Transitórios Eletromagnéticos - Apostila UFU

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Elétrica

Transitórios Eletromagnéticos Prof. Marcelo Lynce

1

Fundamentos Sobre Transitórios Eletromagnéticos

1 - Introdução:

Um transitório elétrico acontece quando ocorre uma variação

súbita nas condições de regime permanente de um sistema elétrico,

como uma chave que abre ou fecha ou uma falta que ocorre em um

ponto qualquer deste sistema. O período transitório é muito pequeno

e, na maioria das vezes, insignificante quando comparado com o

período de regime permanente. Mas, apesar disto, esses períodos

transitórios são extremamente importantes, pois é durante esses

períodos que os equipamentos do sistema são submetidos aos

maiores estresses elétricos devido a tensões ou a correntes

excessivas. Nos casos extremos, um transitório elétrico pode

promover resultados danosos como inutilizar um equipamento,

derrubar o sistema elétrico de uma fábrica ou mesmo provocar um

“black-out” em uma cidade ou região. Por esta razão, uma análise

clara do evento é essencial para o entendimento do comportamento

do sistema elétrico durante o período transitório. Os transitórios

elétricos podem ser entendidos, podem ser calculados e até mesmo

simulados e algumas vezes prevenidos ou pelo menos controlados

para serem inócuos ao sistema de potência nos quais eles aparecem.



2

2- Parâmetros do Sistema Elétrico:

Qualquer circuito elétrico possui basicamente três tipos de

parâmetros, a saber:

Resistência R [Ω]

Indutância L [H]

Capacitância C [F]

Todo sistema elétrico, quer seja uma rede de transmissão ou de

distribuição ou uma instalação industrial, ou outra instalação qualquer,

possui cada um desses parâmetros em maior ou menor intensidade.

Sob condição de regime permanente, por exemplo, frequentemente

predomina a indutância em um reator. Entretanto, em regime

transitório, as condições podem ser muito diferentes e, em alguns

casos, a capacitância distribuída nos enrolamentos do reator seria

momentaneamente o parâmetro mais importante. Na realidade, a

resistência, a indutância e a capacitância são grandezas distribuídas,

isto é, cada pequena parte do circuito possui uma porção desses

parâmetros. Mas comumente eles podem ser tratados com elementos

concentrados em determinados ramos sem prejuízos na precisão dos

cálculos. Casos particulares como, por exemplo, as linhas de

transmissão, o tratamento desses elementos da forma distribuída é

preferível.

Os parâmetros indutância (L) e capacitância (C) são

caracterizados pela capacidade de armazenar energia. A indutância

armazena energia no campo magnético e a capacitância no campo



3

elétrico. Estas energias são função dos valores instantâneos de

corrente (indutor) e tensão (capacitor) como mostra as expressões a

seguir.

]joule[LIEL

2

2

1=

]joule[CVEC

2

2

1=

Em contraste a esses dois parâmetros, o parâmetro resistência é

dissipador de energia, a potência dissipada na resistência é dada por

P = RI2. Em um determinado período de tempo (τ) a energia dissipada

é expressa por:

]joule[dtRIER ∫τ

=0

2

Sob condição de regime permanente, a energia armazenada nos

indutores e capacitores de um circuito em corrente contínua é

constante, enquanto que em um circuito em corrente alternada, a

energia é transferida ciclicamente entre as indutâncias, capacitâncias

e fontes do circuito, conforme a corrente e tensão cresce e decresce

na frequência da rede. Este processo é acompanhado de perdas de

energia que dependem da resistência do circuito. Estas perdas são

supridas pela fonte de alimentação.

Quando qualquer variação súbita ocorre em um circuito elétrico,

esta variação será acompanhada de uma redistribuição das parcelas

de energia armazenada nos indutores e capacitores para estabelecer

a nova condição. É nesta etapa que ocorre os fenômenos transitórios

e a sua natureza depende do tipo de variação súbita ocorrida. É muito



4

importante compreender que a redistribuição de energia não pode

acontecer instantaneamente por duas razões:

1 – A variação da energia magnética armazenada em um

indutor requer uma variação de corrente. Mas a variação de

corrente em um indutor é contraposta por f.e.m. determinada

pelo produto da indutância (L) pela taxa de variação de corrente.

Uma variação instantânea significa uma taxa de variação da

corrente infinita, ou seja, seria necessária uma tensão infinita

para a sua realização. Como isto é irrealizável na prática, a

corrente em um indutor não pode variar abruptamente e,

consequentemente, a energia magnética armazenada no indutor

também não.

2 – A variação da energia elétrica armazenada em um

capacitor requer uma variação de tensão. A tensão através de

um capacitor é dada por: V = Q/C, onde Q é a quantidade de

carga elétrica no capacitor. A variação de tensão deverá ser

acompanhada pela variação da carga, assim uma variação

instantânea da tensão requer uma variação instantânea da carga

o que significa que uma corrente infinita deve fluir pelo capacitor.

Isto também é irrealizável, consequentemente, a tensão em um

capacitor não pode variar abruptamente e nem a energia

associada ao campo elétrico.



5

A redistribuição de energia após uma variação no circuito leva

um período de tempo finito e o processo durante este intervalo como

em qualquer outro é determinado pelo princípio da conservação de

energia, ou seja:

a energia suprida pela fonte é igual à energia armazenada mais a

energia dissipada.

Estes três simples aspectos – a corrente em um indutor não

pode variar subitamente; a tensão em um capacitor também não pode

variar subitamente e o princípio da conservação de energia que deve

ser preservado durante todo o tempo - são fundamentais para o

entendimento do fenômeno. Estimar completamente as implicações

destes fatores é tocar na essência do assunto.

3 - Interpretação Física e Formulação Matemática de Transitórios

Elétricos:

Neste item será dado maior ênfase à interpretação física dos

fenômenos de transitórios elétricos visto que isto facilita a formulação

matemática do assunto. Apresenta-se a seguir a relação entre a

corrente e tensão através dos parâmetros do circuito elétrico.

Resistência RIV =

Indutância dt

dILV =

Capacitância dt

dVCI =



6

Como pode ser observado, a tensão através do indutor depende

da taxa de variação da corrente (dI/dt), já a corrente através do

capacitor depende da taxa de variação de tensão. Isto significa que se

não houver taxa de variação de corrente ou taxa de variação de

tensão, a tensão através do indutor ou a corrente no capacitor serão

nulas.

3.1 – Circuitos RL, RC e LC excitados por fonte CC:

Considere um circuito R L suprido por uma fonte de tensão

contínua como mostra a figura a seguir. A partir de um instante t = 0, a

chave k fecha iniciando o processo transitório de estabelecimento de

corrente no indutor.

Circuito R L suprido por uma fonte de corrente contínua

No instante em que a chave fecha a corrente no circuito é nula

assim toda tensão a fonte é aplicada sobre o indutor. Logo, a taxa de

variação da corrente é determinada por: dI/dt = V/L. A partir deste

instante, a corrente começa a crescer e simultaneamente cresce

também a queda de tensão sobre a resistência. A tensão através do

indutor vai decrescendo à medida que a corrente cresce, até se



7

anular. Nesse momento a queda de tensão na resistência é igual à

tensão da fonte e a taxa de variação da corrente é nula. Isto é, a

corrente se manterá constante enquanto a chave estiver fechada. O

período transitório de interesse neste caso compreende desde o

instante em que a chave fecha até o momento em que a corrente para

de crescer. Em termos matemáticos pode-se escrever:

LR VVV +=

L

RIV

dt

dI

dt

dILRIV

−=⇒+=

Resolvendo a equação diferencial para determinar a corrente chega-

se a:

−=

− tL

R

eR

V)t(I 1

O expoente R/L na expressão da corrente determina a rapidez

com que a corrente cresce até atingir o valor constante (V/R). Quanto

maior for o parâmetro indutivo em relação ao resistivo, mais tempo o

circuito levará para estabilizar o valor da corrente, e a recíproca

também é verdadeira. Define-se como constante de tempo deste

circuito (T) a relação entre a indutância e a resistência do circuito, ou

seja: R

LT = , logo a expressão da corrente será

−=

−T

t

eR

V)t(I 1

Uma situação semelhante a esta ocorre com o circuito R C

mostrado na figura a seguir.



8

Circuito R C suprido por uma fonte de corrente contínua

Nesse caso, a tensão no capacitor não pode variar

instantaneamente. Portanto, considerando o capacitor inicialmente

carregado com uma tensão VCo, tão logo a chave fecha a diferença

entre tensão da fonte e a tensão inicial do capacitor é aplicada sobre a

resistência. Assim, a corrente que antes do fechamento da chave era

nula, a partir desse instante assume o valor (V-VCo)/R. A formulação

matemática do circuito capacitivo é apresentada a seguir.

dt

dVCCIIdt

CVC =⇒= ∫

1

VCdt

dVCRCVVCVRV +=⇒+=

( )

−−=

− tRC

o eVCVVC

1

1

A corrente no circuito agora é determinada por:

tRCo e

R

VCVI

1−

−=

A constante de tempo no circuito capacitivo assume o valor:

RCT = . Nas expressões apresentadas anteriormente, destacam-se as

características dos circuitos indutivos e capacitivos nas respostas

exponenciais (t

RCt

L

R

e;e

1−−

) para um distúrbio. Como pode ser



9

observado, o circuito leva um tempo finito para ajustar-se de uma

condição para outra depois de qualquer distúrbio. No instante da

abertura ou fechamento de uma chave as condições iniciais definirão a

intensidade das perturbações até a nova condição de regime

permanente seja atingida. No caso do circuito capacitivo, por exemplo,

se o capacitor estiver carregado com uma tensão inicial igual à tensão

da fonte, não haverá nenhum distúrbio, pois após o fechamento da

chave, a corrente permanecerá nula. A duração do período transitório

pode ser estabelecida em termos de constante de tempo do circuito.

Geralmente considera-se que um período de tempo equivalente a

quatro constantes de tempo para a duração do período transitório. Isto

não é totalmente verdade, visto que a exponencial que caracteriza o

período transitório ainda não se anulou (e-4=0,018).

Através da experiência no manuseio de problemas de

transitórios elétricos e familiaridades com as soluções, a necessidade

de cálculos matemáticos requeridos para a análise do problema é

diminuída. É possível construir soluções simplesmente fazendo a

análise física do sistema e utilizando as características típicas dos

circuitos. Com o objetivo de mostrar essa possibilidade, apresenta-se

a seguir a análise de um circuito L C suprido por uma fonte de corrente

contínua. No circuito apresentado a seguir, as condições iniciais de

tensão no capacitor e corrente no indutor são consideradas nulas

quando a chave k fecha. Observa-se que neste circuito nem a corrente

no indutor e nem a tensão no capacitor podem variar subitamente.



10

Circuito LC suprido por uma fonte de corrente contínua.

Após o fechamento da chave k, como a tensão inicial do

capacitor é nula toda a tensão da fonte é aplicada sobre o indutor,

definido assim a taxa de variação da corrente por:

L

V

dt

dI=

A corrente começa então a crescer. À medida que a corrente vai

fluindo para o capacitor, este vai adquirindo carga e apresenta uma

tensão VC em seus terminais. O crescimento da tensão no capacitor

implica em uma redução na tensão sobre o indutor, ou seja, na

redução na taxa de crescimento da corrente. Quando a tensão no

capacitor atingir o valor da tensão da fonte, a taxa de crescimento da

corrente será nula, a corrente nesse instante para de crescer atingindo

o seu valor máximo. Como o fluxo de corrente eleva a carga do

capacitor, a tensão sobre este continua crescendo ultrapassando o

valor da tensão da fonte. Isto impõe uma taxa de variação da corrente

negativa, ou seja, a corrente começa a decrescer, até se anular.

Para quantificar o comportamento da tensão e corrente no

circuito, apresenta-se uma análise do balanceamento energético no

período em a corrente cresce até atingir o seu valor máximo.

Primeiramente, é importante observar que, as variações das quedas



11

de tensão sobre o indutor e o capacitor são opostas em ralação à

tensão aplicada. Isto é, quando uma decresce do valor da tensão da

fonte até se anular, a outra cresce partindo do zero até atingir a tensão

da fonte, sempre se mantendo o seu total igual ao valor da tensão da

fonte. Dessa forma, como a corrente é a mesma para esses dois

elementos, pode-se afirmar que, no instante em que a corrente atingir

o valor máximo, a energia armazenada no indutor é igual à energia

armazenada no capacitor e é igual à metade da energia suprida pela

fonte. Então:

oZC

L

I

VCVLI ==⇒= 22

2

1

2

1

Onde Zo é definido como sendo a impedância característica do circuito

LC.

No período em que a corrente decresce até se anular, a energia

armazenada no indutor é transferida ao capacitor juntamente com a

energia vinda da fonte. No momento em que a corrente se anula, o

capacitor estará armazenando quatro vezes a energia máxima

armazenada no indutor. Isto significa que a tensão sobre o mesmo

deverá dobrar.

Com a tensão igual a duas vezes à da fonte a taxa de variação

da corrente será negativa, portanto a corrente inverte o seu sentido e o

capacitor devolverá a sua energia para a fonte. Nesse período é

evidente que a corrente crescerá até atingir o valor máximo no sentido

inverso, instante no qual o indutor e capacitor possuem as mesmas



12

quantidades de energia, e depois decrescerá até se anular, instante no

qual toda energia é devolvida à fonte. Completa-se dessa forma o ciclo

no qual a energia flui da fonte para os elementos, sendo em um dado

momento armazenada em partes iguais nos dois elementos, depois se

concentrando totalmente no elemento capacitivo e a seguir é devolvida

a fonte. Este ciclo é repetitivo e como o circuito não possui elementos

resistivos não haverá dissipação de energia, mantendo-se essa

oscilação indefinidamente. A figura a seguir mostra o comportamento

da tensão e a corrente conforme de acordo com o relatado.

Comportamento da tensão e a corrente no circuito LC

Após esta a análise física do circuito, pode-se estabelecer as

expressões da corrente e tensão no capacitor como a seguir. A

corrente será periódica iniciando pelo valor nulo tendo o seu valor

máximo igual à tensão da fonte dividida pela impedância característica

do circuito, o que sugere:

tZ

VtI o

o

ωsen)( =



13

Onde ωo é a frequência de oscilação do circuito. O valor de ωo pode

ser determinado a partir da tensão através do indutor. Esta, como já

mencionado, é igual à tensão da fonte no instante inicial (t = 0). Assim,

chega-se a:

tZ

VLtV oo

o

L ωω cos)( =

LCo

1=ω

A tensão no capacitor deverá também oscilar, porém não

assumirá valores negativos. Ela deve iniciar por zero e atingir um valor

máximo igual ao dobro da tensão da fonte. Pelo circuito elétrico pode-

se determinar a expressão da tensão no capacitor, que é obtida por:

LC VVtV −=)(

( )tVtVC 0cos1)( ω−=

Dessa forma, mostra-se que, através da análise física do

comportamento do circuito elétrico, pode-se fazer uma boa previsão

dos resultados esperados.

3.2 – Circuito R L excitado por fonte CA:

Um circuito RL pode representar cargas indutivas ou

simplesmente reatores e, durante a sua energização ocorre um

transitório que muito importante para as análises subsequentes.

Considere o circuito RL suprido por uma fonte de corrente alternada

mostrada na figura a seguir. No instante t = 0 a chave S fecha.



14

Circuito R L suprido por uma fonte de corrente alternada

O comportamento da corrente dependerá do valor instantâneo

da tensão no instante do fechamento da chave. Isto pode ser

concluído quando se faz o seguinte raciocínio. Considere que no

instante do fechamento da chave S, a tensão esteja passando pelo

valor nulo no sentido crescente. Desprezando o valor da resistência

para facilitar o raciocínio, a taxa de crescimento da corrente é nula

neste momento e cresce com o crescimento da tensão. Assim, quando

a tensão atingir o seu valor máximo, a taxa de crescimento da corrente

será máxima. A partir deste ponto, a tensão deverá decrescer e

consequentemente a taxa de crescimento da corrente, porém a

corrente continuará a crescer e só deixará de crescer quando a sua

taxa de crescimento for nula. O decrescimento da corrente implica em

taxa de crescimento negativa, ou seja, tensão da fonte negativa. Esse

raciocínio mostra claramente que a corrente será uma senoide

deslocada de seu eixo no sentido positivo de sua amplitude.

