝝉𝒓𝜽𝒓

+ 𝜽 = 𝟎

𝝏𝝉𝒓𝒛𝝏𝒓

+𝟏

𝒓

𝝏𝝉𝜽𝒛𝝏𝜽

+𝝏𝝈𝒛𝝏𝒛

+𝝉𝒓𝒛𝒓+ 𝒁 = 𝟎

… (𝟏𝟎𝟑)

5.3. Anisotropia curvilinear

Lekhnitskii (1981) descreve que num sólido homogêneo com anisotropia retolinear,

todas as direções paralelas são equivalentes com respeito às propriedades de elasticidade,

e todos os elementos na forma de paralelepípedo retangular com respectivas faces

paralelas tem as mesmas propriedades de elasticidade.

Sólidos homogêneos podem ter anisotropia curvilinear ou retolinear. A anisotropia

curvilinear é caracterizada por direções equivalentes não paralelas, mas obedecendo

algumas leis. Ao se escolher um sistema de referência com coordenadas ortogonal

curvilinear, de tal modo que as direções em cada ponto coincidam com as direções

equivalentes, relativo às propriedades de elasticidade, percebe-se que, os elementos

infinitesimais isolados por três pares de planos coordenados terão as mesmas propriedades

de elasticidade.

A madeira, devido a sua própria constituição (interna e externa), revela-se

ortotrópica. Podendo-se citar Perkins (1967) e Mascia (1991) a respeito de se considerar o

comportamento homogêneo num nível macroscópico, porém heterogêneo a nível

microscópico. Os eixos de simetria elástica são os eixos longitudinal, L, tangencial, T, e

27


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radial, R. Observa-se, claramente, que dependendo da curvatura dos anéis de crescimento,

a superfície L-T não é plana, mas se aproxima de um configuração cilíndrica, a superfície

L-R se dispõe buscando o centro desta suposta curva cilíndrica. Finalmente, observa-se

que a camada R-T é formada por curvas aproximadamente concêntricas, tendo-se como

referência o eixo longitudinal.

Isto implica em que, dependente desta configuração, pode-se associar a madeira

tanto a anisotropia retilinear quanto a anisotropia curvilinear. No primeiro caso os eixos

cartesianos x, y, z são os eixos L, T, R, e no segundo caso, associa-se os eixos do

sistema curvilíneo r, , z aos eixos R, T, L.

Figura 10- Sólido homogêneo, com anisotropia curvilinear.

Considere-se, então, um sólido homogêneo, com anisotropia curvilinear e que

obedeça a Lei de Hooke generalizada, isto é, as componentes de deformação são funções

lineares das componentes de tensão e vice-versa. As coordenadas em questão são ,,.

Assumindo que exista um potencial elástico, a Lei de Hooke generalizada neste caso

pode ser escrita por:

{

}

=

[ 𝑺𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑺𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑺𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑺𝟏𝟏𝟏𝟐 𝑺𝟏𝟏𝟐𝟑 𝑺𝟏𝟏𝟑𝟏

𝑺𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑺𝟐𝟐𝟑𝟑 𝑺𝟐𝟐𝟏𝟐 𝑺𝟐𝟐𝟐𝟑 𝑺𝟐𝟐𝟑𝟏𝑺𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑺𝟑𝟑𝟏𝟐 𝑺𝟑𝟑𝟐𝟑 𝑺𝟑𝟑𝟑𝟏

𝑺𝟏𝟐𝟏𝟐 𝑺𝟏𝟐𝟐𝟑 𝑺𝟏𝟐𝟑𝟏𝑺𝒊𝒎. 𝑺𝟐𝟑𝟐𝟑 𝑺𝟐𝟑𝟑𝟏

𝑺𝟑𝟏𝟑𝟏]

{

𝝈𝝈𝝈𝝈𝝈𝝈}

…(𝟏𝟎𝟒)

28


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Estas equações contem, em geral, 21 constantes de elasticidade, mas somente 18

delas independentes, da mesma maneira de um sólido anisotrópico linear. Neste caso, as

equações da Lei de Hooke podem ser escritas num sistema ortogonal, mas os termos Sijkl

não seriam constantes na anisotropia curvilinear, devido à mudança de direção das

coordenadas. A equação acima é simplificada, pois o sólido exibe simetria elástica e estas

simplificações são as mesmas do caso de anisotropia retolinear. Assim, pode-se falar em

ortotropia curvilinear, isotropia transversal para qualquer ,,.

Por outro lado, o conceito de anisotropia curvilinear pode ser generalizado para

sólidos não homogêneos, uma vez que Sijkl é função da posição. Isto torna o problema e a

solução ainda mais complexo.

Dos diversos tipos de anisotropia curvilinear, dois são de maior interesse:

(1) anisotropia cilíndrica;

(2) anisotropia esférica,

mas somente a primeira será aqui analisada.

5.4. Anisotropia cilíndrica

Lekhnistikii apresenta as simplificações que existem na equação (104) em vista

das considerações de simetria elástica. Deste modo, seja uma linha reta g um eixo de

anisotropia com relação a um sólido. Todas as direções paralelas a g, e passando por

diferentes pontos são equivalentes; todas as direções que interceptam g por ângulos retos

(radial) são também equivalentes; e todas as direções ortogonais as duas primeiras são

equivalentes se elas forem confinadas a três pares de superfícies:

- dois planos normais a g, dois planos passando por g e duas superfícies cilíndricas

com eixo g em comum.

29


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Figura 11- Direções paralelas e equivalentes.

Tomando-se o eixo de anisotropia g como eixo z de um sistema de coordenadas

cilíndrico r, , z pode-se escrever a Lei de Hooke como:

{

𝜺𝒓 = 𝑺𝟏𝟏𝝈𝒓 + 𝑺𝟏𝟐𝝈𝜽 + 𝑺𝟏𝟑𝝈𝒛 + 𝑺𝟏𝟒𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟏𝟓𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟏𝟔𝝉𝒓𝜽𝜺𝜽 = 𝑺𝟏𝟐𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟐𝝈𝜽 + 𝑺𝟐𝟑𝝈𝒛 + 𝑺𝟐𝟒𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟐𝟓𝝉𝒛𝒓 + 𝑺𝟐𝟔𝝉𝒓𝜽𝜺𝒛 = 𝑺𝟏𝟑𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟑𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟑𝝈𝒛 + 𝑺𝟑𝟒𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟑𝟓𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟑𝟔𝝉𝒓𝜽𝜽𝒛= 𝑺𝟏𝟒𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟒𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟒𝝈𝒛 + 𝑺𝟒𝟒𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟒𝟓𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟒𝟔𝝉𝒓𝜽

𝒓𝒛= 𝑺𝟏𝟓𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟓𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟓𝝈𝒛 + 𝑺𝟒𝟓𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟓𝟓𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟓𝟔𝝉𝒓𝜽

𝒓𝜽= 𝑺𝟏𝟔𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟔𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟔𝝈𝒛 + 𝑺𝟒𝟔𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟓𝟔𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟔𝟔𝝉𝒓𝜽

…(𝟏𝟎𝟓)

Se o sólido é não homogêneo, os coeficientes Sijkl são funções das coordenadas

cilíndricas.

É essencial relatar que se o eixo de anisotropia passa fora do sólido, por exemplo,

dentro de uma cavidade, as equações anteriores não são questionáveis. Mas se o eixo de

anisotropia passa através do sólido homogêneo, é necessário existir relações entre os

diferentes Sijkl . Além disto, com o z coincidindo com o eixo g não há diferença entre as

direções r e , e todas as direções r devem ser equivalentes não somente entre elas, mas

também entre todas as direções tangenciais . Quando se tem r = , ou seja,

intercambiando os índices r por e vice-versa, a Lei de Hooke se torna:

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{

𝜺𝒓 = 𝑺𝟐𝟐𝝈𝒓 + 𝑺𝟏𝟐𝝈𝜽 + 𝑺𝟐𝟑𝝈𝒛 + 𝑺𝟐𝟓𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟐𝟒𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟐𝟔𝝉𝒓𝜽𝜺𝜽 = 𝑺𝟏𝟐𝝈𝒓 + 𝑺𝟏𝟏𝝈𝜽 + 𝑺𝟏𝟑𝝈𝒛 + 𝑺𝟏𝟓𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟏𝟒𝝉𝒛𝒓 + 𝑺𝟏𝟔𝝉𝒓𝜽𝜺𝒛 = 𝑺𝟐𝟑𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟑𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟑𝝈𝒛 + 𝑺𝟑𝟓𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟑𝟒𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟑𝟔𝝉𝒓𝜽𝜽𝒛= 𝑺𝟐𝟒𝝈𝒓 + 𝑺𝟏𝟓𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟒𝝈𝒛 + 𝑺𝟓𝟓𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟒𝟔𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟒𝟓𝝉𝒓𝜽

𝒓𝒛= 𝑺𝟐𝟓𝝈𝒓 + 𝑺𝟏𝟒𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟒𝝈𝒛 + 𝑺𝟒𝟓𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟒𝟒𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟓𝟔𝝉𝒓𝜽

𝒓𝜽= 𝑺𝟐𝟔𝝈𝒓 + 𝑺𝟏𝟔𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟔𝝈𝒛 + 𝑺𝟒𝟓𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟓𝟔𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟔𝟔𝝉𝒓𝜽

…(𝟏𝟎𝟔)

ou:

{

𝜺𝒓𝒓𝜺𝜽𝜽𝜺𝒛𝒛𝜺𝒓𝜽𝜺𝜽𝒛𝜺𝒛𝒓}

=

[ 𝑺𝟏𝟏 𝑺𝟏𝟐 𝑺𝟏𝟑 𝑺𝟏𝟒 𝑺𝟏𝟓 𝑺𝟏𝟔

𝑺𝟐𝟐 𝑺𝟐𝟑 𝑺𝟐𝟒 𝑺𝟐𝟓 𝑺𝟐𝟔𝑺𝟑𝟑 𝑺𝟑𝟒 𝑺𝟑𝟓 𝑺𝟑𝟔

𝑺𝟒𝟒 𝑺𝟒𝟓 𝑺𝟒𝟔𝑺𝒊𝒎. 𝑺𝟓𝟓 𝑺𝟓𝟔

𝑺𝟔𝟔]

{

𝝈𝒓𝒓𝝈𝜽𝜽𝝈𝒛𝒛𝝈𝒓𝜽𝝈𝜽𝒛𝝈𝒛𝒓}

…(𝟏𝟎𝟕)

Comparando-se os sistemas, obtêm-se as igualdades:

𝑺𝟐𝟐 = 𝑺𝟏𝟏, 𝑺𝟐𝟑 = 𝑺𝟏𝟑, 𝑺𝟓𝟓 = 𝑺𝟒𝟒, 𝑺𝟐𝟔 = 𝑺𝟏𝟔𝑺𝟑𝟓 = 𝑺𝟑𝟒, 𝑺𝟓𝟔 = 𝑺𝟒𝟔, 𝑺𝟐𝟒 = 𝑺𝟏𝟓, 𝑺𝟐𝟓 = 𝑺𝟏𝟒

…(𝟏𝟎𝟖)

havendo ao todo oito relações.

Se a cada ponto existe um plano de simetria elástica perpendicular a z ou então:

𝑺𝟏𝟒 = 𝑺𝟐𝟒 = 𝑺𝟑𝟒 = 𝑺𝟒𝟔 = 𝟎𝑺𝟏𝟓 = 𝑺𝟐𝟓 = 𝑺𝟑𝟓 = 𝑺𝟓𝟔 = 𝟎

𝑺𝟐𝟐 = 𝑺𝟏𝟏, 𝑺𝟐𝟑 = 𝑺𝟏𝟑, 𝑺𝟐𝟔 = 𝑺𝟏𝟔, 𝑺𝟓𝟓 = 𝑺𝟒𝟒

…(𝟏𝟎𝟗)

A condição dos elementos serem nulos refere-se à condição de simetria elástica que

existe na direção g ou z. A segunda condição, de igualdade entre alguns elementos, refere-

se ao intercâmbio entre os eixos r e .

Para um sólido ortotrópico com plano de simetria passando através do eixo de

anisotropia (radial ou tangencial), além disto, tem-se: S16=S26=S36=S46=0 e os

coeficientes não nulos são três igualdades: S22=S11, S23=S13, S55=S44.

