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Transmissão de Calor Resumo de formulas e tabelas de Condução João Luís Toste de Azevedo Outubro de 2007

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Transmissão de Calor

Resumo de formulas e tabelas de Condução João Luís Toste de Azevedo Outubro de 2007

Formulário de Condução de Calor 2 Toste Azevedo, 10/2000

Resistências térmicas de paredes

Geometria Parede plana Casca cilíndrica Casca esférica Convecção em superfície

R [K/W] kAL ( )

kLDDln ie

π2

( ) ( )k

DD ei

π211 −

hA1

R’ [mK/W] (1) ( )kDDln ie

π2

jDhπ1 (2)

R” [m2K/W] kL ( )

kDDlnD iej

2 (2) ( ) ( )[ ]

kDDD jei

211 2− (2) h

1

Raio crítico [m] hk

hk2

1) por unidade de comprimento de cilindro; 2) Resistência definida em relação à área j. Distribuição de temperatura em sólidos com fontes de calor uniforme q& Parede plana com temperaturas impostas Ts1 em x=0 e Ts2 em x=L.

( )22

12

21122

22,s,s,s,s TT

LxTT

Lx

kLqxT

++

−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

&

Caso com superfície adiabática em x=0 ou r=0 e convecção na superfície x=L ou r=R.

Parede plana Cilíndro Esfera

( )hLqT

Lx

kLqxT

&&++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∞2

22

12

( )hRqT

Rr

kRq

rT2

14 2

22&&

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∞

( )hRqT

Rr

kRq

rT3

16 2

22&&

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∞

Rendimento de Alhetas Configurações de superfícies estendidas consideradas: - Alhetas planas e pinos (secção circular) com diferentes perfis caracterizados por:

2ty = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=l

x2ty

23

x2ty ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=l

2x

2ty ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=l

A B C D

l

2Dr =

21

x2Dr ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=l

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=l

x2Dr

2x2Dr ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=l

x

y

r

Formulário de Condução de Calor 3 Toste Azevedo, 10/2000

Alheta y = (t/2)(x/ l )n Pino r = (D/2)(x/ l )n

Config. n Parâmetro u n Parâmetro u Rendimento

função do parâmetro u

A 0 kth2u l= 0 kDh4u l= ( )

uutgh

B 1 kth22u l= 1 2 ( ) kDh434u l=

( )( )uIuuI2

0

1∗∗

C 3 2 kth24u l= 1 kDh42u l=

( )( )uI*uuI*4

1

2=η

D 2 kth22u l= 2 ( ) kDh432u l=2u11

2

++=η

O rendimento definido pelas expressões acima encontra-se representado em função do parâmetro kthl para as alhetas planas e kDhl para os pinos (secção circular) na tabela A1. - Alhetas tipo anilha em tubos. Consideram-se alhetas com espessura constante ou de secção triangular conforme os esquemas (ambas com espessura na base t).

tr1 r2

r1

r2

dr

Ac

O rendimento destas alhetas depende da sua largura 12 RR −=l e da razão entre o raio exterior da alheta (R2) e do raio interior desta igual ao raio do tubo (R1). O rendimento da alheta é dado pela expressão seguinte:

( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−=η

10212110

112121112

121 uKuIuKuIuKuIuKuI

RR1u2 onde

( )1RRkt/h2u

121 −

=l ou kt/h2Ru 11 = e kt/h2Ru 22 = ou ( )1212 RRuu =

Os valores deste rendimento são apresentados em função do parâmetro kthl na tabela A1. Na página da disciplina encontra-se a folha de cálculo onde estas funções foram calculadas (É necessário activar a Analysis Tool Pack)

Formulário de Condução de Calor 4 Toste Azevedo, 10/2000

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

�f

t

x

y (x)

(a)

(b)

(c)

(d)

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

t/2

L

�f

x

Gráficos extraídos de Gardner, 1945 – Notar que o argumento inclui o factor 2 omitido no Incropera

Formulário de Condução de Calor 5 Toste Azevedo, 10/2000

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.82

4

31.6

1.4

ri

L

ro

t

1�

i

o

r

r�f

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x /x = 1.0e

b

2.03.04.0

�f

xe

xb

L

t

x

Gráficos extraídos de Gardner, 1945 – Notar que o argumento inclui o factor 2 omitido no Incropera O ultimo gráfico diz respeito a alhetas de secção variável que é deduzido com perfil hiperbólico.