De outra forma, considerando que no instante do fechamento da

chave a fonte de tensão está passando pelo seu valor máximo

positivo, a corrente deverá iniciar o crescimento com a máxima taxa de

crescimento e crescerá até que a tensão atinja o seu valor nulo. Isto é,



15

a corrente será máxima quando a tensão for nula. A partir deste ponto

a corrente deverá decrescer e será nula quando a tensão for máxima

negativa. Deste ponto em diante, o valor negativo da tensão começa

reduzir até se anular enquanto que a corrente cresce no sentido

negativo atingindo o seu valor máximo no momento em que a tensão

se anula. A tensão crescendo o sentido positivo impõe uma taxa de

crescimento positiva para a corrente e esta passa decrescer do valor

máximo negativo até atingir o seu valor nulo que ocorre no instante em

que a tensão atingir o seu valor máximo positivo. A figura a seguir

mostra estes dois casos, sendo a figura (a) o primeiro caso, no qual a

fonte está passando pelo valor nulo quando se fecha a chave, e a

figura (b), o caso no qual a fonte está passando pelo valor máximo.

Energização de um reator puramente indutivo.

(a) - A chave é fechada quando a tensão passa pelo valor de nulo.

(b) - A chave é fechada quando a tensão passa pelo valor de pico.

Dos raciocínios anteriores, pode-se concluir que, em situações

intermediárias de chaveamentos, o comportamento da corrente deverá

ficar entre esses limites, que serão válidos tanto para deslocamentos



16

positivos da corrente como negativos. A corrente deslocada pode ser

representada por uma componente de corrente alternada mais uma

componente de corrente contínua. Conforme foi visto anteriormente, a

resistência tem uma característica dissipadora de energia e como a

fonte é de corrente alternada, a componente de corrente continua

tende a desaparecer.

A seguir apresenta-se a formulação matemática do circuito

considerando uma condição qualquer de tensão no instante do

fechamento da chave.

dt

dILRI)t(V +=

onde:

V(t) é a tensão da fonte - V(t) = sen(ωt +θ)

θ é o ângulo da tensão associado ao instante do fechamento da

chave. Ou seja, o valor da tensão no instante do fechamento da

chave é Vmsen(θ ).

R e L são respectivamente a resistência e a indutância do

circuito.

A solução da equação acima pode ser obtida empregando

técnicas adequadas para equações diferenciais e é apresentada a

seguir.

( )( ) ( )

φ−θ−φ−θ+ω

ω+=

−

senetsenLR

V)t(I

tL

R

m

22

Onde φ é o ângulo que define o fator de potência do circuito.

ω=φ −

R

Ltg

1



17

A figura a seguir mostra a representação da corrente I(t) e as

componentes de corrente alternada e corrente contínua que compõem

a mesma.

A curva (a) representa a corrente I(t) obtida pela equação acima;

A curva (b) representa a componente CA da corrente que

corresponde ao primeiro termo da equação. Esta curva

representa também a corrente do circuito em regime

permanente;

A curva (c) está associada ao termo exponencial e representa a

componente CC da corrente. A sua existência deve-se à

necessidade de uma componente cujo valor inicial evita a

variação repentina da corrente no circuito, visto que o indutor

não permite tal variação.

Observa-se ainda na expressão da corrente, que se ângulo φ for

igual ao ângulo θ não haverá período transitório no

estabelecimento da corrente.

Corrente de energização de um circuito RL. A chave fecha em um instante

genérico Curva (a) corrente no circuito I(t) Curva (b) componente CA Curva (c) componente CC



18

3.3 - Amortecimento de Transitórios Eletromagnéticos

Como já foi comentado anteriormente, o transitório

eletromagnético é proveniente de variações súbitas da condição

energética de um sistema elétrico. Essas variações transportam

energia de um ponto a outro do sistema elétrico causando variações

de tensão e corrente indesejáveis. A intensidade do transitório está

ligada aos parâmetros do sistema e à intensidade de energia

envolvida. Quanto maior o nível de energia envolvido maior será a

intensidade do transitório. Consequentemente, o amortecimento de

transitórios eletromagnéticos pode ser conseguido através da

dissipação da energia envolvida em elementos resistivos, ou através

da redução dessa energia estabelecendo condições iniciais

adequadas.

Na análise de fenômenos transitórios, usualmente todas as

perdas são desprezadas em um primeiro instante, o que simplifica

bastante as equações matemáticas e a interpretação das mesmas.

Além disto, tal aproximação conduz a resultados mais severos para os

quais o sistema elétrico deve ser protegido. Neste item será discutida

a utilização de resistores com a finalidade de fazer o amortecimento

de fenômenos transitórios. Será considerado exclusivamente o estudo

de dois tipos de circuitos, RLC paralelo e RLC série. Estes dois tipos

de circuitos são considerados porque, na prática toda a rede elétrica

pode ser reduzida a um destes dois circuitos.

O comportamento dos circuitos RLC paralelo ou série é muito

simples tendo-se em vista que as equações diferenciais que



19

descrevem comportamento dos mesmos são essencialmente

similares.

3.4 - Circuito RLC série.

Considere o circuito RLC série, no qual se deseja determinar a

expressão da corrente i(t), que é a variável comum a todos os

parâmetros do mesmo.

Circuito RLC série

A equação diferencial que descreve o comportamento do circuito é

obtida a partir de: V = VR + VL + VC .

Sendo que: VR = R.I; VL = L(dI/dt); VC = (1/C)∫Idt.

Então:

∫++= IdtCdt

dILRIV

1

Derivando em relação ao tempo, tem-se a equação diferencial:

01

2

2

=++ ICdt

IdL

dt

dIR ou 0

12

2

=++ ILCdt

dI

L

R

dt

Id



20

Fazendo: 0

0

11;

ωω =⇒== T

LCR

LTs

A equação diferencial pode ser escrita na forma a seguir, onde Ts

representa a constante de tempo do circuito RLC série e T o período

angular de oscilação do circuito:

011

22

2

=++ ITdt

dI

Tdt

Id

s

A solução para essa equação a equação diferencial apresenta três

possibilidades distintas

−

−

=

−−−−+−

tTTTs

tTTTs

s

ss

ee

TTL

VtI 2

411

2

411

22

2222

41)(

a) raízes reais e diferentes: 1/Ts2 > 4/T2 ⇒ R/Z0 > 2

I(t) ⇒ superamortecido

b) raízes reais iguais: 1/Ts2 = 4/T2 ⇒ R/Z0 = 2

I(t) ⇒ amortecimento crítico

c) raízes reais imaginárias: 1/Ts2 < 4/T2 ⇒ R/Z0 < 2

I(t) ⇒ oscilatório



21

t.T

4

T

1

2

1senh

T

4

T

1L

Ve)t(I)a

22

s

22

s

tT

1

s

−

−

=

−

tT

1

se.t.L

V)t(I)b

−

=

t.

T

4

T

1

2

1sen

T

4

T

1L

Ve)t(I)c

22

s

22

s

tT

1

s

−

−

=

−

3.5 - Circuito RLC paralelo.

Considere o circuito RLC paralelo, no qual se deseja determinar

a expressão da tensão no capacitor V(t), que é a variável comum a

todos os parâmetros do mesmo.



22

Circuito RLC paralelo

Sabe-se que: IR + IL + IC = 0; e: IR = V/R; IL = (1/L)∫Vdt; IC = C(dV/dt),

então a seguinte equação pode ser escrita:

∫ =++ 0dt

dVCVdt

L

1

R

V

Derivando em relação ao tempo, tem-se a equação diferencial:

011

2

2

=++ VLCdt

dV

RCdt

Vd

Nesse caso, fazendo TP = RC (constante de tempo do circuito RLC

paralelo), tem-se:

011

22

2

=++ VTdt

dV

Tdt

Vd

P

Observa-se muita semelhança entre as equações diferenciais do

circuito série e paralelo, houve apenas a mudança da variável de

corrente para tensão e a constante de tempo do circuito.

A solução no domínio do tempo de V(t) será semelhante à

solução de corrente no circuito RLC série com as devidas

substituições das constantes de tempos série (TS) pela paralela (TP)

e, quando necessário, nas condições iniciais, assim, tem-se:



23

a) raízes reais e diferentes: 1/Tp2 > 4/T2 ⇒R/Z0 < 1/2

V(t) ⇒ superamortecido

b) raízes reais iguais: 1/Tp2 = 4/T2 ⇒ R/Z0 = 1/2

V(t) ⇒ amortecimento crítico

c) raízes reais imaginárias: 1/Tp2 < 4/T2 ⇒ R/Z0 > 1/2

V(t) ⇒ oscilatório

Da análise dos resultados obtidos para desses dois circuitos (série e

paralelo) algumas conclusões podem ser extraídas:

As relações R/Zo < 2 no circuito serie e R/Zo > 2 no circuito

paralelo são típicas das redes elétricas elétricos. Ou seja, o

fenômeno transitório nos sistemas elétricos quase sempre será

oscilatório.

No circuito série a corrente é amortecida pela exponencial (e-t/Ts),

ou seja, a constante de tempo a ser considerada é: Ts =L/R;

No circuito paralelo a tensão é amortecida pela exponencial (e-

t/Tp) e a constante de tempo a ser considerada é: TP = RC.

Estas conclusões são importantes para o estudo de linhas de

transmissão.

Exemplo:



24

Fazer a simulação de um circuito RLC série e paralelo para

verificar as condições de amortecimento. Dados: U = 100 V; L = 100

mH; C = 10 µF sendo a resistência variável de acordo com o

amortecimento desejado.

Ω=⋅

⋅==

−

−

1001010

101006

3

C

LZo

3

43

13

63

1040max

10101

10101010100

11

−

−−

−

−−

×=

≤⇒==

=⋅⋅⋅

==

T

DeltaTsT

sLC

o

o

ω

ω

Os circuito simulados no ATPDraw são mostrados a seguir:

LR

CU LR CI

Circuito série Circuito paralelo

Os resultados são apresentados a seguir:



25

a) Circuito série Tensão no Capacitor

b) Circuito série Corrente no Capacitor



26

c) Circuito paralelo Corrente no Capacitor

d) Circuito paralelo Tensão no Capacitor

-

4 – Tensão de restabelecimento transitória (TRT) ocasionada pela

interrupção da corrente de curto-circuito:

Sabe-se que os parâmetros R L C estão presentes na maioria

dos equipamentos elétricos e a eles estão associados os fenômenos

transitórios, principalmente aqueles devido aos chaveamentos. Nesta



27

seção apresenta-se o fenômeno da sobretensão transitória devido à

remoção de um curto-circuito por um disjuntor. O circuito mais simples

para ilustrar esse fenômeno que ocorre entre os terminais de um

disjuntor, no momento da extinção da corrente de curto-circuito, é

apresentado na figura a seguir. Nesta figura representa-se o sistema

supridor por uma fonte de tensão em série com uma indutância (L) que

é determinada pelo nível de curto circuito do sistema. A capacitância

(C) representa a capacitância de fuga de buchas, isoladores, TC’s e

cabos. Neste circuito desprezam-se todas resistências elétricas que o

sistema poderia apresentar. Considera-se que a corrente de curto-

circuito, no momento de sua interrupção, já tenha atingido o seu valor

de regime permanente, isto é, a componente CC já tenha

desaparecido.

Interrupção de um curto-circuito

A corrente de falta não se extinguirá pela simples abertura dos

contatos do disjuntor, pois devido à presença do indutor, esta não

deverá variar subitamente. Após a abertura dos contatos do disjuntor a

corrente poderá continuar fluindo através de um arco que se forma

entre os contatos do disjuntor. Para se ter êxito na interrupção da

corrente é necessário controlar o arco para extingui-lo, e diferentes

tipos de disjuntores que usam métodos distintos para isto. A



28

interrupção deve acontecer quando a corrente atinge o valor nulo, pois

o arco se apaga neste instante. Em sistemas de corrente alternada

isto ocorre duas vezes por ciclo. A tensão sobre a capacitância de

fuga do sistema, que é a mesma através dos contatos do disjuntor, é a

tensão do arco. Em sistema de alta tensão a tensão do arco é

relativamente pequena quando comparada com a tensão do sistema e

pode ser desprezada sem prejuízo na precisão dos resultados. Já em

sistemas de baixa tensão, esta pode ser mais significativa e deve ser

considerada. Em uma primeira análise a tensão do arco será

desprezada. Feita essas considerações, quando a corrente passar por

zero a corrente de curto-circuito será interrompida. Nesse momento, a

tensão da fonte será máxima, visto que o circuito é puramente

indutivo. O fenômeno da tensão de restabelecimento começa nesse

instante ao qual é atribuído t = 0. Então, a equação diferencial

representativa do circuito elétrico é dada por:

CVdt

dIL)t(V +=

Na equação acima, o objetivo é determinar a tensão sobre a

capacitância. Observando que após a interrupção do curto-circuito, a

corrente somente poderá fluir através da capacitância e a mesma está

relacionada com a tensão por:

dt

dVCI c=

Substituindo o valor da corrente I na equação anterior e considerando:

tcosV)t(V m ω=

Chega-se a:



29

tcosVLC

VLCdt

VdmC

c ω=+11

2

2

Como já visto anteriormente:

LC

10 =ω

Antes de apresentar a solução da equação diferencial é

conveniente fazer uma análise física do problema. Em regime

permanente, a tensão sobre a capacitância, ou seja, sobre os contatos

do disjuntor, deverá ser a tensão da fonte, porém, no instante da

interrupção da corrente (t = 0), a tensão é a tensão do arco

considerada nula. Como a capacitância não permite variação súbita de

tensão, deverá haver um período transitório para carregar C através

da indutância L. O circuito LC já mostrado anteriormente apresenta

oscilações na frequência natural (ωo). As condições iniciais para a

solução da equação diferencial são:

00 =)(V C – despreza-se a tensão no arco;

00

0 ==′

C

)(I)(V C - pois I(0) = 0 no instante da abertura.

Então, a solução da equação diferencial será:

[ ]tcostcosV)t(V mC 022

0

2

0 ω−ωω−ω

ω=

Essa expressão representa a tensão que ocorrerá entre os

contatos do disjuntor após a interrupção da corrente no instante em

que a mesma possa por zero. Em geral, ωo >> ω por isto, durante o

período de interesse que corresponde ao intervalo durante o qual a

frequência natural de oscilação (ωo) persiste, o termo relacionado com



30

a frequência do sistema (ω) varia muito pouco e para esta região é

justificável a aproximação:

[ ]tcosV)t(V mC 01 ω−=

A figura a seguir ilustra a tensão sob análise. É conveniente

observar que a figura ilustra a situação anterior ao instante da

interrupção e aquela após a eliminação da corrente. É também

interessante salientar que o efeito amortecedor das resistências não

foi incluído nas deduções. Na figura constata-se a inexistência de

amortecimento na oscilação de frequência natural ωo. A tensão VC ,

que é a própria tensão de restabelecimento, tem um valor máximo que

se aproxima de 2Vm.

Comportamento da tensão de restabelecimento sem amortecimento

Geralmente, L, C ou ambos são muito pequenos, portanto, a

frequência natural de oscilação é muito alta e tensão de

restabelecimento crescerá muito rapidamente. Se esta taxa de

crescimento da tensão de recuperação exceder a taxa de

recomposição da rigidez dielétrica do meio entre os contatos, ocorrerá



31

a reignição do arco e a corrente de curto-circuito não será

interrompida. Isso fará com que o disjuntor conduza a corrente de falta

por, no mínimo, mais 1/2 ciclo.