{

𝜺𝒓𝒓𝜺𝜽𝜽𝜺𝒛𝒛𝒓𝜽𝒓𝒛𝒓𝜽}

=

[ 𝑺𝟏𝟏 𝑺𝟏𝟐 𝑺𝟏𝟑 𝟎 𝟎 𝟎

𝑺𝟏𝟏 𝑺𝟏𝟑 𝟎 𝟎 𝟎

𝑺𝟑𝟑 𝟎 𝟎 𝟎

𝑺𝟒𝟒 𝟎 𝟎

𝑺𝟒𝟒 𝟎

𝑺𝟔𝟔]

{

𝝈𝒓𝒓𝝈𝜽𝜽𝝈𝒛𝒛𝝉𝒓𝜽𝝉𝒓𝒛𝝉𝒓𝜽}

…(𝟏𝟏𝟎)

31


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Observa-se que nos planos r, z e , z as constantes de elasticidade poderiam ter

valores próximos para a madeira, mas certamente E não é igual à Er.

Todas essas igualdades são válidas para um sólido não homogêneo. Neste caso, os

Sijkl são funções de r, , z e se tornam zero ou infinito sobre seu eixo. Num sólido

homogêneo, cujo eixo de anisotropia intercepta o sólido, os Sijkl são constantes e pode não

existir anisotropia de modo geral desde que as igualdades (108) necessitem ser atingidas.

Isto foi mostrado por Vogt, segundo Lekhtiniskii (1981).

Usualmente, é mais conveniente tratar a terminologia das constantes num sólido com

anisotropia cilíndrica através das constantes de engenharia:

{

𝜺𝒓 =

𝟏

𝑬𝒓𝝈𝒓 −

𝒗𝜽𝒓𝑬𝜽

𝝈𝜽 −𝒗𝒛𝒓𝑬𝒛

𝝈𝒛; 𝜽𝒛 =𝟏

𝑮𝜽𝒛𝝉𝜽𝒛

𝜺𝜽 =𝒗𝒓𝜽𝑬𝒓

𝝈𝒓 +𝟏

𝑬𝜽𝝈𝜽 −

𝒗𝒛𝜽𝑬𝒛

𝝈𝒛; 𝒓𝒛 =𝟏

𝑮𝒓𝒛𝝉𝒓𝒛

𝜺𝒛 =𝒗𝒓𝒛𝑬𝒓

𝝈𝒓 −𝒗𝜽𝒛𝑬𝜽

𝝈𝜽 +𝟏

𝑬𝒛𝝈𝒛; 𝒓𝜽 =

𝟏

𝑮𝒓𝜽𝝉𝒓𝜽

…(𝟏𝟏𝟏)

onde o tensor Sijkl pode ser escrito por:

𝑺𝒊𝒋 =

[ 𝟏

𝑬𝒓−𝒗𝜽𝒛𝑬𝒓

−𝒗𝒛𝒓𝑬𝒛

𝟎 𝟎 𝟎

−𝒗𝒓𝜽𝑬𝒓

𝟏

𝑬𝒓−𝒗𝒛𝜽𝑬𝒛

𝟎 𝟎 𝟎

−𝒗𝒓𝒛𝑬𝒓

−𝒗𝜽𝒛𝑬𝒓

𝟏

𝑬𝒛𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎𝟏

𝑮𝒓𝜽𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟏

𝑮𝒓𝒛𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟏

𝑮𝒓𝒛]

… (𝟏𝟏𝟐)

Se a estrutura do sólido é tal que o eixo de anisotropia intercepta fora da cavidade,

deve-se, necessariamente, ter: rzzrzr GG;;EE

OBSERVAÇÃO:

Seria interessante se admitir que os coeficientes de Poisson: zzzrrz ;;;

fossem iguais, como descrito em Patton-Mallory (1997), e os módulos de elasticidade

longitudinal em e em r e os módulos de elasticidade transversal nos planos z, r e , z

32


Nilson Tadeu Mascia

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fossem valores próximos. Então, estar-se-ia trabalhando com um material transversalmente

isotrópico,

Figura 12- Plano de isotropia.

que baseando-se nas operações dos itens anteriores, de simetria elástica, tem-se:

𝑺𝟏𝟏 = 𝑺𝟐𝟐; 𝑺𝟏𝟑 = 𝑺𝟐𝟑; 𝑺𝟓𝟓 = 𝑺𝟔𝟔; 𝟐(𝑺𝟏𝟏 − 𝑺𝟏𝟐) = 𝑺𝟒𝟒

Assim, com a utilização da notação usual de engenharia, ou notação técnica, em

uma forma matricial, o tensor Sij torna-se:

𝑺𝒊𝒋 =

[ 𝟏

𝑬−𝒗

𝑬−𝒗′

𝑬𝟎 𝟎 𝟎

−𝒗

𝑬

𝟏

𝑬−𝒗′

𝑬′𝟎 𝟎 𝟎

−𝒗′

𝑬−𝒗′

𝑬′

𝟏

𝑬′𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎𝟏

𝑮𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟏

𝑮′𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟏

𝑮′]

Onde E ,E = módulo de elasticidade no plano de isotropia e na direção normal a ele,

, = coeficiente de Poisson no plano de isotropia e na direção normal a ele e

G , G =módulo de elasticidade transversal no plano de isotropia e, também,

𝟐(𝑺𝟏𝟏 − 𝑺𝟏𝟐) = 𝑺𝟒𝟒

ou:

33


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𝑮 =𝑬

𝟐(𝟏 + 𝒗)

podendo-se escrever que:

𝑮𝒓𝜽 =𝑬𝒓

𝟐(𝟏 + 𝒗𝒓𝜽)

Portanto, apenas 5 (cinco) coeficientes de ijS são independentes. Mas os resultados

indicam a não validade deste modelo para a madeira, mesmo se considerando estes poucos

dados até então disponíveis.

5.5. Conclusões ou direções a seguir

Tendo em vista o que se apresentou até aqui é possível direcionar este trabalho com

as seguintes considerações:

- a expressão a se usar seria a (107), tendo como base à hipótese de Perkins

admitindo-se que a direção r poderia ser a mesma de R e a direção de a mesma de T.

Deste modo, quando se analise um bloco de madeira considerando um ponto P com

coordenadas locais, cartesianas, L T R e um sistema global , cilíndricas, z r . Com isto

o efeito local seria L T R , com valores conhecidos e o efeito global cilíndrico.

Figura 13- Coordenadas locais e globais.

T

R

L z

r

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poder-se-ia admitir que TEE seja constante com o ângulo e do mesmo modo para as

direções r , R e L , z .

Assim para um tronco de madeira a expressão a ser utilizada seria aquela da

ortotropia retilinear. Por outro lado, ao se considerar a aximetria existente, com a

aproximação de um tronco a um sólido de revolução, entre as deformações e tensões:

rzrz ;; a relação entre as constantes de elasticidade se reduz a uma matriz 4x4,

como será visto a seguir. No entanto duas novas situações podem ocorrer:

a) Se as fibras estiverem inclinadas em relação ao eixo vertical z . Esta situação é

bastante comum acontecer;

b) Se a geratriz, ou no caso da madeira se a medula estiver num ângulo não

coincidente com o eixo de referência, vertical, z. Esta situação seria poderia

acontecer na intersecção do tronco principal com um tronco secundário.

Figura 14- Tronco com geratriz inclinada.

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6. COORDENADAS CURVILÍNEAS

Neste item é feita uma revisão sobre as coordenadas cilíndricas.

Seja a seguinte figura:

Figura 15- Sistemas de referências

Com r, , z ( 0 2) coordenadas polares e x1 , x2 , x3 coordenadas cartesianas de

P. pode-se escrever que:

𝒙𝟏 = 𝒓𝒄𝒐𝒔 ; 𝒙𝟐 = 𝒓 𝒔𝒆𝒏 ; 𝒙𝟑 = 𝒛

𝒓 = √𝒙𝟏𝟐 + 𝒙𝟐

𝟐; = 𝒕𝒈−𝟏 (𝒙𝟐𝒙𝟏) ; 𝒛 = 𝒙𝟑…(𝟏𝟏𝟓)

Os versores dos dois sistemas de coordenadas podem ser relacionados por:

𝒆𝒓 = 𝒆𝟏 𝒄𝒐𝒔 + 𝒆𝟐 𝒔𝒆𝒏 ;

𝒆 = −𝒆𝟏 𝒔𝒆𝒏 + 𝒆𝟐 𝒄𝒐𝒔 ;

𝒆𝒛 = 𝒆𝟑…(𝟏𝟏𝟔)

e inversamente por:

𝒆𝟏 = 𝒆𝒓 𝒄𝒐𝒔 + 𝒆 𝒔𝒆𝒏 ;

𝒆𝟐 = −𝒆𝒓 𝒔𝒆𝒏 + 𝒆 𝒄𝒐𝒔 ;

𝒆𝟑 = 𝒆𝒛. … (𝟏𝟏𝟕)

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que define a matriz (ou o tensor) de transformação de coordenadas entres as bases:

𝑴𝒊𝒋 = 𝑴 = [𝐜𝐨𝐬 𝐬𝐞𝐧 𝟎𝐬𝐞𝐧 𝐜𝐨𝐬 𝟎𝟎 𝟎 𝟏

]… (𝟏𝟏𝟖)

e:

(𝒆𝒓𝒆𝒆𝒛)𝑻 = 𝑴(𝒆𝟏𝒆𝟐𝒆𝟑)

𝑻;

(𝒆𝟏𝒆𝟐𝒆𝟑)𝑻 = 𝑴𝑻(𝒆𝒓𝒆𝒆𝒛)

𝑻…(𝟏𝟏𝟗)

sendo M uma matriz ortogonal.

Seja agora a um vetor com componentes ai : (a1 a2 a3 ) no sistema cartesiano e

ai# (ar a az) no sistema cilíndrico. Então:

𝒂 = 𝒂𝒊𝒆𝒊 = 𝒂𝟏𝒆𝟏 + 𝒂𝟐𝒆𝟐 + 𝒂𝟑𝒆𝟑 = 𝒂𝒓𝒆𝒓 + 𝒂𝒆 + 𝒂𝒛𝒆𝒛…(𝟏𝟐𝟎)

Ou pode-se escrever na forma vetorial como:

𝒂 = (𝒂𝟏𝒂𝟐𝒂𝟑)𝑻;

𝒂# = (𝒂𝒓𝒂𝒂𝒛)𝑻…(𝟏𝟐𝟏)

Podem-se relacionar estes dois vetores através da matriz de transformação de

coordenadas. Assim:

𝒂# = 𝑴𝒂;

𝒂 = 𝑴𝑻𝒂#…(𝟏𝟐𝟐)

Estendendo-se esta transformação para matrizes, sendo A em coordenadas

cartesianas e A# em cilíndricas pode-se obter:

𝑨 = 𝑴𝑻𝑨#𝑴;

𝑨# = 𝑴𝑨𝑴𝑻…(𝟏𝟐𝟑)

com:

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𝑨# = [

𝑨𝒓𝒓 𝑨𝒓 𝑨𝒓𝒛𝑨𝒓 𝑨 𝑨𝒛

𝑨𝒛𝒓 𝑨𝒛 𝑨𝒛𝒛

] ; 𝑨 = [

𝑨𝒙𝒙 𝑨𝒙𝒚 𝑨𝒙𝒛𝑨𝒚𝒙 𝑨𝒚𝒚 𝑨𝒚𝒛𝑨𝒛𝒙 𝑨𝒛𝒚 𝑨𝒛𝒛

]… (𝟏𝟐𝟒)

Como os componentes de tensão ou de deformação são tensores de segunda

ordem, portanto podem ser colocados no lugar de A.