Formulário de Condução de Calor 6 Toste Azevedo, 10/2000

Distribuição de temperatura em alhetas (com condição de fluxo nulo na extremidade)

Alhetas de secção constante ( ) ( )( )

( )( )( )

( )ucosh/x1ucosh

mcoshxmcoshx

b

l

l

l −=

−=

θθ sendo para alheta plana e pino cilindrico:

tetanconste == kth2u l= e com d=D=constante, kDh4u l=

Alhetas de secção variável terminando em vértice com área nula.

Neste caso o referencial x tem origem na extremidade da alheta.

A espessura ou diâmetro variam da seguinte forma: nxte ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=l

ou nxDd ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=l

onde t é a espessura da alheta na base e D é o diâmetro do pino na base da alheta.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=l

xte ( ) ( )( )

( )( )uI

/xuIm2I

xm2Ix

0

0

0

0

b

l

l==

θθ

kth22u l=

21

xDd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=l

( ) ( )( )( )uI/xuI

m34I

mx34Ix

0

43

0

43

0

43

0

b

l

l=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

θ ( ) kDh434u l=

23

xte ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=l

( ) ( )( )( ) ( ) 4

11

41

1

41

1

41

141

b /x*uI/xuI

m4I

mx4I

xx

l

l

l

l=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

θθ

kth24u l=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=l

xDd ( ) ( )( ) l

l

l

l

x*uIxuI

m2I

mx2I

xx

1

1

21

1

21

121

b

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

θθ

kDh42u l=

2xte ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=l

( ) r

b

xx⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

θθ

londe

21u1r

2 −+= kth22u l=

2xDd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=l

( ) r

b

xx⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

θθ

londe

21u1r

2 −+= ( ) kDh432u l=

Alheta de espessura constante em anel ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡++

θ

10211021

021021

b uKuIuIuKuKuIuIuKr onde kt/h2ru = ou ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= 1

RRx1uu

1

21

l

com ( )1RRkt/h2u

121 −

=l ou kt/h2Ru 11 = e kt/h2Ru 22 = ou ( )1212 RRuu =

Formulário de Condução de Calor 7 Toste Azevedo, 10/2000

Tabela A1 - Rendimento de alhetas. Alheta tipo anilha com espessura constante Pinos secção circular Alhetas planas

kthl r2/r1=1 r2/r1=1.5 r2/r1=2 r2/r1=3 r2/r1=5 r2/r1=10 r=R(x/l)2 r=R(x/l) r=R(x/l)1/2 r=R y=(t/2)(x/l)2 y=(t/2)(x/l) y=(t/2)(x/l).5 y=t/2

