Trigonometria:Trigonometria:Entendendo sua utilizaçãoEntendendo sua utilização

Universidade Federal Rural de Pernambuco

Sabemos que trigonometria como ciência exige Sabemos que trigonometria como ciência exige medições e cálculos com grande precisão.medições e cálculos com grande precisão.

Foi então que o matemático Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.), fundador da trigonometria, introduziu as medidas sexagesimais em Astronomia e elaborou a primeira tabela trigonométrica. Utilizou, também, a trigonometria para fazer medições, prever eclipses, fazer calendários e na navegação.

As medições trigonométricas realizadas por Hiparco ajudaram nos cálculos das distâncias entre Sol, Lua e da Terra.

As fórmulas fundamentais da trigonometria

deve-se aos povos Hindus e Árabes, como

o astrônomo Aryabatha (foto)

A trigonometria tem como objetivo principal

o estudo das relações entre lados e ângulos

de um triângulo.

Razões trigonométricas em Razões trigonométricas em triângulos retângulostriângulos retângulos

Os catetos podem variar de nome de acordo com a posição do ângulo.

Seno:                

   Cosseno:              

   Tangente:               

Cotangente:

Razões Trigonométricas Razões Trigonométricas EspeciaisEspeciais

O método mais familiar de medição de ângulos é o sistema de graus, minutos e segundos. Neste sistema de medida uma rotação completa consiste em 360 partes iguais, chamadas graus. Os graus são representados utilizando o símbolo º.      Aqui estão representados alguns ângulos importantes e as suas medidas em graus:

um quarto de volta            90ºmeia volta                        180º

três quartos de volta         270º uma volta completa           360º

Cada grau consiste em 60 partes iguais chamadas minutos. Cada minuto consiste em 60 partes iguais, chamadas segundos. Os minutos são representados utilizando o símbolo ', e os segundos são representados com o símbolo ". Usando esta notação, nós temos as seguintes relações: 1' = 60", e 1º = 60' = 3,600".

No sistema circular a unidade de medida utilizada é o No sistema circular a unidade de medida utilizada é o radiano.radiano.

Aqui estão representadas as medidas dos ângulos mais comuns em graus e radianos, bem como a sua representação gráfica:

Oficina de Construção do Circulo Trigonometrico

O professo faria uma oficina onde os alunos iriam construir o Círculo trigonométrico. Com isso aprendendo a encontrar os valores de seno, cosseno e tangente e a de relacioná-los.

 Material necessário:1 Folha de cartolina ou papel cartão.1 régua1 transferidor1 tesoura Lápis, caneta e borracha

Roteiro Passo 1- Desenhe uma circunferência de 10 cm de raio. Iremos convencionar que a medida do

raio é de 1 unidade. (10 cm = 1 unidade)

Passo 2 - Agora, tendo o centro da circunferência como ponto em comum, desenhe duas retas perpendiculares. Observe que a circunferência ficou dividida em 4 partes iguais. Cada parte recebe o nome de quadrante. Essas retas são chamadas de eixo horizontal e eixo vertical.

Passo 3 - Com o auxilio de uma régua divida os eixos da seguinte forma : A partir do centro em 10 partes iguais até a circunferência, ou seja, cada eixo ficará dividido em 20 partes iguais. Como convencionamos que o raio mede 1 unidade, a partir do centro numere essas partes com numa reta numérica onde o zero é o ponto de encontro dos eixos. Ou seja: 1cm na régua corresponde 0,1 unidade do raio.

Passo 4 - Com o auxilio de um transferidor divida a circunferência de 10º em 10º. Marque esses pontos e anote a medida dos ângulos no sentido anti-horário.

Passo 5- Agora, corte duas tiras de papel de 11cm de comprimento por 0,5cm de largura. Prenda-as com um tarraxa. Pegue uma extremidade e prenda no centro da circunferência.

Círculo trigonométricoCírculo trigonométrico

Desenvolvimento

De posse do material, criamos atividades, para orientar o trabalho do aluno. As atividades estão bem próximas das sugeridas por livros didáticos, pois, o material será um auxiliar nas aulas do professor. Essa atividade foi elaborada para ser realizada em grupo sob orientação do professor. Ela deve ser realizada gradativamente, à medida que os alunos forem avançando na aprendizagem. O professor deve mediar à ação do aluno, resgatando e elaborando conceitos matemáticos para uma posterior compreensão e sistematização. O aluno deve ser sujeito ativo no desenvolvimento do conteúdo proposto.

Fórmulas TrigonométricasFórmulas Trigonométricas

Fórmula Fundamental:

Fórmulas Secundárias:

Fórmulas de Adição

Fórmulas de Bissecção

Fórmulas de Transformação

Função seno Função seno

Chamamos de função seno a função f(x) = sen x O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o

raio é unitário e, pela definição do seno, –1 £ sen x £ 1, ou seja: Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R. Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1]

Sinal da FunçãoSinal da FunçãoComo seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:1F(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva) f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)

Quando , 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1.

Quando , 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0.

Quando , 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1.

Quando , 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.]