𝝈# = [

𝝈𝒓𝒓 𝝈𝒓 𝝈𝒓𝒛𝝈𝒓 𝝈 𝝈𝒛𝝈𝒛𝒓 𝝈𝒛 𝝈𝒛𝒛

] ; 𝜺# = [

𝜺𝒓𝒓 𝜺𝒓 𝜺𝒓𝒛𝜺𝒓 𝜺 𝜺𝒛𝜺𝒛𝒓 𝜺𝒛 𝜺𝒛𝒛

]… (𝟏𝟐𝟓)

Observa-se que é usual utilizar a notação de para tensões tangenciais e de para

as deformações tangencias, respeitando-se a relação entre e ·: jiijij2

1 para se

manter o caractere tensorial entre as relações consideradas. Assim tem-se que:

𝜺# =

[

𝒓𝒓

𝟏

𝟐𝒓

𝟏

𝟐𝒓𝒛

𝟏

𝟐𝒓

𝟏

𝟐𝒛

𝟏

𝟐𝒛𝒓

𝟏

𝟐𝒛

𝟏

𝟐𝒛𝒛]

… (𝟏𝟐𝟔)

As relações entre estes componentes e aquelas do sistema cartesiano são dadas por

(104).

7. COORDENADAS GLOBAIS E LOCAIS

Caso a)

Seja um sistema de coordenadas global: x1 = r ; x 2 = z ; x3 = e um local:

x+1 = r ; x+2 = T e x+3 = L. ( Chung [2])

A rotação em torno de x+1 = x1 = r é dado por :

[

𝐱𝟏+

𝐱𝟐+

𝐱𝟑+

] = [𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂𝟎 − 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝐜𝐨𝐬𝛂

] = [

𝐱𝟏𝐱𝟐𝐱𝟑]… (𝟏𝟐𝟕)

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Considerando-se, por exemplo, dois autores, Hearmonson (1996) e Ting

(1987,1996), pode-se ajustar a transformação dada por (127) e escrever a matriz K, como

se segue:

- Transformação de coordenadas:

[𝐑𝐓𝐋] = [

𝐚𝐫𝐱 𝐚𝐫𝐲 𝐚𝐫𝐳𝐚𝐓𝐱 𝐚𝐓𝐲 𝐚𝐓𝐳𝐚𝐋𝐱 𝐚𝐋𝐲 𝐚𝐋𝐳

] [𝐱𝐲𝐳] ;

[

𝐱𝟏+

𝐱𝟐+

𝐱𝟑+

] = [

𝐌𝐫𝐱 𝐌𝐫𝐲 𝐌𝐫𝐳

𝐌𝐓𝐱 𝐌𝐓𝐲 𝐌𝐓𝐳

𝐌𝐋𝐱 𝐌𝐋𝐲 𝐌𝐋𝐳

] = [

𝐱𝟏𝐱𝟐𝐱𝟑]… (𝟏𝟐𝟖)

- Relação entre tensões na forma reduzida:

[ 𝝈𝑹𝑹𝝈𝑻𝑻𝝈𝑳𝑳𝝈𝑻𝑳𝝈𝑳𝑹𝝈𝑹𝑻]

= [𝑲𝑯]

[ 𝝈𝒙𝒙𝝈𝒚𝒚𝝈𝒛𝒛𝝈𝒚𝒛𝝈𝒛𝒙𝝈𝒛𝒚]

;

[ 𝝈𝟏𝟏∗

𝝈𝟐𝟐∗

𝝈𝟑𝟑∗

𝝈𝟐𝟑∗

𝝈𝟑𝟏∗

𝝈𝟏𝟐∗ ]

= [𝑲𝑻]

[ 𝝈𝟏𝟏𝝈𝟐𝟐𝝈𝟑𝟑𝝈𝟐𝟑𝝈𝟑𝟏𝝈𝟏𝟐]

… (𝟏𝟐𝟗)

e finalmente tem-se KH vale:

[𝑲𝑯] =

[ 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂 (𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂) 𝟎 𝟎

𝟎 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 (−𝟐𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂) 𝟎 𝟎

𝟎 −𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂 (𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 − 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂) 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝛂 − 𝐬𝐞𝐧𝛂𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝐜𝐨𝐬𝛂 ]

… (𝟏𝟑𝟎)

A matriz para o outro caso seria a mesma.

A relação entre as coordenadas globais e as locais para um tensor ij (que pode ser

a representação de um tronco de uma árvore, devido sua proximidade com a forma de um

cilindro, com as fibras inclinadas se um ângulo do eixo do tronco) é escrita por:

[𝝈]𝑳 = [𝑲][𝝈]𝑮

ou:

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=

[ 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂 (𝟐 𝐜𝐨𝐬𝛂𝐬𝐞𝐧𝛂) 𝟎 𝟎

𝟎 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 (−𝟐𝐜𝐨𝐬𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂) 𝟎 𝟎

𝟎 −𝐜𝐨𝐬𝛂𝐬𝐞𝐧𝛂 𝐜𝐨𝐬𝛂𝐬𝐞𝐧𝛂 (𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 − 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂) 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝐜𝐨𝐬𝛂 −𝐬𝐞𝐧𝛂𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝐜𝐨𝐬𝛂 ]

[ 𝝈𝒓𝒓𝝈𝝈𝒛𝒛𝝈𝒛𝝈𝒛𝒓𝝈𝒛]

… (𝟏𝟑𝟏)

Considerando-se agora a aximetria, onde as deformações e as tensões:

rzrz ,;,

são nulas, pode-se trabalhar com a seguinte relação entre as tensões:


=

[ 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 −𝐜𝐨𝐬𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝟎]

[ 𝝈𝒓𝒓𝝈𝝈𝒛𝒛𝝈𝒛𝝈𝒛𝒓𝝈𝒛]

… (𝟏𝟑𝟐)

Ou:


=

[ 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂 𝟎𝟎 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 𝟎𝟎 −𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝛂𝟎 𝟎 𝟎 𝐬𝐞𝐧𝛂]

[

𝝈𝒓𝒓𝝈𝝈𝒛𝒛𝝈𝒛𝒓

]… (𝟏𝟑𝟑),

e as deformações seriam relacionadas por:

[]𝑳 = [𝑲−𝟏]𝑻[]𝑮

ou:

[ 𝑹𝑹𝑻𝑻𝑳𝑳𝑻𝑳𝑳𝑹𝑹𝑻]

=

[ 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂 𝐜𝐨𝐬𝛂𝐬𝐞𝐧𝛂 𝟎 𝟎𝟎 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 −𝐜𝐨𝐬𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝟎 𝟎𝟎 −𝟐𝐜𝐨𝐬𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝛂𝐬𝐞𝐧𝛂 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 − 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝐜𝐨𝐬𝛂 −𝐬𝐞𝐧𝛂𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝐜𝐨𝐬𝛂 ]

[ 𝒓𝒓

𝒛𝒛𝒛

𝒛𝒓𝒛]

… (𝟏𝟑𝟒)

ou:

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[ 𝑹𝑹𝑻𝑻𝑳𝑳𝑻𝑳𝑳𝑹𝑹𝑻]

=

[ 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂 𝟎𝟎 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 𝟎𝟎 −𝟐𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝛂𝟎 𝟎 𝟎 𝐬𝐞𝐧𝛂]

[

𝜺𝒓𝒓𝜺𝜺𝒛𝒛𝒛𝒓

]… (𝟏𝟑𝟓)

A partir destas relações pode-se fazer o caminho inverso e colocar as coordenadas

globais em função das locais, obtendo-se, deste modo, as tensões, deformações e,

especialmente, os elementos da matriz constitutiva. Estes elementos ficariam em função

daqueles elementos usualmente conhecidos, encontrados na literatura sobre o assunto.

Neste sentido, utilizando produtos de matrizes e matrizes identidades e considerando-se os

índices L para local e G para global, é possível chegar às seguintes relações:

𝑪𝑳 = 𝑲𝑪𝑮𝑲𝑻 ⇒ 𝑲−𝟏𝑪𝑳 = 𝑲−𝟏𝑲𝑻𝑪𝑮𝑲𝑻 ⇒ 𝑲−𝟏𝑪𝑳(𝑲)−𝟏 = 𝑰𝑪𝑮𝑲𝑻(𝑲𝑻)−𝟏 ⇒

⇒ 𝑲−𝟏𝑪𝑳(𝑲𝑻)−𝟏 = 𝑰𝑪𝑮𝑰

∴ 𝑪𝑮 = 𝑲−𝟏𝑪𝑳(𝑲𝑻)−𝟏…(𝟏𝟑𝟔)

e:

𝑺𝑳 = (𝑲𝑻)−𝟏𝑺𝑮𝑲−𝟏 ⇒ 𝑲𝑻𝑺𝑳 = 𝑲𝑻(𝑲𝑻)−𝟏𝑺𝑮𝑲−𝟏 ⇒ 𝑲𝑻𝑺𝑳𝑲 = 𝑰𝑺𝑮𝑲−𝟏𝑲 ⇒

⇒ 𝑲𝑻𝑺𝑳𝑲 = 𝑰𝑺𝑮𝑰 ∴

𝑺𝑮 = 𝑲𝑻𝑺𝑳𝑲…(𝟏𝟑𝟕)

Com este procedimento ao se determinar as propriedades de elasticidade pode-se

extrapolar e determinar o comportamento de uma peça cilíndrica correspondente a um

tronco de madeira, como na figura:

Figura 16 – Coordenadas Globais e Locais num tronco de madeira.

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Por exemplo, o módulo de elasticidade longitudinal na direção da geratriz seria dado por:

𝟏

𝑬𝒛𝒛= 𝑺𝒛𝒛

𝑮 = 𝑺𝟐𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟒 𝜶 + 𝟐𝑺𝟑𝟐 𝐬𝐞𝐧

𝟐 𝜶𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜶 + 𝑺𝟑𝟑 𝐜𝐨𝐬𝟒 𝜶 + 𝑺𝟒𝟒 𝐜𝐨𝐬

𝟐 𝜶𝐬𝐞𝐧𝟐 𝜶…(𝟏𝟑𝟖)

ou:

𝟏

𝑬𝒛𝒛= 𝑺𝒛𝒛

𝑮 =𝟏

𝑬𝑻𝑻𝐬𝐞𝐧𝟒 𝜶 − 𝟐

𝒗𝑳𝑻𝑬𝑳𝑳

𝐬𝐞𝐧𝟐 𝜶𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜶 +𝟏

𝑬𝑳𝑳𝐜𝐨𝐬𝟒 𝜶

+𝟏

𝑮𝑳𝑻𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜶𝐬𝐞𝐧𝟐 𝜶…(𝟏𝟑𝟗)

Caso b)

Considera-se, agora, um caso em que a geratriz ou a medula esteja inclinada em

relação à vertical. Esta situação pode acontecer numa região onde se tenha um tronco

secundário. Poder-se-ia, também, analisar outras possibilidades de inclinações, que se

difeririam pelas matrizes de rotação.

Seja um sistema de coordenadas global: x1 = r ; x 2 = z ; x3 = e um local:

x++1 = R; x++2 = T e x++3 = L.

