Universidade estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecnica, Departamento deProjeto Mecnico, Caixa Postal 6051, CEP 13089-970, Campinas, SP, Brasil.e-mail:amaral@fem.unicamp.brdedini@fem.unicamp.br

Os trens de engrenagens epicicloidais ou trens de engrenagens planetrias (TEPs) sosistemas de transmisso de alta complexidade cinemtica e de difcil visualizao. Entretanto,so grandes as suas vantagens: compactos, leves, permitem altas redues de velocidade,possuem alta confiabilidade pois tem engrenamento permanente, possuem capacidade debifurcao e adio de potncia e permitem mltiplas relaes de transmisso. Sua principalaplicao so as caixas de transmisso automtica dos veculos modernos. Como existe umagrande variedade de possibilidades de configuraes na unio de vrios TEPs, oestabelecimento de formas de representao do sistema em estudo fundamental para suacompreenso. Este trabalho tem como objetivo, apresentar as diversas formas derepresentao adotadas por vrios autores e mostrar as equivalncias entre elas.

!" : Trens de engrenagens planetrias, trens de engrenagens epicicloidais,representao.

#$%

Trem de engrenagem uma cadeia cinemtica destinada a transmitir rotaes.Segundo Pires e Albuquerque (1980), trs montagens so possveis: trem simples, tremcomposto e trem epicicloidal. Trem simples um sistema de engrenagens onde, em cadaeixo, s existe uma engrenagem (Figura 1a). O trem de engrenagem chamado de composto,quando existe um ou mais eixos com duas engrenagens ou mais (Figura 1b). Nestes doiscasos, o suporte dos eixos das engrenagens fixo. Quando existe um suporte, de pelo menosum eixo, dotado de movimento de rotao, o trem chamado de epicicloidal. Na Figura 1(c),os eixos que suportam as engrenagens intermedirias entre a engrenagem central e a externa(esta ltima com dentes internos), esto montados em um suporte que gira em torno do eixocentral do conjunto. Essa possibilidade do eixo de uma engrenagem tambm poder girar aoredor de outro eixo, alm de girar em torno de si mesmo que caracteriza um tremepicicloidal. Essa nomenclatura se deve ao fato de um ponto, pertencente engrenagem quepossui eixo mvel, descrever uma curva epicicloidal.

a) Trem simples b) Trem composto c) Trem epicicloidal - Tipos de trens de engrenagens.

'$

(

Devido a analogia com nosso sistema solar, este tipo de trem epicicloidal freqentemente chamado de trem planetrio ou trem de engrenagens planetrias ousimplesmente TEP. Em virtude disso, a engrenagem central chamada de solar e a., ou asengrenagens que giram em torno dela, so chamadas de planetrias ou satlites ousimplesmente planetas. Quase sempre se utiliza, tambm, uma engrenagem de dentes internosem torno do TEP, onde os planetrios tambm se engrenam. Esta chamada de anular,semelhante a um anel. O elemento que suporta o eixo mvel dos planetas e que pivota emtorno do eixo principal do TEP chamado de suporte ou brao. A Figura 2 identifica esteselementos.

&'!Nomenclatura dos elementos de um TEP.

Diversos autores definiram o que um trem de engrenagens planetrios Dubbel(1944) escreveu que engrenagens planetrias simples se caracterizam porque, nelas, existeuma roda fixa e outra mvel que gira ao redor da fixa e se engrena com ela.. Lima (1980)salientou que alguns sistemas de engrenagens se diferenciam dos comuns, pelo fato depossurem uma ou mais engrenagens com possibilidade de girar ao redor do prprio eixo e,simultaneamente, em torno de um outro eixo. Shigley (1984) escreveu que, em um tipo detrem de engrenagens, pode-se obter efeitos surpreendentes, fazendo-se com que algum doseixos gire em relao aos demais. Tais trens chamam-se trens planetrios ou epicicloidais.Olson et al (1987) definiram que os trens de engrenagens planetrios consistem de uma oumais engrenagens centrais com engrenagens planetas engrenadas e que giram em tornodelas, de tal forma que os pontos dos planetas descrevam curvas epicclicas. Brasil (1988)definiu os TEPs, como trens de engrenagens em que alguns eixos so mveis, girando no sem torno de si mesmos, mas tambm em torno de outro eixo do trem. As engrenagensplanetas esto ligadas por um brao de tal forma que a distncia entre os centros dasengrenagens permanea constante.