0.0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.1 0.993 0.992 0.991 0.989 0.986 0.981 0.996 0.993 0.991 0.987 0.993 0.990 0.987 0.981 0.2 0.974 0.968 0.964 0.956 0.945 0.928 0.983 0.974 0.966 0.950 0.974 0.962 0.951 0.931 0.3 0.944 0.932 0.922 0.907 0.885 0.852 0.963 0.945 0.928 0.895 0.944 0.920 0.898 0.865 0.4 0.905 0.886 0.871 0.846 0.813 0.765 0.938 0.908 0.880 0.830 0.905 0.868 0.838 0.797 0.5 0.860 0.835 0.813 0.781 0.737 0.677 0.908 0.866 0.828 0.762 0.861 0.812 0.776 0.732 0.6 0.813 0.780 0.754 0.714 0.663 0.594 0.877 0.823 0.775 0.695 0.814 0.756 0.716 0.673 0.7 0.764 0.726 0.696 0.651 0.594 0.521 0.845 0.779 0.723 0.632 0.765 0.701 0.662 0.621 0.8 0.716 0.674 0.640 0.592 0.531 0.457 0.812 0.736 0.674 0.576 0.717 0.651 0.613 0.576 0.9 0.670 0.624 0.589 0.538 0.476 0.402 0.781 0.696 0.628 0.526 0.671 0.605 0.569 0.535 1.0 0.627 0.579 0.542 0.490 0.428 0.356 0.750 0.658 0.586 0.482 0.628 0.563 0.530 0.500 1.1 0.587 0.537 0.499 0.447 0.386 0.316 0.721 0.623 0.549 0.444 0.588 0.526 0.495 0.469 1.2 0.550 0.499 0.461 0.410 0.350 0.283 0.693 0.591 0.515 0.410 0.551 0.492 0.465 0.441 1.3 0.516 0.465 0.428 0.377 0.318 0.254 0.666 0.561 0.484 0.380 0.517 0.462 0.437 0.416 1.4 0.485 0.434 0.397 0.347 0.291 0.230 0.642 0.534 0.457 0.355 0.486 0.435 0.413 0.393 1.5 0.457 0.407 0.370 0.322 0.267 0.209 0.618 0.508 0.432 0.332 0.458 0.411 0.391 0.373 1.6 0.431 0.382 0.346 0.299 0.247 0.191 0.596 0.485 0.409 0.311 0.432 0.389 0.371 0.355 1.7 0.408 0.360 0.325 0.279 0.228 0.175 0.575 0.464 0.389 0.293 0.409 0.370 0.353 0.338 1.8 0.387 0.339 0.306 0.261 0.212 0.162 0.556 0.445 0.370 0.277 0.388 0.352 0.337 0.323 1.9 0.368 0.321 0.288 0.245 0.198 0.150 0.537 0.426 0.353 0.263 0.369 0.335 0.322 0.309 2.0 0.350 0.305 0.273 0.231 0.185 0.139 0.520 0.410 0.338 0.250 0.351 0.321 0.308 0.297 2.1 0.334 0.290 0.258 0.218 0.174 0.130 0.503 0.394 0.323 0.238 0.335 0.307 0.295 0.285 2.2 0.319 0.276 0.246 0.206 0.164 0.122 0.488 0.380 0.310 0.227 0.320 0.294 0.284 0.274 2.3 0.305 0.263 0.234 0.196 0.155 0.114 0.473 0.366 0.298 0.217 0.307 0.283 0.273 0.264 2.4 0.293 0.252 0.223 0.186 0.147 0.107 0.459 0.353 0.287 0.208 0.294 0.272 0.263 0.254 2.5 0.281 0.241 0.213 0.177 0.139 0.101 0.446 0.342 0.276 0.200 0.282 0.262 0.253 0.246 2.6 0.271 0.232 0.204 0.169 0.132 0.096 0.434 0.331 0.267 0.192 0.272 0.253 0.245 0.237 2.7 0.261 0.223 0.196 0.162 0.126 0.091 0.422 0.320 0.258 0.185 0.262 0.244 0.237 0.230 2.8 0.251 0.214 0.188 0.155 0.121 0.086 0.411 0.310 0.249 0.179 0.252 0.236 0.229 0.223 2.9 0.243 0.207 0.181 0.149 0.115 0.082 0.400 0.301 0.241 0.172 0.244 0.228 0.222 0.216 3.0 0.235 0.199 0.175 0.143 0.111 0.079 0.390 0.293 0.234 0.167 0.236 0.221 0.215 0.210

Formulário de Condução de Calor 8 Toste Azevedo, 10/2000

Condução de calor transiente no interior de corpos de dimensão finita Distribuição de temperatura em placa de área infinita, cilindro de comprimento infinito e esfera considerando o corpo a uma temperatura inicial Tinicial trocando calor por convecção (com coeficiente h) com um fluido a temperatura não perturbada Too. Apresentam-se as soluções analíticas obtidas pelo método da separação das variáveis. As soluções são apresentadas em termos adimensionais utilizando θ/ θi =(T-Too)/(Ti-Too), e os números adimensionais de Fourier e de Biot:

khLBi = 2L

tFo α= onde L é uma dimensão característica.

