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RELAES NO TRINGULO

1. (Fatec 98) A figura a seguir um prisma reto, cuja base um tringulo equiltero de

102cm de lado e cuja altura mede 5 cm.

Se M o ponto mdio de aresta DF, o seno do ngulo BME

a) (5)/5

b) (7)/7

c) (3)/2

d) 1/4

e) 2/5

2. (Ufrj 2004) Determine o comprimento do segmento cujas extremidades so os pontos de

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interseo da reta y = x + 1 com a parbola y = x.

3. (Unesp 94) Do quadriltero ABCD da figura a seguir, sabe-se que: os ngulos internos de

vrtices A e C so retos; os ngulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45 e 30; o lado

CD mede 2dm.

Ento, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:

a) 6 e 3.

b) 5 e 3.

c) 6 e 2.

d) 6 e 5.

e) 3 e 5.

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4. (Ita 95) Um dispositivo colocado no solo a uma distncia d de uma torre dispara dois

projteis em trajetrias retilneas. O primeiro, lanado sob um ngulo (0,/4), atinge a torre

a uma altura h. Se o segundo, disparado sob um ngulo 2, atinge-a a uma altura H, a relao

entre as duas alturas ser:

a) H = 2hd/(d-h)

b) H = 2hd/(d+h)

c) H = 2hd/(d-h)

d) H = 2hd/(d+h)

e) H = hd/(d+h)

5. (Fuvest 92) Um losango est circunscrito a uma circunferncia de raio 2cm. Calcule a rea

deste losango sabendo que um de seus ngulos mede 60.

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6. (Unesp 92) A figura adiante representa o perfil de uma escada cujos degraus tm todos a

mesma extenso, alm de mesma altura. Se =2m e BA mede 30, ento a medida da

extenso de cada degrau :

a) (23)/3 m

b) (2)/3 m

c) (3)/6 m

d) (3)/2 m

e) (3)/3 m

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7. (Unicamp 93) Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um

ponto A a um ponto B, cobrindo a distancia AB=1.200 metros. Quando em A ele avista um

navio parado em N de tal maneira que o ngulo NAB de 60; e quando em B, verifica que o

ngulo NBA de 45.

a) Faa uma figura ilustrativa da situao descrita.

b) Calcule a distncia a que se encontra o navio da praia.

8. (Cesgranrio 95) Uma escada de 2m de comprimento est apoiada no cho e em uma parede

vertical. Se a escada faz 30 com a horizontal, a distncia do topo da escada ao cho de:

a) 0,5 m

b) 1 m

c) 1,5 m

d) 1,7 m

e) 2 m

9. (Ufpe 96) Considere, no sistema de coordenadas retangulares OXY, o ponto P(1,3). Se

rotacionarmos o segmento OP de 15 em torno do ponto O no sentido anti-horrio, obteremos

o segmento OP'. Determine o quadrado da soma das coordenadas de P'.

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10. (Ufpe 96) A rampa de acesso garagem de um edifcio sobre um terreno plano tem forma

retangular e determina um ngulo de 60 com o solo. Sabendo-se que ao meio-dia a sombra

da rampa tem rea igual a 36m, calcule a rea da rampa.

11. (Ufpe 95) Considere os tringulos retngulos PQR e PQS da figura a seguir.

Se RS=100, quanto vale PQ?

a) 1003

b) 503

c) 50

d) (503)/3

e) 253

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12. (G1) Um papagaio ou pipa, preso a um fio esticado que forma um ngulo de 45 com o

solo. O comprimento do fio de 100m. Determine a altura do papagaio em relao ao solo.

(use a tabela trigonomtrica)

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13. (G1) Determine x no caso a seguir:

14. (G1) Determine x no caso a seguir:

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15. (G1) No tringulo ABC a seguir, calcule o permetro.