A rotação em torno de x+1 = x1 = r é dado por :

[

𝐱𝟏+

𝐱𝟐+

𝐱𝟑+

] = [𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂𝟎 −𝐬𝐞𝐧𝛂 𝐜𝐨𝐬 𝛂

] [

𝐱𝟏𝐱𝟐𝐱𝟑]… (𝟏𝟒𝟎)

Seja, agora, uma rotação em torno do eixo x++2 = T, dado por:

[

𝐱𝟏++

𝐱𝟐++

𝐱𝟑++

] = [𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝟎 −𝐬𝐞𝐧𝛂𝟎 𝟏 𝟎

𝐬𝐞𝐧𝛂 𝟎 𝐜𝐨𝐬𝛂] [

𝐱𝟏+

𝐱𝟐+

𝐱𝟑+

]… (𝟏𝟒𝟏)

Daí a matriz de transformação pode ser escrita por:

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[

𝒙𝟏++

𝒙𝟐++

𝒙𝟑++

] = [𝒄𝒐𝒔𝜷 𝟎 −𝒔𝒆𝒏𝜷𝟎 𝟏 𝟎

𝒔𝒆𝒏𝜷 𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜷] [𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒔𝒆𝒏𝜶𝟎 −𝒔𝒆𝒏𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶

] [

𝒙𝟏+

𝒙𝟐+

𝒙𝟑+

]

= [𝒄𝒐𝒔𝜷 𝒔𝒆𝒏𝜶𝒔𝒆𝒏𝜷 −𝒄𝒐𝒔𝜶𝒔𝒆𝒏𝜷𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒔𝒆𝒏𝜶

𝒔𝒆𝒏𝜷 −𝒔𝒆𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜷 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜷] [

𝒙𝟏𝒙𝟏𝒙𝟏]… (𝟏𝟒𝟐)

A partir desta matriz pode-se determinar a matriz K e consequentemente a relação

entre as coordenadas globais e as locais para um tensor ij é escrita por:

[𝝈]𝑳 = [𝑲][𝝈]𝑮

e as deformações seriam relacionadas por:

[]𝑳 = [𝑲−𝟏]𝑻[]𝑮

E a relação entre as constantes de elasticidade, em coordenadas globais e locais ou

vice-versa, determinadas por:

𝑪𝑳 = 𝑲𝑪𝑮𝑲𝑻

𝑪𝑮 = 𝑲−𝟏𝑪𝑳(𝑲𝑻)−𝟏…(𝟏𝟒𝟑)

𝑺𝑳 = (𝑲𝑻)−𝟏𝑺𝑮𝑲−𝟏

𝑺𝑮 = 𝑲𝑻𝑺𝑳𝑲…(𝟏𝟒𝟒)

A matriz K pode, como já visto, ser escrita através das seguintes sub-matrizes:

⌈𝑲𝟏⌉ = [𝒄𝟐𝜷 𝒔𝟐𝜶𝒔𝟐𝜷 𝒄𝟐𝜶𝒔𝟐𝜷

𝟎 𝒄𝟐𝜶 𝒔𝟐𝜶𝒔𝟐𝜷 𝒔𝟐𝜶𝒄𝟐𝜷 𝒄𝟐𝜶𝒄𝟐𝜷

]

⌈𝑲𝟐⌉ = [−𝒔𝜶 𝒔𝜷𝒄𝜶 𝒔𝜷 −𝒄𝜶𝒔𝜷 𝒄𝜷 𝒄𝜷 𝒔𝜶𝒔𝜷

𝒄𝜶 𝒔𝜶 𝟎 𝟎−𝒔𝜶𝒄𝜷𝒄𝜶 𝒄𝜷 𝒔𝜷 𝒄𝜶 𝒄𝜷 −𝒔𝜷𝒔𝜶 𝒄𝜷

]

⌈𝑲𝟑⌉ = [

𝟎 −𝒄𝜶 𝒔𝜶 𝒄𝜷 −𝒔𝜶𝒄𝜶 𝒄𝜷𝒔𝜷 𝒄𝜷 −𝒔𝜶𝒄𝜷𝒔𝜶 𝒔𝜷 −𝒄𝜶𝒄𝜷𝒄𝜶 𝒔𝜷𝟎 𝒔𝜶𝒔𝜷 𝒄𝜶 −𝒄𝜶𝒔𝜷 𝒔𝜶

]

⌈𝑲𝟒⌉ = [

𝐜𝜶 𝐜𝜶 𝐜𝜷 − 𝐬𝜶𝐬𝜶 𝐜𝜷 𝐬𝜶𝐬𝜷 𝐜𝜶𝐬𝜷𝐬𝜶 𝐜𝜷 𝐜𝜶 𝐬𝜷 + 𝐬𝜶 𝐬𝜷 𝐜𝜶 𝐜𝜷 𝐜𝜶 𝐜𝜷 𝐜𝜷 − 𝐬𝜷 𝐜𝜶 𝐬𝜷 𝐬𝜷 𝐬𝜶 𝐬𝜷 − 𝐬𝜶𝐜𝜶 𝐬𝜷

𝐬𝜶 𝐬𝜷 𝐬𝜶 − 𝐜𝜶 𝐬𝜷 𝐜𝜶 𝐜𝜷𝐬𝜶 𝐜𝜷 𝐜𝜶]… (𝟏𝟒𝟓)

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Considerando-se, também, a aximetria existente, chega-se a expressões

semelhantes do caso anterior, porém mais complexas.

Poder-se-ia pensar numa situação genérica em que estar-se-ia se referindo a

rotações quaisquer dos eixos principais de elasticidade. Neste caso, poder-se-ia utilizar as

expressões apresentadas no item, associando a aximetria existente.

Outros casos associados a fibras com configuração em especial, apresentada por

Bodig e Jayne (1982) e que são comuns em eucaliptos do Brasil necessitaram de um estudo

a parte, tendo em vista que a variação das fibras é contínua e as propriedades teriam de ser

analisadas, basicamente, ponto a ponto. Neste caso, talvez, a adoção de uma técnica de

ensaios não destrutivos possa ser empregada, associada a um método numérico, via algum

programa, como ANSYS.

8. EQUACIONAMENTO DOS DESLOCAMENTOS DO TRONCO CONSIDERANDO-O

COMO UM CILÍNDRICO

Este item foi baseado nos seguintes autores Malvern (1969), Gopu (1974), Leknhnistkii

(1981), Saliklis (1992) e Mascia (2015).

Considere um tronco de madeira com a aproximação de um cilindro com uma carga

aplicada numa extremidade como na figura abaixo:

Figura 17- Tronco com uma carga aplicada.

Para se ter a distribuição de tensões e de deformações é necessário se determinar

seis componentes de tensões e três projeções de deslocamentos satisfazendo as equações

de equilíbrio e as condições de contorno. Ao se considerar o caso de anisotropia cilíndrica

com o eixo z de anisotropia pode-se escrever que:

- equações de equilíbrio:

P

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+𝟏

𝒓


+𝝏𝝉𝒓𝒛𝝏𝒛


𝒓+ 𝑹 = 𝟎;


+𝟏

𝒓

𝝏𝝈𝜽𝝏𝜽

+𝝏𝝉𝜽𝒛𝝏𝜽

+𝟐𝝉𝒓𝜽𝒓

+ 𝜣 = 𝟎;


+𝟏

𝒓


+𝝏𝝈𝒛𝝏𝒛

+𝝉𝒓𝒛𝒓+ 𝜡 = 𝟎… (𝟏𝟒𝟔)

com R , e Z forças de volume.

- relações deslocamentos-deformações:

𝜺𝒓 =𝝏𝒖𝒓𝝏𝒓

; 𝜺𝜽 =𝟏

𝒓


+𝒖𝒓𝒓; 𝜺𝒛 =

𝝏𝒘

𝝏𝒛;

𝜸𝒓𝒛 =𝝏𝒘

𝝏𝒓+𝝏𝒖𝒓𝝏𝒛

; 𝜸𝒓𝜽 =𝟏

𝒓




−𝒖𝜽𝒓

𝜸𝜽𝒛 =𝝏𝒖𝜽𝝏𝒛

+𝟏

𝒓

𝝏𝒘

𝝏𝜽… (𝟏𝟒𝟕)

- relações constitutivas:

{

𝜺𝒓 = 𝑺𝟏𝟏𝝈𝒓 + 𝑺𝟏𝟐𝝈𝜽 + 𝑺𝟏𝟑𝝈𝒛 + 𝑺𝟏𝟒𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟏𝟓𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟏𝟔𝝉𝒓𝜽𝜺𝜽 = 𝑺𝟏𝟐𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟐𝝈𝜽 + 𝑺𝟐𝟑𝝈𝒛 + 𝑺𝟐𝟒𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟐𝟓𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟐𝟔𝝉𝒓𝜽𝜺𝒛 = 𝑺𝟏𝟑𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟑𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟑𝝈𝒛 + 𝑺𝟑𝟒𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟑𝟓𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟑𝟔𝝉𝒓𝜽𝜸𝜽𝒛 = 𝑺𝟏𝟒𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟒𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟒𝝈𝒛 + 𝑺𝟒𝟒𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟒𝟓𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟒𝟔𝝉𝒓𝜽𝜸𝒓𝒛 = 𝑺𝟏𝟓𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟓𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟓𝝈𝒛 + 𝑺𝟒𝟓𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟓𝟓𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟓𝟔𝝉𝒓𝜽𝜸𝒓𝜽 = 𝑺𝟏𝟔𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟔𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟔𝝈𝒛 + 𝑺𝟒𝟔𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟓𝟔𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟔𝟔𝝉𝒓𝜽

…(𝟏𝟒𝟖)

As tensões para este caso particular, não considerando o peso próprio, são dadas

por:

𝝈𝒛 =𝑷

𝑨;𝝈𝒓 = 𝝈𝜽 = 𝝉𝜽𝒛 = 𝝉𝒓𝒛 = 𝝉𝒓𝜽 = 𝟎…(𝟏𝟒𝟗)

Substituindo-se estas tensões nas equações de equilíbrio verifica-se que são

satisfeitas. Os deslocamentos podem obtidos pela integração das deformações dadas pelas

relações constitutivas. Assim:

𝒖𝒊 = ∫𝒅𝒖𝒊…(𝟏𝟓𝟎)

e:

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𝒅𝒖𝒊 = (𝜹𝒊𝒋 + 𝜺𝒊𝒋 +𝝎𝒊𝒋)𝒅𝒙𝒋…(𝟏𝟓𝟏)

ij o delta de Kronecker, e :

𝜺𝒊𝒋 =𝟏

𝟐(𝝏𝒖𝒊𝝏𝒙𝒋

+𝝏𝒖𝒋

𝝏𝒙𝒊)… (𝟏𝟓𝟐)

o tensor das deformações, e:

𝝎𝒊𝒋 = −𝝎𝒊𝒋 =𝟏

𝟐(𝝏𝒖𝒊𝝏𝒙𝒋

+𝝏𝒖𝒋

𝝏𝒙𝒊)… (𝟏𝟓𝟑)

o tensor das rotações.

Podendo-se escrever, também, que:

𝝎𝒌 =𝟏

𝟐𝒆𝒊𝒋𝒌𝝎𝒊𝒋…(𝟏𝟓𝟒)

sendo eijk o tensor permutador, ou ainda em coordenadas cilíndricas:

𝝎𝟏 = 𝝎𝟑𝟐 = 𝝎𝒛𝜽 = −𝝎𝜽𝒛 =𝟏

𝟐(𝟏

𝒓

𝝏𝒖𝒛𝝏𝜽

−𝝏𝒖𝜽𝝏𝒛

) ;

𝝎𝟐 = 𝝎𝟏𝟑 = 𝝎𝒓𝒛 = −𝝎𝒛𝒓 =𝟏

𝟐(𝝏𝒖𝒓𝝏𝒛

−𝝏𝒖𝒛𝝏𝒓

) ;

𝝎𝟑 = 𝝎𝟐𝟏 = 𝝎𝜽𝒓 = −𝝎𝒓𝜽 =𝟏

𝟐(𝟏

𝒓

𝝏(𝒓𝒖𝜽𝝏𝒓

−𝟏

𝒓


) ;… (𝟏𝟓𝟓)

Assim para se o campo de deslocamentos basta integrar os diferenciais de

deslocamentos. Por exemplo:

𝒖𝟏 = 𝒖 = ∫𝒅𝒖𝟏 = ∫(𝜹𝟏𝒋 + 𝜺𝟏𝒋 +𝝎𝟏𝒋) 𝒅𝒙𝒋 =

= ∫𝜺𝟏𝟏𝒅𝒙𝟏 + 𝜺𝟏𝟐𝒅𝒙𝟐 + 𝜺𝟏𝟑𝒅𝒙𝟑 +𝝎𝟏𝟐𝒅𝒙𝟐 +𝝎𝟏𝟑𝒅𝒙𝟑 =

= 𝜺𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝜺𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝜺𝟏𝟑𝒙𝟑 +𝝎𝟏𝟐𝒙𝟐 +𝝎𝟏𝟑𝒙𝟑 + 𝒖𝜽…(𝟏𝟓𝟔)

E analogamente:

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𝒖𝟐 = 𝒗 = 𝜺𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝜺𝟐𝟐𝒙𝟐 + 𝜺𝟐𝟑𝒙𝟑 +𝝎𝟐𝟏𝒙𝟏 +𝝎𝟐𝟑𝒙𝟑 + 𝒗𝟎; 𝒖𝟑 = 𝒘 = 𝜺𝟑𝟏𝒙𝟏 + 𝜺𝟑𝟐𝒙𝟐 + 𝜺𝟑𝟑𝒙𝟑 +𝝎𝟑𝟏𝒙𝟏 +𝝎𝟑𝟐𝒙𝟐 +𝒘𝟎…(𝟏𝟓𝟕)

Podendo-se observar que os deslocamentos dependem das deformações e das

rotações. O termo u0 é uma constante relativa às translações. Os três últimos termos desta

expressão podem ser separados pois envolvem rotações e translações. Escrevendo-se num

sistema cartesiano usual e considerando-se a convenção de sinais das equações, tem-se:

