Faculdade de Ciecias

Departamento de Matematica e Informatica

Curso: Estatıstica

Cadeira:Gestao de Risco

Trabalho Semestral

Optimizacao de portifolio utilizando a metodologia proposta porHarry MarkowitzEstudo de caso:

Cinco empresas que actuam na mesma bolsa de valores, optimizacao eprevisoes dos retornos

Docentes: DiscenteRegente : Dr.Elısio Mabasso Ernesto JuniorAssist: dr. King Cafandame

Maputo

Junho de 2016

Sumario

1 CAPITULO I 2

2 Introducao 2

3 Objectivos do estudo 23.1 Objectivo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Objectivos Especıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 CAPITULO II 3

5 Breve revisao literaria das empresas 3

6 Metodologia 46.1 Conceitos Iniciais do metodo aplicado . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

7 CAPITULO III 7

8 Analise e Discuncao dos Resultados 78.1 Analise descritiva dos dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

9 CAPITULO IV 11

10 Conclusoes e recomendacoes 11

11 CAPITULO V 12

12 Referencias Bibliograficas 12

13 Anexos 12

1

1 CAPITULO I

2 Introducao

Um dos problemas enfretados no processo de planificacao de um investimentoe a melhor alocacao dos activos ao ponto de minimizar as perdas e maximizar osganhos (G.Albuquerques, 2009).

Neste contexto o investidor esta interessado em encontrar um ponto optimo quese verifica o retorno maximo possıvel perante um determinado risco. Numa decisaoque envolve riscos, espera-se que quanto maior for o risco enfrentado, maior sera oretorno, e vice-versa.Portanto o investidor deve procder com a selecao de activosao ponto de obter maior retorno com menor risco, onde esse processo e designadooptimizacao. E o mesmo podera ser efectuados de duas formas: Maximizando oretorno da carteira perante um certo nıvel de risco aceite pelo investidor, ou mi-nimizando o risco para um certo retorno pre-estabelecido(G.Albuquerques, 2009).No entanto, o primeiro caso tem sido mais implementado. Entao a satisfacao dumadas duas condicoes em destaque gera a chamada carteira eficiente.

A optimizacao duma carteira e um processo nao tao simples, rasao pela qualvarios pesquisadores estudaram esse processo, dentre eles se destaca o Harry Mar-kovitz (1952), que desenvolveu um modelo para aalise de risco-retorno de carteirade modo a auxiliar o investidor na escolha dos activos que comporiam um po-tifolio optimo dado um nıvel de risco a que esse investidor estivesse disposto a sesubmeter (R. Pinto, 2008).

O modelo de Mazkovitz, e tambem conhecido como modelo Media-Variancia(M-V) pois o risco e determinado pela Variancia. No conceito de risco e estabelecidodois tipo, o risco diversificado ou nao sistematico e o risco nao divercificado ou sis-tematico. No presente trabalho pretende-se implementar o modelo de optimizacaoproposto por Markovitz numa selecao aleatoria de 5 ativos que actuam num certoındice, compondo a possıvel distribuicao que gere mais retornos com um riscomınimo.

O trabalho sera estruturado por cinco capıtulos, onde:O primeiro capıtulo, vai abrangir a introducao e os objectivos; o segundo

capıtulo sera a metodologia neste caso a definicao dos principais conceitos, noterceiro capıtulo, sera reservado para as analises e discunsoes o quarto serao estabe-lecidos as conclusoes e recomendacaes e o quinto tera as referencias bibliograficas.

3 Objectivos do estudo

3.1 Objectivo geral

Optimizar o portifolio utilizando a metodologia proposta por Harry Markowitz emcinco empresas que actuam na mesma bolsa de valores e fazer as previsoes dosretornos no perıodo de 01/01/2016 e 30/04/2016.