É evidente que a taxa de crescimento da tensão de recuperação

(TCTR) é um fator muito importante para a seleção adequada de um

disjuntor. A TCTR proporciona uma medida da severidade da

operação do disjuntor. Naturalmente, os maiores valores de TCTR são

encontrados em sistemas com altas frequências naturais. A definição

e a forma básica de cálculo desta grandeza é apresentada a seguir.

4.1 – Taxa de Crescimento da Tensão de Restabelecimento –

TCTR

A variação de tensão na capacitância mostra que a TCTR é

variável desde o valor nulo da tensão até o seu valor máximo.

Iniciando por um valor nulo crescendo até um valor máximo e depois

decrescendo até se anular quando a tensão atinge o seu valor

máximo. Para o cálculo da TCTR considera-se uma taxa constante

que promove a variação de tensão no mesmo intervalo de tempo.

Assim definida a TCTR pode-se escrever:

0

0

42

2

2fV

LC

V

T

V

t

VTCTR m

mm ===∆

∆=

π

Pode acontecer que a corrente de falta não seja simétrica

dependendo do valor instantâneo da tensão no momento em que

ocorrer o curto-circuito. O disjuntor novamente irá interromper a

corrente nula e a tensão oscilará em torno do valor instantâneo da



32

tensão de alimentação que será menor que o valor máximo Nesse

caso, a TCTR será menor. A tensão do arco e a sua resistência

também podem alterar o valor da TCTR

Exemplo

Considerando um reator de núcleo de ar limitador de corrente de

curto-circuito, possuindo uma indutância de 1 mH e uma capacitância

de fuga de 400 pF, interligando um barramento infinito de 13,8 kV a

um disjuntor, o qual é solicitado a interromper uma falta na sua saída.

Determinar a TCTR no momento da abertura do disjuntor.

s/rd,o

6

123105811

1040010

1×=

××=ω

−−

kHz,fo 62512

0 =π

ω=

s/kV,,,

TCTR µ=××××

= 34111062513

81324 3

4.2 – Amortecimento da Taxa de Crescimento da Tensão de

Restabelecimento

Em alguns tipos de disjuntores, os contatos principais possuem

resistores em paralelo que têm duas funções:



33

i) em disjuntores com várias câmaras de extinção de arco, os

resistores ajudam a distribuir a tensão de restabelecimento

mais uniformemente entre as várias unidades de

interrupção;

ii) os resistores reduzem a taxa de crescimento da tensão de

recuperação no instante da interrupção, introduzindo

amortecimento no fenômeno transitório.

O primeiro item poderia ser satisfeito utilizando uma resistência

relativamente alta; com a restrição de que a mesma fosse baixa

quando comparada com a reatância capacitiva em paralelo com

os interruptores à frequência do transitório de recuperação. Para

satisfazer o segundo item, é necessário um resistor de valor bem

mais baixo.

A figura a seguir mostra um circuito representando um

disjuntor com um resistor em paralelo com os contatos principais.

A indutância L representa a indutância do sistema e a

capacitância representa a capacitância de fuga nos terminais do

disjuntor. Quando a corrente de falta for interrompida, uma

corrente residual poderá fluir pelo resistor R. Esta corrente será

interrompida subsequentemente à corrente de falta através dos

contatos auxiliares representados pela chave S.



34

Considerando que a função principal do resistor R é reduzir

a TCTR a níveis aceitáveis pelo disjuntor, e para isto, deve-se

reduzir o valor do primeiro pico da tensão de restabelecimento,

apresenta-se a seguir uma formulação com base nessa redução.

Seja Vp o valor desejável do primeiro pico da tensão de

restabelecimento e Vm o valor de pico da tensão da fonte.

Através dos equacionamentos obtidos para circuitos

amortecidos, chega-se à expressão que determina o valor do

resistor a ser colocado em paralelo com os contatos principais do

disjuntor. Essa expressão é apresentada a seguir.

1

12

2

0 +

−

π×=

m

p

V

Vln

ZR

Onde Z0 é a impedância dada por:

C

LZ =0



35

Exemplo

Um disjuntor deve ser instalado em um barramento de 345 kV e

nível de curto-circuito 25.000 MVA, conforme mostra a figura. A

capacitância de fuga do barramento incluindo a do disjuntor é

25.000 pF. Deseja-se utilizar um resistor em paralelo com os contatos

principais do disjuntor para limitar a TCTR em 7,0 kV/µs. Determinar o

valor da resistência R a ser utilizada e comprovar através de

simulação a eficiência do valor calculado.

Pelo nível de curto-circuito especificado tem-se

( )Ω=== 7614

00025

34522

,.MVA

kVX Lcc

mH,,

Lcc 6312602

107614 3

=×π×

×=

Então, pode-se determinar a impedância Z0 e a frequência de

oscilação do circuito ω0 após a interrupção da corrente de curto-

circuito como a seguir:

Ω=×

×=

−

−

747101025

1063129

3

0 ,,

Z

s/rd,,

3

120 10285610256312

1×=

××=ω

−

A TCTR sem amortecimento é determinada por:



36

s/kV,,

TCTR µ=×π

××

××= 0910

102

102856

3

345246

3

A redução da TCTR de 10,09 kV/µs para 7,0 kV/µs significa reduzir o

primeiro pico da tensão de recuperação na mesma proporção, quando

se considera que os picos de tensão, nas situações de amortecimento

e sem amortecimento, acontecem no mesmo instante. Isto não é

exatamente o que ocorre, mas é uma boa aproximação, assim:

3910910

072,

,

,

V

V

m

p=

×=

Logo, calculando o valor da resistência, tem-se:

( )Ω=+

−

π×= 1123011

13912

747102

,.,ln

,R

A simulação do circuito anterior conduziu aos seguintes resultados

apresentados a na figura a seguir. A figura (a) mostra o oscilograma

da tensão de recuperação em duas situações distintas. A curva

oscilatória com maior valor de pico mostra a tensão de recuperação

sem a utilização do resistor de amortecimento e a curva amortecida

mostra a tensão no caso da utilização resistor calculado anteriormente

(1.230,11 Ω). A figura (b) mostra um zoom do oscilograma da figura (a)

focado no primeiro pico da tensão. Os valores de pico das duas curvas

e seus respectivos instantes de ocorrência são assinalados. Da figura

(b) têm-se os valores do primeiro pico da tensão amortecida (390,81

kV) e o tempo em que ele ocorre (58,19 µs). Logo, a TCTR é

determinada por:

s/kV,,

,TCTR µ726

1958

81390==



37

Estes resultados comprovam a eficiência da técnica.

5 – Chaveamento de cargas:

As funções mais frequentes de alguns dispositivos de

chaveamentos são fechar e abrir circuitos de cargas, as quais, na

maioria dos casos, podem ser representadas por um circuito RL

paralelo. As cargas de baixo fator de potência são predominantemente

indutivas e as de alto fator de potência predominantemente resistivas.

Quando uma chave interrompe a alimentação deste tipo de carga, a

capacitância efetiva da carga torna-se importante para a determinação

do fenômeno transitório gerado. O circuito resultante de tal operação

de chaveamento é apresentado a seguir juntamente com o

comportamento da tensão entre os terminais da chave



38

A carga da figura anterior possui um fator de potência

relativamente alto, visto que a defasagem entre a tensão e a corrente

é pequena. Quando a corrente se extingue, o valor instantâneo da

tensão é V(0). Este valor é, portanto, a tensão da carga no início do

processo transitório, ou seja, o valor inicial da tensão na capacitância

C. Após a interrupção da corrente, a capacitância se descarregará

sobre a indutância e a resistência do circuito estabelecendo uma

tensão oscilatória amortecida na carga. A constante de tempo de

amortecimento da tensão, nesse caso, é dada por: Tp = RC. A

expressão que descreve o comportamento da tensão na carga é

apresentada a seguir.

−η

−η

−

−η=

−

14

214

2140

2

2

22 p

p

T

t

C

T

tsen

T

tcose)(V)t(V p

Onde η representa a relação entre a resistência e a impedância

característica do circuito Z0 .



39

L

CR

Z

R==η

0

É importante analisar o efeito do fator de potência no

comportamento transitório do circuito. Quando o fator de potência

cresce a corrente vai se tornando mais em fase com a tensão, assim,

o valor inicial da tensão transitória V(0) diminui. Na condição de fator

de potência unitário V(0) = 0, consequentemente não haverá

transitório. Portanto, o fator de potência é o elemento principal para o

controle da magnitude do transitório do chaveamento analisado.

Se neste caso for desejável analisar a corrente no indutor,

considerando as mesmas condições que conduziram à expressão de

tensão, tem se:

−η××

−η×=

−

p

T

t

p

LT

tsene

T

L

)(V)t(I p

214

14

20 22

2

Exemplo

No circuito abaixo, o capacitor está carregado com uma tensão

de 20 kV quando a chave S fecha (instante t = 0). Conhecendo os

parâmetros do circuito, determinar o valor do primeiro pico da corrente

no indutor e o instante, após o fechamento da chave, em que ele

ocorre.

Dados: R = 430 Ω; C = 0,10 µF; L = 8,0 mH



40

Pelos parâmetros do circuito pode-se determinar:

Ω=×

×=

−

−

8428210100

10086

3

0 ,,

,Z

52184382

430,

,==η

s,Tp µ=××= − 4310100430 6

Para determinar o instante exato em que ocorrerá o primeiro pico da

corrente, pode-se utilizar uma expressão, derivada da equação da

corrente aplicando-se os conceitos de máximos e mínimos, mostrada

a seguir:

142

14 22 −η=

−η

pT

ttg

( ) 8721038331521410432

1521432

4

2,t,tg,

t,tg =××⇒−×=

××−×

−

( )s,

,

,tgt µ=

×=

−

0237103833

28703

1

O valor de pico da corrente será:

A,

,sene,

.)t(I

,

L 46432

0237872

872

10432

108

00020432

02376

3=

×××

×××

×= ×

−−

−



41

5.1 – Transitórios Anormais Devido a Chaveamentos:

Foi verificado que a abertura de um disjuntor pode ser

acompanhada de picos de tensão de restabelecimento, que

teoricamente atingem um valor duas vezes maior que a tensão de pico

do sistema. Do mesmo modo, pode ser visto que, quando uma chave

fecha um circuito indutivo, a corrente de pico pode atingir duas vezes o

valor da corrente de pico de regime permanente. Estes transitórios são

chamados de transitórios de tensão ou corrente normais. Na verdade,

correntes e tensões com essas amplitudes não acontecem por causa

do amortecimento sempre presente. Existem, entretanto,

circunstâncias sob as quais as tensões e correntes podem exceder em

muito estes valores (2,0 pu). Estes transitórios são ditos transitório

anormal de tensão ou corrente. Tais transitórios têm causa comum.

Envolvem o armazenamento de energia em algum lugar do circuito e

sua consequente liberação.

Do precedente, conclui-se que, se um circuito não tem energia

armazenada quando se inicia um transitório, este será normal. Já foi

visto que as condições iniciais de tensão nos capacitores e corrente

nos indutores influenciam nos transitórios. Essas condições

descrevem a condição de energia do sistema antes do transitório.

Quando uma destas condições iniciais for diferente de zero, existe

possibilidade de se desenvolver um transitório anormal.



42

5.2 – Corte de corrente indutiva

Quando uma corrente relativamente pequena for interrompida

por um disjuntor, a ação dos dispositivos de supressão de arco pode

fazer com que a corrente seja levada a zero abrupta e

prematuramente antes do zero normal. Isto é chamado de corte de

corrente (“current chopping”) e é uma forma de supressão de corrente

que pode dar origem a um transitório anormal, em virtude da energia

magnética associada à corrente que fica armazenada no circuito. Este

fenômeno é frequentemente observado quando a corrente de um

transformador a vazio (corrente de magnetização) é interrompida. A

figura a seguir ilustra este fato.

Corte de corrente indutiva a) Sistema com disjuntor e um transformador em

vazio



43

b) Circuito equivalente c) Instante do corte de corrente

Seja I0 o valor da corrente no instante do corte. Como está

fluindo no enrolamento o transformador, a esta corrente está

associada uma energia magnética dada por:

2

02

1ILE mL =

Embora I0 seja pequena (de 1 a 5 % da corrente plena carga do

transformador) a indutância de magnetização é bem alta, de modo que

essa energia pode ser considerável. A corrente não pode variar

abruptamente em um circuito indutivo, embora após a interrupção da

corrente o circuito não se fecha pela chave. A corrente deve, portanto,

desviar-se pela capacitância C, que consiste principalmente da

capacitância de fuga do enrolamento do transformador. Tem-se então,

a formação de um circuito oscilador constituído por Lm e C. Se o

amortecimento for ignorado, tem-se que, quando a energia magnética

for transformada em energia armazenada no campo elétrico do

capacitor, a tensão nos terminais deste pode ser calculada por:

2

0

2

2

1

2

1ILCV m=

ou

000 IZC

LIV m ==

Assim a tensão de pico no capacitor e também no enrolamento é

o produto da corrente instantânea cortada pela impedância de surto do



44

transformador. Um fato notável é que a tensão V independe da tensão

do sistema.

É importante observar que na figura anterior admitiu-se a

hipótese de que o corte de corrente foi efetuado quando a mesma

passava pelo seu valor máximo. Isto implica que, para tal situação,

devido às características do circuito, a tensão estaria passando por um

valor nulo. Com base nesses fatos, conclui-se que a tensão inicial do

capacitor seria nula e consequentemente todo o fenômeno transitório

estaria somente associado ao corte de corrente. Imaginando-se que o

corte é realizado em outro ponto qualquer, então a tensão inicial do

capacitor será diferente de zero. Nestas condições dois fenômenos

existirão simultaneamente.

Exemplo:

Um banco de transformadores trifásicos ligação estrela aterrada /

estrela aterrada de 3 MVA, 13,8 kV 60 Hz, é composto por três

unidades monofásicas de 1 MVA cada. O valor eficaz da corrente de

magnetização é 0,87 A, sendo o valor de pico 1,44 A. A capacitância

de fuga do sistema do lado do primário do transformador é 5.000 pF.

Determinar o valor de pico da sobretensão transitória se a corrente for

interrompida quando estiver passando pelo seu valor de pico.

Do enunciado sabe-se que VC(0) = 0 e I(0) = 1,44 A, logo o valor de

pico da tensão transitória pode ser determinada por: 000 IZC

LIV m == .

Então,



45

H,,

Lm 29243778703

13800=

××=

Ω=×

=−

k,,

Z 7069105000

2924120

kV,,,V 371007069441 =×=

Considerando o valor de pico da tensão nominal do enrolamento

(11,27 kV), então, o valor da sobretensão calculada é muito acima dos

valores considerados normais para os transitórios (8,91 pu.).

Na prática, a tensão não atingiria o valor encontrado acima, isto

é devido, em parte, ao amortecimento provocado pelas perdas e,

principalmente, porque uma fração da energia armazenada é perdida

no ciclo de histerese. A figura a seguir ilustra tal situação.

Energia liberada pelo núcleo ferromagnético do transformador quando a corrente

de magnetização é cortada

Enquanto o transformador está sendo energizado, percorre-se

um ciclo de histerese na frequência de alimentação. De Q até X a

energia está sendo cedida ao núcleo; de X a Z ela está sendo



46

devolvida à fonte. De Z a P ela é novamente cedida ao núcleo e de P

a Q retorna à fonte. Uma quantidade de energia proporcional à área

do ciclo de histerese é perdida por ciclo. Quando a corrente é máxima

a energia é proporcional à área do triângulo OXY e está armazenada

no ferro. Quando a corrente cai a zero (ponto Z), a energia

proporcional à área XYZ é recuperada, o restante é perdido no núcleo.

Se a corrente for interrompida no pico, esta será a energia transferida

à capacitância de fuga do transformador. Para os núcleos magnéticos

fabricados atualmente, a área XYZ é 40% ou menos de OXY, de modo

que, no pior caso, a sobretensão devido a esse efeito será:

2

0

2

2

140

2

1IL,CV m×=

de onde:

000 632040 IZ,C

L,IV m ×=×=

O alto valor da sobretensão anormal tende a cair quando a

classe de tensão do transformador aumenta.