Para baixos números de Fourier (~<0,2) a solução (que é representada por um somatório) pode ser aproximada pelo primeiro termo. Adicionalmente para valores baixos do número de Biot (Bi<0.05) os gradientes internos de temperatura são inferiores a 3% permitindo desprezá-los e calcular a evolução da temperatura por:

[ ]FoBii

*exp −=θθ

ou ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

cVhAt

i ρθθ exp

onde A é a área de transferência de calor e V o volume do sólido. Outro parâmetro indicado nas soluções é a energia transferida em relação ao máximo possível ρcVθi definido para este caso por Q/QI=(1-θ) Placa de área infinita. Solução analítica para placa de espessura 2L.

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= ∑

= LxFoC nn

nn

i

ζζθθ cosexp 2

1

onde: ( )

( )nn

nnC

ζζζ

2sin2sin4+

= e ζn é uma solução de ( ) Binn =ζζ tan

A energia transferida em relação ao máximo possível ρc2Lθi é obtida de: ( ) ( )

( ) ( ) ( )n

nn

n nn

n

n

n

ii

senFo

senQQ

ζζ

ζζζ

ζζ

ζθθ 2

1exp

2sin2sin4

11 −+

−=−= ∑∞

=

Em ambas as equações ζn são as raízes da equação ( )ζ ζn ntg Bi= e o valor para n=1 encontra-se na tabela A2 em função do número de Biot. Para Fo < 0,24 erro inferior a 1% para aproximação pelo primeiro termo:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

LxBiFoBi

LxFoBi

ii

,*,,,0

0

θθ

θθ

θθ

onde se define o valor θ0=T0-Too para a temperatura relativa no centro da placa (x/L=0). A figura P1 apresenta a parcela referidas θ0/θi e a figura P2 a parcela θ/θ0

A figura P3 apresenta a variação de θ0/θi para baixos nº Fourier com base em toda série. A figura P4 apresenta a fracção de energia acumulada em função de Bi2Fo.

Formulário de Condução de Calor 9 Toste Azevedo, 10/2000

Cilindro de comprimento infinito. Dimensão característica raio do cilindro R Distribuição de temperatura

( )( ) ( )( ) ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

+= ∑

= RrJFo

JJJ

nnn nnn

n

i

ζζζζζ

ζθθ

02

12

120

1 exp2

Fracção de energia transferida ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )n

nn

n nnn

n

n

n

i

JFo

JJJJ

QQ

ζζ

ζζζζ

ζζζ

θθ 12

12

120

11

0

2exp

2121 −

+−=−= ∑

=

Em ambas as equações ζn são as raízes da equação ( ) ( ) BiJ/J n0n1n =ζζζ e o valor para n=1 encontra-se na tabela A2 em função do número de Biot. Para Fo < 0,21 o primeiro termo permite um erro inferior a 1%:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

RrBiFoBi

RrFoBi

ii

,*,,,0

0

θθ

θθ

θθ

onde se define o valor θ0=T0-Too para a temperatura relativa no centro do cilindro (r=0). A figura C1 apresenta a parcela referidas θ0/θi e a figura C2 a parcela θ/θ0

A figura C3 apresenta a variação de θ0/θi para baixos nº Fourier com base em toda série. A figura C4 apresenta a fracção de energia acumulada em função de Bi2Fo. Esfera

( ) ( )[ ]( ) ( )

Rr

Rrsen

Fosen

n

n

nn nn

nnn

i ζ

ζζ

ζζζζζ

θθ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−= ∑

=

2

1exp

2sin2cos4

Distribuição de temperatura

( ) ( )[ ]( )[ ] ( )Fosen

nn nnn

nnn

i

2

1

2

exp2sin2

cos4*3.1 ζζζζζζζ

θθ

−−∗

−−= ∑

=

Fracção de energia transferida

Em ambas as equações ζn são as raízes da equação ( )1. cot− =ζ ζn ng Bi e o valor para n=1 encontra-se na tabela A2 em função do número de Biot. Para Fo < 0,18 o primeiro termo permite um erro inferior a 1%:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θθ

θθ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θθ

Rr,Bi*Fo,Bi

Rr,Fo,Bi

0i

0

i

onde se define o valor θ0=T0-Too para a temperatura relativa no centro da esfera (r=0). A figura C1 apresenta a parcela referidas θ0/θi e a figura C2 a parcela θ/θ0

A figura C3 apresenta a variação de θ0/θi para baixos nº Fourier com base em toda série. A figura C4 apresenta a fracção de energia acumulada em função de Bi2Fo.