𝒖− = 𝝎𝟐𝒛 − 𝝎𝟑𝒚 + 𝒖𝟎…(𝟏𝟓𝟖)

Nas outras ordenadas tem-se, analogamente:

𝒗− = 𝝎𝟑𝒙 −𝝎𝟏𝒛 + 𝒗𝟎;

𝒘− = 𝝎𝟏𝒚 −𝝎𝟐𝒙 + 𝒘𝟎…(𝟏𝟓𝟗)

Lekhnitskii (1981), utiliza coordenadas cilíndricas e utilizando-se das relações

constitutivas escreve os deslocamentos do problema, como se segue:

𝒖𝒓 =𝑷

𝑨𝑺𝟏𝟑𝒓 + (𝝎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 − 𝝎𝟏 𝐬𝐞𝐧𝜽)𝒛 + 𝒗𝟎 𝐬𝐞𝐧𝜽 + 𝒖𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ;

𝒖𝜽 =𝑷

𝑨[(𝑺𝟐𝟑 − 𝑺𝟏𝟑)𝒓𝜽 + 𝑺𝟑𝟔𝒓𝒍𝒏𝒓] − (𝝎𝟐 𝐜𝐨𝐬𝜽 − 𝝎𝟏 𝐬𝐞𝐧𝜽)𝒛 + 𝒗𝟎 𝐬𝐞𝐧𝜽 − 𝒖𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜽 +𝝎𝟑𝒓;

𝒘 =𝑷

𝑨(𝑺𝟑𝟓𝒓 + 𝑺𝟑𝟑𝒛) + (𝝎𝟏 𝐬𝐞𝐧𝜽 − 𝝎𝟐 𝐜𝐨𝐬𝜽)𝒓 + 𝒘𝟎…(𝟏𝟔𝟎)

onde 1 ,2 ,3 , u0 ,v0 e w0 são constantes que expressam rotações e

translações de corpo rígido.

Observa-se que este equacionamento se baseia na hipótese de o deslocamento na

direção do eixo do cilindro, nas condições de constância das tensões nesta direção, é

constante.

Verifica-se, depois dos cálculos, que as deformações tangenciais com a hipótese da

aximetria colocada valem:

𝜸𝒛𝜽 = 𝟎;

𝜸𝒓𝜽 = 𝑺𝟑𝟔𝑷

𝑨;

𝜸𝒛 = 𝑺𝟑𝟓𝑷

𝑨…(𝟏𝟔𝟏)

47


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Deste modo deve-se ter que S36 deve ser nulo.

As condições de compatibilidade também são satisfeitas( estas equações podem ser

encontradas em Malvern (1969):

𝟐𝝏𝟐𝜺𝒛𝜽𝒓𝝏𝒛𝝏𝜽

−𝟏𝝏𝟐𝜺𝒛𝒛𝒓𝟐𝝏𝜽𝟐

−𝝏𝟐𝜺𝜽𝜽𝝏𝟐𝒛𝟐

+𝟐𝝏𝜺𝒓𝒛𝒓𝝏𝒛

−𝝏𝜺𝒛𝒛𝒓𝝏𝒓

= 𝟎;

𝟐𝝏𝟐𝜺𝒓𝒛𝝏𝒓𝝏𝒛

−𝝏𝟐𝜺𝒓𝒓𝝏𝒛𝟐

−𝝏𝟐𝜺𝒛𝒛𝝏𝒓𝟐

= 𝟎;

𝟐

𝒓

𝝏𝟐𝜺𝜽𝒓𝝏𝜽𝝏𝒓

−𝝏𝟐𝜺𝜽𝜽𝝏𝒓𝟐

−𝟏𝝏𝟐𝜺𝒓𝒓𝒓𝟐𝝏𝜽𝟐

+𝟏𝝏𝜺𝒓𝒓𝒓𝝏𝒓

+𝟐𝝏𝜺𝒓𝜽𝒓𝟐𝝏𝜽

−𝟐𝝏𝜺𝜽𝜽𝒓𝝏𝒓

= 𝟎;

𝟏𝝏𝟐𝜺𝒛𝒛𝒓𝝏𝒓𝝏𝜽

−𝝏

𝝏𝒛[𝟏𝝏𝜺𝒛𝒓𝒓𝝏𝜽

+𝝏𝜺𝜽𝒛𝝏𝒓

−𝝏𝜺𝜽𝒓𝝏𝒛

] +𝟏𝝏𝜺𝒛𝜽𝒓𝝏𝒛

−𝟏𝝏𝜺𝒛𝒛𝒓𝟐𝝏𝜽

= 𝟎;

𝟏𝝏𝟐𝜺𝒓𝒓𝒓𝝏𝜽𝝏𝒛

−𝝏

𝝏𝒓[𝝏𝜺𝜽𝒓𝝏𝒛

+𝟏𝝏𝜺𝒛𝒓𝒓𝝏𝜽

−𝝏𝜺𝒛𝜽𝝏𝒓

] −𝟐𝝏𝜺𝒓𝜽𝒓𝝏𝒛

+𝟏𝝏𝜺𝒛𝜽𝒓𝝏𝒓

−𝟏𝝏𝜺𝒛𝜽𝒓𝟐

= 𝟎;

𝝏𝟐𝜺𝜽𝜽𝝏𝒛𝝏𝒓

−𝟏𝝏

𝒓𝝏𝜽[𝝏𝜺𝜽𝒛𝝏𝒓

+𝝏𝜺𝒓𝜽𝝏𝒛

−𝟏𝝏𝜺𝒓𝒛𝒓𝝏𝜽

] +𝟐𝝏𝜺𝒛𝒓𝒓𝝏𝒓

−𝟏𝝏𝜺𝜽𝒛𝒓𝟐𝝏𝜽

−𝟏𝝏(𝜺𝒓𝒓 − 𝜺𝒛𝒛)

𝒓𝝏𝒛= 𝟎… (𝟏𝟔𝟐)

As condições de contorno neste caso dadas por:

𝝏𝒗

𝝏𝒛=𝝏𝒖

𝝏𝒛= 𝟎;

𝝏𝒗

𝝏𝒙−𝝏𝒖

𝝏𝒚= 𝝎𝟑 = 𝟎…(𝟏𝟔𝟑)

implicam que os deslocamentos ortogonais ao engaste e a rotação no engaste não são

permitidas.

Ao se considerar os casos anteriormente apresentados onde as fibras da madeira

estão inclinadas em relação ao eixo vertical pode-se substituir as constantes de elasticidade

no sistema global pelas constantes do sistema local, como já feito anteriormente. Deste

modo, pode-se trabalhar com um tronco com fibras não verticais.

9. CONCEITUAÇÃO TEÓRICA BASEADO EM LEKHNITSKII

Neste item, baseado em Lekhnitskii (1981) será mostrado à conceituação teórica a

respeito do cálculo dos deslocamentos, deformações, tensões no caso de um cilindro com

carga axial (constante) aplicada em suas extremidades. A aplicação de momentos fletores e

torsores também é possível.

A tensão e a deformação na direção axial são consideradas constantes.

48


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Seja, então, R e as forças de volume e U*(x, y) o potencial associado por:

𝑹 = −𝝏𝑼∗

𝝏𝒓; 𝒀 = −

𝟏

𝒓

𝝏𝑼∗

𝝏𝜽… (𝟏𝟔𝟒)

As equações de equilíbrio se restringem a:

𝝏(𝝈𝒓 − 𝑼∗)

𝝏𝒓+𝟏

𝒓



𝒓= 𝟎;


+𝝏(𝝈𝒓 − 𝑼

∗)

𝝏𝜽+ 𝟐

𝝉𝒓𝜽𝒓= 𝟎,… (𝟏𝟔𝟓)


+𝟏

𝒓

𝝏𝝉𝜽𝒛𝝏𝜽

+𝝉𝒓𝒛𝒓= 𝟎

e as relações constitutivas :

{

𝜺𝒓 = 𝑺𝟏𝟏𝝈𝒓 + 𝑺𝟏𝟐𝝈𝜽 + 𝑺𝟏𝟑𝝈𝒛 + 𝑺𝟏𝟒𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟏𝟓𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟏𝟔𝝉𝒓𝜽𝜺𝜽 = 𝑺𝟏𝟐𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟐𝝈𝜽 + 𝑺𝟐𝟑𝝈𝒛 + 𝑺𝟐𝟒𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟐𝟓𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟐𝟔𝝉𝒓𝜽𝜺𝒛 = 𝑺𝟏𝟑𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟑𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟑𝝈𝒛 + 𝑺𝟑𝟒𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟑𝟓𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟑𝟔𝝉𝒓𝜽𝜸𝜽𝒛 = 𝑺𝟏𝟒𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟒𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟒𝝈𝒛 + 𝑺𝟒𝟒𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟒𝟓𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟒𝟔𝝉𝒓𝜽𝜸𝒓𝒛 = 𝑺𝟏𝟓𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟓𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟓𝝈𝒛 + 𝑺𝟒𝟓𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟓𝟓𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟓𝟔𝝉𝒓𝜽𝜸𝒓𝜽 = 𝑺𝟏𝟔𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟔𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟔𝝈𝒛 + 𝑺𝟒𝟔𝝉𝜽𝒛 + 𝑺𝟓𝟔𝝉𝒓𝒛 + 𝑺𝟔𝟔𝝉𝒓𝜽

…(𝟏𝟔𝟔)

Fazendo a deformação normal em z igual a D e em seguida isolando-se a tensão

normal nesta direção tem-se:

𝝈𝒛 =𝑫

𝑺𝟑𝟑−

𝟏

𝑺𝟑𝟑(𝑺𝟏𝟑𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟑𝝈𝜽 +⋯+ 𝑺𝟑𝟔𝝉𝒓𝜽)… (𝟏𝟔𝟕)

Introduzindo-se os coeficientes de deformação reduzidos através:

𝜷𝒊𝒋 = 𝑺𝒊𝒋 −𝑺𝒊𝟑𝑺𝒋𝟑

𝑺𝟑𝟑(𝒊, 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔)

… (𝟏𝟔𝟖)

Observa-se que este tensor é simétrico e que 0i33i , para i =1 a 6.

Colocando-se, agora, as deformações como função dos deslocamentos pode-se

escrever:

49


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(𝟏) 𝝏𝒖𝒓𝝏𝒓

= 𝜷𝟏𝟏𝝈𝒓 + 𝜷𝟏𝟐𝝈𝜽 +⋯+ 𝜷𝟏𝟔𝝉𝒓𝜽 +𝑺𝟏𝟑𝑺𝟑𝟑

𝑫;

(𝟐) 𝟏

𝒓


+𝒖𝒓𝒓= 𝜷𝟏𝟐𝝈𝒓 + 𝜷𝟐𝟐𝝈𝜽 +⋯+ 𝜷𝟐𝟔𝝉𝒓𝜽 +

𝑺𝟐𝟑𝑺𝟑𝟑

𝑫;

(𝟑) 𝝏𝒘

𝝏𝜽= 𝑫;

(𝟒) 𝟏

𝒓

𝝏𝒘

𝝏𝜽+𝝏𝒖𝜽𝝏𝒛

= 𝜷𝟏𝟒𝝈𝒓 + 𝜷𝟐𝟒𝝈𝜽 +⋯+ 𝜷𝟒𝟔𝝉𝒓𝜽 +𝑺𝟑𝟒𝑺𝟑𝟑

𝑫;… (𝟏𝟔𝟗)

(𝟓) 𝝏𝒖𝒓𝝏𝒛

+𝝏𝒖𝒓𝝏𝒓

= 𝜷𝟏𝟓𝝈𝒓 +𝜷𝟐𝟓𝝈𝜽 +⋯+ 𝜷𝟓𝟔𝝉𝒓𝜽 +𝑺𝟑𝟓𝑺𝟑𝟑

𝑫;

(𝟔) 𝟏

𝒓



−𝒖𝜽𝒓= 𝜷𝟏𝟔𝝈 + 𝜷𝟔𝟐𝝈𝜽 +⋯+ 𝜷𝟓𝟔𝝉𝒓𝜽 +

𝑺𝟑𝟔𝑺𝟑𝟑

𝑫;

Através da integração das quarta, quinta e sexta equações pode-se obter os

deslocamentos. Nestas funções estão três novas funções, ),r(W),,r(V),,r(U .