Reatores com núcleo de ar ou com “gaps” significativos não se

comportam do mesmo modo. Neste caso, toda a sua energia é

recuperável. Tais reatores são usados como “shunt” para terra a fim

de compensar a capacitância das linhas de transmissão. Estes

reatores geralmente são protegidos por pára-raios para limitar

sobretensões quando são desligados da rede.

Agora será considerada uma análise mais rigorosa do problema

do corte de corrente envolvendo amortecimento e tensão inicial na

capacitância. Após a interrupção da corrente realizada pela abertura

da chave, obtém-se:



47

0=++ CLR III

01

=++ ∫ dt

dVCVdt

LR

V

de onde chega-se a equação diferencia que descreve o fenômeno:

01

2

2

=++LC

V

dt

dV

RCdt

Vd

As condições iniciais agora são:

V(0) – valor da tensão quando a chave corta a corrente

V’(0) = I(0)/C este valor é obtido com base no fato de que no

instante após o corte a corrente se desvia para o capacitor.

A solução para a tensão no circuito é:

−η

−η+

+

−η

−η+

−η=

−

−−

p

T

t

p

T

t

p

T

t

T

tsen

e)(I

T

tsen

e

T

tcose)(V)t(V

p

p

p

214

140

214

142140

2

2

2

2

2

2

22

O primeiro termo da expressão acima representa o transitório

normal que ocorreria se o transformador fosse desconectado da fonte

sem corte de corrente, ou seja, a abertura da chave se daria quando a

corrente passasse pelo valor zero. Este termo representa o transitório

da capacitância do transformador descarregando através da

indutância de magnetização Lm. O segundo termo é uma

consequência direta do corte de corrente e é potencialmente capaz de

criar sobretensões anormais. Quando V(0) = 0 e R→ ∞, tem-se:

=

CL

tsen)(IZ)t(V

m

00



48

A expressão acima mostra que o valor de pico da tensão é o

mesmo estabelecido anteriormente e a tensão oscila na frequência

natural do circuito.

Embora o corte de corrente seja um perigo em potencial, na

prática os circuitos de potência frequentemente não o apresentam. Por

exemplo, a existência um comprimento considerável de cabo entre o

disjuntor e o transformador que deve ser desconectado pode reduzir

muito a impedância de surto Z0 do circuito e assim reduzir as

sobretensões para um dado corte de corrente.

Os motores podem também estar sujeitos a sobretensões devido

ao corte de corrente, mas, em geral, as suas impedâncias de surtos

são menores que as dos transformadores de porte correspondente.

Isto porque a indutância é mais baixa e sua capacitância é mais alta

do que a de transformadores.

É interessante observar que para os casos acima citados o corte

de corrente foi considerado processado de forma súbita. Caso a

mesma variação seja realizada mais lentamente, o valor da

sobretensão será bastante reduzido.

5.3 – Chaveamento de Capacitores:

Quando um capacitor é conectado à uma fonte e tensão CA,

uma corrente transitória de carga é estabelecida, a qual apresenta

como principais característica uma elevada magnitude e cura duração.

A parcela mais importante desta corrente transitória de alta frequência

inicia e termina em uma pequena fração de um ciclo da frequência da



49

rede. A magnitude atingida por este transitório é maior se a tensão

passa pelo valor de pico quando o chaveamento ocorre. As correntes

transitórias de um banco de capacitores trifásicos, quando este banco

e a fonte encontram-se conectados em estrela aterrada, são iguais

àquelas que ocorrem quando se considera apenas o banco

equivalente a uma fase conectado entre fase e neutro. Em sistemas

com bancos trifásicos ligados em estrela com neutro isolado ou

ligados em triângulo, as correntes transitórias serão também

semelhantes. Nesta seção, os estudos de transitórios de chaveamento

de bancos de capacitores serão realizados considerando apenas uma

fase. Como a frequência de oscilação do transitório é muito maior que

a frequência da rede, as formulações serão baseadas na aplicação de

tensão contínua com valor igual ao valor de pico da tensão alternada.

A figura a seguir mostra um circuito onde uma fonte de tensão

contínua é aplicada ao capacitor C.

Circuito equivalente para estudo de chaveamento de capacitores

Conforme já apresentado no início deste estudo, se a

resistência R for nula, a corrente transitória teria uma forma de onda

senoidal oscilando em alta frequência. A expressão da corrente,

também já estabelecida inicialmente é:



50

tsenItLC

sen

C

L

V)t(I tm

m

0

1ω==

onde:

Itm – é o valor de pico da corrente transitória;

ω0 – é a frequência angular de oscilação da corrente.

A presença da resistência R causa um amortecimento do

transitório de corrente fazendo com que o mesmo tenha pequena

duração. A tensão do capacitor aproxima-se de forma oscilatória, à

tensão da fonte. Para a determinação do primeiro valor de pico da

corrente, a resistência R é usualmente desprezada. O valor máximo

assim obtido para Itm é calculado com um pequeno erro, porém de

forma mais simples.

Considerando que para os instantes iniciais a resistência pouco

afeta nos resultados, então:

C/L

VI m

tm =

A expressão acima pode ser alterada para uma forma mais

prática, conforme é realizado a seguir.

A corrente será expressa como um múltiplo do valor de pico da

corrente nominal do banco de capacitor, ou seja, a corrente de regime

permanente. As reatâncias em 60 Hz (XL e XC) são empregadas em

substituição a L e C. Estas reatâncias serão expressas em valores por

unidade ou porcentuais na base de potência e tensão do banco de

capacitores. Sob tais condições tem-se:



51

CL

m

tmXX

VI

×=

baseCL

basem

base

tm

Z/XX

)V/(V

I

I

×

×=

×

2

2

)pu(X)pu(X

)pu(V)pu(I

CL

m

tm×

=

Empregando como valores base, a tensão e a corrente do

capacitor, então:

Cbase XkVAr

kVZ =

×=

10002

onde:

kV - tensão de linha nos terminais do banco de

capacitores;

kVAr – potência do banco de capacitores;

XC – reatância capacitiva por fase em ohms.

O valor da reatância indutiva XL do sistema em por unidade da

reatância capacitiva será:

)ohms(X

)ohms(X

)ohms(Z

)ohms(X)pu(X

C

L

base

L

L ==

Como Vm(pu) =1,0 e XC(pu) = 1,0, finalmente chega-se a:

)pu(X)pu(I

L

tm

1=



52

Exemplo:

Seja um banco de capacitores de 2520 kVAr conectado a uma

linha de 13,8 kV. A reatância total da fonte é de 7,55 Ω por linha. Qual

o valor de pico da corrente transitória de energização do banco?

Ω=×

== 57752520

1000813 2

,,

XZ Cbase

pu,,

,)pu(X L 100

5775

557==

pu,,

)pu(I tm 163100

1==

A,,

I n 431058133

2520=

×=

A,,,I tm 16471163431052 =××=

5.4 – Chaveamento de Capacitores em paralelo.

Quando um capacitor já se encontra energizado e um segundo

capacitor é chaveado, dois distintos transitórios ocorrem. O primeiro

transitório envolve a fonte e o capacitor chaveado, o segundo envolve

o(s) capacitor(es) que se encontrava(m) energizado(s) e o que está



53

sendo chaveado. Como o segundo efeito é muito mais relevante que o

primeiro, é usual tratar o transitório considerando apenas o fenômeno

entre os dois capacitores, para tanto, seja a figura a seguir, indicando

o sistema sob análise.

Na figura:

Vm = tensão de pico a fonte

XL2 = reatância indutiva em 60 Hz da fonte

XC2 =reatância do capacitor em 60 Hz já energizado.

XL =reatância indutiva em 60 Hz entre os bancos de capacitores.

XC1 = reatância do capacitor em 60 Hz a ser chaveado.

Usualmente, a reatância XL é bastante pequena quando

comparada ao valor de XL2 , então uma corrente equalizadora de alta

frequência e magnitude se estabelece entre XC1 e XC2. Posteriormente

o fenômeno é seguido por uma corrente transitória menor e de

frequência mais baixa, que é o resultado da interação entre a fonte e o

banco completo (XC1 +XC2). Este último fenômeno conforme discutido

anteriormente é de importância secundária e pode normalmente pode

ser ignorado. Após tais considerações resulta o circuito da figura a

seguir. Na figura admite-se que a tensão do capacitor já energizado é

igual à da fonte, ou seja, despreza-se a queda de tensão entre a fonte

e o capacitor C2 quando a chave se encontrava aberta.



54

Os dois valores de capacitores podem ser combinados conforme

indica a figura a seguir, onde são indicados todos os parâmetros já em

valores por unidades. Para realizar a soma das capacitâncias é

necessário exprimir a reatância do capacitor que se encontrava

energizado (XC2(pu)) em valor por unidade na base do capacitor que

está sendo chaveado (XC(pu) = XC1(pu) + XC2(pu)). Por exemplo, se o

capacitor a ser conectado tem a mesma potência que aquele que se

encontra em operação, então XC(pu) = 2 pu. Se a potencia do

capacitor já em funcionamento for 4 vezes à daquele que está sendo

chaveado, então XC(pu) = 1,25 pu.

O circuito da figura acima é semelhante àquele da figura do

início desta sessão, de forma que o valor aproximado do pico da

corrente transitória pode ser calculado através da equação.

)pu(X)pu(X

)pu(V)pu(I

CL

m

tm×

=



55

5.5 – Desligamento de banco de capacitores.

A operação de desligamento de capacitores, tal como ocorre

quando uma longa linha operando em circuito aberto é chaveada ou

quando um banco de capacitores é desconectado, pode apresentar

condições drásticas de operação e tem sido tradicionalmente um

desfio para os engenheiros envolvidos com as técnicas de

chaveamentos. A figura a seguir ilustra os eventos que ocorrem antes

e após a operação de desligamento do capacitor, a qual, conforme

ilustrado, foi realizada com sucesso devido à diferença do ângulo de

fase entre a corrente e a tensão (90o) o capacitor encontra-se

carregado com a tensão de pico da fonte no momento da interrupção

da corrente. O capacitor, agora isolado da fonte, mantém sua carga

conforme mostra a figura (b). Com este armazenamento de tensão,

conforme mostra a figura c, depois de transcorrido meio ciclo, a tensão

através dos contatos da chave atinge um valor igual a duas vezes o

valor de pico da fonte, valor este, potencialmente perigoso.



56

Desligamento de banco de capacitores.

(a) Corrente e tensão do sistema (b) Tensão no capacitor (c) Tensão entre os terminais do disjuntor

Na realidade, o tratamento anterior foi bastante simplificado, já

que ser considerou a tensão no capacitor de mesmo módulo que a

tensão de alimentação. Isto não acontece porque a corrente que flui

no capacitor faz com que o circuito apresente regulação negativa

(efeito Ferranti).

Quando o capacitor for desconectado, a tensão do disjuntor do

lado da fonte retornará ao valor mais baixo, mas isto acontecerá

através de uma oscilação envolvendo a indutância da fonte e a

capacitância de fuga adjacente ao disjuntor do lado da fonte. O efeito

da desconexão é mostrado de modo mais preciso na figura a seguir. O

valor ∆V é a variação de tensão que responsável pela regulação

negativa.



57

O efeito da regulação negativa não será levado em conta na

análise seguinte, muito embora se saiba que ele existe e que pode ser

importante em alguns casos.

Muitos disjuntores quando solicitados a interromper uma carga

ou corrente de falta, não conseguem extinguir o arco na primeira vez

em que a corrente se anula; ao invés disso, esperam até que se tenha

estabelecido um “gap” suficientemente grande para melhorar a

possibilidade de êxito na operação. No caso de chaveamento de

capacitância a corrente é, em geral, pequena, de forma que é comum

que o disjuntor interrompa a corrente no seu primeiro valor zero. Se

isto ocorre logo depois da separação dos contatos, aparecerá uma

tensão de 2Vm entre eles enquanto a sua separação é pequena. Deste

modo há possibilidade de reignição do arco. Suponha que aconteça

uma reignição precisamente quando a tensão atinge o seu valor de

pico. Isto equivale a tornar a fechar a chave naquele instante. Como o

problema está relacionado a um circuito LC, espera-se que ele



58

responda a esta perturbação súbita de uma oscilação na sua

frequência natural.

LCf

π=

π

ω=

2

1

2

00

onde

L – indutância do sistema supridor;

C – capacitância do banco de capacitores ou associação destes.

Com base no circuito anterior, pode-se determinar a expressão

de I(t) após a ocorrência da reignição. A equação diferencial é:

tcosV)t(Vdt

dIL mC ω=+

As condições iniciais são:

L

)(VV

L

)(V)(I

)(I

CmL 000

00

−==′

=

A corrente é determinada por:

tsenZ

)(VVtsen

L

)(VV)t(I CmCm

0

0

0

0

00ω

−=ω

ω

−=

onde Vm – VC(0) é a tensão entre os terminais do disjuntor quando

este retornar a conduzir.

Exemplo

Determinar o pico de corrente após a primeira reignição que

poderá ocorrer quando do desligamento de um banco de capacitores

trifásico de 5000 kVAr, 15 kV, 60 Hz. Sabe-se que a indutância do

sistema de alimentação é 1 mH.

A,I n 45192153

5000=

×=



59

F,C µ=×

×=

−

945815377

1050002

3

Para a primeira reignição o pico de corrente será:

A,

,

Z

)(VVI Cm

max 765946

109458

1013

15220

6

30

=

×

××

××=

−=

−

−

Este resultado é cerca de 31 vezes a corrente nominal do banco

de capacitores. A frequência da corrente de recondução é:

Hz,,LC

f 56655109458102

1

2

1

630 =

××π=

π=

−−

Exemplo

Considere-se o seguinte sistema a ser simulado: Uma

subestação de 69/13,8 kV e um nível de curto-circuito de 1000 MVA

suprindo uma carga industrial através de um transformador de

225 kVA e 13,8/0,38 kV. Para correção do fator de potência, a

subestação possui um banco de capacitores de 6 MVAr e a carga

industrial um de 40 kVAr. Este trabalho consiste em fazer uma

simulação do sistema elétrico objetivando analisar os transitórios de

tensão na subestação e na carga sob diferentes possibilidades de

chaveamentos dos bancos de capacitores. Para isto, considera-se o

sistema representado por apenas uma fase e sem perdas, sendo

desprezada a impedância do sistema de distribuição que liga a

subestação à carga. A figura a seguir mostra o diagrama unifilar do

sistema.



60

Deseja-se analisar os transitórios de tensão sob as seguintes

situações de chaveamentos:

1) A chave k1 é fechada quando a chave k2 está aberta;

2) A chave k2 é fechada quando a chave k1 está aberta;

3) A chave k1 é fechada quando a chave k2 está fechada;

4) A chave k2 é fechada quando a chave k1 está fechada;

Para solução deste exercício, consideram-se os parâmetros do circuito

equivalente referidos à tensão de 13,8kV. Dessa forma, as

sobretensões transitórias na S.E. e na carga podem ser diretamente

comparadas.

mH.,

,L,

,X SESE 500

3770

190190

1000

813 2

==⇒Ω==

F,,,

C,,

X C µ578337707431

107431

6

813 3

1

2

1 =×

=⇒Ω==

mHLX TT 57,13377,0

11,593,1

225,0

8,13045.0 2

==⇒Ω=×

=

FCX C µ56,0377,04761

1000,761.4

04,0

8,13 3

2

2

2 =×

=⇒Ω==



61

A figura a seguir mostra o circuito equivalente simplificado

utilizado na simulado. Na simulação, as chaves fecham no tempo zero,

quando a fonte está passando pelo seu valor máximo. Isto garante

uma maior sobretensão.

Os resultados são apresentados nas figuras a seguir.