1RPH (TXLYDOHQWH

Trem de engrenagemplanetria

Trem de engrenagemepicicloidal

Engrenagem solar SolEngrenagem anular Coroa

Engrenagem planetria Planetrio, planeta ou satliteBrao Suporte

Engrenagemanular

Suporteou brao

Eixo principal

Engrenagensplanetrias

Os TEPs so sistemas de transmisso de alta complexidade cinemtica e de difcilvisualizao. Entretanto, suas vantagens so grandes: compactos, leves, alta reduo develocidade, alta confiabilidade, alta densidade de potncia, capacidade de bifurcao e adiode potncia, capacidade diferencial, sistemas de mltiplas relaes de transmisso eengrenamento permanente, permitindo ainda a minimizao dos esforos nos mancais ealinhamento dos eixos. Estas so algumas das caractersticas que tornam os TEPs sistemasde grande potencial de aplicaes, embora ainda no tanto estudado e pesquisado, de talforma a permitir cada vez mais sua utilizao em massa (Dedini, 1985).

Suas vantagens os tornaram preferveis para o uso militar, onde mltiplosengrenamentos reduzem o risco de parada. O funcionamento suave tambm os tornamadequados para uso em submarinos e a grande capacidade de reduo torna possvel suaaplicao em turbinas. Os TEPs tambm so utilizados em aplicaes aeroespaciais e emhelicpteros, alm do uso automotivo como diferencial e caixa de transmisso automtica. OsTEPs so mecanismos interessantes porque tem dois graus de liberdade.

Pode-se aumentar a complexidade do TEP, alterando-se o arranjo da configurao dasengrenagens planetrias. A introduo de uma engrenagem intermediria entre o planeta e aengrenagem central resulta na inverso do sentido de rotao do membro de sada e, portanto,interfere no carter cinemtico do trem planetrio. Estas duas engrenagens planetrias nonecessariamente podem estar alinhadas radialmente, como mostra a vista frontal da Figura3(a). Quando se utiliza trs planetrios emparelhados, no alterado o sentido de rotao.Estes tipos so chamados de TEP com )*". Alm disso, pode ocorrerainda de o TEP possuir pelo menos dois planetas solidrios em um nico eixo. So chamadosde TEP com )* ) (Figura 3 b). E possvel ainda, um TEP possuirsimultaneamente planetrios emparelhados e compostos (Figura 3 c).

a) Planetrio emparelhado b) Planetrio composto c) Planetrio composto e emparelhado

&+ - Arranjos possveis dos planetas nos TEPs.

Um TEP pode tambm possuir mais de um planeta entre as duas engrenagens centrais.Isso no muda o carter cinemtico do TEP. Um aumento do nmero de engrenagensplanetrias resulta em uma maior diviso da carga transmitida entre os planetas. Essa umadas grandes vantagens dos TEPs, onde o esforo nos mancais bastante aliviado devido simetria da aplicao da fora pelos planetas, nos dentes da engrenagem solar. Portanto,deve-se sempre evitar a utilizao de um nico planetrio porque, neste caso, no seriapossvel a compensao dos esforos. Na prtica, normalmente se utilizam dois ou trsplanetas.

Uma importante classe de trens de engrenagens epicicloidais so os que possuemengrenagens cnicas (Figura 4 a). Somente com a utilizao desse tipo de engrenagem quese permite utilizar uma engrenagem solar com o mesmo nmero de dentes da engrenagemanular (Figura 4 b), o que seria impossvel se todas fossem cilndricas. A Figura 4(c) mostracomo se transforma um TEP que possui somente engrenagens cilndricas em um TEP comengrenagens cnicas, fazendo-se a inclinao do eixo que suporta os planetas. O uso deengrenagens cnicas no muda o carter cinemtico do planetrio e a grande aplicao dessa

montagem so os diferenciais automotivos. Este presente trabalho se restringe ao estudo deTEPs com engrenagens cilndricas.

&, - TEPs com engrenagens cnicas.

+$

(

Lvai (1968), identificou em seu trabalho, quatro tipos de TEPs: 1) TEP Elementar; 2)TEP Simples; 3) TEP Ligado (TEP Incorporado) e 4) TEP Satlite e Planeta. Os tipos 2, e 3so os mais importantes na prtica.

+-#!):

So aqueles que possuem apenas uma engrenagem central. Entende-se porengrenagem central aquela cujo eixo de rotao o eixo principal do TEP. Assim, aengrenagem solar e anular so engrenagens centrais, conforme mostra a Figura 5.

