Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I

FUNÇÕES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

OBJETIVO

Demonstrar a resolução de problemas envolvendo a aplicação das

funções e das identidades trigonométricas.

Ângulos

Funções trigonométricas

Identidades trigonométricas

1. Ângulos

OBJETIVO Demonstrar as relações entre graus e radianos para cálculo de medida angular.

A magnitude de um ângulo pode ser expressa em graus ou em radianos. Um ângulo de medida em graus

de 1º corresponde a de uma revolução completa na direção anti­horária.

No cálculo, a unidade de medida angular mais importante é o radiano.

2 radiano = 360º

radiano = 180º

Relações entre graus e radianos

180º = radiano

Aproximando , obtemos:

1º = 0,01745 rad e 1 rad 57,29578º

Obs: Quando se dá a medida em radianos, não se indica a unidade.

EXEMPLOS

1. Expresse 146º em radianos.

Para transformar em radiano, multiplique por

Assim,

2. Expresse 3 radianos em graus.

Para transformar radianos em graus, multiplique por

Assim,

1.1 Exercícios de Fixação

1. Converta para radianos:

a) 30º

b) 300º

c) 45º

d) 60º

e) 120º

f) 150º

2. Converta para graus:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

1.2 Saiba Mais

Site Interessante

Se você quer fazer alguns exercícios extras envolvendo graus e radianos, acesse a página http:/ /

pessoal.sercomtel.com.br/ matematica/ trigon/ trigo01a.htm

1.3 Exemplo

Determinar o domínio da função:

y = log (4x 2 ­ x ­ 3)

o logaritmo existe para 4x 2 ­ x ­ 3 > 0

= b 2 ­ 4ac

= (­1) 2 ­ 4.(4).(­3)

= 1 + 48

= 49

x =

x =

x =

x 1 = x 1 = x 1 =

x 2 = x 2 = x 2 = 1

logo, 4x 2 ­ x ­ 3 > 0, para x < ou x > 1

D =

2. Funções Trigonométricas

OBJETIVO Demonstrar a resolução de problemas que envolvem a aplicação das funções trigonométricas.

Dado o triângulo retângulo ABC

α + β = 90º

a = hipotenusa (maior lado, oposto ao ângulo

reto)

b e c : catetos

a 2 = b 2 + c 2 (Teorema de Pitágoras)

Importante

Vamos definir, para um ângulo agudo (ângulo < 90º), três números especiais. O veículo para essas é um

triângulo retângulo, mas é importante que você saiba que esses números dependem da medida do

ângulo e não do tamanho do triângulo. Isso quer dizer que, se você aumentar ou diminuir os lados do

triângulo, mantendo o ângulo, esses números não se alterarão.

DEFINIÇÕES

Seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a

hipotenusa.

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre os catetos oposto e adjacente a esse

ângulo.

Cotangente de um ângulo agudo é a razão entre os catetos adjacente e oposto a esse

ângulo.

Cossecante de um ângulo agudo é a razão entre a hipotenusa e o cateto oposto.

Secante de um ângulo agudo é a razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente.

APLICAÇÃO

Utilizando um triângulo eqüilátero de lado l, calcule os senos, os cossenos e as tangentes dos ângulos

30º e 60º.

RECORDANDO...

Triângulo Eqüilátero ABC

Três ângulos de 60º

A altura AH é também mediana

A altura AH é também bissetriz

BÂH = HÂC = 30º

Lembre que...

Mediana é um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto e, no caso do

triângulo equilátero, ele é perpendicular a esse ângulo.

Bissetriz é um segmento que divide o ângulo ao meio, formando dois ângulos

congruentes (mesma medida).

No triângulo AHC, vamos calcular o cateto h:

(por Pitágoras)

Então:

Observação:

Em qualquer livro que tenha o conteúdo de trigonometria (Ensino Médio), você encontra uma

tabela de valores trigonométricos dos ângulos de medidas inteiras de 1º a 90º.

2.1 Exercícios de Fixação

Utilizando um triângulo retângulo e isósceles de catetos, calcule o seno, cosseno e tangente de 45º.

Atenção: Entregue o exercício resolvido na aula de Plantão de Dúvidas.

2.2 Saiba Mais

Texto Complementar

Considerações iniciais sobre trigonometria

A trigonometria se originou dos estudos dos triângulos. O nome trigonometria refere­se ao estudo de

figuras de três ângulos. Dessa forma as definições iniciais referentes às funções trigonométricas foram

dadas em função dos triângulos. Elas também podem ser definidas por meio do chamado círculo

trigonométrico, em que sua periodicidade aparece de forma bem visível.

Muitos fenômenos naturais são periódicos: o nível de água das marés, a oscilação de um pêndulo, uma

corrente alternada, o batimento cardíaco, a posição de moléculas de ar transmitindo notas musicais,

dentre tantas outras.

Também é possível analisar as relações trigonométricas em estruturas cristalinas ou em estruturas que

aparecem em resistência dos materiais.

A combinação de funções trigonométricas está presente nas chamadas séries de Fourier, que é um

conceito que aparece em espectronômetros, análises de sinais (de ondas, de rádio, de som, de luz...),

nas quais, por comparação de espectros, é possível identificar composição de sinais e amostras. Pode ser

ainda utilizada em fundição, análise de vibrações de máquinas e de peças, sensores de medição de

vibração, reconhecimento de voz, análise de campos, análise das vibrações, via programas CAD/CAE/

CAM, por exemplo.

2.3 Resolução

a) Dm =

b) Dm =

c) Dm =

d) Dm = R

e) Dm =

f) Dm =

3. Identidades Trigonométricas

OBJETIVO Demonstrar a resolução de problemas que envolvem a aplicação das identidades trigonométricas.

São cinco as relações fundamentais. Elas relacionam entre si valores das funções trigonométricas

envolvendo um mesmo arco.

I) para todo

II) para todo

III) para todo

IV) para todo

V) para todo

RELAÇÕES DERIVADAS

VI) para todo

VII) para todo

VIII) para todo

APLICAÇÕES DAS RELAÇÕES

Exemplos

1º) Dado sen x = , onde 0 < x < , calcule as demais funções trigonométricas.

Resolução

Cálculo do cos x

(positivo, pois o arco pertence ao 1º quadrante)

logo,

Cálculo da tg x

Cálculo da cotg x

Cálculo da sec x

Cálculo da cossec x

2º) Calcule o valor da expressão:

, onde ,

sabendo que

Resolução

Escrevendo cossec x, sec x e cotg x em função de sen x e cos x, temos:

Logo, y = 3

3º) Simplifique a expressão:

Resolução

Utilizando as relações fundamentais, temos:

y = sec x

4º) Faça a substituição trigonométrica indicada e use as identidades fundamentais para obter uma

expressão trigonométrica simplificada que não contenha radicais.

; , para

Resolução

Substituindo o valor de x, temos:

3.1 Saiba Mais

Curiosidade

Algumas informações sobre séries de Fourier

Numa pesquisa realizada em 1997 com engenheiros que atuam em empresas de grande porte da região

da serra gaúcha, constatou­se que trigonometria é o conceito da matemática básica mais utilizado por

eles no seu cotidiano.

4. Gabarito

1. Ângulos

Exercício 1)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Exercício 2)

a) 150º

b) 135º

c) 210º

d) 330º

e) 22º 30'

f) 7º 30'

5. Bibliografia

GIOVANNI, José Rui. Matemática Fundamental – 2º Grau. São Paulo: FTD, 1994.

IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar – Trigonometria. São Paulo: Atual, 1993.