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16. (G1) O cosseno do ngulo x, assinalado na figura a seguir, :

a) 1/2

b) 2/3

c) 3/2

d) 3/3

e) 2/3

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17. (G1) Na figura a seguir, o seno do ngulo 2/3. Ento o valor de x :

a) 6

b) 8

c) 9

d) 7

e) 10

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18. (G1) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A e B. O

comandante, quando o navio est no ponto A, observa um farol num ponto C e calcula o ngulo

AB = 30. Sabendo-se que o ngulo AC reto e que a distncia entre os pontos A e B de

6 milhas, pergunta-se de quantas milhas a distncia entre o farol e o ponto B.

a) 63 milhas

b) 183 milhas

c) 23 milhas

d) 33 milhas

e) 53 milhas

19. (G1) Uma torre projeta uma sombra de 40m quando o Sol se encontra a 64 acima da linha

do horizonte. A altura da torre :

a) 82 m

b) 3 m

c) 23 m

d) 80 m

e) 73 m

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20. (G1) O ngulo de elevao do p de uma rvore ao topo de uma encosta de 60.

Sabendo-se que a rvore est distante 100m da base da encosta, que medida deve ter um

cabo de ao para ligar a base da rvore ao topo da encosta?

a) 100 m

b) 50 m

c) 300 m

d) 200 m

e) 400 m

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21. (Faap 97) A seguir est representado um esquema de uma sala de cinema, com o piso

horizontal. De quanto deve ser a medida de AT para que um espectador sentado a 15 metros

da tela, com os olhos 1,2 metros acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, que T, a 30 da

horizontal?

Dados:

sen 30 = 0,5

sen 60 = 0,866

cos 30 = 0,866

cos 60 = 0,5

2 = 1,41

3 = 1,73

tg 30 = 0,577

tg 60 = 3

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a) 15,0 m

b) 8,66 m

c) 12,36 m

d) 9,86 m

e) 4,58 m

22. (Unicamp 97) A hipotenusa de um tringulo retngulo mede 1 metro e um dos ngulos

agudos o triplo do outro.

a) Calcule os comprimentos dos catetos.

b) Mostre que o comprimento do cateto maior est entre 92 e 93 centmetros.

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23. (Cesgranrio 90) 0 < a < /2, /2 < b < e sen a= sen b=3/5, ento a + b vale:

a) .

b) 3/2.

c) 5/4.

d) 4/3.

e) 6/5.

24. (Fuvest 97) ABC um tringulo retngulo em A e o segmento CX bissetriz do ngulo

BA, onde X ponto do lado . A medida do segmento CX 4cm e a do segmento BC,

24cm. Calcule a medida de .

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25. (Cesgranrio 90) Se no tringulo retngulo ABC, mostrado na figura, =/6, AD=AB=4,

calcule o comprimento do segmento DE paralelo a AB.

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26. (Puccamp 97) A figura a seguir um corte vertical de uma pea usada em certo tipo de

mquina. No corte aparecem dois crculos, com raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e um

apoio horizontal.

A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a altura do suporte

a) 7 cm

b) 11 cm

c) 12 cm

d) 14 cm

e) 16 cm

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27. (Fuvest 98) Nos tringulos da figura, AC = 1cm, BC = 7cm, AD = BD. Sabendo que sen(a-b)

= sen a cos b - cos a sen b, o valor de sen x

a) (2)/2

b) 7/50

c) 3/5

d) 4/5

e) 1/50

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28. (Pucmg 97) Uma escada rolante de 10 m de comprimento liga dois andares de uma loja e

tem inclinao de 30.

A altura h entre um andar e outro, em metros, tal que:

a) 3 < h < 5

b) 4 < h < 6

c) 5 < h < 7

d) 6 < h < 8

e) 7 < h < 9

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29. (Unesp 98) O seno do ngulo da base de um tringulo issceles igual a 1/4. Ento, a

tangente do ngulo do vrtice desse tringulo igual a

a) - (13)/2

b) (13)/5

c) - (15)/3

d) (14)/7

e) - (15)/7

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30. (Uel 97) Trafegando num trecho plano e reto de uma estrada, um ciclista observa uma

torre. No instante em que o ngulo entre a estrada e a linha de viso do ciclista 60, o

marcador de quilometragem da bicicleta acusa 103,50 km. Quando o ngulo descrito passa a

ser 90, o marcador de quilometragem acusa 104,03 km.