2

3.2 Objectivos Especıfico

1. Selecionar 5 (cinco) ativos fazendo a diversificacao de acordo com o sector,o tipo e avaliando o valor de beta;

2. Proceder com as analises descritivas dos dados e analise grafica dos retornos;

3. Determinar a composicao dos activos que optimizam a carteira;

4. Estabelecer a curva de eficiencia dcoes de activos

5. Implementar os modelos CAPM de cada carteira em relacao ao ındice emem estudo;

6. Encontrar os pesos dados pela maximizacao do racio entre o retorno e o risco;e,

7. Fazer previsoes dos retornos do portifolio no periodo de de 01/01/2016 e30/04/2016.

4 CAPITULO II

5 Breve revisao literaria das empresas

Coca-cola (COKE Nazdaq)

Coca-Cola foi inventado por John Pemberton sendo um refrigerante carbo-nado vendido em lojas, restaurantes e maquinas de venda automatica em todo omundo. Ele e produzido pela The Coca-Cola Company, sediada em Atlanta, Es-tados Unidos desde 27 de marco de 1944.Com base na pesquisa da Interbrand em2011, a Coca-Cola foi considerada a marca mais valiosa do mundo. Os relatoriosfinanceiros sao tabelados (Tabela 6.).

O relatorio mostra que a empresa esta em crescimento e investir na mesma naoseria dispendioso pois e de se esperar que a mesma venha a progedir.

Microsoft Corporation ( MSFT Nazdaq)

A Microsoft foi fundada por Bill Gates e Paul Allen em 4 de abril de 1975, euma empresa transnacional americana com sede em Redmond, Washington, quedesenvolve, fabrica, licencia, apoia e vende softwares de computador, produtoseletronicos, computadores e servicos pessoais. Entre seus produtos de softwaremais conhecidos estao as linhas de sistemas operacionais Windows, a linha deaplicativos para escritorio Office e o navegador Internet Explorer. Entre seusprincipais produtos de hardware estao os consoles de videogame Xbox, a seriede tablets Surface e os Smartphones Microsoft Lumia. A Microsoft e a maiorprodutora de softwares do mundo por faturamento, e uma das empresas maisvaliosas do mundo. Nos anexos (Tabela 7.) sao mostrados resultados referentesaos ultimos 4 semestres, os mesmos mostram um crescimento empresarial, oquemostra que pode-se investir nessa empresa.

3

Facebook ( Nazdaq)

O Facebook foi fundado por Mark Zuckerberg e por seus colegas de quarto dafaculdade Eduardo Saverin, Dustin Moskovitz e Chris Hughes.E uma rede sociallancada em 4 de fevereiro de 2004.Em 4 de outubro de 2012, o Facebook atingiu amarca de 1 bilhao de usuarios ativos, sendo por isso a maior rede social em todoo mundo.Em media 316.455 pessoas se cadastram, por dia, no Facebook. O seurelatorio dos ultimos 4 trimestre e apresentado nos anexos (Tabela 8.).

NVIDIA ( Nazdaq)

NVIDIA e uma empresa multinacional com sede em Santa Clara (California)que fabrica materiais eletronicas, e e mais popularmente conhecida por sua seriede placas de vıdeoGeForce. Neste segmento, concorre diretamente com a empresaAMD (que adquiriu a empresa ATI Technologies), que produz a serie de placas devıdeo Radeon. Relatorio e apresentado nos anexos (Tabela 9.).

Incyte ( Nazdaq)

Incyte, e uma empresa farmaceutica situado em Alapocas, Delaware. Incytepossue medicamentos das quais foram aprovados pela Administracao de medica-mentos e alimentos dos Estados Unidos e foi subscrito por milhares de pacientesna America.

6 Metodologia

6.1 Conceitos Iniciais do metodo aplicado

A escolha de uma carteira de investimento eta relacionado directamente a doisfactores importantes: Risco e Retorno.(G.Albuquerques, 2009). O risco e definidocomo sendo a possibilidade de perda financeira e esta relacionado com incertezados resultados dos ativos.

Tal como foi contextualizado no texto introdutorio, existe dois tipos de risco:sistematico e nao sistematico. Enquanto o risco sistematico e atribuido a factoresdo mercado que afectam todas as empresas neste caso nao diversificado, o risconao sistematico esta associado as variabilidades das empresas individualmente,nete caso, pode ser diversificado (Guitman, 2004).

Retorno, sao os ganhos ou perdas sofridas por certo investimento(Guitman,2004).