62



63

6 - Ondas Viajantes em Linhas de Transmissão

Para o estudo de linhas de transmissão, existem várias maneiras

de se representar uma linha. Cada uma delas tem uma aplicação bem

definida quer seja no estudo em regime permanente, em que se a

analisa a linha no domínio da frequência, ou no regime transitório, no

qual a análise deve ser feita no domínio do tempo. Para os objetivos

propostos, os estudos aqui realizados deverão ser analisados no

domínio do tempo. Para estes estudos, as duas formas para

representar uma linha de transmissão são a representação por

parâmetros concentrados, neste caso a linha é subdividida em várias

células iguais de circuitos π’s ou o equivalente, ou a representação da

linha por parâmetros distribuídos, aplicando a teoria de ondas

viajantes em uma linha de transmissão. Neste item será abordada

somente a teoria das ondas viajantes.

6.1 - Circuitos com Parâmetros Distribuídos:

Na maioria das vezes, os parâmetros R, L e C considerados nas

representações dos sistemas elétricos são concentrados, ou poderiam

ser assim aproximados. Entretanto, percebe-se que na realidade estes

parâmetros são distribuídos em qualquer parte do equipamento ou

circuito elétrico. Contudo, existem partes importantes do sistema

elétrico de potência nas quais esta representação é inadequada,

devido às aproximações que são muito grandes. O exemplo mais



64

óbvio deste fato são as linhas de transmissão. Nas linhas de

transmissão, cada metro de seu comprimento é muito semelhante a

outro qualquer. Estas possuem indutância, capacitância e resistência

que são grandezas verdadeiramente distribuídas ao longo de seu

comprimento. O comportamento de um circuito com parâmetros

distribuídos, sua performance em propagar ondas de tensão e

corrente, e como isto ocorre, será apresentado neste capítulo, primeiro

de uma forma qualitativa, para se estabelecer uma visão física do

fenômeno e, em seguida, de forma quantitativa.

Considere o circuito a monofilar mostrado na figura a, representando

uma linha de transmissão de comprimento l. Pelo fechamento da

chave S, a linha é conectada à fonte de tensão V, considerada infinita

(impedância interna nula). A ação de fechamento da chave S pode ser

comparada à abertura de uma comporta de uma represa no início de

um canal. Quando a comporta é aberta, o canal não enche de água

instantaneamente. Em algum instante existirá parte do canal cheio de

água e parte seca e uma frente de onda de água (enxurrada)

deslocando-se no sentido de preencher todo canal, ou nivelar a

superfície de água. A analogia do canal com a linha de transmissão,

em princípio, é bastante válida para se ter uma concepção física do

fenômeno que ocorre após o fechamento da chave S.



65

(a) Linha de transmissão monofilar

(b) representação por parâmetros concentrados com várias seções.

Considerando a linha da figura a divida em um grande número

de seções iguais, sendo que a cada seção é associada uma

determinada indutância Li e capacitância Ci. Assim que a chave S

fecha, a corrente parte do zero e flui através da 1a indutância L1 para

carregar o capacitor C1. Mas, tão logo o 1o capacitor tenha adquirido

algum nível de tensão, a segunda seção começa a carregar e assim

sucessivamente. Analisando, em primeiro lugar, a corrente e a tensão

na 1a seção, observa-se o seguinte: o circuito a ser analisado é um

circuito LC simples suprido por uma fonte de tensão cc, como mostra a

figura a seguir, onde a corrente (I) e as tensões (VL e VC) podem ser

estabelecidas pelas relações a seguir.

)tsen(.Z

V)t(I o

o

ω= ; )tcos(V)t(V oL ω= ; )]tcos(1.[V)t(V oc ω−= ,



66

sendo: 11

oCL

1=ω ; e

1

1o

C

LZ = .

Circuito LC representativo da 1a seção.

Considerando que a linha foi subdividida em “n” células iguais

tais que:

n.CC....CCC

n.LL....LLL

n321

n321

l

l

′====

′====

onde L ’e C’ são respectivamente, a indutância [H/m] e a capacitância

[F/m] da linha por unidade de comprimento, valores que dependem

exclusivamente da geometria da linha. Dessa forma, alguns aspectos

importantes com relação ao número de seções “n” que a linha foi

subdividida, devem ser considerados:

1 – quanto maior for “n”, menor serão L1 e C1 e, portanto, maior

será a frequência de oscilação ωo;

2 – a impedância característica Zo é independente do valor de n,

C

LZo ′

′= , consequentemente o valor de pico da corrente I(t) será

sempre o mesmo;



67

3 – no instante que corrente atingir o valor de pico a tensão no

capacitor C1 será V.

A medida que o número de células cresce, tendendo para

infinito, L1 e C1 tenderão para zero e ωo tenderá para infinito. Nesta

condição, a expressão da corrente I(t) pode ser linearizada. Fazendo

sen(ωot) ≈ ωo.∆t, então: I(t) = (V/Zo). ωo.∆t; onde ∆t é o intervalo de

tempo que a corrente leva para atingir o valor de pico, ou seja: ∆t =

1/ωo. A tensão na indutância pode ser determinada por:

V

CL.C

L

VL

dt

)tZ

V(d

Ldt

)t(dILV

11

1

1

1

o

011L ====

ω

Logo, quando ωo tende ao infinito, ∆t tende a zero. Isto quer dizer que

a corrente na primeira célula assume “instantaneamente” o valor de

pico (V/Zo) enquanto que a tensão no capacitor C1 assume o valor V.

Na próxima figura, estas considerações podem ser mais facilmente

compreendidas.

Comportamento da tensão e corrente no circuito LC, para várias frequências

de oscilação.



68

Com essas considerações pode-se descrever o fenômeno da

propagação das ondas de tensão e corrente na linha da seguinte

forma:

i no instante t = 0 a chave S é fechada, então as condições de corrente

e tensão no indutor e capacitor da 1a célula são as seguintes: VL = V;

I = 0; Vc = 0;

ii ao fim do primeiro intervalo de tempo ∆t, a corrente no indutor e a

tensão no capacitor da primeira célula assumem os valores (V/Zo) e

(V) respectivamente, enquanto que a tensão no indutor se anula.

Neste mesmo instante, a tensão no indutor da segunda célula assume

o valor V, sendo nula a corrente no indutor e a tensão no capacitor

desta célula;

iii ao final dos intervalos de tempo ∆t’s seguintes o comportamento das

ondas de tensão e corrente nas células subsequentes serão

semelhantes ao da primeira, permanecendo constantes a tensão no

capacitor e corrente no indutor da célula anterior.

Logo, pode-se dizer que as ondas de tensão e corrente trafegam

ao logo da linha levando um tempo ∆t para deslocarem-se de uma

célula para outra. Lembrando que o comprimento de cada célula é ∆x,

determinado por: ∆x = l/n, e CL.n

o′′

=l

ω , a velocidade de propagação

das ondas de tensão e corrente na primeira célula é determinada por:

v = ∆x/∆t, ou seja:

]s/m[CL

1

′′=ν



69

A figura a seguir mostra como se comportam as ondas de tensão

e corrente nos diversos instantes ∆t’s até a onda atingir a extremidade

final da linha.

Comportamento das ondas de tensão e corrente a cada instante ∆t até

que estas atinjam o final da linha.



70

Ao atingir o final da linha, a condição de carga definirá o

comportamento da onda de tensão e corrente. Para que se dê

prosseguimento ao raciocínio até aqui desenvolvido, considere a linha

sem carga. Nessas condições, a corrente no indutor deverá decrescer

até se anular no instante seguinte e a tensão no capacitor deverá

duplicar de valor. A sequência mostrada na figura a seguir ilustra tal

fato.

Comportamento das ondas de tensão e corrente nos instante ∆t’s após

atingir o final da linha, estando esta sem carga.



71

6.2 Aspectos Físicos Sobre as Considerações Feitas:

Para que a tensão no capacitor de uma célula x possa assumir o valor

de tensão V, é necessário que uma quantidade de carga elétrica ∆Q

se acumule na mesma, ou seja:

CCx V.x.CV.CQ ∆∆ ′== . Mas a variação da carga elétrica com o tempo é

acorrente no capacitor. Então, tendo-se em conta o nosso intervalo de

tempo infinitesimal ∆t, tem-se:

ν∆

∆

∆

∆.V.CV.

t

x.CI

t

QCCC

′=′== .

O fluxo magnético concatenado no indutor da célula x submetido à

corrente I é dado por: LLx I.x.LI.L ∆φ∆ ′== . A variação do fluxo magnético

com o tempo é a tensão induzida no indutor, logo:

ν∆

∆

∆

φ∆.I.LI.

t

x.LV

tLLL

′=′== .

Como a tensão e corrente no capacitor e no indutor são iguais, então

chega-se aos resultados já estabelecidos, ou seja: C.L

1

′′=ν e

C

LZ0 ′

′= . Isto vem reforçar as considerações iniciais feitas sobre a

representação da linha de transmissão com parâmetros distribuídos por um modelo infinitesimal com parâmetros concentrados. A velocidade de propagação das ondas de tensão ou corrente ao longa da linha depende exclusivamente de seus parâmetros distribuídos (L' e C') e estes de sua geometria e das propriedades eletromagnéticas do meio envolvente. Para ilustrar, considera-se que a linha monofilar apresentada na figura anterior possui uma distância d entre o condutor e sua imagem no solo suficientemente grande comparada com o raio (r) do condutor de forma que o fluxo no interior do condutor possa ser desprezado. Então, uma boa aproximação para a indutância da distribuída da linha é:



72

]m/H[)r

dln(.L

π

µ=′

onde µ é a permeabilidade magnética do meio. Se o meio for o ar tem-

se: µ = µo = 4π107[Wb/A.m]. Para a capacitância, tem-se:

]m/F[.

)r

dln(

Cπε

=′

onde, ε é a permissividade elétrica do meio. Se o meio for o ar, tem-se: ε = εo = 8,854.10-12 [C2/(N.m2)]. Então, a velocidade de propagação de onda em uma linha aérea é determinada por:

]s/m[6,637.795.2991

)r

dln(

).r

dln(.

1

C.L

1

0ooo

===′′

=εµπε

π

µν

6.3 Formulação matemática da equação de onda:

Considere um elemento infinitesimal da linha monofilar sem perdas de

comprimento ∆x, como mostra a figura a seguir.

Elemento infinitesimal de uma linha monofilar sem perdas.



73

Pela figura anterior, pode-se escrever as relações elementares de

variação de tensão ao longo da linha como a

seguir:dt

dIxL

dt

dILV ∆∆∆ ′−=−= ou

dt

dIL

x

V′−=

∆

∆ ; no limite

x

V

x

VLim x

∂

∂=→

∆

∆∆ 0 ;então, escrevendo em termos de derivadas parciais:

t

IL

x

V

∂

∂′−=

∂

∂

Ainda, com relação à variação de corrente tem-se:

dt

dVxC

dt

dVCI ∆∆∆ ′−=−= . Da mesma forma:

x

I

x

ILim

dt

dVC

x

Ix

∂

∂=⇒′−= →

∆

∆

∆

∆∆ 0 ;

escrevendo em termos de derivadas parciais

t

VC

x

I

∂

∂′−=

∂

∂

Estas duas relações mostram que as variações de tensão ao longo da

linha estão relacionadas com as variações de corrente no tempo

através do parâmetro distribuído L', e as variações de corrente ao

longo da linha estão relacionadas com as variações de tensão no

tempo através do parâmetro C'. Derivando a primeira expressão em

relação ao comprimento da linha e a segunda em relação ao tempo, e

fazendo as devidas substituições algébricas, e ainda procedendo de

forma inversa nas duas expressões, chega-se às relações abaixo que

definem as equações das ondas viajantes da linha de transmissão.

2

2

2

2

t

VCL

x

V

∂

∂′′=

∂

∂

2

2

2

2

t

ICL

x

I

∂

∂′′=

∂

∂



74

Considere uma função do tipo )t.ax(e.k)t,x(f += para representar uma

onda As derivadas parciais tomadas relação x são: )t.ax(e.k

x

)t,x(f +=∂

∂ e

)t.ax(e.k

x

)t,x(f +=∂

∂2

2

; e em relação ao tempo são: )t.ax(e.a.k

t

)t,x(f +=∂

∂ e

)t.ax(e.a.k

t

)t,x(f +=∂

∂ 2

2

2

. Se f(x,t) representa uma onda, então comparando

com as equações de ondas determinadas anteriormente, ou seja:

ν±=′′±

=⇒∂

∂′′=

∂

∂

CLa

t

)t,x(fCL

x

)t,x(f 12

2

2

2

. Logo pode-se concluir que a

solução das equações diferenciais de uma linha de transmissão será

uma função f(u) tal que u = x ± vt, ou u = t ± x/v. Seja a seguinte

solução para uma equação de onda de tensão: )tx(f)tx(fV νν −++= 21,

fazendo as derivadas parciais em relação a x, tem-se:

)tx(f)tx(fx

Vνν −

′++

′=

∂

∂21

)tx(f)tx(fx

Vνν −

″++

″=

∂

∂212

2

Fazendo as derivadas em relação ao tempo:

)tx(f)tx(ft

Vνννν −

′−+

′=

∂

∂21

)]tx(f)tx(f[)tx(f)tx(ft

Vννννννν −

″++

″=−

″++

″=

∂

∂21

2

2

2

1

2

2

2

, para

CL ′′=

1ν , verifica-se a relação

2

2

2

2

t

VCL

x

V

∂

∂′′=

∂

∂ . Considere o perfil de

tensão f(u), ao longo de uma linha, mostrado pela a figura abaixo.

Tomando-se o ponto x como referência no espaço e analisando a



75

variação de tensão antes e depois de um intervalo de tempo τ,

verifica-se que para u = x - vτ ⇒ f(u) = C, e para u = x + vτ ⇒ f(u) = A

e para τ = 0, f(u) = f(x) = B.

Comparação entre as funções f(x+vt) e f(x-vt).

Logo, transcorrido o tempo τ a função f(x + vτ) assume o valor A no

ponto x, isto significa que a onda deslocou para a esquerda, contrário

ao sentido do eixo. Esta onda que trafega no sentido contrário ao eixo

é denominada de onda reversa. A função f(x - vτ) assume o valor C no

ponto x, ou seja, a onda trafegou para direita, no sentido do eixo.

Chama-se esta onda de onda direta. Portanto, uma onda de tensão

pode ser composta por duas ondas que caminham em sentidos

contrários. Chamando de VD a onda direta e VR a onda reversa, então:

VD = f2(x - vτ); VR = f1(x + vτ) e V = VD + VR. A onda de corrente pode

ser obtida aplicando a relação: x

V

Lt

I

∂

∂

′−=

∂

∂ 1 , efetuando a derivada tem-

se: [ ])tx(f)tx(fL

1

t

I21 νν −′++′

′−=

∂

∂ integrando em relação ao tempo,

chega-se a: [ ] ( )DR21 VV

CL

1L

1)tx(f)tx(f.

vL

1I −

′′′

−=−−+′

−= νν ou



76

RD VZ

VZ

I00

11−=

RD VVV +=

Verifica-se que a onda de tensão refletida produz uma onda de

corrente negativa, que está relacionada com a tensão através da

impedância característica Zo. A figura a seguir mostra varias

combinações de ondas de tensão e corrente. Observa-se que V e I

têm o mesmo sinal quando estão viajando para direita no sentido do

eixo x e sinais contrários quando estão viajando para esquerda.

Várias combinações de ondas de tensão e corrente.

Quando duas ondas viajantes em sentidos opostos encontram-

se em um determinado ponto de uma linha, elas se adicionam

algebricamente quando uma passa através da outra como ilustra a

figura a seguir.



77

Duas ondas viajantes opostas: (a) aproximando-se;

(b) superpondo-se;

(c) afastando-se.