Formulário de Condução de Calor 10 Toste Azevedo, 10/2000

Tabela A2 –Primeira raíz da equação característica e primeiro coeficiente da série.

Placa plana Cilindro Esfera

Bi

0.01 0.0998 1.0017 0.1412 1.0025 0.1730 1.00300.02 0.1410 1.0033 0.1995 1.0050 0.2445 1.00600.03 0.1732 1.0049 0.2439 1.0075 0.2989 1.00900.04 0.1987 1.0066 0.2814 1.0099 0.3450 1.01200.05 0.2217 1.0082 0.3142 1.0124 0.3852 1.01490.06 0.2425 1.0098 0.3438 1.0148 0.4217 1.01790.07 0.2615 1.0114 0.3708 1.0173 0.4550 1.02090.08 0.2791 1.0130 0.3960 1.0197 0.4860 1.02390.09 0.2956 1.0145 0.4195 1.0222 0.5150 1.02680.1 0.3111 1.0160 0.4417 1.0246 0.5423 1.0298

0.15 0.3779 1.0237 0.5376 1.0365 0.6608 1.04450.2 0.4328 1.0311 0.6170 1.0483 0.7593 1.0592

0.25 0.4801 1.0382 0.6856 1.0598 0.8448 1.07370.3 0.5218 1.0450 0.7465 1.0712 0.9208 1.08800.4 0.5932 1.0580 0.8516 1.0932 1.0528 1.11640.5 0.6533 1.0701 0.9408 1.1143 1.1656 1.14410.6 0.7051 1.0814 1.0185 1.1346 1.2644 1.17130.7 0.7506 1.0919 1.0873 1.1539 1.3525 1.19780.8 0.7910 1.1016 1.1490 1.1725 1.4320 1.22360.9 0.8274 1.1107 1.2048 1.1902 1.5044 1.2488

1 0.8603 1.1191 1.2558 1.2071 1.5708 1.27322 1.0769 1.1795 1.5995 1.3384 2.0288 1.47933 1.1925 1.2102 1.7887 1.4191 2.2889 1.62274 1.2646 1.2287 1.9081 1.4698 2.4556 1.72015 1.3138 1.2402 1.9898 1.5029 2.5704 1.78706 1.3496 1.2479 2.0490 1.5253 2.6537 1.83387 1.3766 1.2532 2.0937 1.5411 2.7165 1.86748 1.3978 1.2570 2.1286 1.5526 2.7654 1.89219 1.4149 1.2598 2.1566 1.5611 2.8044 1.9106

10 1.4289 1.2620 2.1795 1.5677 2.8363 1.924920 1.4961 1.2699 2.2881 1.5919 2.9857 1.978130 1.5202 1.2717 2.3261 1.5973 3.0372 1.989840 1.5325 1.2723 2.3455 1.5993 3.0632 1.994250 1.5400 1.2727 2.3572 1.6002 3.0788 1.9962

100 1.5552 1.2731 2.3809 1.6015 3.1102 1.9990 1.5708 1.2733 2.4048 1.6018 3.1416 2.0000

1ζ1ζ 1ζ1C 1C1C

Formulário de Condução de Calor 11 Toste Azevedo, 10/2000

Gráficos de solução para placa plana

P1 – Variação de temperatura no centro de placa em função de Bi e Fo (Fo>0,24)

P2 – Diferença de temperatura numa posição na placa em relação à diferença no centro.

Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004) Erro de 1% para Fo < 0,24.

P1 θo θi

Fo=αt/L2

Formulário de Condução de Calor 12 Toste Azevedo, 10/2000

P3 – Variação da temperatura no centro de placa para baixo nº Fourier.