Nos modelos em causa (Modelos Markowitz), o retorno e avaliado pelo valormedio das variacoes dos ativos num certo periodo pre-definido, e o risco e medidopela variancia dos activos no mesmo perıodo em causa. Matematicamente os doisconceitos sao descritos pelas seguintes equacoes:

4

rt =Pt − Pt−1

Pt−1

Onde:Pt Preco do valor de activo no periodo t, e

Pt−1 reco do valor de activo no periodo t-1Tendo os retornos de cada periodo, pode-se determinar o retorno de cada activo

pela formula:

R =Σrtn

Onde n representa o numero de periodos em analise.

Tambem pode-se determinar o risco de duma dum ativo, pela formula:

σi =

√(ri − Ri)

2

n− 1

Na maioria dos casos, importa avaliar o risco e retorno nao para series indivi-duais mas sim para um conjunto de activos, neste caso uma carteira.

Deste modo, supondo que existe uma certa funcao de probabilidade (f(P)=p1+p2 + . . . + pi, com Σpi = 1) que melhor decreve a alocacao equilibrada dos ativosnuma carteira, Verifica-se que:

O valor do retorno esperado do portifolio (Rp) e

E(Rp) = p1E(R1) + p2E(R2) + . . . pnE(Rn)

Onde: n representa o numero de activos que formam a carteira.E, o risco correspondente ao portifolio e dado por

σ2p = Σpipjρi,jσiσj = ΣpipjCov(i, j)

Onde:

Cov(i, j) = {[Ri − E(Ri)][Rj − E(Rj)]}Importa referir que quanto mais proximo de -1 se encontra o valor de covariancia

entre os activos, menos riscos se espera.Em caso do risco nao ser diversificavel a avaliacao e feita pelo coeficiente beta

(β)(G.Albuquerques, 2009). O coeficiente β Mede o grau da variabilidade doretorno dum ativo em resposta a uma variacao do retorno ao mercado.

O coeficiente foi avaliado em virtudo dos estudos crıticos feitos pelo Sharpe(1970), avaliando um conjunto de investidores, gerando o conceito de teoria demercado de capital(R. Pinto, 2008).

Usando essa teoria, Sharpe desenvolveu o modelo CAPM (Capital Asset PricingModel) que representa a relacao linear entre as carteiras posicionados sobre a linhacentral do Mercado de Capital e o risco de carteira de Mercado.(R. Pinto, 2008).Portanto, a mensuracao empirica do β pode ser feita mediante a analise de regresaosimples expressa pela equacao:

rj = aj + βjrm + ej

Onde:βj e o coeficiente que mede a variacao esperada do retorno do activo em cada

aumento na taxa de retorno do mercado;aj corresponde o retorno esperado no ativo j, que e independente do desempe-

nho do mercado;

5

ej o termo de erro associado a estimacao;e,rm e sao os retornos correspondente ao indice associado ao portifolio.Interpretacao do coeficiente β

1. se β > 1⇒ O activo tende a sofrer variacoes maiores que as do mercado;

2. se 0 < β < 1⇒ O activo apresenta menores variacoes que as do mercado;

3. se β > 1⇒ O activo tende tera um comportamento contrario a do mercado;

Caso de estudo

No presente trabalho a selecao das empresas incluidas no modelo considera osaspectos da diversificacao dos activos, bem como a avaliacao do risco beta.

Levando em conta a diversificacao das empresas, selecionou-se 5 empresas dasquais, todas pertencem a sectores diferentes e tamanhos diferente. Os sectoresselecionados sao: sector das bebidas (Coca-cola), sector de consultoria e markiting(Incyte), Sector Informatico de software (Microsot), secctor de comonicacao social(Facebook), e sector eletronico (nVidia).

A selecao tambem obedeceu divercificacao das empresas em relacao ao seu ta-manho, neste contexto, uma empresa de tamanho grande (Coca-cola), duas empre-sas de tamanho medio (Incyte e Facebook) e duas empresas pequenas (a Microsofte a nDivia). A avaliacao foi feita considerando os ganhos tabelados para o perıodoem estudo (1/01/ 2015 a 31/12/ 2015).

Os coeficientes β′s tambem foram diversifivados. Seria conveniente compor

uma carteira que possui todos os coeficientes β′s entre 0 e 1, pois tal como foi

descrito anteriormente, isso revelaria ter um conjunto de activos que sofreria me-nores variancoes em relacao ao mercado, mas assumindo o possıvel crescimento dasempresas nVidia, Microsoft e Coca-cola (as empresas que possuem β

′s superior a

um), foram incluso na carteira.