Qual , aproximadamente, a distncia da torre estrada? (Se necessitar, use2 1,41;

31,73; 62,45.)

a) 463,4 m

b) 535,8 m

c) 755,4 m

d) 916,9 m

e) 1071,6 m

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31. (Unirio 96) Um disco voador avistado, numa regio plana, a uma certa altitude, parado no

ar. Em certo instante, algo se desprende da nave e cai em queda livre, conforme mostra a

figura. A que altitude se encontra esse disco voador?

Considere as afirmativas:

l - a distncia d conhecida;

ll - a medida do ngulo e a tg do mesmo ngulo so conhecidas.

Ento, tem-se que:

a) a l sozinha suficiente para responder pergunta, mas a ll, sozinha, no.

b) a ll sozinha suficiente para responder pergunta, mas a l, sozinha, no.

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c) l e ll, juntas, so suficientes para responder pergunta, mas nenhuma delas, sozinha, no :

d) ambas so, sozinhas, suficientes para responder pergunta.

e) a pergunta no pode ser respondida por falta de dados.

32. (Unesp 99) Se (cos x) . (sen x) = (2)/3 e tg x = 2, com 0

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33. (Cesgranrio 99)

Na figura anterior, os pontos B e C pertencem reta r e os segmentos AB e CD so paralelos.

Sabe-se ainda que a distncia entre os pontos B e C igual a metade da distncia entre A e D,

e a medida do ngulo ACD 45. O ngulo CAD mede:

a) 115

b) 105

c) 100

d) 90

e) 75

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34. (Cesgranrio 99)

No cubo de base ABCD, anteriormente representado, marca-se o ponto P, centro da face

EFGH. A medida, em graus, do ngulo PBD um valor entre:

a) 0 e 30

b) 30 e 45

c) 45 e 60

d) 60 e 90

e) 90 e 120

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35. (Unesp 99) Duas rodovias retilneas A e B se cruzam formando um ngulo de 45. Um

posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo posto passa uma

rodovia retilnea C, perpendicular rodovia B. A distncia do posto de gasolina rodovia B,

indo atravs de C, em quilmetros,

a) (2)/8.

b) (2)/4.

c) (3)/2.

d) 2.

e) 22

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36. (Ufrj 99) Na figura a seguir, os crculos de centros O e O so tangentes em B e tm raios

1cm e 3cm.

Determine o comprimento da curva ABC.

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37. (Mackenzie 98) I) sen[(/7) - x] + sen[(5/14) + x]=1, x IR

II) O maior valor real que 4 elevado ao expoente senx.cosx pode assumir 2

III) No tringulo a seguir, no retngulo,

tg + tg + tg = tg . tg . tg .

Dentre as afirmaes cima:

a) Todas so verdadeiras.

b) todas so falsas.

c) somente a III falsa.

d) somente a II falsa.

e) somente a I falsa.

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38. (Puccamp 98) Em uma rua plana, uma torre AT vista por dois observadores X e Y sob

ngulos de 30 e 60 com a horizontal, como mostra a figura a seguir.

Se a distncia entre os observadores de 40m, qual aproximadamente a altura da torre?(Se

necessrio, utilize 2=1,4 e 3=1,7).

a) 30 m

b) 32 m

c) 34 m

d) 36 m

e) 38 m

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39. (Puccamp 96) Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prdio,

conforme mostra a figura adiante.

Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegar a um ponto B, de onde poder ver o topo C

do prdio, sob um ngulo de 60. Quantos metros ela dever se afastar do ponto A, andando

em linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o topo do prdio sob um ngulo

de 30?

a) 150

b) 180

c) 270

d) 300

e) 310

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40. (Ufrs 96) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direo de seu deslocamento forma

um ngulo de 120 com a margem do rio.