6.3 - Reflexão e Refração das Ondas Viajantes:

Nos itens anteriores verificou-se que existe uma estrita

proporcionalidade entre as de tensão em uma linha de transmissão e

sua correspondente onda de corrente associada. O fator de

proporcionalidade é a impedância característica da linha (Zo). Quando

uma onda viaja em uma linha com descontinuidade, ou seja, quando a

impedância característica da linha sofre alterações, nos pontos onde a

impedância característica muda alguns ajustes devem ocorrer para

que esta proporcionalidade não seja violada. Estes ajustes têm a



78

característica de gerar dois novos pares de ondas. Uma onda de

tensão refletida e sua respectiva onda de corrente, que viajam no

sentido contrário ao da onda incidente e uma onda de tensão refratada

ou transmitida, que penetra além da descontinuidade. As amplitudes

das ondas refletidas e refratadas são tais que a proporcionalidade

entre tensão e corrente são preservadas para cada uma, como

imposto pela impedância característica das linhas nas quais elas

viajam; as correntes e tensões no ponto de descontinuidade são por si

mesmas contínuas e a energia é conservada. Isto estabelecerá que o

princípio da conservação de energia é automaticamente satisfeito.

Considere uma junção entre uma linha aérea e um cabo com

impedâncias características ZA e ZB, respectivamente. Isto implica em

ZA > ZB. Suponha que um surto de tensão em forma de um degrau de

amplitude V1 viajando pela linha aérea (ZA) atinja a junção. A onda de

corrente tem a mesma forma da onda de tensão e uma

amplitudeA

11

Z

VI = . Considerando na junção que uma onda de tensão

será refletida (V2) e outra será refratada (V3), então as respectivas

correntes serão: A

22

Z

VI −= e

B

33

Z

VI = . Na junção sabe-se que:

321 VVV =+

e 321 III =+ . Então, substituindo os valores das correntes em função

das ondas de tensão e impedâncias características tem-se:

B

3

A

2

A

1

Z

V

Z

V

Z

V=− ; combinando com condição de tensão na junção chega-se

a: 1

BA

AB2 V

ZZ

ZZV

+

−= , que representa a tensão refletida em função da

tensão incidente e as impedâncias características no ponto de



79

descontinuidade. Definindo coeficiente de reflexão (kR) como sendo a

relação entre a tensão refletida e a tensão incidente, então:

BA

ABR

ZZ

ZZk

+

−=

Similarmente pode-se determinar o coeficiente de transmissão ou

refração (kt), dado por:

BA

B

tZZ

Z.k

+=

2

A figura a seguir ilustra o efeito da reflexão de onda em um ponto de

descontinuidade. Nessa figura mostram-se as ondas de tensão e

corrente antes de atingir a junção (a), e a composição das ondas de

tensão e corrente incidente com as ondas refletidas e refratadas (b).

Ondas de tensão e Corrente incidentes, refletidas e refratadas

Analisando os fluxos de potências no ponto de junção, tem-se

que a potência incidente é dada por: P1 = V1.I1 e as potências

refletidas e refratadas por: P2 = V2 .I2 .e P3 = V3.I3 . Substituindo os

valores das correntes e somando a potência refletida com a refratada

verifica-se que o resultado é a própria potência incidente. Isto mostra

que o princípio da conservação de energia é preservado.



80

AZ

VP

2

2

2 = ; BZ

VP

2

3

3 = ; 11

2

1

2

2

1

2

2

1

32

2

I.VZ

V

Z

ZZ

ZV

Z

ZZ

ZZV

PPAB

BA

B

A

BA

AB

==

++

+

−

=+

Se uma onda de tensão e corrente atinge uma junção de uma

linha com várias outras de impedâncias diferentes, as seguintes

condições devem ser obedecidas: as ondas incidentes mais as ondas

refletidas são iguais as ondas refratadas. Então, de acordo com a

figura10, tem-se:

NCBAA V....VVVV 33321 ====+ e NCBAA I....IIII 33321 +++=+

Sendo as correntes relacionadas com onda de tensão pelas

impedâncias das linhas:

N

B

N

C

B

C

B

B

BZ

VI...;.

Z

VI;

Z

VI 3

3

3

3

3

3 === então: P

B

NCB

BAAZ

V

Z....

ZZVII 3

321

111=

++=+

Isto mostra que a solução pode ser obtida fazendo das várias

impedâncias das linhas no ponto de bifurcação e aplicando os

coeficientes de reflexão e refração em relação à impedância

equivalente ZP . Isto é:

PA

AP

RZZ

ZZk

+

−= e

PA

P

tZZ

Z.k

+=

2

Ondas de tensão incidente, refletida e refratada.



81

6.4 Comportamento das Ondas Viajantes nas Terminações das

Linhas:

Um outro tipo óbvio de descontinuidade é a terminação da linha. Nas

terminações, a impedância pode variar desde um valor mínimo

correspondendo a um curto-circuito até um valor máximo que

corresponde a um circuito aberto. Estes dois casos extremos são

considerados como casos especiais.

a. – curto-circuito: A principal característica de um curto-circuito é

que a tensão através dele é nula. Então, quando uma onda viajante de

tensão atinge um curto-circuito, a onda de tensão refletida deve

cancelar exatamente a onda de tensão incidente para que a onda de

tensão refratada seja zero. Se a onda de tensão incidente é V1, a onda

de tensão refletida será –V1 e a onda de corrente refletida I2 = -(-

V1/Zlinha)= I1. Isto está ilustrado na figura a seguir.

A onda de tensão refletida anula a onda de tensão incidente a

medida que ela retorna, enquanto que a onda de corrente refletida

aumenta a onda de tensão incidente, dobrando a corrente fluindo na

linha. Este exemplo desta situação, pode ser entendido em termos de

energia. Da energia transferida à linha por uma onda viajante, quando

ela passa, metade é armazenada no campo elétrico através da tensão

aplicada à capacitância distribuída e a outra metade é armazenada no

campo magnético pela corrente que circula no indutor. Quando a onda

de tensão refletida pelo curto circuito impõe tensão zero na linha, a

energia do campo elétrico é liberada. Como não existem perdas na

linha, a energia não pode ser dissipada. Ela é, portanto, transformada



82

em energia magnética. Ou seja, o campo magnético deve armazenar a

energia das ondas incidentes e refletidas, ou seja, quadruplicar a

energia armazenada. Isto significa duplicar a corrente no indutor (E =

½(L.I2)).

Reflexão de ondas viajantes em um curto-circuito.

A título de exemplificação, analisa-se agora o que acontece

quando um curto-circuito ocorre no final de uma linha alimentada por

uma fonte de tensão V. Para simplificar, considera-se que a fonte

tensão possui tensão constante e impedância interna nula.

Considerando desprezível a resistência interna da linha, a corrente de

falta deveria crescer indefinidamente na razão de V/L, sendo L é a

indutância total do ponto de falta até à fonte, se a linha fosse

representada por uma impedância concentrada. Entretanto, verifica-se

que isto é parcialmente verdadeiro em função do comprimento l da

linha que envolve o fenômeno das ondas viajantes. Para esse

exemplo específico, as condições de contorno são que no ponto de

curto-circuito a tensão é sempre zero e que a tensão da fonte é V

durante todo o tempo. Para satisfazer a primeira condição, uma onda



83

de tensão refletida de amplitude –V viaja em direção à fonte,

reduzindo a tensão da linha a zero. Uma onda de corrente de

amplitude +V/Zo acompanha a onda de tensão, como ilustrado na

figura a seguir. Quando esta onda alcança a fonte, inicia uma nova

onda de tensão V, que devido a sua direção (fonte – curto-circuito) é

associada a uma nova onda de corrente V/Zo. Estas ondas em seu

devido curso atingem o curto-circuito e, em consequência disso, o

ciclo se repete. A corrente vista no ponto da falta cresce em degraus

discretos de 2V/Zo em um intervalo de tempo igual a duas vezes o

tempo de viagem da onda na linha (2τ), como mostra a figura.

Suponha que a capacitância distribuída da linha seja C’. Então a

corrente crescerá em degraus de 2V/(L’/C’)1/2 a cada 2τ = 2.l(L’.C’)1/2

seg.

Construção da corrente quando um curto-circuito ocorre em uma linha.



84

A taxa média de crescimento, conforme foi previsto inicialmente,

desconsiderando o efeito das ondas de corrente, é:

( ) L

V

L.l

V

CLl2

L

CV2

=′

=′′

′

′

b) – Circuito aberto: Analisa-se neste item o fenômeno das ondas

viajantes em uma linha com o seu final em circuito aberto. A

característica de um circuito aberto é a corrente nula no ponto durante

todo o tempo. Então, quando a onda de corrente +I chega ao ponto de

circuito aberto, uma onda de corrente –I é iniciada para satisfazer a

condição de contorno do ponto (corrente zero). Esta irá viajar para a

fonte juntamente com uma onda de tensão +V. Logo, a tensão na

linha, a medida que as ondas de tensão e corrente refletidas viajam,

irá dobrando o seu valor e a corrente se anulando. Quando estas

ondas atingirem a fonte, esta irá manter a tensão V no ponto e, para

isto deverá absorver parte da energia armazenada no campo elétrico.

A corrente deverá então inverter o sentido. Assim, inicia-se uma nova

onda de corrente –I , associada a uma onda de tensão –V no sentido

fonte – final. Quando estas ondas alcançarem o final da linha, darão

origens a ondas refletidas que anularão a tensão e corrente,

retornando a linha a condição inicial, ou seja, totalmente

desenergizada.

A figura a seguir mostra os resultados de uma simulação de uma

linha, modelada com parâmetros distribuídos, na qual tem-se a tensão



85

no final da linha (VFIM), tensão na fonte(VFONTE) e corrente na fonte

(IFONTE). Nesta figura pode-se verificar tal fato.

A análise do comportamento do fluxo de energia entre a fonte e a linha

pode facilitar a compreensão do fenômeno. Retornando ao modelo

infinitesimal apresentado anteriormente, verifica-se que a cada

intervalo de tempo ∆t, a fonte entrega à linha uma energia dada por:

∆E = V.I. ∆t; metade desta energia é armazenada é armazenada no

campo magnético ½(LI2); a outra metade é armazenada no campo

elétrico ½(CV2), considerando L e C como sendo a indutância e a

capacitância do modelo elementar. Ao atingir o final da linha, a onda

de corrente deve se anular (linha em circuito aberto), por isto a energia

armazenada no campo magnético deverá ser transferida para o campo

elétrico. Assim, nesse instante tem-se, no elemento infinitesimal do

final da linha, a seguinte situação de energia: uma parcela vinda da

fonte correspondendo a duas vezes a energia armazenada no

capacitor elementar uma parcela correspondendo à energia

armazenada no indutor elementar e a parcela correspondendo à

energia armazenada no capacitor. Todas estas parcelas serão

armazenadas no capacitor, ou seja, a condição de energia

armazenada no capacitor será quadruplicada, isto implica em dobrar a

tensão no mesmo. Quando a onda de tensão e corrente refletida

alcançar a fonte, a tensão da linha deverá reduzir para metade, ou

seja a energia armazenada no capacitor elementar próxima à fonte

reduzirá para ¼ de seu valor. Os ¾ restantes serão assim distribuídos:

¼ será armazenado no indutor elementar pela corrente –I e a metade



86

restante é devolvida à fonte. Dessa forma a fonte deverá gerar uma

de tensão e corrente negativas.

Resultado de uma simulação de uma linha modelada por parâmetros

distribuídos energizada por uma fonte cc 100V; L = 1 mH;

C = 0,1µF; e l = 5 km. O valor da corrente foi multiplicado por 50.

c) – Linha terminada em um capacitor

Frequentemente as linhas são terminadas em um ou mais

transformadores que, dependendo da natureza do problema em

estudo poderão ser representados por um indutor ou um capacitor.

Para verificar o que acontece quando uma onda viajante atinge uma

terminação de linha capacitiva ou indutiva, apresenta-se aqui uma

análise utilizando os coeficientes de reflexão e refração e fazendo uma

aplicação do conceito de impedância operacional, ou seja:

LinhaLinha1L

1

C ZsC

sLZ;sLZ;

sC

1Z ==== .



87

Portanto, se a terminação de uma linha é uma impedância capacitiva

ZC os coeficientes de reflexão e refração em termos de impedâncias

operacionais ( a e b respectivamente) serão:

Linha

1

Linha

1

ZsC

1

ZsC

1

a

+

−

= Linha

1

1

ZsC

1

sC

2

b

+

=

Se a onda viajante é um degrau de amplitude V1, sua

transformada de Laplace será: v1(s) = V1/s. Então, a transformada da

onda refletida será: v2(s) = a.v1(s), com apropriada substituição e

transformações algébricas, tem-se:

+

−

=

+

−

=

sCZ

1

sCZ

1

s

V

ZsC

1

ZsC

1

s

V)s(v

1Linha

1Linha1

Linha

1

Linha

112

Observando que ZLinha tem a dimensão de uma resistência

então, C1ZLinha é uma constante de tempo. De fato, é a constante de

tempo de carregamento do capacitor C1 através da impedância

característica Zlinha. Seja 1LinhaCZ

1=α , então, a expressão de v2(s) pode

ser rescrita como:

+−

+=

)s(

1

)s(sV)s(v 12

αα

α . Fazendo a transformada

inversa, chega-se a:

[ ] [ ]t

1

tt

12 e21Vee1V)t(V ααα −−− −=−−=

Esta é a onda que irá viajar de volta na linha superpondo com a

onda incidente. Somando-se a onda incidente com a onda refletida

tem-se a onda refratada, logo:



88

[ ] [ ]tt

113 e12e21VV)t(Vαα −− −=−+=

Este resultado pode ser confirmado através da utilização do

coeficiente de refração A figura a seguir mostra uma terminação

capacitiva submetida a uma onda viajante em degrau de amplitude V1.

A onda refletida V2 é mostrada pela linha pontilhada.

Onda viajante em uma linha com terminação capacitiva. Disposição da

onda em diferentes instantes e a tensão V3 no capacitor em função do

tempo.

A perfil da tensão no capacitor V3(t), é mostrado separadamente na figura anterior. Pode-se ver que a tensão cresce exponencialmente partindo do zero para atingir assitoticamente 2V1, com uma constante de tempo igual a ZAC1. Isto é realmente o que se esperava do ponto de vista físico, pois quando a onda incidente atinge o capacitor C1, este não pode mudar instantaneamente o seu potencial. Então, momentaneamente o capacitor comporta-se como um curto-circuito; a frente de onda refletida cancela a onda incidente. Depois de algum tempo, o capacitor comporta-se como um circuito aberto; onda refletida se adiciona à onda incidente dobrando o valor da tensão.

d) – Linha terminada em um indutor:



89

A terminação indutiva é o dual da capacitiva, pois em um indutor

a corrente não pode variar instantaneamente. Quando uma onda de

tensão atinge uma terminação indutiva, inicialmente, esta se comporta

como um circuito aberto e a onda refletida se soma à onda incidente

dobrando a tensão. Com o passar do tempo, como o indutor não

apresenta nenhuma impedância à corrente contínua, este se comporta

como um curto-circuito, e onda de tensão refletida cancela a onda de

tensão incidente. Utilizando ZL = sL1 no coeficiente de reflexão e

refração, tem-se:

+

−

=

+

−=

1

Linha

1

Linha

1

Linha1

Linha112

L

Zs

L

Zs

s

V

ZsL

ZsL

s

V)s(v

+

=

+=

1

Linha1

Linha1

113

L

Zs

2V

ZsL

sL2

s

V)s(v

Aplicando a transformada inversa de Laplace chega-se a:

[ ]t

12 e21V)t(V β−−−=

t

13 eV2)t(Vβ−=



90

Onda viajante em uma linha com terminação indutiva. Disposição da

onda em diferentes instantes e a tensão V3 no indutor em função do

tempo.

e) – Linha terminada em um resistor:

O teorema de Thévenin pode ser eficientemente aplicado para o

cálculo das ondas refletidas e refratadas nas terminações das linhas.

Segundo o teorema, corrente em um ramo de um circuito qualquer

pode ser determinada da seguinte forma. Primeiro retira-se o ramo do

circuito e determina-se a tensão VTh entre os pontos de conexão do

ramo ao circuito. A seguir determina-se a impedância vista por estes

pontos com todas as fontes de tensão do circuito desativadas

mantendo as suas impedâncias internas. Aplicando-se este teorema

em uma terminação de linha com uma impedância ZB, verifica-se o

seguinte: retirando o ramo ZB alinha fica em circuito aberto, logo a

tensão será o dobro da onda incidente V1; a impedância vista da

terminação da linha para a fonte é a impedância característica da linha

ZLinha. Logo, a corrente no ramo e a tensão na terminação da linha são

determinadas por:



91

LinhaB

1

LinhaB

Th

ZZ

V2

ZZ

VI

+=

+=

LinhaB

B1

BBZZ

ZV2IZV

+==

Este resultado corresponde à aplicação do coeficiente de refração

determinado anteriormente.