Além disto, para satisfazer as equações primeira, segunda e sexta, D será função

linear de:

𝑫 = 𝑨𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝑩𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝑪…(𝟏𝟕𝟎)

Depois de algumas manipulações matemáticas, Lekhnitskii (1981) apresenta dois

sistemas, um para U e V (correspondente a primeira, segunda e sexta equações de (169)):

𝜺𝒓𝟎 =

𝝏𝑼

𝝏𝒓=𝝏𝒖𝒓𝝏𝒓

;

𝜺𝜽𝟎 =

𝟏

𝒓

𝝏𝑽

𝝏𝜽+𝑼

𝒓;… (𝟏𝟕𝟏)

𝜸𝒓𝜽𝟎 =

𝟏

𝒓

𝝏𝑼

𝝏𝜽+𝝏𝑽

𝝏𝒓−𝑽

𝒓;

e outro para W (corresponde a quinta e quarta equações):

𝝏𝑾

𝝏𝒓=𝝏𝒖𝒓𝝏𝒛

+𝝏𝒘

𝝏𝒓;

𝟏

𝒓

𝝏𝑾

𝝏𝜽=𝟏

𝒓

𝝏𝒘

𝝏𝜽+𝝏𝒖𝒓𝝏𝒛

… (𝟏𝟕𝟐)

Pela eliminação das funções U, V, W destes sistemas, pode-se ficar com um

sistema de duas equações, somente em função das tensões. Para eliminar U e V do

primeiro sistema é utilizado da identidade:

50


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(𝝏𝟐

𝝏𝜽𝟐− 𝒓

𝝏

𝝏𝒓) 𝜺𝒓

𝟎 + 𝒓𝝏𝟐

𝝏𝒓𝟐(𝒓𝜺𝜽

𝟎) −𝝏𝟐

𝝏𝒓𝝏𝜽(𝒓𝜸𝒓𝜽

𝟎 ) = 𝟎…(𝟏𝟕𝟑)

utilizada por Hsu e Tang para determinar à constante A1.

Quando as funções U, V, W são determinadas os deslocamentos são determinados

por:

𝒖𝒓 = −𝒛𝟐

𝟐(𝐀𝐜𝐨𝐬𝜽 − 𝐁𝐬𝐞𝐧𝜽) + 𝑼 + 𝒖𝒓

′ ;

𝒖𝜽 = −𝒛𝟐

𝟐(−𝐀𝐬𝐞𝐧𝜽 − 𝐁𝐜𝐨𝐬𝜽) + 𝑽 + 𝝑𝒓𝒛 + 𝒖𝜽

′ ;

𝒘 = 𝒛(𝐀𝐫𝐜𝐨𝐬𝜽 − 𝐁𝐫𝐬𝐞𝐧𝜽 + 𝑪) +𝑾+𝒘′…(𝟏𝟕𝟒)

Nestas equações estão incluídos os deslocamentos de corpo rígido escritos por:

𝒖𝒓 = 𝒛(𝝎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 − 𝝎𝟏 𝐬𝐞𝐧𝜽) + 𝒖𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒗𝟎 𝐬𝐞𝐧𝜽 ;

𝒖𝜽 = −𝒛(𝝎𝟐 𝐬𝐞𝐧𝜽 − 𝝎𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽) + 𝝎𝟑𝒓 − 𝒖𝟎 𝐬𝐞𝐧𝜽 + 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ;

𝒘 = −𝒓(𝝎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 − 𝝎𝟏 𝐬𝐞𝐧𝜽) + 𝒘𝟎…(𝟏𝟕𝟓)

10. FUNÇÃO DE AIRY E DE TENSÃO

Quando se tem o caso das tensões e das deformações serem independentes de x3

as equações de equilíbrio podem ser escritas como:

𝝈𝒊𝟏,𝟏 + 𝝈𝒊𝟐,𝟐 = 𝟎…(𝟏𝟕𝟔)

Aqui a vírgula nos índices indica derivada. Colocando-se que existe um potencial i

tal que:

𝝈𝒊𝟏 = −𝝋𝒊,𝟐; 𝝈𝒊𝟐,𝟐 = 𝝋𝒊,𝟏…(𝟏𝟕𝟕)

Desde que 2112 tem-se:

𝝋𝒊𝟏,𝟏 +𝝋𝒊𝟐,𝟐 = 𝟎…(𝟏𝟕𝟖)

De acordo com Ting (1987,1996) com a existência de um função potencial tal que:

𝝋𝟏 = −𝑿,𝟐; 𝝋𝟐 = 𝑿,𝟏…(𝟏𝟕𝟗)

51


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Colocando, também, que 3 , tem-se:

𝝈𝟏𝟏 = 𝑿,𝟐𝟐; 𝝈𝟐𝟐 = 𝑿,𝟏𝟏; 𝝈𝟏𝟐 = −𝑿,𝟏𝟐;

𝝈𝟑𝟐 = −𝚿,𝟏; 𝝈𝟑𝟏 = 𝚿,𝟐…(𝟏𝟖𝟎)

A função é denominada função de Airy e a função são denominadas função de

tensão e estas funções satisfazem as equações de equilíbrio.

Colocando-se as equações constitutivas, com notação reduzida de Ting (1987,1996),

e inserindo os coeficientes de deformação reduzido, tem-se:

𝜺𝒊 = 𝜷𝒊𝒋𝝈𝒋 +𝑺𝒊𝟑𝑺𝟑𝟑

𝜺𝟑…(𝟏𝟖𝟏)

Substituindo-se nas tensões as funções de tensão e de Airy chega-se à:

𝜺𝒊 = 𝜷𝒊𝟏𝑿,𝟐𝟐 + 𝜷𝒊𝟐𝑿,𝟏𝟏 − 𝜷𝒊𝟒𝚿,𝟏 + 𝜷𝒊𝟓𝚿,𝟐 −𝜷𝒊𝟔𝑿,𝟏 +𝑺𝒊𝟑𝑺𝟑𝟑

𝜺𝟑…(𝟏𝟖𝟐)

onde:

𝜺𝟑 = 𝑨𝒙𝟏 + 𝑩𝒙𝟐 + 𝑪…(𝟏𝟖𝟑)

Considerando-se agora as seguintes equações de compatibilidade de deformações,

também em notação reduzida:

𝜺𝟓,𝟐 − 𝜺𝟒,𝟏 = 𝝎;

𝜺𝟏,𝟐𝟐 + 𝜺𝟐,𝟏𝟏 − 𝜺𝟔,𝟏𝟐 = 𝟎…(𝟏𝟖𝟒)

e inserindo a equação anterior chega-se à:

𝑳𝟑𝑿 + 𝑳𝟐𝚿 = 𝚫;

𝑳𝟒𝑿 + 𝑳𝟑 = 𝟎…(𝟏𝟖𝟓)

com: )BSAS(S

12 5343

33

e A, B e são constantes e onde os operadores

diferenciais L4 L3 L2 de quarta, terceira e segunda ordem são iguais à:

𝑳𝟐 = 𝜷𝟓𝟓𝝏𝟐

𝝏𝒙𝟐𝟐− 𝟐𝜷𝟒𝟓

𝝏𝟐

𝝏𝒙𝟐𝝏𝒙𝟏+ 𝜷𝟒𝟒

𝝏𝟐

𝝏𝒙𝟏𝟐;

𝑳𝟑 = 𝜷𝟏𝟓𝝏𝟑

𝝏𝒙𝟐𝟑− (𝜷𝟏𝟒 + 𝜷𝟓𝟔)

𝝏𝟑

𝝏𝒙𝟐𝟐𝝏𝒙𝟏

+ (𝜷𝟐𝟓 +𝜷𝟒𝟔)𝝏𝟑

𝝏𝒙𝟐𝝏𝒙𝟏𝟐− 𝜷𝟐𝟒

𝝏𝟑

𝝏𝒙𝟏𝟑;

𝑳𝟒 = 𝜷𝟏𝟏𝝏𝟒

𝝏𝒙𝟐𝟒𝟐𝜷𝟏𝟔

𝝏𝟒

𝝏𝒙𝟐𝟑𝝏𝒙𝟏

+ (𝟐𝜷𝟏𝟐 + 𝜷𝟔𝟔)𝝏𝟒

𝝏𝒙𝟐𝟐𝝏𝒙𝟏

𝟐− 𝟐𝜷𝟐𝟔

𝝏𝟒

𝝏𝒙𝟐𝝏𝒙𝟏𝟑+ 𝜷𝟐𝟐

𝝏𝟒

𝝏𝒙𝟏𝟒…(𝟏𝟖𝟔)

Com isto Ting (1987,1996) apresenta equações que resultam nas equações

diferenciais de quarta ordem que darão a solução das funções de tensão e de Airy.

52


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Hashin (1964) utiliza as funções de Airy para se chegar à equação diferencial de

quarta ordem, num caso plano de tensões, com procedimento análogo ao de Ting

(1987,1996), chegando à:

𝑺𝟐𝟐𝝏𝟒𝑿

𝝏𝒙𝟏𝟒− 𝟒𝑺𝟐𝟔

𝝏𝟒𝑿

𝝏𝒙𝟏𝟑𝝏𝒙𝟐

− 𝟐(𝑺𝟏𝟐 + 𝟐𝑺𝟔𝟔)𝝏𝟒𝑿

𝝏𝒙𝟏𝟐𝝏𝒙𝟐

𝟐+ 𝑺𝟏𝟔

𝝏𝟒𝑿

𝝏𝒙𝟏𝝏𝒙𝟏𝟑+ 𝑺𝟏𝟏

𝝏𝟒𝒙

𝝏𝒙𝟐𝟒= 𝟎…(𝟏𝟖𝟕)

Os deslocamentos são dados por:

𝒖𝟏 = 𝑺𝟏𝟏∫𝝏𝟐𝑿

𝝏𝒙𝟐𝟐𝒅𝒙𝟏 + 𝑺𝟏𝟐

𝝏𝑿

𝝏𝒙𝟏− 𝟐𝑺𝟏𝟔

𝝏𝑿

𝝏𝒙𝟐+ ƒ(𝒙𝟐);

𝒖𝟐 = 𝑺𝟏𝟐𝝏𝑿

𝝏𝒙𝟐+ 𝑺𝟐𝟐∫

𝝏𝟐𝑿

𝝏𝒙𝟏𝟐𝒅𝒙𝟐 − 𝟐𝑺𝟐𝟔

𝝏𝑿

𝝏𝒙𝟏+ 𝒈(𝒙𝟏)… (𝟏𝟖𝟖)

onde f e g são funções arbitrárias.

Lekhnitskii considerando o caso da aximetria que existe no caso do cilindro com

carga axial, carga transversal externa e interna (caso de pressão), momento torsor é

apresentado às seguintes funções de Airy e de tensão, função apenas da variável r:

𝑭 = 𝑭(𝒓);𝜳 = 𝜳(𝒓)… (𝟏𝟖𝟗)

As tensões são relacionadas a estas funções por:

𝝈𝒓 =𝑭′

𝒓; 𝝈𝜽 = 𝑭′′, 𝝉𝒓𝜽 = 𝟎;

𝝉𝒓𝒛 = 𝟎; 𝝉𝜽𝒛 = −𝚿′′;

𝝈𝒛 = 𝑪 −𝟏

𝑺𝟑𝟑(𝑺𝟏𝟑𝝈𝒓 + 𝑺𝟐𝟑𝝈𝜽 + 𝑺𝟑𝟒𝝉𝜽𝒛)… (𝟏𝟗𝟎)

O sistema de equações para as funções de Airy é escrito por :

𝜷𝟐𝟐 (𝑭𝑰𝑽 +

𝟐𝑭′′′

𝒓) + 𝜷𝟏𝟏 (−

𝑭′′

𝒓𝟐+𝑭′

𝒓𝟑) − 𝜷𝟐𝟒𝚿

′′′ + (𝜷𝟏𝟒 − 𝟐𝜷𝟐𝟒)𝚿′′′

𝒓= 𝟎;

−𝜷𝟐𝟒𝑭′′′ − (𝜷𝟏𝟒 + 𝜷𝟐𝟒)

𝑭′′

𝒓+ 𝜷𝟒𝟒 (𝚿

′′ +𝚿′′

𝒓) =

𝑪𝑺𝟑𝟒𝒓

− 𝟐𝝑… )(𝟏𝟗𝟏)

através do uso da equação (185), e com a transformação em coordenadas cilíndricas.