Sendo a largura do rio 60 m, a distncia, em metros, percorrida pelo barco foi de

a) 40 2

b) 40 3

c) 45 3

d) 50 3

e) 60 2

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41. (Unb 99) Uma das maneiras de se representar a Terra em uma regio plana para o traado

de mapas geogrficos a "projeo estereogrfica", que consiste em projetar os pontos de

uma esfera sobre um plano perpendicular ao eixo norte-sul da esfera e que passa por seu plo

Sul. Mais precisamente, a projeo de um ponto P da esfera um ponto P' de , obtido pela

interseo com o plano da reta determinada por P e pelo plo Norte. Essa construo est

representada na figura a seguir, em que O o centro da esfera, M e Q so pontos sobre um

mesmo paralelo, A o ponto mdio do segmento M' Q', sendo M' e Q' as projees dos pontos

M e Q, respectivamente.

Considere que a Terra seja uma esfera de raio igual a 6.400km e que um barco percorra, ao

longo de um meridiano, um caminho correspondente a uma diferena de latitude de 60, a

partir da latitude 60 sul, no sentido sul-norte. Considerando um mapa da superfcie terrestre

feito a partir da projeo estereogrfica da Terra e com escala 1:10, calcule, em centmetros,

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o comprimento da projeo do percurso desse barco no mapa. Para isso, considere, ainda,

tg15 =0,27 e despreze a parte fracionria de seu resultado, caso exista.

42. (Unirio 99)

Um barco est preso por uma corda () ao cais, atravs de um mastro () de comprimento

3m, como mostra a figura. A distncia, em m, da proa do barco at o cais () igual a:

a) (32 + 6) / 2

b) (32 + 6) / 4

c) (2 + 6) / 2

d) (2 + 6) / 4

e) 6

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43. (Unirio 99)

Considere a figura anterior, que apresenta um rio de margens retas e paralelas, neste trecho.

Sabendo-se que AC=6 e CD=5, determine:

a) a distncia entre B e D;

b) a rea do tringulo ABD.

44. (Ufes 99) Um homem de 1,80m de altura avista o topo de um edifcio sob um ngulo de 45

em relao horizontal. Quando ele se aproxima 20m do edifcio, esse ngulo aumenta para

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60. Qual a altura do edifcio?

45. (Ufsm 99) Um estudante de Engenharia v um prdio do Campus da UFSM construdo em

um terreno plano, sob um ngulo de 30. Aproximando-se do prdio mais 40m, passa a v-lo

sob um ngulo de 60. Considerando que a base do prdio est no mesmo nvel do olho do

estudante, ento a altura h do prdio igual a

a) 303 m

b) 203 m

c) 30 m

d) 103 m

e) 28 m

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46. (Fuvest 2000) Na figura a seguir, ABC um tringulo issceles e retngulo em A e PQRS

um quadrado de lado (22)/3. Ento, a medida do lado AB :

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

14/01/2010 10:50 pag.39

47. (Uff 2000) Na figura, MNPQ um retngulo, MNUV um paralelogramo, as medidas de

MQ e MV so iguais e 0

14/01/2010 10:50 pag.40

48. (Uerj 2000) Observe a bicicleta e a tabela trigonomtrica.

Os centros das rodas esto a uma distncia PQ igual a 120cm e os raios PA e QB medem,

respectivamente, 25cm e 52cm.

De acordo com a tabela, o ngulo AP tem o seguinte valor:

a) 10

b) 12

c) 13

d) 14

14/01/2010 10:50 pag.41

49. (Uepg 2001) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distncia

=5km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para

atingir o ponto D. A partir destes dados, assinale o que for correto.

01) = 10 km

02) = 2,5 km

04) = 53 km

08) O ngulo BD mede 60

16) A velocidade mdia do barco de 15 km/h

14/01/2010 10:50 pag.42

50. (Fuvest 2001) Os vrtices de um tringulo ABC, no plano cartesiano, so: A=(1,0), B=(0,1)

e C=(0,3). Ento, o ngulo BC mede:

a) 60

b) 45

c) 30

d) 18

e) 15

14/01/2010 10:50 pag.43

51. (Unesp 2001) Um pequeno avio deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao

norte, distante 60 quilmetros de A. Por um problema de orientao, o piloto seguiu

erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120

direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter

sido seguido, formaram, aproximadamente, um tringulo retngulo ABC, como mostra a figura.

