Triangulo cujo lados estao em PG
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Matemática 1 É possível construir um triângulo cujos lados estejam em PG de razão q? A resposta é: depende da razão, q, da progressão. Se, por exemplo, q = 1 , temos o triângulo eqüilátero. Se q= 1,25, temos os triângulos de ângulos internos 87,22°, 53,04° e 39,74°. Se, porém, q = 2, não há solução. Como se chega a essa conclusão? Muito simples. Podemos, colocando os lados do triângulo em ordem crescente e considerando um triângulo semelhante, admitir que a solução seja um triângulo de lados 1,q e q², sendo q ≥1. Em um triângulo, um lado é menor que a soma dos outros dois, portanto,q² – q –1<0 . As raízes da equação q²− q− 1 = 0 são: , logo q 2 − q−1 < 0 para Como estamos considerando apenas as razões maiores ou iguais a 1, temos Determinado o intervalo de variação de q, vamos determinar quais são os ângulos internos do triângulo, usando a lei dos cossenos, q² = 1 + q 4 – 2q²cos A sendo A o ângulo i nterno formado pelo maior e pelo menor lado do triângulo. Rearranjando a equação, obtemos: Dado q, podemos determinar qual será o ângulo entre o menor e o maior lado do triângulo pela equação (2). Esse ângulo tem também uma limitação de valores. Para determinarmos qual é essa limitação, vamos reescrever a equação da seguinte forma: q 4 −(2cosA + 1)q 2 + 1 = 0. Temos uma equação bi-quadrada que somente terá solução se 4cos²A + cosA –3 ≥ 0 , ou equivalentemente, cos A ≥ ½. Como trata-se de um ângulo de triângulo, A não pode ser maior que 90° e, portanto, A≤60 o . Há um caso particular que ainda não foi discutido. Quais são os ângulos internos de um triângulo
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7/21/2019 Triangulo cujo lados estao em PG
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Matemática 1
É possível construir um triângulo cujos lados estejam em PG de razão q?
A resposta é: depende da razão, q, da progressão.
Se, por exemplo, q = 1 , temos o triângulo eqüilátero. Se q= 1,25, temos os triângulos de
ângulos internos 87,22°, 53,04° e 39,74°. Se, porém, q = 2, não há solução.
Como se chega a essa conclusão? Muito simples. Podemos, colocando os lados do triângulo
em ordem crescente e considerando um triângulo semelhante, admitir que a solução seja um
triângulo de lados 1,q e q², sendo q ≥1.
Em um triângulo, um lado é menor que a soma dos outros dois, portanto,q² – q –1<0 .
As raízes da equação q²− q− 1 = 0 são:
, logo q2− q−1 < 0 para
Como estamos considerando apenas as razões maiores ou iguais a 1, temos
Determinado o intervalo de variação de q, vamos determinar quais são os ângulos internos do triângulo, usando
a lei dos cossenos,
q² = 1 + q4 – 2q²cos A
sendo A o ângulo interno formado pelo maior e pelo menor lado do triângulo. Rearranjando a equação, obtemos:
Dado q, podemos determinar qual será o ângulo entre o menor e o maior lado do triângulo pela equação
(2). Esse ângulo tem também uma limitação de valores. Para determinarmos qual é essa limitação, vamos
reescrever a equação da seguinte forma:
q4−(2cosA + 1)q2 + 1 = 0.
Temos uma equação bi-quadrada que somente terá solução se 4cos²A + cosA –3 ≥ 0
, ou equivalentemente, cos A ≥ ½.
Como trata-se de um ângulo de triângulo, A não pode ser maior que 90° e, portanto, A≤60o.
Há um caso particular que ainda não foi discutido. Quais são os ângulos internos de um triângulo
7/21/2019 Triangulo cujo lados estao em PG
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2 Curso Oficina – Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares
retângulo cujos lados estejam em progressão geométrica, e qual é a razão dessa progressão?
Para triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras:
q4= q2 +1 ou q4−q2
−1 = 0, cuja solução, no intervalo obtido em (1),
é
Aplicando o valor de q na equação (2), obtém-se
.
Consequentemente, os ângulos internos do triângulo retângulo que tem os lados em progressão
geométrica são: 90°, 51,83° e 38,17°.
Prof. Dirceu Rocha de Almeida