Condições de Contorno

53


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As condições de contorno seriam:

- na superfície:

quando : par r

quando: qbr r

- nas extremidades:

∫𝝈𝒛𝒓𝒅𝒓 =𝑷

𝟐𝝅;

𝒃

𝒂

∫𝝉𝜽𝒛𝒓𝟐𝒅𝒓 =

𝑴

𝟐𝝅;

𝒃

𝒂

Estas duas últimas condições retratam a carga axial P e o momento torsor M.

A solução geral para as equações diferenciais das funções de Airy e de tensão são

as seguintes:

𝑭 = 𝑪𝟎𝜷𝟏𝟒𝜷𝟏𝟏

𝒓 +𝑪𝟏𝟐𝒓𝟐 +

𝑪𝟐𝟏 + 𝒌

𝒓𝟏+𝒌 +𝑪𝟑𝟏 − 𝒌

𝒓𝟏−𝒌 + 𝑪𝟒 +𝝑𝝁𝟏𝟑𝒓𝟑;

𝜳 = 𝑪𝟎𝒍𝒏𝒓 + 𝑪𝑺𝟑𝟒𝜷𝟒𝟒

𝒓 + 𝑪𝟏𝒈𝟏𝒓 +𝑪𝟐𝒌𝒈𝒌𝒓

𝒌 −𝑪𝟑𝒌𝒈−𝒌𝒓

−𝒌 + 𝑪𝟓 −𝝑𝝁𝟐𝟐𝒓𝟐…(𝟏𝟗𝟐)

com os termos:kk121 g;g;g;k;; são funções dos ij . Apresentando novamente k

(como já colocado anteriormente):

𝒌 = √𝜷𝟏𝟏𝜷𝟒𝟒 − 𝜷

𝟐𝟏𝟒

𝜷𝟐𝟐𝜷𝟒𝟒 − 𝜷𝟐𝟒𝟐

Das constantes Ci que aparecem nestas equações C4 e C5 são nulas desde que as

tensões são nulas. As tensões são finalmente calculadas por:

𝝈𝒓 = 𝑪𝟎𝜷𝟏𝟒𝜷𝟏𝟏

𝟏

𝒓+ 𝑪𝟏 + 𝑪𝟏𝒓

𝒌−𝟏 + 𝑪𝟐𝒓−𝒌−𝟏 + 𝝑𝝁𝟏𝒓;

𝝈𝜽 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒌𝒓𝒌−𝟏 + 𝑪𝟑𝒌𝒓

−𝒌−𝟏 + 𝟐𝝑𝝁𝟏𝒓;

𝝉𝜽𝒛 = −𝑪𝟎𝟏

𝒓− 𝑪

𝑺𝟑𝟒𝜷𝟒𝟒

− 𝑪𝟏𝒈𝟏 − 𝑪𝟐𝒈𝑲𝒓𝑲−𝟏 − 𝑪𝟑𝒈−𝑲𝒓

−𝑲−𝟏 + 𝝑𝝁𝟐𝒓… (𝟏𝟗𝟑)

No caso de se ter somente uma carga concentrada nas extremidades as tensões

ficam valendo:

54


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𝝈𝒓 =𝑷𝒉

𝑻(𝟏 −

𝟏 − 𝒄𝒌+𝟏

𝟏 − 𝒄𝟐𝒌𝒑𝒌−𝟏 −

𝟏 − 𝒄𝒌−𝟏

𝟏 − 𝒄𝟐𝒌𝒄𝒌+𝟏𝒑−𝒌−𝟏) ;

𝝈𝜽 =𝑷𝒉

𝑻(𝟏 −

𝟏 − 𝒄𝒌+𝟏

𝟏 − 𝒄𝟐𝒌𝒌𝒑𝒌−𝟏 −

𝟏 − 𝒄𝒌−𝟏

𝟏 − 𝒄𝟐𝒌𝒌𝒄𝒌+𝟏𝒑−𝒌−𝟏) ;… (𝟏𝟗𝟒)

𝝉𝒓𝜽 = 𝟎; 𝝉𝒓𝒛 = 𝝉𝜽𝒛 = 𝟎;

𝝈𝒛 =𝑷

𝑻−𝑷𝒉

𝑻𝑺𝟑𝟑[𝑺𝟏𝟑 + 𝑺𝟐𝟑 −

𝟏 − 𝒄𝒌+𝟏

𝟏 − 𝒄𝟐𝒌(𝑺𝟏𝟑 + 𝒌𝑺𝟐𝟑)𝒑

𝒌−𝟏 −𝟏 − 𝒄𝒌−𝟏

𝟏 − 𝒄𝟐𝒌(𝑺𝟏𝟑 + 𝒌𝑺𝟐𝟑)𝒄

𝒌+𝟏𝒑−𝒌−𝟏] ;

onde:

𝑻 = 𝝅𝒃𝟐(𝟏 − 𝒄𝟐) +𝟐𝝅𝒉𝒃𝟐

𝑺𝟑𝟑[𝟏 − 𝒄𝟐

𝟐(𝑺𝟏𝟑 + 𝑺𝟐𝟑) − (𝟏 − 𝒄

𝒌+𝟏)𝟐 𝑺𝟏𝟑 + 𝒌𝑺𝟐𝟑

𝒌 + 𝟏−

−(𝟏 − 𝒄𝒌−𝟏)𝟐𝒄𝟐𝑺𝟏𝟑 − 𝒌𝑺𝟑𝟑𝒌 − 𝟏

];

𝒄 =𝒂

𝒃; 𝒑 =

𝒓

𝒃;

𝒌 = √𝜷𝟏𝟏𝜷𝟐𝟐

; 𝒉 =𝑺𝟐𝟑 − 𝑺𝟏𝟑𝜷𝟏𝟏 − 𝜷𝟐𝟐

Para se determinar os deslocamentos a partir das tensões usa-se, então, as

equações constitutivas para calcular as deformações e daí por integração os

deslocamentos.

11. ANÁLISE DA RETRAÇÃO CONSIDERANDO-SE OS COEFICIENTES DE

REDUÇÃO DE DEFORMAÇÃO

Hsu e Tang (1974) fizeram um interessante estudo a respeito da retração na

madeira, considerando uma peça em forma de tronco sem forças externas. A retração deve

ser analisada sob o ponto de vista que gera tensões no tronco de madeira.

A retração (i) devido à variação de umidade foi computada como parcelas das

relações tensão deformações, em coordenadas cilíndricas, da seguinte forma:

𝜺𝒓 = 𝑺𝒓𝒓𝝈𝒓 + 𝑺𝒓𝜽𝝈𝜽 + 𝑺𝒓𝒛𝝈𝒛 − 𝜶𝒓; 𝜺𝜽 = 𝑺𝒓𝜽𝝈𝒓 + 𝑺𝜽𝜽𝝈𝜽 + 𝑺𝜽𝒛𝝈𝒛 − 𝜶𝜽; 𝜺𝒛 = 𝑺𝒓𝒛𝝈𝒓 + 𝑺𝜽𝒛𝝈𝜽 + 𝑺𝒛𝒛𝝈𝒛 − 𝜶𝒛; … (𝟏𝟗𝟓)

Devido à simetria radial o campo de deslocamentos é função de r e o deslocamento

na direção é nulo. Assim as deformações valem:

55


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𝜺𝒓 =𝝏𝒖𝒓𝝏𝒓

; 𝜺𝜽 =𝒖𝒓𝒓; 𝜺𝒛 =

𝝏𝒖𝒛𝝏𝒛

= 𝒄… (𝟏𝟗𝟔)

onde c é assumido como uma constante.

Desde a deformação em z é constante as deformações são rescritas por:

𝜺𝒓 = 𝜷𝒓𝒓𝝈𝒓 + 𝜷𝒓𝜽𝝈𝜽 + 𝜷𝒓; 𝜺𝜽 = 𝜷𝒓𝜽𝝈𝒓 + 𝜷𝜽𝜽𝝈𝜽 + 𝜷𝜽…(𝟏𝟗𝟕)

onde:

𝜷𝒓𝒓 = 𝑺𝒓𝒓 −𝑺𝒓𝒛𝑺𝒓𝒛𝑺𝒛𝒛

;

𝜷𝒓𝜽 = 𝑺𝒓𝜽 −𝑺𝒓𝒛𝑺𝜽𝒛𝑺𝒛𝒛

;

𝜷𝜽𝜽 = 𝑺𝜽𝜽 −𝑺𝜽𝒛𝑺𝜽𝒛𝑺𝒛𝒛

;

𝜷𝒓 =𝑺𝒓𝒛𝑺𝒛𝒛

(𝒄 + 𝜶𝒛) − 𝜶𝒓;

𝜷𝜽 =𝑺𝜽𝑺𝒛𝒛

(𝒄 + 𝜶𝒛) − 𝜶𝜽

A equação de equilíbrio requer que:



𝒓= 𝟎… (𝟏𝟗𝟖)

Com isto o problema a ser resolvido é determinar a solução desta equação

conjuntamente com as equações constitutivas, considerando também a equação de

compatibilidade das deformações. Assume-se, então, uma função F(r), diferenciável em r ,

tal que:

𝝈𝒓 =𝑭′

𝒓; 𝝈𝜽 = 𝑭

′′…(𝟏𝟗𝟗)

Verifica-se, claramente, que isto satisfaz a equação de equilíbrio. As equações

constitutivas ficam sendo dadas por:

𝜺𝒓 = 𝜷𝒓𝒓𝑭′

𝒓+ 𝜷𝒓𝜽𝑭

′′ + 𝜷𝒓;

𝜺𝜽 = 𝜷𝒓𝜽𝑭′′

𝒓+ 𝜷𝜽𝜽𝑭

′′ + 𝜷𝜽…(𝟐𝟎𝟎)

Substituindo-se estas deformações na equação de compatibilidade:

𝝏𝟐𝜺𝒓𝒓𝝏𝜽𝟐

− 𝒓𝝏𝜺𝒓𝒓𝝏𝒓

− 𝟐𝝏𝟐(𝒓𝜺𝒓𝜽)

𝝏𝒓𝝏𝜽+𝝏

𝝏𝒓(𝒓𝟐

𝝏𝜺𝜽𝜽𝝏𝒓

) = 𝟎…(𝟐𝟎𝟏)

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obtém-se que:

𝒓𝒅𝟐𝜺𝜽𝒅𝒓𝟐

+ 𝟐𝝏𝜺𝒓𝒓𝝏𝒓

𝒓𝒅𝟐𝜺𝜽𝒅𝒓𝟐

+ 𝟐𝒅𝜺𝜽𝒅𝒓

−𝒅𝜺𝒓𝒅𝒓

= 𝟎… (𝟐𝟎𝟐)

e daí:

𝜷𝜽𝜽 (𝒅𝟒𝑭

𝒅𝒓𝟒+𝟐𝒅𝟑𝑭

𝒓𝒅𝒓𝟑) + 𝜷𝒓𝒓 (

𝟏𝒅𝟐𝑭

𝒓𝟐𝒅𝒓𝟐+𝟏𝒅𝑭

𝒓𝟑𝒅𝒓) = 𝟎… (𝟐𝟎𝟑)

E a forma geral da solução desta equação diferencial é a seguinte:

𝑭 =𝑨𝟏𝟐𝒓𝟐 +

𝑨𝟐𝟏 + 𝒌

𝒓𝟏+𝒌 +𝑨𝟑𝟏 − 𝒌

𝒓𝟏−𝒌 + 𝑨𝟒…(𝟐𝟎𝟒)

onde:

𝒌 = √𝜷𝒓𝒓

𝜷𝜽𝜽 e a tensões são agora determinadas e valem:

𝝈𝒓 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐𝒓𝒌−𝟏 + 𝑨𝟑𝒓

−𝒌−𝟏;

𝝈𝜽 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐𝒌𝒓𝒌−𝟏 + 𝑨𝟑𝒌𝒓

−𝒌−𝟏…(𝟐𝟎𝟓)

com três constantes desconhecidas.