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7 CAPITULO III

8 Analise e Discuncao dos Resultados

8.1 Analise descritiva dos dados.

Empresas selecionadas

Tabela 1.Empresa Coke Incyte Microsoft Facebook nVidiaSector Bebidas Markiting Informatica Comonicacao EletronicaTipo Grande Media Pequena Grande PequenaRisco β 1.00984 0.5598 1.0451 0.785265 1.1307

No anexo 2. Foi represebtado o grafico de variabilidade dos retornos dos5 activos, os mesmos mostram que as variacoes sao ligeiras entre os activos, etambem pode se dizer que os dados sugerem um padrao aleatorio.

Tabela 1: Estatısticas descritivas dos precos de accoes das 5 empresasEstatısticas Coke Incyte Microsoft Facebook nVidiaMedia 144.7106904 102.6878176 45.7939285 88.66398431 23.45486081Desvio-p 38.0732918 13.6375902 4.50478432 10.1876122 4.189072685Variancia 1449.575548 185.9838665 20.29308177 103.7874423 17.54832996Intervalo 128.871803 59.980003 17.097926 34.959999 14.868107Mınimo 87.671259 71.489998 39.048944 74.050003 18.759379Maximo 216.543062 131.470001 56.14687 109.010002 33.627486

No que concerne com a descricao dos dados verifica-se que de facto a empresaCoke e que possue precos elevados ja que o seu valor medio e elevado em relacaoas outras empresa com media de 144.71$ , na mesma linhagem, podemos verificarque o valor mınimo no conjunto dos activos e verificado na empresa nVidia compreco medio de venda de accoes de 23.45$.

Com auxılio do software excel, foram determinados os retornos e as respectivasdescritivas sao abaixo tabelados.

Tabela 2.Estatısticas Coke Incyte Microsoft Facebook nVidiaMedia 0.3130% 0.2023% 0.0959% 0.1402% 0.2263%Desvio-p. 2.3270% 3.1174% 1.7793% 1.6200% 2.1773%

Da tabela verifica-se que todos os activos possuem retornos posetivos, oquemostra que qualquer uma das empresas pode conter uma certa probabilidade deser priorizada no processo de selecao que melhor optimizam a carteira.

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Optimizacao da carteira

Tal como foi refenciado na metodologia do presente trabalho, a optimizacao dacarteira usando o metodo Marhowitz, e baseada nos retornos dos activos a respec-tiva matriz de covariancia e os pesos. Da tabela Tabela 2., foram estabelecidosos retornos dos activos, e a matriz de covariancia esta no anexo 1.. Com auxıliodo software Excel determinou-se a primeira solucao, a mesma conteve os seguintesresultados:

Tabela 3.Empresas Probabilidade RetornoCoke 19.7234% 0.0617%Incyte 9.6699% 0.0196%Microsoft 26.3169% 0.0252%Facebook 44.2898% 0.0621%nVidia 0.0000% 0.0000%

POTIFOLIO Risco= 1.0832% Retorno= 0.1686%

Da tabela 3, Verifica-se que a carteira sera optimo se o risco e retorno foremde 1.0832% e 0.1686% respectivamente.

Com a carteira optima verifica-se que do conjunto dos activos selecionados, oinvestidor deve dar mais credito na empresa Facebok e em seguida no Microsoft,Mas nao deve investir suas acoes na nVidia pois na carteira optima o peso sugeridoe nulo. Com investimento na empresa Facebook espera-se um retorno de 0.0621%.Fazendo as intercoes de maximizacao dos retornos sendo alterado o valor de riscode forma infima aceitavel com base em 73 interacoes obtem-se a seguinte curva deeficiencia:

Figura 1: Curva de eficiencia das possıveis combinacoes dos activos

A mesma e estabelecido nos anexo 3. em forma de linha.

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Modelos CAPM

Tendo se encontrado o ponto otimo do portifolio, em seguida e estabelecido osmodelos que corresponde aos declives das rectas na relacao activo-Mercado, que,tal como foram descritos na seccao de metodologia, estes sao modelos de regreaono qual os coeficientes angulares indica o aumento ou diminuicao esperado no certoactivo em cada variacao no indice do mercado do conjunto de acoes. No presenteestudo as empresas correspondem ao ındice de Nazdaq100 e uma das empresasAmericanas que gerencia a variacao de 100 empresas.