Com base na figura, a distncia em quilmetros que o avio voou partindo de A at chegar a B

a) 303.

b) 403.

c) 603.

d) 803.

e) 903.

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14/01/2010 10:50 pag.45

52. (Ufpr 2001) Um instrumento para medir o dimetro de pequenos cilindros consiste em um

bloco metlico que tem uma fenda com o perfil em V contendo uma escala, conforme ilustrao

abaixo. O cilindro colocado na fenda e a medida de seu dimetro, em centmetros, o

nmero que na escala corresponde ao ponto de tangncia entre o cilindro e o segmento AB.

Ao construir a escala de um instrumento desses, o nmero 2 corresponde a um certo ponto de

AB. Sendo x a distncia deste ponto ao ponto A, correto afirmar:

(01) x igual a 2/[tg(/2)]cm.

(02) x igual a 1/[(tg/2)]cm.

(04) Se a medida de for 90, ento x ser igual a 2cm.

(08) Quanto menor for o ngulo , maior ser a distncia x.

Soma ( )

14/01/2010 10:50 pag.46

53. (Ufscar 2001) Considere o tringulo de vrtices A, B, C, representado a seguir.

a) D a expresso da altura h em funo de c (comprimento do lado AB) e do ngulo A

(formado pelos lados AC e AB).

b) Deduza a frmula que d a rea S do tringulo, em funo de b e c (comprimentos,

respectivamente, dos lados AC e AB) e do ngulo A.

14/01/2010 10:50 pag.47

54. (Unesp 2002) Trs cidades, A, B e C, so interligadas por estradas, conforme mostra a

figura.

As estradas AC e AB so asfaltadas. A estrada CB de terra e ser asfaltada. Sabendo-se que

AC tem 30 km, que o ngulo entre AC e AB de 30, e que o tringulo ABC retngulo em C,

a quantidade de quilmetros da estrada que ser asfaltada

a) 303.

b) 103.

c) (103)/3.

d) 83.

e) (33)/2.

14/01/2010 10:50 pag.48

55. (Ufpr 2002) Com base nos estudos de trigonometria plana, correto afirmar:

(01) O perodo da funo f(x) = sen [x - (/4)] /4.

(02) cosx + (tgx)(cosx) = 1, qualquer que seja o nmero real x, desde que cos x 0.

(04) Existe nmero real x tal que

2senx + cosx = 0.

(08) Se os catetos de um tringulo retngulo medem 6 cm e 8 cm, ento o menor dos ngulos

desse tringulo tem co-seno igual a 4/5.

(16) Se x, y e z so as medidas, em radianos, dos ngulos internos de um tringulo, ento

senz=(senx)(cosy)+(seny)(cosx).

Soma ( )

14/01/2010 10:50 pag.49

56. (Ufrn 2002) Na representao a seguir, EF dimetro da circunferncia; EG e FG so

catetos do tringulo retngulo FGE, inscrito na circunferncia trigonomtrica; e FG

perpendicular a OX para qualquer . O raio da circunferncia unitrio.

Nessas condies, podemos afirmar que, para qualquer (0< < 90),

a) FG/EG = 2tg

b) sen + cos = EF

c) OH = cos (90 - )

d) FG = 2 sen

14/01/2010 10:50 pag.50

57. (Ufrj 2002) A figura adiante mostra duas circunferncias que se tangenciam interiormente.

A circunferncia maior tem centro em O. A menor tem raio r=5cm e tangente a OA e a OB.

Sabendo-se que o ngulo AB mede 60, calcule a medida do raio R da circunferncia maior.

Justifique.

14/01/2010 10:50 pag.51

58. (Ufv 2001) Seja AB o dimetro de uma circunferncia de raio r, e seja C um ponto da

mesma, distinto de A e B, conforme figura a seguir.

a) Sendo o ngulo AC=, determine a rea do tringulo ABC, em funo de e r.

b) Esta rea mxima para qual valor de .