A título de ilustração são apresentados alguns valores de k na tabela:

Tabela 1- Valores de k para algumas espécies de madeira

Teor de Umidade

Espécies 6% 12% 20%

Yellow-poplar 0, 677 0, 678 0, 679

Green ash 0, 761 0, 761 0, 760

Engelmann spruce 0, 725 0, 745 0, 745

Citando o trabalho de Ylinen, Hsu e Tang (1974) assumem que a parte interna do

tronco da árvore é constituída de um material macio. Desprezando-se esta parte o tronco da

árvore se torna um cilindro com uma cavidade interna. Assim o deslocamento deveria ser

zero no centro do cilindro. Desde que k é de um modo geral, maior que zero ur para r igual

a zero chega-se A3 a igual a zero.

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Além disto, por serem as deformações contínuas ( em r igual a zero), tem-se:

𝜺𝜽 − 𝜺𝒓 + 𝒓𝒅𝜺𝜽𝒅𝒓

= 𝟎… (𝟐𝟎𝟔)

Chegando-se à:

𝑨𝟏 =𝜷𝒓 − 𝜷𝜽𝜷𝜽𝜽 − 𝜷𝒓𝒓

…(𝟐𝟎𝟕)

Como não há carga externa, em r igual a R, a tensão é nula implicando que:

1k

12

R

AA

Assim as tensões e o deslocamento ficam da seguinte forma:

𝝈𝒓 = 𝑨𝟏 (𝟏 −𝒓𝒌−𝟏

𝑹𝒌−𝟏) ;

𝝈𝜽 = 𝑨𝟏 (𝟏 −𝒌𝒓𝒌−𝟏

𝑹𝒌−𝟏) ;

𝒖𝒓 = 𝜺𝜽𝒓 = [𝜷𝒓𝜽𝝈𝒓 + 𝜷𝜽𝜽𝝈𝜽 +𝜷𝜽]𝒓… (𝟐𝟎𝟖)

A constante c é determinada do seguinte modo. Desde que não há carga externa a

tensão no topo ou base do cilindro vale:

𝟐𝝅∫ 𝝈𝒛𝒓𝒅𝒓 = 𝟎;

𝑹

𝟎

𝒄 =𝜷𝒓 − 𝜷𝜽𝜷𝜽𝜽 − 𝜷𝒓𝒓

[(𝑺𝒓𝒛 + 𝑺𝜽𝒛) −𝟐(𝑺𝒓𝒛 + 𝒌𝑺𝜽𝒛)

𝒌 + 𝟏] − 𝜶𝒛…(𝟐𝟎𝟗)

No caso de isotropia tem-se que as retrações (αr, αθ, αz) são iguais e que k valendo

01 (um) chega-se à σr=σθ=0.

Observa-se que a retração resulta em tensões, deformações e deslocamentos que

são somadas aquelas advindas de quando se tem uma carga externa. No caso de uma

força na direção axial, como visto anteriormente, e num caso, por exemplo, de uma carga

transversal. Neste caso a condição de contorno deve ser alterada. Assim quando se tem

uma pressão radial externa p no contorno, em r igual R, obtêm-se as tensões radial e

tangencial por:

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𝝈𝒓 = 𝑨𝟏 (𝟏 −𝒓𝒌−𝟏

𝑹𝒌−𝟏− 𝒑

𝒓𝒌−𝟏

𝑹𝒌−𝟏) ;

𝝈𝜽 = 𝑨𝟏 (𝟏 −𝒌𝒓𝒌−𝟏

𝑹𝒌−𝟏− 𝒑

𝒌𝒓𝒌−𝟏

𝑹𝒌−𝟏) ;… (𝟐𝟏𝟎)

Esta pressão radial visa diminuir as tensões devido à retração. Colocando-se um

anel na extremidade de um tronco estar-se-á fazendo isto. A título de ilustração para uma

pressão radial externa de 300 N/cm2, quando se passa da situação verde para 20% de

umidade para algumas espécies de madeira americanas, as tensões tangenciais internas de

compressão diminuem, por exemplo, de 3000 para 1300 N/cm2 e as de tração de 2000 para

500 N/cm2.

12. ANÁLISE EXPERIMENTAL PARA DETERMINAÇÃO DE K

A partir de um bloco de madeira, esquematizado na Figura 18, com os anéis de

crescimento aproximando de superfícies cilíndricas pode-se retirar corpos-de-prova para

determinar as propriedades de elasticidade da madeira e posteriormente determinar o

coeficiente k.

Foram realizados ensaios de compressão, em cada direção considerada, com corpos

de prova com as seguintes dimensões: 4 cm x 4 cm x 10cm, da espécie Pinus caribaea,

Considera-se então seis peças menores, no interior desse bloco, seguindo as

direções dos eixos r, θ e z e nos respectivos planos r θ, z r e z θ.

Figura 18: Bloco de madeira com os corpos-de-prova.

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Observa-se que devido a dimensão da peça de madeira, em torno de 50 cm de

diâmetro, os corpos-de-prova (CP) tem dimensões menores que os adotados nos ensaios

de compressão simples da ABNT-NBR 7190 (1997).

Então com uso da peça situada segundo a direção z (CP 1) é possível obter os

seguintes coeficientes de Poisson e o módulo de elasticidade nessa direção:

𝝂𝒛𝒓 = −𝜺𝒓𝜺𝒛 ; 𝝂𝒛𝜽 = −

𝜺𝒓𝜺𝜽 ; 𝑬𝒛 = −

𝝈𝒛𝜺𝒛 … (𝟐𝟏𝟏)

Da mesma forma, da peça na direção r (CP 2) obtém:

𝝂𝒓𝜽 = −𝜺𝒓𝜺𝜽 ; 𝝂𝒓𝒛 = −

𝜺𝒓𝜺𝒛 ; 𝑬𝒓 = −

𝝈𝒓𝜺𝒓 … (𝟐𝟏𝟐)

Finalmente, da peça na direção θ (CP 3), pode-se tirar que:

𝝂𝜽𝒓 = −𝜺𝒓𝜺𝜽 ; 𝝂𝜽𝒛 = −

𝜺𝒛𝜺𝜽 ; 𝑬𝜽 = −

𝝈𝜽𝜺𝒛𝜽

… (𝟐𝟏𝟑)

Das condições de simetria que existe no tensor que contém as propriedades

elásticas pode-se obter que:

𝝂𝜽𝒓𝑬𝜽

= 𝝂𝒓𝜽𝑬𝒓

;𝝂𝒛𝒓𝑬𝒛

= 𝝂𝒓𝒛𝑬𝒛

;𝝂𝒛𝜽𝑬𝒛

= 𝝂𝜽𝒓𝑬𝜽

… (𝟐𝟏𝟒)

As determinações dos módulos de elasticidade transversais (Gij) foram realizadas

através dos nove CPs nas direções adotadas 4,5 e 6. Dessa maneira, na determinação de

Gij através das relações entre tensões e deformações, com uso do ensaio de compressão

simples, deve-se preparar um corpo de prova com as direções principais de elasticidade

sempre não coincidentes com a direção de aplicação da carga, no caso um ângulo ao redor

de 45°, e utilizar das transformações de coordenadas para tensões e deformações e dessas

relações para determinar esses módulos, para plano requerido, Mascia (1998) .

Os resultados obtidos estão na Tabela 2. Observa-se que os coeficientes de Poisson

na Tabela 2 são adimensionais.

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Tabela 2: Valores médios das propriedades elásticas (MPa).

A partir desses dados determina-se o valor de

𝒌 = √𝜷𝟏𝟏𝜷𝟒𝟒 − 𝜷𝟏𝟒

𝟐

𝜷𝟐𝟐𝜷𝟒𝟒 − 𝜷𝟐𝟒𝟐 … . (𝟐𝟏𝟓)

Considerando o sistema cilíndrico de coordenadas e a condição de serem direções

principais de elasticidade. Desse modo, β14 e β24 são nulos (LEKHNITSKII,1981) e o valor

de k será dado por:

𝒌 = √𝜷𝒓𝒓𝜷𝜽𝜽

… . (𝟐𝟏𝟔)

e os termos participantes de k por:


=𝟏

𝑬𝒓−𝝂𝒓𝒛𝟐

𝑬𝒓…(𝟐𝟏𝟕)


=𝟏

𝑬𝜽−𝝂𝜽𝒛𝟐

𝑬𝜽…(𝟐𝟏𝟖)

O valor médio de k encontrado a partir dessas relações foi de 0,865.

Finalmente, as propriedades de retração são avaliadas de acordo com procedimento

da ABNT-NBR 7190 (1997) para uma variação de umidade de madeira de cerca de 18%, ou

seja partindo-se da peça saturada a 30% de umidade para madeira com umidade de 12%,

cujos valores médios foram os seguintes:

𝛼𝜃 = 0,03; 𝛼𝑟 = 0,06; 𝛼𝑧 = 0,001.

Cálculos das tensões e deslocamentos radiais

θE 781 zE 5100

rE 1019 Gr 120

Gzr 540 Gz 310

θrν 0,639 rθν 0,409

zθν 0,047 θzν 0,334

rzν 0,085 zrν 0,370

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A partir da Equação (210) e dos valores determinados via resultados da parte

experimental do trabalho podem ser confeccionados gráficos das tensões nas direções

radial e tangencial e de deslocamentos. Nesse contexto, a retração (i) é computada como

parcelas das relações tensões, deformações e deslocamentos.

A seguir colocam-se os parâmetros utilizados para a construção das Figuras 19 e 20,

nas quais são mostradas as variações das tensões em r, na direção radial e em θ, na

direção tangencial, partindo-se do centro de uma peça de madeira até a borda, ou seja, a

coordenada r variando de 0 a R e os deslocamentos na direção radial:

𝑨𝟏 =𝜷𝒓−𝜷𝜽

−𝜷𝒓𝒓+𝜷𝜽𝜽= 𝟗𝟎


=𝟏

𝑬𝒓−𝝂𝒓𝒛𝟐

𝑬𝒓≅ 𝟖, 𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟒;


=𝟏

𝑬𝜽−𝝂𝜽𝒛𝟐

𝑬𝜽≅ 𝟏𝟐, 𝟐𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟒 ;

𝜷𝒓 =𝑺𝒓𝒛𝑺𝒛𝒛

(𝒄 + 𝜶𝒛) − 𝜶𝒓 = 𝝂𝒛𝒓(𝒄 + 𝜶𝒛) − 𝜶𝒓 ≅ −𝟎, 𝟎𝟑;

𝜷𝜽 =𝑺𝜽𝑺𝒛𝒛

(𝒄 + 𝜶𝒛) − 𝜶𝜽 = 𝝂𝒛𝜽(𝒄 + 𝜶𝒛) − 𝜶𝜽 ≅ −𝟎,𝟎𝟔.

Observa-se que, como os coeficientes de Poisson νθz e νrz tem valores próximos à

constante c os mesmos não aparecem nos cálculos.

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Figura 19: Tensões radial e tangencial do centro a borda peça de madeira.

Figura 20: Deslocamento radial do centro a borda peça de madeira.

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Pode-se observar que a tensão radial cresce da borda para o centro da peça,

atingindo o valor máximo por volta de 60 MPa, de compressão, e as tensões nas direções

tangenciais tem uma tensão de tração nas bordas de 10 MPa e no centro atinge a

compressão máxima de 40 MPa. O deslocamento radial máximo atinge -1,2 cm na borda em

relação ao centro da peça.

Essas tensões podem ser em muitos casos maiores que a própria resistência à

compressão ou à tração da madeira da espécie estudada de Pinus caribaea e de um modo

geral nos Pinus (em geral de 40 a 60MPa) ou de ainda mais crítico quando associadas com

à tração normal (valores entre 2 e 8 MPa), conforme se pode observar em valores tabelados

de resistência da ABNT-NBR 7190 (1997) e em estudos desenvolvidos por Bortoletto

(2008).

Observa-se que o uso na prática construtiva de chapas metálicas, tipo dentadas,

gangnail, ou anéis metálicos para reduzir tais tensões e consequentes deformações e

deslocamentos em vista dos resultados obtidos nesse estude pode ser considerado

importante (http://www.gangnail.com.br).

13. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E BIBLIOGRAFIA

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TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS E ANISOTROPIA

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