Portanto, os medelos CAPM sao:

Coke Incyte Microsoft Facebook nVidiaIntercepto 0.003 0.002 0.0008 0.001 0.002Coeficiente β 0.318 0.444 0.686 0.070 0.775Valor P 0.001 0.001 ≈ 0 0.318 ≈ 0

Da tabela verifica-se que todos os coeficientes β sao menores que 1, os mesmossugerindo que a carteira contem activos que nao sofrem altas variacoes com avariacao no indece do mercado (Nasdaq). Verifica-se insignificancia estatıstica nocoeficiente β da acao de Facebook, oque conduz a concluir que esse coeficiente eestatisticamente igual a zero, ou por outra, os retornos esperados para o activo deFacebook nao sao influenciado pelo endice do mercado.

Maximizacao do racio do retorno versos o risco.

Neste ponto, pretende-se obter os possıveis pesos dos activos derivados pelamaximizacao do quociente entre o retorno e o risco. Portanto, partindo dos re-sultados obtidos na primeira interacao (tabela 3.). O racio do risco e o retornoe:

racio =retorno optimo

risco optimo= 0.1556475

Tabela 5.Empresas Probabilidade RetornoCoke 40.1841% 0.1258%Incyte 14.0464% 0.0284%Microsoft 5.3580% 0.0051%Facebook 40.4115% 0.0566%nVidia 0.0000% 0.0000%

POTIFOLIO Risco=1.2260% Retorno= 0.2160%

A optimizacao do quociente entre o retorno e o risco sugere que seja feito maisinvestimento na empresa Facebook pois e onde se encontra a elevada proporcaosugerido pela maximizacao do racio entre o risco e o retorno, neste caso seguidoda Coke ( A empresa das bebidas coca-cola).

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Comparacao das estimativas

As estimativas das taxas de retornos do portifolio dadas pela ponderacao dastaxas de retornos de cada activo pelo peso sugerido por racio de retorno e riscoque optimizam a carteira, podem ser comparados com as taxas de retornosdo portifolio de cada periodo que resultam de pesos sem nenhum criteriocientıfico (usando mesmos pesos para cada activo).

O procedimento sera efectuado a partir da formula 2.2 descrito na metodologiado presente trabalho. Neste caso, tendo em conta os resultados dos pesos dados natabela 5. com ajuda do software Excel foram determinados os retornos esperadosde carteira para cada activo e em cada perıodo. Fazendo o mesmo procedimentomas usando pesos de 20% para cada activo foram obtidos os resultdos abaixoexpressados graficamente, sendo retorno1, serie dos dados usando metodologiacientıfica e a retorno 2, representando a serie das taxas de retornos de portifoliosem nenhum criterio metodologico.

Figura 2: Comparacao das estimativas

Tal como revelam as duas series, verifica-se que as taxas de retornos determi-nados pelo criterio de maximizacao do racio de retorno e riscos optimos do modeloMarkovitz (serie de cor azul) sao inferiores que as taxas de retornos do portifolio decada periodo que resultaram de pesos sem nenhum criterio cientıfico. Oquemostra uma evidencia da importancia do metodo corente.

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9 CAPITULO IV

10 Conclusoes e recomendacoes

Neste trabalho foram selecionados 5 empresas que sao: Coca-cola (Coke), Mi-crosoft, Facebook, Incyte e Nvidia, as mesmas foram diversificadas em grandesempresas (Coca-cola),medias empresas (Facebock e Incyte) e pequenas empresas(Microsoft e Nvidia), cuja as classificacoes foram feitas de acordo com o nıvel depreco de accao no periodo em estudo (1/1/2015 a 31/12/2015).Quanto a diversi-ficacao das empresas com relacao aos sectores de atuacao, verifica-se que o factofoi observado ja que: a Coca-cola esta no sector de bebidas, Microsoft esta nosector Tecnologico ou Informatico, a Facebook esta no sector de Comonicacao, aIncyte esta no sector da saude (Farmaceutica) e a Nvidia esta no sector eletronico.Tambem foi observado a escolha dos activos considerando o valor do coeficientebeta (β) e para garantir a diversificacao do coeficiente foram escolhidas duas em-presas com β

′s inferiores a unidade, e tres com β

′s superior a unidade.