Um caso interessante que ainda não foi discutido, é a situação

particular na qual ZB é um resistor numericamente igual à impedância

característica da linha. Nesse caso, de acordo com a equação

anterior, a tensão sobre o resistor é igual à tensão incidente V1. Isto

significa que a tensão refletida (V2) é nula, ou melhor toda onda

incidente é completamente absorvida pelo resistor. Uma terminação

resistiva dissipa energia. Quando uma onda viajante alcança um

resistor, a energia que não pode ser absorvida é refletida de volta.

Então, no caso específico no qual a terminação da linha é um resistor

de valor numérico igual a impedância característica da linha, a onda

transporta uma energia tal que é totalmente dissipada no resistor, não

deixando nada para a reflexão.

6.5 - Atenuação e Distorção das Ondas Viajantes:

Até agora, todas considerações sobre as ondas viajantes foram

estabelecidas para uma linha monofilar isenta de perdas. Estas

limitações são muito restritivas e não estão de acordo com um sistema

prático, onde as linhas na maioria das vezes são multifilares e



92

possuem perdas tanto na resistência dos condutores como nos

isoladores. O comportamento das ondas viajantes em uma linha de

transmissão multifilar com as perdas inerentes é extremamente

complexo, por isso foi necessário estudar um sistema mais simples

para que os princípios básicos pudessem ser entendidos.

Estabelecidos os princípios básicos sobre o comportamento das ondas

viajantes em um sistema simplificado, procede-se a aplicação desses

princípios em uma situação mais realística. Nesta seção apresenta-se

uma análise relativa às perdas do sistema, deixando para a próxima

seção o estudo de sistemas multifilares

Uma importante fonte de perda de potência é a resistência de uma linha que devido ao efeito pelicular pode assumir valores bem elevados. Este efeito será mais sentido particularmente na frente da onda viajante, onde a corrente no condutor varia mais rapidamente. A terra é raramente usada como condutor exceto em sistema de alta tensão em corrente contínua (HVDC). Contudo, correntes fluem pela terra em condições de faltas e correntes podem ser induzidas na terra. Dependendo das condições do solo, a terra pode introduzir uma resistência considerável no sistema de transmissão. Perdas também podem surgir da admitância de dispersão da linha, ou seja da resistência finita da isolação da linha. Uma outra perda muito significativa é devido ao efeito corona. A presença de resistência (R) e admitância de dispersão (G) em uma

linha significam que perdas irão ocorrer sempre que uma corrente fluir

na linha (RI2), ou uma tensão for estabelecida entre seus condutores

(GV2). Em uma onda viajante as perdas significam dissipação de parte

da energia da transportada e isto promove uma redução na sua

amplitude, ou atenuação, à medida que a onda trafega ao longo da

linha. A análise dos efeitos da resistência e da admitância de



93

dispersão de forma mais rigorosa é mais complicada, pois as

equações que descrevem o comportamento das ondas viajantes,

descritas anteriormente somente em termos de L’ e C’, tornam-se mais

complexas como é mostrado a seguir:

t

I'LI'R

x

V

∂

∂+=

∂

∂−

t

V'CV'G

x

I

∂

∂+=

∂

∂−

Além disto, em uma linha aérea real a representação de R e G é uma

aproximação melhorada. A resistência é complicada pelo efeito da alta

frequência (efeito pelicular) e a admitância de dispersão, a qual é

devido principalmente às imperfeições das estruturas suporte dos

isoladores, aparece com valores incertos concentrados nas torres

suporte das linhas. Por isso a aproximação apresentada a seguir será

qualitativa. Serão estabelecidos alguns conceitos úteis e mostrados

com eles se aplicam.

Exceto em casos muito especiais, os quais não ocorrem na prática em

linha de transmissão de potência, a atenuação de ondas viajantes será

acompanhada de distorção. Isto fica evidente pelas seguintes

considerações. A medida que uma onda viajante de tensão passa ao

longo de um linha, ela vai armazenando em sua capacitância uma

energia ½C’V2 cada unidade de comprimento. A energia é, então,

suprida à linha numa taxa dada por ½C’V2v watts, enquanto que é

dissipada na taxa de G’V2v. Esta dissipação contínua de energia é

responsável pela atenuação da onda de tensão. Tanto a energia



94

suprida à linha como a dissipação, são proporcionais ao quadrado da

tensão (V2), o que proporciona uma atenuação exponencial dada por:

t'C

'G

oeVV−

=

onde Vo é a amplitude inicial da onda de tensão.

Assim como a onda de tensão, uma onda de corrente ao passar pela

linha vai armazenando uma energia no campo magnético dada por

½L’I2. Neste caso também, a energia é suprida à linha uma taxa de

½L’I2v enquanto que é dissipada pela passagem da corrente na taxa

de R’I2v, ambas proporcionais ao quadrado da corrente. Logo, a onda

de corrente também será atenuada de forma exponencial dada por:

t'L

'R

oeII−

=

onde Io é a amplitude inicial da onda de corrente. Na análise que precedeu, as ondas de tensão e corrente foram

consideradas separadamente. De fato, sabe-se que elas viajam em

conjunto, e mais especificamente que as equações da linha demanda

uma estrita proporcionalidade das frentes de ondas dadas por:

'C

'LZ

I

Vo ==

Considerando que as ondas de tensão e corrente serão atenuadas

exponencialmente a medida que elas propagam pela linha, e que a

frente de onda das duas ondas deverão preservar a estrita

proporcionalidade, conclui-se que estas condições somente serão

satisfeitas se os expoentes das ondas se tensão e corrente forem

iguais numericamente. Ou seja:

'C

'G

'L

'R

o

=



95

Mas é evidente que isto é uma situação muito especial. Então, surge

uma questão. O que acontece quando esta situação não se aplica?

Em primeiro lugar, para melhor entender esta questão, considere-se

válida a situação estabelecida anteriormente. Rearranjando a

expressão da seguinte forma:

2

2

oI

VZ

'C

'L

'G

'R===

ou ainda, neste caso especial: 22

V'GI'R =

A perda de potência devido à resistência é exatamente igual a perda

devido à admitância de dispersão da linha. Ficou estabelecido

anteriormente que quando uma fonte é conectada a uma linha de

transmissão, ela fornece energia em quantidades iguais para os

campos elétricos e magnéticos estabelecidos através das ondas

viajantes de corrente e tensão. Então, neste caso especial a energia

está sendo levada a cada ponto na linha em proporções iguais pelas

ondas de corrente e tensão, e frações iguais estão sendo dissipadas

na resistência e admitância de dispersão.

Em linhas onde as perdas série (R’I2) e paralelo (G’V2) não são iguais,

se a relação entre as ondas de tensão e corrente (V/I) é para ser

preservada, haverá um excesso de energia ou no campo elétrico ou

no magnético. Esta situação não é nova, de fato ela é semelhante à

condição de descontinuidade na linha já analisada anteriormente, na

qual a energia era conservada pela geração de novas ondas; mais

especificamente a energia era refletida de volta do ponto de

descontinuidade pelas ondas de tensão ou corrente ou ambas. Isto é



96

exatamente o que acontece nesse caso. Um contínuo processo de

reflexão de energia toma lugar em cada ponto da linha assim que é

alcançado pela frente de onda. Isto permite as ondas incidentes

manter a sua estrita proporcionalidade nas frentes de ondas (somente

no lugar onde as equações de ondas demandam isto) e também

fornece as perdas requeridas. A consequência disto é que as ondas

mudam suas formas e sofrem atenuações à medida que viajam. Pelo

que foi dito, o centro e o final de um surto ganhariam energia às custas

da frente de onda e, a cada passo, a frente seria menos íngreme e a

calda mais longa. Isto é um fato que é observado.

No caso especial onde R’/L’ = G’/C’, as perdas podem ser supridas

quando requerida e a proporcionalidade entre V e I preservada na

frente de onda sem a contínua reflexão de energia. Na verdade, V/I =

Zo aplica-se a cada ponto da onda, então a onda, apesar de atenuada,

viaja sem distorção ao longo da linha. Linhas sem distorção são muito

desejáveis em sistemas de comunicação e medidas são tomadas para

obter esta condição. Já em sistemas de potência esta condição é de

menor importância e as perdas na resistência série são quase sempre

maiores que as perdas na admitância de dispersão. A condição sem

distorção não é por si só um incentivo para o crescimento artificial das

perdas por dispersão ou redução das perdas na resistência série.



97

6.6 - Linhas Polifásicas:

A figura abaixo mostra o circuito representativo de um elemento

infinitesimal de uma linha de transmissão polifásica, com seus

parâmetros matriciais R’, L’ e C’ dados por unidade de comprimento.

Modelo incremental de uma linha de transmissão polifásica:

As equações diferenciais parciais exatas extraídas deste circuito são

apresentadas a seguir:

I]'R[t

I]'L[

x

V+

∂

∂=

∂

∂−

V]'G[t

V]'C[

x

I+

∂

∂=

∂

∂−

Onde V e I são vetores de tensão e corrente por fase.

O sistema de equações diferenciais parciais acima é e difícil solução,

pois nota-se que todas as grandezas de tensão ou corrente de uma



98

dada fase estão intimamente relacionadas com as grandezas da outra

fase; ou seja, a corrente de uma fase qualquer contribui para a queda

de tensão em outra fase. Este fato se deve porque as matrizes [R’],

[L’], [C’] e [G’] são formadas por elementos acoplados e, portanto, são

matrizes cheias (completas).

Se uma linha de transmissão é transposta (simétrica) então os

elementos das suas matrizes [R’], [L’], [C’] e [G’] possuem apenas dois

valores distintos, todos os elementos da diagonal principal possuem o

mesmo valor (Ls) e todos os elementos fora da diagonal também

possuem o mesmo valor (M) como mostra a matriz de indutância.

[ ']L

L M M

M L

M L

s

s

s

====

L

M M M

L

onde Ls = indutância própria da fase

M = acoplamento entre fases

6.6 - Notação Modal

A transformação modal consiste em diagonalizar uma matriz simétrica

através dos cálculos dos autovalores e autovetores da matriz. Em

linhas aéreas de transmissão não transpostas as impedâncias próprias

e capacitâncias das fases bem como as impedâncias (capacitâncias)



99

de acoplamento mútuo não são exatamente iguais entre si. Contudo,

as constantes matriciais [R’], [L’], [C’] e [G’] da linha são simétricas em

relação à diagonal principal e, portanto, são possíveis de ser

diagonalizadas através dos seus autovalores e autovetores.

Se as constantes matriciais do sistema de equações diferenciais

da linha de transmissão forem diagonalizadas, então o sistema torna-

se desacoplado e cada modo pode ser resolvido independentemente

um do outro como se fossem vários sistemas monofásicos. Portanto, é

possível resolver um sistema polifásico utilizando o conceito de ondas

viajantes para linhas monofásicas, fazendo a transformação modal.

Nesse caso, é necessário utilizar nos modelos de linhas com

parâmetros distribuídos as constantes matriciais diagonalizadas, ou

seja, no domínio modal. Esse assunto foge aos objetivos propostos e

não será tratado aqui.

7 - Descargas Atmosféricas em Linhas de Transmissão:

Quando uma descarga atmosférica atinge uma linha de

transmissão, uma elevada sobretensão é desenvolvida. Se essa

sobretensão exceder o limite de suportabilidade da isolação, ocorrerá

uma nova descarga da linha para terra Geralmente, essa descarga

ocorre através de um arco elétrico formado entre a linha e a estrutura

aterrada que a suporta (torres). Esse arco formado é mantido pela

tensão da linha causando um curto-circuito fase-terra, obrigando os

dispositivos de proteção atuarem. Essa descarga através do ar ou da

cadeia de isoladores da linha normalmente não produz nenhum dano



100

no sistema, pois, com operação dos dispositivos de proteção o arco é

extinto e isolação da linha volta ao seu nível anterior. Por outro lado,

em geradores, transformadores e equipamentos onde são utilizados

materiais isolantes sólidos, uma descarga interna provoca um dano

permanente.

Nas linhas, as descargas atmosféricas podem atingir os cabos

pára-raios ou os condutores fase. Em ambos os casos, é necessário

entender como os surtos de corrente e tensão associadas a estas

descargas se propagam pelo sistema. Quando uma descarga atinge

uma linha de transmissão, ela provoca o aparecimento de ondas

viajantes pelo sistema, com reflexões nos pontos onde a impedância

característica ou impedância de surto muda de valor. Para determinar

surtos de tensão e correntes em várias partes do sistema é necessária

uma análise das ondas viajantes. Em sistemas monofásicos simples,

essa análise pode ser feita manualmente, enquanto que em sistemas

mais complexos (polifásicos), (característica mais comum nos dais

atuais) requerem a utilização de computadores. Objetiva-se, neste

item, apresentar alguns conceitos básicos sobre o comportamento das

ondas viajantes nas linhas de transmissão quando submetidas a

descargas atmosféricas.

Seja uma descarga atmosférica atingindo o condutor de uma

linha de transmissão monofilar. A descarga inicia a propagação de

ondas de tensão e de corrente, as quais viajam aproximadamente à

velocidade da luz em ambas as direções a partir do ponto de impacto.



101

Sendo Z0 a impedância de surto da linha, então a tensão e

corrente têm a mesma forma de onda e estão relacionadas pela

expressão:

IZV 0=

Assumindo que o valor de crista da descarga é 10 kA e que a

linha possui uma impedância de surto de 300 Ω, o surto de tensão que

se propagará pela linha terá uma frente de onda determinada por:

20

aargdescIZV =

Essas ondas continuam a se propagar pela linha até que seja

encontrado um ponto de descontinuidade (variação da impedância de

surto). Neste ponto, ter-se-á ondas refletidas e ondas refratadas.

Pontos de descontinuidade podem ser disjuntores abertos,

transformadores, outras linhas ou uma falha no isolamento da linha.

Suponha uma linha terminada em um transformador. Para um

surto, o transformador comporta-se como uma capacitância em torno

de 2 nF a 6 nF, mas para o propósito desta análise será considerado

como um circuito aberto. Quando uma onda de tensão atinge um

circuito aberto, origina uma onda refletida de mesma intensidade e

polaridade do surto incidente. As ondas, incidente e refletida,

combinadas na terminação aberta ou transformador resultam em

dobrar a tensão neste ponto.

Uma outra análise útil e que pode ser facilmente calculada é a

determinação da sobretensão resultante em subestação de onde sai

várias linhas. O surto de tensão ao atingir essa subestação, se



102

subdividirá nas várias linhas reduzindo de intensidade. Isto pode ser

entendido como se as impedâncias características de cada linha

estivessem em paralelo, resultando em uma impedância menor.

Assumindo que as impedâncias características de cada linha sejam

iguais, a magnitude do surto de tensão resultante na subestação pode

ser calculada usando a expressão:

n

VV 1

2

2=

Onde:

V1 – é o surto de tensão incidente;

V2 – é a sobretensão na subestação;

n – é o número de linhas conectadas à subestação.

Assumindo que um surto de tensão de 10 MV atinge uma

subestação, V2 será igual a 20, 10, 6,67 ou 5 MV, para uma, duas, três

ou quatro linhas conectadas. Este cálculo simples ilustra a vantagem

de se terem várias linhas conectadas à subestação para a redução do

surto de tensão incidente.

7.1 - Descargas nas Torres:

Quando um raio atinge uma das torres de uma linha de

transmissão é estabelecido um processo de propagação de ondas de

tensão e corrente nos cabos pára-raios, nas torres próximas e nos

sistemas de aterramentos, e reflexões conforme as impedâncias



103

características envolvidas surgirão. A figura a seguir ilustra o fato de

uma descarga atingindo uma torre.