Aplicação na Física Aplicação na Física

Um corpo de massa m está preso à extremidade de uma mola, conforme o desenho a seguir, executando um movimento periódico em razão do peso do corpo e da reação que a mola produz. Você aprenderá que esse movimento se chama Movimento Harmônico Simples, cujo gráfico da altura h da partícula em relação ao solo em função do tempo t pode ser dado por

onde

defasagemc

ondadaamplitudea

médiaalturad

Função cossenoFunção cosseno 

Chamamos de função cosseno a função f(x) = cos x. O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência

trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1, ou seja: Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R. Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1]

Sinal da Função Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva) f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa)  

Quando , 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0.

Quando , 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1.

Quando , 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0.

Quando , 4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1.

Aplicação na Física Aplicação na Física

física, estudamos ondas chamadas harmônicas. Elas são periódicas e formadas a partir de uma fonte de vibração. Imagine uma corda presa a uma parede e na outra extremidade um garoto, a fonte harmônica, vibrando essa corda. Uma possível equação para descrever o movimento da corda provocado pelo garoto é dada por:

em y é o descolamento vertical da onda em centímetros e t é o tempo em segundos.

2.cos.2080

tty

Função Tangente

Chamamos de função tangente a função f(x) = tg x.

Domínio de f(x) = O domínio dessa função são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno pois não existe cosx = 0

Imagem de f(x) = tg x; Im(tg x) = R ou  .

Sinal da Função

Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:

f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva) f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa

jogos

Durante o processo formativo foram utilizados três jogos: o dominó de arcos e ângulos, o pega-monte para unidades de medidas e o bingo para gráficos de funções trigonométricas. O dominó de arcos e ângulos tem as mesmas regras que o jogo de dominó comum entretanto não se colocam lado a lado peças iguais, mas sim peças que possuam valores equivalentes para os arcos, medidos em graus ou em radianos. A foto abaixo mostra como devem ser colocadas as peças deste jogo:

No jogo de dominó comum, a peça que dá início à partida é a pedra de valores iguais, que contém o maior valor possível, que estiver nas mãos dos jogadores. Neste jogo convencionou-se que a pedra que dá início à partida é . Os professores classificaram o jogo como de fácil entendimento quanto às regras necessitando pouco tempo para jogar uma partida, o que o torna de boa aplicabilidade sala de aula.

Regras do dominó de arcos e ângulos

Regras do dominó comum para 4 jogadores: São distribuídas 7 peças para cada jogador; dá início ao jogo o jogador que tiver a peça dupla de maior valor; as peças de valores iguais devem ser colocadas lado a lado; se o jogador não tiver uma peça para colocar na mesa deverá passar a vez; vence o jogador que colocar todas as suas peças na mesa primeiro.

Pega-monte para unidades e medidas

Regras do pega-monte para unidades e medidas

Regras do pega-monte de cartas para 4 jogadores: São colocadas abertas, na mesa, 6 cartas; cada jogador também recebe 6 cartas; o restante das cartas forma um monte que é o monte fechado d a mesa; o primeiro jogador deverá constituir um par de uma de suas cartas com uma carta aberta da mesa e constituir seu monte; o próximo jogador poderá pegar uma carta aberta da mesa, se tiver o par, ou poderá pegar o monte do outro jogador, também se tiver o par; se o jogador não tiver nenhuma carta para fazer par com uma carta aberta da mesa ou com monte de um dos adversários, deverá comprar uma carta do monte fechado da mesa; vence o jogador que ficar com seu monte maior.

Bingo de gráficos de funções trigonométricas

O jogo de bingo de gráficos de funções trigonométricas consiste em um grupo de cartelas que contêm expressões algébricas de funções trigonométricas. Essas cartelas podem estudar as funções seno ou cosseno, separadamente, ou até mesmo juntas. Uma das possibilidades é a exposta abaixo, na qual optamos por usar, no jogo, somente o seno. A figura abaixo mostra uma das cartelas utilizadas durante o jogo.

RegrasRegras Para jogar, cada participante recebe uma cartela e deve observar

os gráficos que são mostrados num telão. A proposta é que o participante associe o gráfico mostrado no telão a uma expressão algébrica correspondente à função trigonométrica representada pelo gráfico . Decifrada a função trigonométrica, o jogador deve procurá-la em sua cartela e assinalá-la. Vence o jogador que preencher toda a cartela. A foto abaixo mostra um dos gráficos utilizado no jogo que esta sendo discutido no telão.

Conclusão 

Os jogos utilizados durante as atividades constituem um método capaz de intermediar a aprendizagem dos alunos fazendo-os refletir coletivamente sobre suas práticas e sobre seus conhecimentos, isso possibilitará que a formação de suas ideias estejam estruturas sob os conceitos matemáticos que estavam sendo abordados na sala de aula. Podemos inferir que essas reflexões e troca de ideias geram diferentes pontos de vista nos alunos, levados à construção de novos conceitos através da ressignificação de conceitos antigos.

Referências BibliográficasReferências Bibliográficas http://www.iep.uminho.pt/aac/hsi/a2001/2001/trig/aprender.htm http://orbita.starmedia.com/achouhp/matematica/trigonometria.ht

m

http://vanderleimmonteiro.blogspot.com/2007/11/blog-post.html http://www.brasilescola.com/matematica/aplicacoes-trigonometric

as-na-fisica.htm