14/01/2010 10:50 pag.52

59. (Ufv 2001) Na figura a seguir, os tringulos so retngulos, com hipotenusa comum AC,

sendo ABC um tringulo issceles com catetos medindo 4cm. Se o cateto AD do tringulo ADC

mede 2cm, ento o valor de tgx :

a) (7) / 4

b) 7

c) (7) / 2

d) (7) / 3

e) (7) / 7

14/01/2010 10:50 pag.53

60. (Uel 2001) Com respeito aos pontos A, B, C, D e E, representados na figura abaixo,

sabe-se que CD=2.BC e que a distncia de D a E 12m. Ento, a distncia de A a C, em

metros, :

a) 6

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

14/01/2010 10:50 pag.54

61. (Ufrn 2001) Ao se tentar fixar as extremidades de um pedao de arame reto, de 30m de

comprimento, entre os pontos M e P de um plano, o arame, por ser maior do que o esperado,

entortou, como mostra a figura abaixo.

A partir desses dados, calcule, em metros,

a) o comprimento dos segmentos MS e SP;

b) quanto o arame deveria medir para que tivesse o mesmo tamanho do segmento MP.

14/01/2010 10:50 pag.55

62. (Ufrs 2000) Na figura, o crculo unitrio e tangente ao crculo no ponto P.

Se o arco AP mede , BC vale

a) tan + cot .

b) sen + cos .

c) sec + cossec .

d) tan + sen .

e) cot + cos .

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63. (Ufal 99) Analise as alternativas abaixo.

( ) cossec 45 = (2)/2

( ) sec 60 = 2

( ) cotg 30 = 3

( ) sec (/2) = 0

( ) sen (55/2) = 1

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64. (Uel 2000) Neste problema, considere o planeta Terra como uma esfera com raio de

6400km.

Um satlite percorre uma rbita circular em torno da Terra e, num dado instante, a antena de

um radar est direcionada para ele, com uma inclinao de 30 sobre a linha do horizonte,

conforme mostra a figura a seguir.

Usando 2=1,4 e 3=1,7, correto concluir que a distncia x, em quilmetros, da superfcie

da Terra ao satlite, est compreendida entre

a) 1350 km e 1450 km

b) 1500 km e 1600 km

c) 1650 km e 1750 km

d) 1800 km e 1900 km

e) 1950 km e 2050 km

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65. (Ufes 2000) Quatro pequenas cidades A, B, C e D esto situadas em uma plancie. A

cidade D dista igualmente 50km das cidades A, B e C. Se a cidade C dista 100km da cidade A

e 50km da cidade B, qual dos valores abaixo melhor representa a distncia da cidade A

cidade B?

a) 86,6 km

b) 88,2 km

c) 89,0 km

d) 92,2 km

e) 100,0 km

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66. (Ufes 2000) Duas circunferncias so tangentes entre si e aos lados de um ngulo. Se R

o raio da maior, r o raio da menor e o ngulo mede 60, ento

a) R = (33)r/2

b) R = 23r

c) R = 33r

d) R = 2r

e) R = 3r

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67. (Uflavras 2000) Duas pessoas A e B esto situadas na mesma margem de um rio, distantes

603 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem do rio, est situada de tal

modo que seja perpendicular a e a medida do ngulo AB seja 60. A largura do rio

a) 303 m

b) 180 m

c) 603 m

d) 203 m

e) 60 m

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68. (Mackenzie 2001) Observando o tringulo da figura, podemos afirmar que

(cos-sen)/(1-tg) vale:

a) 1/5

b) 1/25

c) (5)/5

d) 2/5

e) (25)/5

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69. (Ufjf 2002) Um topgrafo foi chamado para obter a altura de um edifcio. Para fazer isto, ele

colocou um teodolito (instrumento tico para medir ngulos) a 200 metros do edifcio e mediu

um ngulo de 30, como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito est a

1,5 metros do solo, pode-se concluir que, dentre os valores adiante, o que MELHOR aproxima

a altura do edifcio, em metros, :

Use os valores:

sen30 = 0,5

cos30 = 0,866

tg30 = 0,577

a) 112.

b) 115.

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c) 117.

d) 120.

e) 124.