A tensão resultante de uma descarga atmosférica é calculada

pelo produto da corrente do raio pelo valor da impedância de surto

vista por este ponto. Para a descarga na torre, a impedância de surto

equivalente é o paralelo entre a impedância de surto da torre (ZT) e as

impedâncias de surto dos cabos pára-raios (Zg). Estudos realizados

em modelos em escala reduzida mostram que as torres podem ser

representadas por modelos iguais aos das linhas de transmissão com

impedâncias de surto que variam entre 150Ω e 200Ω e velocidade de

propagação igual à da luz no vácuo

+

=

g

T

T

Z

Z

ZZ

21

Esta onda de tensão resultante é modificada por reflexões na

base da torre e ainda por reflexões nas torres adjacentes.

A propagação de um surto de tensão nos cabos pára-raios induz,

nos condutores de fase, o aparecimento de ondas de tensão



104

acopladas, através da relação de capacitâncias próprias e mútuas

desses cabos, de mesma polaridade e k vezes a tensão do cabo.

Assim, a cadeia de isoladores, que é o ponto onde o isolamento entre

os cabos pára-raios e os condutores é mais fraco, ficará sujeita à

diferença entre a tensão no topo da torre e a tensão induzida no

condutor.

( ) ( )

g

T

TTS

Z

Z

IZkVkV

ZIV

21

11

+

−=−=

=

Como k é da ordem de 0,15 a 0,30 a solicitação ao isolamento

(VS) fica substancialmente aliviada pelo efeito do acoplamento.

O valor da resistência de pé de torre é bastante significativo para

o desenvolvimento da tensão de topo de torre porque, sendo

normalmente inferior à impedância de surto da torre, e é esse o

objetivo de um bom projeto, o coeficiente de reflexão para as ondas

que são refletidas na base da torre é negativo, fazendo com que o

crescimento da tensão no topo da torre sofra uma acentuada redução

no intervalo de tempo relativamente pequeno por causa da altura da

torre.

O coeficiente de reflexão para as ondas refletidas nas torres

adjacentes também é negativo, fazendo com que as tensões refletidas

sejam de polaridade inversa, mas, como o tempo de propagação

relativo ao vão é da ordem de 10 vezes superior ao tempo de

propagação na torre, estas ondas refletidas podem chegar à torre



105

atingida em um instante em que a tensão no topo da torre já tenha

passado pelo seu valor máximo.

7.2 - Descargas nos Cabos Pára-Raios:

A incidência de raios nos cabos pára-raios apresenta como

característica básica uma tensão no ponto de incidência muito maior

que para a incidência nas torres.

Para uma descarga atingindo o cabo pára-raios em algum ponto

ao longo do vão a tensão resultante será:

2

IZV gM =

A figura a seguir ilustra este fato.

A tensão atingirá valores tanto maiores quanto maior for o

afastamento em relação às torres, sendo, portanto, o meio do vão o

ponto de incidência que provoca o maior crescimento da tensão. Este



106

fato pode ser facilmente entendido quando se considera que a

impedância de surto vista do ponto de incidência é muito maior neste

caso do que no caso de descargas nas torres, além do que os efeitos

das torres adjacentes e sistemas de aterramento (as ondas refletidas

têm sinal negativo) só começam a ser sentido após duas vezes o

tempo de propagação até as torres adjacentes próximas.

A tensão (1-k)VM , à qual o isolamento em ar entre os cabos

pára-raios e condutores ficará submetida é consideravelmente maior

do que a tensão à qual a cadeia de isoladores ficará submetida se

uma descarga de mesma intensidade atingisse a torre. Normalmente a

flecha dos cabos pára-raios é bem menor do que a dos condutores e

logo eles estarão suficientemente afastados para impedir a ocorrência

de desligamento devido à ruptura do isolamento entre os condutores e

pára-raios ao longo do vão.

Assumindo que não ocorreu falha no meio do vão a tensão VM

irá trafegar pelo cabo pára-raios em direção às torres adjacentes onde

será atenuada por reflexões. A torre se apresenta como uma

descontinuidade para as ondas que chegam pelos cabos pára-raios.

Assim, ondas refletidas retornam ao ponto de impacto da descarga

atmosférica enquanto duas ondas refratadas são geradas. Uma

seguirá para o próximo vão pelo cabo pára-raios e a outra desce pela

torre até o solo. A tensão no topo da torre será:

MT bVV =

Onde:

b – é o coeficiente de refração dado por:



107

gZZ

Zb

+=

2

Sendo Z a impedância equivalente ao cabo pára-raios e a torre:

gT

Tg

ZZ

ZZZ

+=

Ou seja:

2

g

T

TMT Z

Z

ZVV

+

=

A tensão que irá aparecer através da cadeia de isoladores será

dada por:

( )

2

1g

T

TMS Z

Z

ZVkV

+

−=

Para descargas atingindo os cabos pára-raios, as máximas

solicitações que serão impostas ao isolamento das torres são da

mesma ordem de grandeza daquelas onde a torre é atingida

diretamente. Assim, descargas no meio vão podem resultar na

ocorrência de falhas na torre embora nada tenha ocorrido ao longo do

vão.

Uma descarga atmosférica terminando próximo de uma linha de

transmissão pode induzir uma tensão na linha a qual raramente

excede 500 kV. Linhas blindadas com cabos pára-raios e tensão

nominal maior que 69 kV, geralmente têm isolamento para impedir a

ocorrência de descargas para tensões dessa ordem.



108

Linhas de tensões menores, entretanto, com níveis de

isolamento substancialmente menores que 500 kV, podem falhar por

surtos de tensão induzidos. Na maioria dos casos, esses circuitos não

têm cabos pára-raios e, logo, estão sujeitos a falharem cada vez que

forem atingidos por uma descarga direta. Em geral, falhas por surtos

induzidos não são um problema maior, já que o número de falhas por

descargas diretas excede em muito aquele decorrente de surtos

induzidos.

7.4 - Pára-Raios de Surtos

A utilização de pára-raios em linhas de transmissão permite

reduzir o nível de isolamento do sistema uma vez que estes

equipamentos controlam as sobretensões transitórias evitando danos

nos diversos equipamentos. Para melhor entendimento do princípio de

funcionamento dos pára-raios de surtos, primeiramente é interessante

compreender a operação dos centelhadores uma vez que estes

podem estar presentes nos pára-raios. A figura a seguir mostra uma

cadeia de isoladores provida de hastes centelhadoras.

Isoladores com hastes centelhadoras



109

Quando a tensão sobre o isolador atingir o valor de ruptura do

dielétrico entre as hastes (no caso o ar), valor este chamado de tensão

de “flashover”, haverá a ionização do ar e um arco elétrico se formará

as mesmas. Como a resistência elétrica aparente do arco é muito

pequena, a queda de tensão no arco é insignificante e, na maioria das

vezes, desprezada. Desta forma, pode-se afirmar que após a

operação do centelhador é estabelecido um curto-circuito entre os

terminais do isolador. Uma vez criado o arco elétrico, o mesmo

persistirá enquanto houver corrente fluindo através ele. Assim,

observa-se que a principal desvantagem da utilização de hastes

centelhadoras na proteção de linhas consiste no fato de as mesmas

estabelecerem um curto-circuito nestas após a ocorrência de uma

sobretensão, isto impõe a operação dos disjuntores desligando a linha

que é altamente indesejável.

Um dispositivo que possa limitar a sobretensão sem estabelecer

um curto-circuito no sistema é tudo que se deseja para a proteção. Um

resistor não linear apresenta esta característica. Este resistor tem a

propriedade de reduzir acentuadamente a sua resistência elétrica com

o crescimento da tensão sobre ele. Esta característica geralmente

pode ser expressa da seguinte forma:

q

refU

UpI

=

Onde:

I é a corrente no resistor;



110

U é a tensão sobre o resistor;

Uref é o valor de tensão tomado como referência a partir do qual

a corrente no pára-raios cresce exponencialmente. Geralmente Uref é

duas vezes a classe de tensão do pára-raios.

p é uma constante multiplicadora que depende das dimensões

geométricas do resistor;

q é um expoente característico da composição do material do

qual o resistor é feito, (em geral q ≈ 6 para caburetos de silício

SiC e q ≈ 26 para óxidos metálicos ZnO).

A composição de centelhadores com resistores não lineares

pode resultar em uma combinação interessante para compor os pára-

raios de surto. Dessa forma, enquanto a tensão não atingir o valor de

ruptura do dielétrico formado pelo espaço de ar entre os

centelhadores, a corrente no pára-raios é nula. Após a ruptura do

dielétrico e o estabelecimento do arco elétrico, a corrente no pára raios

é determinada pela expressão do resistor não linear, e para a

existência da mesma necessita-se de um determinado valor de

tensão. Isto é, não ocorre o curto-circuito. A figura a seguir mostra em

corte um pára-raios classe 96 kV. Pode-se verificar a composição do

resistor não linear por vários elementos resistivos combinados com

centelhadores.



111

Pára-raios de surto classe 96 kV

Um parâmetro muito importante para o dimensionamento de

pára-raios é a energia dissipada nos mesmos durante a sua operação.

Na incidência de um surto de tensão, a resistência não linear do pára-

raios cai tão rapidamente quanto à tensão cresce em seus terminais

desviando a corrente e a energia para si. Em geral, um pára-raios de

surtos não é projetado para operações repetitivas, caso isto possa

ocorrer deve-se optar por modelos adequados especialmente

projetados para este fim. A capacidade de dissipação de energia de

um pára-raios depende das dimensões do elemento resistor. Como a

energia é geralmente dissipada nesses elementos muito rapidamente,

existe muito pouca possibilidade do calor ser transferido para outras

partes do equipamento até que o surto tenha passado. Portanto, este

tipo de equipamento de proteção deve ser cuidadosamente

selecionado para uma proteção eficiente. Mostram-se, na figura a

seguir, as curvas típicas de pára-raios de óxido de zinco e carbureto

de silício classe 15 kV.



112

Com o propósito de ilustrar a eficiência da utilização de um pára-

raios de óxido de zinco (ZnO) na limitação do surto de tensão em uma

linha de transmissão apresenta-se o seguinte exemplo numérico

Exemplo

Considere uma linha monofilar classe 15 kV cuja impedância de

surto é 300 ohms. Em sua extremidade encontra-se um transformador

de 112,5 kVA protegido por um pára-raios que possui os seguintes

parâmetros: p = 0,80; Uref = 30 kV; q = 26. Uma descarga atmosférica

de 10 kA atinge o meio da linha e propaga rumo ao transformador.

Com o objetivo de determinar o surto de tensão no transformador e a

corrente no pára-raios será desprezado todo amortecimento existente

na linha e descargas parciais que porventura podem acontecer

quando da passagem do surto pelos isoladores. Assim a onda de



113

tensão incidente no ponto da descarga será a mesma que atingirá o

pára-raios. Ao atingir a linha, a descarga atmosférica se subdividirá em

dois surtos de tensão que se propagarão em sentido opostos com

mostra a figura a seguir:

O surto de tensão pode ser determinado por:

MV,UU 5012

3001000011 =⇒

×=

Considerando a corrente da descarga fluindo pelo pára-raios,

pode-se determinar a tensão através do pára-raios por:

kV,U,U

Upr

ref

pr9941

80

5000 26

1

=⇒

=

Sendo assim, haverá uma onda de tensão refletida negativa

dada por:

MV,,,U 4615010419902 −=−=

A corrente no pára-raios será dada por:

A)(

I pr 9867300

1460000

300

1500000=

−+=

Utilizando este novo valor de corrente para determinar a tensão

através do pára-raios, obtém-se:

kV,U,U

Upr

ref

pr1043

80

9867 26

1

=⇒

=



114

Repetindo-se os procedimentos de cálculos até a convergência

dos resultados, chega-se a: Ipr=9856,34A e Upr = 43,10 kV

7.5 - EFEITO FERRANTI:

O aumento da tensão no receptor em relação à tensão no

transmissor recebe o nome de efeito Ferranti em homenagem ao físico

que o descobriu. Isto ocorre devido ao fluxo de corrente capacitiva

através da indutância série da linha. O efeito Ferranti, desde cedo,

mereceu atenção dos técnicos que atuam na área de

telecomunicações, que lidam com linha de frequências mais elevadas

e, portanto, de pequenos comprimentos de ondas. Ultimamente, esse

efeito passou a preocupar mais seriamente os técnicos da área de

projeto e operação de linhas de transmissão em frequências

industriais, em virtude da necessidade de construção de linhas com

comprimentos cada vez maiores, sendo de se esperar que linhas

longas com comprimento em torno de λ/4 (1/4 do comprimento de

onda) ou mais longas venham a ser construídas.

As implicações principais do efeito Ferranti, que diminui de

intensidade à medida que a potência do receptor aumenta a partir de

zero, podem ser artificialmente controladas, a saber:

1 – necessidade de aumento do nível de isolamento das linhas e

equipamento terminal em virtude da sobretensão que provoca;

2 – apesar das perdas por dispersão, representadas

principalmente pelo efeito Corona, atuarem favoravelmente na



115

redução das sobretensões, essas perdas crescem em função do

quadrado da tensão. A radiointerferência e os ruídos audíveis que

acompanham o efeito Corona também aumentam igualmente com a

tensão. Afim de mantê-los dentro de limites razoáveis, será necessário

um aumento na bitola os condutores, o que afeta consideravelmente o

custo das linhas;

3 – a corrente de carregamento I1, sendo muito elevada, limita,

por efeito térmico, a capacidade de transporte da corrente de energia

da linha, exigindo, para uma mesma potência a ser transmitida,

condutores de secções consideravelmente maiores, o que encarece a

sua construção. Esse fato é particularmente sério para as linhas em

cabos subterrâneos ou submarinos, para os quais o comprimento de

onda é muito menor que nas linhas aéreas, pois depende

essencialmente da velocidade de propagação v[km/s], que é menor

nessas linhas.;

4 – a corrente de carregamento I1 que a linha que a linha

absorve das máquinas que a alimentam, quando opera em vazio ou

com pouca carga, é capacitiva. Observando que umas das

características das máquinas síncronas é que, nessas condições,

pode ocorrer o fenômeno conhecido por auto-excitação, originando

tensões incontroláveis nessas máquinas, se essas não tiverem

capacidade de absorver essa carga capacitiva.

Para melhor visualização deste fenômeno considere-se a linha

de transmissão como um circuito de dois terminais, de acordo com o

esquema mostrado na figura a seguir.



116

A equação geral para a linha é dada por:

( ) ( )ll γ+γ= senhIZcoshVV 2021

onde:

V1 – tensão no lado da geração (emissor)

V2 – tensão no lado do receptor

l – comprimento da linha

ZC – impedância característica da linha

γ – constante de propagação = α + jβ

Sendo:

α – constante de atenuação

β – constante de fase

Admitindo a linha aberta na extremidade receptora, como no

caso de energizações ou rejeições de carga, tem-se que I2 = 0. Assim,

( )lγ= coshVV 21

Desta forma, para uma linha não compensada na condição de se

desprezarem as perdas, o efeito Ferranti é calculado

aproximadamente pela fórmula a seguir:



117

( )lβ=

cosV

V 1

1

2

Sendo:

hzemkmcadapara,

hzemkmcadapara

LCv

6010027

501006

0

0

=β

=β

ω=ω

=β

Para o mesmo sistema apresentado na figura anterior, a figura a

seguir apresenta a magnitude aproximada da tensão devido ao efeito

Ferranti. A forma de onda da sobretensão resultante deste fenômeno

é, em geral, senoidal à frequência industrial.

Efeito Ferranti em linhas aéreas com diferentes tipos de compensação

Na figura acima as curvas representam os seguintes tipos de

compensação nas linhas

Curva 1 linha sem compensação



118

Curva 2 linha com 50% de compensação

Curva 3 linha com 50% de compensação capacitiva série e

70% de compensação reativa em derivação

Transitórios Eletromagnéticos - Apostila UFU

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