&. - Exemplos de TEP elementar.+-':

So aqueles que possuem duas engrenagens centrais, um ou mais planetas e umsuporte. A alterao da quantidade de engrenagens planetrias no interfere seuenquadramento como TEP simples. A utilizao de um nmero maior de planetas contribuipara uma maior e melhor distribuio das cargas atuantes. Este tipo tambm chamado deTEP bsico.

a) Trem epicicloidal cnico b) Trem epicicloidalcnico de topo

c) Transformao de um TEPcilndrico em cnico

Suporte SuportePlaneta

Solar

Suporte

Anular

Planeta Planeta

Suporte

Anular

&/! Exemplos de TEP simples com 1 e 3 planetas.

+-+!&

Os TEPs ligados se caracterizam pelo fato de que possuem mais de duas engrenagenscentrais e podem ser separados em dois ou mais planetrios simples. A separao de um TEPligado no ser muito bvia se existir um incorporamento entre planetas e, neste caso, o TEP classificado como incorporado. Trata-se portanto, de um caso particular do TEP ligado. Anomeclatura utilizada na Figura 7 : P para engrenagens de dentes externos (positivo), N paraengrenagens de dentes internos (negativo) e a letra entre parntesis refere-se a planetas.

&0 - Exemplo de TEP ligado.

+-,!)1))

Um TEP classificado como satlite e planeta quando um TEP secundrio introduzido no eixo do planetrio do TEP primrio, conforme mostra a Figura 8.

&2 - Exemplo de TEP satlite e planeta.

,$

Como existe uma grande variedade de possibilidades de configuraes de TEPs,torna-se necessrio estabelecer formas de representao, para se definir e identificar o sistemaem estudo. Diversas formas de representao de sua topologia j foram desenvolvidas.Basicamente existem trs tipos de representao: funcional, esquemtica e por grafo. Arepresentao funcional pode ainda ser apresentada na forma tridimensional, em corte ouconvencional. A representao esquemtica pode ser apresentada sob a forma de esquemapara definir um TEP e sob a forma de diagrama esquemtico de blocos para definir asligaes entre vrios TEPs. A representao por Grafo, mais recentemente utilizada pararepresentar os TEPs, tem a vantagem de facilitar a utilizao de computadores para a soluode problemas relativos a este mecanismo. Para solucionar dificuldades de isomorfismoidentificadas na representao por grafo originariamente proposta, foi apresentada uma novaforma de representao por grafo, alm da forma cannica. Cada uma destas formas derepresentao sero tratadas nos prximos itens. A Figura 9 ilustra as formas derepresentao disponveis com os respectivos exemplos.

Tipo P(PP)P + Tipo P(P)N

aa cccc

&3! Formas de representao dos TEPs.

,-#!)45

A representao funcional foi a primeira a ser empregada para identificar um TEP.Sua vantagem que h paridade entre o modelo e a representao. Ela pode ser apresentadasob a forma convencional (croqui), em corte e tridimensional. A Figura 13 mostra as trsformas de representao funcional de um mesmo TEP, onde as engrenagens sorepresentadas pelos seus crculos primitivos que indicam em que pontos elas se tocam.Devido a simetria dos mecanismos planetrios, usual a representao de apenas metade domecanismo. A representao funcional do TEP feita incluindo a carcaa ou apoio domecanismo. Quando no se inclui a carcaa ou apoio, obtm-se a estrutura cinemtica.

(a) Convencional (b) Em corte (c) Tridimensional - Representao funcional de um TEP.

,-'!)457

H duas formas distintas de representao esquemtica de trens de engrenagensplanetrias: atravs de um esquema ou atravs de um diagrama de blocos. A primeira formatem por finalidade identificar sua estrutura cinemtica e a segunda tem por objetivo o estudocinemtico e do fluxo de potncia em um sistema de vrios TEPs ligados. A seguir, serdetalhado a metodologia de cada uma destas formas de representao.

(VTXHPiWLFD

*UDIR

)XQFLRQDO

Convencional

Corte

Tridimensional

Esquemtica

Blocos

Convencional

Nova

Cannica

I

IIF

P1A B1 2

P2S1D

S1

A B1 2

S2

A2 1B

P2

P1

P1 P2 P3

b c d

S1P1 A S1 2

B B1 2P2

C* C*P1 B B1 2

P2

A S1 2

C*

C*=Carcaa

S1A S1 2

P2

,-'-#!)457*)