Em analises individuais verificou-se que a Coca-cola eque possuia maior taxade retorno no periodo (0.3130% ) e Microsoft possuia menor retorno esperado(0.0959%).

Usando o modelo de optimizacao proposto por Markowitz(1952), foram es-tabelecidos resultados iniciais que se referem ao ponto optimo enque o risco e omınimo possıvel e o seu retorno correspondente, neste caso, o ponto de optimizacaofoi de risco=1.0832% e retorno=0.1686%. Neste mesmo ponto verificou-se que oinvestidor nao deve investir na empresa Nvidia pois foi sugerido um peso nulo, edeve priorizar o seu investimento na Facebook (peso=44,3%), Microsoft (26.3%) efinalmente distribuir os ivestimento na Coca-cola e Icyte respectivamente.

Foram construido as equacoes de regressao correspondente aos modelos CAPM,e os mesmos sugeriram que o portifolio e adequado a longo praso pois os β

′s foram

todos inferior que unidade oque indica que o aumento do ındice do mercado naoinfluencia significativamente no retorno da cao.

Determinou-se uma nova solucao optima resultante da maximizacao do raciodo retorno e o risco, que continuou a sugerir que o investidor deve alocar maiorinvestimento na empresa Facebook (com 40.4% do peso), e agora, dar consideracaoa Coca-cola por possuir um peso de 40.2% e o resto passa para Incyte e Microsoftdesconsiderando a Nvidia.

Foram feitas analises comparativas dos retornos dados pelos pesos do metodode maximizacao do racio de retorno e o risco com as taxas de retornos dadas pelospesos sem criterio isto e, distribuicao equitativa, e verificou-se que o modelo inicialcontem estimativas menores em relacao ao segundo sem regra de estabelecimentodos pesos.

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11 CAPITULO V

12 Referencias Bibliograficas

Referencias

[1] Albuquerque, G. 2009, Um estudo do problema de escolha de portifolio optimo,1 edicao Sao Paulo

[2] Pinto, R. 2008, Uma analise da utilizacao do coefiente do coeficiente beta nosector eletrico Brasileiro, Edicao Sao Paulo.

13 Anexos

Tabela 6.Resumo anual 01.04.2016 31.12.2015 02.10.2015 03.07.2015Receita Total 10282 10000 11427 12156Lucro Bruto 6213 5946 6850 7408Receitas Operacionais 2141 1518 2379 2535Lucro Lıquido 1483 1237 1449 3108

Tabela 7.Resumo anual 31.03.2016 31.12.2015 30.09.2015 30.06.2015Total do activo 52075 5189 5049 4678Total do Passivo 4925 5946 6850 7408Total do LucroLıquido

47150 44218 41420 39452

Tabela 8.Resumo anual 01.04.2016 31.12.2015 02.10.2015 03.07.2015Receita Total 1305 1305 1305 1153Lucro Bruto 751 791 734 634Receitas Operacionais 245 252 245 76Lucro Lıquido 196 208 246 26

Tabela 10.Resumo anual 31.03.2016 31.12.2015 30.09.2015 30.06.2015Receita Total 263.46 243.88 187.61 162.98Lucro Bruto 257.46 234.18 179.57 156.73Receitas Operacionais 36.04 65.08 -0.1 -7.39Lucro Lıquido 24.05 55.18 -39.58 9.29

Anexo 2.

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Tabela 2: Matriz de Variancia-covarianciaCoke INCAYTE Microsoft Incyte nDivia

Coke 0.000539322 2.5439E-05 5.49914E-05 -1.34705E-05 7.64597E-05Incyte 2.5439E-05 0.000967959 0.000120328 -2.92315E-05 5.82928E-05

Microsoft 5.49914E-05 0.000120328 0.000315346 2.67949E-05 0.000176217Facebook -1.34705E-05 -2.92315E-05 2.67949E-05 0.000261392 1.35341E-05

nDivia 7.64597E-05 5.82928E-05 0.000176217 1.35341E-05 0.000472196

Figura 3: Grafico que mostra o comportamento das series de retormnos

Figura 4: Curva de eficiencia das possıveis combinacoes dos activos

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