Tratamento de dados

e e

Apresentação dos dados

Parâmetros Estatísticos

• Média Aritmética – Conjunto de valores típicos

ou representativo de um conjunto de dados.

N medidas de Conjunto

N

x

NN

i

i∑==

+++++=

=

1

N4321

N4321

x

xxxxxx

}xx,x,x,{xN

L

L

Parâmetros Estatísticos

• Média Aritmética

xxN ∞→

= limv

Parâmetros Estatísticos

• Desvio padrão da média

)( 2−

=∑=

xxN

i

σ)1(

1x

−=∑=

NN

iσ

(unidade) )σx(X x±=

OBS: Ausência de erros sistemáticos

Parâmetros Estatísticos

• Desvio padrão

222

rxp σσσ +=

)(Erro de Limite ao oRelacioand

ResidualErro

r

r

L

⇒σ

Parâmetros Estatísticos

• Estimativa do Limite de Erro

– Leitura direta em escala -Instrumentos Analógicos

leituraMenor ou divisãoMenorLr ⇒

2

rr

L=σ

Parâmetros Estatísticos

• Estimativa do Limite de Erro

– Leitura direta em escala- Instrumentos Digitais

Lr=σ

2

L

2

minmaxr

r

AA

Lr

+=

=σ

Amax e Amin são os algarismos que representam as flutuações

Parâmetros Estatísticos• Resultado Final

(unidade) )σx(X p±=

N

∑

3ou

2)1(

)(

x

rr1

2

x

2221

rr

N

i

i

rxp

N

i

i

LL

NN

xx

N

x

==−

−

=

+==

∑

∑

=

=

σσσ

σσσ

Exemplos

1. Em um experimento de física obteve-se os seguintes valores para aaceleração da gravidade,

N={9.90;9.68;9.57;9.72;9.80} m/s2

Qual é a estimativa e a respectivaincerteza no valor esperado?

Resolução: )( ggg σ±=

)1(

)(1

2

−

−

==∑∑=

NN

gg

N

g

g

N

i

i

g

N

i

i

σ

222222

m/s05.0)15(5

)80.973.9()72.973.9()87.973.9()68.973.9()90.973.9(=

−

−+−+−+−+−=gσ

2m/s)05.073.9( ±=g

2m/s73.95

9.809.729.579.689.90=

++++=g

Exemplos

2. A força eletromotriz (f.e.m) de uma pilha foi

medida 6 vezes, com um multímetro digital,

obtendo-se os resultados mostrados na tabela.

A acurácia do voltímetro na escala utilizada é

de 0.5%, conforme indicação do fabricante.de 0.5%, conforme indicação do fabricante.

Determine o valor da f.e.m da pilha.

N 1 2 3 4 5 6

V (Volts) 1.572 1.568 1.586 1.573 1.578 1.581

Resolução: )( pσ±= VV

2)1(

)(

V 1

2

222 rr

N

i

i

VrVp

N

i

iL

NN

VV

N

V

=−

−

=+==∑∑= σσσσσ

2)1(NNN −

6

581.1578.1573.1586.1568.1572.1 +++++=V

Volts5763.1=V

)16(6

)581.15763.1()573.15763.1()573.15763.1()586.15763.1()568.15763.1()572.15763.1( 222222

−

−+−+−+−+−+−=

Vσ

Volts0027.0=V

σ

Volts008.05763.1100

5.0==rL

Volts004.02== r

r

Lσ Volts004.0

2==rσ

22222 )004.0()0027.0( +=+= prVp σσσσ

Volts0048.0=pσ

Volts)005.0576.1(ouVolts)0048.05763.1( ±=±= VV

Exemplos

3. Foi realizada a medição da tensão nos

terminais de uma pilha comum com um

voltímetro digital de 5 ½ dígitos com acurácia

de 0.05% mais 1 digito. Verificou-se que o

último dígito flutuava, proporcionando leiturasúltimo dígito flutuava, proporcionando leituras

tais como mostradas na tabela. Determine o

valor do resultado final da medição.

N 1 2 3 4 5 6 7

V (Volts) 1.4435 1.4438 1.4434 1.4436 1.4432 1.4433 1.4437

Resolução: )( pσ±= VV

2)1(

)(

V 1

2

222 rr

N

i

i

VrVp

N

i

iL

NN

VV

N

V

=−

−

=+==∑∑= σσσσσ

2)1(NNN −

Volts4435.1=V

Volts001.0=V

σ

Volts0008.00001.04435.1100

05.0=+=rL

Volts0004.02

0008.0

2=== r

r

Lσ

22222 +=+= σσσσ 22222 )0004.0()0001.0( +=+= prVp σσσσ

Volts004.0=pσ

Volts)0004.04435.1( ±=V

Apresentação de dados experimentais

• Tabelas.

• Histogramas.• Histogramas.

• Gráficos .

• Tabelas

Apresentação de dados experimentais

• Tabelas

Apresentação de dados experimentais

• Tabelas

Apresentação de dados experimentais

• Histogramas

Representação gráfica de

Apresentação de

dados experimentais

Idade (anos) No de alunos

17-18 2

18-19 9

19-20 15

20-21 14

21-22 12

22-23 5

23-24 2

24-25 2

25-26 5

Representação gráfica de

uma distribuição de

frequências.

25-26 5

26-27 1

27-28 1

29-30 0

30-31 0

31-32 0

32-33 1

34-35 1

35-36 0

36-37 0

37-38 2

Apresentação de dados experimentaisHistograma

Apresentação de dados experimentaisHistograma

Apresentação de dados experimentaisHistograma

Apresentação de dados experimentais

Gráfico

Apresentação de dados experimentais

Gráfico

Propagação de erros

x

yy

A=xy

Atotal=2x+2y

Propagação de erros

Como determinar o valor médio e

a respectiva incerteza da área (A) e

da área total (A ) após variasda área total (Atotal) após varias

medições de x e y?

Propagação de erros• Grandezas que envolvem apenas adição e subtração

),(

byaxu

yxfu

±=

=

2222

yxu ba

ybxau

byaxu

σσσ +=

±=

±=

OBS: Erros nas variáveis x e y independentes

Propagação de erros• Grandezas que envolvem apenas multiplicação e divisão

),(

==

=

y

xauouaxyu

yxfu

22

+

=

=

yxu

yxau

y

yxuσσσ

OBS: Erros nas variáveis x e y independentes