A forma de representao esquemtica de um TEP foi publicada em 1969 porBuchsbaum e Freudenstein (1970) para identificar sua estrutura cinemtica. Um vrtice,representado por um crculo branco, significa um suporte de um eixo ou o prprio eixo. Umvrtice, representado por um crculo preto, significa que h um engrenamento. Assim, cadaelemento (conjunto de engrenagens e/ou eixos que sejam solidrios entre si) do TEP formaum polgono hachuriado cujo nmero de vrtices depender do nmero de vnculos(engrenamentos, apoios, eixos) deste elemento. O menor nmero de vnculos que umelemento isoladamente pode ter dois (exemplo: uma engrenagem tem o vnculo doengrenamento e o apoio em torno de um eixo). Neste caso, o polgono sombreado se reduz auma linha que une os dois vrtices - um branco e o outro preto. Uma engrenagem b-apoiadaou um eixo tr-apoiado ser representado por um polgono de trs vrtices (um engrenamentoe dois apoios ou os trs apoios). Trs engrenagens solidrias com um furo central para o eixoser representada por um polgono de quatro vrtices. A Figura 11 mostra um exemplo.

importante salientar que a soma do nmero de reas sombreadas e das linhasisoladas representa o nmero de elementos do trem epicicloidal, a includo a carcaa ouapoio. O TEP da figura tem 6 elementos. A representao esquemtica conta com 5 reassombreadas e mais um segmento que representa a engrenagem solar S1 com o vnculo doengrenamento (crculo preto) na planetria P1 e um vnculo de apoio e pivotamento nacarcaa C* (crculo branco).

# - Representao funcional em corte e esquemtica do mesmo TEP.

,-'-'!)457*)&8

Macmillan (1961) props uma forma de representao para o estudo do fluxo depotncia em mecanismos diferenciais. Sanger, em seu trabalho de 1972, sobre sntese deTEPs, utilizou esta forma de representao em um sistema de vrios planetrios conectadosentre si. Este tipo de montagem bastante utilizada em sistemas de transmisso de mltiplasvelocidades. O elemento bsico o TEP simples, com dois graus de liberdade, que pode estaracoplado com outros TEPs. As coneces externas do TEP podem ser usadas como entrada,sada ou membro de controle. Portanto, para uma representao esquemtica por diagrama deblocos necessrio se conhecer o nmero de TEPs e suas respectivas coneces. Os TEPsso representados por blocos e as coneces por crculos, conforme demonstra a Figura 12.

' - Representao de dois TEPs ligados e suas coneces.

P1

B B1 2

P2

A S1 2

S1

Carcaa

P1 B B1 2

P2

A S1 2

S1

C*

C*=Carcaa

I

II

,-+!)459

Segundo Wilson et al (1990), um grafo um diagrama que consiste de pontoschamados vrtices, unidos por linhas chamadas bordas, de tal forma que cada borda une doisvrtices. A teoria de representao por grafo tem uma ampla faixa de aplicao, desdeestudos sobre sistemas flexveis de manufatura, gerenciamento da produo, trfego urbanoe at a representao de mecanismos. A representao por grafo tem sido usada como modelode mecanismos desde 1960 (Olson et al.). Sua utilizao tem a vantagem de facilitar o uso decomputadores e sua principal caracterstica que h uma correspondncia paritria entre osvrtices e os elementos do TEP e as bordas com as ligaes entre os elementos. O grafotambm pode ser apresentado sob a forma de matriz, de onde se pode utilizar tcnicasalgbricas para a anlise do TEP.

,-+-#!)45 9

A representao convencional por grafo de um TEP feita da seguinte forma: 1) Cadaelemento representado por um vrtice. Engrenagens distintas mas solidrias sorepresentadas por um nico vrtice ou seja, trata-se de um nico elemento. Idem para umaengrenagem solidria com um eixo. O brao tambm considerado um elemento assimcomo as engrenagens. Elementos fixos so representados por um crculo em torno do vrtice.2) As bordas ou lados tracejados representam um engrenamento entre dois elementos. Sochamadas de bordas de engrenamento .3) Uma borda ou lado de linha contnua indica queum elemento gira ou pivota sobre o outro. Este lado chamado de borda de revoluo.4) Cada borda e cada vrtice denominado com o respectivo smbolo utilizado nas demaisformas de representao.

Esta representao comumente chamada de bicolor em funo da necessidade dedistinguir a diferena entre uma ligao de elementos atravs de engrenamento oupivotamento. Para ilustrar este tipo, tm-se na Figura 13 a representao funcionalconvencional e a respectiva representao por grafo. Alguns autores utilizam bordascontnuas para ambos os casos, diferenciando-as pela espessura da linha.

+ - Representao por grafo.