70. (Ufjf 2002) A uma tela de computador est associado um sistema de coordenadas

cartesianas, com origem no canto inferior esquerdo. Um certo programa grfico pode ser

usado para desenhar na tela somente retas de inclinaes iguais a 0, 30, 45, 60 e 90 em

relao ao eixo horizontal. Ento, considerando-se os pontos a seguir, o nico que NO pode

estar sobre uma reta, A PARTIR DA ORIGEM, desenhada por este programa :

a) (0, 103).

b) (103, 0).

c) (103, 103).

d) (103, 53).

e) (103, 10).

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71. (Ufv 2002) Considere o tringulo retngulo ABC abaixo, com =x, =y, =, = e

=90.

CORRETO afirmar que:

a) se < 45, ento y < x.

b) se = 65, ento x y.

c) se x = 3/5 e y = 4/7, ento < 45.

d) se x = log2 e y = log3, ento 30.

e) se = 60, ento y < x.

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72. (Uerj 2003) Um barco navega na direo AB, prximo a um farol P, conforme a figura a

seguir.

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcao ao farol, forma um ngulo de

30 com a direo AB. Aps a embarcao percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica

que a reta BP, da embarcao ao farol, forma um ngulo de 60 com a mesma direo AB.

Seguindo sempre a direo AB, a menor distncia entre a embarcao e o farol ser

equivalente, em metros, a:

a) 500

b) 5003

c) 1.000

d) 1.0003

GABARITO

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1. [B]

2. 10

3. [C]

4. [A]

5. (323)/3 cm

6. [E]

7. Observe a figura a seguir:

14/01/2010 10:50 pag.67

b) d = 600 (3 - 3)m

8. [B]

9. 6

10. 72

11. [B]

12. 502 m

13. x = 3

14. x = 5

15. Permetro = 7

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16. [C]

17. [B]

18. [A]

19. [A]

20. [D]

21. [D]

22. a) (2+2)/2 e (2-2)/2

b) O cateto maior vale (2+2)/2.

Logo, y = (2+2)/4 = (2 + 1,41)/4 = 0,8525

0,92 = 0,8464 e 0,93 = 0,8649

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Como 0,8525 est entre 0,8464 e 0,8649, segue-se que y, para y >0, est entre 0,92 e 0,93

metros, ou seja, entre 92 e 93 cm.

23. [A]

24. = 3 cm

25. 4 - 23

26. [B]

27. [C]

28. [B]

29. [E]

30. [D]

14/01/2010 10:50 pag.70

31. [C]

32. a) cos x = + 3/3

b) sen x + sec x = (6 + 33)/3

33. [B]

34. [C]

35. [E]

36. 5/3

37. [A]

38. [C]

14/01/2010 10:50 pag.71

39. [C]

40. [B]

41. 09

42. [A]

43. a) 33 + 5

b) (93 + 15) / 2

44. h = (31,80 + 10 3) m

45. [B]

46. [B]

14/01/2010 10:50 pag.72

47. [E]

48. [C]

49. 31

50. [E]

51. [C]

52. 02 + 08 = 10

53. a) h = c . sen

b) S = 1/2 . b . c . sen

54. [B]

14/01/2010 10:50 pag.73

55. 02 + 08 + 16 = 26

56. [D]

57. Seja P o centro da circunferncia menor. Considere o raio PC, perpendicular ao segmento

tangente OA em C, como mostra a figura.

Ento:

OP = R - r = R - 5

PC = r = 5

AP = 1/2 AB = 30

Considerando o tringulo retngulo COP, obtemos:

sen 30 = PC/OP.

14/01/2010 10:50 pag.74

Logo: 1/2 = 5/(R-5)

R = 15 cm

58. a) A = r . sen (2)

b) = 45

59. [E]

60. [C]

61. a) MS = 5 (3 + 2)

SP = 5 (2 3 + 1)

b) MP = 10 (5 + 2 3)

62. [A]

14/01/2010 10:50 pag.75

63. F V V F F

64. [A]

65. [A]

66. [E]

67. [E]

68. [A]

69. [C]

70. [D]

71. [E]

14/01/2010 10:50 pag.76

72. [B]