P4 – Variação da razão entre a energia acumulada e o máximo de energia que se pode

acumular em função do tempo (expresso por Bi2Fo). Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)

P3 θo θi

P4

Formulário de Condução de Calor 13 Toste Azevedo, 10/2000

Gráficos de solução para cilindro

C1 – Variação de temperatura no centro de cilindro em função de Bi e Fo (Fo>0,21)

C2 – Diferença de temperatura numa posição do cilindro em relação à diferença no

centro. Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)

Erro de 1% para Fo < 0,21.

Fo=αt/R2

C1 θo θi

C2 θo θi

Formulário de Condução de Calor 14 Toste Azevedo, 10/2000

C3 – Variação da temperatura no centro do cilindro para baixo nº Fourier.

C4 – Variação da razão entre a energia acumulada e o máximo de energia que se pode

acumular em função do tempo (expresso por Bi2Fo). Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)

C3 θo θi

Formulário de Condução de Calor 15 Toste Azevedo, 10/2000

Gráficos de solução para esfera

E1 – Variação de temperatura no centro de esfera em função de Bi e Fo (Fo>0,18)

E2 – Diferença de temperatura numa posição da esfera em relação à diferença no centro.

Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004) Erro de 1% para Fo < 0,18.

Fo=αt/R2

E1 θo θi

E2 θo θi

Formulário de Condução de Calor 16 Toste Azevedo, 10/2000

E3 – Variação da temperatura no centro da esfera para baixo nº Fourier.

E4 – Variação da razão entre a energia acumulada e o máximo de energia que se pode

acumular em função do tempo (expresso por Bi2Fo). Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)

C3 θo θi

Formulário de Condução de Calor 17 Toste Azevedo, 10/2000

Distribuição de temperatura e fluxo de calor na superfície em sólidos semi-infinitos. A distribuição de temperatura em sólidos semi-infinitos inicialmente com valor uniforme Ti é definida com base na equação fronteira imposta na superfície. Temperatura

imposta Ts Convecção com coeficiente h com fluído a T∞

T ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

txerf

TTTT

si

s

α2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

kth

txerfc

kth

txexp

txerf

TTTT

i

2

2 2 2

2 αα

ααα

q" ( )tTTk

q is

πα−

=′′ ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=′′ ∞ k

therfck

thexpTThq i

2

2 αα

• erf – Função Erro e erfc=1-erf Complementar A solução do caso com convecção é apresentada sob forma gráfica na figura seguinte: (Notar que se usa uma definição diferente da do Incropera que considera (T-Ti)/(T∞-Ti))

No caso de fluxo imposto a distribuição de temperatura ao longo do tempo é dada por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −′′=−

txerfc

kxq

txexp

ktq

TT i 2 4 2 2

ααπα

Tabela 3 - Função erro (utilizada em soluções de transientes)

0.02 0.022565 0.52 0.537899 1.00 0.842701 2.25 0.998537 0.06 0.067622 0.56 0.571616 1.10 0.880205 2.35 0.999111 0.10 0.112463 0.60 0.603856 1.20 0.910314 2.45 0.999469 0.14 0.156947 0.64 0.634586 1.30 0.934008 2.55 0.999689 0.18 0.200936 0.68 0.663782 1.40 0.952285 2.65 0.999822 0.22 0.244296 0.72 0.691433 1.50 0.966105 2.75 0.999899 0.26 0.286900 0.76 0.717537 1.60 0.976348 2.85 0.999944 0.30 0.328627 0.80 0.742101 1.70 0.983790 2.95 0.999970 0.34 0.369365 0.84 0.765143 1.80 0.989091 3.05 0.999984 0.38 0.409009 0.88 0.786687 1.90 0.992790 3.15 0.999992 0.42 0.447468 0.92 0.806768 2.00 0.995322 3.25 0.999996 0.46 0.484655 0.96 0.825424 2.10 0.997021 3.35 0.999998 0.50 0.520500 1.00 0.842701 2.20 0.998137 3.45 0.999999

( )( )27856.0y7182.0exp5577.1.1)y(erf +×−×−≈ com erro inferior a 1%.