Entretanto, a representao por grafo convencional pode resultar em que o mesmoTEP possa ter mais do que uma representao (Hsu - 1992). Segundo Hsieh (1987), quandoexiste trs ou mais elementos coaxiais em um TEP, pode-se fazer um rearranjo nos elementoscoaxiais sem afetar e alterar a funcionabilidade do mecanismo. Isto pode resultar em umproblema de isomorfismo. Dois grafos so ditos isomrficos se existe uma correspondnciabiunvoca entre seus vrtices e bordas. Para os TEPs, dois grafos no isomrficos ou distintospodem representar mecanismos cinematicamente equivalentes. Tais grafos so chamados depseudoisomrficos.

S1

A1F

E

D

P1B1

P2

S2

A2

B2F

E

P1A1 2B

P2

S2

A B2 1

S1D

D

D

Para superar esta dificuldade, foi ento proposta uma nova forma de representao porgrafo, abordada no item seguinte.

,-+-'$ )459

Diversos autores (Olson et al., Yan and Hsu) publicaram, aps 1987, uma novaproposta de representao de TEPs por grafo, sem os inconvenientes verificados em suaforma convencional. Nesta nova representao, um TEP com n elementos identificadopor um grafo completo com n vrtices. A diferena que, alm de vrtices, bordas deengrenamento (linha tracejada) e bordas de revoluo (linhas contnuas) ainda se tem umpolgono slido. Por esta proposta, um nico grafo da Figura 17 representa o TEP mostradona Figura 16.

Considerando que os elementos que giram em torno de um mesmo eixo esto em ummesmo nvel, Hsu prope uma nova forma de representao de TEPs por grafo, onde esteselementos de mesmo nvel formam um polgono slido.

, - Nova representao por grafo do TEP da Figura 13.

,-+-'-#$)45:);

A matriz a fundamental e completa representao de um grafo. Existemdiferentes tipos de matriz que caracterizam um grafo. Um exemplo a matriz deelemento-a-elemento ou um-para-um. Esta matriz, para representar um TEP de elementos, definida como uma matriz de X cujos elementos so dados por LM

= 1 se oelemento adjacente com e, caso contrrio, LM

= 0 (inclusive LL

= 0).Para a nova representao por grafo com vrtices, a matriz A pode ser

definida como uma matriz simtrica de ordem em que o elemento LM

= 1 se o vrtice adjacente ao vrtice por uma borda de revoluo (linha cheia), LM

= 2 se adjacente aovrtice , unidos por uma borda de engrenamento (linha tracejada), LM

= se o vrtice adjacente ao vrtice com um polgono slido com vrtices e LM

= 0 se os vrtices no soadjacentes. Ainda se tem LL

= 0. Por exemplo, a Figura 14 apresenta um grafo com 6 vrtices,bicolorido e com um polgono slido de 4 vrtices. A correspondente matriz de conectividadeutilizando a seguinte ordem dos elementos (P1, P2, S1, S2, A1B2 e A2B1) :

S1

A B1 2

S2

A2 1B

P2

P1

002210001022210444204044124404024440

= (1)

,-+$)45

/ - Formas de representao da caixa Wilson de 4 velocidades.

Embreagem

3 2 1 R

4 (direta)

Tambores deaplicao dosfreios de cinta

Carcaa ou apoio

Carcaa ou apoio

Sada parao diferenc ial

Entrada

r

Freio de cinta

Embreagem

1a2a

3a

4a

entrada sada

A - anularB - BraoS - solarP - planetab d

a

a

c

S1S3S2

P2 P3

P4

P1B1

B3 B4

B2

A2A1 A3 A4

Ia,b,c,d,e = eixos

Ie

S4

ApoioApoio

r

entradasada

1a3a

4a

2a

A B A S1 2 3 4

P1

S1

S S32

P2

B B43

A4

P3

Carcaa

1

2

4 : unindo S S a S 2 3 1

entrada

sada

%

6

6

6

$

%

$

$

%

I

II

III

IV6

$

%

r

3

S2 3S

S1 P1

A1 2 3 4B A SP2

P4

A4B3 4B

P3

Carcaa

S2 3S

S1

P1

A1 2 3 4B A S

B1 2A

P2

P4

P3

&DUFDoD

2 nvel: planetas

1 nvel: solar, anular e brao

nvel base: eixo do TEP

0

P1

S1 A4

P2 P3

a a a a

P4

B3 4B

a

/$%

Neste trabalho foi apresentada diversas formas de representao dos TEPs adotadaspor vrios autores mostrando, atravs do exemplo de aplicao da caixa Wilson, comoconstru-las. Para os pesquisadores de sistemas automticos de transmisso, esse trabalhoobjetiva ser uma fonte de consulta, por condensar, em um nico texto, vrias formas derepresentao disponveis.

0$88

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